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CAPÍTULO 9 Razões, proporções e porcentagem

Baleia-azul de porte grande. 150 toneladas. 30 metros. Abaixo, um carro e uma pessoa marca de 5 metros. Baleia franca de porte médio. 50 toneladas. 18 metros. Baleia jubarte de tamanho menor. 40 toneladas. 16 metros. Baleia orca de tamanho menor. 9 toneladas. 10 metros. Baleia beluga de porte pequeno. 1,3 toneladas. 6 metros.

Observe, leia e responda no caderno.

a) Identifique os diferentes dados apresentados na ilustração. O que esses dados representam?

b) Qual é a relação entre as medidas de comprimento das baleias jubarte e franca?

c) Aproximadamente quantas pessoas medindo 1,70 métro de altura, enfileiradas umas sobre as outras, equivalem ao comprimento médio da baleia-azul?

d) As baleias têm um ciclo de reprodução longo; as baleias franca, por exemplo, têm um filhote a cada três anos, e as baleias jubarte têm um filhote por ano. No caso de algum evento extremo, como a caça excessiva, o que o longo ciclo reprodutivo significa para as baleias?

A baleia é o maior mamífero do planeta. A baleia-azul, a maior espécie de baleias e o maior animal do mundo, tem em média 150 toneladas e mede cêrca de 30 metros de comprimento, o que equivale ao comprimento de mais de 6 carros populares enfileirados. Estima-se que existam cêrca de 1,5 milhão de baleias de diferentes espécies habitando os oceanos atualmente. Todos os anos, centenas de baleias das espécies franca e jubarte visitam o litoral do Brasil durante seu período de reprodução, entre julho e novembro.

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1. O conceito de razão

Observe as situações.

Situação 1

Uma pesquisa realizada em um bairro revelou que 160 das quatrocentas pessoas pesquisadas praticam atividades físicas regularmente.

À direita, árvore com uma mulher, uma criança e um cachorro ao lado. À esquerda, homem e mulher caminhando.

Com os dados da pesquisa, podemos estabelecer uma relação entre o número de pessoas que praticam atividades físicas regularmente e o número total de pessoas pesquisadas, escrevendo:

\frac{160}{400} = \frac{2}{5}

Esse quociente é chamado de razão. Podemos dizer, então, que a razão do número de pessoas que praticam atividades físicas regularmente para o número total de pessoas pesquisadas é de duas para 5. Isso significa que, de cada 5 pessoas pesquisadas, duas praticam atividades físicas regularmente.

Situação 2

Sebo é o nome popular dado a livrarias que compram, vendem e trocam livros usados.

mesas e poltronas; nas paredes laterais e ao fundo, estantes com livros. — Livraria sebo no centro do Rio de Janeiro. (Fotografia de 2019).

Uma pesquisa realizada por um sebo revelou que durante um trimestre foram vendidos 750 romances e 150 livros de histórias em quadrinhos.

A razão entre o número de livros de histórias em quadrinhos e o de romances vendidos no trimestre é

\frac{150}{750}

. Calculando esse quociente, encontramos 0,20 ou

\frac{20}{100}

. Isso significa que, enquanto foram vendidos 20 livros de histórias em quadrinhos, venderam-se cêrca de 100 romances.

A razão entre dois números é o quociente entre eles, com o segundo número diferente de zero.

Considere a razão

\frac{1}{5}

(lemos: “razão de um para cinco”). Ela pode ser representada por 1 : 5, ou na fórma de fração

(\frac{1}{5})

ou pela fração equivalente

\frac{20}{100}

, na fórma decimal (0,2 ou 0,20), ou na fórma percentual (20%).

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Leia novamente a situação 1 do início deste capítulo.

a) Qual é a razão entre o número de pessoas que não praticam atividades físicas regularmente e o número total de pessoas pesquisadas?

b) Escreva a razão obtida no item a na fórma decimal.

c) Escreva a razão obtida no item a na fórma percentual.

d) Qual é o significado da razão que você encontrou?

2 Entre os estudantes de uma escola, existem trezentas e cinquenta meninas e 210 meninos.

a) Determine a razão entre:

umo número de meninas e o número de meninos;

doiso número de meninos e o número de meninas;

trêso número de meninas e o número de estudantes da escola;

quatroo número de meninos e o número de estudantes da escola.

b) Escreva o significado de cada uma das razões obtidas.

c) Escolhendo ao acaso um desses estudantes, qual é a probabilidade de ser uma menina? E qual é a probabilidade de ser um menino?

3 Durante um jôgo de futebol entre Fortaleza e Ceará, havia .30000 torcedores no estádio. De cada 5 torcedores, 2 torciam para o Fortaleza e 3 para o Ceará.

a) Determine a razão entre o número de torcedores do Fortaleza e o número de torcedores do Ceará no estádio.

b) Determine a razão entre o número de torcedores do Fortaleza e o total de torcedores no estádio.

c) É correto afirmar que, dos .30000 torcedores, .12000 eram torcedores do Fortaleza? Por quê?

d) Qual é a porcentagem de torcedores do Ceará que assistiam a esse jôgo no estádio?

e) Um brinde foi sorteado, ao acaso, entre um desses torcedores. Qual time tem a maior probabilidade de ter um de seus torcedores contemplados? Justifique.

4 A turma a do 7º ano da escola Girassol tem igual número de meninas e de meninos. Uma recente pesquisa revelou o esporte preferido entre as meninas. Observe o quadro.

Futebol	Vôlei	Basquete	Tênis
12	5	2	1

Determine a razão entre:

a) o número de meninas que preferem futebol e o total de meninas;

b) o número de meninas que preferem vôlei e o das que preferem futebol;

c) o número de meninas que preferem tênis e o das que preferem basquete;

d) o número de meninas que preferem basquete e o das que preferem vôlei;

e) o número de meninas e o número de meninos;

f) o número de meninas que preferem futebol e o total de estudantes da turma.

5 Observe a tabela.

Número estimado de habitantes de algumas capitais brasileiras em 2021
Capital	Número de habitantes
Rio de Janeiro	6.775.561
Fortaleza	2.703.391
Curitiba	1.963.726
Belo Horizonte	2.530.701
Vitória	369.534

Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Disponível em: https://oeds.link/ny433l. Acesso em: 21 fevereiro 2022.

a) Calcule a razão entre o número de habitantes de Fortaleza e o do Rio de Janeiro. Escreva essa razão na fórma de porcentagem.

b) Qual é a razão, na fórma de porcentagem, do número de habitantes de Vitória em relação ao de Curitiba?

6 Quantos meninos há na sua turma? E quantas meninas? Com base nessas informações, responda:

a) Qual é a razão entre o número de meninas e o número de meninos?

b) E qual é a razão entre o número de meninos e o total de estudantes da turma?

c) Na sua opinião, os valores calculados se mantêm para todas as turmas da escola? Justifique sua resposta.

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2. Razão entre grandezas

Considere as situações.

Situação 1

Considere os quadrados ilustrados.

Ilustração. Quadrado com 2 centímetros de lado. À direita, quadrado com 3 centímetros de lado.

• A razão entre a medida de um dos lados do quadrado menor e a medida de um dos lados do quadrado maior é

\frac{2}{3} .

Note que aqui comparamos duas medidas de comprimento, ou seja, duas medidas da mesma grandeza.

• A medida do perímetro do quadrado menor é 8 centímetros; a medida do perímetro do quadrado maior é 12 centímetros. A razão entre a medida do perímetro do quadrado menor e a medida do perímetro do quadrado maior é

\frac{8}{12} .

Simplificando, obtemos

\frac{2}{3} .

Aqui também comparamos duas medidas de comprimento.

• A medida da área do quadrado menor é 4 centímetros quadrados; a medida da área do quadrado maior, 9 centímetros quadrados.

A razão entre a medida da área do quadrado menor e a medida da área do quadrado maior é

\frac{4}{9} .

Ilustração. Homem de cabelo castanho, faixa verde na cabeça e camiseta amarela. Ele fala: Você reparou que a fração 4 nonos, igual ao quadrado de 2 terços?

Nesse caso, comparamos duas medidas de área, ou seja, também comparamos duas medidas da mesma grandeza.

Situação 2

A domesticação dos camelos foi praticada há milhares de anos. Esses animais, de cêrca de 0,65 tonelada de massa, demonstram grande resistência a temperaturas extremas e têm capacidade de andar cêrca de 65 quilômetros ao dia em regiões inóspitas, carregando cargas de até 200 quilogramas.

Fotografia.
Vista frontal de pirâmides em solo de terra. À direita, homem sobre um camelo. — Treinador de camelos monta um camelo nos arredores ocidentais da cidade gêmea de Gizé, capital egípcia. (Fotografia de 2021.)

Para determinar a razão entre a medida da massa do camelo e a medida da massa que ele pode carregar, devemos escrever essas duas medidas da grandeza massa em uma mesma unidade de medida.

0,65 tonelada = 0,65 ⋅ .1000 quilogramas = 650 quilogramas

Então, a razão procurada é

\frac{200}{650}

\frac{4}{13} .

A razão entre duas medidas da mesma grandeza ou entre duas medidas de grandezas de mesma natureza, em uma mesma unidade de medida, é o quociente dos números que expressam essas medidas.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

7 Considere o segmento

\overline{A C}

Ilustração. Segmento de reta AC. Entre eles, ponto B. Segmento AB, 4 centímetros. Segmento BC, 6 centímetros.

Determine a razão entre as medidas dos segmentos:

\overline{A B} e \overline{B C};

\overline{A B} e \overline{A C};

\overline{B C} e \overline{A C};

\overline{B C} e \overline{A B} .

8 Uma latinha de refrigerante tem capacidade de 350 mililitros, e uma garrafa, de 2 litros. Determine a razão entre as medidas da capacidade dessa latinha e a da capacidade dessa garrafa.

9 Considerando

como unidade de medida de área, para a figura a seguir, determine a razão entre as medidas das áreas:

a) da parte laranja e da parte azul;

b) da parte azul e da parte laranja;

c) da parte azul e da figura.

Ilustração.
Figura composta por 7 triângulos azuis acima e 8 triângulos laranjas abaixo.

10 Observe os anúncios.

Ilustração. Anúncio A. Molho de tomate. Caixa de molho de tomate de 200 gramas. 3 reais e 60 centavos. Ao lado, anúncio B. Molho de tomate. Lata de molho de tomate 450 gramas. 7 reais.

Agora, responda em seu caderno.

a) Qual é a razão entre o preço do môlho de tomate da marca a e o preço do môlho de tomate da marca B?

b) Qual é a razão entre as medidas da massa do môlho de tomate da marca a e a da massa do môlho de tomate da marca B?

c) Qual é a medida da massa de 9 caixas do môlho da marca a? E qual é o preço delas?

d) Qual é a medida da massa de 4 caixas do môlho da marca bê? E qual é o preço delas?

Supondo que tenham a mesma qualidade, é mais vantajoso comprar o môlho da marca a ou da marca bê?

11 Um jôgo de equilíbrio!

Observe as figuras e encontre o número de xícaras que devem estar no prato da balança D para que ela fique em equilíbrio, ou seja, com os dois pratos nivelados.

Ilustração A. Balança de dois pratos. À esquerda, uma jarra. À direita, um bule. A balança está equilibrada. Ilustração B. Balança de dois pratos. À esquerda, uma jarra. À direita, uma xícara. A balança está equilibrada. Ilustração C. Balança de dois pratos. À esquerda, três pratos. À direita, dois bules. A balança está equilibrada. Ilustração D. Balança de dois pratos. À esquerda, ponto de interrogação. À direita, uma jarra. A balança está equilibrada. À esquerda, três pires.

Agora, responda no caderno.

a) Qual é a razão entre a medida da massa de um pires e a medida da massa de uma xícara?

b) Qual é a razão entre as medidas da massa de um bule e da massa de um pires?

Hora de criar – Em duplas, elaborem dois problemas diferentes, um cada, para a determinação da razão entre duas medidas de comprimento. Troquem de caderno e resolvam o problema um do outro. Depois destroquem para corrigi-los. As duas razões obtidas são equivalentes?

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Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Um programa de televisão distribuiu prêmios em dinheiro para quatro participantes. Pedro e Melissa, juntos, receberam a metade dos prêmios. A razão entre o valor recebido por Pedro e o valor recebido por Melissa é

\frac{4}{3}

. Vanessa recebeu o dôbro de Melissa. E Márcio, o último participante, recebeu R$ 50.000,00cinquenta mil reais. Qual foi o valor total dos prêmios distribuídos?

Ilustração. Televisor com um apresentador de terno segurando microfone. Atrás dele, dois garotos à esquerda e duas garotas à direita.

Escala

Observe o mapa da região Sul do Brasil.

Região Sul do Brasil

Nele, a medida da distância entre Porto Alegre e Florianópolis, em linha reta, é igual a 1,9 centímetro (com uma régua, verifique no mapa). A distância real, em linha reta, entre essas duas cidades mede aproximadamente 380 quilômetros.

Vamos calcular a razão entre a medida da distância entre Porto Alegre e Florianópolis no mapa e a medida da distância real entre as duas cidades, em linha reta. Para isso, precisamos expressá-las em uma mesma unidade de medida.

Transformamos 380 quilômetros (distância real) em centímetro:

380 quilômetros = ..38000000 centímetros

Portanto, a razão procurada é dada por:

\frac{1, 9}{38 000 000} = \frac{1}{20 000 000}

= 1 : ..20000000

A razão 1 para ..20000000 indica que cada centímetro representado no mapa corresponde a ..20000000 centímetros, isto é, cada centímetro no mapa corresponde a 200 quilômetros.

A esse tipo de razão chamamos de escala.

Em um mapa, podemos representar essa escala assim:

Esquema.
Segmento de reta de 0 a 200 quilômetros.

Escala é a razão entre uma medida de comprimento em um desenho (ou outra representação qualquer) e a medida de comprimento real correspondente em uma mesma unidade de medida.

escala = \frac{medida de comprimento no desenho}{medida de comprimento real}

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Acompanhe outros exemplos.

a) As miniaturas de trens são construídas segundo uma escala. Uma das escalas mais usadas nesse tipo de construção é chamada agá zero (half zero), cuja razão é

\frac{1}{87} .

Isso significa que cada 1 centímetro na miniatura corresponde a 87 centímetros no trem em tamanho real, por exemplo. Ou seja, temos uma escala de 1 : 87 (lemos: “escala de um para oitenta e sete”).

Fotografia. Vista parcial de um trem de brinquedo sobre trilhos.

b) As plantas baixas de casas e apartamentos também são desenhadas obedecendo a uma escala. Existem programas de computador próprios para isso. Entretanto, quando essas plantas são feitas à mão, geralmente se usa uma régua chamada escalímetro, que facilita o traçado do desenho. Observe as fotografias.

Fotografias. A. Escalímetro, instrumento graduado com medidas em formato triangular. B. Destaque para as extremidades do escalímetro. — Fotografia de um escalímetro e algumas de suas escalas.

O escalímetro é uma régua triangular com três faces e seis escalas, duas em cada face. Nele, o número que está ao lado esquerdo do zero indica a escala que está sendo utilizada. Por exemplo, na fotografia a, o número 20 indica que a escala é de 1 para 20 (1 : 20). Isso significa que cada uma unidade de medida no desenho representa 20 unidades de medida em tamanho real.

O escalímetro das fotografias apresenta estas escalas:

\frac{1}{20}

\frac{1}{25}

\frac{1}{50}

\frac{1}{75}

\frac{1}{100}

\frac{1}{125}

c) Uma sala mede 9 métros de comprimento. Essa medida de comprimento equivale a 6 centímetros em um desenho. Qual é a escala do desenho?

Ilustração. Planta baixa de uma sala em formato retangular. À esquerda, móvel com televisão, tapete e sofás. À direita, mesa de jantar.

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Primeiro, transformamos 9 métros (medida de comprimento real) em centímetro: 9 métros = 900 centímetros.

Agora, podemos fazer os cálculos.

escala =

\frac{m e d i d a d e c o m p r i m e n t o n o d e s e n h o}{m e d i d a d e c o m p r i m e n t o r e a l}

\frac{6}{900}

\frac{1}{150}

Logo, a escala desse desenho é

\frac{1}{150}

ou 1 para 150.

d) Um mapa foi desenhado na escala

\frac{1}{31 000 000}

, e a medida da distância entre as cidades de Brasília e João Pessoa, em linha reta, foi representada por 5,5 centímetros. Qual é a medida da distância real aproximada, em quilômetro, entre essas cidades?

A escala indica que cada centímetro no mapa equivale a uma distância real de ..31000000 centímetros, isto é, 310 quilômetros.

Logo, 5,5 centímetros equivalem a 5,5 ⋅ 310 quilômetros = .1705 quilômetros. Portanto, a medida da distância aproximada entre as duas cidades é .1705 quilômetros.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

13 A distância entre duas cidades, em linha reta, mede 500 quilômetros. Essa distância foi representada em um mapa por um segmento medindo 5 centímetros. Qual foi a escala utilizada nesse mapa?

14 A medida do comprimento da sala de um apartamento equivale à medida de 28 centímetros em uma planta baixa. Sabendo que a medida do comprimento real da sala é 7 métros, que escala foi usada nessa planta baixa?

15 Mauro quer desenhar o terreno de sua casa, que é retangular e mede 15 métros de frente por 20 métros de fundo. Ele quer desenhá-lo em uma folha que mede 28 centímetros de comprimento e 18 centímetros de largura, na escala

\frac{1}{100}

. O desenho do terreno caberá nessa folha? E se a escala usada for

\frac{1}{20}

16 Com um escalímetro, a planta de uma casa foi desenhada na escala

\frac{1}{125}

. Nessas condições, responda às questões.

a) Qual é a medida de comprimento real, em metro, de uma sala que, nessa planta, equivale à medida de 5,2 centímetros?

b) Os quartos dessa casa medem 3 métros por 4 métros. Quais são as medidas dos quartos nessa planta?

c) Na planta, o terreno mede 6,4 centímetros por 28 centímetros. Quais são as medidas reais desse terreno, em metro?

17 Desenhe a planta baixa do cômodo em que você dorme. Use a escala 1 para 75.

18 Uma caminhonete de 4,80 métros de comprimento foi representada na figura a seguir.

Ilustração. Caminhonete vermelha virada para a esquerda. O comprimento é 4,80 metros.

Com uma régua, meça o comprimento da caminhonete na figura e determine a escala que foi utilizada para desenhá-la.

19 Observe a planta baixa de um apartamento e responda às questões.

a) Quais são as medidas reais da cozinha?

b) Determine a medida da área real da sala.

Ilustração. Planta baixa de um apartamento. À esquerda, banheiro e abaixo, dormitório. À direita, sala e abaixo, cozinha. A medida do lado maior da cozinha é 2 centímetros e o menor, 1,4 centímetros. Acima, sala com lado maior de 3 metros e menor 2 centímetros.

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20 No mapa, estão marcados os pontos extremos do Brasil: no Norte, a nascente do rio Ailã (fronteira do Brasil com a Guiana), no monte Caburaí, em Roraima; no Sul, o arroio Chuí, no Rio Grande do Sul (fronteira do Brasil com o Uruguai); no Leste, banhada pelo oceano Atlântico, a Ponta do Seixas, na Paraíba; no Oeste, a nascente do rio Moa (fronteira do Brasil com o Peru), na serra de Contamana, no Acre. Determine a escala aproximada usada nesse mapa.

Pontos extremos do Brasil

Hora de criar – Em duplas, desenhem a planta baixa da sua sala de aula ou de um dos prédios da sua escola utilizando duas escalas diferentes. Troquem seus cadernos e comparem as medidas dos dois desenhos. As medidas são iguais? Os desenhos são semelhantes?

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Em um folheto de propaganda de um novo condomínio, junto ao mapa do local, vem escrito: “Mapa da localização sem escala”. O que isso quer dizer?

3. Proporção

Juliana coleciona gibis. A cada 5 gibis de sua coleção, 1 é de histórias em quadrinhos feitas no estilo japonês (mangá).

Ilustração. Menina de cabelo castanho e blusa laranja segura um gibi na vertical. À esquerda e direita, dois gibis de cada lado.

Assim, a cada 10 gibis da coleção de Juliana, 2 são mangás; a cada 15 gibis, 3 são mangás; a cada 20 gibis, 4 são mangás; e assim por diante.

Então, a razão do número de gibis da coleção de Juliana que são mangás para o número total de gibis da coleção pode ser representada pelas frações equivalentes:

\frac{1}{5}

\frac{2}{10}

\frac{3}{15}

\frac{4}{20}

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Observe que todas essas razões são iguais a

\frac{1}{5}

\frac{1}{5} = \frac{2}{10}

\frac{1}{5} = \frac{3}{15}

\frac{1}{5} = \frac{4}{20}

Sentenças como essas, que representam uma igualdade entre duas razões, são chamadas de proporção.

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

A proporção

\frac{1}{5} = \frac{2}{10}

também pode ser indicada assim: 1 para 5 = 2 para 10.

Em ambos os casos, essa proporção é lida: “um está para cinco assim como dois está para dez”.

De modo geral, podemos dizer que os números a, b, c e d, não nulos, formam, nessa ordem, uma proporção quando

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} .

• Os números a, b, c e d são os termos da proporção.

• Os termos a e d são chamados de extremos da proporção.

• Os termos b e c são chamados de meios da proporção.

Por exemplo, na proporção

\frac{1}{5} = \frac{2}{10}

os extremos são 1 e 10, e os meios, 5 e 2.

Agora, vamos verificar se os números 4, 6, 10 e 15 formam, nessa ordem, uma proporção.

\frac{4}{6} = \frac{2}{3}

\frac{10}{15} = \frac{2}{3}

As razões são iguais; logo,

\frac{4}{6} = \frac{10}{15}

Portanto, os números 4, 6, 10 e 15 formam, nessa ordem, uma proporção.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

22 Escreva como se lê a proporção

\frac{4}{5} = \frac{8}{10}

. Em seguida, identifique:

a) os termos dessa proporção;

b) os meios dessa proporção;

c) os extremos dessa proporção.

23 Verifique em cada caso se os números, nessa ordem, formam uma proporção. Em caso afirmativo, escreva a proporção.

a) 2, 5, 8 e 20

b) 2, 8, 20 e 5

c) 6, 14, 9 e 27

d) 9, 6, 15 e 10

24 Com o auxílio de uma régua, meça os lados das regiões retangulares a seguir e determine:

a) a razão entre a medida do comprimento do retângulo menor e a medida do comprimento do retângulo maior;

b) a razão entre a medida da largura do retângulo menor e a medida da largura do retângulo maior;

c) a proporção formada no caso de essas razões serem iguais.

Ilustração. Retângulo vermelho. Ao lado, retângulo azul maior. Com marcações de ângulo de 90 graus em seus vértices.

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25 Verifique se as medidas dos segmentos

\overline{A B},

\overline{C D}

\overline{E F}

\overline{G H}

, nessa ordem, formam uma proporção. Justifique sua resposta.

Ilustração. Quatro segmentos de reta divididos em partes iguais. Do menor para o maior: Segmento A B: 3 partes. Segmento C D: 4 partes. Segmento E F: 6 partes. Segmento G H: 8 partes.

26 Escreva uma proporção na qual uma das razões seja

\frac{5}{9} .

27 Para que os números 15, xis, 3 e 4 formem, nessa ordem, uma proporção, qual deve ser o valor de xis ?

Um mercado vende o mesmo tipo de arroz em dois tipos de pacote:

• de 2 quilogramas por R$ 8,90oito reais e noventa centavos;

• de 5 quilogramas por R$ 21,90vinte e um reais e noventa centavos

a) Para cada pacote, determine a razão entre o preço e a medida da massa.

Ilustração. Destaque para uma prateleira com pacote de 5 quilogramas de arroz tipo 1 que custa 21 reais e 90 centavos. O pacote de 2 quilogramas custa 8 reais e 90 centavos.

b) Essas razões formam uma proporção? Justifique sua resposta.

c) Entre os dois pacotes, qual deles é mais vantajoso comprar? Por quê?

d) Quanto deveria custar o pacote de 2 quilogramas para que o seu preço fosse equivalente ao preço do pacote de 5 quilogramas?

Hora de criar – Em duplas, elaborem duas receitas culinárias simples, uma cada. Troquem de caderno e reescrevam a receita um do outro como se fossem fazê-la para o dôbro de pessoas, ou seja, duplicando a receita. Indiquem as proporções entre alguns dos ingredientes da receita original e da receita duplicada. Destroquem os cadernos e verifiquem se as proporções indicadas pelo colega estão corretas.

4. Propriedade fundamental das proporções

Considere a proporção

\frac{6}{5} = \frac{18}{15} .

• Os extremos dessa proporção são 6 e 15, e seu produto é 90.

• Os meios são 5 e 18, e seu produto também é 90.

Perceba que, nessa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Considere estas outras proporções:

\frac{0, 9}{0, 6} = \frac{15}{10}

Esquema. 0,9 vezes 10 igual a 9 (produto dos extremos) igual a 0,6 vezes 15 igual a 9 (produto dos meios).

\frac{8}{12} = \frac{12}{18}

Esquema. 8 vezes 18 igual 144 (produto dos extremos) igual 12 vezes 12 igual 144 (produto dos meios).

Isso acontece em todas as proporções.

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Essa é a propriedade fundamental das proporções.

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Por meio dessa propriedade, também podemos identificar quando duas razões formam uma proporção.

Acompanhe alguns exemplos.

\frac{8}{10} e \frac{24}{30}

formam uma proporção, pois:

Esquema. 8 vezes 30 igual a 240 (produto dos extremos) igual a 10 vezes 24 igual a 240 (produto dos meios).

\frac{4}{3} e \frac{12}{9}

formam uma proporção, pois:

Esquema. 4 vezes 9 igual a 36 (produto dos extremos) igual a 3 vezes 12 igual a 36 (produto dos meios).

\frac{2}{4} e \frac{3}{5}

não formam uma proporção, pois o produto dos extremos (2 ⋅ 5 = 10) é diferente do produto dos meios (4 ⋅ 3 = 12).

Nas situações a seguir, observe como podemos encontrar o valor desconhecido de um termo em uma proporção usando a propriedade fundamental.

Situação 1

A maquete de um ginásio de esportes tem medida da largura igual a 54 centímetros e foi construída na escala

\frac{9}{250};

ou seja, cada 9 centímetros na maquete correspondem a 250 centímetros no ginásio em tamanho real.

Ilustração. Vista de cima de maquete. À esquerda, construção e piscina retangular. No centro, quadra de futebol. À direita, quadra de basquete, quadras de vôlei, duas piscinas e construções.

Vamos calcular a medida real da largura desse ginásio de esportes.

escala = \frac{medida de comprimento no desenho}{medida de comprimento real}

\frac{9}{250} = \frac{54}{x}

Observe que obtivemos uma proporção.

Aplicando a propriedade fundamental das proporções e resolvendo a equação obtida, temos:

9x = 54 ⋅ 250

\frac{9 x}{9} = \frac{54 \cdot 250}{9}

x = .1500

Logo, a medida da largura real desse ginásio é de .1500 centímetros, ou seja, 15 métros.

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Situação 2

Vamos calcular o valor de xis na proporção

\frac{3 x - 1}{x + 4} = \frac{2}{3} .

Produto dos extremos igual ao produto dos meios 3 vezes parentese 3x menos 1 parentese igual a 2 vezes parentese x mais 4 parentese. Fração. Numerador 7x, denominador 7, igual a, 11 sétimos. 11 sétimos

Pense mais um poucoreticências

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Reúna-se com um colega e façam o que se pede.

1 Criem, cada um, uma proporção com números inteiros não nulos e troquem-nas entre si.

a) Somem 1 a cada razão da proporção recebida do colega.

b) Verifiquem se as novas sentenças matemáticas obtidas representam uma proporção.

2 Agora, criem mais uma proporção cada um e façam a troca.

a) Subtraiam 1 de cada razão da proporção recebida do colega.

b) Verifiquem se as novas sentenças matemáticas obtidas representam uma proporção.

3 Dada a proporção

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, respondam.

\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}

é uma proporção? Justifiquem.

\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}

é uma proporção? Justifiquem.

4 Para que ei, ei + 1, b, b + 1 formem uma proporção, nessa ordem, que condições devem ser obedecidas?

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

30 Aplicando a propriedade fundamental das proporções, verifique se o par de razões

\frac{9}{6} e \frac{12}{8}

fórma uma proporção.

31 Em uma proporção, o produto dos extremos é 24 e um dos meios é 8. Determine o outro meio.

32 Uma proporção tem meios 6 e 10. Um dos extremos é 4. Qual é o outro extremo?

33 Calcule o valor de xis nas proporções.

\frac{6}{x} = \frac{9}{12}

\frac{2 x}{3} = \frac{‒ 24}{15}

\frac{3}{4} = \frac{5 x}{20}

\frac{x + 5}{3} = \frac{x - 1}{5}

Página 206

34 Para que valor de x os números 8, 6, 4 e x formam, nessa ordem, uma proporção?

35 Douglas e Eduardo participaram do sorteio de um prêmio em dinheiro. Eles combinaram que, se um dos dois fosse sorteado, eles dividiriam o prêmio na razão de 6 para 4, de modo que o amigo sorteado ficaria com a maior parte. Eduardo foi sorteado e ficou com R$ 3.000,00três mil reais.

a) Com quanto Douglas ficou?

b) Qual foi o valor total do prêmio?

36 A miniatura de um carro, construída na escala 1 para 96, mede 5,5 centímetros de comprimento. Qual é a medida do comprimento real do carro?

37 Luciana foi a uma pizzaria comemorar seu aniversário. Como havia muitos convidados, não foi possível acomodá-los na mesma mesa. Então, eles foram divididos em dois grupos da seguinte fórma:

Ilustração. Vista de cima. À esquerda, mesa retangular com 9 pessoas sentadas ao redor. Sobre a mesa, prato e talheres na frente de cada pessoa. Ao lado, mesa retangular com 5 pessoas sentadas ao redor. Sobre a mesa, prato e talheres na frente de cada pessoa

a) Sabendo que os convidados da mesa menor comeram duas pizzas e meia e os da mesa maior comeram proporcionalmente a mesma quantidade de pizzas da mesa menor, quantas eles comeram?

b) Ao dividir a conta, os convidados da mesa menor pagaram R$ 90,00noventa reais no total, e os da mesa maior, R$ 120,00cento e vinte reais. Essa divisão foi justa? Justifique sua resposta.

38 Calcule x e y na proporção

\frac{x}{y} = \frac{8}{3}

, sabendo que x + y = 132.

39 Um marceneiro dividiu uma ripa de madeira medindo 14 centímetros de comprimento em dois pedaços na razão de 3 para 4. Qual é a medida, em centímetro, do pedaço maior?

40 Um prêmio de R$ 10.000,00dez mil reais foi dividido entre os dois primeiros colocados em uma prova de atletismo na razão de 5 para 3.

Ilustração. Dois atletas, um com roupa verde e outro com roupa azul, com medalha no pescoço. Eles seguram um cheque no valor de 10 mil reais.

a) Indique por x a parte que coube ao primeiro colocado e por y a parte que coube ao segundo. Escreva o sistema de equações associado a essa situação.

b) Qual é o valor de x? E de y?

41 Ao preparar a ração para as cabras que cria, Raimundo mistura semente de soja com feno na razão de 1 para 2. Para 60 quilogramas dessa mistura, qual é a massa de semente de soja, em quilograma, utilizada?

Ilustração.
À esquerda, duas cabras. Ao lado, homem coloca semente de soja em recipiente no chão.

42 (ú éfe gê-Goiás) Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de largura seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do braço de um violão tem 4 centímetros de largura, e a segunda casa, 3 centímetros, calcule a largura da quarta casa. Na figura a seguir, está representado o braço de um violão com sua primeira casa hachurada.

Ilustração. Braço de um violão com 6 cordas.

Página 207

PARA SABER MAIS

Resolvendo problemas com o auxílio de esquemas

Em um passeio escolar, 160 jovens podiam escolher entre visitar o Museu Nacional, o Parque Nacional ou o Teatro Nacional. Sabe-se que 1 em cada 8 jovens decidiu visitar o Museu, 1 em cada 2 jovens decidiu visitar o Parque Nacional e 3 em cada 8 jovens decidiram visitar o Teatro Nacional.

A professora pediu a Pedro que calculasse o número de jovens que iriam em cada um desses três locais. Acompanhe como ele fez.

Esquema. À esquerda, 1. Uma flecha indica vezes 20. À direita, 20. Abaixo, à esquerda, 8, uma flecha indica vezes 20. À direita, 160. Esquema. À esquerda, 1. Uma flecha indica vezes 80. À direita, 80. Abaixo, à esquerda, 2, uma flecha indica vezes 80. À direita, 160. Esquema. À esquerda, 3. Uma flecha indica vezes 20. À direita, 60. Abaixo, à esquerda, 8, uma flecha indica vezes 20. À direita, 160.

Ilustração. Mulher de cabelo preto e blusa verde diz: Para cada local, fiz um esquema com os dados conhecidos. Foi fácil calcular que 20 jovens iriam ao museu. Bastou perceber que, se 1 está para 8, 20 está para 160. Usando a mesma estratégia, descobri que 80 jovens iriam ao Parque Nacional. ... E que 60 jovens visitariam o Teatro Nacional.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Explique o raciocínio de Pedro para calcular os números procurados.

2 Para cada situação a seguir, faça um esquema para calcular o que se pede.

a) Em certo dia de verão, havia duzentas e quarenta pessoas em um clube. Dessas pessoas, uma em cada 6 estava nas quadras, uma em cada duas estava na piscina e uma em cada 3 estava no restaurante. Calcule quantas pessoas estavam em cada local.

b) Durante um jôgo de futebol, havia .2800 torcedores no estádio. De cada 7 torcedores, 4 torciam para o time a e 3 torciam para o time B. Calcule quantas pessoas torciam para cada time nesse dia.

c) Em certo dia, ao pedalar de bicicleta, a cada 3 horas João percorria 51 quilômetros. Determine a medida da distância que João percorreu em duas horas e 30 minutos.

d) Uma moto mede 2,1 métros de comprimento. Uma miniatura dessa moto mede 7 centímetros de comprimento. Que escala foi usada na construção dessa miniatura?

e) Em um mapa, duas cidades, a e B, estão separadas por uma distância de 5 centímetros. No mapa, cada 1 centímetro representa .2500 métros. Calcule, em quilômetro, a medida da distância real entre as duas cidades.

Página 208

5. Porcentagem

Já vimos que a razão

\frac{30}{100}

pode ser representada na fórma decimal,

\frac{30}{100} = 0, 30

; e na fórma percentual,

\frac{30}{100} = 30 %

Agora, vamos ver diferentes maneiras de resolver problemas que envolvam porcentagens e proporções. Observe algumas situações.

Situação 1

Uma saca de arroz integral, após o processo de beneficiamento (retirada da casca e do farelo), sofreu perda de 25% da massa inicial. Se a saca de arroz contém 60 quilogramas, qual foi a massa perdida, em quilograma, no beneficiamento dessa saca?

Fotografia. Tubo cilíndrico por onde sai arroz e vai até saco abaixo. Uma pessoa está segurando o saco de touca e màscara branca. — Fábrica de beneficiamento de arroz em Bangladesh. (Fotografia de 2019.)

Esse problema pode ser resolvido de vários modos.

• 1º modo:

Precisamos calcular 25% de 60. Como 25% =

\frac{25}{100}

\frac{1}{4},

temos:

25% de 60 =

\frac{1}{4}

de 60 =

\frac{1}{4}

⋅ 60 =

\frac{60}{4}

= 15

Ilustração. Mulher de cabelo preto e camiseta azul diz: Note que calcular 25% de 60 equivale a dividir 60 por 4.

• 2º modo:

Como 25% =

\frac{25}{100}

= 0,25, temos: 25% de 60 = 0,25 ⋅ 60 = 15

• 3º modo:

Como 100% de 60 é 60, indicando 25% de 60 por x, temos a proporção:

\frac{100}{25} = \frac{60}{x}

100 ⋅ x = 25 ⋅ 60

100x = .1500

\frac{100 x}{100} = \frac{1500}{100}

x = 15

• 4º modo:

Usando uma calculadora simples para determinar 25% de 60, procedemos da seguinte maneira:

Ilustração. 60 vezes 25 por cento. Visor: 15.

Logo, foram perdidos 15 quilogramas de arroz no beneficiamento.

Página 209

Observação

▶ O método empregado no 1º modo de resolução é muito utilizado no cálculo mental de algumas porcentagens. Acompanhe alguns exemplos.

Ilustração. Homem de cabelo preto, óculos, camiseta roxa. ele está em pé com a mão abaixo do queixo e olha para cima.

a) 1% de 400 =

\frac{1}{100}

⋅ 400 =

\frac{400}{100}

= 4

Calcular 1% de 400 equivale a dividir 400 por 100.

b) 10% de 400 =

\frac{10}{100}

⋅ 400 =

\frac{1}{10}

⋅ 400 =

\frac{400}{10}

= 40

Calcular 10% de 400 equivale a dividir 400 por 10.

c) 20% de 400 =

\frac{20}{100}

⋅ 400 =

\frac{1}{5}

⋅ 400 =

\frac{400}{5}

= 80

Calcular 20% de 400 equivale a dividir 400 por 5.

d) 50% de 400 =

\frac{50}{100}

⋅ 400 =

\frac{1}{2}

⋅ 400 =

\frac{400}{2}

= 200

Calcular 50% de 400 equivale a dividir 400 por 2.

Situação 2

Na escola Aprender, 882 estudantes estão matriculados no período da manhã. Isso corresponde a 63% do total de estudantes da escola. Quantos estudantes estão matriculados nessa escola?

Ilustração. Vista da entrada de uma escola. No centro, escola com a porta aberta. À frente, pessoas. Nas laterais, grades e árvores.

Esse problema também pode ser resolvido de diferentes modos.

• 1º modo:

Representando o número de estudantes da escola Aprender por xis, temos:

63% de xis = 882

\frac{63}{100} \cdot x = 882

\frac{63 x}{100} = 882

63x = 882 ⋅ 100

\frac{63 x}{63} = \frac{88 200}{63}

xis = .1400

• 2º modo:

Como xis representa 100% dos estudantes, obtemos a proporção:

\frac{882}{x} = \frac{63}{100}

63x = 882 ⋅ 100

\frac{63 x}{63} = \frac{88 200}{63}

xis = .1400

Portanto, na escola Aprender estão matriculados .1400 estudantes.

Página 210

Situação 3

Uma prancha de surfe é vendida nas seguintes condições:

Ilustração. Interior de uma loja de surfe. À esquerda, pranchas na vertical. Ao lado, prancha vermelha e azul com a informação: R$ 360.00 À VISTA ou R$ 388,80 PARCELADO. Um garoto de cabelo vermelho, regata e bermuda florida está com as mãos na prancha. Ao lado, menina de cabelo castanho e vestido amarelo. À direita, mulher de cabelo castanho, camiseta verde, calça e bolsa no ombro. Elas olham para a prancha. À direita, camisetas penduradas e ao fundo, homem de camiseta branca atrás do balcão.

Qual é a taxa cobrada sobre o preço à vista, em porcentagem, na compra para pagamento parcelado?

Esse problema também pode ser resolvido de diferentes modos.

• 1º modo:

Primeiro vamos encontrar o valor em reais correspondente à porcentagem procurada, ou seja, precisamos calcular a diferença entre o preço para pagamento parcelado e o preço à vista.

388,80 ‒ 360,00 = 28,80

Indicando a taxa cobrada sobre o preço à vista, em porcentagem, por x %, temos:

x % de 360 = 28,80

\frac{x}{100} \cdot 360 = 28,80

360 ⋅ x = 28,80 ⋅ 100

360x = .2880

\frac{360 x}{360} = \frac{2 880}{360}

x = 8

Portanto, a taxa cobrada sobre o preço à vista é de 8%.

• 2º modo:

Podemos resolver o problema aplicando o conceito de proporção.

Diferença entre os preços = 388,80 ‒ 360,00 = 28,80

Valor (em R$)	Porcentagem
360,00	100
28,80	x

\frac{360}{28, 80} = \frac{100}{x}

360 ⋅ x = 28,80 ⋅ 100

360x = .2880

\frac{360 x}{360} = \frac{2 880}{360}

x = 8

Portanto, a taxa cobrada sobre o preço à vista é de 8%, ou seja, o preço para pagamento parcelado é 8% maior que o preço à vista.

Página 211

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Calcule mentalmente.

a) 10% de 850

b) 20% de 500

c) 50% de 75

d) 1% de 520

e) 100% de 125

f) 25% de 200

g) 30% de 120

h) 15% de 80

44 Responda.

a) 40 é quantos por cento de 100?

b) 5 é quantos por cento de 50?

c) 2,5 é quantos por cento de 5?

d) 10 é quantos por cento de 40?

e) 10 é quantos por cento de 80?

45 Ao comprar uma bicicleta no valor de R$ 420,00quatrocentos e vinte reais, obtive um desconto de 10% por ter pagado à vista.

a) Qual foi o valor do desconto que obtive?

b) Quanto paguei pela bicicleta?

46 Eduarda fez uma pesquisa com 960 internautas para saber o que eles mais gostam de fazer no fim de semana. Observe os resultados obtidos.

Gráfico em barras horizontais. Título: O que os internautas mais gostam de fazer no m de semana. No eixo x, porcentagem. No eixo y, tipos de lazer. Os dados são: Restaurantes: 25 porcento. Exposições: 8,75 porcento. Teatro: 6,25 porcento. Cinema: 12,5 porcento. Internet: 37,5 porcento. Esportes: 10 porcento. — Dados obtidos por Eduarda.

a) O que os internautas mais gostam de fazer no fim de semana?

b) Dos internautas pesquisados, quantos gostam de ir ao cinema no fim de semana?

c) Se todos os internautas que escolheram cinema tivessem escolhido restaurante, o que teria acontecido em relação à opção “internet”?

47 Na casa de Paola, eram gastos, em média, 960 quilouóts-hora de energia elétrica por mês. Com a mudança de alguns hábitos, como a redução no tempo de banho e o uso de lâmpadas léd, o consumo foi reduzido em 20%.

a) Essa redução corresponde a quantos quilouóts-hora?

b) Sabendo que o chuveiro elétrico representa, em média, 30% do consumo de energia elétrica em uma residência, calcule quantos quilouóts-hora são gastos, aproximadamente, na casa de Paola com o uso do chuveiro.

48 A população de uma cidade cresceu de .54600 para .68250 habitantes. De quantos por cento foi esse aumento?

49 Em uma compra de material escolar, observou-se que na nota fiscal constava o valor do Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Serviços (í cê ême ésse), que deve ser pago pela empresa sobre o valor da nota fiscal. Calcule a taxa, em porcentagem, referente a esse imposto.

Ilustração. Parte de uma nota fiscal. Cálculo do imposto. Base de cálculo do ICMS: 98,08. Valor do ICMS: 17,66. Valor total dos produtos: 98,08. Valor total da nota: 98,08.

50 O abastecimento de água em uma região metropolitana é feito por 8 sistemas que liberam 65 métros³ de água por segundo. Um desses sistemas atende 9 milhões de pessoas e libera 33 métros³ de água por segundo. Quantos por cento, aproximadamente, da quantidade de água liberada no total esse sistema representa?

Douglas foi a uma loja de roupas e comprou algumas peças para seus filhos, gastando um total de R$ 285,00duzentos e oitenta e cinco reais. Ao chegar ao caixa para o pagamento, a vendedora ofereceu um parcelamento em 10 prestações de R$ 35,00trinta e cinco reais.

a) Se optar pelo pagamento parcelado, que percentual Douglas estará pagando a mais pela compra?

b) Se Douglas tem o dinheiro para o pagamento à vista, seria uma escolha adequada optar pelo pagamento parcelado? Justifique sua resposta.

Página 212

PARA SABER MAIS

A Matemática na História

A ideia de porcentagem já era conhecida pela civilização romana, no século um antes de Cristo, quando o imperador Augusto estabeleceu vários impostos sobre mercadorias vendidas e sobre libertação e venda de escravizados. Por exemplo, havia o centesima rerum venalium, cujo significado é “centésimo do valor das coisas a serem vendidas”, que era uma taxa de

\frac{1}{100}

sobre o valor das mercadorias vendidas em mercados públicos. Sobre o valor de venda de escravizados, cobrava-se

\frac{1}{25}

e sobre cada escravizado libertado,

\frac{1}{20}

do valor correspondente.

Os romanos não lidavam com o “por cento” como tal, mas o conceito de porcentagem já estava presente, na medida em que eles usavam as frações que eram facilmente redutíveis a centésimos. Por exemplo, para as frações mencionadas anteriormente, temos:

•

\frac{1}{25} = \frac{4}{100},

ou seja, 4 centésimos de imposto sobre a venda de escravizados;

•

\frac{1}{20} = \frac{5}{100},

ou seja, 5 centésimos de imposto.

Na Idade Média, tanto no Oriente quanto no Ocidente, novas moedas entraram em circulação e surgiu a necessidade de uma base comum para a realização dos cálculos. Essa base foi o número 100. Contudo, nesse período, ainda não havia o conceito de porcentagem como conhecemos atualmente. Ele se tornou popular no século quinze em situações que envolviam questões comerciais, como cálculo de juros, de lucros e prejuízos, bem como de impostos.

Em manuscritos italianos do fim desse mesmo século, encontramos um grande número de exemplos que envolvem expressões como “xis pê cento” e “vê í pê cê” para indicar, em linguagem moderna, 10% e 6%, respectivamente.

Com o crescimento das atividades comerciais, várias obras de aritmética foram publicadas e, no fim do século quinze, a fórma de expressar porcentagens já estava estabelecida. Por exemplo, o matemático italiano Giorgio Chiarino utilizou, em 1481, diversas expressões, como “Xis xis. per. cêponto” para representar 20%, e “VIII in xis perceto” para expressar 8 a 10%.

Quanto à nomenclatura, o símbolo por cento, como o conhecemos hoje, aparece nas suas fórmas primitivas em manuscritos sobre aritmética comercial, com expressões como “per co” ou “p c^o”, uma abreviação para “por cento”. Em meados do século dezessete, esse símbolo evoluiu para “per

\frac{o}{o}

”, deixando posteriormente de apresentar o “per ” e chegando à fórma atual: por cento.

Agora é com você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Com base no texto, responda às questões.

a) Qual porcentagem sobre o valor de venda de uma mercadoria um comerciante deveria pagar como imposto ao imperador Augusto?

b) Qual é o significado de “4 centésimos de imposto sobre o valor de venda de escravizados”?

Página 213

6. Acréscimos e descontos

Considere as situações.

Situação 1

A pista de pouso e decolagem de um aeroporto media .3240 métros de comprimento. Em uma reforma, a medida do comprimento da pista aumentou em 15%, pois o aeroporto passou a operar voos internacionais, que são realizados em aviões maiores. Vamos determinar a nova medida de comprimento dessa pista.

Ilustração. Trator com rolo na parte da frente e na parte de trás. Ele passa sobre asfalto de uma rua. À direita, dois homens de capacete de proteção, roupa laranja e botas. Ao fundo, prédio.

Os .3240 métros correspondem a 100% do comprimento da pista. Então, a nova medida de comprimento equivale a 115% (100% + 15%).

Calculando 115% de .3240, encontramos a nova medida de comprimento sem precisar conhecer a quantidade de metros que a pista foi aumentada.

115% de .3240 =

\frac{115}{100}

⋅ .3240 = 1,15 ⋅ .3240 = .3726

Portanto, a nova medida de comprimento da pista será .3726 métros.

Situação 2

Uma loja de informática está vendendo um notebook por R$ 2.550,00dois mil quinhentos e cinquenta reais. No pagamento à vista, há um desconto de 8%. Vamos encontrar o preço à vista sem conhecer o valor do desconto em reais.

Ilustração. Notebook sobre uma bancada. À frente, mulher de cabelo preto, blusa verde e bolsa rosa aponta para ele. Ao lado, homem de camisa azul observa.

Os R$ 2.550,00dois mil quinhentos e cinquenta reais correspondem a 100% do valor do notebook. Então, o preço com desconto equivale a 92% (100% ‒ 8%) do valor total.

Calculando 92% de R$ 2.550,00dois mil quinhentos e cinquenta reais, encontramos o valor do notebook no pagamento à vista.

92% de .2550 =

\frac{92}{100}

⋅ .2550 = 0,92 ⋅ .2550 = .2346

Portanto, o preço do notebook à vista é R$ 2.346,00dois mil trezentos e quarenta e seis reais.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

52 José recebia R$ 1.400,00mil quatrocentos reais por mês. Ele foi promovido, obtendo um aumento de 9% no salário. Calcule quanto José ganha atualmente.

Uma loja vende determinado modelo de celular nestas condições:

• em três vezes: R$ 1.200,00mil duzentos reais;

• à vista: desconto de 4% sobre o valor financiado em 3 vezes;

• em 10 pagamentos (1 + 9): acréscimo de 12% sobre o valor financiado em três vezes.

Responda:

a) Qual é o valor do desconto quando se compra esse aparelho à vista?

b) Qual é o valor desse celular à vista?

c) Qual é o preço desse celular em 10 prestações?

d) Qual é a diferença entre o preço à vista e o preço em 10 pagamentos?

e) Como você planejaria seu orçamento para poupar seu dinheiro e comprar o celular à vista, pagando o preço mais baixo?

54 Mariana é dona de uma loja. Ela compra os produtos por um valor e os revende com um acréscimo de 24%. Qual será o preço final de uma mercadoria pela qual ela pagou R$ 72,50setenta e dois reais e cinquenta centavos? Se Mariana der 20% de desconto sobre o valor de venda, terá algum lucro sobre o preço de custo?

55 Um retângulo mede 48 centímetros de comprimento por 36 centímetros de largura. Diminuindo 12,5% na medida do comprimento e aumentando 12,5% na medida da largura, obtém-se um novo retângulo.

Com base nessas informações, faça o que se pede.

a) Determine as medidas do comprimento e da largura do novo retângulo.

b) Calcule a medida da área, em centímetro quadrado, do novo retângulo.

c) A medida da área do novo retângulo aumentou ou diminuiu em relação à medida da área do primeiro? Em quantos por cento aproximadamente?

56 Ao final de cada estação do ano, as lojas que comercializam roupas fazem liquidações. Com a chegada do outono, por exemplo, a liquidação de verão tenta acabar com os estoques para receber novas mercadorias. Supondo que um biquíni custava R$ 45,00quarenta e cinco reais e, com a liquidação, será vendido por R$ 27,00vinte e sete reais, qual é a taxa percentual de desconto?

57 Um teclado eletrônico custa R$ 540,00quinhentos e quarenta reais e é vendido em 3 prestações iguais. Na compra à vista, há um desconto de 10%. Qual é o valor do teclado à vista?

58 Observe a seguir o anúncio de uma geladeira das lojas Vende Mais!

Ilustração. Anúncio. Geladeira de duas portas. Ao lado, a informação: À VISTA: 1.668 reais igual 4 VEZES 417 reais SEM JUROS OU 1 mais 12 DE 159 reais e 80 centavos. TOTAL A PRAZO: 2.077 reais e 40 centavos.

Um cliente fez um bom negócio e conseguiu um desconto de 7,5% sobre o preço à vista.

a) Quanto o cliente pagou por essa geladeira?

b) Determine, em porcentagem, quanto o cliente economizou em relação ao valor a prazo.

59 Observe o gráfico a seguir.

Gráfico de setores. População mundial estimada para 2030. África: 19,75 porcento. Ásia: 58,19 porcento. Europa: 8,67 porcento. América: 12,83 porcento. Oceania: 0,56 porcento. — Fonte: Organização das Nações Unidas. Disponível em: https://oeds.link/aS0gaJ. Acesso em: 25 fevereiro 2022.

Sabendo que a população mundial estimada para o ano de 2030 é 8,5 bilhões de habitantes, responda.

a) Qual será a população da América nesse ano?

b) Supondo que o Brasil tenha 215 milhões de habitantes em 2030, quantos por cento isso representará, aproximadamente, da população do continente americano?

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Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Na loja de materiais esportivos Araruá, uma bicicleta ergométrica estava à venda por 450 reais. A gerente da loja autorizou o funcionário Fred a aumentar o preço da bicicleta em 20%. Fred, então, marcou o novo preço.

Depois de um mês, a bicicleta não tinha sido vendida. A gerente, então, pediu a Fred que reduzisse o preço em 20%. E assim foi feito.

Ao ver o novo preço, a gerente chamou o funcionário.

Ilustração. Em dois quadros apresenta mulher de cabelo castanho, óculos e camisa rosa. Ela segura uma caneta e um papel e um homem de cabelo castanho e camisa azul. Quadro 1. A mulher fala: Eu disse para retornar ao preço antigo. O homem diz: Não! Falou para reduzir o preço em 20%. Quadro 2. A mulher pergunta: E não dá na mesma? o homem responde: Será?

O que você acha? Faça as contas e descubra.

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Construindo um gráfico de setores

Em sua sorveteria, Marcelo deixa um freezer reservado apenas para armazenar os sorvetes sem lactose.

Como conhece bem seus clientes, ele abastece esse freezer com a quantidade necessária para atendê-los, conforme representado na tabela.

Sorvetes sem lactose da Sorveteria do Marcelo
Sabor	Quantidade de sorvetes	Porcentagem de sorvetes
Limão	105	35%
Uva	60	20%
Maçã verde	60	20%
Maracujá	45	15%
Abacaxi	30	10%

Dados obtidos por Marcelo.

Página 216

Com base nesses dados, podemos construir um gráfico de setores formado por um círculo dividido em cinco partes; cada parte é chamada de setor circular e está relacionada a um valor percentual.

O tamanho dos setores é determinado pelas medidas de abertura dos ângulos de cada setor. Um ângulo com medida de abertura de 360graus corresponde a 100% dos sorvetes sem lactose. Assim, a medida do ângulo de cada setor é obtida do seguinte modo:

Sabor	Na tabela	No gráfico
Limão	35% do total de sorvetes	medida do ângulo: 35% de 360° ou $divisão de 35 sobre 100$ · 360° = 126°
Uva	20% do total de sorvetes	medida do ângulo: 20% de 360° ou $divisão de 20 sobre 100$ ⋅ 360° = 72°
Maçã verde	20% do total de sorvetes	medida do ângulo: 20% de 360° ou $divisão de 20 sobre 100$ ⋅ 360° = 72°
Maracujá	15% do total de sorvetes	medida do ângulo: 15% de 360° ou $divisão de 15 sobre 100$ ⋅ 360° = 54°
Abacaxi	10% do total de sorvetes	medida do ângulo: 10% de 360° ou $divisão de 10 sobre 100$ ⋅ 360° = 36°

Após determinar a medida do ângulo correspondente a cada setor, desenha-se uma circunferência e marcam-se esses ângulos com uma régua e um transferidor. Esses ângulos estão associados à porcentagem de cada sabor de sorvete.

1º

Primeiro passo: construção de ângulo de 126 graus com o transferidor.

2º

Segundo passo: construção de ângulo de 72 graus com o transferidor ao lado do ângulo de 126 graus.

3º

Terceiro passo: construção de ângulo de 72 graus com o transferidor ao lado do ângulo de 72 graus.

Ilustração. Anúncio. SORVETE 100 porcento SEM LACTOSE. Ao lado, casquinha com duas bolas de sorvete na cor vermelha.

4º

Quarto passo: construção de ângulo de 54 graus com o transferidor ao lado do ângulo de 72 graus.

5º

Quinto passo: construção de ângulo de 36 graus com o transferidor ao lado do ângulo de 54 graus.

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Em seguida, cada setor é pintado com uma côr diferente. Registram-se, então, o nome e a porcentagem que correspondem a cada um dos setores.

Para finalizar, é necessário colocar o título do gráfico e a fonte dos dados apresentados.

Gráfico de setores. Sorvetes sem lactose da Sorveteria do Marcelo. Os dados são: Limão: 35 porcento. Abacaxi: 10 porcento. Maracujá: 15 porcento. Uva: 20 porcento. Maçã verde: 20 porcento. — Dados obtidos por Marcelo.

Ao interpretar as informações apresentadas pelo gráfico, percebe-se, por exemplo, que 35% dos sorvetes sem lactose da Sorveteria do Marcelo são de limão. Observa-se também que há uma mesma quantidade de sorvetes de maçã verde e de uva.

Esse tipo de gráfico é o mais indicado quando se quer comparar cada parte com o total, quando se quer comparar partes entre si e também quando se quer analisar proporções.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Durante uma aula de Matemática no 7º ano a da Escola São Lucas, a professora Ana fez uma pesquisa para identificar a preferência musical dos estudantes dessa classe. Após a pesquisa, Ana organizou os resultados obtidos em uma tabela como esta:

Preferência musical dos estudantes do 7º ano A
Gênero musical	Quantidade de estudantes	Porcentagem de estudantes
Rock	16	40%
Pagode	8	20%
Forró	12	30%
Outros	4	10%

Dados obtidos pela professora Ana.

Construa um gráfico de setores para a situação apresentada na tabela.

2 Faça uma pesquisa com, no mínimo, 10 pessoas da sua família (pais, irmãos, primos, tios, avós etcétera) sobre a preferência deles a respeito de um tema à sua escolha. Registre os dados em uma tabela com as quantidades absolutas em uma coluna e com as respectivas porcentagens em outra coluna. Com base na tabela, construa um gráfico de setores.

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Um quadrado mede 12 centímetros de lado, e outro mede 15 centímetros de lado. Qual é a razão entre:

a) a medida do lado do quadrado menor e a medida do lado do quadrado maior?

b) a medida do perímetro do quadrado menor e a medida do perímetro do quadrado maior?

c) a medida da área do quadrado menor e a medida da área do quadrado maior?

2 (Vunesp) Em uma festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes é

\frac{13}{12}

. A porcentagem de rapazes na festa é:

a) 44%.

b) 45%.

c) 40%.

d) 48%.

e) 46%.

3 (ú éfe cê-Ceará) Em um mapa cartográfico, 4 centímetros representam 12 quilômetros. Nesse mesmo mapa, 10 centímetros representarão quantos quilômetros?

4 Um ourives confecciona joias e coloca 6 gramas de prata em cada 18 gramas de ouro puro.

a) Qual é a razão entre a massa de prata e a massa de ouro puro que esse ourives usa?

b) Se em uma joia esse ourives usar 4,5 gramas de ouro puro, de quantos gramas de prata ele precisará?

5 (u éfe érre gê ésse-Rio Grande do Sul) Se a escala de um mapa é 5 por ..2500000 e dois pontos no mapa estão à distância de 25 centímetros, ao longo de uma rodovia, a medida da distância real em quilômetro é:

a) 100.

b) 125.

c) 150.

d) 200.

e) 250.

6 (ú éfe cê-Ceará) A planta de um apartamento está confeccionada na escala 1 : 50. Então, a área real, em métroduas, de uma sala retangular, cujas medidas na planta são 12 centímetros e 14 centímetros, é:

a) 24.

b) 26.

c) 28.

d) 42.

e) 54.

7 Verifique em cada caso se os números, nessa ordem, formam uma proporção.

a) 3, 2, 9 e 6

b) 4, 3, 3 e 8

8 Um poste medindo 5,40 métros de altura projeta uma sombra que mede 1,80 métro de comprimento. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra que mede 14,00 métros de comprimento. Qual é a medida da altura do prédio?

9 Em uma proporção, o produto dos extremos é 80 e um dos meios é 4. Determine o outro meio.

10 Observe a planificação de um cubo no qual foi escrita uma razão em cada uma de suas faces.

Determine o valor de xis, y e z, sabendo que as razões das faces opostas formam uma proporção.

Ilustração. Quadrados na horizontal representando planificação de um cubo. Em cada quadrado da planificação, uma expressão ou número. Quadrado 1: Fração, numerador: x mais 2, denominador: 2. Quadrado 2: Fração, numerador: 5 mais y, denominador: y menos 1. Quadrado 3: 4 quintos Quadrado 4: 3 quintos. Quadrado 5: Acima do terceiro quadrado com a fração, numerador: 2,5 mais z, denominador: 3. Quadrado 6: Abaixo do terceiro quadrado e com a fração 9 meios.

11 Neste anúncio, o valor economizado com o desconto está manchado. Considerando uma compra à vista, determine esse valor.

Ilustração. Revista . REFRIGERADOR. Sobre ela, geladeira 2.580 reais. À vista desconto de 17,2 porcento. Sobre a revista, caneca com café derramado. Ao lado, caneta e borracha. Está escrito parte de uma frase contendo apenas a palavra "Economize" e o símbolo de reais.

12 Márcia comprou um celular com um desconto de R$ 129,50cento e vinte e nove reais e cinquenta centavos, que equivale a 7% do valor do aparelho. Quanto ela pagou pelo celular?

13 (u ê ême ésse) Dentro de um recipiente há um líquido que perdeu 5% de seu volume total por meio de evaporação, restando 42,75 litros. Qual era o volume total desse líquido?

14 (u ê érre jota) Um lojista oferece 5% de desconto ao cliente que pagar suas compras à vista. Para calcular o valor com desconto, o vendedor usa uma máquina calculadora do seguinte modo:

Ilustração. Retângulo: preço total. Quadrados: vezes, 5, porcento, menos.

Um outro modo de calcular o valor com desconto seria multiplicar o preço total das mercadorias por:

a) 0,05.

b) 0,5.

c) 0,95.

d) 1,05.

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Em uma turma do 7º ano,

\frac{4}{7}

dos estudantes praticam algum esporte. Qual é o significado dessa razão?

a) A cada 7 estudantes da turma, 4 praticam algum esporte.

b) De todos os 7 estudantes da turma, 4 praticam algum esporte.

c) Apenas 7 estudantes praticam algum esporte.

d) Apenas 4 estudantes praticam algum esporte.

2 Carolina comprou dois livros de contos de mistério: um com 160 páginas e outro com quatrocentas e quarenta e oito páginas. Qual é a razão entre o número de páginas do primeiro livro e o número de páginas do segundo livro?

\frac{10}{23}

\frac{5}{14}

\frac{20}{51}

\frac{16}{44}

3 A medida da distância entre duas cidades é de 680 quilômetros. Em um mapa, essa distância é representada por um segmento de reta medindo 1,7 centímetro. Qual é a escala desse mapa?

a) 1 : ..2000000

b) 1 : ..40000000

c) 1 : ..30000000

d) 1 : ..4000000

4 Qual das proporções a seguir está correta?

\frac{15}{30} = \frac{2}{5}

\frac{24}{6} = \frac{8}{3}

\frac{4 500}{500} = \frac{7}{1}

\frac{90}{54} = \frac{5}{3}

5 Em um mapa cartográfico, 3 centímetros representam 9 quilômetros. Nesse mesmo mapa, 15 centímetros representarão quantos quilômetros?

a) 9 quilômetros

b) 15 quilômetros

c) 45 quilômetros

d) 135 quilômetros

6 Um carrinho de contrôle remoto custa R$ 360,00trezentos e sessenta reais e é vendido em 4 prestações iguais. Na compra à vista, há um desconto de 12% sobre o valor total do produto. Qual é o valor do carrinho à vista?

a) R$ 331,20trezentos e trinta e um reais e vinte centavos

b) R$ 324,00trezentos e vinte e quatro reais

c) R$ 316,80trezentos e dezesseis reais e oitenta centavos

d) R$ 309,60trezentos e nove reais e sessenta centavos

7 Uma garrafa de 275 mililitros de suco de determinada marca é vendida por R$ 3,00três reais. A garrafa de 1,5 litro da mesma marca é vendida por R$ 5,00cinco reais. As razões entre a capacidade de cada garrafa e o seu preço são proporcionais?

a) Sim, pois

\frac{275}{3} = \frac{1, 5}{5}

b) Sim, pois

\frac{0, 275}{3} = \frac{1, 5}{5}

c) Não, pois

\frac{275}{3} \neq \frac{1, 5}{5}

d) Não, pois

\frac{0, 275}{3} \neq \frac{1, 5}{5}

8 Calcule o valor de xis na proporção

\frac{2 x + 3}{4} = \frac{5 x}{9} .

a) 0,7

b) 1,5

c) 13,5

d) 15,0

9 Dalila faz parte de um cineclube com 120 membros. Na Mostra de Animação organizada anualmente por esse cineclube compareceram 65% dos membros. Quantos membros do cineclube participaram da Mostra?

a) 78

b) 65

c) 42

d) 30

10 O funcionário de uma empresa teve seu salário reajustado em 18% após ser promovido. Se o salário inicial era de R$ 1.650,00mil seiscentos e cinquenta reais, qual é o novo salário após a promoção?

a) R$ 1.668,00mil seiscentos e sessenta e oito reais

b) R$ 1.947,00mil novecentos e quarenta e sete reais

c) R$ 1.353,00mil trezentos e cinquenta e três reais

d) R$ 2.047,00dois mil quarenta e sete reais

11 Eduardo comprou um fone de ouvido em uma promoção. O preço original do fone era de R$ 250,00duzentos e cinquenta reais e a promoção ofereceu um desconto de 20%. Qual foi o valor pago pelo fone?

a) R$ 300,00trezentos reais

b) R$ 230,00duzentos e trinta reais

c) R$ 225,00duzentos e vinte e cinco reais

d) R$ 200,00duzentos reais

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões.

a) O que é uma razão? Dê exemplos de situações em que o conceito de razão é aplicado.

b) O que é uma proporção? Dê exemplos de situações em que o conceito de proporção é aplicado.

c) O que diz a propriedade fundamental das proporções?

d) Como você calcularia a porcentagem de um determinado valor?