CAPÍTULO 11 Comprimentos e áreas
Município de Caibaté (Érre ésse)
População estimada em 2021: 4 802 habitantes
Perímetro urbano aproximado: 8,3 quilômetros
Área aproximada da unidade territorial em 2021: 261 quilômetros quadrados
Fonte: í bê gê É Cidades. Disponível em: https://oeds.link/tKGoY2. Acesso em: 19 abril 2022.
Observe, leia e responda no caderno.
a) Cada município delimita seu próprio perímetro urbano, de acordo com suas leis, dividindo suas regiões em urbana e rural. Por que a delimitação do perímetro urbano é importante?
b) Identifique os diferentes dados apresentados sobre o município de Caibaté. O que esses dados representam?
c) Quais são as medidas aproximadas do perímetro e da área de Caibaté? E o número de habitantes?
d) Qual é a medida da área e o número de habitantes da cidade onde você mora? Faça uma pesquisa para responder a essa questão.
O perímetro urbano divide um município em zonas rural e urbana, ou seja, delimita a área urbana de um município. A delimitação da área urbana tem grande impacto no desenvolvimento da cidade e do campo, ajudando a identificar as necessidades da população e a garantir qualidade de vida. Mais de 90% dos .5570 municípios brasileiros utilizam a Lei de Perímetro Urbano para o planejamento e o desenvolvimento de ações de assistência à saúde e à educação, de geração de trabalho e renda e da utilização de recursos.
Respostas e comentários
a) Ajuda a identificar as necessidades da população e a garantir qualidade de vida, ajuda no planejamento e no desenvolvimento de ações de assistência à saúde e à educação, de geração de trabalho e renda e da utilização de recursos.
b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que representam medidas de área, perímetro, comprimento e o número de habitantes.
c) Medida aproximada do perímetro: 8,3 quilômetros; medida aproximada da área: 261 quilômetros quadrados; número de habitantes: .4802 habitantes. Espera-se que os estudantes notem que as medidas aproximadas do perímetro de um território são determinadas por suas fronteiras, considerando suas sinuosidades.
d) Resposta pessoal.
Capítulo 11 - Comprimentos e áreas
Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática (Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.
Este capítulo resgata, amplia e aprofunda os conhecimentos que os estudantes já construíram sobre comprimentos e áreas.
No decorrer do capítulo, podem-se tomar como base partes do corpo dos estudantes como unidades de medida a fim de aprofundar e exemplificar os assuntos abordados. Nesses momentos, é importante ficar atento para não ocorrerem situações que possam resultar em bullying. É importante enfatizar que as pessoas têm características e tipos físicos diferentes. Desse modo, contribuímos para o desenvolvimento da competência geral 9 e do Tema Contemporâneo Transversal vida familiar e social, exercitando a empatia, fazendo‑se respeitar e promovendo o respeito.
A abertura propicia aos estudantes algumas reflexões sobre a importância de conhecer a região em que moram, e como é importante o uso de ferramentas matemáticas para calcular as medidas de área, de perímetro e de densidade demográfica para promover políticas públicas e para solucionar problemas do cotidiano.
Essas reflexões e as discussões sobre a Lei de Perímetro Urbano contribuem para o desenvolvimento da competência geral 1 e do Tema Contemporâneo Transversal ciência e tecnologia.
Comente com os estudantes sobre a imagem da abertura, que é uma imagem de satélite de um município. As imagens de satélite têm uma ampla variedade de usos, tais como cartografia, inteligência militar, meteorologia, gestão de recursos naturais, mapeamentos temáticos, gestão ambiental, detecção de desastres naturais e desmatamentos florestais, previsões de safras, cadastro multifinalitário, agricultura de precisão, dentre outras.
1. Conhecendo algumas unidades de medida de comprimento
Cláudia aprendeu que, para medir um comprimento, precisa compará-lo com outro adotado como unidade de medida.
Em uma atividade, o professor de Cláudia pediu aos estudantes que medissem o comprimento de um muro da escola sem usar instrumentos de medida. Ao fazer a atividade, ela adotou como unidade de medida o que chamou de “braçada”: a medida da distância da ponta do dedo médio de uma de suas mãos à ponta do dedo médio da outra mão, mantendo os braços abertos, como mostram as figuras.
Cláudia percebeu que, após 10 braçadas, sobrava uma parte do muro em que não cabia uma braçada inteira. Então, chamou Carla para medir o comprimento do muro do mesmo jeito que ela tinha feito. Carla notou que, após 8 braçadas, ainda restava uma parte do muro em que não cabia uma braçada completa.
Observe os esquemas.
Ao fazer isso, elas notaram que, por coincidência, 10 braçadas de Cláudia correspondiam a 8 braçadas de Carla.
Respostas e comentários
1. Conhecendo algumas unidades de medida de comprimento
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah dois quatro.
Neste tópico favorecemos o trabalho com a habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois quatro), ao trabalhar com medidas em uma situação contextualizada. Analise essa situação com os estudantes. Eles devem perceber que, quando a unidade de medida adotada for alguma parte do corpo, ela é variável, pois depende do tamanho de cada pessoa. Por exemplo, nas medições do comprimento do muro da escola, verificamos que 10 braçadas de Cláudia correspondiam a 8 braçadas de Carla.
Aproveite a situação e proponha aos estudantes que meçam em palmos, pés e passos, além das braçadas, o comprimento da sala de aula, o comprimento da lousa, a largura da porta, entre outros. Organize-os em grupos para fazerem as medições e discutirem os resultados obtidos.
Para medir a parte restante do muro, Cláudia e Carla resolveram, então, usar o palmo como unidade de medida de comprimento, ou seja, a medida da distância entre a extremidade do dedo polegar e a ponta do dedo mínimo, com a mão aberta. Cláudia mediu 4 palmos e Carla mediu 3 palmos.
Assim, Cláudia disse que a medida do comprimento do muro era de 10 braçadas e 4 palmos, enquanto Carla afirmou que a medida do comprimento era de 8 braçadas e 3 palmos.
Durante essa tarefa, Cláudia e Carla escolheram uma unidade de medida de comprimento – a braçada – e, em seguida, outra unidade de medida menor – o palmo. Elas notaram que essas unidades de medida não são muito precisas, porque variam de pessoa para pessoa, e que por isso elas obtiveram resultados diferentes ao medir o mesmo comprimento, uma vez que suas braçadas e seus palmos não são iguais.
Na Antiguidade, isso também acontecia. Existiam diversas unidades de medida de comprimento, relacionadas com partes do corpo humano, que variavam de um povo para outro. Observe uma delas.
O cúbito era uma unidade de medida de comprimento utilizada pelos sumérios e pelos egípcios há mais de .4000 anos. Essa unidade de medida tinha comprimentos diferentes para esses dois povos.
O cúbito real egípcio era definido como a distância do cotovelo até a ponta do dedo médio do faraó. O símbolo
do sistema egípcio representa o cúbito.
Alguns países, como a Inglaterra e os Estados Unidos, ainda hoje empregam a jarda como unidade de medida de comprimento. Em determinadas situações, a jarda também é utilizada em outros países, como o Brasil: na cobrança de falta em uma partida de futebol (jogo de origem inglesa), a medida da distância da bola até a barreira é dada em jarda; são cêrca de 10 jardas. Essa distância, muitas vezes, é medida pelo árbitro com passos (1 passo de um adulto equivale a, aproximadamente, uma jarda).
Conta-se que a jarda teve seu uso oficializado a partir do século doze e que foi estabelecida como a distância entre a ponta do nariz e o polegar de Henrique primeiro, rei da Inglaterra na época, com o braço esticado.
Respostas e comentários
Conhecendo algumas unidades de medida de comprimento
Na sequência da medição do muro foi adotado o palmo, que é uma unidade de medida menor do que a braçada, adotada anteriormente. Esse fato continuou resultando em valores diferentes devido à diferença entre as medidas de comprimento dos palmos de Cláudia e Carla. Isso acontecia também na Antiguidade, sempre que as medidas de comprimento eram relacionadas com partes do corpo, os valores obtidos nas medições não eram iguais para todos. Converse com os estudantes sobre isso e sobre a necessidade de usarmos unidades de medida padronizadas.
Para ampliar, proponha aos estudantes uma pesquisa sobre unidades não padronizadas, como o cúbito, a jarda e a polegada.
Sugestões de leitura
Para ampliar seu trabalho com esse tema, sugerimos:
SILVA, N. S. M. Medida de comprimento: uma sequência didática na perspectiva da grandeza e medida. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemáticas) – Instituto de Educação Matemática e Científica, Universidade Federal do Pará, Belém, 2017. Disponível em: https://oeds.link/8eZsAO. Acesso em: 6 maio 2022.
Neste trabalho, a autora propõe uma sequência didática que tem como objetivo favorecer o ensino de medida de comprimento a partir da noção de grandeza e medida.
CREASE, R. P. A. Medida do mundo: a busca por um sistema universal de pesos e medidas. Rio de Janeiro, zarrár, 2013.
Nesta obra, o autor conta a história da invenção de uma rede mundial de medidas. Atravessando séculos, povos e medidas as mais diversas – o metro, o quilograma, a libra, a milha, o pé –, o autor mostra como os seres humanos improvisaram os meios de medição desde o início da civilização até hoje em dia e de que modo passamos a ter o Sistema Internacional de Unidades (ésse Í).
Outra unidade de medida de comprimento bastante usada na Inglaterra e nos Estados Unidos é a polegada. Hoje uma polegada equivale a 2,54 centímetros, mas, inicialmente, equivalia à medida da largura do polegar que pode variar de uma pessoa para outra.
No Brasil, utilizamos a polegada em algumas situações do cotidiano, como para especificar o tamanho de um televisor, de monitores de computador e de telas de telefones celulares. Quando, por exemplo, falamos de uma TV de quarenta e duas polegadas, essa medida se refere ao comprimento da diagonal da tela, conforme representado na imagem.
Com as unidades de medida variando entre os diferentes países e até entre regiões de um mesmo país, as dificuldades nas transações comerciais eram grandes. Surgiu, então, a ideia de padronizar essas unidades de medida.
Em 1795, em Paris, uma comissão da Academia de Ciências da França criou um sistema de medidas chamado de Sistema Métrico Decimal, com o objetivo de padronizar as unidades de medida para diferentes grandezas físicasglossário . Por exemplo, o metro, que deu nome ao sistema, foi definido como a unidade de medida padrão da grandeza comprimento; o litro, a unidade de medida padrão da grandeza volume; e o grama, a unidade de medida padrão da grandeza massa.
Em 1960, o Sistema Métrico Decimal foi substituído pelo Sistema Internacional de Unidades (ésse Í), utilizado até hoje. Esse novo sistema passou a compreender não somente essas unidades que interessavam diretamente ao comércio, mas também se estendeu a tudo o que diz respeito à ciência da medição.
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Transcrição do áudio
Unidades de medida
[Narrador]
Certa vez, a professora de Matemática passou para a turma a seguinte tarefa: cada estudante deveria medir, em polegada, a largura da porta de sua casa.
Os gêmeos Silas e Daniel se empolgaram com a proposta e, assim que chegaram da escola, foram fazer a medição da porta do quarto deles.
Os dois, então, decidiram fazer a medição ao mesmo tempo. Com a porta fechada, Silas ficou do lado de dentro do quarto e Daniel, do lado de fora.
De frente para a porta, cada um colocou um de seus polegares, apontando para cima, no batente à sua esquerda. Em seguida, cada um colocou o polegar da outra mão ao lado do primeiro. Assim foram posicionando um polegar ao lado do outro, alternando-os, até chegar ao outro batente da porta, à sua direita.
— 1, 2, 3, 4, 5... — Eles foram contando juntos, até que Silas parou a contagem em 40, enquanto Daniel contou até 43.
Ao abrirem a porta, Daniel falou, todo empolgado: — A medida da largura da porta é de 43 polegadas!
Silas respondeu, um pouco contrariado:
— Não é não, Daniel. A medida certa é 40 polegadas!
Foi então que a dupla teve uma ideia para tirar a dúvida e verificar qual era a medida correta: medir a largura da porta com uma trena, que é uma fita graduada, usada para medir o comprimento de paredes, móveis e tecidos, por exemplo.
Ao fazer a medição com a trena, os dois se espantaram com o resultado: a largura da porta media 32 polegadas! Bem menos do que as 43 polegadas medidas por Daniel e do que as 40 polegadas medidas por Silas!
No dia seguinte, na escola, os irmãos mal esperaram a professora entrar na sala de aula e foram logo contando que haviam encontrado três medidas diferentes para a largura da porta do quarto deles. E é claro que os meninos queriam saber o porquê disso.
A professora explicou que, antigamente, a polegada era uma medida definida com base na largura dos polegares das mãos. O problema é que cada pessoa tem polegares com medidas de largura diferentes.
Por isso, a medida obtida por Silas foi diferente da obtida por Daniel.
Para solucionar esse problema, essa unidade de medida foi padronizada. Assim, qualquer pessoa, em qualquer lugar do mundo, poderia usar a mesma medida para uma polegada, que é aquela que aparece na trena: uma polegada equivale a 2,54 centímetros.
Atualmente, a polegada é uma unidade de medida do Sistema Imperial Britânico, menos usado que o Sistema Internacional de Unidades, que tem o metro como unidade de medida de comprimento fundamental.
Ainda assim, a polegada é comumente utilizada para indicar as medidas de telas de televisores, monitores e celulares, por exemplo.
Depois de toda a explicação da professora, Daniel e Silas compreenderam por que a medida correta da largura da porta do quarto deles era de 32 polegadas, o valor que eles mediram usando uma trena.
Créditos: Todos os áudios inseridos neste conteúdo são da Freesound e da Film music.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Use seu palmo para medir o comprimento do tampo de sua carteira na sala de aula.
a) Quantos palmos você obteve?
b) Sobrou uma parte do comprimento da carteira em que não coube um palmo inteiro? Em caso afirmativo, use uma unidade de medida menor (como a polegada) e meça essa parte.
c) Qual foi a medida que você obteve para o comprimento do tampo de sua carteira?
Respostas e comentários
1. Respostas pessoais.
Exercícios propostos
O exercício 1 trabalha com uma unidade não padronizada de comprimento (o palmo) e pode ser complementado com questões como:
• Se você comparar seu palmo com o de um colega – colocando um palmo sobre o outro – e observar que o palmo do colega é maior, que conclusão você extrai dos resultados obtidos por ambos?
• Se, ao contrário, seu palmo for maior que o do colega, o que se alteraria na conclusão?
Essas questões são complementares ao exercício 2 proposto na página seguinte.
Espera-se que, com esses questionamentos, os estudantes reflitam sobre uma das ideias fundamentais para a compreensão do conceito de medir: quanto menor a unidade de medida utilizada, mais vezes ela caberá no comprimento (ou em outra grandeza) a ser medido. Essa relação é mais bem compreendida quando os estudantes realizam experimentos.
2
Compare a medida que você obteve na atividade 1 com a medida obtida por um colega. Elas são iguais ou diferentes? Por quê?
3 Usando o comprimento de seu cúbito, de seu palmo e de sua polegada, estime:
a) quantas polegadas cabem em um cúbito;
b) quantos palmos cabem em um cúbito;
c) quantas polegadas cabem em um palmo.
4 Entre as unidades de medida jarda, cúbito e polegada, qual indica o menor comprimento?
5 Usando o comprimento de sua borracha como unidade de medida, responda: quanto mede o comprimento de seu caderno? E a largura?
2. Metro, seus múltiplos e submúltiplos
O Sistema Internacional de Unidades (ésse Í) tem o metro como unidade padrão (ou fundamental) de medida de comprimento, cujo símbolo é a letra êmeponto
Entre os instrumentos empregados para medir comprimento, os mais comuns são os apresentados a seguir.
Para fazer medições que exigem mais precisão, ou para medir espessuras muito finas, utilizam-se instrumentos como o paquímetro e o micrômetro.
•
Entre os instrumentos utilizados, quais você utilizaria para medir sua altura?
Respostas e comentários
2. Respostas pessoais. Se os números obtidos são iguais é porque as medidas do comprimento dos palmos e da polegada dos dois são iguais. Caso contrário, quem obteve mais ou menos palmos (ou polegadas) é porque tem o palmo (ou a polegada) maior ou menor.
3. Respostas pessoais.
4. A polegada.
5. Respostas pessoais.
Resposta possível: Trena, fita métrica ou metro de carpinteiro.
Exercícios propostos
O exercício 3 pode levantar uma questão interessante: em que situações a exatidão das medidas é absolutamente necessária? É viável, em contextos cotidianos e até científicos, lidar com unidades não padronizadas e medidas aproximadas? Embora pareça contraditório à natureza da Matemática – ou ao senso comum em relação a ela –, o estudo de grandezas e medidas passa pelo aspecto da utilidade, conforme a situação, de medidas não exatas.
Essa consideração pode até desmistificar que tudo na área das ciências é exato e predeterminado. Nas experiências que envolvem medidas, no estudo da evolução desse campo na história do conhecimento e mesmo em várias situações cotidianas, os estudantes deverão observar que muitos problemas de medição podem ser resolvidos com uma abordagem não exata, isto é, por unidades não padronizadas ou por medidas estimadas.
Peça aos estudantes que releiam as definições de jarda, cúbito e polegada antes de responderem ao exercício 4.
Enquanto os estudantes fazem o exercício 5, circule pela sala de aula observando se eles usam corretamente a borracha para medir o comprimento e a largura do caderno.
2. Metro, seus múltiplos e submúltiplos
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah dois quatro.
Neste tópico vamos trabalhar com a unidade padrão de medida de comprimento, o metro, e com seus múltiplos e submúltiplos, com o objetivo de ampliar o trabalho com a habilidade (EF06MA24). É possível que os estudantes já tenham conhecimento de algumas dessas unidades de medida, como o metro, o centímetro e o quilômetro. Incentive-os a compartilhar esses conhecimentos perguntando sobre as diferentes situações em que essas unidades são empregadas.
Se possível, providencie diferentes instrumentos de medição de comprimento para os estudantes conhecerem, manusearem e verificarem como funcionam, como no caso do paquímetro e do micrômetro.
O paquímetro é um instrumento utilizado para medir a distância entre dois lados opostos de um objeto. O micrômetro é um instrumento usado para aferir as medidas das dimensões lineares de um objeto (como espessura, altura, largura, profundidade, diâmetro etcétera.).
Dependendo do comprimento que vamos medir, o metro pode não ser a unidade de medida mais conveniente. Por exemplo, ele não é conveniente para medir o comprimento do pé de uma pessoa ou para medir a distância entre duas cidades. Em situações como essas, podemos usar os chamados múltiplos e submúltiplos do metro.
Quando precisamos medir um comprimento menor que o metro, utilizamos seus submúltiplos: decímetro (dê ême), centímetro (cê ême) ou milímetro (ême ême).
Observe a representação desses submúltiplos em um segmento de reta.
Quando precisamos medir um comprimento muito maior, utilizamos seus múltiplos: quilômetro (cá ême), hectômetro (agá ême) ou decâmetro (dê ah ême).
Observe o quadro com os múltiplos e os submúltiplos do metro. Na linha lilás estão os nomes dessas unidades de medida de comprimento; na linha verde, os símbolos correspondentes; e, na linha amarela, os valores de cada unidade de medida em relação ao metro.
|
Múltiplos |
Unidade padrão |
Submúltiplos |
||||
|---|---|---|---|---|---|---|
|
quilômetro |
hectômetro |
decâmetro |
metro |
decímetro |
centímetro |
milímetro |
|
km |
hm |
dam |
m |
dm |
cm |
mm |
|
1.000 m |
100 m |
10 m |
1 m |
0,1 m |
0,01 m |
0,001 m |
No quadro, podemos observar:
• Cada unidade de medida corresponde à décima parte da unidade imediatamente superior (à esquerda). Acompanhe alguns exemplos.
a) 1 centímetro =
Um décimodecímetro = 0,1 decímetro
b) 1 decâmetro =
Um décimohectômetro =
Um décimo⋅
um décimo quilômetro=
Um centésimoquilômetro = 0,01 quilômetro
c) 1 decímetro =
Um décimométro = 0,1 métro = 0,1 ⋅ (0,1 decâmetro) = 0,01 decâmetro
• Cada unidade de medida corresponde a 10 vezes a unidade imediatamente inferior (à direita). Observe alguns exemplos.
a) 1 centímetro = 10 milímetros
b) 3 métros = 3 ⋅ (10 decímetros) = 3 ⋅ (10 ⋅ 10 centímetros) = 300 centímetros
c) 2,6 quilômetros = 2,6 ⋅ (10 hectômetros) = 2,6 ⋅ (10 ⋅ 10 decâmetros) = 2,6 ⋅ (10 ⋅ 10 ⋅ 10 métros) = .2600 métros
Respostas e comentários
Metro, seus múltiplos e submúltiplos
Para uma melhor compreensão sobre as relações entre o metro e seus submúltiplos, solicite aos estudantes que levem dois pedaços de barbante com 1 metro de comprimento cada. Na sala de aula, eles devem cortar um deles em dez partes iguais, obtendo dez pedaços de 1 decímetro cada um. Então, devem cortar um dos pedaços de 1 decímetro em dez partes iguais, obtendo dez pedaços de 1 centímetro cada. Em seguida, devem comparar os pedaços de barbante de 1 métro, 1 decímetro e 1 centímetro, colocando-os lado a lado no chão. Oriente os estudantes para a realização dos cortes em pedaços de mesmo comprimento. Explique os cuidados que devem ter ao manusear a tesoura com pontas arredondadas.
Espera-se que os estudantes visualizem esses comprimentos para melhor compreenderem a relação entre eles. É possível explorar também as diferentes estratégias para cortar os barbantes em 10 partes de mesma medida.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
6 Represente com algarismos e símbolos as medidas de comprimento a seguir.
a) Três milímetros.
b) Trinta centímetros.
c) Vinte e três quilômetros.
d) Quarenta e dois metros.
7 Indique o múltiplo ou submúltiplo do metro que você usaria para determinar:
a) a medida da distância entre duas cidades;
b) a medida do comprimento de seu caderno;
c) a medida da espessura de um celular.
8 Estime quantos centímetros tem:
a) seu pé;
b) seu palmo;
c) sua polegada;
d) seu passo.
9 Represente, com algarismos e símbolos, as medidas de comprimento a seguir.
a) Dois decímetros e cinco centímetros.
b) Um quilômetro, cento e dez metros.
c) Trinta e dois metros e cinco centímetros.
Transformação de unidades de medida
Em muitas situações, precisamos transformar unidades de medida de comprimento para obter a unidade mais adequada para o que estamos medindo. Vamos analisar algumas dessas transformações.
Situação 1
Para que os animais de sua fazenda não fujam, Eduardo vai colocar arame liso em uma área reservada para eles.
Acompanhe como Eduardo pode fazer essa transformação.
Como cada unidade de medida de comprimento, em relação ao metro, corresponde a 10 vezes a unidade imediatamente inferior, as transformações dos múltiplos e submúltiplos do metro podem ser feitas segundo demonstrado no esquema a seguir.
Respostas e comentários
6. a) 3 milímetros
6. b) 30 centímetros
6. c) 23 quilômetros
6. d) 42 métros
7. a) quilômetros
7. b) centímetro
7. c) milímetros
8. Respostas pessoais.
9. a) 2,5 decímetros
9. b) 1,110 quilômetros
9. c) 32,05 métros
Exercícios propostos
Para resolver o exercício 6, os estudantes devem ler as medidas e representá-las por algarismos e pelos símbolos que indicam as unidades de medida. Sabemos que milímetro, centímetro, quilômetro e metro são indicados, respectivamente, por ême ême, cê ême, cá ême e ême; logo, as respostas são:
a) 3 ême ême
b) 30 cê ême
c) 23 cá ême
d) 42 ême
No exercício 7, vale debater com os estudantes o que acontece quando não usamos uma unidade de medida adequada à situação. Isso não nos impede de chegar a uma resposta, mas, se selecionarmos uma unidade menor que a adequada (por exemplo, o milímetro em lugar do metro), a medida será representada por um número muito grande; já se selecionarmos uma unidade maior que a adequada (por exemplo, o quilômetro em lugar do centímetro), obteremos uma medida expressa por um número extremamente pequeno. Essas escolhas podem trazer dificuldades na comunicação, tanto para ler como para interpretar as medidas obtidas.
As respostas do exercício 8 são pessoais. Observe se algum estudante tem dificuldade com estimativas. Caso, algum ainda tenha, ajude-o com mais exemplos.
O exercício 9 também pede para representar com algarismos e símbolos as medidas indicadas. Porém, nesse caso, em cada item, as informações aparecem com duas unidades de medida. No item a, o estudante deve representar a resposta em decímetro: 2,5 dê ême; no item b, em quilômetro: .1110 cá ême; e, no item c, em metro: 32,05 ême.
Transformação de unidades de medida
Existem situações do dia a dia em que são necessárias conversões de uma unidade de medida de comprimento para outra, como na situação 1, na qual Eduardo precisou expressar em metro uma medida de comprimento dada em quilômetro. Explore a situação com os estudantes e proponha a eles outras conversões, de modo que percebam a relação decimal de uma unidade de medida de comprimento para a unidade imediatamente inferior:
1 quilômetro = 10 hectômetros
1 hectômetro = 10 decâmetros
1 decâmetro = 10 métros
1 métro = 10 decímetros
1 decímetro = 10 centímetros
1 centímetro = 10 milímetros
Com base nessas relações, os estudantes podem concluir outras, por exemplo:
1 quilômetro = .1000 métros
1 quilômetro = .100000 centímetros
1 métro = 100 centímetros
1 métro = .1000 milímetros
Então, para obter o comprimento, em metro, do arame que Eduardo deverá comprar, fazemos:
Assim: 1,5 quilômetro = .1500 métros (1,5 ⋅ .1000)
Portanto, Eduardo deverá comprar .1500 métros de arame liso para cercar o terreno.
Observe que na transformação de uma unidade de medida em outra realizamos um conjunto de operações para que possamos representar a mesma medida usando unidades de medida diferentes.
Situação 2
O cúbito foi uma das unidades de medida utilizadas pelos antigos egípcios na construção das pirâmides para medir a altura e o comprimento da base delas. A pirâmide de Quéops foi construída com altura medindo 280 cúbitos. Sabendo que 1 cúbito real egípcio equivale a 525 milímetros, vamos determinar, em metro, a medida da altura dessa pirâmide.
Como cada cúbito tem 525 milímetros, 280 cúbitos terão:
280 cúbitos = .147000 milímetros (280 ⋅ 525)
Agora, precisamos transformar .147000 milímetros em metro:
Assim: .147000 milímetros = 147 métros (.147000 : .1000)
Portanto, a altura da pirâmide de Quéops tem medida igual a 147 metros.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
10 O passo de Luís tem 70 centímetros de medida de comprimento. Para ir de sua casa à escola, ele caminha sem parar durante 20 minutos, dando um passo por segundo (1 minuto = 60 segundos). Quantos metros separam a casa de Luís da escola?
11 Telma usou o palmo para medir o comprimento da janela de sua casa e encontrou 9 palmos. Sabendo que o palmo de Telma mede 195 milímetros, qual é, em metro, a medida do comprimento dessa janela?
Respostas e comentários
10. 840 métros
11. 1,755 métros
Transformação de unidades de medida
Na situação 2, além de conhecer mais uma unidade de medida antiga – o cúbito –, os estudantes se deparam com a conversão entre unidades de medida de comprimento padronizadas.
Nesse caso, destaque a relação entre uma unidade de medida de comprimento e outra unidade imediatamente superior, em que a primeira sempre é a décima parte da última:
1 milímetro =
Um décimocentímetro
1 centímetro =
Um décimodecímetro
1 decímetro =
Um décimométro
1 métro =
Um décimodecâmetro
1 decâmetro =
Um décimohectômetro
1 hectômetro =
Um décimoquilômetro
Com base nessas relações, os estudantes podem concluir outras, por exemplo:
1 milímetro =
um milésimométro ou
1 milímetro = 0,001 métro
1 centímetro =
Um centésimométro ou
1 centímetro = 0,01 métro
1 métro =
um milésimoquilômetro ou
1 métro = 0,001 quilômetro
Para complementar, dê a eles um exemplo prático de conversões de alguma unidade de medida de comprimento em outra imediatamente inferior. Peça aos estudantes que convertam de metro para centímetro as medidas de sua altura.
Exercícios propostos
Este bloco de exercícios propicia a ampliação dos conhecimentos sobre unidades de medida de comprimento (padronizadas ou não), suas relações e conversões entre essas unidades.
As resoluções dos exercícios 10 e 11 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
12 A figura representa um esquema ilustrativo da estrada que liga a cidade de São Paulo (considerada como quilômetro zero) a Peruíbe (litoral sul do estado de São Paulo).
Uma vez por semana, Marcos sai de São Paulo, passa por todas as cidades do caminho e vai até Peruíbe entregar mercadorias.
a) Quantos quilômetros Marcos percorre quando vai de Itanhaém a Peruíbe?
b) Em uma ocasião, o pneu do automóvel de Marcos furou entre Praia Grande e Mongaguá, a 600 métros de Praia Grande. A quantos quilômetros de São Paulo estava Marcos quando seu pneu furou?
c) De São Vicente a Itanhaém, Marcos notou que a companhia telefônica estendeu um cabo para a instalação de linhas telefônicas. Quantos metros de cabo foram utilizados, no mínimo?
13 Quantos metros de fita foram usados em cada pacote de presente se o laço foi feito com 50 centímetros de fita?
a)
b)
14 O Pico da Neblina, que fica na Serra do Imeri (Amazonas), tem .2995,30 métros de medida de altitude, e o Pico dos Três Estados, na Serra da Mantiqueira (São Paulo, Minas Gerais, Rio de Janeiro), tem 2,665 quilômetros. Qual é a diferença, em metro, entre as medidas de altitude dos dois picos?
15
Pedro precisa transformar 4,2 métros em centímetro. Para isso, ele criou um esquema de relações mentalmente. Observe.
Mentalmente, utilizando esquemas de relações, faça as transformações pedidas.
a) 2 métros em centímetro
b) 0,45 centímetro em milímetro
c) 2,4 quilômetros em métro
d) 3 decímetros em métro
e) 4,5 centímetros em decímetro
f) 38,2 métros em quilômetro
16 Quanto devo pagar por 380 centímetros de uma fita que custa R$ 2,50dois reais e cinquenta centavos o metro?
17 Um navio cargueiro percorreu novecentas e trinta milhas marítimas. Sabendo que uma milha marítima equivale a .1852 métros, quantos quilômetros o navio percorreu?
18 O triatlo olímpico é uma modalidade esportiva na qual o atleta participa de três etapas: .1500 métros de natação, 400 hectômetros de ciclismo e 10 quilômetros de corrida. Quanto mede, em quilômetro, todo o percurso da prova?
19
Hora de criar – Com um colega, liste as unidades de medida de comprimento que vocês mais utilizam diariamente. Criem um problema, cada um de vocês, para a transformação de algumas dessas unidades de medida. Troquem os problemas e, depois de cada um resolver o problema do outro, destroquem para corrigi-los.
Respostas e comentários
12. a) 29 quilômetros
12. b) 71,6 quilômetros
12. c) .41000 métros
13. a) 1,7 métro
13. b) 2,08 métros
14. 330,30 métros
15. a) 200 centímetros
15. b) 4,5 milímetros
15. c) .2400 métros
15. d) 0,3 métro
15. e) 0,45 decímetro
15. f) 0,0382 quilômetro
16. R$ 9,50nove reais e cinquenta centavos.
17. .1722,36 quilômetros
18. 51,5 quilômetros
19. Resposta pessoal.
Exercícios propostos
Se julgar conveniente, explore o exercício 12 pedindo aos estudantes que pesquisem a distância entre a cidade onde moram e as demais cidades da região. Com esses dados, formule uma situação semelhante à apresentada.
Acompanhe a resolução desse exercício:
a) 135 quilômetros ‒ 106 quilômetros = 29 quilômetros
Logo, Marcos percorre 29 quilômetros quando vai de Itanhaém a Peruíbe.
b) Vamos transformar 600 métros em quilômetros:
600 métros = 0,6 quilômetros
71 quilômetros + 0,6 quilômetros = 71,6 quilômetros
Logo, o pneu furou a 71,6 quilômetros de São Paulo.
c) 106 quilômetros ‒ 65 quilômetros = 41 quilômetros
Transformando em metro, obtemos:
41 quilômetros = .41000 métros
Logo, foram utilizados .41000 metros de cabo.
No exercício 13, se possível, providencie embalagens em fórma de paralelepípedo e de cubo para problematizar a situação, propondo aos estudantes que observem as dimensões das faces e respondam às questões:
• Qual é o formato das faces do cubo?
• O que se pode concluir sobre as medidas das dimensões das faces de uma caixa no formato de um cubo?
• Qual seria a quantidade de fita usada para contornar todas as faces da caixa no formato de cubo, como mostra a figura?
• O que vamos obter, se acrescentarmos o tamanho do laço?
Faça explorações semelhantes para a caixa em formato de paralelepípedo. O principal objetivo dessa proposta é levar os estudantes a perceberem o formato e as medidas das dimensões das faces opostas em cada uma das embalagens. Para cada caixa, temos a a seguinte resolução:
a) 8 ⋅ 15 + 50 = 170 (170 centímetros)
Logo, nesse pacote foram usados 170 centímetros de fita, ou seja, 1,70 métro.
b) 50 + 2 ⋅ (20 + 12) + 2 ⋅ (35 + 12) = 208 (208 centímetros)
Logo, nesse pacote foram usados 208 centímetros de fita, ou seja, 2,08 métros.
As resoluções dos exercícios 14 a 18 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
O exercício 19 apresenta uma proposta de elaboração de problemas, oportunidade para valorizar a expressão escrita. A escrita na aula de Matemática tem um papel importante na aprendizagem, pois dá aos estudantes a oportunidade de repensar e aprofundar os textos que produziram, registrar suas reflexões, percepções e o que descobriram sobre um conceito ou mesmo sobre uma situação vivida. Para o professor, a produção escrita dá não apenas uma boa noção do que o grupo aprendeu sobre o que foi desenvolvido nas aulas, mas também permite avaliar como os estudantes expressam suas ideias.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Junte-se a um colega e resolvam a questão a seguir. Para instalar um encanamento em sua casa, Vitório comprou três canos: um de 8 métros, um de 5 métros e outro de 3 métros de medida de comprimento. Chegando em casa, notou que precisava dividir o cano de 8 métros ao meio. Como não tinha um instrumento de medida, usou os canos de comprimentos 5 métros e de 3 métros como referência e, assim, dividiu o cano de 8 métros exatamente ao meio.
Como Vitório fez isso? Façam desenhos para exemplificar a resposta de vocês.
3. Perímetro
Pensando em presentear uma amiga, Zenaide fez uma toalha de mesa com formato retangular. Para ficar mais bonita, ela colocará renda em todo o contorno da toalha. Observe as medidas da toalha no esquema.
Para saber quantos metros de renda precisará comprar, Zenaide terá de calcular a medida do perímetro da toalha, ou seja, deverá encontrar a soma das medidas dos lados da toalha. Mas, antes de calcular a medida do perímetro, ela precisará de todas as medidas na mesma unidade de medida de comprimento. Ou seja, as medidas dadas em centímetro terão de ser transformadas em metro.
Vamos, então, transformar centímetro em metro:
Agora, somamos as medidas dos lados da toalha para determinar a medida do perímetro, que indicaremos por P :
P = 0,9 métro + 1,5 métro + 0,9 métro + 1,5 métro = 4,8 métros
Portanto, Zenaide precisará comprar 4,8 métros de renda para colocar em todo o contorno da toalha.
A medida do perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.
Indicando por P a medida do perímetro do polígono a seguir, temos:
P = 1 centímetro + 3 centímetros + 5,5 centímetros + 3,5 centímetros = 13 centímetros
Observação
▶ O cálculo da medida do perímetro pode ser feito não somente para polígonos, mas também para qualquer outra figura plana. A medida do comprimento do contorno de uma figura plana corresponde à medida do seu perímetro.
Respostas e comentários
Pense mais um poucoreticências:
Resposta possível:
Pense mais um poucoreticências
Proponha aos estudantes que resolvam a atividade em duplas. Dê um tempo para eles se organizarem e promova uma discussão coletiva para ver as diferentes possibilidades sugeridas. Uma opção pode ser: Vitório usou o cano de 3 métros para medir o cano de 5 métros. Fez uma marca no cano de 5 métros para obter 2 métros. Com essa medida de 2 métros, dividiu o cano de 8 métros ao meio.
3. Perímetro
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah dois quatro.
Apresentamos o conceito de perímetro, ampliando e aprofundando os conhecimentos que os estudantes já têm sobre essa grandeza e sobre o trabalho com a habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois quatro). Leve modelos de polígonos recortados em cartolina ou ê vê á para que eles possam medir os comprimentos de seus lados e calcular a medida do perímetro. Essas regiões poligonais podem ser convexas ou não. Aproveite para retomar os conceitos de Geometria já abordados em capítulos anteriores.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
20 Observe os polígonos a seguir e depois faça o que se pede.
a) Com o auxílio de uma régua, meça os lados de cada polígono e determine a medida de seu perímetro.
b) Construa um quadro apresentando o nome de cada polígono, a medida do lado e a medida do perímetro (obtida no item a).
c) Que unidade de medida você usou para fazer essas medições?
21 A medida do perímetro de um triângulo isósceles é igual ao de um triângulo equilátero cujo lado mede 7 centímetros. Determine a medida dos lados do triângulo isósceles sabendo que um deles mede 8 centímetros.
22 Tenho um terreno retangular cuja medida do comprimento é igual ao triplo da medida da largura. Pensando em colocar um muro ao redor desse terreno, consultei um pedreiro para saber quantos tijolos deveria comprar. Ele me disse que, para cada metro de muro, ao longo do comprimento, seriam necessários 130 tijolos. Então, comprei .10000 tijolos. Sabendo que a largura desse terreno mede 10,8 métros, sobraram ou faltaram tijolos? Quantos?
Pense mais um poucoreticências
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Junte-se a um colega e resolvam as questões a seguir.
1 Entre os dodecágonos a, B e C, qual tem perímetro de maior medida que a do quadrado verde?
2 Observem atentamente o polígono e determinem a medida de seu perímetro.
Respostas e comentários
20. a) triângulo: 7,2 centímetros; quadrado: 9,6 centímetros; pentágono: 12,5 centímetros; hexágono: 9 centímetros.
20. b) Construção de quadro.
20. c) centímetro ou milímetros
21. 8 centímetros, 6,5 centímetros e 6,5 centímetros ou 8 centímetros, 8 centímetros e 5 centímetros.
22. Faltaram .1232 tijolos.
Pense mais um poucoreticências:
1. Todos têm perímetro de medida igual à do quadrado.
2. 23 centímetros
Exercícios propostos
No item a do exercício 20, os estudantes devem obter as seguintes medidas para os perímetros dos polígonos: 7,2 centímetros para o triângulo; 9,6 centímetros para o quadrado; 12,5 centímetros para o pentágono; 9 centímetros para o hexágono.
Vejamos um exemplo de possível quadro para o item b:
|
Polígono |
Perímetro |
Medida de cada lado |
|---|---|---|
|
triângulo |
7,2 cm |
2,4 cm |
|
quadrado |
9,6 cm |
2,4 cm |
|
pentágono |
12,5 cm |
2,5 cm |
|
hexágono |
9 cm |
1,5 cm |
No item c é importante que os estudantes percebam que se deve usar centímetro ou milímetro para as medições, já que a régua apresenta essas unidades de medida.
A resolução do exercício 21 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
No exercício 22, espera-se que os estudantes apresentem uma resolução utilizando estratégias pessoais. Apresentamos a seguir uma possibilidade. Incentive-os a fazer primeiro uma leitura de todo o enunciado e, em um segundo momento, reler registrando no caderno as informações dadas para serem utilizadas na resolução após estabelecerem uma estratégia.
• Como a medida do comprimento do terreno equivale ao triplo da medida de sua largura (que é 10,8 métros), obtém-se: 3 ⋅ 10,8 = 32,4 (32,4 métros)
• Daí, o perímetro do terreno medirá: 2 ⋅ 10,8 + 2 ⋅ 32,4 = 86,4 (86,4 métros)
• Como o pedreiro disse que deveriam ser 130 tijolos por metro de muro, serão necessários: 86,4 ⋅ 130 = .11232 (.11232 tijolos)
• Como comprei .10000 tijolos e são necessários .11232, faltaram .1232 tijolos.
Pense mais um poucoreticências
Proponha aos estudantes que resolvam esta seção em duplas. As atividades em dupla, promovem a troca de experiências entre os estudantes, e isso, contribui para o desenvolvimento das competências gerais 4 e 9.
Resolução da atividade 1:
• Considerando o lado do quadradinho da malha como unidade de medida de comprimento, concluímos que todos os dodecágonos têm medida de perímetro igual à medida de perímetro do quadrado verde.
Resolução da atividade 2:
2 × 8 + 2 × 3,5 = 23
Logo, o perímetro do polígono mede 23 centímetros.
4. Medindo a área de superfícies planas
Quando estudamos poliedros, aprendemos que as faces dessas figuras são superfícies planas. Podemos ter ideia do que seja uma superfície passando a mão no tampo de uma mesa, por exemplo.
A região da mesa que nossa mão toca é denominada superfície da mesa.
Muitas vezes precisamos medir superfícies: quando, por exemplo, queremos saber a quantidade de papel necessária para decorar a superfície de uma caixa de presente, ou quantos azulejos são necessários para recobrir as paredes de uma cozinha. A grandeza que expressa a medida de uma superfície plana é chamada de área.
Vamos aprender como medir a área de superfícies planas.
Para medir a área de uma superfície, podemos compará-la com a área de outra superfície, tomada como unidade de medida. Acompanhe os exemplos.
a) Quando medimos a superfície de cada figura com as unidades de medida apresentadas em cada caso, obtemos uma medida da área da figura.
|
Figura |
Unidade de medida |
Medida da área da figura |
|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Vamos medir a superfície da figura S, ou seja, vamos determinar a medida de sua área. Para isso, vamos usar como unidade de medida de área a medida da área da superfície do quadradinho da malha quadriculada, que chamaremos de u:
Observando o desenho, verificamos que a unidade u cabe 21,5 vezes na superfície da figura S. Portanto, a medida da área da figura S é igual a 21,5 u.
Respostas e comentários
4. Medindo a área de superfícies planas
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah dois quatro.
Provavelmente, os estudantes já têm a noção de área como medida de uma superfície. Ao ampliar e aprofundar esse assunto, espera-se que eles consolidem esses conhecimentos, ampliando o trabalho com a habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois quatro). No entanto, nosso objetivo não é esgotar o tema, que ainda será tratado em outros volumes desta coleção e aplicado no Ensino Médio.
Se possível, providencie modelos das figuras e das partes tomadas como unidade de medida de área apresentadas no quadro do exemplo a, para que os estudantes concretizem as medições.
Analise com eles o que acontece com o valor da medida de uma superfície utilizando diferentes unidades de medida. Proponha a eles que meçam a superfície do tampo da mesa do professor, a superfície da lousa e a da capa de um caderno usando como unidade de medida a área delimitada por triângulos equiláteros, retângulos e quadrados previamente recortados.
Amplie o exemplo b apresentando aos estudantes outras regiões poligonais desenhadas em malhas quadriculadas para determinarem a medida da área de cada uma delas, usando a área do quadradinho da malha como unidade de medida.
Depois, peça a eles que utilizem como unidade de medida metade da região delimitada pelo quadradinho da malha. Verifique se refazem a medição ou se partem da área encontrada anteriormente. Espera-se que os estudantes mobilizem os conhecimentos que já construíram sobre frações.
PARA SABER MAIS
Planta baixa de uma casa
Você já viu bloquinhos de construção ou brincou com eles?
Em geral, esses blocos só nos dão a vista frontal (de frente) da construção, e a nossa imaginação completa o que seriam a vista lateral e a vista superior (de cima).
Para a construção de casas reais, os arquitetos fazem projetos detalhados, que contêm todas as informações da obra que será executada. Esses projetos incluem a planta baixa.
Na arquitetura, a planta baixa é um desenho técnico esquemático, com escala, da construção vista de cima, como se ela tivesse sido cortada por um plano paralelo ao chão na altura de 1,5 metro. Ao fazer um corte com a altura 1,5 métro, é possível indicar não só as paredes, passagens e portas, mas também janelas e vitrôs. Com uma planta baixa podemos, por exemplo, ter uma ideia da distribuição dos cômodos de uma casa, ou da posição das construções de um terreno.
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Observe a casinha e verifique qual das alternativas mais se aproxima da planta baixa dela.
2 Recolha folhetos promocionais de empreendimentos imobiliários que tenham plantas baixas e verifique a distribuição e as medidas dos cômodos. Observe as passagens, se tem escala ou se há alguma informação de que a imagem é meramente ilustrativa. Escolha uma delas e reproduza-a no caderno.
3 Crie uma planta baixa de uma casa ou um apartamento do jeito que você imaginar. Escolha a disposição de cada cômodo e desenhe seus formatos. Identifique as portas e janelas deixando espaços em branco nas paredes, como na planta baixa da atividade 1. Você também pode desenhar alguns móveis vistos de cima. Uma folha quadriculada pode ajudar no desenho de sua planta baixa.
Respostas e comentários
1. Alternativa b.
2. Resposta pessoal.
3. Resposta pessoal.
Para saber mais
Nesta seção, inicialmente, peça aos estudantes que representem de maneira simplificada ambientes da escola: a sala de aula, o pátio, a biblioteca, entre outros. Discuta com a turma cada representação, comparando-as com o ambiente real, levantando com eles possíveis elementos importantes faltantes ou inadequações.
Desse modo, é possível verificar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre planta baixa, além de fortalecer e ampliar esses conhecimentos. Em seguida, trabalhe o texto e as atividades propostas na seção.
Em um contexto acessível à compreensão e ao interesse dos estudantes, esta atividade objetiva levá-los à ideia pragmática do conceito de planta baixa simples e de vista aérea.
Ao interpretar, descrever e desenhar uma planta baixa simples de uma residência, favorecemos o desenvolvimento da habilidade (EF06MA28).
Na atividade 1 da seção Agora é com você!, a resposta correta é a figura da alternativa b. Os estudantes podem ficar em dúvida entre as figuras das alternativas b e c; porém, eles devem perceber que a chaminé não está colada na parede da residência.
As respostas das atividades 2 e 3 são produções pessoais. Circule pela sala de aula verificando se os estudantes estão conseguindo fazer os desenhos.
5. Metro quadrado, seus múltiplos e submúltiplos
É comum encontrarmos em alguns sites anúncios como estes:
Observe as medidas 633 métros quadrados, 272 métros quadrados, 54 métros quadrados, e .1500 métros quadrados que aparecem nos anúncios. Elas indicam a medida da área de uma superfície em metro quadrado.
O Sistema Internacional de Unidades adota como unidade de medida padrão para a grandeza área o metro quadrado, representado por métro quadrado, ou seja, cada metro quadrado corresponde a uma unidade de área.
1 metro quadrado é a medida da área de uma superfície quadrada que tem 1 metro de lado.
Dependendo da área que vamos medir, o metro quadrado pode não ser a unidade mais conveniente. Por exemplo, ele não é conveniente para medir a área da superfície de uma das páginas deste livro nem para determinar a área de uma fazenda. Para situações como essas, podemos usar os múltiplos e submúltiplos do metro quadrado.
Quando precisamos medir uma área menor que o metro quadrado, utilizamos seus submúltiplos: decímetro quadrado (decímetro quadrado), centímetro quadrado (centímetro quadrado) ou milímetro quadrado (milímetro quadrado).
Respostas e comentários
5. Metro quadrado, seus múltiplos e submúltiplos
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah dois quatro.
Com o objetivo de ampliar o trabalho com a habilidade (EF06MA24) exploramos a relação entre o metro quadrado, seus múltiplos e submúltiplos.
Vale a pena dar destaque à fotografia em que aparece um menino sentado sobre um tapete, pois esse tapete ilustra o “tamanho” do metro quadrado, o que pode favorecer a construção de um referencial mais concreto para o significado dessa medida tão usada no dia a dia.
Observe a representação dos submúltiplos do metro quadrado na figura.
Observe que a superfície quadrada cuja área mede 1 decímetro quadrado é formada por 10 fileiras com 10 regiões quadradas de 1 centímetro quadrado em cada uma. Assim, temos: 1 decímetro quadrado = 10 ⋅ (10 centímetros quadrados) = 100 centímetros quadrados.
Do mesmo modo, em 1 centímetro quadrado cabem 10 fileiras com 10 regiões quadradas de 1 milímetro quadrado em cada uma. Logo: 1 centímetro quadrado = 10 ⋅ (10 milímetros quadrados) = 100 milímetros quadrados.
Podemos construir com folhas de jornal uma placa quadrada com 1 métro quadrado de área, isto é, com 1 métro de lado. Preenchendo essa placa com regiões quadradas de 1 decímetro de lado (com 1 decímetro quadrado de área), verificamos que 1 métro quadrado = 100 decímetros quadrados.
Em resumo:
Respostas e comentários
Metro quadrado, seus múltiplos e submúltiplos
Destacamos os submúltiplos do metro quadrado e as relações entre eles e com o metro quadrado. Proponha aos estudantes uma atividade na qual consigam folhas de jornal e colem-nas de modo a construir uma região quadrada medindo 1 métro de lado. A área dessa superfície quadrada mede 1 métro quadrado.
Depois, os estudantes devem construir, ainda com jornal, uma região quadrada medindo 1 centímetro de lado. Assim, eles podem comparar por sobreposição as duas superfícies construídas e concretizar a relação entre 1 centímetro quadrado e 1 métro quadrado. Após a comparação, os estudantes podem medir a área do piso da sala de aula e a área da quadra da escola com o metro quadrado construído.
Quando precisamos medir uma área maior que o metro quadrado, utilizamos seus múltiplos: quilômetro quadrado (quilômetro quadrado), hectômetro quadrado (hectômetro quadrado) ou decâmetro quadrado (decâmetro quadrado).
Também entre os múltiplos do metro quadrado existe uma “relação centesimal”. Assim, temos:
Observe o quadro. Nele, colocamos os múltiplos e os submúltiplos do metro quadrado. Na linha lilás, estão os nomes das unidades de medida de área; na verde, os símbolos correspondentes; e, na amarela, os valores de cada unidade de medida em relação ao metro quadrado.
|
Múltiplos |
Unidade padrão |
Submúltiplos |
||||
|---|---|---|---|---|---|---|
|
quilômetro quadrado |
hectômetro quadrado |
decâmetro quadrado |
metro quadrado |
decímetro quadrado |
centímetro quadrado |
milímetro quadrado |
|
km2 |
hm2 |
dam2 |
m2 |
dm2 |
cm2 |
mm2 |
|
1.000.000 m2 |
10.000 m2 |
100 m2 |
1 m2 |
0,01 m2 |
0,0001 m2 |
0,000001 m2 |
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
23 Meça o perímetro da figura desenhada na malha quadriculada usando a unidade de medida xis e a área usando a unidade de medida u, ambas representadas na mesma malha.
24
Em uma folha de papel quadriculado, desenhe três retângulos de perímetros de medidas diferentes que delimitem superfícies com 20 u de medida de área, em que u é a medida da área da superfície de um quadradinho do quadriculado. Em seguida, compare suas respostas com as de um colega e verifique se há alguma diferença entre as duas respostas.
25 Duas figuras com mesma medida de perímetro têm necessariamente a mesma medida de área? Por quê?
26 Calcule a medida aproximada da área das figuras considerando
a unidade de medida de área.
a)
b)
Respostas e comentários
23. 12 xis e 16 u.
24. Construção de figura.
25. Não. Porque, por exemplo, um quadrado de lado medindo 2 centímetros tem perímetro medindo 8 centímetros e área medindo 4 centímetros quadrados, e um retângulo de lados medindo 1 centímetro e 3 centímetros tem perímetro medindo 8 centímetros e área medindo 3 centímetros quadrados.
26. a) 12 u
26. b) 19 u
Exercícios propostos
No bloco de exercícios, os estudantes aplicarão as relações estudadas entre as unidades de medida de área.
Usando a unidade de medida x para a medida do perímetro, e a unidade de medida u para a medida da área da figura, obtemos como resposta do exercício 23, 12 x e 16 u.
Apresentamos um exemplo de construção de figuras para o exercício 24. Espera-se que os estudantes concluam que há outras possibilidades de resposta.
No exercício 25, espera-se que os estudantes respondam que duas figuras de mesma unidade de perímetro não têm necessariamente a mesma medida de área, já que, por exemplo, um quadrado de lado medindo 2 centímetros tem perímetro medindo 8 centímetros e área medindo 4 centímetros quadrados, e um retângulo de lados medindo 1 centímetro e 3 centímetros tem perímetro medindo 8 centímetros e área medindo 3 centímetros quadrados.
No exercício 26, os estudantes devem fazer aproximações para calcular as medidas das áreas das figuras. No item a devem contar 8 quadradinhos inteiros e considerar que aproximadamente 4 quadradinhos serão formados pela composição de outras figuras. Logo, sua medida de área é de aproximadamente 12 unidades.
Já no item b, deverão considerar 13 quadradinhos inteiros e aproximadamente 6 que se formarão pela composição de figuras. Logo, sua medida de área é de aproximadamente 19 unidades.
27 Determine a medida da área das figuras usando as unidades de medida indicadas.
a)
b)
• As duas figuras têm a mesma área? Justifique.
28 Considerando o Sistema Internacional de Unidades, indique a unidade de medida mais adequada para expressar:
a) a medida da área de Pernambuco;
b) a medida da área de uma das páginas deste livro de Matemática;
c) a medida da área de um campo de futebol;
d) a medida da área da superfície do chão de sua sala de aula.
29 Alterando apenas uma das medidas nas sentenças, corrija aquelas que são falsas.
a) 1 métro quadrado = 100 decímetros quadrados
b) 1 centímetro quadrado = 100 decímetros quadrados
c) 1 centímetro quadrado = 0,0001 métro quadrado
d) 1 métro quadrado = 10 decímetros quadrados
30 O Parque Nacional de Ubajara (Ceará) tem área de aproximadamente 60 quilômetros quadrados de medida, nos quais caberia cêrca de uma vez e meia a Floresta da Tijuca (Rio de Janeiro). Porém seriam necessárias aproximadamente 46 vezes a área da Floresta da Tijuca para se ter a área do Parque Nacional do Iguaçu (Paraná). Qual é a medida da área aproximada do Parque Nacional do Iguaçu e a da Floresta da Tijuca?
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
1 Determine a medida da área de cada figura a seguir, considerando
como unidade de medida de área.
2 Considerando que essas figuras formam uma sequência que mantém um padrão de crescimento, desenhe em um papel quadriculado a próxima figura da sequência. Qual é a medida da sua área?
3 Desenhe em uma folha de papel quadriculado as figuras das atividades 1 e 2 e recorte-as com uma tesoura com pontas arredondadas. Em seguida, corte cada uma em duas partes de modo que formem uma superfície quadrada quando juntas novamente. As novas figuras de superfície quadrada têm a mesma medida de área das figuras das atividades 1 e 2 correspondentes? As medidas de seus perímetros são as mesmas das figuras correspondentes?
(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)
Respostas e comentários
27. a) 22 u
27. b) 22 vê
27. Não, pois as unidades de medida são diferentes.
28. a) quilômetro quadrado
28. b) centímetro quadrado
28. c) métro quadrado
28. d) métro quadrado
29. a) Verdadeira.
29. b) Falsa; resposta possível: 1 centímetro quadrado = 0,01 decímetro quadrado
29. c) Verdadeira.
29. d) Falsa; resposta possível: 1 métro quadrado = 100 decímetros quadrados
30. .1840 quilômetros quadrados e 40 quilômetros quadrados.
Pense mais um poucoreticências:
1. 4 u; 9 u; 16 u; 25 u.
2. Construção de figura; 36 u.
3. Construção de figura.
Exercícios propostos
No exercício 27, proponha aos estudantes que identifiquem a figura de maior área. Espera-se que eles observem que, como u é menor que v, a figura do item b tem maior área que a do item a. Isso ajudará os estudantes a perceberem, posteriormente, a diferença entre outras unidades de medida padronizadas, como 22 centímetros quadrados < 22 métros quadrados.
O exercício 28 é um ótimo exercício para verificar se os estudantes entenderam a ordem de grandeza das unidades de medida.
No exercício 29, as alternativas com sentenças falsas são b e d. As respostas possíveis são:
b) 1 centímetro quadrado = 0,01 decímetro quadrado
d) 1 métro quadrado = 100 decímetros quadrados
No exercício 30, vale explicar aos estudantes que comparações desse tipo (“no Parque Nacional de Ubajara caberia uma vez e meia a Floresta da Tijuca”), em que recorremos à relação de proporcionalidade entre locais ou objetos distintos, são muito comuns em situações nas quais a ordem de grandeza está relacionada a medidas de grandes ou pequenos valores. Este exercício favorece o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah um dois).
Segue uma possível resolução:
Área do Parque Nacional de Ubajara (áU ): 60 quilômetros quadrados
Nesse parque cabe uma vez e meia a Floresta da Tijuca.
A área do Parque Nacional do Iguaçu (áI ) corresponde a 46 vezes a área da Floresta da Tijuca (áT ).
Assim, obtemos:
áU = 60 quilômetros quadrados, áU = 1,5 × áT e áI = 46 × áT .
Portanto:
60 quilômetros quadrados = 1,5 × áT ⇒ áT = 40 quilômetros quadrados
áI = 46 × áT ⇒ AI = 46 × 40 quilômetros quadrados ⇒ .1840 quilômetros quadrados
Pense mais um poucoreticências
Na atividade 1, considerando o quadradinho da malha a unidade de medida de área, obtemos: 4 u, 9 u, 16 u e 25 u.
Na atividade 2, cada figura, a partir da segunda, é obtida acrescentando-se à figura anterior uma linha na parte de baixo com 2 quadradinhos a mais que a linha anterior. Assim, a próxima figura teria 6 linhas, com a última linha contendo 11 quadradinhos. Contando o número de quadradinhos dessa figura, sua área mede 36 u.
Na atividade 3, oriente os estudantes ao manipular a tesoura e depois das figuras recortadas, observe se as figuras montadas correspondem às figuras a seguir:
Os estudantes podem observar que essa sequência é a dos números quadrados (por isso foi possível formar cada superfície quadrada).
Transformação de unidades de medida
No dia a dia, é comum transformar unidades de medida de área. Cada unidade de medida de área é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior; por isso, as transformações de unidades de medida de área podem ser feitas de acordo com o esquema a seguir.
Vamos analisar algumas situações.
Situação 1
Carla é a engenheira responsável por um loteamento de 1,1 quilômetros quadrados de medida de área, que deverá ter um camping de .100000 métros quadrados e chácaras de .5000 métros quadrados cada uma. Carla precisa fazer os cálculos para definir quantas chácaras serão colocadas à venda.
Antes de calcular a quantidade de chácaras, Carla precisou transformar a medida dada em quilômetro quadrado para metro quadrado, pois, considerando a grandeza área, os cálculos devem ser feitos sempre com as mesmas unidades de medida.
Para isso, ela multiplicou 1,1 por 100 ⋅ 100 ⋅ 100, ou seja, multiplicou 1,1 por ..1000000. Assim:
1,1 quilômetro quadrado = (1,1 ⋅ 100 ⋅ 100 ⋅ 100) métro quadrado = (1,1 ⋅ .100.0000) métro quadrado = .100.0000 métros quadrados
Em seguida, Carla subtraiu a medida da área destinada ao camping:
..1100000 métros quadrados ‒ .100000 métros quadrados = .100.0000 métros quadrados
Finalmente, ela dividiu os ..1000000 métros quadrados pelos .5000 métros quadrados (medida da área de cada chácara), encontrando como resultado duzentas chácaras.
Respostas e comentários
Transformação de unidades de medida
Analise a situação 1 com os estudantes, que mostra um exemplo de conversão de quilômetro quadrado para métro quadrado. Ressalte que agora a relação entre uma unidade de medida de área e a unidade imediatamente inferior é de 100 vezes uma da outra, ou seja:
1 quilômetro quadrado = 100 hectômetros quadrados
1 hectômetro quadrado = 100 decâmetros quadrados
1 decâmetro quadrado = 100 métros quadrados
1 métro quadrado = 100 decímetros quadrados
1 decímetro quadrado = 100 centímetros quadrados
1 centímetro quadrado = 100 milímetros quadrados
Com base nessas relações, os estudantes podem concluir outras, por exemplo:
1 quilômetro quadrado = ..1000000 métros quadrados
1 métro quadrado = .10000 centímetros quadrados
1 métro quadrado = ..1000000 milímetros quadrados
Situação 2
Para homenagear os estudantes de sua escola, Neide, a coordenadora pedagógica, quer fazer um painel colando as fotografias de seus .1500 estudantes, uma ao lado da outra sem espaço e sem remonte. As fotografias são do tipo 3 × 4 e têm 12 centímetros quadrados cada uma. Para isso, Neide deverá comprar um painel de, no mínimo, quantos metros quadrados?
Vamos transformar 12 centímetros quadrados em métro quadrado.
Dividimos 12 por 100 ⋅ 100, ou seja, dividimos 12 por .10000. Assim:
12 centímetros quadrados = (12 : .10000) métro quadrado = 0,0012 métro quadrado
Para saber a medida da área que as .1500 fotografias irão cobrir, devemos multiplicar .1500 por 0,0012 métro quadrado.
.1500 ⋅ 0,0012 métro quadrado = 1,8 métro quadrado
Portanto, Neide deve comprar um painel de, no mínimo, 1,8 métro quadrado.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
31 Transforme:
a) 0,5 quilômetro quadrado em metro quadrado;
b) 0,25 métro quadrado em centímetro quadrado;
c) .4230 centímetros quadrados em metro quadrado;
d) 125 milímetros quadrados em centímetro quadrado.
32 Um pedreiro irá revestir o piso de um banheiro, cuja área tem medida igual a 10,8 métros quadrados, com lajotas de 900 centímetros quadrados. De quantas lajotas, no mínimo, ele precisará?
33
Em uma atividade, Ana precisava transformar 2,3 decímetros quadrados em centímetro quadrado. Para isso, mentalmente, ela construiu um esquema de relações. Observe o balão de pensamento.
Construa, mentalmente esquemas de relações e faça as transformações pedidas.
a) 3 centímetros quadrados em milímetro quadrado
b) 0,45 decímetro quadrado em centímetro quadrado
c) 42,1 quilômetros quadrados em métro quadrado
d) 32 centímetros quadrados em métro quadrado
e) 23,5 decímetros quadrados em métro quadrado
f) 235 métros quadrados em quilômetro quadrado
Respostas e comentários
31. a) .500000 métros quadrados
31. b) .2500 centímetros quadrados
31. c) 0,423 métro quadrado
31. d) 1,25 centímetro quadrado
32. 120 lajotas.
33. a) 300 milímetros quadrados
33. b) 45 centímetros quadrados
33. c) 4..2100000 métros quadrados
33. d) 0,0032 métro quadrado
33. e) 0,235 métro quadrado
33. f) 0,000235 quilômetro quadrado
Transformação de unidades de medida
Analise a situação 2 com os estudantes, que mostra um exemplo de conversão de centímetro quadrado para métro quadrado. Destaque a relação entre uma unidade de medida de área e outra unidade imediatamente superior, em que a primeira sempre é a centésima parte desta última:
1 milímetro quadrado =
Um centésimocentímetro quadrado
1 centímetro quadrado =
Um centésimodecímetro quadrado
1 decímetro quadrado =
Um centésimométro quadrado
1 métro quadrado =
Um centésimodecâmetro quadrado
1 decâmetro quadrado =
Um centésimohectômetro quadrado
1 hectômetro quadrado =
Um centésimoquilômetro quadrado
Com base nessas relações, os estudantes podem concluir outras, por exemplo:
1 milímetro quadrado =
Um milionésimo.métro quadrado ou
1 milímetro quadrado = 0,000001 métro quadrado
1 centímetro quadrado =
Um dez mil avos.métro quadrado ou
1 centímetro quadrado = 0,0001 métro quadrado
Exercícios propostos
Neste bloco de exercícios, os estudantes poderão ampliar seus conhecimentos sobre unidades de medida de área, suas relações e fazer conversões entre essas unidades.
Ao resolver o exercício 31, eles devem saber que:
1 quilômetro quadrado = ..1000000 métros quadrados
1 métro quadrado = .10000 centímetros quadrados
1 centímetro quadrado = 0,0001 métro quadrado
1 milímetro quadrado = 0,01 centímetro quadrado
Assim:
a) 0,5 quilômetro quadrado = .500000 métros quadrados
b) 0,25 métro quadrado = .2500 centímetros quadrados
c) .4230 centímetros quadrados = 0,423 métro quadrado
d) 125 milímetros quadrados = 1,25 centímetro quadrado
No exercício 32, podemos, inicialmente, fazer a transformação 10,8 métros quadrados = .108000 centímetros quadrados e, depois, o seguinte cálculo .108000 : 900 = 120. Logo, serão necessárias 120 lajotas.
A resolução do exercício 33 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
34 Observe a distribuição percentual, por região, da área territorial do Brasil.
Distribuição da área territorial do Brasil
Elaborado com base em: Almanaque Abril 2015. São Paulo: Abril, 2015. página 654.
• Calcule, em quilômetro quadrado, a medida aproximada da área de cada região.
35 O gráfico apresenta dados sobre o desmatamento na Amazônia desde 2009 até 2021. Observe-o com atenção.
Analisando essas informações, responda às questões.
a) Em qual desses anos a Amazônia Legal teve a maior área desmatada? E a menor?
b) Entre quais dois anos consecutivos ocorreu a maior diminuição no desmatamento? E o maior aumento?
c) A média do desmatamento ocorrido em um período é calculada dividindo-se a soma dos desmatamentos do período pela quantidade de anos desse período. O desmatamento ocorrido de 2009 a 2013 foi em média maior que o de 2017 a 2021?
d) O desmatamento pode ser o passo inicial para a desertificação. Em um dos lugares mais quentes da Terra, o deserto de Lut, no Irã, não há registro de vegetação em nenhum ponto dos seus cêrca de 52 mil quilômetros quadrados de medida de área.
Calcule a medida da área de desmatamento da Amazônia do ano em que você nasceu até 2021. Ela é menor do que a área do deserto de Lut?
Respostas e comentários
34. Norte: ≃ 3,8 milhões quilômetros quadrados; Centro-Oeste: ≃ 1,6 milhão quilômetros quadrados; Nordeste: ≃ 1,5 milhão quilômetros quadrados; Sudeste: ≃ 0,9 milhão quilômetros quadrados; Sul: ≃ 0,6 milhão quilômetros quadrados.
35. a) 2021; 2012.
35. b) Entre 2011 e 2012; entre 2020 e 2021.
35. c) A média do desmatamento de 2009 a 2013 (≃ .6269 quilômetros²) foi menor que a de 2017 a 2021 (≃ .9740 quilômetros²).
35. d) As respostas dependem do ano de nascimento do estudante.
Exercícios propostos
O exercício 34 propicia uma articulação com a interpretação de gráfico de setores e mapa com cálculos de porcentagem e medidas de área. Aproveite esse momento para fazer a leitura do mapa e do gráfico junto com os estudantes. Se considerar adequado, peça-lhes que localizem no mapa a região geográfica ou o estado em que moram.
Aproveite o contexto do exercício 35 para ouvir a opinião dos estudantes sobre o desmatamento na Amazônia Legal, assim como sobre as possíveis ações para modificar o alarmante problema do desmatamento no Brasil. No item d, apresentamos uma relação entre o desmatamento e o processo de desertificação, resultando na perda da qualidade do solo. E no item f, que está na página seguinte, propomos uma pesquisa sobre essa temática. Comente com os estudantes que esse processo pode inviabilizar o plantio de alimentos, causar mortes dos animais, influenciar o clima da região, entre outros prejuízos. Ao trabalhar com essa temática, contribuímos para o desenvolvimento da competência geral 7 e dos Temas Contemporâneos Transversais meio ambiente e vida familiar e social.
Os exercícios 34 e 35 favorecem o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero seis ême ah um dois), (ê éfe zero seis ême ah um três) e (ê éfe zero seis ême ah três dois). As resoluções destes exercícios estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
Sugestão de leitura
Para enriquecer a discussão proposta, sugerimos o livro:
CGEE. Desertificação, degradação da terra e secas no Brasil. Brasília: Centro de Gestão e Estudos Estratégicos, 2016. Disponível em: https://oeds.link/AyLl3S. Acesso em: 31 maio 2022.
Este livro, que reúne contribuições de vários pesquisadores brasileiros, pretende lançar luzes sobre a situação particular do Semiárido brasileiro, uma região tradicionalmente sujeita a secas e a processos de degradação da terra e desertificação.
e) Pesquise a medida da área do maior deserto da América do Sul, o Atacama, no Chile. A área que você calculou no item d é maior que a medida da área do deserto do Atacama?
f) Pesquise em livros, revistas, na internet ou com seus professores as causas para a resposta que encontrou no item c e possíveis soluções para o problema do desmatamento.
36
Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre a transformação de unidades de medida de área criado por cada um de vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
Pense mais um pouco...
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Junte-se a um colega e leiam as orientações a seguir.
• Quando precisamos resolver um problema, inicialmente temos de entendê-lo. Depois de ler atentamente o enunciado, podemos escrever no caderno o que é dado, o que é pedido e verificar se a construção de um desenho com essas informações ajuda na compreensão do problema.
• É indispensável ter uma estratégia, um caminho para a resolução: devemos verificar que relações existem entre o que é dado e o que é pedido, se é melhor separar a resolução em etapas, por onde começar, se há informações a mais ou a menos, se há algum problema que já conhecemos e que seja parecido com esse.
• É necessário traçar o caminho imaginado para a resolução, isto é, executar a estratégia passo a passo até chegar a uma conclusão.
• Finalmente, é preciso conferir essa conclusão substituindo o que foi pedido pelo resultado obtido, além de verificar se esse resultado satisfaz as condições do problema.
Agora, considerando o que acabaram de ler, resolvam o problema apresentado a seguir.
Nei comprou azulejos quadrados, com 25 centímetros de lado, para revestir uma piscina como a ilustrada.
Essa piscina tem 5,25 métros de medida de comprimento, 4 métros de medida de largura e 1,50 métro de medida de profundidade.
No meio do trabalho, Nei percebeu que a quantidade comprada era suficiente para revestir apenas o piso da piscina e as duas paredes maiores. Quantos azulejos estavam faltando?
Respostas e comentários
35. e) Depende da medida da área que o estudante calculou, mas provavelmente não, pois o Atacama tem área medindo aproximadamente .105000 quilômetros quadrados.
35. f) O desmatamento da Amazônia Legal pode diminuir com políticas federais como o Plano de Ação para a Prevenção e o contrôle do Desmatamento na Amazônia Legal (pê pê cêdecâmetros), com o incentivo a uma nova economia verde, com a delimitação de áreas para as atividades agropecuárias e de mineração. Para mais informações, acesse o site do Ministério do Meio Ambiente. Disponível em: https://oeds.link/Ja5l0E. Acesso em: 13 fevereiro 2022.
36. Resposta pessoal.
Pense mais um poucoreticências: 192 azulejos.
Exercícios propostos
O exercício 36 apresenta uma proposta de elaboração de problemas. Oriente os estudantes nessa elaboração e se possível, forme uma lista com os exercícios elaborados, que podem servir como material para estudo e aplicação do conteúdo estudado.
Pense mais um poucoreticências
É importante observar que o cálculo do número de azulejos do piso da piscina pode ser feito apenas com a noção de área (sem fórmula). A ideia é mostrar que basta utilizar os conceitos de divisão e de contagem.
Como faltarão apenas as laterais menores para serem revestidas, calculamos apenas quantos azulejos precisamos para elas. As laterais menores dessa piscina têm fórma retangular medindo 1,5 métro (ou 150 centímetros) de altura e 4 métros (ou 400 centímetros) de largura. Para saber quantos 25 centímetros cabem em 150 centímetros e quantos 25 centímetros cabem em 400 centímetros, basta efetuar: 150 : 25 = 6 e 400 : 25 = 16.
Assim, para cobrir uma dessas paredes necessitamos de 6 fileiras de 16 azulejos como esse em cada uma, ou seja, 96 azulejos (6 ⋅ 16). Como são duas dessas paredes, totalizam 192 azulejos (6 ⋅ 16 ⋅ 2).
Os estudantes devem perceber que não é necessário saber a quantidade inicial de azulejos comprada por Nei. É preciso saber apenas a quantidade de azulejos para essa parede da piscina.
Para resolver um problema, temos de, inicialmente, entendê-lo. Depois de ler atentamente o enunciado, escrevemos o que é dado, o que é pedido e verificamos se a construção de um desenho ajuda na compreensão do problema.
Devemos ter uma estratégia para a resolução: verificar que relações existem entre o que é dado e o que é pedido, se é melhor separar a resolução em etapas, por onde começar, se há informações a mais ou a menos. É necessário executar a estratégia passo a passo até chegar a uma conclusão. Finalmente, é preciso conferir essa conclusão substituindo o que foi pedido pelo resultado obtido, além de verificar se esse resultado satisfaz as condições do problema. Ao trabalhar com essa seção é favorecido o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois quatro).
6. Medidas agrárias
Observe estas notícias:
![Ilustração.
Manchete de jornal. A produção de grãos no Brasil poderá chegar a 269,3 milhões de toneladas na safra 2021/22. [...] O levantamento estima que a área plantada total no país é de 72,9 milhões de hectares, o que representa crescimento de 4,4% na comparação com a safra 2020/21.
Dados obtidos em: Produção agrícola deve atingir 269,3 milhões de toneladas, diz Conab.
Agência Brasil. Disponível em: <LINK ENCURTADO>. Acesso em: 9 ago. 2022.
Fotografia.
Vista do alto de plantação de milho. No centro, faixas verticais feitas por máquinas.](../resources/images/im_278_308_mb6_c11_f2_lp_g24_digital_group_230569-1.png)
Dados obtidos em: Produção agrícola deve atingir 269,3 milhões de toneladas, diz Conab. Agência Brasil. Disponível em: https://oeds.link/liUBU3. Acesso em: 9 agosto 2022.
![Ilustração.
Manchete de jornal. Produtor rural colhe mais de 170 sacas de soja por alqueire sem usar agrotóxicos no PR [Paraná]. Dados obtidos em: Foco Rural. Disponível em: https://www.focorural.com/produtorrural-colhe-mais-de-170-sacas-de-soja-por-alqueire-sem-usar-agrotoxicos-no-pr/. Acesso em: 13 fev. 2022.](../resources/images/im_278_308_mb6_c11_f2_lp_g24_digital_group_230534-3.png)
Dados obtidos em: Produtor rural colhe mais de 170 sacas de soja por alqueire sem usar agrotóxicos no PR. Foco Rural. Disponível em: https://oeds.link/A59N1V. Acesso em: 13 fevereiro 2022.
Como você pode perceber, nas notícias foram usadas duas unidades de medida de área: alqueire e hectare. Essas são algumas unidades de medidas agrárias, duas unidades de medida de área utilizadas em medições de grandes extensões de terras.
Vamos comparar essas duas unidades de medida mencionadas nas notícias com o metro quadrado.
O hectare (agá ah) equivale a .10000 métros quadrados.
Respostas e comentários
6. Medidas agrárias
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah dois quatro.
Medidas como alqueire e hectare – as medidas agrárias – são empregadas no meio rural para expressar áreas de grandes extensões de terras, tema que será estudado nessa sequência de páginas com o objetivo de ampliar o trabalho com a habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois quatro). Para ampliar essas noções, proponha aos estudantes outras comparações do hectare, do are e do alqueire com o metro quadrado.
Aproveite a oportunidade para trabalhar com eles a importância do agricultor e da tecnologia que colabora para que ele tenha menos perda na colheita; a questão do uso dos agrotóxicos e do mal que eles causam à saúde e ao meio ambiente. Promova um trabalho integrado com Ciências e Geografia. Esse trabalho contribui para o desenvolvimento das competências gerais 2 e 10.
Proponha aos estudantes que encontrem notícias que apresentem medidas agrárias. Eles podem encontrar informações também em livros de Geografia.
O alqueire apresenta um inconveniente: sua medida, em métro quadrado, não é a mesma em todas as regiões do Brasil, ou seja, 1 alqueire não corresponde a uma área de mesma medida em metro quadrado em todos os estados brasileiros. Observe o quadro.
|
Alqueire paulista |
Alqueire mineiro |
Alqueire goiano |
Alqueire baiano |
|---|---|---|---|
|
24.200 m2 |
48.400 m2 |
48.400 m2 |
96.800 m2 |
Por causa disso, o alqueire geralmente é substituído pelo hectare.
Outra unidade de medida agrária utilizada no Brasil é o are, cujo símbolo é aponto O are é uma unidade de medida agrária pouco utilizada atualmente, mas é uma unidade importante porque serve como base para outras unidades de medidas agrárias, como o hectare.
1 are equivale a 1 decâmetro quadrado, ou seja, a 100 métros quadrados, e 1 hectare equivale a 100 ares.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
37 Uma fazenda com 260 hectares será transformada em um loteamento. Dessa área, 20% serão usados para ruas e praças. Quantos lotes de 400 métros quadrados terá o loteamento?
38 A medida da área de um sítio é 300 ares. Qual é a medida da área desse sítio em hectare?
39 Uma fazenda em Maracás, no estado da Bahia, tem 100 alqueires baianos. Quantos hectares tem essa fazenda?
40 Alcides plantou arroz em uma área medindo .35000 métros quadrados e colheu na safra deste ano, em média, .2760 quilogramas por hectare. Qual foi sua produção de arroz nessa safra?
41 Um fazendeiro tem uma parte de suas terras em São Paulo com 84 alqueires paulistas e outra parte em Minas Gerais com 48 alqueires mineiros. Qual parte é maior: a mineira ou a paulista?
42 Lavoura permanente é o nome que se dá às culturas agrícolas de longo ciclo vegetativo, que possibilitam colheitas sucessivas, sem necessidade de novo plantio. Observe a tabela, que contém informações sobre a área total plantada referente à lavoura permanente de cada região brasileira.
|
Região |
Medida de área (em hectare) |
|---|---|
|
Norte |
3.924.343 |
|
Nordeste |
9.458.502 |
|
Sudeste |
12.864.432 |
|
Sul |
21.550.516 |
|
Centro-Oeste |
30.167.264 |
Dados obtidos em: í bê gê é, pê á ême – Produção Agrícola Municipal. Disponível em: https://oeds.link/b950I3. Acesso em: 13 fevereiro 2022.
Agora, com base nos dados da tabela, responda às questões.
a) Qual é a medida da área total plantada em todo o território brasileiro?
b) Qual região tem a maior medida de área plantada? E a menor?
c) Qual é a medida da área total plantada, em quilômetro quadrado, na região Nordeste?
d) A região Norte, com ..3851560 quilômetros quadrados é a região de maior medida de área do território brasileiro. Em sua opinião, o que explicaria elas terem áreas de lavoura permanente menores que a região Sul?
Respostas e comentários
37. .5200 lotes.
38. 3 hectares
39. 968 hectares
40. .9660 quilogramas.
41. A parte mineira.
42. a) ..77965057 hectares
42. b) Centro-Oeste; Norte.
42. c) .94585,02 quilômetros quadrados
42. d) Resposta possível: Grande parte da região Norte é ocupada pela Floresta Amazônica.
Exercícios propostos
Para resolver o exercício 37, os estudantes devem considerar que 1 hectare corresponde a .10000 métros quadrados. Desse modo, 260 hectares correspondem a ..2600000 métros quadrados.
Como 20% dessa área serão usados para ruas e praças, então 80% serão usados para loteamento:
80% de ..2600000 métros quadrados = 0,80 × ..2600000 métros quadrados = ..2080000 métros quadrados
Como cada lote medirá 400 métros quadrados, obtemos:
..2080000 métros quadrados : 400 métros quadrados = .5200
Portanto, o loteamento terá .5200 lotes de área medindo 400 métros quadrados.
Como ampliação dessa atividade sugerimos que, sem fazer cálculo algum, os estudantes digam se a resposta seria maior ou menor que .5200 lotes, caso fizéssemos as seguintes substituições no enunciado original:
• “260 hectares” por “250 hectares” (menor)
• “20%” por “25%” (menor)
• “400 métros quadrados” por “450 métros quadrados” (menor)
• “20%” por “10%” (maior)
• “260 hectares” por “500 hectares” (maior)
As resoluções dos exercícios 38 a 42 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
No exercício 42 exploramos o conceito de lavoura permanente. Comente com os estudantes que há dois tipos de lavoura: a permanente, aquela que pode produzir frutos por anos seguidos, uma vez plantada, e a temporária, que é anual ou sazonal. Solicite a eles que deem exemplos de culturas de cada um desses tipos.
Essa temática permite um trabalho em conjunto com os professores de Geografia, explorando as diferentes regiões geográficas e as atividades agropecuárias de cada região, e de Ciências da Natureza, explorando as características das plantas cultivadas em cada tipo de lavoura e o uso de diferentes produtos usados nessas lavouras.
Como ampliação dessa atividade, a partir da proposta do item d, solicite aos estudantes que pesquisem as áreas das demais regiões do país. Ao analisar as informações da tabela e as pesquisadas, é importante que percebam que a área plantada não é proporcional à área da região correspondente.
7. Área da superfície retangular
Vamos encontrar a medida de área de algumas superfícies retangulares, empregando também uma superfície retangular como unidade de medida.
A unidade que escolhemos é a superfície de um quadrado com 1 centímetro de lado, representada por:
Essa superfície tem área de 1 centímetro quadrado, portanto nossa unidade de medida é o centímetro quadrado (centímetro quadrado).
|
Superfície retangular |
Unidade de medida: cm2 |
Medida da área da superfície |
|---|---|---|
|
|
|
8 cm2 |
|
|
|
2 cm2 |
|
|
|
9 cm2 |
Observe que, ao contar as superfícies quadradas de cada figura, obtemos a medida de sua área em centímetro quadrado. Entretanto, nem sempre é conveniente fazer essa contagem uma a uma, principalmente quando o número de superfícies quadradas da figura é muito grande.
Acompanhe como podemos proceder nesse caso.
Situação 1
A figura 1 é formada por 7 colunas com 5 superfícies quadradas em cada uma. Cada superfície tem 1 centímetro de medida de lado, ou seja, 1 centímetro quadrado de medida de área.
Então, ao todo, a região apresenta 35 superfícies quadradas (7 ⋅ 5), isto é, sua medida de área é igual a 35 centímetros quadrados.
Respostas e comentários
7. Área da superfície retangular
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah dois quatro.
Neste tópico, ampliamos o trabalho com a habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois quatro) ao trabalhar o cálculo da medida de área de superfícies retangulares. Para isso, é importante que tenham compreendido a características dos polígonos estudados, como quadrado e retângulo.
Retome os conceitos de Geometria que tratam dos quadriláteros, ressaltando que todo quadrado é um retângulo. Ou seja, ao estudar a área de uma superfície retangular, também estamos estudando a área de superfícies quadradas. Explore o quadro que apresenta alguns exemplos com os estudantes.
Para auxiliar na exploração da situação 1, é interessante reproduzir a superfície retangular da figura 1 em cartolina ou na lousa. Os estudantes podem usar papel quadriculado para desenhar as figuras 1 e 2 e comparar os dois procedimentos mostrados.
Observe na figura 2 que:
• 7 é o número que indica a medida do comprimento da superfície retangular (7 centímetros);
• 5 é o número que indica a medida da largura dessa superfície (5 centímetros).
Então, conhecendo as medidas dos lados de uma superfície retangular em uma mesma unidade de medida, podemos determinar a medida de sua área, multiplicando os números que indicam as medidas do comprimento e da largura, e a unidade de medida considerada.
Assim, a medida da área da figura 2 é dada por: 7 centímetros ⋅ 5 centímetros = 35 centímetros quadrados.
Observações
▶ No estudo que faremos em toda a coleção, vamos nos referir à área da superfície poligonal simplesmente por área do polígono. Por exemplo, a área de uma superfície retangular será denominada área do retângulo.
▶ O comprimento e a largura de um retângulo podem ser chamados de base e altura, respectivamente.
Situação 2
Agora, acompanhe um caso em que as medidas dos lados do retângulo da figura são números racionais não inteiros (figura 3).
Para calcular a medida da área, podemos utilizar a figura dada para fazer uma outra figura e, em seguida, dividimos a medida da base da figura dada por 4 e a da altura por 2.
Cada parte obtida nessa divisão é
Um quinze avosda área de um quadrado de lados medindo 1 centímetro (figura 4). Como o retângulo tem 8 dessas partes, a medida de sua área é
Oito quinze avoscentímetro quadrado.
Respostas e comentários
Área da superfície retangular
Analise a situação 2 propondo aos estudantes que representem também as figuras mostradas.
Neste momento, deverão mobilizar seus conhecimentos sobre frações. Peça a eles que identifiquem a base e a altura das regiões retangulares que forem desenhadas.
Também podemos obter a medida da área do retângulo multiplicando as medidas da base e da altura:
medida da área do retângulo = (medida da base) ⋅ (medida da altura)
Área de um quadrado
Como o quadrado é um retângulo cujos lados têm a mesma medida, para determinar a medida de sua área procedemos do mesmo modo:
medida da área do quadrado = (medida do lado) ⋅ (medida do lado) = (medida do lado)2
Observemos alguns exemplos.
a) Vamos calcular a medida da área de um terreno quadrado com 41,6 métros de lado. A medida da área do terreno, em metro quadrado, é dada por: 41,6 métros ⋅ 41,6 métros = .1730,56 métros quadrados. Logo, a medida da área desse terreno é .1730,56 métros quadrados.
b) Vamos encontrar a medida do lado de um quadrado cuja área mede 121 centímetros quadrados. Para isso, basta procurar um número que, elevado ao quadrado, dê 121. Esse número é 11. Assim, como a medida da área foi dada em centímetro quadrado, a medida do lado será em centímetro, ou seja, o lado desse quadrado mede 11 centímetros.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
43 Calcule a medida da área da figura.
44 Quantos azulejos quadrados de 20 centímetros de medida de lado são necessários para recobrir uma parede de 3,6 métros por 3 métros?
45 Um terreno retangular tem 12,60 métros de frente e 20 métros de fundo.
a) Determine a medida da área desse terreno.
b) Determine o valor desse terreno, sabendo que cada metro quadrado vale R$ 320,00trezentos e vinte reais.
46 Desenhe dois quadrados, um de 4 centímetros de medida de lado e outro de 8 centímetros de medida de lado.
a) Calcule a medida do perímetro e da área dos dois quadrados.
b) Quantas vezes o quadrado menor cabe no maior?
c) Ao duplicar a medida dos lados de um quadrado, a medida de seu perímetro também duplica? E de sua área?
Respostas e comentários
43. 11,25 centímetros quadrados
44. 270 azulejos.
45. a) 252 métros quadrados
45. b) R$ 80.640,00oitenta mil seiscentos e quarenta reais.
46. Construção de figura.
46. a) Medida dos perímetros: 16 centímetros e 32 centímetros; medidas das áreas: 16 centímetros quadrados e 64 centímetros quadrados.
46. b) 4 vezes.
46. c) A medida de seu perímetro duplica e de sua área quadruplica.
Área de um quadrado
Proponha aos estudantes que refaçam os passos da situação 1 apresentada anteriormente, desenhando agora uma região quadrada. Eles devem perceber que, nesse caso, a base e a altura têm medidas iguais; portanto, obtemos um produto de um número por ele mesmo, resultando na notação de potência.
Exercícios propostos
Os estudantes devem decompor a figura dada no exercício 43 em um quadrado e um retângulo, para, assim, calcularem a medida da área da figura.
Área da figura = Área do quadrado + Área do retângulo
Medida da área do quadrado:
1,5 centímetro × 1,5 centímetro = 2,25 centímetros quadrados
Medida da área do retângulo:
2 centímetros × (1,5 + 1,5 + 1,5) centímetro = 9 centímetros quadrados
Medida da área da figura:
2,25 centímetros quadrados + 9 centímetros quadrados = 11,25 centímetros quadrados
Logo, a figura tem 11,25 centímetros quadrados de medida de área.
Após a resolução do exercício 44, caso considere conveniente, desafie os estudantes a encontrarem outros tamanhos de azulejo quadrado que possam recobrir a mesma parede, mas com encaixe perfeito, sem a necessidade de corte de azulejos. Para determinar a quantidade de azulejos, os estudantes podem inicialmente determinar a medida da área da parede.
Medida da área da parede: 3,6 métros × 3 métros = 10,8 métros quadrados
Depois, a medida da área do azulejo: 20 centímetros × 20 centímetros = 400 centímetros quadrados = 0,04 métro quadrado
Em seguida, determinar quantas vezes uma medida cabe na outra:
10,8 métros quadrados : 0,04 métro quadrado = 270
Logo, serão necessários 270 azulejos quadrados de 20 centímetros de medida de lado.
As resoluções dos exercícios 45 e 46 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
47 Considere uma mesa que tem o tampo em fórma de um quadrado. Uma formiga, partindo de um dos cantos do tampo, contornou-o até voltar ao ponto inicial. Andou 5,20 métros. Qual é a medida da área do tampo dessa mesa?
48 Esta é a planta do apartamento de Eduardo.
Sabendo que a espessura da parede mede 0,15 métro, calcule:
a) a medida da largura da sala;
b) a medida do perímetro do dormitório;
c) a medida da área da cozinha;
d) quantos metros quadrados de carpete são necessários para forrar o chão da sala.
49 Um cubo tem aresta medindo 12 centímetros.
a) Calcule a medida da área de uma de suas faces.
b) Determine a soma das medidas das áreas de todas as suas faces.
50 (uneb bahia) Deseja-se fazer uma calçada de 0,6 métro de medida de largura em volta de uma piscina, como mostra a figura a seguir.
A pedra a ser utilizada é vendida em blocos medindo 0,2 métro × 0,3 métro cada um. Se a piscina tem 4,2 métros de medida de comprimento por 3 métros de medida de largura, o menor número de blocos de pedras a ser utilizado é:
a) 192.
b) 168.
c) 126.
d) 108.
e) 84.
51
Hora de criar – Em duplas, desenhem em seus cadernos a planta baixa de um dos cômodos de suas casas. Indiquem as medidas aproximadas de todas as paredes e façam a representação dos móveis. Depois, troquem as plantas desenhadas e cada um deve calcular a medida do perímetro e da área do cômodo que o outro desenhou. Comparem as medidas obtidas. Se as medidas dos perímetros dos cômodos fossem iguais, as medidas das suas áreas seriam necessariamente iguais?
PARA SABER MAIS
Pesquisando no geoplano
Um geoplano pode ser construído em uma chapa de madeira compensada na qual se cola um papel quadriculado. Nos pontos de encontro das linhas desse quadriculado são fixados pregos. Com uma linha ou com um elástico, podemos contornar esses pregos e emoldurar figuras.
Respostas e comentários
47. 1,69 métros quadrados
48. a) 3,40 métros
48. b) 17,3 métros
48. c) 12,60 métros quadrados
48. d) 17,85 métros quadrados
49. a) 144 centímetros quadrados
49. b) 864 centímetros quadrados
50. Alternativa b.
51. Resposta pessoal.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 47 e 51 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
Depois de resolvido o exercício 48, reúna os estudantes em duplas ou trios para que comparem suas resoluções e respostas. Questione-os sobre a importância da informação “a espessura da parede mede 0,15 métro” e quais seriam os resultados se essa informação não fizesse parte do enunciado. O trabalho com este exercício contribui para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois oito).
Uma possível resolução para cada item dessa atividade é apresentada a seguir:
a) 11,75 ‒ 2,40 ‒ 1,80 ‒ 3,40 ‒ 5 × 0,15 = 3,4
Logo, a largura da sala mede 3,4 métros.
b) 2 × 3,40 + 2 × (5,55 ‒ 0,30) = 17,3
Logo, o perímetro do dormitório mede 17,3 métros.
c) Medida da largura da cozinha: 2,40 métros Medida do comprimento da cozinha: 5,55 métros ‒ 2 × 0,15 métro = 5,25 métros 2,40 × 5,25 = 12,60
Logo, a área da cozinha mede 12,60 métros quadrados.
d) Medida da largura da sala: 3,4 métros Medida do comprimento da sala: 5,55 métros ‒ 2 × 0,15 métro = 5,25 métros 3,4 × 5,25 = 17,85
Logo, serão necessários 17,85 métros quadrados de carpete.
O exercício 49 propicia retomar as características de um cubo. Ao questionar qual é a medida da área de uma face lateral desse cubo (item a), espera-se que os estudantes percebam que, como em um cubo todas as faces são quadradas e idênticas, cada face lateral também tem área medindo 144 centímetros quadrados.
Pergunte a eles qual é a soma das medidas das áreas laterais desse cubo, que é 576 centímetros quadrados. Verifique como procedem nesse caso: eles podem contar quantas são as faces laterais (4) e multiplicar pela medida da área de uma delas (4 ⋅ 144) ou podem do total (864 centímetros quadrados, pelo item b) retirar as medidas das áreas referentes às duas bases (864 ‒ 2 ⋅ 144).
No exercício 50, uma opção para os estudantes exporem de modo mais compreensível suas ideias é, em grupos, fazerem cartazes reproduzindo a figura apresentada e explicando todo o percurso de resolução. Eles devem identificar se um caminho similar ao seu já foi exposto e acrescentar apenas aquilo que for diferente.
Uma possível resolução para esse problema é apresentada a seguir:
Área do bloco: 0,2 métro × 0,3 métro = 0,06 métro quadrado
Vamos calcular a medida da área da calçada: 4,2 métros × 0,6 métro = 2,52 métros quadrados
3 métros × 0,6 métro = 1,8 métro quadrado
Medida da área da calçada: 2 × 2,52 métros quadrados + 2 × 1,8 métro quadrado + 4 × (0,6 × 0,6) = 5,04 métros quadrados + 3,6 métros quadrados + 1,44 métro quadrado = 10,08 métros quadrados
Cálculo da quantidade de blocos: 10,08 métros quadrados : 0,06 métro quadrado = 168
Alternativa b.
Inês gosta de brincar no seu geoplano fazendo máscaras, trenzinhosreticências
reticênciase também polígonos.
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Observando os quadrados feitos por Inês, construa uma tabela com três colunas: lado, perímetro e área. Considerando como unidade de medida de comprimento (u) o lado do quadradinho da malha e como unidade de medida de área (u2) a área desse quadradinho, preencha a tabela com as medidas dos lados, do perímetro e da área dos quadrados. Não se esqueça de dar um título para a tabela e de indicar as unidades de medida utilizadas. Depois, responda às questões.
a) Duplicando a medida dos lados, duplica-se também a medida do perímetro? E da área?
b) Triplicando a medida dos lados, triplica-se também a medida do perímetro? E da área?
c) Quadruplicando a medida dos lados, quadruplica-se também a medida do perímetro? E da área?
d) Sextuplicando a medida dos lados, sextuplica-se também a medida do perímetro? E da área?
2 Um retângulo tem 4 centímetros de medida de base e 12 centímetros de medida de altura.
a) Aumentando a medida da base em 100%, em quantos por cento aumenta a medida da área desse retângulo?
b) Aumentando a medida da base e da altura em 100%, em quantos por cento aumenta a medida da área desse retângulo?
3 João recortou um quadrado em uma folha de “borracha” e depois esticou essa folha só no sentido do comprimento.
Verificou que o quadrado que tinha 4 centímetros de medida de lado se transformou em um retângulo com área 50% maior que a do quadrado. Qual é a medida da área do novo retângulo? E do perímetro?
Respostas e comentários
1. Construção de tabela.
1. a) Sim; não.
1. b) Sim; não.
1. c) Sim; não.
1. d) Sim; não.
2. a) 100%
2. b) 300%
3. 24 centímetros quadrados; 20 cm.
Para saber mais
Nesta seção, exploramos o que ocorre com o perímetro e a área ao ampliar ou reduzir a medida do lado de um quadrado (ou com base nele).
O trabalho com essa seção contribui para o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero seis ême ah um três) e (EF06MA29).
Agora é com você!
Vejamos um exemplo de tabela para a atividade 1. Os dados se referem do 1º para o 6º quadrado de cima para baixo na tabela, considerando como unidade de comprimento (u) o lado do quadradinho da malha e como unidade de área (u2) a área desse quadradinho.
|
Medida de cada lado |
Medida do perímetro |
Medida da área |
|---|---|---|
|
1 u |
4 u |
1 u2 |
|
2 u |
8 u |
4 u2 |
|
3 u |
12 u |
9 u2 |
|
4 u |
16 u |
16 u2 |
|
5 u |
20 u |
25 u2 |
|
6 u |
24 u |
36 u2 |
Fonte: Desenhos de Inês.
Na atividade 2, os estudantes podem ampliar esse estudo para retângulos não quadrados. Nessa resolução, é importante que visualizem aumentos em ilustrações do tipo a seguir.
a) Se o retângulo original for a parte pintada de branco e aumentarmos a medida de sua base em 100%, obteremos:
Isso equivale a dois retângulos originais ou a 100% de aumento na medida da área.
b) Se o retângulo original for a parte pintada de branco e aumentarmos em 100% a medida de sua base e de sua altura, obteremos:
Isso equivale a quatro retângulos originais ou a 300% de aumento na medida da área.
Na atividade 3, o retângulo obtido tem área de medida 24 centímetros quadrados (16 + 50% de 16 = 16 + 8 = 24). Como a altura se manteve e o comprimento passou a medir 6 centímetros, o perímetro do novo retângulo passou a medir 20 centímetros (6 + 6 + 4 + 4 = 20).
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 O contorno médio do crânio de um bebê, ao nascer, em determinada população, tem comprimento medindo 35 centímetros. Sabendo que a medida do comprimento desse contorno aumenta 2 centímetros por mês, nos três primeiros meses, e 1 centímetro por mês, nos três meses seguintes, quanto deve medir o crânio de um bebê aos 5 meses?
2 Um triângulo equilátero tem 10,5 centímetros de medida de perímetro. Quanto mede cada lado desse triângulo?
3 A chácara do senhor Luís tem o formato e as medidas indicadas na figura a seguir.
Quantos metros de arame liso ele precisa comprar para cercar a chácara com 10 voltas?
4 Uma empresa já asfaltou 30% de uma rua que tem 1,2 quilômetro de medida de comprimento. Quantos metros já foram asfaltados?
5
Reúna-se com um colega e façam o que se pede. Cada um de vocês deve indicar um valor para
, propondo ao colega que resolva o problema, se possível, com o valor indicado. Em seguida, ao analisarem o enunciado, ambos determinam para quais valores de
a situação-problema é possível.
Um terreno retangular tem
métros de medida de comprimento. O perímetro dele tem medida igual ao de um outro terreno quadrado cujo lado mede 165 métros. Calcule a medida da largura desse terreno retangular.
6 (Saresp) Um campo de futebol tem fórma retangular e mede 110 métros por 75 métros. Com 10 sacos de grama, podemos gramar 50 métros quadrados de campo. Então, o número de sacos de grama de que vamos precisar para gramar esse campo é:
a) .1000.
b) .1650.
c) .2000.
d) .2200.
7 (Saresp) Uma folha de papel de seda tem 40 centímetros de medida de perímetro. Ela tem a fórma de um retângulo e um de seus lados tem 4 centímetros de medida de comprimento. Então, os outros lados medem:
a) 6 centímetros, 6 centímetros, 4 centímetros.
b) 9 centímetros, 4 centímetros, 9 centímetros.
c) 12 centímetros, 4 centímetros, 12 centímetros.
d) 16 centímetros, 4 centímetros, 16 centímetros.
8 Calcule a área aproximada da figura, considerando
como unidade de medida de área.
9 A rua onde moro tem largura medindo 14 métrospontoTodos os terrenos da rua medem 11 métros de frente. A prefeitura está asfaltando a rua e cobrando R$ 12,60doze reais e sessenta centavos o metro quadrado. Quanto gastarei com o asfalto?
10 Júlia quer recobrir um piso de 48 métros quadrados de medida de área. Ela pretende aproveitar a oferta da loja de material para construção e economizar o máximo possível. Observe qual é a oferta: lajota lisa de 20 centímetros × 20 centímetros por R$ 0,50zero reais e cinquenta centavos cada uma, lajota decorada de 10 centímetros × 12 centímetros por R$ 0,20zero reais e vinte centavos cada uma. Que tipo de lajota ela deve comprar? Quanto Júlia gastará para recobrir o piso?
11 Observe as figuras e responda às perguntas.
a) Sabendo que a medida da área total das duas figuras é 45 centímetros quadrados, determine a medida do comprimento x.
b) Calcule a medida do perímetro de cada figura. A medida do perímetro da figura azul é o dobro da medida do perímetro da figura lilás?
c) Calcule a medida da área de cada figura. A medida da área da figura azul é o dobro da medida da área da figura lilás?
Respostas e comentários
1. 43 centímetros
2. 3,5 centímetros
3. .9400 métros
4. 360 métros
5. A resposta depende do valor proposto. Espera‑se que os estudantes cheguem à conclusão de que 0 <
< 330.
6. Alternativa b.
7. Alternativa d.
8. 33 u
9. R$ 970,20novecentos e setenta reais e vinte centavos.
10. A lajota lisa; R$ 600,00seiscentos reais.
11. a) 6 centímetros
11. b) 12 centímetros; 24 centímetros; sim.
11. c) 9 centímetros quadrados; 36 centímetros quadrados; não.
Exercícios complementares
Este bloco de exercícios propicia aos estudantes retomarem os principais conceitos estudados neste capítulo, revisitando problemas envolvendo medidas de comprimento e medidas de área.
No exercício 4, podemos explorar com os estudantes outra proposta. Caso a pergunta do problema fosse “Quantos metros ainda estão sem asfalto?”, quais seriam as possibilidades de resolução? Vejamos algumas.
um. Podemos aproveitar os cálculos feitos no exercício original e efetuar uma subtração: .1200 ‒ 360 = 840 (840 métros)
dois. Podemos calcular por meio de porcentagem. Sabendo que 30% da rua já estão asfaltados, calculamos os 70% que estão sem asfalto: 70% de .1200 métros =
Setenta cem avos⋅ .1200 = 0,7 ⋅ .1200 = 840 (840 métros)
Na resolução do exercício 5, procure circular entre os estudantes e observar quais são os procedimentos e as dúvidas que surgem com maior frequência. Se necessário, faça pausas na resolução para que tirem dúvidas, oferecendo dicas e sugestões de como proceder para chegar à resposta esperada. Lembramos que a intenção aqui não é os estudantes desenvolverem uma resposta em linguagem algébrica, mas que eles façam tentativas para solucionar o exercício.
Se considerar adequado, antes da resolução do exercício 8, proponha aos estudantes que façam alguns desenhos de figuras fechadas irregulares no quadriculado, sem ocupar todos os quadradinhos, e que depois calculem a área dessas figuras em quadradinhos. Os questionamentos que surgirem nesse exercício preliminar possibilitarão a discussão de modos de arredondar e determinar medidas de área aproximadas.
As resoluções dos exercícios 1 a 11 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
VERIFICANDO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 A polegada é a unidade de medida utilizada para indicar o tamanho da tela de aparelhos eletrônicos, como tablets e telefones celulares. Um telefone celular com 5,5 polegadas tem aproximadamente quantos centímetros de medida de diagonal?
a) 3
b) 11
c) 14
d) 16
2 Um dos submúltiplos do metro é o centímetro (cê ême). Das situações a seguir, aquela em que é mais adequado o uso dessa unidade de medida é a medição:
a) da distância entre duas cidades.
b) da altura de um prédio.
c) do tamanho de uma joaninha.
d) do comprimento de um lápis.
3 Com a pandemia em decorrência da côvid dezenóve, os estabelecimentos comerciais passaram a organizar filas mantendo 1,5 métro de medida de distância entre as pessoas. Essa medida equivale a:
a) 15 centímetros
b) .1500 milímetros
c) 150 decímetros
d) 0,15 quilômetros
4 Observe a planta baixa de uma clínica médica.
Considerando u como unidade de medida de área, equivalente à área de 1 quadradinho da malha, qual é a medida da área do consultório?
a) 19 u
b) 40 u
c) 19,5 u
d) 49 u
5 Para emoldurar um espelho com formato hexagonal regular, com 25 centímetros de medida de lado, um marceneiro precisará de quantos centímetros de madeira?
a) 175 centímetros
b) 150 centímetros
c) 100 centímetros
d) 50 centímetros
6 Um dos múltiplos do metro quadrado é o quilômetro quadrado (quilômetro quadrado). Das situações a seguir, aquela em que é mais adequado o uso dessa unidade de medida é a medição:
a) da área territorial de um país.
b) da área da superfície de uma mesa.
c) da área de um apartamento.
d) da área de uma tela de computador.
7 Uma folha de papel sulfite a quatro tem dimensões 210 milímetros × 297 milímetros e área medindo .62370 milímetros quadrados. A medida da área da superfície dessa folha, em centímetro quadrado, é igual a:
a) 6,237
b) 62,37
c) 623,7
d) .6237
8 Uma região de reflorestamento tem área medindo 435,6 hectares. Qual é a medida da área dessa região em alqueire goiano?
a) 80
b) 111
c) .2108
d) 90
9 Os pregos de um geoplano são enfileirados mantendo-se 3,5 centímetros de distância entre eles. A medida da área da superfície retangular desenhada nesse geoplano, ilustrado a seguir, é igual a:
a) 196 centímetros quadrados.
b) 225 centímetros quadrados.
c) 245 centímetros quadrados.
d) 306,25 centímetros quadrados.
Organizando
Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.
a) Cite duas unidades de medida de comprimento que você estudou, além do metro, e indique duas situações cotidianas em que cada uma delas pode ser utilizada.
b) Monte um esquema com a relação entre os múltiplos e os submúltiplos do metro e um esquema com a relação entre os múltiplos e os submúltiplos do metro quadrado.
c) Como você explicaria para um colega a diferença entre as grandezas perímetro e área?
d) Se triplicarmos as medidas dos lados de um quadrado, seu perímetro e sua área vão aumentar proporcionalmente?
e) Qual é o método prático para calcular a área de superfícies retangulares?
Respostas e comentários
1. Alternativa c.
2. Alternativa d.
3. Alternativa b.
4. Alternativa a.
5. Alternativa b.
6. Alternativa a.
7. Alternativa c.
8. Alternativa d.
9. Alternativa c.
Organizando: As respostas para estas questões estão no Manual.
Verificando
Esses exercícios são mais uma oportunidade para o estudante validar o entendimento do conteúdo estudado neste capítulo. Instrua-os a retornarem às páginas anteriores caso alguma dúvida persista.
As resoluções dos testes 1 a 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
Organizando
Incentive os estudantes a organizarem seu aprendizado no caderno, fazendo resumos, mapas conceituais ou aplicando destaques para conceitos importantes.
As questões propostas têm como objetivo fazer com que eles retomem os conteúdos aprendidos no capítulo e que reflitam sobre algumas temáticas. Após sua correção é importante pedir aos estudantes que compartilhem suas respostas; essa estratégia permitirá o compartilhamento de dúvidas e percepções, contribuindo para o aprendizado de todos.
a) Resposta possível: quilômetro, utilizado na medição da distância entre dois pontos da cidade; polegada, utilizada na medição do comprimento da diagonal de telas de aparelhos eletrônicos.
b) Respostas possíveis:
c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes considerem que o perímetro está relacionado à medida do comprimento do contorno de uma figura plana e à soma das medidas dos comprimentos dos seus lados, enquanto a medida da área está relacionada à medida de uma superfície.
d) A medida do perímetro de um quadrado aumenta proporcionalmente quando as medidas dos comprimentos dos seus lados são triplicadas; a medida de sua área não, pois aumenta nove vezes.
e) Se soubermos as medidas dos comprimentos dos lados de uma superfície retangular plana, basta multiplicarmos a medida da base pela medida da altura do retângulo.
DIVERSIFICANDO
Tangram
O tangram é um antigo quebra-cabeça de origem chinesa composto de sete peças: cinco triângulos retângulos isósceles (dois triângulos pequenos, um médio e dois grandes), um quadrado e um paralelogramo.
Com esse quebra-cabeça, é possível formar milhares de figuras diferentes.
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 No tangram, são necessários quatro triângulos pequenos para compor um triângulo grande. Já para compor o quadrado, o paralelogramo ou o triângulo médio, são necessários dois triângulos pequenos.
Sabendo disso e tomando como unidade de medida de área o triângulo menor, qual é a medida da área do quadrado formado pelas sete peças? E a medida da área das figuras ao lado desse quadrado?
2 Se a unidade de medida de área fosse o quadrado menor, qual seria a medida da área de uma figura construída com as sete peças do tangram?
3
Forme um grupo com três colegas. Em uma cartolina, desenhem as peças do tangram, recortem-nas e formem uma das figuras a seguir. Utilizem todas as peças sem sobrepor nenhuma.
(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)
4
Ainda em grupo, usem a imaginação, inventem uma figura para ser formada com as peças do tangram e troquem com outro grupo. Não se esqueçam de fazer um esquema da composição da figura que vocês inventaram.
Respostas e comentários
1. 16 triângulos menores; 16 triângulos menores.
2. 8 quadrados menores.
3. Construção de figura.
4. Resposta pessoal.
Diversificando
Esta seção aborda a composição de figuras com as peças do Tangram e áreas. Essas atividades com Tangram permitem que os estudantes desenvolvam, de fórma lúdica, os conceitos de unidades de medida de superfície e equidecomponibilidade de figuras de mesma medida de área. Além disso, estimulam a criatividade e a cooperação, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 2 e 9.
Acompanhe a resolução da atividade 1:
Considerando o triângulo pequeno como unidade de medida de área, obtemos:
• 1 triângulo grande corresponde a 4 triângulos pequenos;
• 1 quadrado corresponde a 2 triângulos pequenos;
• 1 paralelogramo corresponde a 2 triângulos pequenos;
• 1 triângulo médio corresponde a 2 triângulos pequenos.
Portanto, o quadrado formado pelas sete peças tem medida de área igual a 16 triângulos menores.
Como as figuras ao lado do quadrado maior são compostas por todas as 7 peças do Tangram, elas também têm 16 triângulos menores de medida de área.
Se a unidade de medida de área fosse o quadrado menor (atividade 2), a medida da área de uma figura construída com as 7 peças do Tangram seria igual a 8 quadrados menores.
Acompanhe uma solução para a atividade 3.
Acompanhe um possível esquema de composição para a atividade 4.
Glossário
- Grandeza física
- :propriedade de um corpo que pode ser medida e representada por um número seguido de uma unidade de medida.
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