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CAPÍTULO 12 Estudo da circunferência e do círculo

Fotografia. Vista noturna de uma roda-gigante iluminada com luz na cor roxa. Ao fundo, prédios e construções com iluminação colorida. — A Ain Dubai, em Dubai, é uma das maiores rodas-gigantes do mundo. (Fotografia de 2020.)

Observe a imagem e responda às questões no caderno.

a) Quantas pessoas cabem no máximo em um passeio de uma volta completa nessa roda-gigante?

b) A quantos graus corresponde o giro de deslocamento de uma cabine que está no ponto mais baixo até o ponto mais alto dessa roda-gigante?

c) Qual é a medida aproximada do menor ângulo com vértice no centro da roda-gigante e lados que passem no centro de duas cabines vizinhas?

Inaugurada em outubro de 2021, a Ain Dubai tem 250 metros de medida de altura. Está localizada na ilha artificial de Bluewaters, em Dubai. Ela tem 48 cabines de 30 métros², com vista de 360graus, que podem levar até .1750 pessoas por vez. O passeio de uma volta completa pode durar até 38 minutos.

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1. Circunferência

Observe a situação a seguir.

Para traçar o canteiro de uma praça, o jardineiro Luís usou uma corda presa a duas estacas de madeira, uma em cada ponta.

Fotografia. Vista aérea de canteiro circular com flores rosas, roxas e brancas. — Canteiro de flores.

Com uma das estacas presa ao chão e mantendo a corda esticada, ele riscou a terra com a outra, dando uma volta completa.

Ilustração. Traçado circular no chão. No centro, estaca. À direita, homem ajoelhado segurando uma corda, da estaca até um ponto do traçado.

O traçado obtido pelo jardineiro dá a ideia de uma circunferência.

Circunferência é a linha formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma distância de um ponto fixo desse plano.

Considere a circunferência a seguir.

Todos os pontos de uma circunferência são equidistantes de um ponto fixo, chamado de centro da circunferência. Nessa circunferência, o centro é o ponto óh.

Ilustração. Circunferência. No centro, ponto O

Destacamos alguns elementos em uma circunferência:

• Raio: segmento cujos extremos são o centro e um ponto qualquer da circunferência.

• Corda: segmento cujos extremos são dois pontos quaisquer de uma circunferência.

• Diâmetro: corda que passa pelo centro de uma circunferência. A medida do comprimento do diâmetro (D) é igual ao dôbro da medida do comprimento do raio (2r). Assim: D = 2r

Na figura a seguir:

Ilustração. Circunferência. No centro, ponto O. Segmento AB na parte superior. Segmento CD na horizontal passando por O. Segmentos OE, OM e OF. A medida dos segmentos OE, OC, OM, OF e OD é r.

•

\overline{A B}

é uma corda;

•

\overline{C D} e \overline{E F}

são alguns dos diâmetros;

•

\overline{O M}, \overline{O C} e \overline{O F}

são alguns dos raios.

Observação

▶ A palavra raio será usada tanto para designar um segmento como para indicar a medida desse segmento. Assim, por exemplo, quando dizemos que uma circunferência tem raio 3,8 centímetros, queremos dizer que os infinitos segmentos que são raios dessa circunferência medem 3,8 centímetros.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Observe a circunferência e classifique, no caderno, os segmentos em raio, diâmetro ou corda.

Ilustração. Circunferência de centro O com os pontos A, B, C e D indicados nela. Passando por O, segmento AB na horizontal. Acima, segmentos OC e BC. Abaixo, segmento OD.

\overline{O B}

\overline{O C}

\overline{B C}

\overline{A B}

\overline{C D}

\overline{O D}

2 Considere a figura a seguir, depois responda às questões no caderno.

Ilustração. Circunferência de centro O com os pontos A, B, C, M e N destacados. Segmento AB na horizontal passando por O. Segmentos OM, OC e ON.

a) Se ó ême = 3 centímetros, quanto mede

\overline{A B}

b) Se MN = 8 centímetros, quanto mede

\overline{O C}

c) Se ó cê = x, quanto mede

\overline{O B}

d) Se ó á = y, quanto mede

\overline{A B}

3 Com um compasso, trace três circunferências: uma de raio medindo 2 centímetros, outra de raio medindo 2,5 centímetros, e a terceira com a medida que você escolher. Em seguida, em cada uma delas, trace um diâmetro

\overline{A B},

uma corda

\overline{C D},

que não passe pelo centro óh, e um raio

\overline{O E} .

Considerando as possibilidades de suas escolhas para os pontos A, B, C, D e E, responda às questões no caderno.

\overline{C D}

pode ser maior que

\overline{A B}

\overline{A B}

é sempre maior que

\overline{C D}

\overline{C D}

pode ser maior que

\overline{O E}

\overline{C D}

pode ser menor que

\overline{O E}

\overline{A B}

é sempre o dôbro de

\overline{O E}

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca!)

4 Na figura, as expressões algébricas representam a medida dos raios da circunferência.

Ilustração. Circunferência de centro O. De O partem três raios de medidas 2x mais 3, 2y menos 3 e 3x mais y menos 8.

a) Escreva no caderno, com essas expressões, um sistema de duas equações com duas incógnitas.

b) Resolva o sistema do item a e calcule as medidas do raio e do diâmetro em unidades de comprimento (u).

5 Uma das maiores crateras conhecidas do nosso Sistema Solar está em Mercúrio, o planeta mais próximo do Sol. O diâmetro dessa cratera mede aproximadamente .1300 quilômetros. Determine, em metro, a medida aproximada do raio dessa cratera.

Fotografia. Vista da superfície do planeta Mercúrio. Ao fundo, sol iluminado.

Superfície de Mercúrio. O Sol está a, aproximadamente, ..58000000 quilômetros de distância de Mercúrio, pouco mais de

\frac{1}{3}

da distância da Terra ao Sol.

6 Calcule a medida do perímetro do retângulo ABCD.

Ilustração. Circunferência de centro O com os pontos C e D destacados nela. Retângulo ABCD com CD passando por O e AB intersectando um ponto da circunferência. De O parte um raio de medida 3u.

Junte-se a um colega e façam o que se pede.

Na figura a seguir há duas circunferências de mesmo raio, e as medidas estão em uma mesma unidade de comprimento u.

Esquema. Retângulo medindo 9 por 16. Dentro, em cada canto, um quadrado de lado medindo x mais y. Centralizados, dois retângulos, um acima e outro abaixo. Os dois retângulos têm medidas x mais y e x mais 2y. Entre cada dois quadrados e dois retângulos, uma circunferência de raio medindo y.

Escrevam e resolvam um sistema de duas equações com duas incógnitas para determinar a medida do raio das circunferências.

Hora de criar – Elabore um problema sobre circunferência. Troque-o com um colega e depois que cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem-nos para corrigi-los.

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PARA SABER MAIS

Triângulos simétricos na circunferência

Já vimos que o conceito de congruência se aplica a elementos geométricos com medidas iguais. Por exemplo, segmentos congruentes têm medidas iguais; ângulos congruentes, também.

Podemos dizer que dois triângulos são congruentes quando as medidas de um deles são respectivamente iguais às medidas do outro: os lados de um são congruentes aos do outro e também os ângulos de um são congruentes aos ângulos do outro.

Ilustração. Dois triângulos um do lado do outro.
Triângulo ABC com lados de medidas diferentes e ângulos de medidas diferentes.
Triângulo A linha B linha C linha com lados de medidas diferentes e ângulos de medidas diferentes.
Os triângulos são congruentes.
Abaixo está escrito:
Lados congruentes: segmento de reta AB é congruente ao segmento de reta A linha B linha; segmento de reta AC é congruente ao segmento de reta A linha C linha; segmento de reta CB é congruente ao segmento de reta C linha B linha.
Ângulos congruentes: ângulo ABC é congruente ao ângulo A linha B linha C linha; ângulo BAC é congruente ao ângulo B linha, A linha, C linha; ângulo ACB é congruente ao ângulo A linha, C linha, B linha.

Observe a figura. A reta

\overset{\leftrightarrow}{C D}

é um eixo de simetria.

Ilustração. Circunferência de centro O com os pontos A, B e C destacados nela. Semirreta CD, partindo de C, com os pontos P, O, E, D e Q destacados nela. O ponto Q é o único fora da circunferência. Segmento de reta AB perpendicular à semirreta CD. Triângulos formados pelos pontos APB, AOB e AQB.
Os ângulos PAQ, PBQ, PEA e PEB são retos.

Dobrando a folha pela reta

\overset{\leftrightarrow}{C D}

, podemos perceber que há vários pares de triângulos que se sobrepõem; logo, são triângulos congruentes: △ô á ê ≅ △ó bê é, △pê á é ≅ △PBE, △QAE ≅ △QBE, △OAQ ≅ △OBQ, △PAQ ≅ △PBQ.

Agora é com você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Considerando a figura a seguir, escreva e resolva um sistema de duas equações com duas incógnitas. Depois, calcule a medida do perímetro do triângulo ABC.

Ilustração. Circunferência com os pontos B e C destacados nela. Um diâmetro com o ponto A destacado. Triângulo ABC com as medidas de dois lados: 3x menos 2y, x mais y. Base dividida em dois segmentos, um de medida 3y menos 6 e o outro de medida x.
O triângulo está dentro da circunferência. O segmento CB é perpendicular ao diâmetro.

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Círculo

Uma circunferência de centro óh, contida em um plano α, determina duas regiões: região interna e região externa.

Fotografia. Vista frontal de ginasta de collant no ar com as pernas abertas e os braços para o lado. Ela segura um aro branco, como um bambolê, próximo às pernas. — O aro da ginasta lembra uma circunferência. Toda circunferência limita um círculo. Barbara Domingos, ginasta brasileira, durante final individual do aro da ginástica rítmica dos Jogos Pan Americanos Lima 2019. (Fotografia de 2019.)

Na figura a seguir:

Ilustração. Plano alfa em azul. No plano, há uma circunferência de centro O em vermelho. A região interna da circunferência está em amarelo.

• a circunferência está desenhada em vermelho;

• a região interna à circunferência está pintada de amarelo e o centro pertence à região interna;

• a região externa está pintada de azul.

A região do plano formada por uma circunferência e pela região interna a ela é chamada de círculo.

Comprimento de uma circunferência

Vamos relembrar o exemplo do jardineiro Luís, apresentado anteriormente. Ele traçou o contôrno de um canteiro em uma praça com duas estacas de madeira e uma corda esticada.

Ilustração. Traçado circular no chão. No centro, uma estaca. À direita, homem segura uma corda da estaca até um ponto do traçado.

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Vimos que o traçado obtido por Luís dá a ideia de uma circunferência.

Após o traçado, Luís fez, com uma enxada, um sulco sobre a circunferência.

Ilustração. Traçado circular no chão. À esquerda, homem segura uma enxada em um ponto do traçado.

Desejando saber quantos metros de tela seriam necessários para cercar esse canteiro, ele esticou uma corda, acompanhando o sulco, e cortou-a ao final do contôrno.

Ilustração. Traçado circular no chão. À esquerda, homem segura uma corda esticada no traçado.

Depois, com uma trena, mediu a corda e verificou que a medida da distância entre as duas estacas, com a corda esticada, era igual a 3 métros e que a medida do comprimento da circunferência era de 18,84 métros. Desse modo, concluiu que seriam necessários aproximadamente 19 métros de tela.

Ilustração. Traçado circular no chão. Ao lado, homem usa uma trena para medir a corda esticada na horizontal no chão.

Considerando a distância entre as duas estacas, podemos dizer que ele traçou uma circunferência de 3 métros de medida de raio, ou seja, de 6 métros de medida de diâmetro.

Acompanhe outro exemplo.

Para determinar a medida do comprimento da circunferência de um pneu de bicicleta e a medida de seu diâmetro, podemos utilizar um barbante e uma fita métrica.

fotografia. Vista de cima de garoto sentado no chão. Ao lado, parte de uma bicicleta com destaque para o pneu frontal dela. Ele segura um barbante que está ao redor do pneu. — Jovem medindo com um barbante o contôrno do pneu de uma bicicleta.

Ilustração. Homem de cabelo ruivo e camisa vermelha, fala: Lembre-se de que essas medidas não são exatas, mas sim aproximadas.

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Suponha que contornemos com um barbante a circunferência a seguir. Esticando o barbante, ele teria a mesma medida do segmento

\overline{A B}

Ilustração. Circunferência de centro O. À direita, sobre a circunferência, ponto A.
Abaixo da circunferência, segmento de reta AB.

A medida do segmento

\overline{A B}

é igual à medida do comprimento dessa circunferência.

A razão entre as medidas do comprimento da circunferência e do diâmetro é um número que, na fórma decimal, apresenta infinitas casas decimais não periódicas.

O avanço da tecnologia na área da informática tem validado, na prática, o que a teoria mostra: já é possível expressar esse número com milhões de casas decimais, e essa representação não apresenta nenhum período, pois trata-se de um número não racional. A esse tipo de número com infinitas casas decimais sem apresentar período, que estudaremos no próximo ano, chamamos de número irracional.

O número irracional, que representa a razão entre a medida do comprimento C de uma circunferência e a medida D de seu diâmetro, é representado pela letra grega π (lemos: “pi”).

Assim, podemos escrever:

\frac{medida do comprimento da circunferência}{medida do diâmetro} = π ou \frac{C}{D} = π

Observe a representação decimal desse número com suas primeiras trinta casas decimais:

3,141592653589793238462643383279reticências

Como a medida D do diâmetro de uma circunferência é o dôbro da medida r de seu raio, podemos escrever:

\frac{C}{2 r} = π ou C = 2 π r

Note que, no exemplo do jardineiro Luís, é possível chegar a um valor aproximado para π, pois a medida do comprimento da circunferência do canteiro, dividida pela medida de seu diâmetro, é: 18,84 : 6 = 3,14.

• Que tal fazer um experimento? Determine as medidas do comprimento da circunferência do pneu de uma bicicleta e do diâmetro dessa circunferência. Calcule a razão entre essas medidas. A que número você chegou?

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

9 Com uma régua, obtenha a medida r do raio da circunferência de centro óh, contida no plano α. Depois, meça as distâncias de cada um dos outros pontos da figura ao centro óh.

Ilustração. Plano alfa com circunferência de centro O no centro. Dentro da circunferência, pontos U e T. Na circunferência, pontos R e Q. No plano, fora da circunferência, pontos S e P.

a) Compare com r as medidas das distâncias dos pontos destacados:

• da circunferência até óh;

• da região externa da circunferência até óh;

• da região interna da circunferência até óh.

b) No caderno, copie a figura e marque um ponto V, cuja medida da distância ao centro óh seja maior do que r, e um ponto W, cuja medida da distância a óh seja menor do que r. O ponto V pertence à circunferência, à região interna ou à região externa? E o ponto W ?

10 Uma roda de bicicleta tem 40 centímetros de medida raio. Calcule a medida aproximada do comprimento da circunferência dessa roda, considerando π = 3,14.

11 Uma pista circular tem 8 métros de medida de largura. O comprimento de sua margem interna mede .1570 métros. Determine a medida aproximada do comprimento de sua margem externa, considerando π = 3,14.

Ilustração. Coroa circular em verde. A medida da largura da coroa circular é 8 metros.

12 Marina e Paula estão na posição a de uma praça circular de 50 métros de medida de raio. Elas caminham em direção à posição B. Marina caminha segundo o traçado preto, e Paula, segundo o traçado vermelho.

Ilustração. Círculo com segmento de reta vertical AB dividindo ele ao meio. A e B são pontos da circunferência. Dentro dela, divisão ondulada em duas partes congruentes.

Considerando π = 3,14, faça o que se pede.

a) Sem fazer nenhum cálculo, responda: quem andou a maior distância? Justifique sua resposta.

b) Calcule quantos metros cada uma andou, aproximadamente, e verifique se você acertou o item anterior.

c) Agora, observe o trajeto feito por Andréa, conforme o traçado verde.

Ilustração. Metade esquerda de circunferência com diâmetro AB dividido em 8 partes iguais. Cada 4 partes forma metades de uma circunferência vermelha. Cada 2 partes forma metades de uma circunferência verde.

Sem fazer nenhum cálculo, é possível dizer que a distância percorrida por Andréa é maior ou menor do que as distâncias percorridas por Marina e Paula?

d) Calcule quantos metros Andréa andou, aproximadamente, e verifique se você acertou o item anterior.

e) Imagine que você caminhasse de a para B, fazendo um caminho sinuoso como o de Paula e o de Andréa; porém, percorrendo oito semicircunferências, cada uma delas de diâmetro de mesma medida que a do raio das semicircunferências percorridas por Andréa. Quantos metros você andaria?

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Reúna-se com um colega para fazer algumas estimativas.

a) Desenhem o contôrno de uma moeda de 1 real. Estimem a medida do comprimento da circunferência desenhada, em centímetro, e tracem um segmento com esse comprimento.

b) Estimem o comprimento do traçado vermelho da figura, em centímetro, feito com uma moeda de 1 real. Expliquem como fizeram essa estimativa.

Ilustração. Circunferência tracejada ao centro. Seis circunferências tracejadas sobrepostas formam com a circunferência central uma figura que lembra uma flor vermelha de seis pontas.

Hora de criar – Elabore um problema sobre comprimento de circunferência. Troque-o com um colega e depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem-nos para corrigi-los.

Trabalhando a informação

Limites do corpo humano

O professor Adelson passou um texto para motivar seus estudantes a fazerem uma pesquisa estatística sobre os limites do corpo humano. Acompanhe.

Corpo humano pode estar chegando ao limite, diz estudo

Cada geração é mais alta, forte e longeva que a geração anterior – mas isso está parando

Cientistas franceses e brasileiros analisaram os registros de longevidade, altura e fôrça física das pessoas em diversos países ao longo dos últimos 120 anos – e constataram que, mesmo com os avanços da medicina e a melhoria nas condições de vida, esses indicadores pararam de aumentar na década de 1980.

Fonte: isclárz, E. Corpo humano pode estar chegando ao limite, diz estudo. Superinteressante, São Paulo, edição 386, página 12, março 2018.

Orientação para grupos de trabalho

• Objetivo da pesquisa: comparar as alturas de jovens com as de seus pais, por gênero.

• População estatística (alvo): pessoas conhecidas, sendo uma de cada família.

• Coletar a altura (em centímetro) de 10 jovens (15 a 24 anos), sexo feminino, e a altura da respectiva mãe. Idem para sexo masculino e respectivo pai.

• Organizar os dados colhidos em duas tabelas (jovem – genitor ou genitora), incluindo a diferença de alturas e as respectivas médias de cada grupo.

• Construir dois gráficos de colunas das diferenças de alturas (jovem/mãe; jovem/pai).

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• Avaliar se a quantidade de pessoas pesquisadas (pesquisa amostral, isto é, pesquisa com uma parte da população estatística) é suficiente para chegar a conclusões seguras sobre as comparações das alturas das pessoas ou se seria necessário aumentar o número de pessoas pesquisadas até a totalidade da população (pesquisa censitária).

• Redigir relatório comparando as alturas de filhos e pais, por gênero, e verificar se a conclusão desse trabalho é compatível com a reportagem anterior.

Observe parte do trabalho de um dos grupos de estudantes de Adelson, com o gênero feminino.

Altura de jovem feminina (15-24 anos) e sua mãe (em cm)											Média
Jovem	160	173	168	168	165	180	176	163	170	177	170
Mãe	165	166	160	162	165	170	166	167	161	168	165
Diferença	−5	7	8	6	0	10	10	−4	9	9	5

Dados obtidos pelos estudantes de Adelson.

Gráfico de barras verticais. Diferença de altura entre jovem e mãe (em cm). Eixo horizontal, jovem/mãe. Eixo vertical, diferença de altura. Os dados são: menos 5, 7, 8, 6, 0, 10, 10, menos 4, 9, 9. Média: 5. — Dados obtidos pelos estudantes de Adelson.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 O mesmo grupo de estudantes do professor Adelson elaborou a seguinte tabela:

Altura de jovem masculino (15-24 anos) e seu pai (em cm)											Média
Jovem	170	188	173	168	173	180	176	175	180	177	176
Pai	165	176	170	172	165	170	166	177	181	168	171
Diferença	5	12	3	−4	8	10	10	−2	−1	9	5

Dados obtidos pelos estudantes de Adelson.

Construa o gráfico de colunas que representa os dados dessa tabela.

Junte-se a quatro colegas e façam uma pesquisa igual à proposta pelo professor Adelson, seguindo todas as etapas das orientações.

Agora o grupo do qual você faz parte deve juntar os dados de todos os outros grupos e fazer as tabelas, os gráficos e o relatório como se fosse uma só pesquisa. Com essa população estatística maior, a conclusão sobre a pesquisa é mais confiável?

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2. Posições relativas

Posições relativas de um ponto em relação a uma circunferência

Se uma circunferência está contida em um plano α, então um ponto qualquer de α pode ser interno, externo ou pertencente à circunferência.

Ilustração. Plano alfa com circunferência de centro O. Fora da circunferência, ponto D. Na circunferência, ponto P. Dentro da circunferência, ponto B. Raio da circunferência de medida r. Linhas tracejadas de O até P, de O até D e de O até B.

• Se a medida da distância de um ponto ao centro de uma circunferência é maior do que a medida do raio dessa circunferência, dizemos que esse ponto é externo a ela. Na figura, ó dê > r ; logo, o ponto D é externo à circunferência.

• Se a medida da distância de um ponto ao centro de uma circunferência é menor do que a medida do raio dessa circunferência, dizemos que esse ponto é interno a ela. Na mesma figura, ó bê < r ; logo, o ponto B é interno à circunferência.

• Se a medida da distância de um ponto ao centro de uma circunferência é igual à medida do raio dessa circunferência, dizemos que esse ponto pertence a ela. Na figura, ó pê = r ; logo, o ponto P pertence à circunferência.

Considerando essas três situações, concluímos que todos os pontos de uma circunferência têm a propriedade de estar à distância de medida r de óh. E só os pontos dessa circunferência têm essa propriedade.

Como estudamos anteriormente, dizemos que essa circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam r de óh.

No próximo ano retomaremos o estudo deste e de outros lugares geométricos.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

15 Considere a figura a seguir.

Ilustração. Plano alfa com circunferência de centro O. Fora da circunferência, pontos C e E. Na circunferência, pontos A e D. Dentro da circunferência, ponto B. .

Agora, escreva no caderno os pontos:

a) internos à circunferência;

b) externos à circunferência;

c) pertencentes à circunferência.

Versão adaptada acessível

15. Represente, no caderno, uma circunferência e depois, indique:

a) 2 pontos internos à circunferência;

b) 2 pontos externos à circunferência;

c) 2 pontos pertencentes à circunferência.

16 Estabeleça uma relação de igualdade ou de desigualdade entre as medidas dos segmentos

\overline{O A},

\overline{O B}

\overline{O C},

com o raio de medida r da circunferência do exercício anterior.

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17 Com um compasso, trace uma circunferência de centro óh. Marque sobre ela dois pontos distintos, M e N, não colineares com o ponto óh. Como você classifica, quanto aos lados, o triângulo ême ó êne ?

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca!)

18 No chão do pátio da escola onde Cristina estuda, há o desenho de uma circunferência que mede 6 métros de diâmetro. Certo dia, Cristina estava a 2 métros do centro dessa circunferência, e sua amiga Rosana, a 7 métros.

a) Qual é a posição de Cristina e de Rosana em relação à circunferência?

b) Determine a medida da distância entre elas, sabendo que Cristina, Rosana e o centro dessa circunferência estão sobre uma mesma reta.

19 Com um compasso, trace em uma folha avulsa uma circunferência de centro óh e marque sobre ela dois pontos distintos, a e B, não colineares com o ponto óh. Construa o triângulo á ó bê e, por dobradura, trace a bissetriz

\vec{O D}

do ângulo

A \hat{O} B

, em que D seja ponto de

\overline{A B}

a) Como são as medidas dos ângulos

O \hat{B} A

O \hat{A} B

b) Como são as medidas dos segmentos

\overline{A D}

\overline{B D}

c) Quanto aos ângulos, como se classifica o triângulo ODB ? E o triângulo ó dê á?

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca!)

Posições relativas de uma reta em relação a uma circunferência

Em relação a uma circunferência, uma reta pode ser secante, tangente ou exterior.

• Secante: quando a reta tem dois pontos em comum com a circunferência.

Ilustração. Circunferência de centro O. Reta s corta a circunferência nos pontos A e B.

• Tangente: quando a reta tem só um ponto em comum com a circunferência.

Ilustração. Circunferência de centro O. Reta t é tangente à circunferência no ponto A e é perpendicular à linha tracejada OA.

• Exterior (ou externa): quando a reta não tem ponto em comum com a circunferência.

Ilustração. Circunferência de centro O. A reta s não tem pontos em comum com a circunferência.

Representando por d a medida da distância do centro da circunferência à reta e por r a medida do raio, temos:

Ilustração. Circunferência de centro O. Raio de medida r. Reta u na horizontal na parte superior da circunferência, intersectando ela em dois pontos distintos. A distância de O à reta u mede d. Cota abaixo: d menor que r, reta secante.
Ao lado, circunferência de centro O. Raio de medida r. Reta u na horizontal tangente à circunferência. A distância de O à reta u mede d. Cota abaixo: d igual a r, reta tangente.
Ao lado, circunferência de centro O. Raio de medida r. Reta u na vertical à direita da circunferência. A distância de O à reta u mede d. Cota abaixo: d maior que r, reta exterior.

Observação

▶ Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio traçado pelo ponto de tangência.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

20 Considere a figura a seguir.

Ilustração. Circunferência de centro O1 com os pontos A, B e G destacados. Fio tracejado de O1 até o ponto G. Reta s passa pelos pontos A e B à direita. Ao lado, circunferência menor de centro O2, com os pontos D e E destacados. Reta r passa pelos pontos D, E e G. As retas s e r se cruzam entre as circunferências.

Agora, classifique:

a) a reta r em relação à circunferência de centro

O_{1}

;

b) a reta r em relação à circunferência de centro

O_{2}

;

c) a reta s em relação à circunferência de centro

O_{1}

;

d) a reta s em relação à circunferência de centro

O_{2}

21 Com régua e compasso, trace a circunferência de raio r e a reta s cuja medida da distância até o centro da circunferência é d. Depois, classifique a reta s em relação à circunferência.

a) r = 1,5 centímetro; d = 1 centímetro

b) r = 1,5 centímetro; d = 1,5 centímetro

c) r = 1,5 centímetro; d = 2 centímetros

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca!)

Reúna-se com um colega e, em seguida, respondam às questões.

Uma metalúrgica produziu uma placa retangular de alumínio de medidas 20 centímetros por 15 centímetros. Os operários recortaram dois círculos dessa placa, como mostra a figura.

Ilustração. Retângulo medindo 15 centímetros por 20 centímetros. Dentro, na metade superior, duas circunferências que se tangenciam.

a) Com a sobra da placa, os operários recortaram outros quatro círculos idênticos e com raios de maior medida possível. Qual é a medida do raio desses círculos?

b) Considerando os círculos do item a, determine quantas placas serão necessárias para obter 120 desses círculos menores.

c) Se quiséssemos obter, com essas placas, novos círculos de raios cujas medidas fossem metade dos círculos menores do item a, quantas placas seriam necessárias para obter 48 desses círculos?

Posições relativas de duas circunferências

Vamos considerar a circunferência de centro

O_{1}

e raio de medida

r_{1}

e a circunferência de centro

O_{2}

e raio de medida

r_{2}

, com

r_{1} > r_{2}

. Além disso, vamos indicar por d a medida da distância entre os centros

O_{1} e O_{2} .

De acôrdo com a posição relativa que apresentam, as circunferências podem ser secantes, tangentes exteriores, tangentes interiores, externas ou internas.

• Secantes: quando as circunferências têm dois pontos comuns, e a medida da distância entre seus centros é menor que a soma das medidas de seus raios e maior que a diferença entre elas.

Ilustração. Circunferências de centro O1 e O2 secantes nos pontos A e B. O raio da circunferência O1 mede r1 e o raio da circunferência O2 mede r2. A distância entre os centros mede d. Os raios e o segmento que une os centros das circunferências formam um triângulo.

d <

r_{1} + r_{2}

e d >

r_{1} ‒ r_{2}

Página 279

• Tangentes exteriores: quando as circunferências têm um só ponto em comum, e a medida da distância entre seus centros é igual à soma das medidas de seus raios.

Ilustração. Circunferências de centro O1 e O2 tangente exteriores no ponto A. O raio da circunferência O1 mede r1 e o raio da circunferência O2 mede r2. A distância entre os centros mede d. Os raios formam o segmento que une os centros das circunferências.

d = r_{1} + r_{2}

• Tangentes interiores: quando as circunferências têm um só ponto em comum, e a medida da distância entre seus centros é igual à diferença entre as medidas de seus raios.

Ilustração. Circunferências de centro O1 e O2 tangente interiores no ponto A. O raio da circunferência O1 mede r1 e o raio da circunferência O2 mede r2. A distância entre os centros mede d. O raio r1 é formado pelo raio r2 com o segmento que une os centros das circunferências .

d = r_{1} ‒ r_{2}

• Externas: quando as circunferências não têm ponto em comum, e a medida da distância entre seus centros é maior que a soma das medidas de seus raios.

Ilustração. Circunferências de centro O1 e O2 externas. O raio da circunferência O1 mede r1 e o raio da circunferência O2 mede r2. A distância entre os centros mede d. A medida do segmento que une os centros das circunferências é maior que a soma das medidas dos raios.

d > r_{1} + r_{2}

• Internas: quando as circunferências não têm ponto em comum, e a medida da distância entre seus centros é menor que a diferença entre as medidas de seus raios.

Ilustração. Circunferências de centro O1 e O2 internas. O raio da circunferência O1 mede r1 e o raio da circunferência O2 mede r2. A distância entre os centros mede d. A medida do segmento que une os centros das circunferências é menor que a diferença entre as medidas dos raios.

d < r1 ‒ r2

Acompanhe um exemplo.

Considere duas circunferências, uma de raio medindo r₁ = 5 centímetros e outra de raio medindo r₂ = 3 centímetros. Indicando por d a medida da distância entre os centros dessas circunferências, vamos determinar a posição relativa das circunferências nos seguintes casos:

a) d = 10 centímetros

b) d = 8 centímetros

c) d = 2 centímetros

d) d = 1 centímetro

e) d = 4 centímetros

Calculamos a soma das medidas dos raios e a diferença entre essas medidas.

• r₁ + r₂ = 5 centímetros + 3 centímetros = 8 centímetros

• r₁ ‒ r₂ = 5 centímetros ‒ 3 centímetros = 2 centímetros

10 > 8 (d > r_{1} + r_{2})

Seta azul indicando da esquerda para a direita.

As circunferências são externas.

8 = 8 (d = r_{1} + r_{2})

As circunferências são tangentes exteriores.

2 = 2 (d = r_{1} ‒ r_{2})

As circunferências são tangentes interiores.

1 < 2 (d < r_{1} ‒ r_{2})

As circunferências são internas.

e) 4 > 2 e 4 < 8

(d > r_{1} ‒ r_{2} e d < r_{1} + r_{2})

As circunferências são secantes.

Página 280

Circunferências concêntricas

Um caso particular de circunferências internas é aquele em que ambas têm o mesmo centro. Elas são chamadas de circunferências concêntricas, e a parte do plano compreendida entre elas recebe o nome de coroa circular.

Fotografia. Pingo na superfície da água dando ideia de circunferências concêntricas. — As ondas, provocadas pelos pingos na superfície da água, que aparecem na fotografia, dão a ideia de circunferências concêntricas.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

23 Dê a posição relativa das circunferências:

a) vermelha e verde;

b) vermelha e marrom;

c) verde e marrom;

d) marrom e azul.

Ilustração. Circunferência vermelha com centro destacado. Tangente exterior a ela no ponto A, circunferência verde com centro destacado. Secante à circunferência verde nos pontos B e E, circunferência maior marrom com centro destacado. Tangente interior à circunferência marrom no ponto D, circunferência azul com centro destacado.

Versão adaptada acessível

23. Represente 4 circunferências: C₁, C₂, C₃ e C₄, de modo que:

• C₁ e C₂ sejam tangentes exteriores;

• C₂ e C₃ sejam secantes;

• C₁ e C₃ sejam externas;

• C₃ e C₄ sejam tangentes exteriores.

24 Na figura, estão desenhados os aros olímpicos que representam a união dos cinco continentes.

Ilustração. Aros olímpicos nas cores: azul, amarelo, preto, verde e vermelho. Eles estão entrelaçados.

Dê a posição relativa das circunferências das coroas circulares representadas pelas cores:

a) azul e amarela;

b) verde e vermelha;

c) preta e vermelha.

25 Determine a medida da distância entre os centros das seguintes circunferências:

Ilustração. Circunferência com centro A e raio de medida 18 centímetros. Tangente exterior a ela, circunferência menor de centro B e raio de medida 12 centímetros.

Ilustração. Circunferência de centro A e raio de medida 17 centímetros. Tangente interior a ela, circunferência menor de centro B e raio de medida 8 centímetros.

Ilustração. Circunferência de centro A e raio de medida x centímetros. Com uma distância de três meios de x centímetros, circunferência maior de centro B e raio de medida 2x centímetros.

26 Indicando as medidas dos raios de duas circunferências por

r_{1} e r_{2}

e a medida da distância entre os centros por d, dê a posição delas quando:

r_{1}

= 4 centímetros,

r_{2}

= 5 centímetros e d = 9 centímetros;

r_{1}

= 3 centímetros,

r_{2}

= 5 centímetros e d = 10 centímetros;

r_{1}

= 6 centímetros,

r_{2}

= 4 centímetros e d = 2 centímetros;

r_{1}

= 6 centímetros,

r_{2}

= 4 centímetros e d = 8 centímetros;

r_{1}

= 6 centímetros,

r_{2}

= 4 centímetros e d = 1 centímetro;

r_{1}

= 7 centímetros,

r_{2}

= 5 centímetros e d = 0.

Página 281

3. Segmentos tangentes a uma circunferência

Em seus projetos, a indústria automobilística enfrenta inúmeras questões para obter um produto com bom desempenho e sucesso. Uma questão importante é a medida da distância d entre eixos, por exemplo. Outra questão é sobre as medidas das distâncias

d_{1}

entre o eixo da roda e a frente do carro e

d_{2}

entre o eixo da roda e a traseira do carro.

Observe na figura que a soma

d_{1} + d + d_{2}

fornece a medida do comprimento do veículo.

Ilustração. Desenho de um carro com a frente para a esquerda. A distância da frente do carro até o centro do pneu da frente mede d1, a distância entre os centros dos pneus da frente e de trás mede d e a distância do centro do pneu de trás até o fim do carro mede d2.

Note que os triângulos cujos lados tangenciam as rodas no contato com o chão são triângulos retângulos, pois os raios nesses pontos são verticais e a linha do chão é horizontal. Os outros dois triângulos também são triângulos retângulos, pois são simétricos àqueles.

Vamos considerar a circunferência de centro óh e raio de medida r e um ponto P externo a ela.

Ilustração. Circunferência de centro O e raio de medida r. À esquerda, fora da circunferência, ponto P.

Vamos traçar por P os segmentos tangentes à circunferência:

\overline{P A}

\overline{P B}

Lembrando que, se a reta

\overset{\leftrightarrow}{P A}

é tangente à circunferência em A, então ela é perpendicular ao raio

\overline{O A}

. Do mesmo modo, a reta

\overset{\leftrightarrow}{P B}

é perpendicular ao raio

\overline{O B}

Ilustração. Circunferência de centro O. À esquerda, fora da circunferência, ponto P. Pontos A e B na circunferência. Segmentos congruentes vão de P até A e B.

Com a régua, unimos os pontos a, B e P ao centro óh, obtendo os triângulos retângulos PAO e PBO. Como a reta

\overset{\leftrightarrow}{P O}

é um eixo de simetria, esses triângulos são congruentes. Assim:

\overline{P A} ≅ \overline{P B}

Os segmentos tangentes traçados de um mesmo ponto exterior a uma circunferência são congruentes.

Página 282

Acompanhe alguns exemplos.

Vamos calcular o valor de xis em cada uma das figuras.

Ilustração. Circunferência de centro O. À direita, fora da circunferência, ponto P. Pontos A e B na circunferência. Segmentos congruentes vão de P até A e B. O segmento PA mede 21 e o segmento PB mede x.

Como

\overline{P A} ≅ \overline{P B}

, obtemos:

x = 21

Como

\overline{P A} ≅ \overline{P B}

, obtemos:

3x ‒ 5 = 16

3x = 21

x = 7

Ilustração. Circunferência de centro O. De três pontos da circunferência (à esquerda, em baixo, e à direita) partem segmentos que se interceptam em dois pontos fora da circunferência: um ponto abaixo e à esquerda, e um ponto abaixo e à direita). Os segmentos à esquerda têm medida 4 e a. Os segmentos à direita têm medida 6 e b.

Como a = 4 e b = 6, obtemos:

x = 4 + 6

x = 10

Triângulo circunscrito

Um triângulo é circunscrito a uma circunferência quando seus lados são tangentes a ela. Nesse caso, dizemos que a circunferência é inscrita no triângulo.

Na figura a seguir, o triângulo á bê cê é circunscrito à circunferência. Os pontos M, N e P são chamados de pontos de tangência.

Ilustração. Circunferência de centro O inscrita no triângulo ABC. A circunferência tangencia o triângulo nos pontos M, N e P.

Acompanhe um exemplo de aplicação.

Vamos calcular a medida do lado

\overline{A B}

do triângulo ABC.

lustração. Circunferência de centro O inscrita no triângulo ABC. A circunferência tangencia o triângulo nos pontos M, N e P. O segmento BN mede 35 centímetros, o segmento AP mede 12 centímetros, o segmento AM mede b e o segmento BM mede a.

Como a = 35 centímetros e b = 12 centímetros, obtemos:

medida do(

\overline{A B}

) = 35 centímetros + 12 centímetros

medida do(

\overline{A B}

) = 47 centímetros

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

27 Calcule os valores de x, a e b.

Ilustração. Circunferência de centro O. À esquerda, fora da circunferência, ponto P. Pontos A e B na circunferência. Semirretas partem de P e passam pelos pontos A e B. O segmento PA mede 4x menos 1 e o segmento PB mede 5x menos 11.

Ilustração. Circunferência de centro O inscrita no triângulo NQS. A circunferência tangencia o triângulo nos pontos P, T e R. O segmento PQ mede a menos b, o segmento QR mede 3b mais 2, o segmento RS mede 3a menos b e o segmento ST mede 2a mais 4b.

Página 283

28 Determine o valor de xisponto

Ilustração. Triângulo com circunferência com ponto O no centro. As medidas do triângulo são: 3,1 centímetros, x centímetros e 6 centímetros.

29 Calcule a medida do perímetro do triângulo.

Ilustração. Triângulo ABC com circunferência com ponto O no centro. A medida do raio é 5 centímetros. A medida do ponto A até o ponto em que a circunferência tangencia o segmento AB é abre parênteses, x + 5, fecha parênteses, centímetros. A medida do ponto A até o ponto em que a circunferência tangencia o segmento AC é abre parênteses, 2 x + 5, fecha parênteses, centímetros. E a medida do ponto C até o ponto em que a circunferência tangencia o segmento BC é x centímetros.

Quadrilátero circunscrito

Um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência quando todos os seus lados são tangentes a ela. Nesse caso, dizemos que a circunferência é inscrita no quadrilátero.

Na figura, o quadrilátero a bê cê dê é circunscrito à circunferência.

Ilustração. Quadrilátero ABCD com circunferência com centro O inscrita. Na extremidade da circunferência os pontos M, N, P e Q são pontos de tangência.

Considere a figura a seguir, que representa o quadrilátero a bê cê dê circunscrito à circunferência. Vamos calcular a soma das medidas dos lados opostos.

Ilustração. Quadrilátero ABCD com circunferência com centro O. Na extremidade da circunferência, M, N, P e Q são pontos de tangência. Em AM, medida a. MB, medida b. BN, medida b. NC, medida c. CP, medida c. PD, medida d. DQ medida d e QA, medida a.

\{\begin{cases} AB + CD = a + b + c + d \\ BC + AD = b + c + a + d \end{cases}

Logo: A bê + cedê = bê cê + á dê

Em todo quadrilátero circunscrito a uma circunferência, as somas das medidas dos lados opostos são iguais.

A propriedade recíproca, que não será demonstrada, também vale.

Se as somas das medidas dos lados opostos de um quadrilátero são iguais, então ele é circunscrito a uma circunferência.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

30 As medidas dos lados de um quadrilátero a bê cê dê são A bê = 4 centímetros, BC = 3 centímetros, cedê = 6 centímetros e á dê = 5 centímetros. Esse quadrilátero pode ser circunscrito a uma circunferência? Por quê?

31 Um trapézio isósceles é circunscrito a uma circunferência, e suas bases medem 11 centímetros e 7 centímetros. Quanto mede cada um dos outros dois lados?

Página 284

32 Calcule o valor de xis em cada figura.

Ilustração. Quadrilátero com medidas: x centímetros, 12 centímetros, 13 centímetros, 17 centímetros. Inscrita está uma circunferência com centro O.

Ilustração. Quadrilátero com medidas: x centímetros, abre parênteses 2x menos 6 fecha parênteses centímetros, abre parênteses x + 6 fecha parênteses centímetros, abre parênteses x + 2 fecha parênteses centímetros. Inscrita está uma circunferência com centro O.

33 José fez um esquema à mão livre de como gostaria que fosse construída uma piscina circular no terreno dele. Observe.

Ilustração. Quadrilátero com medidas: 8 metros, 36 metros, 46 metros e 38 metros. Dentro, circunferência.

É possível construir a piscina de acôrdo com o esquema que José fez? Justifique sua resposta.

34 Um quadrilátero a bê cê dê é circunscrito a uma circunferência. As medidas de seus lados são á dê = 12 centímetros, dê cê = 9 centímetros, bê cê = (x + 7) centímetros e A bê = (2x + 1) centímetros. Calcule a medida do perímetro desse quadrilátero.

4. Arco de circunferência e ângulo central

Arco de circunferência

Dois pontos distintos de uma circunferência dividem-na em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada de arco.

Ilustração. Circunferência com ponto A e B na extremidade direita. Ilustração. Arco AB virado para esquerda. Ilustração. Arco AB quase completo.

Ilustração. Mulher de cabelo claro e blusa vermelha fala: Como existem dois arcos de extremos A e B, para diferenciar um do outro, o menor será indicado por AB com arco acima e, para indicar o maior, usaremos um terceiro ponto auxiliar. Observe as figuras.

Ilustração. Circunferência tracejada com arco AB virado para esquerda. arco AB Ilustração. Circunferência tracejada com arco AB quase completo. À esquerda, ponto M.

Página 285

Quando os extremos a e bê coincidirem com os extremos de um diâmetro, cada um dos arcos será chamado de semicircunferência.

Ilustração. Circunferência tracejada com metade do arco AOB destacado. Abaixo, cota: semicircunferência.

Ângulo central

Ângulo central é todo ângulo que tem seu vértice no centro de uma circunferência.

Na figura,

A \hat{O} B

é um ângulo central, e

\overset{⌢}{A B}

é o arco correspondente a esse ângulo.

Ilustração. Circunferência com centro no ponto O e duas diagonais para direita, partindo de O, determinando os pontos A e B na extremidade da circunferência. À esquerda, ponto M pertencente à circunferência.

Dividindo uma circunferência em trezentas e sessenta partes de mesmo tamanho, determinamos 360 ângulos centrais, cada um deles de medida 1 grau (1pequeno círculo sobrescrito). A cada um desses ângulos centrais corresponde um arco cuja medida angular é 1 grau (1pequeno círculo sobrescrito). Assim, podemos afirmar que 1grau corresponde a

\frac{1}{360}

da circunferência, ou seja, a circunferência mede 360graus.

A medida angular de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente.

O sistema de medida de arcos é sexagesimal; portanto, são necessários 60 minutos (60linha) para obter 1grau, e 60 segundos (60aspas) para obter 1minutos. Acompanhe alguns exemplos.

Ilustração. Circunferência com centro no ponto O e duas diagonais para direita, partindo de O, determinando os pontos A e B na circunferência. À esquerda, ponto M pertencente à circunferência. O ângulo AOB mede 52 graus e 30 minutos.

medida do(

\overset{⌢}{A B}

) = 52graus 30linha

medida do(

\overset{⌢}{A M B}

) = 360graus ‒ 52graus 30linha

medida do(

\overset{⌢}{A M B}

) = 307graus 30linha

Ilustração. Circunferência com centro no ponto O e diagonais partindo de O determinando os pontos A, B, C, D pertencentes à circunferência. Medidas dos ângulos: AOB, 90 graus; BOC, 60 graus; COD, 75 graus e DOA, 135 graus.

medida do(

\overset{⌢}{A B}

) = 90graus

medida do(

\overset{⌢}{B C}

) = 60graus

medida do(

\overset{⌢}{C D}

) = 75graus

medida do(

\overset{⌢}{A D}

) = 135graus

Ilustração. Três círculos um dentro do outro com ponto O no centro. De O, duas retas diagonais formam ângulo de 70 graus em O. Diagonal esquerda, pontos: C, E e A. Diagonal direita, pontoa D, F e B.

medida do(

\overset{⌢}{A B}

) = 70graus

medida do(

\overset{⌢}{C D}

) = 70graus

medida do(

\overset{⌢}{E F}

) = 70graus

Ilustração. Menino de cabelo preto e camiseta azul. Ele fala: Observe, na figura do item c, que o fato de dois ou mais arcos terem a mesma medida angular não significa que as medidas de seus comprimentos sejam iguais.

Página 286

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

35 Observe as figuras a seguir.

Ilustração. Circunferência com centro no ponto O. Reta horizontal no diâmetro, determinando os pontos C e D na circunferência. Ângulo COD mede 180 graus. Ponto E na parte inferior pertencente à circunferência.
Ao lado, circunferência com centro no ponto O, de onde partem 3 retas, determinando os pontos F à esquerda, G acima e H à direita. Ângulo FOG mede 100 graus e ângulo GOH mede 90 graus. Abaixo, ponto I pertencente à circunferência.

Agora, determine:

a) medida do(

\overset{⌢}{C D}

)

b) medida do(

\overset{⌢}{C E D}

)

c) medida do(

\overset{⌢}{H G F}

)

d) medida do(

\overset{⌢}{F I H}

)

36 Determine, em grau, o valor de xis e de y nas figuras a seguir.

Ilustração. Circunferência com centro no ponto O e duas diagonais para direita partindo de O, formando ângulo de 58 graus e arco y entre as retas. À esquerda, arco x.

Ilustração. Circunferência com centro no ponto O, de onde partem três retas diagonais para direita, determinando os pontos A, B e C na circunferência. Arco AC mede 50 graus e arco BC, 34 graus. Ângulo AOC mede y e o ângulo central de mesma medida do arco AB, x.

37 Foi realizada uma pesquisa sobre a região de moradia de .1200 associados do Clube da Boa Viagem. Os resultados foram registrados no gráfico de setores.

Gráfico circular. As partes são: verde: Norte com 108 graus. azul: leste, amarelo: sul e roxo: oeste. — Dados obtidos pelo Clube da Boa Viagem.

Agora, responda às questões.

a) Qual é a medida do ângulo central de cada setor?

b) Qual é a porcentagem de pessoas correspondente a cada setor?

c) Quais são as regiões de moradia que predominam nesse grupo de pessoas?

5. Ângulo inscrito

Ângulo inscrito é todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência e cujos lados são semirretas secantes a ela.

Na figura,

A \hat{B} C

é um ângulo inscrito na circunferência.

Ilustração. Circunferência com centro no ponto O e duas retas diagonais para baixo, determinando os pontos A e C na circunferência.

Vamos demonstrar o seguinte teorema:

A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida angular (em grau) do arco compreendido por seus lados.

Hipótese:

A \hat{B} C

é ângulo inscrito

Tese:

m (A \hat{B} C) = \frac{m (\overset{⌢}{A C})}{2}

Página 287

• Demonstração

Construção auxiliar: traçamos

\vec{B D}

passando pelo centro O; traçamos também

\overline{O A}

\overline{O C}

Ilustração. Circunferência com ponto O e duas diagonais para baixo. Reta tracejada de A divide o ângulo em duas partes: p e q em B. Em A, a e em C, c. Em O, ângulo x e y. Ponto D na parte inferior da reta tracejada.

Assim, temos:

x = a + p e y = c + q (ângulos externos de um triângulo)

a = p e c = q (A bê ó e cê bê ó são triângulos isósceles)

x = 2p e y = 2q (substituindo a por p e c por q em

)

x + y = 2p + 2q (adicionando membro a membro)

x + y = 2( p + q ), ou seja,

p + q = \frac{x + y}{2}

x = m(

\overset{⌢}{A D}

) e y = medida do(

\overset{⌢}{D C}

) (medida do ângulo central)

Como p + q = medida do(

A \hat{B} C

) (por construção) e x + y = medida do(

A \hat{O} C

), então medida do(

A \hat{B} C

) =

\frac{m (\overset{⌢}{A C})}{2}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

38 Determine, em grau, o valor de x nas figuras.

Ilustração. Circunferência com ponto O, duas diagonais à direita com ângulo de 60 graus e duas diagonais à esquerda com ângulo x, para baixo. Ilustração. Circunferência com ponto O e duas diagonais para baixo. ângulo x acima e y abaixo. A abertura é 88 graus. Ilustração. Circunferência com duas diagonais para baixo. ângulo X acima. Abaixo, ângulo 110 graus e abertura y. Ilustração. Circunferência com quadrilátero dentro. Diagonal divide o ângulo em x e 30 graus. Abaixo, ângulo 90 graus e à direita, ângulo y. Ilustração. Circunferência com quadrilátero dentro dividido ao meio. Em uma das extremidades ângulo de x, ao lado ângulo de 50 graus, outro lado ângulo y, e outro ângulo de 25 graus Ilustração. Circunferência com ponto O e duas diagonais para direita. entre elas, reta divide o ângulo em duas partes: x e 45 graus.

39 Observe as figuras e determine, em grau, o valor de x e de y.

Ilustração. Circunferência com ponto O e duas diagonais para baixo A e C. Acima, ponto B. ângulo x em 120 e 120 graus em AC. Ilustração. Circunferência com ponto O e duas diagonais para direita A e C. À esquerda, ponto B. Ângulo 50 graus em B e x em AC. Ilustração. Circunferência com ponto O e duas diagonais para cima A e C. Abaixo, ponto B. Ângulo x em B e 90 graus em AC. Ilustração. Circunferência com ponto O e duas diagonais para direita A e C. À esquerda, ponto B. Ângulo x em B e 85 graus em AB e em BC 125 graus Ilustração. Circunferência com ponto O e duas diagonais para direita B e C. À esquerda, ponto A. Ângulo x em B. Ilustração. Circunferência com ponto O e duas diagonais para esquerda A e C. À direita, ponto B. Ângulo 30 graus em C e 20 graus em A.

Página 288

6. Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência

Já estudamos o ângulo central (com vértice coincidente com o centro da circunferência) e ângulos inscritos (com vértice na circunferência). Agora, vamos estudar os demais casos.

Considere a figura a seguir, em que M é um ponto interno à circunferência e x é a medida do ângulo

B \hat{M} C .

Ilustração. Circunferência com diagonal AC e diagonal BD que se cruzam em M. ângulos: em A, a. Em B, b e em M, c.

Vamos provar que:

x = \frac{m (\overset{⌢}{B C}) + m (\overset{⌢}{A D})}{2}

Traçando o segmento

\overline{A B}

, obtemos o triângulo AMB. Como x é a medida de um ângulo externo não adjacente aos ângulos internos de medidas a e b, temos: x = a + b.

Como

a = \frac{m (\overset{⌢}{B C})}{2}

b = \frac{m (\overset{⌢}{A D})}{2}

, pois

\hat{a}

\hat{b}

são ângulos inscritos, obtemos:

x = \frac{m (\overset{⌢}{B C}) + m (\overset{⌢}{A D})}{2}

Agora, considere esta outra figura, em que M é um ponto externo à circunferência e x é a medida do ângulo

A \hat{M} B

Ilustração. Circunferência com ponto M à direita, fora da circunferência. De M, diagonal AC e diagonal BD. ângulo x em M. ângulo y em B e ângulo c abaixo de x.
Ilustração. Menino de cabelo laranja, camiseta amarela e verde listrada e calça. Ele está ajoelhado e desenha em uma folha circunferência com dias diagonais.

Vamos provar que:

x = \frac{m (\overset{⌢}{C D}) ‒ m (\overset{⌢}{A B})}{2}

Traçando o segmento

\overline{B C}

, obtemos o triângulo BMC. Como y é a medida de um ângulo externo não adjacente aos ângulos de medidas c e x, temos: y = c + x ou x = y ‒ c.

Como

y = \frac{m (\overset{⌢}{C D})}{2}

c = \frac{m (\overset{⌢}{A B})}{2}

, pois

\hat{y}

\hat{c}

são ângulos inscritos, obtemos:

x = \frac{m (\overset{⌢}{C D}) ‒ m (\overset{⌢}{A B})}{2}

Página 289

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

40 Calcule, em grau, o valor de xis nas figuras.

Ilustração. Circunferência com duas diagonais para baixo à direita. Ângulo x acima e 50 graus na circunferência. Abaixo, abertura 100 graus.

Ilustração. Circunferência com duas diagonais para direita. Ângulo 20 graus à esquerda e x na circunferência. Ao lado, abertura 70 graus.

Ilustração. Circunferência com duas diagonais para direita. Ângulo 18 graus à esquerda e 56 graus na circunferência. Abaixo, duas diagonais com ângulo x.

41 Calcule, em grau, o valor de xis nas figuras.

Ilustração. Circunferência com duas diagonais cruzadas. À esquerda, ângulo 32 graus. À direita, ângulo 70 graus. No centro, ângulo x.

Ilustração. Circunferência com duas diagonais cruzadas. À esquerda, ângulo x. À direita, ângulo 31 graus. Abaixo, triângulo com um dos ângulos 14 graus 30 minutos.

Ilustração. Circunferência com duas diagonais cruzadas. À esquerda, ângulo x. À direita, ângulo 50 graus. No centro, ângulo 100 graus.

Ilustração. Circunferência com duas diagonais cruzadas. Acima, ângulo 35 graus. Abaixo, ângulo 95 graus. No centro, ângulo x.

42 (Cesgranrio-Rio de Janeiro) Se, na figura,

m (\overset{⌢}{A B}) = 20 °

m (\overset{⌢}{B C}) = 124 °

m (\overset{⌢}{C D}) = 36 °

m (\overset{⌢}{D E}) = 90 °

, então o ângulo x mede:

Ilustração. Circunferência. Acima, ponto E. À esquerda, ponto D e C. À direita, ponto A e B. Um triângulo passa pelos pontos: A B C e D. Em C. ângulo x.

a) 34graus.

b) 35graus 30ʹ.

c) 37graus.

d) 38graus 30ʹ.

e) 40graus.

43 (univáli-Santa Catarina) Considere a figura a seguir.

Ilustração. Circunferência. Acima, ponto C. À esquerda, ponto B e C. Fora da circunferência, ponto A. Abaixo, ponto D. Um triângulo passa pelos pontos: A, B, C e E. Outro triângulo passa pelos pontos: ABDE. Em A, ângulo 40 graus. em C, ângulo 25 graus. Oposto de A, ângulo x.

A medida x do ângulo assinalado é:

a) 90graus.

b) 85graus.

c) 80graus.

d) 75graus.

e) 70graus.

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Reescreva as sentenças falsas, tornando-as verdadeiras.

a) Um polígono é circunscrito a uma circunferência se seus vértices pertencem à circunferência.

b) O centro de uma circunferência inscrita em um polígono é equidistante de seus lados.

c) As medidas dos segmentos tangentes traçados de um mesmo ponto exterior a uma circunferência são iguais.

d) A medida do ângulo inscrito em uma circunferência é igual à medida do arco compreendido pelos seus lados.

2 Considere que cada circunferência a seguir tem raio medindo 1 centímetro. Calcule a medida do perímetro do retângulo a bê cê dê, sabendo que seus lados são tangentes às circunferências e que elas são tangentes exteriores entre si.

Ilustração. Retângulo ABCD com duas circunferências dentro.

3 Sabendo que o retângulo tem 12 centímetros de medida de perímetro, calcule a medida do raio de cada circunferência.

Ilustração. Retângulo com duas fileiras com 4 circunferências cada.

4 Dê a posição relativa das circunferências

C_{1}

, de centro

O_{1}

e raio de medida

r_{1}

, e

C_{2}

, de centro

O_{2}

e raio de medida

r_{2}

, nos seguintes casos:

r_{1} = 10 c m, r_{2} = 4 c m e O_{1} O_{2} = 6 c m;

r_{1} = 8 c m, r_{2} = 2 c m e O_{1} O_{2} = 10 c m;

r_{1} = 9 c m, r_{2} = 6 c m e O_{1} O_{2} = 7 c m;

r_{1} = 8 c m, r_{2} = 4 c m e O_{1} O_{2} = 20 c m;

r_{1} = 7 c m, r_{2} = 4 c m e O_{1} O_{2} = 1 c m .

5 Calcule a medida do perímetro do quadrilátero circunscrito à circunferência.

Ilustração. Quadrilátero ABCD com circunferência dentro. Acima, ponto A. À direita, ponto N. Abaixo, ponto P e À esquerda, ponto Q. A medida AD é 2,5 centímetros. A medida BC é 3 centímetros.

6 Na figura, o valor de xis, em grau, é:

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro e ponto A e B à direita, na extremidade da circunferência. Em A, ângulo x. Triângulo AOB com medida AB de 100 graus.

a) 50graus.

b) 80graus.

c) 100graus.

d) 40graus.

7 Na figura, o valor de xis, em grau, é:

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro e ponto A e B à direita e DC à esquerda na extremidade da circunferência. No centro, ponto M. Triângulo CDM e triângulo AMB. Em C, ângulo de 30 graus e x em B.

a) 30graus.

b) 60graus.

c) 120graus.

d) 15graus.

8 Calcule, em grau, o valor de x e de y nas figuras a seguir.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro e triângulo ABC. Em A. ângulo 50 graus. Em B, ângulo x.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro e ponto A e C à direita, na extremidade da circunferência. À esquerda, ponto B com reta vertical. Reta BC passa por O e reta BA com ângulo y em B. em AC, 80 graus. De reta AB até reta vertical, ângulo x.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Dentro, triângulo ABC com ângulo x em A e medida y em BC. A medida AB é 126 graus e AC: 142 graus.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro e ponto B e C à direita, na extremidade da circunferência. À esquerda, ponto A. De O, reta entre BC, ponto D. BD: ângulo 56 graus e DC: ângulo 28 graus. Em A, ângulo x. A medida EB é y.

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Considere uma circunferência

C_{1}

de centro óh, sendo

\overline{A B}

uma corda, com AB = 2 centímetros. Sabendo que o diâmetro

\overline{E F}

tem medida igual ao triplo da medida de

\overline{A B}

, quais são as medidas de

\overline{E F}

e de

\overline{E O}

a) EF = 6 centímetros e EO = 3 centímetros

b) EF = 6 centímetros e EO = 2 centímetros

c) EF = 3 centímetros e EO = 4 centímetros

d) EF = 3 centímetros e EO = 6 centímetros

2 Seja um grupo de circunferências com medidas de diâmetros, em centímetro, dadas pela expressão 6x + 2. Para quais valores de x, em centímetro, as circunferências terão medidas de raio maior que 2 centímetros e menor que 13 cm?

\frac{1}{3}

< x <

\frac{11}{6}

b) 0 < x < 2

\frac{1}{3}

< x < 4

d) 0 < x < 6

3 Qual é a medida aproximada do comprimento de uma circunferência de diâmetro medindo 7 centímetros? (Considere π = 3,14.)

a) 10,99 centímetros

b) 21,98 centímetros

c) 32,97 centímetros

d) 43,96 centímetros

4 Um plano α, contém uma circunferência de centro O e os pontos P, Q e R. As medidas das distâncias desses pontos em relação ao centro O são: ó pê = 6 cm, ó quê = 8 centímetros e ó érre = 3 centímetros. Sabendo que o raio dessa circunferência mede 6 cm, quais são as posições dos pontos P, Q e R em relação à circunferência?

a) P pertence, Q é interno e R é externo.

b) P é interno, Q pertence e R é externo.

c) P é externo, Q pertence e R é interno.

d) P pertence, Q é externo e R é interno.

5 Considere as posições de r, s e t em relação a uma circunferência:

(um) nenhum ponto de r está contido na circunferência;

(dois) s tem dois pontos em comum com a circunferência;

(três) t tem um único ponto em comum com a circunferência.

Considerando as posições das retas r, s e t em relação à circunferência, temos:

a) r é externa, s é secante e t é tangente.

b) r é externa, s é tangente e t é secante.

c) r é secante, s é tangente e t é externa.

d) r é tangente, s é externa e t é secante.

6 Sejam duas circunferências,

C_{1}

de raio medindo 12 centímetros e

C_{2}

de raio medindo 8 centímetros. Se o centro de

C_{1}

está há uma distância de medida igual a 4 centímetros do centro da

C_{2}

, qual é a posição relativa entre

C_{1} e C_{2}

a) Secantes.

b) Tangentes exteriores.

c) Tangentes interiores.

d) Externas.

7 Considere a circunferência representada a seguir, com raio medindo 4 centímetros. Qual é a medida da área do triângulo pê ó quê?

Ilustração. Quadrilátero com medidas: 6,5, 7, 6,5 e 9,5. Dentro, circunferência. No canto superior esquerdo do quadrado, ponto P. À direita, ponto Q. A medida de P até Q é x menos 3,5. A medida do lado é x.

a) 11 centímetros²

b) 13 centímetros²

c) 15 centímetros²

d) 17 centímetros²

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões.

a) Como você explicaria para um colega a diferença entre círculo e circunferência?

b) Quais são as posições relativas entre um ponto e uma circunferência, entre uma reta e uma circunferência e entre duas circunferências?

c) O que são circunferências concêntricas?

d) Quando um segmento é tangente à uma circunferência?

e) O que é possível afirmar sobre as somas das medidas dos lados opostos de qualquer quadrilátero circunscrito a uma circunferência?

f) Qual é a relação entre a medida angular de um arco de circunferência e a medida do ângulo central correspondente?