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CAPÍTULO 8 Simetria e ângulos

Fotografia. Vista noturna de templo todo dourado e com telhados curvos que têm formato de figuras simétricas. À frente do templo lago com imagem do templo refletida na água. — Templo de Lótus, localizado em Nova Délhi, na Índia. (Fotografia de 2019.)

Observe a imagem e responda às questões no caderno.

a) O que aconteceria com com cada parte da imagem da fachada do Templo de Lótus, se ela fosse dividida por uma reta vertical imaginária traçada pelo seu centro?

b) Você conhece alguma construção na região onde mora, em que, se fosse traçada uma reta imaginária pelo centro, seriam obtidas duas partes praticamente iguais? Se conhecer, comente com os colegas sobre essa construção.

A arquitetura frequentemente emprega a simetria como um instrumento a serviço da beleza. A simetria transmite um sentimento de equilíbrio e harmonia.

Mesmo quando há apenas uma “quase simetria”, a ideia ou a visão intuitiva das figuras simétricas está presente.

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1. Reconhecendo a simetria

A natureza produz fórmas de extrema beleza. Não há quem não admire o equilíbrio e a harmonia de figuras como as que aparecem nas fotografias a seguir.

Fotografia. Borboleta com asas abertas. As cores das asas são: amarela, preta e vermelha. Fotografia. Flor com pétalas rosa e miolo amarelo com linhas verdes ao redor. — A disposição da estrutura das asas da borboleta e da flor confere a elas uma beleza incomparável. (As imagens não respeitam as proporções reais entre os seres vivos.)

Note que podemos imaginar – tanto para a figura da borboleta quanto para a da flor – uma linha reta que as divida em duas partes praticamente iguais. Essa é a ideia da simetria presente na natureza. O ser humano apropria-se dessa ideia em suas criações, como podemos ver na reprodução da obra a seguir.

Pintura. Homem de cabelo curto, camisa branca está abaixado próximo a um lago. Ele vê sua imagem refletida na água. — Nessa obra, o personagem da mitologia grega Narciso e sua imagem no espêlho da água de um lago compõem um exemplo de situação que nos dá a ideia de simetria. caravádio, M. M. Narciso. 1597‑1599. Óleo sobre tela. 113,3 por 94 centímetros.

Mas, afinal, o que é simetria?

Mesmo sem conhecer a definição desse conceito, é possível reconhecer intuitivamente a simetria em várias figuras planas.

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Vamos fazer um pequeno experimento para obter uma figura que apresente simetria. Pegue uma folha de papel e uma tesoura de pontas arredondadas. Tome cuidado ao manuseá-la!

Passo 1: Dobre a folha de papel, passando a mão sobre o papel dobrado e sobre o vinco.

Passo 2: Desenhe uma das metades de uma figura a partir da dobra.

Passo 3: Recorte o papel na linha do desenho.

Passo 4: Abra novamente o papel e observe a figura obtida. Ela ficou dividida pelo vinco do papel em duas partes idênticas, que coincidem ao dobrar o papel no vinco.

Ilustração. Confecção de uma figura que apresenta simetria dividida em 4 passos. Passo 1. Destaque para as mãos de uma pessoa dobrando um papel. Passo 2. Destaque para as mãos de uma pessoa desenhando uma parte de uma figura no papel dobrado. Passo 3. Destaque para as mãos de uma pessoa recortando a figura desenhada na dobra. Passo 4. Destaque para as mãos de uma pessoa segurando a figura recortada aberta e atrás a folha que foi recortada.

O vinco formado pela dobra representa uma linha reta que podemos chamar de eixo de simetria, pois divide a figura em duas partes de mesmo formato e mesmo tamanho, como se uma fosse a imagem da outra refletida em um espêlho. Por isso, dizemos que a figura obtida no papel é uma figura que apresenta simetria.

Se uma figura não tem simetria, dizemos que ela é assimétrica.

Verifique no exemplo a seguir.

Ilustração. Retângulo decomposto em figuras geométricas. Acima, um retângulo verde. Abaixo, dois retângulos, lado a lado, divididos em três partes cada um. Cada parte é um triângulo. Sendo um triângulo laranja, um amarelo e um vermelho.

Note que, nessa figura, não podemos traçar um eixo de simetria.

Observe agora esta outra figura:

Ilustração. Figura geométrica azul de 16 lados. Sobre a figura, 3 retas. Uma reta vertical, uma reta horizontal e uma reta inclinada. Elas se cruzam no centro da figura.

Ela tem mais de um eixo de simetria. Destacamos três, mas há outros.

•

Você consegue identificar quais são os outros eixos de simetria?

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Figuras com mais de um eixo de simetria

Observe o triângulo equilátero, reproduzido quatro vezes.

Ilustração. O mesmo triângulo repetido quatro vezes. Da esquerda para a direita: Um triângulo e sobre ele uma reta passando por um dos vértices e pelo ponto médio do lado oposto a esse vértice. A reta é nomeada como a. Outro triângulo e sobre ele uma reta passando por outro vértice e pelo ponto médio do lado oposto a esse vértice. A reta é nomeada como b. Outro triângulo e sobre ele uma reta passando por outro vértice e pelo ponto médio do lado oposto a esse vértice. A reta é nomeada como c. Outro triângulo e sobre ele as três retas dos triângulos anteriores. Elas são nomeadas como a, b e c e se cruzam no centro desse triângulo.

Note que as retas a, b e c são eixos de simetria desse triângulo. Por isso, dizemos que o triângulo equilátero tem três eixos de simetria.

Existem outros polígonos com mais de um eixo de simetria. Observe as figuras a seguir.

Ilustração. Losango. Sobre ele, reta diagonal b e reta diagonal a. Elas se cruzam no centro do losango. Ilustração. Quadrado e sobre ele as retas: a, b, c e d. A reta a é vertical e passa pelos pontos médios dos lados opostos. A reta c é horizontal e passa pelos pontos médios dos outros dois lados opostos. A reta b passa por dois vértices opostos. A reta d passa pelos outros dois vértices opostos. As retas se cruzam no centro da figura.

O triângulo equilátero tem 3 lados e 3 eixos de simetria. O quadrado também segue esse padrão: tem 4 lados e 4 eixos de simetria. No entanto, o losango apresentado tem 4 lados e somente 2 eixos de simetria. O que os diferencia?

Todo polígono que tem o número de lados igual ao número de eixos de simetria é denominado polígono regular.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 No caderno, desenhe uma figura assimétrica e uma figura simétrica, identificando seu eixo de simetria.

2 Entre as figuras geométricas representadas a seguir, quais apresentam eixo de simetria?

a) Ilustração. Figura com dois lados paralelos e curvos e dois lados paralelos formados por segmentos de reta. b) Ilustração. Trapézio isósceles. c) Ilustração. Figura geométrica de 12 lados que representa duas setas partindo de um mesmo ponto. Uma seta voltada para cima e outra seta voltada para à esquerda. d) Ilustração. Triângulo escaleno. e) Ilustração. Figura em formato oval. f) Ilustração. Paralelogramo.

Versão adaptada acessível

2. Em uma folha de papel recorte figuras de diferentes formatos, como um triângulo, um paralelogramo não retângulo, um trapézio, um círculo e um retângulo. Por meio de dobraduras, verifique quais dessas figuras apresentam eixo de simetria.

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3 Observe as imagens a seguir. Agora, responda no caderno: em qual delas há simetria?

a) Fotografia. Floco de neve. É o cristal de gelo em forma de floco, de formato hexagonal e semelhante a uma estrela pequena. Figura com tons de azul. b) Fotografia. Folha de uma planta. c) Fotografia. Estrela do mar de cinco pontas.

(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)

4 Em que casos a reta r representa um eixo de simetria da figura? Responda no caderno.

Ilustração. Malha quadriculada com 6 figuras. a) Figura composta por 31 quadradinhos e 4 metades de um quadradinho. Dividindo a figura em duas partes congruentes, reta vertical r. b) Figura composta por 10 quadradinhos. Dividindo a figura em duas partes não congruentes, reta horizontal r. c) Figura composta por 10 quadradinhos. Dividindo a figura em duas partes congruentes, reta inclinada r. d) Retângulo com uma figura que lembra a letra S em sua região interna. Dividindo a figura em duas partes não congruentes, reta inclinada r. e) Figura composta por 33 quadradinhos e 14 metades de quadradinhos. Dividindo a figura em duas partes não congruentes, reta vertical r. f) Figura composta por 8 quadradinhos e 8 metades de quadradinho. Dividindo a figura em duas partes congruentes, reta horizontal r.

5 Reproduza os desenhos em uma folha de papel quadriculado. Desenhe a metade que está faltando, sabendo que a reta ê é um eixo de simetria de cada figura.

a) Ilustração. Malha quadriculada com figura desenhada em roxo que lembra uma vela acesa. Na parte inferior, reta horizontal e. b) Ilustração. Malha quadriculada com figura desenhada em azul que lembra a metade de um pinheiro. À direita, reta vertical e. c) Ilustração. Malha quadriculada com figura desenhada em marrom que lembra a lona de um circo. Abaixo da figura, reta inclinada e. d) Ilustração. Malha quadriculada com figura composta por 20 quadradinhos e por partes irregulares de 21 quadradinhos. À esquerda, reta vertical e.

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6 Descreva no caderno como você pode modificar a casa representada a seguir, para que ela se torne simétrica em relação à reta r.

Ilustração. Casa na cor creme, com telhado na cor vermelha, duas portas iguais na cor marrom, 4 janelas iguais, três em cima e um entre as duas portas, e uma chaminé do lado direito do telhado. No centro da casa, reta vertical r.

7 Observe os polígonos a seguir.

Ilustração I. Polígono de 6 lados. Sendo 2 lados com medidas iguais, outros dois lados com medidas iguais e outros dois lados com medidas diferentes. Ilustração II. Polígono de 6 lados com medidas iguais. Ilustração III. Polígono de 6 lados com lados dois a dois de medidas iguais. Ilustração IV. Polígono de 5 lados com medidas iguais. Ilustração V. Polígono de 5 lados. Sendo dois lados de medidas iguais, outros dois lados de medidas iguais e um lado com medida diferente de todos os outros. Ilustração VI. Polígono de 5 lados. Sendo dois lados de medidas iguais, outros dois lados de medidas iguais e um lado com medida diferente de todos os outros.

Responda no caderno.

a) Entre os polígonos dados, quais têm tantos lados quantos são seus eixos de simetria? Com uma régua e um transferidor, meça os lados e os ângulos internos dos polígonos que você identificou. O que você observa?

b) A afirmação a seguir é verdadeira?

Todos os polígonos que têm todos os ângulos de mesma medida são polígonos regulares. Justifique sua resposta.

c) A afirmação a seguir é verdadeira?

Todos os polígonos que têm todos os lados de mesma medida são polígonos regulares.

Justifique sua resposta.

8 Marina desenhou a reta s, afirmando que essa reta representa o eixo de simetria da carta de baralho representada a seguir. Na sua opinião, Marina tem razão?

Fotografia. Carta do valete com naipe de copas. Carta está na horizontal. Reta vertical s divide a carta ao meio.

9 Observe estas reproduções das pinturas dos artistas Luiz Sacilotto e Milton Dacosta.

Pintura. Sobre um fundo branco, setores circulares compostos por figuras geométricas intercaladas, brancas e azuis, que lembram quadriláteros. Esses setores vão se afunilando no centro. — SACILOTTO, L. Concreção. 1979. Óleo sobre tela fixada em madeira. 100 por 100 centímetros.

Pintura. Retângulo dividido em outros retângulos menores. Um retângulo em vermelho na parte superior. Na parte inferior, dois retângulos em vermelho nos lados, e entre eles, dois retângulos em cinza, divididos em 4 outros retângulos cada um. — DACOSTA, M. Em vermelho. 1958. Óleo sobre tela. 73 por 92 centímetros.

Em qual das duas obras há simetria? Justifique sua resposta.

10 Com um compasso, desenhe um círculo. Trace alguns eixos de simetria no círculo e, em seguida, responda: é possível traçar mais de 10 eixos de simetria em um círculo?

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca!)

Hora de criar – Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema sobre figura ou figuras com simetria. Troquem de caderno para um resolver o problema do outro. Depois, destroquem para corrigi-los.

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PARA SABER MAIS

A circunferência, um lugar geométrico infinitamente simétrico

Ilustração. No centro, homem em pé. Ao redor, pista circular. à esquerda, avião de miniatura amarrado a uma linha que está sendo puxada pelo homem ao centro.

Aeromodelismo é uma atividade exercida como fórma de lazer que tem muitos adeptos. Esse passatempo envolve a construção e o voo de modelos, em escala reduzida, de aeronaves e espaçonaves (aviões, balões, foguetes etcétera). Trata-se de um tipo de miniaturismo. Uma das categorias de aeromodelismo é o aeromodelismo a cabo.

No aeromodelismo a cabo, o avião é mantido a uma distância constante do seu controlador, por isso, o avião descreve trajetórias circulares. Se ele rodar na pista plana, podemos dizer que traça um percurso que é uma circunferência.

É fácil visualizar a circunferência como um conjunto de todos os pontos de um plano que estão a igual distância do seu centro. Como só os pontos da circunferência têm essa propriedade de equidistar do centro, dizemos que a circunferência é um lugar geométrico.

Ela também é uma das figuras geométricas que vemos com mais frequência nas artes gráficas. De simples traçados com compasso a elaboradas mandalas, sua beleza, infinitamente simétrica, é encantadora.

Ilustração. 7 circunferências sendo uma central azul e as outras 6 laranjas. As 6 circunferências se cruzam em um ponto em comum que corresponde ao centro da circunferência azul. Fotografia. Mandala. Figura circular com diversos elementos que lembram pétalas de uma flor.

Agora é com você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Com um compasso, trace arcos e circunferências para construir figuras com simetrias como as das mandalas.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca!)

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2. Simetria em relação a uma reta

Considere as situações a seguir.

Situação 1

Observe a imagem a seguir.

A paisagem real e a imagem formada no espêlho-d’água dão a ideia de figuras simétricas em relação a uma reta.

Fotografia. Vista de diversas árvores na margem de um rio. No rio, estão refletidas as nuvens do céu e as árvores. — Reflexo de buritis na margem do rio Preguiças, em Barreirinhas (Maranhão). (Fotografia de 2019.)

Situação 2

Na ilustração a seguir, o espêlho acoplado à mesa fornece a imagem refletida da figura vermelha, que está desenhada na folha de papel.

Ilustração. Mesa com uma folha com desenho vermelho. Sobre a folha, há um espelho perpendicular a mesa que reflete a mesma imagem vermelha do papel.

Essa figura e sua imagem têm mesmo formato e mesmo tamanho, porém estão em posições opostas em relação à linha reta na qual o espêlho está apoiado.

Representando na folha de papel a imagem da figura (A) refletida no espêlho (á linha) e a reta r em que este se apoia, obtemos a figura em destaque.

Ilustração. Folha de papel com figura A, de cor vermelha, à esquerda. No centro da folha, reta vertical r. À direita, figura A linha, de cor vermelha. Figura A linha é a reflexão da figura A.

Dizemos que as duas figuras são simétricas em relação à reta r, que é o eixo de simetria. Dizemos também que fizemos uma reflexão da figura A em relação à reta r, obtendo a figura refletida á linha.

Situação 3

Observe a malha quadriculada.

Ilustração. Malha quadriculada. À esquerda, figura 1 composta por um octógono. Dentro, dois triângulos retângulos, um trapézio isósceles e um segmento de reta. Os triângulos lembram olhos, o trapézio lembra uma boca e o segmento de reta lembra um nariz. Pontos A e C, em dois vértices do octógono e ponto B em um dos vértices do triângulos à direita. Passando pelo centro da malha, reta vertical e. À direita, figura 2 composta por um octógono. Dentro, dois triângulos retângulos, um trapézio isósceles e um segmento de reta. Os triângulos lembram olhos, o trapézio lembra uma boca e o segmento de reta lembra um nariz. Pontos A linha e C linha, em dois vértices do octógono e ponto B linha em um dos vértices do triângulo à esquerda. Unindo as duas figuras, dois segmentos de reta paralelos e perpendiculares à reta e. O segmento abaixo une os pontos C e C linha. O segmento acima une dois vértices dos octógonos.

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Note que as figuras 1 e 2 são simétricas em relação à reta e. Desse modo, cada ponto da figura 1 tem um ponto correspondente na figura 2, que é seu simétrico em relação à reta e.

Por exemplo:

• A e á linha são simétricos em relação à reta e;

• bê linha é o simétrico de B em relação à reta e;

• cê linha é a imagem de C por meio da reta e.

Também podemos afirmar que dois pontos simétricos em relação à reta e estão em uma reta perpendicular e à mesma distância dessa reta, em posições opostas.

Representando a medida do comprimento do lado do quadradinho da malha por u, verificamos que:

• A e á linha estão a 7 u da reta ê;

• B e bê linha estão a 4 u da reta ê;

• C e cê linha estão a 2 u da reta ê.

Isso sempre ocorre com duas figuras simétricas em relação a uma reta: cada ponto de uma delas é simétrico de um ponto da outra em relação à mesma reta, e vice-versa, e os pontos simétricos estão em uma reta perpendicular e à mesma distância da reta considerada.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

12 Reproduza cada figura e a reta r em uma folha quadriculada. Em seguida, desenhe a figura simétrica em relação a essa reta.

Ilustração. Malha quadriculada com figura que lembra um barco. Abaixo, reta horizontal r.

Ilustração. Malha quadriculada com figura que lembra uma estrela de 4 pontas. E um ponto A na ponta superior da estrela. Abaixo, reta diagonal r e abaixo de r vários pontos de interrogação.

13 Reproduza as figuras em uma folha quadriculada, sem os pontos de interrogação. Desenhe as figuras obtidas destas por reflexões sucessivas em relação às retas r e s, nessa ordem.

Ilustração. Malha quadriculada com figura que lembra uma ponta de seta voltada para a esquerda. Do lado direito da figura, reta vertical r. Do lado direito de r, seis pontos de interrogação. Do lado direito dos pontos de interrogação, reta vertical s. Do lado direito de s, seis pontos de interrogação.

Ilustração. Malha quadriculada. Seis pontos de interrogação. Do lado direito dos pontos de interrogação, reta vertical s. Do lado direito de s, seis pontos de interrogação. Do lado direito dos pontos de interrogação, reta vertical r. Do lado direito de r, figura verde composta por 10 quadrados e 5 triângulos.

• Nos dois itens, considere figura 1 a figura dada, figura 2, a obtida após a primeira reflexão, e figura 3, a obtida após a segunda reflexão. Qual é a relação entre a figura 3 e a figura 1?

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14 Na malha quadriculada a seguir, a figura 2 é simétrica à figura 1 em relação à reta r, e a figura 3 é simétrica à figura 2 em relação à reta s.

Ilustração. Malha quadriculada. Da direita para a esquerda, figura 1, reta r, figura 2, reta s e figura 3. Figura 1. Vista de casa na diagonal para esquerda com ponto P no topo do telhado. Reta vertical r. Figura 2. Vista de casa na diagonal para direita com ponto P linha no topo do telhado. Reta vertical s. Figura 3. Vista de casa na diagonal para esquerda com ponto P duas linhas no topo do telhado. A distância entre as retas e e s é de 13 quadradinhos.

Considere o lado do quadradinho da malha como unidade de medida de comprimento (u).

a) Expresse a medida da distância entre as retas paralelas r e s nessa unidade.

b) Qual é a medida da distância entre P e pê duas linhas nessa mesma unidade?

c) O que você observa quanto às distâncias obtidas nos itens a e b?

d) As figuras 1 e 3 são simétricas em relação a alguma reta? Por quê?

e) Que relação existe entre a figura 1 e a figura 3?

15 Algumas letras vistas no espêlho aparecem inalteradas; outras, não. Observe como exemplo as letras C e T, representadas na imagem.

Ilustração. Mesa com as letras CT escritas nela. Atrás das palavras há um espelho perpendicular a mesa com as letras refletidas ao contrário.

As letras que aparecem inalteradas quando vistas em um espêlho colocado verticalmente sobre uma mesa são as que têm eixo de simetria horizontal. No alfabeto, há oito letras com essa propriedade. Quais são elas?

Agora, no caderno, desenhe a imagem das seguintes palavras refletidas no espêlho.

Ilustração. Mesa com as palavras: BICHO, LIVRO, DECIDIDO, OVO, SOL e DOCE, escritas nela. Atrás das palavras há um espelho perpendicular a mesa.

16 Construa dois pontos simétricos em relação a uma reta, seguindo as instruções a seguir.

Em uma folha de papel sulfite, construa uma reta r e um ponto P fóra dela. Dobre a folha na reta r e decalque no verso da folha o ponto P, obtendo um novo ponto. Desdobre a folha e, agora no mesmo lado dela em que está o ponto P, represente o ponto pê linha na posição correspondente ao ponto decalcado no verso. O ponto pê linha, assim construído, é simétrico a P em relação à reta r ?

17 Dados a reta s e o segmento

\overline{M N}

, explique como você construiria, por meio de dobraduras, o segmento

\overline{M' N'}

, simétrico a

\overline{M N}

em relação à reta s.

Ilustração. Segmento de reta MN. Do lado direito, reta s inclinada.

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18 Hora de criar – Há simetria também em muitos objetos de decoração, como nos exemplos a seguir.

Fotografia. Composição de azulejos com diversos ornamentos decorativos e coloridos compondo um mesmo padrão de figura. — Os azulejos coloniais decorativos são característicos de São Luís, capital do Maranhão.

Fotografia. Tapete retangular com desenho de um losango no centro. Ao redor, linhas formam losangos maiores. — Tapete com desenhos de indígenas estadunidenses. (Estados Unidos).

Nas faixas decorativas e na tapeçaria de inspiração geométrica, os padrões se repetem preenchendo toda a superfície.

a) Elabore padrões que apresentem simetria, como em uma faixa decorativa.

b) Faça uma descrição detalhada do processo que usou para criar seu desenho.

c) Apresente seu desenho aos colegas da turma, identificando pelo menos um eixo de simetria.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Faça as seguintes construções.

a) Partindo de um ponto P e de uma reta r, P não pertencente a r, construa, usando régua e esquadro, um ponto pê linha, simétrico a P em relação à reta r.

b) Partindo de um segmento

\overline{M N}

e de uma reta s, M e N não pertencentes a s, construa, usando régua e esquadro, um segmento

\overline{M' N'}

, simétrico a

\overline{M N}

em relação à reta s.

2 Escreva um texto explicando como você fez para construir as figuras pedidas.

Reúna-se com um colega e compare o texto que você escreveu com o dele. Há diferenças nos processos de construção?

PARA SABER MAIS

A simetria e a bissetriz

Na página 174, por meio da dobra de uma folha de papel, construímos uma figura que apresenta simetria em relação a uma linha reta. Vamos retomar o passo a passo dessa construção.

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Também por meio de dobradura, podemos obter a bissetriz de um ângulo.

Ilustração. Figura 1. Papel amarelo com desenho de duas semirretas com mesma origem e indicação do ângulo formado entre elas. Figura 2. Mostra uma mão dobrando o papel de modo que as duas semirretas se sobreponham. Figura 3. Papel aberto com desenho de duas semirretas com mesma origem e indicação do ângulo formado entre elas e a marca de dobra indicando a divisão ao meio do ângulo formado pelas semirretas.

Observe que a bissetriz de um ângulo é uma linha reta que funciona como um eixo de simetria para os lados desse ângulo. Em outras palavras, ângulo pode ser descrito como uma figura que apresenta simetria e tem como eixo de simetria a sua bissetriz.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Desenhe, em uma folha de sulfite, a figura a seguir, que representa dois ângulos suplementares.

Ilustração. Reta que contém os pontos C, O e A. Em O, semirreta passando pelo ponto B.

Por dobradura, obtenha as bissetrizes dos ângulos

A \hat{O} B

B \hat{O} C

Em seguida, meça com o transferidor o ângulo formado pelas bissetrizes

\vec{O M}

A \hat{O} B

\vec{O N}

B \hat{O} C

a) Qual é a medida obtida?

b) Verifique se os colegas obtiveram a mesma medida. O que você conclui?

c) Para justificar sua conclusão, considere a medida de

A \hat{O} B

igual a 2x e a medida de

B \hat{O} C

igual a 2y. Depois, represente as medidas dos ângulos

M \hat{O} B

B \hat{O} N

M \hat{O} N

. Agora, responda: quanto vale 2x + 2y? E quanto vale xis + y ?

2 Reproduza em uma folha de papel o triângulo ABC da figura 1 e, em seguida, recorte-o.

a) Por dobradura, obtenha as bissetrizes dos três ângulos do triângulo ABC. Trace as bissetrizes pelas marcas das dobras.

b) As três bissetrizes se cruzam duas a duas em pontos distintos ou se cruzam em um só ponto?

c) Com um esquadro e uma régua, meça a distância do ponto de encontro das bissetrizes até cada um dos lados do triângulo. Acompanhe na figura 2. O que se pode dizer dessas três distâncias?

Ilustração. Figura 2. Triângulo ABC. Sobre ele, destaque para as mãos de uma pessoa utilizando uma régua e um esquadro.

d) Coloque a ponta-sêca de um compasso no ponto em que as bissetrizes se encontram. Abra o compasso até a distância obtida no item c e trace uma circunferência. O que acontece com essa circunferência e com os três lados do triângulo?

(Ao usar o compasso e a tesoura sem ponta, atenção para não se machucar!)

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3. Transformações geométricas

Veremos agora três tipos de transformações geométricas, chamadas de reflexão, translação e rotação, por meio das quais são obtidas figuras simétricas de figuras dadas. Essas transformações são caracterizadas por movimentos feitos nessas figuras.

A primeira transformação, denominada reflexão, já vimos no tópico anterior. Ela corresponde à simetria em relação a uma reta que aqui chamaremos de eixo de reflexão.

Reflexão

Em um papel, dada uma figura e uma reta que não passe por ela, imagine o seguinte movimento: dobramos o papel pela reta e decalcamos a figura do outro lado da reta. Depois desdobramos o papel. Assim, obtemos a simétrica da figura dada inicialmente.

A reflexão mantém todas as medidas: distâncias, ângulos, formato e tamanho. Assim, a figura inicial e sua imagem refletida em relação a uma reta são congruentes.

Ilustração. Ave de pescoço longo, pernas compridas e bico fino. Ela está em pé virada para direita. Reta vertical (eixo de reflexão). A mesma figura da ave virada para esquerda.

Ilustração. Trapézio. Reta diagonal (eixo de reflexão). Abaixo, a mesma figura refletida.

Observe que, quando refletimos uma figura em relação a uma reta (ou no espêlho, ou na superfície de um rio), a figura obtida (imagem) tem mesmo formato e mesmo tamanho; porém, fica virada ao contrário (imagem reversa) em relação à figura inicial.

Translação

Quando movemos uma figura a uma dada distância, sempre na mesma direção e no mesmo sentido, estamos realizando uma translação.

Nesse caso, a figura obtida (imagem) também é congruente à figura inicial.

Ilustração. Dois patos iguais virados para direita. Acima, seta para direita: sentido da translação. Abaixo, de um pato a outro: distância fixada.

Ilustração. Dois trapézios na diagonal. Abaixo, seta para esquerda: sentido da translação. Acima, a ponta de um trapézio a outro: distância fixada.

É como se a figura inicial deslizasse, formando uma sequência de figuras congruentes a ela.

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Fotografia. Construção alta e antiga de um teatro de cor clara com pilares e janelas retangulares. Destaque para os pilares, janelas e portas com a parte superior arcada. Legenda: Podemos imaginar a coluna e a janela da esquerda deslocando-se para a direita (e vice-versa). — Theatro Municipal do Rio de Janeiro (RJ). (Fotografia de 2020.)

Rotação

Quando o movimento aplicado à figura é um giro de determinado número de graus em tôrno de um ponto, estamos realizando uma rotação. Esse ponto é chamado de centro da rotação.

Uma rotação fica determinada quando conhecemos o centro, o sentido e o ângulo de giro.

Ilustração. 4 semirretas de mesma origem no ponto O. Uma semirreta vertical, uma horizontal e duas diagonais. A semirreta horizontal forma com uma das semirretas diagonais 60 graus. Assim como a semirreta vertical forma com outra semirreta diagonal 60 graus. Entre a semirreta horizontal e uma das semirretas diagonal está a figura de um galo e a indicação de rotacionar essa figura com centro em O e ângulo de giro de 60 graus no sentido anti-horário, obtendo assim a figura rotacionada do galo entre a semirreta vertical e uma das semirretas diagonal. — Rotação de centro óh e ângulo de giro de 60graus no sentido anti-horário

Ilustração. 4 semirretas de mesma origem no ponto O. Uma semirreta horizontal e três diagonais. A semirreta horizontal forma com uma das semirretas diagonais 120 graus. Assim como uma das semirretas diagonal forma com outra semirreta diagonal 120 graus. Entre a semirreta horizontal e uma das semirretas diagonal está a figura de um triângulo e a indicação de rotacionar essa figura com centro em O e ângulo de giro de 120 graus no sentido horário, obtendo assim a figura rotacionada do triângulo entre outras duas semirretas diagonais. — Rotação de centro óh e ângulo de giro de 120graus no sentido horário

A rotação também preserva o formato e o tamanho das figuras. Desse modo, a imagem obtida pelas rotações é uma figura congruente à figura inicial.

Verifique mais um exemplo na imagem do vitral.

Fotografia. Vitral circular com tiras coloridas que lembram pétalas de uma flor. — Podemos imaginar uma parte desse vitral (no formato de uma região angular) girando em tôrno do ponto central. Vitral da Catedral de Estrasburgo, França. (Fotografia de 2020.)

Página 186

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

19 Identifique em cada caso a transformação geométrica aplicada: reflexão em relação a uma reta, translação ou rotação.

a) Ilustração. Seis figuras que lembram a letra Z, dispostas circularmente. b) Ilustração. Seis figuras que lembram a letra Z, dispostas lado a lado. c) Ilustração. Duas figuras que lembram a letra Z, espelhadas. Entre elas, uma reta.

20 Os hexágonos a seguir são simétricos em relação ao eixo r.

Ilustração. Hexágonos ABCDEF e A linha, B linha, C linha, D linha, E linha, F linha espelhados. Entre eles, um eixo r.

Agora, responda às questões.

a) Se o lado

\overline{D C}

mede duas unidades, quanto mede

\overline{D' C'} ?

b) Se a medida da distância de F ao eixo r é igual a 4 unidades, quanto mede

\overline{F F'} ?

c) Se

\overline{E E'}

mede 9 unidades, qual é a medida da distância de E ao eixo r ? E de é linha ao eixo r ?

d) Qual é a relação entre as medidas dos ângulos

A \hat{D} F

A' \hat{D}' F' ?

e) Se o hexágono á bê cê dê é éfe é um polígono regular, então o hexágono á linha bê linha cê linha dê linha é linha éfe linha também é?

f) A medida do perímetro dos dois hexágonos é a mesma?

g) A medida da área da região interna dos dois hexágonos pode não ser a mesma?

21 Responda às questões a seguir.

a) Imagine que você esteja diante de um espêlho e que segure sua orelha esquerda com a mão direita. Como você descreveria a imagem refletida no espêlho?

b) Imagine um movimento que você possa fazer diante do espêlho. Como você descreveria a imagem formada com esse movimento?

22 Copie a figura a seguir em três papéis quadriculados. Em uma das cópias, faça a reflexão do foguete em relação ao eixo ê. Em outra, faça a translação do foguete, aplicando uma distância igual a 8 lados do quadradinho da malha e movendo-o para a direita. Na terceira cópia, faça a rotação do foguete, girando-o em tôrno do ponto a, 135graus no sentido anti-horário.

Ilustração. Malha quadriculada com figura verde que lembra um avião voltado para a direita. Ponto A na parte superior esquerda fora da figura. Na parte inferior da malha, reta horizontal e.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Reúna-se com dois colegas e façam o que se pede.

Copiem a figura em três papéis quadriculados.

Um dos colegas faz reflexões sucessivas em tôrno dos eixos e e é linha. O outro faz, em outra cópia, a rotação de 180graus em tôrno do ponto O no sentido horário. O terceiro faz na terceira cópia a rotação de 180graus em tôrno do ponto O no sentido anti-horário. Em seguida, comparem os resultados e escrevam no caderno as conclusões dessa comparação.

Ilustração. Malha quadriculada com figura laranja que lembra uma pessoa voltada para a direita. Abaixo da figura, reta horizontal e linha e à direita da figura, reta vertical e. Na intersecção das retas, ponto O.

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4. Transformações geométricas no plano cartesiano

As transformações geométricas também podem ser aplicadas no plano cartesiano.

Veremos alguns casos particulares.

Considere, no plano cartesiano, um triângulo á bê cê, em que a(4, 1), B(1, 1) e C(4, 3), como a figura inicial. A seguir, aplicaremos nessa figura os movimentos de translação, de reflexão e de rotação.

Translação

• O triângulo dê ê éfe é a figura obtida do triângulo á bê cê por uma translação horizontal de 5 unidades para a esquerda. Note que todos os infinitos pontos do triângulo á bê cê foram deslocados ‒5 unidades (para a esquerda), ou seja, as abscissas foram diminuídas em 5 unidades, e as ordenadas foram mantidas.

Ilustração. Malha quadriculada. Eixo x, com escala de menos 4 a 4. Eixo y, com escala de menos 3 a 3. No primeiro quadrante, triângulo ABC em vermelho de vértices A(4, 1); B(1, 1) e C(4,3). No segundo quadrante, triângulo DEF em preto de vértices D(menos 1, 1), E(menos 4, 1) e F(menos 1, 3). No quarto quadrante, triângulo GHI em preto de vértices G(4, menos 3), H(1, menos 3) e I(4, menos 1). Os três triângulos são congruentes e estão na mesma posição.

Em particular, temos:

D (4 ‒ 5, 1) = D (‒1, 1);

ê (1 ‒ 5, 1) = ê (‒4, 1); e

F (4 ‒ 5, 3) = F (‒1, 3).

• O triângulo gê agá í é a figura obtida do triângulo á bê cê por uma translação vertical de ‒4 unidades (para baixo). Note que todos os infinitos pontos do triângulo á bê cê foram deslocados 4 unidades para baixo, ou seja, as ordenadas foram diminuídas de 4 unidades e as abscissas foram mantidas. Em particular, temos: G (4, 1 ‒ 4) = G (4, ‒3); H (1, 1 ‒ 4) = H (1, ‒3); e ih (4, 3 ‒ 4) = ih (4, ‒1).

Generalizando, considere um ponto P, qualquer, de coordenadas cartesianas xP e yP .

Um ponto Q, obtido de P por uma translação horizontal de u unidades, terá abscissa igual a (xP + u) e ordenada igual a yP . Quando o deslocamento é para a esquerda, u é negativo; quando é para a direita, u é positivo.

Um ponto R, obtido de P por uma translação vertical de u unidades, terá abscissa igual a xP e ordenada igual a (yP + u). Quando o deslocamento é para baixo, u é negativo; quando é para cima, u é positivo.

Acompanhe os exemplos:

a) Dado P (5, 10), com uma translação horizontal de 7 unidades para a esquerda obtém-se Q (5 ‒ 7, 10) = Q (‒2, 10), e com uma translação horizontal de 7 unidades para a direita obtém-se Q (5 + 7, 10) = Q (12, 10).

b) Dado P (‒1,5; 0,9), com uma translação vertical de 7 unidades para baixo obtém-se R (‒1,5; 0,9 ‒ 7) = R (‒1,5; ‒6,1), e com uma translação vertical de 7 unidades para cima obtém-se R (‒1,5; 0,9 + 7) = R (‒1,5; 7,9).

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Reflexão

• O triângulo dê ê éfe é a figura obtida do triângulo ABC por uma reflexão em relação ao eixo y. Note que os pares e pontos a e D estão à mesma distância do eixo y, assim como B e ê, e também C e F. Em cada um desses pares, as abscissas foram multiplicadas por (‒1), ou seja, tiveram os seus sinais trocados, e as ordenadas foram mantidas.

Em particular, temos: D (‒4, 1); ê (‒1, 1) e F (‒4, 3).

• O triângulo gê agá í é a figura obtida do triângulo á bê cê por uma reflexão em relação ao eixo x. Note que os pares de pontos a e G estão à mesma distância do eixo x, assim como B e H, e também C e ih. Em cada um desses pares, as ordenadas foram multiplicadas por (‒1), ou seja, tiveram os seus sinais trocados e as abscissas foram mantidas.

Em particular, temos: G (4, ‒1), H (1, ‒1) e ih (4, ‒3).

Generalizando, considere um ponto P, qualquer, de coordenadas cartesianas xP e yP .

Um ponto Q, obtido de P por uma reflexão em relação ao eixo y, terá abscissa igual a ‒xP e ordenada igual a yP.

Um ponto R, obtido de P por uma reflexão em relação ao eixo x, terá abscissa igual a xP e ordenada igual a ‒yP .

Acompanhe os exemplos.

a) Dado P (8, 2), com uma reflexão em relação ao eixo y obtém-se Q (‒8, 2), e com uma reflexão em relação ao eixo x obtém-se R (8, ‒2).

b) Dado P (‒1,5; 0,9), com uma reflexão em relação ao eixo y obtém-se Q (1,5; 0,9), e com uma reflexão em relação ao eixo x obtém-se R (‒1,5; ‒0,9).

Rotação

• O triângulo dê ê éfe é a figura obtida do triângulo á bê cê por uma rotação de um quarto de volta (90graus) em tôrno do ponto óh, origem do plano cartesiano, no sentido anti-horário. Esse fato pode ser verificado com um compasso. Com a ponta-sêca do compasso em óh e abertura á ó, giramos 90graus no sentido anti-horário e obtemos o ponto D. Do mesmo modo: obtemos o ponto ê, com a ponta-sêca em óh e abertura ó bê; obtemos o ponto F, com a ponta-sêca em óh e abertura ó cê.

Ilustração. Malha quadriculada. Eixo x, com escala de menos 3 a 4. Eixo y, com escala de menos 4 a 4. No primeiro quadrante, triângulo ABC em vermelho de vértices A(4, 1), B(1, 1) e C(4, 3). No segundo quadrante, triângulo DEF em preto, de vértices, D(menos 1, 4) E(menos 1, 1) e F(menos 3, 4). No quarto quadrante, triângulo GHI em preto, de vértices G(1, menos 4), H(1, menos 1) e I(3, menos 4). Os triângulos são congruentes e estão em posições diferentes.

• O triângulo gê agá í é a figura obtida do triângulo ABC por uma rotação de um quarto de volta (90graus) em tôrno do ponto óh, origem do plano cartesiano, no sentido horário. Esse fato pode ser verificado com um compasso. Com a ponta-sêca do compasso em óh e abertura á ó, giramos 90graus no sentido horário e obtemos o ponto G. Do mesmo modo: obtemos o ponto H com a ponta-sêca em óh e abertura ó bê; obtemos o ponto ih com a ponta-sêca em óh e abertura ó cê.

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Generalizando, considere um ponto P, qualquer, de coordenadas cartesianas xP e yP .

Um ponto Q, obtido de P por uma rotação de 90graus em tôrno do ponto O, origem do plano cartesiano, no sentido anti-horário, terá abscissa igual a ‒yP e ordenada igual a xP.

Um ponto R, obtido de P por uma rotação de 90graus em tôrno do ponto O, origem do plano cartesiano, no sentido horário, terá abscissa igual a yP e ordenada igual a ‒xP .

Acompanhe os exemplos.

a) Dado P (6; 4,2), com uma rotação de 90graus, sentido anti-horário, obtém-se Q (‒4,2; 6), e com uma rotação de 90graus, sentido horário, obtém-se R (4,2; ‒6).

b) Dado

P (‒ \frac{3}{4}, 8),

com uma rotação de 90graus, sentido anti-horário, obtém-se

Q (‒ 8, ‒ \frac{3}{4}),

e com uma rotação de 90graus, sentido horário, obtém-se

R (8, \frac{3}{4}) .

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

23 Considere as retas perpendiculares r e s e o triângulo á bê cê, representados a seguir.

Ilustração. Malha quadriculada com as retas r e s perpendiculares entre si. Do lado direito da reta r e acima da reta s, duas figuras que lembram pontos de interrogação, lado a lado. Do lado direito da reta r e abaixo da reta s, duas figuras que lembram pontos de interrogação, lado a lado. Do lado esquerdo da reta r e abaixo da reta s, duas figuras que lembram pontos de interrogação, lado a lado. Do lado esquerdo da reta r e acima da reta s, triângulo retângulo ABC.

a) Copie essa representação em uma folha de papel quadriculado.

b) Construa os triângulos: dê ê éfe, simétrico ao triângulo á bê cê em relação à reta r ; gê agá í, simétrico ao triângulo dê ê éfe em relação à reta s; e jota cá êle, simétrico ao triângulo gê agá í em relação à reta r.

c) O triângulo jota cá êle é simétrico ao triângulo á bê cê em relação a qual reta?

24 O polígono á bê cê dê é está representado no plano cartesiano.

Identifique as coordenadas dos vértices do polígono e escreva-as no caderno:

lustração. Malha quadriculada. Eixo x, com escala de menos 1 a 5. Eixo y, com escala de menos 1 a 5. No primeiro quadrante, pentágono ABCDE, de vértices A(3, 4), B(4, 2), C(3, 1), D(1, 1) e E(1, 3).

a) refletido em relação ao eixo y;

b) refletido em relação ao eixo x;

c) rotacionado 180graus no sentido horário, em relação à origem.

25 Observe a imagem e escreva no caderno as frases a seguir, completando-as.

Ilustração. Malha quadriculada. Eixo x, com escala de menos 5 a 5. Eixo y, com escala de menos 4 a 4. No primeiro quadrante, figura 1 hexágono verde de vértices (4, 2), (3, 3), (2, 3), (1, 2), (2, 1) e (3, 1). No segundo quadrante, figura 2 hexágono laranja de vértices (menos 1, 2), (menos 2, 3), (menos 3, 3), (menos 4, 2), (menos 3, 1) e (menos 2, 1). No terceiro quadrante, figura 3 hexágono laranja de vértices (menos 2, menos 1), (menos 3, menos 1), (menos 4, menos 2), (menos 3, menos 3), (menos 3, menos 3) e (menos 1, menos 2). No quarto quadrante, figura 4 hexágono laranja de vértices (2, menos 1), (1, menos 2), (2, menos 3), (3, menos 3), (4, menos 2) e (3, menos 1).

a) A figura 1 é simétrica à figura

por rotação no sentido anti-horário em relação à origem.

b) A figura 1 é simétrica à figura

por reflexão em relação ao eixo xis.

c) A figura 1 é simétrica à figura

por reflexão em relação ao eixo y.

26 Use um papel quadriculado para construir, em um plano cartesiano, um triângulo á bê cê, com a (‒2, 2), B (3, 2) e C (4, 5). A seguir obtenha:

a) o triângulo éle ême êne, por uma translação horizontal de á bê cê, para a direita de 5 unidades;

b) o triângulo RST, por uma translação horizontal de á bê cê, para a esquerda de 5 unidades.

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27 Use um papel quadriculado para construir, em um plano cartesiano, um triângulo á bê cê, com a (3, 0), B (5, 0) e C (0, 5). A seguir, obtenha:

a) o triângulo éle ême êne, por uma reflexão de á bê cê em relação ao eixo y ;

b) o triângulo érre ésse tê, por uma reflexão de á bê cê em relação ao eixo x;

c) o triângulo ú vê dáblio, por uma reflexão de éle ême êne em relação ao eixo x.

28 Use um papel quadriculado para construir, em um plano cartesiano, um triângulo á bê cê, com a (3, 0), B (5, 0) e C (4, 3). A seguir, obtenha:

a) o triângulo éle ême êne, por uma rotação de á bê cê de 90graus em tôrno do ponto óh, origem do plano cartesiano, no sentido anti-horário;

b) o triângulo érre ésse tê, por uma rotação de á bê cê de 90graus em tôrno do ponto óh, origem do plano cartesiano, no sentido horário.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Reproduza em uma folha de papel quadriculado a figura e desenhe a parte que falta para obter uma figura simétrica em relação à reta ê.

Ilustração. Malha quadriculada com figura que lembra parte de uma borboleta. Abaixo, reta horizontal e.

2 A bandeira nacional brasileira apresenta simetria? Justifique sua resposta.

Ilustração. Bandeira do Brasil. As medidas são: 6 centímetros de comprimento por 4,2 centímetros de altura.

3 Reproduza em uma folha de papel quadriculado a figura a seguir e construa a simétrica em relação à reta t.

Ilustração. Malha quadriculada com figura composta por 19 quadradinhos vermelhos intercalados e cruz azul. À direita, reta diagonal t e abaixo dela 6 figuras que lembram pontos de interrogação.

4 Observe a figura a seguir e determine os valores de a e bê, em grau.

Ilustração. Reta horizontal x com ponto C e A. Reta vertical y com ponto B. Reta diagonal bissetriz do ângulo BOC e reta diagonal bissetriz do ângulo AOB. As retas se cruzam no centro (ponto O), formando um ângulo reto, um Ângulo de medida a e um ângulo de medida b.Ilustração. Reta horizontal x com pontos C e A. Reta vertical y com ponto B, as retas x e y se cruzam no ponto O, formando um ângulo reto. Reta diagonal bissetriz do ângulo BOC e reta s diagonal bissetriz do ângulo AOB. Destacado ângulo a de vértice O, formado pela semirreta OC e a reta s. Destacado ângulo b de vértice O, formado pelas bissetrizes abaixo do eixo x.

Agora responda às questões a seguir.

a) Qual é a figura simétrica da bissetriz de

A \hat{O} B

em relação ao eixo y ?

b) Qual é a figura simétrica da bissetriz de

A \hat{O} B

em relação ao eixo x?

5 (ó bê ême) Benjamim passava pela praça de Quixajuba quando viu o relógio da praça pelo espêlho da bicicleta, como na figura a seguir.

Ilustração. Destaque para o espelho oval de uma bicicleta refletindo a imagem de um relógio de ponteiros. O ponteiro menor está um pouco depois do 5 e o maior em 3.

Que horas o relógio estava marcando?

a) 5 horas 15 minutos

b) 5 horas 45 minutos

c) 6 horas 15 minutos

d) 6 horas 45 minutos

e) 7 horas 45 minutos

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Assinale a alternativa que traz uma figura que não apresenta simetria.

a) Ilustração. Quadrado marrom com formas triangulares amarelas. b) Ilustração. Quadrado com borda marrom, um quadrado no centro e duas faixas diagonais. c) Ilustração. Quadrado marrom com 4 figuras octogonais vermelhas. No centro, um quadrado. d) Ilustração. Quadrado marrom com formas triangulares dispostas circularmente.

2 Quantos eixos de simetria há na figura a seguir?

Ilustração. Figura com seis pontas semelhantes com um floco de neve.

a) 3

b) 6

c) 9

d) 12

3 Qual figura obtemos ao realizar o seguinte córte em uma folha de papel dobrada ao meio?

Ilustração. Dobra de papel com desenho parcial de três lados de uma figura.

a) Ilustração. Papel com um triângulo recortado. b) Ilustração. Papel com figura de 5 lados recortada. c) Ilustração. Papel com paralelogramo recortado. d) Ilustração. Papel com figura de 6 lados recortada.

4 Amanda tem uma estante com 15 espaços para organizar seus objetos. Uma planta estava, inicialmente, na posição 1 e, depois, Amanda colocou-a na posição 2.

Ilustração. Malha quadriculada composta por três linhas e 5 colunas. No primeiro quadradinho da primeira linha, vaso de número 1 com planta. No quarto quadradinho da primeira linha, vaso de número 2 com planta.

Que transformação geométrica pode ser associada à mudança de posição da planta?

a) Reflexão

b) Rotação

c) Translação

d) Translação e rotação

5 Se o ponto (‒3, ‒3) for transladado 4 unidades, verticalmente, para cima e depois, sofrer reflexão em relação ao eixo xis, suas coordenadas serão:

a) (3, ‒1)

b) (‒3, 1)

c) (‒3, ‒1)

d) (1, 3)

6 Matheus vai trocar alguns móveis do seu quarto de lugar. Ele decidiu que a cama seria rotacionada em 90graus no sentido anti-horário, sendo o centro de rotação o centro da cama. Se a posição inicial é esta ilustrada, assinale a alternativa que contém a posição da cama após a rotação.

Ilustração. Vista superior de uma cama na vertical com dois travesseiros e colcha vermelha. O lado esquerdo da colcha está levantada. Abaixo está escrito: Posição inicial.

a) Ilustração. Vista superior de uma cama na horizontal (pé da cama no lado direito) com dois travesseiros e colcha vermelha. O lado esquerdo da colcha está levantada. b) Ilustração. Vista superior de uma cama na vertical (pé da cama para cima) com dois travesseiros e colcha vermelha. O lado esquerdo da colcha está levantada. c) Ilustração. Vista superior de uma cama na vertical (pé da cama para baixo) com dois travesseiros e colcha vermelha. O lado esquerdo da colcha está levantada. d) Ilustração. Vista superior de uma cama na horizontal (pé da cama no lado esquerdo) com dois travesseiros e colcha vermelha. O lado esquerdo da colcha está levantada.

7 Qual foi a transformação geométrica aplicada na figura um para gerar a figura dois?

Ilustração. Malha quadriculada. Eixo x, com escala de menos 6 a 6. Eixo y, com escala de menos 3 a 3. À esquerda do eixo y, triângulo I de vértices (menos 4, 3), (menos 3, menos 1) e (menos 6, menos 2). À direita do eixo y, triângulo II de vértices (3, menos 1), (4, 3) e (6, menos 2).

a) Reflexão em relação ao eixo x.

b) Translação de 6 unidades, na horizontal e para a direita.

c) Reflexão em relação ao eixo y.

d) Rotação de 180graus no sentido horário.

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir:

a) Dê um exemplo de figura simétrica e de figura assimétrica.

b) Descreva, com suas palavras, o que é uma reflexão.

c) Descreva, com suas palavras, o que é uma translação.

d) Descreva, com suas palavras, o que é uma rotação.

Página 192

DIVERSIFICANDO

Girando no parque

A High Roller é uma roda-gigante digna do nome: tem 167,6 metros de altura e 158,5 metros de diâmetro. Foi inaugurada em 31 de março de 2014, em Las Vegas, Estados Unidos. Ela tem 28 cápsulas igualmente espaçadas, com ar-condicionado, cada uma com capacidade para 40 pessoas, e o tempo total do passeio (uma volta completa) dura cêrca de 30 minutos. A medida de um ângulo imaginário com vértice no centro dessa roda, com lados que passem no centro de duas cápsulas vizinhas, pode ser indicada pela razão

\frac{360 °}{28}

\frac{90 °}{7}

Fotografia. Vista frontal e noturna de uma roda-gigante iluminada na cor roxa. Ao fundo, prédios e construções com iluminação colorida. — A High Roller, em Las Vegas (Estados Unidos da América), é a maior roda-gigante das Américas. (Fotografia de 2020.)

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Qual é a medida aproximada do ângulo descrito no texto anterior em grau, minuto e segundo?

2 A roda-gigante de um parque de diversões tem 18 cadeiras, igualmente espaçadas, e move-se no sentido anti-horário, isto é, no sentido contrário ao do ponteiro do relógio. Na figura, as letras de a a R indicam as posições das cadeiras. Leandro sentou-se na posição indicada pela letra a.

Ilustração. Roda-gigante composta pelos assentos nomeados de A até R. No centro da estrutura, há a indicação da letra S.

a) Em um primeiro momento, a roda moveu-se em meia-volta e parou para que Juliana se sentasse. Nesse momento, qual era a posição de Leandro?

b) Após Juliana se sentar, a roda moveu-se 1,5 volta, novamente. Qual era a nova posição de Leandro e Juliana?

c) A posição M é simétrica de D em relação ao centro, assim como N é simétrica de ê, e óh é simétrica de F. Qual é a posição simétrica de P em relação ao centro da roda? E qual é a simétrica de G em relação ao centro da roda?

d) Considerando que uma volta inteira corresponde a 360graus, quantos graus tem o ângulo

H \hat{S} I

descrito pela cadeira que vai da posição H até ih, no sentido anti-horário? E se fosse no sentido horário?

e) Qual é a posição da cadeira que está na bissetriz do ângulo

M \hat{S} A

de menor medida?

f) A cadeira da posição E está na bissetriz de um ângulo. Dê o nome de três ângulos em que isso é possível.