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CAPÍTULO 1 Potências e raízes

Fotografia. Fundo escuro com o Sol redondo e vermelho com manchas mais claras. — Uma das maiores erupções solares já observadas foi detectada em fevereiro de 2022 por uma sonda não tripulada da ESA/NASA.

O Sol é a estrela mais próxima da Terra e é essencial para a manutenção da vida no planeta por ser fonte de calor e de luz. Segundo estimativas da Náza (National Aeronautics and Space Administration), a medida da massa do Sol é cêrca de 1,989 ⋅ 1030 quilogramas, aproximadamente 333 ⋅ 103 vezes a medida da massa da Terra, e a temperatura em seu núcleo, a região mais quente do Sol, mede cêrca de 1,5 ⋅ 107 graus Célsius, mais de quatrocentas.000 vezes a temperatura média do corpo humano.

Erupções solares são comuns durante o ciclo de atividade do Sol e, nos períodos de alta atividade solar, as chamadas tempestades solares podem afetar sistemas eletrônicos e de comunicação na Terra e no espaço.

Observe, leia e responda no caderno.

a) Identifique os diferentes dados numéricos apresentados no texto e indique quais deles foram expressos por meio de potência de base 10.

b) De acôrdo com os dados apresentados no texto, a medida da massa do Sol é maior ou menor do que a medida da massa da Terra? Aproximadamente quantas mil vezes?

c) O Sol é como um grande reator termonuclear, realizando em seu núcleo a fusão de cêrca de 6 ⋅ 1011 quilogramas de hidrogênio (agá) em hélio (agá ê) por segundo. Como a medida da massa de hidrogênio convertida em hélio por segundo no núcleo do Sol se compara com a medida da massa média de um humano adulto?

d) As tempestades solares têm algum impacto na vida na Terra? Faça uma pesquisa na internet, em livros ou revistas e compartilhe as informações com a turma.

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1. Potências

Conta-se que o jôgo de xadrez foi inventado há mais de .1500 anos, como um jôgo de estratégia militar.

Uma das muitas lendas para a origem do xadrez é conhecida como o mito de Sessa. De acôrdo com esse mito, o sábio Sessa apresentou o jôgo a um rei da Índia, que ficou tão entusiasmado com o jôgo que ofereceu a Sessa a liberdade de escolher o que ele desejasse como recompensa por tão notável invento. Toda a côrte esperava que Sessa fosse pedir grandes riquezas, mas ele surpreendeu a todos com o seguinte pedido:

Ilustração. Folha de papel marrom, que lembra um papiro, com as informações: 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro; 2 grãos de trigo pela segunda casa; 4 grãos de trigo pela terceira casa; 8 grãos de trigo pela quarta casa; 16 grãos de trigo pela quinta casa; ... e assim por diante, sempre dobrando o número de grãos da casa anterior até a sexagésimo quarta casa (o tabuleiro de xadrez tem 64 casas).

Fotografia. Vista superior de um tabuleiro de xadrez com peças brancas em pé e pretas na derrubadas.

Seu pedido provocou risos. Um invento tão brilhante e um pedido tão simples. O rei e toda a côrte ficaram decepcionados. Você não ficaria?

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Mas palavra de rei é palavra de rei, e ele pediu a seus criados que entregassem a Sessa um pequeno saco de grãos de trigo. Sessa recusou a oferta, dizendo que queria receber exatamente o que havia pedido. Nem um grão a mais, nem um grão a menos.

Ilustração. À esquerda, homem de cabelo comprido escuro, bigode com coroa dourada, roupa branca, colar e pulseiras douradas (rei). Ao lado, homem em pé com roupa branca segura um saco em direção a um homem de roupa branca ajoelhado na frente do rei.

O rei pediu então a seus calculistas que efetuassem as contas. Depois de muitas horas de trabalho, eles chegaram a este número:

Ilustração. Folha de papel marrom, que lembra um papiro, com o número: 18.446.744.073.709.551.615.

Ou seja, o que Sessa esperava receber eram dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinquenta e um mil, seiscentos e quinze grãos de trigo.

É um número tão grande que seriam necessários muitos anos para produzir tanto trigo!

De que maneira o rei cumpriria sua promessa? Que situação difícil a dele. Mas como ele poderia imaginar que daquele pedido tão simples resultaria tamanha quantidade de trigo?

Entendendo a aflição do monarca por não poder cumprir sua promessa, Sessa perdoou a dívida. Afinal, seu objetivo fora atingido: chamar a atenção do rei para que tomasse mais cuidado com suas promessas e seus julgamentos.

O final não poderia ser mais feliz: Sessa foi nomeado conselheiro do rei.

Ilustração. À esquerda, homem de cabelo comprido escuro, bigode com coroa dourada, roupa branca, colar e pulseiras douradas (rei). À frente dele, homem de roupa branca em pé com a mão estendida na direção do rei.

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O que acabamos de ler é um interessante exemplo de aplicação de potenciação, pois a quantidade de grãos de trigo de cada casa do tabuleiro pode ser expressa por uma potência. Observe:

61ª casa ………………………..………. 2elevado a 0

62ª casa ………………………..………. 2elevado a 1

63ª casa ………………………..………. 2elevado a 2

⋮

64ª casa ………………………..………. 2elevado a 63

Ilustração. Homem de cabelo escuro curto, óculos e camisa vermelha. Ele fala: Este também é um exemplo de sequência, chamada sequência recursiva, em que qualquer número pode ser obtido recorrendo à sua posição na sequência ou ao número anterior por meio de uma regra ou fórmula de recorrência. Assim, o elemento n da enésima casa é 2 elevado a n menos 1.

Agora, vamos recordar o que sabemos sobre potências.

Revendo conhecimentos sobre potências

Você deve se lembrar do significado de 3elevado a 2 e de 3elevado a 3:

• 3elevado a 2 = 3 ⋅ 3 = 9

• 3elevado a 3 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27

De modo geral, sendo a um número racional, temos:

• a elevado a 2 = a ⋅ a

• aelevado a 3 = a ⋅ a ⋅ a

Considerando um expoente genérico n, em que n é um número inteiro, definimos aelevado a n assim:

• se n > 1, então:

Esquema. a elevado a n igual a vezes a vezes a vezes reticências vezes a. abaixo dos a após o igual está escrito n fatores.

• se n = 1, então:

• se n = 0 e a ≠ 0, então:

Propriedades das potências

Para a resolução de um trabalho escolar, Mércia, Nilza e Norma precisaram calcular o valor da expressão: (7elevado a 4 ⋅ 7elevado a 2)elevado a 3 : 7elevado a 15.

Acompanhe como cada uma delas fez.

• Mércia indicou as potenciações como multiplicações de fatores iguais e depois simplificou a fração, assim:

7elevado a 4 = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7

7elevado a 2 = 7 ⋅ 7

7elevado a 4 ⋅ 7elevado a 2 = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7

(7elevado a 4 ⋅ 7elevado a 2)elevado a 3 = (7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7)elevado a 3 = (7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7) ⋅ (7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7) ⋅ (7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7)

fração, numerador abre parênteses, 7 elevado a 4 vezes 7 ao quadrado, fecha parênteses, elevado a 3; denominador: 7 elevado 15, igual a fração; 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7; denominador: 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7 vezes 7; 15 números 7 do numerador foram cancelados com 15 números 7 do denominador; igual a 7 vezes 7 vezes 7, igual, 343

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• Nilza calculou os produtos parciais, depois calculou os produtos dos produtos e, em seguida, calculou o quociente:

7elevado a 4 = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = .2401

7elevado a 2 = 7 ⋅ 7 = 49

7elevado a 4 ⋅ 7elevado a 2 = .2401 ⋅ 49 = .117649

(7elevado a 4 ⋅ 7elevado a 2)elevado a 3 = (.117649)elevado a 3 = .117649 ⋅ .117649 ⋅ .117649 = .....1628413597910449

7elevado a 15 = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = ....4747561509943

\frac{{(7^{4} \cdot 7^{2})}^{3}}{7^{15}} = \frac{1 628 413 597 910 449}{4 747 561 509 943} = 343

• E Norma calculou o valor da expressão aplicando as propriedades da potenciação estudadas no ano anterior:

abre parênteses 7 elevado a 4, vezes, 7 ao quadrado, fecha parenteses, elevado a três, dividido 7 elevado a 15, igual, abre parênteses, 7 elevado a 12, vezes 7 elevando a 6, fecha parênteses, dividido por 7 elevado a 15, igual, 7 elevado a 18, dividido 7 elevado a 15, igual, 7 ao cubo, igual, 343. Do traço abaixo de abre parênteses 7 elevado a 4, vezes, 7 ao quadrado, fecha parenteses, elevado a três, parte uma seta para abre parênteses, 7 elevado a 12, vezes 7 elevando a 6, De 7 elevado a 12 parte uma seta para 7 elevado a18

Ilustração. mulher de cabelo na altura dos ombros, blusa rosa e casaco roxo. Ela fala: Não há somente uma maneira de calcular o valor da expressão. Qual delas você acha mais simples? Ilustração. mulher de cabelo na altura dos ombros, blusa rosa e casaco roxo. Ela diz: Observe como Norma transformou a 'potência de um produto' no 'produto de uma potência'

A expressão (13 ⋅ 8)elevado a 4 é a potência de um produto.

(13 ⋅ 8)elevado a 4 = (13 ⋅ 8) ⋅ (13 ⋅ 8) ⋅ (13 ⋅ 8) ⋅ (13 ⋅ 8) = 13 ⋅ 8 ⋅ 13 ⋅ 8 ⋅ 13 ⋅ 8 ⋅ 13 ⋅ 8 = 13elevado a 4 ⋅ 8elevado a 4

A expressão 13elevado a 4 ⋅ 8elevado a 4 é o produto de uma potência.

(13 ⋅ 8)elevado a 4 = 13elevado a 4 ⋅ 8elevado a 4

Esta é mais uma propriedade da potenciação.

Considere outros exemplos:

• (‒7 ⋅ 2,3)elevado a 3 = (‒7)elevado a 3 ⋅ (2,3)elevado a 3

•

{(\frac{2}{13} \cdot \frac{4}{5})}^{6} = {(\frac{2}{13})}^{6} \cdot {(\frac{4}{5})}^{6}

• (5elevado a 2 ⋅ xelevado a 3)elevado a 5 = 5elevado a 10 ⋅ xelevado a 15

Resumindo e generalizando as propriedades da potenciação, dados os números racionais a e bê ê os números naturais m e n, obtemos:

aelevado a m ⋅ aelevado a n = aelevado a m ⁺ ⁿ

aelevado a m : aelevado a n = aelevado a m ⁻ ⁿ (com a ≠ 0)

(aelevado a m )elevado a n = aelevado a m ^⋅ ⁿ

(a ⋅ b)elevado a m = aelevado a m ⋅ belevado a m

(a : b)elevado a m = aelevado a m : belevado a m (com b ≠ 0)

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Acompanhe mais um exemplo de aplicação das propriedades da potenciação.

\frac{a^{5 x ‒ 2} \cdot a^{2 + x}}{{(a^{x ‒ 1})}^{2}}

\frac{a^{5 x ‒ 2 + 2 + x}}{a^{2 x ‒ 2}}

\frac{a^{6 x}}{a^{2 x ‒ 2}}

= a elevado a 6ˣ ⁻ ⁽²ˣ ⁻ ²⁾ = a elevado a 6ˣ ⁻ ²ˣ ⁺ ² = a elevado a 4ˣ ⁺ ², em que a ≠ 0.

Observações

▶ Note que, para a ≠ 0, aelevado a 0 = 1 é compatível com a propriedade: aelevado a m : aelevado a n = aelevado a m ⁻ⁿ (se a ≠ 0).

Por exemplo:

aelevado a 2 : aelevado a 2 =

\frac{a \cdot a}{a \cdot a}

= 1 e aelevado a 2 menos 2 = aelevado a 0 = 1

▶ É importante observar que, em geral, (aelevado a 3)elevado a 2 ≠

a^{3^{2}}

. Entenda por quê.

• (aelevado a 3)elevado a 2 = aelevado a 3 ⋅ aelevado a 3 = aelevado a 3 mais 3 = aelevado a 6 ou (aelevado a 3)elevado a 2 = aelevado a 3^⋅elevado a 2 = aelevado a 6

• aelevado a 3elevado a 2 = a (elevado a 3elevado a 2) = a elevado a 9

▶ Em (aelevado a 3)elevado a 2, o que está elevado ao quadrado é aelevado a 3.

▶ Em a elevado a 3elevado a 2, o que está elevado ao quadrado é o expoente 3.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Em um condomínio há 6 prédios. Em cada prédio há 6 andares e, em cada andar, 6 apartamentos. Expresse na fórma de potência o número de apartamentos desse condomínio.

Ilustração. Condomínio com seis prédios lado a lado com seis andares cada um.

2 Classifique as expressões a seguir em verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.

a) (4elevado a 5)elevado a 2 =

4^{5^{2}}

b) (4elevado a 5)elevado a 2 = (4elevado a 2)elevado a 5

c) (2 ⋅ 3)elevado a 2 = 2elevado a 2 ⋅ 3elevado a 2

d) (2 + 3)elevado a 2 = 2elevado a 2 + 3elevado a 2

e) (8 dividido por 4)elevado a 3 = 8elevado a 3 dividido por 4elevado a 3

f) (8 menos 4)elevado a 3 = 8elevado a 3 menos 4elevado a 3

3 Simplifique as expressões a seguir, obtendo uma única potência.

a) (2elevado a 4 ⋅ 2elevado a 6) dividido por (2elevado a 5 ⋅ 2elevado a 3)

b) (xelevado a 4 ⋅ x elevado a 2 ⋅ x elevado a 3)elevado a 2 dividido por (x elevado a 4)elevado a 5, com x ≠ 0

\frac{2^{5 x ‒ 1} \cdot 2^{x + 2}}{2^{3 x ‒ 2}}

\frac{5^{2} \cdot 5^{3}}{5^{1} \cdot 5^{0}}

4 Sendo a = 3x elevado a 2 + 5x menos 6, determine o valor de a para:

a) x = menos2

b) x =

\frac{1}{2}

5 Considere o desenho que Marina fez.

Ilustração. Pilha com macacos. De baixo para cima: fileira com 6 macacos. Acima, quatro macacos. Acima, dois macacos segurando uma barra pela cauda. Acima, um macaco segura uma barra com as mãos e a outra com a cauda.

Observe que o número de macacos dobra a cada linha.

1ª linha

2ª linha

3ª linha

2 ⋅ 2

4ª linha

2 ⋅ 2 ⋅ 2

Suponha que Marina continue desenhando dessa fórma – dobrando a cada linha a quantidade de macacos da linha anterior.

a) Qual será o número de macacos da 10ª linha?

b) Represente o número de macacos da 1ª e da 2ª linha por uma potência de base 2.

c) Escreva uma fórmula de recorrência para essa sequência.

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PARA SABER MAIS

Novo modêlo de placa para veículos

Placas com padrão do Mercosúl entram em vigor em todo o país

detrân que ficar fora do padrão não conseguirá emplacar novos veículos

Fotografia. Placa de um veículo. Na parte superior, ao centro, a palavra Brasil e ao lado direito a bandeira do país. Na parte de baixo o código QRCode e a placa: FKJ6F08. Entre os números, ondas sinusoidais. No canto inferior esquerdo, BR (distintivo do Brasil). — Novo modêlo de placa veicular do Mercosul.

Após sucessivos adiamentos, começa a valer nesta sexta-feira (31) o prazo para que os Departamentos de Trânsito (Detrans) de todos os estados concluam os procedimentos para implantar a nova placa do Mercosúl. reticências

[O novo modêlo apresenta o padrão com três letras, um número, uma letra e dois números (éfe cá jota seis éfe zero oito), diferente] do modêlo atualmente adotado no país, com três letras e quatro números. O novo modêlo permite mais de 450 milhões de combinações, o que, considerando o padrão de crescimento da frota de veículos no Brasil, pode levar mais de 100 anos.

“Atualmente são quase 5 milhões de veículos emplacados com a nova [placa de identificação veicular]. O govêrno federal estima que, até o fim de 2023, o Brasil já esteja com quase toda sua frota circulando com a nova placa”, informou a assessoria do Ministério da Infraestrutura.

Fonte: NASCIMENTO, L. Placas com padrão do Mercosúl entram em vigor em todo o país. AgênciaBrasil, Brasília, Distrito Federal, 31 janeiro 2020. Disponível em: https://oeds.link/HyybWj. Acesso em: 20 junho 2022.

Mais de 450 milhões de combinações diferentes! Será que a reportagem não exagerou? Para conferir a veracidade da informação sobre o número total de placas possíveis com o novo modêlo, podemos fazer um cálculo combinatório.

Devemos considerar todas as possibilidades para cada uma das sete posições (casas) a serem preenchidas pelas 26 letras do alfabeto e pelos algarismos de 0 a 9.

Esquema com 7 campos.
primeiro campo: letra;
segundo campo: letra;
terceiro campo: letra;
quarto campo: algarismo;
quinto campo: letra;
sexto campo: algarismo;
sétimo campo: algarismo;

A primeira casa pode ser preenchida de 26 maneiras diferentes; para cada uma dessas maneiras podemos preencher a segunda casa de outras 26 maneiras diferentes, o que resulta, para as duas primeiras casas, em um total de 26 ⋅ 26, isto é, 676 combinações diferentes.

Esquema com 7 campos. primeiro campo: 26; segundo campo: 26; Demais campos estão vazios.

Para cada uma dessas 676 combinações, a terceira casa pode ser preenchida por 26 letras diferentes, o que resulta, para as três primeiras casas, em um total de 26 ⋅ 26 ⋅ 26, ou seja, .17576 combinações.

Esquema com 7 campos. primeiro campo: 26; segundo campo: 26; terceiro campo: 26; Demais campos estão vazios.

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Continuando a aplicar esse raciocínio, que os matemáticos dão o nome de princípio fundamental da contagem, para as sete casas obtemos o total de combinações possíveis.

Esquema com 7 campos.
primeiro campo: 26;
segundo campo: 26;
terceiro campo: 26;
quarto campo: 10;
quinto campo: 26;
sexto campo: 10;
sétimo campo: 10.

26 · 26 · 26 · 10 · 26 · 10 · 10 = 456 976 000

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Use uma calculadora para responder ao que se pede.

1 Quantas placas diferentes poderíamos obter se fossem usados apenas algarismos de 0 a 9 em todas as casas?

2 Quantas placas diferentes poderíamos obter se fossem usadas apenas letras em todas as casas?

3 Lúcia e Lucas são investigadores e precisam identificar um carro com placa de modêlo com três letras e quatro números. Lúcia conhece apenas as letras da placa procurada; Lucas conhece apenas os números dessa placa. Qual deles tem maior probabilidade de determinar a placa desse carro primeiro? Por quê?

Potência com expoente inteiro negativo

Aprendemos a efetuar operações com potências que têm por base um número racional e por expoente um número natural.

Agora, vamos interpretar o significado de potências que tenham por base um número racional e por expoente um número inteiro negativo.

Considere o quociente 52 : 55. Pela propriedade do quociente de potências de mesma base, obtemos:

5 elevado a 2, dividido 5 elevado 5, igual, 5 elevado ao expoente 2 menos 5, fim do expoente, igual 5 elevado a menos 3 5 elevado ao quadrado dividido 5 elevado a 4, igual a fração: numerado 5 ao quadrado, denominado 5 elevado a 5, igual a fração, numerador 5 vezes 5, denominados 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5, igual, a fração: numerador 1, denominador 5 ao cubo, igual a fração : 1 ao cubo, denominador 5 ao cubo, igual a fração, um quinto ao cubo

Logo,

5^{‒ 3} = {(\frac{1}{5})}^{3} .

Note ainda que:

primeira linha: 5 elevado a menos 3, igual, 5 elevado ao expoente 3 vezes menos 1, fim do expoente. segunda linha: 5 elevado a menos 3, igual, um quinto elevado 3, igual, fração: numerado 1, denominador 5 ao cubo. uma chave ligando a primeira e a segunda linha , aponta, para abre parênteses 5 elevado a 3, fecha parênteses elevado a menos 1, igual fração: numerado 1, denominador 5 ao cubo

Isso significa que (53)‒1 pode ser interpretado como o inverso de 53 ou, ainda, que 5‒3 é o inverso de 53.

A potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior, ou seja, um expoente positivo.

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Acompanhe alguns exemplos.

a) 3‒2 =

{(\frac{1}{3})}^{2} = (\frac{1}{3}) \cdot (\frac{1}{3}) = \frac{1}{9}

10^{‒ 3} = {(\frac{1}{10})}^{3} = \frac{1^{3}}{10^{3}} = \frac{1}{1000}

c) (‒5)‒2 =

{(‒ \frac{1}{5})}^{2} = (‒ \frac{1}{5}) \cdot (‒ \frac{1}{5}) = \frac{1}{25}

{(\frac{2}{14})}^{‒ 1} = {(\frac{14}{2})}^{1} = 7

e) (0,25)‒2 =

{(\frac{25}{100})}^{‒ 2} = {(\frac{1}{4})}^{‒ 2} = {(\frac{4}{1})}^{2}

= 42 = 16

Observação

▶ Todas as propriedades da potenciação já estudadas também são válidas para potências com expoente inteiro negativo.

Generalizando, podemos escrever:

a elevado menos n, igual fração: numerador 1, denominador a elevado n, ou, a elevado menos n igual abre parênteses fração: numerador 1 e denominador a, fecha parênteses elevado a n

, para a ≠ 0 e sendo n um número natural.

Assim, para n = 1 e a ≠ 0, temos:

a elevado menos 1 , igual, fração: numerador 1, denominador a.

Isso significa que a ‒1 é o inverso de a, pois

\frac{1}{a}

é o inverso de a.

Assim, se a ‒1 é o inverso de a, também a é o inverso de a ‒1.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

6 Calcule as potências.

{(\frac{3}{4})}^{‒ 2}

{(‒ \frac{5}{4})}^{‒ 3}

c) 10‒3

d) 2‒1

e) (‒6)‒2

{(\frac{1}{9})}^{‒ 2}

7 Escreva na fórma de potência de base 10.

\frac{1}{100}

\frac{1}{10 000}

\frac{1}{1 000 000}

d) 0,1

e) 0,01

f) 0,001

8 Aplicando as propriedades de potenciação, reduza a uma só potência.

{(\frac{2}{3})}^{‒ 5} \cdot {(\frac{2}{3})}^{2}

{(‒ \frac{5}{4})}^{‒ 1} : {(‒ \frac{5}{4})}^{‒ 6}

{[{(‒ \frac{3}{2})}^{2}]}^{‒ 3}

d) [(‒2)0]‒3

9 Sabendo que

a = {(\frac{2}{3})}^{‒ 1}

b = ‒ \frac{5}{2},

calcule o que se pede.

a) a ‒ b

b) a : b

c) a ⋅ b 2

d) (a + b)2

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10 Sendo

x = {(2 ‒ \frac{1}{2})}^{‒ 2}

y = {(1 + \frac{1}{3})}^{‒ 1}

, calcule x ⋅ y.

11 Considerando

m = {(\frac{4}{5} ‒ \frac{1}{2})}^{‒ 3}

n = {(3 + \frac{1}{3})}^{2},

encontre o valor de m : n.

Utilizando uma calculadora, obtenha o valor das potências a seguir.

a) 2‒8

b) 4‒5

c) 0,4‒3

d) 0,2‒6

• Quando são elevados a um expoente negativo, o que acontece com os números maiores que 0 e menores que 1? E o que acontece com os números maiores que 1?

Hora de criar – Em duplas, criem um problema cada um envolvendo uma sequência recursiva em que os elementos da sequência podem ser escritos como uma potência de base 3. Troque de caderno com o colega, resolvam o problema um do outro e escrevam a fórmula de recorrência da sequência. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem os cadernos para corrigi-los.

Como escrever um número como potência de uma base dada

Conhecendo o significado de uma potência e as propriedades de potências de mesma base, em certos casos podemos escrever um número na fórma de potência de determinada base.

Por exemplo, vamos escrever:

a) 32 como potência de base 2.

Decompondo 32 em fatores primos, obtemos 32 = 25.

\frac{1}{8}

como potência de base

\frac{1}{2}

\frac{1}{8} = \frac{1^{3}}{2^{3}} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{3}

Portanto:

\frac{1}{8} = {(\frac{1}{2})}^{3}

\frac{1}{8}

como potência de base 2.

\frac{1}{8} = {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 2^{‒ 1} \cdot 2^{‒ 1} \cdot 2^{‒ 1} = 2^{‒ 3}

Portanto:

\frac{1}{8} = 2^{‒ 3}

\frac{8}{27}

como potência de base

\frac{3}{2}

\frac{8}{27} = \frac{2^{3}}{3^{3}} = {(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = {(\frac{3}{2})}^{‒ 1} \cdot {(\frac{3}{2})}^{‒ 1} \cdot {(\frac{3}{2})}^{‒ 1} = {(\frac{3}{2})}^{‒ 3}

Portanto:

\frac{8}{27} = {(\frac{3}{2})}^{‒ 3}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

14 Escreva os números a seguir como potência de base 2.

a) 256

b) .1024

\frac{1}{64}

\frac{1}{128}

15 Escreva os números a seguir como potência de base 3.

a) 9

b) 81

\frac{1}{27}

\frac{1}{243}

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16 Simplifique as expressões obtendo uma única potência.

\frac{4^{2} \cdot 8^{3}}{2^{10}}

\frac{9^{3} \cdot 27^{2}}{81}

Reúna-se com um colega e façam o que se pede.

a) Reproduzam o quadro a seguir no caderno e completem-na, atribuindo a n os números inteiros de 1 a 5.

Quadro de 4 colunas e com apenas a primeira linha indicada. Coluna 1: Expoente inteiro positivo n Coluna 2: Potência de base 10 10 elevado a n Coluna 3: Valor da potência (resultado) Coluna 4: Número de zeros do resultado

b) Comparando a primeira e a última coluna do quadro do item a, escrevam uma regra para obter, sem fazer cálculos, o valor da potência indicada por 10ⁿ.

c) Reproduzam no caderno o quadro a seguir e completem-na atribuindo a n os números inteiros de ‒1 a ‒5.

Quadro de 4 colunas e com apenas a primeira linha indicada. Coluna 1: Expoente inteiro negativo n Coluna 2: Potência de base 10 10 elevado a n Coluna 3: Valor da potência (resultado) Coluna 4: Número de zeros do resultado

d) Comparando a primeira e a última coluna do quadro do item c, escrevam uma regra para obter, sem fazer cálculos, o valor da potência indicada por 10ⁿ.

18 A medida da distância média entre o planeta Saturno e o Sol é da ordem de ....1000000000000 métros. Expresse essa medida como uma potência de base 10.

Fotografia. Fundo escuro com planeta Saturno, composto por esfera e elipse ao redor. — Fotografia do planeta Saturno feita pelo telescópio espacial Hubble em 2021.

19 Escreva a representação decimal das potências de base 10 a seguir.

a) 10‒1

b) 10‒2

c) 10‒3

d) 10‒5

e) 10‒6

20 O diâmetro de um fio de cabelo fino mede aproximadamente 0,0001 métro. Escreva essa medida como uma potência de base 10.

21 No Sistema Internacional de Unidades (ésse Í), para formar um múltiplo ou um submúltiplo de uma unidade de medida, é preciso colocar o prefixo desejado na frente do nome dessa unidade de medida. Esse mesmo procedimento também é usual para os símbolos.

Por exemplo:

• 1 megawatt = 1 ême dáblio = ..1000000 uáts = 106 uáts

• 1 nanossegundo = 1 êne ésse = 0,000000001 segundo = 10‒9 segundo

Pesquise os vinte prefixos estabelecidos pelo Sistema Internacional de Unidades e complete o quadro a seguir.

Quadro; Prefixos das unidades de medida no SI. Coluna 1: nome; coluna 2: símbolo; coluna 3 Fator de multiplicação da unidade. Linha 1 coluna 1: yotta Linha 1 coluna 2: Y Linha 1 coluna 3: 10 elevado a 24 igual 1.000.000.000.000.000.000.000.000. Linha 2 coluna 1: zetta Linha 2 coluna 2: Z Linha 2 coluna 3: 10 elevado a 21 igual 1.000.000.000.000.000.000.000.

22 Reduza cada uma das expressões a seguir a uma única potência de base 10 e represente essa potência na fórma decimal.

\frac{10^{3} \cdot 10^{2}}{10^{7}}

\frac{10^{4} \cdot 10^{2}}{10^{9}}

\frac{10^{‒ 16}}{10^{‒ 4} \cdot 10^{‒ 8}}

\frac{10^{‒ 4} \cdot 10^{‒ 8}}{10^{‒ 9}}

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Mostre que multiplicar 3 por 10⁴ é o mesmo que dividir 3 por 10^‒4.

Página 20

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Trabalhando com juro

Ilustração. Mesa com duas pessoas sentadas. À direita, mulher de cabelo escuro e blusa branca. À esquerda, homem de cabelo castanho e camisa azul listrada. Eles estão sentados. Sobre a mesa, computador e placa gerente.

Quando fazemos um empréstimo de dinheiro em um banco, pagamos uma espécie de aluguel por ele. Esse “aluguel” é chamado de juro ( jóta ).

Nas compras a prazo também pagamos juro. Do mesmo modo, recebemos juro quando fazemos uma aplicação financeira, por exemplo, na caderneta de poupança.

O que pagamos ou recebemos de juro é uma porcentagem sobre o dinheiro emprestado ou aplicado durante determinado tempo (tê ). Essa porcentagem é chamada de taxa de juro ( ih ).

A quantia que se empresta ou se aplica é chamada de capital (cê ). A soma do capital com o juro é denominada montante (ême ).

Quando um capital é aplicado por certo tempo a determinada taxa de juro, o montante pode crescer de acôrdo com dois regimes de capitalização (processo de formação do juro): o juro simples ou o juro composto. Aqui veremos o juro simples.

Dada uma aplicação de R$ 500,00quinhentos reais com taxa de juro de 10% ao mês, em 3 meses, quanto essa aplicação renderá, se o juro for calculado sempre sobre os R$ 500,00quinhentos reais?

A cada mês, o juro é dado por:

10% de 500 =

\frac{10}{100}

⋅ 500 = 50

Ao final dos 3 meses, o capital de R$ 500,00quinhentos reais renderá R$ 150,00cento e cinquenta reais de juro.

O juro assim calculado é chamado de juro simples. Nesse caso, o montante é igual a R$ 650,00seiscentos e cinquenta reais.

Agora, vamos chegar a uma fórmula para calcular juro simples.

Ilustração. homem de cabelo curto, cavanhaque e camiseta azul. Ele fala: Note que o juro simples é calculado apenas sobre o capital inicial.

Sendo cê o capital, ih a taxa de juro (expressa na fórma decimal), tê o tempo de aplicação ou de empréstimo (na mesma unidade de medida da taxa) e jóta o juro, obtemos:

Tempo (t)	Juro (j)
primeiro mês	C ⋅ i
segundo mês	C ⋅ i + C ⋅ i
terceiro mês	C ⋅ i + C ⋅ i + C ⋅ i
...	...
t-ésimo mês

Assim, o cálculo do juro simples pode ser feito do seguinte modo:

j = C ⋅ i ⋅ t

Página 21

Como exemplo, vamos considerar que um capital de R$ 2.000,00dois mil reais seja aplicado a uma taxa de juros de 2,5% ao mês, no regime de juro simples. Pelos dados, obtemos: C = R$ 2.000,00dois mil reais e i = 2,5% = 0,025.

Podemos expressar o juro em função do tempo t por:

j = C ⋅ i ⋅ t, ou seja, j = .2000,00 ⋅ 0,025 ⋅ t, ou, ainda, j = 50t

Assim, após 3 meses, por exemplo, essa aplicação rende R$ 150,00cento e cinquenta reais de juro, pois j = 50 ⋅ 3 = 150.

Você sabia que pode programar uma planilha eletrônica para calcular o juro simples utilizando uma fórmula? Observe a planilha a seguir. Nela, na coluna Juro ( jóta), podemos digitar a fórmula do juro simples (j = C ⋅ i ⋅ t) relacionando os valores das colunas Capital (cê), Taxa (ih) e Tempo (tê).

Ilustração. Planilha eletrônica. Acima, coluna de A até E. À esquerda, linha 1 a 4. B2: Capital (C). C2: taxa (i). D2: tempo (i). E2: Juro (i). E3: =B3*C3*D3. E4: =B4*C4*D4

Perceba que, na célula que indicará o valor do juro, temos o capital multiplicado pela taxa multiplicado pelo tempo, assim como na fórmula que deduzimos anteriormente.

Assim, para saber o valor total do juro de uma aplicação, como no exemplo da página anterior, basta digitar os dados do problema e a planilha calculará o juro automaticamente.

Ilustração. Planilha eletrônica. Acima, coluna de A até E. À esquerda, linha 1 a 4. B2: Capital (C). C2: taxa (i). D2: tempo (i). E2: Juro (i). B3: R$ 500,00. C3: 10%. D3: 3. E3: R$ 150,00. B4: R$ 500,00. C3: 10%. D3: 4. E3: R$ 200,00.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Um capital de R$ 18.000,00dezoito mil reais é aplicado à taxa de 8% ao ano no regime de juro simples. Determine o rendimento para uma aplicação de 2 anos.

2 Por quanto tempo o capital de R$ 12.000,00doze mil reais esteve aplicado à taxa de juro simples de 1,6% ao mês para render R$ 2.304,00dois mil trezentos e quatro reais de juro?

Multiplicação e divisão por potências de base 10

Para multiplicar, de maneira prática, um número por uma potência de base 10 com expoente inteiro positivo, como 101, 102, 103, reticências, basta deslocar a vírgula uma, duas, três, reticências casas para a direita. Isso é possível porque, nesse caso, o valor de cada uma dessas potências (resultado) tem um, dois, três, reticências zeros.

Observe alguns exemplos.

a) 5,126 ⋅ 101 = 51,26

b) 0,0028 ⋅ 102 = 0,28

c) 12,0 ⋅ 103 = .12000

d) 8,56 ⋅ 104 = .85600

Já para multiplicar um número por uma potência de base 10 com expoente inteiro negativo, como 10⁼¹, 10⁼², 10⁼³, reticências, deslocamos a vírgula uma, duas, três, reticências casas para a esquerda, o que equivale a dividir esse número por 101, 102, 103, reticências ou por 10, 100, .1000, reticências

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Observe alguns exemplos.

a) 356 ⋅ 10‒2 = 3,56

b) .25678,2 ⋅ 10‒3 = 25,6782

c) 0,5 ⋅ 10‒1 = 0,05

d) 2,45 ⋅ 10‒3 = 0,00245

Nos exemplos anteriores, efetuamos multiplicações por potências de base 10, mas também é possível efetuar divisões. Acompanhe, a seguir, duas dessas multiplicações transformadas em divisões.

8,56 vezes 10 elevado a 4, igual 8,56, vezes fração numerador 1, denominador 10 elevado a menos 4, igual, fração; numerador 8,56, denominador 10 elevado a menos 4, igual 8,56 dividido 10 elevado menos 4, igual 85.600. Acima, uma seta aponta para o expoente da primeira parcela 10 elevado a 4 e para o ultimo divisor 10 elevado a menos 4, indicando que os sinais dos expoentes são opostos.

0,5 vezes 10 elevado a menos 1, igual 0,5, vezes fração numerador 1, denominador 10 elevado a 1, igual, fração; numerador 0,5, denominador 10 elevado a 1, igual 0,5 dividido 10 elevado a 1, igual 0,05.
Acima, uma seta aponta para o expoente da primeira parcela 10 elevado a menos 1 e para o ultimo divisor 10 elevado a 1, indicando que os sinais dos expoentes são opostos.

Observe que, na divisão por uma potência de base 10 com expoente inteiro negativo, como 10‒4, deslocamos a vírgula para a direita. Já na divisão por uma potência de base 10 com expoente inteiro positivo, como 101, deslocamos a vírgula para a esquerda.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

23 Efetue as multiplicações por potências de base 10.

a) 3,6 ⋅ 104

b) 0,025 ⋅ 102

c) 0,4 ⋅ 10‒2

d) .3576 ⋅ 10‒3

24 O produto 0,000025 ⋅ 0,000000002 é igual a:

a) 50 ⋅ 10‒14

b) 5 ⋅ 10‒14

c) 5 ⋅ 10‒40

d) 5 ⋅ 10‒4

e) 50 ⋅ 10‒13

25 O valor da expressão

A = 5,24 ⋅ 10‒23 + 8,36 ⋅ 10‒21 é:

a) 5,62 ⋅ 10‒21

b) 5,62 ⋅ 10‒23

c) 8,4124 ⋅ 10‒21

d) 8,4124 ⋅ 10‒23

e) 8,4124 ⋅ 10‒44

26 Descubra a potência de base 10 que deve ser colocada no lugar de a para que se obtenha:

a) 56,754 ⋅ a = .567540

b) 0,003 ⋅ a = 30

c) a ⋅ 23 = 0,000023

d) a ⋅ 4,5 = 0,00045

27 Converta as medidas a seguir usando potências de base 10.

a) 1 centímetro em métro.

b) 100 quilômetros em métro.

c) 10 gramas em quilograma.

d) uma tonelada em quilograma.

e) 10 centímetros quadrados em métros quadrados.

f) 1 centímetro cúbico em decímetros cúbicos.

28 O açude Castanhão, no Ceará, com 325 quilômetros quadrados de área inundada, é o maior açude da América Latina. Ele tem capacidade de armazenamento de 6,7 ⋅ 109 métros cúbicos de água, que corresponde a cêrca de 37% de toda a capacidade de armazenamento dos reservatórios cearenses. Determine a capacidade total de armazenamento dos reservatórios cearenses.

Fotografia. À esquerda, região com água. À direita, estrutura com ponte. Ao fundo, morros e nuvens. — O açude Castanhão, localizado no município de Jaguaribara (Ceará), é formado pela barragem das águas do rio Jaguaribe. (Fotografia de 2021.)

29 (ú éfe ême gê) O açude Orós, um dos maiores reservatórios do Brasil, tem capacidade para armazenar 2 ⋅ 109 métros cúbicos de água. Sabe-se que o rio Amazonas lança no oceano Atlântico 50 milhões de litros de água por segundo.

Com base nesses dados, é correto afirmar que o tempo que o rio Amazonas leva para lançar no oceano Atlântico um volume igual à capacidade do açude Orós é:

a) maior que 20 horas.

b) menor que 5 horas.

c) maior que 5 horas e menor que 10 horas.

d) maior que 10 horas e menor que 20 horas.

Página 23

Notação científica

O uso das potências é bastante comum em áreas da Ciência como Medicina, Biologia, Astronomia, Geologia, entre muitas outras.

ilustração. Homem de cabelo castanho, óculos e jaleco branco. Ao lado de um microscópio ele diz: A medida do diâmetro de uma bactéria, que é um organismo unicelular, varia de 10 elevado a menos 4 m a 2 vezes 10 elevado a menos 6 m.

Ilustração. Mulher de cabelo preto e curto, jaleco branco, fala: A medida do raio do Sol é aproximadamente 6,96 vezes 10 elevado a 8 m.

Esse tipo de registro é chamado de notação científica. Ele fornece uma ideia precisa da ordem de grandeza (bilhões, milhões, milésimos etcétera) de uma medida e é fundamental para trabalhar com números “muito grandes” ou “muito pequenos”, isto é, muito próximos de 0. A ordem de grandeza de uma medida é dada pela potência de base 10.

Em notação científica, os números são escritos como produto de dois fatores, em que um deles é uma potência de base 10 com expoente inteiro (positivo ou negativo), e o outro é um número igual a 1 ou maior que 1 e menor que 10.

Observe os exemplos.

primeira linha: uma vez 10 elevado a menos 6 segunda linha: 10 elevado a menos 6 terceira linha : 6,96 vezes, 10 elevado 8. As 3 linhas estão centralizadas pelo sinal de vezes. Abaixo , uma seta que parte da frase : número igual a 1 ou maior que 1 e menor que 10, uni-se a a uma retângulo que contem a primeira parcela de cada linha. À esquerda das multiplicações, Três setas parte, da frase: potência de base 10 com expoente inteiro e uni-se a cada uma da segunda parcela de cada linha. setas par

Observe outros exemplos de números escritos em notação científica.

a) 5,2 ⋅ 106

b) 8,1 ⋅ 1012

c) 1,25 ⋅ 10elevado a menos 3

d) 2,236 ⋅ 10elevado a menos 9

Agora, vamos escrever alguns números em notação científica.

a) .3265

Para escrever esse número como produto de dois fatores, um deles uma potência de base 10, vamos multiplicá-lo por 10elevado a menos 3 e por 103, pois 10elevado a menos 3 ⋅ 103 = 100 = 1. Assim, obtemos:

3mil 265, igual, 3 mil 265 vezes 10 elevado a menos 3 vezes 10 elevado a 3, igual, 3,265 vezes 10 ao cubo . Abaixo, uma seta parte da frase: lugar da vírgula e aponta para o números 3 mil 265. De um traço, abaixo de 3 mil 265 vezes 10 elevado a menos 3, parte uma seta que aponta para 3 ,265

Página 24

c) 0,0056

Quando o número é menor que 1, devemos multiplicá-lo por uma potência de base 10 com expoente positivo e, para não mudar o valor, multiplicar o resultado pela potência de base 10 com expoente oposto ao da primeira multiplicação, ou seja, expoente negativo.

0,0056, igual, 0,0056 vezes 10 elevado ao cubo vezes 10 elevado a menos 3, igual, 5,6 vezes 10 elevado a menos 3. Abaixo, uma seta parte da frase: lugar da vírgula e aponta para o número 0,0056. De um traço, abaixo de 0,0056 vezes 10 ao cubo, parte uma seta que aponta para 5,6.

0,65, igual, 0,65 vezes, 10 vezes ,10 elevado a menos 1, igual, 6,5 vezes 10 elevado a menos 1. Abaixo, uma seta parte da frase: lugar da vírgula e aponta para o numero 0,65. De um traço, abaixo de 0,65 vezes 10, parte uma seta que aponta para 2,85.

Verifique agora como a notação científica é usada para expressar:

a) a medida da distância da Terra até o Sol;

..150000000 quilômetros = 1,5 ⋅ 108 quilômetros

Ilustração. Sistema solar. À esquerda, o sol. à direita, elipses com os planetas: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno. — Representação esquemática do Sistema Solar. O Sol, os planetas e as órbitas não estão representados nas proporções reais nem com cores reais.

b) a medida da massa do átomo de hidrogênio.

0,00000000000000000000000166 grama = 1,66 ⋅ 10‒24 grama

Ilustração. Próton, representado por esfera azul. Ao redor, elipse com esfera vermelha menor (elétron). — Representação esquemática do átomo de hidrogênio. O próton, o elétron e sua órbita não estão representados nas proporções reais nem com cores reais.

Página 25

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

30 Escreva em notação científica cada um dos números a seguir.

a) 12,6 milhões

b) 361 ⋅ 106

c) 15 bilhões

d) 458,6 ⋅ 10‒5

e) .3576 ⋅ 10‒3

f) 0,0000000000001

31 Dois planetas, a e B, giram em tôrno de uma estrela ê em órbitas praticamente circulares e no mesmo plano.

Ilustração. duas circunferências concêntricas de centro E, a menor contém o ponto A, a maior contém o ponto B.

A medida da distância de a até a estrela ê é 15 ⋅ 107 quilômetros, e a medida da distância de B até a estrela E é 2,3 ⋅ 108 quilômetros. Desprezando os diâmetros desses astros, calcule a medida da distância máxima e a medida da distância mínima entre a e B e expresse-as em notação científica.

32 Na abertura do capítulo, vimos que:

a) a medida da massa do Sol é aproximadamente 2 ⋅ 1030 quilogramas. Expresse, em notação científica, essa medida em tonelada.

b) reações de fusão nuclear no núcleo do Sol convertem cêrca de 6 ⋅ 1011 quilogramas de hidrogênio (agá) em hélio (agá ê) por segundo. Sabendo que 1 ano tem aproximadamente 3 ⋅ 107 segundos, quantas toneladas de hidrogênio são convertidas em hélio por ano no núcleo do Sol? Dê sua resposta em notação científica.

33 Cada mililitro de sangue humano contém, em média, 5 ⋅ 103 glóbulos vermelhos. No corpo de um ser humano adulto circulam cêrca de 5,5 litros de sangue. De acôrdo com esses dados, qual é o número médio, em notação científica, de glóbulos vermelhos que há no corpo de um adulto?

Fotografia. Glóbulos vermelhos em formato arredondado. Eles estão aglomerados. — Glóbulos vermelhos (hemácias) do sangue humano em fotomicrografia eletrônica de varredura, colorida artificialmente. (Ampliação de 2.400 vezes.)

A tabela a seguir mostra os dados da movimentação comercial entre o Brasil e o exterior de 2019 a 2021. Reúna-se com um colega e construam um gráfico de colunas com os dados da tabela. Lembrem-se de indicar os valores em milhões de dólares no eixo vertical, os anos no eixo horizontal, e de dar um título ao gráfico. Note que cada um dos dados da movimentação comercial (Saldo, Importações, Exportações), por ano, corresponde a uma coluna no gráfico, ou seja, para cada um dos três anos no gráfico, deve haver três colunas.

Movimentação comercial entre o Brasil e o exterior (2019-2021)*
Ano	Saldo (milhões de dólares)	Importações (milhões de dólares)	Exportações (milhões de dólares)
2019	35.000	186.000	221.000
2020	50.000	159.000	209.000
2021	61.000	219.000	280.000

* Valores aproximados. Dados obtidos em: BRASIL. Resultados do comércio exterior brasileiro: dados consolidados. Disponível em: https://oeds.link/Mfafc2. Acesso em: 10 mar. 2022.

Página 26

Com base no gráfico que vocês construíram, façam o que se pede.

a) Expressem em notação científica os valores, em dólares, apresentados no gráfico.

b) Para cada ano, verifiquem se a diferença entre os valores das exportações e os das importações é igual ao saldo.

c) Qual foi a média aproximada das exportações nesse período? E das importações? E do saldo?

d) Para cada ano, escrevam, com um número negativo, o quanto falta para a exportação atingir a média ou, com um número positivo, em quanto a exportação excedeu a média.

e) No gráfico, tracem uma reta horizontal pelo valor da média das importações. Façam uma estimativa para responder à questão: a parte da coluna da importação de 2021 que ficou acima da reta traçada é equivalente à soma das partes das outras duas colunas que ficaram abaixo da reta?

35 (ú éfe ésse é) Um raio de luz, propagando-se no vácuo, desloca-se com velocidade de 3,0 ⋅ 105 quilômetros por segundo aproximadamente. Se a distância entre dois planetas mede 9,0 ⋅ 107 quilômetros, então o tempo, em minuto, que o raio de luz levará para cobrir essa distância é:

a) 5,2.

b) 5.

c) 4,5.

d) 4.

e) 3,8.

Hora de criar – Em duplas, cada um de vocês vai elaborar um problema utilizando a notação científica. Para o problema, considerem situações do dia a dia que envolvam números que podem ser escritos em notação científica, como a velocidade da conexão da internet, o consumo de energia elétrica de um equipamento, o pacote de dados de um plano de uma operadora de celular, entre outros. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

2. Calculando com raízes

Raiz quadrada de números racionais

Acompanhe algumas situações nas quais desejamos calcular a raiz quadrada de números racionais.

Situação 1

Observe o quadrado alaranjado na figura. Considerando a medida da área do quadrado maior igual a 1 centímetro quadrado, e a medida do comprimento de seu lado igual a 1 centímetro, podemos dizer que:

Ilustração. Quadrado composto por 25 quadradinhos. Dentro do quadrado maior, no canto esquerdo superior um quadrado formado por 9 quadradinhos laranja. Do lado externo, direito e inferior, do quadrado maior, a indicação do comprimento de 1 centímetro, Do lado externo, esquerdo e superior, do quadrado laranja, a indicação do comprimento de 3 quintos centímetro.

• a medida da área de cada quadradinho é

\frac{1}{25}

centímetro quadrado;

• a medida da área do quadrado alaranjado é

\frac{9}{25}

centímetro quadrado;

• a medida do comprimento do lado do quadrado alaranjado é

\frac{3}{5}

centímetro.

Note que a área do quadrado alaranjado pode ser obtida da seguinte fórma:

\frac{3}{5}

⋅

\frac{3}{5}

{(\frac{3}{5})}^{2}

\frac{9}{25}

, ou seja,

\frac{9}{25}

centímetro quadrado

Nesse caso, o número

\frac{3}{5}

é chamado de raiz quadrada de

\frac{9}{25}

, que indicamos por

\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}

(lemos: “a raiz quadrada de nove vinte e cinco avos é três quintos”).

O número

\frac{9}{25}

é um número racional quadrado perfeito.

Página 27

Situação 2

Ilustração. Quadrado composto por 100 quadradinhos. Dentro do quadrado maior, no canto esquerdo superior um quadrado formado por 49 quadradinhos azul. Do lado externo, direito e inferior, do quadrado maior, a indicação do comprimento de 1 decímetro , Do lado externo, esquerdo e superior, do quadrado azul, a indicação do comprimento de 0,7 decímetro

A medida da área do quadrado azul da figura pode ser obtida do seguinte modo:

0,7 ⋅ 0,7 = 0,49, ou seja, 0,49 decímetro quadrado

O número 0,7 é a raiz quadrada de 0,49, que indicamos por

\sqrt{0, 49}

Assim, obtemos:

\sqrt{0, 49}

\sqrt{\frac{49}{100}}

\frac{7}{10}

= 0,7

Observe que, para calcular o valor da raiz quadrada de 0,49, precisamos determinar o número racional que, multiplicado por ele mesmo, resulta em 0,49. Esse número é 0,7.

0,7 ⋅ 0,7 =

{0, 7}^{2}

{(\frac{7}{10})}^{2}

\frac{49}{100}

= 0,49

Assim, obtemos:

\sqrt{0, 49}

= 0,7, visto que 0,72 = 0,49

Dizemos que o número 0,49 é um número racional quadrado perfeito.

Dado um número racional quadrado perfeito, a sua raiz quadrada é um número racional positivo ou nulo cujo quadrado é o número dado.

Observe outros exemplos.

\sqrt{\frac{81}{256}} = \frac{9}{16}

\sqrt{\frac{4}{225}} = \frac{2}{15}

\sqrt{0, 01}

\sqrt{\frac{1}{100}}

\frac{1}{10}

= 0, 1

Observações

▶ Quando queremos considerar o oposto de uma raiz quadrada, fazemos a indicação colocando o sinal de menos à esquerda da raiz. Por exemplo:

‒ \sqrt{\frac{9}{25}}

indica o oposto de

\sqrt{\frac{9}{25}} .

‒ \sqrt{0, 49}

indica o oposto de

\sqrt{0, 49} .

▶ Todo número racional, quando elevado ao quadrado, resulta no número 0 ou em um número racional positivo. Logo, não existe um número racional que seja a raiz quadrada de um número racional negativo.

Por exemplo, a raiz quadrada do número

‒ \frac{100}{9}

não é um número racional, pois não existe número racional que, elevado ao quadrado, resulte em

‒ \frac{100}{9} .

▶ A raiz quadrada de um número racional positivo será um número racional somente se esse número for um quadrado perfeito.

Por exemplo, a raiz quadrada do número

\frac{2}{3}

não é racional, pois não existe número racional que, elevado ao quadrado, resulte em

\frac{2}{3} .

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

37 Calcule:

\sqrt{0, 04}

\sqrt{\frac{36}{49}}

\sqrt{0, 81}

‒ \sqrt{\frac{64}{100}}

\sqrt{\frac{25}{9}}

‒ \sqrt{\frac{49}{4}}

Página 28

38 Identifique os números cuja raiz quadrada é um número racional.

a) ‒25

\frac{1}{16}

\frac{3}{4}

‒ \frac{1}{9}

\frac{8}{10}

\frac{25}{9}

39 Sabendo que

\sqrt{123 904} = 352,

calcule mentalmente:

‒ \sqrt{1 239,04}

\sqrt{12,3904}

40 Descubra a medida do lado de cada região quadrada representada a seguir, considerando a medida da área de cada uma delas.

Ilustração. Quadrado. Ilustração. Quadrado maior. medida da área, igual a, 64, 49 avos centímetros quadrados

Pense mais um poucoreticências

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Sendo x 2 = 400, responda às perguntas a seguir.

Ilustração. Área verde com uma região quadrangular medindo x de lado. No centro da região, informação: medida de área = 400 metros quadrados.

a) Quais são os valores de x que tornam essa sentença verdadeira?

b) Qual é o valor que x pode assumir se ele representa, em metro, a medida do comprimento do lado de um terreno quadrado?

2 Sabendo que (4,8)2 = 23,04, responda às perguntas.

a) Quais são os valores de x que tornam verdadeira a igualdade x 2 = 23,04?

b) Das respostas ao item a, qual é o valor que x pode assumir se 23,04 representa a medida da área de um quadrado?

Outras raízes

Observe a imagem do cubo.

Ilustração. Cubo composto por 125 cubos pequenos.

Tomando o cubinho

como unidade de medida de volume, podemos dizer que a medida do volume do cubo maior – cuja medida da aresta é 5 unidades de medida de comprimento – é 125

(53 = 125).

A situação inversa seria calcular a medida da aresta do cubo maior sabendo que a medida do seu volume é 125

e que a medida da aresta de um cubinho é 1 unidade de medida de comprimento.

Assim, a medida da aresta do cubo maior corresponde a um número que, elevado ao cubo, resulta em 125. Esse número é a raiz cúbica de 125.

Então, a aresta do cubo maior mede 5 unidades de medida de comprimento.

Página 29

Acompanhe outros exemplos.

raiz quarta de 1, 81 avos , igual um terço, pois 1 terço elevado a 4, igual, 1, 81 avos.
Abaixo, uma seta que parte da frase: (lemos: raiz quarta de um oitenta e um avos) e aponta para raiz quarta de 1,81 avos.

Raiz quinta de menos 32, igual, menos 2, pois abre parênteses menos 2 fecha parênteses elevado a cinco. Abaixo, uma seta que parte da frase (lemos: 'raiz quinta de menos trinta e dois') e aponta para raiz quinta de menos 32.

De modo geral, para determinar

\sqrt[n]{a}

(lemos: “raiz enésima de a”), sendo n um número natural diferente de 0 e a um número racional, verificamos dois casos:

• para n par e a ⩾ 0:

\sqrt[n]{a}

é o número racional b (com b ⩾ 0), tal que b ⁿ = a;

• para n ímpar:

\sqrt[n]{a}

é o número racional b, tal que b ⁿ = a.

Essa operação é chamada radiciação, a operação inversa da potenciação.

Esquema. raiz enésima de a, igual b Acima a palavra radical indica o simbolo da raiz. À esquerda a palavra índice indica o número pequeno que a esquerda e na parte superior do radical. abaixo a palavra radicando que indica o número dentro do radical. do lado direito a raiz (resultado da radiciação que indica o b

O símbolo

Imagem. Símbolo que lembra a letra V com um traço horizontal na extremidade do canto superior direito.

é chamado de radical. Se esse símbolo não estiver acompanhado de um índice, indica a raiz quadrada de um número a.

Acompanhe alguns exemplos de cada um dos dois casos gerais.

• 1º caso: n é um número natural não nulo par, e a é um número racional não negativo.

Como exemplo, vamos calcular a raiz quadrada de 25.

Há dois números racionais que, elevados ao quadrado, resultam em 25: ‒5 e +5, pois (‒5)2 = 25 e (+5)2 = 25.

Devemos, então, dizer que a raiz quadrada de 25 é 5 ou ‒5? Para garantir um resultado único, convencionou-se que

\sqrt{a}

representa a raiz quadrada positiva de a. Assim,

\sqrt{25} = 5 .

Observe outros exemplos.

\sqrt{36} = 6

\sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3}

\sqrt{1,44} = 1,2

\sqrt[8]{0,00000001}

= 0,1

Note que o número 0,00000001 é a representação decimal de (0,1)8. Assim:

\sqrt[8]{{(0,1)}^{8}} = 0,1

Com o auxílio de uma calculadora, também podemos calcular

\sqrt[8]{0,00000001}

digitando:

Ilustração. Teclas: 0 ponto 00000001, raiz, raiz, raiz. Visor: 0.1.

Observação

▶ Note que, se a é um número racional negativo (a < 0), sendo n par, não é possível definir

\sqrt[n]{a}

como um número racional.

Como exemplo, vamos mostrar que

\sqrt{‒ 4}

não é um número racional. De fato, se

\sqrt{‒ 4}

fosse um número racional m, deveríamos ter m² = ‒4, o que é impossível, pois o quadrado de qualquer número racional é sempre um número não negativo. Logo,

\sqrt{‒ 4}

não é um número racional.

Página 30

• 2º caso: n é um número natural não nulo ímpar, e a é um número racional.

Acompanhe, a seguir, alguns exemplos de raízes de índice ímpar.

\sqrt[3]{64}

= 4, pois 43 = 64

\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{3}{2}

, pois

{(\frac{3}{2})}^{5} = \frac{243}{32}

\sqrt[3]{‒ 64}

= ‒ 4, pois (‒ 4)3 = ‒64

\sqrt[5]{‒ \frac{243}{32}} = ‒ \frac{3}{2}

, pois

{(‒ \frac{3}{2})}^{5} = ‒ \frac{243}{32}

Quando n for ímpar, a raiz enésima terá o mesmo sinal do radicando.

Observação

▶ A raiz enésima de zero é zero, com n natural não nulo. Ou seja:

\sqrt[n]{0} = 0

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

41 Responda às questões a seguir.

a) Dois números, elevados ao quadrado, resultam em 100. Quais são eles?

b) Qual é a raiz quadrada de 100?

42 Por que não existe a raiz quadrada de ‒ 49 quando trabalhamos com números racionais?

43 Calcule, se for um número racional, o valor de:

‒ \sqrt{441}

\sqrt{‒ 441}

44 Classifique cada sentença em verdadeira ou falsa.

\sqrt{10^{2}} = \sqrt{‒ 10^{2}}

\sqrt{10^{2}} = \sqrt{{(‒ 10)}^{2}}

\sqrt{{(‒ 7)}^{2}} = ‒ 7

\sqrt{{(‒ 7)}^{2}} = 7

‒ \sqrt{10^{2}} = \sqrt{{(‒ 10)}^{2}}

‒ \sqrt{{(‒ 10)}^{2}} = ‒ 10

\sqrt[3]{8} = ‒ \sqrt[3]{‒ 8}

\sqrt[n]{0} = 0,

para n ⩾ 2

45 Calcule:

a) 2 ⋅

\sqrt{900}

\frac{3}{4} \cdot \sqrt{2, 56}

\sqrt{0} ‒ \sqrt[5]{‒ 1}

\sqrt[3]{‒ \frac{8}{27}} ‒ \sqrt{\frac{25}{64}}

46 Um objeto solto de determinada altura leva certo tempo para atingir o solo.

Esse tempo é dado pela relação

t = \sqrt{\frac{h}{4, 9}} .

Nessa relação, t representa o tempo, em segundo, e h representa a altura, em metro.

Calcule quanto tempo um objeto leva para atingir o solo caindo de uma altura que mede 44,1 métros.

Ilustração. à esquerda, morro. Pedra cai de altura de 44,1 metros.

47 Calcule o valor da expressão a seguir.

\sqrt[3]{18 + \sqrt{84 ‒ \sqrt{4 + \sqrt{25}}}}

48 A professora pediu aos estudantes que calculassem o valor da expressão a seguir.

\sqrt[3]{1^{3} + \sqrt[3]{1^{3} ‒ \sqrt[3]{1^{3} + \sqrt{7^{2}}}}}

Daniel fez deste modo:

Ilustração. Caderno com a expressão. Na primeira linha: raiz cúbica de radicando; 1 ao cubo, mais raiz cúbica de radicando: 1 ao cubo, menos raiz cubica de radicando 1 ao cubo mais raiz quadrada de 7 ao quadrado, igual.. Todos os índices das raízes e os expoentes estão cortados, com um traço azul, indicando que foram cancelados . Na segunda linha: igual, 1 mais 1 mais 1 menos 1 mais 7, igual 8

Fernanda fez desta maneira:

lustração. Caderno com expressão. Na primeira linha: raiz cúbica de radicando; 1 ao cubo, mais raiz cúbica de radicando: 1 ao cubo, menos raiz cubica de radicando 1 ao cubo mais raiz quadrada de 7 ao quadrado, igual. Na segunda linha: raiz cúbica de radicando; 1, mais raiz cúbica de radicando: 1 mais 7 Na terceira linha: raiz cúbica de radicando; 1, mais raiz cúbica de radicando: 1 menos 2 Na quarta linha: raiz cúbica de radicando; 1 menos 1, igual a zero

Algum deles acertou? Em caso afirmativo, quem?

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3. Potências com expoente fracionário

Até aqui, estudamos potências com expoente inteiro. Agora, vamos estudar as potências com expoente fracionário, relacionando potenciação com radiciação.

Já vimos que, se bⁿ = a, então

b = \sqrt[n]{a}

, com n natural não nulo e b ⩾ 0.

Como exemplo, vamos considerar a potência (73)2 = 76.

De acôrdo com a definição de raiz quadrada, verificamos que 73 é a raiz quadrada de 76, pois (73)2 = 76.

Assim, podemos escrever:

Raiz quadrada de sete elevado a seis, igual, sete ao cubo ou raiz quadrado de sete elevado a 6 , igual a 7 elevado seis meios . Da frase numerador: expoente do radicando parte uma seta que aponta para o 6, numerador da fração do expoente Da frase: denominador: índice do radical parte uma seta que aponta para o 2, denominador da fração do expoentes

Toda expressão com radical de radicando positivo pode ser escrita como uma potência em que a base é o radicando e o expoente é expresso por uma fração que tem, no numerador, o expoente do radicando e, no denominador, o índice do radical.

Acompanhe, por exemplo, as expressões a seguir.

\sqrt[8]{5^{3}} = 5^{\frac{3}{8}}

Observe que:

{(5^{\frac{3}{8}})}^{8} = 5^{\frac{3}{8} \cdot 8} = 5^{3}

\sqrt[7]{3^{2}} = 3^{\frac{2}{7}}

Observe que:

{(3^{\frac{2}{7}})}^{7} = 3^{\frac{2}{7} \cdot 7} = 3^{2}

\sqrt[3]{{(\frac{1}{8})}^{2}} = {(\frac{1}{8})}^{\frac{2}{3}}

Observe que:

{[{(\frac{1}{8})}^{\frac{2}{3}}]}^{3}

{(\frac{1}{8})}^{\frac{2}{3} \cdot 3}

{(\frac{1}{8})}^{2}

Se a é um número racional positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não nulo, temos:

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

Verifique outros exemplos.

\sqrt[3]{5^{2}} = 5^{\frac{2}{3}}

\sqrt[3]{2^{15}}

2^{\frac{15}{3}}

= 2 ⁵

\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}

7^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{7^{4}}

9^{‒ \frac{1}{2}}

{(\frac{1}{9})}^{\frac{1}{2}}

\sqrt{\frac{1}{9}}

\frac{1}{3}

0, 25^{\frac{1}{2}}

\sqrt{0, 25}

= 0,5

Observação

▶ As propriedades válidas para as potências de expoente inteiro também são válidas para as potências de expoente fracionário que tenham base positiva.

Por exemplo:

três elevado a um quinto, vezes, três elevado a dois terços, igual, 3 elevado ao expoente um quinto mais 2 terços, fim do expoente, igual, 3 elevado a 13, 15 avos. Da frase: para determinar o produto de potências de mesma base, conservamos a base e adicionamos os expoentes., parte um seta que aponta para o expoente 13,15 avos

Página 32

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

49 Represente na fórma de potência com expoente fracionário.

\sqrt[3]{2^{2}}

\sqrt[4]{5^{3}}

\sqrt[3]{10}

50 Escreva a expressão com radical que corresponda a cada potência a seguir.

2^{\frac{3}{4}}

9^{\frac{1}{3}}

8^{\frac{1}{2}}

51 Calcule:

\sqrt{3^{6}}

512^{\frac{1}{3}}

\sqrt[4]{2^{8}}

52 Reduza a uma só potência, usando as propriedades das potências.

2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}}

2^{\frac{1}{3}} : 2^{\frac{1}{4}}

{(12^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}

3^{{(\frac{1}{16})}^{\frac{1}{2}}}

PARA SABER MAIS

A linguagem das máquinas

Ilustração. Vista de lado de menino de cabelo vermelho, camiseta azul sentado na frente de um computador sobre a mesa.

Os softwares são programados com uma sintaxe, isto é, os comandos são digitados seguindo um conjunto de regras que definem a estrutura e as expressões corretas para determinada linguagem de programação. Isso faz com que a máquina entenda corretamente a operação que deve efetuar ao receber cada comando.

Para calcular 23 em seu computador, Paulo precisava digitar a sequência dois acento circunflexo três.

Quando Paulo digitava dois acento circunflexo três e, em seguida, pedia o resultado, a resposta que aparecia era 8.

Para calcular potências de potências, era necessário acrescentar parênteses.

Ou seja, se ele digitasse dois acento circunflexo abre parênteses três acento circunflexo dois fecha parênteses, a máquina calculava 23² = 29 = 512, mas, se digitasse dois acento circunflexo três acento circunflexo dois, o computador calculava (23)2 = 82 = 64.

Para garantir resultados corretos em seus cálculos, utilizando ferramentas computacionais e até uma simples calculadora, é fundamental prestar atenção às regras e propriedades das operações e escrever as expressões corretamente. Isso também é importante quando você faz cálculos no papel: o uso adequado dos parênteses nas expressões, por exemplo, precisa ser respeitado.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Paulo digitou as informações de cada item no software de computador. Descubra e efetue as expressões que ele queria calcular. Escreva os resultados na fórma de potência.

a) dois acento circunflexo três acento circunflexo três

b) dois acento circunflexo abre parênteses três acento circunflexo abre parênteses dois acento circunflexo três fecha parênteses fecha parênteses

c) abre parênteses dois acento circunflexo fecha parênteses acento circunflexo quatro

d) abre parênteses abre parênteses três acento circunflexo dois fecha parênteses acento circunflexo três fecha parênteses acento circunflexo dois

2 A importância dos parênteses não é uma novidade. De fato, você já deve ter observado, por exemplo, que:

(a + b)2 ≠ a + b2

Escreva como você digitaria as expressões a seguir, considerando que, no caso da divisão, o comando para a máquina é “/”.

a) (a + b)2

b) a + b 2

\frac{1}{a + b}

\frac{1}{a}

+ b

\frac{a + b}{c + d}

\frac{a}{c + d}

+ b

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3 Dependendo da máquina ou do software utilizado, o comando para calcular a raiz quadrada de um número pode ser a tecla

, a tecla

\sqrt[2]{x}

ou a sequência ésse quê érre tê (sigla do termo em inglês square root, que significa “raiz quadrada”). Para obter a raiz cúbica, não existindo a tecla apropriada, você pode digitar o seguinte: a^(1/3), que equivale a

\sqrt[3]{a}

Do mesmo modo, para obter a raiz quadrada, você também pode digitar: a^(1/2), que equivale a

\sqrt{a}

. Dependendo da máquina, não é necessário colocar os parênteses na fração

\frac{1}{2}

. Na dúvida, entretanto, é melhor colocá-los.

Como você digitaria as expressões a seguir? Lembre-se de que o comando de divisão da máquina é “/” e tome o devido cuidado com os parênteses.

\sqrt{a + b}

a + \sqrt{b}

\frac{1}{\sqrt{a + b}}

\frac{1}{\sqrt{a}} + b

4. Expressões numéricas com números racionais

Já vimos que muitas vezes precisamos calcular o valor de expressões numéricas para resolver problemas. Aprendemos também que:

• Quando a expressão tem sinais de associação, eles devem ser eliminados na seguinte ordem: primeiro calculam-se as expressões que estão entre parênteses, depois as expressões entre colchetes, e, finalmente, as expressões entre chaves.

• As operações devem ser efetuadas nesta ordem:

a) potenciação e radiciação, na ordem em que aparecem;

b) multiplicação e divisão, na ordem em que aparecem;

c) adição e subtração, na ordem em que aparecem.

Vamos calcular o valor de algumas expressões numéricas com números racionais.

Primeira linha: menos 2 elevado a menos 3, menos um quarto, vezes, abre colchetes dois terços, menos, abre parênteses menos 1 mais um meio, fecha parênteses, fecha colchetes , igual Do cubo do menos 2, da primeira linha , parte uma seta para menos um meio da segunda linha . Do traço abaixo do menos 1 mais um meio, da primeira linha parte uma seta apontando para menos dois meios mais um meio, da segunda linha. Segunda linha: igual, cubo de menos um meio, menos um quarto, vezes abre colchetes dois terços menos abre parênteses menos dois meios mais um meio, fecha parênteses, fecha colchetes , igual Do cubo de menos um meio, da segunda linha, parte um seta para menos um oitavo da terceira linha. Do traço abaixo de menos 2 meios mais um meio, da segunda linha , parte uma seta apontando para menos um meio da da terceira linha. Terceira linha: igual, menos um oitavo, menos um quarto , vezes, abre colchetes 4 sextos mais 3 sextos, fecha colchetes, igual Quarta linha: igual, menos um oitavo, menos um quarto, vezes abre colchetes quatro sextos mais três sextos, fecha parênteses, igual Do traço abaixo de 4 sextos mais 3 sextos , da quarta linha, parte uma seta apontando para sete sexto da quinta linha. Quinta linha: igual, menos um oitavo, menos um quarto vezes sete sextos. Do traço abaixo de menos um quarto vezes sete sextos , da quinta linha, parte uma seta que aponta para sete ,24 avos da sexta linha. Sexta linha: igual, menos um oitavo, menos 7, 24 avos igual menos 3 , 24 avos, igual menos 10, 24 avos, igual menos 5 ,12 avos.Ilustração. Mulher de cabelo curto e camiseta amarela. Ela fala: Primeiro, calculamos a potência com expoente negativo e reduzimos ao mesmo denominador a expressão entre parênteses. Depois fala: Calculamos a potência e resolvemos a expressão entre parênteses. Ilustração. Mulher de cabelo curto e camiseta amarela. Ela diz: Então, eliminamos os parênteses. Reduzimos ao mesmo denominador a expressão entre colchetes e resolvemos essa expressão. Depois, efetuamos a multiplicação. Reduzimos as frações ao mesmo denominador, efetuamos a subtração e simplificamos.

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Ilustração. Homem de cabelo preto, óculos e camisa vermelha, fala: Expressamos as potências de expoente fracionário como raízes: abre parênteses 0,36 fecha parênteses elevado a um meio igual raiz quadrada da fração 36 centésimos igual raiz quadrada de abre parênteses fração 6 décimos, fecha parênteses elevado a 2 e abre parênteses 2.744 , 729 avos fecha parênteses elevado a um terço igual raiz cúbica de abre parênteses 2.744, 729 avos, igual, raiz quadrada de abre parênteses 14 nonos, fecha parênteses elevado a 3. Calculamos a raiz quadrada de abre parênteses fração 6 décimos fecha parênteses elevado a 2 e calculamos a raiz cúbica de abre parênteses 14 nonos, fecha parênteses elevado a 3. Depois, efetuamos a divisão. Efetuamos as multiplicações. Reduzimos as frações ao mesmo denominador e efetuamos a adição.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

53 Considere as expressões.

A = [\frac{1}{2} ‒ {(1 + \frac{1}{2})}^{2}] \cdot (2 ‒ \frac{2}{3})

B = \frac{5}{7} : [2 ‒ (\frac{2}{3} + 3)]

Determine o produto A ⋅ B. O que se pode concluir sobre os valores de a e de B?

Note que as seguintes igualdades são verdadeiras e têm uma regularidade.

\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Observando a sequência dessas igualdades, determine mentalmente o valor da expressão a seguir. Verifique, em seguida, se seu resultado está correto, efetuando os cálculos no caderno.

\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}

55 Escreva, na fórma decimal, o número que representa o valor da expressão:

{(‒ 1 + \frac{1}{5})}^{2} : {(0, 4 ‒ \frac{1}{5})}^{2} ‒ 0, 7 \cdot \sqrt{\frac{36}{49}}

56 (UPF-Rio Grande do Sul) O valor da expressão

[{(‒ \frac{1}{2})}^{4} : {(‒ \frac{1}{2})}^{3}] \cdot {(‒ \frac{1}{2})}^{6} + 2^{‒ 7}

é:

a) ‒2.

b) ‒1.

c) 0.

\frac{1}{2}

57 (unifór-Ceará) Qual é o valor de x?

x = \frac{1}{2} ‒ 0, 8 + \frac{3}{4} ‒ \sqrt{\frac{1}{4}}

\frac{19}{20}

‒ \frac{1}{20}

‒ \frac{1}{10}

‒ \frac{19}{10}

Hora de criar – Em dupla, cada um cria uma expressão numérica que contenha adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada. Troquem de caderno e, depois de cada um calcular o valor da expressão elaborada pelo outro, destroquem para corrigi-las.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Reúna-se com um colega e respondam às questões a seguir.

a) A raiz cúbica de um número a é 4. Qual é a raiz sexta de a?

b) A raiz sexta de um número a é 3. Qual é a raiz quadrada de a?

Página 35

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Sendo x = (22)3, y = (23)2 e z = 23², calcule:

a) x ⋅ y ⋅ z na fórma de uma potência.

b) x : y

c) x : z

2 Em determinadas condições, uma célula divide-se em duas a cada 30 segundos. Partindo-se de uma única célula, quantas células existirão no vigésimo minuto? Escreva a resposta na fórma de potência.

3 (Vunéspi) O valor da expressão

4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} + {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}}

é:

\frac{3}{4} .

\frac{4}{3} .

\frac{1}{3} .

\frac{1}{4} .

e) 5.

4 (ú éfe ésse ême-Rio Grande do Sul) O valor da expressão

\frac{16^{\frac{3}{4}}}{8^{\frac{1}{3}}} : \frac{2^{4}}{8^{2}}

é igual a:

a) 2elevado a menos 1.

b) 20.

2^{\frac{1}{2}}

d) 24.

e) 26.

5 Sendo a = 50 menos 2elevado a menos 2, b =

{(1 ‒ \frac{1}{2})}^{‒ 1}

e c = 120 menos 3, calcule:

a) a^b

b) (b menos a)c

{(\frac{a b}{c})}^{c}

6 Escreva cada potência a seguir na fórma de fração.

a) (2,5)elevado a menos 2

b) (0,15)elevado a menos 3

c) (0,1)elevado a menos 4

d) (menos0,01)elevado a menos 2

7 Escreva as frações a seguir na fórma de potência com expoente inteiro negativo.

\frac{1}{10^{2}}

\frac{1}{16}

(‒ \frac{1}{25})

\frac{1}{125}

\frac{1}{15}

(‒ \frac{1}{100})

8 Escreva as informações a seguir em notação científica.

a) No dia 31 de julho de 2018, Marte esteve a 57,8 milhões de quilômetros da Terra.

b) As últimas projeções das Nações Unidas indicam que a população mundial deve chegar a 8,5 bilhões em 2030 e a 9,7 bilhões em 2050.

9 Reduza a uma só potência.

{[{(‒ \frac{1}{2})}^{2}]}^{‒ 3} : [(‒ \frac{1}{2}) \cdot {(‒ \frac{1}{2})}^{5} \cdot {(‒ \frac{1}{2})}^{‒ 3}]

10 O valor da expressão (3elevado a menos 1 ⋅ 3) menos (5elevado a menos 1 dividido por 5) é um número racional:

a) maior que menos1 e menor que 0.

b) maior que 0 e menor que 1.

c) menor que 0.

d) maior que 1.

11 Sabendo que

x = {(\frac{1}{3})}^{5} \cdot {(\frac{1}{3})}^{‒ 3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{8} : {(\frac{1}{3})}^{9}

calcule o valor de x 3.

12 Resolva as expressões e apresente os resultados em notação científica.

\frac{3, 6 \cdot 10^{4}}{10^{‒ 2} \cdot 1, 2}

\frac{2, 1 \cdot 10^{‒ 2}}{10^{‒ 3} \cdot 0, 7}

13 A massa de um átomo de carbono é de aproximadamente 1,99 ⋅ 10 elevado a menos 26 quilograma. Expresse esse valor em grama e usando notação científica.

Ilustração. Duas linhas com três símbolos cada. Primeira linha: BORO, B. CARBONO, C. NITROGÊNIO, N. Segunda linha: ALUMÍNIO, Al. SILÍCIO, Si. FÓSFORO, P. Acima das colunas, 3A, 4A, 5A.

14 Calcule o valor da expressão a seguir.

\sqrt{\frac{81}{4}} ‒ \sqrt{400} + \sqrt{2, 25}

15 (Vunéspi) Se x = 10elevado a menos 3, então

\frac{(0, 1) \cdot (0, 001) \cdot 10^{‒ 1}}{10 \cdot (0, 0001)}

é igual a:

a) 100x.

b) 10x.

c) x.

\frac{x}{10} .

\frac{x}{100} .

16 (éfe cê cê) A expressão

\frac{0, 000036}{80000}

é equivalente a:

a) 0,45 ⋅ 10 elevado a menos 12.

b) 4,5 ⋅ 10 elevado a menos 12.

c) 4,5 ⋅ 10 elevado a menos 11.

d) 45 ⋅ 10 elevado a menos 11.

e) 45 ⋅ 10 elevado a menos 10.

17 A letra a representa o número racional 0,04. Determine os valores de

\sqrt{a},

5 \sqrt{a}

2 a \sqrt{a}

Página 36

VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Apesar de não ser a opção mais segura, é possível criar a senha de desbloqueio de celular de 4 dígitos com um ou mais algarismos repetidos. Nesse caso, quantas são as possibilidades de senhas?

a) 49

b) 94

c) 410

d) 104

2 Indique a alternativa que contém o valor da expressão a seguir.

\frac{2^{5} \cdot 3^{5} \cdot 4 \cdot 7^{2}}{8 \cdot 27 \cdot 49}

a) 22 ⋅ 3

b) 24 ⋅ 32

c) 27 ⋅ 35 ⋅ 72

d) 23 ⋅ 33 ⋅ 72

3 Se x = (0,5)3 e y =

{(\frac{1}{4})}^{‒ 2}

, quanto vale z = (x ⋅ y)2?

a) 1

b) 2

c) 4

d) 64

4 Escreva o número .3125 como uma potência de base

\frac{1}{5}

{(\frac{1}{5})}^{‒ 5}

{(\frac{1}{5})}^{5}

{(\frac{1}{5})}^{‒ 4}

{(\frac{1}{5})}^{4}

5 Uma folha de papel sulfite tem espessura medindo 0,0001 métro. Escreva essa medida em notação científica.

a) 1 ⋅ 10 ‒3 métro

b) 10 ⋅ 10 ‒3 métro

c) 1 ⋅ 10 ‒ 4 métro

d) 10 ⋅ 10 ‒ 4 métro

6 Maria é marceneira e, para fazer um móvel, ela cortou um pedaço de madeira em formato quadrado com área medindo

\frac{121}{144}

métros quadrados. Qual é a medida do comprimento dos lados desse pedaço de madeira?

\frac{11}{12}

métro

\frac{12}{11}

métros

c) 1 métro

d) 11 métros

7 Calcule o valor da expressão a seguir e indique a alternativa que apresenta o resultado correto.

\sqrt[5]{245 ‒ \sqrt[3]{6 + \sqrt{4}}}

a) 2

b) 3

c) 5

d) 9

8 Das potências a seguir, qual é equivalente a

\sqrt[12]{18^{3}}

12^{\frac{1}{3}}

18^{\frac{1}{3}}

18^{\frac{1}{4}}

d) 184

9 Qual é o resultado da expressão numérica a seguir?

\sqrt[3]{9 \cdot 3} ‒ [\frac{175}{25} + \frac{2^{5}}{2^{4}} \cdot {(0, 25)}^{‒ \frac{1}{2}}]

a) 14

b) ‒2

c) ‒5

d) ‒8

10 Indique a alternativa que contém o resultado da expressão numérica a seguir.

\frac{3^{2}}{3}

‒

\frac{1}{4}

\cdot

[\sqrt{\frac{9}{36}} ‒ (‒ 8 + \frac{1}{2})]

a) 1

\frac{9}{4}

c) 5

\frac{11}{4}

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões.

a) Quais são os elementos que compõem a expressão de uma potência?

b) Ao dividirmos duas potências de mesma base, como obtemos os expoentes? E ao multiplicarmos duas potências de mesma base?

c) Qual é a potência equivalente a uma dada potência de expoente negativo?

d) Como obtemos a raiz equivalente a uma dada potência de expoente fracionário?

e) Quais são os elementos que compõem a expressão de uma raiz?

f) Como você explicaria a um colega o que é notação científica?

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DIVERSIFICANDO

Um truque de mágica?

Em um espetáculo, o grande mágico Rafael deixou para o final a mágica dos números. O truque consistia em mostrar que 4 é igual a 6. Acompanhe como o mágico fez os cálculos nesse truque, criando a ilusão de que 4 = 6.

Ilustração. Homem de cabelo curto, camisa, gravata e terno preto com faixa vermelha na cintura. Ele usa luvas brancas e segura uma varinha próxima a uma lousa com a informação: menos 24 = menos 24. 16 menos 40 = 36 menos 60. 4 vezes 4 menos 2 vezes 4 vezes 5 = 6 vezes 6 menos 2 vezes 6 vezes 5. 4 elevado ao quadrado menos 2 vezes 4 vezes 5 + 5 elevado ao quadrado = 6 elevado ao quadrado menos 2 vezes 6 vezes 5 + 5 elevado ao quadrado. Fração, numerador abre parênteses 4 menos 5 fecha parênteses elevado ao quadrado, denominador raiz quadrada de abre parênteses 4 menos 5 fecha parênteses elevado ao quadrado = fração, numerador abre parênteses 6 menos 5 fecha parênteses elevado ao quadrado, denominador raiz quadrada abre parênteses 6 menos 5 fecha parênteses elevado ao quadrado. 4 menos 5 = 6 menos 5. 4 = 6.

O que é maior?

Ao arrumar o quarto, Tiago encontrou o caderno de Matemática de seu irmão. Lá, havia um exercício que não estava resolvido. Observe o exercício e a resolução de Tiago a seguir.

(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Formem grupos de 3 a 4 colegas, discutam os cálculos feitos pelo mágico Rafael e expliquem cada passagem que foi realizada na conta feita por ele.

2 Qual foi o êrro cometido no cálculo?

3 Usando o mesmo raciocínio de Tiago, indique o que é maior.

\sqrt[3]{3} ou \sqrt[4]{4}

\sqrt[4]{4} ou \sqrt{2}