Página Lcinquenta

Parte 3

Vale ressaltar que atividades relacionadas a gráficos foram desenvolvidas nos anos anteriores do Ensino Fundamental e sua retomada e ampliação pretendem consolidar esse conhecimento, oferecendo suporte ao que será desenvolvido no 9º ano (EF09MA22ê éfe zero nove ême ah dois dois e EF09MA23ê éfe zero nove ême ah dois três). Tratamos também das medidas estatísticas (moda, média aritmética, média aritmética ponderada e mediana), ampliando o que já foi visto no 7º ano (EF07MA35ê éfe zero sete ême ah três cinco) e desenvolvendo a habilidade (EF08MA25ê éfe zero oito ême ah dois cinco).

Quanto ao campo da Probabilidade, incluem-se as noções de espaço amostral, evento e probabilidade, assim como o cálculo de probabilidades, sistematizando o que já tem sido estudado nos anos anteriores, desenvolvendo a habilidade (EF08MA22ê éfe zero oito ême ah dois dois) e dando suporte para a continuidade do assunto no 9º ano (EF09MA20ê éfe zero nove ême ah dois zero).

As articulações são feitas com a Unidade Temática Números, na apresentação de problemas que envolvem cálculos com porcentagens (EF08MA04ê éfe zero oito ême ah zero quatro), e com a Unidade Temática Grandezas e medidas na seção Para saber mais, que trata da estimativa de quantidade de pessoas por metro quadrado, utilizando o conceito de área.

• Comentários e resoluções

Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompanham as reproduções das páginas do livro do estudante.

Abertura

b) Para calcular 0,001% de 7.800.000.0007800000000, pode-se fazer:

Logo, corresponde à 78.00078000 pessoas.

c) Como 50% da população correspondem à metade de 210 milhões, fazemos:

210.000.000210000000 : 2 = 105.000.000105000000

Portanto, 50% da população correspondem à 105.000.000105000000 de pessoas.

Já 10% correspondem à décima parte da população total. Portanto, fazemos:

210.000.000210000000 : 10 = 21.000.00021000000

Assim, 10% da população brasileira correspondem à 21.000.00021000000 de pessoas.

Exercícios propostos

1. a) Salário é uma variável quantitativa, pois assume um valor numérico medido em real.

1. b) Gênero é uma variável qualitativa, pois é expresso por um atributo.

1. c) Número de irmãos é uma variável quantitativa, pois é expressa por um número.

1. d) Opinião sobre a qualidade da água é uma variável qualitativa, pois é expressa por atributos como “boa”, “ruim”, “ótima” etc.etcétera

1. e) Número do sapato é uma variável quantitativa, pois é expressa por um número.

1. f) Escolaridade é uma variável quantitativa, pois é expressa por atributos como “ensino fundamental completo”, “ensino médio incompleto”, “ensino médio completo” etc.etcétera

2. Resposta pessoal. São exemplos de variáveis quantitativas: medida de altura, medida de massa, idade e quantidade de horas de sono. Exemplos de variáveis qualitativas: qualidade do sono e satisfação com serviços em geral (merenda, transporte público etc.etcétera).

3. Não, pois a amostra não representa a população da cidade proporcionalmente, focando-se apenas em um dos dez bairros. Ou seja, a amostra não é significativa.

6. Durante a construção da tabela, é importante ordenar os resultados obtidos, o que ajudará na solução dos itens subsequentes.

Dados obtidos por Cláudio.

6. a) Segundo os dados do enunciado, a população da pesquisa é a dos 120 estudantes de Medicina. A amostra foi composta de 50 pessoas.

6. b) A amplitude é a diferença entre o maior valor (92) e o menor valor (75) da amostra. Ou seja, 17 batimentos por minuto, pois 92 – 75 = 17.

6. c) Somando as frequências absolutas referentes aos valores superiores a 79 batimentos por minuto, obtemos 24 estudantes (3 + 6 + 3 + 7 + 5 = 24).

6. d) Pela tabela, vemos que o valor de maior frequência absoluta foi 76 batimentos por minuto.

Página LIcinquenta e um

8. b)

8. c) A resposta depende dos dados pesquisados pelos estudantes.

9. a)

9. b) Para elaborar o gráfico pedido, é necessária uma breve pesquisa para obter os dados mostrados a seguir:

9. c) A região de maior medida de área é a região Norte.

9. d) Não é correto, pois a região com mais estados (Nordeste) não é a de maior medida de área.

11. a)

11. b) O lucro foi maior no ano de 2023, de 22,5 bilhões de reais.

11. c) Embora tenha oscilado, o lucro parece ter apresentado tendência de aumento.

12. a) Multiplicando a quantidade de ícones por 4, concluímos que há 72 funcionários no departamento de produção (18 ⋅ 4 = 72).

12. b) No departamento de limpeza, há 12 funcionários (3 ⋅ 4 = 12).

12. c) O enunciado sugere que há outros departamentos na empresa além desses dois; então, um gráfico de setores não seria adequado, pois desconhecemos o universo total de funcionários da empresa.

13. A resposta depende de pesquisa pessoal dos estudantes.

14. b) Precisamos contar, dentre os resultados, aqueles que são estritamente maiores do que 3,0: temos 5 ocorrências de 4,0 e 3 ocorrências de 4,5, totalizando 8.

14. c) Dentre os resultados obtidos, aqueles que gastam exatamente 3 horas são 6 pessoas. Logo, a frequência relativa é de 6 : 20 = 0,3 = 30%.

14. d) As pessoas que gastam de 4 a 5 horas ouvindo músicas durante um dia.

14. e) Não, pois segundo a tabela, a frequência relativa dos jovens que passam mais de 3 horas por dia ouvindo música é de 40%, pois: 8 : 20 = 0,4 = 40%.

15. b) De acordo com os dados da tabela concluímos que a frequência relativa dos participantes do Enem com 18 anos é de 15%.

15. c) Os estudantes com idade estritamente superior a 17 anos são aqueles de 18 a 19 anos. Considerando os dados da tabela, a quantidade de estudantes corresponde a uma porcentagem de: 15% + 10% = 25%.

15. d) De acordo com os dados do gráfico, é possível concluir que a quantidade de participantes do Enemenêm diminui.

Página LIIcinquenta e dois

16. a) Pela tabela, concluímos que 3 meninos, de um total de 30, acessam a internet de 3 a 4 horas semanalmente. Isso equivale a 10% do total de meninos, pois 5 : 30 ≃ 0,167 ≃ 16,7%. Em relação ao total de meninas, temos que 4 de 24 meninas acessam a internet de 3 a 4 horas semanalmente. Isso equivale a um percentual de: 5 : 24 ≃ 0,208 ≃ 20,8%. Portanto, não são iguais.

16. b) Espera-se que os estudantes concluam que o percentual não é igual. Portanto, a resposta ao item aa estaria correta.

Portanto, em média, foram vendidos 34 automóveis.

24. b) Em março, foram vendidos 42 automóveis. Como a média foi de 34 automóveis, isso corresponde a 8 automóveis acima da média, pois 42 – 34 = 8.

24. c) Se o número médio de automóveis vendidos por mês é de 34, em um semestre espera-se que a venda seja de 204 automóveis (6 ⋅ 34 = 204).

24. d) Uma maneira é extrapolar o valor da média para os 6 meses, ou seja, 6 ⋅ 34 = 204. Outra formafórma é utilizar os valores reais dos três meses iniciais para os meses subsequentes: 38 + 22 + 42 + 38 + 22 + 42 = 204.

27. b) A distribuição dos salários é bimodal, com moda 2.2002200 reais e 2.3202320 reais, pois ambos os valores aparecem com a mesma frequência, maior do que a dos demais salários.

27. c) Neste caso, calculamos a média ponderada:

Portanto, a média é de 2.6412641 reais.

27. d) Os funcionários que recebem até 2.3202320 reais recebem abaixo do salário mensal médio. Portanto, são 8 funcionários (2 + 3 + 3 = 8). Como há 10 funcionários, esse valor corresponde a 80% do total (8 : 10 = 0,8 = 80%).

28. Calculando a média ponderada pelos pesos descritos, temos:

29. Calculando a média ponderada, temos:

30. Fazemos uma média ponderada com o número de ocorrências de cada valor:

Assim, o valor médio dos terrenos vendidos é R$ 46.000,00quarenta e seis mil reais

31. Oriente os estudantes na elaboração dos problemas sobre média aritmética ponderada.

34. a) O número total de jovens que vivem no edifício é obtido adicionando as quantidades correspondentes a cada idade: 6 + 7 + 4 + 8 = 25.

Portanto, há 25 jovens.

34. b) A idade média é obtida por:

Logo, a idade média é de 18,44 anos.

34. c) A idade modal é aquela com a maior frequência absoluta. Portanto, 17 anos.

34. d) Para calcular a idade mediana, observamos antes que há 25 dados, uma quantidade ímpar. Logo, precisamos obter a idade correspondente à posição central da lista ordenada de todas as idades registradas, que é a posição 13. Assim, temos:

• posições 1 a 8: 17 anos

• posições 9 a 12: 18 anos

• posição 13: 19 anos.

Portanto, a idade mediana é de 19 anos.

34. e) Acrescentando-se dois jovens de 16 anos aos dados, o número total de jovens aumenta de 25 para 27. Desse modo, o número de jovens de 16 anos passa a ser 2. Os novos cálculos passam a ser:

Assim, a média passa a ser de aproximadamente 18,26 anos.

A moda continua igual, pois 17 anos continua sendo a idade de maior frequência.

Como agora há 27 dados, a mediana passa a ser a idade correspondente à posição central, 14ª da lista ordenada. Então, temos:

• posições 1 e 2: 16 anos

• posições 3 a 10: 17 anos

• posições 11 a 14: 18 anos

Assim, a nova mediana é de 18 anos.

35. a) Ordenando os valores registrados por Marta, temos: 10, 15, 15, 15, 20, 20, 20, 25, 30, 30, 30, 35, 35, 40, 40, 50, 60, 60, 90, 90, 120. Como há 21 valores, que é um número ímpar, a mediana é o termo que ocupa a posição central, que é a 11ª. Logo, a mediana é 30 minutos.

35. b) Para encontrar a moda, é conveniente organizar os dados em uma tabela de frequência:

Dados fictícios.

Nela, vê-se que a sequência dos valores obtidos é trimodal, com modas 15, 20 e 30 minutos.

Página LIIIcinquenta e três

35. c) O tempo médio é calculado ponderando os valores registrados pelo respectivo número de ocorrências.

Adicionando os valores: 1 · 10 + 3 · 15 + 3 · 20 + 1 · 25 + 3 · 30 + 2 · 35 + 2 · 40 + 1 · 50 + 2 · 60 + 2 · 90 + 1 · 120 = 850

35. d) O mais importante aqui é despertar nos estudantes a reflexão de que fatores podem influenciar as medidas de tendência central.

36. a) Como “tipo de chocolate” não é uma variável quantitativa (isto é, que assume valores numéricos), a única medida estatística que faz sentido neste caso é a moda, que indica o chocolate preferido pela maioria dos consumidores.

36. b) Primeiro, calculamos o número total de consumidores: 255 + 765 + 345 + 135 = 1.5001500. Depois, calculamos as porcentagens de cada tipo:

• Meio amargo: 255 : 1.5001500 = 0,17 = 17%

• Ao leite: 765 : 1.5001500 = 0,51 = 51%

• Branco: 345 : 1.5001500 = 0,23 = 23%

• Amargo: 135 : 1.5001500 = 0,09 = 9%

36. c)

37. Sim, pois, a princípio, qualquer tipo de sorteio honesto apresenta um resultado imprevisível e, portanto, constitui um experimento aleatório.

38. O espaço amostral contém 17 resultados possíveis, pois 9 + 5 + 3 = 17. Os resultados favoráveis são aqueles correspondentes à retirada de uma das 5 bolas amarelas. Logo, a probabilidade buscada é dada pela razão:

40. Já vimos na Situação 2, descrita antes deste exercício, que o espaço amostral do lançamento de dois dados consiste em 36 elementos.

40. b) Dentre todos os resultados possíveis, aqueles cuja soma é par são: (1, 1), (3, 1), (5, 1), (2, 2), (4, 2), (6, 2), (1, 3), (3, 3), (5, 3), (2, 4), (4, 4), (6, 4), (1, 5), (3, 5), (5, 5), (2, 6), (4, 6) e (6, 6). Portanto, há 18 casos favoráveis, e a probabilidade buscada é dada pela razão:

40. c) Dentre todos os resultados possíveis, aqueles cuja soma é maior que 10 são (5, 6), (6, 5) e (6, 6). Portanto, há 3 casos favoráveis, e a probabilidade buscada é dada pela razão:

41. Esta questão é de resposta pessoal. Os estudantes devem considerar a razão entre o número de meninos e o total de estudantes na sala para determinar a probabilidade buscada.

Pense mais um pouco…reticências

Página 80

a) Os pontos totais de cada equipe são obtidos pela soma dos pontos obtidos individualmente por cada uma de suas integrantes. Assim, temos:

Equipe Aa:

420 pontos, pois 60 + 70 + 70 + 70 + 80 + 70 = 420

Equipe B:

420 pontos, pois 120 + 120 + 40 + 70 + 70 + 0 = 420

b) Ambas as equipes têm seis integrantes.

d) Ambas as equipes obtiveram a mesma média.

e) Nesse caso, a média não traduz o perfil de cada equipe: no caso da Equipe Aa, as notas individuais concentram-se em torno do valor médio. Entretanto, no caso da Equipe B, algumas atletas receberam notas muito altas, enquanto Rute e Bete receberam notas muito baixas, revelando desempenhos desiguais entre as integrantes.

Trabalhando a informação

Página 83

Esta é uma questão cuja abordagem será bastante dependente das escolhas feitas pelos estudantes. Além da questão discutida no quadro de como fazer uma boa seleção de amostra, é importante discutir como fazer uma coleta de dados imparcial (evitando julgamentos na hora de formular as perguntas e reações ao escutar as respostas, por exemplo) e quais serão as medidas estatísticas relevantes. Por exemplo, grupos que escolherem variáveis qualitativas deverão usar a moda. Já grupos que escolherem variáveis quantitativas deverão fazer gráficos para verificar se a dispersão dos dados obtidos justifica o uso da média. Pode ser uma boa oportunidade para abordar planilhas eletrônicas e suas funções estatísticas e gráficas.

Página LIVcinquenta e quatro

Para saber mais

1. Analisando a figura, distinguimos cinco regiões principais de densidades diferentes:

A região 1 contém 70 ladrilhos, a região 2 contém 30 ladrilhos, a região 3 contém 40 ladrilhos, a região 4 contém 20 ladrilhos e a região 5 contém 10 ladrilhos. Logo, deve haver aproximadamente 640seiscentas e quarenta pessoas, pois:

5 ⋅ 70 + 4 ⋅ 30 + 3 ⋅ 40 + 2 ⋅ 20 + 1 ⋅ 10 =

= 350 + 120 + 120 + 40 + 10 = 640

2. Os estudantes devem perceber que, se a avenida for supostamente reta, sua área é dada pelo produto entre as medidas de comprimento e largura: 1.0001000 mmétros ⋅ 26 mmétros = 26.00026000 m²métros quadrados. Assim, se 300 000trezentas mil pessoas estiveram ao mesmo tempo na avenida, isso daria uma densidade de aproximadamente 11,5 pessoas por metro quadrado (300.000300000 : 26.00026000 ≃ 11,5).

3. A resposta é pessoal e depende das pesquisas dos estudantes.

Exercícios complementares

2. Localizando 32 na lista de idades, vemos que há 18 registros de idades inferiores a 32:

3. O espaço amostral consiste em todos os 40 funcionários, enquanto o número de casos favoráveis é igual ao número de funcionários com menos de 25 anos. A partir da lista de idades, vemos que há 10 funcionários com essas características:

Portanto, a probabilidade buscada é dada pela razão:

4. Se o total de árvores frutíferas é de 350, essa quantidade corresponde a 100% das árvores. Assim, se x laranjeiras respondem por 40% das árvores, temos a proporção:

350 — 100%

x — 40%

Segue, 100x = 14.00014000, ou, ainda, x = 140. Analogamente, se há y mangueiras, temos a proporção:

350 — 100%

y — 10%

Segue, 100y = 3.5003500 ou, ainda, y = 35. Portanto, há 140 laranjeiras e 35 mangueiras. Alternativa aa.

5. Pelo enunciado, a condição mínima de permanência do gerente é atingida quando a média aritmética dos lucros mensais ao longo do semestre for de 30 mil reais. Assim, o lucro x necessário no mês de junho para que isso aconteça deve cumprir a seguinte condição:

Multiplicando ambos os lados desta última equação por 6, temos:

Assim, a empresa precisa alcançar um lucro de pelo menos 35 mil reais em junho para que o gerente permaneça no cargo. Alternativa eê.

Página LVcinquenta e cinco

6. a) Vemos que o menor valor obtido na pesquisa foi de 10 minutos, e o maior foi de 100. Assim, uma formafórma de satisfazer à proposta do enunciado é adotar classes de 1 a 21 até 81 a 101 (a adoção do 1 pode ser justificada pelo fato de que 0 não é um valor esperado para essa amostra).

6. b) Ordenando os dados, temos: 10, 15, 15, 15, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 25, 25, 25, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 35, 35, 35, 35, 40, 40, 40, 60, 60, 60, 60, 90, 90, 90, 100, 100, 100, 100, 100.

A média aritmética é obtida ponderando cada valor pelo número de ocorrências:

7. a) Obtemos a quantidade total de pessoas que se filiaram durante o mês de julho somando os valores referentes a cada idade: 30 + 7 + 2 + 10 + 12 + 18 + 21 = 100.

7. b) A idade modal é 30 anos, pois foi a que registrou o maior número de ocorrências. Como há um número par de dados, a mediana é dada pela média aritmética das duas posições centrais da sequência ordenada dos dados. Como há 100 dados, essas posições são a 50ª e a 51ª.

• as posições 1 a 30 são ocupadas pelo valor 14;

• as posições 31 a 37 são ocupadas pelo valor 16;

• as posições 38 e 39 são ocupadas pelo valor 18;

• as posições 40 a 49 são ocupadas pelo valor 20;

• as posições 50 e 51 são ocupadas pelo valor 21.

Logo, a idade mediana é 21 anos.

9. Interpretando o local exato da queda do paraquedista como um experimento aleatório, a probabilidade de ele pousar na região quadrada é dada pela proporção que ela ocupa em relação ao terreno maior. Recordando que a área de uma região retangular é dada pelo produto da medida dos lados, temos:

Após esse funcionário se demitir, as soma das idades dos demais funcionários não se altera, mas, com a contratação do novo funcionário de 22 anos, a média das idades passa a ser dada por:

É informado que essa nova média é igual à anterior, diminuída de 2 anos, assim:

Igualando as expressões, temos:

Multiplicando os dois lados da equação por 18:

22 + (soma das idades dos demais funcionários) = x + (soma das idades dos demais funcionários) – 36

Página LVIcinquenta e seis

Note que a soma das idades dos demais funcionários, embora desconhecida, pode ser subtraída dos dois lados da equação. Assim, obtemos:

22 = x – 36, ou, ainda, x = 22 + 36 = 58

Então, a idade do funcionário é 58 anos. Alternativa eê.

Verificando

1. Uma amostra deve ser imparcial e, portanto, integrar as características da população que ela representa. Assim, uma amostra de estudantes de uma escola deve conter alunos das diferentes turmas e dos diferentes períodos. Alternativa c.

2. Vejamos o que se pode afirmar sobre a veracidade de cada sentença:

2. a) Falsa: como 1.0001000 pessoas participaram da pesquisa, a porcentagem de 41,60% = 0,416 dos que preferem smartphones equivale a 0,416 ⋅ 1.0001000 = 416quatrocentas e dezesseis pessoas. Portanto, esta alternativa é falsa.

2. b) Falsa: pelo gráfico, vemos que a opção tablet recebeu 2,20% dos votos, menos do que a opção “outros”, que recebeu 2,90%. Portanto, esta alternativa é falsa.

2. c) Verdadeira: somando os 9,20% que preferem notebook aos 18,30% que preferem computador, obtemos 27,50% dos pesquisados, mais do que 25%.

2. d) Falsa: Esta alternativa é falsa, pois o console foi a segunda opção mais votada.

3. Obtemos o total de clientes consultados na pesquisa somando a quantidade referente a cada marca: 205 + 103 + 92 = 400. As frequências relativas são obtidas dividindo-se a quantidade de clientes que preferem cada marca pelo total:

Logo, a correta é a alternativa c.

4. A moda dos dados corresponde ao tipo de livro com maior ocorrência nos resultados da pesquisa. Como quadrinhos teve maior ocorrência, a moda dos dados é quadrinhos. Alternativa aa.

5. Somando as notas ponderadas pelos pesos prescritos, temos:

Alternativa aa.

Alternativa b.

Capítulo 4 – Cálculo algébrico

• Objetivos do capítulo e justificativas

• Conceituar variável e incógnita.

• Conceituar expressão algébrica.

• Determinar o valor numérico de uma expressão algébrica.

• Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo do valor numérico de expressões algébricas e fórmulas.

• Conceituar monômios e operar com eles.

• Reconhecer procedimentos para determinar a fração geratriz de uma dízima periódica.

• Determinar a fração geratriz de uma dízima periódica.

• Identificar regularidades em sequências recursivas.

• Resolver problemas que envolvem área de retângulos.

O cálculo algébrico, no que se refere à compreensão de variável e incógnita, de monômios e de operações com monômios, é necessário para que os estudantes possam continuar os estudos envolvendo conteúdos matemáticos essenciais, como a resolução de equações e a compreensão de funções. Nesse sentido, o estudo de fração geratriz favorece a ampliação e aprofundamento da compreensão dos números racionais e é importante para, no 9º ano, os estudantes compreenderem os números irracionais e a reta real. Desse modo, contribuímos para o trabalho com a competência geral 2 e as competências específicas 2 e 3.

Além disso, resolver problemas que envolvem o cálculo algébrico e o valor numérico de expressões algébricas possibilita desenvolver as competências específicas 5 e 6, pois contribui‑se para o aprimoramento de ferramentas matemáticas e da utilização de tecnologias digitais, visto que envolve a modelagem de situações reais ou imaginadas por meio de expressões de cálculo, com incógnitas ou variáveis.

A identificação de regularidades de sequências recursivas e a resolução de problemas envolvendo área de retângulos favorecem o estudo dos conteúdos do capítulo, pois possibilitam relacionar as Unidades Temáticas Números e Geometria à Álgebra, desenvolvendo, assim, a competência específica 3.

Em diferentes momentos do capítulo, apresentam-se atividades para serem realizadas em duplas ou grupos, o que favorece o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e da competência específica 8, pois os estudantes precisam trabalhar com os colegas de maneira cooperativa e exercitar o diálogo e a resolução de conflitos. Além disso, a proposta de realização de uma pesquisa possibilita aos estudantes planejar e desenvolver, coletivamente, as etapas envolvidas para a coleta e apresentação de dados.

Na Abertura de capítulo, apresentamos aos estudantes a equação sobre a teoria da relatividade; em seguida, trabalhamos com a fórmula de Young, utilizada para calcular a dosagem dos remédios dados a uma criança. Deste modo, contribui-se para o trabalho com as competências gerais 1 e 8.