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CAPÍTULO 8 A Geometria demonstrativa

Ilustração. Gravura em preto e branco. Homem de lenço na cabeça, camisa, calça e botas curtas. Ele está sentado em um banco segurando um objeto cúbico. A gravura é listrada em preto e branco. — écher, M. C. Man with Cuboid. 1958. Gravura em madeira, 6,4 centímetros por 6,4 centímetros. National Gallery of Art, uóshinton, dê cê, Estados Unidos da América.

O cubo impossível de Escher nos faz pensar que nem tudo é o que parece ser. Um falso silogismoglossário também pode nos alertar sobre o cuidado que devemos ter com conclusões apressadas:

Todos os cavalos raros são caros. Verdade.

Os cavalos baratos são raros. Verdade.

Então, os cavalos baratos são caros! Verdade?

Por isso, a Matemática, apoiada nas regras da Lógica e em um mínimo de postulados, não dispensa demonstrações rigorosas.

Observe, leia e responda no caderno.

a) Você já ouviu falar de Mauríts Cornélis Éscher? Pesquise, em dupla, a obra desse artista gráfico. Depois, elaborem um painel com imagens e texto com o material da pesquisa.

b) Como você classifica a frase “Cavalos baratos são caros”? Verdadeira? Falsa?

c) Avalie o silogismo a seguir como falso ou verdadeiro. “Todos os gatos são mamíferos. Há mamíferos que são ratos. Logo, há gatos que são ratos!”

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1. Demonstrações geométricas

Muitas das propriedades geométricas já estudadas foram consideradas verdadeiras com base em medições experimentais ou na simples observação. Porém, nem sempre chegamos a conclusões corretas efetuando medições, considerando que a medida está sujeita a erros decorrentes de, por exemplo, um desenho impreciso ou um instrumento defeituoso. A simples observação também pode levar a conclusões erradas, pois, muitas vezes, as aparências enganam.

Um observador descuidado, ao observar a figura a seguir, poderá concluir que cedê > A bê, quando, de fato, A bê = cedê. (Verifique!)

Ilustração. Reta horizontal AB. No centro, reta vertical com ponto C acima e ponto D abaixo, entre AB.

Isso nos faz pensar que nem sempre a medição ou a simples observação são suficientes para confirmar se uma propriedade geométrica é verdadeira ou falsa. Por mais evidente que pareça, uma propriedade só pode ser considerada verdadeira depois de provada.

Noções primitivas e postulados

Já estudamos que, em Geometria, pontos, retas e planos são noções aceitas sem definição; por isso são chamadas de noções primitivas.

Além das noções primitivas, na Geometria, estabelecemos algumas verdades iniciais aceitas sem demonstração: os postulados.

A seguir, vamos estudar alguns postulados que foram estabelecidos como propriedades fundamentais das noções primitivas.

Postulados

• Uma reta tem infinitos pontos.

Ilustração. Reta horizontal com pontos: A, B, C e D.

• Por um ponto, passam infinitas retas.

Ilustração. Sete retas diagonais que se cruzam no centro, ponto P.

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• Dois pontos distintos determinam uma única reta.

Ilustração. Reta diagonal com pontos: A, B.

• Entre dois pontos distintos quaisquer de uma reta, sempre existe outro ponto dessa reta.

Ilustração. Reta horizontal AB com ponto C entre AB.

• Quaisquer três pontos não colineares determinam um, e somente um, plano.

Ilustração. Plano alfa com ponto A acima. Abaixo, B à esquerda e C à direita.

• Por um ponto P qualquer situado fora de uma reta r, passa uma única reta paralela à reta dada.

Ilustração. Reta horizontal com ponto P à esquerda. Abaixo, reta r paralela.

Teoremas

Os teoremas são propriedades que podem ser demonstradas com base nos postulados ou em propriedades anteriormente demonstradas.

Um teorema é composto de duas partes:

• a parte que se supõe conhecida, chamada de hipótese;

• a parte que se deseja provar, chamada de tese.

Acompanhe alguns exemplos.

a) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos correspondentes são congruentes.

Hipótese: duas retas paralelas são cortadas por uma transversal.

Tese: os ângulos correspondentes são congruentes.

b) Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base são congruentes.

Hipótese: um triângulo é isósceles.

Tese: os ângulos da base são congruentes.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Qual dos segmentos é maior,

\overline{A B}

\overline{C D}

Ilustração. Reta AB com setas para fora em cada extremidade. Ilustração. Reta CD com seta para dentro em cada extremidade.

2 Indique falso ou verdadeiro para cada silogismo a seguir.

a) Toda estrela brilha com luz própria.

Nenhum planeta brilha com luz própria.

Então, nenhum planeta é estrela.

b) Todos os galos são aves.

Algumas aves são patos.

Então, todos os patos são galos.

3 Identifique a hipótese e a tese em cada caso.

a) Se um número é múltiplo de 3 e de 5, então esse número é múltiplo de 15.

b) Se uma altura de um triângulo é bissetriz, então esse triângulo é isósceles.

c) Se duas retas cortadas por uma reta transversal são paralelas, então elas determinam ângulos alternos internos de mesma medida.

4 Verifique se as sentenças a seguir são verdadeiras ou falsas e dê um exemplo que justifique o fato de as sentenças serem falsas, caso haja alguma.

a) Se um triângulo é isósceles, então ele tem dois lados congruentes e um de medida diferente.

b) Se um triângulo é retângulo, então ele não pode ser equilátero.

c) Se um triângulo é equilátero, então as bissetrizes de dois ângulos internos determinam apenas ângulos agudos.

PARA SABER MAIS

Da Geometria empírica à demonstrativa

A Geometria teve início em tempos remotos e desenvolveu-se lentamente até atingir a amplitude atual. Nesse trajeto, passou por diferentes papéis.

De modo geral, a Geometria inicial tratava somente de problemas geométricos concretos, apresentados isoladamente, e entre os quais não se observava nenhuma ligação.

Com o tempo, começaram-se a detectar propriedades e relações gerais com base em certo número de observações relativas a fórmas, tamanhos e relações espaciais de objetos físicos específicos, que passaram a ser casos particulares. Tais descobertas favoreceram a ordenação de problemas geométricos práticos em grupos de mesmo tipo, cada qual solucionável por meio de um mesmo procedimento geral.

Não se sabe quantos séculos foram necessários para a Geometria adquirir státus de ciência; entretanto, historiadores acreditam que o início desse processo ocorreu ao longo do vale do rio Nilo, no Egito antigo, bem como nas bacias de outros grandes rios, como o Tigre e o Eufrates, na Mesopotâmia.

Quanto ao vale do rio Nilo, vale lembrar a importância da agrimensura como possível origem para a palavra geometria, que significa “medida da terra”. Além disso, as bacias desses rios foram berços de fórmas avançadas de sociedade, conhecidas por sua habilidade em engenharia na drenagem de pântanos, irrigação, obras de defesa contra inundações e construção de grandes edifícios e estruturas, projetos que requeriam muita geometria prática.

A Geometria da Mesopotâmia e a do Egito eram, portanto, basicamente experimentais, derivadas de regras usadas pelos técnicos dessas civilizações, o que lhes possibilitou calcular medidas de áreas e muitos resultados bem antes dos gregos, porém não de maneira dedutiva.

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As modificações político-econômicas dos últimos séculos do segundo milênio antes de Cristo resultaram na diminuição do poder do Egito e da Babilônia. Tal mudança propiciou o florescimento de novas culturas.

Os gregos transformaram a Geometria empírica, ou científica, dos antigos egípcios e babilônios no que se poderia chamar de Geometria demonstrativa. Segundo esta, todas as verdades geométricas deveriam ser demonstradas por raciocínios dedutivos, com base em princípios chamados de axiomas ou postulados, não por processos experimentais.

A Geometria demonstrativa começou, provavelmente, com o trabalho do matemático grego Tales de Mileto (624 a 547 antes de Cristo), considerado um dos sete sábios da Antiguidade. Tales foi a primeira pessoa conhecida a utilizar métodos dedutivos em Geometria. Viveu no Egito, de onde levou a Geometria para a Grécia, começando a aplicar a essa ciência, pela primeira vez, procedimentos dedutivos da Filosofia grega.

No campo da Matemática, o primeiro pensamento dedutivo ocorreu na área da Geometria, e a fórma de pensamento dedutivo estabeleceu um modêlo e determinou uma tradição que perduram até nossos tempos no procedimento de validação das verdades matemáticas.

Ilustração. À esquerda, homem de cabelo claro e barba segura um papiro aberto com informações. Ao lado, papéis sobre uma mesa. Ao fundo, pirâmides.

Congruência de triângulos nas demonstrações geométricas

Acabamos de aprender que é possível provar que alguns fatos matemáticos são verdadeiros usando como base outros fatos já comprovados e em uma sequência de conclusões lógicas, sem usar instrumento de medida. É o que chamamos de fazer uma “prova” ou “demonstração” matemática.

Os casos de congruência de triângulos podem ser utilizados para demonstrar a validade de algumas propriedades geométricas. Nas situações a seguir, vamos considerar que os casos de congruência de triângulos são verdades já demonstradas.

a) Na figura, temos:

Ilustração. Triângulo ABC, unido pelo vértice C com outro triângulo CDE. Em C, ângulos C1 e C2.

Esquema. Primeira linha: segmento A C é congruente ao segmento C E. Segunda linha: segmento B C é congruente ao segmento C D. À direita, chave, e cota ao lado: Hipótese.

Vamos provar que:

\overline{A B} ≅ \overline{D E}} T e s e

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Para verificar se os segmentos

\overline{A B}

\overline{D E}

são congruentes, poderíamos medi-los com o auxílio de uma régua ou usar um compasso com a medida do segmento

\overline{A B}

para conferir se essa medida coincide com a do segmento

\overline{D E}

. Em qualquer desses casos, sempre haveria a possibilidade de êrro de medição ou mesmo um defeito do instrumento.

Então, vamos provar que

\overline{A B} ≅ \overline{D E}

• Demonstração

Considerando os triângulos á bê cê e é dê cê, temos:

\overline{A C} ≅ \overline{C E}

(por hipótese)

\hat{C}

1 ≅

\hat{C}

2 (ângulos opostos pelo vértice)

\overline{B C} ≅ \overline{C D}

(por hipótese)

Logo, pelo caso lado ângulo lado, os triângulos á bê cê e é dê cê são congruentes. Portanto,

\overline{A B} ≅ \overline{D E}

, pois são lados correspondentes em triângulos congruentes.

b) Dada a figura a seguir, em que

\bar{A B} // \bar{P N}

\bar{A C} // \bar{M N}

, vamos provar que

\overline{A C} ≅ \overline{N M}

Ilustração. À esquerda, triângulo ABC. À direita, triângulo MNP virado para baixo.

Tese {

\overline{A C} ≅ \overline{N M}

• Demonstração

Considerando os triângulos á bê cê e NPM, temos:

A \hat{B} C ≅ N \hat{P} M

(ângulos alternos internos)

\overline{B C} ≅ \overline{P M}

(por hipótese)

A \hat{C} B ≅ N \hat{M} P

(ângulos alternos externos)

Logo, pelo caso ângulo-lado-ângulo, os triângulos á bê cê e NPM são congruentes. Portanto,

\overline{A C} ≅ \overline{N M}

, pois são lados correspondentes em triângulos congruentes.

c) Vamos usar a congruência de triângulos para justificar a validade da seguinte construção geométrica: bissetriz de um ângulo.

• Construção

1º) Com a ponta-séca do compasso em O, traçamos um arco determinando os pontos M e N.

Ilustração. Reta horizontal com ponto A e reta diagonal com ponto B unidas em O, à esquerda. Compasso aberto em O, traça arco MN.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-séca!)

2º) Com a mesma abertura do compasso e a ponta-séca em M e, em seguida, em N, traçamos os arcos que se intersectam em D.

Ilustração. Reta horizontal com ponto A e reta diagonal com ponto B unidas em O, à esquerda. Arco MN e compasso aberto em M e N, traça arcos no ponto D.

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3º) Traçamos a semirreta

\vec{O D}

, que é a bissetriz do ângulo

A \hat{O} B

Ilustração. Ângulo B O A. Ponto M no segmento B O, e ponto N no segmento A O. Arco de circunferência com centro em O passando por M e N. Arco de circunferência com centro M. Arco de circunferência com centro N. No encontro destes arcos, ponto D.

• Justificativa Entenda por que essa construção é válida.

Considerando os triângulos ó ême dê e ó êne dê, temos:

\overline{O M} ≅ \overline{O N}

(mesma abertura do compasso)

\overline{M D} ≅ \overline{N D}

(mesma abertura do compasso)

\overline{O D} ≅ \overline{O D}

(lado comum)

Logo, pelo caso lado lado lado, os triângulos ó ême dê e ó êne dê são congruentes. Portanto,

M \hat{O} D ≅ N \hat{O} D

, pois são ângulos correspondentes em triângulos congruentes. Assim,

\vec{O D}

é bissetriz do ângulo

A \hat{O} B

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

5 Em cada caso, faça o que se pede.

a) Prove que

\overline{A C} ≅ \overline{C D}

Ilustração. Triângulo ABC à esquerda unido a triângulo CDE à direita.

Considere:

\overline{B C} ≅ \overline{C E}

;

\hat{B} ≅ \hat{E}

b) Prove que

\overline{A C} ≅ \overline{C E}

Ilustração. Triângulo ABC acima unido a triângulo CDE abaixo.

Considere:

\overline{A B} ≅ \overline{D E}; \hat{B} ≅ \hat{D}

c) Dado o quadrilátero á bê dê cê, prove que

\hat{A} ≅ \hat{D}

Ilustração. Quadrilátero ABCD dividido ao meio pelo segmento de reta de B C.

Considere:

\overline{B A} ≅ \overline{B D}

;

\overline{A C} ≅ \overline{D C}

d) Dado o quadrilátero á bê dê cê, prove que

\overline{A C} ≅ \overline{D C}

Ilustração. Quadrilátero ABCD com segmento de reta de C até B dividindo o ângulo B em B1 e B2.

Considere:

\overline{A B} ≅ \overline{D B}

;

\hat{B}

1 ≅

\hat{B}

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6 Na figura, temos r ⫽ s,

\bar{A B} // \bar{C D}

{\hat{B}}_{1} ≅ {\hat{C}}_{1}

{\hat{B}}_{2} ≅ {\hat{C}}_{2}

Prove que

\overline{A C} ≅ \overline{B D}

Ilustração. Duas retas horizontais paralelas, r e s.
Na reta r, A e C. Na reta s, B e D. Entre as retas, segmentos de reta AB, BC e CD formam triângulos.
Em B, ângulo B1 e B2. Em C, ângulo C1 e C2.

7 Faça o que se pede.

a) Dados

Esquema. Abre chave. Primeira linha: segmento A M congruente ao segmento M B. Segunda linha: segmento A C paralelo ao segmento B D. Vírgula.

prove que

\overline{A C} ≅ \overline{B D}

Ilustração.
Reta horizontal AB. Retas diagonais de A e B. Reta diagonal acima, ponto C, e abaixo, ponto D, passa no centro da reta AB, ponto M.

b) Dado o quadrilátero ABCD, em que

Esquema. Abre chave. Primeira linha: segmento A B paralelo ao segmento C D. Segunda linha: segmento A B congruente ao segmento C D. Vírgula.

prove que

\hat{A} ≅ \hat{C}

Ilustração. Quadrilátero ABCD com reta diagonal BD.

8 Vamos rever a construção de uma perpendicular a uma reta r que passa por um ponto P dessa reta, dados P e r.

1º) Com a ponta-séca do compasso em P e uma abertura qualquer, traçamos um arco que intersecta r nos pontos M e N.

Ilustração. Reta r com ponto M e N. Entre eles, ponto P. Arco de M até N.

2º) Com a ponta-séca do compasso em M e em N, traçamos dois arcos, com a mesma abertura (maior que PM) do compasso, que se intersectam em a.

Ilustração. Reta r com pontos M e N. Entre eles, ponto P. Acima, ponto A determinado pelos arcos descritos no texto.

3º) A reta

\overset{\leftrightarrow}{A P}

é perpendicular à reta r. O ponto P é chamado “pé da perpendicular” de

\overset{\leftrightarrow}{A P}

sobre r.

Ilustração. Reta r com ponto M e N. Entre eles, ponto P. Acima, ponto A com reta vertical passando por P. Reta tracejada de M e N até A.

• Justifique por que essa construção é válida.

9 Vamos rever a construção de uma perpendicular a uma reta r que passa por um ponto P que não está na reta, dados P e r.

1º) Com a ponta-sêca do compasso em P, traçamos um arco que intersecta r nos pontos M e N.

Ilustração. Reta r com pontos M e N. Acima, ponto P. Abaixo, arco intersectando r em M e N.

2º) Com a ponta-séca do compasso em M e em N, traçamos dois arcos de mesmo raio que se intersectam em B.

Ilustração. Reta r com pontos M e N. Acima, ponto P. Abaixo, ponto B determinado pelos arcos descritos no texto.

3º) A reta

\overset{\leftrightarrow}{P B}

é perpendicular à reta r e intersecta r no ponto X.

Ilustração. Reta r com ponto M e N. Acima, ponto P. Abaixo, ponto B. Reta vertical de P até B. Retas diagonais tracejadas de M e N até P e B.

• Justifique por que essa construção é válida.

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2. Propriedades do triângulo isósceles

1ª propriedade

Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes.

Ilustração. Mulher de cabelo laranja e camiseta roxa fala: Considere o triângulo isósceles ABC e acompanhe a demonstração da propriedade.

Ilustração. Triângulo isósceles ABC. Ao lado, texto: Hipótese, abre chave, segmento A B congruente ao segmento A C. Tese, abre chave, ângulo B congruente ao ângulo C.

• Demonstração Construção auxiliar: vamos traçar a bissetriz

\overline{A D}

Ilustração. Triângulo isósceles ABC. Entre B e C, ponto D. Segmento de reta de A até o ponto D. Em A, o segmento de reta divide o ângulo em m e n.

Comparando os triângulos á dê bê e á dê cê, temos:

\overline{A B} ≅ \overline{A C}

(por hipótese)

\hat{m} ≅ \hat{n}

(

\overline{A D}

é bissetriz)

\overline{A D} ≅ \overline{A D}

(lado comum)

Logo, pelo caso lado ângulo lado, os triângulos á dê bê e á dê cê são congruentes. Portanto,

\hat{B} ≅ \hat{C}

, pois são ângulos correspondentes em triângulos congruentes.

Como exemplo, vamos calcular o valor de x, em grau, no triângulo é éfe gê, sabendo que

\overline{E F} ≅ \overline{E G}

Ilustração. Triângulo EFG à esquerda, com ângulo x em E, ângulo 55 graus em F. Seta indicando para direita chamada: EFG é triângulo isósceles. À direita, triângulo EFG com ângulo x em E, ângulo 55 graus em F e 55 graus em G.

x + 55graus + 55graus = 180graus

x + 110graus = 180graus

x = 180graus ‒ 110graus

x = 70graus

2ª propriedade

Em todo triângulo isósceles, a mediana, a altura e a bissetriz relativas à base coincidem.

Ilustração. Homem de cabelo ruivo e camisa vermelha. Ele fala: Considere o triângulo isósceles A B C, em que segmento A M é mediana, e acompanhe a demonstração da propriedade.

Ilustração. Triângulo isósceles ABC. Entre B e C, ponto M. Segmento de reta de A até M. Ao lado, texto: Hipótese, abre chave. Primeira linha: segmento A B congruente ao segmento A C. Segunda linha: segmento B M congruente ao segmento M C. Abaixo, texto: Tese, abre chave. Primeira linha: segmento A M é bissetriz. Segunda linha: segmento A M é altura.

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• Demonstração

Ilustração. Triângulo isósceles ABC. Entre B e C, ponto M. Segmento de reta de A até M, dividindo o ângulo A em A1 e A2 e o ângulo M em M1 e M2.

Comparando os triângulos á ême bê e á ême cê, temos:

\overline{A B} ≅ \overline{A C}

(por hipótese)

\overline{B M} ≅ \overline{M C}

(

\overline{A M}

é mediana relativa ao lado

\overline{B C}

)

\overline{A M} ≅ \overline{A M}

(lado comum)

Logo, pelo caso lado lado lado, os triângulos á ême bê e á ême cê são congruentes. Portanto:

•

\hat{A}

1 ≅

\hat{A}

2, o que prova que

\overline{A M}

é a bissetriz relativa ao ângulo

\hat{A}

•

\hat{M}

1 ≅

\hat{M}

2 e, por serem adjacentes e suplementares, cada um deles é um ângulo reto, o que prova que

\overline{A M}

é a altura relativa ao lado

\overline{B C}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

10 O triângulo á bê cê é isósceles de base

\overline{B C}

Calcule:

a) a medida do ângulo

\hat{B}

;

b) a medida do ângulo

\hat{C}

Ilustração. Triângulo ABC. No vértice A, ângulo 72 graus.

11 Do triângulo á bê cê, pede-se:

a) medida do(

\overline{B C}

), sabendo que medida do(

\overline{B H}

) = 2 centímetros;

b) medida do(

\hat{A_{1}}

);

c) medida do(

\hat{B}

Ilustração. Triângulo isósceles ABC. Entre B e C, ponto H. Segmento de reta tracejado de A até ponto H, dividindo o ângulo A em A1 e 40 graus.

12 Em um triângulo isósceles á bê cê,

\overline{A H}

é a altura relativa à base

\overline{B C}

. Sendo medida do(

\overline{B H}

) = 3,5 centímetros, calcule medida do(

\overline{H C}

13 Calcule x e y nas figuras a seguir.

Ilustração. Triângulo com ângulo 62 graus. Segmentos de reta do canto inferior esquerdo e direito até o centro, formando ângulo y. Ângulos x e x à esquerda e x e x à direita.

Ilustração. Triângulo com ângulo 62 graus à esquerda e 75 graus acima. Segmento de reta do lado inferior até lado direito, forma um triângulo menor com ângulo x acima e y à direita.

Ilustração. Triângulo com ângulo 65 graus no canto inferior esquerdo e 65 graus no canto inferior direito. Segmento de reta vertical tracejado do topo até o lado inferior. Medidas: base: 3x mais 1; lado esquerdo: 5 vezes x menos 3; lado direito: 12; distância do segmento de reta tracejado até o lado direito: y.

14 Calcule as medidas dos ângulos de um triângulo isósceles no qual cada ângulo da base mede o quádruplo da medida do ângulo do vértice.

15 Calcule a medida de cada ângulo obtuso determinado por duas bissetrizes de um triângulo equilátero.

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16 Calcule as medidas x e y, em grau, nas figuras a seguir.

Ilustração. Reta vertical. À esquerda, quatro segmentos de reta diagonais para esquerda unidos. Ângulo externo: 105 graus. Na ponta esquerda, ângulo x e com a reta vertical, ângulo y.

Ilustração. Triângulo com ângulo y graus no canto inferior esquerdo e 80 graus acima. Reta do canto inferior esquerdo até lado direito com ângulo y e 120 graus. No canto inferior direito, ângulo x.

Hora de criar – Em dupla, cada um cria um problema sobre triângulo isósceles. Troquem de caderno e, depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

18 A figura representa a construção da mediatriz do segmento

\overline{A B}

Ilustração. Segmento de reta horizontal AB. No centro, reta vertical CD com ponto M no centro. Ao redor, losango tracejado.

a) Observando a figura, justifique por que essa construção é válida.

b) Desenhe um triângulo qualquer e trace as mediatrizes de seus lados. Depois, trace a circunferência de centro na intersecção das mediatrizes e que passa pelos vértices do triângulo.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca!)

3. Propriedades de um triângulo qualquer

1ª propriedade

A medida do ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.

Considere o triângulo á bê cê a seguir.

Ilustração. Triângulo ABC. Em B, ângulo externo x.

Sistema. Hipótese, abre chave, ângulo x é um ângulo externo não adjacente aos ângulos A e C

Sistema. Tese, abre chaves, medida do ângulo x é igual a medida do ângulo A mais a medida do ângulo C

• Demonstração

No triângulo á bê cê, temos:

1. medida do(

\hat{x}

) + medida do(

\hat{B}

) = 180graus (

\hat{x}

\hat{B}

são adjacentes e suplementares)

2. medida do(

\hat{A}

) + medida do(

\hat{B}

) + medida do(

\hat{C}

) = 180graus (

\hat{A}

\hat{B}

\hat{C}

são ângulos internos de um triângulo)

Logo:

Sentença matemática. Medida do ângulo x mais medida do ângulo B é igual a medida do ângulo A mais medida do ângulo B mais medida do ângulo C. Medida do ângulo x é igual a medida do ângulo A mais medida do ângulo C.

Como exemplo de aplicação, vamos calcular x, em grau, nos triângulos a seguir.

Ilustração. Triângulo com ângulos internos: 82 graus e 54 graus. Ângulo externo: x.

x = 54 + 82

x = 136

Ilustração. Triângulo com ângulos internos: 2x mais 20 graus e 3x mais 10 graus. Ângulo externo: 110 graus.

2x + 20 + 3x ‒ 10 = 110

5x = 100 ⇒ x = 20

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2ª propriedade

Se dois lados de um triângulo são desiguais, então ao lado de maior medida opõe-se o ângulo de maior medida.

Considere o triângulo á bê cêa seguir.

Ilustração. Triângulo ABC. Com ângulos B e C em destaque.

Sistema. Hipótese, abre chaves, A C maior que A B

Sistema. Tese, abre chave, medida do ângulo B maior que medida do ângulo C.

• Demonstração

Construção auxiliar: marcamos sobre

\overline{A C}

um ponto D tal que

\overline{A D} ≅ \overline{A B}

Ilustração. Triângulo ABC. Entre A e C, ponto D. De B, sai segmento de reta tracejado até D. O ângulo do segmento tracejado com o lado A B é chamado de ângulo B1, e o ângulo entre o segmento tracejado e o lado A D, é chamado de ângulo D1.

1. O triângulo á bê dê é isósceles (por construção)

2. medida do(

\hat{B_{1}}

) ≅ medida do(

\hat{D_{1}}

) (propriedade do triângulo isósceles)

3. medida do(

\hat{D_{1}}

) > medida do(

\hat{C}

) (pela propriedade do ângulo externo)

4. medida do(

\hat{B_{1}}

) > medida do(

\hat{C}

) (substituindo

\hat{D_{1}}

por

\hat{B}

5. medida do(

\hat{B}

) > medida do(

\hat{B_{1}}

) (pela construção auxiliar)

6. medida do(

\hat{B}

) > medida do(

\hat{C}

) (pois medida do(

\hat{B}

) > medida do(

\hat{B_{1}}

) > medida do(

\hat{C}

))

Vamos admitir, sem demonstração, que a recíproca dessa propriedade seja verdadeira, isto é, se dois ângulos de um triângulo são desiguais, então ao ângulo de maior medida opõe-se o lado de maior medida.

Acompanhe alguns exemplos.

Ilustração. Triângulo MNP com ângulos diferentes em destaque.

Ilustração. Triângulo PQR com ângulos diferentes em destaque.

a) No triângulo ême êne pê, temos medida do(

\hat{M}

) > medida do(

\hat{N}

). Que relação existe entre

\overline{N P}

\overline{M P}

Esquema. Como a medida do ângulo M é maior que a medida do ângulo N, então a medida do segmento NP é maior que a medida do segmento MP.
Abaixo, segmento NP e seta indicando o ângulo M. Ao lado segmento MP, seta indicando o ângulo N e cota: ângulos opostos aos lados.

b) No triângulo pê quê érre, temos medida do(

\overline{P Q}

) > medida do(

\overline{Q R}

). Que relação existe entre

\hat{R}

\hat{P}

Esquema. Como a medida do segmento PQ é maior que a medida do segmento QR, então a medida do ângulo R é maior que a medida do ângulo P.
Abaixo, ângulo R e seta indicando o segmento PQ. Ao lado ângulo R, seta indicando o segmento QR e cota: lados opostos aos ângulos.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

19 Observe o triângulo e determine o lado de maior medida e o de menor medida. Justifique.

Ilustração. Triângulo ABC com ângulo 30 graus no vértice C e 60 graus no vértice A. Ângulo reto no vértice B.

Ilustração. Triângulo ABC com ângulo 35 graus no vértice C e 25 graus no vértice A. Ângulo externo em B: 60 graus.

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20 Neste triângulo, os comprimentos dos lados não estão proporcionais às medidas indicadas. Determine o maior ângulo e o menor ângulo.

Ilustração. Triângulo ABC com medidas: AB: 4 centímetros, AC: 5 vírgula 5 centímetros e BC: 3 centímetros.

21 Dois lados de um triângulo medem, respectivamente, 5,5 centímetros e 4 centímetros. O terceiro lado mede aproximadamente 3 centímetros. Um de seus ângulos mede 100graus. Quanto mede o lado oposto a ele?

22 Ana e Renata moram perto de uma lanchonete, conforme mostra o esquema a seguir.

Ilustração. Triângulo de lados diferentes. Em um vértice, ponto que se chama casa de Ana e tem ângulo de 40 graus. Em outro vértice, ponto que se chama casa de Renata e tem ângulo de 60 graus. Em outro vértice, ponto que se chama lanchonete.

Qual delas mora mais distante da lanchonete? Justifique.

23 Em cada caso, as medidas estão indicadas em uma mesma unidade. Verifique que casos são possíveis. Quando for impossível, justifique.

Ilustração. Triângulo com as medidas: 3, 5 e 7. Ângulos: 75 graus, 45 graus e 60 graus.

Ilustração. Triângulo com as medidas: 3, 2 vírgula 2 e 4 vírgula 5. Ângulos: 20 graus, 125 graus e 25 graus.

24 Em um jôgo de futebol, Paulo cobra uma falta jogando a bola para Marcos, que a joga para Daniel. A trajetória da bola está representada na figura a seguir. Determine as medidas x e y, em grau.

Ilustração. Campo de futebol. Do centro do campo para direita, figura triangular. Acima, Marcos com ângulo interno x e externo 105 graus. À esquerda, Daniel com ângulo y e à direita, Paulo com ângulo 60 graus.

25 Sabendo que

\bar{A B} // \bar{C D}

, calcule o valor de x e de y, em grau, nos triângulos a seguir.

Ilustração. Triângulo ABE. Entre A e E, ponto C. Entre B e E, ponto D. Uma reta liga C e D. Em B, ângulo x. Em E, ângulo y.
Em C, ângulo de 60 graus e em D, ângulo externo de 120 graus.

Ilustração. Triângulo ABE. Entre A e E, C. Entre E e B, D. Uma reta liga C e D. Em E, ângulo y. Em C, ângulo externo 48 graus. Em A, ângulo x e em B, 80 graus.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Considere que a = 105graus e b = 40graus; qual é a medida x do ângulo indicado na figura?

Ilustração. Triângulo com ângulo interno b no topo. Na parte inferior, ângulo externo a de um lado e x do outro lado.

a) 35graus

b) 40graus

c) 65graus

d) 75graus

e) 115graus

2 Calcule as medidas x e y no triângulo.

Ilustração. Triângulo com ângulo interno 50 graus no topo. À esquerda, ângulo de 90 graus dividido ao meio e à direita, ângulo externo y. Segmentos de reta tracejados do canto inferior esquerdo e direito até o centro, formando ângulo x.

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3 (éfe cê cê) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas. A medida x do ângulo assinalado é:

Ilustração. Duas retas horizontais paralelas, r e s. Retas diagonais t e u que se cruzam, formando ângulo de 35 graus na parte superior. Na parte inferior, ângulo 70 graus em t e x em u.

a) 135graus.

b) 120graus.

c) 115graus.

d) 110graus.

e) 105graus.

4 (saréspi) O vértice a de uma folha de papel retangular será dobrado sobre o lado

\overline{B C}

de fórma que as medidas bê ê e BA' sejam iguais, como mostra a figura.

Ilustração. Retângulo ABCD. Ao lado, retângulo ABCD com lado A dobrado para cima, ponto A linha e E na lateral da dobra.

Nas condições dadas, a medida do ângulo, que é um dos ângulos internos do triângulo BA'E, é:

a) 45º.

b) 60º.

c) 100º.

d) 120º.

5 (univáli-Santa Catarina) O peso da figura está suspenso por duas cordas de mesma medida e presas no teto.

Ilustração. Base horizontal. Abaixo, cordas diagonais formando ângulos b acima e 30 graus abaixo, presas em um peso retangular.

Se o ângulo entre as cordas é de 30graus, então o ângulo

\hat{b}

, formado pela corda e o teto, mede:

a) 105graus.

b) 100graus.

c) 90graus.

d) 75graus.

e) 60graus.

6 (ú éfe ême gê) Nesta figura,

\overline{A B} ≅ \overline{A C}

\overline{B D}

é bissetriz de

A \hat{B} C

\overline{C E}

bissetriz de

B \hat{C} D

e a medida do ângulo

A \hat{C} F

é 140graus.

Ilustração. Triângulo ABC. À direita do triângulo, ponto F. Bissetriz de B determinando o ponto D no lado AC. Bissetriz de C determinando o ponto E em BD. Ângulo externo de 140 graus em C.

A medida do ângulo

D \hat{E} C

, em grau, é:

a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

e) 60

7 No triângulo á bê cê da figura, temos:

\overset{\leftrightarrow}{D E}

\overset{\leftrightarrow}{B C}

são paralelas, medida do(

\hat{A}

) = 33graus e medida do(

\hat{C}

) = 45graus. Calcule x e y.

Ilustração. Triângulo ABC. Em A, ângulo 33 graus. C: 45 graus. B: ângulo externo x. Reta do lado AB até lado AC, ponto D e E com ângulo y em D.

8 (ú éfe ême gê) Na figura, á cê = cê bê = bê dê e medida do(

\hat{A}

) = 25graus.

O valor de x é:

a) 50graus.

b) 60graus.

c) 70graus.

d) 75graus.

e) 80graus.

9 (ufáque) Considere a figura a seguir.

Ilustração. Triângulo com ângulos internos beta e gama, e ângulos externos alfa e 150 graus.

Sabendo-se que α + β = 135graus, temos que α, β e θ medem, respectivamente:

a) 30graus, 45graus e 105graus.

b) 30graus, 115graus e 35graus.

c) 30graus, 105graus e 45graus.

d) 45graus, 105graus e 30graus.

e) α = β = 45graus e θ = 90graus.

10 (ó bê mépi) A figura mostra dois trechos de 300 quilômetros cada um percorridos por um avião. O primeiro trecho faz um ângulo de 18graus com a direção norte, e o segundo, um ângulo de 44graus, também com a direção norte. Se o avião tivesse percorrido o trecho assinalado em pontilhado, qual seria o ângulo desse trecho com a direção norte?

Esquema. Duas retas diagonais unidas à direita, com reta vertical para cima.
Em cada diagonal, posição de um avião, com ângulo dividido em duas partes na parte inferior, 18 graus e ponto de interrogação com reta tracejada vertical à esquerda de uma reta a outra.
Acima, 44 graus com reta vertical. Na parte inferior direita, rosa dos ventos.

a) 12graus

b) 13graus

c) 14graus

d) 15graus

e) 16graus

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Se dois triângulos á bê cê e dê ê éfe são congruentes, então:

a) as medidas de todos os lados são iguais;

b) ambos devem ser retângulos;

c) seus vértices são coincidentes;

d) as medidas de seus respectivos lados são iguais.

2 Duas retas r e t paralelas são cortadas por duas retas transversais u e v, que se intersectam entre r e t, no ponto C, formando os triângulos á bê cê e dê cê é congruentes. a e B pertencem a r, D e ê pertencem a t. O que podemos afirmar sobre C ?

a) É um ponto equidistante de r e t.

b) Pertence às retas r e t.

c) Está mais distante de r do que de t.

d) Pertence a apenas uma das retas citadas.

3 Das sentenças a seguir, identifique a verdadeira.

a) Se traçarmos a diagonal em um quadrado, então os triângulos gerados não serão congruentes.

b) Se a bissetriz de um ângulo de medida α o divide ao meio, então a bissetriz de um desses novos ângulos gerará dois ângulos de medida

\frac{α}{3}

c) Se um triângulo é equilátero, então a bissetriz, a mediana e a altura referentes a um mesmo lado coincidem.

d) Se um dos ângulos externos de um triângulo mede 60graus, então o triângulo é acutângulo.

4 No quadrilátero a seguir, o fato de

\overline{A C}

ser a bissetriz de

D \hat{A} B

e de

B \hat{C} D

faz com que os triângulos ABC e ADC sejam:

Ilustração. Polígono ABCD. De A até C, reta horizontal dividindo ângulos em duas partes.

a) isósceles.

b) diferentes.

c) equiláteros.

d) congruentes.

5 Na imagem a seguir,

\overline{A D} ≅ \overline{D E}

, α = 82graus e β = 69graus. Qual é a medida γ?

Ilustração. Triângulo ADE com ângulo y em D. Ao lado, quadrilátero BCDE com ângulo alfa em C e beta em B.

a) 29graus

b) 58graus

c) 100graus

d) 122graus

6 Um Dizáiner projetou uma janela em formato de triângulo equilátero com lados medindo 50 centímetros, conforme a imagem. O segmento

\overline{A D}

é a altura da janela e representa uma viga de sustentação.

Ilustração. Triângulo ABC. Entre B e C, ponto D. Um segmento de reta liga A e D com marcação do ângulo reto.

A que distância a extremidade C está da viga de sustentação e qual é a medida do ângulo

D \hat{A} C

a) 50 centímetros e 30graus

b) 25 centímetros e 30graus

c) 50 centímetros e 60graus

d) 25 centímetros e 15graus

7 Na imagem a seguir,

\overline{A B} ≅ \overline{B C}

e medida do(BÂC) = 22graus. Determine a medida α do ângulo externo com vértice em B.

Ilustração. Triângulo ABC com ângulo externo alfa em B.

a) α = 22graus

b) α = 44graus

c) α = 136graus

d) α = 180graus

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) Como você explicaria a um colega o que é Geometria demonstrativa?

b) Em um teorema, o que é a hipótese e o que é a tese?

c) Liste três postulados descritos neste capítulo.

d) Qual é a relação que podemos estabelecer entre a medida do lado de um triângulo e a medida do ângulo oposto a esse lado?

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DIVERSIFICANDO

Fractais

Considere o segmento

\overline{A B}

, dividido em três partes iguais.

Construímos sobre

\overline{C D}

um triângulo equilátero e, em seguida, apagamos o segmento

\overline{C D}

Em cada um desses quatro segmentos, repetimos o mesmo procedimento.

Prosseguindo assim, obtemos a figura a seguir.

Ilustração. Sequência de 3 figuras.
Primeira. Reta horizontal AB com pontos C e D, dividindo AB em 3 partes iguais. Segunda. Triângulo equilátero, aberto na parte inferior, na posição do segmento CD. Terceira. Triângulos equiláteros, abertos na parte inferior, formados em cada um dos segmentos da figura anterior. Quarta. Repetição de triângulos equiláteros, abertos na parte inferior, formados em cada um dos segmentos da figura anterior.

Essa figura, formada por repetições de padrões, é um exemplo de fractal. Ela conserva todas as propriedades da figura inicial.

Observe, a seguir, algumas imagens de fractais construídos com o uso do computador.

Ilustração. Quadrado com figura octogonal no centro. Ao redor, duas linhas octogonais nas cores: roxo e amarelo.

Ilustração. Figura octogonal composta por linhas amarelas, pretas e brancas.

Agora é com você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Uma das figuras mais elementares da geometria fractal é o triângulo de Sierpinski. Para sua construção, partimos de um triângulo equilátero.

Unindo os pontos médios desse triângulo, obtemos quatro triângulos menores e desconsideramos aquele que não tem vértice coincidindo com um dos vértices do triângulo original.

Ilustração. Triângulo verde com um triângulo branco invertido no centro.

Repetindo esse procedimento, obtemos:

Ilustração. Triângulo verde com um triângulo branco invertido no centro e outros 3 ao redor.

Descubra qual é a quarta figura do triângulo de Sierpinski.

Ilustração. a) Triângulo verde com um triângulo branco invertido no centro, outros 3 ao redor dele e mais 3 menores cercados cada um por outros 3 triângulos ainda menores, todos invertidos.
b) Triângulo verde com 1 triângulo branco para cima no centro e outros 3 triângulos invertidos de mesmo tamanho do anterior ao seu redor. Ao redor de cada um deles, triângulos brancos menores.

Ilustração. c) Triângulo verde com um triângulo branco invertido no centro, outros 3 invertidos ao redor, cercados por mais 3 triângulos invertidos menores.
d) Triângulo branco com um triângulo verde invertido no centro, outros 3 invertidos ao redor, cercado por mais 3 invertidos menores.

Glossário

Silogismo: : raciocínio dedutivo estruturado formalmente com base em duas proposições (premissas), das quais se obtém por inferência uma terceira (conclusão).; Voltar para o texto