CAPÍTULO 1 Números inteiros
Leia o texto, observe a imagem e responda às questões no caderno.
a) Você já tinha ouvido falar no mar Morto e nas suas características peculiares?
b) Como você indicaria, em uma reta numérica, a profundidade do mar Morto, em relação ao nível do mar?
c) Você sabe o que é altitude? Pesquise esse conceito e compartilhe com o professor e os colegas.
O mar Morto não é um mar, mas um imenso lago com dimensão de 82 quilômetros de comprimento por 18 quilômetros de largura. Ele está situado a 400 metros abaixo do nível do mar Mediterrâneo, o ponto mais baixo da Terra.
1. A necessidade de outros números
Você já aprendeu que, a partir do momento em que surgiu a necessidade de contar e registrar quantidades, o ser humano começou a criar símbolos para representar essas quantidades, o que levou ao surgimento dos números naturais.
Você já estudou também que os números naturais não são suficientes para representar todas as situações do cotidiano e que, em alguns momentos, usamos os números representados na fórma de fração e na fórma decimal.
Neste capítulo, vamos estudar outros tipos de número, que nos possibilitam efetuar subtrações como 5 ‒ 9, além de nos auxiliar em algumas situações do dia a dia.
•
Como você indicaria uma temperatura com medida abaixo de 0 grau Célsius e o saldo de gols de um time que sofreu 10 gols e fez 5 gols?
Situação 1
Considera-se zero a altitude ao nível do mar.
• O Everest é o monte de maior altitude da Terra. Seu pico atinge aproximadamente .8849 métros acima do nível do mar. Podemos indicar a medida dessa altitude por +.8849 métros.
• Alguns bairros da cidade de Haia (Holanda) estão 1 métro abaixo do nível do mar. Podemos indicar a medida dessa altitude por ‒1 métro.
Situação 2
Um termômetro pode registrar temperaturas com medidas “acima de 0 grau Célsius” (positivas) e temperaturas com medidas “abaixo de 0 grau Célsius” (negativas).
Por exemplo, quando a temperatura em uma cidade mede 20 graus Celsius acima de zero, registramos essa medida por +20 graus Célsius ou 20 graus Célsius; quando a temperatura mede 20 graus Celsius abaixo de zero, indicamos essa medida por ‒20 graus Célsius.
Situação 3
Os extratos bancários das contas-correntes registram todos os movimentos de créditos e de débitos.
Observe, no extrato, que, nos dias 2 e 3 de março, o saldo dessa conta era negativo e, no dia 5 de março, voltou a ficar positivo.
Situação 4
A tabela apresenta parte da classificação geral ao fim do Campeonato Brasileiro de Futebol Masculino de 2021. (pê indica os pontos ganhos.)
Observe que o saldo de gols (ésse gê) pode ser positivo ou negativo. Por exemplo, o Atlético Mineiro ficou com saldo positivo de +33, porque fez 67 gols pró (gê pê) e sofreu 34 gols contra (gê cê). O Grêmio, por sua vez, ficou com saldo negativo de ‒7, porque marcou 44 gols e sofreu 51.
|
Classificação |
P |
GP |
GC |
SG |
|
|---|---|---|---|---|---|
|
1º |
Atlético Mineiro – MG |
84 |
67 |
34 |
+33 |
|
2º |
Flamengo – RJ |
71 |
69 |
36 |
+33 |
|
3º |
Palmeiras – SP |
66 |
58 |
43 |
+15 |
|
4º |
Fortaleza – CE |
58 |
44 |
45 |
−1 |
|
17º |
Grêmio – RS |
43 |
44 |
51 |
−7 |
|
18º |
Bahia – BA |
43 |
42 |
51 |
−9 |
|
19º |
Sport – PE |
38 |
24 |
37 |
−13 |
|
20º |
Chapecoense – SC |
15 |
27 |
67 |
−40 |
Dados obtidos em: CAMPEONATO Brasileiro 2021 –Série a –Classificação. Folha de São Paulo. Disponível em: https://oeds.link/snNPZe. Acesso em: 16 maio 2022.
As situações apresentadas mostram números precedidos do sinal de menos. Eles são exemplos de números inteiros negativos.
Para cada número inteiro positivo, existe um número inteiro negativo correspondente. Observe.
E cada número inteiro positivo é associado a um número natural diferente de zero.
+1 = 1, +2 = 2, +3 = 3, reticências
Todos os números naturais, quando reunidos com os números inteiros negativos, formam o conjunto dos números inteiros, cuja notação é:
= {reticências, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, 4, reticências}
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1
Junte-se a um colega para responderem à pergunta: O número natural zero é positivo ou negativo?
2 Indique a medida de temperatura que cada termômetro está registrando.
3 Expresse a medida de cada altitude usando um número positivo ou negativo.
a) O pico Aconcágua, no Chile, encontra-se a .6961 métros acima do nível do mar.
b) A fossa das Marianas, no oceano Pacífico, está .10924 métros abaixo do nível do mar.
c) O mar Morto fica entre Israel e a Jordânia e é um dos lagos mais salgados do mundo. Suas margens, a 400 métros abaixo do nível do mar, são o ponto mais baixo da superfície terrestre.
4 A tabela a seguir mostra os resultados do Campeonato de Futebol de um município. Copie a tabela no caderno e complete-a com uma coluna indicando o saldo de gols (ésse gê) de cada time.
|
Times |
Gols pró |
Gols contra |
|---|---|---|
|
Perna de Pau F. C. |
28 |
15 |
|
E. C. Canela de Ferro |
15 |
21 |
|
S. C. Fazenda do Toco |
20 |
20 |
|
S. E. Bananeiras |
18 |
19 |
Dados obtidos pela Secretaria de Esportes.
5
Na região Sul do Brasil, no inverno é comum se registrarem temperaturas com medidas abaixo de zero, acompanhadas de geada e até de neve em alguns municípios. Você conhece alguns desses lugares?
a) Faça uma pesquisa em jornais, revistas, livros ou internet e descubra que fatores podem influenciar o clima da região, provocando temperaturas de medidas negativas.
b) Verifique se no município onde você mora é possível o registro de temperaturas com medidas negativas. Troque informações com os colegas.
2. Representação na reta numérica e módulo
Assim como os números naturais, os números inteiros podem ser representados em uma reta numérica. Para isso, desenhamos uma reta r e sobre ela marcamos o ponto óh, chamado de origem, que corresponde ao número 0 (zero).
Em seguida, marcamos outro ponto da reta a uma distância qualquer do ponto óh e associamos a esse ponto o número +1. Dessa maneira, estabelecemos a unidade de medida e o sentido positivo dessa reta numérica.
Em geral, desenhamos a reta r paralela às linhas do caderno e o sentido positivo da esquerda para a direita.
Usando um compasso ou a escala de uma régua, marcamos, à direita e à esquerda do ponto óh, segmentos de medida iguais à unidade de medida adotada.
Nos extremos desses segmentos marcamos, por exemplo, os pontos a, á', B, bit', C, centésimo', D, divisores de ', E, E', F, éfe', conforme a representação a seguir. A cada ponto à direita de óh, fazemos corresponder os números inteiros positivos, e a cada ponto à esquerda, os números inteiros negativos.
Cada número inteiro pode ser associado a um ponto da reta numérica. O número associado ao ponto de uma reta numérica é chamado de abscissa desse ponto. Por exemplo, 1 é a abscissa do ponto a, e ‒3, a abscissa do ponto centésimo'.
Em uma reta numérica, é possível determinar a distância do ponto de abscissa zero (origem) a outro ponto qualquer da reta. Observe o exemplo.
A medida da distância de um ponto à origem é chamada de valor absoluto (ou módulo) do número que corresponde a esse ponto.
No exemplo anterior, o valor absoluto de 6 (abscissa do ponto F) é 6 (medida da distância do ponto à origem).
Acompanhe outro exemplo.
O valor absoluto de ‒4 (abscissa do ponto dê linha ) é 4 (medida da distância do ponto dê linha à origem).
Indica-se o valor absoluto (ou módulo) de um número colocando-se esse número entre duas barras. Assim, por exemplo, o módulo de ‒3 é indicado por |‒3|.
Acompanhe mais exemplos.
a) |+10| = 10
b) |‒8| = 8
c) |0| = 0
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
6 Observe a reta numérica e responda às questões no caderno.
a) Qual é a abscissa do ponto B ?
b) Qual é a abscissa do ponto F ?
c) O número ‒4 é abscissa de qual ponto?
d) Qual é o ponto cuja abscissa é 3?
7 No caderno, construa uma reta numérica e localize os pontos:
a) P, de abscissa
mais 4b) Q, de abscissa
menos 4c) R, de abscissa
mais 2d) S, de abscissa
menos 28 Copie as retas numéricas a seguir e determine a abscissa dos pontos destacados.
a)
b)
c)
9 Encontre o número inteiro em cada caso.
a) Na reta numérica, o número está à direita do zero e à esquerda do 5.
b) O número está à esquerda do zero e à direita do ‒6 na reta numérica.
c) Na reta numérica, o número está à direita do zero e à esquerda do ‒2.
10 Considere os pontos indicados na reta numérica:
Escreva no caderno o módulo do número associado a cada ponto.
a) A
b) B
c) C
d) O
e) D
f) E
11 Determine os números cujo valor absoluto é:
a) 8;
b) 13;
c) 10;
d) 2.
12 Dê o valor de:
a)
módulo de menos 15.
b)
módulo de mais 100.
c)
módulo de menos 25.d)
módulo de menos 30.
e)
módulo de mais 90.
f)
módulo de menos 121.
g)
módulo de 0.
h)
módulo de menos 35.
i)
módulo de mais 279.13 Entre as opções a seguir, escreva qual é o número de maior valor absoluto.
a) ‒9 ou 5?
b) 0 ou ‒6?
c) ‒8 ou ‒2?
d) 10 ou ‒4?
3. Números inteiros opostos ou simétricos
Considere a reta numérica representada a seguir.
Repare que a medida da distância ó ême é igual à medida da distância ó pê. Isso significa que o módulo de ‒6 é igual ao módulo de +6. Por isso, dizemos que ‒6 e +6 são números opostos ou simétricos.
Números que têm sinais diferentes e têm o mesmo módulo são opostos ou simétricos.
O zero é oposto do próprio zero.
Acompanhe outros exemplos.
a) O oposto de +1 é ‒1 .
b) O oposto de ‒4 é 4.
c) O oposto de ‒2 é 2.
Observação
▶ Indica-se o oposto de um número colocando o sinal de menos (‒) à sua esquerda. Exemplos:
a) O oposto de +9 é ‒9 e é indicado por ‒(+9), ou seja, ‒(+9) = ‒9.
b) O oposto de ‒20 é +20 e é indicado por ‒(‒20), ou seja, ‒(‒20) = +20.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
14 Determine no caderno:
a) o oposto de ‒2;
b) o oposto de ‒64;
c) o oposto do oposto de ‒9;
d) o oposto do oposto de 15;
e) o oposto de |‒10| ;
f) o módulo do oposto de ‒5.
15 Construa uma reta numérica e indique os pontos a, de abscissa ‒4; C, de abscissa 2; B, simétrico de a em relação à origem; e D, simétrico de C em relação à origem. Em seguida, determine as medidas dos segmentos:
a)
A B
b)
A D
c)
C D
d)
B D
4. Comparação entre números inteiros
Vamos supor que, em certo dia, os termômetros registrem ‒4 graus Célsius em Urupema (Santa Catarina), 30 graus Célsius em Conde (Paraíba) e 13 graus Célsius em Goiás (Goiás).
Podemos estabelecer uma relação de desigualdade entre as medidas das temperaturas desses municípios. Fazendo isso, estamos realizando uma comparação entre números inteiros.
• A medida da temperatura em Conde é maior que a medida da temperatura em Goiás (30 > 13).
• A medida da temperatura em Urupema é menor que a medida da temperatura em Goiás (‒4 < 13).
Acompanhe mais algumas comparações entre as medidas de temperaturas registradas em dois termômetros.
Também podemos recorrer à reta numérica para comparar números inteiros.
De acordo com a reta, obtemos:
• 0 < 3, e na reta numérica 0 está à esquerda de 3;
• ‒3 < ‒1, e na reta numérica ‒3 está à esquerda de ‒1;
• 0 > ‒4, e na reta numérica 0 está à direita de ‒4;
• 1 > ‒5, e na reta numérica 1 está à direita de ‒5.
Dados dois números inteiros diferentes, na reta numérica o menor deles é o que está à esquerda do outro.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
16 Determine:
a) os três menores números inteiros positivos;
b) os três menores números inteiros não negativos;
c) os três maiores números inteiros negativos;
d) os três maiores números inteiros não positivos.
17 Escreva:
a) os números inteiros entre ‒2 e 2;
b) os números inteiros de ‒4 a 3;
c) os números inteiros entre ‒3 e ‒1;
d) os números naturais entre ‒2 e 2.
18 Observe os pontos da reta numérica a seguir e considere os números inteiros, que são suas respectivas abscissas.
a) Dê os nomes de dois pontos cujas abscissas sejam maiores que a do ponto R.
b) Dê os nomes de dois pontos cujas abscissas sejam menores que a abscissa do ponto T.
c) Que ponto tem abscissa com módulo igual ao módulo da abscissa de xis?
d) Que ponto tem abscissa igual ao oposto da abscissa de Q ?
19 Coloque os números em ordem crescente, usando o sinal < entre eles.
a) ‒8, ‒4, +2, ‒3, 0, +1
b) +2, ‒9, 0, +1, +6, ‒10
20 Em determinado dia, o saldo bancário de Flávia era ‒.2000 reais, e o de Luiz Antônio, ‒350 reais. Qual deles estava devendo mais ao banco? Justifique sua resposta.
21 Escreva qual é o número maior em cada item.
a) 20 ou 18
b) ‒20 ou ‒18
c) 0 ou ‒20
d) 0 ou 18
e) ‒15 ou ‒40
f) ‒8 ou 20
22 Entre as sentenças a seguir, corrija as falsas.
a) O zero é maior que qualquer número negativo.
b) O zero é maior que qualquer número positivo.
c) Qualquer número negativo é maior que qualquer número positivo.
d) Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.
e) Se dois números forem positivos, o maior será aquele que tiver o menor módulo.
f) Se dois números forem negativos, o maior será aquele que tiver o menor módulo.
23
Junte-se a um colega. Associem o andar térreo de um edifício com o zero. Usando números inteiros positivos ou negativos, escrevam o andar onde está um elevador quando:
a) partindo do andar térreo, subir 6 andares e, em seguida, subir mais 2 andares;
b) partindo do primeiro andar, descer 3 andares;
c) partindo do terceiro andar, subir 4 andares e, em seguida, descer 7 andares;
d) partindo do andar térreo, descer 3 andares e, em seguida, subir 1 andar.
5. Adição
Acompanhe como podemos adicionar números inteiros usando uma reta numérica.
Partindo do zero, em primeiro lugar, andamos as unidades indicadas na primeira parcela e, em seguida, andamos as indicadas na segunda parcela. Chegamos, então, a um ponto cuja abscissa é a soma dos números dados.
Vamos estabelecer que o deslocamento será:
• para a direita, se o número for positivo;
• para a esquerda, se o número for negativo.
Acompanhe algumas situações que apresentam adição de números inteiros.
Situação 1
Na aula de laboratório, Silvana aqueceu certa quantidade de água que estava a 0 grau Célsius. Notou que, no primeiro minuto, a medida da temperatura subiu 4 graus Célsius e que, no minuto seguinte, a medida da temperatura subiu outros 2 graus Célsius. Qual era a medida da temperatura dessa água ao fim do segundo minuto?
Pelo enunciado, temos: (+4) + (+2).
Partindo do zero, andamos 4 unidades para a direita e, em seguida, mais duas unidades também para a direita. Chegamos, assim, ao número +6, ou seja, 6.
Logo, (+4) + (+2) = 6.
Acompanhe mais exemplos de adição de números inteiros de mesmo sinal.
a) (‒2) + (‒3) Partindo do zero, andamos duas unidades para a esquerda e, em seguida, mais 3 unidades também para a esquerda. Chegamos, assim, ao número ‒5.
Logo, (‒2) + (‒3) = ‒5.
b) (‒5) + (‒3) + (‒2) Partindo do zero, andamos 5 unidades para a esquerda; em seguida, andamos 3 unidades também para a esquerda e, finalmente, duas unidades novamente para a esquerda. Chegamos, assim, ao número ‒10.
Logo, (‒5) + (‒3) + (‒2) = ‒10.
A soma de dois ou mais números inteiros de mesmo sinal é obtida adicionando-se seus valores absolutos e conservando o sinal comum.
Situação 2
Em casa, Fernando havia congelado um suco de uva, o que fez a medida da temperatura do suco ir de 0 grau Célsius para ‒3 graus Célsius. Para o lanche da tarde, colocou o suco no micro-ondas e elevou a medida da temperatura em 6 graus Célsius. Quantos graus Celsius passou a medir a temperatura do suco?
Obtemos: (‒3) + (+6).
Partindo do zero, andamos 3 unidades para a esquerda e, em seguida, 6 unidades para a direita. Chegamos, assim, ao número +3, ou seja, 3.
Logo, (‒3) + (+6) = 3.
Observe outros exemplos de adição de números inteiros de sinais diferentes.
a) (+2) + (‒7) Partindo do zero, andamos duas unidades para a direita e, em seguida, 7 unidades para a esquerda. Chegamos, assim, ao número ‒5.
Logo, (+2) + (‒7) = ‒5.
b) (+2) + (‒2) Partindo do zero, andamos duas unidades para a direita e, em seguida, duas unidades para a esquerda. Voltamos, assim, ao número zero.
Logo, (+2) + (‒2) = 0.
A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se seus valores absolutos e dando ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto. Caso esses números sejam opostos, a soma será igual a zero.
Observe que, para esse grupo de problemas que pede a soma de números inteiros, sempre podemos proceder do mesmo modo: utilizando uma reta numérica.
Também podemos efetuar adições com números inteiros usando uma calculadora. Acompanhe alguns exemplos.
a) Para efetuar a adição (+9) + (‒2), apertamos as seguintes teclas:
b) Para efetuar a adição (‒8) + (‒2), apertamos as seguintes teclas:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
24 Desenhe uma reta numérica. Partindo do zero, determine o número da chegada quando andamos:
a) +2, depois, +6;
b) ‒2, depois, ‒6;
c) +3, depois, +4;
d) +2, depois, ‒6;
e) ‒2, depois, +6;
f) +3, depois, ‒4.
• Que operação pode ser associada a cada item?
25 Calcule no caderno.
a) (+5) + (+20)
b) (+2) + (‒12)
c) (‒15) + (+9)
d) (‒6) + 0
e) (‒8) + (‒10)
f) (‒9) + (+9)
g) (+15) + (‒15)
h) 0 + (+20)
26 A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é um número negativo. Nesse caso, qual é o sinal do número de maior valor absoluto?
27 Qual é a soma de dois números inteiros opostos?
28 Lucas e Rafaela estão brincando com um jogo que tem as seguintes regras:
Sorteia-se uma carta com 6 perguntas. O jogador escolhe 3 perguntas às quais o adversário deve responder. A cada resposta correta, o adversário adiciona 3 pontos, e a cada resposta incorreta, adiciona
menos 2pontos.
Lucas acertou 4 perguntas e errou 5. Rafaela acertou 5 e errou 4. Quantos pontos Rafaela fez a mais que Lucas?
29
Nas adições a seguir, determine as teclas da calculadora que devemos apertar para efetuar cada operação.
a) (‒24) + (‒32)
b) (‒132) + (+124)
c) (+987) + (‒.1024)
d) (+235) + (‒623)
• Qual é o resultado obtido em cada operação?
30
Reúna-se com um colega para resolverem o problema a seguir.
Camila estava manipulando uma calculadora e apertou algumas teclas nesta sequência:
Ela obteve o seguinte resultado:
Ao apertar essa sequência de teclas, que operação Camila efetuou? Justifiquem sua resposta.
31
Junte-se a um colega. Copiem o esquema a seguir e preencham com números inteiros as quadrículas pintadas de azul de modo que se obtenham sentenças verdadeiras nas linhas horizontais e verticais.
32
Hora de criar – Com um colega, criem, cada um, um esquema semelhante ao do exercício anterior, troquem os cadernos para resolvê-lo e destroquem-nos para corrigi-lo.
33
Hora de criar – Com um colega, elaborem, cada um, um problema sobre o percurso de um personagem (um estagiário entregando correspondências, por exemplo), no elevador de um edifício, desde a sua entrada no térreo (andar zero), percorrendo alguns andares, até sua saída, também no térreo. Esse percurso deve ser registrado por uma expressão com adições de números inteiros e com a soma. Depois troquem os problemas elaborados por vocês e cada um resolve o problema elaborado pelo outro e destroquem para corrigi-los.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Analisando tabelas
Luciano é dono de dois quiosques de sorvete localizados em dois parques. Para analisar a movimentação financeira no 1º quadrimestre de 2023 com a venda dos sorvetes, ele construiu uma tabela que mostra os lucros ou os prejuízos registrados em cada mês.
|
Mês |
Lucro ou prejuízo com as vendas do quiosque 1 (em reais) |
Lucro ou prejuízo com as vendas do quiosque 2 (em reais) |
|---|---|---|
|
Janeiro |
22.450 |
15.632 |
|
Fevereiro |
15.235 |
10.452 |
|
Março |
7.230 |
8.259 |
|
Abril |
−1.462 |
−1.174 |
Dados obtidos por Luciano.
Analisando essa tabela, Luciano pôde fazer algumas deduções. Por exemplo, ele percebeu que:
• os lucros nos quiosques foram maiores no mês de janeiro, seguidos pelo mês de fevereiro;
• o pior mês para o quiosque 1 foi abril;
• no mês de abril, as vendas caíram, e houve prejuízos em ambos os quiosques.
Também é possível determinar o valor acumulado, correspondente às movimentações dos dois quiosques, em cada mês.
• No mês de janeiro, houve o maior lucro, .38082 reais, pois .22450 + .15632 = .38082.
• No mês de abril, houve um prejuízo de .2636 reais, pois ‒.1462 + (‒.1174) = ‒.2636.
Agora quem trabalha é você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Com base na tabela construída por Luciano, responda às questões.
a) Qual foi o lucro no mês de fevereiro? E no mês de março?
b) Qual foi o lucro, no período indicado, de cada quiosque? Qual dos dois quiosques teve o maior lucro?
c) Quanto Luciano lucrou no total ao final do 1º quadrimestre de 2023 nos dois quiosques?
d) A que pode ser atribuído o prejuízo obtido no mês de abril?
2 No dia 4 de fevereiro de 2022, as medidas de temperaturas em algumas localidades do mundo variaram de acordo com a tabela.
|
Localidade |
Mínima registrada (°C) |
Máxima registrada (°C) |
|---|---|---|
|
Cairo (Egito) |
9 |
16 |
|
Pequim (China) |
−6 |
1 |
|
Campo Grande (Brasil) |
23 |
29 |
|
Quebec (Canadá) |
−13 |
−11 |
Dados obtidos em: https://oeds.link/JBh9sv. Acesso em: 4 fevereiro 2022.
a) Em qual dessas localidades foi registrada a menor medida de temperatura? E a maior?
b) Qual foi a variação da medida de temperatura em Quebec?
c) Em quais dessas localidades ocorreu a maior variação nas medidas de temperatura registradas?
d) Escolha três cidades diferentes de qualquer lugar do mundo. Pesquise as medidas de temperaturas mínimas e as máximas registradas em um mesmo dia. Organize as informações em uma tabela e compartilhe o resultado com os colegas.
3 Analise a tabela, referente à movimentação financeira de duas lojas de brinquedos, no período de setembro a dezembro de determinado ano. Em seguida, responda às questões.
|
Mês |
Loja 1 |
Loja 2 |
|---|---|---|
|
Setembro |
−5.800 |
−8.450 |
|
Outubro |
29.135 |
2.225 |
|
Novembro |
−4.230 |
−3.500 |
|
Dezembro |
41.200 |
26.450 |
Dados obtidos pelo proprietário.
a) Em qual loja foi obtido o melhor desempenho no período observado? De quanto foi o lucro?
b) Em qual mês ocorreu o pior desempenho das duas lojas? De quanto foi o prejuízo total?
c) Em qual loja houve maior queda no saldo de um mês para outro no período observado? De quanto foi essa queda?
d) Se você fosse o proprietário dessas lojas e tivesse de tomar uma decisão, qual das medidas a seguir você executaria? Justifique sua resposta.
• Fechar a loja 2 para investir mais na loja 1; ou
• Permanecer com as duas lojas, fazendo um investimento maior na loja 2.
Propriedades da adição
Ao estudar a adição de números naturais, vimos que essa operação é comutativa e associativa e que o zero é seu elemento neutro. Essas propriedades também são válidas para a adição de números inteiros.
Em uma adição de dois números inteiros, a ordem das parcelas não altera a soma.
Observe esta adição: (‒20) + (+5) = (‒15)
Trocando a ordem das parcelas, obtemos: (+5) + (‒20) = (‒15)
Portanto, (‒20) + (+5) = (+5) + (‒20).
Em uma adição de três ou mais números inteiros, podemos associá-los de modos diferentes sem alterar a soma.
Vamos calcular: (+3) + (‒7) + (‒2)
• Associamos as duas primeiras parcelas e adicionamos a terceira ao resultado: [(+3) + (‒7)] + (‒2) = (‒4) + (‒2) = (‒6)
• Ou, então, associamos as duas últimas parcelas e adicionamos a primeira ao resultado: (+3) + [(‒7) + (‒2)] = (+3) + (‒9) = (‒6)
O número zero é o elemento neutro da adição de números inteiros.
Acompanhe dois exemplos.
a) (+3) + 0 = 0 + (+3) = +3
b) (‒10) + 0 = 0 + (‒10) = ‒10
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
34 Empregando as propriedades da adição de números inteiros, resolva os itens a seguir.
a) Sabendo que (‒185) + (+306) = 121, quanto vale (+306) + (‒185)?
b) Sendo (‒10) + (‒8) + (+15) = ‒3, calcule (‒8) + (+15) + (‒10).
c) Considerando (+23) + [(‒9) + (‒4)] = 10, calcule [23 + (‒9)] + (‒4).
35
Resolva mentalmente e registre os resultados no caderno.
Determine o número que deve ser colocado no lugar de cada quadradinho.
a) (‒16) +
= 0
b) (‒5) + (+12) +
= +12
c) (‒8) + (+5) +
= 0
36 Observe como Jean e Laura calcularam o valor desta expressão:
Agora, responda:
a) Mesmo adotando estratégias diferentes, eles fizeram os cálculos corretamente?
b) Que propriedades da adição de números inteiros foram usadas por Jean e Laura?
c) Na sua opinião, quem fez os cálculos de modo mais prático? Justifique sua resposta.
d) Existe outra maneira de fazer esses cálculos? Justifique sua resposta.
37 Descubra os erros cometidos ao calcular o valor da expressão a seguir.
(+13) + (‒4) + (‒7) + (‒2) + (+15) + (+2) + (‒16) =
= (+9) + (‒7) + (‒2) + (+15) + (+2) + (‒16) =
= (+2) + (+13) + (‒18) = +3
38 Em determinado dia, a medida da temperatura em São Joaquim (Santa Catarina) era de 3 graus Célsius negativos durante a madrugada. Pela manhã, subiu 2 graus e, à tarde, subiu mais 4 graus.
a) Escreva no caderno uma expressão que represente essa situação.
b) Resolva essa expressão e dê a medida de temperatura ao final do período apresentado.
PARA SABER MAIS
Entendendo o fuso horário
Com o desenvolvimento das ferrovias, no século dezenove, e a maior rapidez das viagens entre lugares distantes, tornou-se necessário o estabelecimento de um sistema mundial de hora legal. Para isso, foram criados, em 1884, os fusos horários, isto é, faixas imaginárias longitudinais (de um polo a outro da Terra), dividindo o mundo em 24 regiões. Em cada um dos fusos, todos os locais têm a mesma hora.
Fuso horário brasileiro
O Brasil é atravessado por quatro fusos, distinguidos nesse mapa por diferentes cores (amarela, rosa, verde e laranja). No alto do mapa, os relógios mostram os horários em cada faixa quando são 12 horas em Brasília. Na parte inferior, aparecem as diferenças em relação ao fuso que atravessa Brasília.
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Transcrição do áudio
Que horas são?
Duração: 3:17min. Página: 24.
>> [Locutora] Que horas são?
Som de fundo não identificado.
>> [Téo] [Tom animado] Malu, esta é a primeira vez que viajo para fora do estado!
>> [Malu] Eu também, Téo. Sabia que, quando chegarmos à casa da vó Maria, lá no Acre, o horário estará duas horas atrasado, comparado ao mesmo horário aqui em Brasília?
>> [Téo] Não sabia, prima! [Tom de questionamento] Por que isso acontece?
>> [Malu] Por causa da grande extensão territorial de leste a oeste do país. [Tom empolgado] Legal, né? [Tom explicativo] No Brasil, há quatro fusos horários. Brasília é a referência nacional. As regiões que ficam a oeste de Brasília apresentam horário atrasado, enquanto as regiões a leste têm horário adiantado. Cada fuso horário representa uma hora de diferença e tem como base os meridianos, que são distribuídos a cada 15 graus da circunferência da Terra.
>> [Téo] [Tom empolgado] Uau, prima! [Tom levemente surpreso] Você manda bem nisso!
>> [Malu] Acabei de fazer uma prova sobre esse assunto, primo. Está tudo fresquinho na memória!
>> [Téo] [Tom brincalhão] Então tá explicado! [Risos]
>> [Malu] Dá uma olhada neste aplicativo que instalei no meu celular. [Som de toques na tela do celular] Com ele, podemos saber o horário em qualquer lugar do mundo. Enquanto aqui são 10 e meia, lá em... [Som de toque na tela do celular] Fernando de Noronha já são 11 e meia.
>> [Téo] Então, significa que existe um fuso horário de diferença entre esses dois lugares?
>> [Malu] Muito bem! Agora pense, quando em Fernando de Noronha for 1 hora da manhã, [tom de questionamento] que horário será no Acre?
>> [Téo] Pelo que vimos, entre Noronha e Brasília há um fuso horário de diferença e, entre Brasília e o Acre, há dois. Um deles está a leste e o outro a oeste da referência nacional. Então, são três horas de diferença no fuso. Logo, 1 da manhã menos três horas de fuso... [Pausa pensando no cálculo] Meia-noite, 11 horas, 10 horas. No Acre, serão 10 horas da noite, ou 22 horas!
>> [Malu] [Tom empolgado] Acertou, Téo! Você se sairia bem na prova que fiz ontem!
>> [Téo] [Risos] Malu, e como é nos outros países?
>> [Malu] Vou mostrar no aplicativo! [Som de toques na tela do celular] Olha só: entre o Brasil e o Japão há 12 fusos horários de diferença.
>> [Téo] [Tom explicativo] Ah! Por isso que dizem que, quando aqui no Brasil é dia, lá no Japão é noite, ou seja, se aqui são 8 horas da manhã, lá são 8 horas da noite, ou 20 horas!
>> [Malu] Isso mesmo! Agora na Alemanha são 15 e 32 e, no México, 8 e 32. Isso significa que existem quantos fusos horários de diferença entre esses dois países?
>> [Téo] Acho que é fácil! Deixa eu ver. Subtraindo 8 de 15, o resultado é 7. Então, são sete fusos horários de diferença.
>> [Malu] Sim, Téo! Você ia matar essa prova no peito! Já vi que o sétimo ano vai ser muito tranquilo para você, pelo menos quando o assunto for fuso horário!
Som de sinal sonoro em aeroporto.
>> [Sistema de alto-falante do aeroporto] Senhores passageiros com destino ao Acre, favor embarcar no portão 51.
>> [Malu] [Tom de alerta] Olha lá, estão formando a fila no portão de embarque! [Tom animado] Vamos?
Créditos
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Agora é com você!
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Reúna-se com um colega e façam o que se pede em cada item.
a) Quando são 10 horas em Manaus, que horas são em Recife? E em Fernando de Noronha?
b) Quando são 20 horas em Fernando de Noronha, que horas são em Rio Branco, no Acre?
c) Que horas serão em Recife e em Cuiabá quando forem 12 horas em Florianópolis? E em Boa Vista?
d) O município onde vocês moram pertence a que região? Quando são 10 horas em Fernando de Noronha, qual é o horário na região onde moram?
6. Subtração
Em determinado dia, a medida de temperatura em Londres era ‒3 graus Célsius e, em Magdeburgo, ‒12 graus Célsius. Nesse dia, um turista viajou de Londres para Magdeburgo e percebeu a mudança de temperatura.
Observe como podemos representar a diferença entre as medidas de temperatura registrada em Magdeburgo (‒12 grausC) e a registrada em Londres (‒3 grausC) na reta numérica.
Analisando a reta numérica, concluímos que, na viagem de Londres para Magdeburgo, a medida de temperatura diminuiu 9 graus Célsius.
A operação que representa essa situação é a subtração: (‒12) ‒ (‒3) = ‒9.
Agora, vamos ver como efetuar a subtração de dois números inteiros. Para isso, vamos considerar a subtração (+3) ‒ (+2).
Note que ‒(+2) é o oposto de +2 e vale ‒2. Então, podemos dizer que (+3) ‒ (+2) é o mesmo que (+3) + (‒2). Logo, podemos efetuar essa subtração da seguinte maneira:
(+3) ‒ (+2) = (+3) + (‒2) = +1 = 1
Observe que adicionamos o primeiro número ao oposto do segundo.
Observe mais alguns exemplos.
a) (+5) ‒ (‒4) = (+5) + (+4) = +9 = 9
b) (‒7) ‒ (+4) = (‒7) + (‒4) = ‒11
A subtração de dois números inteiros é calculada adicionando-se o primeiro número ao oposto do segundo.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
39 Efetue as subtrações a seguir.
a) (‒15) ‒ (‒9)
b) (+12) ‒ (‒8)
c) (+14) ‒ (+21)
d) (‒18) ‒ (‒24)
e) (‒48) ‒ (+50)
f) (‒106) ‒ (‒32)
40 Dois automóveis partem de uma mesma cidade a, mas em sentidos opostos. O primeiro percorre 50 quilômetros à esquerda de a, e o segundo, 90 quilômetros à direita de a. A que medida de distância um automóvel está do outro?
41 Arquimedes, famoso matemático e inventor grego, nasceu em ‒287 (287 antes de Cristo) e morreu em ‒212 (212 antes de Cristo). Quantos anos ele viveu?
42
Você já aprendeu que podemos efetuar a adição de números inteiros usando uma calculadora. Realizando o mesmo procedimento, Felipe efetuou esta subtração:
(‒18) ‒ (‒24)
Para isso, ele apertou esta sequência de teclas:
e obteve o seguinte resultado:
O resultado que Felipe obteve está correto? Se não, o que aconteceu?
43
Na calculadora de Júlia, há a tecla
. Usando essa tecla, Júlia efetuou a seguinte subtração:
(‒18) ‒ (‒24)
Para isso, ela apertou estas teclas:
e obteve o seguinte resultado:
O resultado de Júlia está correto? Por que ela obteve um resultado diferente do de Felipe?
44
Hora de criar – Com um colega, elaborem, cada um, um problema sobre subtração de números inteiros. Depois troquem os problemas elaborados por vocês e cada um resolve o problema elaborado pelo outro; destroquem para corrigi-los.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Junte-se a um colega para resolverem este problema.
O empilhamento a seguir foi montado com fileiras de blocos numerados. Para formar as fileiras, há um segredo. Descubram qual é.
Sabendo que o empilhamento a seguir tem o mesmo segredo, descubram o número correspondente a cada bloco.
7. Adição algébrica
Observe esta expressão: (+5) + (‒10) ‒ (‒2) ‒ (+4) + (‒6).
Ela é formada apenas por adições e subtrações de números inteiros.
Para facilitar o cálculo de adições algébricas, podemos eliminar os parênteses. Para isso, adotamos os seguintes critérios:
• quando o sinal que precede os parênteses for mais, conservamos os sinais dos números que estão no interior dos parênteses, como nestes exemplos:
a) +(+9) = +9
b) +(‒12) = ‒12
• quando o sinal que precede os parênteses for menos, trocamos os sinais dos números que estão no interior dos parênteses, como nestes exemplos:
a)
b)
Vamos calcular a adição algébrica vista anteriormente. Começamos eliminando os parênteses.
(+5) + (‒10) ‒ (‒2) ‒ (+4) + (‒6) = +5 ‒ 10 + 2 ‒ 4 ‒ 6
Agora, juntamos os números positivos e os números negativos.
Para finalizar, podemos imaginar o número positivo como “pontos ganhos” e o número negativo como “pontos perdidos” e calcular o “saldo de pontos”.
Então, +7 ‒ 20 indica 7 pontos ganhos e 20 perdidos. Logo, o saldo de pontos é negativo e igual a ‒13, ou seja, +7 ‒ 20 = ‒13.
Acompanhe outros exemplos de adição algébrica.
a) (‒12) + (‒4) = ‒12 ‒ 4 = ‒16
b) (‒5) + (+5) = ‒5 + 5 = 0
c) (‒5) + (+8) ‒ (+1) = ‒5 + 8 ‒ 1 = ‒6 + 8 = +2 = 2
d) (‒2) ‒ (‒6) + (+3) = ‒2 + 6 + 3 = ‒2 + 9 = +7 = 7
Observação
▶ Quando as parcelas de uma adição algébrica forem números opostos (simétricos), elas poderão ser canceladas, pois a soma de dois números opostos é igual a zero, e o zero é o elemento neutro da adição. Observe um exemplo.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
45 Efetue as adições algébricas.
a) (+3) ‒ (+5) ‒ (‒10)
b) (+2) + (‒6) ‒ (+5) + (+2)
c) (‒5) ‒ (‒8) + (‒7) ‒ (‒9) + (‒3)
d) (‒2) ‒ (‒4) ‒ (+7) ‒ (‒2) + (‒12)
46
Efetue mentalmente as adições algébricas.
a) ‒6 + 8 + 6 ‒ 4 + 4 + 1
b) 4 ‒ 9 + 2 ‒ 1 + 9 ‒ 2
c) 5 + 6 ‒ 7 + 1 + 7 ‒ 10
d) 12 ‒ 6 + 5 ‒ 5 + 6 ‒ 12
47 Adicionamos dois a dois, de todos os modos possíveis, os números indicados nos cartões:
Quais são os resultados obtidos?
48 Qual é o número que devemos adicionar a:
a) ‒10 para obter +3?
b) ‒12 para obter ‒2?
c) +6 para obter ‒9?
d) ‒5 para obter ‒10?
49 Para cada situação a seguir, crie uma operação usando números inteiros. Interprete o resultado de acordo com a situação.
a) Em um jogo, Carlos ganhou 25 pontos e, depois, perdeu 19.
b) Cristiano devia 230 reais para seu primo. Já pagou 150 reais.
c) Ontem a medida da temperatura era 10 graus Célsius e caiu 15 graus Célsius durante a madrugada.
d) Antes de depositar 360 reais em sua conta, Ana verificou que o saldo estava negativo em 135 reais.
50 Observe a sequência numérica e responda às questões.
a) Como essa sequência foi formada?
b) Adicione os números que estão nas figuras de cores iguais. Que resultado você obteve?
51
Os bancos oferecem a seus clientes um serviço denominado cheque especial. Com ele, o cliente pode retirar mais dinheiro do que tem na conta, pois o banco oferece como empréstimo a quantia retirada a mais cobrando algumas taxas. Mas atenção: cheque especial só deve ser utilizado como um último recurso, pois as taxas pagas costumam ser altas. Sabendo que João é um cliente que tem cheque especial e que hoje tem no banco .5000 reais, responda às questões.
a) Ao pagar uma conta de .2720 reais, João ficou com que quantia na conta?
b) Depois de alguns dias, ele pagou mais três contas, no valor de .1500 reais, 850 reais e 680 reais. Qual é o novo saldo?
c) Se o limite do cheque especial de João é de .2000 reais, podemos dizer que ele ultrapassou o limite? Se não, quanto sobrou do seu limite?
d) Como João utilizou uma parte do seu limite no cheque especial, ele deverá pagar uma quantia, em real, ao banco. Se o banco cobrar, por mês, 150 reais de taxa, quanto ele deverá depositar em sua conta, dentro de um mês, para pagar a dívida com o banco?
52 Um empresário registrou no gráfico a seguir o movimento financeiro de sua empresa, no 1º semestre do ano.
Responda às questões de acordo com o gráfico.
a) Em que mês a empresa obteve maior lucro?
b) Em que mês ela sofreu maior prejuízo?
c) Ao final do semestre, a empresa registrava lucro ou prejuízo? De quanto?
53
Hora de criar – Com um colega, elaborem, cada um, um problema que envolva adição algébrica de números inteiros. Depois troquem os problemas elaborados por vocês e cada um resolve o problema elaborado pelo outro; destroquem para corrigi-los.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Recorte nove fichas quadradas (de mesmo tamanho) de papel. Escreva nelas os números inteiros ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2 e 3. Use um número para cada ficha. Acomode as fichas formando um quadrado, de modo que a soma algébrica nas verticais, nas horizontais e nas diagonais seja sempre ‒3. Esse é um quadrado mágico.
2 Recorte novas fichas quadradas, adicionando a cada número dado na atividade 1 outro número, a sua escolha, e forme um novo quadrado mágico.
(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)
8. Multiplicação
Quando estudamos os números naturais, vimos que a multiplicação equivale à adição de parcelas iguais. Por exemplo:
5 ⋅ 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
Ao estudar os números inteiros, no decorrer deste capítulo, vimos que:
• o oposto de um número positivo é um número negativo (exemplo: ‒(+3) = ‒3);
• o oposto de um número negativo é um número positivo (exemplo: ‒(‒3) = 3).
Agora, observe estas multiplicações.
a) (+2) ⋅ (+4) = 2 ⋅ (+4) = (+4) + (+4) = +8 = 8 Portanto, (+2) ⋅ (+4) = 8. Multiplicamos dois números positivos, e o resultado foi um número positivo.
b) (+2) ⋅ (‒4) = 2 ⋅ (‒4) = (‒4) + (‒4) = ‒8 Portanto, (+2) ⋅ (‒4) = ‒8. Multiplicamos um número positivo por um número negativo, e o resultado foi um número negativo.
c) O produto (‒2) ⋅ (+4) pode ser representado por ‒(+2) ⋅ (+4). Como (+2) ⋅ (+4) = 8, obtemos: ‒[(+2) ⋅ (+4)] = ‒8. Portanto, (‒2) ⋅ (+4) = ‒8. Multiplicamos um número negativo por um número positivo, e o resultado foi um número negativo.
d) O produto (‒2) ⋅ (‒4) pode ser representado por (+2) ⋅ (‒4). Como (+2) ⋅ (‒4) = ‒8, obtemos: ‒[(+2) ⋅ (‒4)] = ‒(‒8) = +8 = 8. Portanto, (‒2) ⋅ (‒4) = 8. Multiplicamos dois números negativos, e o resultado foi um número positivo.
Em qualquer multiplicação de números inteiros diferentes de zero, temos:
• o produto de dois números de mesmo sinal é um número positivo;
• o produto de dois números de sinais diferentes é um número negativo.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
54 Determine os produtos e escreva a resposta no caderno.
a) (‒5) ⋅ (+6)
b) (‒5) ⋅ (‒6)
c) (‒6) ⋅ (‒8)
d) (‒2) ⋅ (‒1)
e) (+3) ⋅ (+7)
f) (‒9) ⋅ (+2)
g) 0 ⋅ (‒4)
h) (‒34) ⋅ (+2)
55 Descubra dois números cuja soma seja ‒6 e cujo produto seja ‒16.
56
Determine mentalmente o valor do fator desconhecido, representado por uma letra, nos casos a seguir.
a) (‒8) ⋅ x = (‒8)
b) (‒4) ⋅ y = (+4)
c) (‒5) ⋅ z = 0
d) (+9) ⋅ t = (+9)
e) (+6) ⋅ n = 0
f) 0 ⋅ m = 0
57 Siga as instruções do fluxograma para obter o valor de R.
58 Em determinado jogo, cada participante deve responder a 20 questões. A cada resposta correta, ganham-se 3 pontos e, a cada resposta incorreta, perdem-se 2 pontos.
a) Quantas questões Henrique acertou se ele marcou 30 pontos?
b) É possível que alguém termine esse jogo com zero ponto? Quantas questões essa pessoa teria acertado?
c) Quantas questões uma pessoa pode ter acertado se ela marcou ‒15 pontos?
d) Juliano disse que marcou ‒4 pontos. Ele está correto? Por quê?
59
Usando uma calculadora com a tecla
, podemos efetuar multiplicações com números inteiros. Acompanhe alguns exemplos.
(‒8) ⋅ (+2)
(+5) ⋅ (‒6)
Que teclas devem ser apertadas para efetuar as multiplicações a seguir? E qual será o resultado dessas operações?
a) (+5) ⋅ (+6)
b) (‒4) ⋅ (‒9)
c) (+3) ⋅ (‒8) ⋅ (‒6)
d) (‒7) ⋅ (‒5) ⋅ (‒6)
Pense mais um pouco...
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Reúna-se com um colega para resolverem este problema.
Bruna e Carlos estão jogando conforme as seguintes regras:
• O 1º jogador (o desafiante) escolhe um número inteiro entre ‒50 e 50 e o decompõe em dois fatores. Deve escrever o número e os fatores em um papel e guardá-lo.
• Obrigatoriamente, pelo menos um dos fatores deve ser negativo.
• O 2º jogador deve encontrar o produto e os fatores, registrando as tentativas.
• Para cada tentativa, o desafiante indica os acertos e dá dicas sobre os demais valores: diz se o produto e cada fator são maiores ou menores que os escolhidos.
• Com as dicas, o 2º jogador deve fazer tentativas até encontrar os fatores escolhidos.
• Em seguida, invertem-se as posições.
• Vence o jogo aquele que descobrir os fatores no menor número de tentativas.
Pensando na estrutura do jogo, respondam:
a) O 2º jogador sabe que um dos fatores é zero. O que ele pode afirmar sobre o outro fator?
b) O 2º jogador sabe que um dos fatores está entre ‒7 e ‒1. Ele pode afirmar que o produto é negativo?
c) O 2º jogador sabe que o produto não é negativo. O que pode afirmar sobre os fatores?
d) O 2º jogador diz corretamente os dois fatores, em determinada ordem. Se ele tivesse dito os mesmos fatores na ordem inversa, teria errado?
Propriedades da multiplicação
Ao estudar a multiplicação de números naturais, vimos que essa operação é comutativa e associativa e que o número 1 é seu elemento neutro. Essas propriedades também são válidas para a multiplicação de números inteiros.
Em uma multiplicação de dois números inteiros, a ordem dos fatores não altera o produto.
Observe esta multiplicação: (‒20) ⋅ (+5) = ‒100.
Trocando a ordem dos fatores, obtemos (+5) ⋅ (‒20) = ‒100.
Portanto, (‒20) ⋅ (+5) = (+5) ⋅ (‒20).
Em uma multiplicação de três ou mais números inteiros, podemos associá-los de modos diferentes sem alterar o produto.
Vamos calcular (+3) ⋅ (‒7) ⋅ (‒2).
• Associamos os dois primeiros fatores e, pelo resultado, multiplicamos o terceiro:
• Ou, então, associamos os dois últimos fatores e multiplicamos o primeiro pelo resultado:
O número 1 é o elemento neutro da multiplicação de números inteiros.
Observe dois exemplos.
a) (+5) ⋅ 1 = 1 ⋅ (+5) = +5 = 5
b) (‒4) ⋅ 1 = 1 ⋅ (‒4) = ‒4
Para a multiplicação de números inteiros, também vale a propriedade distributiva em relação à adição algébrica.
Na multiplicação de um número inteiro por uma adição algébrica, podemos multiplicar esse inteiro pelos termos da adição algébrica e, depois, adicionar os resultados.
Observe alguns exemplos.
a)
b)
c)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
60
Calcule mentalmente.
a) Sabendo que (‒80) ⋅ (+62) = ‒.4960, quanto vale (+62) ⋅ (‒80) ?
b) Sendo (‒10) ⋅ [(‒8) ⋅ (+15)] = .1200, calcule [(‒10) ⋅ (‒8)] ⋅ (+15).
61 Identifique as propriedades empregadas na resolução das multiplicações a seguir.
a) ‒2 ⋅ (‒7 ‒ 8) = = – 2 ⋅ (‒7) ‒ 2 ⋅ (‒8) = = 14 + 16 = 30
b) (‒10) ⋅ (‒5) ⋅ (‒2) = = ( ‒10) ⋅ ( +10) = ‒100
c) (‒4) ⋅ (‒ 1) ⋅ (‒8) ⋅ (+1) = = (‒4) ⋅ (‒1) ⋅ (‒8) = = (‒4) ⋅ (+8) = ‒32
62
Acompanhe como Márcio efetuou a multiplicação (‒9) ⋅ (+5) ⋅ (‒1) usando uma calculadora.
Nesse cálculo, ele usou uma propriedade da multiplicação. Que propriedade é essa?
63 Observe como Pedro e Daniela efetuaram a mesma operação.
• Pedro
• Daniela
Agora, resolva.
a) Descreva os procedimentos usados por Pedro e por Daniela.
b) Em sua opinião, quem fez o cálculo do modo mais prático? Justifique sua resposta.
64 Usando o método de Pedro ou o de Daniela, efetue as multiplicações no caderno.
a) (‒9) ⋅ (‒6 + 5)
b) (‒25) ⋅ (‒10 ‒ 1)
c) (‒34) ⋅ (5 + 2)
d) (+25) ⋅ (‒12 + 2)
e) (+10) ⋅ (‒23 + 54)
f) 0 ⋅ (+9 ‒ 1)
9. Divisão
Considerando que a divisão é a operação inversa da multiplicação, sabemos, por exemplo, que:
18 : 3 = 6, porque 6 ⋅ 3 = 18
Em uma divisão entre dois números inteiros diferentes de zero, temos:
• quociente positivo quando esses números (dividendo e divisor) são de mesmo sinal;
• quociente negativo quando esses números (dividendo e divisor) são de sinais diferentes.
Observe outros exemplos.
a) (+60) : (‒15) = ‒4, porque (‒4) ⋅ (‒15) = +60.
b) (‒30) : (+10) = ‒3, porque (‒3) ⋅ (+10) = ‒30.
c) (+80) : (+20) = +4, porque (+4) ⋅ (+20) = +80.
d) (‒65) : (‒13) = +5, porque (+5) ⋅ (‒13) = ‒65.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
65 Efetue as divisões.
a) (+9) : (‒9)
b) (‒8) : (‒8)
c) 0 : (+7)
d) (‒48) : (+12)
e) (‒50) : (‒5)
f) (+112) : (‒56)
g) (‒108) : (+27)
h) (+35) : (+7)
i) (+72) : (+36)
j) (‒90) : (‒10)
66 Determine o valor do termo desconhecido, representado pela letra, em cada caso.
a) x : (‒8) = ‒6
b) y : 9 = ‒7
c) t : (‒3) = ‒24
d) z : (‒13) = 12
67 Determine o quociente entre dois números não nulos:
a) quando esses números são iguais;
b) quando esses números são opostos.
68 Carla e Joana são duas amigas que adoram decifrar códigos. Carla conheceu um garoto com um nome bastante diferente e propôs a Joana um desafio para descobrir o nome dele.
Determine o resultado de cada operação que está ligada a uma letra. No caderno, coloque esses resultados em ordem crescente e troque pela letra correspondente.
• Qual é o nome do colega de Carla?
10. Expressões numéricas
Já aprendemos que, para resolver uma expressão numérica, eliminamos os sinais de associação respeitando a seguinte ordem: parênteses, colchetes e chaves. Devemos nos lembrar também de obedecer aos procedimentos relativos aos símbolos + ou ‒ que precedem os parênteses, colchetes e chaves.
Como exemplo, vamos resolver algumas expressões.
a)
b)
c)
d)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
69 Resolva as seguintes expressões.
a) 14 menos abre parênteses menos10 + 5 + 3fecha parênteses
b) menos15 + abre colchete menos4 menos abre parênteses menos5 + 20fecha parênteses fecha colchete
c) 20 menos abre chaves menos10 + abre colchete+20 menos abre parênteses menos20 + 10fecha parênteses fecha colchete fecha chave
d) menos12 + abre parênteses menos6fecha parênteses menos abre colchete abre parênteses menos8 menos 5fecha parênteses fecha colchete
70 Efetue cada operação a seguir.
a) abre parênteses menos1fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos1fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos1fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos1fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos1fecha parênteses
b) menos5 + abre parênteses menos3fecha parênteses ⋅ abre parênteses+8fecha parênteses
c) abre parênteses menos6fecha parênteses ⋅ abre parênteses+5fecha parênteses menos abre parênteses menos4fecha parênteses ⋅ abre parênteses+3fecha parênteses
d) abre parênteses menos5 + 1fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos8 + 2fecha parênteses
e) 6 menos abre parênteses menos6 + 4fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos5 + 9fecha parênteses
f) menos3 menos 3 ⋅ abre parênteses menos3fecha parênteses
71 Roberto lançou 15 vezes uma moeda e obteve os resultados que estão no quadro.
|
Cara |
10 |
|---|---|
|
Coroa |
5 |
Para cada cara, Roberto ganha 7 pontos e, para cada coroa, perde 9 pontos.
a) Represente com um número positivo e um número negativo o total de pontos ganhos e o total de pontos perdidos.
b) Crie uma expressão que forneça o saldo de pontos obtidos por Roberto.
c) Qual foi o saldo de pontos obtidos por Roberto nessa jogada?
d) Qual é a pontuação máxima que Roberto poderia conseguir? E a mínima?
72 João, Ricardo e Cristina participaram de um campeonato de videogame. Para fazer uma brincadeira com os colegas, apresentaram os pontos obtidos por meio do valor das seguintes expressões:
|
Ricardo |
−5 − 2 ⋅ (−3) + (−2) ⋅ (−5) + 7 |
|---|---|
|
Cristina |
[(−2) ⋅ 1 + (−6)] ⋅ (−1) |
|
João |
(−3) ⋅ 2 + (−2) ⋅ (−5) + (−3) ⋅ (−1) |
O quadro a seguir registra a quantidade de pontos dos seis primeiros colocados.
|
Classificação |
1º |
2º |
3º |
4º |
5º |
6º |
|---|---|---|---|---|---|---|
|
Número de pontos |
18 |
17 |
8 |
7 |
5 |
4 |
• Qual foi a classificação de cada um?
73 Calcule as expressões a seguir.
a) abre parênteses menos4 + 20fecha parênteses dividido por abre parênteses menos8fecha parênteses
b) abre parênteses menos6 menos 14fecha parênteses dividido por abre parênteses menos6 + 1fecha parênteses
c) abre parênteses menos8fecha parênteses ⋅ abre parênteses+3fecha parênteses menos abre parênteses menos15fecha parênteses dividido por abre parênteses+3fecha parênteses
d) abre colchete menos8 + abre parênteses menos4fecha parênteses ⋅ (‒3fecha parênteses fecha colchete dividido por abre parênteses menos1 menos 1fecha parênteses
e) abre parênteses menos6 menos 2 + 3fecha parênteses dividido por abre colchete menos3 ⋅ abre parênteses menos2 + 3fecha parênteses + 8fecha colchete
74
Junte-se a um colega para resolverem este problema.
Utilizando uma calculadora, Luana precisa efetuar a operação abre parênteses menos.1500fecha parênteses dividido por abre parênteses menos20fecha parênteses, mas as teclas
e
estão quebradas.
Como Luana pode fazer esse cálculo sem usar essas teclas?
75
Hora de criar – Com um colega, elaborem, cada um, um problema que envolva expressão numérica de números inteiros. Depois troquem os problemas elaborados por vocês, cada um resolve o problema elaborado pelo outro e destroquem para corrigi-los.
11. Potenciação
Quando trabalhamos com números naturais, vimos que, ao efetuar um produto de fatores iguais, realizamos uma operação chamada de potenciação.
Também podemos efetuar a potenciação com números inteiros.
Vamos ver alguns exemplos com expoente positivo.
a) abre parênteses+5fecha parênteses elevado a 2 = abre parênteses+5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+5fecha parênteses = +25
b) abre parênteses+7fecha parênteses elevado a 3 = abre parênteses+7fecha parênteses ⋅ abre parênteses+7fecha parênteses ⋅ abre parênteses+7fecha parênteses = +343
c) abre parênteses menos3fecha parênteses elevado a 2 = abre parênteses menos3fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos3fecha parênteses = +9
d) abre parênteses menos4fecha parênteses elevado a 3 = abre parênteses menos4fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos4fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos4fecha parênteses = menos64
e) abre parênteses menos2fecha parênteses elevado a 5 = abre parênteses menos2fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos2fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos2fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos2fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos2fecha parênteses = menos32
Em potenciação cuja base é um número inteiro e o expoente é um número positivo, temos:
• a potência de base positiva é um número positivo;
• a potência de base negativa é positiva quando o expoente é par e negativa quando o expoente é ímpar.
Potência de expoente 1 ou zero
De modo geral, convencionamos que:
• Para toda potência cuja base é um número inteiro e o expoente é 1, a potência é igual à própria base.
• Para toda potência cuja base é um número inteiro não nulo e o expoente é zero, a potência é igual a 1.
Observe alguns exemplos.
a) 3elevado a 1 = 3
b) abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 1 = menos2
c) abre parênteses menos5fecha parênteseselevado a 1 = menos5
d) 2elevado a 0 = 1
e) abre parênteses menos1fecha parênteseselevado a 0 = 1
f) abre parênteses menos7fecha parênteseselevado a 0 = 1
Observação
▶ Sempre colocamos as bases negativas entre parênteses. Observe.
abre parênteses menos5fecha parênteseselevado a 2 = abre parênteses menos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos5fecha parênteses = +25 = 25
Se não colocarmos as bases negativas entre parênteses, o sinal negativo será do resultado da potenciação. Observe.
menos5elevado a 2 = ‒5 ⋅ 5 = menos25
Assim, abre parênteses menos5fecha parênteseselevado a 2 é diferente de menos5elevado a 2.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
76 Calcule as potências.
a) abre parênteses+3fecha parênteseselevado a 2
b) abre parênteses+5fecha parênteseselevado a 3
c) abre parênteses+7fecha parênteseselevado a 2
d) abre parênteses menos11fecha parênteseselevado a 2
e) abre parênteses menos5fecha parênteseselevado a 3
f) abre parênteses menos3fecha parênteseselevado a 4
g) abre parênteses menos1fecha parênteseselevado a 6
h) abre parênteses+6fecha parênteseselevado a 1
i) abre parênteses+329fecha parênteseselevado a 0
77 Compare as potências usando >, < ou =.
a) abre parênteses menos9fecha parênteseselevado a 0 e abre parênteses+31fecha parênteseselevado a 0
b) abre parênteses menos9fecha parênteseselevado a 1 e abre parênteses menos1fecha parênteseselevado a 6
c) abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 8 e abre parênteses+3fecha parênteseselevado a 3
d) abre parênteses+2fecha parênteseselevado a 5 e abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 5
78 Quais números inteiros entre abre parênteses menos3fecha parênteseselevado a 3 e abre parênteses+3fecha parênteseselevado a 3 são divisíveis por 10?
79 O número menos15 é menor que menos3. E abre parênteses menos15fecha parênteseselevado a 2 é menor que abre parênteses menos3fecha parênteseselevado a 2? Por quê?
80 Uma potência é negativa e seu expoente é ímpar. Sua base é um número positivo ou negativo?
81 Mônica apresentou o seguinte desafio para Carlos:
• Ajude Carlos a obter a resposta correta para esse desafio.
82
Com uma calculadora, podemos determinar potências de bases negativas. A potência abre parênteses menos2fecha parênteses elevado a 4 pode ser calculada teclando-se a sequência:
Que sequência de teclas deve ser apertada para calcular as potências a seguir?
a) abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 6
b) abre parênteses menos3fecha parênteseselevado a 5
c) abre parênteses menos4fecha parênteseselevado a 3
d) abre parênteses menos3fecha parênteseselevado a 4
e) abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 7
f) abre parênteses menos5fecha parênteseselevado a 2
• Que valor foi encontrado em cada item?
Propriedades da potenciação
A seguir, vamos estudar algumas propriedades da potenciação, válidas para toda potência cuja base é um número inteiro e o expoente é um número natural.
Produto de potências de mesma base
Vamos calcular abre parênteses menos4fecha parênteseselevado a 3 ⋅ abre parênteses menos4fecha parênteseselevado a 2.
Observe que o expoente 5 é a soma dos expoentes dos fatores, ou seja:
abre parênteses menos4fecha parênteseselevado a 3 ⋅ abre parênteses menos4fecha parênteseselevado a 2 = abre parênteses menos4fecha parênteseselevado a 3 + elevado a 2 = abre parênteses menos4fecha parênteseselevado a 5
Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e adicionamos os expoentes.
Quociente de potências de mesma base
Vamos calcular abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 5 dividido por abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 2.
Devemos procurar uma potência que multiplicada por abre parênteses menos2fecha parênteses elevado a 2 resulte em abre parênteses menos2fecha parênteses elevado a 5. Essa potência é abre parênteses menos2fecha parênteses elevado a 3, pois abre parênteses menos2fecha parênteses elevado a 3 ⋅ abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 2 = abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 5. Então:
abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 5 dividido por abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 2 = abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 3
Observe que o expoente 3 é a diferença entre os expoentes do dividendo e do divisor, ou seja:
abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 5 dividido por abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 2 = abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 5 menos 2 = abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 3
Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes.
Potência de uma potência
Vamos calcular o cubo de abre parênteses menos3fecha parênteses elevado a 2, ou seja, abre colchete abre parênteses menos3fecha parênteses elevado a 2 fecha colchete elevado a 3.
Observe que o número que está elevado à terceira potência é abre parênteses menos 3fecha parênteses elevado a 2. Portanto:
abre colchete abre parênteses menos3fecha parênteses elevado a 2 fecha colchete elevado a 3 = abre parênteses menos3fecha parênteses elevado a 2 ⋅ abre parênteses menos3fecha parênteses elevado a 2 ⋅ abre parênteses menos3fecha parênteses elevado a 2 = abre parênteses menos3fecha parênteses elevado a 2 mais 2 mais 2 = abre parênteses menos3fecha parênteses elevado a 3 vezes 2 = abre parênteses menos3fecha parênteses elevado a 6
Note que o resultado pode ser obtido conservando-se a base e multiplicando-se os expoentes.
Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.
Potência de um produto
Vamos calcular o quadrado do produto abre parênteses menos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+2fecha parênteses, ou seja, abre colchete abre parênteses menos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+2fecha parênteses fecha colchete elevado a 2.
Observe que a base da potência é o produto abre parênteses menos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+2fecha parênteses, ou seja:
abre colchete abre parênteses menos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+2fecha parênteses fecha colchete elevado a 2 = abre colchete abre parênteses menos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+2fecha parênteses fecha colchete ⋅ abre colchete abre parênteses menos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+2fecha parênteses fecha colchete = abre parênteses menos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+2fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+2fecha parênteses =
= abre parênteses menos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+2fecha parênteses ⋅ abre parênteses+2fecha parênteses = abre parênteses menos5) elevado a 2 ⋅ abre parênteses+2fecha parênteses elevado a 2
Note que o resultado pode ser obtido elevando-se cada fator ao quadrado.
Para elevar um produto a um expoente, elevamos cada fator a esse expoente.
Expressões numéricas com potenciação
Acompanhe, a seguir, o cálculo do valor de algumas expressões.
a)
b)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
83 Reduza a uma só potência.
a) abre parênteses+4fecha parênteseselevado a 2 ⋅ abre parênteses+4fecha parênteseselevado a 3
b) abre parênteses menos10fecha parênteseselevado a 3 ⋅ abre parênteses menos10fecha parênteseselevado a 4 ⋅ abre parênteses menos10fecha parênteseselevado a 2
c) abre parênteses menos12fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos12fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos12fecha parênteseselevado a 2
d) abre parênteses menos6fecha parênteseselevado a 8 dividido por abre parênteses menos6fecha parênteseselevado a 2
e) abre parênteses+9fecha parênteseselevado a 3 dividido por abre parênteses+9fecha parênteses
f) abre parênteses menos21fecha parênteseselevado a 4 dividido por abre parênteses menos21fecha parênteseselevado a 3
84 Aplique as propriedades de potência.
a) abre parênteses+2 elevado a 5 fecha parênteses elevado a 3
b) abre colcheteabre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 3fecha colcheteelevado a 4
c) abre colchete abre parênteses menos7fecha parênteseselevado a 2fecha colcheteelevado a 5
d) abre colchete abre parênteses menos3fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos5fecha parênteses fecha colcheteelevado a 3
e) abre colchete abre parênteses+2fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos7fecha parênteses fecha colcheteelevado a 2
f) abre colchete abre parênteses menos2fecha parênteses ⋅ abre parênteses+11fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos3fecha parênteses fecha colcheteelevado a 2
85 Resolva as expressões a seguir.
a) abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 3 dividido por abre parênteses‒8fecha parênteses
b) abre parênteses menos5fecha parênteseselevado a 2 dividido por abre parênteses menos4 menos 1fecha parênteses
c) abre parênteses menos5 + 1fecha parênteseselevado a 2 + abre parênteses menos4fecha parênteseselevado a 2 menos abre parênteses menos1fecha parênteseselevado a 5
d) abre parênteses menos2fecha parênteseselevado a 3 ⋅ abre parênteses menos3fecha parênteseselevado a 2 menos abre parênteses menos5fecha parênteseselevado a 2 ⋅ abre parênteses menos1fecha parênteseselevado a 4
e) abre parênteses5 menos 10fecha parênteseselevado a 2 menos abre parênteses menos3fecha parênteseselevado a 2 + abre parênteses12fecha parênteseselevado a 0
f) abre parênteses‒3fecha parênteseselevado a 3 ⋅ abre parênteses‒2fecha parênteseselevado a 2 + abre parênteses‒10fecha parênteseselevado a 1 ⋅ abre parênteses‒1fecha parênteseselevado a 5
86 Reduza a uma só potência.
a) abre parênteses2elevado a 5 ⋅ 2elevado a 6 ⋅ 2elevado a 4fecha parênteses dividido por abre parênteses2elevado a 7 ⋅ 2elevado a 3fecha parênteses
b) abre parênteses3elevado a 4 dividido por 3elevado a 3fecha parênteses ⋅ abre parênteses3elevado a 5 ⋅ 3elevado a 3fecha parênteses
c) abre colchete abre parênteses menos5fecha parênteseselevado a 2 ⋅ abre parênteses menos5fecha parênteseselevado a 4fecha colchete dividido por abre colchete abre parênteses menos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos5fecha parênteseselevado a 3fecha colchete
d) abre colchete abre parênteses menos7fecha parênteseselevado a 2fecha colcheteelevado a 4 ⋅ abre colchete abre parênteses menos7fecha parênteseselevado a 5 dividido por abre parênteses menos7fecha parênteseselevado a 3fecha colchete
e) abre parênteses2elevado a 2 ⋅ 2elevado a 3 ⋅ 2elevado a 5fecha parênteses dividido por abre parênteses2elevado menos 2 mais 5 fecha parênteses
f) abre parênteses menos1 menos 1 menos 1fecha parênteses elevado a 2 ⋅ abre parênteses menos3fecha parênteses elevado a 1 mais 2
12. Raiz quadrada
Já vimos que, para determinar
raiz quadrada de 36por exemplo, precisamos determinar um número que elevado ao quadrado resulte em 36. Então,
Raiz quadrada de 36= 6, pois 6elevado a 2 = 36.
No entanto, abre parênteses menos6fecha parênteses elevado a 2 também é igual a 36. Porém, como o resultado de uma operação deve ser único, foi convencionado pelos matemáticos que a raiz quadrada de um número inteiro, quando existir, é um número não negativo.
Acompanhe os exemplos.
a) Os números inteiros cujo quadrado é 81 são 9 e menos9, pois 9elevado a 2 = 81 e abre parênteses menos9fecha parênteseselevado a 2 = 81. Porém,
raiz quadrada de 81= 9.
b) Os números inteiros cujo quadrado é 144 são 12 e menos12, pois 12elevado a 2 = 144 e abre parênteses menos12elevado a 2 fecha parênteses = 144. Porém,
raiz quadrada de 144= 12.
Note que, ao procurar os números inteiros que elevados ao quadrado resultam em menos81, constatamos que não é possível encontrá-los, pois o produto de um positivo por um positivo é um número positivo, assim como o produto de um negativo por um negativo também é um positivo. Portanto, nenhum número inteiro elevado ao quadrado resulta em um número negativo.
Observação
▶ Além do zero, somente os números inteiros positivos e quadrados perfeitos têm como raiz quadrada um número inteiro. Assim, por exemplo:
• não existe nenhum número inteiro que seja raiz quadrada do número 5;
• não existe nenhum número inteiro que seja raiz quadrada de menos9.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
87 Determine:
a)
Item a: raiz quadrada de 1
b)
Item b: raiz quadrada de 49.
c)
Item c: menos, abre parênteses, raiz quadrada de 100, fecha parênteses.
d)
tem d: menos, abre parênteses, raiz quadrada de 16, fecha parênteses.
e)
Item e: raiz quadrada de 196.
f)
Item f: menos, abre parênteses, raiz quadrada de 256, fecha parênteses.
88 Quais são os números compreendidos entre ‒10 e 10 cuja raiz quadrada é um número inteiro?
89 Alguns dos números a seguir têm como raiz quadrada um número inteiro. Quais são eles? Justifique sua resposta.
a) 18
b) 4
c) ‒36
d) 100
e) 144
f) ‒225
90 Quais são os números inteiros que elevados ao quadrado resultam em 900?
91 No esquema, o produto dos números que estão na vertical é igual ao produto dos números que estão na horizontal.
• Descubra os valores de a e b, sabendo que a é menor que b.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 João e Luiz se posicionam um de costas para o outro. João anda 20 métros na direção leste, e Luiz, 18 métros na direção oeste.
Representando por +20 a posição em que João se encontra em relação ao ponto de partida, responda:
a) Como podemos representar a posição em que Luiz se encontra?
b) Quantos metros separam João de Luiz?
2 Compare os números a seguir e escreva sentenças usando os símbolos > ou <.
a) ‒75 e 42
b) ‒300 e ‒10
c) 2 e ‒20
d) ‒5 e ‒30
3 Considerando os números 9, ‒10, ‒15, 8, ‒21, ‒5 e 12, escreva:
a) os números maiores que ‒10;
b) os números maiores que ‒15 e menores que 9;
c) os números cujo módulo é maior que 10;
d) os números cujo módulo é menor que o módulo de 12.
4 Um submarino encontra-se a 228 métros de medida de profundidade (‒228 métros). Depois de algum tempo, está a ‒184 métros.
a) Ele subiu ou desceu?
b) Quantos metros?
c) Escreva uma adição algébrica que represente a posição atual do submarino.
5
Resolva mentalmente.
Quais destas subtrações têm como resultado um número negativo?
a) (‒10) ‒ (+6)
b) (‒10) ‒ (‒6)
c) (+10) ‒ (+6)
d) (+10) ‒ (‒6)
6 Observe o gráfico sobre a movimentação financeira do supermercado Girassol ao longo de seis meses. Neste gráfico, o lucro é representado por números positivos, e o prejuízo, por números negativos.
Agora, responda:
a) Em quais meses o lucro foi de 20 mil reais?
b) Em quais meses ocorreu maior lucro?
c) Em quais meses houve prejuízo?
d) Em que mês o prejuízo foi maior?
e) É correto afirmar que o lucro desse supermercado aumentou ao longo de todo o semestre? Justifique sua resposta.
7 Em janeiro de determinado ano, uma empresa teve um prejuízo de .5200 reais, mas em fevereiro do mesmo ano recuperou-se e obteve um lucro de .12560 reais.
a) Escreva, usando números inteiros, uma expressão que represente a situação da empresa ao final de fevereiro.
b) Qual foi o lucro dessa empresa nesse bimestre?
8 No esquema a seguir, cada letra equivale à soma dos números dos dois blocos imediatamente abaixo. Determine o número que está no alto da pilha.
9 Resolva cada expressão a seguir.
a) 5 + (2 ‒ 6)
b) ‒15 ‒ (‒23 + 12)
c) (9 ‒ 15) + (12 ‒ 20)
d) (‒9 + 5) ‒ (‒6 ‒ 8 ‒ 4)
e) ‒(‒2) + (‒3) ‒ {‒2 + [‒1 ‒ (‒2 + 1)] + 5}
f) 20 ‒ {‒10 ‒ [‒8 + (5 ‒ 12)] ‒ 20}
10 Calcule o valor das expressões numéricas.
a) 15 + (‒8) ⋅ (+3)
b) (‒30) : (‒5) ‒ (‒4)
c) 21 ‒ (‒14) : (+2)
d) (‒4) ⋅ (‒6) ‒ (‒6)
e) 3 ⋅ (‒8) ‒ 4 ⋅ (‒5)
f) (‒5) ⋅ (+4) + (‒15) : (‒5)
g) (‒6) ⋅ (+3) + (‒5) ⋅ (‒4)
11 Um produto com quatro fatores negativos é positivo ou negativo?
12 Determine o valor das expressões a seguir.
a) (‒6)2 ‒ 12
b) (‒5) ⋅ (+ 6) ‒ (‒3)2
c) (‒8)2 : (‒16) + 5
d) (‒6)0 + (‒3)2 + (‒2)3 ⋅ (‒1)
e) 32 ‒ 42 ‒ (‒2) ⋅ (‒4)
f) (‒7)2 ‒ (‒7) ⋅ (‒6)
13 Efetue:
a)
raiz quadrada de 16+
raiz quadrada de 9e
raiz quadrada de 16 + 9
b)
raiz quadrada de 225, menos, raiz quadrada de 81e
raiz quadrada de 225 menos 81
c)
raiz quadrada de 121, vezes, raiz quadrada de 9e
raiz quadrada de 121 vezes 9
d)
raiz quadrada de 324, dividido por, raiz quadrada de 81e
raiz quadrada de 324 dividido por 81
• Compare os resultados obtidos em cada item. O que você observa?
14 Considere estas expressões:
um (‒2 + 4)2 ‒ 3 ⋅
abre parênteses, raiz quadrada de 16 mais raiz quadrada de 4, fecha parênteses.
dois ‒
raiz quadrada de 64+
raiz quadrada de 3 elevado ao quadrado mais 4 elevado ao quadrado.
três
abre parênteses, raiz quadrada de 25, menos, raiz quadrada de 49, fecha parênteses, elevado ao quadrado.⋅ (‒3 + 5)
quatro
raiz quadrada de 10 elevado ao quadrado menos 8 menos 8 vezes 7‒ 2 ⋅ 14
Determine o valor de cada expressão. Entre esses valores, descubra dois cuja soma seja igual a ‒36 e dois cuja diferença seja igual a ‒11.
VERIFICANDO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Entre as perguntas a seguir, qual pode ser respondida com o uso de um número negativo?
a) Quantos anos tem determinada pessoa?
b) Quantos livros há na estante?
c) Qual é o saldo bancário de determinada pessoa?
d) Qual é a medida da capacidade dessa garrafa de água?
2 A reta numérica que apresenta a localização correta do número ‒(‒3) e do número ‒2 é:
a)
b)
c)
d)
3 O número que está localizado 10 unidades à esquerda do número 3 na reta numérica é o número:
a) ‒10.
b) ‒7.
c) 7.
d) 13.
4 João fez um esquema que indica a distância de alguns pontos da cidade ao centro.
Quais pontos da cidade correspondem a pontos simétricos no esquema?
a) Parque e escola.
b) Parque e hospital.
c) Casa de João e hospital.
d) Mercado e casa de José.
5 Nas alternativas a seguir estão as menores medidas de temperaturas já registradas em determinada cidade. Qual foi a menor medida registrada?
a) ‒6 graus Célsius
b) ‒1 grau Célsius
c) 0 grau Célsius
d) 2 graus Célsius
6 Qual é o resultado da expressão numérica a seguir?
3 ‒ [(1 + 3 ⋅ 7) : (‒2)] ⋅ (‒1)
a) ‒8
b) ‒3
c) 11
d) 14
7 Mariana multiplicou o número ‒15 por 120 e, em seguida, dividiu o resultado pelo oposto de ‒15. Qual é a expressão numérica que representa essa situação?
a) (‒15 ⋅ 120) : (‒15) = 120
b) (‒15 ⋅ 120) : (‒15) = ‒120
c) (‒15 ⋅ 120) : [‒(‒15)] = 120
d) (‒15 ⋅ 120) : [‒(‒15)] = ‒120
8 Qual das igualdades a seguir é verdadeira?
a)
a) raiz quadrada de 16 é igual a, abre parênteses, menos 2, fecha parênteses, elevado ao quadrado.b)
b) raiz quadrada de 16 é igual a menos, 2 elevado ao cubo.c)
c) raiz quadrada de 81 é igual a menos, 9 elevado ao quadrado.d)
d) raiz quadrada de 9 é igual a, abre parênteses, menos 3, fecha parênteses, elevado ao quadrado.Organizando
Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.
a) Cite três exemplos de situações em que podemos utilizar números negativos.
b) Desenhe uma reta numérica e localize os números de ‒10 a 10.
c) Como você definiria o módulo de um número? E números simétricos?
d) Escreva a estratégia que você usa para adicionar ou subtrair números inteiros.
e) Quais são as propriedades da adição de números inteiros?
f) De que maneira você explicaria para um colega como determinar o sinal do resultado de uma multiplicação ou de uma divisão entre dois números inteiros?
g) Quais são as propriedades da multiplicação de números inteiros?
h) O que acontece se elevarmos um número negativo a um expoente par? E a um expoente ímpar?
DIVERSIFICANDO
Brincando um pouco
Bruna inventou um jogo muito interessante, o Menos mil. Ela construiu um alvo e marcou alguns valores.
Na brincadeira, cada jogador inicia o jogo com .1000 pontos. O objetivo é chegar primeiro que o adversário ao número ‒.1000 lançando bolinhas de gude até o alvo.
A cada rodada, o jogador lança apenas uma bolinha a uma distância de cinco passos do alvo, e o valor obtido é adicionado à sua pontuação inicial. Por exemplo, se a bolinha parar no número ‒100, o jogador efetuará esta operação: .1000 + (‒100). Portanto, ficará com 900 pontos.
Outra regra: não se pode ultrapassar o número ‒.1000. A pontuação deve ser exata! Por exemplo: se um jogador estava com ‒900 pontos e acertou o número ‒200, ele não conseguiu chegar ao número ‒.1000 exatamente (ao efetuar a operação, obtém-se o número ‒.1100). Desse modo, o jogador não contabiliza o resultado, voltando a ter ‒900 pontos. É como se ele tivesse errado sua jogada.
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 O que acontecerá com o jogador que está com ‒800 pontos se a bolinha parar no número ‒200?
2 Qual é o número mínimo de jogadas para que um jogador vença o jogo? Justifique sua resposta.
3 Um jogador pode obter 350 pontos? Explique sua resposta.
4 Em uma das jogadas, Bruna disse: “Oba, eu estava com 800 e acertei o número ‒200! Acabei de ganhar o jogo!”. Isso faz sentido? Justifique sua resposta.
5 Joaquim, amigo de Bruna, resolveu mudar as regras do jogo. Em vez de adicionar os valores, ele passou a multiplicá-los para o jogo terminar mais depressa. A mudança de Joaquim é verdadeira? Por quê?
Glossário
- Homônimo
- :pessoa, coisa ou lugar que tem o mesmo nome de outra.
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