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CAPÍTULO 4 Ângulos

Fotografia. Cinco meninas de collant colorido em um ginásio. À esquerda e à direita, de lados opostos, duas meninas de cada lado seguram uma fita em cada mão, uma fita para o alto e uma fita para baixo. Ao centro, uma menina abaixada pisa nas fitas, onde se forma um ponto de encontro destas. — Equipe feminina do Brasil conquista a medalha de ouro na ginástica rítmica com fitas durante os Jogos Pan-Americanos de 2015, realizados em Toronto (Canadá). (Fotografia de 2015.)

Observe, leia e responda no caderno.

a) Nesta fotografia, é possível associar a imagem das fitas com a ideia de ângulo. Quantos ângulos essas fitas determinam?

b) Todos os ângulos representados pelas fitas têm um vértice em comum. Qual é esse vértice?

c) Além dos ângulos mais fáceis de observar nas fitas, podemos destacar outros ângulos nessa imagem?

Na fotografia é possível analisar uma das coreografias realizada pelas atletas com a fita, em que podemos identificar a ideia de ângulo.

A fita é um aparelho composto por uma vareta presa a uma fita de seda ou material semelhante. [...]

Vista como o aparelho mais plástico da ginástica rítmica, a fita é usada para criar uma ampla gama de figuras no espaço durante os exercícios, como serpentinas, espirais e figuras em oito. [...]

Fonte: DICIONÁRIO Olímpico. Disponível em: https://oeds.link/KKY4jg. Acesso em: 9 junho 2022.

Mais do que aparecer nas fitas em um belo final de coreografia, ângulo é um conceito matemático de grande importância, empregado em exercícios obrigatórios da ginástica rítmica.

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1. Ângulos e seus elementos

Inúmeras situações do dia a dia nos remetem à ideia de ângulo: quando viramos uma esquina, quando montamos uma tábua de passar roupas, quando olhamos as horas em um relógio de ponteiros ou quando observamos a inclinação do telhado de uma casa.

Nas fotografias a seguir, os destaques dão a ideia de ângulo.

Fotografia. Vista frontal de uma casa com telhado triangular formando um ângulo obtuso. — Casa localizada na Califórnia, Estados Unidos. (Fotografia de 2017.)

Fotografia. Vista do alto de duas ruas verticais e uma rua horizontal, que se cruzam. Ao redor, casas. O encontro das ruas destaca a forma de um ângulo reto. — Vista aérea de algumas ruas de Jataizinho, Paraná. (Fotografia de 2015.)

Fotografia. Relógio redondo com números romanos. Os ponteiros das horas e dos minutos destacam a formação de um ângulo agudo. — Relógio da Praça Siqueira Campos, em Belém, Pará. (Fotografia de 2017.)

Ilustração. Homem de cabelo ruivo e camisa vermelha diz: Você já aprendeu que um ângulo é formado por duas semirretas de mesma origem.

Observe os exemplos.

Ilustração. Duas semirretas, OB (acima) e OA (abaixo), com origem no ponto O (indicado por vértice). Cada semirreta está indicada como lado. A região de menor abertura das semirretas é indicada por região interna. A região de maior abertura das semirretas é indicada por região externa.

Ângulo

A \hat{O} B

de vértice óh e lados

\vec{O A}

\vec{O B}

Ilustração. Duas semirretas, OD (acima) e OC (abaixo), com origem no ponto O. Cada semirreta está indicada como lado. A região de maior abertura das semirretas é indicada por região interna. A região de menor abertura das semirretas é indicada por região externa. — Ângulo

Ângulo

C \hat{O} D

de vértice óh e lados

\vec{O C}

\vec{O D}

Note que a região interna é a região delimitada por semirretas, que contém a indicação de sua abertura. A outra região é a região externa.

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Ângulo nulo, ângulo de uma volta e ângulo raso

Considere o ângulo

A \hat{O} B

Ilustração. Duas semirretas, OA (abaixo) e OB (acima), com origem no ponto O. Região interna está indicada na região de menor abertura.

Imagine o ponto B se deslocando sobre o arco

\overset{⌢}{A B}

no sentido dos ponteiros do relógio (sentido horário). Ele se aproxima mais e mais do ponto a, até coincidir com o ponto a.

Ilustração. Duas semirretas, OA (na horizontal, apontando para a direita) e OB, com origem no ponto O, formam um arco com abertura de um ângulo agudo. Uma semirreta tracejada indica o deslocamento do ponto B na direção do ponto A, no sentido horário. Ilustração. Duas semirretas, OA (na horizontal, apontando para a direita) e OB (acima de OA), com origem no ponto O, formam um arco com abertura de um ângulo agudo, menor que o anterior. Uma semirreta tracejada indica o deslocamento do ponto B na direção do ponto A, no sentido horário, muito próximo do ponto A. Ilustração. As semirretas OA e OB, com origem no ponto O, estão representadas em uma mesma semirreta. Elas formam um arco com abertura de uma volta completa.

As duas semirretas têm todos os pontos em comum, ou seja, são coincidentes. Elas formam um ângulo nulo.

O ângulo nulo é formado por duas semirretas coincidentes.

Imagine o ponto B se deslocando sobre o arco

\overset{⌢}{A B}

no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (sentido anti‑horário). Ele se move mais e mais até dar uma volta completa e coincidir com o ponto a.

Ilustração. Duas semirretas, OA (na horizontal, apontando para a direita) e OB, com origem no ponto O, formam um arco com abertura de um ângulo obtuso. Uma semirreta tracejada (entre as semirretas OA e OB) indica o deslocamento do ponto B na direção do ponto A, no sentido anti-horário. Ilustração. Duas semirretas, OA (na horizontal, apontando para a direita) e OB, com origem no ponto O, formam um arco com abertura de um ângulo obtuso, maior que o anterior. Uma semirreta tracejada (entre as semirretas OA e OB) indica o deslocamento do ponto B na direção do ponto A, no sentido anti-horário. Ilustração. As semirretas OA e OB, com origem no ponto O, estão representadas em uma mesma semirreta. Elas formam um arco com abertura de uma volta completa.

Quando

\vec{O B}

coincidir com

\vec{O A}

, obteremos um ângulo de uma volta. Para diferenciá‑lo do ângulo nulo, assinalamos a abertura com um arco.

Observe o ângulo

A \hat{O} B

a seguir.

Ilustração. Ângulo raso ou ângulo de meia-volta. Duas semirretas, OA e OB, com origem no ponto O (ao centro), têm direções opostas, em que OB aponta para a esquerda e OA para a direita. Um arco é formado do ponto A ao ponto B.

O ângulo raso ou ângulo de meia-volta formado por duas semirretas opostas.

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2. Medida de um ângulo

Sabemos que um ângulo pode ser medido e que o grau, representado pelo símbolo pequeno círculo sobrescrito, é uma unidade de medida de ângulos.

Ilustração. Homem de cabelo preto e camisa rosa de braços cruzados fala: Lembre que, para obter a medida de um ângulo, escolhemos um ângulo cuja abertura será a unidade de medida e verificamos quantas vezes ela "cabe" na abertura do ângulo que desejamos medir.

Observe novamente a representação de um ângulo raso.

Ilustração. Duas semirretas, OA e OB, com origem no ponto O (ao centro), têm direções opostas, em que OA aponta para a esquerda e OB para a direita. Um arco entre os pontos A e B indica ângulo AOB.

O ângulo

A \hat{O} B

tem medida igual a 180graus. Se dividirmos esse ângulo em 180 ângulos menores de mesma medida, cada ângulo obtido terá medida igual a 1grau.

Ilustração. Duas semirretas, OA e OB, com origem no ponto O, têm uma abertura angular pequena, medindo um grau. Legenda: medida do ângulo AOB é igual a um grau.

Também vimos que o transferidor pode ser usado para medir ângulos e que ele está dividido em medidas de 1grau.

Vamos relembrar como proceder para medir ângulos usando um transferidor.

Ilustração. Transferidor, com medidas de 0 a 180 graus (no sentido anti-horário) e com centro no ponto O (abaixo da marcação de 90 graus). Semirreta A na marcação de 0 grau. Semirreta B na marcação de 60 graus.

• O centro do transferidor deve ser disposto sobre o vértice do ângulo.

• Uma das semirretas (na figura,

\vec{O A}

) que formam o ângulo deve ficar alinhada com o ponto central e com a indicação do ângulo de 0° do transferidor.

• A outra semirreta (na figura,

\vec{O B}

) estará sob a marca do transferidor que indica a medida do ângulo.

A medida do ângulo

B \hat{O} A

é 60graus, que indicamos da seguinte maneira:

m (B \hat{O} A) = 60 ° .

Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo. Indicamos 1 minuto por 1linha e 1 segundo por 1aspas.

Ilustração. Menina de cabelo castanho claro e camiseta verde. Ela fala: Minutos, segundos... isso me lembra unidades de tempo!

Observe a relação entre o grau e seus submúltiplos:

• 1grau = 60minutos, ou seja, 1 minuto equivale a

\frac{1}{60}

do grau;

• 1' = 60segundos, ou seja, 1 segundo equivale a

\frac{1}{60}

do minuto.

Observação

▶ Lembre‑se de que, quanto à sua medida, um ângulo pode ser reto (medida igual a 90graus), agudo (medida entre 0grau e 90graus) ou obtuso (medida entre 90graus e 180graus).

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Nesta figura, podemos observar três ângulos.

Ilustração. Semirretas OA, OB e OC, com origem no ponto O. As semirretas OA e OC são opostas. A semirreta OB forma um ângulo agudo com a semirreta OA.

a) Quais são esses ângulos?

b) Com um transferidor, meça os ângulos da figura.

c) Qual deles é ângulo raso?

d) Qual deles é ângulo reto? Qual é obtuso? E qual é agudo?

2 O ângulo segundo o qual uma pessoa vê um objeto é chamado ângulo visual. Esse ângulo depende do tamanho do objeto e de sua distância em relação ao observador.

Ilustração. O olho de uma pessoa observa uma seta vertical AB que aponta para cima (objeto AB). Duas semirretas partem das extremidades da seta AB em direção ao olho da pessoa. A abertura entre as semirretas (do olho ao objeto observado) é indicada por ângulo visual. — ângulo visual (objeto AB)

Ilustração. O olho de uma pessoa observa duas setas verticais, lado a lado, que apontam para cima. Da seta mais próxima ao observador, partem duas semirretas das extremidades da seta em direção ao olho da pessoa. Da seta mais distante ao observador, partem também duas semirretas das extremidades da seta em direção ao olho da pessoa, com menor ângulo visual. — Dado um objeto, quanto maior for a distância do observador em relação a esse objeto, menor será o ângulo visual.

O ângulo visual pode ser um ângulo raso? Justifique sua resposta.

3 Trace uma reta e marque sobre ela dois pontos distintos, a e B. Use um transferidor para construir um ângulo de 42graus com vértice em a, com um dos lados sendo a semirreta

\vec{A B}

, e outro ângulo de 42graus com vértice em B, com um dos lados sendo a semirreta

\vec{B A}

, de modo que obtenha um polígono.

a) Que polígono você obteve?

b) Como é classificado esse polígono quanto aos lados?

Ícone do Tema Contemporâneo Transversal: CIDADANIA E CIVISMO.

Segundo a Associação Brasileira de Normas Técnicas (á bê eni tê), os cinemas devem reservar lugares para pessoas usuárias de cadeira de rodas de acordo com a regra a seguir:

Pessoas em Cadeira de Rodas (pê cê érre) precisam de previsão de espaços onde possam estacionar convenientemente e acompanhar com conforto os eventos do auditório. Para tanto, os espaços devem atender à seguinte regra:

A localização dos espaços deve ser calculada traçando-se um ângulo visual de 30graus a partir do limite superior da boca de cena até a linha do horizonte visual (éle agá), com a altura de 1,15 métro do piso.

Quando existir anteparo em frente aos espaços para pê cê érre, sua altura e distância não podem bloquear o ângulo visual de 30graus, medido a partir da linha visual padrão, com altura de 1,15 métro do piso até o limite inferior da tela ou local do palco onde a atividade é desenvolvida.

Fonte: á bê eni tê êni bê érre 9050. Acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos. Disponível em: https://oeds.link/b5svDJ. Acesso em: 19 maio 2022.

a) Entre as ilustrações a, B e C, qual delas está de acordo com essa regra? Justifique sua resposta.

Esquema. Vista lateral de uma sala de cinema com visualização de espaços reservados para pessoas usuárias de cadeira de rodas, em formato de degraus. À direita, um segmento de reta indica a tela do cinema. À esquerda, um pequeno espaço horizontal para o palco. À esquerda do palco, três pessoas, A, B e C, em cadeira de rodas em alturas diferentes, observam a tela. Em um piso abaixo da altura do palco, a pessoa C tem um ângulo visual agudo da tela e seu olho está a uma altura menor que 1,15 m do piso até o limite inferior da tela. À esquerda, a pessoa B está mais alta, com altura de 1,15 m do piso até o limite inferior da tela, e com ângulo visual agudo da tela. À esquerda, a pessoa A está mais alta e, à sua frente, tem um anteparo; seu ângulo visual da tela também é agudo.

b) Além da regra citada, há outras que os cinemas devem seguir para facilitar o acesso de pessoas em cadeira de rodas, como a instalação de rampas e a garantia de rotas de fuga acessíveis. Converse com os colegas de turma sobre o que mais é importante haver nos cinemas para facilitar o acesso das pessoas nessa condição.

c) Você costuma ir ao cinema? Em caso afirmativo, observe se essas regras são respeitadas. Depois, escreva um relato com suas observações.

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5 Vitória está participando de uma brincadeira de caça ao tesouro e recebeu um mapa como o representado a seguir.

Ilustração. Malha quadriculada composta por 12 linhas e 15 colunas. No vértice inferior direito do quadradinho da décima linha e terceira coluna, encontra-se uma menina, com braços abertos de frente para a parte superior da malha. No vértice inferior direito do quadradinho da segunda linha e décima quarta coluna, encontra-se um baú de tesouros. A malha apresenta um caminho, da menina até o tesouro, por cima dos lados dos quadradinhos da malha.

Sabendo que os lados de cada quadradinho da malha medem 1 métro, descreva o caminho que Vitória deverá seguir para encontrar o tesouro.

Ícone de Atividade em dupla ou em grupo.

Hora de criar – Crie um mapa indicando uma trajetória como a do exercício anterior e represente‑a em uma folha de papel quadriculado. Junte‑se a um colega e, sem mostrar o mapa criado por você, descreva‑o para que o colega represente seu mapa em uma folha de papel quadriculado também. Em seguida, faça o mesmo com o mapa criado pelo seu colega. Comparem as representações e verifiquem se há diferença entre elas. Caso haja, expliquem por que vocês acham que elas ocorreram.

3. Ângulos congruentes

Observe uma fotografia de nado sincronizado, em que as atletas tentam formar ângulos congruentes com os braços.

Fotografia. Oito mulheres em uma piscina, todas com o tronco do corpo para fora da água e seus braços abertos para cima. — Equipe italiana de nado sincronizado em apresentação no 17º Campeonato Mundial de Esportes Aquáticos, em Budapeste (Hungria). (Fotografia de 2017.)

Agora, atente para estes ângulos.

Como

A \hat{O} B

R \hat{S} T

têm a mesma medida, dizemos que eles são ângulos congruentes. Indicamos que

A \hat{O} B

R \hat{S} T

são ângulos congruentes da seguinte maneira:

A \hat{O} B ≅ R \hat{S} T

(lemos: “o ângulo

A \hat{O} B

é congruente ao ângulo

R \hat{S} T

”)

Dois ângulos são congruentes quando têm mesma medida.

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Construção de ângulos congruentes

Ilustração. Mulher de cabelo castanho escuro, usa óculos, camiseta rosa e jaleco azul claro. Ela diz: Dado um ângulo AOB, é possível construir, com auxílio de régua e compasso, um ângulo D E F congruente a AOB.

Ilustração. Duas semirretas OA (horizontal, apontando para a direita) e OB, com origem no ponto O, formam um ângulo agudo. Um arco indica o ângulo AOB.

Acompanhe a construção do ângulo

D \hat{E} F .

Ilustração. Semirreta horizontal, apontando para a direita, com origem no ponto E.

Traçamos uma semirreta de origem E.

Semirreta ED. Há um compasso com a ponta seca no ponto E, traçando um arco que passa pelo ponto D.

Colocamos a ponta‑seca do compasso em E e, com uma abertura de medida OA, traçamos um arco obtendo o ponto D.

Ilustração. Semirreta ED, com origem no ponto E, passando por um ponto D. A ponta-seca de um compasso aberto está sobre o ponto D. A outra ponta do compasso, com medida AB, está sobre o arco desenhado e marca, sobre ele, um ponto F.

Colocamos a ponta‑seca do compasso em D e, com uma abertura de medida AB, marcamos F no arco traçado.

Ilustração. Duas semirretas ED (horizontal, apontando para a direita) e EF, com origem no ponto E, formam um ângulo agudo. Um arco é traçado entre os pontos D e F.

Traçamos a semirreta

\vec{E F} .

O ângulo

D \hat{E} F

construído é congruente ao ângulo

A \hat{O} B

dado.

Observe que o ponto éfe foi marcado de modo que a abertura de medida dê éfe fosse igual à abertura de medida A bê. Logo, os ângulos têm a mesma abertura e, portanto, são congruentes.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

7 O que se pode dizer a respeito dos ângulos construídos na malha triangular?

Ilustração. Quatro ângulos representados em uma malha triangular, formada por triângulos equiláteros de mesmo tamanho. Ângulo vermelho formado por: uma semirreta horizontal orientada para a esquerda; e uma semirreta inclinada para a direita e para cima, ambas sobre as linhas da malha triangular. Ângulo azul formado por: uma semirreta horizontal orientada para a direita; e uma semirreta inclinada para a esquerda e para cima, ambas sobre as linhas da malha triangular. Ângulo verde formado por: uma semirreta horizontal orientada para a direita; e uma semirreta inclinada para a esquerda e para baixo, ambas sobre as linhas da malha triangular. Ângulo roxo formado por: uma semirreta inclinada para a direita e para cima; e uma semirreta inclinada para a direita e para baixo, ambas sobre as linhas da malha triangular.

8 Verifique quais são os pares de ângulos congruentes. Registre a resposta no caderno.

Ilustração. Duas semirretas, de cor laranja, OA e OB, com origem no ponto O, formam um ângulo agudo. Ilustração. Duas semirretas, de cor vermelha, ST e SR, com origem no ponto S, formam um ângulo aparentemente reto. Ilustração. Duas semirretas, de cor lilás, FE e FG, com origem no ponto F, formam um ângulo agudo, com abertura maior a do ângulo AOB. Ilustração. Duas semirretas, de cor verde claro, HC e HD, com origem no ponto H, formam um ângulo aparentemente reto. Ilustração. Duas semirretas, de cor verde escuro, VM e VN, com origem no ponto V, formam um ângulo agudo, com a mesma medida do ângulo AOB.

9 Construa um fluxograma com os passos a serem seguidos para a construção de ângulos congruentes.

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10 Na figura, o ângulo

A \hat{O} B

está dividido em seis ângulos congruentes.

Ilustração. Ângulo raso AOB, dividido em seis ângulos de mesma abertura, compostos pelas semirretas (da esquerda para a direita): OA, OG, OF, OE, OD, OC e OB, todos com origem no ponto O (ao centro).

Nessas condições, no caderno, classifique as sentenças em falsas ou verdadeiras.

B \hat{O} C ≅ C \hat{O} D

B \hat{O} D ≅ D \hat{O} F

C \hat{O} E ≅ A \hat{O} F

C \hat{O} D ≅ E \hat{O} G

C \hat{O} A ≅ B \hat{O} G

D \hat{O} F ≅ A \hat{O} E

11 Construa, no caderno, com régua e compasso, um ângulo congruente ao ângulo dado em cada caso.

Ilustração. Ângulo agudo AOB, formado pelas semirretas OA e OB, com origem no ponto O.

Ilustração. Ângulo obtuso MNP, formado pelas semirretas NM e NP, com origem no ponto N.

Ilustração. Ângulo obtuso PQR, menor que o ângulo MNP, formado pelas semirretas QP e QR, com origem no ponto Q.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca!)

4. Operações com medidas de ângulos

Observe as situações a seguir.

Situação 1

Um esportista que utiliza cadeira de rodas saiu do mercado, passou pela escola, virou para a direita 90graus, foi em frente até atingir o ponto de táxi, virou para a direita 45graus e, finalmente, chegou ao ginásio de esportes.

Ilustração. Rapaz sobe rampa, em uma cadeira de rodas, em direção à porta do GINÁSIO DE ESPORTES.

Para saber quanto a direção do cadeirante mudou, desde que saiu do mercado até chegar ao ginásio de esportes, podemos montar um esquema, em que a linha vermelha representa o caminho percorrido por ele.

Esquema. Reta tracejada, vertical, indica as direções Norte (em cima) e Sul (em baixo). Reta tracejada, horizontal, indica as direções Oeste (esquerda) e Leste (direita). Reta tracejada, inclinada à esquerda, indica as direções Noroeste (esquerda) e Sudeste (direita). Indicação de ângulo de 90 graus entre as retas de direção Norte-Sul e de direção Oeste-Leste. Indicação de ângulo de 45 graus entre as retas de direção Noroeste-Sudeste e de direção Oeste-Leste. Indicação de ângulo de 90 graus mais 45 graus, igual a 135 graus, entre as retas de direção Norte-Sul e de direção Noroeste-Sudeste. Um ponto na reta de direção Norte-Sul, proximo ao Sul, indica a posição do mercado. O ponto de interseção entre as retas de direção Norte-Sul e de direção Oeste-Leste indica a posição da escola. O ponto de interseção entre as retas de direção Noroeste-Sudeste e de direção Oeste-Leste indica a posição do ponto de táxi. Um ponto na reta de direção Noroeste-Sudeste, proximo ao Sudeste, indica a posição do ginásio de esportes. Um caminho do mercado, à escola, ao ponto de táxi, até o ginásio de esportes é destacado por uma linha vermelha.

Observando os ângulos assinalados, podemos reparar que foram 90graus para a direita (na escola) e mais 45graus para a direita (no ponto de táxi). Nesse caso, dizemos que a direção inicial (Norte‑Sul) sofreu uma mudança para a direção final (Noroeste‑Sudeste) de 135graus para a direita, pois o esportista em cadeira de rodas virou 90graus para a direita e 45graus para a direita; portanto, 90graus + 45graus para a direita.

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Situação 2

Considere agora uma nova situação em que a linha vermelha do esquema representa o caminho percorrido por um ciclista do ponto a até o ponto B.

Esquema. Reta tracejada, horizontal, com ponto A à esquerda. Outra reta tracejada, inclinada para baixo, formando um ângulo de 35 graus com a reta horizontal. Outra reta tracejada, inclinada para cima, cruzando as retas anteriormente mencionadas, formando um ângulo de 90 graus com a reta inclinada e um ângulo de 55 graus com a reta horizontal. Um ponto B é destacado nessa última reta.
Um caminho do ponto A ao ponto B, passando pelas retas horizontal e inclinadas, é destacado por uma linha vermelha.

Observe as mudanças de direção do ciclista.

• 1ª mudança: 35graus para a direita;

• 2ª mudança: 90graus para a esquerda.

As mudanças de direção do ciclista (35graus para a direita e 90graus para a esquerda) equivalem a uma mudança de direção inicial de 55graus que é o mesmo que (90graus ‒ 35graus) para a esquerda.

Situações como essas, envolvendo mudança de direção, são comuns nas navegações aérea e marítima para localizar aviões, navios, cargas e até passageiros, no caso de queda ou de naufrágio, e nos dão uma ideia da importância de operar com medidas de ângulos.

Transformando unidades

Quando realizamos operações com medidas de ângulos, é possível aparecerem resultados com minutos e segundos maiores que 60 unidades.

Nesse caso, devemos transformar segundos em minutos e minutos em graus, ou seja, a cada 60 unidades, trocamos por uma unidade imediatamente superior. Acompanhe os exemplos.

a) Expressar 5graus20minutos em minutos.

5graus20minutos = 5 ⋅ 60minutos + 20minutos = 300minutos + 20minutos = 320minutos

b) Fazer a transformação de 150minutos em graus e minutos.

Expressão. 150 minutos é igual a 2 vezes 60 minutos mais 30 minutos; uma chave abaixo do produto 2 vezes 60 minutos indica: 2 graus. A expressão é igual a 2 graus mais 30 minutos, é igual a 2 graus e 30 minutos. Conta de divisão na chave. À esquerda, dividendo 150 minutos. À direita, divisor 60 minutos. Abaixo de 150, 30 minutos. Abaixo da chave, quociente 2.

Ilustração. Menina de cabelo laranja e blusa verde está com um livro aberto, régua, compasso e transferidor sobre a mesa. Em um balão de pensamento, o texto: 150 minutos é igual a 2 graus e 30 minutos.

c) Expressar 80segundos em minutos e segundos.

Expressão. 80 segundos é igual a 1 vezes 60 segundos mais 20 segundos; uma chave abaixo do produto 1 vezes 60 segundos indica: 1 minuto. A expressão é igual a 1 minuto mais 20 segundos, é igual a 1 grau e 20 segundos. Conta de divisão na chave. À esquerda, dividendo 80 segundos. À direita, divisor 60 segundos. Abaixo de 80, 20 segundos. Abaixo da chave, quociente 1.

Adição e subtração de medidas de ângulos

A adição de medidas de ângulos é feita adicionando segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus. Da mesma fórma, a subtração é feita subtraindo segundos de segundos, minutos de minutos e graus de graus. Acompanhe os exemplos.

a) 38graus20minutos + 51graus40minutos

Conta de adição na vertical. Acima, 38 graus e 20 minutos. Abaixo, sinal de mais e 51 graus 40 minutos. Traço abaixo e 89 graus 60 minutos (60 segundos igual a 1 grau). Abaixo, sinal de mais e 1 grau. Traço abaixo e 90 graus.

b) 90graus ‒ 40graus20minutos45segundos

90graus = 89graus60minutos = 89graus59minutos60segundos

Conta de subtração na vertical. Acima, 89 graus, 59 minutos e 60 segundos. Abaixo, sinal de menos e 40 graus, 20 minutos e 45 segundos. Traço abaixo e 49 graus, 39 minutos e 15 segundos.

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Usando régua e compasso, podemos construir um ângulo cuja medida seja igual à soma das medidas de dois ângulos, ou um ângulo cuja medida seja igual à diferença entre as medidas de dois ângulos. Acompanhe os exemplos.

a) Dados os ângulos

A \hat{O} B

C \hat{O} D

, vamos construir, com régua e compasso, o ângulo

E \hat{O} F

de medida:

m (E \hat{O} F)

m (A \hat{O} B)

m (C \hat{O} D)

Ilustração. Ângulo AOB formado pelas semirretas OA e OB, com origem no ponto O. Ilustração. Ângulo COD, com abertura maior que a do ângulo AOB, formado pelas semirretas OC e OD, com origem no ponto O.

Ilustração. Ângulo EOG formado pelas semirretas OE e OG, com origem no ponto O. Há um compasso aberto sobre o ângulo, com a ponta seca no ponto E e a outra ponta do compasso no ponto G. Legenda: Construímos o ângulo EOG, que é congruente ao ângulo AÔB. Ao lado ilustração. Ângulo EOF, composto pelos ângulos EOG e EGF, formado pelas semirretas OE, OG e OF, com origem no ponto O. Há um compasso aberto sobre o ângulo GOF, com a ponta seca no ponto G e a outra ponta do compasso no ponto F. Legenda: Sobre a semirreta OG, construímos o ângulo GÔF, que é congruente ao ângulo CÔD, obtendo o ângulo EÔF.

b) Dados os ângulos

G \hat{O} H

I \hat{O} J

, vamos construir, com régua e compasso, o ângulo

K \hat{O} L

de medida:

m (K \hat{O} L)

m (I \hat{O} J)

‒

m (G \hat{O} H)

Ilustração. Ângulo GOH formado pelas semirretas OG e OH, com origem no ponto O. Ilustração. Ângulo IOJ, com abertura maior que a do ângulo GOH, formado pelas semirretas OI e OJ, com origem no ponto O.

Ilustração. Ângulo KOM formado pelas semirretas OK e OM, com origem no ponto O. Há um compasso aberto sobre o ângulo, com a ponta seca no ponto K e a outra ponta do compasso no ponto M. Legenda: Construímos o ângulo KOM, que é congruente ao ângulo IOJ. Ao lado ilustração. Ângulo KOM, composto pelos ângulos MOL e KOL, formado pelas semirretas OM, OL e OK, com origem no ponto O. Há um compasso aberto sobre o ângulo MOL, com a ponta seca no ponto M e a outra ponta do compasso no ponto L. Legenda: Sobre a semirreta OM, construímos o ângulo MOL, que é congruente ao ângulo GOH, obtendo o ângulo KOL.

Ângulos adjacentes

Na figura a seguir destacamos os ângulos

A \hat{O} B

B \hat{O} C

. Observe que esses ângulos têm mesmo vértice e um lado comum, mas não têm ponto em comum na região interna. Esses ângulos são chamados adjacentes.

Ilustração. Semirretas OA, OB e OC, com origem no ponto O. O ângulo AOB está destacado de laranja e o ângulo BOC está destacado de marrom.

Ilustração. Mulher de cabelo cacheado, curto, preto, camisa vermelha, calça marrom e sapatos dourados. Ela está em pé ao lado do quadro de giz e diz: Na figura, destacamos de laranja a região interna do ângulo AOB e de marrom a região interna do ângulo BOC.

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Ângulos complementares e ângulos suplementares

Dois ângulos que têm a soma de suas medidas igual a 90graus são ângulos complementares.

Ilustração. Ângulo AOB, formado pelas semirretas OA e OB, com origem no ponto O, tem medida de 40 graus.
Ao lado, ângulo MPQ, formado pelas semirretas PM e PQ, com origem no ponto P, tem medida de 50 graus.
Ao lado, seta cinza aponta para a junção dos ângulos 50 graus e 40 graus, lado a lado, sobre o mesmo ponto de origem das semirretas.

Os ângulos

A \hat{O} B

M \hat{P} Q

são complementares, pois:

m (A \hat{O} B) + m (M \hat{P} Q) = 90°

ponto

Portanto, a medida do complemento de um ângulo agudo que mede x é (90graus ‒ x).

Dois ângulos que têm a soma de suas medidas igual a 180graus são ângulos suplementares.

Ilustração. Ângulo AOB, formado pelas semirretas OA e OB, com origem no ponto O, tem medida de 30 graus.
Ao lado, ângulo MPQ, formado pelas semirretas PM e PQ, com origem no ponto P, tem medida de 150 graus.
Ao lado, seta cinza aponta para a junção dos ângulos 30 graus e 150 graus, lado a lado, sobre o mesmo ponto de origem das semirretas. Ilustração. Reta com ponto A e reta com ponto B unidas no ponto O formam ângulo de 30 graus. Ao lado, reta com ponto M e reta com ponto Q unidas no ponto P formam ângulo 150 graus. Seta para: As três retas unidas formam ângulos de 30 graus e 150 graus.

Os ângulos

A \hat{O} B

M \hat{P} Q

são suplementares, pois:

m (A \hat{O} B) + m (M \hat{P} Q) = 180°

Logo, a medida do suplemento de um ângulo que mede y é (180graus ‒ y).

Ângulos opostos pelo vértice (ó pê vê)

Na figura, as semirretas

\vec{O A}

\vec{O B}

formam o ângulo

A \hat{O} B

e são opostas, respectivamente, às semirretas

\vec{O D}

\vec{O C},

que formam o ângulo

C \hat{O} D .

Além disso, os ângulos

A \hat{O} B

C \hat{O} D

têm o vértice óh em comum.

Por esse motivo, dizemos que os ângulos

A \hat{O} B e C \hat{O} D

são opostos pelo vértice (ó pê vê).

Ilustração. Reta AD e reta BC se cruzam no ponto O e formam quatro ângulos: AOB e COD (opostos pelo vértice), e AOC e BOD (opostos pelo vértice).

Os ângulos

A \hat{O} C

B \hat{O} D

também são ângulos opostos pelo vértice.

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são semirretas opostas aos lados do outro.

Uma propriedade importante dos ângulos opostos pelo vértice é:

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Página 92

Vamos, então, demonstrar essa propriedade.

Considere as retas concorrentes r e s. Observe que elas formam quatro ângulos de medidas a, b, c e d.

Ilustração. Reta r e reta s se cruzam e formam quatro ângulos: a e b (opostos pelo vértice), e c e d (opostos pelo vértice).

Agora, considere os ângulos de medidas a e d. Como esses ângulos são suplementares, temos: a + d = 180graus (um).

Ilustração. Reta r e reta s se cruzam e formam quatro ângulos. Destaque para os ângulos a (obtuso) e d (agudo), formando um ângulo raso sobre a reta s.

Observe que os ângulos de medidas d e b também são suplementares, então: d + b = 180graus (dois).

Ilustração. Reta r e reta s se cruzam e formam quatro ângulos. Destaque para os ângulos b (obtuso) e d (agudo), formando um ângulo raso sobre a reta r.

De (um) e (dois) podemos escrever a seguinte igualdade:

Expressão. a mais d (cuja soma mede 180 graus) é igual a d mais b (cuja soma mede 180 graus).

Subtraindo d de ambos os membros da igualdade, obtemos:

a = b

Se empregarmos esses mesmos argumentos para os ângulos de medidas d e c e seguirmos os mesmos passos, concluiremos que d = c.

Assim, demonstramos que dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Multiplicação e divisão da medida de um ângulo por um número natural

A multiplicação e a divisão da medida de um ângulo por um número natural são efetuadas multiplicando ou dividindo, respectivamente, os segundos, os minutos e os graus pelo número natural.

Em seguida, na multiplicação, reduzimos os segundos a minutos e os minutos a graus, quando resultarem em um número igual ou maior do que 60. Já na divisão, quando necessário, reduzimos graus a minutos e minutos a segundos.

Observe os exemplos.

a) 32graus25minutos ⋅ 4

Conta de multiplicação na vertical. Acima, 32 graus e 25 minutos. Abaixo, sinal de vezes e o número 4. Traço abaixo e 128 graus e 100 minutos. Seta abaixo de 100 minutos indica: 100 minutos é igual a 1 grau e 40 minutos. Seta para direita indica: conta de adição na vertical. Acima, 128 graus. Abaixo, sinal de mais e 1 grau e 40 minutos. Traço abaixo e 129 graus e 40 minutos. (100 minutos = 1 graus 40 minutos).

b) 27graus22minutos8segundos : 4

Conta de divisão na chave. À esquerda, 27 graus, 22 minutos e 8 minutos. À direita, 4. Abaixo, de 27 graus: 3 graus. Seta para o lado, abaixo de 22 minutos, indica: 3 vezes 60 minutos é igual a 180 minutos. Abaixo de 180 minutos, traço, 202 minutos. Abaixo, 02 minutos. Seta para o lado indica: 2 vezes 60 segundos é igual a 120 segundos. Abaixo de 120 segundos, traço, 128 segundos, abaixo zero zero. Resultado da divisão: 6 graus, 50 minutos e 32 segundos.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

12 Converta em minutos.

a) 15graus

b) 10graus35minutos

c) 420segundos

d) .1020segundos

e) 4graus240segundos

f) 6graus360segundos

13 Estes quatro azulejos se ajustam perfeitamente. Quanto mede o ângulo formado por eles em torno do ponto O ?

Fotografia. Quatro azulejos, com peças quadriculadas nas cores branco, verde, vermelho, amarelo e laranja, compondo um flores vermelhas e brancas entre folhas verdes em formato circular, quando ajustados em torno de um ponto, no centro da figura, indicado por O.

14 A quantos segundos corresponde um ângulo que tem por medida 2graus10minutos30segundos?

Calcule mentalmente e expresse 94′ em graus e minutos.

16 Calcule.

a) 25graus12minutos + 40graus30minutos

b) 10graus45minutos45segundos + 20graus20minutos45segundos

c) 50graus40minutos ‒ 20graus35minutos

d) 45graus20minutos25segundos ‒ 30graus30minutos30segundos

17 Nesta figura, um esquadro tem o vértice de seu ângulo reto apoiado no ponto a, e o ângulo indicado em vermelho mede 42°10′. Quanto mede o ângulo indicado em verde?

Ilustração. Paralelogramo cinza, indicando um plano, com reta horizontal e um ponto A, no centro da reta. Sobre o ponto A, o vértice do ângulo reto de um esquadro com destaque para os ângulos laterais entre o esquadro e a reta: à esquerda, um ângulo em vermelho; à direita, um ângulo em verde.

18 Determine:

a) a medida do complemento do ângulo de 17graus;

b) a medida do suplemento do ângulo de 40graus;

c) a medida do complemento do complemento do ângulo de 69graus.

Reúna‑se com um colega e respondam:

a) Escolham uma medida de um ângulo agudo qualquer. Qual é a soma da metade dessa medida com a metade da medida de seu suplemento?

b) A metade da medida de um ângulo obtuso mais a metade da medida de seu suplemento é igual a 90graus. Quanto mede esse ângulo?

20 O gráfico de setores a seguir apresenta o resultado de uma pesquisa feita com .1200 pré‑adolescentes de 10 a 13 anos do Colégio Estudebem.

Gráfico de setores. Título: Distribuição dos estudantes, de acordo com o número médio de horas de sono diárias. O gráfico está dividido em 5 cores/partes, cujos dados são: Amarelo: 500; Roxo: 300; Verde: 200; Laranja: 100; Azul: 100. Ao lado uma legenda das cores: Verde: 10 horas. Roxo: 9 horas. Amarelo: 8 horas. Azul: 7 horas. Laranja: 6 horas. — Dados obtidos pelo Colégio Estudebem.

a) Qual é o número de horas de sono do maior grupo dos estudantes entrevistados?

b) É correto afirmar que mais da metade dos entrevistados dorme, em média, oito ou mais horas por dia?

c) Determine a medida dos ângulos centrais correspondentes a cada setor.

d) Classifique os ângulos de cada setor como reto, agudo ou obtuso.

21 Efetue.

a) 2 ⋅ 22graus30minutos

b) 5 ⋅ 25graus12minutos15segundos

c) 15graus20minutos : 4

d) 15graus10minutos24segundos : 4

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22 Considere a figura a seguir, em que x, y e z são as medidas dos ângulos indicados.

Ilustração. Duas retas diagonais cruzadas no centro ponto O. Destaque para os ângulos: z (maior), e x e y (opostos pelo vértice).

a) Quanto vale, em grau, x + z ? E z + y?

b) Qual é a relação entre x + z e z + y?

c) Qual é a relação entre x e y?

d) O que se pode concluir sobre as medidas de dois ângulos opostos pelo vértice quaisquer?

23 Considerando a figura do exercício 22, escreva um algoritmo, passo a passo, de como você faria uma demonstração da afirmação: quaisquer dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

24 Calcule.

\frac{2}{3}

de 15graus

\frac{3}{4}

de 90graus

\frac{2}{5}

de 48graus30′

\frac{5}{6}

de 60graus18′6″

25 Em uma folha de papel, Pedro construiu dois ângulos: um medindo 42graus e outro 28graus. Em seguida, ele recortou as representações desses ângulos para usá‑las como moldes. Em outra folha, empregando somente os moldes, sem utilizar transferidor, ele construiu outros ângulos com estas medidas: 70graus, 14graus, 56graus e 126graus.

Explique como Pedro fez para construir cada um desses ângulos.

26 Com o auxílio de um transferidor, construa quatro ângulos de medidas 45graus, 90graus, 63graus e 104graus.

Agora, usando somente régua e compasso, construa ângulos de medidas:

a) 27graus;

b) 149graus;

c) 108graus;

d) 135graus;

e) 14graus;

f) 77graus.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca!)

27 A imagem mostra turbinas eólicas (de vento). Pela rotação de suas hélices, obtemos energia eólica, que é a energia obtida pelo movimento do vento.

Nesta fotografia, supondo que os três ângulos destacados tenham a mesma medida, calcule essa medida.

Fotografia. Vista de um parque de turbinas eólicas (postes com pás que geram energia com o movimento do vento). Destaque para os ângulos entre as três pás. — Aerogeradores de parque eólico situado nas dunas da Praia de Mundaú, Trairi (Ceará). (Fotografia de 2015.)

Hora de criar – Troque com um colega um problema que cada um de vocês criou sobre operações com medidas de ângulos. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi‑los.

Bissetriz de um ângulo

Ilustração. Ângulo AOB, formado pelas semirretas OA e OB. Entre elas, a semirreta OC divide o ângulo AOB nos ângulos AOC e COB, ambos com medidas iguais a 30 graus.

Na figura verificamos:

• m

(A \hat{O} C)

= 30graus e

m (C \hat{O} B) = 30°

Então,

A \hat{O} C ≅ C \hat{O} B .

• A semirreta

\vec{O C}

divide o ângulo

A \hat{O} B

em dois ângulos congruentes.

Nesse caso, dizemos que

\vec{O C}

é bissetriz de

A \hat{O} B .

Bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.

Página 95

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

29 Observe a figura. Sabendo que

m (P \hat{Q} R) = m (R \hat{Q} S)

, a semirreta

\vec{Q R}

é o que em relação a

P \hat{Q} S

Ilustração. Ângulo PQS, formado pelas semirretas QP e QS. Entre elas, a semirreta QR divide o ângulo PQS nos ângulos PQR e RQS, ambos com medidas iguais a 25 graus.

30 Utilizando um transferidor, construa um ângulo de 115graus e trace sua bissetriz. Quais são as medidas dos ângulos obtidos?

31 Considere a figura e responda às questões a seguir no caderno, sabendo que

\vec{O D}

é bissetriz de

C \hat{O} E

\vec{O B}

é bissetriz de

A \hat{O} C

Ilustração. Semirretas: OA, OB, OC, OD e OE, com origem no ponto O. Os ângulos AOB e BOC estão indicados com um tracinho. Os ângulos COD e DOE estão indicados com dois tracinhos.

a) Se

m (A \hat{O} B)

= 20graus, quanto mede

A \hat{O} C

b) Se

m (C \hat{O} E)

= 70graus, quanto mede

C \hat{O} D

c) Se

m (A \hat{O} B)

= 24graus e

m (C \hat{O} E)

= 82graus, quanto mede

A \hat{O} D

32 Reproduza em uma folha de papel a figura e, em seguida, recorte‑a.

(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)

Ilustração. Paralelogramo OAPB, com indicação de 80 graus no ângulo interno do vértice O.

Agora, siga as instruções:

• Dobre a figura de modo que o lado

\overline{O A}

se sobreponha ao lado

\overline{O B}

• Desdobre a figura e trace

\vec{O C}

sobre a marca da dobra feita no papel.

• Dobre a figura inicial de modo que o lado

\overline{O A}

se sobreponha a

\vec{O C}

• Desdobre a figura e trace

\vec{O D}

sobre a marca da nova dobra.

• Agora, calcule a medida dos ângulos

A \hat{O} D

A \hat{O} C

B \hat{O} D

Hora de criar – Elabore um problema sobre medidas de ângulos formados pelas bissetrizes de dois ângulos suplementares. Troque‑o com um colega. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi‑los.

5. Ângulos formados por duas retas e por uma transversal

Na fotografia, observe a grade junto ao corrimão da escada. Podemos ver ângulos formados pelas barras paralelas ao corrimão com as barras verticais.

Fotografia. Vista lateral de uma escada com corrimão, composto por três barras paralelas ao corrimão e três barras verticais perpendiculares à escada, formando diversos paralelogramos. Destaque para quatro ângulos internos dos paralelogramos. Em vermelho: o ângulo superior direito e o ângulo inferior esquerdo. Em azul: o ângulo inferior direito de dois paralelogramos distintos.

•

Considere dois pares quaisquer desses ângulos. Sem usar um transferidor, o que você diria a respeito das medidas deles?

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Considere duas retas coplanares (retas que estão em um mesmo plano), r e s, cortadas por uma terceira reta t, chamada transversal. Essas retas determinam oito ângulos.

Ilustração. Retângulo contendo: uma reta s inclinada para baixo; abaixo dela, uma reta r inclinada para cima; sobre elas, uma reta t (transversal). As regiões acima da reta s e abaixo da reta r estão destacadas em amarelo. A região abaixo da reta s e acima da reta r está destacada em azul. Entre as retas t e s forma-se os ângulos: a e d (acima), e c e b (abaixo). Entre as retas t e r forma-se os ângulos: m e q (acima), e n e p (abaixo).

Na figura:

• os ângulos cujas indicações estão na faixa azul, entre as retas r e s, são chamados internos; assim, são internos os ângulos

\hat{b},

\hat{c},

\hat{m}

\hat{q},

de medidas b, c, m e q ;

• os ângulos cujas indicações estão na região amarela são chamados externos; assim, são externos os ângulos

\hat{a},

\hat{n}

\hat{p},

de medidas a, d, n e p.

Esses oito ângulos, combinados dois a dois, recebem nomes especiais, como veremos a seguir.

Ângulos correspondentes

Dois ângulos são correspondentes quando um é interno e o outro é externo, não têm o mesmo vértice e estão situados em um mesmo lado em relação à transversal. Os ângulos destacados nas figuras são correspondentes.

Ilustração. Reta r na horizontal e reta s inclinada para baixo. Sobre elas, uma reta t (reta transversal), com destaque para: o ângulo a, na parte superior esquerda (entre as retas t e s) e o ângulo m, na parte superior esquerda (entre as retas t e r). Ilustração. Reta r na horizontal e reta s inclinada para baixo. Sobre elas, uma reta t (reta transversal), com destaque para: o ângulo b, na parte inferior esquerda (entre as retas t e s) e o ângulo n, na parte inferior esquerda (entre as retas t e r). Ilustração. Reta r na horizontal e reta s inclinada para baixo. Sobre elas, uma reta t (reta transversal), com destaque para: o ângulo d, na parte superior direita (entre as retas t e s) e o ângulo q, na parte superior direita (entre as retas t e r). Ilustração. Reta r na horizontal e reta s inclinada para baixo. Sobre elas, uma reta t (reta transversal), com destaque para: o ângulo c, na parte inferior direita (entre as retas t e s) e o ângulo p, na parte superior direita (entre as retas t e r).

Observe a relação que existe entre ângulos correspondentes e retas paralelas. Para isso, vamos traçar uma reta s paralela a uma reta r usando régua e esquadro.

1. Vamos considerar a reta r e um ponto P fóra da reta.

Ilustração. Reta r, inclinada para cima. Abaixo, à direita, ponto P.

2. Posicionamos um esquadro e uma régua como mostra a figura.

Ilustração. Reta r, inclinada para cima. O lado maior de um esquadro contorna a reta r. O esquadro está apoiado sobre uma régua. O esquadro e a régua não encobrem o ponto P.

3. Deslizamos o esquadro apoiado na régua até chegar ao ponto P.

Ilustração. Reta r, inclinada para cima. O esquadro continua apoiado sobre a régua, mas encontra-se afastado da reta r, em que o lado maior do esquadro agora tangencia o ponto P.

4. Traçamos a reta s, que é paralela à reta r. Mantendo a régua apoiada no papel, indicamos por a e b as medidas dos ângulos correspondentes determinados.

Ilustração. Reta r, inclinada para cima, e reta s, paralela a reta r, passando pelo ponto P. Abaixo, uma régua. A régua faz com a reta r um ângulo a e com a reta s, um ângulo b.

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Note que construímos dois ângulos correspondentes congruentes (de medidas iguais, a = b) e obtivemos retas paralelas, visto que estão igualmente inclinadas sobre a régua.

Logo:

Se uma transversal corta duas retas formando ângulos correspondentes congruentes, então essas retas são paralelas.

O inverso também é verdadeiro:

Se duas retas são paralelas, então os ângulos correspondentes formados com uma transversal são congruentes.

Essa propriedade permite descobrir medidas de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal conhecendo‑se a medida de apenas um dos ângulos. Acompanhe um exemplo.

Considerando a figura, em que r ⫽ s, vamos descobrir o valor de x para calcular a medida dos ângulos assinalados.

Ilustração. Retas r e s paralelas, na horizontal. Sobre elas, reta t transversal (inclinada para cima). Na figura, estão destacados os ângulos agudos correspondentes; entre as retas t e r: ângulo com medida 2x mais 6 graus; e entre as retas t e s: ângulo com medida 3x menos 16 graus.

Os ângulos destacados são congruentes, pois são ângulos correspondentes formados por duas retas paralelas e uma transversal. Logo, devemos escrever a igualdade:

2x + 6graus = 3x ‒ 16graus

2x ‒ 3x = ‒16graus ‒ 6graus

‒x = ‒22graus

x = 22graus

Substituindo x por 22graus nas expressões 2x + 6graus e 3x ‒ 16graus, obtemos a medida dos ângulos assinalados, que devem ser iguais.

2x + 6graus = 2 ⋅ 22graus + 6graus = 44graus + 6graus = 50graus

3x ‒ 16graus = 3 ⋅ 22graus ‒ 16graus = 66graus ‒ 16graus = 50graus

Portanto, os ângulos assinalados na figura anterior medem 50graus.

Clique no play e acompanhe as informações do vídeo.

EXERCÍCIO PROPOSTO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

34 Nas figuras a seguir, r ⫽ s e t é transversal. Determine as medidas x e y dos ângulos destacados.

Ilustração. Retas r e s paralelas e, sobre elas, uma reta t transversal. Entre as retas t e r, o ângulo obtuso com medida 120 graus. Entre as retas t e s, os ângulos com medida x (obtuso) e y (agudo).

Ilustração. Retas r e s paralelas e, sobre elas, uma reta t transversal. Entre as retas t e r, os ângulos com medida x (obtuso) e 70 graus. Entre as retas t e s, o ângulo obtuso com medida y graus.

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Ângulos alternos internos e ângulos alternos externos

Vamos considerar duas retas coplanares, r e s, e uma transversal, t.

Dois ângulos são alternos internos quando são internos, não têm o mesmo vértice e estão situados em lados opostos em relação à transversal. Os ângulos destacados nas figuras são alternos internos.

Ilustração. Reta s na horizontal e reta r inclinada para baixo. Sobre elas, uma reta t (reta transversal), com destaque para os ângulos alternos internos: o ângulo a, na parte inferior esquerda (entre as retas t e r) e o ângulo b, na parte superior direita (entre as retas t e s). Ilustração. Reta s na horizontal e reta r inclinada para baixo. Sobre elas, uma reta t (reta transversal), com destaque para os ângulos alternos internos: o ângulo c, na parte inferior direita (entre as retas t e r) e o ângulo d, na parte superior esquerda (entre as retas t e s).

Dois ângulos são alternos externos quando são externos, não têm o mesmo vértice e estão situados em lados opostos em relação à transversal. Os ângulos destacados a seguir são alternos externos.

Ilustração. Reta s na horizontal e reta r inclinada para baixo. Sobre elas, uma reta t (reta transversal), com destaque para os ângulos alternos externos: o ângulo m, na parte superior esquerda (entre as retas t e r) e o ângulo n, na parte inferior direita (entre as retas t e s). Ilustração. Reta s na horizontal e reta r inclinada para baixo. Sobre elas, uma reta t (reta transversal), com destaque para os ângulos alternos externos: o ângulo p, na parte superior direita (entre as retas t e r) e o ângulo q, na parte inferior esquerda (entre as retas t e s).

Vamos considerar as retas paralelas r e s cortadas pela transversal t na figura.

Ilustração. Duas retas horizontais paralelas, r e s. Sobre elas, uma reta transversal, t, com destaque para: o ângulo a, na parte superior direita (entre as retas t e s); o ângulo c, na parte superior direita (entre as retas t e r); e o ângulo b, na parte inferior esquerda (entre as retas t e r).

Os ângulos de medidas a e b são alternos internos.

Então, verificamos:

• a = c, pois são medidas de ângulos correspondentes formados pelas paralelas r e s com a transversal t;

• c = b, pois são medidas de ângulos opostos pelo vértice.

Logo, a = b, pois ambas as medidas são iguais a c.

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Isso significa que:

Se duas retas são paralelas, então os ângulos alternos internos formados com uma transversal são congruentes.

Ilustração. Duas retas horizontais e paralelas, r e s. Sobre elas, uma reta transversal t, com destaque para os ângulos alternos internos m e n. O ângulo m, na parte inferior esquerda (entre as retas t e r). O ângulo n, na parte superior direita (entre as retas t e s). Uma legenda indica que os ângulos m e n são congruentes. Ilustração. Duas retas horizontais e paralelas, r e s. Sobre elas, uma reta transversal t, com destaque para os ângulos alternos internos p e q. O ângulo p, na parte inferior direita (entre as retas t e r). O ângulo q, na parte superior esquerda (entre as retas t e s). Uma legenda indica que os ângulos p e q são congruentes.

Essa propriedade também é válida para os ângulos alternos externos:

Se duas retas são paralelas, então os ângulos alternos externos formados com uma transversal são congruentes.

Ilustração. Duas retas horizontais e paralelas, r e s. Sobre elas, uma reta transversal t, com destaque para os ângulos alternos externos a e b. O ângulo a, na parte superior direita (entre as retas t e r). O ângulo b, na parte inferior esquerda (entre as retas t e s). Uma legenda indica que os ângulos a e b são congruentes. Ilustração. Duas retas horizontais e paralelas, r e s. Sobre elas, uma reta transversal t, com destaque para os ângulos alternos externos c e d. O ângulo c, na parte superior esquerda (entre as retas t e r). O ângulo d, na parte inferior direita (entre as retas t e s). Uma legenda indica que os ângulos c e d são congruentes.

Conforme vimos, também podemos descobrir as medidas de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal conhecendo a medida de apenas um dos ângulos.

Acompanhe o exemplo.

Na figura, r ⫽ s e t é transversal. Vamos calcular os valores de x, y e z.

Ilustração. Duas retas horizontais paralelas, r e s. Sobre elas, uma reta t transversal com alguns ângulos destacados. Um ângulo de medida 60 graus entre as retas t e r. Um ângulo y, entre as retas t e s, correspondente ao ângulo medindo 60 graus. Um ângulo x, oposto ao vértice com o ângulo y. Um ângulo z, entre as retas t e s, na parte inferior esquerda.

O ângulo de medida 60graus e o ângulo de medida x são alternos externos, formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal. Então, x = 60graus.

Sabemos também que y = 60graus, pois x e y são medidas de ângulos opostos pelo vértice.

Como x + z = 180graus, pois x e z são medidas de ângulos suplementares, obtemos:

60graus + z = 180graus

z = 120graus

Portanto, x = 60graus, y = 60graus e z = 120graus.

Página 100

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

35 Considere a figura, em que r ⫽ s e x, y e z são as medidas dos ângulos

\hat{x},

\hat{y}

\hat{z}

respectivamente.

Ilustração. Duas retas horizontais paralelas, r e s. Sobre elas, uma reta t transversal com alguns ângulos destacados. Um ângulo (agudo) de medida x graus, entre as retas t e r. Um ângulo z, oposto pelo vértice ao ângulo x. Um ângulo y, entre as retas t e s, correspondente ao ângulo medindo z graus.

a) Os ângulos

\hat{x} e \hat{y}

são ângulos alternos externos?

b) Os ângulos

\hat{x} e \hat{z}

são ângulos complementares, suplementares ou opostos pelo vértice? Qual é a relação entre x e z?

c) Os ângulos

\hat{z} e \hat{y}

são ângulos correspondentes? Qual é a relação entre z e y?

d) Comparando as respostas dos itens b e c, conclua qual é a relação entre x e y.

36 Trace uma linha reta representando uma estrada principal e marque nela os pontos a e D. Com régua e transferidor, trace o roteiro de um caminho, seguindo as indicações e usando a medida de 1 centímetro para representar 100 métros. Considerando o sentido de a para D, no ponto a da estrada principal, gire para a esquerda 58graus e ande 500 métros, marcando o ponto B. Gire para a esquerda 122graus e ande mais 300 métros, marcando o ponto C.

Agora responda: o segmento

\overline{B C}

é paralelo à estrada principal? Por quê?

37 Determine as medidas x e y, considerando que r ⫽ s e que t é transversal.

Ilustração. Duas retas horizontais paralelas, r e s. Sobre elas, uma reta t transversal com alguns ângulos destacados: 4x, y e 60 graus. Os ângulos de medidas 4x graus e 60 graus são alternos internos. O ângulo de medida y graus é externo, obtuso, sobre as retas t e s.

38 Copie a figura a seguir, em que as retas

\overset{\leftrightarrow}{P Q}

\overset{\leftrightarrow}{B C}

são paralelas e a, b e c são medidas dos ângulos.

lustração. Duas retas horizontais paralelas. Na reta superior, os pontos P, A e Q. Na reta inferior, os pontos B e C. Triângulo ABC, formando os ângulos: a, b e c, correspondentes aos vértices A, B e C, respectivamente.

a) Qual é a medida de

P \hat{A} B ?

E de

Q \hat{A} C ?

b) Qual é a soma das medidas dos ângulos

P \hat{A} B, B \hat{A} C, Q \hat{A} C ?

E a dos ângulos internos do triângulo á bê cê?

c) O resultado obtido no item b vale para a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo?

Ângulos colaterais internos e ângulos colaterais externos

Vamos considerar duas retas coplanares, r e s, e uma transversal, t.

Dois ângulos são colaterais internos se são internos, não têm o mesmo vértice e estão situados no mesmo lado em relação à transversal. Observe em destaque nas figuras a seguir alguns ângulos colaterais internos.

Ilustração. Reta r na horizontal e reta s inclinada para baixo. Sobre elas, uma reta t (reta transversal), com destaque para os ângulos colaterais internos: um ângulo na parte inferior esquerda (entre as retas t e r) e um ângulo na parte superior esquerda (entre as retas t e s). Ilustração. Reta r na horizontal e reta r inclinada para baixo. Sobre elas, uma reta t (reta transversal), com destaque para os ângulos colaterais internos: um ângulo na parte inferior direita (entre as retas t e r) e um ângulo na parte superior direita (entre as retas t e s).

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Dois ângulos são colaterais externos se são externos, não têm o mesmo vértice e estão situados no mesmo lado em relação à transversal. Nas figuras a seguir, destacamos alguns ângulos colaterais externos.

Ilustração. Reta r na horizontal e reta s inclinada para baixo. Sobre elas, uma reta t (reta transversal), com destaque para os ângulos colaterais externos: um ângulo na parte superior esquerda (entre as retas t e r) e um ângulo na parte inferior esquerda (entre as retas t e s). Ilustração. Reta r na horizontal e reta r inclinada para baixo. Sobre elas, uma reta t (reta transversal), com destaque para os ângulos colaterais externos: um ângulo na parte superior direita (entre as retas t e r) e um ângulo na parte inferior direita (entre as retas t e s).

Considere, na nova figura a seguir, as retas paralelas r e s, cortadas pela transversal t.

Ilustração. Duas retas horizontais paralelas, r e s. Sobre elas, uma reta transversal, t, com destaque para: o ângulo c, na parte superior direita (entre as retas t e r); o ângulo b, na parte inferior direita (entre as retas t e r); e o ângulo a, na parte superior direita (entre as retas t e s).

Os ângulos de medidas a e b são colaterais internos. Então, verificamos:

• a = c, pois são medidas de ângulos correspondentes formados pelas retas paralelas r e s com a transversal t ;

• c + b = 180graus, pois são medidas de ângulos suplementares.

Logo: a + b = 180graus.

Isso significa que:

Se duas retas são paralelas, então os ângulos colaterais internos formados com uma transversal são suplementares.

Ilustração. Duas retas horizontais e paralelas, r e s. Sobre elas, uma reta transversal t, com destaque para os ângulos colaterais internos a e b. O ângulo a, na parte inferior esquerda (entre as retas t e r). O ângulo b, na parte superior esquerda (entre as retas t e s). Uma legenda indica que: a medida do ângulo a mais a medida do ângulo b é igual a 180 graus. Ilustração. Duas retas horizontais e paralelas, r e s. Sobre elas, uma reta transversal t, com destaque para os ângulos colaterais internos m e n. O ângulo m, na parte inferior direita (entre as retas t e r). O ângulo n, na parte superior direita (entre as retas t e s). Uma legenda indica que: a medida do ângulo m mais a medida do ângulo n é igual a 180 graus.

Essa propriedade também é válida para ângulos colaterais externos formados por duas paralelas cortadas por uma transversal:

Se duas retas são paralelas, então os ângulos colaterais externos formados com uma transversal são suplementares.

Ilustração. Duas retas horizontais e paralelas, r e s. Sobre elas, uma reta transversal t, com destaque para os ângulos colaterais externos c e d. O ângulo c, na parte superior esquerda (entre as retas t e r). O ângulo d, na parte inferior esquerda (entre as retas t e s). Uma legenda indica que: a medida do ângulo c mais a medida do ângulo d é igual a 180 graus. Ilustração. Duas retas horizontais e paralelas, r e s. Sobre elas, uma reta transversal t, com destaque para os ângulos colaterais externos p e q. O ângulo p, na parte superior direita (entre as retas t e r). O ângulo q, na parte inferior direita (entre as retas t e s). Uma legenda indica que: a medida do ângulo p mais a medida do ângulo q é igual a 180 graus.

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Com essas propriedades, podemos resolver problemas que envolvam medidas de ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Acompanhe um exemplo.

Vamos calcular a medida dos ângulos assinalados na figura, em que r ⫽ s.

Ilustração. Retas paralelas horizontais r e s e, sobre elas, reta transversal t (inclinada para cima). Na figura, estão destacados os ângulos colaterais internos (à direita). Entre as retas t e r: ângulo com medida 5x mais 36 graus. Entre as retas t e s: ângulo com medida 4x menos 9 graus.

Os ângulos destacados são suplementares, pois são ângulos colaterais internos, formados por duas retas paralelas e uma transversal. Então:

(5x + 36graus) + (4x ‒ 9graus) = 180graus

5x + 4x = 180graus ‒ 36graus + 9graus

9x = 153graus

\frac{9 x}{9} = \frac{153 °}{9}

x = 17graus

Substituindo x por 17graus nas expressões 5x + 36graus e 4x ‒ 9graus, obtemos as medidas dos ângulos assinalados, cuja soma deve ser 180graus.

5x + 36graus = 5 ⋅ 17graus + 36graus = 121graus

4x ‒ 9graus = 4 ⋅ 17graus ‒ 9graus = 59graus

121graus + 59graus = 180graus

Portanto, os ângulos assinalados medem 121graus e 59graus.

Ângulos formados por duas retas paralelas e uma reta transversal com o uso de software

Podemos utilizar softwares matemáticos em uma série de situações, como verificar relações entre medidas de ângulos formados por duas retas paralelas e uma reta transversal.

1º passo

Ilustração. Tela similar a de um software de geometria analítica. Na parte superior, há uma barra com diversos botões. Da esquerda para a direita, os botões correspondem às ferramentas: ponto, circunferência, reta, interseção entre dois objetos, lápis, seta, mover, medir.
Abaixo, aparecem da esquerda para a direita os botões que correspondem às seguintes ferramentas: reta, semirreta, segmento de reta, reta paralela e reta perpendicular. No canto superior direito aparecem os botões minimizar, maximizar e fechar. Na tela estão representados os pontos A e B, e, passando sobre eles, uma reta f.

Em geral, as ferramentas ficam na parte superior da tela. Selecione a ferramenta “Reta” e clique em dois pontos quaisquer da tela para criar uma reta

\overset{\leftrightarrow}{A B} .

2º passo

Repita o procedimento para obter as retas

\overset{\leftrightarrow}{C D} e \overset{\leftrightarrow}{A C} .

Selecionando a ferramenta “Mover”, é possível movimentar o ponto C ao longo da reta

\overset{\leftrightarrow}{C D}

e verificar que as congruências de vários pares de ângulos formados continuam valendo.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

39 Mostre que os ângulos colaterais externos formados por duas retas paralelas e uma transversal são suplementares.

40 Sendo r ⫽ s, determine as medidas x, y e z.

Ilustração. Retas paralelas horizontais r e s e, sobre elas, reta transversal t (inclinada para baixo). Na figura, estão destacados os ângulos colaterais externos. À direita, os ângulos com medidas: x mais 36 graus (agudo) e 5x graus (obtuso). À esquerda, os ângulos com medidas: y grau (obtuso) e z grau (agudo).

41 Quem tem razão na conversa a seguir, Mário ou Vilma? Justifique sua resposta.

Ilustração. À esquerda, rapaz loiro de camisa laranja e calça preta. Ele fala: As retas r e s são paralelas. Ao lado, menina de cabelo preto, blusa rosa e calça roxa. Ela segura uma folha com o desenho de duas retas r e s, inclinadas para cima e, sobre elas, uma reta transversal t. Há um destaque para os ângulos internos com medidas de 55 graus (entre as retas t e r) e de 56 graus (entre as retas t e s). A menina fala: Elas não são paralelas.

42 Os ângulos mencionados a seguir são formados por duas retas paralelas e uma transversal. Identifique as sentenças falsas e corrija‑as. Os ângulos:

a) correspondentes são suplementares;

b) alternos internos são congruentes;

c) alternos externos são complementares;

d) colaterais internos são congruentes;

e) colaterais externos são suplementares.

43 Sendo r ⫽ s ⫽ t, calcule as medidas x e y dos ângulos destacados nas figuras.

Ilustração. Três retas paralelas diagonais r, s e t, e sobre elas, reta transversal horizontal. Na figura, estão destacados os ângulos: alternos internos, entre as retas r e s, de 42 graus e x grau; e o ângulo y, na reta t, alterno interno com o ângulo de medida 42 graus.

Ilustração. Três retas paralelas horizontais t, s e r. Um segmento de reta (inclinado para cima) é transversal às retas t e s. Um segmento de reta (inclinado para baixo) é transversal às retas s e r. Entre t e o segmento de reta inclinado para cima, o ângulo com medida de 30 graus. Entre s e o segmento de reta inclinado para cima, o ângulo com medida de x grau. Entre s e o segmento de reta inclinado para baixo, o ângulo com medida de y grau. Entre r e o segmento de reta inclinado para baixo, o ângulo com medida de 25 graus.

44 Sendo r ⫽ s e u ⫽ v, calcule as medidas a, x e y nas figuras.

Ilustração. Duas retas paralelas horizontais r e s. Um segmento de reta (inclinado para baixo) faz um ângulo de medida 23 graus com a reta r. Um segmento de reta (inclinado para cima) faz um ângulo de medida 37 graus com a reta s. O ponto de encontro entre os dois segmentos de reta forma um ângulo agudo com medida a grau.

Ilustração. Duas retas paralelas horizontais, r e s. Duas retas paralelas, inclinadas à direita, u e v. As retas cruzam entre si e formam um paralelogramo, com alguns de seus ângulos internos destacados. Ângulo superior esquerdo mede 130 graus. Ângulo inferior esquerdo mede x grau. Ângulo inferior direito mede y grau.

45 Na figura do triângulo á bê cê, foram traçadas duas retas paralelas ao lado

\overline{B C}

: uma reta pelo vértice a e a reta

\overset{\leftrightarrow}{M N}

. A medida do ângulo

A \hat{B} C

é 38,5graus, e a medida do ângulo

M \hat{N} A

é 64,5graus.

Ilustração. Triângulo ABC, com base BC. Sobre os lados AB e AC, os pontos M e N, respectivamente, tais que uma reta determinada pelo segmento MN é paralela a uma reta que passa pelo segmento BC. Sobre o vértice A, outra reta paralela à reta BC. Na parte interna do triângulo, estão destacados os ângulos ABC e MNA.

a) Qual é a medida do ângulo

A \hat{M} N ?

b) Qual é a medida do ângulo

B \hat{M} N ?

c) Qual é a medida do ângulo

B \hat{C} A ?

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TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Gráficos de setores

Gráficos de setores são usados principalmente quando se deseja relacionar entre si as partes do que está sendo representado, ou relacionar cada parte com o todo.

Vamos analisar a situação a seguir.

Um fabricante de jogos de videogame fez uma pesquisa para saber quais são os principais critérios de avaliação para determinar o interesse e a decisão de compra de um jogo voltado ao público infantojuvenil. O gráfico mostra o resultado da pesquisa feita com jovens de 10 a 15 anos. Observe como o gráfico ajuda a perceber a distribuição das opiniões por critério de avaliação.

Gráfico de setores. Título: Principais critérios de avaliação de um jogo de videogame. Os dados são: Visual: 28%. Roteiro: 24%. Jogabilidade: 23%. Trilha sonora: 13%. Detalhes: 12%. — Dados obtidos pelo fabricante de jogos.

Ilustração. Grupo com cinco jovens reunidos.

Se medirmos com um transferidor o ângulo do gráfico referente à jogabilidade, por exemplo, encontraremos aproximadamente 83graus. Se calcularmos 23% de 360graus, obteremos 82,8graus.

Com o transferidor, o setor relativo a roteiro medirá cêrca de 86graus, e 24% de 360graus é 86,4graus.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

A tabela contém o resultado da mesma pesquisa, mas agora realizada com jovens de 16 a 18 anos. Copie essa tabela e complete‑a com as medidas em grau, obtidas com o uso de uma calculadora. Depois, meça os ângulos dos setores do gráfico com um transferidor e compare os resultados.

Principais critérios de avaliação de um jogo de videogame
Categoria	Porcentagem	Grau
trilha sonora	10%
detalhes	18%
visual	41%
roteiro	19%
jogabilidade	12%

Dados obtidos pelo fabricante de jogos.

Gráfico de setores. Título: Principais critérios de avaliação de um jogo de videogame. Os dados são: Visual: 41%. Roteiro: 19%. Detalhes: 18%. Jogabilidade: 12%. Trilha sonora: 10%. — Dados obtidos pelo fabricante de jogos.

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2 No gráfico da atividade 1, qual é a soma das porcentagens de todos os setores?

3 Os gráficos a seguir indicam a distribuição da população brasileira por cor de pele, em relação ao total de pessoas no Brasil em 2000 e em 2019. Calcule as medidas aproximadas dos setores e, depois, confira‑as com o transferidor.

Gráfico de setores. Título: Distribuição da população brasileira por cor de pele no ano de 2000. Os dados são: Branca: 53,7%. Parda: 38,4%. Preta: 6,2%. Amarela ou indígena: 0,9%. Não declarada: 0,7%. — Dados obtidos em: í bê gê É. Disponível em: https://oeds.link/yDObUe. Acesso em: 19 maio 2022.

Gráfico de setores. Título: Distribuição da população brasileira por cor de pele no ano de 2019. Os dados são: Branca: 42,7%. Parda: 46,8%. Preta: 9,4%. amarela ou indígena: 1,1% — Dados obtidos em: Conheça o Brasil ‑ População COR OU RAÇA. Disponível em: https://oeds.link/v65IkJ. Acesso em: 19 maio 2022.

Agora, compare cada setor do gráfico de 2000 com o setor da respectiva cor de pele do gráfico de 2019 e escreva as alterações que ocorreram nesses dezenove anos.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Resolva a questão a seguir.

(ú éfe érre érre jota) A figura mostra a trajetória de uma bola de bilhar. Sabe‑se que, quando ela bate na lateral da mesa (retangular), fórma um ângulo de chegada que sempre é igual ao ângulo de saída. A bola foi lançada da caçapa a, formando um ângulo de 45graus com o lado

\overline{A D} .

Ilustração. Esquema da trajetória de uma bola em uma mesa de bilhar. Retângulo ABCD, de base AD e altura AB. Os ângulos de cada vértica está destacado. Uma linha parte do vértice A até um ponto do lado BC, de modo que forma um ângulo de 45 graus com o lado AD. Desse ponto em BC, parte outra linha em direção ao lado CD, onde se encontra a bola. As linhas no lado BC formam três ângulos internos: dois deles ter marcações de congruência e o ângulo do meio tem medida x grau.

Sabendo‑se que o lado

\overline{A B}

mede duas unidades e

\overline{B C}

mede 3 unidades, a bola:

a) cairá na caçapa a.

b) cairá na caçapa B.

c) cairá na caçapa C.

d) cairá na caçapa D.

e) não cairá em nenhuma caçapa.

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Usando régua e transferidor, construa um ângulo reto e, a partir dele, um ângulo de 45graus e um de 22graus30minutos.

2 Na figura a seguir, vista de cima, a cabeça de um parafuso tem a fórma de um hexágono com lados de mesma medida e com ângulos congruentes de 60graus.

Ilustração. Vista de cima da cabeça de um parafuso, de formato hexagonal. Ao redor dela, esboço de uma chave que gira da direita para esquerda. A medida do ângulo, com origem no centro do parafuso formado pelas duas retas diagonais do movimento da chave, é 60 graus.

A cada movimento que um mecânico faz com a chave, o parafuso gira 60graus. Quantos movimentos iguais a esse o mecânico deve fazer para que o parafuso dê:

a) meia‑volta;

b) uma volta completa.

• Qual é a medida do ângulo interno desse hexágono? E a do ângulo externo?

3 Uma das manobras de skate chama‑se 900graus. Nessa manobra, o esqueitista dá um giro equivalente a quantas voltas?

4 Acompanhe a descrição do caminho que Ângela percorreu:

• Inicialmente, caminhei 10 métros em linha reta.

• Depois, girei 90graus à esquerda e avancei 10 métros novamente.

• Em seguida, girei 90graus à esquerda e avancei mais 20 métros.

Quantos graus Ângela deverá girar à esquerda para retornar ao ponto de partida em linha reta?

5 Determine as medidas x e y da figura.

Ilustração. Duas retas com inclinações opostas (para baixo e para cima) que se cruzam em um ponto, com destaque para três ângulos. À esquerda, um ângulo agudo com medida 5x menos 15 graus. Oposto pelo vértice a ele, o ângulo com medida 4x mais 5 graus. Acima, o ângulo com medida y grau.

6 No triângulo

\overset{\leftrightarrow}{M N}

⫽

\overline{B C} .

Calcule as medidas xis e y.

7 Calcule o valor de xis em cada figura.

Ilustração. Ângulo reto AOC, determinado pelas semirretas OA e OC. Entre elas, a semirreta OB. O ângulo AOB tem medida x grau. O ângulo BOC tem medida 2x menos 30 graus.

Ilustração. Ângulo raso AOB, determinado pelas semirretas OA e OB. Entre elas, a semirreta OC. O ângulo AOC (agudo) tem medida 2x graus. O ângulo BOC (obtuso) tem medida 7x graus.

8 Sendo r ⫽ s ⫽ t, calcule as medidas a, b, c, d, xis e y nas figuras.

Ilustração. Três retas paralelas horizontais r, s e t;, sobre elas, uma reta transversal (inclinada para cima). Entre as reta r e a transversal, o ângulo com medida de 133 graus e o ângulo com medida a grau. Entre as reta s e a transversal (abaixo e à direita), o ângulo com medida de b grau. Entre as reta t e a transversal: o ângulo (acima e à direita) com medida de c grau; e o ângulo (abaixo e à esquerda) com medida de d grau.

Ilustração. Três retas paralelas verticais r, s e t;, sobre elas, duas retas transversais com inclinações opostas (para baixo e para cima). Entre as reta r e a inclinada para cima, o ângulo obtuso com medida de x grau. Entre as reta s e a inclinada para cima, o ângulo com medida de 38 graus. Entre as reta s e a inclinada para baixo, o ângulo com medida de 47 graus. Entre as reta t e a inclinada para cima, o ângulo agudo com medida de y grau.

Página 107

VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Na imagem a seguir, supondo duas retas paralelas cortadas por duas transversais, são congruentes os ângulos:

Ilustração. Duas retas paralelas horizontais; sobre elas, duas retas transversais com inclinações opostas (para baixo e para cima). Todos os ângulos internos, entre as paralelas e as transversais, estão destacados. Sobre a reta horizontal de cima, da esquerda para a direita, os ângulos com medida: A, B, C e D graus. Sobre a reta horizontal de baixo, da esquerda para a direita, os ângulos com medida: I, J, K e L graus. Os ângulos centrais, entre as retas transversais têm medida: E (agudo), F (obtuso), G (agudo) e H (obtuso).

\hat{A} e \hat{D}

\hat{B} e \hat{K}

\hat{E} e \hat{H}

\hat{C} e \hat{I}

2 Na imagem da questão 1, os pares de ângulos

\hat{E} e \hat{G} e

\hat{A} e \hat{L}

são congruentes pois são, respectivamente:

a) opostos pelo vértice e alternos externos.

b) opostos pelo vértice e alternos internos.

c) adjacentes e colaterais externos.

d) opostos pelo vértice e colaterais externos.

3 A representação correta de 5graus48minutos1segundos em segundo é:

a) .18000segundos

b) .20880segundos

c) .18481segundos

d) .20881segundos

4 Alguns aparelhos de GPS fornecem a medida da distância angular por meio da localização em grau, minuto e segundo. Qual é a medida da distância angular entre duas pessoas que estão na linha do Equador, sendo que uma está em 41graus20minutos5segundos Leste e a outra em 15graus53′58″ Oeste?

a) 57graus24segundos3segundos

b) 66graus14minutos3segundos

c) 57graus14minutos3segundos

d) 66graus24minutos3segundos

\frac{1}{3}

de 56graus28minutos15segundos equivale a:

a) 18graus49minutos25segundos

b) 28graus59minutos15segundos

c) 18graus19minutos25segundos

d) 28graus19minutos25segundos

6 A bissetriz de um ângulo divide‑o em dois ângulos:

a) adjacentes e correspondentes.

b) colaterais e alternos internos.

c) congruentes e opostos pelo vértice.

d) congruentes e adjacentes.

7 Dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas for igual a:

a) 45graus.

b) 90graus.

c) 180graus.

d) 360graus.

8 Quais são, respectivamente, as medidas dos ângulos complementar e suplementar a um ângulo que mede 78graus22minutos?

a) 11graus38minutos e 101graus38minutos

b) 101graus38minutos e 11graus38minutos

c) 111graus48minutos e 21graus48minutos

d) 21graus48minutos e 111graus48minutos

9 Assinale a alternativa que apresenta dois pares de ângulos opostos pelo vértice em destaque.

Ilustrações. Item a. Duas retas horizontais paralelas. Sobre elas, uma reta transversal (inclinada para baixo). Destaque para os ângulos: entre a reta horizontal de cima e a transversal, o ângulo superior direito; entre a reta horizontal de baixo e a transversal, o ângulo inferior esquerdo.
Item b. Reta horizontal e uma reta transversal (inclinada para baixo). Destaque para: o ângulo superior esquerdo e o ângulo inferior direito.
Item c. Reta horizontal e uma reta transversal (inclinada para cima). Destaque para: o ângulo superior esquerdo e o ângulo superior direito.
Item d. Duas retas horizontais paralelas. Sobre elas, uma reta transversal (inclinada para cima). Destaque para os ângulos: entre a reta horizontal de cima e a transversal, o ângulo inferior direito; entre a reta horizontal de baixo e a transversal, o ângulo superior direito.

10 Na planta de uma obra, um engenheiro verificou que a rampa de acessibilidade, em desacordo com normas técnicas, apresentava um ângulo de inclinação de 9graus24minutos. Para corrigi-lo, decidiu traçar, na planta, a bissetriz desse ângulo. O ângulo da nova inclinação passou a medir:

a) 18graus48minutos

b) 4graus17minutos

c) 4graus42minutos

d) 4graus12minutos

11 Dois ângulos colaterais externos formados com uma transversal são:

a) complementares.

b) suplementares.

c) congruentes.

d) opostos pelo vértice.

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, faça o que se pede.

a) Escreva, com suas palavras, o que é um ângulo.

b) Quais são os submúltiplos do grau? Escreva a relação entre o grau e seus submúltiplos.

c) Qual estratégia você usa para efetuar operações com medidas de ângulos em grau e seus submúltiplos?

d) Reflita sobre a afirmativa: dois ângulos podem ser complementares e também suplementares.

e) Em quais situações, estudadas neste capítulo, há pares de ângulos congruentes?