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Parte 4

• Habilidades trabalhadas no capítulo

(ê éfe zero oito ême ah zero cinco) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.

(ê éfe zero oito ême ah zero seis) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

(ê éfe zero oito ême ah um um) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.

O foco deste capítulo é a Unidade Temática Álgebra, no qual se amplia o trabalho já feito no 7º ano com expressões algébricas (ê éfe zero sete ême ah um três e ê éfe zero sete ême ah um cinco). Este é o primeiro capítulo do livro em que esse estudo será desenvolvido, envolvendo as noções de variável e incógnita, valor numérico de expressões algébricas, operações com monômios, entre outros; assim, desenvolve-se a habilidade (ê éfe zero oito ême ah zero seis), além de promover articulação com a Unidade Temática Grandezas e medidas, e utiliza‑se a noção de área de retângulos associada a expressões algébricas.

Abordam-se em uma seção Pense mais um pouco... a busca de regularidades em sequências, mobilizando aspectos da habilidade (ê éfe zero oito ême ah um um) e, na seção Para saber mais, um procedimento algébrico para determinar a fração geratriz de uma dízima periódica, nesse caso articulando-se com a Unidade Temática Números e desenvolvendo a habilidade (ê éfe zero oito ême ah zero cinco).

• Comentários e resoluções

Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompanham as reproduções das páginas do livro do estudante.

Exercícios propostos

1. Em um dos pratos da balança, temos 900 gramas, pois 200 + 200 + 500 = 900. No outro, temos cinco vezes a massa x de cada maçã, ou seja, 5x. Se a balança está em equilíbrio, as massas em ambos os pratos são iguais. Assim:

5x = 900

2. a) A diferença entre x e y é dada por: x – y

2. b) O triplo do número n é 3n. Assim, a soma de m com o triplo do número n é: m + 3n

2. c) O quociente do número a pelo número b é:

\frac{a}{b}

2. d) A adição de a e b é a + b. As parcelas dessa adição são cada um dos termos a e b. Assim, trocar a sua ordem significa fazer b + a. Dizer que essa troca de ordem não altera a soma significa dizer que ambas as operações resultam iguais:

a + b = b + a

2. g) O cubo de um número y é representado por: y³

3. a) Por convenção, sabemos que os algarismos lidos da direita para a esquerda representam unidades, dezenas, centenas e milhares, respectivamente. Assim, d é o algarismo das unidades, c o das dezenas, b o das centenas e a o dos milhares.

4. Observa-se que a divisão com resto corresponde a: dividendo = quociente ⋅ divisor + resto

Nesse caso, o resto pode assumir qualquer valor entre 0 e uma unidade a menos do que o divisor. Assim, se o divisor é x, o maior valor possível para o resto é x – 1. Queremos determinar o dividendo conhecendo o quociente y, o divisor x e o resto x – 1. Logo, temos:

xy + (x – 1) = xy + x – 1

7. a) A medida do perímetro de uma figura corresponde à soma das medidas dos lados.

Desse modo, para a figura dada, a soma da medida corresponde a: 5a + 5a + 2a + 2a = 14a

7. b) Substituindo a = 3,6 na expressão 14a, obtém-se:

14 ⋅ 3,6 = 50,4

7. c) A figura se decompõe em dez quadrados congruentes. Como cada quadrado tem medida de lado a, a medida de sua área é a2, pois a ⋅ a = a2. Como a figura é formada por dez desses quadrados, sua área total é dez vezes esse valor: 10a2

7. d) Substituindo a = 5 na expresão 10a2, obtém-se:

10 ⋅ (5)2 = 10 ⋅ 25 = 250

8. a) Substituindo

a = \frac{5}{2}

b = \frac{2}{3}

, temos:

2a + 3b = 2 ⋅

(\frac{5}{2}) + 3 \cdot (\frac{2}{3}) = \frac{2 \cdot 5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{3}

= 5 + 2 = 7

8. b) Substituindo x = –5 em x2 + 2x, temos:

(– 5)2 + 2 ⋅ (– 5) = 25 – 10 = 15

8. c) Substituindo x = 4 e y = 2, temos:

\frac{x + y}{x - y} = \frac{4 + 2}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3

8. d) Substituindo a = 2, b = –10 e c = 12, temos:

\frac{2 b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

\frac{2 \cdot (- 10) + \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}

\frac{– 20 + \sqrt{100 - 8 \cdot 12}}{4}

\frac{– 20 + \sqrt{100 - 96}}{4}

= =

\frac{– 20 + \sqrt{4}}{4}

\frac{– 20 + 2}{4}

\frac{- 18}{4}

- \frac{9}{2}

9. Este é um exercício com infinitas respostas possíveis. A ideia é levar os estudantes a perceber que cada escolha de valor de y determina um único valor de x, pois x2 – y = 0 é o mesmo que y = x2. Assim, x = 0 e y = 0, ou x = 1 e y = 1, ou x = –1 e y = 1, ou x = –17 e y = 289 são algumas possibilidades de resposta.

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10. Uma fração não tem valor numérico determinado quando seu denominador for zero, pois não é possível dividir por zero.

10. a) Igualando o denominador a zero, segue que a + 5 = 0. Resolvendo a equação, temos:

a + 5 = 0 ⇒ a = –5

10. b) Igualando o denominador a zero, segue que 2a – 4 = 0. Resolvendo a equação, temos:

2a – 4 = 0 ⇒ 2a = 4 ⇒ a =

\frac{4}{2}

⇒ a = 2

11. a) Igualando o denominador a zero, segue que a – b = 0. Resolvendo a equação, temos:

a – b = 0 ⇒ a = b

11. b) Igualando o denominador a zero, segue que 2a + 3b = 0.

Resolvendo a equação, temos:

2a + 3b = 0 ⇒ 2a = –3b ⇒ a =

- \frac{3 b}{2}

12. a) Se a = 1, temos: 1 = B · C

Como a, B e C são números naturais, para que essa igualdade seja verdadeira, B e C devem ser iguais a 1.

12. b) Se a = 0, temos: 0 = B · C

Como a, B e C são números naturais, para que essa igualdade seja verdadeira, B ou C deve ser igual a 0.

13. a) Se José cobra R$ 6,00seis reais por quilômetro rodado, a cada x quilômetros rodados ele acrescenta à taxa inicial de R$ 50,00cinquenta reais o valor de 6 vezes x. Assim, o preço é dado pela expressão 50 + 6x.

13. b) Um frete de 6 quilômetros significa utilizar x = 6 em 50 + 6x. Portanto, José cobra 86 reais pois: 50 + 6 ⋅ 6 = 50 + 36 = 86

14. a) Aqui, é preciso reconhecer os dados e relacioná-los ao enunciado: 100 uáts é a potência da lâmpada (p = 100). O uso é de 3 horas por dia (h = 3). Por fim, é pedido o consumo referente a um número de dias igual a 30 (d = 30). Portanto:

∁ = \frac{p \cdot h \cdot d}{1 000} = \frac{100 \cdot 3 \cdot 30}{1 000} = \frac{9000}{1 000}

= 9

Logo, o consumo é de 9 quilouótis hora.

14. b) Novamente, é preciso reconhecer os dados e relacioná-los ao enunciado: .4000 uáts é a potência do chuveiro (p = .4000). O uso é de uma hora por dia (h = 1). Por fim, é pedido o consumo referente a um número de dias igual a 30 (d = 30). Portanto:

∁ = \frac{p \cdot h \cdot d}{1 000} = \frac{4000 \cdot 1 \cdot 30}{1 000} = \frac{12000}{1 000}

= 120

Logo, o consumo é de 120 kWh.

15. O valor numérico da expressão não pode ser ímpar, pois ela é da fórma 2x + 4y. Sabemos que, ao multiplicar por 2 (e, consequentemente, também por 4) qualquer número, o resultado é sempre par, bem como a soma de dois números pares é sempre par.

16. a) Substituindo x = 6, na expressão:

\frac{3 x^{2} - 12}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

\frac{3 \cdot {(6)}^{2} - 12}{(6 + 2) \cdot (6 - 2)}

\frac{3 \cdot 36 - 12}{8 \cdot 4}

\frac{108 - 12}{32} = \frac{96}{32}

= 3

Substituindo x = –4, obtém-se:

\frac{3 x^{2} - 12}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

\frac{3 \cdot {(– 4)}^{2} - 12}{(– 4 + 2) \cdot (– 4 - 2)}

\frac{3 \cdot 16 - 12}{(– 2) \cdot (– 6)}

\frac{48 - 12}{12} = \frac{36}{12}

= 3

Substituindo

x = \frac{2}{3}

, obtém-se:

\frac{3 x^{2} - 12}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

\frac{3 \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} - 12}{(\frac{2}{3} + 2) \cdot (\frac{2}{3} - 2)}

= =

\frac{3 \cdot \frac{4}{9} - 12}{(\frac{2}{3} + \frac{6}{3}) \cdot (\frac{2}{3} - \frac{6}{3})}

\frac{\frac{3 \cdot 4}{9} - 12}{(\frac{2 + 6}{3}) \cdot (\frac{2 - 6}{3})}

= =

\frac{\frac{12}{9} - 12}{\frac{8}{3} \cdot (\frac{– 4}{3})}

\frac{\frac{12}{9} - \frac{108}{9}}{\frac{8 \cdot (– 4)}{3 \cdot 3}} = \frac{\frac{12 - 108}{9}}{\frac{– 32}{9}}

= =

\frac{\frac{– 96}{9}}{– \frac{32}{9}} = \frac{\frac{96}{9}}{\frac{32}{9}}

\frac{96}{9} \cdot \frac{9}{32} = \frac{96}{32}

= 3

Substituindo

x = - \frac{3}{2}

, obtém-se:

\frac{3 x^{2} - 12}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

\frac{3 \cdot {(– \frac{3}{2})}^{2} - 12}{(– \frac{3}{2} + 2) \cdot (– \frac{3}{2} - 2)}

= =

\frac{3 \cdot \frac{9}{4} - 12}{(– \frac{3}{2} + \frac{4}{2}) \cdot (– \frac{3}{2} - \frac{4}{2})}

\frac{\frac{3 \cdot 9}{4} - 12}{(\frac{– 3 + 4}{2}) \cdot (\frac{– 3 - 4}{2})}

= =

\frac{\frac{27}{4} - 12}{\frac{1}{2} \cdot (\frac{– 7}{2})}

\frac{\frac{27}{4} - \frac{48}{4}}{\frac{1 \cdot (– 7)}{2 \cdot 2}}

\frac{\frac{27 - 48}{4}}{\frac{– 7}{4}}

= =

\frac{\frac{– 21}{4}}{– \frac{7}{4}} = \frac{– \frac{21}{4}}{– \frac{7}{4}}

\frac{\frac{21}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{21}{4} \cdot \frac{4}{7}

\frac{21}{7}

= 3

16. b) Uma fração apenas não tem valor numérico quando seu denominador é zero, pois não é possível dividir por zero. Por outro lado, um produto de dois fatores só é zero se pelo menos um dos dois for zero. Assim, os valores de x para os quais não existe o valor numérico da expressão são aqueles para os quais um dos fatores do denominador se anula. Como os fatores são x + 2 e x – 2, temos as condições x + 2 = 0 e x – 2 = 0, que são resolvidas por x = –2 e x = 2, respectivamente.

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16. d) Sim, pois 3x2 – 12 = 3x2 – 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ (x2 – 4) e, ainda, (x + 2) ⋅ (x – 2) = x2 – 4 (produto notável). Assim, essa expressão vale sempre 3.

17. Resposta pessoal. Algumas questões que podem ser abordadas pelos estudantes são expressões que definem o custo de alguma fatura em termos do consumo ou a média final em termos das notas intermediárias.

18. a) A expressão 2x + 5 não pode ser considerada um monômio por envolver a operação de adição.

18. b) A expressão

2 \frac{a}{b}

não pode ser considerada um monômio por envolver uma variável no denominador.

19. Recordando de que o coeficiente é a parte numérica do monômio, ou seja, tudo o que não é variável (ou incógnita), tem-se:

19. a) O coeficiente de –2xy é –2.

19. b) O coeficiente de

\frac{3}{5} a

\frac{3}{5}

19. e) O coeficiente de

\frac{x y^{2}}{5} = \frac{1}{5} x y^{2}

\frac{1}{5}

19. f) O coeficiente de

– \frac{a}{3} = – \frac{1}{3} a

– \frac{1}{3}

20. a) Como a metade de x é obtida dividindo x por 2, a quantidade de selos de Glaucia é a quantidade x de selos de João dividida por 2, ou seja,

\frac{x}{2}

20. b) Como o dobro de x é obtido multiplicando x por 2, a quantidade de selos de Ricardo é a quantidade x de selos de João multiplicada por 2, ou seja, 2x.

20. c) Como dois terços de x são obtidos multiplicando x por

\frac{2}{3}

, a quantidade de selos de Gabriel é a quantidade x de selos de João multiplicada por

\frac{2}{3}

, ou seja,

\frac{2}{3} x

22. a) A medida do perímetro é dada por:

7x + 7x + 5x + 5x = 24x

22. b) Substituindo x = 1,2 na expressão 24x, obtém-se 28,8, pois: 24 ⋅ 1,2 = 28,8

22. c) A figura se decompõe em 35 quadrados congruentes (7 ⋅ 5 = 35). Como cada quadrado tem lado de medida x, sua área mede x2 (x ⋅ x = x2). Como a figura é formada por 35 desses quadrados, 35x2 é a medida de sua área total.

22. d) Substituindo x = 4,5 na expressão 35x2, obtém-se 708,75, pois: 35 ⋅ (4,5)2 = 35 ⋅ 20,25 = 708,75

23. Recordando que monômios são semelhantes quando apresentam mesma parte literal, temos:

23. a) 4x e –7x são semelhantes, pois apresentam mesma parte literal x.

23. b) 5ab, 3ab e 2ab são semelhantes, pois apresentam mesma parte literal A bê.

23. c)

\frac{a}{3}

e 5a são semelhantes, pois apresentam mesma parte literal a.

23. d) 2a e 2b não são semelhantes, pois apresentam partes literais diferentes, a ≠ b.

23. e) 8a2 e –5a não são semelhantes, pois apresentam partes literais diferentes, a2 ≠ a.

23. f) –6, –2 e 10,4 são semelhantes, pois os três não apresentam parte literal.

23. g) 7x2y e 9xy2 não são semelhantes, pois apresentam partes literais diferentes, x2y ≠ xy2 (as potências em x e y não são as mesmas).

23. h) 12xy e –21yx são semelhantes, pois suas partes literais são as mesmas, xy e yx, que são equivalentes, pois a ordem dos fatores não altera o produto.

24. a) A medida do perímetro é dada por:

3x + 3x + 3x + 3x = 4 ⋅ (3x) = 12x

Já a medida da área de um quadrado é dada por:

(3x)2 = 32x2 = 9x2

24. b) Os monômios 12x e 9x2 não são semelhantes, pois não têm a mesma parte literal: x ≠ x2.

25. Resposta pessoal. Algumas questões que podem ser abordadas pelos estudantes são expressões que definem o valor final de alguma fatura em termos de alguma outra variável.

27. a) (–10x) + (+6x) = –10x + 6x = –4x

27. b) (0,8x2y) + (–3,5x2y) = 0,8x2y – 3,5x2y = –2,7x2y

27. c)

(– \frac{2}{5} a b) + (– \frac{3}{10} a b)

– \frac{7}{10} a b

27. d) (–9ay) – (–3ay) = –9ay + 3ay = –6ay

27. e) Se x =

0, \bar{2}

, então 10x =

2, \bar{2}

; assim, temos:

10x – x =

2, \bar{2} - 0, \bar{2}

= 9x = 2

x = \frac{2}{9}

Ou seja,

0, \bar{2}

tem como fração geratriz

\frac{2}{9}

. Analogamente,

0, \bar{5}

tem como fração geratriz

\frac{5}{9}

Portanto, como:

0, \bar{2} - (– 0, \bar{5}) = \frac{2}{9} - (– \frac{5}{9})

\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2 + 5}{9} = \frac{7}{9}

segue que:

(0, \bar{2} a^{3}) - (– 0, \bar{5} a^{3}) = \frac{7}{9} a^{3}

28. A medida do segmento

\bar{A B}

é dada por:

AB = AC + CD + DE + EB = y + 2y +

\frac{3}{2} y + \frac{5}{4} y = \frac{23}{4} y

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29. Seja x a quantidade vendida no primeiro mês. Então, no segundo mês, vendeu–se o dobro de x, isto é, 2x. Assim, ao longo dos dois primeiros meses, a quantidade total vendida foi de 3x. De acordo com o enunciado, no terceiro mês, vendeu-se o triplo disso. Ou seja:

3 ⋅ (3x) = 9x

Portanto, x + 2x + 9x = 12x é o total das vendas.

30. A medida do segmento

\bar{M P}

é dada por: MN = MP + MN. Portanto:

6,5x = MP + 2,3x

MP = 6,5x – 2,3x = 4,2x

31. a) –4xy + 6xy – 5xy = 6xy – 9xy = –3xy

31. b) 5a3 + 7a3 – 9a3 + 3a3 = 15a3 – 9a3 = 6a3

31. c) –3x – 5x + 2x – x + 4x = 6x – 9x = –3x

31. d)

\frac{3}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{2} - \frac{7}{6} x^{2} = x^{2}

\frac{9 + 4 - 7}{6} x^{2} = \frac{6}{6}

x2 = x2

31. e) m3n2 +

\frac{4}{5}

m3n2 –

\frac{5}{3}

m3n2 –

\frac{1}{9}

m3n2 =

\frac{45 + 36 - 75 - 5}{45}

m3n2 =

\frac{1}{45}

m3n2

33. a) (4a2x3) ⋅ (–5ax2) = 4 ⋅ (–5) ⋅ (a2x3 ⋅ax2) = (–20) ⋅ (a2 + 1x3 + 2) = –20a3x5

33. b) (–6xy) ⋅ (–3y) = (–6) ⋅ (–3) ⋅ (xy ⋅ y) = 18 ⋅ x ⋅ y1 + 1 = 18xy2

33. c) (0,5x) ⋅ (2,4x2) = 0,5 ⋅ 2,4 ⋅ (x ⋅ x2) = 1,2 ⋅ x1 + 2 = 1,2x3

33. d)

(– \frac{7}{11} a)

⋅ (+2ab) ⋅ (–11a) =

[(- \frac{7}{11}) . (+ 2) \cdot (- 11)]

⋅ (a ⋅ ab ⋅ a) = = [(–7) ⋅ (+2) ⋅ (–1)] ⋅ (a1 + 1 + 1) ⋅ b = 14a3b

33. e)

(– 2 a x) \cdot (\frac{3}{2} a x^{2}) \cdot (– \frac{1}{2} a)

= (–2) ⋅

\frac{3}{2} \cdot (– \frac{1}{2})

⋅ (ax ⋅ ax2 ⋅ a) =

\frac{(– 2) \cdot 3 \cdot (– 1)}{2 \cdot 2}

⋅ (a1 + 1 + 1 ⋅ x1 + 2) =

\frac{6}{4}

⋅ (a3 ⋅ x3) = =

\frac{3}{2}

a3x3

34. a) (16x5) : (–4x2) = –4x3, pois 16 : (–4) = –4 e x5 : x2 = x5 ‒ 2 = x3

34. b) (36xy4) : (–6xy) = –6y3, pois 36 : (–6) = –6, x : x = 1 e y4 : y = y4 ‒1 = y3

34. c) (–35a) : (+7a) = –5, pois –35 : 7 = –5 e a : a = 1

34. d)

(+ 3 a b^{2}) : (– \frac{10}{5}) = – \frac{3}{2} a b^{2}

, pois

3 : (– \frac{10}{5})

3 \cdot (– \frac{5}{10}) = – \frac{3 \cdot 5}{10}

– \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = – \frac{3}{2}

ab2 : 1 = ab2

34. e)

(– \frac{4}{5} x^{5} y) : (+ \frac{4}{3} x^{2} y) = – \frac{3}{5} x^{3}

, pois

(- \frac{4}{5})

(\frac{4}{3})

= = –

\frac{4}{5}

\frac{3}{4}

- \frac{3}{5}

, x5 : x2 = x3 e y : y = 1

35. Primeiro, adicionamos os termos semelhantes:

5ax2 – 2ax2 – 7ax2 = – 4ax2 e

\frac{1}{2} x

\frac{1}{4} x

\frac{3}{4} x

Assim:

(5ax2 – 2ax2 – 7ax2) ⋅

(\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x)

= (–4ax2) ⋅

(\frac{3}{4} x)

= =

(– 4) \cdot (\frac{3}{4})

⋅ (a ⋅ x2 ⋅ x) = –3 ⋅ (a ⋅ x2 + 1) = –3ax3

Agora, substituindo no monômio –3ax3, os valores a = 2 e x = –2, obtemos:

–3 ⋅ 2 ⋅ (–2)3 = –3 ⋅ 2 ⋅ (–8) = 48

36. Primeiro, adicionamos os termos semelhantes:

(\frac{3}{4} x^{3} y + \frac{2}{3} x^{3} y - \frac{1}{6} x^{3} y)

(\frac{5}{4} x^{3} y)

Assim:

(\frac{3}{4} x^{3} y + \frac{2}{3} x^{3} y - \frac{1}{6} x^{3} y)

(\frac{3}{2} x) = (\frac{5}{4} x^{3} y) : (\frac{3}{2} x)

Dividindo-se os coeficientes e as partes literais separadamente, temos:

\frac{5}{4} : \frac{3}{2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 3}

\frac{10}{12} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{5}{6}

x3 : x = x3 ‒ 1 = x2

Portanto,

(\frac{5}{4} x^{3} y) : (\frac{3}{2} x) = \frac{5}{6} x^{2} y

. Substituindo nesse monômio os valores x = –3 e y = 6, obtemos:

\frac{5}{6}

⋅ (–3)2 ⋅ (6) =

\frac{5 \cdot {(– 3)}^{2} \cdot 6}{6} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 6}{6}

= 5 ⋅ 9 = 45

37. a) Identificamos no triângulo que a base mede x e a altura mede y. Assim, o semiproduto da medida da base pela altura é

\frac{1}{2} x y

. Além disso, a área do retângulo é dada pelo produto das medidas de seus dois lados:

(2x) ⋅

(\frac{y}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2}

⋅ (x ⋅ y) = xy

Logo, a soma de ambas as medidas de área é:

\frac{1}{2}

xy + xy =

\frac{3}{2}

37. b) Substituindo no monômio

\frac{3}{2}

xy os valores x = 0,5 e y = 1,2, obtemos:

\frac{3}{2}

⋅ 0,5 ⋅ 1,2 = 1,5 ⋅ 0,5 ⋅ 1,2 = 0,9

38. a) Pela figura, percebemos que os lados da piscina medirão 2a e 3a. Logo, a medida da área da piscina é dada pelo produto:

(2a) ⋅ (3a) = 2 ⋅ 3 ⋅ (a ⋅ a) = 6 ⋅ a1 + 1 = 6a2

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38. b) O gramado ocupará a parte do terreno que não é ocupada pela piscina. Percebemos que os lados do terreno medem 5a e 4a (a + 3a + a = 5a e a + 2a + a = 4a). Logo, a medida da área total do terreno é dada pelo produto:

(5a) ⋅ (4a) = 20a2

Logo, a medida da área de gramado é 14a2, pois:

20a2 – 6a2 = 14a2

38. c) Substituindo a por 3,2 métros na expressão obtida anteriormente, temos:

14 ⋅ (3,2)2 = 14 ⋅ 10,24 = 143,36

Logo, 143,36 métros quadrados é a medida da área de grama utilizada.

39. a) (+2x)2 = (+2)2 ⋅ x2 = 4 ⋅ x2 = 4x2

39. b) (–3a2)3 = (–3)3 ⋅ (a2)3 = (–3) ⋅ (–3) ⋅ (–3) ⋅ a2 ⋅ 3 = –27a6

39. c) (+2x2y)3 = (+2)3 ⋅ (x2)3 ⋅ y3 = 8 ⋅x2 ⋅ 3 ⋅ y3 = 8x6y3

39. d) (–xy2)4 = (–1)4 ⋅ x4 ⋅ (y2)4 = 1 ⋅ x4 ⋅ y2 ⋅ 4 = x4y8

39. e) (–5x4y)1 = –5x4y

39. f)

{(– \frac{1}{2} a)}^{2} = {(– \frac{1}{2})}^{2} \cdot a^{2}

⋅ =

(– \frac{1}{2}) \cdot (– \frac{1}{2}) \cdot a^{2}

\frac{1}{4}

40. A medida de área de um quadrado pode ser calculada elevando-se a medida de seu lado ao quadrado. Desse modo, o quadrado de lado medindo

\frac{5}{3} a

tem medida de área igual a

\frac{25}{9} a^{2}

, pois:

{(\frac{5}{3} a)}^{2} = {(\frac{5}{3})}^{2} . a^{2}

(\frac{5}{3} . \frac{5}{3}) . a^{2}

= \frac{25}{9} a^{2}

41. a) A medida de volume de um cubo pode ser calculada elevando-se a medida de seu lado ao cubo (ou seja, à terceira potência). Logo, para um cubo de lado medindo

\frac{x}{2}

centímetro, a medida de seu volume será:

{(\frac{x}{2})}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot x^{3}

(\frac{1^{3}}{2^{3}}) \cdot x^{3} = \frac{1}{8} x^{3}

41. b) A superfície do cubo é composta de seis faces quadradas. A medida da área de cada superfície é dada por:

{(\frac{x}{2})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot x^{2} = \frac{1}{4} x^{2}

Como há seis dessas faces, a área total é dada por:

6 \cdot (\frac{1}{4} x^{2}) = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot x^{2}

\frac{6 \cdot 1}{4} \cdot x^{2}

\frac{3}{2} x^{2}

Pense mais um poucoreticências

Página 97

a) 9 ⋅ 1 + 2 = 9 + 2 = 11

9 ⋅ 12 + 3 = 108 + 3 = 111

9 ⋅ 123 + 4 = .1107 + 4 = .1111

9 ⋅ .1234 + 5 = .11106 + 5 = .11111

b) Extrapolando o padrão das expressões anteriores, conclui-se que o valor de 9 ⋅ .12345 + 6 é .111111.

c) 9 ⋅ .123456 + 7 = ..1111104 + 7 = ..1111111

Para saber mais

Página 100

a) Considerando x = 0,777reticências, temos

10x – x = 7,777reticências – 0,777reticências ⇒ ⇒ 9x = 7,000reticências ⇒ 9x = 7 ⇒

x = \frac{7}{9}

Logo,

\frac{7}{9}

é a fração geratriz.

b) 7,7777reticências = 10 ⋅ 0,7777reticências

Pelo item a, já sabemos que:

0,7777reticências =

\frac{7}{9}

Portanto: 7,7777reticências = 10 ⋅

\frac{7}{9} = \frac{70}{9}

c) Considerando x = 0,525252reticências, temos

100x – x = 52,525252… – 0,525252reticências ⇒ 99x = 52,000000reticências ⇒ ⇒ 99x = 52 ⇒

x = \frac{52}{99}

Logo,

\frac{52}{99}

é a fração geratriz.

d) Como 0,525252reticências =

\frac{52}{99}

, temos que:

52,525252reticências = 100 ⋅

\frac{52}{99} = \frac{5 200}{99}

Exercícios complementares

1. Se a dosagem do medicamento Y anterior estava correta, sabe-se que, para ele, a fórmula de iãng foi aplicada com sucesso. Como para o medicamento Y a dose de adulto é de 42 miligramas e a da criança é 14 miligramas, chamando x a idade da criança, podemos escrever:

14 =

(\frac{x}{x + 12})

⋅ 42

Desenvolvendo:

14 =

(\frac{x}{x + 12})

⋅ 42 ⇒ 14 =

\frac{42 x}{x + 12}

⇒ 14 ⋅ (x + 12) = 42x ⇒

⇒ 14x + 168 = 42x ⇒ 42x – 14x = 168 ⇒ 28x = 168 ⇒

⇒ x =

\frac{168}{28}

= 6

Assim, a criança tem 6 anos. A fórmula de iãng, aplicada agora ao medicamento X, fica:

dose de criança =

(\frac{6}{6 + 12}) \cdot 60 = \frac{6}{18} \cdot 60

= \frac{1}{3} \cdot 60

\frac{60}{3}

= 20

Portanto, a dose é de 20 miligramas. Alternativa b.

2. a) Os lados do retângulo medem 2y centímetros e 10 y centímetros. Assim, o perímetro é dado, em centímetro, por:

10y + 10y + 2y + 2y = 24y

2. b) O retângulo se decompõe em 20 quadrados equivalentes. Como cada quadrado tem lado medindo y centímetro, sua área mede, em centímetros quadrados: y ⋅ y = y2. Como o retângulo é formado por 20 desses quadrados, 20y2 centímetros quadrados é sua área total.

Página sessenta e dois

2. c) A área pintada de amarelo é formada por sete dos quadrados de área medindo y2 centímetro2. Portanto, sua área mede 7y2 centímetros2.

3. a) (–3x) + (–8x) = –3x – 8x = –11x

3. b) (–12y) + (+6y) = –12y + 6y = –6y

3. c) (+5ab) – (–7ab) = 5ab + 7ab = 12ab

3. d) (+2xy) + (+13xy) = 2xy + 13xy = 15xy

4. a) 13,75 = 13,75 ⋅

\frac{100}{100} = \frac{1 375}{100} = \frac{55}{4}

x = 12,833reticências ⇒ 10x = 128,333reticências ⇒ 10x – x = 128,333reticências –12,833reticências ⇒ ⇒ 9x = 115,5 ⇒ 9x =

\frac{1 155}{10}

⇒ x =

\frac{1 155}{10 \cdot 9}

⇒ x =

\frac{77}{6}

Assim:

13,65 +

\frac{3}{4}

– 12,8333reticências =

\frac{55}{4} + \frac{3}{4} - \frac{77}{6}

\frac{165 + 9 - 154}{12}

\frac{20}{12} = \frac{5}{3}

4. b) x = 14,166reticências ⇒ 10x = 141,666reticências ⇒

⇒ 10x – x = 141,666reticências – 14,166reticências ⇒ 9x = 127,5 ⇒

⇒ 9x =

\frac{1 275}{10}

⇒ x =

\frac{1 275}{10 \cdot 9}

⇒ x =

\frac{85}{6}

Assim:

(14,1666reticências) ⋅

\frac{7}{5} : \frac{5}{3} = (\frac{85}{6}) \cdot (\frac{7}{3} : \frac{5}{3})

= =

(\frac{85}{6}) \cdot (\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{5})

\frac{85}{6} \cdot \frac{7}{5}

\frac{(5 \cdot 17) \cdot 7}{6 \cdot 5}

\frac{17 \cdot 7}{6} = \frac{119}{6}

5. a) –12a + 9a + 5a = –12a + 14a = 2a

5. b) 15y – 10y – 6y = 15y – 16y = –y

5. c)

– \frac{3}{4} a x + \frac{1}{3} a x - \frac{1}{2} a x

\frac{– 9 + 4 - 6}{12}

ax =

– \frac{11}{12} a x

6. a) (+2x) ⋅ (+3x2) = 2 ⋅ 3 ⋅ (x ⋅ x2) = 6 ⋅ x1 + 2 = 6x3

6. b) (–3y) ⋅ (4y2) = (–3) ⋅ 4 ⋅ (y ⋅ y2) = –12 ⋅ y1 + 2 = –12y3

6. c) (–4x2y) ⋅ (–3xy2) = (–4) ⋅ (–3) ⋅ (x2y ⋅ xy2) = 12 ⋅ (x2 + 1 ⋅ y1 + 2) = 12x3y3

6. d) (–5ab) ⋅ (+3a) = (–5) ⋅ (3) ⋅ (ab ⋅ a) = –15 ⋅(a1 + 1 ⋅ b) = –15 a2b

7. a) Como –20 : 4 = –5 e

a5 : a2 = a5 ‒ 2 = a3, temos: (–20a5) : (+4a2) = –5a3

7. b) Como 3 : 4 =

\frac{3}{4}

(xy3) : y = xy3 ‒ 1 = xy2, temos: (+3xy3) : (4y) =

\frac{3}{4}

xy2

7. c) Como –24 : 4 = –6 e

(a3b2) : ab = a3 ‒ 1b2 ‒ 1 = a2b, temos:

(–24a3b2) : (4ab) = –6a2b

7. d) Como –3,2 : 0,5 = –6,4 e

(a3b) : a = a3 ‒ 1b = a2b, temos: (–3,2a3b) : (0,5a) = 6,4a2b

8. a) (–3x2y3)2 = (–3)2 ⋅ (x2)2 ⋅ (y3)2 = 9 ⋅ x2 ⋅ 2 ⋅ y3 ⋅ 2 = 9x4y6

8. b)

{(\frac{6}{3} a^{2} b^{4})}^{3}

= (2a2b4)3 = (2)3 ⋅ (a2)3 ⋅ (b4)3 =

= 8 ⋅ a2 ⋅ 3 ⋅ b4 ⋅ 3 = 8a6b12

8. c)

{(– \frac{2}{5} x)}^{2} = {(– \frac{2}{5})}^{2} \cdot x^{2} = \frac{4}{25} x^{2}

8. d) (–0,4a)3 = (–0,4)3 ⋅ a3 = –0,064a3

Verificando

5. –2x2 + 8xy – 3y2 + y2 + 2x2 – 5xy + x2y =

= –2x2 + 2x2 – 3y2 + y2 + 8xy – 5xy + x2y =

= –2y2 + 3xy + x2y

Alternativa c.

6. Comparando as partes literais, temos:

6. a) Ambas são iguais a a2b.

6. b) ab ≠ b

6. c) x3 ≠ x

6. d) m2n3 ≠ m3n2

Alternativa a.

7. Como a quadra é retangular, a medida de sua área é dada pelo produto:

(8b) ⋅

(\frac{9}{2} a^{2} b)

= 8 ⋅

\frac{9}{2}

⋅ (b ⋅ a2b) =

\frac{8 \cdot 9}{2}

⋅ (a2 ⋅ b1 + 1) = 36a2b2

Alternativa a.

{(\frac{2}{3} x y^{3})}^{5} = {(\frac{2}{3})}^{5} \cdot x^{5} \cdot {(y^{3})}^{5} = \frac{2^{5}}{3^{5}} \cdot x^{5} \cdot y^{3 \cdot 5}

= \frac{32}{243} \cdot x^{5} \cdot y^{15}

\frac{32}{243}

x5y15

Alternativa b.

9. A medida do volume de um prisma é dada pelo produto entre as medidas da área da base e da altura. Se a base é quadrada, a medida de sua área é igual ao quadrado da medida das arestas dessa base. Assim, temos:

{(\frac{1}{2} a b c^{3})}^{2}

{(\frac{1}{2})}^{2}

⋅ a2 ⋅ b2 ⋅ (c3) 2 =

\frac{1}{4}

⋅ a2 ⋅ b2 ⋅ c3 ⋅ 2 =

\frac{1}{4}

a2b2c6

Como nos foi dada a medida de volume

(\frac{3}{16} a^{2} b^{4} c^{7})

considerando h a medida da altura, temos:

\frac{3}{16}

a2b4c7 =

(\frac{1}{4} a^{2} b^{2} c^{6})

⋅ h ⇒

(\frac{3}{16} a^{2} b^{4} c^{7})

(\frac{1}{4} a^{2} b^{2} c^{6})

(\frac{3}{16} : \frac{1}{4})

(a2 : a2) ⋅ (b4 : b2) ⋅ (c7 : c6) ⇒

⇒ h =

(\frac{3}{16} \cdot \frac{4}{1})

⋅ 1 ⋅ b4 ‒ 2 ⋅ c7 ‒ 6 ⇒ h =

(\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4})

⋅ b2 ⋅ c1 ⇒

⇒ h =

\frac{3}{4}

b2c

Alternativa c.