Página 91

CAPÍTULO 4 Cálculo algébrico

Fotografia. Grande nuvem de explosão nuclear com bomba de hidrogênio em uma ilha. Ao fundo, céu azul. — Imagem de uma das maiores explosões nucleares com bomba de hidrogênio, realizada nas Ilhas márchal, que destruiu completamente a ilha Elugelab. (Fotografia de 1952.)

Observe a imagem e responda às questões no caderno.

a) Na equação ê = mc2, a medida de massa pode assumir valores negativos? Justifique sua resposta.

b) Quantos valores ê, m e c podem assumir?

A equação E = mc2 (energia de um sistema é igual à medida de massa multiplicada pelo quadrado da velocidade da luz no vácuo) sintetiza parte da teoria da relatividade de ainstain, considerada um divisor de águasglossário entre a Física clássica e a Física moderna. Ela sugere que é possível transformar matéria em energia, e vice-versa. Em explosões nucleares, ocorre a transformação de matéria em energia.

O cálculo algébrico é a estrada pela qual transitam ideias fundamentais do conhecimento humano.

Página 92

1. Incógnita e variável

Clique no play e acompanhe a reprodução do Áudio.

Transcrição do áudio

Por que x?

Duração: 4:01min. Página: 92.

>> [Locutora] Por que x?

>> [Luciana] Oi, tudo bem? Eu sou a professora Luciana Moura e vou contar para vocês a origem das palavras “álgebra” e “algarismo”. Ambas têm origem em uma cultura muito antiga, que contribuiu muito para o desenvolvimento da humanidade: a cultura árabe.

>> [Luciana] Os árabes se dedicaram ao estudo de antigos textos de diversas origens – hindu, grega, romana, mesopotâmica... –, traduzindo, aprimorando e propagando esses conhecimentos pela Europa.

>> [Luciana] A palavra “álgebra” tem sua origem na tradução do termo al-jabr, presente no título do livro Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala, escrito por um dos mais importantes matemáticos do século IX, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi. E não é por acaso que o sobrenome al-Khwarizmi lembra a palavra [tom enfático] “algarismo”! Esse pensador árabe produziu notáveis trabalhos sobre Matemática e Astronomia.

>> [Luciana] O livro em questão tratava de problemas de restauração e redução em situações que envolviam álgebra, geometria e partilhas de heranças. Para explicar o que significa restauração e redução, vamos pensar no seguinte problema: 2 coisas, isto é, 2 quantidades desconhecidas adicionadas a 5 têm resultado igual a 9.

>> [Luciana] Primeiro, considere “coisas” como [tom enfático] números. Agora, vamos supor que essas quantidades desconhecidas sejam números naturais. Em seguida, utilizando a operação inversa da adição, vamos subtrair 5 unidades dos 2 membros da igualdade para garantir o balanceamento da equação. Com isso, obtemos uma sentença reduzida e equivalente à anterior: “duas quantidades desconhecidas cuja soma é igual a 4”.

>> [Luciana] Agora, vamos pensar em todas as possibilidades que satisfazem a essa igualdade. Se um dos valores desconhecidos for 1, o outro valor será 3, para que a soma seja igual a 4; e se um dos valores for 2, o outro também será 2.

>> [Luciana] Repare que, se voltarmos à primeira sentença, “a soma de 2 quantidades desconhecidas a 5 resulta em 9”, podemos dizer que uma das quantidades vale 1 e a outra vale 3; ou que ambas são iguais a 2.

>> [Luciana] Alguns séculos mais tarde, começaram a ser utilizadas letras para representar as quantidades desconhecidas dos problemas, ou seja, suas incógnitas.

>> [Luciana] A letra x é usualmente a mais empregada para representar incógnitas. Uma das possíveis explicações para isso vem da letra árabe sheen, componente do termo al-shalan, “coisa desconhecida” em árabe. Essa letra, muito presente nos textos matemáticos árabes, inclusive os escritos por al-Khwarizmi, tem o som de SH e, ao ser traduzida para o espanhol, seu som foi substituído pelo som da letra grega chi, que, por sua vez, tem a grafia muito semelhante ao xis maiúsculo do alfabeto latino.

>> [Luciana] [Tom enfático] Interessante, não é? Espero que vocês tenham gostado. Até a próxima!

Créditos

Studio Spectrum

Em anos anteriores, você estudou um ramo da Matemática que trabalha com grandezas cujos valores variam, de modo proporcional ou não, ou que são desconhecidos e, por isso, são representados por símbolos ‒ em geral, por letras. Essa parte da Matemática é chamada de Álgebra.

Ao prescrever determinados remédios, é comum que os pediatras recorram à Matemática, principalmente à Álgebra.

Fotografia. Médica pediatra de cabelo preto, jaleco branco e estetoscópio no pescoço está com as mãos no pescoço de uma menina de cabelo preto e camiseta azul sentada em uma maca. — Pediatra atendendo uma paciente.

Para calcular a dose que devem administrar a uma criança, com base na dose indicada a adultos, os pediatras aplicam a chamada fórmula de iãng:

d o s e infantil = \frac{i d a d e d a c r i a n ç a (e m a n o) \cdot d o s e p a r a a d u l t o}{i d a d e d a c r i a n ç a (e m a n o) + 12 a n o s}

Por exemplo, para uma criança de 8 anos de idade, um médico calcula a dose infantil ( x ) de um medicamento, cuja dose para adultos é 250 miligramas, resolvendo a equação:

x = \frac{8 \cdot 250}{8 + 12}

No estudo das equações, representamos o termo desconhecido por uma letra chamada de incógnita.

Na equação

x = \frac{8 \cdot 250}{8 + 12}

, a incógnita é a letra x; efetuando os cálculos, obtemos seu valor, que é 100. Isso significa que a dose de medicamento a ser administrada à criança é 100 miligramas.

Acompanhe agora outra situação.

Márcio e seus filhos foram a um pesqueiro, onde são cobrados R$ 8,00oito reais de entrada e R$ 10,00dez reais por quilograma de peixe pescado. Dessa maneira, se Márcio pescar:

• 1 quilograma, deverá pagar, em real:

8,00 + 10,00 = 18,00;

• 1,5 quilograma, deverá pagar, em real:

8,00 + 10,00 ⋅ 1,50 = 8,00 + 15,00 = 23,00;

• 2 quilogramas, deverá pagar, em real:

8,00 + 10,00 ⋅ 2 = 8,00 + 20,00 = 28,00, e assim por diante.

Não sabemos quanto Márcio vai pescar, mas podemos determinar o valor que ele deve pagar por n quilogramas de peixe pescado: 8,00 + 10,00 ⋅ n.

Nesse caso, a letra n pode assumir o valor 3, ou 3,2, ou 12,5, ou qualquer outro valor não negativo. Por isso, essa letra é chamada de variável.

O uso de letras para representar grandezas de valores variáveis ou desconhecidos dá origem a uma linguagem com expressões próprias da Matemática, a linguagem algébrica. Nesse campo, estudamos generalizações de conceitos e de operações da Aritmética.

Página 93

2. Expressões algébricas

Neste capítulo, ampliaremos nosso estudo a respeito de expressões algébricas.

Expressão algébrica é aquela que tem apenas letras, ou números e letras.

Analise os seguintes exemplos:

Ilustração. Retângulo com o comprimento a e largura b.

a) A expressão algébrica que representa a medida da área do retângulo apresentado é ab.

b) A expressão algébrica que representa a medida do perímetro desse retângulo é 2a + 2b.

O uso de letras para representar números facilita a tradução de sentenças da linguagem verbal escrita para a linguagem algébrica.

Acompanhe alguns exemplos.

a) O oposto do dôbro de um número x adicionado a um número y

‒2x + y

b) A diferença entre a terça parte de um número x e o oposto de 5

\frac{x}{3} - (‒ 5)

c) O inverso do dôbro de um número x não nulo

\frac{1}{2 x}, c o m x \neq 0

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Orlando, dono de uma quitanda, colocou 5 maçãs em um dos pratos de uma balança e nivelou-a colocando no outro prato um bloco de massa medindo 500 gramas e dois blocos de massa medindo 200 gramas cada um.

Ilustração. Balança de dois pratos. No prato à esquerda, cinco maçãs. No prato à direita, dois pesos de 200 gramas e um peso de 500 gramas. A balança está equilibrada.

Indicando a massa média de cada maçã por x, represente no caderno essa situação por meio de uma equação.

2 Represente no caderno, usando símbolos:

a) a diferença entre o número x e o número y;

b) a soma do número m com o triplo do número n;

c) o quociente do número a pelo número b (com b ≠ 0);

d) a ordem das parcelas da adição de a e b não altera a soma;

e) a diferença entre os quadrados dos números c e d;

f) o quadrado da diferença dos números c e d;

g) o cubo do número y.

3 O número 574, decomposto em centenas, dezenas e unidades, pode ser escrito da seguinte maneira:

5 ⋅ 102 + 7 ⋅ 10 + 4

Agora, considere um número qualquer de quatro algarismos ( a b c d ).

a) Determine a ordem de cada algarismo desse número.

b) Decomponha o número a b c d de acôrdo com a ordem de seus algarismos.

4 Em uma divisão com números naturais, o divisor é x, o quociente é y e o resto é o maior possível. Qual é a expressão do dividendo?

Página 94

Valor numérico de uma expressão algébrica

Vamos recordar o cálculo do valor numérico de uma expressão algébrica. Para isso, considere a situação a seguir.

Ilustração. Vista do alto de loja de brinquedos com patinetes, skates e prateleira com brinquedos.

Em uma loja de brinquedos, encontram-se x patinetes e y skates. A expressão que representa o número total de rodas é 2x + 4y.

Se houver 12 patinetes e 15 skates, o número total de rodas será:

2 ⋅ (12) + 4 ⋅ (15) = 24 + 60 = 84

Então, dizemos que o valor numérico da expressão algébrica 2x + 4y para x = 12 e y =15 é 84.

Acompanhe outra situação.

Ilustração. Retângulo verde com medida 2 centímetros por x. Dentro, retângulo azul medindo 3 centímetros por y. Um vértice do retângulo azul coincide com um vértice do retângulo verde no canto superior direito. — Figura 1

Vamos calcular a medida da área da região pintada de verde da figura 1, considerando x = 5 centímetros e y = 1 centímetro.

Para calcular a medida da área pedida, basta obter o valor numérico da expressão 2x ‒ 3y para x = 5 e y = 1.

Sentença matemática. Primeira linha: 2x menos 3y igual. Segunda linha: igual, 2 vezes, abre parênteses, 5, fecha parênteses, menos 3 vezes, abre parênteses, 1, fecha parênteses, igual. Terceira linha: igual 10 menos 3, igual, 7. Do lado direito da segunda linha, flecha para esquerda dizendo: Substituímos x por 5 e y por 1. Do lado direito da terceira linha, Flecha para esquerda dizendo: Efetuamos as operações indicadas.

Então, dizemos que 7, que é o valor numérico da expressão algébrica 2x ‒ 3y para x = 5 e y = 1, é a medida da área da região da figura pintada de verde, em centímetro quadrado.

O valor numérico de uma expressão algébrica é o número que se obtém ao substituir as variáveis por números e efetuar as operações indicadas.

Analise outros exemplos.

a) Vamos calcular o valor numérico da expressão a2 ‒ b2 para

a = \frac{1}{2}

b = \frac{2}{3}

a^{2} ‒ b^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} ‒ {(\frac{2}{3})}^{2}

\frac{1^{2}}{2^{2}} ‒ \frac{2^{2}}{3^{2}} = \frac{1}{4} ‒ \frac{4}{9}

\frac{9 ‒ 16}{36} = ‒ \frac{7}{36}

Portanto, o valor numérico da expressão algébrica a2 ‒ b2 para

a = \frac{1}{2}

b = \frac{2}{3}

‒ \frac{7}{36}

b) Vamos calcular o valor numérico da expressão

\frac{3 x^{2} ‒ 5 x}{x + 3}

para x = 4.

\frac{3 x^{2} ‒ 5 x}{x + 3} = \frac{3 \cdot {(4)}^{2} ‒ 5 \cdot (4)}{4 + 3}

\frac{3 \cdot 16 ‒ 20}{7}

\frac{48 ‒ 20}{7} = \frac{28}{7} = 4

Portanto, o valor numérico da expressão algébrica

\frac{3 x^{2} ‒ 5 x}{x + 3}

para x = 4 é 4.

Página 95

Ilustração. Homem de cabelo preto e camisa laranja diz: Uma expressão que apresenta letra no denominador não tem valor numérico quando os valores atribuídos às variáveis anulam o denominador. Vamos examinar um exemplo.

Considerando que 300 estudantes são distribuídos em grupos e sabendo que há x estudantes em cada grupo, o número de grupos formados é dado por

\frac{300}{x}

. Se cada grupo tiver dois estudantes a menos, então o número de grupos será representado por

\frac{300}{x ‒ 2}

Nessa situação, x representa um número natural não nulo no primeiro caso (não há grupo com 0 estudante) e, no segundo caso, x representa um número natural maior que 2. Além disso, observe que:

• para x = 0, a expressão

\frac{300}{x}

não tem valor numérico definido;

• para x = 2, a expressão

\frac{300}{x ‒ 2}

não tem valor numérico definido.

Note que obtemos o valor da variável para o qual a expressão não tem valor numérico igualando o denominador a 0 e resolvendo a equação encontrada.

Analise outros exemplos.

a) Para que valor de x a expressão

\frac{3 x ‒ 1}{2 x ‒ 5}

não tem valor numérico definido? Essa expressão não tem valor numérico definido quando o denominador é igual a zero, ou seja, quando 2x ‒ 5 = 0. Resolvendo essa equação, obtemos

x = \frac{5}{2}

. Logo, a expressão

\frac{3 x ‒ 1}{2 x ‒ 5}

não tem valor numérico definido para

x = \frac{5}{2}

b) Que relação deve existir entre x e y para que a expressão

\frac{3 x + 2 y}{x ‒ 2 y}

não tenha valor numérico definido? A expressão não terá valor numérico definido quando o denominador for igual a zero; nesse caso, quando x ‒ 2y = 0. Assim, x = 2y.

Portanto, a relação procurada é x = 2y.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

5 Aplique a fórmula de iãng, descrita no início deste capítulo, para calcular no caderno a dose para uma criança de 6 anos, medida em miligrama, de um remédio cuja dose indicada para adulto é:

a) 150 miligramas;

b) 210 miligramas;

c) 300 miligramas.

6 Com base nos resultados do exercício anterior, é possível concluir que a dose de um remédio para uma criança de 6 anos é a quarta parte da dose desse remédio indicada para um adulto? Por quê?

Página 96

7 Considere a figura a seguir. Ela é formada por quadrados idênticos.

Ilustração. Retângulo vertical dividido em 5 linhas e duas colunas, formando 10 quadrados. A medida do lado de cada quadrado é a.

Agora, no caderno, faça o que se pede.

a) Determine a expressão que representa a medida do perímetro dessa figura.

b) Calcule o valor numérico da expressão da medida do perímetro para a = 3,6.

c) Encontre a expressão que representa a medida da área dessa figura.

d) Determine o valor numérico da expressão da medida da área para a = 5.

8 Calcule no caderno o valor numérico das expressões:

a) 2a + 3b, para

a = \frac{5}{2}

b = \frac{2}{3}

;

b) x 2 + 2x, para x = ‒5;

\frac{x + y}{x ‒ y}

, para x = 4 e y = 2;

- \frac{2 b + \sqrt{b^{2} ‒ 4 a c}}{2 a}

, para a = 2, b = ‒10 e c = 12.

9 Se 0 é o valor numérico da expressão x2 ‒ y, dê exemplos de valores inteiros que x e y podem assumir.

10 Para que valores de a as expressões a seguir não têm valor numérico?

\frac{a ‒ 4}{a + 5}

\frac{a + 3 b}{2 a ‒ 4}

11 Que relação deve existir entre a e b para que as expressões a seguir não tenham valor numérico?

\frac{a ‒ 1}{a ‒ b}

\frac{3 x}{2 a + 3 b}

12 Considere a, B e C números naturais e a equação:

A = B · C

a) Para A = 1, que valores B e C devem assumir para que a equação seja verdadeira?

b) Para A = 0, que valores B e C devem assumir para que a equação seja verdadeira?

13 José faz pequenos fretes urbanos com seu caminhão, cobrando uma taxa inicial de R$ 50,00cinquenta reais e mais R$ 6,00seis reais por quilômetro rodado.

a) Indicando por x o número de quilômetros rodados, qual é a expressão que representa o preço cobrado por José?

b) Quanto ele cobra por um frete de 6 quilômetros?

14 Um relógio registra o consumo de energia elétrica de uma residência em quilouát-hora (cá dáblio agá). Nas lâmpadas e nos aparelhos elétricos, aparece indicada, entre outras coisas, a quantidade de energia elétrica consumida em cada unidade de tempo, chamada de potência e expressa em watt (dáblio).

Ilustração. Lâmpada escrito nela: 100 watts, 127 volts. Ao lado, 1 quilowatt igual 1000 watt.

Para calcular o consumo mensal de energia elétrica ∁ (em quilowatts-hora), pode-se aplicar a fórmula em que ∁ é o consumo de energia, p é a potência do aparelho, h é o tempo de uso por dia (em hora) e d é o número de dias de uso por mês:

∁ = \frac{p \cdot h \cdot d}{1000}

Aplicando essa fórmula, calcule o consumo de energia elétrica, relativo a 30 dias, de:

a) uma lâmpada de 100 uáts que fica acesa durante 3 horas por dia;

b) um chuveiro de .4000 uáts que é utilizado durante uma hora por dia.

Reunindo-se com um colega, retomem a situação das patinetes e dos skates da página 94 e respondam à questão a seguir.

• É possível que o valor numérico da expressão algébrica que representa o número total de rodas seja um número ímpar? Por quê?

Página 97

Ainda reunido com o colega, façam o que se pede.

Dada a expressão

\frac{3 x^{2} ‒ 12}{(x + 2) \cdot (x ‒ 2)}

a) calculem o valor numérico para x = 6, x = ‒4, x =

\frac{2}{3}

e x =

‒ \frac{3}{2}

;

b) calculem os valores de x para os quais não existe o valor numérico da expressão;

c) cada um escolhe um número para x, diferente da resposta do item b, para que o outro calcule o valor numérico da expressão, depois corrija o cálculo feito pelo colega;

d) se forem escolhidos outros números para x, o valor numérico da expressão continua o mesmo?

Hora de criar ‒ Com um colega, elaborem um problema cada um sobre expressão algébrica ou valor numérico de expressão algébrica. Troque seu problema com o do colega e, depois de cada um resolver o problema do outro, destroquem para corrigi-los.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Reúna-se com um colega e respondam às questões a seguir.

Com uma calculadora, resolvam as expressões:

Ilustração. 4 quadros com expressões.
Primeiro quadro: 9 vezes 1 mais 2.
Segundo quadro: 9 vezes 12 mais 3.
Terceiro quadro: 9 vezes 123 mais 4.
Quarto quadro: 9 vezes mil 234 mais 5.

b) Agora, sem a calculadora, resolvam a expressão: 9 ⋅ .12345 + 6, observando o padrão das expressões numéricas do item a.

c) Calculem o valor numérico da expressão 9x + y para x = .123456 e y = 7.

d) Escolham um número para x e outro para y para que se tenha 9x + y = ..11111111.

e) Os números escolhidos no item d são os únicos números possíveis?

3. Monômios

Considere as expressões algébricas: ‒2a,

\frac{x}{3}

, 3x 2 e ‒3y.

Observe que elas não apresentam operação de adição ou de subtração, que os expoentes das letras são números naturais (não têm letra em um radical) e que não há letra no denominador. Nessas condições, as expressões algébricas são chamadas de monômios.

Em um monômio, distinguimos o coeficiente (parte numérica) e a parte literal (parte com letras).

O quadro a seguir mostra os coeficientes e as partes literais de alguns monômios.

Monômio	Coeficiente	Parte literal
5x 3y 2	5	x 3y2
$menos 2 sétimos$ ab3m	$menos 2 sétimos$	ab3m
$raiz quadrada de 2$	$raiz quadrada de 2, fim da raiz, vezes x$	x
ab5	1	ab5

Observações

▶ Todo número não nulo é um monômio sem parte literal. Exemplos: 5; ‒10;

\frac{5}{6}

; 0,51;

\sqrt{3}

▶ O número 0 é chamado de monômio nulo.

▶ Costuma-se omitir os coeficientes 1 e ‒1 dos monômios. Exemplos: 1z = z; ‒1a2c = ‒a2c

Página 98

Monômios semelhantes

Considere os polígonos a seguir.

Ilustração. Triângulo de lados iguais com medida a em cada lado. Ilustração. Quadrado de lados iguais com medida a em cada lado. Ilustração. Pentágono de lados iguais com medida a em cada lado. Ilustração. Hexágono de lados iguais com medida a em cada lado.

A medida do perímetro desses polígonos pode ser indicada por monômios. Observe:

Polígono	Triângulo	Quadrado	Pentágono	Hexágono
Medida do perímetro	3a	4a	5a	6a

Note que os monômios 3a, 4a, 5a e 6a têm a mesma parte literal (a).

Então, dizemos que eles são monômios semelhantes ou termos semelhantes.

Termos semelhantes ou monômios semelhantes são aqueles que têm a mesma parte literal. Monômios que não têm parte literal são semelhantes entre si.

Acompanhe outros exemplos.

a) Os monômios 9a2x e ‒2a2x têm a mesma parte literal (a2x). Portanto, são termos semelhantes.

b) Os monômios

‒ \frac{1}{4} y

, 0,5y e ‒3y têm a mesma parte literal (y). Logo, são termos semelhantes.

c) Os monômios 12a2c e 12ac2 não têm a mesma parte literal (a2c ≠ ac2). Portanto, não são termos semelhantes.

d) 3 e

\sqrt{2}

são dois números não nulos e, portanto, são monômios semelhantes, apesar de não terem parte literal.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

18 Explique por que as expressões a seguir não são monômios.

a) 2x + 5

2 \frac{a}{b}

4 \sqrt{5 x}

19 Dê o coeficiente de cada monômio.

a) ‒2xy

\frac{3}{5} a

c) x

d) ‒y

\frac{x y^{2}}{5}

‒ \frac{a}{3}

20 João coleciona selos. Indicando por x a quantidade de selos de João, represente com um monômio a quantidade de selos de cada colecionador a seguir.

a) Glaucia tem a metade da quantidade de selos de João.

b) Ricardo tem o dôbro da quantidade de selos de João.

c) Gabriel tem

\frac{2}{3}

da quantidade de selos de João.

Página 99

21 Um pintor cobra R$ 30,00trinta reais por metro quadrado de parede pintada. Francisco quer calcular quanto vai gastar para pintar as paredes da casa onde ele mora. Para isso, decidiu usar um monômio e indicou a medida da área das paredes por y (em metro quadrado). Que monômio Francisco usou para fazer esse registro?

22 Observe a figura.

Ilustração. Retângulo A B C D dividido em 5 linhas e 7 colunas, formando 35 quadrados.

Indicando por x a medida do lado de cada quadradinho que forma essa figura, determine:

a) o monômio que representa a medida do perímetro do retângulo a bê cê dê;

b) o valor numérico da medida desse perímetro para x = 1,2;

c) o monômio que representa a medida da área desse retângulo;

d) o valor numérico da medida dessa área para x = 4,5.

23 Entre as alternativas a seguir, quais apresentam monômios semelhantes?

a) 4x e ‒7x

b) 5ab, 3ab e 2ab

\frac{a}{3}

e 5a

d) 2a e 2b

e) 8a2 e ‒5a

f) ‒6, ‒2 e 10,4

g) 7x2y e 9xy2

h) 12xy e ‒21yx

24 Considere o quadrado e sua região interna.

Ilustração. Quadrado azul com medida 3x cada lado.

a) Escreva um monômio que represente a medida do perímetro e outro que represente a medida da área desse quadrado.

b) Esses monômios são semelhantes? Justifique sua resposta.

Hora de criar ‒ Com um colega, elaborem um problema cada um em que as quantidades sejam representadas com monômios e as soluções dos problemas sejam os valores numéricos dos monômios. Troque seu problema com o do colega e, depois de cada um resolver o problema do outro, destroquem para corrigi-los.

PARA SABER MAIS

Cálculo algébrico e dízima periódica

Já sabemos que podemos escrever qualquer fração na fórma decimal. Por exemplo:

\frac{5}{4}

= 1,25, pois 5 : 4 = 1,25

\frac{4}{50}

= 0,08, pois 4 : 50 = 0,08

\frac{17}{1 000}

= 0,017, pois 17 : .1000 = 0,017

\frac{962}{100}

= 9,62, pois 962 : 100 = 9,62

Também podemos escrever números decimais como frações:

• 8,3 =

\frac{83}{10}

• 20,14 =

\frac{2 014}{100}

• 4,012 =

\frac{4 012}{1 000}

• ‒0,0068 = ‒

\frac{68}{10 000}

Basta contar a quantidade de casas decimais e o denominador será o número 1 seguido dessa quantidade de zeros.

E quando o número decimal for uma dízima periódica, por exemplo, 0,3333reticências?

Para contar a quantidade de casas após a vírgula, vamos recorrer ao notável matemático alemão David Hilbert (1862 a 1943). Conta-se que ele narrava uma história sobre um gerente de hotel onde havia infinitos quartos, todos ocupados. Desafiado a acomodar um novo hóspede, o gerente resolveu o problema transferindo cada hóspede antigo para o quarto de número imediatamente superior: o do quarto 1 foi para o quarto 2, o do quarto 2 foi para o quarto 3, o do 3 foi para o 4, e assim fez infinitamente (no infinito não há o último). No quarto 1, que ficou vago, ele acomodou o novo hóspede.

Representando 0,3333reticências por x, vamos calcular o valor de 10x.

Página 100

Se x = 0,3333reticências, então temos 10x = 10 ⋅ 0,3333reticências = 3,3333reticências

Considerando 0,3333reticências e 3,3333reticências e lembrando da história apresentada, notamos que é como se cada um dos infinitos 3 do primeiro número tivesse se transferido para a casa imediatamente à esquerda. Agora, vamos calcular o valor de (10x ‒ x).

10x ‒ x = 3,333reticências ‒ 0,3333reticências

(As infinitas casas após a vírgula são iguais, então elas se anulam.)

9x = 3,0000reticências ou

x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Podemos verificar

\frac{1}{3}

dividindo 1 por 3 com a calculadora, que dá 0,3333reticências

A fração

\frac{1}{3}

, que gera a dízima periódica, chama-se fração geratriz da dízima.

Para obter a fração geratriz da dízima 5,181818reticências de período 18, por exemplo, seguimos o procedimento apresentado a seguir.

Como o período tem duas casas, devemos transferir cada período 18 duas casas para a esquerda. Fazemos isso multiplicando x por 100, isto é, vamos calcular o valor de 100x.

Se x = 5,181818reticências, então 100x = 100 ⋅ 5,181818reticências = 518,181818reticências (o 1º período “saltou” para a esquerda da vírgula).

100x ‒ x = 518,181818reticências ‒ 5,181818reticências

(As infinitas casas após a vírgula são iguais, então se anulam.)

99x = 513,000000reticências ou

x = \frac{513}{99}

Com uma calculadora, verifique que

\frac{513}{99}

é a fração geratriz da dízima periódica 5,181818reticências

Agora é com você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Determine a fração geratriz das seguintes dízimas:

a) 0,7777reticências

b) 7,7777reticências

c) 0,525252reticências

d) 52,525252reticências

4. Operações com monômios

Ao trabalhar com números, você aprendeu a efetuar as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Agora, vamos realizar essas mesmas operações com expressões algébricas. Chamamos esse estudo de cálculo algébrico.

Adição algébrica de monômios

Na figura, a medida da área de cada quadradinho é x2. A medida da área da parte azul é 24x2, e a da parte cinza é 12x2.

Ilustração. Três linhas e oito colunas de quadradinhos azuis. Acima, duas linhas e 6 colunas de quadradinhos cinzas.

Ilustração. Mulher de cabelo curto e camiseta verde fala:
Note que, mesmo sem saber o valor de x ou de x ao quadrado, a soma das medidas das áreas dos 12 quadradinhos cinza com os 24 azuis, por serem iguais, é dada por 12 mais 24, ou seja, a área dessa figura mede 36 quadradinhos.

Página 101

A medida da área da figura é obtida pela contagem de todos os quadradinhos ou pela adição das medidas das áreas das duas partes, isto é, pela adição dos monômios 24x 2 e 12x 2.

24x 2 + 12x 2 = 36x 2

Assim, a área total da figura mede 36x 2.

Uma expressão em que aparecem apenas adições e subtrações de monômios é chamada de adição algébrica de monômios.

Acompanhe alguns exemplos.

a) (‒5ab) + (‒2ab) ‒ (‒3ab) = ‒5ab ‒ 2ab + 3ab = ‒4ab

(‒ \frac{3}{4} x^{3} y)

‒

(\frac{1}{3} x^{3} y)

‒ \frac{3}{4} x^{3} y

‒

\frac{1}{3} x^{3} y

\frac{‒ 9 x^{3} y ‒ 4 x^{3} y}{12}

\frac{‒ 13 x^{3} y}{12}

A adição algébrica de monômios semelhantes é obtida adicionando-se algebricamente os coeficientes e conservando-se a parte literal.

Esse processo de cálculo também é chamado de redução dos monômios (ou termos) semelhantes.

Observe alguns exemplos em que ocorre redução de monômios semelhantes.

Sentença matemática. Menos 2x ao quadrado vezes y mais 3x ao quadrado vezes y menos 5x ao quadrado vezes y, igual, menos 4x ao quadrado vezes y. Abaixo, abre parênteses, menos 2 mais 3 menos 5, igual, menos 4, fecha parênteses. Seta azul saindo dessa conta e apontando para menos 4x ao quadrado vezes y.

Sentença matemática. 5 meios vezes a vezes b ao quadrado menos 2 terços vezes a vezes b ao quadrado mais 1 quarto vezes a vezes b ao quadrado, igual, 25, 12 avos, vezes a vezes b ao quadrado. Abaixo, abre parênteses, 5 meios menos 2 terços mais 1 quarto, igual, 30 menos 8 mais 3, tudo sobre 2, igual 25 sobre 12, fecha parênteses. Seta azul saindo dessa conta e apontando para menos 25, 12 avos, vezes a vezes b ao quadrado.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

26 Determine a fração geratriz de:

a) 0,354354354reticências

b) 6,88888reticências

c) 7,878787reticências

27 Efetue os cálculos algébricos a seguir no caderno.

a) (‒10x) + (+6x)

b) (0,8x 2y) + (‒3,5x 2y)

(‒ \frac{2}{5} a b) + (‒ \frac{3}{10} a b)

d) (‒9ay) ‒ (‒3ay)

e) (

0, \overline{2} a^{3}

) ‒ (

‒ 0, \overline{5} a^{3}

)

28 Determine o monômio que representa a medida do segmento

\overline{A B}

Ilustração. Segmento AB. Entre eles, pontos C, D e E. Entre A e C, y. Entre C e D, 2y. Entre D e E, 2 terços vezes y. Entre E e B, 5 quartos vezes y.

29 Uma empresa de software lançou um novo programa no mercado. No primeiro mês, ela vendeu determinada quantidade desse novo programa. No segundo mês, foi vendido o dôbro do que se vendeu no primeiro mês. No terceiro mês, foi vendido o triplo do que se vendeu nos meses anteriores. Represente a quantidade de unidades vendidas nos três primeiros meses.

30 Represente a medida do segmento

\overline{M P}

, sabendo que a medida do segmento

\overline{M N}

é 6,5x.

Ilustração. Segmento M N. Entre eles, ponto P. Entre P e N, 2,3 x.

Página 102

31 Reduza os monômios semelhantes.

a) ‒ 4xy + 6xy ‒ 5xy

b) 5a 3 + 7a 3 ‒ 9a 3 + 3a 3

c) ‒3x ‒ 5x + 2x ‒ x + 4x

\frac{3}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{2} ‒ \frac{7}{6} x^{2}

m^{3} n^{2} + \frac{4}{5} m^{3} n^{2} ‒ \frac{5}{3} m^{3} n^{2} ‒ \frac{1}{9} m^{3} n^{2}

32 Durante um campeonato de basquetebol promovido em uma escola, o time do 8º ano ganhou x partidas, perdeu (x ‒ 2) partidas e empatou

\frac{x}{2}

partidas.

a) Determine a expressão algébrica que representa o número de partidas que esse time jogou. Essa expressão é um monômio? Por quê?

b) Sabendo que para cada vitória o time ganha 3 pontos, para cada empate ganha 1 ponto e nas derrotas o time não ganha nem perde pontos, qual é o total de pontos obtidos por esse time? O total de pontos é representado por um monômio?

Multiplicação e divisão de monômios

Vamos recordar as multiplicações de potências de bases iguais considerando dois exemplos.

a) 23 ⋅ 22 = 23 + 2 = 25

b) a ⋅ a2 ⋅ a4 = a1 + 2 + 4 = a7

Com base nesses exemplos, observe o cálculo dos produtos a seguir.

Sentença matemática. Primeira linha: abre parênteses, 3a ao quadrado, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, 5ab, fecha parênteses, igual. Segunda linha: igual, abre parênteses, 3 vezes 5, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a ao quadrado vezes ab, fecha parênteses, igual. Terceira linha: igual 15 vezes a elevado a 2 mais 1, fim do expoente, vezes b, igual, 15 vezes a ao cubo vezes b. Do lado direito da segunda linha, flecha para esquerda dizendo: Aplicamos as propriedades comutativa e associativa da multiplicação. Do lado direito da terceira linha, Flecha para esquerda dizendo: Efetuamos as operações.

b) (+4xy2) ⋅ (‒9a3x2y) = 4 ⋅ (‒9) ⋅ (x ⋅ y2 ⋅ a3 ⋅ x2 ⋅ y) = ‒36a3x3y3

O produto de dois monômios é obtido da seguinte maneira:

• primeiro, multiplicam-se os coeficientes;

• em seguida, multiplicam-se as partes literais.

Agora, vamos recordar as divisões de potências de bases iguais, considerando dois exemplos.

a) 27 : 22 = 27 ‒ 2 = 25

b) a 4 : a = a 4 ‒ 1 = a 3, com a ≠ 0.

Agora, com base nesses exemplos, observe o cálculo dos quocientes a seguir, considerando o monômio divisor diferente de zero.

mais 12 a à quarta b ao cubo. Dividido por menos 2 a b ao quadrado igual a menos 6 a ao cubo b. Setas relacionam: mais 12 dividido por menos 2 ao coeficiente numérico menos 6. a à quarta dividido por a igual a elevado, a 4 menos 1, ao coeficiente literal a ao cubo b ao cubo dividido por b ao quadrado igual a b elevado a, 3 menos 2, igual a b elevado a 1 igual a b ao coeficiente literal b

menos 3 x y à quarta. dividido por mais 3 x y, igual a menos 1 vezes 1 y ao cubo igual a menos y ao cubo. setas relacionam menos 3 dividido por mais 3 ao coeficiente numérico menos 1; x dividido por x igual a X elevado a, 1 menos 1. Igual x elevado a zero igual 1 a ao coeficiente numérico 1. y à quarta dividio por y igual a y elevado a, 4 menos 1, igual y ao cubo ao coeficiente literal y ao cubo.

O quociente de dois monômios é obtido da seguinte maneira:

• primeiro, dividem-se os coeficientes;

• em seguida, dividem-se as partes literais.

Página 103

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

33 Calcule no caderno os produtos a seguir.

a) (4a 2x 3) ⋅ (‒5ax 2)

b) (‒6xy) ⋅ (‒3y)

c) (0,5x) ⋅ (2,4x 2)

(‒ \frac{7}{11} a)

⋅ (+2ab) ⋅ (‒11a)

e) (‒2ax) ⋅

(\frac{3}{2} a x^{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2} a)

34 Calcule os quocientes a seguir, supondo que o monômio divisor seja diferente de zero.

a) (16x5) : (‒ 4x2)

b) (36xy 4) : (‒6xy)

c) (‒35a) : (+7a)

d) (+3ab2) :

(‒ \frac{10}{5})

(‒ \frac{4}{5} x^{5} y) : (+ \frac{4}{3} x^{2} y)

35 Multiplicando (5ax2 ‒ 2ax2 ‒ 7ax2) por

(\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x)

, obtemos um monômio. Efetue a multiplicação e calcule o valor numérico desse monômio para a = 2 e x = ‒2.

36 O quociente de

(\frac{3}{4} x^{3} y + \frac{2}{3} x^{3} y ‒ \frac{1}{6} x^{3} y)

por

\frac{3}{2} x

é um monômio. Qual é seu valor numérico se x = ‒3 e y = 6?

37 Considere as figuras e faça o que se pede.

Ilustração. Triângulo de lado com medida x. Reta vertical tracejada com medida y indicando sua altura.
Abaixo, retângulo com medida de comprimento 2 x e medida da altura igual a fração y sobre 2.

a) Sabendo que a medida da área de um triângulo é dada pelo semiproduto das medidas da altura e da base, determine o monômio que representa a soma das medidas das áreas das duas figuras.

b) Obtenha o valor numérico desse monômio para x = 0,5 e y = 1,2.

38 Marcelo separou uma parte retangular de um terreno para construir uma piscina retangular e, em volta dela, um gramado.

Ilustração. Retângulo verde com um retângulo azul no centro, representando uma piscina. A região visível do retângulo verde é tal que, acima e abaixo da piscina, temos: 2 quadrados verdes de lado a nas extremidades e 1 retângulo verde de lado a por 3a entre eles; à direita e à esquerda da piscina, temos: 2 quadrados verdes de lado a nas extremidades e 1 retângulo verde de lado 2a por a entre eles.

a) Determine a medida da área destinada à piscina.

b) Determine a medida da área destinada ao gramado.

c) Sendo a = 3,2 métros, calcule a quantidade de grama utilizada, em metro quadrado.

Potenciação de monômios

Vamos recordar duas propriedades da potenciação:

• (a 2)3 = a 2 ⋅ 3 = a 6

• (a 2 ⋅ b)3 = (a 2)3 ⋅ b 3 = a 6 ⋅ b 3

Os exemplos a seguir mostram como aplicar essas propriedades a monômios.

a) (‒2a 3x) 2 = (‒2)2 ⋅ (a 3)2 ⋅ x 2 = 4a6x 2

{(‒ \frac{2}{3} m^{2} x)}^{3} = {(‒ \frac{2}{3})}^{3} \cdot (m^{2})^{3} \cdot x^{3} = ‒ \frac{8}{27} m^{6} x^{3}

A potência de um monômio é obtida da seguinte maneira:

• eleva-se o coeficiente à potência indicada;

• em seguida, eleva-se a parte literal à potência indicada.

Observe outros exemplos.

a) (‒5a)2 = 25a 2

{(+ \frac{3}{5} x^{2} y)}^{3} = \frac{27}{125} x^{6} y^{3}

Página 104

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

39 Calcule.

a) (+2x)2

b) (‒3a 2)3

c) (+2x 2y)3

d) (‒xy 2)4

e) (‒5x 4y)1

{(‒ \frac{1}{2} a)}^{2}

40 A medida do lado de um quadrado é dada por

\frac{5}{3} a

. Qual é medida da área desse quadrado?

41 Considere o cubo representado a seguir.

Ilustração. Cubo com medida de lado x sobre 2 centímetros.

a) Expresse a medida do volume do cubo.

b) Qual é a medida da área da superfície desse cubo?

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Sequências recursivas de molduras e de quadrados

Nesta composição de quadrados, as unidades de medida de comprimento são dadas em centímetro. O quadrado central foi contornado com uma moldura branca, formando um segundo quadrado. O novo quadrado foi contornado com uma moldura vermelha, chegando-se a um terceiro quadrado, e assim por diante, até obter o quadrado com a moldura cinza.

Ilustração. Cinco quadrados, um dentro do outro de maneira que o centro deles coincidem. Primeiro quadrado. Cor azul: lado mede 2 x. Segundo quadrado. Cor branca: medida x é acrescentada à direita do quadrado azul. Terceiro quadrado. Cor vermelha: medida x é acrescentada à direita do quadrado branco. Quarto quadrado. Cor roxa: medida x é acrescentada à direita do quadrado vermelho. Quinto quadrado. Cor cinza: medida x é acrescentada à direita do quadrado roxo.

a) Forme, a partir da medida da área do quadrado central, a sequência recursiva dos monômios que representam as medidas das áreas das molduras, dadas em centímetros quadrados.

b) Uma dessas molduras tem a mesma medida de área de um dos quadrados construídos. Qual é o monômio que representa essa medida?

c) Qual é o valor numérico do monômio obtido no item b para x = 2,4 centímetros?

d) Considerando a sequência de resultados obtidos no item a, faça uma extrapolação e estime a medida da área da próxima moldura a ser formada.

Página 105

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 (enêm) A expressão “Fórmula de iãng” é utilizada para calcular a dose infantil de um medicamento, dada a dose do adulto:

dose de criança, igual a, abre parenteses, Fração. Numerador idade da criança (em anos), denominador idade da criança (em anos) mais 12, fecha parenteses, vezes dose de adulto.

Uma enfermeira deve administrar um medicamento X a uma criança inconsciente, cuja dosagem de adulto é de 60 miligramas. A enfermeira não consegue descobrir onde está registrada a idade da criança no prontuário, mas identifica que, algumas horas antes, foi administrada a ela uma dose de 14 miligramas de um medicamento Y, cuja dosagem de adulto é 42 miligramas. Sabe-se que a dose da medicação Y administrada à criança estava correta.

Então, a enfermeira deverá ministrar uma dosagem do medicamento X, em miligramas, igual a:

a) 15.

b) 20.

c) 30.

d) 36.

e) 40.

2 Considere o retângulo formado por quadrados de lado medindo y, em centímetro.

Ilustração. Retângulo dividido em duas linhas de 10 quadradinhos cada. Há 7 quadradinhos pintados de amarelo. A medida de cada lado do quadradinho é y.

Faça o que se pede.

a) Determine a medida do perímetro desse retângulo.

b) Determine a medida da área desse retângulo.

c) Qual é a medida da área da parte pintada de amarelo?

3 Efetue as adições algébricas.

a) (‒3x) + (‒8x)

b) (‒12y) + (+6y)

c) (+5ab) ‒ (‒7ab)

d) (+2xy) + (+13xy)

4 Efetue as operações e escreva o resultado na fórma de fração irredutível.

a) 13,75 +

\frac{3}{4}

‒ 12,833reticências

b) (14,1666reticências) ⋅

\frac{7}{3} : \frac{5}{3}

5 Reduza os monômios semelhantes.

a) ‒12a + 9a + 5a

b) 15y ‒ 10y ‒ 6y

‒ \frac{3}{4} a x + \frac{1}{3} a x ‒ \frac{1}{2} a x

6 Calcule os produtos a seguir.

a) (+2x) ⋅ (+3x 2)

b) (‒3y) ⋅ (4y 2)

c) (‒4x 2y) ⋅ (‒3xy 2)

d) (‒5ab) ⋅ (+3a)

7 Calcule os quocientes a seguir, considerando que as variáveis do divisor sejam diferentes de zero.

a) (‒20a 5) : (+4a 2)

b) (+3xy 3) : (4y)

c) (‒24a 3b 2) : (4ab)

d) (‒3,2a 3b) : (0,5a)

8 Calcule as potências a seguir.

a) (‒3x 2y 3)2

{(\frac{6}{3} a^{2} b^{4})}^{3}

{(‒ \frac{2}{5} x)}^{2}

d) (‒0,4a)3

9 Em 1787, o cientista francês Jacques Charles observou que os gases se dilatam quando aquecidos e se contraem quando resfriados.

Ilustração. Figura 1: garrafa em temperatura ambiente. Garrafa com bico maleável na parte superior. — Figura 1: garrafa em temperatura ambiente

Ilustração. Figura 2: garrafa resfriada em contato com gelo. Garrafa dentro de recipiente com gelo. — Figura 2: garrafa resfriada em contato com gêlo

A fórmula

V = \frac{5}{3} \cdot T + 455

relaciona a medida do volume V de certo gás (em centímetro cúbico) com a medida de sua temperatura T (em grau Celsius). Calcule a medida do volume desse gás a 21 graus Célsius.

Página 106

VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 A expressão algébrica 15x + 3 pode representar qual situação a seguir?

a) A idade de Bruna, que é 3 anos mais velha que sua irmã, que tem 15 anos.

b) O valor da refeição com suco em um restaurante que cobra 15 reais a refeição e 3 reais o suco.

c) Carlos tem 15 canecas, que é o triplo da quantidade de canecas de Gabi.

d) A distância percorrida por Otávio ao dar 3 voltas em uma pista de 15 quilômetros.

2 Considere os números reais a, b, c e d. Ao multiplicar a soma de a e b pelo oposto de c, obtém-se o inverso de d. Qual é a expressão algébrica que descreve essa situação?

a) (a + b) ⋅

\frac{1}{c}

= ‒d

b) a + b ⋅

\frac{1}{c}

= ‒d

c) (a + b) ⋅ (‒c) =

\frac{1}{d}

d) a + b ⋅ c =

\frac{1}{d}

3 Para qual valor de x a expressão algébrica

\frac{x^{2} ‒ 4}{2 x + 8}

não tem valor numérico?

a) 2

b) ‒2

c) ‒8

d) ‒ 4

4 Qual é o coeficiente do monômio

‒ \frac{2 a x^{2}}{5}

‒ \frac{2 a}{5}

b) ‒2

‒ \frac{2}{5}

\frac{2}{5}

5 Ao reduzir os termos semelhantes da expressão algébrica a seguir

‒2x2 + 8xy ‒ 3y2 + y2 + 2x2 ‒ 5xy + x2y

obtemos:

a) x2 ‒ 2y2 + 3xy + x2y

b) 2y2 + 4xy

c) ‒2y2 + 3xy + x2y

d) 2x2y2

6 Identifique a alternativa que contém dois monômios semelhantes.

\frac{1}{2}

a2b e ‒2a2b

b) 18ab e ‒18b

c) 5x3 e 5x

d) ‒9m2n3 e ‒9m3n2

7 Uma quadra poliesportiva tem as medidas das dimensões indicadas na ilustração, dadas em centímetro.

Ilustração. Quadra poliesportiva na horizontal com medidas: 9 meios, vezes a ao quadrado vezes b, por 8 b.

Qual é o monômio que expressa a medida da área dessa quadra, em centímetros quadrados?

a) 36a2b 2

\frac{8}{2}

a2b

c) 72ab2

d) 36a2b

8 Ao elevarmos o monômio

\frac{2}{3} x y^{3}

à 5ª potência, o que obtemos como resultado?

\frac{2}{3} x^{5} y^{15}

\frac{32}{243} x^{5} y^{15}

\frac{32}{243} x^{5} y^{8}

\frac{10}{3} x^{5} y^{8}

9 Um prisma de base quadrada tem volume de medida igual a

\frac{3}{16}

a2 b4 c 7 centímetros3 e aresta da base medindo

\frac{1}{2}

abc3 centímetros. Qual é a medida da altura do prisma, em centímetro?

\frac{1}{4} a^{2} b^{2} c^{2}

\frac{3}{8} a^{2} b^{2} c

\frac{3}{4} b^{2} c

\frac{3}{2} b^{4} c

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) Qual é a diferença entre incógnita e variável?

b) Como você explicaria para um colega o que é um monômio?

c) Quais são as informações que precisamos ter para encontrar o valor numérico de uma expressão algébrica?

d) Na sua opinião, por que é importante estudarmos expressões algébricas?

Página 107

DIVERSIFICANDO

Troca de e-mails

Leia com atenção a troca de e-mails que ocorreu em 2011 entre Fábio e Rita.

Ilustração. Rapaz de cabelo castanho e camisa azul. Ele está sentado de frente para uma mesa com computador. Ilustração. Moça de cabelo castanho preso, camiseta amarela e calça. Ela está sentada em um sofá com um notebook apoiado sobre as coxas.

De: Fábio [mailto: fabio@exemplo.com.br]

Enviada em: sábado, 31 de dezembro de 2011, 12:01

Para: Rita

Assunto: NOTE QUE ESTRANHO

Rita, você reparou que neste ano de 2011 tivemos 4 datas bem interessantes?

1/1/11, 1/11/11, 11/1/11, 11/11/11

Tente entender istoreticências separe os dois últimos dígitos do ano em que você nasceu e adicione esse número à idade que você fez neste ano de 2011. O TOTAL SERÁ 111reticências (para os nascidos no período de 1900 a 1999).

POR EXEMPLO: nasci em 1992 (os dois últimos dígitos formam: 92);

92 mais a minha idade no meu aniversário em 2011: 92 + 19 = 111.

Agora, tente você, não dá para entender; algum matemático explica isso???

De: Rita [mailto: rita@exemplo.com.br]

Enviada em: sábado, 31 de dezembro de 2011, 12:30

Para: Fábio

Assunto: Re: NOTE QUE ESTRANHO

Olá, Fábio.

Matemática e brincadeira às vezes estão juntas! Mas não noto nada de estranho nisso.

• Sejam x e y dois algarismos; vamos representar por xy o número formado pelos dois últimos algarismos do ano de nascimento (para os nascidos no período de 1900 a 1999).

• No ano 2000, a idade de quem nasceu em 19xy era (100 ‒ xy), e a idade dessa pessoa em 2011 é (100 ‒ xy) + 11, porque de 2000 a 2011 passaram-se 11 anos.

• Adicionamos o número formado pelos dois últimos algarismos do ano de nascimento à idade em 2011, isto é: xy + (100 ‒ xy) + 11.

• Como xy adicionado a ‒xy resulta em 0, a expressão xy + (100 ‒ xy) + 11 é igual a 100 + 11, isto é, 111, qualquer que seja o valor de xy.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Brincando com números, Rita percebeu algumas curiosidades. Tente descobri-las.

1 Calcule:

a) 11 × 12 e 11 × 21

b) 11 × 13 e 11 × 31

c) 11 × 14 e 11 × 41

d) 11 × 24 e 11 × 42

2 O que acontece com os produtos obtidos na atividade 1?

3 Agora, calcule:

a) 11 × 35 e 11 × 53

b) 11 × 36 e 11 × 63

c) 11 × 37 e 11 × 73

4 A resposta dada na atividade 2 pode ser generalizada?

Glossário

Divisor de águas: : acontecimento, fato ou situação que serve de referência temporal.; Voltar para o texto