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Parte 2

b) Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo interno mede 150graus?

Ilustração. Segmento horizontal formando ângulo de 150 graus com outro segmento inclinado. O ângulo externo correspondente ao de 150 graus está indicado como a e.

ai + ae = 180graus

150graus + ae = 180graus

ae = 180graus ‒ 150graus

ae = 30graus

Como

a_{e} = \frac{360 °}{n} e a_{e} = 30 °

, obtemos:

30 ° = \frac{360 °}{n}

30graus ⋅ n = 360graus

n = 12

Portanto, esse polígono tem 12 lados.

Note que o problema poderia ter sido resolvido fazendo

\frac{S_{i}}{n} = 150 °

\frac{(n ‒ 2) \cdot 180 °}{n}

= 150graus, ou seja, n = 12.

PARA SABER MAIS

Fluxograma da construção de polígono regular com êne lados de medida x

Se um computador fosse construir um polígono regular de n lados de medida x, ele poderia seguir os passos descritos no fluxograma ilustrado. Os valores de n e x são conhecidos.

Fluxograma. A figura é um fluxograma com 7 caixas legendadas ligadas por setas. Em cada etapa, as setas apontam para a frente para uma caixa. Aqui, o fluxograma é descrito como listas nas quais os próximos passos possíveis são listados abaixo de cada legenda da caixa. 1. Calcular a1 igual a, fração, numerador, abre parenteses, n menos 2, fecha parenteses, vezes 180 graus, denominador n. a. Avança para Fazer k igual a 1. 2. Fazer k igual a 1. a. Avança para Traçar o segmento P1P2 de medida x. 3. Traçar o segmento P1P2 de medida x. a. Avança para Com vértice P k mais 1, construir o ângulo de medida a1, e lados segmentos PkPkmais1 e pkmais1Pkmais2 de medida x. 4. Com vértice P k mais 1, construir o ângulo de medida a1, e lados segmentos P k P k mais 1 e p k mais 1 P k mais 2 de medida x. a. Avança para k mais 1 igual a n? 5. k mais 1 igual a n? a. Se sim, avança para Encerrar a construção. b. Se não, avança para Adicionar 1 a k, e avança para passo 4.

Observe a seguir o início da construção para k = 1, 2 e 3.

Ilustração. 3 segmento consecutivos com as medidas: P1 a P2: x. P2 a P3: x. P3 a P4: x. Em P2, ângulo a 1. Em P 3, ângulo a 2.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

No caderno, siga os passos do fluxograma e construa com régua e transferidor um pentágono regular (n = 5) com lados medindo 6 centímetros, ou seja, x = 6.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

28 Considere um decágono regular. Calcule as medidas ai e ae

, nessa ordem, lembrando que elas são suplementares. Depois, calcule-as na ordem inversa. Qual das maneiras de resolução você acha mais simples?

29 Sabendo que um polígono é regular e tem 15 lados, responda às questões.

a) Qual é o nome desse polígono?

b) Qual é a soma das medidas de seus ângulos internos?

c) Qual é a soma das medidas de seus ângulos externos?

d) Quanto mede cada um de seus ângulos internos?

e) Quanto mede cada um de seus ângulos externos?

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30 O icoságono é um polígono de 20 lados. Qual é a medida do ângulo interno de um icoságono regular?

31 Determine a diferença entre a medida de um ângulo interno e a de um ângulo externo de um octógono regular.

32 Sabendo que a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é .3960graus, responda às questões.

a) Quantos lados tem esse polígono?

b) Quanto mede cada um de seus ângulos internos?

c) Quanto mede cada um de seus ângulos externos?

d) Qual é a soma das medidas dos seus ângulos externos?

33 Sabendo que um ângulo externo de um polígono regular mede 12graus, responda.

a) Quantos lados tem esse polígono?

b) Quanto mede cada um de seus ângulos internos?

Reúna-se com um colega e respondam: se o número de lados de um polígono é par, pode-se dizer que o número de diagonais desse polígono também é par?

35 Alessandra fez um painel com uma composição de figuras que lembram polígonos regulares com suas regiões internas coloridas.

Ilustração. Painel composto por quadriláteros em círculos. No centro, hexágono. As figuras são intercaladas nas cores: verde roxo, laranja e amarelo.

a) No painel há quais polígonos regulares?

b) Podemos identificar nesse painel uma figura composta de polígonos regulares que lembra um outro polígono regular. Qual é o nome desse polígono?

c) Calcule a medida de cada ângulo interno do polígono que você identificou no item b.

36 Um robô é programado para partir do ponto óh, dar 5 passos, girar 30graus para a direita e repetir esse processo até atingir o ponto O novamente e parar. Construa o polígono regular do trajeto do robô e calcule quantos passos ele dá para percorrer esse caminho.

Ilustração. 3 segmentos de reta consecutivos a partir do ponto O. Os ângulos externos são de 30 graus. Um robô no segmento do meio.

37 Marina confeccionou uma toalha de mesa no formato de um polígono regular. Na borda da toalha, ela pregou uma faixa vermelha. Observe a seguir o esquema que ela utilizou para fazer essa toalha.

Ilustração. 3 segmentos de retas consecutivos de medida 30 cm com ângulos externos de 40 graus.

a) Quantos metros de faixa vermelha Marina utilizou para fazer esse trabalho?

b) A faixa vermelha formou um polígono. Determine a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono.

38 Um retângulo pode ser regular? Justifique.

39 (ú pê ême-São Paulo) O polígono regular convexo cujo ângulo interno é

\frac{7}{2}

do seu ângulo externo é o:

a) icoságono.

b) dodecágono.

c) decágono.

d) eneágono.

e) octógono.

40 Para confeccionar os crachás dos expositores de uma feira de automóveis, foi utilizada a composição de dois polígonos regulares. Veja o modelo.

Ilustração. Crachá em formato de pentágono. Na parte inferior, carro vermelho. Acima, argola. O pentágono é composto de um quadrado e de um triângulo equilátero.

O ângulo destacado em azul no crachá mede:

a) 120graus.

b) 135graus.

c) 165graus.

d) 150graus.

Hora de criar – Escolha um polígono regular e elabore um problema sobre as medidas de seus ângulos internos e ou ou externos. Troque-o com o de um colega. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

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Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Reúna-se com alguns colegas e respondam às questões.

1 Em um polígono regular qualquer, um ângulo externo e o ângulo interno de mesmo vértice são ângulos complementares ou suplementares?

2 Quantos divisores naturais tem o número 360? Quais?

3 Quantos polígonos regulares existem de modo que a medida (em grau) do ângulo externo seja um número natural? Quais são essas medidas?

PARA SABER MAIS

Combinatória nos polígonos

No início do estudo de ângulo, vimos a ideia de giro e que o ângulo de uma volta mede 360graus.

Ilustração.Seta indicando para a direita, chamada de ângulo nulo. Ilustração.Uma seta na horizontal e uma seta na diagonal. Entre elas, marcação de angulação e chamadas de ângulo agudo.Ilustração. Uma seta na horizontal e uma seta na vertical chamadas de ângulo reto.Ilustração. 2 setas na horizontal opostas. Chamada de ângulo de meia-volta. Ilustração. 2 setas na horizontal sobrepostas chamada de ânulo de uma volta.

Vamos supor que a figura 1 seja parte de um polígono. Com algumas figuras iguais a ela, vamos tentar cobrir um ângulo de uma volta (figura 2), sem sobra nem remonte, colocando-as uma ao lado de outra em tôrno de um mesmo ponto (vértice).

Ilustração. Sequência de figuras. Figura 1: Parte de uma figura com 1 ângulo em destaque. Seta para figura 2 Figura 2: Composta de 5 partes com ângulo em destaque e todos ângulos com o vértice em comum; a figura 1 sendo acrescentada.

Juntando cinco dessas figuras, percebemos que há uma sobra e juntando seis figuras haverá um remonte. Concluímos então que, para não acontecer sobra ou remonte, a medida do ângulo destacado na figura da esquerda deve ser um divisor de 360graus.

Observe o quadro com alguns polígonos e as medidas de seus ângulos internos.

Medidas de ângulos internos de polígonos regulares
Polígono	Triângulo	Quadrilátero	Pentágono	Hexágono	Heptágono
Si	180°	360°	540°	720°	900°
ai	60°	90°	108°	120°	≃128° 34′

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Para cobrir um ângulo de uma volta, ou seja, para cobrir o plano, com um único tipo de polígono regular, precisamos de 6 triângulos equiláteros (6 ⋅ 60graus = 360graus) ou de 4 quadrados (4 ⋅ 90graus = 360graus) ou de 3 hexágonos regulares (3 ⋅ 120graus = 360graus).

Note que as medidas dos ângulos internos dos polígonos regulares de mais de 6 lados são maiores do que 120graus, e que não são divisores de 360graus.

Ilustração. 5 triângulos conectados formando um hexágono. Ilustração. Quadrado dividido em 4 partes. Ilustração. 3 hexágonos conectados.

Agora é com você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Reúna-se com um colega e descubram dois tipos de polígonos, não necessariamente regulares, que, juntos, cobrem o plano. Depois, usando esses polígonos, desenhem um painel cobrindo um ângulo de uma volta.

6. Congruência de polígonos

Considere estes dois polígonos.

Ilustração. Polígono roxo de 4 lados diferentes. Ilustração. Polígono verde com 4 lados diferentes.

Usando uma folha de papel translúcido, reproduzimos o polígono a. Deslocando e girando esse polígono de maneira conveniente, podemos colocá-lo sobre o polígono bê. A esse procedimento chamamos de superposição (ou sobreposição).

Assim, por superposição, será possível verificar se todos os pontos desses dois polígonos coincidem. Caso isso aconteça, diremos que os polígonos A e B são congruentes e indicaremos por a ≅ B.

Elementos correspondentes em polígonos congruentes

Considere os polígonos congruentes.

Ilustração. 2 polígonos Polígono ABCD e polígono MNPQ segmento A D e segmento M Q com 1 traço marcando segmento A B e segmento M N com 2 traços marcando segmento B C e segmento N P com 3 traços marcando segmento C D e segmento P Q com 4 traços marcando Ângulo B e ângulo N com 1 traço marcando Ângulo A e ângulo M com 2 traços marcando Ângulo C e ângulo P com 3 traços marcando Ângulo D e ângulo Q com 4 traços marcando.

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Em polígonos congruentes, os elementos que coincidem por superposição são chamados de correspondentes. Assim, por exemplo:

• o ângulo

\hat{A}

é correspondente ao ângulo

\hat{M};

• o ângulo

\hat{B}

é correspondente ao ângulo

\hat{N};

• o lado

\overline{A B}

é correspondente ao lado

\overline{M N};

• o lado

\overline{B C}

é correspondente ao lado

\overline{N P} .

Dois polígonos são congruentes se os lados correspondentes e os ângulos correspondentes são congruentes.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

42 Observe os polígonos congruentes.

Ilustração. Trapézio ABCD. Ao lado, trapézio MNPQ. Marcações indicam que ângulo A congruente ao ângulo N ângulo B congruente ao ângulo M ângulo C congruente ao ângulo Q ângulo D congruente ao ângulo P segmento A B congruente ao segmento M N segmento B C congruente ao segmento M Q segmento C D congruente ao segmento Q P segmento D A congruente ao segmento P N

Escreva o elemento do polígono MNPQ correspondente ao:

a) vértice a;

b) vértice C;

c) lado

\overline{A D};

d) lado

\overline{B C};

e) ângulo

\hat{D};

f) lado

\overline{C D} .

43 Os triângulos ABC e MNP a seguir são congruentes.

Ilustração. Triângulo ABC. Ao lado, triângulo MNP. Marcações indicam que? Ângulo A congruente ao ângulo N Ângulo B congruente ao ângulo M Ângulo C congruente ao ângulo P Segmento A B congruente ao segmento M N Segmento B C congruente ao segmento M P Segmento C A congruente ao segmento P N.

Escreva o elemento do triângulo MNP correspondente ao:

a) vértice A;

b) vértice B;

c) lado

\overline{A C};

d) lado

\overline{B C} .

44 Os pentágonos a seguir são congruentes.

Ilustração. Quadrilátero A B C D E. A medida A E é 1 centímetros e a medida E D é 3 centímetros. Ângulos internos: ângulo A: 115 graus. ângulo B: 100 graus. ângulo C: 110 graus. Ilustração. Quadrilátero M N O P Q. As medidas são: segmento M N: 3 centímetros; segmento N O: 2,8 centímetros; segmento O P: 2,5 centímetros; segmento P Q: 2 centímetros; segmento M Q: 1 centímetro. Ângulo M: 145 graus.

Determine:

a) a medida do lado

\overline{A B};

b) a medida do perímetro do pentágono ABCDE;

c) a medida do ângulo

O \hat{P} Q .

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Um marceneiro construiu um portão de madeira fixando 10 ripas lado a lado de modo a obter uma estrutura de formato retangular. Para que o portão fique com uma estrutura rígida, ele vai colocar uma outra ripa que será fixada em cada uma das 10 ripas que formam a estrutura. Como essa nova ripa deve ser fixada? Justifique sua resposta.

2 Sabendo que a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é .2880graus, responda:

a) Quantos lados tem esse polígono?

b) Se ele for regular, quanto mede cada um de seus ângulos externos?

c) Quantas são as suas diagonais?

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3 A medida de um ângulo externo de um polígono regular é 24graus. Determine:

a) o número de lados desse polígono;

b) a medida de cada um de seus ângulos internos.

4 A diferença entre a medida de um ângulo interno de um hexágono regular e a medida de um ângulo interno de um quadrado é igual à medida do ângulo externo de qual polígono regular?

5 O número de diagonais de um polígono regular é o triplo do número de seus lados. Determine:

a) o número de lados desse polígono;

b) o número de suas diagonais;

c) a soma das medidas dos ângulos internos;

d) a medida de seu ângulo externo.

6 A figura a seguir representa o início da construção de um polígono que será obtido a partir das movimentações de um personagem de videogueime.

Ilustração. 3 segmentos de reta seguidos a partir do ponto A. Cada um mede 2 passos. Os ângulos externos medem 45 graus.

Mateus, que está fazendo essa jogada, deu o seguinte comando para seu personagem:

Partindo de a, avance dois passos e gire 45graus para a esquerda.

Supondo que todos os passos do personagem tenham a mesma medida, ao retornar ao ponto de partida (ponto A), a trajetória descrita pelo personagem será:

a) uma circunferência.

b) um pentágono regular.

c) um octógono regular.

d) um polígono não regular.

7 Existe um polígono regular em que a medida do ângulo interno é igual à medida do ângulo externo. Que polígono é esse?

8 A menor diagonal de um polígono regular fórma, com um dos lados, um ângulo de 30graus. Dê a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono.

9 Quantas diagonais tem o polígono regular cujo ângulo interno mede 135graus?

10 O número de diagonais de um polígono regular é igual ao sêxtuplo do número de lados. Qual é a medida de seu ângulo externo?

11 Na abertura deste capítulo vimos uma sequência de triângulos conhecidos por triângulos de Sierpinski. Eles formam uma sequência cujas figuras são determinadas recursivamente: a partir da 1ª figura (um triângulo equilátero) as demais são obtidas sempre em relação à anterior. Observe as 5 primeiras figuras dessa sequência:

Ilustração. Sequência de 4 triângulos de mesmo tamanho. Triângulo 1: inteiro azul. Triângulo 2: dividido em 4 triângulos menores de mesmo tamanho, sendo 3 azuis e 1 branco. Triângulo 3: cada triângulo azul do triângulo 2 é dividido em 4 triângulos de mesmo tamanho, sendo 3 azuis e 1 branco. Triângulo 4: cada triângulo azul do triângulo 3 é dividido em 4 triângulos de mesmo tamanho, sendo 3 azuis e 1 branco.

No primeiro triângulo determinam-se os pontos médios de cada lado e unem-se esses pontos por segmentos. Remove-se o triângulo do meio e obtém-se o segundo triângulo. Repete-se esse procedimento para obter a próxima figura, indefinidamente.

a) Quantos triângulos escuros tem a quinta figura?

b) Escreva a sequência dos números de triângulos removidos das quatro primeiras figuras.

c) Verifique se as respostas do item b podem ser obtidas pelas expressões a1 = 0; an = 1 + 3 ⋅ an – 1

, onde n é a posição (2, 3 ou 4) da figura na sequência.

d) Aplique n = 5 na expressão do item c para obter o número de triângulos removidos na quinta figura.

12 Sabendo que o ângulo interno de um polígono regular mede 135graus, responda.

a) Quanto mede seu ângulo externo?

b) Quantos lados tem esse polígono?

c) Se cada lado desse polígono mede 3,4 centímetros, quantos centímetros tem a medida do seu perímetro?

d) Quantas são as diagonais traçadas por um de seus vértices?

13 (ó bê mépi) Com pentágonos regulares medindo 1 centímetro de lado, formamos uma sequência de polígonos como na figura. A medida do perímetro do primeiro polígono é 5 centímetros, a medida do perímetro do segundo é 8 centímetros, e assim por diante. Quantos pentágonos são necessários para formar um polígono com perímetro medindo .1736 centímetros?

Esquema. Sequência com 4 figuras e um sinal de reticências. As figuras são compostas de pentágonos congruentes. A figura 1 é um pentágono. A figura 2 são dois pentágonos unidos por um lado em comum. A figura 3 são 3 pentágonos sendo o primeiro e o segundo unidos por um lado em comum e o segundo e o terceiro unidos por um lado em comum. A figura 4 são 4 pentágonos sendo o primeiro e o segundo unidos por um lado em comum e o segundo e o terceiro unidos por um lado em comum e o terceiro e o quarto unidos por um lado em comum.

a) 570

b) 572

c) 574

d) 576

e) 578

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Se a medida do perímetro de um triângulo equilátero é igual a 12 centímetros, qual é a medida de cada um de seus lados e qual é a medida de cada um de seus ângulos internos?

a) 3 centímetros e 45graus

b) 4 centímetros e 45graus

c) 4 centímetros e 60graus

d) 6 centímetros e 60graus

2 O decágono é um polígono regular de 10 lados. Qual é o número total de diagonais de um decágono?

a) 7 diagonais

b) 35 diagonais

c) 50 diagonais

d) 70 diagonais

3 Mariana estava folheando seu livro de Matemática e encontrou um polígono conhecido como octodecágono, que tem 18 lados. Quantas diagonais podem ser traçadas a partir de um vértice desse polígono?

a) 18 diagonais

b) 16 diagonais

c) 17 diagonais

d) 15 diagonais

4 Qual é a classificação, quanto à medida dos lados, dos triângulos a seguir?

Ilustração.Triângulo com 2 lados iguais. Ilustração.Triângulo com 3 lados diferentes. Ilustração.Triângulo com os 3 lados iguais.

a) (um) equilátero, (dois) escaleno e (três) isósceles

b) (um) isósceles, (dois) escaleno e (três) equilátero

c) (um) escaleno, (dois) isósceles e (três) equilátero

d) (um) escaleno, (dois) equilátero e (três) isósceles

5 Se um triângulo tem um ângulo interno de medida maior que 90graus e outros dois ângulos internos congruentes e de medidas menores que 90graus, qual é a sua classificação quanto às medidas dos ângulos internos?

a) retângulo

b) acutângulo

c) obtusângulo

d) isósceles

6 Como proposto em uma tarefa escolar, Lucas deve construir triângulos com o apôio de régua e compasso. Para isso, deve usar as seguintes medidas de comprimento de lados dos triângulos: 20 centímetros, 15 centímetros, 12 centímetros, 9 centímetros e 7 centímetros. Qual alternativa apresenta uma combinação de medidas de comprimento em que não será possível construir um triângulo?

a) 20 centímetros, 12 centímetros e 7 centímetros

b) 20 centímetros, 15 centímetros e 9 centímetros

c) 15 centímetros, 12 centímetros e 7 centímetros

d) 12 centímetros, 9 centímetros e 7 centímetros

7 Sabendo que o tridecágono é um polígono de 13 lados, qual é a soma das medidas de seus ângulos internos?

a) .1440graus

b) .1620graus

c) .1800graus

d) .1980graus

8 Sabendo que os pentágonos abaixo são congruentes, qual é a medida do ângulo

\hat{e}

Ilustração. Pentágono. 1 lado indicado com 1 tracinho, 1 lado medindo 3 e entre eles ângulo interno de 135 graus e ângulo externo e. Outro lado com 1 tracinho, o lado seguinte com 2 tracinho e o quinto lado com 2 tracinhos. Ilustração. Pentágono. 1 lado com 2 tracinhos, o lado seguinte com 2 tracinhos, o terceiro lado com 1 tracinho, o quarto lado medindo 3 centímetros e o quinto lado com 1 tracinho. Entre o terceiro e o quarto lado ângulo interno de 135 graus.

a) e = 45graus

b) e = 90graus

c) e = 135graus

d) e = 180graus

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir:

a) Desenhe um polígono com mais de 3 lados e identifique seus elementos.

b) Dado o número de lados, existe um modo de calcular quantidade de diagonais de um polígono com mais de 3 lados? Explique como é possível calcular e dê um exemplo.

c) É possível construir um triângulo com quaisquer medidas de lado? Justifique sua resposta.

d) Em diferentes construções identificamos estruturas triangulares. Que propriedade triangular pode justificar este uso?

e) Dado um polígono qualquer de n lados, é possível obter a soma das medidas de seus ângulos internos? Justifique sua resposta.

f) Explique como é possível obter a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono com mais de 3 lados a partir da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo.

g) O que são polígonos congruentes?

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DIVERSIFICANDO

O érre pê ge e os poliedros de Platão

Provavelmente, ao brincar com alguns jogos, você já teve contato com um dado de seis faces, aquele sólido que lembra um hexaedro (cubo). Alguns jogos usam esse dado, por exemplo, para mostrar quantas casas o peão do jogador deve avançar no tabuleiro.

O role-playing game (érre pê ge), que pode ser traduzido como “jôgo de interpretação de papéis”, é um jôgo em que um dos participantes narra uma história, e os outros enriquecem e completam essa história, criando personagens a serem interpretados por eles mesmos.

Fotografia. 5 dados diferentes para jogar RPG. Dado 1 é um tetraedro, dado 2 é um hexaedro, dado 3 é um octaedro, dado 4 é um dodecaedro, e o dado 5 é um icosaedro.

O érre pê ge pode usar dados com seis faces ou outros tipos de dado, como os das fotografias. Entre outras funções, os dados são usados para atribuir pontos de ataque, de defesa ou de vida. Esses dados, que lembram os cinco poliedros de Platão, têm polígonos regulares como faces.

Veja a seguir os poliedros de Platão e uma possível planificação de cada um deles.

Ilustração. Tetraedro de 4 faces iguais. Abaixo, sua planificação. Ilustração.Hexaedro de 6 faces iguais.Abaixo, sua planificação. Ilustração.Octaedro de 8 faces iguais. Abaixo, sua planificação. Ilustração.Dodecaedro de 12 faces iguais.Abaixo, sua figura planar. Ilustração.Icosaedro de 20 faces iguais.Abaixo, sua planificação.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Suponha que, para se defender de um ataque inimigo em uma aventura de érre pê ge, um jogador precise de 18 pontos ou mais. Ele jogará o dado de 20 faces, numerado de 1 a 20. Quantas faces favorecem esse jogador? Quantas não o favorecem? Qual é a probabilidade de ele tirar os pontos que precisa?

2 Sabendo que os poliedros acima possuem faces que são polígonos, calcule o número de diagonais de cada um desses polígonos.

3 Qual é a soma das medidas dos ângulos internos do polígono que fórma a face do tetraedro? E a do que fórma a face do cubo? E a do dodecaedro? Esses polígonos são convéquiços? Justifique sua resposta.