CAPÍTULO 9 Números racionais na fórma decimal e operações
Fonte: 100 ANOS lutando para que ninguém mude uma vírgula da sua informação. a bê i, [ sem local], 2016. Disponível em: https://oeds.link/z83yRs. Acesso em: 27 janeiro 2022.
Observe, leia e responda no caderno.
1. Converse com um colega sobre os significados das frases:
a) Quem canta, seus males espanta.
b) Quem canta seus males, espanta.
2. Na sua opinião, a vírgula pode mudar um ponto de vista?
3. Ainda com um colega, digam qual das igualdades vocês julgam ser falsa.
a) 3,1415 = 3,14150
b) 7,777 = 77,77
c) 8,2 milhões = ..8200000
Tão sutil, a vírgula, sinal gráfico de pontuação também usado na linguagem numérica, nem sempre tem a sua importância reconhecida.
Respostas e comentários
1. Respostas pessoais.
2. Resposta pessoal.
3. Espera-se que indiquem b.
Capítulo 9 - Números racionais na fórma decimal e operações
Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática ( Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.
Neste capítulo, os estudantes explorarão os números racionais com foco na representação decimal. É importante que eles compreendam o caráter de extensão e continuidade do assunto já em estudo, ou seja, o fato de não estarem vendo algo completamente novo e sem conexão com aquilo que já conhecem a respeito de números e operações.
Na abertura, chamamos a atenção para o sinal gráfico de pontuação – a vírgula – que é utilizado na escrita de textos e, ainda, nos números racionais. Proponha aos estudantes que comparem os números 23,4 e 2,34, associando-os aos valores em reais a fim de determinarem qual é o menor e qual é o maior, bem como obterem a diferença na representação decimal deles.
Para a atividade 1 proposta nesta abertura, espera-se que os estudantes percebam que no item a, o significado da frase é “cantar espanta males” enquanto que no item b “espanta quem canta sobre males”.
Na atividade 2, incentive-os a discutir com os colegas sobre o fato de, na linguagem escrita, a pontuação correta ser essencial para expressar um ideia ou ponto de vista.
Na atividade 3, a única igualdade falsa é a do item b, pois 7,777 < 77,77. Se necessário, pode-se utilizar o quadro de ordens e classes para comparar os números indicados no item a e, depois, os indicados no item c.
1. Números com vírgula
Neste capítulo, continuaremos estudando os números racionais, mas agora representados com vírgula.
Você certamente já deve ter notado como os números escritos com vírgula são comuns no dia a dia. Observe o exemplo no infográfico sobre a quantidade de alimentos descartados no lixo.
Acompanhe outros exemplos em que usamos números escritos com vírgula.
• A esqueitista Rayssa Leal, apelidada de Fadinha, atingiu 14,64 pontos nos Jogos Olímpicos de Tóquio 2020 e conquistou a medalha de prata aos 13 anos!
• O Sistema Cantareira é responsável pelo abastecimento de água de 6,5 milhões de pessoas na Grande São Paulo. Em 16 de dezembro de 2021 o Sistema Cantareira atingiu o menor nível desde 2016, 24,30% de sua capacidade. Em razão das chuvas intensas, o sistema finalizou o mês de janeiro de 2022 com nível de 33,59% de capacidade útil.
•
Você já escreveu algum número com vírgula para representar alguma medida ou valor monetário?
Os números 20,7; 14,64; 24,30; 33,59 são exemplos de números racionais escritos na fórma decimal.
Respostas e comentários
Resposta pessoal.
1. Números com vírgula
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero um e ê éfe zero seis ême ah zero dois.
Este tópico possibilita o desenvolvimento das habilidades ( ê éfe zero seis ême ah zero um) e ( ê éfe zero seis ême ah zero dois) por meio da leitura de informações que envolvem números racionais escritos na fórma decimal no contexto do desperdício de alimentos.
Converse com os estudantes e proponha a eles que pesquisem sobre o desperdício de alimentos e como evitá-lo. Eles podem citar, por exemplo aproveitar cascas de fruta, não colocar no prato mais do que se consegue comer, entre outros, contribuindo para o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais educação alimentar e nutricional e educação para o consumo. Peça a eles que procurem receitas nas quais são utilizadas essas partes de frutas e legumes, que em geral são descartadas.
Os estudantes devem estar atentos às informações organizadas em um infográfico com diferentes recursos visuais.
Destaque no infográfico a notação com vírgula e seu significado. Incentive-os a perceber, por exemplo, que 20,7% indica que a perda está mais para 21% do que para 20%.
Explore os demais exemplos em que são utilizados números racionais na fórma decimal, como no contexto do Sistema Cantareira, responsável pelo abastecimento de água de grande parte da população da Região Metropolitana de São Paulo. Esse é um momento propício para discutir o desperdício de água, a necessidade de acesso democrático a esse recurso natural e, ainda, a importância de políticas públicas e ações locais e/ou individuais para a preservação desse recurso, desenvolvendo, assim, o Tema Transversal Contemporâneo educação ambiental.
2. As frações decimais e a representação na fórma decimal
Observe a figura.
Note que:
• a parte pintada de laranja representa
1 sobre 10(1 décimo) dessa figura;
• a parte pintada de verde representa
1 sobre 100(1 centésimo) dessa figura;
• a parte pintada de azul representa
1 sobre 1000(1 milésimo) dessa figura.
Em cada uma dessas frações, o denominador é uma potência de 10:
Toda fração cujo denominador é uma potência de 10 é chamada de fração decimal.
Na figura, ainda podemos observar que:
• 10 partes lilases formam 1 inteiro; então:
10 vezes um décimo é igual a 1.(10 décimos = 1 inteiro);
• 10 partes verdes formam uma parte lilás; então:
10 vezes um centésimo igual a um décimo.(10 centésimos = 1 décimo);
• 10 partes azuis formam uma parte verde; então:
10 vezes 1 milésimo é igual a um centésimo.(10 milésimos = 1 centésimo).
Respostas e comentários
2. As frações decimais e a representação na fórma decimal
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero oito.
Este tópico possibilita o desenvolvimento da habilidade (EF06MA08) ao retomar os números racionais escritos na fórma de fração e associar essa representação com a representação decimal.
Podem-se retomar as frações decimais e explorar as relações entre 1 inteiro, décimos, centésimos e milésimos. Se julgar necessário, retome também as potências de base 10 (com expoente natural).
Analise com os estudantes a figura fornecida e destaque as frações decimais e sua relação com os números racionais na fórma decimal.
Esses números, representados por frações decimais, podem ser escritos na fórma decimal:
•
1 sobre 10pode ser representado por 0,1 (lemos: “um décimo”);
•
1 sobre 100pode ser representado por 0,01 (lemos: “um centésimo”);
•
1 sobre 1000pode ser representado por 0,001 (lemos: “um milésimo”);
•
um sobre dez milpode ser representado por 0,0001 (lemos: “um décimo de milésimo”);
e assim por diante.
Assim como fazemos com os números naturais, podemos dispor esses números em um quadro de ordens. Observe.
Parte inteira |
Parte decimal |
|||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
... |
Unidade de milhar |
Centena |
Dezena |
Unidade |
Décimo |
Centésimo |
Milésimo |
Décimo de milésimo |
... |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|||||||
1 |
0 |
0 |
||||||||
1 |
0 |
|||||||||
1 |
||||||||||
0 |
, |
1 |
||||||||
0 |
, |
0 |
1 |
|||||||
0 |
, |
0 |
0 |
1 |
||||||
0 |
, |
0 |
0 |
0 |
1 |
Para separar a parte inteira da parte decimal, usamos a vírgula.
Nesse quadro, a relação entre as ordens estudadas para os números naturais continua valendo: 10 unidades de uma ordem formam uma unidade de ordem imediatamente superior.
• 10 ⋅ uma centena = 1 milhar
• 10 ⋅ uma dezena = uma centena
• 10 ⋅ uma unidade = uma dezena
• 10 ⋅ 1 décimo = uma unidade
• 10 ⋅ 1 centésimo = 1 décimo
• 10 ⋅ 1 milésimo = 1 centésimo
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Copie apenas as frações decimais.
a)
2 terços.b)
35 sobre 10c)
8 centésimos.d)
3 milésimose)
18 décimos de milésimosf)
mil terçosg)
100 nonos.h)
dez mil sobre dezoitoi)
104 milésimos2 Represente com uma fração decimal a parte pintada de azul da figura.
3 Represente
Um sobre 1.000.000na forma decimal.
Respostas e comentários
1. Alternativas b, c, d, ê, ih.
2.
2 sobre 10
3. 0,000001
As frações decimais e a representação na fórma decimal
É importante que os estudantes associem as diferentes representações de um mesmo número racional, tanto na fórma de fração como na fórma de número decimal.
Explore o quadro de ordens, que foi expandido para a parte decimal, ressaltando que a relação decimal permanece.
Exercícios propostos
Nas resoluções dos exercícios 1 e 2, verifique se os estudantes compreendem a definição de fração decimal e se identificam corretamente as potências de 10. No exercício 1, o denominador é potência de 10 no:
• item b, pois equivale a 101
• item c, pois equivale a 102
• item d, pois equivale a 103
• item e, pois equivale a 104
• item i, pois equivale a 103
Para o exercício 2, os estudantes devem considerar que a figura foi dividida em 10 partes iguais e 2 delas foram coloridas de azul. Desse modo, a fração correspondente é
2 sobre 10.
No exercício 3, a relação estabelecida entre as representações de um número racional na fórma de fração e na fórma decimal pode ser ampliada, fornecendo outras frações decimais. Verifique se os estudantes conseguem ler a fração decimal apresentada nessa questão. Destaque a leitura da fração, ou seja, “um milionésimo”, e a associe ao fato de ela representar a divisão de 1 por 1 milhão.
3. Números na fórma decimal
Já estudamos que:
1 centésimo é igual a 0,01
1 milésimo é igual a 0,001
Observemos outros exemplos.
a) Denominador 10
•
2 décimos é igual a 0,2.
•
8 décimos é igual a 0,8.•
32 décimos=
30 décimos mais 2 décimos=
3 inteiros mais 2 décimos.= 3,2
Podemos representar graficamente esses números pela parte pintada de uma região retangular.
Considerando
como 1 inteiro, temos:
b) Denominador 100
•
35 centésimos é igual a 0,35.•
145 centésimos igual a 100 centésimos mais 45 centésimos= 1 + 0,45 = 1,45
Agora, para representar graficamente esses números, consideramos uma região quadrada como 1 inteiro:
c) Denominador .1000
•
451 milésimos é igual a 0,451.
•
1934 milésimos é igual a 1000 milésimo mais 934 milésimos= 1 + 0,934 = 1,934
Respostas e comentários
3. Números na fórma decimal
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero um, ê éfe zero seis ême ah zero dois, ê éfe zero seis ême ah zero sete e ê éfe zero seis ême ah zero oito.
Este tópico possibilita o desenvolvimento das habilidades (EF06MA07) e ( ê éfe zero seis ême ah zero oito) ao associar a representação na fórma de fração e na de número decimal de um mesmo número racional.
Para explorar e ampliar a representação de números racionais na fórma decimal, pode-se utilizar o material dourado. Explique aos estudantes que o cubo maior pode representar 1 inteiro e, então, peça a eles que identifiquem o número racional na fórma decimal que as demais peças representariam.
Espera-se que os estudantes relacionem uma placa com 1 décimo (a décima parte do inteiro), uma barra com 1 centésimo (a centésima parte do inteiro) e 1 cubinho com 1 milésimo (a milésima parte do inteiro). Assim:
Em seguida, utilize as peças do material dourado para representar alguns números racionais e solicite aos estudantes que escrevam no caderno os números representados, utilizando números na fórma decimal. Deixe-os conversar e validar as respostas com toda a turma. Depois, reúna-os em pequenos grupos, escreva na lousa alguns números racionais na fórma decimal e peça que os representem com o material dourado.
Observe uma representação gráfica desses números, considerando um cubo como 1 inteiro:
Como se leem os números escritos na fórma decimal
Observe alguns exemplos.
a) 2,3
dois inteiros e três décimos
b) 3,20
três inteiros e vinte centésimos
c) 20,001
vinte inteiros e um milésimo
d) 1,003
um inteiro e três milésimos
Quando a parte inteira é zero, podemos ler apenas a parte decimal. Observe.
a) 0,5
cinco décimos
b) 0,15
quinze centésimos
c) 0,008
oito milésimos
d) 0,621
seiscentos e vinte e um milésimos
Em várias situações, como a apresentada na ilustração, não lemos os números na fórma decimal ressaltando suas ordens, mas simplesmente informamos onde fica a vírgula.
Observe.
a) 3,2
três vírgula dois
b) 0,35
zero vírgula trinta e cinco
c) 1,032
um vírgula zero trinta e dois
Em geral, esse tipo de leitura é utilizado na linguagem oral e nos meios de comunicação.
Observação
▶ Como
0,5 é igual a 5 sobre 10 que é igual a um sobre dois(um meio), é comum lermos 0,5 (cinco décimos) como meio. Dessa , fórma também lemos 1,5 como um e meio, 2,5 como dois e meio, e assim por diante.
Respostas e comentários
Como se leem os números escritos na fórma decimal
Este tópico possibilita o desenvolvimento das habilidades ( ê éfe zero seis ême ah zero um) e ( ê éfe zero seis ême ah zero dois) ao propor aos estudantes a leitura dos números escritos na fórma decimal e trabalhar diferentes significados da representação.
Verifique se eles percebem que a leitura de números racionais na fórma decimal pode ser relacionada à leitura das frações decimais associadas a esses números.
Se julgar necessário, retome como se leem as frações. Promova ditados de números racionais na forma decimal, explorando todas as maneiras apresentadas de fazer a leitura desses números, para que os estudantes se acostumem com elas. Em seguida, registre na lousa alguns números na fórma decimal para que escrevam no caderno duas maneiras de ler tais números.
Sugestão de leitura
SOUSA JUCÁ, R.; FRANCO DE SÁ, P. Alguns aspectos históricos dos números decimais. Revista História da Matemática para Professores, [ sem local], volume 1, número 1, página 29‑36, 2014. Disponível em: https://oeds.link/1qzQUc. Acesso em: 14 junho 2022.
Neste artigo, os autores procuraram mostrar como o uso das frações foi sendo substituído pelo uso dos números decimais; haja vista o cálculo trabalhoso com as frações sexagesimais, procurou-se então substituir estas pelas frações decimais, e depois essas, pelos números decimais.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
4 Registre, na fórma decimal, o número que representa a parte colorida de laranja em cada uma das figuras.
a)
b)
5 Imagine uma barra de chocolate dividida em 10 partes iguais. Registre, na fórma decimal, o número que corresponde a 3 das 10 partes dessa barra.
6 Considerando a figura 1 como 1 inteiro, escreva, na forma decimal, o número que representa a parte pintada de azul do grupo de figuras a seguir.
7 Qual é o valor numérico que representa as pilhas de moedas de cada item?
a)
b)
8 Responda às questões, considerando a malha como 1 inteiro.
a) Quantos quadradinhos há nessa malha?
b) Que número, na fórma decimal, corresponde à parte pintada de azul?
c) E à parte não pintada de azul?
9 Registre cada fração na fórma decimal.
a)
7 décimos.
b)
3 décimos.
c)
18 centésimos
d)
4 centésimos.
e)
13 milésimos.
f)
325 milésimos.Respostas e comentários
4. a) 0,5
4. b) 1,8
5. 0,3
6. 3,25
7. a) 3,45
7. b) 1,25
8. a) .1000 quadradinhos.
8. b) 0,415.
8. c) 0,585.
9. a) 0,7
9. b) 0,3
9. c) 0,18
9. d) 0,04
9. e) 0,013
9. f) 0,325
Exercícios propostos
Este bloco de exercícios explora a representação, a escrita e a leitura de números racionais na fórma decimal.
Verifique se os estudantes ainda têm dificuldades nos exercícios de 4 a 8, que abordam representações com figuras, fazendo as intervenções necessárias para auxiliá-los. Se possível, mantenha o material dourado à disposição deles e sugira-lhes que façam a representação com as peças desse material.
No exercício 4, pode-se verificar que cada retângulo, que representa o inteiro, está divido em 10 partes iguais. Portanto, cada quadrinho laranja representa
1 sobre 10= 0,1. Dessa maneira, no item a, como há 5 quadrinhos laranja, eles representam o número 0,5 e, no item b, como há 18 quadrinhos laranja, eles representam o número 1,8.
No exercício 5, como a barra está dividida em 10 partes iguais, 3 partes correspondem a
3 décimos= 0,3.
No exercício 6, entre as figuras indicadas por uma chave, há 3 inteiramente pintadas de azul, e uma parcialmente pintada. A figura que está pintada de fórma parcial está dividida em 100 quadrinhos, e 25 deles são azuis, portanto, o número que está representado é dado por 3 +
25 centésimos, ou seja, 3,25.
No exercício 7, verifique se os estudantes associam o valor das moedas corretamente e se compreendem que, neste caso, a moeda de 1 real representa o inteiro. No item a, há 3 moedas de 1 real, 4 moedas de 10 centavos e 1 moeda de 5 centavos, ou seja, 3 + 4 ⋅ 0,1 + 0,05 = 3,45. No item b, há 5 moedas de 25 centavos; como 4 delas equivalem a 1 real, o total é dado por 1 + 0,25, ou seja, 1,25.
As resoluções dos exercícios 8 e 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
10 Escreva como lemos cada número e represente-o por uma fração decimal.
a) 30,06
b) 3,006
c) 0,036
d) 0,306
e) 300,6
f) 0,36
11 Escreva como lemos os números destacados nas informações.
a)
b)
12 Escreva cada um dos números utilizando algarismos.
a) Dez vírgula quarenta e cinco.
b) Setenta e cinco centésimos.
c) Dois inteiros e vinte e cinco milésimos.
d) Setenta e dois décimos de milésimos.
13
Hora de criar – Pesquise um texto que tenha números racionais e troque-o com o de um colega. Escrevam como se leem os números que estiverem na fórma de fração ou decimal. Escrevam na fórma de fração ou na fórma decimal os que estiverem por extenso. Depois, destroquem os textos para corrigi-los.
Pense mais um pouco...
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Junte-se a um colega para fazer estas atividades.
(Nas calculadoras, a vírgula é indicada por um ponto.)
1 Em uma calculadora, foram digitados os números:
•
•
•
•
Escrevam como lemos cada um desses números.
2
Registrem as teclas a serem digitadas em uma calculadora para que apareça no visor cada número a seguir.
a) cem inteiros e quatro centésimos
b) vinte e um milésimos
c) cento e um centésimos
d) dois mil e três milésimos
3
Lembrando que uma das ideias de fração é representar o quociente entre o numerador e o denominador, façam o que se pede.
a) Usem a tecla
de uma calculadora e obtenham a fórma decimal de:
5 sobre 10,
5 sobre 100,
23 sobre 100,
4 sobre 1000,
48 sobre 10,
607 sobre 10000,
2901 sobre 1000,
5 sobre um milhão,
23 sobre 10,
23 sobre dez milb) Comparem a quantidade de zeros dos denominadores das frações decimais do item a com a quantidade de casas decimais dos resultados escritos na fórma decimal. Em seguida, descrevam um procedimento prático para representar uma fração decimal como um número na fórma decimal.
4 Agora, sem usar a calculadora e sem efetuar a divisão ou a multiplicação, façam o que se pede.
a) Escrevam cada fração na fórma decimal.
127 décimos123 centésimos
254 milésimos
3254 milésimos
2045 centésimos
814 décimos de milésimos
b) Representem na fórma de fração decimal.
0,5 0,035 4,45 0,04 13,2 0,5424
Respostas e comentários
10. Respostas possíveis:
10. a) trinta inteiros e seis centésimos,
3006 sobre 100
10. b) três inteiros e seis milésimos,
3006 sobre mil
10. c) trinta e seis milésimos,
36 sobre mil
10. d) trezentos e seis milésimos,
306 sobre mil10. e) trezentos inteiros e seis décimos,
3006 sobre 1010. f) trinta e seis centésimos,
36 sobre 100
11. a) Resposta possível: seis vírgula novecentos e quarenta e sete.
11. b) Resposta possível: cinquenta e sete vírgula duzentos e noventa e oito.
12. a) 10,45
12. b) 0,75
12. c) 2,025
12. d) 0,0072
13. Resposta pessoal.
Pense mais um pouco reticências:
1. Respostas possíveis:
• Quatro inteiros e um décimo.
• Quatro décimos.
• Trinta e dois milésimos.
• Três inteiros e catorze centésimos.
2. a)
2. b)
2. c)
2. d)
3. a) 0,5; 0,05; 0,23; 0,004; 4,8; 0,0607; 2,901; 0,000005; 2,3; 0,0023
3. b) Espera-se que os estudantes concluam que, para representar uma fração decimal como um número na fórma decimal, escreve-se o numerador da fração com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.
4. a) Respostas:
= 12,7
= 1,23
= 254
= 3,254
= 20,45
= 0,0814
4. b) Respostas:
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 10 a 13 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
Pense mais um pouco reticências
Nesta seção, caso nem todos os estudantes disponham de calculadora, é possível formar duplas. Nesse caso, instrua-os a compartilhar a calculadora de maneira que todos os estudantes a utilizem.
O contato com a calculadora em atividades cujo foco não seja simplesmente chegar a resultados de cálculos preestabelecidos é essencial para os estudantes lidarem com uma ferramenta tão presente no cotidiano e desenvolverem a habilidade de utilizá-la como recurso que agiliza os cálculos, mas sempre com a compreensão dos resultados obtidos.
Vale destacar que todos os cálculos necessários nessa atividade envolvem comparações, observações e busca de generalizações, ou seja, os estudantes precisam refletir sobre esses resultados, não bastando apertar as teclas mecanicamente. Explique a eles que algumas calculadoras podem adotar o ponto em lugar da vírgula para separar a parte inteira da parte decimal dos números. Também é comum que algumas calculadoras utilizem a vírgula como separador de ordens. Nesse caso, é conveniente explicar o significado dela aos estudantes.
Na atividade 4, os estudantes precisam aplicar o resultado explorado no item b da atividade 3. Se necessário, incentive-os a compartilhar as observações que fizeram no item b da atividade 3 e, ainda, a utilizar a calculadora para conferir as respostas da atividade 4.
As resoluções das atividades 1 a 4 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
4. Representações decimais equivalentes
Na figura 1, o interior do quadrado foi dividido em 10 partes iguais. A parte pintada de azul pode ser representada por
Seis décimosou 0,6.
Na figura 2, o interior do quadrado foi dividido em 100 partes iguais. A parte pintada de azul pode ser representada por
60 centésimosou 0,60.
As frações
6 décimos e 60 centésimossão equivalentes, pois correspondem à mesma parte do inteiro.
Da mesma maneira, os registros 0,6 e 0,60 são equivalentes.
Quando dividimos cada quadradinho da figura 2 em 10 pedacinhos iguais, encontramos outra fração decimal, ou o número 0,600, correspondente à mesma parte pintada de azul.
Continuando com esse processo, encontramos:
• frações decimais equivalentes:
=
60 centésimos=
600 milésimos=
6.000 décimos de milésimos= ponto ponto ponto
• representações decimais equivalentes:
0,6 = 0,60 = 0,600 = 0,6000 = reticências
Os zeros colocados à direita de 0,6 não alteraram o número. De modo geral, um número não se altera quando, em sua representação decimal, acrescentam-se ou suprimem-se um ou mais zeros à direita de sua parte decimal.
Observe outros exemplos.
a) 0,5 = 0,50 = 0,500, pois:
5 décimos=
50 centésimos=
500 milésimosb) 2,8 = 2,80 = 2,800, pois:
28 décimos=
280 centésimos=
2800 milésimosc) 0,6300 = 0,630 = 0,63, pois:
6300 décimos de milésimos=
630 milésimos=
63 centésimosRespostas e comentários
4. Representações decimais equivalentes
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero sete.
Neste tópico, desenvolve-se a habilidade ( ê éfe zero seis ême ah zero sete), pois os estudantes exploram a ideia de frações equivalentes, a fim de relacionar representações decimais equivalentes. Verifique se eles apreenderam o conceito de frações equivalentes. Se houver necessidade, explore alguns exemplos utilizando figuras retangulares divididas em partes iguais para representar frações equivalentes.
Outro recurso que os estudantes podem utilizar, é a representação de números com o material dourado.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
14 Verifique em cada caso quais são as representações decimais equivalentes.
a) 4,2; 4,02; 4,20
b) 6,12; 6,120; 6,012
c) 2,03; 2,030; 2,003
15 Observe os rótulos dos dois garrafões cheios de água.
É correto afirmar que a quantidade de água é a mesma nos dois garrafões? Justifique sua resposta.
16 O quadro contém a medida da altura, em metro, de algumas pessoas.
Nome |
Daniel |
Laura |
Marcos |
Carlos |
Luana |
---|---|---|---|---|---|
Medida da altura |
1,80 |
1,08 |
1,8 |
1,080 |
1,008 |
Quais dessas pessoas têm a mesma medida de altura?
5. Comparação de números racionais na fórma decimal
Uma vantagem dos números racionais representados na fórma decimal sobre os representados na fórma de fração é a facilidade com que podemos comparar esses números.
Dados dois números na fórma decimal, será maior aquele que tiver a maior parte inteira; será menor o que tiver a menor parte inteira.
Observe os exemplos.
a)
b)
Respostas e comentários
14. a) 4,2 e 4,20
14. b) 6,12 e 6,120
14. c) 2,03 e 2,030
15. Sim, pois: 2,5 = 2,50.
16. Daniel e Marcos; Laura e Carlos.
Exercícios propostos
No exercício 14, explore o fato de que um número não se altera quando, em sua representação decimal, acrescentam-se ou suprimem-se um ou mais zeros à direita de sua parte decimal. Assim, 4,2 e 4,20 são equivalentes e correspondem a 4 inteiros e 2 décimos (ou 4 inteiros e 20 centésimos), 6,12 e 6,120 são equivalentes (6 inteiros e 12 décimos ou 6 inteiros e 120 centésimos) e 2,03 e 2,030 são equivalentes (2 inteiros e 3 centésimos ou 2 inteiros e 30 milésimos).
O exercício 15 apresenta dois garrafões de formatos diferentes, porém de mesma capacidade. Aproveite e retome esse conceito com os estudantes, discutindo com a turma o significado dos números apresentados nos rótulos.
A comparação de números racionais na fórma decimal também é usada em supermercados, por exemplo, ao verificar qual produto tem preço menor.
Para responder ao exercício 16, os estudantes precisam determinar as medidas cuja representação decimal seja equivalente. Como 1,80 métro indica 1 métro e 80 centímetros, e 1,8 métro indica 1 métro e 8 decímetros essas alturas são equivalentes, ou seja, Daniel e Marcos têm a mesma altura. Semelhantemente, determina-se que Carlos (1,080 métro) e Laura (1,08 métro) têm a mesma altura.
5. Comparação de números racionais na fórma decimal
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero um.
Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ( ê éfe zero seis ême ah zero um), pois os estudantes precisam ler e comparar os números racionais na representação decimal. Proponha aos estudantes que façam a leitura da situação apresentada neste tópico e, se possível, que utilizem uma trena ou fita métrica para medir distâncias na sala de aula que sejam equivalentes às medidas apresentadas na situação. Depois, incentive-os a registrar no caderno uma reta numérica e indicar nela alguns números racionais na representação decimal.
Se dois números tiverem a mesma parte inteira, para saber qual deles é maior, devemos observar as casas decimais.
Acompanhe um exemplo.
Vamos considerar os retângulos, de medidas iguais, representados a seguir. As regiões interiores estão divididas em 10 partes iguais.
As figuras mostram que 0,6 > 0,2.
Sempre que as partes inteiras forem iguais, devemos comparar as partes decimais.
Observe alguns exemplos.
a) 3,5 > 3,4, pois: 5 décimos > 4 décimos
b) 2,54 > 2,51, pois: 54 centésimos > 51 centésimos
c) 45,764 > 45,762, pois: 764 milésimos > 762 milésimos
d)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
17 A caçamba do caminhão a leva em torno de sete vírgula duas toneladas, e a caçamba do caminhão B leva 7,5 toneladas. Em qual dos dois caminhões a medida da massa transportada pode ser maior ?
18 Quem tem maior medida de massa: Maria, que tem 58,6 quilogramas, ou Isabela, que tem 58,570 quilogramas?
19 Escreva todos os números naturais compreendidos entre 12,3 e 17,1.
20 Qual é o menor número natural maior que 97,25? E o maior número natural menor que 0,01?
21 Os dois recipientes ilustrados estão com a medida de capacidade indicada.
Qual dessas embalagens é mais vantajosa para o comprador, sabendo que elas estão sendo vendidas pelo mesmo preço? Por quê?
22 (Saresp) Das comparações a seguir, qual é a verdadeira?
a)
0,4 é maior que 4 décimos.b)
1 é menor que um meio.c) 0,40 < 0,31
d) 2 > 1,9
23
Mário digitou em sua calculadora:
e Maísa apertou a sequência de teclas:
a) Que número apareceu no visor de cada um?
b) Entre esses números, qual é o maior ?
24
Hora de criar – Pesquise preços diferentes de um mesmo produto, com as mesmas condições (qualidade, quantidade, validade etcétera), expressos com números racionais na fórma decimal. Elabore um problema em que haja a comparação desses preços. Troque-o com o de um colega. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
Respostas e comentários
17. No caminhão B.
18. Maria.
19. 13, 14, 15, 16 e 17
20. 98; 0
21. A garrafa é mais vantajosa, pois contém mais suco pelo mesmo preço da outra embalagem.
22. Alternativa d.
23. a) Mário: 0,6; Maísa: 0,06.
23. b) 0,6
24. Resposta pessoal.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 17 a 19 e 23 e 24 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
No exercício 20, os estudantes deverão identificar os números naturais que estão de acordo com as comparações do enunciado. Pode-se propor que reescrevam os enunciados de maneira que as respostas continuem as mesmas, ou seja, 98 e 0. Por exemplo:
• Qual é o menor número natural maior que 97,1? E o menor número natural menor que 0,9?
• Qual é o menor número natural maior que 97,08? E o menor número natural menor que 0,00004?
Proponha a eles também que elaborem outras situações que lhes possibilitem comparar números racionais na fórma decimal, por exemplo:
• Qual é o menor número natural maior que 100,1? E o menor número natural menor que 15,03? (101 e 15)
• Qual é o menor número natural maior que 0,7? E o menor número natural menor que 22,9? (1 e 22)
No exercício 21, incentive os estudantes a reconhecerem como as comparações entre números racionais na fórma decimal são comuns em situações cotidianas. É importante perceberem que, na situação do exercício, não ocorre a comparação apenas da quantidade de suco de cada embalagem, mas também dos preços, uma vez que a informação “estão sendo vendidas pelo mesmo preço” já é uma comparação entre as diferentes embalagens e um dado fundamental para concluir qual é a embalagem mais vantajosa.
No exercício 22, deixe que os estudantes expliquem por que as alternativas a, b e c são falsas e que compartilhem as estratégias de resolução desta atividade. Na comparação das alternativas a e b, por exemplo, eles podem representar a fração em decimal ou vice-versa. Assim, verifica-se:
a) 0,4 > 0,4 (falso, pois 0,4 = 0,4)
b) 1 < 0,5 (falso, pois 1 > 0,5)
c) 0,40 < 0,31 (falso, pois 0,40 > 0,31)
d) 2 > 1,9 (verdadeiro)
6. Reta numérica
Observe como procedemos para representar
1 sobre 2na reta numérica.
Como
1 sobre 2é maior que zero e menor que 1, dizemos que ele está entre 0 e 1. Para localizar o ponto que o representa na reta numérica, marcamos sobre ela os pontos óh e a, correspondentes aos números naturais 0 e 1, respectivamente. Em seguida, dividimos o segmento de reta
O Aem duas partes iguais, determinando o ponto M, que representa o número
1 sobre 2De modo análogo, podemos representar os números
Um quarto, um terço e dois terçosPara obter o ponto N, correspondente a
1 quarto.dividimos o segmento
O Aem quatro partes iguais e, a partir de óh, tomamos uma parte. Se quisermos, podemos utilizar a reta anterior, em que já determinamos o ponto M, e dividimos o segmento
O Mem duas partes iguais. Para obter os pontos P e Q, correspondentes a
Um terço e dois terços, respectivamente, dividimos o segmento
O Aem três partes iguais e, a partir de óh, tomamos uma parte para
Um terçoe duas partes para
Dois terçosTambém podemos representar números racionais que estão na fórma decimal na reta numérica. Por exemplo, vamos determinar os pontos R e S, correspondentes a 0,3 e 2,6, respectivamente. Como 0,3 está entre 0 e 1 e 2,6 está entre 2 e 3, marcamos sobre a reta os pontos óh, a, B e C correspondentes aos números naturais 0, 1, 2 e 3, respectivamente. Dividimos o segmento
O Aem dez partes iguais. Cada uma dessas partes corresponde a 0,1. Assim, para representar o número 0,3, tomamos três dessas partes a partir do zero.
Para obter a representação de 2,6, dividimos o segmento
B Cem dez partes iguais e, a partir de 2, tomamos seis dessas partes.
Respostas e comentários
6. Reta numérica
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero um e ê éfe zero seis ême ah zero oito.
Este tópico favorece o desenvolvimento das habilidades (EF06MA01) e ( ê éfe zero seis ême ah zero oito), pois os estudantes explorarão os números racionais na fórma de fração e na fórma decimal associando-os a pontos da reta numérica. Verifique quanto eles se recordam da representação dos números naturais na reta numérica.
Considerando que todo número natural é, também, um número racional, pode-se observar que os números racionais
2 décimose
um meio, por exemplo, devem ser associados a pontos da reta que se encontram entre 0 e 1, ou seja, 0,2 e 0,5 estão na reta numérica entre 0 e 1.
Reproduza na lousa os procedimentos descritos no livro do estudante, ressaltando cada passo.
Agora, observe a representação dos números 5,2; 5,34; 5,56 e 5,8. Note que todos estão entre 5 e 6. Como precisamos representar centésimos, dividimos o intervalo entre 5 e 6 em cem partes iguais, e cada uma corresponde a 0,01.
•
Se tivesse que representar o número 5,716, em uma reta numérica, entre os números 5,7 e 5,8, explique como faria essa representação.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
25 Determine o número correspondente a cada um dos pontos indicados nas retas numéricas.
a)
b)
26 Estime o número correspondente a cada um dos pontos indicados na reta numérica.
27 Observe a sua régua de traçar segmentos de reta. Ela lembra uma reta numerada. A régua é graduada em centímetros (indicados pelos números) e em milímetros. Por exemplo, entre os números 11 e 16, pode-se ler as medidas 12, 13, 14 e 15 centímetros. Entre os números 13 e 14, pode-se ler as medidas 13,1; 13,2; 13,3; reticências 13,9 centímetros.
Usando uma régua, dê as medidas em centímetro:
a) de seu palmo;
b) do comprimento da sua caneta;
c) da largura e da espessura do seu caderno.
7. Adição e subtração
O problema a seguir foi proposto a Ana, Luiz e Carlos.
Respostas e comentários
Resposta possível: Dividiria o intervalo entre 5,7 e 5,8 em cem partes iguais, e cada uma corresponde a 0,001. Assim, a representação do número 5,716 estaria na 16ª divisão, a partir de 5,7.
25. a) Z = 0,5; X = 1,2
25. b) R = 0,01; Q = 0,05
26. resposta possível: I = 10,11; J = 10,32; K = 10,475
27. Respostas pessoais.
Exercícios propostos
Nos exercícios 25 e 26, ressalte que cada reta está dividida em partes iguais, mas representando números racionais e intervalos distintos. No item a, por exemplo, o intervalo representado é o [0, 2], no item b, [0; 0,1] e no exercício 26 o intervalo [10; 10,5].
Para determinar os números representados por Z e X, deve-se considerar que as marcações indicam que o inteiro está dividido em 10 partes iguais e, portanto, como Z ocupa a 5ª marcação e X a 12ª marcação a partir do 0, esses números são dados por 5 ⋅ 0,1 e 12 ⋅ 0,1, respectivamente. Logo, Z = 0,5 e X = 1,2.
Analogamente, obtêm-se:
R = 1 ⋅ (0,1 dividido por 10) = 0,01
Q = 5 ⋅ (0,1 dividido por 10) = 0,05
No exercício 26, como a distância entre G e H equivale a 0,05, os números representados pelas marcações indicadas pelos traços são: 10; 10,05; 10,1; 10,15; 10,2; 10,25; 10,30; 10,35; 10,4; 10,45 e 10,5. Assim, obtêm-se:
10,1 < I < 10,15
10,3 < J < 10,35
10,45 < K < 10,5
Além disso, pela posição de ih, percebe-se que está mais próximo de 10,1 do que de 10,15. Também se observa que o número indicado por J está mais perto de 10,3 do que de 10,35 e quase na metade deste intervalo. De modo semelhante, K está aproximadamente na metade do intervalo entre 10,45 e 10,5.
No exercício 27 retome com os estudantes que entre dois números racionais é sempre possível encontrar outro número racional; por exemplo, a média entre dois números racionais será um número racional.
Para ampliar essa noção, forneça a eles intervalos para escreverem números racionais na fórma decimal de cada intervalo, por exemplo:
• entre 0 e 1 (0,5 e 0,9);
• entre 0,5 e 0,6 (0,51 e 0,57);
• entre 0,51 e 0,52 (0,512 e 0,517).
Acompanhe a resolução de cada um.
• Ana
• Luiz
• Carlos
•
Você faria esse cálculo de modo diferente? Explique como faria.
Respostas e comentários
Resposta pessoal.
7. Adição e subtração
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah um zero e ê éfe zero seis ême ah um um.
Este tópico desenvolve as habilidades ( ê éfe zero seis ême ah um zero) e ( ê éfe zero seis ême ah um um), pois aborda a adição e a subtração envolvendo números racionais na fórma de fração e na fórma decimal. É interessante mostrar aos estudantes que existem maneiras diferentes de abordar e resolver um problema, assim como no caso do que foi proposto para Ana, Luiz e Carlos, na situação que inicia este tópico. Discuta com eles as três resoluções apresentadas.
• Ana fez a representação de cada número em frações decimais, efetuou a adição e expressou o resultado com a representação decimal para indicar a resposta.
Se julgar necessário, retome a adição e a subtração de números racionais na fórma de fração.
• Luiz efetuou a adição diretamente, com os números racionais na fórma decimal. Reproduza na lousa o cálculo de Luiz, destacando cada passo do procedimento.
• Carlos usou a calculadora.
Se possível, proponha aos estudantes outros cálculos para que eles os efetuem na calculadora. Proponha também que estimem a soma antecipadamente e então avaliem o resultado obtido na calculadora.
Todos os procedimentos são válidos; não existe apenas um correto. É importante estar atento às diversas estratégias que podem surgir.
Analise outros exemplos de adição com números na fórma decimal.
a) 3,28 + 2,1 + 0,023
b) 5 + 0,5 + 24,365
c) 0,04 + 7
Observe agora algumas subtrações.
a) 12,5 ‒ 4,825
b) 4 ‒ 2,351
c) 8,4215 ‒ 3
Efetuar operações com números na fórma decimal nos auxilia a resolver problemas que enfrentamos no dia a dia.
A situação a seguir é um exemplo.
Por meio de uma expressão numérica, é possível representar com quantos reais Marcos ficou após ganhar o troco da mãe.
Sabemos que os parênteses indicam a operação a ser feita em primeiro lugar.
Então, calculamos o valor dessa expressão da seguinte maneira:
Cálculos
Respostas e comentários
Adição e subtração
Discuta com os estudantes os procedimentos de cada operação exemplificada. Pode-se sugerir a estudantes diferentes que expliquem o procedimento de cada uma das operações.
Situações envolvendo o uso de valores do sistema monetário brasileiro para abordar números racionais na fórma decimal possibilitam aos estudantes atribuírem significado aos números racionais na fórma decimal.
Sugira que compartilhem com os colegas diferentes situações de compra e venda em que se utilizam valores em reais. Proponha aos estudantes que contem um pouco dessas experiências e comentem como lidam com o dinheiro nessas situações.
Uma sugestão de atividade a ser explorada é a simulação de uma feira ou mercado, na qual os estudantes usam dinheiro fictício para lidar com situações de compra e venda. Aproveite para explorar o registro de centavos e efetuar operações com quantias que os envolvam. Por exemplo: cada lápis custa R$ 1,50um reais e cinquenta centavos; um caderno custa R$ 13,35treze reais e trinta e cinco centavos; entre outros.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
28 (Saresp) A temperatura normal de Carlos é 37 graus. Ele ficou com gripe e observou que estava com 37,8 graus de temperatura. Tomando um analgésico, sua temperatura baixou 0,5 grau, chegando ao valor de:
a) 37,3 graus.
b) 37,4 graus.
c) 37,5 graus.
d) 37,6 graus.
29 Determine as diferenças.
a) 0,4 ‒ 0,325
b) 1 ‒ 0,275
c) 5,6 ‒ 4
d) 12,36 ‒ 8,634
30 Calcule:
a) 0,075 + 0,325
b) 0,725 + 0,275
c) 1,6 + 4
d) 3,726 + 8,634
e) 0,4 ‒ 0,075
f) 1 ‒ 0,725
g) 5,6 ‒ 1,6
h) 12,36 ‒ 3,726
31 Compare os quatro primeiros itens do exercício 30 com os quatro itens do 29. Depois, considere os quatro últimos itens do exercício 30 para escrever uma conclusão sobre as suas observações.
32 Ganhei da minha avó R$ 100,00cem reais na sexta‑feira. No sábado, comprei uma camiseta de R$ 37,50trinta e sete reais e cinquenta centavos e uma bermuda de R$ 36,25trinta e seis reais e vinte e cinco centavos. Além disso, tomei um lanche de R$ 7,75sete reais e setenta e cinco centavos.
a) Quanto sobrou da quantia que ganhei?
b) Como seria uma expressão numérica que representasse essa situação?
33 Verifique se as somas em cada linha, cada coluna e cada diagonal são iguais.
34 Ana comprou o conjunto de malas do anúncio. Quanto ela pagou?
35 Entre as expressões, qual tem o maior valor? E o menor?
a) 2,4 ‒ (1,3 + 0,2)
b) 2,4 ‒ 1,3 + 0,2
c) 2,4 + (1,3 ‒ 0,2)
d) 2,4 + 1,3 + 0,2
36
Débora quer calcular mentalmente o valor aproximado de 42,13 + 17,89. Para isso, ela arredondou cada parcela para a casa das unidades mais próxima e, em seguida, efetuou o cálculo. Observe.
Calcule mentalmente o resultado aproximado de cada item. Faça o registro e, com uma calculadora, verifique se os resultados arredondados são próximos aos exatos.
a) 2,86 + 4,95
b) 11,24 + 5,67
c) 9,11 + 31,74
d) 12,12 ‒ 6,43
e) 32,77 ‒ 9,64
f) 53,42 ‒ 10,38
Respostas e comentários
28. Alternativa a.
29. a) 0,075
29. b) 0,725
29. c) 1,6
29. d) 3,726
30. a) 0,4
30. b) 1
30. c) 5,6
30. d) 12,36
30. e) 0,325
30. f) 0,275
30. g) 4
30. h) 8,634
31. Espera-se que o estudante perceba a relação fundamental entre a adição e a subtração.
32. a) R$ 18,50dezoito reais e cinquenta centavos.
32. b) 100,00 ‒ (37,50 + 36,25 + 7,75)
33. A soma dos números de cada diagonal, de cada linha e de cada coluna dá sempre 3,6.
34. R$ 652,65seiscentos e cinquenta e dois reais e sessenta e cinco centavos.
35. Item a) menor valor; Item d) maior valor.
36. a) 8; 7,81
36. b) 17; 16,91
36. c) 41; 40,85
36. d) 6; 5,69
36. e) 23; 23,13
36. f) 43; 43,04
Exercícios propostos
No exercício 28, uma boa prática é incentivar os estudantes a responderem sem fazer nenhum cálculo escrito, pois essa é uma situação comum do cotidiano deles, na qual o cálculo mental lhes prestará grande auxílio. No caso, precisam efetuar a subtração 37,8 ‒ 0,5, obtendo 37,3 graus.
Nos exercícios 29 e 30, verifique se os estudantes efetuam corretamente as adições e subtrações indicadas e se dispõem os números decimais de maneira apropriada, ou seja, de acordo com a ordem dos algarismos.
No exercício 31, explore a relação entre a adição e a subtração, possibilitando aos estudantes perceberem, por exemplo, que, se 1,5 + 0,3 = 1,8, então 1,8 ‒ 0,3 = 1,5 e 1,8 ‒ 1,5 = 0,3.
No exercício 32, é importante destacar que a resolução, em um primeiro momento, pode ser feita sem cálculos escritos. Isso porque muitos jovens já vivenciaram situações de compra e venda nas quais são comuns pagamentos em dinheiro com a devolução de troco. Incentive os estudantes a realizarem cálculos mentais (especialmente aqueles relacionados com um problema contextualizado) antes de resolverem o problema por meio de cálculos escritos.
Esse tipo de cálculo (chamado de mental exato) deve ser valorizado em sala de aula, pois é um instrumento para aprimorar o cálculo escrito exato.
No exercício 33, adicionando os 3 valores em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal, obtemos:
• 1ª linha: 0,6 + 1,4 + 1,6 = 3,6
• 2ª linha: 2,2 + 1,2 + 0,2 = 3,6
• 3ª linha: 0,8 + 1 + 1,8 = 3,6
• 1ª coluna: 0,6 + 2,2 + 0,8 = 3,6
• 2ª coluna: 1,4 + 1,2 + 1 = 3,6
• 3ª coluna: 1,6 + 0,2 + 1,8 = 3,6
• Diagonal principal: 0,6 + 1,2 + 1,8 = 3,6
• Diagonal secundária: 1,6 + 1,2 + 0,8 = 3,6
Assim, as somas são iguais.
No exercício 34, os estudantes podem efetuar a adição 154,60 + 214,90 + 283,15 = 652,65 para determinar a resposta.
As resoluções dos exercícios 35 e 36 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
37 Com o avanço da tecnologia no setor de telecomunicação, o número de linhas ativas de telefones celulares no Brasil aumentou bastante entre os anos 2020 e 2021. Observe o gráfico e responda.
a) Em 2015, existiam quantos milhões de linhas ativas de telefones celulares?
b) De 2016 a 2020 houve diminuição de quantos milhões de linhas ativas de telefones celulares?
c) De acordo com o gráfico, em que ano o número de linhas ativas de telefones celulares foi maior? E em que ano foi menor?
38
Hora de criar – Utilize uma situação cotidiana na qual você usa números racionais para elaborar um problema e troque-o com um colega. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
8. Multiplicação por potências de 10
Ao observar este anúncio, Plínio e Marta imediatamente calcularam o total a ser pago pela bicicleta.
Observe como cada um fez.
• Plínio
75,99 + 75,99 + 75,99 + 75,99 + 75,99 + 75,99 + 75,99 + 75,99 + 75,99 + 75,99 = 759,90
• Marta 10 ⋅ 75,99 =
10 vezes a fração 7599 sobre 100=
75990 sobre 100= 759,90
Note que, embora os dois modos sejam equivalentes, Marta realizou menos cálculos para encontrar esse valor fazendo uma multiplicação.
Respostas e comentários
37. a) 257,8 milhões de linhas ativas.
37. b) 10 milhões de linhas ativas.
37. c) 2015; 2019, respectivamente.
38. Resposta pessoal.
Exercícios propostos
No exercício 37, com a intenção de aprofundar a interpretação dos dados representados em um gráfico, uma atividade de ampliação é reunir os estudantes em duplas e propor-lhes que escrevam duas afirmações a respeito do gráfico de barras apresentado – uma verdadeira e outra falsa.
Eles devem escrever e entregar as afirmações ao professor. Em seguida, distribua duas afirmações a cada dupla (tendo o cuidado de não terem sido criadas pela própria dupla) e solicite aos estudantes que identifiquem a afirmação verdadeira e corrijam a falsa.
Para o exercício 38, os estudantes podem ser incentivados a elaborar uma tabela para apresentar os números racionais no contexto considerado. Depois, com os dados da tabela, eles podem compor um gráfico utilizando os recursos de um software de planilha eletrônica. Apresentamos o seguinte exemplo de problema que pode ser elaborado. Em determinado dia, a temperatura máxima em uma cidade foi de 32,7 °C e a temperatura mínima, 19,8 °C. Qual foi a amplitude térmica nesse dia? (Resposta: Como 32,7 ‒ 19,8 = 12,9, a amplitude foi 12,9 °C).
Usando uma calculadora, esse cálculo poderia ser feito da seguinte maneira:
Observe outros exemplos, nos quais multiplicamos um número na fórma decimal por 10, 100 ou .1000.
a) 5,32 ⋅ 10 =
532 sobre 100⋅ 10 =
5320 sobre 100= 53,20
b) 4,3 ⋅ 100 =
43 sobre 10⋅ 100 =
4300 sobre 10= 430 ou 430,0
c) 10,5912 ⋅ .1000 =
105 mil 912 sobre 10 mil⋅ .1000 =
105 milhões 912 mil sobre 10 mil= .10591,2
d) 0,0451 ⋅ 100 =
451 sobre 10 mil⋅ 100 =
45 mil e 100 sobre 10 mil= 4,5100 ou 4,51
e) 9,06 ⋅ .1000 =
906 sobre 100⋅ .1000 =
906 mil sobre 100= .9060,00 ou .9060
Na prática, para multiplicar um número na fórma decimal por 10, 100, .1000, .10000, e assim por diante, deslocamos a vírgula para a direita, respectivamente, uma, duas, três, quatro, reticências casas decimais.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
39
Resolva mentalmente.
a) 3,18 ⋅ 10
b) 3,18 ⋅ 100
c) 3,18 ⋅ .1000
d) 10 ⋅ 9,5
e) 100 ⋅ 0,0075
f) .10000 ⋅ 0,0456
40
Resolva.
41 Em um supermercado, cada garrafa com 0,5 litro de água custa R$ 1,97um reais e noventa e sete centavos.
a) Miranda comprou 10 dessas garrafas de água. Quantos litros de água ela comprou?
b) Para pagar as garrafas de água, Miranda usou esta cédula:
Que quantia ela recebeu de troco?
c) Um comerciante comprou 1.000 dessas garrafas de água. Quanto ele gastou?
Respostas e comentários
39. a) 31,8
39. b) 318
39. c) .3180
39. d) 95
39. e) 0,75
39. f) 456
40. 125,6 gramas.
41. a) 5 litros.
41. b) R$ 0,30zero reais e trinta centavos.
41. c) R$ 1.970,00mil novecentos e setenta reais.
8. Multiplicação por potências de 10
Neste momento, uma atividade de ampliação e enriquecimento é utilizar a calculadora para efetuar multiplicações por 10, 100, .1000, e assim por diante. Após cada cálculo, os estudantes podem verificar o que acontece com a vírgula no número que aparece no visor da calculadora. Essa atividade pode ser usada como motivação para iniciar o assunto ou para validar o que já foi estudado.
Exercícios propostos
Se julgar conveniente, proponha aos estudantes que realizem esse bloco de exercícios em duplas. Depois, um representante de cada dupla pode apresentar a resolução de algum exercício na lousa.
Os exercícios 39 e 40 podem ser resolvidos por meio de cálculo mental, considerando a multiplicação por potências de 10 e a regra do deslocamento da vírgula nesses casos. O exercício 40 pode ser resolvido por meio da multiplicação 10 × 12,56 = 125,6.
No exercício 41, o item a pode ser sistematizado pela multiplicação 10 ⋅ 0,5 = 5. No item b, o total da compra é dado por 10 ⋅ 1,97 = 19,70 e o troco por 20,00 ‒ 19,70 = 0,30. Para o item c, obtém-se o total gasto pela multiplicação .1000 ⋅ 1,97 = .1970,00.
9. Multiplicação
Laura quer comprar uma fita para fazer um laço para seu vestido.
Laura tinha de saber o preço a ser pago por essa fita. Para isso, multiplicou 2,2 por 3,75. Observe como ela fez.
2,2 ⋅ 3,75 =
22 décimos⋅
375 centésimos=
8250 milésimos= 8,250 = 8,25
Então, o valor a ser pago por Laura em 2,2 metros de fita é de R$ 8,25oito reais e vinte e cinco centavos.
Repare que transformamos os números dados em frações. Com isso, o cálculo da multiplicação foi feito apenas entre números naturais (22 ⋅ 375 e 10 ⋅ 100). Entretanto, o produto dos denominadores (1.000) indica que no resultado devem ser consideradas as casas decimais até milésimos.
Para multiplicar números na fórma decimal, procedemos como se eles fossem números naturais e damos ao produto um número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores.
Com o auxílio de uma calculadora, fazemos esse cálculo do seguinte modo:
Respostas e comentários
9. Multiplicação
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah um um.
Este tópico possibilita o desenvolvimento da habilidade ( ê éfe zero seis ême ah um um), pois retoma com os estudantes a multiplicação de números racionais na forma de fração. Proponha a eles outras multiplicações de dois números na fórma decimal para resolverem com base na multiplicação de frações. Sugira aos estudantes que efetuem essas multiplicações considerando os números naturais que se obtêm ao eliminar as vírgulas dos fatores de cada multiplicação. Em seguida, peça a eles que comparem o resultado obtido por meio da multiplicação de frações e das multiplicações de números naturais, como é o caso de 8,250 e .8250.
Espera-se que os estudantes percebam que a única diferença entre os resultados é a posição da vírgula (lembrando que podemos entender o número natural .8250 como .8250,0, ou seja, a vírgula está no final do número). Peça a eles que observem também a quantidade de casas decimais de cada fator e o total de casas. No caso, 2,2 tem uma casa decimal e 3,75 tem duas, ao todo são três casas decimais, a mesma quantidade do produto 8,250 obtido pela multiplicação das frações.
Reproduza na lousa a multiplicação envolvendo os dois números racionais na fórma decimal e discuta com os estudantes cada passo, para que compreendam a colocação da vírgula no produto.
Acompanhe mais alguns exemplos.
a) 0,75 ⋅ 4
b) 4,5 ⋅ 7,6
c) 7,32 ⋅ 0,23
d) 0,3 ⋅ 0,02
Na situação apresentada anteriormente, sabendo que Laura pagou a fita com uma nota de R$ 10,00dez reais, quanto de troco a vendedora, Ana, lhe devolverá?
Para saber, Ana deverá calcular o valor da expressão 10 menos 3,75 ⋅ 2,2.
Ana também poderá calcular o troco de Laura usando teclas de memória de uma calculadora.
Observe as teclas que ela apertou após “limpar” a memória da calculadora.
Portanto, Laura receberá R$ 1,75um reais e setenta e cinco centavos de troco.
Observação
▶ Há calculadoras com recursos nos quais esse cálculo pode ser feito de maneira diferente. Por exemplo, incluindo a tecla “=” antes da “M+” e a tecla “ á cê aspas após a “M+”.
Observe agora outros exemplos de expressões numéricas.
a)
b)
Usando a calculadora para esses exemplos, temos:
a)
b)
Respostas e comentários
Multiplicação
Se julgar necessário, escreva na lousa outras multiplicações de números racionais na fórma decimal para alguns estudantes efetuarem, discutindo com a turma cada procedimento.
Outra atividade de ampliação que pode ser feita é organizar os estudantes em duplas, propor-lhes que escrevam algumas multiplicações com números na fórma decimal e entreguem a outras duplas. Depois das resoluções, as duplas destrocam para a correção, que será feita com o uso de calculadora. Ao final, promova uma discussão sobre as multiplicações cujo resultado na calculadora não conferiu com o que foi obtido no papel, já que o equívoco também pode ter ocorrido no uso da calculadora.
Comente com os estudantes que há calculadoras em que a sequência de teclas digitadas difere da sequência apresentada. Essa observação deve ser feita sempre que for usada a calculadora.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
42 Efetue cada uma das multiplicações.
a) 2,7 ⋅ 3,9
b) 5,75 ⋅ 7
c) 0,45 ⋅ 0,82
d) 24 ⋅ 3,14
e) 4,5 ⋅ 7,6
f) 0,125 ⋅ 48
43 Calcule o dobro de:
a) 7,5;
b) 1,25;
c) 0,5.
44 Calcule o triplo de:
a) 15,20;
b) 17,8;
c) 10,5.
45
Pedro quer calcular mentalmente o valor aproximado de 5,32 ⋅ 4,74. Para isso, ele arredondou cada fator para a casa das unidades mais próxima e, em seguida, efetuou o cálculo.
Calcule mentalmente o resultado aproximado de cada item. Faça o registro e, com uma calculadora, verifique se os resultados arredondados são próximos aos exatos.
a) 6,89 ⋅ 7,10
b) 2,12 ⋅ 8,09
c) 4,67 ⋅ 9,89
d) 6,79 ⋅ 12,12
e) 32,77 ⋅ 6,32
f) 42,78 ⋅ 8,21
46 Determine o valor das expressões.
a) 6,9 ⋅ 8,7 ‒ 0,03
b) 14 ‒ 15,6 ⋅ 0,84
c) 2,4 ⋅ (5 ‒ 3,75)
d) 4,6 ⋅ 5 ‒ 12,36
e) 3,4 ⋅ 0,5 ‒ 0,8 ⋅ 1,6
f) 12,78 ‒ 4,3 ⋅ 2,6
47
Confira os resultados do exercício 46 refazendo os cálculos com uma calculadora.
48 De acordo com a Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis, o preço médio do etanol em São Luís, no Maranhão, em fevereiro de 2022, era de R$ 5,670cinco reais e sessenta e sete centavos.
a) Que quantia em real seria necessária para encher o tanque de um carro que comporta 45 litros?
b)
Calcule mentalmente. João colocou 10 litros de etanol no tanque do carro. Que quantia em real ele gastou?
49
Calcule mentalmente.
Sandra comprou em uma loja 10 metros de fita dourada e pagou R$ 0,85zero reais e oitenta e cinco centavos cada metro. Em outra loja, ela comprou 8 metros de fita prateada por R$ 0,90zero reais e noventa centavos cada metro.
Estime em qual dessas compras Sandra gastou menos de 8 reais.
50 No comércio, muitas vezes enfrentamos o problema da falta de troco. Observe as situações e responda às questões.
a) Mário comprou três livros que custaram R$ 20,10vinte reais e dez centavos cada um. Para pagar, deu uma nota de R$ 100,00cem reais. Quanto a mais ele poderia dar para facilitar o troco? Com isso, quanto receberia de troco?
b) No mercado, Maria gastou R$ 169,30cento e sessenta e nove reais e trinta centavos. Deu quatro notas de 50 reais para o caixa. Qual é a menor quantia que ela poderia dar a mais para facilitar o troco, uma vez que o caixa só tinha notas de 10 e de 5 reais? E qual seria seu troco?
51 Os valores das moedas que circulam hoje no Brasil são:
a) Quantas moedas de 5 centavos são necessárias para obter 1 real? E de 10 centavos?
b) Usando apenas três moedas, de quantos modos diferentes posso ter R$ 1,50um reais e cinquenta centavos?
c) De quantas moedas de 25 centavos preciso para ter 1 real?
d) Descreva pelo menos seis modos diferentes pelos quais, reunindo moedas, conseguimos obter R$ 1,00um reais.
52 No final de um mês, Jonas tinha 58 moedas.
a) Calcule quanto Jonas possuía sabendo que ele tinha 4 moedas de 25 centavos, 12 moedas de 5 centavos, 9 moedas de 50 centavos, vinte e duas moedas de 1 real e 11 moedas de 10 centavos.
b) Com esse dinheiro, Jonas foi ao cinema e comprou um pacote de pipoca por R$ 5,50cinco reais e cinquenta centavos. Quanto sobrou se o ingresso do cinema foi R$ 22,00vinte e dois reais?
Respostas e comentários
42. a) 10,53
42. b) 40,25
42. c) 0,369
42. d) 75,36
42. e) 34,2
42. f) 6
43. a) 15
43. b) 2,5
43. c) 1
44. a) 45,6
44. b) 53,4
44. c) 31,5
45. a) 49; 48,919
45. b) 16; 17,1508
45. c) 50; 46,1863
45. d) 84; 82,2948
45. e) 198; 207,1064
45. f ) 344; 351,2238
46. a) 60
46. b) 0,896
46. c) 3
46. d) 10,64
46. e) 0,42
46. f) 1,6
47. Respostas iguais às do exercício 46.
48. a) R$ 255,15duzentos e cinquenta e cinco reais e quinze centavos.
48. b) R$ 56,70cinquenta e seis reais e setenta centavos.
49. Na compra da fita prateada.
50. a) Poderia dar mais 30 centavos e receberia R$ 40,00quarenta reais de troco.
50. b) R$ 4,30quatro reais e trinta centavos; R$ 35,00trinta e cinco reais.
51. a) 20 moedas de 5 centavos; 10 moedas de 10 centavos
51. b)
2 modos. Primeiro modo: três moedas de cinquenta centavos. Segundo modo: uma moeda de um real e duas de vinte e cinco centavos.
51. c) 4 moedas.
51. d) Resposta possível: uma moeda de 1 real; duas moedas de 50 centavos; uma moeda de 50 centavos e duas de 25 centavos; 4 moedas de 25 centavos; uma moeda de 50, uma de 25, duas de 10 e uma de 5 centavos; uma moeda de 50 e 5 de 10 centavos.
52. a) R$ 29,20vinte e nove reais e vinte centavos.
52. b) R$ 1,70um reais e setenta centavos.
Exercícios propostos
No exercício 42, verifique se os estudantes compreendem como multiplicar números na fórma decimal.
a) Como 27 ⋅ 39 = .1053, então 2,7 ⋅ 3,9 = 10,53
b) Como 575 ⋅ 7 = .4025, então 5,75 ⋅ 7 = 40,25
c) 0,45 ⋅ 0,82 =
45 centésimos=
82 centésimos= =
fração com numerador 45 vezes 82 e denominador 10000=
3690 décimos de milésimos= = 0,369
d) 24 ⋅ 3,14 = 24 ⋅
314 centésimos= =
fração com numerador 24 vezes 314 e denominador 100=
7536 centésimos= = 75,36
e) 4,5 ⋅ 7,6 =
fração com numerador 45 vezes 76 e denominador 100= =
3420 centésimos= 34,2
f) 0,125 ⋅ 48 =
fração com numerador 125 vezes 48 e denominador 1000= =
6000 milésimos= 6
No exercício 43, ressalte com os estudantes que calcular o dobro de uma quantidade é o mesmo que multiplicar por 2; portanto, obtêm-se:
a) 2 ⋅ 7,5 =
fração com numerador 2 vezes 75 e denominador 10= =
fração 150 sobre 10= 15
b) 2 ⋅ 1,25 =
fração com numerador 2 vezes 125 e denominador 100= =
fração 250 sobre 100= 2,5
c) 2 ⋅ 0,5 =
fração com numerador 2 vezes 5 e denominador 10= 1
Semelhantemente, no exercício 44, verifique se os estudantes compreendem como calcular o triplo e se associam que equivale a multiplicar por 3. Portanto:
a) 3 ⋅ 15,2 =
fração com numerador 3 vezes 152 e denominador 10=
=
fração 456 sobre 10= 45,6
b) 3 ⋅
fração 178 sobre 10=
fração com numerador 3 vezes 178 e denominador 10=
=
fração 534 sobre 10= 53,4
c) 3 ⋅
fração 105 sobre 10=
fração 315 sobre 10= 31,5
No exercício 45, calculando das duas maneiras, por arredondamento e usando a calculadora, obtêm-se:
a) 6,89 ⋅ 7,1 ≃ 7 ⋅ 7 = 49 e 6,89 ⋅ 7,1 = 48,919
b) 2,12 ⋅ 8,09 ≃ 2 ⋅ 8 = 16 e 2,12 ⋅ 8,09 = 17,1508
c) 4,67 ⋅ 9,89 ≃ 5 ⋅ 10 = 50 e 4,67 ⋅ 9,89 = 46,1863
d) 6,79 ⋅ 12,12 ≃ 7 ⋅ 12 = 84 e 6,79 ⋅ 12,12 = 82,2948
e) 32,77 ⋅ 6,32 ≃ 33 ⋅ 6 = 198 e 32,77 ⋅ 6,32 = 207,1064
f) 42,78 ⋅ 8,21 ≃ 43 ⋅ 8 = 344 e 42,78 ⋅ 8,21 = 351,2238
No exercício 46, efetuando as operações, obtêm-se:
a) 6,9 ⋅ 8,7 ‒ 0,03 = 60,03 ‒ 0,03 = 60
b) 14 ‒ 15,6 ⋅ 0,84 = 14 ‒ 13,104 = 0,896
c) 2,4 ⋅ (5 ‒ 3,75) = 2,4 ⋅ 1,25 = 3
d) 4,6 ⋅ 5 ‒ 12,36 = 23 ‒ 12,36 = 10,64
e) 3,4 ⋅ 0,5 ‒ 0,8 ⋅ 1,6 = 1,7 ‒ 1,28 = 0,42
f) 12,78 ‒ 4,3 ⋅ 2,6 = 12,78 ‒ 11,18 = 1,6
As resoluções dos exercícios 48 a 52 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
53
Hora de criar – Em dupla, criem um problema semelhante ao apresentado no exercício 52 atualizando os valores do local de divertimento (cinema, teatro etcétera) e do acompanhamento (alimento etcétera) cobrados na cidade onde moram. Troquem de exercício com outra dupla para resolverem o problema elaborado por ela. Depois destroquem para corrigir.
Pense mais um pouco...
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Junte-se a um colega e considerem os resultados destas multiplicações:
38,2 ⋅ 4 = 152,8 e 38,2 ⋅ 7 = 267,4
1
Calculem mentalmente os produtos de:
a) 38,2 ⋅ 40 e 38,2 ⋅ 70
b) 38,2 ⋅ 400 e 38,2 ⋅ 700
c) 38,2 ⋅ .4000 e 38,2 ⋅ .7000
2 Calculem os produtos efetuando uma adição ou uma subtração.
a) 38,2 ⋅ 11
b) 38,2 ⋅ 3
c) 38,2 ⋅ 14
d) 38,2 ⋅ 8
e) 38,2 ⋅ 47
f) 38,2 ⋅ 74
10. Divisão por uma potência de 10
Uma mesa de pingue-pongue é vendida em 10 prestações iguais. O preço total a prazo é de R$ 829,90oitocentos e vinte e nove reais e noventa centavos.
Para saber o valor de cada prestação, podemos efetuar:
829,90 dividido por 10 =
82 mil 990 sobre 100dividido por 10 =
82 mil 990 sobre 100⋅
1 sobre 10 =
=
82 mil 990 sobre 1000= 82,990 = 82,99
Então, o valor de cada prestação é de R$ 82,99oitenta e dois reais e noventa e nove centavos.
Usando a calculadora, podemos fazer esses cálculos da seguinte maneira:
Acompanhe estas divisões:
a) 12,5 dividido por 10 =
125 décimosdividido por
10 sobre 1=
125 décimos⋅
1 sobre 10=
125 décimos= 1,25
b) 54,62 dividido por 100 =
5462 centésimosdividido por
100 sobre 1=
5462 centésimos⋅
1 sobre 100=
5462 décimos de milésimos= 0,5462
c) .6354 dividido por .1000 = .6354 ⋅
1 sobre 1000=
6354 milésimos= 6,354
d) 419,2 dividido por 100 =
4192 décimosdividido por
100 sobre 1=
4192 décimos⋅
1 sobre 100=
4192 milésimos= 4,192
e) 809,05 dividido por .1000 =
80.905 sobre 100dividido por
80.905 sobre 100=
1 sobre 1.000⋅
80.905 sobre 100 mil=
80.905 sobre 100 mil= 0,80905
Na prática, para dividir um número na fórma decimal por 10, 100, .1000, .10000, e assim por diante, deslocamos a vírgula para a esquerda, respectivamente, uma, duas, três, quatro, reticências casas decimais.
Respostas e comentários
53. Resposta pessoal.
Pense mais um pouco reticências:
1. a) .1528 e .2674
1. b) .15280 e .26740
1. c) .152800 e .267400
2. a) 420,2
2. b) 114,6
2. c) 534,8
2. d) 305,6
2. e) .1795,4
2. f) .2826,8
Exercícios propostos
Para o exercício 53, incentive os estudantes a pesquisarem o preço praticado em cinemas, teatros ou outros eventos que ocorrem no município. Se necessário, disponibilize esses valores e incentive-os a criarem diferentes problemas similares envolvendo adição e subtração de números racionais na fórma decimal.
Pense mais um pouco reticências
Nesta seção, os estudantes podem ser agrupados em duplas ou trios para realizar os cálculos solicitados e comparar suas respostas. Primeiro, deverão encontrar a relação entre as multiplicações apresentadas no início da atividade e aquelas apresentadas na atividade 1.
Oriente-os de modo que percebam que, para encontrar os resultados, podem considerar os produtos dados previamente e a multiplicação por 10, 100 e .1000. Em seguida, precisam relacionar as multiplicações da atividade 2 com as multiplicações iniciais, aproveitando a dica de que devem efetuar alguma adição ou subtração, sempre utilizando os resultados anteriores. Um dos caminhos possíveis para a resolução é:
a) 38,2 ⋅ 11 = 38,2 ⋅ 4 + 38,2 ⋅ 7
b) 38,2 ⋅ 3 = 38,2 ⋅ 4 menos 38,2
c) 38,2 ⋅ 14 = 38,2 ⋅ 7 + 38,2 ⋅ 7
d) 38,2 ⋅ 8 = 38,2 ⋅ 7 + 38,2
e) 38,2 ⋅ 47 = 38,2 ⋅ 40 + 38,2 ⋅ 7
f) 38,2 ⋅ 74 = 38,2 ⋅ 70 + 38,2 ⋅ 4
10. Divisão por uma potência de 10
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah um um.
Este tópico aborda a habilidade ( ê éfe zero seis ême ah um um), pois os estudantes poderão explorar propriedades da divisão envolvendo números racionais. Do mesmo modo que foi feito nas multiplicações por 10, 100, .1000, podemos proceder aqui utilizando a calculadora para efetuar as divisões por 10, 100, .1000 e assim por diante. Após cada cálculo, os estudantes podem verificar o que acontece com a vírgula no número que aparece no visor da calculadora.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
54 Em uma confeitaria, o quilograma do bolo de chocolate custa R$ 55,00cinquenta e cinco reais. Comprei um bolo com 2 quilogramas e o dividi em 10 partes iguais. Quanto custa cada pedaço desse bolo?
55
Efetue mentalmente as divisões.
a) 54,6 dividido por 10
b) 54,6 dividido por 100
c) 214,3 dividido por 100
d) 214,3 dividido por 1.000
e) 35 dividido por 10
f) 35 dividido por 100
56 Sabendo que .1000 quilogramas equivalem a uma tonelada, quantas toneladas correspondem a .12560 quilogramas? E quantos quilogramas correspondem a 4,3 toneladas?
11. Divisão
Agora, vamos estudar em várias etapas a divisão que envolve números na fórma decimal.
Divisão de números naturais com quociente na fórma decimal
Considere as situações.
Situação 1
Bárbara pagou 26 reais pela compra de 8 canetas coloridas, de mesmo valor.
Para saber o preço de cada caneta, devemos dividir 26 por 8. Sabemos que o quociente dessa divisão é
26 oitavosObserve como podemos encontrar a fórma decimal desse quociente.
Dividimos 26 por 8 para encontrar sua parte inteira:
Dividimos 20 décimos por 8 para encontrar os décimos do quociente:
Dividimos 40 centésimos por 8 para encontrar os centésimos do quociente:
Desse modo, obtemos o quociente de 26 por 8 na fórma decimal: 3,25. Portanto, o preço de cada caneta é de R$ 3,25três reais e vinte e cinco centavos.
Respostas e comentários
54. R$ 11,00onze reais.
55. a) 5,46
55. b) 0,546
55. c) 2,143
55. d) 0,2143
55. e) 3,5
55. f) 0,35
56. doze vírgula quinhentas e sessenta toneladas; .4300 quilogramas.
Exercícios propostos
Se julgar conveniente, este bloco de exercícios também pode ser feito em duplas e, depois, um representante de cada dupla pode apresentar na lousa a resolução de algum exercício.
No exercício 54, o bolo custou R$ 110,00cento e dez reais (2 ⋅ 55 = 110), e cada pedaço custa R$ 11,00onze reais (110 dividido por 10 = 11).
No exercício 55, aproveite a oportunidade para verificar se os estudantes ampliaram suas observações e encontraram regularidades nas divisões de números racionais escritos na fórma decimal por números naturais que são potências de 10.
No exercício 56, verifique se eles associam a divisão e a multiplicação por .1000 para obter as respostas obtidas, respectivamente, por meio de .12560 dividido por .1000 e 4,3 ⋅ .1000.
11. Divisão
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero oito e ê éfe zero seis ême ah um um.
O uso do material dourado também pode auxiliar a dar significado para as divisões entre dois números naturais (com divisor não nulo) com quociente na fórma decimal, considerando como inteiro o cubo grande.
Por exemplo, pode-se propor aos estudantes que efetuem a divisão de maneira exata (com resto zero) de 3 inteiros por 2. Eles devem representar os 3 inteiros com 3 cubos grandes e perceber que, para reparti-los em duas partes iguais, precisam distribuir um cubo grande em cada parte e trocar o cubo grande que restou por 10 placas, que distribuídas igualmente resultam em 5 placas para cada parte. Ou seja, obtêm-se 1 cubo grande e 5 placas em cada parte. Assim, podem concluir que 3 inteiros dividido por 2 resulta em 1 inteiro e 5 décimos, isto é, 1,5.
Em seguida, apresente aos estudantes a situação 1 para discussão com a turma. Reproduza a divisão na lousa, destacando todos os passos.
As três etapas da divisão anterior podem ser reunidas em uma só. Acompanhe.
Na prática, procedemos assim:
Para fazer esse cálculo usando a calculadora, apertamos as seguintes teclas:
Situação 2
Vamos calcular o quociente decimal da divisão de 9 por 16.
Ao dividir 9 inteiros em 16 partes iguais, não obtemos nenhum inteiro em cada parte; dessa , fórma a parte inteira no quociente é zero.
Depois, transformamos os 9 inteiros em 90 décimos e dividimos por 16. Sobram 10 décimos.
Transformamos os 10 décimos em 100 centésimos e dividimos por 16. Sobram 4 centésimos.
Transformamos os 4 centésimos em 40 milésimos e dividimos por 16. Sobram 8 milésimos.
Transformamos os 8 milésimos em 80 décimos de milésimos e dividimos por 16. Não sobra nada.
Logo, o quociente da divisão de 9 por 16 na sua fórma decimal é 0,5625.
Respostas e comentários
Divisão de números naturais com quociente na fórma decimal
Ainda com o uso do material dourado, pode-se propor aos estudantes a divisão de 1 por 5. Nesse caso, desejamos repartir igualmente 1 cubo grande em 5 partes. Já de início, é necessário fazer trocas, concluindo que não haverá inteiros no resultado dessa divisão (por isso aparece no quociente o “zero vírgula”). Trocando-se 1 cubo grande por 10 placas e dividindo-se por 5, obtêm-se duas placas em cada parte, ou seja, 2 décimos, ou ainda, 0,2.
Se julgar necessário, proponha a eles outras divisões para serem efetuadas com o uso do material dourado como apoio.
Em seguida, apresente aos estudantes a situação 2 para discussão com a turma. Reproduza a divisão na lousa, destacando todos os passos.
Agora, observe alguns exemplos de expressões numéricas que envolvem divisões de números naturais com quociente na fórma decimal.
a) 10 dividido por 25 + 125 dividido por 100 = 0,4 + 1,25 = 1,65
b) 4 + 5 dividido por 2 ‒ 8 dividido por 10 = 4 + 2,5 ‒ 0,8 = 5,7
Calculamos o valor numérico dessas expressões na calculadora, apertando as seguintes teclas:
a)
b)
Observação
▶ Há calculadoras com outros recursos com os quais esse cálculo pode ser feito de maneira diferente.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
57 Qual é o número que, multiplicado por 4, resulta 25? E o número que, multiplicado por 25, resulta 4?
58 Resolva.
59
Usando uma calculadora, encontre o valor de cada expressão.
a) 10 dividido por 16 + 16 dividido por 10
b) 100 dividido por 25 + 25 dividido por 10
c) 10 dividido por 8 ‒ 2 dividido por 5 + 4
60 Paula encheu o tanque de combustível do carro e anotou o número .12349, que correspondia, no hodômetro (marcador de quilometragem) do painel do carro, aos quilômetros rodados. Após alguns dias, ela retornou ao posto e voltou a encher o tanque do carro. Verificou que a bomba de etanol indicava 48 litros e que o número mostrado no hodômetro de seu carro era .12805.
a) Quanto Paula pagou pelos 48 litros de combustível, sabendo que, nesse dia, o litro do etanol custava Cinco reais e seiscentos e cinco milésimos de real naquele posto?
b) Quantos quilômetros o carro de Paula roda com 1 litro de etanol?
61
Para a compra de uma tê vê, com preço à vista de R$ 1.774,40mil setecentos e setenta e quatro reais e quarenta centavos, uma loja oferece dois planos de pagamento:
Usando uma calculadora, responda:
a) Se uma pessoa optar pelo plano 1, qual será o valor de cada prestação?
b) Se optar pelo plano 2, quanto ela pagará a mais em relação ao preço à vista?
62 Faça uma estimativa. Subi os 8 degraus iguais de uma escada. Quando pisei no último degrau, estava a 2,15 metros do chão. A altura de cada degrau é maior ou menor que 25 centímetros?
Respostas e comentários
57. 6,25; 0,16
58. R$ 0,75zero reais e setenta e cinco centavos.
59. a) 2,225
59. b) 6,5
59. c) 4,85
60. a) R$ 269,04duzentos e sessenta e nove reais e quatro centavos.
60. b) 9,5 quilômetros.
61. a) R$ 443,60quatrocentos e quarenta e três reais e sessenta centavos.
61. b) R$ 186,40cento e oitenta e seis reais e quarenta centavos.
62. Espera-se que o estudante estime que a altura de cada degrau é maior que 25 centímetros.
Divisão de números naturais com quociente na fórma decimal
Proponha aos estudantes algumas divisões para eles trabalharem com a calculadora, sugerindo sempre que estimem o quociente (se haverá inteiros, décimos etcétera) para poderem avaliar o resultado obtido no visor da calculadora. Eles podem registrar o quociente estimado no caderno para comprovar também se fizeram uma boa estimativa.
Comente com os estudantes que há calculadoras em que a sequência de teclas digitadas difere da sequência apresentada no livro. Essa observação deve ser feita sempre que for usada a calculadora.
Exercícios propostos
No exercício 57, verifique se os estudantes compreendem como utilizar a divisão para determinar o número que multiplicado por 4 resulta em 25. Se necessário, explore exemplos com números naturais para que percebam a divisão como uma operação que pode ser utilizada no contexto desse exercício. Por exemplo, se é preciso determinar um número que multiplicado por 4 resulta em 60, deve-se dividir 60 por 4. Semelhantemente, obtêm-se 25 dividido por 4 = 6,25; portanto 6,25 ⋅ 4 = 25 e, ainda, 4 dividido por 25 = 0,16, portanto, 0,16 ⋅ 25 = 4.
No exercício 58, deve-se efetuar 15 dividido por 20 = 0,75, ou seja, cada morango custou R$ 0,75zero reais e setenta e cinco centavos.
No exercício 59, instrua os estudantes no uso da calculadora e relembre-os, se necessário, sobre a ordem das operações em expressões numéricas. A resolução deste exercício está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
No exercício 60, como sugestão de ampliação, os estudantes podem pedir a um adulto de seu convívio que use carro com frequência que faça o mesmo experimento de Paula, coletando dados reais em diferentes momentos de abastecimento. Inicialmente o hodômetro indicava .12349 quilômetros e, depois, indicava .12805 quilômetros. No item a, como o litro do combustível custa R$ 5,605cinco reais e sessenta e um centavos, o total pago por Paula foi de R$ 269,04duzentos e sessenta e nove reais e quatro centavos (5,605 ⋅ 48 = 269,04). No item b, como Paula rodou 456 quilômetros (.12805 ‒ .12349 = 456) com 48 litros de etanol, isso significa que o carro percorreu 9,5 quilômetros com cada litro (456 dividido por 48 = 9,5).
No exercício 61, verifique se os estudantes utilizam corretamente a calculadora para efetuar as operações .1774,40 dividido por 4 e .1774,40 dividido por 5.
No exercício 62, discuta com a turma que um caminho para a resolução é verificar que o produto de 8 por 25 centímetros (2,0 métros) é menor que 2,15 métros.
Divisão de números naturais com quociente aproximado
Juliana e cinco amigas foram a uma sorveteria e gastaram R$ 53,00cinquenta e três reais. No momento de pagar a conta, fizeram os cálculos para dividi-la em partes iguais.
Cada uma deveria pagar mais que R$ 8,80oito reais e oitenta centavos e menos que R$ 8,90oito reais e noventa centavos. Isso ocorre porque o quociente dessa divisão é maior que 8,8 e menor que 8,9.
Continuando a divisão, Juliana e suas amigas notaram que deveriam pagar mais que R$ 8,83oito reais e oitenta e três centavos e menos que R$ 8,84oito reais e oitenta e quatro centavos.
Então, resolveram arredondar o valor para R$ 9,00nove reais. Assim, pagariam a despesa de R$ 53,00cinquenta e três reais e sobraria R$ 1,00um reais, que seria usado para complementar uma gorjeta de R$ 7,00sete reais que deixariam para o atendente.
Para fazer arredondamentos com números representados na fórma decimal, usamos as mesmas regras válidas para os números naturais:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
63 Pelos critérios matemáticos de arredondamento já estudados, Juliana e suas amigas deveriam arrendondar o resultado 8,83 para 8,80. Em uma situação real como a delas, isso seria possível?
64 Calcule, com uma casa decimal, o quociente de cada divisão.
a) 8 dividido por 3
b) 142 dividido por 21
c) 158 dividido por 6
d) 53 dividido por 9
65 Calcule, com duas casas decimais, o quociente de cada divisão.
a) 76 dividido por 3
b) 58 dividido por 6
c) 45 dividido por 8
d) 243 dividido por 17
66 Duas clientes entraram em uma loja. A primeira fez uma compra no valor de R$ 135,00cento e trinta e cinco reais, e a segunda, no valor de R$ 200,00duzentos reais.
Sabendo que as duas clientes optaram pelo pagamento de 3 parcelas sem acréscimo, responda:
a) Qual foi o valor de cada parcela paga pela primeira cliente?
b) Calcule o valor de cada parcela paga pela segunda cliente, sabendo que nenhum deles apresentava centavos e que não tinham valores iguais.
67
Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre divisão com números racionais criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
Respostas e comentários
63. Resposta possível: Normalmente não, pois o valor da conta é de R$ 53,00cinquenta e três reais, e não de R$ 52,80cinquenta e dois reais e oitenta centavos. Só seria possível se o proprietário do estabelecimento aceitasse receber R$ 0,20zero reais e vinte centavos a menos.
64. a) 2,7
64. b) 6,8
64. c) 26,3
64. d) 5,9
65. a) 25,33
65. b) 9,67
65. c) 5,63
65. d) 14,29
66. a) R$ 45,00quarenta e cinco reais
66. b) Resposta possível: um pagamento de R$ 66,00sessenta e seis reais e dois de R$ 67,00sessenta e sete reais.
67. Resposta pessoal.
Divisão de números naturais com quociente aproximado
Converse com os estudantes sobre a situação da conta da sorveteria, que propõe arredondamento do quociente. Proponha a eles outros números racionais na fórma decimal para fazerem arredondamentos, indicando qual número se pretende obter ou deixando que eles escolham.
Exercícios propostos
No exercício 63, espera-se que os estudantes respondam que 8,83 pode ser arredondado para 8,8 e, ainda, que justifiquem que em uma situação real, não seria possível arredondar o valor para um valor menor, pois, desta maneira, não seria possível quitar a dívida.
As resoluções dos exercícios 64 e 65 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
Se julgar adequado, aproveite o exercício 66 para conversar com os estudantes sobre hábitos de consumo e algumas práticas comuns no comércio que acabam lesando os consumidores. Observe dois exemplos comuns.
• Muitos preços são exibidos dando ênfase à parte inteira de real e com menos destaque aos centavos (como R$ 13,99treze reais e noventa e nove centavos e R$ 149,99cento e quarenta e nove reais e noventa e nove centavos), pois assim o consumidor pode ter a falsa sensação de estar pagando mais barato do que se estivessem registrados os valores redondos (como R$ 14,00quatorze reais e R$ 150,00cento e cinquenta reais).
• Há situações em que os mesmos valores são arredondados por falta de troco, levando o consumidor a perder centavos em diversos estabelecimentos.
No item b do exercício 66, ao efetuar 200 dividido por 3, notamos que não é possível conseguir um quociente exato, obtendo o quociente 66,66666 reticências Um exemplo de resposta pode ser:
Uma parcela de R$ 66,00sessenta e seis reais e duas de R$ 67,00sessenta e sete reais.
No exercício 67, incentive os estudantes a criarem problemas relacionados ao seu dia a dia envolvendo, por exemplo, preço de produtos ou unidades de medida (de comprimento, de massa ou de capacidade).
Pense mais um pouco reticências
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Reúna-se
com um colega, usem uma calculadora e façam o que se pede.
1 Efetuem as divisões:
a) 85 dividido por 4
b) 850 dividido por 40
c) .8500 dividido por 400
d) 170 dividido por 8
e) 255 dividido por 12
f) 340 dividido por 16
g) (5 ⋅ 85) dividido por (5 ⋅ 4)
h) (11 ⋅ 85) dividido por (11 ⋅ 4)
i) (19 ⋅ 85) dividido por (19 ⋅ 4)
2 Escolham dois números racionais, a e bê, não nulos, isto é, diferentes de zero, na fórma decimal, e dividam a por b. Em seguida, efetuem as divisões entre:
a) o dobro de a e o dobro de b;
b) o triplo de a e o triplo de b;
c) o quíntuplo de a e o quíntuplo de b;
d) o sêxtuplo de a e o sêxtuplo de b.
3 Discutam e escrevam uma conclusão sobre esta questão:
“Multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número, diferente de zero, o quociente se altera?”
Divisão de dois números na fórma decimal
Para encher um aquário, Eduardo está usando um copo com medida de capacidade de 0,25 litro. Nesse aquário, cabem 12,5 litros. Para determinar quantos copos cheios de água Eduardo precisará despejar no aquário, vamos dividir 12,5 por 0,25.
Então, 12,5 dividido por 25 = .1250 dividido por 25 = 50.
Portanto, Eduardo precisará despejar 50 copos de água no aquário para enchê-lo.
Usando uma calculadora, fazemos esse cálculo assim:
Respostas e comentários
Pense mais um pouco reticências:
1. a) 21,25
1. b) 21,25
1. c) 21,25
1. d) 21,25
1. e) 21,25
1. f) 21,25
1. g) 21,25
1. h) 21,25
1. i) 21,25
2. Os estudantes devem obter o mesmo quociente de a por b.
3. Não.
Pense mais um pouco reticências
Nesta seção, o uso da calculadora tem papel fundamental nas atividades de investigação. É importante ressaltar o uso da calculadora como instrumento de pesquisa, que possibilita aos estudantes focar no estudo e na conclusão sobre a conservação do quociente mediante a multiplicação do dividendo e do divisor por um mesmo número não nulo.
Divisão de dois números na fórma decimal
Este tópico possibilita desenvolver as habilidades ( ê éfe zero seis ême ah zero oito) e ( ê éfe zero seis ême ah um um) ao trabalhar a divisão com números na fórma decimal. Retome com os estudantes a divisão de números racionais na fórma de fração. Se julgar necessário, proponha a eles outras divisões desse tipo para efetuarem.
Proponha também outras divisões de números na fórma decimal para os estudantes resolverem com base na divisão de frações e comprovarem o resultado efetuando com a calculadora a divisão dada.
No cálculo da divisão de números na fórma decimal, vamos aplicar o seguinte:
Multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número, diferente de zero, o quociente não se altera.
Acompanhe o cálculo de 15,2 dividido por 0,38.
Multiplicando 15,2 e 0,38 por 100, obtemos os números naturais .1520 e 38. O quociente de 15,2 por 0,38 é igual ao quociente de .1520 por 38. Observe.
15,2 dividido por 0,38 = .1520 dividido por 38 = 40
Portanto, o quociente de 15,2 por 0,38 é 40.
Observe outros exemplos.
a) 5,4 dividido por 0,12 = 45
b) 12 dividido por 0,3 = 40
c) 22,016 dividido por 4,3 = 5,12
Estudamos que, em uma divisão, o quociente não se altera quando o dividendo e o divisor são multiplicados por um mesmo número diferente de zero.
Observe mais um exemplo.
Nessas divisões, o quociente se mantém igual, mas o resto não permanece o mesmo.
Multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número, diferente de zero, o resto também fica multiplicado por esse número.
Respostas e comentários
Divisão de dois números na fórma decimal
Proponha aos estudantes outras divisões de números na fórma decimal para que decidam por que potência de 10 devem multiplicar o dividendo e o divisor a fim de obter uma divisão entre dois números naturais, obtendo os quocientes dessas divisões.
Em seguida, peça a eles que efetuem as divisões originais (entre dois números na fórma decimal) com a calculadora e, depois, comparem o resultado obtido na calculadora com os quocientes obtidos anteriormente. Espera-se que percebam que esses quocientes são iguais, pois, por exemplo, divisões como 5,4 dividido por 0,12 e 540 dividido por 12 são equivalentes.
Reproduza na lousa as divisões apresentadas nesta página, ressaltando as duas conclusões sobre o quociente e sobre o resto dessas divisões, que são a base para a divisão envolvendo números racionais na fórma decimal: multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número não nulo, o quociente não se altera e o resto também fica multiplicado por esse número.
Observe outro exemplo.
Considere agora a situação a seguir, que mostra uma aplicação dessa importante propriedade da divisão.
Uma peça de tecido com 12,2 metros de medida de comprimento é dividida em retalhos iguais de 1,3 metro de medida de comprimento. Quantos retalhos são obtidos e quanto tecido sobra nessa divisão?
Para resolver esse problema, basta dividir 12,2 por 1,3 e verificar o quociente e o resto obtidos.
Para saber o resto, em metro, basta dividir 5 por 10, ou seja, 5 dividido por 10 = 0,5. Assim, obtêm-se 9 retalhos e ainda sobra 0,5 metro de tecido.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
68 Uma costureira usou 2 metros e 75 centímetros de cetim em cada túnica dos participantes de um coral.
Quantos participantes há nesse coral? Quanto sobrou de tecido?
69 Calcule os quocientes.
a) 25,46 dividido por 6,7
b) 1,6632 dividido por 0,924
c) 124,976 dividido por 8,56
d) 0,09 dividido por 0,36
e) 203,82 dividido por 15,8
f) 93,4656 dividido por 9,736
70 Determine os quocientes aproximados com uma casa decimal.
a) 7,4 dividido por 6
b) 12,5 dividido por 0,3
c) 9,4 dividido por 2,1
d) 85,6 dividido por 9,6
71 Calcule os quocientes aproximados com duas casas decimais.
a) 0,58 dividido por 7
b) 10 dividido por 0,9
c) 0,25 dividido por 0,7
d) 45,6 dividido por 9,2
72 Calcule:
a) 10 ⋅ 0,1
b) 10 dividido por 0,1
c) 20 ⋅ 0,5
d) 20 dividido por 0,5
e) 0,2 ⋅ 0,001
f) 0,2 dividido por 0,001
Respostas e comentários
68. 18 participantes; 50 centímetros ponto
69. a) 3,8
69. b) 1,8
69. c) 14,6
69. d) 0,25
69. e) 12,9
69. f) 9,6
70. a) 1,2
70. b) 41,7
70. c) 4,5
70. d) 8,9
71. a) 0,08
71. b) 11,11
71. c) 0,36
71. d) 4,96
72. a) 1
72. b) 100
72. c) 10
72. d) 40
72. e) 0,0002
72. f) 200
Divisão de dois números na fórma decimal
Como atividade de ampliação, é possível organizar os estudantes em duplas, propor-lhes que escrevam algumas divisões exatas envolvendo números na fórma decimal no dividendo, no divisor ou em ambos (isso pode ser feito com o uso da calculadora) e entreguem-nas a outras duplas.
Depois de efetuar as divisões, as duplas destrocam as divisões para a correção, que será feita com o uso de calculadora.
Ao final, promova uma discussão sobre as divisões cujo quociente obtido na calculadora não conferiu com o que foi obtido no papel, já que o equívoco também pode ter ocorrido no uso da calculadora.
Exercícios propostos
No exercício 68, ao dividir 50 metros por 2,75 metros, é possível que os estudantes multipliquem esses dois números por 100, tornando-os inteiros, o que não vai alterar o quociente. Entretanto, o resto não será dado em metro, mas em centímetro, já que 50 métros e 2,75 métros passaram a ser .5000 centímetros e 275 centímetros, respectivamente, quando foram igualadas as casas para efetuar a divisão.
Se houver necessidade, retome a equivalência 1 métro = 100 centímetros. Como 50 dividido por 2,75 = 18,1818 reticências conclui-se que o máximo de túnicas que é possível confeccionar é 18. Logo, para saber o total de tecido que sobra, conclui-se que 18 ⋅ 2,75 = 49,50, e como 50 ‒ 49,50 = 0,5, sobram 50 centímetros de tecido.
As resoluções dos exercícios 69 a 71 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
No exercício 72, obtêm-se:
a) 10 ⋅ 0,1 = 10 ⋅
1 sobre 10=
fração com numerador 10 vezes 1 e denominador 10= 1
b) 10 dividido por 0,1 = 10 :
1 sobre 10=
fração com numerador 10 vezes 10 e denominador 1= 100
c) 20 ⋅ 0,5 = 20 ⋅
fração 5 sobre 10=
fração com numerador 20 vezes 5 e denominador 10=
fração com numerador 2 vezes 5 e denominador 1= 10
d) 20 dividido por 0,5 = 20 :
fração 5 sobre 10=
fração com numerador 20 vezes 10 e denominador 5=
fração com numerador 20 vezes 2 e denominador 1= 40
e) 0,2 ⋅ 0,001 =
fração 2 sobre 10⋅
fração 1 sobre 1000=
fração com numerador 2 vezes 1 e denominador 10 vezes 1000=
fração 2 sobre 10.000= 0,0002
f) 0,2 dividido por 0,001 =
fração 2 sobre 10:
fração 1 sobre 1000=
fração com numerador 2 vezes 1000 e denominador 10 vezes 1=
fração com numerador 2 vezes 100 e denominador 1= 200
73 Observe as divisões e faça o que se pede.
a) Identifique o que muda e o que não muda de uma divisão para a outra.
b)
Calcule mentalmente o quociente e o resto da divisão de .43000 por .9000.
74
Sabendo que 43 dividido por 8 = 5,375 e que 25 dividido por 4 = 6,25, calcule mentalmente e escreva os quocientes na fórma decimal.
a) 430 dividido por 80
b) 4,3 dividido por 0,8
c) .4300 dividido por 800
d) 0,43 dividido por 0,08
e) 250 dividido por 40
f) 2,5 dividido por 0,4
g) .2500 dividido por 400
h) 0,25 dividido por 0,04
75 Um garrafão tem 30 litros de água mineral.
Quantas garrafas de 0,5 litro poderão ser enchidas com a água desse garrafão?
76 Uma agência de turismo está oferecendo um plano de hospedagem em um hotel do Pantanal Mato-Grossense ao preço de R$ 1.021,00mil vinte e um reais à vista ou em 3 prestações de R$ 346,00trezentos e quarenta e seis reais. Paula e Renata vão fazer essa viagem. Paula pagou à vista, e Renata, a prazo.
Responda:
a) Quanto Renata pagou a mais que Paula?
b) Como Renata ficará hospedada durante 7 dias, qual é o valor aproximado que ela pagará por dia?
Pense mais um pouco...
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
No quadro a seguir, as figuras iguais representam o mesmo número. As flechas apontam para a soma dos números de cada linha ou coluna. Descubra o valor que cada figura representa.
Respostas e comentários
73. a) Resposta possível: o divisor, o dividendo e o resto da 1ª divisão foram multiplicados por 10 e por 100 nas divisões seguintes. O resto da 1ª divisão fica multiplicado por 10 e, depois, por 100. O quociente não muda.
73. b) quociente: 4; resto: .7000
74. a) 5,375
74. b) 5,375
74. c) 5,375
74. d) 5,375
74. e) 6,25
74. f) 6,25
74. g) 6,25
74. h) 6,25
75. 60 garrafas.
76. a) R$ 17,00dezessete reais.
76. b) R$ 148,29cento e quarenta e oito reais e vinte e nove centavos.
Pense mais um pouco reticências:
2,8
4
6,9
5,6
13,7
Exercícios propostos
O exercício 73 possibilita que os estudantes comparem as três divisões, tendo em vista não apenas o quociente encontrado em cada uma, mas também o resto obtido. Após algumas discussões e trocas de ideias, é importante incentivar os estudantes a relatarem o que perceberam, a fim de se apropriarem das conclusões. Podem-se fazer algumas observações interessantes nesse caso:
• Todas as divisões têm o mesmo resultado, apesar de os números envolvidos (dividendo e divisor) serem distintos nas três divisões.
• De uma divisão para outra, multiplicamos por 10 o dividendo e o divisor (43 ⋅ 10 = 430, assim como 9 ⋅ 10 = 90 e também 430 ⋅ 10 = .4300 e 90 ⋅ 10 = 900), mas o quociente continua o mesmo. O que muda de uma divisão para outra é o resto, que também fica multiplicado por 10.
As resoluções dos exercícios 74 a 76 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
No exercício 76, cujo contexto é o turismo no Brasil, outras informações interessantes sobre o assunto podem ser consultadas no site do Ministério do Turismo (disponível em: https://oeds.link/ox7VDz. Acesso em: 24 maio 2022), no qual há dados atuais sobre destinos e roteiros nacionais, apontando diferentes opções para jovens, adultos e crianças conhecerem melhor o país.
Se julgar conveniente, discuta com os estudantes o fato de o turismo representar um campo de forte potencial econômico no Brasil, embora careça ainda de desenvolvimento mais consistente.
Pense mais um pouco reticências
Esta seção traz um desafio que pode ser feito em duplas. A discussão de opiniões e a verbalização de ideias contribuem para um aprendizado mais significativo e enriquecedor. Para determinar o número representado pelo triângulo, basta considerar que 3 dessas figuras equivalem a 8,4; portanto, o triângulo representa 2,8 (pois 8,4 dividido por 3 = 2,8). Assim o número representado pelo quadrado é dado por 6,8 ‒ 2,8 = 4 e pelo pentágono por 9,7 ‒ 2,8 = 6,9.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Trabalhando com média
Antônio resolveu premiar os vendedores de sua loja de calçados pagando um adicional de R$ 500,00quinhentos reais àqueles que vendessem acima da média no mês de julho. Ele organizou um quadro que mostra as vendas de cada um dos vendedores.
Vendedor |
Valor total de vendas |
---|---|
Carlos |
R$ 23.000,00 |
Fernanda |
R$ 33.500,00 |
Fábia |
R$ 13.500,00 |
Geraldo |
R$ 21.000,00 |
Marcela |
R$ 18.810,00 |
Pedro |
R$ 28.400,00 |
Dados obtidos por Antônio.
Para saber quais vendedores têm direito ao prêmio, Antônio precisa calcular a média de vendas de todos eles. Para isso, ele adicionou o valor das vendas de cada vendedor e, em seguida, dividiu o total obtido por 6, pois foram considerados 6 vendedores:
(.23000 + .33500 + .13500 + .21000 + .18810 + .28400) dividido por 6 = .138210 dividido por 6 = .23035
Ao adicionar o valor das vendas de cada vendedor e dividir o total obtido pela quantidade de vendedores, Antônio obteve o valor médio de vendas do mês de julho, ou seja, ele calculou a média aritmética dos valores de vendas do mês.
Observe que, nesse caso, o valor médio de vendas obtido (R$ 23.035,00vinte e três mil trinta e cinco reais) é diferente dos valores das vendas de todos os vendedores.
Assim, Antônio percebeu que deve pagar um adicional de R$ 500,00quinhentos reais aos vendedores Fernanda e Pedro.
Agora quem trabalha é você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Reúna-se em grupo de 4 a 6 integrantes e façam o que se pede.
1 Com relação aos dados coletados por Antônio, se Carlos tivesse vendido um total de R$ 23.040,00vinte e três mil quarenta reais, e os outros vendedores permanecessem com os mesmos valores de vendas, ele passaria a receber o adicional de R$ 500,00quinhentos reais em seu salário?
2 Joana, mãe de Tiago e de Clara, ficou assustada ao ver a conta de celular do filho referente ao mês de abril. Ele gastou o dobro da conta de Clara.
Muito esperto, Tiago provou à mãe que Clara havia gasto, em média, mais do que ele, considerando as contas desde o início do ano.
Calculem o gasto médio das contas de Tiago e de Clara, referentes aos 4 meses considerados, para verificar se ele tinha razão.
3 Em determinado jogo de basquete entre as equipes A e B, os jogadores que estavam na quadra tinham como medidas de altura os valores registrados no quadro, em metro.
Equipe A |
2,04; 2,01; 2,08; 1,90 e 1,82 |
---|---|
Equipe B |
2,02; 2,01; 1,98; 1,96 e 1,93 |
a) Qual é a média da medida da altura dos jogadores de cada equipe?
b) Na equipe a, quantos jogadores têm medida de altura acima da média?
c) Na equipe B, quantos jogadores têm medida de altura abaixo da média?
4 Elaborem uma tabela com a medida da altura (em metro), da massa (em quilograma) e a idade (em mês) de cada estudante do grupo que formaram e, em seguida, calculem a média do grupo para cada um desses itens.
Respostas e comentários
1. Não, pois a média das vendas no mês passaria a ser R$ 23.041,70vinte e três mil quarenta e um reais e setenta centavos; logo, ele estaria abaixo da média.
2. Gasto médio de Tiago: R$ 46,75quarenta e seis reais e setenta e cinco centavos; gasto médio de Clara: R$ 48,75quarenta e oito reais e setenta e cinco centavos.
3. a) Equipe : ei 1,97 métro; equipe B: 1,98 métro.
3. b) 3 jogadores.
3. c) 2 jogadores.
4. Resposta pessoal.
Trabalhando a informação
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah um um e ê éfe zero seis ême ah três dois.
Esta seção trabalha o conceito de média aritmética e possibilita desenvolver as habilidades ( ê éfe zero seis ême ah um um) e ( ê éfe zero seis ême ah três dois) ao explorar números racionais positivos em contextos envolvendo informações dadas em tabelas. É provável que alguns estudantes já tenham vivenciado situações em que houve necessidade de calcular a média aritmética de uma amostra de dados. Além dos cálculos envolvidos nessa discussão, eles poderão compreender o significado de média e avaliar se as respostas obtidas estão dentro do esperado.
Uma atividade que pode ser proposta aos estudantes é que obtenham dados biométricos dos colegas, como altura, e determinem a altura média dos estudantes da turma, por exemplo.
Comente com os estudantes que vendedores costumam receber bonificações de acordo com o montante vendido. E que o profissional que exerce essa função, além de negociar a venda de um produto, deve atender bem o cliente, deixando-o satisfeito. Ao conversar com os estudantes sobre essa temática, contribui-se para o desenvolvimento da competência geral 6 e do Tema Contemporâneo Transversal trabalho.
Na atividade 1, considerando-se o acréscimo de R$ 40,00quarenta reais, relativo à diferença no total de vendas de Carlos indicado na tabela e considerado pelo enunciado, a média aumentaria em cêrca de R$ 6,67seis reais e sessenta e sete centavos (pois 40 dividido por 6 é aproximadamente 6,67). Assim, a nova média seria dada por .23035 + 6,67 = .23041,67.
Na atividade 2, o gasto médio de Tiago é dado por
(42 + 43 + 22 + 80) dividido por 4 = 187 dividido por 4 = 46,75
E o de Clara é dado por:
(53 + 52 + 50 + 40) dividido por 4 = 195 dividido por 4 = 48,75
Para determinar a altura média dos jogadores de cada equipe, na atividade 3, calculam-se:
• Média das alturas dos jogadores da equipe a: (2,04 + 2,01 + 2,08 + 1,90 + 1,82) dividido por 5 = 9,85 dividido por 5 = 1,97
• Média das alturas dos jogadores da equipe B: (2,02 + 2,01 + 1,98 + 1,96 + 1,93) dividido por 5 = 9,9 dividido por 5 = 1,98
Assim, conclui-se que 3 jogadores da equipe a têm altura abaixo da média de alturas dos jogadores dessa equipe e que 2 da equipe B têm altura abaixo da média de alturas dos jogadores dessa equipe.
A atividade 4 pode ser feita de modo coletivo com os estudantes organizando os dados e, depois, individualmente eles determinam as médias e comparam os resultados com os dos demais colegas do grupo e da turma.
12. Potenciação
Ao trabalhar com números naturais, aprendemos que potenciação é a multiplicação de fatores iguais.
Também podemos efetuar potenciação com números racionais na fórma decimal. Observe.
a) (0,2) elevado a 2 = 0,2 ⋅ 0,2 = 0,04
b) (0,3) elevado a 3 = 0,3 ⋅ 0,3 ⋅ 0,3 = 0,027
c) (1,35) elevado a 5 = 1,35 ⋅ 1,35 ⋅ 1,35 ⋅ 1,35 ⋅ 1,35 = 4,48403
d) (1,04) elevado a 2 = 1,04 ⋅ 1,04 = 1,0816
Para obter o valor de (5,2) elevado a 4, por exemplo, usando a calculadora, devemos apertar as seguintes teclas:
Observe outros exemplos.
Observações
▶ As definições adotadas para as potências de números naturais com expoente 1 e expoente 0 também são válidas para os números representados na fórma decimal, ou seja:
• toda potência de expoente 1 é igual à própria base;
• toda potência de expoente 0 e base diferente de 0 é igual a 1.
Observe os exemplos:
a) (0,6) elevado a 1 = 0,6
b) (1,4) elevado a 1 = 1,4
c) (2,4) elevado a 0 = 1
d) (7,35) elevado a 0 = 1
▶ Quando o expoente é um número natural maior que 1, usando uma calculadora, obtemos a potência apertando as teclas dos algarismos da parte inteira, a tecla
, as teclas dos algarismos da parte decimal, a tecla
e a tecla
tantas vezes, menos uma, quantas indicar o expoente.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
77 Calcule o valor de cada uma das potências.
a) (0,5) elevado a 2
b) (1,2) elevado a 3
c) (2,5) elevado a 2
d) (12,5) elevado a 1
e) (19,6) elevado a 0
f) (0,01) elevado a 1
78
Com uma calculadora, obtenha cada uma das potências.
a) (0,4) elevado a 4
b) (3,1) elevado a 2
c) (0,3) elevado a 4
d) (1,8) elevado a 3
e) (0,03) elevado a 2
f) (1,5) elevado a 4
Respostas e comentários
77. a) 0,25
77. b) 1,728
77. c) 6,25
77. d) 12,5
77. e) 1
77. f) 0,01
78. a) 0,0256
78. b) 9,61
78. c) 0,0081
78. d) 5,832
78. e) 0,0009
78. f) 5,0625
12. Potenciação
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah um um.
Com base na potenciação de números naturais e de frações, desenvolva a potenciação cuja base envolve números racionais na fórma decimal e o expoente é um número natural.
Conforme abordamos nessa página, explore o cálculo de potências em uma calculadora simples. No entanto, esse estudo pode ser ampliado para calculadoras científicas, contidas em celulares ou computadores, de modo que os estudantes percebam a existência de teclas especiais para o cálculo de algumas potências, como a tecla
. Se possível, proponha a eles atividades em que utilizem essas teclas.
Comente com eles que, em algumas calculadoras, não é possível efetuar os cálculos da maneira apresentada. Há calculadoras em que a sequência de teclas pode diferir da apresentada no livro. Essa observação deve ser feita sempre que for usada a calculadora.
Exercícios propostos
No exercício 77, em cada item, efetuando a potenciação como multiplicação de fatores iguais, obtêm-se:
a) (0,5) elevado a 2 = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25
b) (1,2) elevado a 3 = 1,2 ⋅ 1,2 ⋅ 1,2 = 1,44 ⋅ 1,2 = 1,728
c) (2,5) elevado a 2 = 2,5 ⋅ 2,5 = 6,25
d) (12,5) elevado a 1 = 12,5
e) (19,6) elevado a 0 = 1
f) (0,01) elevado a 1 = 0,01
No exercício 78, auxilie os estudantes a utilizar a calculadora e a obter as potências indicadas. Se possível, eles podem utilizar uma calculadora científica.
13. Expressões numéricas e problemas
As expressões numéricas são úteis para solucionar problemas. Para resolvê-las, há certa ordem a ser seguida nas operações:
• efetuam-se primeiro potenciações, depois multiplicações e divisões e, em seguida, adições e subtrações;
• onde houver sinais de associação, efetuam-se primeiro as operações indicadas entre parênteses, em seguida as indicadas entre colchetes e, finalmente, as indicadas entre chaves.
Observe um exemplo.
Problema |
Expressão |
---|---|
Depois de ter comprado 2 embalagens de 1,2 quilograma cada uma de seu chocolate preferido, Júlia ganhou de uma amiga 3 embalagens pequenas do mesmo chocolate, com 0,4 quilograma cada uma, e de sua mãe, outras 3 embalagens grandes, com 2,1 quilogramas desse chocolate. Com quantos quilogramas de chocolate Júlia ficou? |
2 ⋅ 1,2 + 3 ⋅ 0,4 + 3 ⋅ 2,1 ou |
Resolvendo a expressão, temos:
Cálculos
Portanto, Júlia ficou com 9,9 quilogramas de chocolate.
Agora, observemos exemplos de expressões numéricas que envolvem potenciação.
a) (5,1) elevado a 2 ‒ (3,4) elevado a 2 = = 26, 01 ‒ 11,56 = = 14,45
b) (1 ‒ 0,5) elevado a 2 dividido por (3,5 ‒ 2,3) elevado a 0 = = (0,5) elevado a 2 dividido por 1 = = 0,25 dividido por 1 = 0,25
Usando uma calculadora, nesses exemplos, temos:
a)
b)
Observação
▶ Há calculadoras com outros recursos em que esse cálculo pode ser feito de maneira diferente.
Respostas e comentários
13. Expressões numéricas e problemas
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah um um.
Este tópico possibilita desenvolver a habilidade ( ê éfe zero seis ême ah um um), pois poderão ser retomadas as operações com números racionais na fórma decimal já estudadas. Converse com os estudantes sobre o problema apresentado. Proponha a eles, inicialmente, que o resolvam organizados em duplas, utilizando estratégias pessoais. Para isso, espera-se que mobilizem os conhecimentos construídos no estudo dos números naturais.
Em seguida, compartilhe os diferentes procedimentos, validando-os com a turma, de modo que as duplas possam reorganizar suas estratégias com base nessa discussão. Para finalizar, retome a resolução da expressão obtida, reproduzindo todas as etapas na lousa.
Amplie a discussão introduzindo a operação da potenciação, de modo que os estudantes percebam a necessidade de efetuar essa operação antes das demais.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
79 Calcule o valor das expressões.
a) (3,5) elevado a 2 ‒ (2,1) elevado a 3
b) (14,4) elevado a 2 dividido por 1,8
c) (5,2 ‒ 3,73) elevado a 2
d) (2 ‒ 1,2) elevado a 3 dividido por 0,32
80
Com uma calculadora, obtenha o valor das expressões.
a) (2 ‒ 0,6) elevado a 2 + (0,1 + 0,7) elevado a 2
b) (6,2 + 2,3) elevado a 3 ‒ (0,5) elevado a 3
81 Mário completou o quadro, mas, por acidente, derrubou tinta em cima dele. Recupere os resultados e refaça o quadro, seguindo a orientação da primeira linha.
82 Represente a resolução do problema com uma expressão numérica e, depois, resolva-a.
Um alfaiate recebeu um pedido de 120 uniformes. Para fazer cada uniforme, ele usou 0,20 metro de um tecido e 2,5 metros de outro. No total, quantos metros de tecido o alfaiate usou?
83 Resolva cada uma das expressões.
a) 6,4 ⋅ 0,25 + 12,6 ⋅ 0,15
b) 1,5 ⋅ (3,4 ‒ 1,8)
c) (18,13 + 7,6) dividido por (5,6 ‒ 2,5)
d) 32 ⋅ 0,8 ‒ 0,2 ⋅ 0,12
84 Para comemorar seu aniversário, Bruno resolveu chamar alguns amigos para uma festa em sua casa.
Faça o que se pede.
a) Escreva uma expressão numérica que represente quanto Bruno irá gastar.
b) Calcule o valor da expressão numérica que você escreveu, indicando quanto Bruno irá gastar.
85 Hora de criar – Escreva um problema que possa ser resolvido pela expressão:
3 ⋅ 1,75 + 2 ⋅ 2,40
Respostas e comentários
79. a) 2,989
79. b) 115,2
79. c) 2,1025
79. d) 1,6
80. a) 2,6
80. b) 614
81. Resposta:
4,7; 5,33; 3,087
8,6; 11,05; 15,925
4,46; 1,26; 33,6
82. Resposta possível: 120 ⋅ (0,20 + 2,5); 324 metros.
83. a) 3,49
83. b) 2,4
83. c) 8,3
83. d) 25,576
84. a) 7 ⋅ 6,25 + 4 ⋅ 8,12 + 5 ⋅ 47,75
84. b) R$ 314,98trezentos e quatorze reais e noventa e oito centavos.
85. Resposta pessoal.
Exercícios propostos
No exercício 79, de acordo com a ordem das operações que deve ser seguida na expressão, obtêm-se:
a) (3,5) elevado a 2 ‒ (2,1) elevado a 3 = 12,25 ‒ 9,261 = 2,989
b) (14,4) elevado a 2 dividido por 1,8 = 207,36 dividido por 1,8 = 115,2
c) (5,2 ‒ 3,75) elevado a 2 = 1,45 elevado a 2 = 2,1025
d) (2 ‒ 1,2) elevado a 3 dividido por 0,32 = 0,8 elevado a 3 dividido por 0,32 = 0,512 dividido por 0,32 = 1,6
De fórma semelhante, no exercício 80 obtêm-se:
a) (2 ‒ 0,6) elevado a 2 + (0,1 + 0,7) elevado a 2 = 1,4 elevado a 2 + 0,8 elevado a 2 = 1,96 + 0,64 = 2,6
b) (6,2 + 2,3) elevado a 3 ‒ (0,5) elevado a 3 = 8,5 elevado a 3 ‒ 0,5 elevado a 3 = 614,125 ‒ 0,125 = 614
No exercício 81, é interessante incentivar os estudantes a registrarem na lousa as respostas, para que toda a turma possa acompanhar não apenas o resultado obtido para cada expressão, mas também os procedimentos de resolução, permitindo identificar dúvidas, erros e, consequentemente, fazer interferências para corrigi-los. A resolução do exercício 81 encontra-se no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
No exercício 82, o total de tecido utilizado em um uniforme é a soma do comprimento de cada tecido utilizado. Como são 120 uniformes, conclui-se que foram utilizados 324 métros, pois:
(0,2 + 2,5) ⋅ 120 = 2,7 ⋅ 120 = 324
No exercício 83, resolvendo cada item, obtêm-se:
a) 6,4 ⋅ 0,25 + 12,6 ⋅ 0,15 = 1,6 + 1,89 = 3,49
b) 1,5 ⋅ (3,4 ‒ 1,8) = 1,5 ⋅ 1,6 = 2,4
c) (18,13 + 7,6) dividido por (5,6 ‒ 2,5) = 25,73 dividido por 3,1 = 8,3
d) 32 ⋅ 0,8 ‒ 0,2 ⋅ 0,12 = 25,6 ‒ 0,024 = 25,576
A resolução do exercício 84 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
Para enriquecer o trabalho com o exercício 85, solicite aos estudantes que, além de mostrarem sua proposta, troquem-na com outros dois estudantes (ou seja, o problema criado por um estudante será lido por pelo menos dois colegas). Desse modo, poderão apresentar sugestões aos colegas ou solicitar orientação do professor nos casos em que houver muitas divergências ou dúvidas. Assim, o trabalho dos estudantes é feito de maneira mais autônoma, possibilitando perceberem quanto podem contribuir para o aprendizado dos demais colegas, e vice-versa.
14. Representação decimal de frações
Sabemos que toda fração pode indicar o quociente de uma divisão; por exemplo:
fração 9 sobre 4 é igual a 9 dividido por 4
Assim, é possível representar qualquer fração na fórma decimal. Para isso, basta efetuar os seguintes cálculos:
Portanto, a representação na fórma decimal de
Nove quartosé 2,25.
Acompanhe outros exemplos.
a) Vamos representar na fórma decimal a fração
sete terços.
Observe que, na representação na fórma decimal de
sete terços, usamos reticências. Com isso, queremos dizer que o número 2,333 reticências tem infinitas casas decimais.
Portanto, a representação na fórma decimal de
fração sete terçosé 2,333 reticências
Nela, o algarismo 3, chamado de período, se repete indefinidamente. O número 2,333 reticências é um exemplo de dízima periódica.
Uma dízima periódica pode ser indicada de maneira abreviada, colocando-se um traço sobre o período. Assim:
• o número 2,333 reticências pode ser indicado por
2,3 com o traço em cima do 3.;
• o número 0,787878 reticências pode ser indicado por
0,78 com um tração em cima de 78;
• o número 3,2555 reticências pode ser indicado por
3,25 com um traço acima de 5.
b) Vamos representar na fórma decimal a fração
fração 4 sobre 15.
Portanto, a representação na fórma decimal de
fração 4 sobre 15é 0,2666 reticências ou
0,26 com o traço em cima do 6..
Respostas e comentários
14. Representação decimal de frações
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero oito.
Este tópico favorece o desenvolvimento da habilidade ( ê éfe zero seis ême ah zero oito), pois associa a representação de racionais na fórma de fração à fórma decimal. Com base no conceito de dízima periódica, os estudantes podem verificar que toda fração (decimal ou não) pode ser representada na fórma decimal.
Proponha aos estudantes outras frações (contemplando frações decimais, frações equivalentes a frações decimais e frações não decimais nem equivalentes a alguma fração decimal) para que determinem a sua fórma decimal. Em seguida, peça a alguns estudantes que apresentem na lousa o que fizeram e valide as respostas com a turma.
Observe que
fração 4 sobre 15não é uma fração decimal nem pode ser transformada em uma fração decimal equivalente.
No entanto, o número 0,2666 reticências é um número racional, pois pode ser representado pela fração
fração 4 sobre 15, por exemplo.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
86
Junte-se a um colega e façam o que se pede.
Considerem as frações:
cinco nonos,
seis nonos,
sete nonos,
oito nonos,
dez nonos,
onze nonose
doze nonos.
a) Realizem divisões para obter a representação decimal desses números.
b) Agora, observando os resultados do item a e sem efetuar cálculos, deem a representação decimal de
quatro nonos,
três nonos,
treze nonos,
quatorze nonose
quinze nonos.
c) Com o auxílio dos resultados obtidos nos itens a e b, deem a representação na fórma de fração dos números
0,2 com um traço em cima do 2.;
0,1 com um traço em cima do 1.;
1,7 com um traço em cima do 7.e
1,8 com um traço em cima do 8..
87 Escreva a fórma abreviada das dízimas periódicas.
a) 0,222 reticências
b) 0,531531531 reticências
c) 2,353535 reticências
d) 0,0222 reticências
e) 0,56444 reticências
f) 2,7212121 reticências
88 Identifique o período de cada dízima periódica.
a) 0,744 reticências
b) 2,45666 reticências
c) 0,2343434 reticências
d) 1,7525252 reticências
89 (Fatec- São Paulo) Efetuando as operações indicadas e simplificando a expressão
, temos:
a)
25 sextosb)
três meiosc)
seis quintosd)
16 nonose) 1.
90 O preço pago por uma corrida de táxi, em determinado município, inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Nesse município, a bandeirada custa R$ 5,00cinco reais, e cada quilômetro rodado custa R$ 2,75dois reais e setenta e cinco centavos.
Qual é a distância percorrida, em quilômetro, por um passageiro que pagou R$ 43,50quarenta e três reais e cinquenta centavos pela corrida?
Respostas e comentários
86. a)
0,5 com um traço em cima do 5.;
0,6 com um traço em cima do 6.;
0,7 com um traço em cima do 7.;
0,8 com um traço em cima do 8.;
1,1 com um traço em cima do segundo 1;
1,2 com um traço em cima do 2; e
1,3 com um traço em cima do 3.
86. b)
0,4 com um traço em cima do 4;
0,3 com um traço em cima do 3;
1,4 com um traço em cima do 4;
1,5 com um traço em cima do 5e
1,6 com um traço em cima do 6.
86. c)
dois nonos,
um nono,
dezesseis nonose
dezessete nonos
87. a)
0,2 com um traço em cima do 287. b)
0,531 com um traço em cima do 531
87. c)
2,35 com um traço em cima do 35
87. d) 0,0
2 com um traço em cima de 2
87. e)
0,564 com o traço em cima do 4
87. f)
2,721 com um traço em cima do 21
88. a) 4
88. b) 6
88. c) 34
88. d) 52
89. Alternativa a.
90. 14 quilômetros.
Exercícios propostos
Com o exercício 86, pode-se proporcionar aos estudantes que descubram uma regra prática para representar alguns números na fórma decimal para a fórma de fração e vice-versa. Considerando que:
5 dividido por 9 = 0,555 reticências
6 dividido por 9 = 0,666 reticências
7 dividido por 9 = 0,777 reticências
8 dividido por 9 = 0,888 reticências
9 dividido por 9 = 1
Obtêm-se:
10 dividido por 9 = (9 dividido por 9) + (1 dividido por 9) = 1 + 0,111 reticências = 1,111 reticências
11 dividido por 9 = (9 dividido por 9) + 2 dividido por 9 = 1 + 0,222 reticências = 1,222 reticências
12 dividido por 9 = 1,333 reticências
13 dividido por 9 = 1,444 reticências
14 dividido por 9 = 1,555 reticências
15 dividido por 9 = 1,666 reticências
No item c, espera-se que os estudantes concluam que 2 dividido por 9 = 0,222 reticências e que 1 dividido por 9 = 0,111 reticências Além disso, que:
• 16 dividido por 9 = (9 dividido por 9) + (7 dividido por 9) = 1,777 reticências
• 17 dividido por 9 = (9 dividido por 9) + (8 dividido por 9) = 1,888 reticências
No exercício 87, verifique se os estudantes compreendem que a fórma abreviada troca a repetição dos algarismos e as reticências por um traço para indicar a dízima. Já no exercício 88, avalie se eles percebem que o período é formado pelos algarismos que se repetem na parte decimal de uma dízima periódica.
A resolução do exercício 89 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9,
No exercício 90 deve-se considerar que o passageiro pagou R$ 43,50quarenta e três reais e cinquenta centavos, sendo que a bandeirada custa R$ 5,00cinco reais. Então o preço pago apenas pelos quilômetros rodados foi R$ 38,50trinta e oito reais e cinquenta centavos (43,50 ‒ 5 = 38,50). Como cada quilômetro custa R$ 2,75dois reais e setenta e cinco centavos, a distância percorrida é dada por 38,50 dividido por 2,75 = 14,14 quilômetros.
O exercício 90 pode ser ampliado propondo aos estudantes uma pesquisa acerca de preços atualizados das tarifas praticadas em táxis (bandeirada e quilômetro rodado) de diferentes lugares do Brasil. Eles poderão reunir os dados em uma tabela comparativa, indicando: cidade, bandeirada, preço do quilômetro rodado (em reais), preço de uma corrida de 25 quilômetros (em reais), distância percorrida (em quilômetro) com R$ 50,00cinquenta reais.
15. Porcentagem
Já aprendemos que as frações de denominador 100 podem ser representadas na fórma percentual; por exemplo,
três centésimos é igual a 3 porcento.Agora, vamos aprender a resolver alguns problemas usando a porcentagem. Para isso, considere a notícia a seguir.
Para determinar o acréscimo citado, devemos calcular 65% de 3,13 milhões de barris.
Vamos fazer esse cálculo de dois modos:
• Usando números na fórma de fração.
Sabemos que
65 por cento é igual a 65 centésimos.Então, fazemos:
65% de 3,13 =
65 centésimos de 3,13=
65 centésimos vezes 313 centésimos=
20345 décimos de milésimos= 2,0345
Com uma calculadora, fazemos:
Respostas e comentários
15. Porcentagem
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah um um, ê éfe zero seis ême ah um dois e EF06MA13.
Este tópico possibilita desenvolver as habilidades ( ê éfe zero seis ême ah um um), ( ê éfe zero seis ême ah um dois) e ( ê éfe zero seis ême ah um três). Retome o conceito e o cálculo de porcentagens já desenvolvidos no estudo dos números racionais na fórma de fração. Apresente aos estudantes outros exemplos de cálculos para realizarem ainda com base no cálculo com fração.
Em seguida, proponha aos estudantes outras porcentagens para expressarem na fórma de fração de denominador 100 e, depois, escreverem a fórma decimal dessas frações, associando as porcentagens dadas a números racionais na fórma decimal. Por exemplo:
• 35% =
trinta e cinco centésimos= 0,35
• 50% =
cinquenta centésimos= 0,50
• 2% =
dois centésimos= 0,02
• 120% =
cento e vinte centésimos= 1,20
• Usando números na fórma decimal.
Sabemos que 65% =
fração 65 sobre 100e que
fração 65 sobre 100= 0,65.
Então, fazemos:
65% de 3,13 = 0,65 de 3,13 = 0,65 ⋅ 3,13 = 2,0345
Com uma calculadora, fazemos:
Portanto, 2,0345 milhões de barris correspondem ao acréscimo estimado na produção de gás e petróleo no Brasil para 2031.
Acompanhe mais um exemplo de cálculo envolvendo porcentagem.
Marcelo e seus pais foram a um rodízio de pizzas que cobra R$ 39,90trinta e nove reais e noventa centavos por pessoa. Eles pediram três sucos, a R$ 6,00seis reais cada um, e três sobremesas, a R$ 8,50oito reais e cinquenta centavos cada uma. Ao receber a conta, Marcelo observou que havia um acréscimo de 10% sobre o valor total consumido como taxa de serviços dos garçons. Qual foi o valor dessa taxa de serviços?
Para resolver esse problema, precisamos calcular 10% do valor total consumido.
Primeiro, calculamos o valor total consumido:
3 ⋅ 39,90 + 3 ⋅ 6,00 + 3 ⋅ 8,50 = 3 ⋅ (39,90 + 6,00 + 8,50) = 3 ⋅ (54,40) = 163,20
Assim, o valor total consumido foi de R$ 163,20cento e sessenta e três reais e vinte centavos.
Sabemos que 10% =
fração 10 sobre 100e que
fração 10 sobre 100= 0,1. Logo:
10% de 163,20 = 0,1 de 163,20 = 0,1 ⋅ 163,20 = 16,32
Com uma calculadora, fazemos:
Portanto, o valor da taxa de serviços dos garçons foi de R$ 16,32dezesseis reais e trinta e dois centavos.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
91 Leia o texto e, em seguida, responda às questões.
Em tempos de incertezas política e econômica no Brasil, uma alternativa é a busca de trabalho e moradia no exterior, e Portugal tem recebido a cada ano mais pedidos de cidadania por brasileiros.
O Ministério da Justiça recebe os pedidos e o Serviço de Estrangeiros e Fronteiras ( ésse ê éfe) emite o parecer positivo. Em 2010, o ésse ê éfe recebeu 24 mil pedidos de cidadania, em 2020 houve aumento de 141% em relação a 2010.
a) Quantos brasileiros solicitaram cidadania a Portugal em 2020?
b) Quantas cidadanias foram solicitadas a mais em 2020 do que em 2010?
c) Na sua família há alguém com cidadania diferente da brasileira? Em caso afirmativo, qual?
Respostas e comentários
91. a) 57,84 mil brasileiros.
91. b) 33,84 mil brasileiros.
91. c) Resposta pessoal.
Porcentagem
Verifique se os estudantes observam que, para expressar a fórma percentual na fórma decimal, devem efetuar uma divisão por 100, por exemplo:
• 55% = 55 dividido por 100 = 0,55
• 12% = 12 dividido por 100 = 0,12
• 5% = 5 dividido por 100 = 0,05
• 237% = 237 dividido por 100 = 2,37
• 10% = 10 dividido por 100 = 0,10 = 0,1
O cálculo de porcentagens de um valor é feito do seguinte modo:
• 55% de 90 = 0,55 ⋅ 90 = 49,5
• 12% de 20 = 0,12 ⋅ 20 = 2,4
Incentive os estudantes a fazer cálculos mentais, destacando alguns procedimentos:
• Obter 10% de um valor equivale a dividir esse valor por 10:
10% de 90 = 0,1 ⋅ 90 = 9,0 = 9 (que é 90 dividido por 10)
10% de 45 = 0,1 ⋅ 45 = 4,5 (que é 45 dividido por 10)
10% de 2,5 = 0,1 ⋅ 2,5 = 0,25 (que é 2,5 dividido por 10)
• Obter 50% de um valor equivale a obter a metade desse valor:
50% de 90 = 0,5 ⋅ 90 = 45
(que é metade de 90)
50% de 45 = 0,5 ⋅ 45 = 22,5
(que é metade de 45)
50% de 2,5 = 0,5 ⋅ 2,5 = 1,25
(que é metade de 2,5)
• Obter 5% de um valor equivale a tomar metade de 10% desse valor:
10% de 70 = 70 dividido por 10 = 7
5% de 70 = 0,05 ⋅ 70 = 3,5 (que é metade de 10% de 70)
10% de .1200 = .1200 dividido por 10 = 120
5% de .1200 = 0,05 ⋅ .1200 = 60 (que é metade de 10% de .1200)
Exercícios propostos
A resolução do exercício 91 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
92 A população brasileira segue os passos das populações europeias quanto à distribuição em faixas etárias.
Dizemos que ela está envelhecendo, pois a quantidade de pessoas das faixas com maior idade tem aumentado em relação à quantidade de pessoas mais jovens.
O estudo desse fenômeno é importante para que os governos federal, estaduais e municipais planejarem políticas que atendam às necessidades desse novo perfil de população.
Observe o gráfico e responda às questões.
a) Qual é o aumento previsto, em porcentagem, da população brasileira com mais de 60 anos entre 2020 e 2030?
b) É possível que haja diminuição da população, entre 2020 e 2030, em alguma faixa etária? Em quais faixas e qual seria a diminuição em porcentagem?
c) Qual era, em milhão, a população brasileira em 2010 e em 2020? Qual é a estimada para 2030? E qual é o aumento percentual entre elas?
d) Na sua opinião, que tipos de ação os governos deveriam planejar para atender o novo perfil dos brasileiros em 2030?
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Indique a medida da temperatura registrada, em grau Celsius, pelo termômetro nos casos a seguir.
a)
b)
c)
2 Escreva como lemos:
a) os números 3,79; 1,102; e 0,003;
b) o número
1.251 centésimos, quando escrito na fórma decimal;
c) o maior número na fórma decimal menor do que 1, formado pelos algarismos 8, 0 e 1, sem repetição;
d) o maior número na fórma decimal entre 6 e 7, formado pelos algarismos 5, 6 e 8, sem repetição.
3 Escreva com algarismos os números:
a) quatro inteiros e cinco décimos
b) trinta e nove centésimos
c) quatro inteiros e oitenta e dois centésimos
d) seis inteiros e quarenta e cinco milésimos
e) dois inteiros e dois milésimos
f) cento e vinte e cinco décimos de milésimos
4 Escreva cada fração na fórma decimal.
a)
32 sobre 10b)
475 sobre 100c)
21 sobre 1.000d)
135 sobre 10e)
135 sobre 10f)
5 sobre 1.000Respostas e comentários
92. a) 39,4%
92. b) Sim; de 0 a 19 anos: 4,7%; de 20 a 39 anos: 6,6%.
92. c) 2010: 194,8; 2020: 211,8; e 2030: 224,8 milhões. De 2010 a 2020: 8,7%; de 2020 a 2030: 6,1%.
92. d) Resposta pessoal.
1. a) 37,5 °C
1. b) 38,2 °C
1. c) 36,8 °C
2. a) Respostas possíveis: três inteiros e setenta e nove centésimos; um inteiro e cento e dois milésimos; três milésimos.
2. b) Resposta possível: doze inteiros e cinquenta e um centésimos.
2. c) Oitenta e um centésimos.
2. d) Seis inteiros e oitenta e cinco centésimos.
3. a) 4,5
3. b) 0,39
3. c) 4,82
3. d) 6,045
3. e) 2,002
3. f) 0,0125
4. a) 3,2
4. b) 4,75
4. c) 0,021
4. d) 13,5
4. e) 0,28
4. f) 0,005
Exercícios propostos
A resolução do exercício 92 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9. Esse exercício explora o trabalho com porcentagens associado a informações apresentadas por meio de um gráfico de colunas triplas, ampliando também os conhecimentos que os estudantes já construíram.
Explore os elementos e as informações do gráfico, fazendo alguns questionamentos como:
• O que significam as cores diferenciadas nas colunas? (Resposta esperada: As colunas azuis indicam a população do Brasil em 2010, as colunas amarelas indicam a população do Brasil em 2020, e as colunas laranjas representam a projeção da população brasileira em 2030, todas distribuídas por faixa etária.)
• Quantos milhões de habitantes havia no Brasil, em 2010, na faixa de mais de 60 anos? (20,9 milhões de habitantes)
• Quantos milhões de habitantes foram projetados para 2030 no Brasil, na faixa etária de 20 a 39 anos? (64 milhões de habitantes)
• Qual foi o aumento previsto da população brasileira de 0 a 19 anos no período de 2010 para 2030? (Resposta esperada: Nenhum, a previsão é de diminuição de 8,1 milhões de habitantes nessa faixa etária.)
Exercícios complementares
Este bloco de exercícios propicia aos estudantes revisitarem o trabalho com números racionais na fórma decimal desenvolvido neste capítulo, ampliando os conhecimentos que já construíram. Além disso, permite perceberem possíveis dúvidas que ainda persistam e elucidá-las com o auxílio do professor e dos colegas.
No exercício 1, verifique se os estudantes associam os números apresentados no termômetro a um intervalo de números de 35 a 42. Se necessário, pode-se propor a eles que representem a reta numérica e os números apresentados nos itens dessa atividade.
As resoluções dos exercícios 2 a 4 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
5 Registre na fórma de fração decimal cada número a seguir.
a) 2,5
b) 0,15
c) 2,37
d) 4,125
e) 27,5
f) 0,3628
g) 31,2
h) 0,02
6 Copie as sentenças verdadeiras.
a) 4,2 = 4,20
b) 5,0 = 5
c) 5,4 = 5,40 = 5,400
d) 3,05 = 3,50
e) 0,4 = 4,0
f) 10,00 = 10,0
7 Qual é o menor número natural maior que 11,7? E o maior número natural menor que 9,02?
8 Coloque em ordem crescente os números 0,61; 1,3; 1,45; 0,2; 3,0; e 0,99. Em seguida, represente-os de fórma aproximada na reta numérica.
9 O tanque de combustível de um automóvel comporta 75 litros. A figura mostra quantos litros restam nele. Quantos litros há nesse tanque?
10 Calcule:
a) 12,5 dividido por 4,5, com uma casa decimal;
b) 15 dividido por 7, com duas casas decimais;
c) 45,6 dividido por 13, com uma casa decimal;
d) 18 dividido por 2,3, com três casas decimais.
11 Observe o anúncio e determine o valor de cada unidade de chocolate.
12 Observe este anúncio:
Agora, responda às questões:
a) Qual é o preço do fogão em 6 vezes?
b) Qual é o preço do fogão em 16 vezes?
c) Qual é a diferença entre os preços pagos em 16 vezes e em 6 vezes?
d) Qual é a diferença entre os preços pagos em 16 vezes e à vista?
13 De acordo com as indicações, determine os valores de X, Y e Z em cada caso.
a)
b)
c)
d)
14 Efetue:
a) 3,91 + 6,03 + 0,58
b) 5,2 ‒ 3,216
c) 6,3 ⋅ 4,8
d) 10 ‒ 4,36
e) 0,025 ⋅ 4
f) 25,44 dividido por 5,3
15 Resolva cada expressão.
a) 3 ⋅ 1,36 + 12,22
b) (12 ‒ 9,2) ⋅ (6 ‒ 4,5 dividido por 6)
c) (3,1 ‒ 2,8) elevado a 3 ⋅ (4,5 ‒ 2) dividido por (4,25 ‒ 3)
16 Qual é a representação na fórma decimal de
23 sobre 9?Esse número é uma dízima periódica?
17
Com o auxílio de uma calculadora, represente as frações na fórma decimal.
a)
20 nonosb)
2 terços
c)
2 inteiros e 1 sexto
d)
um inteiro e um quarto
e)
82, quarenta e cinco avos
f)
17 oitavos
Respostas e comentários
5. a)
25 décimos5. b)
15 centésimos5. c)
237 centésimos5. d)
4125 milésimos5. e)
275 décimos5. f)
3628 décimos de milésimos5. g)
312 décimos5. h)
2 centésimos
6. a) Verdadeira.
6. b) Verdadeira.
6. c) Verdadeira.
6. d) Falsa.
6. d) Falsa.
6. f) Verdadeira.
7. 12; 9
8. 0,2; 0,61; 0,99; 1,3; 1,45; 3,0
9. 56,25 litros.
10. a) 2,8
10. b) 2,14
10. c) 3,5
10. d) 7,826
11. R$ 0,75zero reais e setenta e cinco centavos.
12. a) R$ 609,90seiscentos e nove reais e noventa centavos.
12. b) R$ 883,68oitocentos e oitenta e três reais e sessenta e oito centavos.
12. c) R$ 273,78duzentos e setenta e três reais e setenta e oito centavos.
12. d) R$ 273,78duzentos e setenta e três reais e setenta e oito centavos.
13. a) X = 56, Y = 560 e Z = .5600
13. b) X = 7,5, Y = 75 e Z = 750
13. c) X = 53,85, Y = 5,385 e Z = .5385
13. d) X = 17,289, Y = .1728,9 e Z = .17289
14. a) 10,52
14. b) 1,984
14. c) 30,24
14. d) 5,64
14. e) 0,1
14. f) 4,8
15. a) 16,3
15. b) 14,7
15. c) 0,054
16. 2,555 reticências; sim.
17. a)
2,2 com um traço em cima do segundo 217. b)
0,6 com um traço em cima do 617. c)
2,16 com um traço em cima do 6
17. d) 1,25
17. e)
1,82 (traço acima do 2)17. f) 2,125
Exercícios complementares
As resoluções dos exercícios 5 a 17 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
No exercício 6, se considerar adequado, solicite aos estudantes que reescrevam as afirmações falsas, corrigindo-as, lembrando que deverão encontrar representações equivalentes.
No exercício 7, reforce a importância das informações contidas nos enunciados. Amplie a discussão com a variação deles para ver o que acontece com as respostas.
Ao substituir “Qual é o menor número natural maior que 11,7?” por:
• “Qual é o maior número natural maior que 11,7?”, não haverá resposta, porque não existe um “maior” número natural, pois o conjunto dos naturais é infinito;
• “Qual é o número natural maior que 11,7?”, haverá infinitas respostas: 12, 13, 14, reticências
E ao substituir “Qual é o maior número natural menor que 9,02?” por:
• “Qual é o menor número natural menor que 9,02?”, a resposta será zero;
• “Qual é o número natural menor que 9,02?”, haverá mais de uma resposta: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9.
No exercício 13, os estudantes precisam retomar alguns aspectos e regularidades importantes das multiplicações e divisões por potências de base 10. É também uma oportunidade para revelarem dúvidas sobre o assunto.
VERIFICANDO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Em qual alternativa os números decimais estão escritos em ordem crescente?
a) 1,01; 1,0010; 1,1001
b) 23,1; 2,31; 0,231
c) 0,07; 0,7; 0,007
d) 5,048; 5,408; 5,48
2 Em um posto de combustível, o preço do litro da gasolina é . Sete reais e quatrocentos e cinquenta e nove milésimos de real Quanto custa para encher com gasolina, nesse posto, o tanque de um carro cuja capacidade é 45 litros?
a) Três mil, trezentos e cinquenta e seis reais e quinhentos e cinquenta milésimos de real
b) Trezentos e trinta e sete reais e quatrocentos e quatorze milésimos de real
c) Trezentos e cinquenta e dois reais e quinhentos e cinquenta e cinco milésimos de real
d) Trezentos e trinta e cinco reais e seiscentos e cinquenta e cinco milésimos de real
3 Qual é o valor da expressão 2,01 + 8,1 ⋅ 0,4 ‒ (1,2) elevado a 2?
a) 2,604
b) 3,81
c) 2,85
d) 9,07
4 Qual dos números não está entre 9,01 e 9,201?
a) 9,2
b) 9,101
c) 9,001
d) 9,199
5 Um vendedor recebeu 10% de comissão após uma venda mensal de R$ 8.589,00oito mil quinhentos e oitenta e nove reais. O valor recebido por esse vendedor é:
a) R$ 85,89oitenta e cinco reais e oitenta e nove centavos.
b) R$ 858,00oitocentos e cinquenta e oito reais.
c) R$ 858,89oitocentos e cinquenta e oito reais e oitenta e nove centavos.
d) R$ 858,90oitocentos e cinquenta e oito reais e noventa centavos.
6 As notas bimestrais de uma estudante foram: 7,2 no primeiro bimestre, 7,7 no segundo, 4,2 no terceiro e 5,3 no quarto. Qual foi a média final dela?
a) 6,1
b) 5,05
c) 6,6
d) 5,85
7 O índice de massa corpórea ( í ême cê) é um indicador utilizado para avaliação física, relacionando peso e altura de uma pessoa. Para calculá-lo, basta dividir a medida da massa da pessoa pelo quadrado da medida da altura dela. Qual é o í ême cê de quem tem 1,60 métro (altura) e 60 quilogramas (massa)?
a) 23,325
b) 23,6105
c) 23,5255
d) 23,4375
8 Um modo de calcular a medida aproximada da diagonal de um quadrado é multiplicar a medida do seu lado por 1,4142. Qual é o valor aproximado da medida da diagonal de um quadrado de lado medindo 5,5 centímetros?
a) 7,7781
b) 7,8081
c) 7,7001
d) 7,7795
9 Qual dos números está mais próximo de 4,001?
a) 3,999
b) 3,009
c) 4,0009
d) 4,02
10 O número 2,666 reticências pode ser indicado por:
a)
fração sete terços.
b)
Oito terços.
c)
Onze quintos.
d)
doze quintos.
11 Em fevereiro de 2022, o índice oficial que mede a inflação anual no Brasil foi igual a 10,38%. Para repor o poder de compra, os salários devem ter tido um reajuste de 10,38%. De quantos reais deve ter sido o reajuste de um salário de .2500 reais?
a) .2759,50
b) 259,50
c) .2500,00
d) .2240,50
Organizando
Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, faça o que se pede e responda às questões à seguir:
a) Explique qual é a função da vírgula na representação de números na fórma decimal.
b) Toda fração pode ser expressa como número na fórma decimal?
c) Explique como podemos fazer a leitura de um número com 3 casas decimais.
d) Escreva 5 números decimais entre 2 e 3, dos quais o primeiro tenha somente uma casa decimal, o segundo duas, o terceiro três e o quarto quatro casas decimais.
e) Explique, com suas palavras, por que 3,2 = 3,20.
f) Explique como você pode multiplicar, na prática, um número na fórma decimal por 10, 100, .1000, e assim por diante.
g) É possível pagar uma conta de R$ 12,40doze reais e quarenta centavos apenas com moedas de R$ 0,25zero reais e vinte e cinco centavos, sem que haja troco?
h) Para o cálculo da divisão de números naturais, podemos multiplicar o dividendo e o divisor por um mesmo número? O que acontece com o quociente neste caso? E com o resto?
Respostas e comentários
1. Alternativa d.
2. Alternativa d.
3. Alternativa b.
4. Alternativa c.
5. Alternativa d.
6. Alternativa a.
7. Alternativa d.
8. Alternativa a.
9. Alternativa a.
10. Alternativa b.
11. Alternativa b.
Organizando:
a) Espera-se que os estudantes indiquem que a vírgula é usada para separar a parte inteira da parte decimal de um número.
b) Sim, algumas frações expressam um número decimal exato, e outras, dízimas periódicas.
c) Primeiro devemos ler a parte inteira, se houver e, depois, a parte decimal acompanhada da palavra milésimo( ésse) ponto
d) Resposta possível: 2,1; 2,11; 2,111; 2,1111; e 2,11111.
e) Resposta possível: O zero na casa dos centésimos representa que não há centésimos nesse número; como esta seria a última casa, não é preciso representá-lo.
f) Deslocamos a vírgula para a direita, respectivamente, uma, duas, três, reticências, casas decimais.
g) Não é possível, visto que com 49 moedas teríamos R$ 12,25doze reais e vinte e cinco centavos e com 50 moedas teríamos R$ 12,50doze reais e cinquenta centavos.
h) Sim. O quociente não se altera. O resto fica multiplicado pelo número.
Verificando
Nessa seção, os estudantes poderão verificar o seu grau de entendimento sobre os conteúdos trabalhados no capítulo.
No teste 1, destaque que a ordem crescente é do menor para o maior, verificando:
a) Não é, pois 1,01 > 1,001, uma vez que 0,01 > 0,001.
b) Não é, pois analisando a parte inteira dos dois primeiros números, vê-se que 23 > 2.
c) Não é, pois analisando os dois últimos números, 0,7 > 0,007 então não está em ordem crescente.
d) É crescente, pois 0,048 < 0,408 < 0,480; então, 5,048 < 5,408 < 5,48.
Alternativa d.
No teste 2, considera-se que, para encher um tanque de 45 litros, serão gastos 45 ⋅ 7,459 = 335,655. Logo, são gastos R$ 335,655trezentos e trinta e cinco reais e sessenta e cinco centavos.
No teste 3, resolvendo a expressão, obtém-se:
2,01 + 8,1 ⋅ 0,4 ‒ (1,2) elevado a 2 =
= 2,01 + 3,24 ‒ 1,44 =
= 5,25 ‒ 1,44 = 3,81
No teste 4, dentre os números indicados nas alternativas, o único que é menor do que 9,01 é 9,001.
No teste 6, a média é calculada por:
No teste 7, o í ême cê é calculado por:
No caso de uma pessoa de 1,6 métro e 60 quilogramas, o í ême cê será:
=
60 sobre 2,56= 60 dividido por 2,56 = 23,4375
No teste 8, a medida da diagonal, em centímetro, será dada por: 5,5 ⋅ 1,4142 = = 7,7781.
No teste 9, para saber qual número está mais próximo, deve-se determinar a diferença entre os números indicados em cada alternativa. Assim:
a) 4,001 ‒ 3,999 = 0,002
b) 4,001 ‒ 3,009 = 0,992
c) 4,001 ‒ 4,0009 = 0,0001
d) 4,02 ‒ 4,001 = 0,019
Como 0,0001 é a menor diferença, 4,0009 está mais próximo de 4,001.
Para a realização do teste 11, os estudantes devem compreender o significado da palavra reajuste, para não confundir com o valor total recebido após o reajuste. Tendo isso em vista, pergunte a eles se precisam realizar o cálculo para responder a essa questão. O ideal é que determinem mentalmente que 10% de .2500 é 250, e o número que mais se aproxima de 250 está na alternativa b.
As resoluções dos testes 5, 8 e 10 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.
Organizando
Se julgar oportuno, proponha aos estudantes que se reúnam em duplas ou trios a fim de conversarem sobre as questões propostas.