CAPÍTULO 3 Estatística e probabilidade
Um mundo mais desigual é o legado imediato da pandemia [de Covid-19]. [reticências] No topo da pirâmide, um reduzido e seleto clube de multimilionários — 0,001% da população — viu suas fortunas crescerem 14%. Em uma amplíssima base, 100 milhões de pessoas a mais caíram na pobreza extrema. [reticências]
[reticências] [No Brasil,] os 10% mais ricos concentram 59% da renda nacional total, enquanto a metade [menos privilegiada] da população leva apenas cêrca de 10%. [reticências]
Fonte: PELLICER, L.; GRASSO, D. Os 10% mais ricos com 76% do patrimônio do planeta, o retrato da desigualdade na pandemia. El País, Madri, 7 dezembro 2021.
Na fotografia, grande parte de uma comunidade aparece refletida em um só edifício, ilustrando a desigualdade na distribuição de renda e riqueza no Brasil.
Observe, leia e responda no caderno.
a) Esta fotografia revela a desigualdade descrita nos dados estatísticos?
b) A população mundial era, no início de 2022, cêrca de 7,8 bilhões. Quantas pessoas correspondem a 0,001% dessa população?
c) A população brasileira era, no início de 2022, cêrca de 210 milhões. Quantas pessoas correspondem a 50% dessa população? E a 10%?
Respostas e comentários
a) Espera-se que os estudantes deem uma resposta afirmativa, pois a fotografia mostra o reflexo de toda uma comunidade na fachada de um conjunto comercial.
b) .78000 pessoas.
c) 105 milhões de pessoas; 10%: 21 milhões de pessoas.
Capítulo 3 - Estatística e probabilidade
Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática (Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.
Este capítulo sistematiza os assuntos tratados sobre Estatística e probabilidade ao longo deste e dos anos anteriores, aprofundando e consolidando os conhecimentos já construídos nessas áreas pelos estudantes.
A abertura chama a atenção para a desigualdade na distribuição de renda e riqueza no Brasil e no mundo, e discute como a pandemia de Covid-19 contribuiu para que a desigualdade aumentasse ainda mais, apresentando dados estatísticos de 2021.
Discuta com os estudantes se eles percebem desigualdade na distribuição de renda e riqueza na cidade em que vivem e peça a eles que identifiquem alguns indícios da desigualdade de renda. Se julgar pertinente, para enriquecer mais essa discussão, peça aos estudantes que pesquisem outras matérias de jornais ou revistas que apresentem dados e informações sobre esse assunto.
Com a resolução das questões propostas para o desenvolvimento desse tema, espera-se que os estudantes relacionem o reflexo de dezenas de casas de toda uma comunidade na fachada de um único conjunto comercial com a desigualdade descrita no texto e com os dados estatísticos apresentados (item a). Para a resolução do item b espera-se que eles relembrem o conceito de proporcionalidade e o cálculo de porcentagem, concluindo que 0,001% da população mundial corresponde a .78000 pessoas. Analogamente, no item c espera-se que os estudantes concluam que 50% da população brasileira correspondem a 105 milhões de pessoas e que 10% correspondem a 21 milhões de pessoas.
1. Origem da Estatística
A Estatística é o ramo da Matemática que possibilita coletar, descrever, organizar, analisar e comunicar dados a respeito de uma população ou de um fenômeno.
Os primeiros “dados estatísticos” apareceram há muito tempo, à medida que ocorria o desenvolvimento da escrita. Registros históricos (informações que encontramos em vestígios de civilizações anteriores à nossa) de mais de .2000 anos antes de Cristo apontam o uso de processos que hoje chamaríamos de estatísticos.
Grandes impérios da Antiguidade (como o sumério, o egípcio e o chinês) e da América pré-colombiana (maia, asteca e inca) fizeram uso do levantamento e do registro de dados quantitativos para obter informações sobre sua população e suas riquezas, especialmente para fins administrativos, tributários (relativos ao pagamento de impostos) e militares.
Talvez em virtude dessa aplicação, o termo estatística derive da palavra latina status, que significa “condição, situação”, ou, em sentido mais amplo, “Estado”.
O uso do termo para denominar esse campo de estudo é atribuído a Gottfried Achenwall (1719 a 1772), professor na Universidade de Göttingen, na Alemanha.
Na atualidade, a Estatística é essencial para o desenvolvimento de todas as ciências e está presente no cotidiano por meio de índices, tabelas e gráficos.
Neste capítulo, estudaremos alguns conceitos que esclarecem as mais diversas informações estatísticas, como: população e amostra, maneiras de obtenção e organização de dados em tabelas e gráficos e medidas de tendência central.
2. Coleta, organização e apresentação de dados
Coleta e organização
Uma bióloga fez uma pesquisa sobre a medida do comprimento da cauda dos leões adultos que vivem em determinada região. Durante o estudo, com sua equipe e em segurança, ela verificou o comprimento da cauda de 30 leões e, em seguida, anotou em um quadro as medidas aferidas.
Em Estatística, o conjunto de todos os elementos que contêm uma característica a ser estudada é chamado de população estatística. Na pesquisa realizada pela bióloga, a população estatística corresponde a todos os leões que vivem na região escolhida.
Respostas e comentários
1. Origem da Estatística
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah dois seis.
Este tópico possibilita o desenvolvimento da habilidade (EF08MA26) ao apresentar razões que justificam a realização de pesquisas amostrais em diferentes contextos. Converse com os estudantes sobre a importância de saber coletar, descrever, organizar, analisar e comunicar dados. Destaque que trabalhos desse tipo foram importantes no desenvolvimento das grandes civilizações. Ao discutir o desenvolvimento da Estatística ao longo da história e a aplicação de conhecimentos estatísticos por diferentes civilizações para a melhor compreensão de suas realidades, contribui-se para o desenvolvimento da competência geral 1.
Para ampliar o trabalho com o tema, peça aos estudantes que pesquisem um pouco mais os fatos históricos citados no texto. Essa é uma ótima oportunidade para um trabalho interdisciplinar com História.
Sugestões de leitura
POUBEL, M. W.; SAD, L. A. De contagens empíricas e jogos ao poder da Ciência Estatística. Revista História da Matemática para Professores, [sem local], volume 1, número 1, página 21‑27, 2014. Disponível em: https://oeds.link/NuwDom. Acesso em: 12 julho 2022.
Neste artigo, os autores discutem o desenvolvimento histórico da ciência estatística e a importância, atualmente, de informações estatísticas para a avaliação de processos relacionados a transformações sociais, políticas e econômicas.
FERNANDES, R. J. G.; DOS SANTOS JUNIOR, G. História da matemática: uma estratégia contextualizada para o ensino de estatística e probabilidade nos anos iniciais do ensino fundamental. Imagens Da Educação, 2015, volume 5, número 2, página 25 a 35. Disponível em: https://oeds.link/jjahok. Acesso em: 26 agosto 2022.
Neste artigo, os autores apresentam a História da Matemática como recurso didático para o ensino da Estatística e Probabilidade e discutem a importância da sistematização de conceitos estatísticos e probabilísticos para que os estudantes consigam transportá-los para sua vida cotidiana, auxiliando-os na leitura, análise, interpretação e comparação de dados e informações ao tomar decisões.
Quando uma pesquisa considera todos os elementos da população, ela é denominada censo. Porém nem sempre é possível pesquisar todos os elementos de uma população estatística, pois, em geral, a população a ser pesquisada é muito grande. Quando isso acontece, limitamos a pesquisa a uma parte da população, que chamamos de amostra.
No caso da pesquisa realizada pela bióloga, a amostra corresponde aos 30 leões que tiveram o comprimento de sua cauda medido. Ao escolher uma amostra, é necessário que ela represente a população. Isso significa que a amostra deve apresentar todas as características da população que representa e, também, deve ser imparcial, isto é, ela deve integrar, proporcionalmente, todos os elementos da população. Existem várias técnicas para escolher uma amostra de modo a garantir que ela represente, da melhor maneira possível, a população da qual foi retirada. Esse assunto será estudado em anos posteriores.
A coleta de dados pode ser feita por meio de observação, contagem, medida, questionário ou entrevista.
A medida do comprimento da cauda dos leões é a variável da pesquisa, ou seja, a característica que se quer estudar. Uma variável pode ser quantitativa (quando assume valor numérico associado a contagem ou medida) ou qualitativa (quando o valor da variável é expresso por um atributo). São exemplos de variáveis quantitativas: massa, idade, altura, entre outros. Já a côr dos olhos, a procedência, o tipo de pelo, entre outros, são exemplos de variáveis qualitativas.
Como já sabemos, após obter a medida do comprimento da cauda de cada leão, a bióloga anotou os dados em um quadro.
Os dados assim apresentados são denominados dados brutos. Essa apresentação não favorece a observação de regularidade ou tendência nos dados. Para isso, é conveniente organizá-los em ordem crescente ou decrescente, denominada rol. Com o rol de dados, podemos facilmente obter a amplitude da amostra, que é a diferença entre o maior e o menor valor. Também podemos verificar a frequência absoluta de cada medida, que corresponde à quantidade de vezes que cada valor aparece na amostra. Com os dados organizados dessa maneira, fica mais fácil apresentá-los em uma tabela de distribuição de frequências.
|
Medida da cauda (em centímetro) |
82 |
85 |
90 |
91 |
95 |
96 |
98 |
99 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Frequência absoluta |
4 |
5 |
6 |
4 |
3 |
3 |
3 |
2 |
Dados obtidos pela bióloga.
Respostas e comentários
2. Coleta, organização e apresentação de dados
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah dois seis.
Trabalhe com os estudantes os conceitos de população, amostra e variável estatística, aprofundando o desenvolvimento da habilidade (EF08MA26). Peça a eles que exemplifiquem situações nas quais a variável envolvida é quantitativa (idade, altura, massa, número de filhos) e outras nas quais a variável é qualitativa (côr dos olhos, esporte preferido, fruta preferida, tipo de filme preferido).
Ressalte que um rol está associado a variáveis quantitativas, visto que é a apresentação dos dados coletados de maneira ordenada (crescente ou decrescente). Em seguida, explore os conceitos de amplitude e frequência absoluta. Se julgar adequado, formule situações com a turma para levantar dados do grupo e montar tabelas de distribuição de frequências para que os estudantes apliquem o conceito de frequência absoluta e calculem a amplitude da amostra (por exemplo, número de irmãos, animais de estimação, animal preferido, time de futebol etcétera). Explique-lhes que, nesse caso, como são considerados todos os estudantes da turma, a amostra utilizada é a própria população, fato que geralmente não ocorre em pesquisas estatísticas.
Solicite aos estudantes que elaborem uma pesquisa com familiares ou com seus responsáveis, colhendo os seguintes dados: sexo, idade, altura, massa corpórea, côr preferida, grau de instrução. Os estudantes devem identificar as variáveis contínuas e elaborar uma tabela de frequências.
Observando a tabela com os dados da distribuição da medida do comprimento da cauda dos leões, podemos chegar a diversas conclusões. Por exemplo:
• há 4 leões cujo comprimento da cauda mede 82 centímetros, ou seja, a medida 82 centímetros tem frequência 4;
• há 8 leões cujo comprimento da cauda mede 96 centímetros ou mais, pois as medidas 96 centímetros, 98 centímetros e 99 centímetros têm frequências 3, 3 e 2, respectivamente. E 3 + 3 + 2 = 8;
• há 15 leões cujo comprimento da cauda mede menos de 91 centímetros, pois 4 têm 82 centímetros de comprimento de cauda, 5 têm 85 centímetros e 6 têm 90 centímetros;
• a amplitude da amostra é 17 (99 ‒ 82).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 No caderno, classifique as variáveis a seguir em quantitativa ou qualitativa.
a) Salário.
b) Gênero.
c) Número de irmãos.
d) Opinião sobre a qualidade da água.
e) Número do sapato.
f) Escolaridade.
2 Dê dois exemplos de variável quantitativa e dois exemplos de variável qualitativa.
3 Em uma pesquisa referente à qualidade da coleta de lixo de determinado município que tem 10 bairros, o instituto responsável escolheu uma amostra formada por moradores de um mesmo bairro. Analisando a situação apresentada, pode-se afirmar que as conclusões obtidas por essa pesquisa são significativas para todo o município? Justifique.
4 Em um clube, a idade (em ano) dos participantes de um jôgo de vôlei era:
Com essas informações, elabore uma tabela de distribuição de frequência.
5 Gustavo fez uma pesquisa com alguns amigos para saber quantos animais de estimação cada um deles tinha em casa.
Observe os números que ele obteve:
Construa uma tabela de distribuição de frequência com esses dados.
6 Dos 120 estudantes do curso de Medicina, Cláudio registrou o número de batimentos cardíacos por minuto de 50 colegas de classe. Observe os números que ele registrou:
Com essas informações, construa uma tabela de distribuição de frequências e responda:
a) Quantos estudantes tem a população pesquisada? E quantos tem a amostra?
b) Qual é a amplitude dessa amostra?
c) Quantos estudantes apresentaram número de batimentos por minuto superior a 79?
d) Qual valor de batimentos por minuto aparece com maior frequência?
7
Hora de criar – Escolha uma variável quantitativa (idade, massa, altura, número de pessoas em casa etcétera) que possa ser pesquisada entre os colegas de classe. Faça a pesquisa, organize os dados em uma tabela de distribuição de frequências e, depois, apresente o resultado à turma.
Respostas e comentários
1. a) Quantitativa.
1. b) Qualitativa.
1. c) Quantitativa.
1. d) Qualitativa.
1. e) Quantitativa.
1. f) Qualitativa.
2. Resposta pessoal.
3. Não, pois a amostra não foi formada de maneira imparcial, visto que se concentrou em um único bairro.
4. Construção de tabela.
5. Construção de tabela.
6. Construção de tabela.
6. a) 120 estudantes; 50 estudantes.
6. b) 17 batimentos por minuto.
6. c) 24 estudantes.
6. d) 76
7. Resposta pessoal.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 1 a 3 e do exercício 6 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
Aproveite o exercício 4 e peça aos estudantes que escrevam no caderno um rol com os dados obtidos. Espera-se que escrevam os dados apresentados em ordem crescente ou em ordem decrescente. Exemplo de um rol possível: 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 20, 20.
Uma possível tabela de distribuição de frequências é:
|
Idade |
Frequência |
|---|---|
|
16 |
2 |
|
17 |
3 |
|
18 |
3 |
|
19 |
2 |
|
20 |
2 |
Dados obtidos pela diretoria do clube.
A seguir, uma possível tabela para o exercício 5.
|
Quantidade de animais |
Frequência |
|---|---|
|
0 |
3 |
|
1 |
4 |
|
2 |
6 |
|
3 |
4 |
|
4 |
2 |
|
6 |
1 |
Dados obtidos por Gustavo.
No exercício 7, os estudantes têm a oportunidade de colocar em prática a coleta e a organização de dados relativos a uma pesquisa. Práticas de pequisa em grupo são uma ótima oportunidade para exercitar a empatia, o diálogo, a cooperação e o respeito mútuo, contribuindo, assim, para o desenvolvimento da competência geral 9. Na apresentação dos resultados, converse com eles sobre as possíveis dificuldades encontradas na realização da atividade.
Esse exercício, além de colocar o estudante como protagonista de seu aprendizado, contribui para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero oito ême ah dois seis).
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Analise a tabela de distribuição de frequências que se refere às notas obtidas por todos os competidores em uma etapa classificatória para um torneio de saltos ornamentais.
|
Nota |
4,0 |
5,0 |
7,5 |
8,0 |
9,0 |
|---|---|---|---|---|---|
|
Frequência |
4 |
10 |
12 |
8 |
6 |
Dados obtidos pela organização do torneio.
a) Quantos atletas participaram da etapa classificatória?
b) Determine a porcentagem de atletas correspondente a cada nota e a soma das porcentagens.
c) Reproduza essa tabela acrescentando uma terceira linha para indicar as porcentagens.
d) Supondo que a nota para aprovação nessa competição seja 5,0, qual é a porcentagem de atletas reprovados nessa etapa?
Apresentação de resultados
Já aprendemos a interpretar e a organizar dados em tabelas e gráficos estatísticos. Essas representações são utilizadas tanto com o objetivo de organizar os dados obtidos em uma pesquisa a fim de observar padrões de comportamento das variáveis como para comunicar os resultados encontrados.
Vamos relembrar algumas dessas representações gráficas.
Gráfico de colunas
O gráfico de colunas é formado por retângulos de mesma medida de largura, com a base em um eixo horizontal e alturas correspondentes a valores em um eixo vertical.
Gráfico de barras
O gráfico de barras é parecido com o gráfico de colunas, só que a base dos retângulos que formam as barras fica apoiada no eixo vertical, e os valores ficam no eixo horizontal.
Tanto o gráfico de colunas quanto o de barras são muito utilizados, por causa da facilidade nas construções e da clareza na apresentação dos dados.
Respostas e comentários
Pense mais um poucoreticências:
a) 40 atletas.
b) 10% para 4,0; 25% para 5,0; 30% para 7,5; 20% para 8,0; 15% para 9,0; 100%.
c) Construção de tabela.
d) 10%
Pense mais um poucoreticências
Esta seção possibilita o desenvolvimento da habilidade (EF08MA04) ao trabalhar com o cálculo de porcentagens.
Para responder ao item a, os estudantes devem adicionar as frequências de cada nota.
4 + 10 + 12 + 8 + 6 = 40
Logo, 40 atletas participaram da etapa classificatória.
No item b, para determinar a porcentagem referente a cada nota, podemos aplicar a propriedade fundamental das proporções. Relembre aos estudantes que, em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. A resolução do item b está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
A seguir apresentamos a tabela para o item c.
|
Nota |
4,0 |
5,0 |
7,5 |
8,0 |
9,0 |
|---|---|---|---|---|---|
|
Frequência |
4 |
10 |
12 |
8 |
6 |
|
Porcentagem |
10% |
25% |
30% |
20% |
15% |
Dados obtidos pela organização do torneio.
Para calcular a porcentagem de atletas reprovados pedida no item d, deve-se analisar a tabela construída no item c. Pela tabela, foram reprovados apenas os atletas que tiraram nota 4,0, e isso corresponde a 10% dos competidores.
Apresentação de resultados
Este tópico possibilita a ampliação e o aprofundamento do estudo de gráficos, com o objetivo de consolidar os conhecimentos já construídos – relacionados com a leitura, a interpretação e a construção de vários tipos de gráficos – e avançar na discussão sobre o melhor tipo de gráfico para comunicar determinada informação.
A análise dos diferentes tipos de gráficos e a avaliação do gráfico mais adequado para representar determinada informação favorecem o desenvolvimento da habilidade (EF08MA23).
Gráfico de setores
No gráfico de setores, a frequência de cada dado estatístico é representada por um setor (uma “fatia”) do círculo, cuja medida da área é proporcional à frequência. Ele é usado quando se deseja relacionar os dados estatísticos entre si ou com o todo. Nesse tipo de gráfico, a soma das porcentagens correspondentes às fatias deve ser 100%.
Gráfico de linha
O gráfico de linha é usado principalmente para estudar um fenômeno no decorrer do tempo. Ele tem dois eixos: o horizontal, no qual, nesse exemplo, foram anotados os intervalos de tempo; e o vertical, em que foram marcadas frequências em determinada escala. Unindo os pontos obtidos no cruzamento das paralelas aos eixos pelos valores das variáveis, determinamos a linha do gráfico.
Gráficos de múltiplas entradas
Um gráfico de múltiplas entradas pode ser de linha, de colunas, de barras, entre outros. Nele, representa-se uma mesma característica estudada para duas ou mais amostras, facilitando a comparação entre elas.
Respostas e comentários
Apresentação de resultados
Analise cada gráfico com os estudantes. Peça-lhes que elaborem algumas questões relacionadas aos dados de cada um em tiras de papel (identificando o tipo de gráfico). Depois, sorteie uma tira por vez para a turma responder à questão elaborada por um colega.
Pictograma
O pictograma é um gráfico formado por desenhos relacionados ao tema. Em alguns casos, as frequências/medidas da variável são representadas pela mesma figura em tamanhos proporcionais a essas frequências/medidas; às vezes, escolhe-se um ícone para representar determinada frequência/variável. Esse tipo de gráfico é muito usado em revistas e jornais.
Cartograma
O cartograma é um mapa em que se representa, por meio de pontos, linhas e figuras, a ocorrência ou a intensidade de um fenômeno, como as condições do tempo.
É muito comum o uso de cartograma em revistas e jornais impressos, televisionados ou virtuais, para informar a previsão do tempo.
Os cartogramas também são usados para ilustrar e simplificar a comunicação de dados em reportagens e em estudos sobre determinadas variáveis características de um lugar.
Temperatura, em grauscélsius, e condições do tempo nas capitais em 22 de fevereiro de 2022
Respostas e comentários
Apresentação de resultados
Analise os pictogramas junto com os estudantes, destacando algumas informações apresentadas. Por exemplo, no pictograma que trata das medidas de comprimento de algumas espécies de baleias encontradas no Brasil, é possível notar que a medida do comprimento da imagem da baleia que indica 10 metros é cêrca de 1 centímetro, e a medida do comprimento da imagem da baleia que indica 25 metros é cêrca de 2,5 centímetros, ou seja, a medida do comprimento maior é 2,5 vezes a medida do comprimento menor (2,5 · 10 métros = 25 métros).
Peça aos estudantes que façam uma pesquisa sobre as espécies de baleias encontradas no Brasil, o local onde elas podem ser vistas, suas características, medidas etcétera Essa pesquisa pode favorecer um trabalho interdisciplinar com Ciências.
Ao apresentar o cartograma, comente que, para facilitar a leitura e melhor transmitir as informações em cartogramas, existem alguns elementos que são fundamentais e que não podem faltar em um mapa: o título (e, às vezes, o subtítulo), as legendas, a escala, a orientação e a fonte dos dados utilizados para a produção do referido mapa.
Como sugestão de atividade interdisciplinar com Geografia, peça aos estudantes que, em grupos, selecionem alguns temas e construam cartogramas. Ao final da atividade, peça aos grupos que troquem entre si os cartogramas construídos e que analisem os dados e as informações apresentadas.
Infográfico
O infográfico é usado para apresentar informações por meio de recursos diversos, como gráficos, textos, ilustrações, fotografias, mapas etcétera. Atualmente, utilizam-se muitos infográficos em jornais, revistas e na internet.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
8 Observe o gráfico com dados do desmatamento da Mata Atlântica em 2020 e faça o que se pede.
a) Considere que 1 hectare corresponde a .10000 métros quadrados e que a medida da área de um campo de futebol é .10800 métros quadrados. O equivalente a quantos campos de futebol, aproximadamente, foi desmatado em cada estado citado?
b) Construa um gráfico de barras com os dados obtidos no item a.
c) Pesquise em jornais, revistas ou na internet a atual situação do desmatamento da Mata Atlântica nos estados indicados no gráfico. Construa um novo gráfico de colunas com os dados obtidos com sua pesquisa e compare-o com este.
Respostas e comentários
8. a) Paraná: .2562 campos de futebol; Bahia: .3270 campos de futebol; Minas Gerais: .4630 campos de futebol.
8. b) Construção de gráfico.
8. c) Construção de gráfico.
Apresentação de resultados
Solicite previamente aos estudantes que pesquisem definições de infográfico e tragam exemplos retirados de diferentes meios de comunicação para a discussão deste tema.
Com base nos exemplos trazidos pelos estudantes, discuta com eles se todos são realmente infográficos, de acôrdo com as definições pesquisadas ou com a que foi apresentada no livro. Analise com a turma as informações contidas nos infográficos.
Exercícios propostos
Neste bloco de exercícios, temos uma boa oportunidade de trabalhar a articulação das Unidades Temáticas Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística. Além disso, é favorecido o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero oito ême ah dois três) ao discutir a utilização dos diferentes tipos de gráfico.
A resolução do exercício 8 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3. Nesse exercício, a comparação da área desmatada em hectare com a quantidade de campos de futebol tem o objetivo de passar aos estudantes uma ideia da dimensão das áreas desmatadas.
Conforme os dados informados no item a, 1 campo de futebol equivale a 1,08 hectare. Então:
• no Paraná, foram desmatados o equivalente a .2562 campos de futebol.
• na Bahia, foram desmatados o equivalente a .3270 campos de futebol.
• em Minas Gerais, foram desmatados o equivalente a .4630 campos de futebol.
9 Observe a tabela a seguir.
|
Região do Brasil |
Medida da área (em milhões de km2)* |
|---|---|
|
Norte |
3,85 |
|
Nordeste |
1,55 |
|
Sudeste |
0,92 |
|
Sul |
0,58 |
|
Centro-Oeste |
1,61 |
*Valores aproximados. Dados obtidos em: í bê gê É. ÁREAS territoriais. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Disponível em: https://oeds.link/2YFZIy. Acesso em: 21 junho 2022.
a) Construa um gráfico de colunas que apresente a medida da área de cada região brasileira.
b) Construa um gráfico de barras horizontais que apresente a quantidade de estados de cada região brasileira.
c) Qual região brasileira tem maior medida de área?
d) É correto afirmar que a região de maior medida de área tem a maior quantidade de estados?
10 Observe no cartograma a previsão meteorológica para a região Centro-Oeste para o dia 2 de março de 2022.
Temperatura, em grauscélsius, e condições do tempo na região Centro-Oeste em 2 de março de 2022
a) Para qual local foi prevista a menor temperatura mínima?
b) E qual terá a menor temperatura máxima?
c) Qual foi a maior temperatura prevista?
11 Uma empresa de consultoria fez uma pesquisa para verificar o lucro de algumas empresas brasileiras que têm ações negociadas na bolsa de valores. Os dados obtidos foram registrados no gráfico de colunas a seguir.
Agora, faça o que se pede.
a) Construa um gráfico de linha com as informações do gráfico de colunas apresentado.
b) Em que ano o lucro das empresas foi maior?
c) O que é possível observar em relação ao lucro dessas empresas nesse período?
12 O pictograma a seguir mostra a quantidade de funcionários em dois dos setores de uma empresa.
a) Quantos funcionários trabalham no departamento de produção dessa empresa?
b) Quantos funcionários trabalham no departamento de limpeza?
c) É possível construir um gráfico de setores para essa situação?
13 Hora de criar – Pesquise em jornais, revistas, atlas, internet e selecione dois gráficos de tipos diferentes sobre o tema que quiser. Elabore um texto que sintetize as informações apresentadas nesses gráficos.
Respostas e comentários
9. a) Construção de gráfico.
9. b) Construção de gráfico.
9. c) Norte.
9. d) Não, pois a região Norte tem 7 estados, e a região Nordeste tem 9 estados.
10. a) Brasília.
10. b) Brasília.
10. c) 35 graus Célsius
11. a) Construção de gráfico.
11. b) 2023
11. c) Oscilou.
12. a) 72 funcionários.
12. b) 12 funcionários.
12. c) Não, pois não sabemos a quantidade total de funcionários da empresa.
13. Resposta pessoal.
Exercícios propostos
As resoluções do exercício 9 e dos exercícios 11 a 13 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
O exercício 9 é uma ótima oportunidade para desenvolver uma atividade interdisciplinar com Geografia. Para essa atividade, escolha um tema com contexto socioambiental, cultural ou econômico relevante para a comunidade e peça aos estudantes que coletem alguns dados relacionados ao tema para a região onde moram. Com base neles, os estudantes devem elaborar novas tabelas e gráficos e escrever conclusões a respeito dos dados. Os gráficos podem ser elaborados coletivamente e expostos na sala de aula ou em murais na escola, compartilhando o resultado da pesquisa com a comunidade escolar.
Para responder ao item c e ao item d, os estudantes devem observar os gráficos elaborados no item a e no item b. A região Norte tem maior medida de área, e não é correto afirmar que ela tem a maior quantidade de estados, visto que a região Nordeste tem 9 estados e a região Norte tem 7 estados.
Se necessário, retome o que foi aprendido sobre cartograma para resolver o exercício 10.
Acompanhe sua resolução.
a) As temperaturas mínimas previstas foram de 23 graus Célsius (Cuiabá), 24 graus Célsius (Campo Grande), 19 graus Célsius (Goiânia) e 16 graus Célsius (Brasília). Assim, a menor delas foi prevista para Brasília.
b) As temperaturas máximas previstas foram de 35 graus Célsius (Cuiabá), 31 graus Célsius (Campo Grande), 32 graus Célsius (Goiânia) e 28 graus Célsius (Brasília). Assim, a menor delas foi prevista para Brasília.
c) A maior dentre todas as temperaturas previstas foi de 35 graus Célsius.
No exercício 11, incentive os estudantes a escreverem afirmações com base na observação e interpretação do gráfico. Apresente-lhes também afirmações para verificarem a veracidade com base nos dados do gráfico. Por exemplo:
• De 2019 a 2021, os lucros aumentaram de um ano para outro. (Verdadeira)
• De 2018 para 2019, os lucros aumentaram. (Falsa)
Ao finalizar este bloco de exercícios, para identificar as dificuldades dos estudantes e planejar as intervenções necessárias, organize-os em duplas e proponha a eles que conversem sobre o tipo de gráfico com o qual mais gostaram de trabalhar, qual acharam mais fácil e qual foi o mais difícil. Depois, peça-lhes que redijam um texto com as justificativas de suas opiniões. Em seguida, cada dupla apresenta para a turma o que escreveu.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Abordando um assunto com vários tipos de gráfico
Há tempos a dengue vem preocupando a população brasileira. Dados mostram que é necessário tomar todas as precauções para que essa doença não se dissemine ainda mais no Brasil. Observe a seguir os dados referentes a essa doença, organizados em diferentes tipos de gráfico.
Cartograma
Este cartograma mostra geograficamente o registro do número de casos por 100 mil habitantes da doença em 2021 nas regiões do Brasil.
Casos de dengue por 100 mil habitantes nas regiões brasileiras (2021)
Gráfico de linhas
Um gráfico de linhas é um bom instrumento para mostrar a evolução do número de casos de dengue no Brasil.
Segundo o Ministério da Saúde, os dados do início de janeiro até 7 de dezembro de 2019 apontam ..1527119 notificações de casos prováveis.
Gráfico de colunas
Em um gráfico de colunas, visualizamos a comparação da incidência da doença nos estados de Goiás, Minas Gerais e São Paulo em 2018 e 2019.
Agora quem trabalha é você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 A que é possível atribuir o aumento dos casos de dengue no Brasil em 2015 e 2019?
2 Considerando os anos de 2018 e 2019, quais foram os aumentos absoluto e percentual de casos de dengue no estado por 100 mil habitantes de São Paulo?
3
No gráfico de linha, lemos a seguinte informação: “A média histórica de casos, de 1998 a 2019, é .580298”. Discuta com um colega e escrevam o que vocês entendem que essa informação significa.
Respostas e comentários
1. Respostas possíveis: política pública de prevenção insuficiente, política educativa para a população insuficiente, falta de conscientização da população etcétera.
2. .426000 casos por 100 mil habitantes; aproximadamente .3872%.
3. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes concluam que a média representa um valor entre os valores máximo e mínimo. A definição de média aritmética será vista ainda neste capítulo.
Trabalhando a informação
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah dois três.
Nesta seção, aproveite para desenvolver o Tema Contemporâneo Transversal saúde e proponha aos estudantes uma discussão sobre ações simples com as quais cada pessoa pode se comprometer visando ao combate do mosquito transmissor da dengue; por exemplo: a constante busca por depósitos de água parada na residência ou nos locais que frequenta.
Analise os gráficos com os estudantes e peça a eles que indiquem o motivo de serem utilizados gráficos diferentes para a apresentação dos dados, avaliando a adequação dos diferentes tipos de gráficos para representar os diferentes conjuntos de dados, desenvolvendo, assim, a habilidade (ê éfe zero oito ême ah dois três). Cada gráfico apresenta informações sobre os casos de dengue em determinadas regiões em diferentes anos.
Peça aos estudantes que pesquisem os casos de dengue na região onde moram. Depois, peça-lhes que construam um gráfico de barras com as informações obtidas.
Agora quem trabalha é você!
Na atividade 1 do Agora quem trabalha é você!, espera-se que os estudantes possam relacionar as maiores quantidades de casos a anos excepcionalmente úmidos e chuvosos e às mudanças climáticas em geral, além de uma ciclicidade bienal empírica dos surtos. O aumento dos casos também pode ter sido intensificado pela insuficiência de políticas públicas de prevenção e de políticas educativas para a população.
Na atividade 2, o aumento absoluto de casos de dengue no estado de São Paulo foi: 437 ‒ 11 = 426
O aumento percentual de casos de dengue no estado de São Paulo foi:
Na atividade 3, espera-se que os estudantes tenham uma ideia intuitiva de média como um número representativo da quantidade de casos, situada em algum lugar entre os valores máximo e mínimo. A definição de média aritmética ainda será estudada neste capítulo.
Quando os estudantes finalizarem as questões do Agora quem trabalha é você!, peça a cada um que elabore outras duas atividades e troque com um colega. Cada um deve fazer as atividades elaboradas pelo outro. Depois, resolva com a turma as atividades propostas.
3. Frequência relativa
Para a festa de formatura do 9º ano de um colégio, a diretora elaborou uma pesquisa sobre o gênero musical preferido dos estudantes de duas turmas. Na turma a, há 26 estudantes, e, na turma B, 35 estudantes. O resultado obtido na pesquisa foi organizado na tabela a seguir.
|
Gênero |
Número de estudantes: turma A |
Número de estudantes: turma B |
|---|---|---|
|
Pop |
8 |
12 |
|
Funk |
5 |
8 |
|
Rap |
10 |
10 |
|
Indie |
1 |
1 |
|
Outros |
2 |
4 |
|
Total de estudantes |
26 |
35 |
Dados obtidos pela diretora do colégio.
Ao observar os resultados da tabela, é possível afirmar que os gêneros rap e indie têm a mesma preferência nas duas turmas?
O número de vezes que um dado se repete em uma pesquisa é chamado de frequência absoluta.
Apesar de os dois gêneros musicais apresentarem a mesma frequência absoluta (número de estudantes) nas duas turmas, a preferência de cada tipo de música não é a mesma, pois as turmas não têm a mesma quantidade de estudantes.
Vamos analisar os resultados em relação ao rap e ao indie, respectivamente:
• na turma a há 10 estudantes (rap) e 1 estudante (indie) em um total de 26 estudantes;
• na turma B há 10 estudantes (rap) e 1 estudante (indie) em um total de 35 estudantes.
Assim, percebemos que só é possível comparar a preferência de um gênero musical entre essas turmas se observarmos a razão entre o número de estudantes que preferem esse gênero e o total de estudantes da turma. Essa razão, em estatística, é chamada de frequência relativa.
A frequência relativa
F índice r, geralmente apresentada na fórma de porcentagem, é dada por:
frequência relativa =
frequência absoluta sobre total de elementosVamos calcular a frequência relativa para cada um dos gêneros musicais. Acompanhe.
Turma a:
• pop:
frequência relativa é igual a fração, 8 26 avos, fim da fração é aproximadamente igual a 0,31 que é igual a 31%.• funk:
frequência relativa é igual a fração, 5 26 avos, fim da fração, é aproximadamente igual a 0,19 que é igual a 19%.• rap:
frequência relativa é igual a fração, 10 26 avos, fim da fração, é aproximadamente igual a 0,38 que é igual a 38%.• indie:
frequência relativa é igual a fração, 1 26 avos, fim da fração, é aproximadamente igual a 0,04 que é igual a 4%.• outros:
frequência relativa é igual a fração, 2 26 avos, fim da fração, é aproximadamente igual a 0,08 que é igual a 8%.Turma B:
• pop:
frequência relativa é igual a fração, 12 35 avos, fim da fração, é aproximadamente igual a 0,34 que é igual a 34%.• funk:
frequência relativa é igual a fração, 8 35 avos, fim da fração, é aproximadamente igual a 0,23 que é igual a 23%.• rap:
frequência relativa é igual a fração, 10 35 avos, fim da fração, é aproximadamente igual a 0,29 que é igual a 29%.• indie:
frequência relativa é igual a fração, 1 35 avos, fim da fração, é aproximadamente igual a 0,03 que é igual a 3%.• outros:
frequência relativa é igual a fração, 4 35 avos, fim da fração, é aproximadamente igual a 0,11 que é igual a 11%.Respostas e comentários
3. Frequência relativa
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah dois quatro.
Antes de introduzir este tema, discuta com os estudantes os conhecimentos que já construíram sobre a frequência absoluta. Pergunte a eles o que é frequência absoluta. Considerando a observação de um grupo de dados de certa variável, espera-se que eles compreendam que a frequência absoluta, ou simplesmente frequência, de um dado observado é o número de repetições dessa observação, ou seja, é o número de vezes que a variável assume esse valor.
Entretanto, a frequência absoluta não compara os dados observados em relação à quantidade total deles. Para isso definimos a frequência relativa, que facilita a comparação dos dados, expressa pela razão da frequência absoluta do dado considerado pelo total de elementos da amostra considerada. A frequência relativa geralmente é expressa na fórma de porcentagem.
Desenvolva a situação proposta de modo que os estudantes acompanhem o cálculo da frequência relativa. Comente que a tabela de distribuição de frequências pode ser estendida para apresentar também a frequência relativa (no caso, acrescentando-se as colunas correspondentes às frequências relativas dos dados da turma a e da turma B).
Podemos, então, montar a seguinte tabela:
|
Gênero |
Frequência relativa: turma A |
Frequência relativa: turma B |
|---|---|---|
|
Pop |
31% |
34% |
|
Funk |
19% |
23% |
|
Rap |
38% |
29% |
|
Indie |
4% |
3% |
|
Outros |
8% |
11% |
|
Total |
100% |
100% |
Dados obtidos pela diretora do colégio.
Notamos que, apesar de o rap apresentar a mesma frequência absoluta, a frequência relativa para esse gênero musical não foi a mesma nas duas turmas. O mesmo vale para o gênero indie. Com isso, concluímos que a preferência desses dois gêneros não é a mesma nas duas turmas.
Considere a situação a seguir.
O departamento de contrôle de qualidade de uma empresa testou a massa (em grama) de um lote de 50 pacotes de farinha, supostamente de 1 quilograma, e construiu o rol:
940; 945; 955; 955; 963; 970; 970; 972; 974; 988; 988; 988; 989; 990; 990; 991; 993; 993; 993; 996; 997; 997; 999; 999; .1000; .1000; .1000; .1000; .1000; .1002; .1002; .1004; .1005; .1005; .1005; .1008; .1009; .1009; .1012; .1016; .1016; .1019; .1019; .1020; .1023; .1023; .1024; .1025; .1025; .1028
Para ter uma ideia melhor da distribuição de frequência, a pesquisadora reuniu esses valores em grupos de amplitude igual a 25 gramas. A esses grupos chamamos “classe”. Nesse caso, cada classe constituía um conjunto de números de a até b, incluindo a e não incluindo b. Observe a tabela de distribuição de frequência em classes.
|
Classe (de a até b*) |
Frequência absoluta |
Frequência relativa |
|---|---|---|
|
De 925 até 950 |
2 |
4% |
|
De 950 até 975 |
7 |
14% |
|
De 975 até 1.000 |
15 |
30% |
|
De 1.000 até 1.025 |
23 |
46% |
|
De 1.025 até 1.050 |
3 |
6% |
|
Totais |
50 |
100% |
* O b não está incluído na classe. Dados obtidos pela empresa de farinha.
Analisando a tabela, em relação à marca estabelecida de 1 quilograma, podemos concluir que:
• em 76% dos pacotes, o êrro é menor ou igual a 25 gramas;
• 48% (4% + 14% + 30%) estão abaixo e 52% (46% + 6%) estão acima.
Respostas e comentários
Frequência relativa
Como os estudantes ainda não conhecem notações de conjuntos numéricos, para simplificar, usamos um asterisco com a respectiva explicação, evitando o uso da notação com os casos de colchetes abertos/fechados dos intervalos reais.
A noção de distribuição por classes será ampliada quando os estudantes trabalharem com o conjuntos dos números reais.
Ressalte algumas considerações importantes:
• Esse tipo de distribuição só é usado para variáveis quantitativas, considerando-se os dados em ordem crescente.
• Escolhemos classes de amplitudes iguais, que vão depender do tamanho da amostra.
• Cada elemento observado deve aparecer em uma única classe, e todos os elementos da amostra considerada devem aparecer em alguma das classes.
• As classes devem ser definidas. Por exemplo, .1025 ou mais não representa uma classe.
Explore com os estudantes a situação apresentada. Ela favorece o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero oito ême ah dois quatro) quando decisões são tomadas com base em análise de dados em tabela de distribuição de frequência em classes. Se julgar oportuno ou necessário, elabore outros problemas e escreva-os na lousa com a participação dos estudantes.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
14 Em uma pesquisa para saber o tempo, em hora, que os jovens gastam ouvindo música durante um dia, obtiveram-se os seguintes resultados:
a) Construa uma tabela de distribuição de frequências absoluta e relativa em classes de números racionais de 0 a 1*, de 1 a 2*, de 2 a 3*, de 3 a 4 * e de 4 a 5*, em que * significa que o número final não está na classe.
b) Qual é a frequência absoluta dos jovens que gastam mais de 3 horas ouvindo música durante um dia?
c) Determine a frequência relativa dos jovens que gastam 3 horas ouvindo música durante um dia.
d) Analisando a tabela de distribuição de frequências construída, o que representam os 40%?
e) Podemos afirmar que mais de 50% dos jovens passam mais de 3 horas por dia ouvindo música? Justifique sua resposta.
15 Observe o gráfico a seguir.
Com base na análise do gráfico, faça o que se pede.
a) Construa uma tabela de distribuição de frequências com a frequência relativa em porcentagem.
b) Qual é a frequência relativa dos participantes do Enem com 18 anos nessa escola?
c) Qual é a porcentagem de participantes com idade superior a 17 anos?
d) O que é possível perceber, em relação ao número de estudantes que participam do Enem, à medida que a idade dos estudantes aumenta?
16 A tabela a seguir mostra o tempo, em hora, que os meninos e as meninas do 8º ano de um colégio acessam a internet semanalmente.
|
Tempo Classe (de a até b*) |
Frequência absoluta: meninos |
Frequência absoluta: meninas |
|---|---|---|
|
De 0 a 1 hora |
7 |
0 |
|
De 1 a 2 horas |
9 |
9 |
|
De 2 a 3 horas |
6 |
6 |
|
De 3 a 4 horas |
5 |
5 |
|
De 4 a 5 horas |
3 |
4 |
|
Total |
30 |
24 |
* O número b não está incluído na classe. Dados obtidos pelo colégio.
a) De acôrdo com os dados da tabela, é possível afirmar que, entre os estudantes do 8º ano, o percentual de meninos e o percentual de meninas que acessam a internet de 3 a 4 horas semanalmente são iguais? Justifique.
b) Construa a tabela de frequências relativas na fôrma percentual e verifique se sua resposta ao item a está correta.
4. Medidas estatísticas
Já aprendemos vários recursos e técnicas estatísticas para a descrição do grupo de valores que uma variável pode assumir. Observamos que as organizações de dados em tabelas de frequências e gráficos podem fornecer informações sobre o comportamento de uma variável, possibilitando verificar tendências e padrões.
Porém, às vezes, precisamos resumir ainda mais um conjunto de dados para expressar determinada característica da população pesquisada.
Para isso, estudaremos a seguir algumas medidas estatísticas de posição ou de tendência central: moda, média aritmética, média aritmética ponderada e mediana.
Respostas e comentários
14. a) Construção de tabela.
14. b) 8
14. c) 30%
14. d) É a frequência relativa dos jovens que gastam de 4 a 5 horas ouvindo música durante um dia.
14. e) Não, pois os jovens que passam mais de 3 horas por dia ouvindo música representam 40% do total dos jovens consultados.
15. a) Construção de tabela.
15. b) 15%
15. c) 25%
15. d) A participação diminui.
16. a) Não. Apesar de as frequências absolutas de meninos e de meninas que acessam por 4 horas a internet serem iguais, não há nessa turma o mesmo número de meninos e meninas. Então, os percentuais de meninos (≃ 17%) e de meninas (≃ 21%) em relação ao total são diferentes.
16. b) Construção de tabela.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 14 a 16 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
Este bloco de exercícios contribui para o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero oito ême ah zero quatro) e (ê éfe zero oito ême ah dois quatro).
A seguir, apresentamos exemplos de tabelas para os exercícios 14 (item a) e 15 (item a), respesctivamente.
|
Tempo (em horas) |
Frequência absoluta |
Frequência relativa |
|---|---|---|
|
De 0 a 1* |
2 |
10% |
|
De 1 a 2* |
4 |
20% |
|
De 2 a 3* |
0 |
0% |
|
De 3 a 4* |
6 |
30% |
|
De 4 a 5* |
8 |
40% |
|
Total |
20 |
100% |
*O número final não está incluído na classe. Dados obtidos no grupo de jovens pesquisados.
|
Idade (em anos) |
Frequência absoluta |
Frequência relativa |
|---|---|---|
|
16 |
60 |
50% |
|
17 |
30 |
25% |
|
18 |
18 |
15% |
|
19 |
12 |
10% |
|
Total |
120 |
100% |
Dados obtidos pela escola.
O exercício 15 oferece uma possibilidade de conversar com os estudantes sobre a existência, a função e a importância do Exame Nacional do Ensino Médio (enêm) para estudantes e professores de modo geral.
Peça-lhes que façam uma pesquisa sobre o Enem e discutam suas conclusões com os colegas.
A seguir, apresentamos um exemplo de tabela para o exercício 16, item b.
|
Tempo (em horas) |
Frequência relativa: meninos |
Frequência relativa: meninas |
|---|---|---|
|
De 0 a 1* |
23,3% |
0% |
|
De 1 a 2* |
30% |
37,5% |
|
De 2 a 3* |
20% |
25% |
|
De 3 a 4* |
16,7% |
20,8% |
|
De 4 a 5* |
10% |
16,7% |
|
Total |
100% |
100% |
*O número final não está incluído na classe. Dados obtidos pelo colégio.
4. Medidas estatísticas
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah dois cinco.
Este tópico possibilita o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero oito ême ah dois cinco), ao apresentar algumas medidas de tendência central: moda, média aritmética, média aritmética ponderada e mediana. Comente com os estudantes que a média aritmética e a mediana são usadas apenas para variáveis quantitativas, enquanto a moda pode ser usada também para variáveis qualitativas. Se necessário, retome os conceitos de variável quantitativa e qualitativa.
Moda
Paulo trabalha em uma empresa de roupas selecionando adolescentes para serem modelos comerciais. Ele escolheu 160 candidatos e anotou suas alturas nesta tabela.
|
Altura (em metro) |
1,50 |
1,55 |
1,56 |
1,58 |
1,60 |
1,62 |
1,68 |
1,70 |
1,72 |
1,75 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Frequência absoluta |
10 |
15 |
22 |
23 |
25 |
35 |
12 |
10 |
5 |
3 |
Dados obtidos por Paulo.
Como a altura que aparece mais vezes, isto é, que apresenta a maior frequência (35) é 1,62 métro, dizemos que 1,62 métro é a moda desse conjunto de dados.
Paulo também registrou outra característica desse grupo, a idade, em uma tabela de distribuição das frequências absolutas.
|
Idade (em ano) |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
|---|---|---|---|---|---|---|
|
Frequência absoluta |
11 |
34 |
34 |
32 |
31 |
18 |
Dados obtidos por Paulo.
Na tabela, as idades que apresentam a maior frequência (34) são 13 e 14 anos. Então, dizemos que nesse conjunto de dados existem duas modas (bimodal): 13 anos e 14 anos.
Nem sempre a moda é um número. Acompanhe outra situação.
A tabela a seguir apresenta o resultado de uma pesquisa realizada com clientes de uma empresa de tê vê por assinatura para conhecer melhor a preferência deles em relação a alguns canais.
|
Canal de TV |
Canal X |
Canal Y |
Canal Z |
Canal K |
Canal W |
|---|---|---|---|---|---|
|
Frequência absoluta: telespectadores |
420 |
600 |
500 |
280 |
200 |
Dados obtidos pela empresa de tê vê por assinatura.
Respostas e comentários
Medidas estatísticas
Para ampliar e enriquecer o trabalho com esse tema, apresentamos o texto a seguir.
A Estatística trabalha com diversas informações que são apresentadas por meio de gráficos e tabelas e com diversos números que representam e caracterizam um determinado conjunto de dados. Dentre todas as informações, podemos retirar valores que representem, de algum modo, todo o conjunto. Esses valores são denominados “Medidas de Tendência Central ou Medidas de Centralidade”. As medidas de centralidade são a Média aritmética, a Moda e a Mediana. [reticências]
Disponível em: https://oeds.link/ICjPEs. Acesso em: 8 junho 2022.
Moda
Pergunte aos estudantes o que significa o termo “moda” e escute as respostas dadas.
Depois, apresente a eles a situação das alturas dos candidatos selecionados para serem modelos e diga que a altura 1,62 métro é a moda do conjunto de dados. Pergunte a eles se conseguem definir o que é moda em Matemática. Espera-se que os estudantes notem que moda é o elemento que tem a maior frequência absoluta.
Comente com eles que alguns conjuntos de dados podem ter duas modas (bimodais), enquanto outros podem ter a mesma frequência e, nesse caso, dizemos que o conjunto de dados é amodal.
Com base na tabela apresentada, percebemos que o canal de tê vê com maior frequência, 600 telespectadores, é o canal Y. Podemos dizer, então, que esse canal é a moda desse conjunto de dados.
Em um conjunto de dados, moda é o elemento, numérico ou não, que se destaca por apresentar a maior frequência absoluta. Se dois ou mais elementos desse conjunto tiverem a mesma frequência absoluta, maior do que os demais, esses elementos serão as modas do conjunto.
Observação
▶ Quando todos os valores de uma pesquisa tiverem a mesma frequência, dizemos que não há moda ou que o conjunto de dados é amodal. Por exemplo, na situação da pesquisa sobre a preferência de canais, se todos os canais tivessem a mesma preferência, o conjunto de canais seria amodal.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
17 Determine a moda de cada sequência.
a) 7, 7, 8, 10, 10, 13, 14, 7, 9, 7
b) 5, 5, 5, 5, 5, 5
c) 10, 12, 17, 12, 10, 18, 18, 20
d) 3,2; 4,3; 5,1; 7,8
18 Para avaliar a qualidade das lâmpadas produzidas por uma empresa, uma equipe técnica separou uma amostra com 20 lâmpadas e registrou sua vida útil, em dia:
a) Construa uma tabela de distribuição de frequências absolutas para essa situação.
b) Determine a moda dessa distribuição de frequências.
19
Faça uma pesquisa com uma amostra de 10 colegas da classe e descubra qual é a moda dos esportes preferidos por vocês.
20 Hora de criar – Escreva uma situação de uma sequência de dados que seja bimodal e outra que seja amodal.
Média aritmética
Vamos relembrar como calcular a média de um conjunto de dados. Acompanhe a situação a seguir.
Alexandre, o professor de História, avisou aos estudantes que a média bimestral seria calculada conforme o seguinte critério: adicionam-se as notas obtidas no projeto individual, na prova e no trabalho em grupo e o resultado obtido é dividido por 3.
Laura é estudante na turma de Alexandre e calculou sua média bimestral desta maneira:
Portanto, nesse bimestre, Laura obteve média 7,0.
Respostas e comentários
17. a) 7
17. b) Não há.
17. c) 10, 12, 18
17. d) Não há.
18. a) Construção de tabela.
18. b) 12 dias.
19. Resposta pessoal.
20. Resposta pessoal.
Exercícios propostos
Neste bloco de exercícios, os estudantes vão aplicar o conceito de moda em situações variadas.
Acompanhe a resolução do exercício 17.
a) Como 7 é o número que aparece com a maior frequência absoluta (4), é a moda dessa sequência.
b) Como essa sequência só apresenta o valor 5, ela é amodal.
c) Os valores 10, 12 e 18 aparecem com a mesma frequência (2), que é maior do que as frequências do 17 e do 20 (1); logo, é uma sequência trimodal, com modas 10, 12 e 18.
d) Como todos os elementos dessa sequência aparecem uma única vez, todos apresentam a mesma frequência e, portanto, a sequência é amodal.
Para o exercício 18, apresentamos uma possível tabela para o item a.
|
Tempo (em dia) |
Frequência absoluta |
|---|---|
|
10 |
4 |
|
12 |
6 |
|
13 |
2 |
|
14 |
4 |
|
15 |
4 |
Dados obtidos pela equipe técnica.
Observando a tabela construída, os estudantes podem verificar que o tempo mais observado (aquele de maior frequência) é o tempo modal, o relativo a 12 dias (item b).
A pesquisa do exercício 19 é pessoal e uma boa oportunidade para discutir com os estudantes como escolher uma amostra imparcial de dados.
O exercício 20 tem como objetivo fazer com que os estudantes reflitam sobre o que aprenderam e consigam elaborar uma situação-problema que apresente um conjunto de elementos que seja bimodal e outra situação-problema que apresente um conjunto de elementos que seja amodal.
A seguir, apresentamos uma sugestão de resposta.
Bimodal: 1, 1, 2, 2, 3, 4
Amodal: 1, 1, 2, 2, 3, 3
Média aritmética
Neste tópico, trabalhamos o conceito de média aritmética (simples), que é uma medida de tendência central bastante utilizada.
A média aritmética, ou simplesmente média, das notas de Laura é 7,0. Analisando o cálculo, é como se ela tivesse obtido notas 7,0 em todas essas avaliações.
Observe que
= 1,0 e que
= 0,5.
Abaixo da reta média (
), há
e
em Projeto e
em Prova.
Acima da reta média, há
,
e
em Trabalho.
Como podemos notar, há duas vírgula cinco unidades acima (+2,5) e duas vírgula cinco unidades abaixo (‒2,5) da ordenada dos pontos da reta média.
A reta média ajuda a visualizar melhor a distribuição dos dados de um grupo de valores, se estão mais concentrados ou mais dispersos, isto é, mais espalhados.
O gráfico de colunas nos ajuda também a perceber o que os estatísticos chamam de amplitude, que é a diferença entre o maior e o menor valor da variável estudada. Nesse caso, a amplitude é 4,5 (9,5 ‒ 5).
No 9º ano, ampliaremos esse estudo da dispersão de um conjunto de valores por meio do cálculo do desvio médio.
Para calcular a média aritmética de dois ou mais números, basta dividir a soma desses números pela quantidade de números dados.
Média aritmética ponderada
Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
Durante o último mês, o número de atendimentos diários de uma clínica odontológica foi:
Respostas e comentários
Média aritmética
Ao longo dos estudos no Ensino Fundamental, os estudantes já devem ter se deparado com o cálculo da média. Aproveite a situação apresentada para verificar esse conhecimento.
Explore o gráfico com a reta média. Se julgar necessário, mostre à turma a construção desse gráfico na lousa, ressaltando a determinação da reta média.
Média aritmética ponderada
A média aritmética ponderada é uma média aritmética na qual são considerados pesos diferentes para os dados da amostra. Explique aos estudantes que, ao fazer o cálculo da média aritmética simples, todos os valores têm a mesma “importância”, enquanto no cálculo da média aritmética ponderada os valores têm “importâncias” diferentes (quanto maior o peso atribuído ao valor, maior a “importância” dele).
Desenvolva a situação 1 na lousa para que os estudantes acompanhem todas as etapas do processo do cálculo da média aritmética ponderada.
Para determinar a média diária de atendimentos feitos nessa clínica, podemos verificar a quantidade de atendimentos diários e calcular a média. Observe:
• 16 aparece 4 vezes;
• 17 aparece 3 vezes;
• 18 aparece 5 vezes;
• 19 aparece 5 vezes;
• 20 aparece 3 vezes.
Então:
média =
Expressão matemática. Média é igual à fração; numerador: 4 vezes 16 mais 3 vezes 17 mais 5 vezes 18 mais 5 vezes 19 mais 3 vezes 20; denominador: 4 mais 3 mais 5 mais 5 mais 3, fim da fração,=
fração: numerador: 64 mais 51 mais 90 mais 95 mais 60; denominador: 20=
fração, 360 20 avos= 18
Logo, a média diária de atendimentos feitos nessa clínica odontológica foi 18.
Situação 2
A prefeitura de um município brasileiro promoveu um concurso público para preencher algumas vagas. Na 1ª etapa do concurso, cada candidato realizou três provas: Matemática, Língua Portuguesa e Conhecimentos Gerais.
A média mínima para passar para a 2ª etapa do concurso era 6,0.
Observe o critério para o cálculo da média dos candidatos:
• prova de Matemática, peso 4;
• prova de Língua Portuguesa, peso 4;
• prova de Conhecimentos Gerais, peso 2.
Fernando era um dos candidatos. Assim que as notas foram publicadas no Diário Oficial do município, ele resolveu conferir sua média.
Como os pesos das provas são diferentes, para calcular sua média, Fernando precisou multiplicar cada nota pelo seu respectivo peso e, então, adicionar todos os resultados obtidos. Em seguida, dividiu o resultado pela soma de todos os pesos.
Observe como ele fez:
Dessa maneira, Fernando confirmou que sua média foi 6,2. Portanto, ele passou para a 2ª etapa do concurso público da prefeitura.
Note que, tanto na situação da clínica odontológica quanto na situação do concurso público, foi necessário considerar o peso de cada dado para calcularmos a média. Por esse motivo, ela é chamada de média aritmética ponderada.
Para obter a média aritmética ponderada de dois ou mais números, multiplicamos cada número por seu respectivo peso, adicionamos os produtos obtidos e dividimos o total pela soma dos pesos.
Respostas e comentários
Média aritmética ponderada
Para ampliar a situação 2, pergunte aos estudantes: “Mantendo-se os pesos das três provas e as notas de Fernando em Matemática e Língua Portuguesa, quanto deve ser sua nota em Conhecimentos Gerais para ele obter média 7,0?”.
Nesse caso, os estudantes devem mobilizar seus conhecimentos de equação do 1º grau, construídos em anos anteriores, além do conceito de média aritmética ponderada.
Apresentamos a seguir uma possível resolução, indicando por x a nota em Conhecimentos Gerais que queremos determinar.
50 + 2 · x = 70
2 · x = 70 ‒ 50
2 · x = 20
x = 10
Logo, Fernando deve tirar nota dez em Conhecimentos Gerais para obter média 7,0.
Desafie mais os estudantes perguntando: “E quanto deve ser a nota de Fernando em Conhecimentos Gerais para ele ter média superior a 7,0?”. Espera-se que eles percebam que não é possível obter nota superior a dez; então, não é possível Fernando obter média maior do que 7,0 alterando apenas a nota de Conhecimentos Gerais.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
21 Lúcio comprou duas camisas; uma custou R$ 45,00quarenta e cinco reais, e a outra, R$ 39,00trinta e nove reais. Qual é o preço médio dessas camisas?
22 O quadro a seguir indica as temperaturas mínimas registradas na semana de 2 a 8 de julho em uma cidade da região Sul do Brasil. Encontre a média aritmética das temperaturas mínimas registradas nessa semana.
|
Dia |
Temperatura mínima (em °C) |
|---|---|
|
2 |
2 |
|
3 |
1 |
|
4 |
−6 |
|
5 |
−4 |
|
6 |
−4 |
|
7 |
−2 |
|
8 |
−1 |
23 O quadro a seguir apresenta o número de estudantes matriculados no 8º ano de uma escola entre os anos de 2020 e 2023.
|
2020 |
2021 |
2022 |
2023 |
|---|---|---|---|
|
193 |
209 |
216 |
210 |
a) Quantos estudantes foram matriculados no 8º ano dessa escola nesses quatro anos?
b) Qual foi o número médio de estudantes matriculados nos quatro anos indicados?
c) Em quais anos o número de matrículas foi inferior à média?
24 O número de automóveis vendidos em uma concessionária no primeiro trimestre do ano foi representado por um gráfico de barras.
a) Qual foi o número médio de automóveis vendidos na concessionária nesse trimestre?
b) Em março, quantos automóveis foram vendidos acima da média?
c) Considerando os três primeiros meses, faça uma estimativa de quantos automóveis devem ser vendidos no primeiro semestre do ano.
d) Mostre duas maneiras de chegar ao resultado do item anterior.
25 Para escolher um representante de sala, o 8º ano a fez uma votação. O resultado está representado na tabela a seguir.
|
Estudante |
Número de votos |
|---|---|
|
Adriana |
21 |
|
Vítor |
18 |
|
Mariana |
11 |
Dados obtidos pelo 8º ano a.
Faria sentido calcular a média para escolher o representante de sala do 8º ano?
26 Uma editora apresentou a quantidade de livros publicados no período de 2021 a 2023 no pictograma a seguir.
Calcule a média anual de livros produzidos por essa editora nesse período.
Respostas e comentários
21. R$ 42,00quarenta e dois reais
22. ‒2 graus Célsius
23. a) 828 estudantes.
23. b) 207 estudantes.
23. c) Somente em 2020.
24. a) 34 automóveis.
24. b) 8 automóveis.
24. c) 204 automóveis.
24. d) 38 + 22 + 42 + 34 + 34 + 34 ou 34 ⋅ 6
25. Não.
26. 400 livros.
Exercícios propostos
A resolução do exercício 24 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
Neste bloco de exercícios, os estudantes vão aplicar os conceitos de média aritmética simples e de média aritmética ponderada em situações variadas. Além disso, em alguns exercícios vão retomar o conceito de moda.
No exercício 21, para calcular o preço médio das duas camisas que Lúcio comprou, devemos adicionar os valores das camisas e dividir a soma por 2. Assim:
(45 + 39) : 2 = 42
Logo, o preço médio é R$ 42,00quarenta e dois reais.
No exercício 22, os estudantes devem analisar o quadro, adicionar as sete temperaturas apresentadas e dividir a soma por 7. Assim:
[2 + 1 + (‒6) + (‒4) + (‒4) + (‒2) + (‒1)] : 7 = ‒2
Logo, a média das temperaturas mínimas é ‒2 graus Célsius.
Acompanhe a resolução do exercício 23.
a) A quantidade total de estudantes matriculados é dada pela soma de estudantes matriculados a cada ano. 193 + 209 + 216 + 210 = 828
b) Como há quatro anos, a média é dada pela soma obtida no item a dividida por quatro. 828 : 4 = 207
c) Como a média foi de 207 estudantes, o quadro informa que o número de matrículas foi inferior à média em 2020.
No exercício 24, vale dar atenção especial à explicação que os estudantes apresentarem no item d. É uma oportunidade de eles observarem que muitos problemas podem ser resolvidos por mais de um caminho, mesmo tendo resultado único.
No exercício 25, espera-se que os estudantes concluam que não faz sentido calcular a média, pois a variável da pesquisa (estudante) não é um número, ela é uma variável qualitativa.
Para resolver o exercício 26, primeiro precisamos analisar o pictograma apresentado. Como cada imagem de livro corresponde a 100 livros, em 2021, obtemos 400 livros; em 2022, 250 livros; e, em 2023, 550 livros. Para calcular a média anual de publicações, devemos adicionar essas quantidades publicadas em cada ano e dividir a soma pela quantidade de anos considerados. Assim:
(400 + 250 + 550) : 3 = 400
Logo, a média anual de livros publicados é 400.
27 O salário mensal, em real, de cada um dos 10 funcionários de uma microempresa é:
a) Construa uma tabela de distribuição de frequências para essa situação.
b) Determine o salário modal (moda) desses funcionários.
c) Calcule o salário mensal médio desses funcionários.
d) Quantos funcionários recebem salário mensal menor que o salário mensal médio? Que porcentagem do total de funcionários eles representam?
e)
Discuta com um colega como é possível que o salário médio dos funcionários dessa empresa seja maior que o salário da maioria dos funcionários.
28 Em um concurso, a prova escrita tem peso 3, e a prova prática tem peso 2. Qual é a média de um candidato que obteve nota 8 na prova escrita e nota 5 na prova prática?
29 Catarina é professora de Matemática. Ela obtém a média bimestral dos estudantes propondo três atividades durante o bimestre: a nota da primeira atividade tem peso 1, a nota da segunda tem peso 2 e a da terceira tem peso 3. Calcule a média bimestral de um estudante de Catarina que obteve 4,0 na primeira atividade, 7,0 na segunda e 8,0 na terceira.
30 Uma imobiliária vendeu 5 terrenos a R$ 48.000,00quarenta e oito mil reais cada um e 10 terrenos a R$ 45.000,00quarenta e cinco mil reais cada um. Qual foi o valor médio dos terrenos vendidos pela imobiliária?
31
Hora de criar – Troque com um colega um problema, criado por vocês, sobre média aritmética ponderada. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Os gráficos a seguir representam pontos, de 0 a 100, que cada integrante das equipes a e B obteve na final da competição de saltos ornamentais promovida por um clube.
a) Quantos pontos cada equipe obteve?
b) Quantos integrantes tem cada equipe?
c) Calcule a média de pontos de cada equipe.
d) Qual equipe obteve maior média?
e) Nesse caso, a média aritmética traduz o perfil de cada equipe? Justifique.
Respostas e comentários
27. a) Construção de tabela.
27. b) .2200 reais e .2320 reais.
27. c) .2641 reais.
27. d) 8 funcionários; 80%.
27. e) Espera-se que os estudantes percebam que o fato de haver um salário bem maior que os outros faz o salário médio aumentar.
28. A média é 6,8.
29. 7,0
30. R$ 46.000,00quarenta e seis mil reais
31. Resposta pessoal.
Pense mais um poucoreticências:
a) Equipe a: 420 pontos; equipe B: 420 pontos.
b) 6 integrantes.
c) Equipe a: 70 pontos; equipe B: 70 pontos.
d) As duas obtiveram médias iguais.
e) Não, pois, no caso da equipe B, a média 70 não deixa claro que Rute, e principalmente Bete, deveriam treinar mais.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 27 a 31 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
Após a resolução do exercício 27, diga aos estudantes que a média, em determinadas situações, pode mascarar o comportamento de uma variável em um conjunto de dados. Quando constatamos, como neste exercício, que o salário médio mensal dos funcionários de uma empresa corresponde a determinado valor e que 80% deles recebem salário menor do que esse salário médio, essa medida de tendência central não é a mais apropriada para representar a variável salário nesse conjunto de dados.
A seguir apresentamos um exemplo de tabela para o item a:
|
Salário (em reais) |
Frequência |
|---|---|
|
2.050 |
2 |
|
2.200 |
3 |
|
2.320 |
3 |
|
2.780 |
1 |
|
5.970 |
1 |
Dados fornecidos pela microempresa.
No exercício 28, proponha aos estudantes algumas questões:
• Em que prova é mais interessante se sair melhor? (Na prova escrita, que tem peso 3.)
• Na nota final, que fração corresponde à prova escrita? E à prova prática?
Abre parênteses, fração, 3 quintos, fim da fração, ponto e vírgula, fração, 2 quintos, fim da fração, fecha parênteses.Aproveite a situação proposta no exercício 29 e converse com os estudantes sobre a importância de conhecerem como são avaliados e sobre a avaliação como um processo no qual o professor também avalia o próprio trabalho e revê estratégias.
Pense mais um poucoreticências
Os estudantes devem perceber que, quando a dispersão (variação) da distribuição de números é muito grande, a média aritmética não é suficiente para conhecer o perfil real do grupo de dados pesquisados.
Peça aos estudantes que reproduzam os gráficos no caderno e tracem a reta média nos dois casos. Em ambos os casos, a reta passará pelo valor médio 70 no eixo vertical. No entanto, a distribuição da equipe A é mais uniforme (ou homogênea), pois tem valores mais próximos da média, já a equipe B tem uma dispersão maior.
As resoluções do Pense mais um poucoreticências estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
Mediana
Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
Sete amigos se encontraram no fim de semana em um salão de jogos.
Após brincar em cada um dos jogos, eles obtiveram as seguintes pontuações finais: 160, 207, 177, 185, 175, 195 e 192.
O rol correspondente a essas pontuações é:
Como o conjunto de dados tem uma quantidade ímpar de termos, existe um termo que, após a ordenação, ocupa a posição central. Ele é chamado de termo central.
Observe que, nessa situação, o termo central ocupa a 4ª posição, que corresponde a 185 pontos. Então, dizemos que 185 é a mediana das pontuações finais obtidas pelo grupo de amigos.
Situação 2
Gabriela costuma participar de corridas de rua. Em um ano, ela participou de 8 corridas de 5 quilômetros e obteve os seguintes tempos, em minuto: 27, 32, 35, 29, 30, 25, 35 e 26.
O rol correspondente a esses tempos é:
Como o conjunto de dados tem uma quantidade par de termos, existem dois termos centrais.
Observe que, nessa situação, os termos centrais ocupam a 4ª e a 5ª posição, que correspondem aos tempos de 29 e 30 minutos, respectivamente.
Respostas e comentários
Mediana
Neste tópico, as situações desenvolvem o conceito de mediana, outra medida de tendência central. Ressalte que a mediana, assim como a média aritmética, é medida de tendência central exclusiva de distribuições cuja variável é quantitativa. Além disso, para o cálculo da mediana, devemos ter os dados da amostra ordenados, ou seja, devemos considerar sempre um rol do grupo de elementos estudados.
A situação 1 explora um rol que tem um número ímpar de elementos, caso em que a distribuição apresenta um termo central, que é o termo mediano. Já a situação 2 apresenta um rol que tem um número par de elementos, caso em que a distribuição tem dois termos centrais, cuja média aritmética desses dois termos determina o termo mediano. Nesse caso da situação 2, a mediana não é um elemento do conjunto de dados. Os estudantes devem observar essas considerações para compreenderem e formalizarem o conceito de mediana.
Desenvolva as duas situações na lousa. É importante que os estudantes notem que a mediana de um grupo de valores ordenados é o valor que divide o grupo em duas partes com a mesma quantidade de termos.
Nesse caso, a mediana será a média aritmética desses dois valores.
Ou seja, a mediana dos tempos obtidos por Gabriela é 29 minutos e 30 segundos.
Mediana de um grupo de valores ordenados, de modo crescente ou decrescente, é o termo que ocupa a posição central (com quantidade ímpar de termos) ou é o valor obtido pela média aritmética de seus dois termos centrais (com quantidade par de termos).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
32 Calcule a mediana dos seguintes grupos de valores:
a) 8, 4, 5, 3, 10
b) 1, 3, 6, 10, 13, 8, 5, 3
c) 0,2; 0,5; 0,1; 1,2; 1,5; 2,3; 0,7
d) 120, 142, 102, 101, 108, 150
33 Ana pesquisou o preço de um produto em 10 sites e encontrou os seguintes valores, em reais:
Determine o valor mediano (mediana) desses preços.
34 Observe o gráfico a seguir.
a) Quantos jovens residem nesse edifício?
b) Calcule a idade média desses jovens.
c) Determine a idade modal desses jovens.
d) Calcule a idade mediana desses jovens.
e) Se forem acrescentados a esses dados dois jovens de 16 anos, o que acontecerá com cada medida de tendência central calculada anteriormente?
35 Marta registrou o tempo, em minuto, que seus colegas gastam no percurso de casa à escola:
Determine:
a) a mediana desses valores;
b) a moda desses valores;
c) o tempo médio desse percurso;
d) a medida que, na sua opinião, caracteriza melhor esse grupo de dados. Justifique.
36 Uma empresa encomendou uma pesquisa sobre o chocolate preferido de alguns consumidores. O resultado obtido foi apresentado em uma tabela.
|
Tipo de chocolate |
Número de consumidores |
|---|---|
|
Meio amargo |
255 |
|
Ao leite |
765 |
|
Branco |
345 |
|
Amargo |
135 |
Dados obtidos pela empresa.
a) Determine qual das três medidas estatísticas (média, mediana e moda) caracteriza melhor essa pesquisa. Justifique sua resposta.
b) Calcule a porcentagem de cada tipo de chocolate em relação ao número total de consumidores.
c) Construa um gráfico de colunas com as porcentagens obtidas no item b.
Respostas e comentários
32. a) 5
32. b) 5,5
32. c) 0,7
32. d) 114
33. R$ 1.489,00mil quatrocentos e oitenta e nove reais
34. a) 25 jovens.
34. b) 18,44 anos.
34. c) 17 anos.
34. d) 19 anos.
34. e) A média diminuirá para 18,26 anos; a moda continuará a mesma; a mediana passará a ser 18 anos.
35. a) 30 minutos
35. b) 15 minutos, 20 minutos e 30 minutos.
35. c) 40 minutos
35. d) Resposta pessoal.
36. a) Espera-se que os estudantes percebam que não faz sentido calcular a média e a mediana para essa pesquisa, pois a variável da pesquisa (tipo de chocolate) não é quantitativa. Portanto, eles devem concluir que a moda é a medida mais adequada para esse caso.
36. b) Meio amargo: 22%; ao leite: 39%; branco: 28%; amargo: 11%.
36. c) Construção de gráfico.
Exercícios propostos
Em cada item do exercício 32, temos de colocar os valores em rol para podermos calcular a mediana.
a) 3, 4, 5, 8, 10 Logo, a mediana é 5.
b) 1, 3, 3, 5, 6, 8, 10, 13 Como é uma quantidade par, fazemos: (5 + 6) : 2 = 5,5 Logo, a mediana é 5,5.
c) 0,1; 0,2; 0,5; 0,7; 1,2; 1,5; 2,3 Logo, a mediana é 0,7.
d) 101, 102, 108, 120, 142, 150 Como é uma quantidade par, fazemos: (108 + 120) : 2 = 114 Logo, a mediana é 114.
No exercício 33, também devemos colocar os valores em rol para podermos determinar o valor mediano dos preços. Ordenando os valores, obtemos:
.1224,00; .1258,00; .1378,00; .1378,00; .1378,00; .1600,00; .1624,00; .1624,00; .1822,00; .1824,00
Como é uma quantidade par, a mediana é a média aritmética dos termos centrais; logo, obtemos:
(.1378,00 + .1600,00) : 2 = .1489,00
Portanto, o valor mediano é R$ 1.489,00mil quatrocentos e oitenta e nove reais.
Para ampliar o exercício 35, solicite aos estudantes que, em um dia específico, registrem o tempo que levaram para chegar à escola. Como questões climáticas, de transporte público etcétera influenciam nesse tempo de deslocamento, é mais adequado que todos considerem um mesmo dia. Esses dados devem ser organizados em tabelas e gráficos e é possível pedir aos estudantes que sejam calculadas as medidas de tendência central dessa distribuição, propondo a eles que façam uma reflexão sobre os valores obtidos.
As resoluções dos exercícios 34 a 36 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
Como sugestão de atividade complementar, apresente à turma matérias de jornais e revistas com tabelas que tratem de questões em contextos diversos em que as variáveis sejam quantitativas (saúde, cultural, ambiental, esportivo, educação etcétera). Os estudantes devem obter a moda, a mediana e a média aritmética do conjunto de dados para cada variável da tabela. Proponha a eles que construam um gráfico de colunas e tracem nele a reta que indica a média do conjunto de dados de cada variável. Ao final da atividade, peça aos estudantes que compartilhem com os colegas os temas escolhidos e os gráficos produzidos.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Pesquisa amostral
Em anos anteriores, estudamos que, para fazer uma pesquisa estatística, por exemplo, para determinar qual é o esporte preferido dos estudantes de uma escola, é necessário planejá-la.
Assim, é preciso: definir o objetivo da pesquisa, isto é, o que se quer saber com a pesquisa – no exemplo, conhecer os esportes que mais interessam aos estudantes para organizar as aulas de Educação Física; determinar como será feita a coleta dos dados – por questionário, entrevista pessoal, rede social etcétera; definir com quem obter os dados a serem coletados, ou seja, definir o que os matemáticos chamam de população da pesquisa – no exemplo, estudantes de uma escola. Todos os estudantes serão contatados ou só uma parte?
Se todos os estudantes da população forem contatados, será uma pesquisa censitária. Se for só uma parte, uma amostra, será uma pesquisa amostral.
Na pesquisa amostral surge a questão: “Quais critérios empregar para escolher quem será pesquisado?”.
Definida a amostra, e obtidos os dados, estes devem ser organizados e apresentados em tabelas, em gráficos mais adequados a esses dados, sem se esquecer dos títulos e das fontes.
Finalmente, os dados organizados devem ser analisados. Alguns instrumentos que auxiliam na análise dos dados e na elaboração de um relatório conclusivo da pesquisa amostral são a obtenção da amplitude e das medidas de tendência central – moda, mediana, média aritmética ou ponderada – após selecionadas as mais adequadas a eles.
Agora quem trabalha é você!
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Forme uma equipe com mais três colegas e planejem uma pesquisa amostral. Para isso, convém que discutam e decidam:
• a organização da equipe, ou seja, quem fará o quê;
• os objetivos da pesquisa e a elaboração de possíveis teses sobre o tema da pesquisa – sugestões: preferência de lazer, ou de profissão futura, ou de animais, ou de plantas, ou de filmes ou livros etcétera;
• a população e a amostra a serem pesquisadas;
• a maneira com que os dados serão obtidos;
• os recursos de organização dos dados mais adequados à pesquisa;
• a plataforma ou as plataformas em que o relatório será apresentado: caderno, cartaz, vídeo, mídia eletrônica etcétera
Também convém que, antes de passarem à parte prática, conversem com o professor sobre o projeto elaborado para realizar essa pesquisa.
Respostas e comentários
As respostas desta atividade estão no Manual.
Trabalhando a informação
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah dois sete.
Ao discutir as etapas para a realização de uma pesquisa e apresentar aos estudantes os conceitos de pesquisa amostral e pesquisa censitária, esta seção promove o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero oito ême ah dois sete).
Durante as etapas de análise e apresentação dos dados, relembre aos estudantes como determinar as medidas de tendência central e destaque a importância da indicação de todos os elementos do gráfico (título, legenda, escala, orientação geográfica e fonte dos dados) para a compreensão das informações apresentadas.
A atividade proposta no Agora quem trabalha é você! é uma ótima oportunidade para o desenvolvimento da competência geral 4, ao propor aos estudantes que os resultados da pesquisa sejam apresentados utilizando diferentes linguagens (verbal, visual, sonora, digital), além de fazê-los mobilizar conhecimentos das linguagens matemática e científica para a análise e a comunicação das informações obtidas com a pesquisa. Ao discutir o projeto elaborado com cada grupo de estudantes e orientá-los sobre as práticas de pesquisa, destaque a importância do diálogo, da cooperação e do respeito mútuo para que o trabalho em grupo seja bem-sucedido, desenvolvendo, assim, a competência geral 9.
PARA SABER MAIS
Estimativa de multidões
Leia a notícia a seguir.
Fonte: CARUARU. Prefeitura Municipal. Reuniões com segmentos culturais fortaleceram ações da Fundação de Cultura e Turismo de Caruaru em 2019. Caruaru: Prefeitura Municipal, 30 dez. 2019. Disponível em: https://oeds.link/wNdVCc. Acesso em: 4 mar. 2022.
Em cidades como Rio de Janeiro, São Paulo, Salvador e Recife, entre outras, têm ocorrido eventos que concentram públicos cada vez maiores. Estimar o número de pessoas de uma multidão é fundamental para qualquer organização responsável pelo planejamento ou mesmo pela avaliação posterior de um evento.
Para isso, os organizadores, a Polícia Militar e os órgãos de imprensa e de trânsito fazem uma estimativa, considerando que cada metro quadrado abriga até quatro pessoas. Por se tratar de uma norma internacional, esse método de estimativa é usado tanto pelos órgãos de segurança pública quanto pelos órgãos de imprensa de todo o mundo.
Outro método que fornece uma estimativa mais próxima do valor real é a fotografia aérea. Tiram-se fotografias aéreas da multidão, calcula-se a escala das fotografias e, em seguida, divide-se a fotografia em pequenas regiões quadradas, das quais se calcula a densidade média, para depois estimar a densidade da área toda.
Respostas e comentários
Para saber mais
Esta seção apresenta uma discussão sobre maneiras de estimar a quantidade de pessoas aglomeradas em um evento.
É muito oportuno conversar com os estudantes e pedir a eles que avaliem, nas notícias envolvendo essas estimativas, se é comum haver falseamento de dados, ou seja, tentativas de persuadir os leitores por meio de dados que são manipulados sem o rigor necessário. Isso pode ocorrer porque os organizadores divulgam números superestimados por interesse em difundir na mídia a suposta grandiosidade do evento.
Uma atividade interessante para fazer com os estudantes é delimitar no chão áreas de medidas iguais a 1 métro quadrado e repetir com eles as diferentes densidades das fotografias apresentadas no livro. Assim, eles conseguirão interpretar melhor as informações sobre a quantidade de público de grandes eventos.
Observe, nesta sequência de fotografias, diferentes densidades em uma mesma área.
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 A imagem a seguir representa a fotografia aérea de um show. Faça uma estimativa do público desse evento.
2
Reúna-se com um colega e discutam a seguinte questão:
Para comemorar o título do campeonato nacional, torcedores de um time de futebol ocuparam a principal avenida da cidade. Estimativas indicaram que havia mais de 300 mil torcedores em toda a avenida. Sabendo que essa avenida tem 1 quilômetro de comprimento e 26 métros de largura, o que pode ser afirmado sobre essa estimativa? Justifique sua resposta.
3 Pesquise uma notícia sobre um grande evento na cidade onde você mora que tenha duas estimativas de participantes: uma da polícia e outra dos organizadores do evento. Em seguida, pesquise as dimensões do local e discuta qual estimativa possivelmente está correta.
Respostas e comentários
1. Espera-se que os estudantes cheguem a um valor próximo de seiscentas e oitenta pessoas.
2. Espera-se que os estudantes percebam que, se for considerado que essas 300 mil pessoas estiveram ao mesmo tempo nessa avenida, a estimativa estaria errada, pois teríamos uma densidade de 11,5 pessoas por metro quadrado.
3. Resposta pessoal.
Agora é com você!
Na atividade 1, espera-se que os estudantes cheguem a um valor próximo de 680 pessoas.
Na atividade 2, espera-se que os estudantes percebam que, se for considerado que as 300 mil pessoas estiveram ao mesmo tempo na avenida, a estimativa estaria errada, pois teríamos uma densidade de 11,5 pessoas por metro quadrado, um valor muito alto e pouco crível pelas imagens mostradas antes das atividades.
A atividade 3 constitui uma boa oportunidade para ampliar a discussão sobre as estimativas das quantidades de pessoas em grandes eventos. Para realizá-la, é bom que os estudantes escolham algum evento de relevância para seu cotidiano, mesmo que não tenha ocorrido na cidade onde residem.
Trabalhe a conexão das Unidades Temáticas Probabilidade e estatística e Grandezas e medidas abordada nessa seção.
5. Noções de probabilidade
Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
Uma loja fez uma promoção em que foram distribuídos .1000 números para o sorteio de uma bicicleta. Afonso tem 5 números e Geórgia, 1 número. Acompanhe como determinar a probabilidade de cada um deles ser sorteado.
Essa situação envolve a ideia de incerteza, pois sortear um número dentre os .1000 é um experimento no qual conhecemos os resultados possíveis, mas não podemos assegurar qual será o resultado final, ou seja, não é possível saber qual será o número sorteado. Esse tipo de experimento faz parte da Teoria das Probabilidades.
•
Você sabe quais são as regras determinadas pelo Ministério da Economia para realizar sorteios?
Na Teoria das Probabilidades, estudamos as leis que regem os fenômenos que dependem do acaso, isto é, fenômenos cujos resultados não podem ser previstos. Nesse caso, interessam a essa teoria os experimentos aleatórios, aqueles que podem ser repetidos nas mesmas condições tantas vezes quanto quisermos e cujos resultados possíveis são previamente conhecidos.
Na situação apresentada, os .1000 números do sorteio formam o espaço amostral, ou seja, o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.
O espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento.
O número adquirido por Geórgia fórma um evento desse experimento aleatório, do mesmo modo que os 5 números adquiridos por Afonso.
Qualquer conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de evento.
Definidos o espaço amostral e o evento correspondente ao experimento aleatório, podemos determinar a probabilidade.
Probabilidade é a medida da chance de um evento acontecer.
Respostas e comentários
Orientações: De acôrdo com a Lei nº 5.768, de 1971, e a Portaria nº 20.749, de 2020, esse tipo de premiação só pode ocorrer com expressa autorização do Ministério da Economia, por meio de um pedido realizado ao Sistema de Promoção Comercial (SCPC), e a autorização só é concedida a pessoa jurídica que exerça atividade comercial, industrial ou de compra e venda de bens imóveis.
5. Noções de probabilidade
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah dois dois.
Neste tópico, iniciamos o estudo de probabilidade, procurando sistematizar os conhecimentos que os estudantes já construíram ao longo dos anos anteriores acerca desse assunto, presente nos estudos desde os anos iniciais do Ensino Fundamental.
A situação 1 aborda a noção de experimentos aleatórios. Peça aos estudantes que exemplifiquem situações envolvendo experimentos aleatórios. Espera-se que eles citem pelo menos lançamento de dados e de moedas, sorteio de carta de um baralho, retirada de bolas numeradas de uma sacola não transparente, entre outros.
Ressalte que em um experimento aleatório, embora não possamos precisar que resultado ocorrerá ao repeti-lo, já conhecemos todos os possíveis resultados. Ao considerar todos esses resultados, formamos um conjunto denominado espaço amostral.
Peça aos estudantes que determinem todos os resultados possíveis (espaço amostral) dos experimentos aleatórios que exemplificaram anteriormente. Por exemplo, no lançamento de um dado cúbico comum, ao observar a face que fica voltada para cima, podemos obter os números 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, que são todos os resultados possíveis desse experimento. Ou seja, esses números compõem o espaço amostral desse experimento.
Da mesma maneira, explore o conceito de evento em um experimento aleatório. No caso do lançamento de um dado, por exemplo, “sair face com número par” é um evento desse experimento formado pelos seguintes resultados possíveis: 2, 4 ou 6.
No sorteio da bicicleta, cada número tem a mesma chance de ser sorteado. Nesse caso, para calcular a probabilidade, basta dividir o número de elementos do evento correspondente ao experimento aleatório pelo número de elementos do espaço amostral.
Probabilidade de ocorrência de um evento
igual à fração: número de elementos do evento sobre número de elementos do espaço amostral, fim da fração.Portanto, temos que:
• a probabilidade de Geórgia ser sorteada é
Fração. Um milésimo.ou 0,001 ou 0,1%;
• a probabilidade de Afonso ser sorteado é
Fração. Cinco milésimos.ou 0,005 ou 0,5%.
Situação 2
Qual é a probabilidade de sair a soma 6 no lançamento de dois dados comuns?
Antes de calcularmos a probabilidade, devemos definir o espaço amostral:
Observe que os casos favoráveis são:
Desse modo, a probabilidade de sair soma 6 nas faces dos dados é dada pela razão:
Observações
▶ A probabilidade de um evento é um número de 0 a 1.
▶ Quando a probabilidade é zero, dizemos que o evento é impossível.
▶ Quando a probabilidade é 1, dizemos que o evento é certo.
▶ A soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é 1.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
37 Sortear uma letra de um texto qualquer é um experimento aleatório? Por quê?
38 Em uma urna, há 9 bolas pretas, 5 bolas amarelas e 3 bolas vermelhas. Se retirarmos uma bola ao acaso, qual é a probabilidade de sair uma bola amarela?
39 A professora vai sortear, ao acaso, um estudante entre os 30 estudantes da sala. Sabendo que há 18 meninas na sala, qual é a probabilidade de ser sorteada uma menina? E de ser sorteado um menino? Qual é a soma das probabilidades?
40 Considerando o lançamento de dois dados comuns, determine a probabilidade de a soma das faces ser:
a) 8;
b) um número par;
c) maior que 10.
41 Quantos estudantes há na sua turma? Quantos são meninos? Calcule a probabilidade de que, ao sortear um estudante ao acaso, ele seja um menino.
Respostas e comentários
37. Sim, porque o conjunto de resultados possíveis é conhecido, e o experimento pode ser repetido indefinidamente.
38. Aproximadamente 29%.
39. 60%; 40%; 100%
40. a) Aproximadamente 14%.
40. b) 50%
40. c) Aproximadamente 8%.
41. Resposta pessoal.
Noções de probabilidade
Explore com os estudantes a noção de espaço amostral equiprovável, ou seja, um experimento aleatório que tem uma quantidade finita de resultados possíveis tem um espaço amostral equiprovável se cada resultado possível tem a mesma chance de acontecer. Como a medida dessa chance é uma probabilidade, podemos dizer que um espaço amostral equiprovável é aquele em que cada resultado possível tem a mesma probabilidade de ocorrer.
Peça aos estudantes que deem exemplos de situações nas quais isso acontece, como: no lançamento de um dado comum e “honesto”, a chance de sair cada uma das faces numeradas (de 1 a 6) é a mesma (1 em 6). Assim, nesse experimento, o espaço amostral é equiprovável. O mesmo ocorre no experimento de lançar uma moeda “honesta” e observar se saiu face cara ou face coroa. A chance é a mesma: 1 em 2.
Ao apresentar aos estudantes o cálculo da probabilidade de eventos com base na construção do espaço amostral, é possível o desenvolvimento da habilidade (EF08MA22).
Depois de garantir que entenderam a noção de espaço amostral equiprovável, trabalhe a definição de probabilidade de um evento de um espaço amostral equiprovável. Assim, podemos dizer que a probabilidade de ocorrência de um evento é dada por:
Ou:
Peça aos estudantes que calculem algumas probabilidades de eventos nos experimentos que listaram.
Qual é a probabilidade de “sair face par” no lançamento de um dado comum “honesto”?
O evento considerado é “sair face par”, cujos resultados favoráveis são 2, 4 e 6, ou seja, há 3 elementos para esse evento em um total de 6 possibilidades. Assim:
Probabilidade de sair face par
Expressão matemática. Probabilidade de sair face par é igual a fração: número de casos favoráveis sobre número de resultados possíveis, fim da fração, é igual a fração, 3 sextos, fim da fração, é igual a fração, 1 meio, fim da fração.Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 37 a 41 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Lucas inventou um jôgo com dados. O desafiante lança dois dados e, se em pelo menos um dos dados sair o número 1, Lucas ganha o jôgo. Se em pelo menos um dos dados sair como menor número o 2 ou o 3, o desafiante lança os dados novamente. E, se em pelo menos um dos dados não sair os números 1, 2 ou 3, o desafiante ganha o jôgo. Quem tem maior probabilidade de vencer o jôgo: Lucas ou seu desafiante?
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 O pictograma a seguir mostra a quantidade de dê vê dês vendidos em uma loja durante a primeira semana de dezembro de 2023.
a) Construa uma tabela de distribuição de frequências, com a frequência relativa em porcentagem.
b) Sabendo que a meta de venda diária dessa loja é de 100 dê vê dês, em quantos dias a loja atingiu a meta?
c) Quantos dê vê dês foram vendidos nessa semana?
Use o enunciado seguinte para responder aos exercícios 2 e 3.
Em um escritório trabalham 40 pessoas cujas idades, em anos, são dadas em ordem crescente:
18 – 19 – 20 – 20 – 20 – 24 – 24 – 24
24 – 24 – 28 – 28 – 28 – 30 – 30 – 30
30 – 30 – 32 – 32 – 35 – 35 – 35 – 35
36 – 36 – 36 – 36 – 36 – 40 – 40 – 40
42 – 45 – 45 – 48 – 48 – 50 – 50 – 60
2 (saréspi) Relativamente ao total de funcionários desse escritório, a porcentagem dos que têm idades inferiores a 32 anos é:
a) 45%.
b) 38%.
c) 37,5%.
d) 25%.
3 (saréspi) Um prêmio vai ser sorteado entre os 40 funcionários do escritório. A probabilidade de que a pessoa sorteada tenha menos de 25 anos é:
a)
Fração, 1 oitavo..
b)
Fração, 2 oitavos..
c)
Fração, 3 oitavos..
d)
Fração, 5 oitavos..
4 (saréspi) Em uma chácara, há um total de 350 árvores frutíferas, assim distribuídas:
As quantidades de laranjeiras e mangueiras são, respectivamente:
a) 140 e 35.
b) 140 e 70.
c) 140 e 105.
d) 105 e 70.
Respostas e comentários
Pense mais um pouco...: Basta comparar as possibilidades de vitória de Lucas com as possibilidades de seu desafiante. Lucas tem 11 possibilidades em 36, e seu desafiante tem somente 9 em 36. Portanto, Lucas tem maior probabilidade de vencer o jôgo do que seu desafiante.
1. a) Construção de tabela.
1. b) Em 3 dias.
1. c) 750 dê vê dês.
2. Alternativa a.
3. Alternativa b.
4. Alternativa a.
Pense mais um poucoreticências
A proposta apresentada faz jus ao nome da seção. Uma leitura rápida e descuidada pode levar os estudantes a conclusões precipitadas e enganosas. Sem ser capciosa ou inatingível, a questão exige atenção e discernimento para determinar o que é dado e o que é pedido, além da aplicação correta do conceito de probabilidade.
Escrevendo as possibilidades de vitória de Lucas, verificamos que ele tem 11 possibilidades de vitória, enquanto seu oponente tem apenas 9. Logo, a probabilidade de ele vencer é maior.
Exercícios complementares
Nesta seção, são oferecidas novas oportunidades para os estudantes retomarem e aplicarem os principais conceitos tratados no capítulo.
Se julgar conveniente, peça aos estudantes que façam novas representações dos mesmos dados apresentados no pictograma do exercício 1, por exemplo, em gráficos de colunas ou de setores. A atenção deve estar voltada não apenas à construção do gráfico, mas também ao preenchimento de todos os seus elementos: título, legenda, escala e fonte, que são essenciais para compreender as informações, mesmo sem ter havido contato com a fonte original dos dados.
Acompanhe a resolução desse exercício.
a)
|
Dia da semana |
Frequência absoluta |
Frequência relativa |
|---|---|---|
|
Domingo |
60 |
8% |
|
Segunda-feira |
30 |
4% |
|
Terça-feira |
60 |
8% |
|
Quarta-feira |
30 |
4% |
|
Quinta-feira |
120 |
16% |
|
Sexta-feira |
180 |
24% |
|
Sábado |
270 |
36% |
|
Total |
750 |
100% |
Dados obtidos pela loja.
b) Foi atingida a meta diária nos dias em que a loja vendeu pelo menos 100 dê vê dês. Ou seja, em três dias (a saber, quinta-feira, sexta-feira e sábado).
c) Pela análise da tabela, notamos que foram vendidos 750 dê vê dês nessa semana.
As resoluções do exercícios 2 a 4 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
5 (enêm) A permanência de um gerente em uma empresa está condicionada à sua produção no semestre. Essa produção é avaliada pela média do lucro mensal do semestre. Se a média for, no mínimo, de 30 mil reais, o gerente permanece no cargo; caso contrário, ele será despedido. O quadro mostra o lucro mensal em milhares de reais, dessa empresa, de janeiro a maio do ano em curso.
|
Janeiro |
Fevereiro |
Março |
Abril |
Maio |
|---|---|---|---|---|
|
21 |
35 |
21 |
30 |
38 |
Qual deve ser o lucro mínimo da empresa no mês de junho, em milhares de reais, para o gerente continuar no cargo no próximo semestre?
a) 26
b) 29
c) 30
d) 31
e) 35
6 Foi realizada uma pesquisa sobre o tempo que os 140 trabalhadores de uma empresa gastam no percurso entre a residência e o trabalho. Para tanto, foram selecionados, de modo imparcial, 40 trabalhadores.
a) Construa uma tabela de distribuição de frequências com 5 classes, cada uma com amplitude igual a 20.
b) Calcule a média aritmética, a moda e a mediana do tempo gasto por esses trabalhadores.
c) Qual é a probabilidade de sortearmos, ao acaso, um trabalhador que gasta 90 minutos no percurso entre a residência e o trabalho?
7 A tabela a seguir mostra a idade das pessoas que se associaram a uma biblioteca pública durante o mês de julho.
|
Idade (em anos) |
Número de pessoas |
|---|---|
|
14 |
30 |
|
16 |
7 |
|
18 |
2 |
|
20 |
10 |
|
21 |
12 |
|
27 |
18 |
|
30 |
21 |
Dados obtidos pela bibliotecária.
Faça o que se pede.
a) Calcule a idade média dos associados.
b) Determine a idade modal e a idade mediana.
c) Construa um gráfico de colunas para essa situação.
d) Qual é a probabilidade de sortearmos, ao acaso, um associado que tenha mais de 21 anos?
8 Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a prefeito de um município, 4.quinhentas pessoas foram consultadas. O resultado da pesquisa será organizado em um gráfico de setor circular. Sabendo que um certo candidato recebeu .1050 indicações de intenções de voto, qual é a medida do ângulo central correspondente ao setor do gráfico que representará as intenções de voto desse candidato?
a) 42graus
b) 84graus
c) 120graus
d) 276graus
9 Um paraquedista precisa pousar em uma região quadrada localizada em um terreno retangular, conforme o esquema a seguir. Sabendo que o comprimento do lado da região quadrada mede 8 metros e que o paraquedista certamente pousará no terreno retangular, calcule a probabilidade de o paraquedista pousar na região quadrada.
10 (ú éfe ême ésse) Uma empresa tem 18 funcionários. Um deles pede demissão e é substituído por um funcionário de 22 anos de idade. Com isso, a média das idades dos funcionários diminui 2 anos. A idade do funcionário que se demitiu é:
a) 50 anos.
b) 48 anos.
c) 54 anos.
d) 56 anos.
e) 58 anos.
Respostas e comentários
5. Alternativa ê.
6. a) Construção de tabela.
6. b) Média: 43,5 minutos; moda: 20 minutos; mediana: 30 minutos.
6. c) 7,5%
7. a) 21,36 anos.
7. b) Idade modal: 14 anos; idade mediana: 21 anos.
7. c) Construção de gráfico.
7. d) 39%
8. Alternativa b.
9. Aproximadamente 17%.
10. Alternativa e.
Exercícios complementares
As resoluções dos exercícios 5 a 10 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
A seguir, um exemplo de tabela para o item a do exercício 6.
|
Tempo (em minuto) |
Frequência absoluta |
Frequência relativa |
|---|---|---|
|
De 1 a 21* |
12 |
30% |
|
De 21 a 41* |
16 |
40% |
|
De 41 a 61* |
4 |
10% |
|
De 61 a 81* |
0 |
0% |
|
De 81 a 101* |
8 |
20% |
|
Total |
40 |
100% |
*O número final não está incluído na classe. Dados obtidos pela empresa pesquisada.
Para o item c do exercício 7, apresentamos um exemplo de gráfico a seguir.
VERIFICANDO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Uma amostra representativa dos estudantes de uma escola deve conter:
a) somente estudantes do período da tarde.
b) estudantes de uma única turma.
c) estudantes das diferentes turmas e dos diferentes períodos.
d) todos os estudantes de um único período.
2 Uma pesquisa sobre jogos digitais foi realizada com .1000 participantes. O resultado referente ao dispositivo preferido para jogos digitais foi representado no gráfico a seguir.
Com base nesses dados, é possível concluir que:
a) menos de quatrocentas pessoas preferem jogar em smartphone.
b) a opção que teve menos votos foi “Outros”.
c) aqueles que preferem computadores, desktop ou notebook, somam mais de 25% dos entrevistados.
d) o console foi a terceira opção mais votada.
3 Um supermercado fez uma pesquisa com os clientes sobre a preferência entre 3 marcas diferentes de sabonete.
|
Marca |
A |
B |
C |
|---|---|---|---|
|
Total de clientes |
205 |
103 |
92 |
Dados obtidos pelo supermercado.
A frequência relativa aproximada para cada marca de sabonete é, respectivamente:
a) 2,05; 1,03 e 0,92.
b) 0,68; 0,34 e 0,30.
c) 0,51; 0,26 e 0,23.
d) 0,21; 0,10 e 0,09.
4 A professora fez uma pesquisa com os estudantes sobre o tipo de livro preferido. Ela constatou que, dos 35 estudantes, 11 preferem quadrinhos, 10 suspense, 8 romance e os demais ficção. Qual é a moda desses dados?
a) Quadrinhos
b) Suspense
c) Romance
d) Ficção
5 Para fechar a nota bimestral dos estudantes, um professor utiliza a média aritmética ponderada. A nota máxima de todas as provas é 10 e a primeira prova tem peso 1, a segunda tem peso 2 e a terceira tem peso 3. Se um estudante tirou, respectivamente, 8, 5 e 7, qual foi a média bimestral desse estudante?
a) 6,5
b) 6,6
c) 6,8
d) 7,0
6 Os números a seguir representam os salários, em real, dos funcionários de uma empresa.
Qual é a mediana, em real, dos salários dos funcionários dessa empresa?
a) .2300
b) .2500
c) .2700
d) .2950
Organizando
Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.
a) Quais são as etapas de uma pesquisa estatística? Descreva, com as próprias palavras, cada uma delas.
b) Supondo que você faça uma pesquisa com um grupo de pessoas sobre o tempo que elas passam em redes sociais na internet todos os dias, explique como você faria para coletar e organizar os dados dessa pesquisa.
c) O que frequência absoluta e frequência relativa têm de diferente?
d) O que média, moda e mediana têm de diferente?
e) Quais são as informações necessárias para que seja possível calcular a probabilidade de um evento acontecer?
Respostas e comentários
1. Alternativa c.
2. Alternativa c.
3. Alternativa c.
4. Alternativa a.
5. Alternativa a.
6. Alternativa b.
Organizando: As respostas para estas questões estão no Manual.
Verificando
Esses exercícios são mais uma oportunidade para o estudante validar o entendimento do conteúdo estudado neste capítulo.
As resoluções dos testes 1 a 6 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
Organizando
Incentive os estudantes a organizar seu aprendizado no caderno, fazendo resumos, mapas conceituais ou aplicando destaques em conceitos importantes.
As questões propostas têm como objetivo fazer com que eles retomem os conteúdos estudados no capítulo e reflitam sobre algumas temáticas.
a) As etapas de uma pesquisa estatística são a escolha de uma população, seguida da escolha entre um censo ou uma pesquisa amostral. No segundo caso, é preciso escolher uma amostra de maneira imparcial. Então, procede-se à coleta dos dados, que pode ser feita por meio de observação, contagem, medida, questionário ou entrevista. Por fim, os dados coletados devem ser organizados e apresentados de acôrdo com sua natureza.
b) Resposta pessoal. Uma maneira natural de coletar esses dados seria por meio de entrevista com uma amostra representativa e uso de uma variável quantitativa (tempo nas redes), a ser organizada em classes.
c) A frequência absoluta de certo valor é simplesmente o número de vezes que ele aparece entre os dados de uma amostra. Já a frequência relativa é a fração ou o percentual do número de vezes que esse valor aparece em relação ao total das ocorrências.
d) A média obtida pela soma dos valores de todos os dados, dividida pelo número total de dados. A moda é o elemento com maior frequência absoluta entre os dados. A mediana é o valor que ocupa a posição central, considerando o rol, a amostra tem uma quantidade ímpar de elementos, ou a média aritmética dos dois valores centrais do rol quando a amostra tem uma quantidade par de elementos.
e) É preciso saber o número total de eventos possíveis (ou seja, o número de elementos do espaço amostral) e o número de elementos do evento cuja probabilidade se deseja calcular (ou seja, o número de casos favoráveis).