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CAPÍTULO 5 Polinômios e frações algébricas

Fotografia. Vista do alto de escadaria com partes curvadas em região de rochas com pouca vegetação e o mar abaixo. — Escadaria com cêrca de 230 degraus em San Juan de Gaztelugatxe, País Basco (Espanha). (Fotografia de 2017.)

Grandiosa, como a da imagem, ou em residências, monumentos, morros e prédios públicos, escadas fixas ou rolantes fazem parte do meio em que vivemos.

Escadas fixas têm piso de medida x (medida da profundidade do degrau) e espelho de medida y (medida da altura do degrau) e são construídas conforme a legislação. O desenho de uma escada segue uma equação polinomial, garantindo o conforto dos usuários ao subir ou descer.

Observe, leia e responda no caderno.

a) Pesquise na internet, em livros, atlas etcétera a história da ilha Gaztelugatxe, situada na península Ibérica, e da escadaria que lhe dá acesso. Elabore um texto com um resumo dessa pesquisa.

b) Considerando que essa escadaria tenha exatamente 230 degraus cada um com piso medindo x e espelho medindo y, que medida teria o comprimento de um tapete que recobrisse todos esses degraus?

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1. Polinômios

Considere estes retângulos e o trapézio.

Ilustração. Retângulo dividido em 2 quadrados de laco c cada um. — Figura 1

Ilustração. Trapézio com as medidas: x, x, x, y, em que y é a medida da base maior. — Figura 2

Ilustração. Quadrado composto por 2 retângulos e 2 quadrados. 1 retângulo com medidas a por b, 1 quadrado com medidas b por b, 1 quadrado com medidas a por a e 1 retângulo com medidas b por a. — Figura 3

A figura 1 é formada por dois quadrados, e cada quadrado tem lado de medida c e área de medida c 2. A expressão que representa a medida da área dessa figura é 2c 2.

A figura 2 é um trapézio com um lado de medida y e três lados de medida x. A expressão que representa a medida do perímetro dessa figura é 3x + y.

A figura 3, por sua vez, é formada por:

• um quadrado com região interna roxa de lado medindo a e área medindo a 2;

• dois retângulos com regiões internas verdes de medida de área ab;

• um quadrado com região interna azul de lado medindo b e área medindo b 2.

Uma expressão que representa a medida da área dessa figura é a 2 + 2ab + b 2.

As expressões 2c 2, 3x + y e a 2 + 2ab + b 2 são exemplos de polinômios.

Polinômio é toda expressão algébrica que representa um monômio ou uma soma algébrica de monômios.

Observações

▶ Os polinômios de um só termo são chamados monômios, os de dois termos, binômios, e os de três termos, trinômios. Os polinômios com mais de três termos não recebem denominação específica.

▶ O polinômio formado por monômios nulos é o polinômio nulo. Exemplo: 0x 2 + 0mn + 0.

▶ O termo do polinômio que não apresenta variável (letra) é chamado de termo independente.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Classifique como monômio, binômio ou trinômio as expressões algébricas a seguir.

a) 2x 2 ‒ 3x

b) 5a 2 ‒ 3a + 7

c) x

d) 7x ‒ 5y

e) ‒5

f) a 5 ‒ 3

g) x 3 ‒ y 3

h) x 2 ‒ 2xy + y 2

2 Determine o polinômio que corresponde à medida da área da figura a seguir, formada por dois quadrados. Em seguida, calcule a medida da área para x = 4,5 centímetros e y = 2,5 centímetros.

Ilustração. Quadrado com medidas x por x. Encostado nele, quadrado menor com medidas y por y. Ambos têm a parte inferior alinhadas.

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3 Cláudia é dona de uma papelaria. Ela compra um caderno por x reais e o revende por y reais.

Fotografia. Vista superior de uma bancada com diversos cadernos coloridos. Ao fundo, prateleiras com objetos.

a) Qual é a expressão algébrica que representa o lucro de Cláudia por caderno vendido? E por z cadernos vendidos?

b) Qual foi o lucro de Cláudia na venda de 24 cadernos, comprados por R$ 3,20três reais e vinte centavos e vendidos por R$ 8,70oito reais e setenta centavos cada um?

4 O piso da cozinha da casa de Ana é revestido por ladrilhos retangulares, como o ladrilho da figura, em que a e b são dados em metro.

Ilustração. Retângulo com dois losangos, um dentro do outro e 4 triângulos, um em cada canto. A medida do retângulo é a por b.

a) Represente com um monômio a medida da área do ladrilho, em metro quadrado.

b) Indique a medida da área do piso da cozinha, em metro quadrado, sabendo que foram necessários 120 desses ladrilhos para forrá-lo.

c) Calcule a medida da área, em metro quadrado, da cozinha de Ana, sabendo que cada ladrilho mede 15 centímetros por 20 centímetros.

5 Em um estacionamento estão x motos e y carros. Encontre o binômio que representa:

a) o número de veículos;

b) o número de rodas;

c) o valor arrecadado, sabendo que cada moto paga R$ 12,00doze reais pela diária e cada carro paga R$ 18,00dezoito reais.

6 Em arquitetura, os projetos de escadas fixas usam a chamada fórmula de Blondel: 2E + P ≃ 64, na qual ê é a medida do espelho e P é a medida do piso. A escada da casa de Carlos tem 14 degraus com pisos de 30 centímetros e espelhos de 17 centímetros, mais um patamar de 65 centímetros.

Ilustração. Projeto de uma escada, onde a altura de cada degrau é E, a largura é P, o topo do degraus é chamado de piso, e a lateral de espelho. Um dos degraus é chamado de patamar e é mais largo.

a) Essa escada está de acôrdo com a fórmula de Blondel? Por quê?

b) Qual é o monômio que representa o cálculo da medida da altura dessa escada? Qual é a medida da altura dela?

c) Qual é o polinômio que representa o cálculo da medida do comprimento horizontal lateral dessa escada? Qual é a medida do comprimento horizontal lateral dela?

2. Operações com polinômios

Adição de polinômios

Para representar estes dois polígonos foram usados ao todo 6 canudinhos de medida a, 3 canudinhos de medida b e 2 canudinhos de medida c, todas dadas em centímetro.

Ilustração. Polígono com 5 lados e medidas: a, a, b, c, b. Ilustração. Polígono com 6 lados e medidas: b, a, a, c, a, a.

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Em centímetro, a medida do perímetro do polígono 1 é representada pelo polinômio 2a + 2b + c e a medida do perímetro do polígono 2 é representada pelo polinômio 4a + b + c, ambos os polígonos nas variáveis a, b e c.

Na construção dos dois polígonos, empregamos os 6 canudinhos de medida a, os 3 canudinhos de medida b e os 2 canudinhos de medida c, ou seja, construímos linhas cuja soma das medidas dos comprimentos é dada, em centímetro, por:

6a + 3b + 2c

O polinômio 6a + 3b + 2c é a soma dos polinômios 2a + 2b + c e 4a + b + c.

Esse resultado poderia ter sido obtido da seguinte maneira:

Esquema. abre parêntese 2a mais 2b mais c fecha parêntese mais abre parêntese 4a mais b mais c fecha parêntese igual
igual 2a mais 2b mais c mais 4a mais b mais c igual seta azul apontando para essa expressão com a indicação eliminamos os parênteses.
igual 2a mais 4a mais 2b mais b mais c mais c igual seta azul apontando para essa expressão com a indicação agrupamos os termos semelhantes.
igual 6a mais 3b mais 2c seta azul apontando para essa expressão com a indicação reduzimos os termos semelhantes.

Ilustração. Mulher de cabelo curto castanho, óculos, blusa rosa e camisa amarela. Ela fala: Para adicionar dois polinômios, devemos agrupar os termos semelhantes e depois reduzi-los.

Acompanhe outros exemplos.

a) Vamos calcular (4x2 ‒ 7x + 2) + (3x2 + 3).

Esquema. abre parêntese 4 x ao quadrado menos 7x mais 2 fecha parêntese mais abre parêntese 3 x ao quadrado mais 3 fecha parêntese igual igual 4 x ao quadrado menos 7x mais 2 mais 3 x ao quadrado mais 3 igual seta azul apontando para essa expressão com a indicação eliminamos os parênteses. igual 4 x ao quadrado mais 3 x ao quadrado menos 7x mais 2 mais 3 igual seta azul apontando para essa expressão com a indicação agrupamos os termos semelhantes. igual 7 x ao quadrado menos 7x mais 5 seta azul apontando para essa expressão com a indicação reduzimos os termos semelhantes

b) Dados os polinômios a = 0,2x 3 ‒

\frac{5}{3}

x 2 + 2x ‒

\frac{1}{2}

B = \frac{3}{5} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} ‒ 0, 4

, vamos calcular a + B.

Abre parenteses, 2 décimos vezes x ao cubo, menos 5 terços vezes x ao quadrado, mais 2x menos 1 meio, Fecha parenteses. Mais. Abre parenteses, 3 quintos vezes x ao cubo, mais, 1 meio vezes x ao quadrado, menos 4 décimos, Fecha parenteses, igual a. Igual a, 2 décimos, vezes x ao cubo, menos, 5 terços vezes x ao quadrado, mais 2x, menos 1 meio, mais, 3 quintos vezes x ao cubo, mais, 1 meio vezes x ao quadrado, menos 4 décimos, igual a. Igual a, 2 décimos vezes x ao cubo, mais, 3 quintos vezes x ao cubo, menos, 5 terços vezes x ao quadrado, mais, 1 meio vezes x ao quadrado, mais 2x, menos 1 meio, menos 4 décimos, igual a. Igual a, fração, numerador 2 vezes x ao cubo, mais 6 vezes x ao cubo, denominador 10, fim da fração mais, fração, numerador menos 10, vezes x ao quadrado, mais 3 vezes x ao quadrado, denominador 6, fim da fração mais 2x, mais, fração, numerador menos 5 menos 4, denominador 10, igual a. Igual a, 8 décimos, vezes x ao cubo, menos, 7 sextos vezes x ao quadrado, mais, 2x menos 9 décimos, igual a, 4 quintos vezes x ao cubo, menos 7 sextos vezes x ao quadrado, mais 2x, menos 9 décimos.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

7 Calcule:

a) (2x + y + 3) + (‒5x + y ‒ 1)

(\frac{7 a}{5} ‒ 2 a b + \frac{b^{2}}{3}) + (4 a b ‒ \frac{b^{2}}{3})

c) (3ab ‒ 6a 2) + (a 2 ‒ 4ab + 2b 2) + (5a 2 ‒ 3b 2)

(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x}{5} ‒ \frac{1}{4}) + (\frac{2 x^{2}}{3} ‒ \frac{1}{4})

8 Dados os polinômios a = x 2 ‒ 3x + 5, B = x 2 + 2x ‒ 4 e C = x 2 + 5x ‒ 1, calcule:

a) A + B

b) A + B + C

c) A + C

d) B + C

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Subtração de polinômios

Nas figuras a seguir, o polígono 1 foi representado com 4 canudinhos de medida a, 4 canudinhos de medida b e 2 canudinhos de medida c, e o polígono 2 foi representado com 4 canudinhos de medida a e 2 canudinhos de medida b, todas as medidas dadas em centímetro.

Ilustração. Retângulo composto por canudinhos. As medidas dos canudinhos são: lado esquerdo: a, lado superior: a, 2b, c, lado direito: c, b, lado inferior: a, b, a. — Polígono 1

Ilustração. Retângulo composto por canudinhos. As medidas dos canudinhos são: lado direito: a, lado superior: a, b, lado esquerdo: a, lado inferior: a, b. — Polígono 2

O polinômio que representa, em centímetro, a medida do perímetro do polígono 1 é 4a + 4b + 2c, e o polinômio que representa a medida do perímetro do polígono 2 é 4a + 2b.

Na construção do polígono 1, empregamos 2 canudinhos de medida b e 2 canudinhos de medida c a mais que no polígono 2, ou seja, construímos linhas cuja diferença das medidas de comprimento, em centímetro, é dada por:

2b + 2c

O polinômio 2b + 2c é a diferença entre os polinômios 4a + 4b + 2c e 4a + 2b.

Esse resultado poderia ter sido obtido da seguinte maneira:

Esquema. abre parêntese 4a mais 4b mais 2c fecha parêntese menos abre parêntese 4a mais 2b fecha parêntese igual. igual 4a mais 4b mais 2c menos 4a menos 2b igual seta azul apontando para essa expressão com a indicação eliminamos os parênteses. igual 4a, cortado com um traço, menos 4a, cortado com um traço, mais 4b menos 2b mais 2c igual seta azul apontando para essa expressão com a indicação agrupamos e reduzimos os termos semelhantes. igual 2b mais 2c.

Acompanhe outros exemplos.

Esquema. 2x menos abre parêntese 4y menos 3x fecha parêntese 5x menos y fecha parêntese igual. igual 2x menos 4y mais 3x mais 5x menos y igual seta azul apontando para essa expressão com a indicação eliminamos os parênteses. igual 10x menos 5y seta azul apontando para essa expressão com a indicação reduzimos os termos semelhantes.

Esquema. 3 a ao quadrado menos abre colchete 2a menos 1 menos abre parêntese 2 a ao quadrado menos 5a mais 3 fecha parêntese fecha colchete menos 6 igual. igual 3 a ao quadrado menos abre colchete 2a menos 1 menos 2 a ao quadrado mais 5a menos 3 fecha colchete menos 6 igual seta azul apontando para essa expressão com a indicação eliminamos os parêntese. igual 3 a ai quadrado menos 2a mais 1 mais 2 a ao quadrado menos 5a mais 3 menos 6 igual seta azul apontando para essa expressão com a indicação eliminamos os colchetes. igual 5 a ao quadrado menos 7a menos 2 seta azul apontando para essa expressão com a indicação reduzimos os termos semelhantes.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

9 Dados os polinômios a = 5x 2 ‒ 3x + 4, B = 2x 2 + 4x ‒ 3 e C = x 2 ‒ 3x, calcule:

a) A ‒ B

b) B ‒ A

c) A + C ‒ B

d) A ‒ C + B

10 Qual polinômio devemos adicionar ao polinômio 2x + y + 3 para obter o polinômio ‒3x + 2y + 2?

11 Qual polinômio devemos subtrair do polinômio 2x 3 ‒ 3x 2 + x ‒ 4 para obter o polinômio ‒3x 3 ‒ 5x 2 + 4x + 1?

12 Reduza os termos semelhantes.

a) 10x 2 ‒ (5x + 6) ‒ [2x ‒ (3x 2 ‒ 2)]

b) 5a ‒ [3b + 7 ‒ (4a ‒ 5b) + (2 ‒ a)]

x^{2} + (\frac{1}{2} x ‒ 2) ‒ (‒ \frac{1}{2} + x + \frac{1}{3} x^{2})

13 Ângela tinha um cofre com 18 moedas de x centavos, 30 moedas de y centavos e 40 moedas de z centavos. Durante o mês, depositou 8 moedas de x centavos e 10 moedas de y centavos. No mês seguinte, retirou 12 moedas de y centavos e 8 moedas de z centavos.

Ilustração. Menina de cabelo castanho e blusa amarela está com moedas na frente de um porquinho rosa.

Determine o polinômio que representa o total de centavos no cofre:

a) no início das operações;

b) no final do mês anterior;

c) no mês seguinte.

14 Observe a figura a seguir.

Ilustração. Reta A D. Entre ela, pontos B e C. Entre A e B, medida de 2x mais 1. Entre B e C, medida de 3x menos 2. Entre C e D, medida de 2x.

Com base na figura, determine:

a) a medida do segmento

\overline{A C}

;

b) a medida do segmento

\overline{B D}

;

c) a medida do segmento

\overline{A D}

Hora de criar – Elabore, e passe para um colega, um problema sobre adição ou subtração de polinômios que envolva as medidas de perímetro de dois polígonos regulares. Depois de cada um resolver o problema do outro, destroquem para corrigi-los.

Multiplicação de polinômio por monômio

Ilustração. Homem de cabelo liso preto e camisa verde. Ele fala: Observe as figuras a seguir, formadas por retângulos, e suas respectivas medidas dos lados, em centímetro.

Ilustração. Retângulo x por z. Ilustração. Retângulo x por z. Ilustração. Retângulo y por z.

A adição das medidas das áreas dessas figuras resulta, em centímetros quadrados, na soma:

xz + xz + yz = 2xz + yz

Agrupando as três figuras, formamos um retângulo maior.

Ilustração. Retângulo composto por três partes, sendo dois retângulos iguais com medidas x e z e um retângulo maior com medidas y e z. A medida total do retângulo é 2x mais y por x.

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Em centímetro, a base desse retângulo mede 2x + y, e a altura mede z. Portanto, a medida da área desse retângulo é (2x + y) ⋅ z, em centímetros quadrados. No entanto, a medida dessa área é igual à soma das medidas das áreas dos três retângulos que formaram o retângulo maior. Logo:

(2x + y) ⋅ z = 2xz + yz

Observe que a expressão 2xz + yz também resulta da aplicação da propriedade distributiva em (2x + y) ⋅ z:

Esquema. abre parêntese 2x mais y fecha parêntese vezes z igual 2xz mais yz. Na expressão há uma seta azul saindo do 2x e chegando no z e uma seta azul saindo y e chegando no z.

Acompanhe outros exemplos.

Esquema. 3x vezes abre parêntese 5x menos 4y fecha parêntese igual abre parêntese 3x fecha parêntese vezes abre parêntese 5x fecha parêntese menos abre parêntese 3x fecha parêntese vezes abre parêntese 4y fecha parêntese igual 15 x ao quadrado menos 12xy. Na expressão há duas setas azuis saindo do 3x e chegando no 5x e no menos 4y.

Esquema. menos 3a vezes abre parêntese 2a menos 4 fecha parêntese igual abre parêntese menos 3a fecha parêntese vezes abre parêntese 2a fecha parêntese menos abre parêntese menos 3a fecha parêntese vezes abre parêntese 4 fecha parêntese igual menos 6 a ao quadrado mais 12a.
Na expressão há duas setas azuis saindo do menos 3a e chegando no 2a e no menos 4.

Esquema. 2xy vezes abre parêntese 3x ao quadrado menos 5xy menos y ao quadrado fecha parêntese igual 6 x ao cubo y ao quadrado mais 2x y ao cubo. Na expressão há três setas azuis saindo do 2xy e chegando no 3 x ao quadrado, menos 5xy e y ao quadrado.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

16 Calcule:

a) 7x ⋅ (2x ‒ 5)

b) (3a 2 ‒ 2a ‒ 1) ⋅ 5a

c) ‒3x ⋅ (4x 2 ‒ 3x + 1)

\frac{2}{5} a \cdot (a ‒ \frac{1}{4})

e) (0,3x 2 ‒ 1,4x) ⋅ (‒0,2x 3)

(\frac{1}{3} y^{2} + \frac{4}{7} y^{3}) \cdot (‒ 3 y)

17 Observe as figuras 1 e 2.

Ilustração. Retângulo com lados de medida x e 2x mais 2. Legenda: Figura 1. Quadrado com lados de medida 2x. Legenda: Figura 2.

a) Qual é o binômio que expressa a soma da medidas das áreas das duas figuras?

b) Qual é o valor numérico do binômio obtido no item a, se x = 5?

c) Qual é o valor numérico de x, se a área do quadrado da figura 2 mede 100?

18 Em uma sala retangular, foi colocado um tapete quadrado, como mostra a figura a seguir, cujas medidas são dadas em centímetro.

Ilustração. Retângulo com um lado medindo b mais 8 e o outro medindo a. Dentro, na parte superior, quadrado de lados medindo b. O quadrado e tem o vértice superior esquerdo coincidente ao vértice do retângulo e os lados que determinam esse vértice estão sobre os lados do retângulo.

Faça o que se pede.

a) Que expressão algébrica representa, em centímetro quadrado, a medida da área da sala não coberta pelo tapete?

b) Se a = 4 e b = 2,1, calcule a medida da área da sala que ficou descoberta.

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Multiplicação de polinômio por polinômio

Ilustração. Mulher de cabelo vermelho e blusa roxa. Ela fala: As figuras 1 e 2 são compostas de retângulos, e as respectivas medidas de seus lados são dadas em centímetro.

Figura 1. Retângulo composto de 4 retângulos coloridos. Acima no lado esquerdo retângulo vermelho e, à direita dele, retângulo azul. Abaixo do retângulo vermelho, retângulo amarelo e à direita deste, retângulo verde. Retângulo vermelho tem lados medindo a e d; retângulo azul lados medindo b e d; retângulo amarelo lados medindo a e c; retângulo verde lados medindo b e c. — Figura 1

Figura 2. Retângulo com um lado medindo a mais b e outro lado mede c mais d. — Figura 2

Podemos determinar a medida da área da figura 1, em centímetro quadrado, calculando separadamente a medida da área de cada retângulo de que ela é formada e adicionando os resultados obtidos: ac + ad + bc + bd.

A medida da área da figura 2, em centímetros quadrados, é dada por: (a + b) ⋅ (c + d).

Como as duas figuras (1 e 2) são determinadas por dois retângulos de mesmas dimensões, elas têm áreas de mesma medida. Logo:

(a + b) ⋅ (c + d ) = ac + ad + bc + bd

Esquema. abre parêntese a mais b fecha parêntese vezes abre parêntese c mais d fecha parêntese igual ac mais ad mais bc mais bd. Na expressão há duas setas azuis saindo do a e chegando no c e no d e duas setas azuis saindo do b e chegando no c e no d.

Ilustração. Mulher de cabelo vermelho e blusa roxa. Ela fala: Note que, para multiplicar dois polinômios, aplicamos a propriedade distributiva, multiplicando cada termo de um deles por todos os termos do outro. Depois reduzimos os termos semelhantes obtidos.

Acompanhe outros exemplos.

Esquema. abre parêntese 7 x ao quadrado menos 2x mais 1 fecha parêntese vezes abre parêntese x menos 2 fecha parêntese igual 7 x ao cubo menos 14 x ao quadrado menos 2 x ao quadrado mais 4x mais x menos 2 igual 7 x ao cubo menos 16 x ao quadrado mais 5x menos 2. Na expressão há duas setas azuis saindo do 7 x ao quadrado e chegando no x e no menos 2, duas setas azuis do menos 2x e chegando no x e no menos 2 e duas setas saindo do 1 e chegando no x e n menos 2.

Esquema. abre parêntese 2x menos 1 fecha parêntese vezes abre parêntese 3x mais 2 fecha parêntese vezes abre parêntese menos x menos 1 fecha parêntese igual.
igual abre parêntese 6 x ao quadrado mais 4x menos 3x menos 2 fecha parêntese vezes abre parêntese menos x menos 1 fecha parêntese igual seta apontando para essa expressão com a indicação multiplicamos os dois primeiros polinômios aplicando a propriedade distributiva.
igual abre parêntese 6 x ao quadrado mais x menos 2 fecha parêntese vezes abre parêntese menos x menos 1 fecha parêntese igual seta azul apontando para essa expressão com a indicação multiplicamos o produto pelo terceiro polinômio aplicando a propriedade distributiva.
igual menos 6 x ao cubo menos 7 x ao quadrado mais x mais 2 seta apontando para essa expressão com a indicação reduzimos os termos semelhantes.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

19 Calcule:

a) (5x ‒ 1) ⋅ (5x + 1)

b) (a + b) ⋅ (a + b)

c) (2x 2 ‒ 3x ‒ 6) ⋅ (5x ‒ 2)

(2 a + \frac{3}{5} b) \cdot (a ‒ \frac{1}{2} b)

20 Observe o retângulo.

Ilustração. Retângulo com lados medindo 2x mais 1 por x mais 1.

a) Determine o trinômio que representa a medida da área do retângulo.

b) Calcule o valor numérico desse trinômio para x = 0,4.

21 Dados a = x 2 + 3x ‒ 2, B = x + 2 e C = x ‒ 3, calcule:

a) a ⋅ B; a ⋅ C e a ⋅ B + a ⋅ C

b) B + C e a ⋅ (B + C )

22 Calcule os produtos a seguir.

a) 3x ⋅ (2x ‒ 3) ⋅ (x + 2)

b) ‒2x ⋅ (x + 5) ⋅ (2x ‒ 5)

c) (a ‒ 2b) ⋅ (a + 2b) ⋅ (a ‒ b)

d) (a ‒ b) ⋅ (a + b) ⋅ (3a ‒ b)

\frac{x}{2} (x + \frac{1}{3}) \cdot (2 x ‒ \frac{1}{2})

Hora de criar – Elabore um problema que envolva a medida da área de um quadrado e a medida x de seu lado, que deve ser um número natural. Troque o problema com o de um colega. Depois de cada um resolver o problema do outro, destroquem para corrigi-los.

Divisão de polinômio por monômio

A medida da área do retângulo a seguir é dada em centímetro quadrado e representada pelo polinômio 6x 2 + 9x, e a medida da altura é dada em centímetro e representada pelo monômio 3x, com x ≠ 0.

Ilustração. Retângulo medindo 3x de altura. Dentro, sua área é indicada como 6 vezes x ao quadrado mais 9 x.

Vamos determinar o polinômio que representa a medida da base do retângulo.

Para isso, devemos dividir o polinômio 6x 2 + 9x pelo monômio 3x, ou seja, encontrar o polinômio que, multiplicado por 3x, resulta em 6x 2 + 9x.

Esse polinômio é 2x + 3, pois 3x ⋅ (2x + 3) = 6x 2 + 9x. Observe que o polinômio 2x + 3 pode ser obtido dividindo-se cada um dos termos de 6x 2 + 9x por 3x:

Esquema. abre parêntese 6 x ao quadrado mais 9 x fecha parêntese dividido por abre parêntese 3x fecha parêntese igual 2x mais 3. Na expressão seta azul saindo do 6 x ao quadrado e chegando no 3x, seta azul saindo do 3x e chegando no 2x. Há também uma seta azul saindo do 9x e chegando no 3x e uma seta azul saindo do 3x e chegando no 3.

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Acompanhe outros exemplos.

Ilustração. Homem de cabelo ruivo e camisa vermelha diz: Admitimos para as variáveis apenas valores que não anulam o divisor.

Esquema. abre parêntese 18 x ao cubo menos 12 x ao quadrado mais 3x fecha parêntese dividido por abre parêntese menos 3x fecha parêntese igual menos 6 x ao quadrado mais 4x menos 1. Na expressão, seta azul saindo do 18 x ao cubo e chegando no menos 3x, seta azul saindo do menos 12 x ao quadrado e chegando no menos 3x e seta azul saindo do 3x e chegando no menos 3x.

Esquema. abre parêntese 7 x ao cubo y ao quadrado menos 5 x ao quadrado y elevado a 4 fecha parêntese dividido por menos 3 x ao quadrado y fecha parêntese igual menos 7 terços xy mais 5 terços y ao cubo.
Na expressão, seta azul saindo do 7 x ao cubo y ao quadrado e chegando no menos 3 x ao quadrado y e seta azul saindo do 5 x ao quadrado y elevado a 4 e chegando no menos 3 x ao quadrado y.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

24 Calcule os quocientes a seguir.

a) (8x 5 + 6x 3) : (+2x 2)

b) (12ab + 15a 2b + 9ab 2) : (3ab)

c) (20x ‒ 10x 2) : (‒5x)

d) (a 3 + a 2 + a) : (a)

e) (x 5 + x 2) : (‒x 2)

f) (7x 2 ‒ 8x + 5) : (‒1)

25 Determine o polinômio que, multiplicado por ‒7x, resulta em 21x 3 ‒ 28x 2 + 14x.

26 Multiplicando-se o monômio ‒4xy pelo polinômio a, encontra-se o polinômio ‒8xy + 9x 2y ‒ 6xy 2.

Determine o polinômio A.

27 Qual é o quociente de

(\frac{7}{3} x^{2} ‒ \frac{1}{4} x)

por

(‒ \frac{1}{2} x)

28 Calcule o valor da expressão:

[(25x 2 ‒ 15x) : (‒5x)] ⋅ (5x + 3)

29 Caio gosta de elaborar desafios matemáticos. Leia o desafio que ele propôs ao amigo Tiago.

Ilustração. Caderno com as informações: O produto da idade de dois irmãos é representado pela expressão algébrica x ao quadrado mais 10x. Sabendo que x representa a idade do irmão mais novo, descubra a expressão algébrica que representa a idade do irmão mais velho e determine a diferença de idade entre eles.

Supondo que Tiago esteja raciocinando corretamente, qual é a resposta que ele dará a Caio?

Polinômios com uma só variável

Observe estes polinômios:

• x 2 ‒ 8x + 12

Ele apresenta somente a variável x, cujo maior expoente é 2; dizemos que é um polinômio do 2º grau na variável x, ou que tem grau 2.

• 2y 4 ‒ 3y 2 + 5y ‒ 6

Ele apresenta somente a variável y, cujo maior expoente é 4; dizemos que é um polinômio do 4º grau na variável y, ou que tem grau 4.

• z 3 ‒ 1

Ele apresenta somente a variável z, cujo maior expoente é 3; dizemos que é um polinômio do 3º grau na variável z, ou que tem grau 3.

Polinômios desse tipo são chamados de polinômios com uma variável.

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Em geral, os termos de um polinômio com uma variável são apresentados segundo as potências decrescentes dessa variável.

Observe alguns exemplos.

a) 5x 2 ‒ 4x + 2

b) x 3 ‒ 2x 2 + x ‒ 1

c) 2x 4 ‒ 3x 2 + 2

Observação

▶ Se em um polinômio de grau n ordenado segundo as potências de x faltar uma ou mais potências de x com expoente menor do que n, então os coeficientes desses termos serão 0, e o polinômio será chamado de polinômio incompleto. Acompanhe alguns exemplos.

a) x 2 ‒ 4 é um polinômio incompleto e pode ser escrito como x 2 + 0x ‒ 4. x 2 + 0x ‒ 4 é a fórma geral do polinômio x 2 ‒ 4.

b) 2x 4 ‒ 3x 2 + 2 é um polinômio incompleto e pode ser escrito como 2x 4 + 0x 3 ‒ 3x 2 + 0x + 2. 2x 4 + 0x 3 ‒ 3x 2 + 0x + 2 é a fórma geral do polinômio 2x 4 ‒ 3x 2 + 2.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

30 Ordene os polinômios de acôrdo com as potências decrescentes de x.

a) 2x + 3x 2 ‒ 4

b) ‒6 + x 4 ‒ 5x 2 + 4x 3 ‒ 2x

c) 4x + 5x 3 ‒ 1

d) 5x 2 ‒ 3x + 2x 3 ‒ 4

e) 2 + 7x + 9x 2

31 Escreva os polinômios a seguir na fórma geral.

a) x 3 + 2x 2 ‒ 5

b) x 3 + 1

c) y 4 ‒ 8y 2 + 15

d) z 4 ‒ 16

e) m 4 ‒ 2m 2

Divisão de polinômio por polinômio

Ilustração. Homem de cabelo liso e camisa verde diz: Vamos recordar, por meio de um exemplo, o algoritmo da divisão entre dois números e perceber o que há em comum entre ele e o procedimento para a divisão entre dois polinômios.

Esquema. Sequência indicando 3 passos de divisão. Passo 1. Algoritmo de divisão. Na chave, 4. Fora da chave, 905. Abaixo do 905, sinal de menos e número 8. Linha. Número 1. Abaixo da chave, número 2. Passo 2. Algoritmo de divisão. Na chave, 4. Fora da chave, 905. Abaixo do 905, sinal de menos e número 8. Linha. Número 10, Abaixo, sinal de menos e número 8. Linha. Abaixo, número 2. Abaixo da chave, número 22. Passo 3. Esquema. Algoritmo de divisão. Na chave, 4. Fora da chave, 905. Abaixo do 905, sinal de menos e número 8. Linha. Número 10, Abaixo, sinal de menos e número 8. Linha. Abaixo, número 25. Abaixo, sinal de menos e número 24. Linha. Abaixo, número 1. Abaixo da chave, número 226.

Podemos confirmar o resultado da divisão verificando a igualdade:

quociente ⋅ divisor + resto = dividendo

Nesse caso, obtemos: 226 ⋅ 4 + 1 = 905

Página 119

A divisão de um polinômio por outro polinômio não nulo será efetuada apenas entre polinômios com uma variável só.

Para facilitar essas divisões, devemos escrever os polinômios considerando a ordem decrescente das potências da variável, e o polinômio dividendo deve ser escrito na fórma geral.

Aprenderemos com exemplos como se calcula o quociente de um polinômio por outro polinômio. O processo que vamos utilizar visa a construir gradativamente um polinômio quociente que, multiplicado pelo polinômio divisor e adicionado ao resto, resulte no polinômio dividendo.

a) Vamos calcular o quociente de 8x 2 ‒ 10x + 5 por 2x + 1. Começamos dividindo o primeiro termo do dividendo (8x 2) pelo primeiro termo do polinômio divisor (2x), obtendo o primeiro termo do quociente: 4x.

Esquema. Algoritmo de divisão. Na chave, 2x mais 1. Fora da chave, 8 vezes x ao quadrado, menos 10 vezes x, mais 5. Embaixo da chave, 4 vezes x.

Multiplicamos o quociente obtido (4x) pelo divisor 2x + 1, obtendo o produto 8x 2 + 4x. Subtraímos esse produto do dividendo, assim como ocorre na divisão entre números.

Esquema. Algoritmo de divisão. Na chave, 2x mais 1. Fora da chave, 8 vezes x ao quadrado, menos 10 vezes x, mais 5. Abaixo, menos 8 vezes x ao quadrado, menos 4 vezes x. Linha. Abaixo, menos 14 vezes x, mais 5. Embaixo da chave, 4x.

Repetimos as etapas anteriores para calcular o quociente de ‒14x + 5 por 2x + 1. Dividimos ‒14x por 2x, obtendo o segundo termo do quociente, ‒7. Multiplicamos ‒7 por 2x + 1, obtendo ‒14x ‒ 7. Subtraímos esse produto de ‒14x + 5 e obtemos o resto 12.

Fazendo a verificação:

Esquema. abre parêntese 4x menos 7 fecha parêntese vezes abre parêntese 2x mais 1 fecha parêntese mais abre parêntese mais 12 fecha parêntese igual 8 x ao quadrado menos 10x menos 7 mais 12 igual 8 x ao quadrado menos 10x mais 5. Na expressão, há uma chave horizontal selecionando o termo depois do último símbolo de igual com a indicação polinômio dividendo

b) Vamos calcular o quociente de 12x 4 ‒ 17x 3 ‒ 3x 2 ‒ 11x ‒ 3 por 3x 2 ‒ 2x ‒ 3.

Esquema. Algoritmo de divisão. Na chave, 3 vezes x ao quadrado, menos 2 vezes x, menos 3. Fora da chave, 12 vezes x a quarta, menos 17 vezes x ao cubo, menos 3 vezes x ao quadrado, menos 11 vezes x, menos 3. Abaixo, Sinal de menos, 12 vezes x a quarta, mais 8 vezes x ao cubo, mais 12 vezes x ao quadrado. Linha. Abaixo, menos 9 vezes x ao cubo, mais 9 vezes x ao quadrado, menos 11 vezes x, manos 3. Abaixo, 9 vezes x ao cubo, menos 6 vezes x ao quadrado, menos 9 vezes x. Linha. Abaixo, 3 vezes x ao quadrado, menos 20 vezes x, menos 3. Abaixo, menos 3 vezes x ao quadrado, mais 2 vezes x, mais 3. Linha. Abaixo, menos 18 vezes x. Abaixo da chave, como resultado: 4 vezes x ao quadrado, menos 3 vezes x, mais 1. Quociente: 4 vezes x ao quadrado, menos 3 vezes x, mais 1. Resto: menos 18 x.

Quociente: 4x 2 ‒ 3x + 1

Resto: ‒18x

Página 120

c) Vamos calcular o quociente de 8x 3 ‒ 1 por 2x ‒ 1. Como o polinômio dividendo é incompleto, vamos escrevê-lo na fórma geral: 8x 3 + 0x 2 + 0x ‒ 1

Esquema. Algoritmo de divisão. Na chave, 2x menos 1. Fora da chave, 8 vezes x ao cubo, mais 0 x ao quadrado, mais 0 x menos 1. Abaixo, menos 8 vezes x ao cubo, mais 4 vezes x ao quadrado. Linha. Abaixo, 4 vezes x ao quadrado, mais 0 x menos 1. Abaixo, menos 4 vezes x ao quadrado, mais 2 vezes x. Linha. Abaixo, 2 vezes x menos 1. Abaixo, menos 2 vezes x mais 1. Linha. Abaixo, 0 Embaixo da chave, 4 vezes x ao quadrado, mais 2 vezes x, mais 1. Quociente: 4 vezes x ao quadrado, mais 2 vezes x, mais 1. Resto: 0

Quociente: 4x 2 + 2x + 1

Resto: 0

Ilustração. Menina de cabelo castanho e camiseta azul. Ela fala: Quando o resto é zero, dizemos que a divisão é exata, ou, ainda, que 8x elevado ao cubo menos 1 é divisível por 2x menos 1.

Ilustração. Homem de cabelo liso e camisa verde diz: Faça a verificação dos resultados dos exemplos b e c usando a igualdade: quociente vezes divisor mais resto igual ao dividendo.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

32 Determine o polinômio M que, multiplicado por 2x ‒ 1, resulta em 6x 2 ‒ 7x + 2. Verifique sua resposta.

33 Calcule o quociente.

a) (x 2 + 7x + 12) : (x + 3)

b) (6x 2 ‒ 11x ‒ 10) : (3x + 2)

c) (2x 4 ‒ 11x 3 + 16x 2 ‒ 6x) : (x 2 ‒ 4x + 2)

34 Determine o quociente e o resto das divisões.

a) (2x 3 ‒ 9x 2 + 3x ‒ 6) : (x ‒ 2)

b) (6a 3 ‒ 7a 2 + 2a + 1) : (3a 2 ‒ 5a + 3)

35 Qual é o polinômio que, multiplicado por a 2 + 2a ‒ 5, dá 3a 3 + 2a 2 ‒ 23a + 20?

36 A medida da área do retângulo a seguir, em métro quadrado, é dada pela expressão 5x 2 + 2x ‒ 3. Calcule o polinômio que representa a medida da altura desse retângulo, em metro.

Ilustração. Retângulo com lado maior medindo 5x menos 3 . Dentro, sua área é indicada como 5 x ao quadrado mais 2x menos 3.

Hora de criar – Elabore, e depois passe para um colega, um problema sobre divisão de polinômios com uma só variável, sendo o dividendo um polinômio incompleto. Depois de cada um resolver o problema do outro, destroquem para corrigi-los.

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Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Podemos efetuar a divisão de números inteiros escritos na fórma polinomial. Por exemplo, para efetuar .2753 : 21, podemos fazer as seguintes representações:

.2753 = 2 ⋅ 103 + 7 ⋅ 102 + 5 ⋅ 10 + 3 e 21 = 2 ⋅ 10 + 1

Esquema. Algoritmo de divisão. Na chave, 2 vezes 10 mais 1. Fora da chave, 2 vezes 10 ao cubo, mais 7 vezes 10 ao quadrado, mais 5 vezes 10, mais 3. Abaixo, menos 2 vezes 10 ao cubo, menos 1 vezes 10 ao quadrado. Linha. Abaixo, 6 vezes 10 ao quadrado, mais 5 vezes 10. Abaixo, menos 6 vezes 10 ao quadrado, menos 3 vezes 10. Linha. Abaixo, 2 vezes 10 mais 3. Abaixo, menos 2 vezes 10 menos 1. Linha. Abaixo, 2. Embaixo da chave, 1 vezes 10 ao quadrado, mais 3 vezes 10 mais 1.

Quociente: 1 ⋅ 102 + 3 ⋅ 10 + 1 = 131

Resto: 2

Ilustração. Menina de cabelo castanho e camiseta azul. Ela fala: Essa divisão com números na forma polinomial lembra a divisão entre dois polinômios com uma só variável.

Agora, explique como foi efetuada essa divisão.

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Interpolação e extrapolação gráfica

As rodovias federais brasileiras somam mais de .76000 quilômetros de extensão. A manutenção da malha rodoviária é dispendiosa e, em geral, deixa a desejar, o que afeta a sua qualidade e compromete a segurança dos usuários. No entanto, atitudes que deveriam ser evitadas, como ultrapassagem indevida, ingestão de álcool, desobediência à sinalização e excesso de velocidade, também contribuem para a imensa quantidade de acidentes.

Observe a seguir o gráfico de colunas duplas, que informa a quantidade de acidentes e de acidentes com vítimas em rodovias federais brasileiras entre 2013 e 2021.

Gráfico em barras verticais. Título: Panorama de acidentes nas rodovias federais do Brasil. Eixo x, ano de 2013 a 2021. Eixo y, quantidade de 0 a 200.000. Os dados são: 2013. Acidentes: 186.742. Acidentes com vítimas: 71.155. 2015. Acidentes: 122.155. Acidentes com vítimas: 62.220. 2017. Acidentes: 89.396. Acidentes com vítimas: 58.716. 2019. Acidentes: 67.427. Acidentes com vítimas: 55.756. 2021. Acidentes: 64.452. Acidentes com vítimas: 52.762. — Dados obtidos em: CONFEDERAÇÃO Nacional do Transporte. Painel cê êne tê de acidentes rodoviários. Brasília, Distrito Federal: CNT, dezembro 2021. Disponível em: https://oeds.link/8jwrqr. Acesso em: 23 junho 2022.

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Com os dados desse gráfico de colunas, vamos construir um gráfico que chamamos de gráfico de linhas duplas. Para isso, representamos as colunas do gráfico anterior por linhas tracejadas verticais (sem largura). Em seguida, marcamos o ponto superior de cada coluna referente ao número de acidentes e unimos esses pontos com segmentos de reta, em azul. Depois, fazemos o mesmo com as colunas referentes ao número de acidentes com vítimas; marcamos o ponto superior de cada coluna e unimos esses pontos com segmentos de reta, em vermelho.

Gráfico em linhas. Título: Panorama de acidentes nas rodovias federais do Brasil. Eixo x, ano de 2013 a 2021. Eixo y, quantidade de 0 a 200.000. Os dados são: 2013. Acidentes: 186.742. Acidentes com vítimas: 71.155. 2015. Acidentes: 122.155. Acidentes com vítimas: 62.220. 2017. Acidentes: 89.396. Acidentes com vítimas: 58.716. 2019. Acidentes: 67.427. Acidentes com vítimas: 55.756. 2021. Acidentes: 64.452. Acidentes com vítimas: 52.762. Linha azul passa pelos dados de acidentes e linha vermelha passa pelos dados de acidentes com vítimas. — Dados obtidos em: CONFEDERAÇÃO Nacional do Transporte. Painel cê êne tê de acidentes rodoviários. Brasília, Distrito Federal: CNT, dezembro 2021. Disponível em: https://oeds.link/8jwrqr. Acesso em: 23 junho 2022.

Com esse gráfico, percebemos mais facilmente a variação da quantidade de acidentes e de acidentes com vítimas entre 2013 e 2021.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Com base nos dados estatísticos apresentados, faça o que se pede.

a) Copie o gráfico de colunas em uma folha de papel quadriculado e, seguindo o procedimento descrito, construa o gráfico de linhas correspondente.

b) Em que ano o total de acidentes foi maior? E em que ano foi menor?

c) Em que ano o número de acidentes com vítimas foi maior? E em que ano foi menor?

d) Tomando por base o total de acidentes dos anos 2017 e 2019 no gráfico de linhas, faça uma estimativa do total de acidentes de 2018.

e) Quando obtemos um valor de um intervalo gráfico tomando por base os valores dos extremos desse intervalo, fazemos o que chamamos de interpolação gráfica. Para fazer a interpolação gráfica, em sua cópia do gráfico, trace uma reta vertical por 2018 até intersectar a linha de acidentes, em seguida trace uma reta horizontal por esse ponto de intersecção até o eixo vertical. Agora, faça uma estimativa da quantidade aproximada de acidentes com vítimas em 2018.

f) Considerando os valores do total de acidentes indicados no gráfico de linhas, imagine como seria o prolongamento desse gráfico e faça uma estimativa desse total em 2022.

g) Quando obtemos um valor de um gráfico por meio de seu prolongamento, fazemos o que chamamos de extrapolação gráfica. Em sua cópia do gráfico, prolongue a linha que representa a quantidade de acidentes com vítimas. Para fazer a extrapolação gráfica, trace uma reta vertical por 2022 até intersectar o prolongamento da linha de acidentes com vítimas, em seguida trace uma reta horizontal por esse ponto de intersecção até o eixo vertical. Assim, faça uma extrapolação gráfica para obter a quantidade aproximada de acidentes com vítimas em 2022.

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3. Frações algébricas

Acompanhe a situação a seguir.

Considere um ônibus que percorre 640 quilômetros em x  horas, com x > 2 e velocidade constante. Em média, esse ônibus desenvolve a velocidade constante de

\frac{640}{x}

quilômetros por hora. Vamos admitir que um carro percorra os mesmos 640 quilômetros em (x ‒ 2) horas, com velocidade constante. Nesse caso, a velocidade média, em quilômetro por hora, seria representada pelo quociente

\frac{640}{x ‒ 2}

Ilustração. Quatro pessoas dentro de um automóvel azul em uma estrada. Ao redor, vegetação e arbustos.

Expressões como a da situação apresentada, que indicam o quociente entre dois polinômios, são chamadas de frações algébricas. Chamaremos de numerador o polinômio dividendo e chamaremos de denominador o polinômio divisor.

Fração algébrica é o quociente de dois polinômios indicado na fórma de fração cujo denominador seja uma expressão algébrica.

O denominador de uma fração numérica é sempre diferente de zero. No caso das frações algébricas, a ou as variável ou variáveis do polinômio que representa ou representam o denominador não pode ou podem assumir valores que o anulem. Acompanhe os exemplos.

a) Na fração algébrica

\frac{640}{x ‒ 2}

, devemos ter x ‒ 2 ≠ 0, ou seja, x ≠ 2.

b) Na fração algébrica

\frac{b + 2 a}{2 b + 3 a}

, devemos ter 2b + 3a ≠ 0, ou seja, b ≠

‒ \frac{3 a}{2}

ou a ≠

‒ \frac{2 b}{3}

Valor numérico de fração algébrica

Imagine que o ônibus da situação anterior gaste 12 horas para fazer o percurso, ou seja, que x seja igual a 12. Qual seria a sua velocidade média? E a velocidade média do carro? Qual dos dois veículos é mais veloz considerando todo o percurso? Essas velocidades estariam compatíveis com a velocidade máxima permitida para esse trecho da estrada, de 60 quilômetros por hora?

Para responder a todas essas questões, iniciamos atribuindo o número 12 para x nas frações algébricas e calculando as velocidades, em quilômetros por hora.

• Ônibus:

v_{o}

\frac{640}{12}

= 53,3

• Carro:

v_{c}

\frac{640}{12 ‒ 2}

\frac{640}{10}

= 64

Ilustração. Garota de cabelo preto liso e camiseta branca. Ela fala: 53,3 é o valor numérico aproximado da primeira fração algébrica, e 64 é o valor numérico da segunda fração algébrica para x igual a 12. Como a velocidade do carro é maior do que a velocidade do ônibus, o carro é mais veloz. A velocidade do ônibus está compatível com a velocidade máxima (60 quilômetro por hora) permitida nesse trecho da estrada, mas a velocidade do carro não está! Que conselho você daria para o condutor desse carro?

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

38 Um terreno é retangular, e seu comprimento mede 15 métros a mais do que o dôbro de sua largura x, dada em metro.

a) Escreva a razão entre as medidas do comprimento e da largura.

b) Qual é o valor numérico dessa razão, se a largura medir 12 métros?

39 Uma moto percorreu x quilômetros com y litros de gasolina. Uma segunda moto percorreu o dôbro dessa distância com ( y + 5) litros de gasolina. Escreva o consumo médio de gasolina, dado em quilômetro por litro:

a) da primeira moto;

b) da segunda moto.

40 Para que valor de y a expressão

\frac{12 + y}{y ‒ 6}

não representa uma fração algébrica?

41 Quais são os valores racionais que podem ser atribuídos à letra x na fração algébrica

\frac{x + 5}{2 x ‒ 3}

42 Que relação deve existir entre b e a para que a fração algébrica

\frac{2 a + b}{b ‒ 2 a}

represente um número racional?

43 Ontem, eu tinha em minha conta poupança certa quantia em real. Hoje, meu avô depositou nessa conta o quádruplo do que eu tinha ontem mais R$ 200,00duzentos reais. Represente por uma fração algébrica a razão entre o saldo que minha conta poupança tinha ontem e o saldo depois do depósito feito por meu avô.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Na expressão a + 2b ‒ 4c, as variáveis só podem assumir os números 0, 1 ou 2.

a) Qual é o valor numérico da expressão para a = 1, b = 1 e c = 2?

b) Qual é o maior valor numérico possível?

c) Determine a, b e c, com a ≠ b ≠ c, de modo que o valor numérico da expressão seja 4.

2 Calcule:

a) (3a 2 ‒ 5b) + (5a 2 + 5b)

b) (3x 2 ‒ 5x + 2) ‒ (x 2 + 6x ‒ 4) + (5x ‒ 7)

c) (a 2 ‒ ab) + (b 2 ‒ ab) ‒ (a 2 + b 2)

(‒ \frac{1}{2} a ‒ 2 b) ‒ (\frac{3}{5} b + 2 a)

3 Elimine parênteses, colchetes e chaves e reduza os termos semelhantes.

a) 3a ‒ (b ‒ a) + (5b ‒ 2a)

b) x 2 ‒ {3x ‒ [(x + 3) + (x 2 ‒ 1)]}

c) 2y ‒ [‒3xy + (‒2x + 5y) ‒ (‒4xy + x)]

4 Do polinômio a subtraí o polinômio 4x ‒ 3y + 4, o que resultou em ‒4x ‒ 6y ‒ 9. Qual é o polinômio a?

5 Calcule os produtos dos polinômios a seguir.

a) (x ‒ 2) ⋅ (x + 5)

b) (2x ‒ 4) ⋅ (3x + 1)

c) (x ‒ 1) ⋅ (x 2 + x + 1)

d) (a ‒ 1)(a 2 ‒ 1)(a + 1)

6 Determine o polinômio que dividido por 5x 2 ‒ 3x + 1 tem por quociente x 2 + 2x ‒ 3 e resto ‒5x + 2.

7 Determine o polinômio A que multiplicado por 2x ‒ 1 tem por produto 8x 3 ‒ 14x 2 + 11x ‒ 3.

8 Dados: A = 6x 2 ‒ 5x ‒ 6, B = 2x 2 + 5x ‒ 12,C = 2x ‒ 3 e D = x + 4, calcule:

a) B ⋅ C

b) D 2 = D ⋅ D

c) B : C

d) (A + B) ⋅ C

9 Qual é o resultado da divisão de 5x 3 + 5x 2 ‒ 60x por 5x (x ‒ 3)?

10 (FESPSão Paulo) Qual é o resto da divisão do polinômio x 3 ‒ 2x 2 ‒ x + 2 por x 2 ‒ 1?

11 A inclinação de uma escada fixa é dada pela fração

\frac{E}{P}

, em que ê é a medida do espelho e P é a medida do piso (degrau). Quanto maior é o valor numérico da fração, mais inclinada é a escada. O piso de uma escada comum varia de 25 centímetros a 30 centímetros, e o espelho, de 16 centímetros a 18 centímetros. Qual é a menor e qual é a maior inclinação que uma escada com essas medidas pode ter?

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Os trinômios são:

a) polinômios de um único termo.

b) polinômios de dois termos.

c) polinômios de três termos.

d) polinômios do terceiro grau.

2 Em metro, qual é a medida do perímetro da figura a seguir, composta de retângulos e cujas medidas dos lados são dadas em metro?

Ilustração. Retângulo composto de 2 retângulos iguais e 2 quadrados. Retângulo verde à esquerda de quadrado azul. Abaixo deles, quadrado roxo à esquerda e retângulo verde à direita. Retângulo verde tem lados com medidas a por b. Quadrado azul tem lados com medidas b. Quadrado roxo tem lados com medidas a. Retângulo verde tem lados com medidas b por a.

a) a + b

b) 2a + 2b

c) 4a + 4b

d) aelevado a 2 + 2ab + belevado a 2

3 Determine a medida da área do retângulo a seguir, cujas medidas dos lados são dadas em centímetro e a área, em centímetro quadrado.

Ilustração. Retângulo com lados medindo x mais 2 por 2 vezes x.

a) 3x + 2

b) 6x + 4

c) 2xelevado a 2 + 2

d) 2xelevado a 2 + 4x

4 Determine o produto dos polinômios a seguir.

(aelevado a 3 menos aelevado a 2 + a) ⋅ (a + 1)

a) aelevado a 4 + a

b) aelevado a 4 + aelevado a 2

c) aelevado a 3 menos aelevado a 2 + a

d) aelevado a 4 menos aelevado a 3 + aelevado a 2

5 Dividindo-se 4aelevado a 4 menos 5aelevado a 2 + a menos 2 por 2aelevado a 2 menos a + 1, encontra-se um resto R. Calcule o valor numérico de R para

a = \frac{1}{3} .

a) R = 0

b) R = 1

c) R = 3

d) R = a

6 Qual é o polinômio que, dividido por 5aelevado a 2 menos 2a menos 3, tem por quociente exato 3a menos 4?

a) 15aelevado a 3 menos 26aelevado a 2 menos a + 12

b) 15aelevado a 3 menos 26aelevado a 2 + 17a + 12

c) 15aelevado a 3 menos 26aelevado a 2 menos a menos 12

d) 15aelevado a 3 + 14aelevado a 2 menos a + 12

7 Márcia comprou uma televisão, que estava sendo vendida à vista por x reais, e pagará em 10 prestações de mesmo valor. Cada prestação corresponde a

\frac{1}{10}

do valor à vista, acrescido de 80 reais de juro. Que expressão algébrica representa, em real, o valor total pago por Márcia e o valor de cada prestação, respectivamente?

a) 10x + 800 e x + 80

b) 10x + 80 e

\frac{x}{10} + 80

c) x + 800 e

\frac{x}{10} + 80

d) x + 80 e

\frac{x}{10}

8 A medida da área do retângulo a seguir é expressa pelo polinômio 2xelevado a 2 + 11x + 15 e dada em métro quadrado. Que polinômio representa a medida da altura desse retângulo, em metro?

Ilustração. Retângulo com lado maior medindo 2 vezes x mais 5. Dentro, sua área é indicada como 2 vezes x ao quadrado, mais 11 vezes x, mais 15.

a) x + 3

b) 2x + 5

c) 4xelevado a 2 + 25

d) 2xelevado a 2 + 9x + 10

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões.

a) O que é um polinômio?

b) Explique como se deve proceder para adicionar dois polinômios.

c) Para calcular o produto entre dois polinômios, aplica-se a propriedade distributiva. Explique como essa propriedade é aplicada.

d) O que é fração algébrica?