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CAPÍTULO 3 Operações com números racionais

Fotografia. Homem branco, de cabelo castanho, usa camiseta marrom e relógio no pulso direito. Ele segura um recipiente com detergente líquido e olha para a prateleira com mais produtos. — Consumidor escolhendo detergente líquido em um supermercado.

Observe a imagem e responda às questões no caderno.

a) Ao comprar produtos em um estabelecimento comercial, você costuma analisar os anúncios promocionais?

b) Observe a propaganda da ilustração. Ela está de acordo com o Código de Defesa do Consumidor? Justifique sua resposta.

Ilustração. Embalagens com detergente líquido da marca LIMPEX em uma prateleira. Ao lado, uma placa amarela escrito, em letras grandes: OFERTA. Abaixo, em letras pequenas: DETERGENTE LÍQUIDO LIMPEX – 5 LITROS. Em letras menores, escrito: vinte e quatro reais e noventa centavos. Ainda em letras pequenas, há a frase: Nesta embalagem 1 litro sai por. Agora, em algarismos grandes: quatro reais e noventa e oito centavos.

c) Qual é o preço por litro desse produto?

Ilustração. Ícone do Tema Contemporâneo Transversal da BNCC: ECONOMIA.

Segundo o artigo 37 do Código de Defesa do Consumidor, é proibida toda publicidade enganosa ou abusiva. Publicidade enganosa é aquela que mente sobre produtos ou serviços ou deixa de dar informações básicas ao consumidor, levando-o ao erro.

Embora muitas propagandas não apresentem mentiras explícitas ou não sejam omissas, dissimulam informações, induzindo o consumidor a avaliar a propaganda de maneira desfavorável a ele. Algarismos ou textos em tamanho menor do que outros, por exemplo, dificultam cálculos e estimativas.

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1. Adição e subtração

Em muitos momentos, temos necessidade de operar com números racionais. Acompanhe a seguir uma situação que demonstra isso.

Fotografia. Pessoas caminhando em corredor com faixas azuis, entre acessórios esportivos e bolas variadas coloridas. — Pessoas em loja de material esportivo.

Jorge foi a uma loja de esportes para montar um projeto com as crianças de seu bairro.

Ele se interessou por uma corda de pular que custava R$ 29,90vinte e nove reais e noventa centavos, por uma bola de vôlei de R$ 55,30cinquenta e cinco reais e trinta centavos e por um par de luvas de goleiro por R$ 78,65setenta e oito reais e sessenta e cinco centavos. Acabou comprando a corda e o par de luvas.

Ao efetuar o pagamento, Jorge deu duas cédulas: uma de R$ 100,00cem reais e outra de R$ 50,00cinquenta reais. Qual foi o troco recebido por ele? Se ele quisesse levar também a bola de vôlei, receberia troco ou faltaria dinheiro? Quantos reais?

Para responder à primeira pergunta, vamos efetuar:

100 mais 50 menos abre parêntese 29,90 mais 78,65 fecha parêntese igual 150 menos 108,55 igual 41,45.

Ao lado, algoritmo da adição. Acima: cem vírgula zero zero. Abaixo: sinal de mais, e cinquenta vírgula zero zero. Traço abaixo e o resultado: cento e cinquenta vírgula zero zero.

Algoritmo da adição. Acima: vinte e nove vírgula noventa. Abaixo: sinal de mais, e setenta e oito vírgula sessenta e cinco. Traço abaixo e o resultado: cento e oito vírgula cinquenta e cinco.

Algoritmo da adição. Acima: cento e cinquenta vírgula zero zero. Abaixo: sinal de menos, e cento e oito vírgula cinquenta e cinco. Traço abaixo e o resultado: quarenta e um vírgula quarenta e cinco.

Jorge recebeu R$ 41,45quarenta e um reais e quarenta e cinco centavos de troco.

Para responder à segunda pergunta, vamos efetuar:

mais 41,45 menos abre parêntese mais 55,30 fecha parêntese igual 41,45 mais abre parêntese menos 55,30 fecha parêntese igual 41,45 menos 55,30 igual menos 13,85

Ao lado, algoritmo da subtração. Acima: cinquenta e cinco vírgula trinta. Abaixo: sinal de menos, e quarenta e um vírgula quarenta e cinco. Traço abaixo e o resultado: treze vírgula oitenta e cinco.

Se Jorge quisesse levar também a bola de vôlei, faltariam R$ 13,85treze reais e oitenta e cinco centavos.

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Ilustração. Mulher branca, cabelo ruivo, veste camiseta roxa. Ela fala: Lembra‑se daquela história de que para avançar no conhecimento da Matemática, em geral, recorremos ao que já estudamos? Então, agora é hora de lembrar a adição e a subtração com frações e com decimais, além das regras de sinais.

Acompanhe mais alguns exemplos.

item a.
Abre parênteses mais dois terços fecha parênteses, mais, abre parênteses menos três quintos fecha parênteses, é igual a:
Mais dois terços menos três quintos. (Nessa operação: Eliminamos os parênteses.) Retornando à expressão: é igual a:
Dez quinze avos menos nove quinze avos. (Nessa subtração: Reduzimos as frações ao mesmo denominador, mmc de três e cinco é igual a quinze.) Retornando à expressão: é igual a:
Um quinze avos. (Nesse resultado: Efetuamos a operação.)

item b. Abre parênteses menos dois vírgula oitenta e quatro fecha parênteses, mais, abre parênteses menos três vírgula sete fecha parênteses, é igual a:
Menos dois vírgula oitenta e quatro menos três vírgula sete. (Nessa operação: Eliminamos os parênteses.) Retornando à expressão: é igual a:
Menos seis vírgula cinquenta e quatro. (Nesse resultado: Efetuamos a operação.)

(‒ \frac{1}{2}) ‒ (‒ \frac{2}{5})

= (‒0,5) ‒ (‒0,4) = ‒0,5 + 0,4 = ‒0,1

Abre parênteses menos cinco sextos fecha parênteses, menos, abre parênteses menos zero vírgula três fecha parênteses, é igual a: Menos cinco sextos menos abre parênteses menos três décimos fecha parênteses, é igual a: Menos cinco sextos mais três décimos, é igual a: Menos vinte e cinco trinta avos mais nove trinta avos. (Nessa igualdade, uma seta indica que, das frações da igualdade anterior: Reduzimos ao mesmo denominador, mmc de seis e dez é igual a trinta.) Retornando à expressão: é igual a: Menos dezesseis trinta avos, é igual a: Menos oito quinze avos.

Menos cinco doze avos menos abre colchetes menos três quartos mais abre parênteses cinco sextos menos dois nonos fecha parênteses fecha colchetes, é igual a: Menos cinco doze avos menos abre colchetes menos três quartos mais abre parênteses quinze dezoito avos menos quatro dezoito avos fecha parênteses fecha colchetes, é igual a: Nessa igualdade, uma seta indica que, da diferença das frações cinco sextos e dois nonos para a diferença das frações quinze dezoito avos e quatro dezoito avos, Reduzimos ao mesmo denominador, mmc de seis e nove é igual a dezoito.Igual a menos cinco doze avos menos abre colchetes menos três quartos mais onze dezoito avos fecha colchetes, é igual a: Menos cinco doze avos menos abre colchetes menos vinte e sete trinta e seis avos mais vinte e dois trinta e seis avos fecha colchetes, é igual a: Nessa igualdade, uma seta indica que, da operação entre as frações três quartos e onze dezoito avos para a operação entre as frações vinte e sete trinta e seis avos e vinte e dois trinta e seis avos, Reduzimos ao mesmo denominador, mmc de quatro e dezoito é igual a trinta e seis. Retornando à expressão: Menos cinco doze avos menos abre colchetes menos cinco trinta e seis avos fecha colchetes, é igual a: Menos 5 12 avos mais 5 36 avos, é igual a: Menos 5 12 avos mais 5 36 avos, é igual a: Menos 15 36 avos mais 5 36 avos, é igual a: Nessa igualdade, uma seta indica que, da operação entre as frações 5 12 avos e 5 36 avos para a operação entre as frações 15 36 avos e 5 36 avos, Reduzimos ao mesmo denominador, mmc de 12 e 36 é igual a 36. Retornando à expressão: Menos 10 36 avos, é igual a: Menos 5 18 avos.

Ilustração. Homem branco, cabelo castanho avermelhado, veste camisa vermelha. Ele fala: As propriedades da adição com números inteiros (comutativa, associativa, existência do elemento neutro) também são válidas para a adição com números racionais.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Calcule e dê o resultado na fórma de fração.

(‒ \frac{4}{5}) + (‒ \frac{1}{2})

(‒ \frac{5}{3}) ‒ (‒ \frac{3}{4})

\frac{3}{4} ‒ 0, 25

‒ \frac{7}{15} + 1

2 Escreva, no caderno, o resultado das operações na fórma decimal.

a) ‒0,25 + (‒0,75)

b) 112,4 ‒ 38,16

‒ 0, 6 + \frac{15}{10}

3 \frac{1}{4} ‒ \frac{1}{2}

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3 No empilhamento, cada letra equivale à soma dos números das duas peças imediatamente abaixo. Determine o número que está no alto do empilhamento.

Ilustração. Dez blocos empilhados em quatro linhas. De cima para baixo: primeira linha: bloco F. Abaixo, na segunda linha, nessa ordem: bloco D, bloco E. Abaixo, na terceira linha, nessa ordem: bloco A, bloco B, bloco C. Abaixo, na quarta linha: bloco menos 1,1, bloco 3,6, bloco menos 4,1, bloco 2,0.

4 Um submarino estava a ‒72,5 métros. Alguns minutos depois, estava a ‒95,4 métros. O submarino desceu ou subiu? Quantos metros?

Fotografia. Vista do alto de submarino sobre o mar azul com algumas pessoas sobre ele. — Submarino próximo a Honolulu, Havaí. (Fotografia de 2019.)

Manuela e Luciano efetuaram a operação

\frac{1}{3} + 0,5

de maneiras diferentes.

Reúna‑se com um colega para analisarem as duas resoluções e respondam à questão:

Manuela e Luciano encontraram o mesmo resultado? Se não, o que aconteceu? Justifiquem a resposta.

Ilustração. Manuela, menina de cabelo castanho e blusa rosa, pensa: 1 terço mais 0,5 é igual a: 1 terço mais 1 meio é igual a: 2 sextos mais 3 sextos é igual a: 5 sextos.

Ilustração. Luciano, menino de cabelo enrolado e ruivo, usa blusa verde listrada. Ele pensa: Como a representação decimal de 1 terço é 0,333 reticências, vou considerar que 1 terço é aproximadamente 0,333 para fazer os cálculos. Assim, obtenho: 1 terço mais 0,5 é igual a: 0,333 mais 0,5 é igual a: 0,833 é igual a: 833 milésimos.

Leia o texto a seguir.

Em Economia, o saldo da balança comercial é a diferença entre o valor apresentado pelas exportações de um país (produtos vendidos a outros países) e o valor apresentado pelas importações (produtos comprados de outros países). Dizemos que há superávit quando o país exporta mais do que importa. Quando ocorre o contrário, há déficit.

Observe no gráfico a seguir a evolução da balança comercial brasileira no período de 2004 a 2020, com valores indicados em bilhões de dólares. Depois, responda às questões.

Gráfico em barras horizontais. Evolução da balança comercial brasileira de 2004 a 2020, em bilhões de dólares. Eixo x, bilhões de dólares. Eixo y, ano. Em 2004: 31,3 bilhões de dólares. Em 2005: 43,9 bilhões de dólares. Em 2006: 45,1 bilhões de dólares. Em 2007: 37,8 bilhões de dólares. Em 2008: 21,1 bilhões de dólares. Em 2009: 22 bilhões de dólares. Em 2010: 17,1 bilhões de dólares. Em 2011: 25 bilhões de dólares. Em 2012: 14,8 bilhões de dólares. Em 2013: menos 9 bilhões de dólares. Em 2014: menos 9,9 bilhões de dólares. Em 2015: 13,7 bilhões de dólares. Em 2016: 40,2 bilhões de dólares. Em 2017: 56 bilhões de dólares. Em 2018: 46,6 bilhões de dólares. Em 2019: 35,2 bilhões de dólares. Em 2020: 50,4 bilhões de dólares. — Dados obtidos em: GOVERNO do Brasil. Disponível em: https://oeds.link/Mfafc2. Acesso em: 8 junho 2022.

a) Em qual desses anos o déficit brasileiro foi maior ? Qual foi o índice?

b) Em que ano o superávit foi maior ? Com qual índice?

c) Em 2020, o valor apresentado pelas importações foi de aproximadamente 158,8 bilhões de dólares. Determine o valor aproximado que foi apresentado pelas exportações nesse ano.

d) Com base nos dados do gráfico, é possível afirmar que o valor exportado em 2020 foi maior que em 2019? Justifique sua resposta.

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7 Pela manhã, quando o banco abriu, a conta de Regina apresentava um saldo de ‒365,40 reais. À tarde, ela movimentou a conta, e seu saldo passou a ser de ‒65,40 reais. Regina fez uma retirada ou um depósito? De quanto?

8 Qual é o número inteiro mais próximo do valor da expressão ‒3,1 + (2,4 ‒ 3,8) ‒ (1,6 ‒ 2)?

9 Escreva, na fórma decimal, o número correspondente ao valor da expressão:

‒ \frac{9}{2} + [‒ 1 ‒ (‒ \frac{5}{8} + \frac{1}{4})]

10 Determine entre quais números inteiros consecutivos se encontra o valor da expressão:

\frac{7}{3} ‒ [2 ‒ (\frac{1}{3} ‒ 1)]

11 Jurandir efetuou a operação

\frac{1}{8} + (‒ \frac{1}{4})

na calculadora e encontrou o seguinte resultado:

Ilustração. Visor da calculadora: menos 0.21875

Sabendo que o resultado obtido por Jurandir não está correto, determine:

a) o resultado correto desta operação;

b) a expressão que corresponde ao cálculo obtido na calculadora.

• Agora, responda e justifique: como você efetuaria essa operação usando uma calculadora?

12 No empilhamento, cada letra equivale à diferença entre duas peças imediatamente abaixo, de modo que o número do alto do empilhamento seja um número quadrado perfeito. Determine esse número.

Hora de criar – Troque com um colega um problema, criado por vocês, sobre adição ou subtração com números racionais. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi‑los.

Pense mais um pouco...

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Reúna‑se com um colega e façam o que se pede.

1 Considere estes cartões:

Ilustração. Cartões com os números: 0, 2 e 5

Usando sempre os três cartões, monte todos os números racionais possíveis, colocando a vírgula entre dois desses algarismos. Qual é a diferença entre o menor e o maior desses números?

2 Os icebergs são grandes massas de água no estado sólido que se deslocam com as correntes marítimas no oceano. O que vemos fóra da água é uma pequena parte do iceberg, que em geral corresponde a

\frac{1}{10}

de seu volume.

Fotografia. Vista frontal de um iceberg sobre mar. — Iceberg flutuando na Groenlândia. (Fotografia de 2020.)

Represente, na fórma de fração, qual é a porção do iceberg que fica dentro da água.

3 Gabriela, Eduardo e Mauro compraram um pote de sorvete. Gabriela tomou

\frac{1}{5}

do sorvete. Do que sobrou, Eduardo tomou

\frac{1}{4},

e Mauro tomou

\frac{1}{2}

do que Eduardo deixou. Ao final, restaram apenas 300 mililitros de sorvete. Quantos mililitros de sorvete havia inicialmente no pote? Explique com suas palavras como resolveu este exercício.

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2. Multiplicação

Do mesmo modo que necessitamos adicionar ou subtrair números racionais para resolver problemas, também precisamos multiplicá‑los.

Acompanhe a situação a seguir.

Paulo contratou serviços de jardinagem para fazer um canteiro em um terreno com área medindo 900 métros quadrados. O jardineiro construiu um canteiro que ocupou 20% da metade desse terreno.

Ilustração. O jardineiro e Paulo conversam próximos a um canteiro de flores, ao lado de uma cerca de madeira. À esquerda, o jardineiro: homem de boné, camiseta branca, macacão xadrez, luvas e botas, está em pé, apoiado em uma pá. Ao lado, Paulo, homem de óculos camisa verde, cinto preto, calça azul e sapatos.

Como a empresa de jardinagem cobrou R$ 78,50setenta e oito reais e cinquenta centavos por metro quadrado de canteiro construído, quanto Paulo gastou?

Para descobrir a quantia, observe a expressão a seguir.

Esquema. Despesa com a construção do canteiro. Vinte por cento vezes um meio, vezes novecentos, vezes setenta e oito vírgula cinquenta. Os três primeiros fatores neste produto representam a medida da área do canteiro em metro quadrado.

Agora, vamos calcular o valor dessa expressão.

Esquema. Cálculo do valor da expressão: Vinte por cento vezes um meio, vezes novecentos, vezes setenta e oito vírgula cinquenta. Escrevemos vinte por cento na forma de fração. A expressão é igual a: 20 centésimos vezes 1 meio, vezes novecentos, vezes setenta e oito vírgula cinquenta. O numerador 20 e o denominador 2 foram cortados, resultando os números 10 e 1, respectivamente. O numerador 900 e o denominador 100 foram cortados, resultando os números 9 e 1, respectivamente. Na igualdade, simplificamos os números e efetuamos as multiplicações dos três primeiros fatores. A expressão é igual a: noventa vezes setenta e oito vírgula cinquenta. Efetuamos a multiplicação. A expressão é igual a sete mil e sessenta e cinco.

Portanto, Paulo gastou R$ 7.065,00sete mil sessenta e cinco reais.

Acompanhe outros exemplos.

(‒ 0,3) \cdot (‒ \frac{5}{8})

Lembrando que

‒ 0,3 = ‒ \frac{3}{10},

temos:

Abre parênteses menos 0,3 fecha parênteses vezes abre parênteses menos 5 oitavos fecha parênteses, é igual a: Abre parênteses menos 3 décimos fecha parênteses vezes abre parênteses menos 5 oitavos fecha parênteses. Simplificam os números 5 e 10, resultando em 1 e 2, respectivamente. A expressão é igual a: Abre parênteses menos 3 meios fecha parênteses vezes abre parênteses menos 1 oitavo fecha parênteses, é igual a: 3 16 avos

Menos 3 quartos menos abre parênteses menos 5 sextos fecha parênteses vezes abre parênteses mais 7 quintos fecha parênteses. Simplificamos os números 5 e 5, resultando em 1 e 1, respectivamente. A expressão é igual a: Menos 3 quartos menos abre parênteses menos 7 sextos fecha parênteses, é igual a: Menos 3 quartos mais 7 sextos, é igual a: Fração: numerador -9 mais 14; denominador 12. É igual a: 5 12 avos.

Ilustração. Homem negro, de cabelo, barba e olhos castanhos, e camiseta rosa. Ele fala: As propriedades da multiplicação com números inteiros (comutativa, associativa, existência do elemento neutro) também são válidas para a multiplicação com números racionais.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

14 Registre no caderno os produtos de cada multiplicação.

a) (‒3)

\cdot (+ \frac{14}{5})

b) 5,4 ⋅ (‒20)

c) (‒0,2) ⋅ (‒0,01)

0, 5 \cdot (‒ \frac{8}{7})

e) (–2,3)

\cdot (‒ \frac{5}{2})

15 Sabendo que a

= \frac{1}{3} ‒ \frac{3}{4}

B = ‒ \frac{2}{3} + \frac{1}{2},

calcule a ⋅ B.

16 Determine o valor de a de acordo com as operações indicadas no esquema.

Esquema. Quatro frações lado a lado e, abaixo delas, placas com legendas de 'adicione', 'multiplique' e 'A ' À esquerda, as frações: menos 15 18 avos, e 5 quartos. Abaixo das frações, setas apontam para uma placa escrito: adicione. À direita, as frações: menos 2 quintos e mais 1 meio. Abaixo das frações, setas apontam para uma placa escrito: adicione. Partindo das duas placas 'adicione', setas apontam para uma placa escrito: multiplique. Abaixo da placa 'multiplique', uma seta aponta para uma placa escrito: A.

17 Calcule o valor de cada expressão.

a) (0,5) ⋅ (‒1,4 + 2,1)

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot (‒ \frac{7}{2}) ‒ \frac{5}{4} \cdot (‒ \frac{1}{8})

(\frac{9}{4} + \frac{7}{2}) + [\frac{3}{16} \cdot (‒ 10) ‒ \frac{7}{2}]

18 O salário de Beatriz é calculado de acordo com as horas trabalhadas. Em maio, ela trabalhou 176 horas e 24 minutos. Qual deve ser seu salário nesse mês, considerando que ela recebe R$ 13,55treze reais e cinquenta e cinco centavos por hora?

19 Leia o problema a seguir.

Dos 540 reais que Maria havia economizado, ela retirou

\frac{2}{3}

para comprar um par de tênis.Com quantos reais ela ficou?

a) Escreva uma expressão numérica que determine a solução desse problema.

b) Resolva a expressão, obtendo a resposta do problema.

20 Dois robôs, a e B, partem de um mesmo ponto e caminham em sentidos opostos. Cada passo de a mede 0,54 métro, e cada passo de B, 0,62 métro. Qual será a medida da distância entre eles, após o robô a dar 12 passos, e o robô B dar 10 passos?

Hora de criar – Elabore um problema cuja solução possa ser representada pela expressão:

120,30 ‒ 10% ⋅ 120,30

Em seguida, proponha a um colega que resolva o problema que você elaborou e resolva o dele.

Pense mais um pouco...

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Descubra como fazer o cálculo de 144,26 ⋅ 3,7 em uma calculadora na qual as teclas

Ilustração. Tecla da calculadora: ponto.

estão quebradas.

Fotografia. Calculadora. No visor, número: 533,762.

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3. Divisão

Considere as situações a seguir.

Situação 1

Mayra é engenheira e precisa construir uma escada medindo 284,8 centímetros de altura.

Seguindo as normas da Associação Brasileira de Normas Técnicas (á bê eni tê), a medida do espelho, isto é, a medida da altura de cada degrau, deve ficar entre 17,5 centímetros e 18,5 centímetros.

Mayra quer saber quantos degraus deverá ter essa escada, de modo que ela seja suave, isto é, com espelho de 17,5 centímetros. Isso será possível?

Ilustração. Mulher e homem conversam em um canteiro de obras. À esquerda, mulher branca, cabelo avermelhado, com capacete de proteção amarelo, relógio e camisa clara. Ao lado, homem pardo, de barba castanha, com capacete de proteção amarelo, camisa azul e macacão laranja. A mulher faz anotações em uma prancheta e fala: Para obter a quantidade de degraus, precisamos dividir a medida da altura da escada pela a medida da altura de cada degrau, que vamos considerar, inicialmente, igual a 17,5 centímetros.

Observe como ela calculou 284,8 : 17,5.

Como o dividendo e o divisor têm a mesma quantidade de casas após a vírgula, então efetuamos a divisão como se a vírgula não existisse.

Algoritmo da divisão (método da chave). Dividendo: 2848, divisor 175. Abaixo de 2848, o número 1098. Abaixo, o número 480. Abaixo, resto 130. Quociente da divisão: 16,2.

Como a escada não pode ter 16,2 degraus, Mayra deve fazê‑la com 16 degraus. Então, a medida da altura de cada degrau será dada por 284,8 : 16 ou .2848 : 160.

Algoritmo da divisão (método da chave). Dividendo: 2848, divisor 160. Abaixo de 2848, o número 160. Abaixo, o número 1280. Abaixo, resto 00. Quociente da divisão: 17,8.

Cada degrau terá um espelho de 17,8 centímetros.

Uma maneira prática de representar um procedimento por etapas (um processo) é chamada fluxograma.

Observe como Mayra registrou o procedimento em um fluxograma.

Fluxograma. A figura é um fluxograma com 3 caixas e 1 losango ligados por setas. Em cada etapa, as setas apontam para frente, para uma das caixas ou para o losango. Aqui, o fluxograma é descrito como listas nas quais os próximos passos possíveis são listados em cada legenda da caixa ou losango. 1. Medida da altura da escada dividida por 17,5 é igual a q. a. avança para: q é um número natural? 2. q é um número natural? a. Se sim, avança para: medida da altura do degrau é igual a: medida da altura da escada dividida por q b. Se não, avança para: medida da altura do degrau é igual a: medida da altura da escada dividida por q linha, em que q linha é a parte inteira de q.

Observação

▶ Para efetuar a operação de divisão com números racionais, devemos lembrar que:

• na divisão com números na fórma de fração, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda;

• na divisão com números na fórma decimal, igualamos a quantidade de casas decimais e dividimos como se os números fossem inteiros;

• o quociente de números de mesmo sinal é positivo, e o quociente de números de sinais contrários, negativo.

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Situação 2

Um edifício foi projetado de tal modo que alguns andares ficam no subsolo. A medida da altura do edifício, acima do solo, é 42 métros, e a medida da profundidade dele, abaixo do solo, é ‒9,60 métros. A medida da altura de cada andar do subsolo pode ser representada por ‒3,20 métros, e a de cada andar acima do solo, por +3,50 métros. Quantos andares tem esse edifício?

Ilustração. Esboço da medida da altura de um edifício, do topo ao subsolo. Do topo do edifício ao solo, a medida de 42 metros. Do solo ao subsolo, a base do edifício, a medida de menos 9,60 metros.

• número de andares no subsolo

(‒9,60) : (‒3,20) = 3

• número de andares acima do solo

(+42) : (+3,50) = 12

• total de andares

3 + 12 = 15

Portanto, esse edifício tem 15 andares.

Acompanhe mais exemplos nos quais é preciso efetuar a divisão entre números racionais.

a) Observe como efetuamos a divisão.

Abre parênteses menos 3 quintos fecha parênteses dividido por abre parênteses menos 8 quintos fecha parênteses, é igual a: Abre parênteses menos 3 quintos fecha parênteses vezes abre parênteses menos 5 oitavos fecha parênteses. Simplificam-se os números 5 e 5, resultando em 1 e 1, respectivamente. A expressão é igual a: Abre parênteses menos 3 fecha parênteses vezes abre parênteses menos 1 oitavo fecha parênteses, é igual a: 3 oitavos

b) Vamos calcular o quociente (‒19,24) : (3,7). Como são números de sinais diferentes, o quociente será negativo. Então, basta efetuar 19,24 : 3,7, cujo quociente é o mesmo que o de .1924 : 370. Assim:

Algoritmo da divisão (método da chave). Dividendo: 1924, divisor 370. Abaixo de 1924, o número 0740. Abaixo, resto 000. Quociente da divisão: 5,2. Ilustração. Mulher amarela, de óculos, cabelo liso, preto e camiseta vermelha, fala: Note que acrescentamos um zero em 3,7 para que o número de casas depois da vírgula fique igual ao do dividendo.

Portanto, (‒19,24) : (3,7) = ‒5,2.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

22 Registre o cálculo das divisões e seus respectivos quocientes.

(\frac{3}{5}) : (\frac{3}{4})

b) (‒65,72) : (‒12,4)

(‒ \frac{5}{6}) : (‒ \frac{1}{4})

d) 0,3 : (‒0,2)

23 Voltando ao problema da engenheira Mayra, segundo as normas da á bê eni tê, a escada poderia ter 15 degraus? E 17 degraus? Justifique.

24 O veado-de-cauda-branca, animal que habita a região de Minnesota, nos Estados Unidos, chega a saltar uma distância de 9 metros de medida, o que corresponde a aproximadamente 4,5 vezes a medida de seu tamanho.

a) Qual é a medida do comprimento aproximado do veado-de-cauda-branca?

b) Se um adulto pudesse saltar uma distância de 7,6 métros de medida, correspondente a 4,5 vezes sua altura, qual seria a altura desse adulto?

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25 Célia quer montar um novo prato de salada para acrescentar no cardápio de seu restaurante. Esse novo prato terá alface, chicória, tomate‑cereja, queijo esférico e queijo branco.

Para saber o preço que vai cobrar, Célia tem de descobrir o custo de cada prato de salada.

No mercado, ela encontrou os seguintes preços para os ingredientes:

Ilustração. Cinco alimentos. Alface, R$ 2,50 a unidade. Chicória, R$ 2,76 a unidade. Tomate-cereja, R$ 7,29 a bandeja. Queijo esférico, R$ 66,99 o quilograma. Queijo branco, R$ 21,60 o quilograma.

Célia sabe que esses ingredientes são usados nas quantidades a seguir.

• 2 pés de alface fazem 5 pratos de salada;

• 1 pé de chicória faz 4 pratos de salada;

• uma bandeja de tomate‑cereja faz 3 pratos de salada;

• 500 gramas de queijo branco fazem 6 pratos de salada;

• 1 quilograma de queijo esférico faz 11 pratos de salada.

a) Qual será o valor correspondente a cada ingrediente para preparar um prato de salada?

b) Qual será o custo de cada prato de salada?

Bruna efetuou algumas operações com a calculadora. Observe como ela fez.

Ilustração. Em quatro linhas, tem-se: à esquerda, teclas de uma calculadora, e, à direita, o visor da calculadora. Primeira linha. Tecla: um número A; visor: o número A. Segunda linha. Teclas: vezes 2 ponto 5, igual a; visor: 9.5 Terceira linha: dividido por 0 ponto 125, igual a; visor: um número B. Quarta linha: menos 80, igual a; visor: um número C.

a) Descubra quais são os números a, B e C. Depois, use uma calculadora para confirmar sua resposta e refaça os passos de Bruna.

b) Construa um fluxograma com os passos necessários para encontrar os números a, B e C, substituindo o número 9,5 por 8.

c) É possível substituir o número 8 por outro número qualquer no fluxograma que você construiu? Caso não seja possível, com o professor e os colegas, façam as alterações necessárias para que essa condição seja atendida.

27 Marilu está viajando com seu carro de motor bicombustível. Ao parar no primeiro posto para abastecer seu veículo, ela ficou em dúvida se abastecia com gasolina ou etanol. O preço do litro da gasolina nesse posto era de R$ 6,596seis reais e sessenta centavos, e o do litro do etanol, R$ 5,051cinco reais e cinco centavos.

a) Sabendo que o carro de Marilu percorre 12,5 quilômetros com 1 litro de gasolina e 10 quilômetros com 1 litro de etanol, quantos litros de cada combustível ela usaria para rodar por 100 quilômetros?

b) Com qual combustível ela economizará mais abastecendo nesse posto? Justifique sua resposta.

c) Em um segundo posto de combustível, o preço do litro da gasolina era de R$ 6,511seis reais e cinquenta e um centavos, e o do litro do etanol, R$ 5,135cinco reais e treze centavos. Se Marilu gastou R$ 260,44duzentos e sessenta reais e quarenta e quatro centavos para abastecer seu carro com 40 litros de combustível, ela fez a opção pelo combustível mais econômico? Justifique sua resposta.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

No esquema, exceto para uma linha, o produto entre os números de cada linha resulta no mesmo valor.

Esquema. Losango com a diagonal vertical destacada, compondo uma figura geométrica com cinco linhas e círculos dispostos entre elas. Em cada vértice do losango, há um círculo; e entre cada dois círculos dispostos nas linhas, há um círculo, também. Os números nos círculos, começando do topo, no sentido horário, são: menos 4, menos 0,15, 16, menos 0,5, menos 1, menos 32, 0,25, menos 8; no círculo ao centro, o número 2.

Descubra qual é a linha em que o produto é diferente. Mude um dos números dessa linha para que o produto deles seja o mesmo dos números das outras linhas.

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4. Potenciação

Você já estudou a potenciação com números inteiros com expoentes naturais, assim como a potenciação com números racionais positivos com expoentes naturais.

Considerando o que aprendeu, vamos calcular agora potências que tenham como base um número racional qualquer (positivo, negativo ou nulo) e como expoente um número natural.

Toda potência com expoente natural maior que 1 é igual a um produto em que o número de fatores é igual ao expoente da potência e todos os fatores são iguais à base.

Exemplos:

{(\frac{2}{3})}^{3} = (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27}

{(‒ \frac{1}{3})}^{4} = (‒ \frac{1}{3}) \cdot (‒ \frac{1}{3}) \cdot (‒ \frac{1}{3}) \cdot (‒ \frac{1}{3}) = + \frac{1}{81}

c) (‒0,2)3 = (‒0,2) ⋅ (‒0,2) ⋅ (‒0,2) = ‒0,008

Para os números racionais, mantemos as convenções que tínhamos adotado para os números inteiros.

• Toda potência com expoente zero e base diferente de zero é igual a 1.

• Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.

Exemplos:

{(+ \frac{2}{5})}^{0} = 1

{(\frac{3}{7})}^{1} = \frac{3}{7}

{(‒ \frac{3}{8})}^{0} = 1

{(‒ \frac{9}{4})}^{1} = ‒ \frac{9}{4}

e) (0,2)0 = 1

f) (0,5)1 = 0,5

g) (‒0,222reticências)0 = 1

h) 01 = 0

Propriedades da potenciação

As propriedades da potenciação estudadas para os números inteiros também são válidas para os números racionais. Acompanhe.

Menos 3 oitavos entre parênteses com expoente 3, vezes menos 3 oitavos entre parênteses com expoente 2, é igual a: Menos 3 oitavos entre parênteses com expoente 3 mais 2, é igual a: Menos 3 oitavos entre parênteses com expoente 5. Para determinar o produto de potências de mesma base, conservamos a base e adicionamos os expoentes.

Cinco sextos entre parênteses com expoente 6, dividido por 5 sextos entre parênteses com expoente 2, é igual a: Cinco sextos entre parênteses com expoente 6 menos 2, é igual a: Cinco sextos entre parênteses com expoente 4. Para determinar o quociente de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

Menos 0,3 entre parênteses, entre colchetes, com expoente 5, é igual a: Menos 0,3 entre parênteses com expoente 2 vezes 5, é igual a: Menos 0,3 entre parênteses com expoente 10. Para determinar a potência de uma potência, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

28 Calcule as potências.

{(\frac{2}{7})}^{0}

{(\frac{2}{7})}^{1}

c) (0,3)2

d) (‒2,1)2

{(‒ \frac{3}{5})}^{2}

{(‒ \frac{3}{5})}^{3}

g) (‒0,4)3

h) (3,2)2

29 Reduza a uma só potência.

{(‒ \frac{2}{3})}^{4} \cdot {(‒ \frac{2}{3})}^{2}

{(\frac{1}{2})}^{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot (\frac{1}{2})

c) (0,5)2 ⋅ (0,5) ⋅ (0,5)

{(\frac{1}{5})}^{5} : {(\frac{1}{5})}^{2}

e) (2,1)7 : (2,1)6

f) (‒3,4)4 : (‒3,4)

g) [(0,4)2]3

{[{(\frac{5}{7})}^{2}]}^{2}

30 Descubra o valor de xis em cada sentença.

a) (‒0,2)x ⋅ (‒0,2)5 = (‒0,2)12

{(\frac{2}{5})}^{6} : {(\frac{2}{5})}^{x} = \frac{2}{5}

c) [(‒4)x]4 = (‒4)8

d) (x)5 ⋅ (x)2 = (‒3)7

Usando uma calculadora simples, podemos calcular a potência 28 apertando a sequência de teclas:

Ilustração. À esquerda, as seguintes teclas da calculadora, da esquerda para a direita: 2, vezes, igual, igual, igual, igual, igual, igual, igual. À direita, o visor da calculadora exibe o número 256.

Agora, usando uma calculadora, calcule cada potência.

a) (‒0,2)5

{(\frac{2}{5})}^{6}

c) (0,9)6

d) (0,15)3

{(\frac{3}{4})}^{7}

f) (0,86)3

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Determine o valor de cada letra do esquema.

Esquema de fluxo. Em quatro linhas são dispostos números e operações entre eles, que resultam na letra R. De cima para baixo, na primeira linha: Operação: menos 2 quintos entre parênteses elevado a 2, vezes letra A resulta em menos 8 15 avos. Operação: um quinto dividido por 3 meios resulta na letra Q. Operação: M menos: menos 1 meio resulta em 3 décimos. Abaixo, na segunda linha: Operação: menos 8 15 avos menos a letra Q, resulta em menos 10 15 avos. Operação: letra Q mais 3 décimos resulta na letra G. Abaixo, na terceira linha: Operação: menos 10 15 avos dividido pela letra G resulta na letra R (na quarta e última linha).

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PARA SABER MAIS

Buscando padrões

A Matemática, a Literatura, a Física e outros ramos do conhecimento vivem à procura de padrões, de regularidades. Vamos analisar isso com base em um soneto.

Poesia com 2 quartetos e 2 tercetos.

Felicidade. Guilherme de Almeida.

Primeiro quarteto:
Ela veio bater à minha porta
e falou ‑me, a sorrir, subindo a escada:
"Bom dia, árvore velha e desfolhada!"
E eu respondi: "Bom dia, folha morta!"

Segundo quarteto:
Entrou: e nunca mais me disse nada...
Até que um dia (quando, pouco importa!)
houve canções na ramaria torta
e houve bandos de noivos pela estrada...

Primeiro terceto:
Então, chamou ‑me e disse: "Vou ‑me embora!
Sou a Felicidade! Vive agora
da lembrança do muito que te fiz!"

Segundo terceto:
E foi assim que, em plena primavera,
só quando ela partiu, contou quem era...
E nunca mais eu me senti feliz!

Fonte: vôguit, C. (organizador). Guilherme de Almeida. São Paulo: Global, 2015. (Coleção Melhores Poemas).

Fotografia em preto e branco. Homem de cabelo lisos para trás, terno escuro. Ele segura uma caneta e escreve em uma folha apoiada sobre uma superfície. — Guilherme de Almeida (1890‑1969) foi tradutor, crítico e poeta brasileiro. Ao todo, tem mais de setenta livros publicados. (Fotografia de 1956.)

Os poetas gregos já buscavam métricas e rimas perfeitas, regulares. Embora tenha surgido muitos séculos depois, o soneto, por exemplo, deve apresentar a mesma estrutura, com 14 versos poéticos. Esses 14 versos são sempre divididos em duas estrofes de quatro versos, chamadas de quartetos, mais duas estrofes de três versos, chamadas de tercetos. Essa é a regularidade do soneto.

Os matemáticos, por sua vez, também vivem pesquisando padrões de comportamento nas figuras geométricas, nos números e em todos os seus objetos de estudo.

Vamos conferir isso por meio da sequência de quadrados de números pares.

Ilustração. Malha quadriculada com cinco quadrados de cor laranja. Primeiro quadrado: quadrado composto por 4 quadradinhos, de lados 2 por 2; abaixo, legenda: 2 elevado a 2. Segundo quadrado: quadrado composto por 16 quadradinhos, de lados 4 por 4; abaixo, legenda: 4 elevado a 2. Terceiro quadrado: quadrado composto por 36 quadradinhos, de lados 6 por 6; abaixo, legenda: 6 elevado a 2. Quarto quadrado: quadrado composto por 64 quadradinhos, de lados 8 por 8; abaixo, legenda: 8 elevado a 2. Quinto quadrado: quadrado composto por 100 quadradinhos, de lados 10 por 10; abaixo, legenda: 10 elevado a 2.

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Agora, vamos calcular a diferença entre dois quadrados de números pares consecutivos.

• 42 ‒ 22 = 16 ‒ 4 = 12

• 62 ‒ 42 = 36 ‒ 16 = 20

• 82 ‒ 62 = 64 ‒ 36 = 28

• 102 ‒ 82 = 100 ‒ 64 = 36

Que padrão ou regularidade é possível observar nessas diferenças? Observe.

Ilustração. Malha quadriculada com cinco figuras de quadrados de cor laranja escuro contendo outros cinco quadrados de cor laranja claro. Primeira figura: quadrado de cor laranja escuro, de lados 2 por 2, formado por 4 quadradinhos menores. Abaixo, legenda: 2 elevado a 2. Segunda figura: quadrado de cor laranja escuro, de lados 4 por 4. Na base inferior esquerda interna ao quadrado, outro quadrado de cor laranja claro, de lados 2 por 2. Abaixo, legenda: 4 elevado a 2, menos 2 elevado a 2. Terceira figura: quadrado de cor laranja escuro, de lados 6 por 6. Na base inferior esquerda interna ao quadrado, outro quadrado de cor laranja claro, de lados 4 por 4. Abaixo, legenda: 6 elevado a 2, menos 4 elevado a 2. Quarta figura: quadrado de cor laranja escuro, de lados 8 por 8. Na base inferior esquerda interna ao quadrado, outro quadrado de cor laranja claro, de lados 6 por 6. Abaixo, legenda: 8 elevado a 2, menos 6 elevado a 2. Quinta figura: quadrado de cor laranja escuro, de lados 10 por 10. Na base inferior esquerda interna ao quadrado, outro quadrado de cor laranja claro, de lados 8 por 8. Abaixo, legenda: 10 elevado a 2, menos 8 elevado a 2.

A partir do segundo quadrado, observamos que:

• 42 ‒ 22

3 quadrados formados por 4 quadradinhos menores, ou seja, 3 ⋅ 4;

• 62 ‒ 42

5 quadrados formados por 4 quadradinhos menores, ou seja, 5 ⋅ 4;

• 82 ‒ 62

7 quadrados formados por 4 quadradinhos menores, ou seja, 7 ⋅ 4;

• 102 ‒ 82

9 quadrados formados por 4 quadradinhos menores, ou seja, 9 ⋅ 4.

Todas essas diferenças são múltiplas de 4.

Uma sequência como essa, em que podemos obter qualquer elemento recorrendo a uma relação com o(s) elemento(s) anterior(es) por meio de uma regra, chamamos de sequência recursiva. Se for possível definir uma regra de formação que não dependa dos valores anteriores da sequência, dizemos que ela é não recursiva.

Observe que, se an é o enésimo elemento, isto é, o elemento da posição n dessa sequência, então os números do tipo [(2n)2 ‒ (2n ‒ 2)2] também podem ser obtidos de maneira não recursiva pela regra ou lei de formação: an = (2n ‒ 1) ⋅ 4. Por exemplo:

a1 = (2 ⋅ 1 ‒ 1) ⋅ 4 = 4; a2 = (2 ⋅ 2 ‒ 1) ⋅ 4 = 12; a3 = (2 ⋅ 3 ‒ 1) ⋅ 4 = 20 etcétera.

Dizemos que as expressões (2n)2 ‒ (2n ‒ 2)2 e (2n ‒ 1) ⋅ 4 são equivalentes.

Agora é com você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Com um colega, considerem os produtos representados no quadro.

Quadro. Primeira linha: 123456789 vezes 9 é igual a 1111111101. Segunda linha: 123456789 vezes 18 é igual a 2222222202. Terceira linha: 123456789 vezes 27 é igual a 3333333303. Quarta linha: 123456789 vezes interrogação é igual a interrogação

a) Sem efetuar cálculos, copiem no caderno o quadro e completem‑no, deduzindo os fatores e os produtos até sua nona linha.

b) Confiram os resultados utilizando uma calculadora.

c) Escrevam uma regra que dê os elementos de 1 a 9 dessa sequência de maneira não recursiva.

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TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Construindo um gráfico de colunas duplas

Observe o balanço financeiro de duas papelarias no primeiro semestre de 2023.

Papelaria Material de Montão Balanço financeiro 1º semestre/2023 (em real)
Mês	Receita	Despesa
Janeiro	38.000	18.390
Fevereiro	48.500	17.100
Março	42.426	17.000
Abril	16.400	18.940
Maio	16.540	17.500
Junho	24.547	16.500

Dados obtidos pela papelaria Material de Montão.

Papelaria Hiperlápis Balanço financeiro 1º semestre/2023 (em real)
Mês	Receita	Despesa
Janeiro	48.400	24.680
Fevereiro	47.640	25.310
Março	54.120	28.430
Abril	23.205	28.615
Maio	28.764	29.400
Junho	16.314	25.800

Dados obtidos pela papelaria Hiperlápis.

Com os dados organizados nas duas tabelas, é possível construir uma única tabela.

Saldo financeiro 1º semestre/2023 (em real)
Mês	Papelaria Material de Montão	Papelaria Hiperlápis
Janeiro	19.610	23.720
Fevereiro	31.400	22.330
Março	25.426	25.690
Abril	−2.540	−5.410
Maio	−960	−636
Junho	8.047	−9.486
Média	13.497	9.368

Dados obtidos pelas papelarias Material de Montão e Hiperlápis.

Também podemos apresentar as informações da tabela do saldo financeiro em um gráfico de colunas. Para construí‑lo, devemos estabelecer escalas para cada eixo de modo que o gráfico caiba no espaço destinado a ele. Precisamos saber quantas unidades da grandeza a ser marcada no eixo corresponderão a cada centímetro:

• no eixo vertical, no qual vamos registrar o saldo em reais, calculamos a amplitude total, que é a diferença entre o maior e o menor valor.

amplitude (em real) = .31400 ‒ (‒.9486) = .40886

Se dividirmos o valor arredondado da amplitude (.40000) por .10000, por exemplo, obteremos 4. Concluímos que 4 centímetros do eixo vertical representam .40000 reais, ou cada 1 centímetro representa .10000, ou, ainda, cada intervalo de 0,5 centímetro representa .5000 reais;

• no eixo horizontal, no qual vamos marcar os meses, a coluna é representada por 1 centímetro de medida de largura.

A medida da altura de cada coluna deve ser proporcional ao valor do saldo do mês, e as medidas das larguras, iguais.

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Gráfico de colunas duplas. A figura é um gráfico de barras duplas verticais que representa o saldo financeiro (em real) das papelarias Material de Montão e Hiperlápis, no primeiro semestre de 2023. O gráfico informa ainda a média dos saldos (em real) de cada papelaria no mesmo período. Os dados do gráfico são: Janeiro: Papelaria Material de Montão: 19.610 reais; Papelaria Hiperlápis: 23.720 reais. Fevereiro: Papelaria Material de Montão: 31.400 reais; Papelaria Hiperlápis: 22.330 reais. Março: Papelaria Material de Montão: 25.426 reais; Papelaria Hiperlápis: 25.690 reais. Abril: Papelaria Material de Montão: menos 2.540 reais; Papelaria Hiperlápis: menos 5.410 reais. Maio: Papelaria Material de Montão: menos 960 reais; Papelaria Hiperlápis: menos 636 reais. Junho: Papelaria Material de Montão: 8.047 reais; Papelaria Hiperlápis: menos 9.486 reais. Média da Papelaria Material de Montão: 13.497 reais. Média da Papelaria Material de Montão: 9.368 reais. — Dados obtidos pelas papelarias Material de Montão e Hiperlápis.

Observe que, para cada mês, há duas informações: o saldo da Papelaria Material de Montão e o da Papelaria Hiperlápis. Esse tipo de representação gráfica é chamado de gráfico de colunas duplas.

As colunas de cor laranja correspondem ao saldo mensal da Papelaria Material de Montão, e as colunas de cor verde, ao saldo mensal da Papelaria Hiperlápis. Essas duas informações aparecem em uma legenda, que possibilita ao leitor compará‑las. Além disso, na legenda, usando as mesmas cores das colunas de cada papelaria, há retas tracejadas que indicam a média do saldo financeiro mensal de cada grupo de dados.

Interpretando o gráfico, sabemos que:

• nos meses de abril a junho, a Papelaria Hiperlápis teve seu pior desempenho, apresentando saldos negativos;

• nos meses de abril e maio, a Papelaria Material de Montão apresentou saldos negativos;

• nos meses de janeiro a março, ambas as papelarias apresentaram saldos positivos;

• a média da Papelaria Material de Montão é mais próxima da amplitude do que a média da Papelaria Hiperlápis.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Com base no gráfico, responda às questões.

a) Qual papelaria apresentou o menor saldo mensal no período? De quanto foi esse saldo?

b) Quando ocorreu a maior diferença entre os saldos das duas lojas no mesmo mês? Qual é o valor dessa diferença?

2 A professora Mara, de Educação Física, fez um estudo sobre as medidas das alturas médias de seus estudantes do 6º ao 9º ano, por sexo. Ela registrou o resultado em uma tabela.

Média das medidas das alturas dos estudantes da professora Mara (em cm)
Ano	6º	7º	8º	9º
Feminino	145	155	160	160
Masculino	140	150	160	170

Dados obtidos pela professora Mara.

Construa um gráfico de colunas duplas para representar a situação da tabela. Para isso, convém:

• usar no eixo vertical 0,5 centímetro para cada 10 centímetros de medida de altura;

• criar uma legenda estabelecendo uma cor para a medida da altura das meninas e outra para a medida da altura dos meninos.

Reúna‑se com um colega e façam uma pesquisa com 20 pessoas, sendo 10 homens e 10 mulheres, sobre a preferência de lazer entre cinema e esporte.

Organizem os dados obtidos em uma tabela, separando a preferência dos homens e a das mulheres. Em seguida, registrem esses dados em um gráfico de colunas duplas. Comparem o gráfico que construíram com o de outros colegas. São iguais? Por quê?

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Calcule o valor das expressões.

12 ‒ 5 : (‒ \frac{4}{3})

\frac{3}{7} \cdot (‒ \frac{7}{5}) ‒ \frac{5}{8} : (‒ \frac{5}{2})

(‒ \frac{4}{9} + \frac{1}{15}) : (‒ \frac{5}{6} ‒ \frac{1}{9})

(\frac{5}{2} ‒ 3) : (1 \frac{1}{2} ‒ \frac{2}{3})

4 \cdot (\frac{2}{9}) + (‒ \frac{5}{3}) : (\frac{2}{9})

2 Segundo o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (ínpi), entre 1º de agosto de 2020 e 31 de julho de 2021, a Floresta Amazônica perdeu uma área medindo .13235 quilômetros quadrados, que representa aproximadamente

\frac{39}{100}

da medida da área de Porto Velho, Rondônia.

Com esses dados, calcule a medida da área aproximada da cidade de Porto Velho.

3 Considere as expressões:

A = (‒ \frac{1}{2} + \frac{2}{3}) \cdot (2 ‒ \frac{1}{4})

B = (‒ 2 + \frac{1}{3}) : (\frac{2}{3} ‒ 3)

Calcule o valor de a ⋅ B.

4 Fones de ouvido, pilhas, celulares, eletrodomésticos. Todos esses utensílios, quando deixam de funcionar e não são mais aproveitados, viram lixo eletrônico. O Brasil é o quinto maior gerador desse lixo no mundo. Em 2019, um brasileiro produziu, em média, 9,5 quilogramas de lixo eletrônico, segundo relatório desenvolvido pela Universidade das Nações Unidas.

a) Faça uma pesquisa na internet, em livros, revistas ou jornais sobre a população brasileira atual e calcule, supondo que essa média seja mantida, a quantidade aproximada de lixo eletrônico, em quilograma, que essa população produzirá em 1 ano.

b) Usando a resposta ao item a, quantos elefantes, de cêrca de .7000 quilogramas, seriam necessários para apresentarem juntos a mesma medida de massa do lixo produzido em 1 ano?

5 Observe a reta numérica a seguir. Nela representamos os números racionais 0, x, y e 1.

Ilustração. Reta numérica com os pontos: 0, x, y e 1, da esquerda para a direita, nesta ordem.

Calculando o produto xy, que posição ele ocupará na reta?

a) À esquerda de 0.

b) Entre 0 e x.

c) Entre x e y.

d) Entre y e 1.

e) À direita de 1.

6 Obtenha o inverso do valor de cada expressão.

\frac{2 \frac{1}{3}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}

|‒ \frac{2 + \frac{1}{3}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}|

7 Faça o que se pede.

a) Escreva a fração correspondente a cada número misto a seguir.

7 \frac{6}{9}

8 \frac{7}{9}

9 \frac{8}{9}

10 \frac{9}{9}

11 \frac{10}{9}

12 \frac{11}{9}

b) Que padrão pode ser observado na sequência de frações obtidas no item a?

c) Usando o padrão que é resposta do item b, determine a fração correspondente ao número misto

32 \frac{31}{9}

d) Calcule a fração correspondente ao número misto

‒ 3 \frac{2}{9}

e) A fração que é resposta ao item d poderia ser obtida usando o padrão determinado no item b?

f) Os números mistos do item a são representados por

n \cdot \frac{n ‒ 1}{9} .

Verifique que suas frações correspondentes podem ser obtidas pelo padrão do item b, isto é, por

\frac{(n ‒ 1) \cdot 10 + 9}{9}

e, também, pela expressão

n + \frac{(n ‒ 1)}{9},

que, portanto, são expressões algébricas equivalentes.

8 As Matrioskas são bonecas russas, de formato semelhante e feitas de madeira, que ficam guardadas uma dentro da outra.

Fotografia. Matrioskas de tamanhos diferentes, com o desenho do rosto de uma mulher maquiada, de cabelo preto e liso.

Podemos dizer que a ideia de recursividade está presente na confecção dessas bonecas? Justifique sua resposta.

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 A fim de comprar um presente para a professora, Roberta, Isis e Iago fizeram uma vaquinha. Roberta entrou com

\frac{3}{10}

do valor do presente, Isis com

\frac{2}{5}

e Iago com

\frac{1}{4}

. Eles juntaram dinheiro suficiente para essa compra?

a) Não, pois faltará

\frac{1}{20}

do valor.

b) Não, pois faltarão

\frac{19}{20}

do valor.

c) Sim, e sobrará

\frac{1}{20}

do valor.

d) Sim, e sobrarão

\frac{19}{20}

do valor.

2 Jéssica foi a uma lanchonete e comprou 3 itens entre os ilustrados a seguir.

Ilustração. Copo de suco: R$ 4,99. Fatia de bolo: R$ 2,60. Barra de chocolate: R$ 1,99. Sanduíche: R$ 5,69. Picolé: R$ 2,89. Fatia de torta: R$ 5,49.

Sabendo que ela gastou R$ 11,18onze reais e dezoito centavos, que itens ela comprou?

a) Bolo, chocolate e sanduíche.

b) Sanduíche, picolé e bolo.

c) Suco, bolo e chocolate.

d) Torta, chocolate e picolé.

3 Um marceneiro precisa cortar uma tábua de 1,76 métro de medida de comprimento em tábuas menores de 0,25 métro de medida de comprimento. Quantas tábuas menores ele obterá?

a) 6 tábuas.

b) 7 tábuas.

c) 8 tábuas.

d) 9 tábuas.

4 Quanto é 15% de R$ 145,68cento e quarenta e cinco reais e sessenta e oito centavos?

a) Vinte e um mil, oitocentos e cinquenta e dois centésimos de milésimos de real

b) Dois reais e mil oitocentos e cinquenta e dois décimos de milésimos de real

c) Vinte e um reais e oitocentos e cinquenta e dois milésimos de real

d) R$ 218,52

5 Marcos recebe um salário mensal de R$ 1.200,00mil duzentos reais. Por motivos pessoais, neste mês, ele precisou trabalhar

\frac{3}{5}

de hora a menos por dia durante 6 dias, e isso será descontado de seu salário ao final do mês. Se ele recebe R$ 15,00quinze reais por hora trabalhada, qual será o salário de Marcos nesse mês?

a) R$ 1.192,00mil cento e noventa e dois reais

b) R$ 1.150,00mil cento e cinquenta reais

c) R$ 1.146,00mil cento e quarenta e seis reais

d) R$ 1.110,00mil cento e dez reais

6 Qual das alternativas a seguir equivale à potência

{(‒ \frac{6}{4})}^{3}

a) ‒3,375

b) 1,5

c) ‒2,25

d) 2,25

7 Um prédio comercial tem 9 andares acima do solo. Todos os andares têm 4,25 métros de medida de altura. Qual é a medida da altura desse prédio?

a) 36,225 métros

b) 38,25 métros

c) 38,50 métros

d) 40,50 métros

8 Em uma festa de aniversário, foram consumidos

\frac{7}{9}

de um bolo. Se esse bolo foi cortado em 27 fatias, quantas fatias sobraram?

a) 3 fatias.

b) 5 fatias.

c) 6 fatias.

d) 9 fatias.

9 Qual é o valor da expressão numérica a seguir?

(15 : 10) ‒ [{(‒ \frac{2}{3})}^{2} \cdot (0,25 ‒ 0, 19)]

‒ \frac{221}{150}

\frac{229}{150}

‒ \frac{229}{150}

\frac{221}{150}

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, faça o que se pede.

a) Utilizando um fluxograma, indique como pode ser efetuada a adição de números racionais.

b) Escreva qual estratégia você usa para efetuar a multiplicação de dois números racionais.

c) Explique como você efetua a divisão entre dois números decimais.

d) Qual é a importância de analisar o sinal dos números envolvidos em uma operação?

e) Quais são as propriedades da potenciação de números racionais? Apresente exemplos com números racionais.