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CAPÍTULO 11 Sobre áreas e volumes

Pintura. Interior de um ambiente, parecido com uma sauna, composto por azulejos azuis, com recortes, nas paredes e no chão, para formação de bancos e degraus. Utilizando formas de polígonos e de poliedros, no centro da imagem há uma pilastra vertical e, à sua esquerda, há um corredor que leva para outras salas do ambiente. Ocorre a representação de contrastes através da aplicação de luz e sombra, utilizando para isso azulejos com diversos tons de azul. — Detalhe de: VAREJÃO, A. O Sedutor. 2004. Óleo sobre tela. 230 por 530 centímetros.

Observe, leia e responda no caderno.

a) Nesta imagem, podemos perceber quais são os polígonos e poliedros?

b) Na sua opinião, a artista consegue retratar as ideias de área e de espaço?

c) A aplicação de luz e sombra nos vários tons de azul provocam quais efeitos na maneira com que você observa essa imagem?

Nessa obra, a composição de ambientes é dada pelos jogos de luz e sombra em azulejos monocromáticos em tons de azul, que delimitam os espaços em perspectiva, circunscrevem áreas e definem volumes.

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1. O conceito de área

Desde tempos muito remotos, o ser humano tem necessidade de medir superfícies. No antigo Egito, por exemplo, a cada ano, os estiradores de cordas (homens incumbidos de demarcar as terras inundadas pelo rio Nilo) determinavam a medida da área de cada propriedade não apenas para que os proprietários pudessem preservar suas terras, mas também, e principalmente, para garantir aos faraós o pagamento dos impostos sobre essas propriedades.

Hoje, a necessidade de determinar medidas de áreas está presente, por exemplo, na previsão de gastos para azulejar uma cozinha, ou na decisão da área que uma sala de aula deve ter para acomodar certa quantidade de estudantes.

Acompanhe algumas situa..es em que devemos determinar a medida da área de uma região.

Ilustração. Janela retangular de vidro, com bordas pretas, dividida em quatro partes iguais e também retangulares. — Para determinar quantos metros quadrados de vidro foram utilizados nessa janela, deve‑se calcular a medida da área de quatro regiões retangulares.

Fotografia. Vista do alto de mesa com tampo de formato hexagonal, com 6 cadeiras de madeira ao redor. Por cima da mesa está estendida uma toalha branca com decorações em tom claro e, ao centro, há um vaso rosa com folhas dentro. — Para saber quantos metros quadrados de toalha foram necessários para cobrir o tampo dessa mesa, deve‑se calcular a medida da área da região limitada por um hexágono.

Fotografia. Vista do alto de terreno retangular com grama verde rasteira. Com terra remexida na parte externa e um pequeno trator no canto da imagem, que indica o campo de futebol está sendo construído. — Para obter o total de metros quadrados de grama necessários para cobrir um campo de futebol, deve-se calcular a medida da área limitada por um retângulo.

No estudo de áreas que faremos a seguir, vamos considerar que a medida da área de um polígono é a medida da área da superfície limitada por esse polígono. Por exemplo, a medida da área de um triângulo é a medida da área da região triangular relativa a esse triângulo.

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Já estudamos que, para medir uma superfície, é preciso tomar outra superfície como unidade de medida e verificar quantas vezes a superfície escolhida cabe naquela que se deseja medir.

Observe como isso pode ser feito com o tangram, quebra-cabeça chinês formado por 7 peças:

• 2 triângulos grandes iguais;

• 1 triângulo médio;

• 2 triângulos pequenos iguais;

• 1 quadrado;

• 1 paralelogramo.

Como se vê na figura, essas peças se encaixam perfeitamente, formando um quadrado.

Ilustração. Peças coloridas de um tangram dispostas em forma de quadrado. Composto por 2 triângulos grandes iguais; 1 triângulo médio; 2 triângulos pequenos iguais; 1 quadrado e 1 paralelogramo.

Reproduzindo esse tangram em uma folha de cartolina ou papelão e recortando as peças, podemos medir a superfície de cada uma delas, usando como unidade de medida a peça triangular pequena.

Vamos ver como isso funciona.

Primeiro, indicamos por tê a unidade de medida; logo, a medida da área

T_{p}

de cada peça triangular pequena será igual a 1 t.

Depois, indicamos por

T_{g}, T_{m}

, Q e P, respectivamente, a medida da área de cada triângulo grande, do triângulo médio, do quadrado e do paralelogramo.

Com as peças recortadas, verificamos que:

• O triângulo médio pode ser recoberto por dois triângulos pequenos. Ou seja,

T_{m} = 2 t

Ilustração. Triângulo médio com dois lados com a mesma medida e uma base maior. A base está para cima e uma linha tracejada divide a forma ao meio, dando origem a dois triângulos menores, congruentes.

• O quadrado pode ser recoberto por dois triângulos pequenos. Ou seja, Q = 2 t.

Ilustração. Quadrado dividido na diagonal, formando dois triângulos congruentes.

• O paralelogramo pode ser recoberto por dois triângulos pequenos. Ou seja, P = 2 t.

Ilustração. Paralelogramo dividido pela sua diagonal menor, por uma linha tracejada, indicando dois triângulos congruentes.

• O triângulo grande pode ser recoberto por quatro triângulos pequenos. Ou seja,

T_{g} = 4 t

Ilustração. Triângulo maior dividido em quatro triângulos menores congruentes, por três linhas tracejadas que saem do centro de sua base.

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Podemos medir superfícies utilizando unidades de medida não padronizadas, como o quadradinho de uma malha quadriculada, ou unidades de medida padronizadas, entre as quais estão o metro quadrado (ême 2 sobrescrito), seus múltiplos e submúltiplos.

Ilustração. Malha quadriculada com figura semelhante à silueta de um lápis apontado. Composta por 18 quadradinhos e 4 metades de quadradinhos. A medida da área da figura é 20 quadradinhos.

BAHIA Capital: Salvador Área: .564760,429 quilômetros quadrados

Mapa. BAHIA. Capital: Salvador. Área: quinhentos e sessenta e quatro mil, setecentos e sessenta, vírgula quatrocentos e vinte e nove quilômetros quadrados. O mapa destaca o estado brasileiro Bahia, na cor verde, indicando sua capital, Salvador. À direita, uma rosa dos ventos e uma escala de 0 a 215 quilômetros, próximas ao Oceano Atlântico em azul. Também indica em cor amarela mais opaca outros estados brasileiros que fazem fronteira com a Bahia. Uma linha horizontal e uma linha vertical cruzam-se no centro do mapa. — Elaborado a partir de: IBGE. Atlas geográfico escolar. 8. edição Rio de Janeiro, 2018. página 90.

Observação

▶ Área é uma grandeza associada à superfície. A medida da área nos dá a ideia da sua extensão. Assim, consideramos três componentes: a grandeza (área), o objeto geométrico (superfície) e a medida (número). Porém, para uma comunicação mais fácil de compreender, veículos de informação (jornais, revistas etcétera) optam por uma linguagem mais direta, não distinguem área e medida de área. Por exemplo, em vez de “a medida da área do apartamento é 40 métros quadrados”, dizem “a área do apartamento é 40 métros quadrados”; “a medida da área de Maceió é 509 quilômetros quadrados”, expressam “a área de Maceió é 509 quilômetros quadrados”.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Reproduza o tangram da página anterior e faça o que se pede.

a) Expresse a medida da área do tangram com as seguintes unidades de área:

• o paralelogramo;

• um dos triângulos grandes;

• o quadrado.

Monte uma tabela para apresentar os resultados obtidos.

b) Compare a medida da área do quebra-cabeça calculada com a unidade de área de um dos triângulos pequenos com a medida de área do quebra-cabeça calculada com a unidade de área do triângulo médio.

2 Usando

como unidade de medida de área, determine a medida da área das figuras.

Item a. Ilustração. Malha quadriculada com figura verde composta por duas fileiras com seis quadradinhos cada e, acima centralizadas, mais duas fileiras com quatro quadradinhos. Item b. Ilustração. Malha quadriculada com figura roxa com formato semelhante a um lápis apontado, composta por: duas fileiras com cinco quadradinhos cada; acima, uma fileira com dois quadradinhos; e quatro metades de quadradinho.

• Qual será a medida da área de cada figura se a unidade de medida for a metade do quadradinho?

3 Observe as figuras. Com dois triângulos iguais ao da figura 1, posso compor o retângulo da figura 2.

Ilustração. Figura 1. Malha quadriculada com triângulo, com medidas de lados de 3 quadradinhos por 4 quadradinhos.
Ilustração. Figura 2. Malha quadriculada com retângulo. Linha tracejada diagonal no centro do retângulo divide a forma em dois triângulos iguais ao da Figura 1.

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a) Escreva a fração que representa a parte que cada região triangular ocupa em relação à região retangular.

b) Se a medida da área da região retangular é 40 métros quadrados, quanto mede a área da região triangular?

4 Usando

como unidade de medida de área, determine a medida da área aproximada de cada figura.

Ilustração. Malha quadriculada com figura verde com as extremidades arredondadas. A figura ocupa 12 quadradinhos inteiros e, aproximadamente, 8 metades de quadradinhos.

Ilustração. Malha quadriculada com figura marrom, composta por uma parte retangular e uma parte arredondada. A figura é formada por: um retângulo de 2 por 3 quadradinhos; à direita, uma coluna com 4 quadradinhos; e, então, a parte arredondada com mais 2 quadradinhos inteiros e 6 partes que são aproximadamente metade de quadradinhos.

Ilustração. Malha quadriculada com figura roxa com a parte superior arredondada, semelhante à silhueta de uma porção de sorvete. A parte de baixo é um trapézio com base menor virada para baixo, que ocupa 6 quadradinhos inteiros e 4 metades de quadradinhos. A parte de cima é um meio círculo de raio correspondente a 2 quadradinhos.

5 Observe as figuras a seguir. Com alguns triângulos iguais ao da figura 1, posso compor vários retângulos como os da figura 2.

Ilustração. Figura 1. Triângulo retângulo com medidas da base e da altura iguais. Ilustração. Figura 2. Diversas cópias do triângulo da Figura 1, formando um quadrado amarelo ABCD e um losango azul com vértices nos pontos médios dos lados de ABCD.

a) Escreva a fração que cada região triangular representa em relação à maior região retangular (a bê cê dê).

b) Determine a fração irredutível que a parte azul representa em relação ao interior do retângulo a bê cê dê.

c) Se a área do interior do retângulo a bê cê dê mede 120 centímetros quadrados, quanto mede a área da figura azul?

6 O tangram a seguir foi construído em um papel quadriculado, no qual cada quadradinho tem lados medindo 1 centímetro e área 1 centímetro quadrado.

Ilustração. Malha onde foram desenhadas as peças de um tangram, com os dois triângulos maiores no canto superior esquerdo e o triângulo médio no canto inferior direito, no corredor central então ficam dispostos, de baixo da cima: o paralelogramo, um triângulo pequeno, o quadrado e o outro triângulo pequeno, todas as peças se encaixam em um grande quadrado onde se destacam as diagonais. O desenho está em uma malha quadriculada com 6 linhas e 6 colunas, tendo as peças medidas de lado proporcionais à essa medida. Algumas áreas estão destacadas: no primeiro quadradinho da primeira coluna, triângulo laranja abaixo da diagonal. Na segunda linha, quinta coluna, um triângulo azul destacado na área pertencente ao quadrado. Na quinta linha, segunda coluna, a parte interna do paralelogramo nesse quadradinho é marrom. Na mesma linha, quarta coluna, o retângulo inferior é roxo. Na quinta coluna, triângulo pequeno em verde.

a) Encontre a medida da área de cada parte colorida indicada nos quadradinhos a seguir.

Ilustração. Figura um. Quadradinho dividido na diagonal, em que a parte inferior destaca um triângulo laranja.
Ilustração. Figura dois. Quadradinho dividido ao meio, por um traço passando pelo ponto médio de dois lados opostos, com retângulo da esquerda em roxo.
Ilustração. Figura três. Quadradinho dividido, por suas diagonais, em quatro triângulos, com um triângulo azul destacado na parte direita.
Ilustração. Figura quatro. Quadradinho dividido, por suas diagonais, em quatro triângulos. Por sua vez, o triângulo superior está dividido ao meio, perpendicularmente ao lado do quadrado. A metade direita desse triângulo menor é destacada em verde.
Ilustração. Figura cinco. Quadradinho dividido, por suas diagonais, em quatro triângulos. Por sua vez, o triângulo inferior está dividido ao meio, perpendicularmente ao lado do quadrado. A metade direita desse triângulo menor é destacada em marrom. Também, colorido de marrom, o triângulo maior à direita.

b) Calcule a medida da área de cada peça do tangram em centímetro quadrado.

c) Que relações você observa entre as áreas das peças do tangram?

d) A área do triângulo grande corresponde a que porcentagem da área do quebra-cabeça montado?

e) Se o tangram fosse construído em um papel quadriculado com quadradinhos de lados medindo 2 centímetros, a resposta obtida para o item d mudaria?

7 Monte a figura a seguir com palitos de fósforo usados, colando-os em uma folha de papel.

Ilustração. 9 palitos de fósforo (de mesmo tamanho), formando um triângulo, com 3 palitos em cada lado.

Depois, com outros palitos, divida a região triangular em três partes iguais. Mostre a solução na figura montada por você.

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8 A chegada à América da expedição espanhola comandada por Cristóvão Colombo, em 1492, gerou intensa rivalidade entre Portugal e Espanha. Considerando-se pioneiros nas viagens pelo oceano Atlântico, os portugueses julgavam-se donos de todas as terras ultramarinas alcançadas. Após longas discussões, os governos de Portugal e Espanha assinaram, em 1494, o Tratado de Tordesilhas, que estabelecia uma linha imaginária, a trezentas e setenta léguas a oeste do arquipélago de Cabo Verde (ilhas situadas na costa noroeste da África, que foram colônias de Portugal até 1975), e dividia as terras entre os dois países. As terras a leste dessa linha seriam de Portugal, e as terras a oeste pertenceriam à Espanha.

Ilustração. Barco de madeira com velas brancas estendidas e estampadas com uma cruz vermelha. Ele está no mar.

No mapa atual do Brasil, reproduzido a seguir, foi traçada uma linha que corresponde aproximadamente à divisão estabelecida pelo Tratado de Tordesilhas. Estime quantos centímetros quadrados desse mapa corresponderiam às terras pertencentes a Portugal e quantos seriam pertencentes à Espanha em 1494.

Ilustração. Malha quadriculada dividida em 15 linhas e 15 colunas. Sobre a malha, mapa do Brasil. Linha vermelha vertical de uma extremidade a outra da malha, entre a nona e a décima coluna. Cada quadradinho mede 1 centímetro por 1 centímetro. No canto inferior esquerdo, rosa dos ventos e escala de 0 a 310 quilômetros. — Elaborado a partir de: FERREIRA, G. M. L. Moderno atlas geográfico. sexta ediçãoSão Paulo: Moderna, 2016.

Ícone de Atividade em dupla ou em grupo.

Hora de criar – Elabore um problema sobre área. Troque-o com um colega e depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem-nos para corrigi-los.

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TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Estimativa da quantidade de pessoas que habitaram um sítio arqueológico

Vários indícios são levados em consideração. A primeira coisa a ser feita para saber o tamanho de uma população extinta é determinar o tamanho do sítio arqueológico, ou seja, o espaço onde aquele grupo viveu. E aí já entra a subjetividade.

reticências

O arqueólogo não escava a área toda. Faz-se uma regra de três: se em 5 métros quadrados de escavação de um sítio foram encontrados restos de dez esqueletos humanos e aquele sítio tem 500 métros quadrados, estima-se que ali viveram cêrca de mil pessoas.

Mas esse cálculo pode não ser muito fiel: o cenário de um sítio arqueológico representa um momento no tempo, e não a ocupação daquele lugar em várias etapas do tempo.

Fonte: VERNEY, C. J. Como calculamos quantas pessoas habitaram um sítio arqueológico? Galileu, São Paulo, ano 9, número 210, janeiro 2009. página 32.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Observe a seguir a esquematização de um sítio arqueológico no qual é feita uma escavação.

Ilustração. Malha quadriculada dividida em 6 linhas e 10 colunas. Sobre a malha, figura verde com as extremidades onduladas indica a área total do sítio arqueológico, ocupando, aproximadamente, 37 quadradinhos. Na quinta linha, sétimo quadradinho, dentro da área verde, a indicação de uma área de escavação.

a) Pesquise e escreva quais são as atribuições de um arqueólogo, em que lugares trabalha e qual deve ser sua formação educacional.

b) Supondo que a área de escavação do sítio do esquema anterior meça 16 métros quadrados, faça uma estimativa da medida da área total desse sítio.

c) Supondo que na área de escavação do sítio foram encontrados restos de 12 esqueletos, qual seria a população estimada por um arqueólogo?

d) Em civilizações conhecidas, como a romana, em um sítio com 50 casas, por exemplo, os arqueólogos estimam com mais certeza que cada uma delas foi habitada por 5 pessoas. Considerando essa hipótese, quantas casas teria o sítio do esquema anterior?

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2. Figuras equivalentes

Considere estas figuras:

Ilustração. Retângulo verde, trapézio roxo e triângulo azul.

Com elas podemos compor diversas outras, como estas:

Ilustração. Figura composta por, de cima para baixo: triângulo azul, trapézio com base maior para cima e retângulo verde na vertical.

Ilustração. Figura composta por, de cima para baixo: triângulo azul, retângulo verde na vertical e trapézio roxo com a base maior para cima.

Ilustração. Figura composta por, de cima para baixo: triângulo azul, trapézio roxo com a base maior para baixo e retângulo na horizontal.

Ilustração. Figura composta por, de cima para baixo: triângulo azul, retângulo verde na vertical e trapézio roxo com a base maior para baixo.

As figuras formadas, embora tenham formatos diferentes, têm mesma área, já que todas foram compostas das mesmas figuras. Em razão disso, dizemos que elas são figuras equivalentes.

Duas figuras são equivalentes quando têm áreas iguais na mesma unidade.

Clique no play e acompanhe a reprodução do Áudio.

Transcrição do áudio

Os pisos da cozinha

Duração: 4:06min. Página: 250.

>> [Locutor] Os pisos da cozinha

>> [Marcos] Bom dia, Geraldo! Tudo bem?

>> [Geraldo] Tudo bem, seu Marcos. Já escolheram o piso?

>> [Marcos] Sim! [Som de azulejos sendo manipulados] Olha, Geraldo, para a cozinha escolhemos este piso cerâmico com peças de formato quadrado.

>> [Geraldo] [Tom de elogio] Hum... Gostei, é muito bonito!

>> [Marcos] Não é? Agora preciso saber qual é a quantidade certa de peças que devo comprar. Você sabe qual é a medida da área desta cozinha?

>> [Geraldo] Vou fazer a medição com uma trena... [Pausas para o cálculo] A sua cozinha mede 3 metros de comprimento por... 2 metros de largura. Então, o total é… 3 vezes 2… 6 metros quadrados é a medida da área.

>> [Marcos] [Tom empolgado] Maravilha! Agora preciso calcular a quantidade de peças necessária para cobrir essa área.

>> [Ana] Hum... [Tom explicativo] Tive uma ideia para calcular a quantidade de peças de piso que meu pai precisa comprar. Primeiro, vou usar a trena para medir o comprimento dos lados de uma peça. O comprimento dos lados de cada peça quadrada de piso mede 50 centímetros, ou meio metro. Então, duas peças colocadas lado a lado medem um metro de comprimento e meio metro de largura. Se eu fizer uma fileira colocando seis peças lado a lado, vou ter um retângulo que mede 3 metros de comprimento e meio metro de largura. [Pausas para o cálculo] Se eu usar… 2 vezes 6… 12 peças, em duas fileiras de seis peças cada uma, vou ter um retângulo que mede 3 metros de comprimento por 1 metro de largura. A medida da área desse retângulo é igual à metade da medida da área da cozinha. É possível cobrir todo o chão da cozinha com mais um retângulo desse. Assim, temos um retângulo que mede 3 metros de comprimento por 2 metros de largura, ou seja, um retângulo com as mesmas medidas da cozinha. [Pausas para o cálculo] Então, vamos precisar de… 2 vezes 12, que é igual a… 24… [tom enfático] 24 peças de piso! [Tom empolgado] Pai! Pai! Eu sei quantas peças de piso você vai precisar comprar!

>> [Marcos] Diga, Ana!

>> [Ana] [Tom animado] São 24 peças, pai! 24.

>> [Geraldo] [Tom de elogio] Muito bem, garota!

>> [Marcos] [Tom animado] É isso mesmo, filha! [Tom de interesse] Como você sabe?

>> [Ana] [Tom explicativo] Fiz assim: eu medi o comprimento dos lados de uma peça quadrada. Aí, pensei nas medidas do comprimento e da largura da nossa cozinha. Então, imaginei duas peças lado a lado, depois seis peças lado a lado, depois duas fileiras de seis peças cada uma. Continuei assim até chegar a um retângulo com as mesmas medidas da cozinha: 3 metros de comprimento por 2 metros de largura.

>> [Marcos] [Tom de satisfação] Está certinho, filha! Eu cheguei a esse resultado também, mas pensei de um jeito diferente.

>> [Ana] [Tom de interesse] Como você pensou, pai?

>> [Marcos] [Tom explicativo] Olha só: primeiro, eu calculei a medida da área da cozinha: 3 metros vezes 2 metros é igual a 6 metros quadrados! Depois, calculei a medida da área de uma peça de piso: 0,5 metro vezes 0,5 metro… 0,25 metro [tom enfático] quadrado! Então pensei: Quantas peças de 0,25 metro quadrado cabem em 6 metros quadrados? Para descobrir, dividi 6 por 0,25 e deu [tom enfático] 24! Ou seja, [tom enfático] 24 peças de piso!

>> [Ana] [Tom animado] Uau, que legal! Dois jeitos diferentes de pensar.

>> [Marcos] [Risos] Sim, filha! Bem, agora sabemos quantas peças de piso precisamos comprar para terminar a reforma da cozinha! [Tom animado] Vamos até a loja comigo?

>> [Ana] [Tom empolgado] Oba! Vamos!

Créditos

Todos os áudios inseridos neste conteúdo são da Free Sound.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

10 A seguir há três pares de figuras equivalentes. Quais são eles?

Ilustração. Menina branca de cabelo ruivo com uma faixa rosa, camiseta azul e calça. Ela está sentada no chão, com a mão esquerda no queixo, e olha para uma malha quadriculada ao lado com as seguintes figuras:

Figura A: paralelogramo vermelho, com lados equivalentes a: 5 quadradinhos e 3 diagonais de um quadradinho.

Figura B: losango vertical verde, com cada lado equivalente a 3 diagonais de um quadradinho.

Figura C: figura em verde claro, composta por uma fileira com 7 quadradinhos; acima, uma fileira com 5 quadradinhos; e, acima, duas fileiras com 3 quadradinhos cada.

Figura D: quadrado azul com cada lado equivalente a 3 quadradinhos.

Figura E: figura em marrom, composta por um hexágono de lado medindo 1 quadradinho e por dois quadradinhos, um à esquerda e um à direita do hexágono.

Figura F: retângulo laranja com lados medindo 3 por 5 quadradinhos.

11 Desenhe em um papel quadriculado três figuras equivalentes à figura pintada de verde a seguir.

Ilustração. Malha quadriculada com figura semelhante a um octógono irregular, com lados alternando entre as duas medidas: um quadradinho ou duas diagonais de quadradinho. No centro, cinco quadradinhos formando uma cruz. A área dentro do octógono e fora da cruz é destacada em verde.

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12 Considere os retângulos formados por quadrados de 1 centímetro quadrado.

Ilustração. Retângulo laranja com legenda: 1 centímetro quadrado.
Ilustração. Retângulo verde com lados medindo 2 e 6 quadrados.
Ilustração. Retângulo azul com lados medindo 3 e 4 quadrados.

a) Esses retângulos são equivalentes? Justifique sua resposta.

b) Determine a medida da área de cada região por meio de uma multiplicação.

c) Se um outro retângulo fosse formado por a quadradinhos na base e b quadradinhos na altura, que expressão indicaria a medida de sua área?

13 Desenhe em seu caderno um quadrado de lados medindo 4 centímetros.

a) Decomponha esse quadrado em quadradinhos menores de lados medindo 1 centímetro. Quantos quadradinhos você obteve?

b) Agora, desenhe um retângulo que seja equivalente ao quadrado. Quais são as medidas dos lados desse retângulo?

c) É possível indicar a medida da área do quadrado e do retângulo por meio de uma multiplicação? Em caso afirmativo, escreva essas multiplicações.

d) Suponha que o número a² possa ser escrito por meio da multiplicação entre b e c e também entre d e f. Como você indicaria a medida de área das figuras a seguir? Elas seriam equivalentes? Justifique sua resposta.

Ilustração. Quadrado roxo com lados medindo a.
Ilustração. Retângulo azul com lados medindo b e c.
Ilustração. Retângulo verde com lados medindo d e f.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Considere os três paralelogramos equivalentes de lados medindo x e y:

Ilustração. Figura 1. Paralelogramo de lados medindo x e y, dividido ao meio, na vertical por uma linha tracejada indicando h. Destaque para o ângulo reto entre o lado inferior e a linha tracejada.

Ilustração. Figura 2. Paralelogramo de lados x e y, dividido ao meio com linha tracejada pela diagonal menor. Destaque para os ângulos retos formados entre a diagonal e o lado menor.

Ilustração. Figura 3. Paralelogramo de lados medindo x e y, dividido com linhas tracejadas por duas alturas com indicação h. Destaque para os ângulos retos das linhas tracejadas com o lado inferior.

a) Se cada uma das figuras fosse recortada nas linhas tracejadas e as peças obtidas fossem rearranjadas, em que casos seria possível montar uma região retangular? Por quê?

b) Decalque essas figuras em uma folha de papel e depois, com o auxílio de uma tesoura sem ponta, recorte-as nas partes tracejadas e façam a montagem da figura solicitada no item a.

c) Cada uma das figuras obtidas continuam equivalentes às figuras 1, 2 e 3?

d) Na figura 1 temos um paralelogramo de base medindo x e altura de medida h. Quais são as medidas dos lados do retângulo obtido com a composição das partes da figura 1? Qual é a medida da área desse retângulo?

e) E qual é a medida da área do retângulo obtido com as partes da figura 3?

f) Converse com o professor e os colegas sobre a afirmação: A medida da área de um paralelogramo é dada pelo produto entre as medidas da base e de sua altura.

(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)

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3. Triângulos equivalentes a outros polígonos

Um problema clássico do estudo de desenho geométrico trata da obtenção, utilizando régua e esquadro, de um triângulo equivalente a um dado polígono convéquiço qualquer.

Antes de acompanhar a resolução desse problema, vamos lembrar o procedimento prático do traçado da paralela e verificar triângulos equivalentes de mesma base.

• Dado um ponto P fóra de uma reta r, por um postulado da Geometria euclidiana, afirmamos que existe e é única a reta paralela a r por P. Siga os passos para obtê-la com régua e esquadro.

Ilustração. Reta diagonal r. Acima, ponto P.

Ilustração. Reta diagonal r. Acima, ponto P. Esquadro abaixo da reta r apoiado em um dos lados perpendiculares, e no outro apoiada a régua.

Ilustração. Reta diagonal r. Acima, ponto P. Régua apoiada enquanto esquadro desliza apoiado nela, mantendo o ângulo reto entre a régua e um dos lados do esquadro. No ponto P, traça reta s.

Ilustração. Reta r e acima, ponto P onde passa a reta s paralela à r.

• Vimos que a medida da área

S_{A B C D}

do retângulo verde é dada pelo produto das medidas da base e da altura.

S_{A B C D} = (7 \cdot 5) {cm}^{2} = 35 {cm}^{2}

Ilustração. Retângulo ABCD com diagonal BD. A medida de AD é 5 centímetros e a de AB 7 é centímetros.

Também já vimos que uma diagonal divide esse retângulo em dois triângulos congruentes. Logo, a medida da área de cada um desses triângulos é a metade da medida da área do retângulo, isto é:

S_{D C B} = \frac{S_{ABD}}{2} = 17, 5 {cm}^{2}

Agora, considere os triângulos destacados na situação a seguir.

Ilustração. Reta horizontal r com ponto P à esquerda e S à direita. Abaixo, retângulo ABCD com o segmento AB apoiado na reta r. A medida de AD é 5 centímetros e a de AB é 7 centímetros. Entre o segmento AB, na reta r, os pontos Q e R. Segmentos em diversas cores entre os pontos na reta r e os pontos D e C: segmentos PD e PC em verde; segmentos AC e BD, e as diagonais do retângulo, em cinza; segmentos QC e QD em amarelo; segmentos RD e RC em azul; e segmentos SD e SC em vermelho.

Cada um desses triângulos tem base

\overline{D C}

medindo 7 centímetros e altura medindo 5 centímetros, ou seja, são triângulos cuja medida da área é igual à metade da medida da área do retângulo a bê cê dê. Em outras palavras, todos os triângulos de base

\overline{D C}

com o terceiro vértice na reta r, paralela à reta

\overset{\leftrightarrow}{D C}

, são triângulos equivalentes.

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Área de triângulos

Verificamos que é possível traçar diferentes triângulos de mesma medida de base (7 centímetros) e mesma medida de altura (5 centímetros) e que todos esses triângulos são equivalentes.

Do mesmo modo, verificamos que a medida da área de todos esses triângulos corresponde à metade da medida da área de um retângulo de mesma medida de altura e mesma medida de base.

Ilustração. Mulher de pele branca e olhos pretos, usa óculos com lentes quadradas. Ela tem cabelos curtos, pretos e lisos, com uma franja lateral que cobre sua testa. Veste camiseta vermelha com gola em V. Ela está com a boca um pouco aberta, com balão de fala com o texto: "A medida da área de um triângulo de base medindo b e altura relativa a essa base medindo h é igual à metade da medida da área de um retângulo de base medindo b e altura medindo h."

medida da área do triângulo =

\frac{m e d i d a d a b a s e \cdot m e d i d a d a a l t u r a}{h}

Triângulo equivalente a um quadrilátero

Ilustração. Mulher de pele branca e olhos pretos, usa um óculos marrom com lentes quadradas. Ela tem cabelos curtos, pretos e lisos, com uma franja lateral que cobre sua testa. Veste camiseta vermelha com gola em V. Sua mão esquerda segura a armação do óculos em movimento de ajustar a posição do objeto no rosto. Sua boca está um pouco aberta e há dois balões de fala. O primeiro balão diz: "Dado um quadrilátero ABCD qualquer, vamos obter um triângulo equivalente a ele." O segundo balão diz: "A ideia é dividir o quadrilátero em dois triângulos, traçando a reta suporte de uma de suas diagonais, e, depois, obter um triângulo equivalente a um desses triângulos, de maneira conveniente. Vamos verificar nos passos a seguir."

Ilustração. Quadrilátero ABCD qualquer, não possui lados paralelos nem lados de mesma medida.

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1º) Traçamos a reta que contém a diagonal

\overline{A C}

e, com régua e esquadro, a reta r, paralela à reta

\overset{\leftrightarrow}{A C}

por D.

2º) Prolongamos o lado

\overline{A B}

, obtendo o ponto P, na reta r. Traçamos o segmento

\overline{P C}

, obtendo o triângulo pê á cê, equivalente ao triângulo dê á cê.

Ilustração. Quadrilátero qualquer ABCD. Uma reta passando por AC e uma reta r, paralela à anterior, passando por D.
Reta passando por A e B, determinando o ponto P no encontro de reta r com reta sobre AB. Segmento PC destacado em azul.

3º) Observe o triângulo pê bê cê (em azul). Sua área é a soma das áreas dos triângulos á bê cê e pê á cê (que é igual à área do triângulo dê á cê). Também o quadrilátero a bê cê dê tem área igual à soma das áreas dos triângulos á bê cê e dê á cê (que é igual à área do triângulo pê á cê).

Portanto, o triângulo pê bê cê é equivalente ao quadrilátero a bê cê dê.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

14 Determine a medida da área dos polígonos a seguir, considerando que a medida dos lados de cada quadradinho da malha é igual a 0,5 centímetro.

Ilustração. Uma malha quadriculada com quatro polígonos:

a) Retângulo ABCD com medidas de lado 5 e 3 quadradinhos.

b) Quadrado IJKL com lado medindo 3 quadradinhos.

c) Paralelogramo EFGH com lados medindo 5 quadradinhos e 2 diagonais de quadradinhos.

d) Triângulo MNO com um lado (base) medindo 6 quadradinhos, e dois lados iguais medindo 3 diagonais de quadradinhos.

15 Desenhe no caderno um quadrado, um retângulo, um paralelogramo e um triângulo que sejam equivalentes.

16 No caderno, decalque os quadriláteros a seguir e obtenha, com régua e esquadro, os triângulos equivalentes a eles.

a) retângulo

b) paralelogramo

c) trapézio

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4. Volume

Leia a reportagem a seguir, de 30 de outubro de 2020, sobre o maior porto da América Latina.

Ilustração. Reprodução de uma notícia, com fundo cinza e borda irregular, simulando um recorte de jornal impresso. O título é: Santos recebe navio gigante que pode transportar até 12 mil contêineres. O texto da notícia é: O Porto de Santos, recebeu, na tarde de quinta-feira (29) um de seus maiores navios em capacidade de transporte. O Kota Pusaka, de bandeira de Hong Kong, do armador asiático PIL, pode transportar até 11.923 TEU (unidade equivalente a um contêiner de 20 pés).

Santos recebe navio gigante que pode transportar até 12 mil contêineres. Informativo dos Portos. Disponível em: https://oeds.link/u7NPaP. Acesso em: 23 maio 2022.

O transporte marítimo de mercadorias no comércio internacional emprega, cada vez mais, essas enormes “caixas de metal”, com a fórma de paralelepípedo, chamadas contêineres, que podem ser empilhadas por guindastes nos navios e nos cais dos portos. Um contêiner de 20 pés tem volume medindo 33 metros cúbicos.

O metro cúbico e o volume de um paralelepípedo são os nossos próximos assuntos de estudo.

Metro cúbico, seus múltiplos e submúltiplos

O Sistema Internacional de Unidades adota como unidade padrão de volume o metro cúbico, representado por ême 3 sobrescrito. O metro cúbico corresponde ao volume de um cubo de 1 metro de medida de aresta.

Fotografia. Sobre um gramado, está a estrutura externa de um cubo, formado por ripas de madeira clara e, dentro desse cubo, está sentada uma menina branca de cabelo preto e liso até os ombros, camiseta clara e calça azul e tênis. A menina está sentada, abraçando as pernas dobradas, cabendo totalmente na parte interna da estrutura cúbica. — Cada aresta do “cubo” desta fotografia mede 1 metro.

Ilustração. Cubo com arestas medindo 1 metro, a medida igual está indicada nas três dimensões da forma. À esquerda, uma menina está sentada no chão e apoiada no cubo, lendo um livro. A menina tem cabelo preto e ondulado e veste roupas claras: camisa rosa listrada, calça azul e tênis. Um balão indica sua fala: Lembrando: “Volume é a medida do espaço ocupado por um sólido, por um líquido ou por um gás”.

Muitas vezes, o metro cúbico não é a unidade mais indicada para medir determinado volume, como o volume de água do reservatório de uma usina hidrelétrica ou o volume de certo medicamento colocado em uma seringa. Dependendo do volume a ser medido, podemos empregar os múltiplos ou os submúltiplos do metro cúbico.

Quando precisamos medir um volume menor que o metro cúbico, empregamos seus submúltiplos: decímetro cúbico (dê ême³), centímetro cúbico (cê ême³) ou milímetro cúbico (ême ême³).

Quando o volume a ser medido é maior que o metro cúbico, empregamos seus múltiplos: quilômetro cúbico (cá ême³), hectômetro cúbico (agá ême³) ou decâmetro cúbico (dê ah ême³).

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As figuras a seguir mostram a relação entre o decímetro cúbico, o centímetro cúbico e o milímetro cúbico.

Ilustração. Cubo grande e verde com volume medindo 1 decímetro cúbico, dividido em mil cubos pequenos. Cada cubo pequeno tem volume de 1 centímetro cúbico. Uma flecha azul indica um desses cubos pequenos separados com destaque em laranja, e nele há um destaque em roxo para um cubinho com volume medindo 1 milímetro cúbico.

Note que o cubo cujo volume mede 1 decímetro cúbico contém .1000 cubinhos que medem 1 centímetro cúbico de volume, e cada um destes contém .1000 cubos que medem 1 milímetro cúbico de volume.

O quadro a seguir apresenta o nome das unidades de volume (linha lilás), os símbolos correspondentes (linha verde) e os valores de cada unidade em relação ao metro cúbico (linha amarela).

Múltiplos			Unidade padrão	Submúltiplos
quilômetro cúbico	hectômetro cúbico	decâmetro cúbico	metro cúbico	decímetro cúbico	centímetro cúbico	milímetro cúbico
km3	hm3	dam3	m3	dm3	cm3	mm3
1.000.000.000 m3	1.000.000 m3	1.000 m3	1 m3	0,001 m3	0,000001 m3	0,000000001 m3

Relacionando essas unidades de medida, verificamos:

• cada unidade é a milésima parte da unidade imediatamente superior;

• cada unidade é .1000 vezes a unidade imediatamente inferior.

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Acompanhe alguns exemplos.

a) 1 centímetro cúbico = 0,001 decímetro cúbico

b) 1 milímetro cúbico = (0,001 × 0,001) decímetro cúbico = 0,000001 decímetro cúbico

c) 1 quilômetro cúbico = ...1000000000 métros cúbicos = (...1000000000 × .1000) decímetros cúbicos = ....1000000000000 decímetros cúbicos

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

17 Represente as medidas de volumes indicadas a seguir, usando algarismos e símbolos do Sistema Internacional de Unidades.

a) trinta e cinco metros cúbicos

b) quarenta centímetros cúbicos

c) quinze quilômetros cúbicos

d) três milímetros cúbicos

e) oito decímetros cúbicos

f) seis decâmetros cúbicos

18 Indique a unidade de medida mais adequada, no Sistema Internacional de Unidades, para calcular a medida do volume:

a) das águas do planeta Terra;

b) da água da piscina de um clube;

c) do líquido contido em uma seringa;

d) do ar contido em uma sala de aula;

e) de um manto de gêlo (associação de muitas geleiras);

f) do ar contido em um elevador;

g) do pó químico contido em um extintor de incêndio.

Fotografia. Pessoa de capacete amarelo e uniforme azul com faixas amarelas. Ela segura um extintor de incêndio vermelho, apontando para um recipiente de metal com fogo dentro. — Bombeiro usando extintor de incêndio.

19 Leia o texto e responda às questões a seguir.

Ilustração. Reprodução de uma notícia, com fundo amarelado e borda irregular, simulando um recorte de jornal ou revista impresso. O texto da notícia é: A hidrosfera é a parte da superfície terrestre coberta pelas águas oceânicas e continentais. Ela engloba oceanos, mares, rios, lagos, lençóis subterrâneos, geleiras e neves eternas. A hidrosfera da Terra tem um volume aproximado de 1,4 bilhão de quilômetros cúbicos; estima-se que 97,5% das águas sejam salgadas.
No texto, hidrosfera e 1,4 bilhão de quilômetros cúbicos estão com destaque em negrito. — Fonte: Almanaque Abril 2014. São Paulo, Abril, 2015. página 200.

a) Calcule, em quilômetro cúbico, o volume de água doce do nosso planeta.

b) Calcule, em quilômetro cúbico, os dados dos gráficos a seguir.

Gráfico de setores. Título: Água doce. Os setores e suas porcentagens são indicadas: Água atmosférica e de superfície: 0,4%. Geleiras: 68,7%. Subterrânea: 30,1%. Permafrost (camada de subsolo na tundra congelada): 0,8%. — Dados obtidos em: Almanaque Abril 2014. São Paulo, 2015. página 201.

Gráfico de setores. Título: Uso humano da água subterrânea e superficial. Os setores e suas porcentagens são indicadas: Doméstico: 10%. Industrial: 21%. Agricultura: 69%. — Dados obtidos em: Almanaque Abril 2014. São Paulo, 2015. página 201.

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Observação

▶ Volume é uma grandeza associada ao objeto geométrico sólido. A medida do volume nos dá a ideia da sua extensão no espaço. Assim, consideramos três componentes: a grandeza (volume), o objeto geométrico (sólido) e a medida (número). Porém, para uma melhor comunicação, veículos de informação (jornais, revistas etcétera) optam por uma linguagem mais direta, não distinguem volume e medida do volume. Por exemplo, em vez de “a medida do volume de água liberada, por segundo, pela Amazônia para o oceano Atlântico é 300 mil métros cúbicos”, exprimem “o volume de água liberada, por segundo, pela Amazônia para o oceano Atlântico é 300 mil métros cúbicos”.

Transformação de unidades de medida

Em algumas situações do dia a dia, é necessário transformar uma unidade de volume em outra. Você já viu que cada unidade de volume é .1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Por isso, as transformações de unidades de volume podem ser feitas segundo o esquema a seguir.

Esquema. O esquema relaciona as unidades de volume. Da esquerda para a direita:
Quilômetro cúbico vezes 1000: hectômetro cúbico. Vezes 1000: decâmetro cúbico. Vezes 1000: metro cúbico. Vezes 1000: decímetro cúbico. Vezes 1000: centímetro cúbico. Vezes 1000: milímetro cúbico.
No sentido oposto, da direita para a esquerda:
Milímetro cúbico dividido por 1000: centímetro cúbico. Dividido por 1000: decímetro cúbico. Dividido por 1000: metro cúbico. Dividido por 1000: decâmetro cúbico. Dividido por 1000: hectômetro cúbico. Dividido por 1000: quilômetro cúbico.

Acompanhe uma situação em que aplicamos a conversão de unidades de volume.

A medida do volume da massa de um tijolo ecológico produzido em uma fábrica é de .3375 centímetros cúbicos. Quantos desses tijolos é possível fabricar com 135 métros cúbicos de matéria-prima?

Inicialmente, escrevemos 135 métros cúbicos em centímetro cúbico:

Esquema. Relacionando unidades de volume: metro cúbico vezes 1000: decímetro cúbico. Vezes 1000: centímetro cúbico.

Para isso, devemos multiplicar 135 por .1000 ⋅ .1000, ou seja, multiplicar 135 por ..1000000.

135 métros cúbicos = (135 ⋅ ..1000000) centímetros cúbicos = ..135000000 centímetros cúbicos

Em seguida, dividimos ..135000000 por .3375 para obter o número de tijolos procurado:

..135000000 : .3375 = .40000

Portanto, com 135 métros cúbicos de matéria-prima, a fábrica produz .40000 tijolos ecológicos.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

20 Na construção de 39 quilômetros do prolongamento da rodovia dos Boiadeiros, foram escavados ..8800000 métros cúbicos de terra. Isso equivale a quantos quilômetros cúbicos?

21 Em um copo cabem 250 centímetros cúbicos de farinha. Quantos desses copos cheios de farinha são necessários para encher uma vasilha que tem 2 decímetros cúbicos de volume?

22 Um freezer, com medida do volume interno útil de 1,17 métro cúbico, armazena potes de sorvete de 1,8 decímetro cúbico. Supondo que as dimensões do freezer permitam utilização total do espaço interno para esse tipo de pote, até quantos potes de sorvete desse tipo podem ser guardados no freezer?

23 A massa preparada por Liz para fazer goiabada ocupou toda a vasilha com 5,4 decímetros cúbicos de medida de volume. Com ela, Liz fez 300 tabletes iguais de goiabada.

a) Quantos centímetros cúbicos tem cada um desses tabletes de goiabada?

b) Quanto Liz receberá se vender todos os tabletes a R$ 0,60zero reais e sessenta centavos cada um?

c) De quantos decímetros cúbicos dessa massa Liz precisaria para fazer 500 desses tabletes?

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5. Volume de um paralelepípedo de faces retangulares

A figura representa um paralelepípedo de faces retangulares medindo 4 centímetros de comprimento, 3 centímetros de largura e 2 centímetros de altura. Vamos determinar a medida do seu volume em centímetro cúbico.

Ilustração. Bloco retangular (paralelepípedo) com indicação de medidas: 4 centímetros de comprimento, por 3 centímetros de largura, por 2 centímetros de altura.

Para isso, dividimos o paralelepípedo em cubos de aresta de medida 1 centímetro.

Ilustração. Bloco retangular (paralelepípedo) com indicação de medidas: 4 centímetros por 3 centímetros por 2 centímetros. Ele está dividido em pequenos cubos de aresta medindo 1 centímetro, totalizando 24 cubos. Destaque em verde para um dos cubos. Ao lado, cota: volume igual a 24 vezes 1 centímetro cúbico.

Nesse caso, cada um desses pequenos cubos representa uma unidade de volume: 1 centímetro cúbico.

Contando a quantidade de pequenos cubos, obtemos a medida do volume do paralelepípedo: 24 centímetros cúbicos.

Nem sempre a simples contagem de cubos é conveniente para determinar o volume de um paralelepípedo.

Considere a figura a seguir. Esse paralelepípedo foi dividido em cubos de aresta de medida 1 centímetro. Ele é constituído de 5 camadas de cubos e, em cada camada, há 4 fileiras de 3 cubos em cada uma. Observe a figura das 5 camadas.

Ilustração. À esquerda, um paralelepípedo divido em pequenos cubos, com dimensões 4 por 3 por 5 unidades.

Ao lado, a mesma forma porém fatiada, com suas 5 camadas horizontais separadas e a seguinte informação em uma das camadas: 4 fileiras e 3 cubos por fileira.

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Ao todo, obtemos:

Expressão. Abre parênteses 5 vezes 4 vezes 3 fecha parênteses cubos, igual a 60 cubos. Setas indicam o que cada fator do produto representa. 5: camadas; 4 fileiras por camada; 3: cubos por fileiras.

Como cada cubo tem 1 centímetro cúbico de medida de volume, esse paralelepípedo mede 60 centímetros³ de volume. Essa medida também pode ser obtida multiplicando-se as dimensões do paralelepípedo: (5 ⋅ 4 ⋅ 3) centímetros cúbicos = 60 centímetros cúbicos.

Procedendo do mesmo modo, concluímos que a medida do volume do paralelepípedo marrom do início deste item, cujas dimensões são 4 centímetros, 3 centímetros e 2 centímetros, também pode ser obtida efetuando-se (4 ⋅ 3 ⋅ 2) centímetros cúbicos = 24 centímetros cúbicos.

Medida do volume do paralelepípedo igual a medida do comprimento vezes medida da largura vezes medida da altura.

Volume de um cubo

Como você já estudou, o cubo é um paralelepípedo de faces retangulares cujas arestas têm a mesma medida. Assim, para determinar a medida de seu volume, basta multiplicar as medidas de seu comprimento, de sua largura e de sua altura.

Ilustração. Cubo vermelho com arestas iguais, medindo 6 centímetros, e a indicação das medidas nas três dimensões (comprimento, largura e altura).

Então, se a aresta de um cubo mede 6 centímetros, a medida do seu volume, em centímetro cúbico, é dada por:

(6 ⋅ 6 ⋅ 6) centímetros cúbicos = 6³ centímetros cúbicos = 216 centímetros cúbicos

Portanto, o volume do cubo mede 216 centímetros cúbicos.

Medida do volume do cubo = (medida da aresta)³

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

24 Uma sala de aula mede 7 métros de comprimento, 6,40 métros de largura e 3,20 métros de altura. Calcule:

a) a medida da área do piso;

b) a medida do volume do ar da sala de aula.

25 Faça algumas estimativas.

a) Quantas bolas de futsal infantil cabem em sua sala de aula?

b) E quantas bolas de gude?

26 Um deslizamento ocorrido em uma encosta de estrada deslocou 337,5 métros cúbicos de terra sobre a pista. Para a limpeza desse lugar, a prefeitura destinou caminhões com as dimensões indicadas na figura a seguir.

Ilustração. Caminhão com cabine vermelha e caçamba branca. Atrás, as medidas da caçamba estão indicadas: 4 metros de comprimento, 2,2 metros de largura, e 1,75 metro de altura.

a) No máximo, quantos metros cúbicos de terra podem ser transportados em cada caminhão?

b) No mínimo, quantas viagens serão necessárias para transportar todo o entulho utilizando apenas um caminhão?

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27 Observe as dimensões da lata de azeite indicadas na figura a seguir e calcule, em decímetro cúbico, a medida do volume de azeite que a preenche.

Ilustração. Lata de azeite em formato de paralelepípedo, com as medidas indicadas: 4,4 centímetros de largura, 7,5 centímetros de comprimento, e 15 centímetros de altura.

Os sucos de fruta produzidos em uma fábrica são vendidos em embalagens medindo 12 centímetros de altura, 4,5 centímetros de largura e 3,5 centímetros de profundidade. Sabendo que o reservatório usado para encher as embalagens é uma caixa cúbica medindo 2,5 métros de aresta, aproximadamente quantas embalagens de suco são necessárias para utilizar todo o conteúdo do reservatório? Use uma calculadora para facilitar seus cálculos.

Ilustração. Cenário de uma fábrica. À esquerda, máquina para envaze de suco. Abaixo, esteira com embalagens de sucos sendo preenchidas.

29 Uma das maneiras de calcular a medida do volume de um objeto é mergulhá-lo em um recipiente contendo água. O volume da água deslocada corresponde ao volume do objeto. Calcule, em centímetro cúbico, a medida do volume de um peso para ginástica, sabendo que a base do recipiente mede 0,4 métro por 0,2 métro e que o nível da água sobe de 0,340 métro para 0,344 métro quando o peso é mergulhado.

Ilustração. Reservatório com água, em formato de paralelepípedo, em duas situações. Primeiro, com um peso de ginástica na parte de cima e seta para o interior da caixa, indicando que o peso está sendo colocado dentro da caixa. Em seguida, o mesmo reservatório com água e o peso dentro. A água na segunda cena está em nível maior e existe uma indicação sobre o deslocamento do nível da água, apontando a diferença inicial e final da altura da água nos reservatórios.

30 Considerando cubinhos de aresta medindo 1 milímetro, responda às questões a seguir.

a) Quantos desses cubinhos são necessários para formar um cubo de aresta medindo 1 metro?

b) Se você empilhar essa quantidade de cubinhos, um sobre o outro, qual será a medida da altura da pilha?

31 Leonardo fez alguns córtes em um modelo de cubo de espuma, conforme mostra a imagem a seguir.

Ilustração. Caixa cúbica com arestas medindo 5 centímetros cada. Na face frontal da caixa, uma linha tracejada divide uma faixa horizontal com altura medindo 1,5 centímetro. À direita, outra linha tracejada criando uma faixa vertical de medida 1,2 centímetros.

a) Desenhe no caderno cada um dos quatro paralelepípedos de faces retangulares em que esse cubo ficou dividido.

b) Qual é a medida do volume de cada um?

c) Qual era a medida do volume do cubo antes de ser cortado?

32 O bolo de casamento representado a seguir tem 3 camadas, cada uma medindo 6 centímetros de altura. A camada do topo do bolo tem as medidas: 30 centímetros de comprimento e 20 centímetros de largura. As demais camadas aumentam sempre 15 centímetros em cada uma das medidas (comprimento e largura). Quantos centímetros cúbicos mede esse bolo?

Ilustração. Bolo de casamento em três camadas, sendo que cada camada tem o formato de um paralelepípedo e as camadas aumentam de tamanho do topo para a base do bolo. No topo do bolo, há dois bonecos de casal de noivos.

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33 Rafael pediu à sua mãe que fizesse um bolo para comemorar seu aniversário com alguns amigos. O bolo tinha as medidas indicadas na figura.

Ilustração. Bolo de aniversário em formato de bloco retangular com vela acesa com número 11, cobertura branca e decorado com cerejas. As medidas do bolo são: 48 centímetros de largura, 30 centímetros de comprimento e 8 centímetros de altura.

Considerando essa situação, responda às questões a seguir.

a) No dia do aniversário, o bolo foi dividido igualmente entre as pessoas presentes na casa de Rafael: os 23 amigos e o aniversariante. Quantos centímetros cúbicos de bolo cada um recebeu?

b) Entre as fatias a seguir, qual pode representar a fatia de bolo que cada um recebeu? Por quê?

Ilustração. Fatia A, em formato de bloco retangular, medindo: 4 centímetros de largura, 15 centímetros de comprimento e 8 centímetros de altura.

Ilustração. Fatia B, em formato de bloco retangular, medindo: 5 centímetros de largura, 10 centímetros de comprimento e 8 centímetros de altura.

Ilustração. Fatia C, em formato de bloco retangular, medindo: 3 centímetros de largura, 10 centímetros de comprimento e 8 centímetros de altura.

c) Qual é o número máximo de fatias em que o bolo poderia ser cortado se cada uma tivesse as medidas indicadas na fatia C?

34 Um contêiner de 20 pés tem as seguintes dimensões: 6,058 métros de comprimento, 2,438 métros de largura e 2,591 métros de altura. Use uma calculadora para obter a medida do volume desse contêiner.

Hora de criar – Elabore um problema, sobre volume das pedras de um jôgo de dominó, que têm a fórma de paralelepípedo. Troque-o como o de um colega. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Reúna-se com um colega e cronometrem o tempo que levam para realizar o que se pede.

1 O sólido representado à direita é composto de paralelepípedos que medem 1 por 1 por 2. Quantos desses paralelepípedos compõem o sólido? (Vocês podem imaginar que os paralelepípedos “ocultos” estão presentes.)

2 O sólido representado à esquerda é composto de cubos de aresta 1. Quantos desses cubos faltam para transformar esse sólido em um cubo de aresta 5?

Ilustração. Dois sólidos compostos por diversos paralelepípedos.
À direita. Sólido composto por pequenos paralelepípedos de dimensões 1 por 1 por 2. No sólido, faltam 6 pequenos paralelepípedos para completar um grande paralelepípedo de dimensões 6 por 5 por 6.
À esquerda. Sólido composto por pequenos cubos de aresta 1, formado por 3 camadas: primeira camada, paralelepípedo de dimensões 5 por 5 e altura 1; segunda camada, paralelepípedo de dimensões 3 por 3 e altura 1; e terceira camada contendo apenas um cubinho. — Fonte: Treinando seu cérebro: centenas de jogos e passatempos para exercitar sua mente. Rio de Janeiro: Reader’s Digest, 2002. página 46.

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PARA SABER MAIS

Arredondar para fazer estimativas

Leia o texto a seguir:

“No Brasil, a água é utilizada principalmente para irrigação de lavouras, abastecimento público, atividades industriais, geração de energia, extração mineral, aquicultura, navegação, turismo e lazer. Cada uso depende e pode afetar condições específicas de quantidade e de qualidade das águas. reticências

cêrca de 93 trilhões de litros de água são retirados anualmente de fontes superficiais e subterrâneas para atender aos diversos usos consuntivos múltiplos e setoriais. A evaporação líquida, a irrigação, a termeletricidade e algumas indústrias apresentam forte sazonalidade, ou seja, o consumo de água pode variar expressivamente dentre os meses de um mesmo ano.

O conhecimento sobre os usos da água é constantemente aprimorado por meio de levantamentos, estudos setoriais e cadastros de usuários. Para que vários setores usufruam da água, a Agência Nacional de Águas e Saneamento Básico realiza estudos e emite normas que garantem o acesso aos recursos hídricos.”

Agora, considere o gráfico:

Gráfico de setores. Título: Retirada de água no Brasil em 2019. Os dados indicados em cada setor são: Evaporação líquida por usos múltiplos (30%) equivale a: menos que 27,9 trilhões de litros ao ano. Usos setoriais da água (70%) equivale a: menos que 65 trilhões
de litros ao ano. Total Brasil equivale a: menos que 92,9 trilhões de litros ao ano. Ao lado do gráfico de setores, escala vertical em cores de verde, vai especificar os usos setoriais, usando diferentes cores e um símbolo referente a cada categoria. De cima para baixo: irrigação: 49,8%. Humano urbano: 24,3%. Indústria: 9,7%. Uso animal: 8,4%. Termelétricas: 4,5%. Mineração: 1,7%. Humano rural: 1,6%. — Fonte: Agência Nacional de Águas e Saneamento Básico (ANA). Disponível em: https://oeds.link/5iPgQL. Acesso em: 23 maio 2022.

No gráfico, podemos observar:

• A soma das porcentagens referentes aos setores “Evaporação Líquida” e “Usos setoriais da água” é, como deve ser em todos os gráficos de setores, igual a 100%.

• A coerência dos dados percentuais e dos dados brutos. Por exemplo, 30% de 92,9 trilhões, de fato, equivale a 27,9 trilhões.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Como você explicaria a um colega o significado de “A evaporação líquida, a irrigação, a termoelétrica e algumas indústrias apresentam forte sazonalidade.”

2 Qual é a soma dos percentuais referentes aos vários Usos setoriais da água?

3 Quantos litros de água o setor da irrigação consumiu em 2019?

4 Em 2019, quantos litros de água o Humano (urbano mais rural) consumiu a mais do que o Uso animal?

5 A indústria consumiu 9,7% de 70% da água retirada em 2019. Esse consumo (9,7% de 70%) equivale a quantos por cento do total (Evaporação líquida mais Usos setoriais da água)?

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 (éfe ême ú-São Paulo) Sendo E um ponto qualquer do lado

\overline{C D}

do retângulo a bê cê dê, a área do triângulo hachurado será:

a) 16 centímetros quadrados.

b) 12 centímetros quadrados.

c) 8 centímetros quadrados.

d) 32 centímetros quadrados.

e) 6 centímetros quadrados.

Ilustração. Retângulo ABCD. Medida de AD é 4 centímetros e medida de AB é 8 centímetros. Dentro, E é um ponto qualquer no segmento CD e o triângulo ABE está destacado em roxo.

2 Calcule a medida da área da figura desenhada na malha quadriculada a seguir, sabendo que o lado do quadradinho da malha mede 1,5 centímetro.

Ilustração. Malha quadriculada com o desenho de uma pessoa de vestido verde com os braços para o lado e uma das pernas levantadas. O desenho é composto por 52 quadradinhos, 4 metades de um quadradinho e 12 partes que equivalem a aproximadamente 6 quadradinhos.

3 Determine a área de cada figura, considerando que o lado do quadradinho do quadriculado mede 1,5 centímetro.

Ilustração. Malha quadriculada com figura verde composta por 12 quadradinhos inteiros e 15 partes que equivalem a aproximadamente oito quadradinhos.

Ilustração. Malha quadriculada com uma figura geométrica em formato de peixe laranja, composto por 6 quadradinhos e 25 partes que equivalem a aproximadamente 12 quadradinhos.

Ilustração. Malha quadriculada com uma figura composta por 8 partes triangulares que são, cada uma, metade de um quadradinho.

4 Deseja-se cimentar, com uma mistura de areia e cimento, um quintal retangular com 10 métros por 14 métros de medidas. O revestimento terá 3 centímetros de medida de espessura. Qual deverá ser a medida do volume dessa mistura?

5 (Unifor-Ceará) Um aquário com a fórma de paralelepípedo de faces retangulares (ou bloco retangular) tem 40 centímetros de comprimento, 30 centímetros de largura e 20 centímetros de altura e contém água, que ocupa

\frac{2}{3}

de sua capacidade. Um objeto é mergulhado na água de maneira que o conteúdo do aquário passa a ocupar .19600 centímetros cúbicos. O volume desse objeto em centímetro cúbico é:

a) 600.

b) .2800.

c) .3600.

d) .4800.

e) .5600.

6 Uma peça de alumínio tem as medidas indicadas, em metro, na figura a seguir. Sabendo que 1 centímetro cúbico de alumínio tem 2,7 gramas, quantos quilogramas tem essa peça?

Ilustração. Bloco retangular com cor metálica, indicando as medidas: 0,45 metro de comprimento, 0,28 metro de altura, e 0,06 metro de largura.

7 Um conta-gotas tem capacidade de 2,5 centilitros. Qual é a medida de sua capacidade em mililitro?

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 A figura representada a seguir é formada por regiões triangulares congruentes. Considerando que uma dessas regiões tenha 1 centímetro quadrado de área, qual é a medida de área da região colorida de cinza?

Ilustração. Hexágono decorado estilo mandala. Composto por diversos triângulos congruentes nas cores cinza, branco e preto. De fora para dentro: uma camada com 6 triângulos cinzas, uma camada com 6 triângulos pretos formando um outro hexágono. No interior, uma estrela de seis pontas, onde cada ponta é formada por um triângulo cinza e por um triângulo branco unidos.

a) 6 centímetros quadrados

b) 10 centímetros quadrados

c) 12 centímetros quadrados

d) 18 centímetros quadrados

2 Considere uma região retangular formada por 42 quadradinhos, cada um medindo 2 centímetros² de área. Quanto mede o lado de cada quadradinho e qual é a medida da área total da região retangular?

a) 1 centímetro e 42 centímetros quadrados.

b) 1 centímetro e 84 centímetros quadrados.

\sqrt{2}

centímetro e 42 centímetros quadrados.

\sqrt{2}

centímetro e 84 centímetros quadrados.

3 Considere as seguintes figuras formadas por peças de um tangram e a legenda que indica a medida da área da superfície de cada peça.

Ilustração. Figura com as peças do tangram organizadas de forma semelhante a um cavalo. Composta por 2 triângulos grandes iguais (roxo e vermelho); 1 triângulo médio (azul claro); 2 triângulos pequenos iguais (amarelo e verde); 1 quadrado (laranja) e 1 paralelogramo (azul escuro).
Ilustração. Figura com as peças do tangram organizadas de forma semelhante a uma ave. Composta por 2 triângulos grandes iguais (roxo e vermelho); 1 triângulo médio (azul claro); 2 triângulos pequenos iguais (amarelo e verde); 1 quadrado (laranja); 1 paralelogramo (azul escuro).
Ilustração. Indicação de legenda para as medidas de área de cada peça do tangram. Sendo cor azul clara: 2u. Cor roxa: x. Cor vermelha: x. Cor verde: 1u. Cor laranja: 2u. Cor azul escuro: 2u. Cor amarela: 1u.

Sabendo que a medida da área total da superfície de uma dessas figuras é de 48 centímetros quadrados e que x é igual a 4 unidades, os valores de x e u são, respectivamente:

a) 4 centímetros quadrados e 1 centímetro quadrado.

b) 12 centímetros quadrados e 3 centímetros quadrados.

c) 16 centímetros quadrados e 4 centímetros quadrados.

d) 48 centímetros quadrados e 12 centímetros quadrados.

4 Os triângulos ABP, ABQ e ABR representados a seguir têm mesmas medidas de base e de altura.

Ilustração. Duas retas paralelas. Na reta superior, pontos P, Q e R. Na reta inferior, pontos A e B. O segmento RB é perpendicular à reta inferior, com indicação de ângulo reto no ângulo ABR. Segmentos de A até R e de R até B, em roxo. Segmentos de P até A e de P até B, em cinza. Segmentos de Q até A e de Q até B em verde.

A partir dessas informações, podemos afirmar que eles são:

a) equivalentes.

b) equiláteros.

c) congruentes.

d) isósceles.

5 Dada a imagem a seguir e as informações contidas nela, qual é a medida da área do triângulo BCP?

Ilustração. Reta horizontal com pontos A, B, C e D. Em A, reta vertical r com ponto E. Em B, reta vertical s com ponto P (acima do ponto E). Em C, reta t cruza a reta s em P. Em D, reta u (paralela à reta t) com ponto F nela. Ao lado da imagem, uma legenda com os seguintes dados:
segmento AB mede 2 centímetros;
segmento AD mede 11 centímetros;
segmento CD mede 5 centímetros;
segmento BP mede 10 centímetros.

a) 10 centímetros quadrados

b) 20 centímetros quadrados

c) 25 centímetros quadrados

d) 55 centímetros quadrados

6 Considere um paralelepípedo formado por cubinhos medindo 1 centímetro cúbico. O esquema a seguir representa a quantidade de cubinhos que compõem a largura, o comprimento e a altura do paralelepípedo.

Esquema. Figura composta por 3 fileiras de cubos dispostos nas direções vertical, horizontal e para a frente da imagem. A fileira vertical contém 5 cubos, a horizontal contém 6 cubos, e a fileira para a frente da imagem contém 3 cubos.

Qual é a medida do volume do paralelepípedo?

a) 90 centímetros cúbicos

b) 48 centímetros cúbicos

c) 40 centímetros cúbicos

d) 14 centímetros cúbicos

7 Seja uma caixa com a fórma de um paralelepípedo de arestas medindo 2 métros, 2 métros e 4 métros, e outra, de mesmo formato, de arestas medindo 1 métro, 2 métros e 6 métros, qual é a diferença entre os volumes dessas caixas?

a) 1 métros cúbicos

b) 2 métros cúbicos

c) 4 métros cúbicos

d) 6 métros cúbicos

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir:

a) Cite três situações do seu dia a dia em que o cálculo de medidas de áreas pode ser empregado.

b) O que são figuras equivalentes?

c) Qual é a medida do volume de um cubo de aresta medindo 1 métro? E qual é a medida da aresta de um cubo com 1 centímetro cúbico de medida de volume?

d) Em que situações é preciso conhecer a medida do volume de algum objeto? Dê dois exemplos.