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CAPÍTULO 12 Geometria e grandezas

Fotografia. Botões da flor-de-cera com formato de pentágono na cor vermelha. — Botões da flor-de-cera (Hoya imperialis).

A natureza, produtora de espécimes exuberantes, é generosa em oferecer fórmas que encantam e que possibilitam desenvolver o sentido da estética nas pessoas.

Por meio da observação do objeto real, o ser humano apreende a beleza e projeta fórmas ideais, como as que estudaremos nos polígonos regulares.

Observe, leia e responda no caderno.

a) A superfície do botão da flor-de-cera lembra um polígono. Que polígono é esse?

b) As marcas nas superfícies nos dão a ideia de uma divisão em 5 partes. Essas partes lembram o formato de outro polígono. Qual é o nome desse polígono?

c) Você conhece outras fórmas na natureza que nos dão ideia de figuras geométricas? Que fórmas são essas? Converse com o professor e os colegas.

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1. Polígonos regulares inscritos e circunscritos em uma circunferência

Na abertura deste capítulo, lemos que a observação de objetos reais é assimilada pelo ser humano. A partir daí, ele imagina e elabora os correspondentes objetos ideais e, assim, promove novos conhecimentos.

Fotografia. Flor-de-cera branca com miolo vermelho e branco. Ao redor do miolo, pentágono ABCDE. — Flor-de-cera (Hoya carnosa).

No pentágono regular á bê cê dê é destacado na fotografia da flor-de-cera (Hoya carnosa), temos:

•

\overline{A B}

≅

\overline{B C}

≅

\overline{C D}

≅

\overline{D E}

≅

\overline{E A}

•

\hat{A}

≅

\hat{B}

≅

\hat{C}

≅

\hat{D}

≅

\hat{E}

Observe que o alvéolo de um favo de mel também nos faz lembrar um polígono, que é o hexágono regular.

Fotografia. Favo de mel com destaque para um alvéolo formando um hexágono ABCDEF. — Alvéolos de favo de mel.

Ilustração. Homem de capacete de proteção com tela transparente, roupas brancas de proteção, botas e luvas amarelas.

No hexágono regular á bê cê dê é éfe destacado na fotografia, temos:

•

\overline{A B}

≅

\overline{B C}

≅

\overline{C D}

≅

\overline{D E}

≅

\overline{E F}

≅

\overline{F A}

•

\hat{A}

≅

\hat{B}

≅

\hat{C}

≅

\hat{D}

≅

\hat{E}

≅

\hat{F}

(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)

Os polígonos regulares também são bastante usados nas artes plásticas, especialmente em algumas obras de tendências modernistas. Observe a reprodução de uma obra do pintor paulista Luiz Sacilotto (1924 a 2003), cujo formato lembra um quadrado.

Fotografia. Tela composta por quadrados coloridos com quadrados na diagonal de cores diferentes. — SACILOTTO, L. Concreção 8457. 1984. Têmpera rhodopás sobre tela fixada em duratex, 20 centímetros por 20 centímetros. Coleção particular.

No quadrado a bê cê dê indicado na reprodução da obra, temos:

•

\overline{A B}

≅

\overline{B C}

≅

\overline{C D}

≅

\overline{D A}

•

\hat{A}

≅

\hat{B}

≅

\hat{C}

≅

\hat{D}

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Observe alguns exemplos de polígonos regulares.

Ilustração. Homem de cabelo preto e camisa verde fala: Um polígono é regular quando todos os seus lados são congruentes entre si e todos os seus ângulos são congruentes entre si.

Ilustração. Quadrado com 4 ângulos retos internos. Ilustração. Hexágono com ângulos internos de 120 graus em cada vértice. Ilustração. Triângulo com 60 graus em cada vértice.

Propriedades dos polígonos regulares

Considere alguns objetos.

Fotografia. Moeda dourada de 25 centavos.

A moeda de 25 centavos cunhada no biênio 1994 a 1995 tem ao fundo o desenho que lembra um heptágono regular. Essa situação sugere um polígono cujos vértices estão sobre uma circunferência. Nesse caso, dizemos que o polígono está inscrito na circunferência.

A porca representada na imagem a seguir tem uma parte com o formato circular e a outra parte com o formato de um hexágono regular. Essa situação sugere um polígono cujos lados são tangentes a uma circunferência. Nesse caso, dizemos que o polígono está circunscrito à circunferência.

Fotografia. Porca de parafuso em formato hexagonal.

(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)

Podemos dizer que, se um polígono é regular, então existe uma circunferência que passa por todos os seus vértices e outra que tangencia todos os seus lados.

Enunciamos as propriedades a seguir.

Todo polígono regular é inscritível em uma circunferência.

Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência.

Observe os exemplos.

Ilustração. Circunferência com triângulo dentro. Ilustração. Circunferência com hexágono dentro. — Polígonos regulares inscritos em uma circunferência

Ilustração. Octógono com circunferência dentro. Ilustração. Triângulo com circunferência dentro. — Polígonos regulares circunscritos em uma circunferência

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Acompanhe, a seguir, como inscrever e como circunscrever um quadrado.

• Nesta circunferência, vamos traçar um diâmetro qualquer e a sua mediatriz, obtendo o diâmetro perpendicular a ele. Observe que a circunferência ficou dividida em quatro arcos congruentes de 90graus.

Ilustração. Circunferência com duas retas formando 4 ângulos retos no centro.

• As cordas determinadas pelos pontos consecutivos de divisão formam um quadrado inscrito na circunferência.

Ilustração. Circunferência com losango dentro e duas retas formando 4 ângulos retos no centro.

• As tangentes determinadas pelos pontos de divisão formam um quadrado circunscrito à circunferência.

Ilustração. Quadrado com circunferência dentro e duas retas formando 4 ângulos retos no centro.

Generalizando, dizemos que:

• se uma circunferência é dividida em três ou mais arcos congruentes, então as cordas determinadas pelos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular inscrito na circunferência;

• se uma circunferência é dividida em três ou mais arcos congruentes, então as tangentes aos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular circunscrito à circunferência.

Com base no que estudamos, podemos construir o fluxograma a seguir, que verifica se um quadrado é inscrito ou circunscrito a uma circunferência.

Fluxograma. A figura é um fluxograma com 7 caixas legendadas ligadas por setas. Em cada etapa, as setas apontam para a frente para uma caixa. Aqui, o fluxograma é descrito como listas nas quais os próximos passos possíveis são listados abaixo de cada legenda da caixa. 1. Dado um quadrado Q e uma circunferência C, verificar se Q é inscrito ou circunscrito à C. a. Avança para Os quatro vértices de Q pertencem à circunferência? 2. Os quatro vértices de Q pertencem à circunferência? a. Se sim, avança para O quadrado é inscrito à circunferência, abaixo, ilustração de um circulo com um quadrado dentro, onde os vértices do quadrado são pontos da circunferência. b. Se não, avança para Encontrar os pontos médios dos lados do quadrado. 3. Encontrar os pontos médios dos lados do quadrado. a. Avança para Os pontos médios dos lados do quadrado Q pertencem à circunferência? 4. Os pontos médios dos lados do quadrado Q pertencem à circunferência? a. Se sim, avança para O quadrado é circunscrito à circunferência, abaixo, ilustração de um quadrado com uma circunferência dentro, e onde eles se encontram, são pontos do quadrado. b. Se não, avança para O quadrado Q e a circunferência C não têm relação de inscrição nem de circunscrição.

Observação

▶ A circunferência inscrita em um polígono regular tangencia os lados desse polígono nos seus respectivos pontos médios.

Ilustração. Pentágono com circunferência dentro. Do centro, reta tracejada vertical com ângulo reto e reta tracejada verticalmente para direita com ângulo reto.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Indique se o polígono é inscrito na circunferência, circunscrito a ela ou se nenhum dos casos se aplica ao item.

Ilustração. Circunferência com paralelogramo dentro.

Ilustração. Circunferência com polígono de 4 lados dentro.

Ilustração. Quadrado com circunferência dentro.

Ilustração. Circunferência com trapézio sobreposto à direita.

Versão adaptada acessível

1. Faça a representação de:

a) um polígono inscrito em uma circunferência;

b) um polígono circunscrito em uma circunferência;

c) um polígono interno a uma circunferência, que não seja inscrito.

2 Considere um quadrado circunscrito e suas diagonais. A tangência entre essas figuras e as intersecções das diagonais do quadrado com a circunferência determinam 8 pontos. Ao unir esses pontos com segmentos de reta, obtemos um polígono. Faça um esbôço dessa construção e indique se o polígono será inscrito ou circunscrito à circunferência.

3 Indique os itens que não apresentam polígonos regulares. Em seguida, justifique.

Ilustração. Triângulo de lados e ângulos iguais.

Ilustração. Losango de lados e ângulos iguais.

Ilustração. Hexágono de lados e ângulos iguais.

Ilustração. Retângulo de lados e ângulos iguais.

4 Para a construção de um hexágono regular inscrito, usando compasso, régua e transferidor, quais são os passos a serem seguidos? Construa um fluxograma com esses passos e compartilhe com o professor e os colegas.

PARA SABER MAIS

Determinando aproximações do número pi

Muitos matemáticos gregos da Antiguidade preocuparam-se com medidas de comprimento e de área, sobretudo Eudoxo de Cnido (408 a 355 ? antes de Cristo) e, depois, Arquimedes de Siracusa (287 a 212 ? antes de Cristo).

Arquimedes foi um dos maiores matemáticos da Antiguidade, embora o centro da Matemática no período em que viveu, chamado de Idade Helenística, estivesse em Alexandria (no Egito).

Esse sábio — que era matemático, físico e inventor — nasceu no início do século três antes de Cristo, em Siracusa (cidade localizada na atual ilha da Sicília, na Itália), e morreu em 212 antes de Cristo, durante um ataque dos romanos à cidade.

Sempre muito engenhoso, mesmo durante o cerco à cidade pelas tropas romanas, Arquimedes inventou catapultas para lançar pedras, assim como polias e ganchos para espatifar navios romanos. Com essas e outras invenções, ele conseguiu manter o inimigo distante por, pelo menos, três anos. Contudo, durante o massacre que sucedeu a tomada de Siracusa, Arquimedes foi assassinado por um soldado romano, apesar das ordens expressas do general Marcelo para que preservassem a vida do grande sábio.

Fotografia. Vista frontal de catapulta, estrutura de madeira com haste para um dos lados. Ao fundo, muro de pedras. Céu azul sem nuvens. — Catapulta.

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Entre as obras escritas por esse matemático grego, aproximadamente dez tratados foram preservados até hoje. No que diz respeito à medida de comprimentos e de áreas, destacamos um tratado de Geometria plana denominado A medida do círculo. Nele, Arquimedes faz uma aproximação para a medida do comprimento da circunferência, estabelecendo, pela primeira vez, um método para o cálculo de valores aproximados de um número não racional, o número irracional hoje denominado π, que é a razão entre as medidas do comprimento e do diâmetro da circunferência.

O comprimento da circunferência fica entre o perímetro de qualquer polígono regular inscrito e qualquer polígono regular circunscrito, como sugerem as figuras a seguir.

Ilustração. Circunferência com hexágono dentro. Ilustração. Hexágono com circunferência dentro.

Ilustração. Circunferência com dodecágono dentro. Ilustração. Dodecágono com circunferência dentro.

Para calcular a medida do comprimento da circunferência de raio de medida 1, em unidade de comprimento, Arquimedes considerou, inicialmente, a medida do perímetro dos hexágonos regulares inscrito e circunscrito à circunferência. Depois, ele comparou o comprimento dela com o perímetro de outros polígonos regulares inscritos e circunscritos, dobrando o número de lados a cada comparação. Ao calcular a medida do perímetro dos polígonos inscrito e circunscrito de 12, 24, 48 e 96 lados, Arquimedes obteve resultados que se aproximavam cada vez mais de 2π.

Foi assim que Arquimedes obteve a primeira aproximação historicamente conhecida para a medida do comprimento da circunferência, bem como para o número π. Ele chegou à conclusão de que π era um número entre

\frac{223}{71}

\frac{22}{7}

, ou seja, 3,140reticências e 3,142reticências Assim, Arquimedes obteve uma aproximação para π com duas casas decimais. Esse método é conhecido como método clássico para o cálculo de π.

Elementos de um polígono regular

Em um polígono regular, temos:

Ilustração. Circunferência com hexágono ABCDEF dentro. No centro, ponto O com reta vertical entre AB, ponto M, reta em C e reta em D formam ângulo Ac. Em F, ângulo Ai.

• centro do polígono: centro da circunferência circunscrita a ele (na figura, o ponto óh );

• raio do polígono: raio da circunferência circunscrita a ele (na figura,

\overline{O C}

\overline{O D}

);

• apótema do polígono: segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um de seus lados (na figura,

\overline{O M}

);

• ângulo central: aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados são semirretas que contêm dois vértices consecutivos do polígono (na figura,

C \hat{O} D

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Representando por a_c a medida do ângulo central de um polígono regular de n lados, por a_i a medida do ângulo interno e por S_i a soma das medidas dos ângulos internos, temos:

ai, igual a, fração, numerador Si, denominador n. Si, igual a, abre parênteses, n menos 2, fecha parênteses, vezes, 180 graus. ac igual a, fração, numerador 360 graus, denominador n

Como exemplo, vamos considerar este octógono regular.

Ilustração. Circunferência com hexágono dentro. No centro, ponto O com reta vertical entre AB, ponto M, reta em C e reta em D formam ângulo ac. No hexágono, ângulo ai interno e ângulo ae externo.

• O ponto óh é o centro do octógono.

• Os segmentos

\overline{O C} e \overline{O B}

são raios.

• O segmento

\overline{O M}

é um dos apótemas.

• O ângulo

C \hat{O} B

é um ângulo central.

A medida a_c de um ângulo central desse polígono é dada por:

a_{c} = \frac{360 °}{n}

Assim, como n = 8, temos:

a_{c} = \frac{360 °}{8}

= 45graus

A medida a_i de um ângulo interno desse polígono é dada por:

a_{i} = \frac{S_{i}}{n} = \frac{(n ‒ 2) \cdot 180 °}{n}

Assim, como n = 8, temos:

a_{i} = \frac{(8 ‒ 2) \cdot 180 °}{8}

= 135graus

Uma maneira de obter a medida a_e de um ângulo externo desse polígono é utilizando a fórmula a_i + a_e = 180graus. Assim, 135graus + a_e = 180graus, ou seja, a_e = 45graus.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

5 Calcule a medida do ângulo central de um triângulo equilátero.

6 Qual é o polígono regular em que as medidas do ângulo central, do ângulo interno e do ângulo externo são todas iguais? Qual é o valor delas?

7 Um polígono regular tem 20 lados.

a) Quanto mede seu ângulo central?

b) Quanto mede seu ângulo interno? E seu ângulo externo?

8 Quantos lados tem um polígono regular em que:

a) o ângulo interno mede 144graus?

b) o ângulo externo mede 30graus?

c) o ângulo central mede 10graus?

9 A figura central do tampo de uma mesa foi formada a partir de um dodecágono regular, como indicado na figura a seguir. Determine a medida do ângulo central desse dodecágono.

Ilustração. Figura composta por 12 lados. No centro, figura de 12 pontas com circunferência no centro.

10 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é .3240graus.

Determine:

a) a medida do ângulo central desse polígono;

b) a medida do ângulo externo desse polígono.

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11 A figura a seguir é um selo comemorativo dos 50 anos de fundação de um colégio.

Ilustração. Selo comemorativo em formato circular vermelho e um hexágono roxo com número 50 no centro. Ao redor, a informação: 50 anos.

Sabendo que o hexágono desenhado nesse selo é regular, determine as medidas do ângulo central, do ângulo externo e do ângulo interno desse hexágono.

Reúna-se com um colega e façam o que se pede.

Copiem no caderno a figura a seguir. Nela, temos parte de um polígono regular de n lados e de uma circunferência de centro O circunscrita a esse polígono.

Indicamos por a_c, a_e e x as medidas dos ângulos central, externo e

O \hat{A} B

, respectivamente.

Ilustração. À esquerda, ponto O. À direita, reta A, B e C. Na extremidade, arco e parte de uma figura de 12 lados. Ângulo externo em B: ae. Em OAB, ângulo ac e em A, ângulo x.

a) Classifiquem, quanto às medidas dos lados, os triângulos ó á bê e ó bê cê. Esses triângulos são congruentes?

b) Representem, em função de x, as medidas do ângulo

O \hat{B} A

e do ângulo central.

c) Representem, em função de x, as medidas do ângulo

A \hat{B} C

e do ângulo externo.

d) Qual é a relação entre as medidas do ângulo central e do ângulo externo?

Hora de criar – Ainda em dupla, façam o que se pede.

Cada um deve traçar duas circunferências de raio medindo 4 centímetros e escolher um polígono regular com n lados, n ⩾ 6, para ser construído pelo outro de duas maneiras.

I. Traçam-se n ângulos centrais adjacentes de medida

\frac{360 °}{n}

cujos lados determinam, na circunferência, os n vértices do polígono. Em seguida, traçam-se os lados do polígono.

II. Traça-se um só ângulo central de medida

\frac{360 °}{n}

, determinando, na circunferência, os vértices a e B. Usando um compasso com abertura igual a A bê, marcam-se na circunferência, a partir de B, os demais vértices. Em seguida, traçam-se os lados do polígono.

Depois de cada um construir o polígono das duas maneiras, discutam e escolham qual delas é a melhor. Justifiquem a escolha.

(Ao usarem o compasso, atenção para não se machucarem com a ponta-sêca!)

2. Cálculo intuitivo da medida da área do círculo

Em Matemática, a tentativa de resolução de problemas, sendo ou não insolúveis, como o da quadratura do círculo com régua e compasso, em geral, leva à criação de novos conceitos e ideias. Para os gregos, obter a medida do comprimento do lado do quadrado de mesma área que um círculo significava calcular a medida da área de um círculo.

O método clássico ou método de exaustão criado por Eudoxo e Arquimedes também foi aplicado para calcular a medida da área do círculo.

De maneira simples, podemos dizer que eles pensaram assim: sabiam que todo polígono pode ser decomposto em triângulos e sabiam calcular a medida da área de um triângulo; logo, podiam calcular a medida da área de qualquer polígono regular, inscrito ou circunscrito em um círculo, com um número n de lados cada vez maior, aproximando-se cada vez mais da medida da área do círculo.

Arquimedes começou por calcular a medida do perímetro (e, consequentemente, da área) de um hexágono regular inscrito, depois foi dobrando o número de lados até chegar ao polígono de 96 lados. Aqui, vamos simplificar iniciando com um quadrado inscrito e dobrando o número de lados por duas vezes, apenas para ilustrar a ideia.

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Agora, observe na figura 1 que a medida da área do quadrado de lado ℓ₄ é igual à medida da área S_P₄ do paralelogramo de base medindo 2ℓ₄ e altura medindo h₄, que é menor do que a medida da área S_c do círculo.

Note que 2ℓ₄ é a medida do semiperímetro p₄ do quadrado e que podemos escrever:

S_{i_{4}}

= p₄ ⋅ h₄ < S_c ,

em que

S_{i_{4}}

é a medida da área do polígono regular inscrito de 4 lados, p₄ é a medida do semiperímetro do quadrado e h₄ é a medida da altura de cada triângulo da divisão.

Ilustração.
Cota: Figura 1.
Circunferência.
Dentro, losango com duas partes triangulares pintadas de verde.
Do centro até a extremidade, reta tracejada h4 e lado l4.
Reta do centro a parte superior: r.
À direita, quatro triângulos intercalados, sendo dois verdes e dois brancos virados para baixo.
A medida da base dos dois triângulos é 2 l4 igual a p4.
A altura é h4.
A medida do centro do losango até o topo é r.

Na figura 2, a medida da área do octógono de lado medindo ℓ₈ é igual à medida da área S_P₈ do paralelogramo de base medindo 4ℓ₈ e altura medindo h₈, que é menor do que a medida da área Sc do círculo.

Note que 4ℓ₈ é a medida do semiperímetro p₈ do octógono e que podemos escrever:

S_{i_{8}}

= p₈ ⋅ h₈ < Sc ,

em que

S_{i_{8}}

é a medida da área do polígono regular inscrito de 8 lados, p₈ é a medida do semiperímetro do octógono e h₈ é a medida da altura de cada triângulo da divisão.

Ilustração.
Cota: Figura 2
Circunferência.
Dentro, octógono com quatro partes triangulares pintadas de verde.
Do centro até a extremidade, reta tracejada h8 e lado l8. Reta do centro a parte superior: r.
À direita, oito triângulos intercalados, sendo quatro verdes e quatro brancos virados para baixo.
A medida da base dos dois triângulos é 4 l 8 = p8.
A altura é h8.
A medida do centro do losango até o topo é r.

Na figura 3, a medida da área do hexadecágonoglossário de lado medindo ℓ₁₆ é igual à medida da área SP₁₆ do paralelogramo de base medindo 8ℓ₁₆ e altura medindo h₁₆, que é menor do que a medida da área Sc do círculo.

Note que 8ℓ₁₆ é a medida do semiperímetro p₁₆ do hexadecágono e que podemos escrever:

S_{i_{16}}

= p₁₆ ⋅ h₁₆ < Sc ,

em que

S_{i_{16}}

é a medida da área do polígono regular inscrito de 16 lados, p₁₆ é a medida do semiperímetro do hexadecágono e h₁₆ é a medida da altura de cada triângulo da divisão.

Ilustração.
Cota: Figura 3
Circunferência.
Dentro, hexadecágono com oito partes triangulares pintadas de verde.
Do centro até a extremidade, reta tracejada h16 e lado l 16. Reta do centro a parte superior: r.
À direita, dezesseis triângulos intercalados, sendo oito verdes e oito brancos virados para baixo.
A medida da base dos dois triângulos é 8 l 16 = p16.
A altura é h16.
A medida do centro do losango até o topo é r.

Temos uma sequência de medidas de áreas crescentes

S_{i_{n}}

= p_n ⋅ h_n, isto é, cada vez maiores, mas que têm um limite, que é a medida da área Sc do círculo. Os valores da sequência se aproximam da medida da área do círculo sem nunca alcançá-la.

S_{i_{4}}

S_{i_{8}}

S_{i_{16}}

< ... < Sc

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Como, ao aumentar o número n de lados dos polígonos, as medidas dos semiperímetros pn se aproximam da medida do semicomprimento πr da circunferência do círculo e as medidas das alturas hn se aproximam de r, medida do raio do círculo, obtemos a medida da área Sc do círculo substituindo hn por r e pn por πr na igualdade

S_{i_{n}}

= pn ⋅ hn:

S_{i_{n}}

= pn ⋅ hn = (πr) ⋅ r = πr2

Assim, temos:

S_c = πr 2

Acompanhe alguns exemplos.

a) Os valores aproximados da medida do comprimento C da circunferência e da medida da área S do círculo de raio medindo 5 centímetros são dados por: C ≃ 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 = 31,4 S ≃ 3,14 ⋅ 5² = 3,14 ⋅ 25 = 78,5

Ilustração. Circunferência azul com raio de 5 centímetros.

A circunferência de raio medindo 5 centímetros tem comprimento medindo aproximadamente 31,4 centímetros e o seu círculo tem medida de área aproximadamente igual a 78,5 centímetros quadrados.

b) A lona lateral do picadeiro (em vermelho) de um circo foi montada sobre uma circunferência de comprimento medindo 78,5 métros.

Ilustração. Lona de circo vermelha e amarela. No topo, bandeira vermelha.

Qual é a medida do raio desse picadeiro? C = 2πr 78,5 ≃ 2 ⋅ 3,14 ⋅ r r ≃

\frac{78, 5}{2 \cdot 3, 14} = \frac{78, 5}{6, 28}

= 12,5 O picadeiro do circo tem raio medindo aproximadamente 12,5 metros.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

14 Sabendo que o hexágono inscrito na circunferência é regular e tem lado medindo 9 centímetros, calcule a medida:

a) do raio da circunferência;

b) do comprimento da circunferência;

c) da área do círculo delimitado pela circunferência.

15 (saréspi) O desenho representa um brinco formado por duas circunferências tangentes. A medida do diâmetro da maior é o dôbro da medida do diâmetro da menor. Se a medida do comprimento da circunferência menor é igual a C, então a medida do comprimento da maior é:

Ilustração. Circunferência vermelha. Dentro, na parte superior, circunferência branca.

a) 2πC.

b) πC.

c) 2C.

d) C.

16 (Saresp) As rodas de uma bicicleta têm 70 centímetros de medida do diâmetro. Assinale a alternativa que mostra a medida da distância, em metro, percorrida pela bicicleta após 100 voltas das rodas. (Considere π = 3,14.)

a) 109,9

b) 219,8

c) .3846,5

d) .15386

17 Um ralo circular de chão de medida de 10 centímetros de diâmetro, feito em alumínio, foi projetado com 12 buracos circulares, sendo 6 buracos com 2 centímetros de medida de diâmetro e 6 com 1 centímetro de medida de diâmetro. Qual é a medida aproximada da área, em centímetros quadrados, ocupada pelo alumínio?

Ilustração. Circunferência azul. Dentro, seis circunferências brancas. No centro, seis circunferências menores.

a) 25π

b) 19π

c) 7,5π

d) 17,5π

Hora de criar – Em dupla, cada um cria um problema sobre área de círculo. Troquem de caderno e, depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

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3. Relação entre volume e capacidade

Volume do cilindro circular reto

No 6º ano, você deve ter estudado os corpos redondos, aqueles que têm pelo menos uma parte da superfície com fórma arredondada.

Observe algumas fotografias de objetos e os respectivos corpos redondos que eles lembram.

Fotografia. Esfera, cone e cilindro feitos em madeira. Ilustração. Esfera, cone e cilindro.

Por ora, vamos voltar a atenção para o cilindro reto, destacando alguns de seus elementos.

Ilustração. Cilindro composto por base acima e abaixo, superfície lateral (altura do cilindro de medida h). No centro da base inferior até a extremidade, raio da base de medida r.

A maneira como observamos os objetos pode nos fornecer ou omitir informações sobre eles.

Observe como poderiam ser representadas algumas vistas de uma pilha de bolachas com o formato cilíndrico, cujas medidas r e h são dadas em centímetro.

Ilustração. 3 figuras. Vista superior: Circunferência com raio r. Ao lado, vista frontal: retângulo com 4 partes horizontais e altura h. Vista em perspectiva: ilustração de 4 círculos, um sobre o outro.

Na vista superior, notamos apenas uma superfície circular e podemos calcular a medida da área dessa superfície, em centímetros quadrados, que é uma base do cilindro: Sb = πr ²

Na vista frontal, percebemos apenas a altura de medida h da pilha de bolachas.

Se h = 1, a medida do volume do cilindro é Vc = πr ²; se h = 2, a medida do volume do cilindro é Vc = πr ² ⋅ 2; se h = 3, a medida do volume do cilindro é Vc = πr ² ⋅ 3, e assim por diante, com as medidas de volume sempre dadas em centímetros cúbicos.

A medida do volume dessa pilha cilíndrica de bolachas é dada pelo produto entre as medidas da área da base e da altura.

V_c = πr 2h

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Acompanhe um exemplo.

Vamos calcular a medida aproximada do volume de um pacote de bolachas recheadas que tem 25 bolachas circulares com 4 centímetros de medida de diâmetro e altura medindo 8 milímetros cada uma.

A medida do raio, em centímetro, é metade da medida do diâmetro; logo, r = 4 : 2 = 2.

A medida da área, em centímetros quadrados, da base é aproximadamente igual a Sb ≃ 3,14 ⋅ 22 = 12,56.

Devemos escrever a medida da altura com a mesma unidade de medida dos outros elementos. A altura de cada bolacha mede 8 milímetros, ou seja, 0,8 centímetro.

Logo, a altura do pacote de bolachas, em centímetro, é dada por: h = 25 ⋅ 0,8 = 20.

Agora, podemos calcular a medida do volume do pacote de bolachas, em centímetros cúbicos:

V_b ≃ 12,56 ⋅ 20 = 251,2

O pacote de bolachas tem aproximadamente 251,2 centímetros cúbicos de volume.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

19 Dadas as medidas do raio e da altura, qual é o cilindro reto de volume com maior medida, C₁ ou C₂?

C₁: raio r₁ medindo 3 centímetros e altura h₁ medindo 5 centímetros

C₂: raio r₂ medindo 5 centímetros e altura h₂ medindo 3 centímetros

20 Pesquise três embalagens cilíndricas de tamanhos diferentes, obtendo, com uma régua, as medidas aproximadas do raio e da altura. Depois, calcule as medidas aproximadas dos volumes dessas embalagens.

Sugestão: lata de óleo comestível, lata de milho ou ervilha, lata de atum, galão de tinta etcétera

21 Bruno é poceiro e costuma utilizar uma máquina para fazer poços com diâmetro medindo 1 métro. Ele sabe que em um terreno a água começa a aflorar com 2 métros de medida de profundidade e quer um poço que, depois de pronto, tenha cêrca de 8 métros cúbicos de água. Ao todo, Bruno terá de cavar um poço de aproximadamente quantos metros de medida de profundidade?

Ilustração. Recipiente cilíndrico com água na altura de h menos 2. Acima da água até a borda, altura 2.

Volume e capacidade

Ilustração. Homem de cabelo preto, bigode e camisa roxa. Ele fala: Esta é uma boa hora para recordar definições! A medida do espaço ocupado por um sólido, por um líquido ou por um gás é chamada de volume. Capacidade é a medida do espaço interno de um recipiente que pode ser preenchido, por exemplo, por um líquido ou um gás.

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Já estudamos que o litro corresponde à medida da capacidade de um recipiente cúbico com 1 decímetro de medida de aresta, ou seja, a medida do volume ocupado por 1 litro de líquido é 1 decímetro cúbico.

Ilustração. Recipiente cúbico om medida do líquido de 1 dm por 1 dm por 1 dm. Acima, embalagem de 1 litro sendo despejado no recipiente.

1 litro = 1 decímetro cúbico

Ilustração. Menina de cabelo preto e camisa vermelha com coração rosa. ela diz: Lembre-se: 1 decímetro é igual a 10 centímetros. 1 dm igual a 10 cm

Então, podemos escrever as seguintes relações:

• 1 litro = 1 decímetro cúbico .1000 mililitros = .1000 centímetros cúbicos

1 mililitro = 1 centímetro cúbico

Fotografia. Copo graduado até 100 mililitros. — Pequenas quantidades de líquido podem ser medidas em um copo graduado.

• 1 litro = 1 decímetro cúbico .1000 litros = .1000 decímetros cúbicos

.1000 litros = 1 métro cúbico

Fotografia. Caixa d’água azul com capacidade de 1000 litros. — Nesta caixa-d’água cabe 1 métro cúbico de líquido.

(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)

Acompanhe dois exemplos de conversão de unidades de medida de volume em unidades de medida de capacidade.

a) 1,2 métro cúbico em litro.

Como 1 métro cúbico = .1000 litros, temos: 1,2 métro cúbico = .1200 litros

b) .3200 centímetros cúbicos em centilitro.

Inicialmente, transformamos .3200 centímetros cúbicos em decímetros cúbicos: .3200 centímetros cúbicos = 3,2 decímetros cúbicos Como 1 decímetro cúbico = 1 litro, temos: .3200 centímetros cúbicos = 3,2 litros = 320 centilitros

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

22 Escreva a conversão de:

a) 12 decímetros cúbicos em litro;

b) 5,4 métros cúbicos em litro;

c) 30 centímetros cúbicos em litro;

d) 30 centímetros cúbicos em mililitro;

e) 500 milímetros cúbicos em mililitro;

f) 0,25 métro cúbico em litro.

23 Qual é a medida da capacidade, em litro, de uma caixa cúbica com 0,80 métro de aresta?

24 Leia o texto e responda às questões.

Evolução das demandas de água no Brasil

A demanda de água no Brasil vem crescendo continuamente ao longo dos anos, com destaque para o abastecimento das cidades, a indústria e a agricultura irrigada. A retirada para irrigação aumentou de 640 para 965 métros cúbicos por segundonas últimas duas décadas e representa aproximadamente 50% da retirada total pelos usos consuntivosglossário setoriais de água em 2020 — esse setor tem grande potencial de expansão e continuará liderando o crescimento das retiradas.

Estima-se um aumento de 42% das retiradas de água nos próximos 20 anos (até 2040), passando de .1947 métros cúbicos por segundo para .2770 métros cúbicos por segundo, um incremento de 26 trilhões de litros ao ano extraídos de mananciais. Esses dados reforçam a necessidade de ações de planejamento para que os usos se desenvolvam com segurança hídrica, evitando crises hídricas e proporcionando os usos múltiplos da água, principalmente quando considerados os efeitos das mudanças climáticas no ciclo da água.

[reticências] As mudanças climáticas tendem a acelerar alguns usos, especialmente na agropecuária e na agroindústria. A demanda para a irrigação, por exemplo, pode ter um acréscimo de 15% em 2040 em relação à demanda tendencial (com base no clima médio atual). Nas regiões de irrigação mecanizada (excluindo o arroz sob inundação), a demanda pode ter um acréscimo de 20% em um cenário mais crítico de mudança do clima.

Fonte: AGÊNCIA Nacional de Águas e Saneamento Básico (ANA). Conjuntura dos Recursos Hídricos no Brasil 2021: Relatório Pleno. Disponível em: https://oeds.link/l2oZAF. Acesso em: 20 março 2022.

a) De anos anteriores para 2020, de quantos métros cúbicos por segundo foi o aumento no uso consuntivo de água?

b) Segundo o texto, ao passar de .1947 métros cúbicos por segundo para .2770 métros cúbicos por segundo, há um aumento de 26 trilhões de litros de água extraídos de mananciais ao ano. Se esse aumento fosse de 100 métros³/s, aproximadamente, quantos litros de água seriam extraídos de mananciais em um ano? Essa quantidade equivale a quantos metros cúbicos de água?

c) Sabendo que, em 2020, a irrigação foi responsável por uma retirada de 942 métros³/s de água, se a previsão de acréscimo para 2040 for entre 15% e 20%, como o estimado, de quanto será a retirada de água pela irrigação neste ano?

d) O que pode causar o aumento desenfreado do consumo da água?

e) Converse com o professor e os colegas sobre ações que podem ser planejadas para evitar o aumento no uso de água e não gerar uma crise hídrica no país.

25 Em determinado mês, um hidrômetro registrou o consumo mensal de água de uma casa de 22 métros cúbicos. Quantos litros de água foram gastos nessa residência?

Reúna-se com um colega e pesquisem o número estimado de habitantes do município em que vocês vivem. Depois, façam uma estimativa da quantidade de domicílios que existem nele. Para fazerem a estimativa, utilizem 2,9 como o número médio de moradores em uma residência. Em seguida, resolvam a questão.

Supondo que, em média, os domicílios tenham uma caixa-d’água com capacidade de 500 litros, calculem quanto tempo um sistema com vazão de 56 métros³/s levaria para encher todas as caixas-d’água.

Leiam com atenção as informações a seguir.

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Junte-se a um colega e façam o que se pede.

Aquífero Guarani

O Aquífero Guarani encontra-se sob área de quatro países: Brasil, Uruguai, Argentina e Paraguai. [reticências] Com uma extensão calculada em mais de 1 milhão de quilômetros quadrados, somente no estado de São Paulo abastece total ou parcialmente [reticências] cêrca de 200 cidades. Só a área de recarga tem .46211 quilômetros quadrados que equivale a 4,6 milhões de hectares. É considerado um dos maiores reservatórios de água subterrânea do planeta, com .37000 quilômetros cúbicos de água de capacidade e um volume anual de 163 quilômetros cúbicos de fluxo de recarga. [reticências]

[reticências] Desde 2009 o Aquífero Guarani entrou no estado que se chama “rebaixando”, ou seja, seu volume de recarga é inferior ao volume de água retirado. Em Ribeirão Preto, por exemplo, a taxa de retirada já foi 30 vezes o volume de recarga. [reticências]

Fonte: GIGANTE Guarani. Aquífero Guarani. Site Gigante Guarani. Botucatu, [2015?]. Disponível em: https://oeds.link/DffyjW. Acesso em: 14 julho 2022.

Esquema. O Guarani em números. À esquerda, mapa da região entre Brasil, Argentina, Uruguai e Paraguai. À direita, as informações: Área 1.200.000 quilômetros quadrados. Quase 5 vezes a área do estado de São Paulo. Abaixo, ilustração de 5 mapas de São Paulo. Volume de água explorável 40 quilômetros cúbicos. (40 trilhões de litros). Suficiente para abastecer, durante 1 ano, cerca de 2,1 vezes a população brasileira de 2022. Ilustração. Dois mapas com pessoas sobre ele. Abaixo, áreas em cada país. Brasil: 70%. Argentina: 21%. Uruguai: 5,5%. Paraguai: 5,5%. — Dados obtidos em: COMPANHIA Ambiental do Estado de São Paulo. Águas Subterrâneas. São Paulo: cetésbi, [cêrca de 2010]. Disponível em: https://oeds.link/8E3gko. Acesso em: 14 julho 2022. INSTITUTO Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e das Unidades da Federação. Rio de Janeiro: í bê gê É, 2022. Disponível em: https://oeds.link/UXJxj1. Acesso em 14 julho 2022.

Agora, respondam às questões.

a) Quantos metros cúbicos de água são exploráveis no Aquífero Guarani?

b) Considerando o infográfico qual seria a medida de área aproximada do estado de São Paulo?

c) Segundo o texto, o município de Ribeirão Preto já chegou a retirar um volume de água 30 vezes maior que o volume reposto no sistema. Para uma reposição de .10000 litros de água, quantos metros cúbicos teriam sido retirados?

28 Uma piscina tem 8 métros de medida de comprimento, 4 métros de medida de largura e 1,60 métro de medida de profundidade. Ela está com água ao nível de 1,50 métro.

Se 10 pessoas mergulhassem nessa piscina e o nível da água subisse 2 centímetros, qual seria a medida do volume médio do corpo de cada uma dessas pessoas em decímetro cúbico?

29 Durante uma pesquisa, um cientista precisou realizar várias etapas. Foram três etapas diárias durante 10 dias. Em cada etapa, eram acrescentados 3 mililitros de um fármaco em uma solução. Quantos centímetros cúbicos desse fármaco foram acrescentados na solução durante a pesquisa?

30 Os médicos recomendam que uma pessoa beba pelo menos 2 litros de água por dia. Uma única goteira pode desperdiçar 150 litros de água por dia. Determine o tempo, em dia, que essa quantidade de água seria suficiente para uma pessoa beber, atendendo à recomendação médica mínima.

31 Leia o texto a seguir e responda às questões.

Ilustração. Folha de papel com a informação: O etanol ou álcool etílico pode ser produzido a partir de matérias-primas, como milho, beterraba ou cana-de-açúcar. No Brasil, o modelo mais utilizado é o da cana. Essa opção tem algumas vantagens, pois é mais produtiva do que o combustível extraído do milho e causa um impacto menor ao meio ambiente. Se um hectare de milho rende 3 mil litros de etanol, a mesma área equivale a 7,5 mil litros no caso da cana. [...] — Fonte: ESTADÃO. Como ocorre a produção de etanol a partir da cana-de-açúcar? Estadão. São Paulo, 8 junho 2021. Canal Agro. Disponível em: https://oeds.link/SR6fZA. Acesso em: 20 março 2022.

a) Quantas vezes mais etanol rende a cana-de-açúcar em relação ao milho?

b) Em 2020 ou 2021, o estado de São Paulo colheu cêrca de 4,3 milhões de hectares de cana-de-açúcar, sendo o maior produtor nacional. Se toda essa cana fosse destinada à produção de etanol, quantos litros seriam obtidos?

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Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

O cano de alimentação de um tanque despeja água no ritmo que mostra o quadro.

Tempo	Medida do volume de água despejada
1º minuto	1 L
2º minuto	2 L
3º minuto	4 L
4º minuto	8 L

Considerando que, inicialmente, o tanque está vazio, responda às questões.

a) Quantos litros de água o cano de alimentação despeja no tanque no 5º minuto? E no 6º? E no 7º? E no 8º?

b) Após 8 minutos, esse tanque fica com água até a metade. Quantos litros de água ele contém nesse momento?

c) Após 8 minutos, aproximadamente quantos minutos ainda serão necessários para o tanque ficar cheio?

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Um polígono regular tem a soma das medidas dos seus ângulos internos igual a .2520graus. Determine a medida do ângulo:

a) central desse polígono;

b) interno desse polígono;

c) externo desse polígono.

2 Quantos lados tem, se existir, um polígono regular em que o ângulo:

a) central mede 9graus?

b) interno mede 30graus?

c) externo mede 10graus?

3 Qual é a menor medida do ângulo interno de um polígono regular? E a maior?

4 A figura a seguir é a planificação da superfície de um paralelepípedo retângulo. Calcule a medida do volume, em milímetro cúbico, desse paralelepípedo.

Ilustração. Planificação de um paralelepípedo. Na horizontal, dois quadrados com lado medindo 2 centímetros e dois retângulo medindo 2 centímetros por 2,5 centímetros intercalados. Acima e abaixo do primeiro retângulo, um retângulo medindo 2 centímetros por 2,5 centímetros.

5 Qual é a medida do volume de argila necessária para fabricar .1000 tijolos com as seguintes medidas: 22 centímetros de comprimento, 10 centímetros de largura e 5 centímetros de altura?

6 Uma caixa cilíndrica tem 25 centímetros de medida de raio, 100 centímetros de medida de altura e está cheia de água. Considere π = 3,14.

a) Calcule a medida da capacidade dessa caixa em litro.

b) Calcule a medida da massa da água contida nessa caixa. (Considere que a massa de 1 centímetro cúbico equivale a 1 grama.)

7 (saréspi) Se dobrarmos o volume de água contida em cada um dos recipientes indicados na figura, a altura h da água dobrará apenas no(s) recipiente(s):

Esquema. Da esquerda para direita: recipiente 1 em formato cônico virado para baixo. Recipiente 2: cilindro. Recipiente 3: em formado oval na parte inferior. Recipiente 4: bases arredondadas com centro mais estreito. O líquido tem o mesmo volume em cada recipiente. Da parte inferior até o líquido, medida h.

a) 4.

b) 3.

c) 2.

d) 1.

8 (saréspi) Na casa de Mariana o gasto diário de água com descargas correspondia a

\frac{2}{5}

da capacidade da caixa-d’água. Com a troca por descargas mais econômicas, esse consumo passou a ser de

\frac{1}{4}

da capacidade da mesma caixa-d’água. Logo, a fração da caixa-d’água economizada com essa troca foi de:

\frac{1}{20}

\frac{3}{20}

\frac{2}{4}

\frac{1}{5}

Página 267

VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Qual dos polígonos a seguir não é regular?

Ilustração. Triângulo com lados e ângulos iguais

Ilustração. Pentágono com lados e ângulos iguais

Ilustração. Quadrado com lados e ângulos iguais.

Ilustração. Octógono com ângulos iguais.

2 Um hexágono circunscrito terá quantos pontos em comum com a circunferência?

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

3 Um pingente de colar tem uma estrutura de prata triangular e uma pedra circular de quartzo verde, de diâmetro medindo 1,1 centímetro, conforme a figura a seguir.

Fotografia. Pingente triangular com medida da vase 2 centímetros e altura de 1,7 centímetros. No centro, pedra verde.

Qual é a medida aproximada da área da superfície da estrutura triangular que fica visível nesse pingente?

a) 2,8 centímetros quadrados

b) 1,7 centímetros quadrados

c) 0,95 centímetros quadrados

d) 0,75 centímetros quadrados

4 Qual é a medida do ângulo interno de um polígono regular de 20 lados?

a) 180graus

b) 162graus

c) 150graus

d) 130graus

5 Um polígono regular tem 8 lados. Qual é a soma das medidas de seus ângulos internos?

a) .1080graus

b) .1260graus

c) .1440graus

d) .1800graus

6 A prefeitura de um município irá instalar uma fonte circular em uma praça pública. O diâmetro da fonte mede 7 métros, conforme indica a figura a seguir.

Ilustração.
Fonte circular com diâmetro de 7 metros na parte inferior circular. No centro, água.

As medidas aproximadas da área que a fonte ocupará na praça e do comprimento da circunferência da fonte são, respectivamente:

a) 38,5 métros quadrados e 22 métros.

b) 38,5 métros quadrados e 11 métros.

c) 76,9 métros quadrados e 22 métros.

d) 153,9 métros quadrados e 43 métros.

7 Um copo cilíndrico tem altura de medida igual a 12 cm e raio da base medindo 3 cm. Ele está com água até a metade de sua capacidade. Quantos mililitros de água há no copo?

a) 113,04 mililitros

b) 169,56 mililitros

c) 339,12 mililitros

d) 678,64 mililitros

8 Uma garrafa de 2 litros de suco teve seu conteúdo inteiramente distribuído em copos de 400 centímetros cúbicos. A quantidade de copos totalmente preenchidos de suco foi:

a) 3 copos.

b) 4 copos.

c) 5 copos.

d) 8 copos.

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) O que caracteriza um polígono como regular?

b) Considere uma circunferência inscrita em um polígono regular. Qual é a relação entre os lados desses polígonos e os pontos de tangência?

c) Qual é a relação entre a medida do ângulo central de um polígono regular e a quantidade de lados desse polígono?

d) Escreva a fórmula que relaciona a medida do ângulo interno de um polígono regular e a soma das medidas de seus ângulos internos.

e) Qual é a medida da área de um círculo de raio de medida r?

f ) Qual é a medida do volume de um cilindro circular reto com raio de medida r e altura de medida h?

g) Como você explicaria para um colega a diferença entre volume e capacidade?

Glossário

Hexadecágono: : polígono de 16 lados.; Voltar para o texto

Usos consuntivos: : usos que consomem água.; Voltar para o texto