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CAPÍTULO 7 Estudo dos triângulos

Fotografia. Quadro composto por diversos triângulos nas cores verde, branca e preta formando um losango no centro. Ao redor, mais triângulos. — MANCINI, A. Tempestade de triângulos. 2013. Instalação com azulejos, 372 por 310 centímetros. Coleção particular.

Composta de desenhos feitos com azulejos de 15 centímetros por 15 centímetros e elaborados com a combinação de quatro cores, esta é a imagem da obra Tempestade de triângulos, de Alexandre Mancini.

Essa combinação lembra um problema matemático histórico, formulado na Inglaterra em 1852: Serão suficientes quatro cores para pintar um mapa plano de maneira que dois países vizinhos não partilhem a mesma côr?

Apenas em 1976, com o uso de computador, o teorema das quatro cores foi demonstrado.

Observe a imagem e responda às questões no caderno.

a) Com relação aos ângulos, que tipos de triângulo podemos identificar nesta obra?

b) Com relação aos lados, que tipos de triângulo podemos identificar nesta obra?

c) Faça um desenho de algum lugar ou de algum objeto utilizando apenas triângulos na composição dele.

Respostas e comentários

a) Resposta possível: triângulo retângulo.

b) Resposta possível: triângulo isósceles.

c) Construção de figura.

Capítulo 7 – Estudo dos triângulos

Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática (Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.

Neste capítulo, ampliamos o estudo dos triângulos, já desenvolvido em anos anteriores, apresentando outros elementos do triângulo conhecidos como cevianas. Para cada tipo de ceviana aqui estudada – mediana, bissetriz e altura – há três segmentos de reta (cada um com uma extremidade em um vértice), cuja intersecção constitui um ponto característico do triângulo: baricentro, incentro e ortocentro, respectivamente.

O estudo da congruência de triângulos dá continuidade ao que foi explorado para os polígonos e fornece subsídios para trabalhar, posteriormente, demonstrações de propriedades dos triângulos.

Nesta fase do aprendizado, os estudantes já devem compreender e reproduzir a abordagem dos conceitos e das ideias da Matemática de maneira mais sistematizada e axiomática.

Na abertura, apresentamos uma obra do artista plástico Alexandre Mancini, que apresenta triângulos. Verifique os conhecimentos que os estudantes já possuem sobre essa figura. Proponha a eles que façam uma composição com triângulos, podendo usar malhas triangulares. Antes de compor as produções, eles podem pesquisar outras manifestações artísticas e culturais que utilizem triângulos e, assim, podem desenvolver a competência geral 3, pois podem fruir diferentes manifestações artísticas para compor sua própria produção. Depois, exponha os trabalhos na sala de aula.

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1. Cevianas de um triângulo

Já estudamos que uma importante característica do triângulo é sua rigidez. Ela pode ser observada ao se construir um triângulo com três canudinhos e linha. Não é possível deformá-lo, a não ser cortando os canudos ou a linha.

Essa característica dos triângulos é usada, principalmente, nas estruturas metálicas de pontes e torres ou no madeiramento dos telhados das casas. Observe as imagens a seguir.

Ilustração. Mulher de cabelo castanho e blusa rosa. Ela segura um triângulo composto por canudos sobre uma mesa.

Fotografia. Estrutura metálica de uma ponte. Destaque para os formatos triangulares. — Estrutura metálica da ponte Victório Maniero, sobre o rio Tietê, no município de Igaraçu do Tietê, São Paulo. (Fotografia de 2019.)

O triângulo tem outras características interessantes e úteis para serem estudadas. Um exemplo é o baricentro, um dos centros geométricos definidos pelas cevianas, que veremos a seguir.

Uma laje triangular pode ser apoiada em um único ponto sem correr o risco de cair. Esse ponto é o baricentro, que tem a propriedade física de ser o centro de massa do triângulo.

Chamamos de ceviana de um triângulo todo segmento de reta que tem como extremidades um vértice e um ponto da reta suporte do lado oposto.

Pela definição, um triângulo tem infinitas cevianas, porém há três tipos especiais: as medianas, as bissetrizes e as alturas, que serão estudadas a seguir.

Mediana

Considerando um triângulo á bê cê qualquer, podemos determinar o ponto médio M do lado

\overline{B C}

O segmento

\overline{A M}

é chamado de mediana relativa ao lado

\overline{B C}

Ilustração. Triângulo A B C. Entre B e C, ponto M. Uma reta liga A e M. Indicação de que segmento B M tem mesma medida de segmento M C.

Mediana de um triângulo é toda ceviana que une um vértice ao ponto médio do lado oposto a ele.

Todo triângulo tem três medianas, que se encontram em um ponto chamado de baricentro.

Ilustração. Triângulo A B C. Entre A e B, ponto P. Entre B e C, ponto M. Entre C e A, ponto N. Também estão representados: segmento A M, segmento B N, segmento CP. Esses segmentos se encontram no centro, chamado de ponto G, que é o baricentro.

No triângulo á bê cê, temos:

•

\overline{A M}

é a mediana relativa ao lado

\overline{B C}

;

•

\overline{B N}

é a mediana relativa ao lado

\overline{A C}

;

•

\overline{C P}

é a mediana relativa ao lado

\overline{A B}

As três medianas se encontram no ponto G, que é o baricentro do △á bê cê.

Respostas e comentários

1. Cevianas de um triângulo

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um sete.

Esse tópico possibilita retomar os conceitos de mediatriz e de bissetriz como lugares geométricos, mobilizando a habilidade (EF08MA17), antes de explorar o conceito de cevianas de um triângulo. Se julgar necessário, relembre com os estudantes as principais características de um triângulo e suas classificações. Para isso, faça um cartaz e deixe-o afixado para consulta pelos estudantes ao longo do desenvolvimento do capítulo. Isso pode contribuir para a consolidação de tais conceitos. Algumas sugestões de informações são:

• Triângulo é um polígono de 3 lados, 3 vértices e 3 ângulos internos.

• Triângulo isósceles tem dois lados de mesma medida. O terceiro lado é chamado de base do triângulo isósceles, e o vértice oposto é denominado vértice do triângulo isósceles.

• Triângulo equilátero tem os três lados de mesma medida. Seus três ângulos internos medem 60graus.

• Triângulo retângulo tem um ângulo interno reto.

• Triângulo acutângulo tem os três ângulos internos agudos.

• Triângulo obtusângulo tem um ângulo interno obtuso.

Na apresentação da mediana, retome ponto médio de um segmento de reta. Ressalte aos estudantes que cada segmento que é mediana relativa a algum lado do triângulo passa pelo ponto médio desse lado, assim como a reta mediatriz desse segmento. Podem-se desenvolver atividades investigativas, com régua e compasso ou com softwares de geometria dinâmica, envolvendo a construção de triângulos com o objetivo de obter um triângulo tal que a mediatriz de um de seus lados contenha a mediana relativa a esse lado. Essa atividade pode ser retomada após o estudo dos casos de congruência de triângulos, por exemplo, pedindo aos estudantes que demonstrem que, quando a mediatriz de um lado contém a mediana relativa a esse lado, o triângulo é isósceles.

De fato, seja um triângulo qualquer ABC, tal que M é o ponto médio do lado

\overline{A C}

\overline{B M}

seja perpendicular a esse lado. Assim, o segmento

\overline{B M}

é a mediana relativa a

\overline{A C}

, e a reta

\overset{\leftrightarrow}{B M}

é mediatriz de

\overline{A C}

. Além disso, os triângulos á ême bê e CMB serão congruentes (pelo caso éle á éle); portanto,

\overline{A B}

\overline{B C}

são congruentes e, assim, o triângulo ABC é isósceles.

Ao incentivar investigações e demonstrações, possibilita-se que os estudantes desenvolvam a competência geral 2, pois exercitam a curiosidade intelectual e recorrem à imaginação e à criatividade para elaborar e testar hipóteses. Além disso, a competência geral 7 também é utilizada pelos estudantes, ao argumentarem e demonstrarem os fatos matemáticos.

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Propriedade do baricentro

Podemos construir um triângulo em uma cartolina e determinar seu baricentro.

Para isso, recortamos esse triângulo e passamos um barbante pelo baricentro.

Fotografia. Vista da mão de uma pessoa segurando um barbante no centro de um triângulo.

Segurando o triângulo suspenso, como mostra a fotografia, ele se manterá na posição horizontal. Isso ocorre porque o baricentro é o ponto de equilíbrio, ou centro de gravidade, do triângulo.

Bissetriz

Considerando um triângulo ABC qualquer, podemos traçar a bissetriz do ângulo interno

\hat{A}

Ilustração. Triângulo A B C. Entre B e C, ponto D. Um segmento liga A e D. Marcações determinam que o ângulo B A D e o ângulo C A D têm mesma medida.

O segmento

\overline{A D}

é a bissetriz do triângulo relativa ao ângulo

\hat{A}

Bissetriz de um triângulo é toda ceviana que divide ao meio um dos ângulos internos do triângulo.

Todo triângulo tem três bissetrizes, que se encontram em um ponto chamado de incentro.

Ilustração. Triângulo A B C. Entre A e B, ponto F. Entre B e C, ponto D. Entre C e A, ponto E. Estão representados segmento A D, segmento B E, segmento C F. No centro, onde os segmentos se cruzam, ponto I chamado de incentro.

No triângulo á bê cê, temos:

•

\overline{A D}

é a bissetriz relativa ao ângulo

\hat{A}

;

•

\overline{B E}

é a bissetriz relativa ao ângulo

\hat{B}

;

•

\overline{C F}

é a bissetriz relativa ao ângulo

\hat{C}

As três bissetrizes se encontram no ponto ih, que é o incentro do △á bê cê.

Conforme já estudamos, a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância das retas que formam o ângulo. Logo, o incentro está à mesma distância dos três lados do triângulo, ou seja, ele é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Ilustração. Triângulo ABC. Entre A e B, ponto F. Entre B e C, ponto D. Entre C e A, ponto E. Estão representados segmento A D, segmento F C e segmento B E. O segmento A D divide o ângulo A em 2 ângulos de mesma medida; o segmento B E divide o ângulo B em 2 ângulos de mesma medida; o segmento C F divide o ângulo C em 2 ângulos de mesma medida. No centro, onde esses segmentos se cruzam, ponto I chamado de incentro. Com centro em I, uma circunferência dentro do triângulo. Ela tem 1 ponto em comum com cada lado do triângulo e cada um desses pontos até o raio formam um segmento em 90 graus com o lado do triângulo.

Ilustração. Homem de cabelo preto, óculos e camisa verde. Ele fala: Será que os pontos D, E e F são os pontos de tangência dos lados com a circunferência?

Respostas e comentários

Orientação: Espera-se que os estudantes respondam que não, pois os raios da circunferência nos pontos de tangência são perpendiculares aos lados do triângulo.

Propriedade do baricentro

O baricentro, intersecção das três medianas de um triângulo, é um ponto de propriedades especiais. Se julgar conveniente, comente que, em cada mediana, a distância do vértice ao baricentro é igual ao dôbro da distância do baricentro ao ponto médio do lado oposto a esse vértice.

Proponha, ainda, aos estudantes que realizem a experimentação descrita para verificarem que o baricentro é o ponto de equilíbrio do triângulo (como mostrado na fotografia).

Bissetriz

Na apresentação da bissetriz de um triângulo, retome o conceito de bissetriz de um ângulo.

Comente que cada segmento que é bissetriz do triângulo está contido na semirreta que é a bissetriz do ângulo considerado. Nesse caso, o ponto a ser destacado é o incentro, intersecção das três bissetrizes de um triângulo, que é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Possibilite aos estudantes realizar atividades em que determinam a circunferência inscrita de alguns triângulos, utilizando régua e compasso e, se possível, também utilizando recursos de algum software de Geometria Dinâmica. Advirta-os quanto a terem cuidado no manuseio do compasso, a fim de que não se machuquem com a ponta-sêca.

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Clique no play e acompanhe as informações do vídeo.

Observação

▶ A mediatriz de um lado de um triângulo é a reta perpendicular a esse lado que passa pelo seu ponto médio. Todo triângulo tem três mediatrizes, que se encontram em um único ponto denominado circuncentro.

Ilustração. Triângulo A B C. No triângulo, tem o ponto O, que por ele passam 3 retas, r, s e t, com marcações de ângulos de 90 graus com cada lado do triângulo, sendo: reta r cruza lado A B em 90 graus; reta s cruza lado B C em 90 graus; reta t cruza lado C A em 90 graus; O ponto O é o encontro dessas retas. Esse ponto também é o centro de uma circunferência que passara pelos ponto A, ponto B, ponto C. Há marcações que indicam que a reta r divide o lado A B em duas partes de mesma medida; a reta s divide o lado B C em duas partes de mesma medida; a reta t divide o lado C A em duas partes de mesma medida;

O circuncentro é o centro da circunferência que circunscreve o triângulo. Na figura, o ponto óh é o circuncentro do triângulo á bê cê.

Altura

Considerando um triângulo á bê cê qualquer, podemos traçar, pelo ponto a, um segmento perpendicular à reta suporte do lado

\overline{B C}

Ilustração. Triângulo A B C. Entre B e C, H. Um segmento liga A e H, com marcação de ângulo de 90 graus formado entre segmento A H e segmento B C.

O segmento

\overline{A H}

é a altura relativa ao lado

\overline{B C}

Altura de um triângulo é a ceviana que une perpendicularmente um dos vértices ao seu lado oposto (ou ao seu prolongamento).

No triângulo anterior, o ponto H é chamado de “pé da altura” relativa ao lado

\overline{B C}

Observe a altura

\overline{P R}

relativa ao lado

\overline{M N}

em cada um dos triângulos a seguir.

Ilustração. Triângulo M N P. Entre M e N, R. Um segmento liga P e R com marcação de ângulo de 90 graus entre segmento M N e segmento P R.

Ilustração. Triângulo M N P. Segmento P R formando ângulo de 90 graus com o prolongamento do lado M N. O ponto R está fora do triângulo.

Todo triângulo tem três alturas. O ponto de encontro das retas que contêm as alturas é chamado de ortocentro.

Considere o triângulo acutângulo á bê cê a seguir.

Ilustração. Triângulo A B C. Entre B e C, ponto H. Entre C e A, ponto H1. Entre A e B, ponto H2. Segmento H A forma ângulo de 90 graus com segmento B C. Segmento H1 B forma ângulo de 90 graus com segmento A C. Segmento H2 C forma ângulo de 90 graus com segmento A B. Em suas intersecções, ponto O chamado de ortocentro.

Nesse triângulo, temos:

•

\overline{A H}

é a altura relativa ao lado

\overline{B C}

;

•

{\overline{B H}}_{1}

é a altura relativa ao lado

\overline{A C}

;

•

{\overline{C H}}_{2}

é a altura relativa ao lado

\overline{A B}

As três alturas se encontram no ponto óh, que é o ortocentro do △á bê cê.

Observe que, neste caso, o ortocentro se localiza no interior do triângulo. Isso acontece em todos os triângulos acutângulos.

Respostas e comentários

Altura

Das três cevianas, provavelmente a mais conhecida é a altura, por estar presente no cálculo da área do triângulo. Ela também é a única das cevianas que pode ficar fora da região interna do triângulo, neste caso, sendo determinada considerando o prolongamento do lado. Trabalhe com exemplos nos quais isso ocorre.

O ortocentro é o ponto de intersecção das retas suporte das três alturas de um triângulo e pode ficar fora da região interna do triângulo. Apresente exemplos aos estudantes e proponha que representem diferentes triângulos e determinem as alturas relativas a cada lado dos triângulos representados.

Peça que verifiquem onde se encontra o ortocentro no caso de um triângulo retângulo. Espera-se que eles percebam que, nesse caso, o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto.

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Agora, considere o triângulo obtusângulo á bê cê.

Ilustração. Triângulo ABC. A região do ortocentro está marcada fora do triângulo.

Nesse triângulo, o ortocentro encontra-se na região externa ao triângulo.

Isso acontece em todos os triângulos obtusângulos.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Em cada um dos triângulos a seguir, o segmento

\overline{A D}

é mediana, bissetriz ou altura?

Ilustração. Triângulo A S R. Entre S e R, ponto D. Segmento A D forma ângulo de 90 graus com segmento R S.

Ilustração. Triângulo A P Q. Entre Q e P, ponto D. Segmento A D divide ângulo A em dois de mesma medida.

Ilustração. Triângulo A B C. Entre B e C, ponto D. Segmento A D forma ângulo de 90 graus com segmento B C e o divide em duas partes de mesma medida. ângulo A dividido em duas partes de mesma medida pelo segmento A D.

Ilustração. Triângulo A E R. Entre E e R, ponto D. Segmento A D divide ângulo A em dois de mesma medida.

2 No caderno, desenhe os triângulos pedidos em cada caso e responda às questões.

a) Triângulo ême êne ó qualquer. Trace, com régua e compasso, as medianas relativas aos lados

\overline{M O}

\overline{N O}

. Como se chama o ponto em que elas se encontram?

b) Triângulo PQR qualquer. Trace, usando transferidor e régua, as bissetrizes dos ângulos

\hat{P}

\hat{R}

. Como se chama o ponto em que elas se encontram?

c) Triângulo tê ú vê qualquer. Trace, com régua e esquadro, as alturas relativas aos lados

\overline{T U}

\overline{T V}

. Como se chama o ponto em que as retas suporte delas se encontram?

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca.)

3 No caderno, desenhe um triângulo á bê cê qualquer e trace a bissetriz relativa ao ângulo

\hat{B}

e a mediatriz relativa ao lado

\overline{B C}

. Explique como você traçou a bissetriz e a mediatriz desse triângulo.

4 No triângulo á bê cê a seguir,

\overline{A M}

é a mediana. Determine a medida do perímetro desse triângulo.

Ilustração. Triângulo A B C. Entre B e C, ponto M. Segmento A M. As medidas são: A B igual 2,2 centímetros; A C igual 3,5 centímetros; B M igual 1,9 centímetros.

5 No caderno, desenhe um triângulo retângulo érre ésse tê. E trace as mediatrizes dos lados desse triângulo, que se encontram no ponto óh. Depois, com o auxílio de um compasso, trace uma circunferência de centro O e raio

\overline{O R}

Explique como você determinou as mediatrizes.

6 Construa, no caderno, um triângulo á bê cê que seja escaleno e acutângulo. Com esquadro e régua, trace as três alturas do triângulo. Qual delas é a maior?

7 Construa, no caderno, um triângulo á bê cê isósceles não equilátero.

a) Trace a mediana relativa à base

\overline{B C}

b) Trace a bissetriz do ângulo do vértice a.

c) A bissetriz coincidiu com a mediana?

d) Trace a altura relativa à base. O que aconteceu com a altura e com a mediana?

Hora de criar – Construa um triângulo á bê cê, retângulo em B, qualquer. Troque com um colega para que cada um trace as três alturas no triângulo construído pelo outro e obtenha o ortocentro H.

O que você pode falar sobre os pontos H e B? Acontece o mesmo com o ortocentro obtido por seu colega? Verifique se aconteceu o mesmo com os outros colegas da turma.

Respostas e comentários

1. a) Altura.

1. b) Bissetriz.

1. c) Mediana, bissetriz e altura.

1. d) Bissetriz.

2. a) Construção de figura; baricentro.

2. b) Construção de figura; incentro.

2. c) Construção de figura; ortocentro.

3. Construção de figura; resposta pessoal.

4. 9,5 centímetros

5. Construção de figura; resposta pessoal.

6. Altura relativa ao lado menor.

7. a) Construção de figura.

7. b) Construção de figura.

7. c) Sim.

7. d) Elas coincidiram.

8. Os pontos H e B coincidem para todos os triângulos retângulos em B.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 1 e 2, dos exercícios 4 a 6 e do exercício 8 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

Para os exercícios 3 e 5, por exemplo, os estudantes podem registrar passo a passo as construções utilizando fluxogramas; assim, aprimoram aspectos importantes para o desenvolvimento posterior da habilidade (ê éfe zero oito ême ah um seis).

Para o exercício 3, uma possível construção da bissetriz:

Ilustração. Triângulo A B C. Entre A e C, D. Segmento B D, com marcações de que o ângulo B é dividido em 2 ângulos de mesma medida.

Possível construção da mediatriz:

Ilustração. Triângulo A B C. Uma reta r passa pelo triângulo formando o ângulo de 90 graus com o lado B C. Essa reta divide o lado B C em duas partes de mesma medida.

No exercício 7, a particularidade do triângulo leva a outra propriedade do triângulo isósceles: a mediana, a altura e a bissetriz, todas relativas à base do triângulo isósceles, são coincidentes. Segue a possível construção para os itens a, b e d.

Ilustração. Triângulo A B C. Lado A B tem mesma medida que lado A C. Entre B e C, ponto M. Segmento A M.

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PARA SABER MAIS

Geometria e grafite

O trabalho de um artista urbano, diferente das outras fórmas de compor arte, está disponível até aos desinteressados. O poeta Paulo Leminski pichavaglossário nas ruas de Curitiba em 1980 um poema curto que dizia: “palpite/ o grafite não tem limite”. O significado desse poema impresso na pele da cidade faz relação com o caráter espontâneo da arte urbana. É impossível não notar um grafite ao trafegar pelas ruas de uma cidade. [reticências]

Fonte: GEOMETRIA da cidade nas alturas. Diário da manhã, Goiânia, 28 junho 2017. Seção Cultura. Disponível em: https://oeds.link/vXBTt3. Acesso em: 12 julho 2022.

O grafite surgiu no Brasil no final da década de 1970, influenciado pelo movimento hip-hop vindo dos Estados Unidos. Para esse movimento, o grafite é a maneira de expressar toda a opressão que a humanidade vive, principalmente os menos favorecidos, ou seja, o grafite reflete a realidade das ruas. No entanto, se não tiverem autorização, a pichação e o grafite em espaços públicos ou privados podem ser considerados crimes.

Com o passar do tempo, diferentes técnicas de grafite surgiram, e muitos artistas brasileiros tornaram-se reconhecidos mundialmente pelo trabalho realizado. Entre eles, o artista Eduardo Kobra, que tem seu trabalho representado em diferentes murais pelo mundo.

Fotografia. Painel colorido na lateral de edifício com o nome ELLIS acima e abaixo, rosto de 5 pessoas entre homens e mulheres. À direita, rua com carros e construções. — Obra Ellis Island (2018), do artista e muralista Eduardo Kobra (nascido em 1975), em Nova York. Nela, Kobra retrata o rosto de pessoas de diferentes etnias, representando as pessoas que saem de seus países em busca de melhores condições de vida nos Estados Unidos. Foi produzida na fachada da City‑As‑School, escola pública onde estudou Jean-Michael Basquiat (1960-1988), um dos maiores destaques da cena grafiteira nova‑iorquina. (Fotografia de 2018.)

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 O artista utilizou triângulos na composição da obra Ellis Island. Como esses triângulos podem ser classificados?

2 Antes de realizar trabalhos como esse, os artistas costumam fazer um planejamento, no papel, dividindo a superfície em áreas menores, que servirá de orientação para o trabalho final. Suponha que você tenha de compor um mural de formato retangular com um grafite composto de figuras geométricas. Faça a representação, em um papel, de como seria esse grafite e apresente-o aos colegas.

Respostas e comentários

1. Espera-se que os estudantes identifiquem triângulos que podem ser associados a triângulos isósceles e a triângulos isósceles retângulos.

2. Resposta pessoal.

Para saber mais

Nesta seção é apresentado o grafite como uma fórma de levar a arte ao acesso de todos, além de atuar como instrumento de crítica social, chamando a atenção para problemas sociais atuais, como desigualdade social, desigualdade de gênero, preconceito, criminalidade, escassez de moradia, entre outros. Ao abordar esse tema é possível trabalhar com os estudantes o Tema Contemporâneo Transversal vida familiar e social. Converse com eles sobre como esse tipo de arte urbana tem papel importante nas transformações sociais.

Comente que o grafite é uma fórma de manifestação cultural e artística presente em diversos países e que costuma retratar o dia a dia, os diversos pontos de vista, as experiências e os valores de diferentes pessoas das mais variadas culturas. Essa discussão favorece o desenvolvimento da competência geral 3 e o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal diversidade cultural.

A respeito da legalidade do grafite, comente que, desde 2011, de acôrdo com a Lei número 12.408, a prática do grafite “[reticências] realizada com o objetivo de valorizar o patrimônio público ou privado mediante manifestação artística, desde que consentida pelo proprietário [reticências]” deixou de ser considerada crime.

O exercício 2 do Agora é com você! possibilita que os estudantes desenvolvam a competência geral 4, ao propor que eles utilizem a linguagem visual e conhecimentos das linguagens artística e matemática para expressar experiências, ideias e sentimentos na criação de um mural. Incentive-os a trabalharem com temas relacionados ao seu contexto social.

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2. Congruência de triângulos

Já estudamos congruência de polígonos. Como qualquer polígono pode ser dividido ou decomposto em triângulos, o estudo da congruência de triângulos pode nos auxiliar em problemas mais complicados que envolvam a congruência de polígonos.

Agora, vamos estudar, em particular, os triângulos congruentes.

Dois triângulos são congruentes quando os lados correspondentes e os ângulos correspondentes forem congruentes.

Observe as figuras a seguir.

Ilustração. 2 triângulos. Triângulo A B C. Triângulo A linha B linha C linha. Há marcações que indicam que: lado A C tem mesma medida que o lado A linha C linha; lado B C tem mesma medida que o lado B linha C linha; lado A B tem mesma medida que o lado A linha B linha. Há marcações que indicam que: ângulo A tem mesma medida que ângulo A linha; ângulo B tem mesma medida que ângulo B linha; ângulo C tem mesma medida que ângulo C linha.

Nessas figuras, o △á bê cê ≅ △á linha bê linha cê linha (lemos “o triângulo á bê cê é congruente ao triângulo á linha bê linha cê linha ”), ou seja:

\overline{A B} ≅ \overline{A' B'}

\hat{A} ≅ \hat{A}'

\overline{B C} ≅ \overline{B' C'}

\hat{B} ≅ \hat{B}'

\overline{A C} ≅ \overline{A' C'}

\hat{C} ≅ \hat{C}'

Observe que, se dois triângulos são congruentes, então:

• os lados correspondentes opostos a ângulos congruentes são congruentes;

• os ângulos correspondentes opostos a lados congruentes são congruentes.

Acompanhe os exemplos.

a) Sabendo que △á bê cê ≅ △ême êne pê, vamos indicar os lados congruentes.

Ilustração. Triângulo A B C e triângulo M N P. Marcações indicam que ângulo A tem mesma medida que ângulo M; ângulo B tem mesma medida que ângulo N; ângulo C tem mesma medida que ângulo P.

Nesses triângulos, temos:

•

\overline{A B} ≅ \overline{M N}

(lados opostos a ângulos congruentes:

\hat{C} ≅ \hat{P});

•

\overline{B C} ≅ \overline{N P}

(lados opostos a ângulos congruentes:

\hat{A} ≅ \hat{M});

•

\overline{A C} ≅ \overline{M P}

(lados opostos a ângulos congruentes:

\hat{B} ≅ \hat{N}).

b) Sabendo que △á bê cê ≅ △ême êne pê, vamos indicar os ângulos congruentes.

Ilustração. Triângulo A B C e triângulo M N P. Lado A B congruente lado M N; Lado A C congruente lado M P; Lado B C congruente lado N P.

Nesses triângulos, temos:

•

\hat{A} ≅ \hat{M}

(ângulos opostos a lados congruentes:

\overline{B C} ≅ \overline{P N}

);

•

\hat{B} ≅ \hat{N}

(ângulos opostos a lados congruentes:

\overline{A C} ≅ \overline{M P}

);

•

\hat{C} ≅ \hat{P}

(ângulos opostos a lados congruentes:

\overline{A B} ≅ \overline{M N}

Respostas e comentários

2. Congruência de triângulos

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um quatro.

Este tópico aborda os casos de congruência de triângulos; assim, prepara os estudantes para, posteriormente, desenvolverem a habilidade (ê éfe zero oito ême ah um quatro).

Retome a congruência de polígonos e a notação própria utilizada para a congruência.

Pode-se propor aos estudantes que, em uma folha de papel, com régua e transferidor, representem determinado triângulo, dadas as medidas de dois lados e do ângulo formado entre eles. Depois, eles recortam o triângulo representado e comparam com as produções dos demais colegas, a fim de verificar que todos os triângulos produzidos são congruentes.

Solicite a eles que façam outros triângulos dessa maneira para os compararem novamente, mas utilizando outras informações, por exemplo, dada a medida de um dos segmentos e a medida de cada ângulo formado entre esse segmento e os demais lados do triângulo.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

9 Em cada item, os pares de triângulos são congruentes. Indique no caderno a congruência entre os lados desses triângulos.

Ilustração. Triângulo A B C e triângulo, C D E. Em cada vértice dos dois triângulos, marcações de ângulos tais que: ângulo A tem mesma medida que ângulo de D; ângulo B tem mesma medida que ângulo de E; ângulo A C B tem mesma medida que ângulo de D C E.

10 Em cada item, os pares de triângulos são congruentes. Indique no caderno a congruência entre os ângulos desses triângulos.

Ilustração. Triângulo A B C e triângulo, C D E. No vértice C, há marcações de ângulos C1 e C2. Lado A C congruente lado D A; Lado A B congruente lado D E; Lado B C congruente lado E C.

Ilustração. Triângulo A B C e triângulo M N P. Lado A C tem mesma medida que lado M N; Lado A B tem mesma medida que lado M P; Lado B C tem mesma medida que lado P N.

11 Sabendo que △á bê cê ≅ △ême êne pê, calcule x e y.

Ilustração. 2 triângulos No triângulo A B C as medidas são: A C, x mais 12 vezes y; A B, 5 vezes x mais 13; B C, 9 vezes y mais 4. No triângulo M N P as medidas são: MN, 7 vezes x menos 3; NP, 5 vezes x mais 9; PM, 6 vezes x mais 4 vezes y marcações indicam que ângulo A tem mesma medida que ângulo M; que ângulo B tem mesma medida que ângulo N; que ângulo C tem mesma medida que ângulo P.

12 Calcule x e y, em grau, sabendo que △á bê cê  ≅ △érre ésse tê.

Ilustração. Triângulo A B C. No vértice C, ângulo de 45 graus. No vértice B, ângulo de 7 vezes x mais 2 vezes y. Triângulo R S T; ângulo S mede 58 graus, ângulo T mede 3 vezes y medida A B é igual R S medida A C é igual R T medida B C é igual S T

Casos de congruência de triângulos

Vimos que dois triângulos são congruentes quando os lados correspondentes e os ângulos correspondentes são, respectivamente, congruentes e, assim, podemos sobrepô-los. Isso significa que, para concluir que dois triângulos são semelhantes, devemos verificar seis congruências, com três pares de lados e com três pares de ângulos.

No entanto, em algumas situações, é possível reconhecer a congruência de dois triângulos quando são conhecidos apenas três de seus elementos. Isso é feito por meio dos casos de congruência, que vamos estudar a seguir.

Respostas e comentários

9. a)

\overline{A B} ≅ \overline{D E}

\overline{A C} ≅ \overline{D C}

\overline{B C} ≅ \overline{E C}

9. b)

\overline{A C} ≅ \overline{Q R}

\overline{B C} ≅ \overline{P R}

\overline{A B} ≅ \overline{Q P}

10. a)

\hat{A} ≅ \hat{D}

\hat{B} ≅ \hat{E}

{\hat{C}}_{1} ≅ {\hat{C}}_{2}

10. b)

\hat{A} ≅ \hat{M}

\hat{B} ≅ \hat{P}

\hat{C} ≅ \hat{N}

11. x = 8; y = 5

12. x = 4graus; y = 15graus

Exercícios propostos

Neste bloco de exercícios, os estudantes aplicarão o conceito de congruência de triângulos.

Ressalte a importância de tomar na ordem correta os elementos correspondentes entre os dois triângulos considerados para determinar a congruência (ou não) desses triângulos.

As resoluções dos exercícios 9 a 12 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

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Caso lado-lado-lado (éle éle éle)

Dois triângulos são congruentes quando têm os três lados respectivamente congruentes.

Ilustração. Triângulo ABC. Ilustração. Triângulo DEF.

Se o segmento de reta AB é congruente ao segmento de reta DE, segmento de reta BC é congruente ao segmento de reta EF e o segmento de reta AC é congruente ao segmento de reta DF então o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF.

Como exemplo, considere os triângulos a seguir.

Triângulo A B C. Os lados medem: AC, 4 centímetros. AB, 5 centímetros. BC, 3 centímetros. Triângulo M N P. Os lados medem: M N, 5 centímetros. N P, 3 centímetros. P M, 4 centímetros.

Note que esses triângulos têm os três lados correspondentes com medidas iguais, ou seja, são congruentes (

\overline{A B} ≅ \overline{M N}

\overline{B C} ≅ \overline{N P}

\overline{A C} ≅ \overline{M P}

). Isso garante, pelo caso lado lado lado, que os triângulos á bê cê e ême êne pê sejam congruentes.

Ilustração. Mulher de cabelo preto curto, faixa vermelha na cabeça e blusa verde. Ela fala: Você pode verificar esse caso e os demais decalcando o triângulo MNP em uma folha de papel de seda e sobrepondo esse decalque ao triângulo ABC.

Caso lado-ângulo-lado (éle á éle)

Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados e o ângulo compreendido entre eles respectivamente congruentes.

Triângulo A B C com marcação de ângulo no vértice A com 1 tracinho e marcação de 3 tracinhos no lado A B e de 2 tracinhos no lado A C. Triângulo D E F com marcação de ângulo no vértice D com 1 tracinho e marcação de 3 tracinhos no lado D E e de 2 tracinhos no lado A F.

Se o segmento de reta AB é congruente ao segmento de reta DE, ângulo A é congruente ao ângulo D e segmento de reta AC é congruente ao segmento de reta DF então o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF

Respostas e comentários

Caso lado-lado-lado (LLL)

Incentive os estudantes a realizarem a experimentação proposta: decalcar o triângulo ême êne pê em uma folha de papel de seda (solicitada previamente) e sobrepor o decalque ao triângulo á bê cê, fazendo coincidir os lados correspondentes.

É importante comentar com eles que cada congruência entre lados correspondentes dos dois triângulos considerados deve ser justificada para que possamos utilizar o caso lado lado lado de congruência de triângulos. Por exemplo, considere o triângulo isósceles á bê cê a seguir, em que M é ponto médio do lado

\overline{B C} .

Ilustração. Triângulo A B C. Entre B C, ponto M. Segmento A M. Lado A B e lado A C têm mesma medida.

Podemos concluir a congruência dos triângulos á bê ême e á cê ême pelo caso lado lado lado da seguinte maneira:

•

\overline{A B} ≅ \overline{A C}

(lados de mesma medida em triângulo isósceles)

•

\overline{A M} ≅ \overline{A M}

(lado comum)

•

\overline{B M} ≅ \overline{C M}

(M é ponto médio de

\overline{B C}

)

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Como exemplo, considere os triângulos a seguir.

Ilustração. Triângulo ABC com marcação de ângulo de 45 graus no vértice B. Os dados são? AB, 3 centímetros. CB, 2,6 centímetros. Ilustração. Triângulo MNP com marcação de ângulo de 45 graus no vértice N. Os dados são: MN, 3 centímetros. PN, 2,6 centímetros.

Esses triângulos têm dois lados correspondentes congruentes (

\overline{A B} ≅ \overline{M N}

\overline{B C} ≅ \overline{N P}

), e os ângulos compreendidos por esses lados também são congruentes (

\hat{B} ≅ \hat{N}

). Isso garante, pelo caso lado ângulo lado, que os triângulos á bê cê e ême êne pê sejam congruentes.

Observação

▶ No caso lado ângulo lado, assim como nos casos que vamos estudar a seguir, a ordem dos elementos deve ser respeitada para verificar a congruência entre os triângulos.

Para exemplificar, considere os triângulos á bê cê e dê ê éfe.

Ilustração. Triângulo ABC com marcação de ângulo de 60 graus no vértice B. Os dados são: AB, 4 centímetros. AC, 3,6 centímetros. Ilustração. Triângulo DEF com marcação de ângulo de 60 graus no vértice E. os dados são: FD, 3,6 centímetros. ED, 4 centímetros.

Com régua e transferidor, verifique que os triângulos á bê cê e dê ê éfe têm dois lados congruentes e um ângulo congruente, mas não são triângulos congruentes.

Caso ângulo-lado-ângulo (á éle á )

Dois triângulos são congruentes quando têm dois ângulos e o lado adjacente a esses ângulos respectivamente congruentes.

Triângulo A B C com marcação de 1 tracinho no ângulo B e 2 tracinhos no ângulo C. O segmento B C tem marcação de 3 tracinhos. Triângulo D E F com marcação de 1 tracinho no ângulo E e 2 tracinhos no ângulo F. O segmento E F tem marcação de 3 tracinhos.

Se o ângulo B é congruente ao ângulo E, segmento de reta BC é congruente ao segmento de reta EF e o ângulo C é congruente ao ângulo F então o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF

Como exemplo, considere os triângulos a seguir.

Ilustração. Triângulo A B C com marcação de ângulo de 85 graus no vértice C e 39 graus no vértice A. lado A C mede 3,5 centímetros. Ilustração. Triângulo M N P com marcação de ângulo de 85 graus no vértice P e 39 graus no vértice M. lado M P mede 3,5 centímetros.

Esses triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes (

\hat{A} ≅ \hat{M}

\hat{C} ≅ \hat{P}

), e os lados adjacentes a esses ângulos também são congruentes (

\overline{A C} ≅ \overline{M P}

). Isso garante, pelo caso ângulo-lado-ângulo, que os triângulos á bê cê e ême êne pê sejam congruentes.

Respostas e comentários

Caso lado‑ângulo‑lado (éle á éle) e caso ângulo‑lado‑ângulo (á éle á )

Para explorar os casos de congruência lado ângulo lado e ângulo-lado-ângulo, forneça aos estudantes pares de triângulos congruentes envolvendo esses dois casos para que os identifiquem. Além disso, sugerimos retomar a construção de triângulos para cada um desses casos, de maneira que cada estudante represente o triângulo cujas medidas de dois lados e a do ângulo entre eles sejam dadas para, depois, comparar as produções e perceber que ocorre a congruência. De maneira análoga, eles representam o triângulo cujas medidas de um lado e dos dois ângulos que ele determina (com os demais lados) sejam dadas.

Esse tipo de atividade em que os estudantes verificam que ocorre uma propriedade pode desenvolver a competência geral 2, pois exercitam a curiosidade intelectual, podendo ser, também, incentivados a justificar ou demonstrar as propriedades observadas ou hipóteses.

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Caso lado-ângulo-ângulo oposto (éle á á_o)

Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, o ângulo adjacente a esse lado e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.

Ilustração. Triângulo ABC com marcações de ângulos nos vértices A e B. Ilustração. Triângulo DEF com marcações de ângulos nos vértices D e E.

Se o o segmento de reta BC é congruente ao segmento de reta EF, ângulo B congruente ao ângulo E e ângulo A congruente ao ângulo D, então triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF

Como exemplo, considere os triângulos a seguir.

Triângulo A B C com marcação de ângulo de 60 graus no vértice A e 80 graus no vértice B. Lado C B mede 3,6 centímetros. Triângulo M N P com marcações de ângulo de 80 graus no vértice N e 60 graus no vértice M. Lado NP mede 3,6 centímetros.

Esses triângulos têm, respectivamente, congruentes: um lado (

\overline{B C} ≅ \overline{N P}

), um ângulo adjacente a esse lado (

\hat{B} ≅ \hat{N}

) e o ângulo oposto ao lado congruente (

\hat{A} ≅ \hat{M}

). Desse modo, pelo caso lado-ângulo-ângulo opostoo , garantimos que os triângulos á bê cê e ême êne pê sejam congruentes.

Ilustração. Homem loiro de barba e camisa azul fala: Este caso pode ser entendido como uma extensão do caso A L A. Basta notar que, dadas as medidas 60 graus e 80 graus, a medida do terceiro ângulo fica conhecida. Observe: medida ângulo A C B igual a medida ângulo M P N igual a 180 graus menos 60 graus menos 80 graus igual a 40 graus. Assim, os triângulos têm dois ângulos e o lado adjacente a esses ângulos respectivamente congruentes (caso A L A).

Observação

▶ Além dos quatro casos de congruência de triângulos estudados, vamos conhecer um caso válido somente para os triângulos retângulos, o caso cateto-hipotenusa (cê agá).

Dois triângulos retângulos são congruentes quando têm a hipotenusa e um cateto respectivamente congruentes.

Considere os triângulos retângulos á bê cê e ême êne pê, com

\overline{A C} ≅ \overline{M P}

\overline{A B} ≅ \overline{M N}

Ilustração. Triângulo ABC com marcação de ângulo de 90 graus no vértice B. O lado A B tem indicação de 2 tracinhos e o lado A C, 1 tracinho. Ilustração. Triângulo M N P com marcação de ângulo de 90 graus no vértice N. O lado M N tem indicação de 2 tracinhos e o lado M P, 1 tracinho.

Então, pelo caso cateto-hipotenusa, os triângulos á bê cê e ême êne pê são congruentes.

Respostas e comentários

Caso lado-ângulo-ângulo oposto (éle á áO)

Antes de tratar do caso lado-ângulo-ângulo opostoo, represente alguns triângulos na lousa e peça aos estudantes que identifiquem ângulos opostos a determinados lados desses triângulos, de modo que não fiquem dúvidas quanto a essa nomenclatura.

Apresente-lhes o caso lado-ângulo-ângulo opostoo e, em seguida, forneça a eles pares de triângulos congruentes envolvendo esse caso para que os identifiquem.

Se julgar pertinente, incentive os estudantes a demonstrarem o caso cateto-hipotenusa. Considerando dois triângulos retângulos, á bê cê e ême êne pê, tais que

\overline{A B}

\overline{M N}

sejam congruentes e

\overline{A C}

\overline{M P}

sejam suas hipotenusas e congruentes, pode-se transladar o triângulo ême êne pê de maneira que

\overline{A C}

\overline{M P}

coincidam, obtendo o quadrilátero á bê cê êne. Como os ângulos internos em B e em N são retos, os lados opostos do quadrilátero são paralelos, ou seja, tal quadrilátero é um paralelogramo. Assim, os lados opostos são congruentes; portanto, os triângulos que o compõem são congruentes.

Ao trabalhar demonstrações, os estudantes desenvolvem a competência geral 7, pois precisam argumentar e justificar a validade das informações consideradas na demonstração.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

13 Verifique em cada item quais são os pares de triângulos congruentes e escreva no caderno o caso pelo qual são congruentes.

Ilustração. Triângulo A B C e A D C. Lado A B tem medida igual lado A D. Ângulo B A C tem medida igual ângulo D A C.

Ilustração. Retas r e s paralelas. Pontos M, N em reta r; pontos P, Q em reta s. Triângulo M N O e triângulo P O Q. Lado N O tem mesma medida que lado P O.

Ilustração. Triângulos unidos pelos vértice V. Os triângulos são: T V R, U V S e R V S. Marcações de ângulos nos vértices R e S indicando que o ângulo U S V tem mesma medida que ângulo T R V. Lado R T tem mesma medida que lado S U.

14 Calcule os valores de x e y nas figuras a seguir.

Dois triângulos lado a lado unidos por um vértice em comum. Os ângulos de cada triângulo neste vértice são congruentes. Nessa ordem, os lados do triângulo da direita tem sua medida indicada por: 2 tracinhos, 3 tracinhos, nenhum tracinho; os lados do triângulo da esquerda tem sua medida indicada por: 2 tracinhos, nenhum tracinho, 3 tracinhos. As medidas dos ângulos do triângulo da direita são indicados como: ângulo com 1 tracinho; y; x. As medidas dos ângulos do triângulo da esquerda são indicados como: 78 graus, 40 graus, ângulo com 1 tracinho.

Dois triângulos unidos por um vértice em comum. O ângulo formado neste vértice em cada triângulo está indicado com 2 tracinhos. O ângulo ao lado dele, em cada triângulo, está indicado com 1 tracinho. Medida dos segmentos é indicada da seguinte maneira: Lado do ângulo de 1 tracinho comum ao lado do ângulo com 2 tracinhos: 3 tracinhos em ambos os triângulos. Lado do ângulo com 2 tracinhos comum ao lado do ângulo sem indicação: x no triângulo de baixo e 15 no de cima. O terceiro lado tem medida y no triângulo de baixo e 29=0 no de cima.

Reta B N horizontal com ponto S e ponto M nela. Triângulo A B S com A para cima da reta B N; triângulo P N M com ponto P abaixo da reta B N. Lado B S mede 3 tracinhos assim como lado M N. Medida dos ângulos internos dos triângulos: Ângulo B mede 1 tracinho assim como ângulo N. Ângulo S mede 2 tracinhos assim como ângulo M. Medida dos lados dos triângulos: Lado AB mede y mais 7 Lado A S mede x + y Lado M P mede 9 Lado P N mede 13

15 Observe a figura a seguir.

Ilustração. Triângulo A D C, unido pelo vértice A com outro triângulo A B E. Lado D A congruente ao lado B A; lado C A congruente lado E A.

Sabendo que as marcas iguais indicam lados de mesma medida, explique por que podemos afirmar que

\overline{E B} ≅ \overline{D C}

16 Considere um triângulo á bê cê equilátero.

a) Ao traçar a mediana

\overline{A M}

, obtemos dois triângulos: △á ême bê e △á ême cê. Esses triângulos são congruentes? Justifique sua resposta.

Ilustração. Triângulo A B C. Entre B e C, ponto M. Segmento A M. Medida B M igual medida M C.

b) Ao traçar a bissetriz

\overline{A D}

, obtemos dois triângulos: △á dê bê e △á dê cê. Esses triângulos são congruentes? Justifique sua resposta.

Ilustração. Triângulo ABC. Entre B e C, ponto D. Segmento A D divide ângulo A ao meio nos ângulos A1 e A2.

c) Ao traçar a altura

\overline{A H}

, também obtemos dois triângulos: △a agá bê e △á agá cê. Esses triângulos são congruentes? Justifique sua resposta.

Ilustração. Triângulo A B C. Entre B e C, ponto H. Segmento A H faz ângulo de 90 graus com lado B C.

d) Todos os triângulos obtidos nos itens anteriores são congruentes? Justifique sua resposta.

Respostas e comentários

13. a) △á bê cê ≅ △á dê cê; caso lado ângulo lado.

13. b) △ême ó êne ≅ △quê ó pê; caso á éle á ou lado-ângulo-ângulo opostoo.

13. c) △érre tê ésse ≅ △ésse ú érre; caso lado ângulo lado.

14. a) x = 78graus; y = 40graus

14. b) x = 15; y = 20

14. c) x = 3; y = 6

15.

\overline{E B} ≅ \overline{D C}

porque os triângulos á dê cê e á bê é são congruentes pelo caso lado ângulo lado.

16. a) Sim, pelo caso lado lado lado.

\overline{B M} ≅ \overline{M C}

\overline{A M} ≅ \overline{A M}

\overline{A B} ≅ \overline{A C}

16. b) Sim, pelo caso lado ângulo lado.

\overline{A D} ≅ \overline{A D}

{\hat{A}}_{1} ≅ {\hat{A}}_{2}

\overline{A B} ≅ \overline{A C}

16. c) Sim, pelo caso lado-ângulo-ângulo opostoo.

\overline{A H} ≅ \overline{A H}

{\hat{H}}_{1} ≅ {\hat{H}}_{2}

\hat{B} ≅ \hat{C}

16. d) Sim; resposta pessoal.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 13 a 15 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

O exercício 16 pode ser ampliado perguntando aos estudantes se todos os triângulos obtidos nos itens a, b e c são congruentes. Espera‑se que reconheçam que sim.

É interessante observar com eles que essa pergunta sintetiza o que foi abordado nos itens desse exercício e que, portanto, em um triângulo equilátero, a mediana, a altura e a bissetriz relativas a um mesmo lado são congruentes.

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Reúna-se com um colega e façam o que se pede.

Na figura a seguir, a corda

\overline{A B}

é perpendicular ao diâmetro

\overline{C D}

Ilustração. Triângulo ABP. No centro, ponto O. Entre A e B, E. Uma reta passa entre P, O e E. Em uma ponta da reta, D, na outra, C. Em E, 2 marcações do ângulo reto. Uma circunferência passa pelos pontos C, D, A e B.

a) Qual é o caso de congruência de triângulos que assegura que △ô á ê ≅ △ó bê é ?

b) Considerando os triângulos pê á é e pê bê ê, demonstrem que

\overline{A P} ≅ \overline{B P}

c) Considerem a figura a seguir, em que as expressões representam as medidas dos segmentos. No caderno, calculem as medidas do raio, do diâmetro e da corda

\overline{A B}

Ilustração. Reta A B a horizontal. Na vertical, passa outra reta, que tem o ponto O. Entre A e a reta, x mais y. Entre B e a reta, 2 vezes x menos y. Na interseção, 4 e marcação do ângulo reto. Entre a intersecção e o ponto O, 2 vezes x. Entre ponto O e final da reta, x mais 3 vezes y. Uma circunferência passa pelos finais das retas.

PARA SABER MAIS

Construindo um hexágono regular com uma moeda

Com uma moeda de 1 real, Márcia e Mílton inicialmente traçaram uma circunferência de centro óh. Depois, cada um deles construiu o desenho da figura 1, dividindo a circunferência em 6 arcos congruentes.

Ilustração. Figura 1 Circunferência com centro em O e raio A O. São destacados os pontos A, B, C, D, E, F dela, de maneira que a distância entre dois pontos consecutivos é sempre a mesma. Cada ponto é centro de uma circunferência com o medida de raio igual a A O. Os arcos dessas 6 circunferências interiores à circunferência de centro O estão destacados em vermelho formando uma figura que lembra silhueta de flor. — Figura 1

Examinando bem o desenho, eles perceberam que os pontos a, B, C, D, ê e F são os centros das seis circunferências que passam por óh e, também, são vértices consecutivos de um hexágono regular inscrito na circunferência de centro óh.

Então, cada um completou o desenho traçando o seu polígono. Note, na figura 2, como ficou o hexágono á bê cê dê é éfe.

Ilustração. Figura 2. Foco no centro da Figura 1 destacando a circunferência com centro em O e a silhueta que lembra uma flor. — Figura 2

Com um transferidor, Márcia verificou que os ângulos centrais

A \hat{O} B

B \hat{O} C

C \hat{O} D

D \hat{O} E

E \hat{O} F

F \hat{O} A

medem 60graus.

Para fazer a mesma verificação, Mílton foi mais prático e usou o ângulo de 60graus de um esquadro de 30graus e 60graus. Observe, na figura 3, como ele fez para verificar a medida do ângulo

B \hat{O} C .

Da mesma fórma, ele fez com os demais ângulos centrais.

Ilustração. Figura 3. à figura 2 é acrescentado um esquadro indicando a medida do ângulo B O C como igual a 60 graus. — Figura 3

Respostas e comentários

17. a) Caso Chile.

17. b) Demonstração.

17. c) Medida do raio: 20; medida do diâmetro: 40; A bê = 24.

Exercícios propostos

O exercício 17 pode ser resolvido com os estudantes organizados em duplas, o que enriquecerá o aprendizado. No item a, ó á = ó bê, pois são a medida do raio da circunferência; ó é = ó é, pois são as medidas dos lados comuns aos triângulos; como essas medidas correspondem às medidas da hipotenusa e de um dos catetos; pelo caso Chile, os triângulos são congruentes. A seguir, apresentamos um exemplo de demonstração para o item b.

Considerando os triângulos pê á é e pê bê ê, verificamos:

•

\overline{A E} ≅ \overline{B E}

(pela congruência citada no item a)

•

A \hat{E} O ≅ B \hat{E} O

(ângulos retos)

•

\overline{P E} ≅ \overline{P E}

(lado comum)

Logo, pelo caso lado ângulo lado, os triângulos pê á é e pê bê ê são congruentes.

Portanto,

\overline{A P} ≅ \overline{B P}

, pois são lados correspondentes em triângulos congruentes.

A resolução do item c está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

Para saber mais

A seção desenvolve a construção de polígonos regulares, em particular a construção de um hexágono regular. Reproduza as figuras na lousa e refaça com os estudantes cada etapa da construção descrita nessa seção.

Além disso, solicite que elaborem um fluxograma descrevendo as etapas para construir, com régua e compasso, um hexágono regular, favorecendo o desenvolvimento da habilidade (EF08MA16).

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A partir dessa experiência, Márcia e Mílton verificaram que é possível construir hexágonos regulares traçando arcos ou ângulos centrais de 60graus e apresentaram um trabalho escolar descrevendo um algoritmo com os passos a seguir.

Márcia

• Traçar uma circunferência de centro óh e raio r.

• Traçar uma semirreta qualquer de origem óh, que corta a circunferência no ponto a.

• Com a ponta-sêca do compasso em ae abertura igual ao raio, traçar um arco obtendo B e F na circunferência.

• Repetir o traçado do arco com centros em B, C e D, obtendo na circunferência, respectivamente, C, D e ê.

• Traçar

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D E}

\overline{E F}

\overline{F A}

Mílton

• Traçar uma circunferência de centro óh e raio r.

• Encostar em óh a ponta (vértice do ângulo de 60graus) do esquadro e traçar um ângulo de 60graus que corta a circunferência nos pontos a e F.

• Ainda com a ponta do esquadro em óh, traçar ângulos de 60graus adjacentes a

A \hat{O} F,

obtendo B e ê.

• Repetir o passo anterior, traçando ângulos de 60graus adjacentes a

A \hat{O} B

F \hat{O} E,

obtendo C e D.

• Traçar

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D E}

\overline{E F}

\overline{F A}

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca.)

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Construa dois hexágonos regulares com lados de 4 centímetros, um pelo algoritmo de Márcia e o outro pelo de Mílton.

2 Em uma circunferência de raio de 4 centímetros, construa um dodecágono regular traçando ângulos centrais de 30graus com um esquadro.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 No caderno, corrija as sentenças falsas.

a) O ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo chama-se ortocentro.

b) Todo triângulo equilátero é isósceles.

c) Se um triângulo é equilátero, então cada um de seus ângulos internos mede 60graus.

d) O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo chama-se cateto.

2 Com régua e compasso, construa no caderno um triângulo equilátero á bê cê de lados com 7 centímetros. A seguir, escolha entre traçar as bissetrizes dos ângulos internos, as alturas e as medianas. O ponto de intersecção das cevianas que você escolheu é o baricentro de á bê cê ? Ele é o incentro de á bê cê ? Ele é o ortocentro de á bê cê ?

3 No triângulo á bê cê do exercício anterior, com a ponta-seca do compasso no ponto de intersecção obtido, trace as circunferências inscrita e circunscrita ao triângulo.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca.)

4 Com régua e compasso, construa um triângulo á bê cê de lados A bê = 8 centímetros, á cê = 6 centímetros e bê cê = 7 centímetros e obtenha o seu baricentro G. Depois, usando o compasso em cada mediana, verifique quantas vezes a medida do segmento com extremidades no baricentro e no ponto médio do lado do triângulo cabe no segmento com extremidades no baricentro e no vértice.

5 (unébi-Bahia) Num triângulo retângulo, a altura e a bissetriz relativas à hipotenusa formam um ângulo de 25graus. Os ângulos agudos desse triângulo medem:

a) 35graus e 55graus.

b) 40graus e 50graus.

c) 30graus e 60graus.

d) 15graus e 75graus.

e) 20graus e 70graus.

6 Em um triângulo retângulo, a medida de um dos ângulos agudos é 50graus. Calcule a medida do ângulo obtuso formado pela sua bissetriz com a bissetriz do ângulo reto.

Respostas e comentários

Para saber mais:

1. Construção de figura.

2. Construção de figura.

Exercícios complementares

1. a) Falsa. Resposta possível: o ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo chama-se circuncentro.

1. b) Verdadeira.

1. c) Verdadeira.

1. d) Falsa. Resposta possível: o lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo chama-se hipotenusa.

2. Construção de figura.

3. Construção de figura.

4. Cabe duas vezes em cada mediana.

5. Alternativa ê.

6. 110graus.

Agora é com você!

Reúna os estudantes em duplas ou trios e peça a eles que leiam a descrição do algoritmo de Márcia e de Mílton para resolverem a atividade 1.

Exemplo das construções descritas pelos algoritmos de Márcia e de Mílton, respectivamente:

Ilustração. Sequência de duas figuras. Figura 1. Hexágono A B C D E F. No centro, ponto O. De O, se origina reta r passando por A. Os lados do hexágono têm mesma medida. Circunferência com centro em O e passando pelos pontos A, B, C, D, E, F. Figura 2 Hexágono e circunferência da figura 1 com o raio O B destacado e o ângulo A O F indicado como sendo 60 graus.

Ilustração. Hexágono ABCDEF. No centro, ponto O. De O, se origina linha pontilhada que passa por F e A, marcando ângulo de 60 graus, e Reta r indo até vértice B.

Na atividade 2, espera-se que os estudantes transfiram os conhecimentos da construção do hexágono regular para a construção do dodecágono regular. Para isso, eles podem considerar o algoritmo de Márcia e, no 3º passo, aplicar uma abertura do compasso igual à metade da medida do raio; dessa maneira, eles irão obter os pontos de B a L, que são os vértices do dodecágono assim com o ponto A.

Ilustração. Polígono A B C D E F G H I J K L. No centro, ponto O. Segmento O L e segmento O A forma ângulo de 30 graus e medem r.

Exercícios complementares

Este bloco de exercícios retoma os principais conceitos tratados no capítulo, possibilitando que os estudantes retomem os conhecimentos construídos e identifiquem possíveis dúvidas que ainda tenham.

As resoluções dos exercícios 1 a 6 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Sabendo que o ponto óh é o baricentro do triângulo á bê cê, determine a medida do perímetro desse triângulo.

Ilustração. Triângulo A B C. No centro, ponto O. De cada vértice parte 1 segmento que passa pelo ponto O e vai até o lado oposto do triângulo. Do ponto B até o ponto intersectado no segmento B A, medida de 12 centímetros. Do ponto B até o ponto intersectado no segmento B C, medida de 18 centímetros. Do ponto C até o ponto intersectado no segmento C A, medida de 15 centímetros.

a) 45 centímetros

b) 72 centímetros

c) 75 centímetros

d) 90 centímetros

2 Um malabarista está treinando para um truque de equilíbrio. Ele precisa equilibrar uma tábua de vidro triangular não equilátera em uma vara de madeira. Para que ele consiga realizar o truque, a extremidade da vara deve estar posicionada no:

a) circuncentro do triângulo.

b) baricentro do triângulo.

c) incentro do triângulo.

d) ortocentro do triângulo.

3 Sabendo que

\overline{A D}

é a bissetriz do ângulo

\hat{B}

, determine a medida do ângulo

\hat{C}

Ilustração. Triângulo A B C. Entre B e C, D. Segmento A D divide ângulo A em dois de mesma medida que é 16 graus. Em B, ângulo reto. Em C, marcação de ângulo.

a) 32graus

b) 58graus

c) 74graus

d) 90graus

4 Em um jardim, há uma praça triangular onde se deseja instalar uma fonte que fique equidistante das laterais da praça. Desse modo, a fonte deve ser instalada no:

a) circuncentro do triângulo.

b) baricentro do triângulo.

c) incentro do triângulo.

d) ortocentro do triângulo.

5 Que segmento indica a altura do triângulo á bê cê em relação à base

\overline{C B}

Ilustração. Triângulo A B C. Entre A e B, ponto D. Entre C e B, ponto F. Segmento C D divide ângulo C em dois de mesma medida. Segmento C F de mesma medida que segmento FB. Ponto E no prolongamento do lado C B. Segmento A E faz 90 graus com o segmento E B.

\overline{A E}

\overline{A C}

\overline{C D}

\overline{A F}

6 Como deve ser classificado um triângulo para que seu ortocentro se encontre na região externa?

a) Equilátero

b) Acutângulo

c) Retângulo

d) Obtusângulo

7 Sabendo que os triângulos á bê cê e dê ê éfe a seguir são congruentes, determine as medidas do ângulo

\hat{A}

e do perímetro pê do triângulo dê ê éfe.

Ilustração. Triângulo A B C. Em B, ângulo reto. Entre A e B, 3,6 centímetros. Entre A e C, 6,2 centímetros. Ilustração. Triângulo D E F. Em E, ângulo reto. Em F, ângulo de 36 graus. Entre E e F, 5 centímetros.

a) medida do(

\hat{A}

) = 54graus e p = 14,8 centímetros

b) medida do(

\hat{A}

) = 36graus e p = 14,8 centímetros

c) medida do(

\hat{A}

) = 54graus e p = 12,2 centímetros

d) medida do(

\hat{A}

) = 36graus e p = 12,2 centímetros

8 Quais dos casos a seguir não estão relacionados à congruência de triângulos ?

a) lado lado lado e lado ângulo lado

b) lado ângulo lado e ângulo-lado-ângulo

c) lado-ângulo e ângulo-ângulo-ângulo

d) Chile e lado-ângulo-ângulo opostoo

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) Na sua opinião, por que as cevianas estudadas no capítulo merecem destaque?

b) Qual é a condição para que o trio bissetriz, mediatriz e altura referente a cada um dos ângulos ou dos lados de um triângulo seja o mesmo segmento?

c) Quando dois triângulos são congruentes?

d) Quais são os casos de congruência entre dois triângulos?

Respostas e comentários

1. Alternativa d.

2. Alternativa b.

3. Alternativa b.

4. Alternativa c.

5. Alternativa a.

6. Alternativa d.

7. Alternativa a.

8. Alternativa c.

Organizando:

a) Resposta pessoal.

b) A condição é que o triângulo deve ser equilátero. Nos casos em que o triângulo é isósceles, apenas o trio referente à base é o mesmo segmento.

c) Quando os lados correspondentes e os ângulos correspondentes tiverem a mesma medida.

d) Lado-ângulo-lado, ângulo-lado-ângulo, lado-ângulo-ângulo oposto e lado-lado-lado. Para triângulos retângulos, há o caso cateto-hipotenusa.

Verificando

Os testes propostos nessa seção podem ser utilizados para preparar os estudantes para avaliações de larga escala.

Pode-se solicitar a eles que resolvam cada teste individualmente e, depois, corrigi-los na lousa, possibilitando que os estudantes compartilhem as estratégias de resolução utilizadas.

As resoluções dos testes 1 a 8 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

Organizando

As questões apresentadas nessa seção possibilitam retomar com os estudantes os principais conceitos trabalhados no capítulo. Elas também podem orientar uma autoavaliação dos estudantes.

É interessante que cada um responda e, depois, comente com os colegas as respostas, corrigindo-as ou complementando-as.

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DIVERSIFICANDO

Ângulos e simetria

Vanessa vai participar do campeonato “O labirinto dos robôs”. Cabe a ela escrever as informações corretas do caminho que o robô deve fazer. O objetivo é fazer o robô chegar ao final do percurso sem que ele bata nas paredes do labirinto.

Ilustração. Labirinto composto por quadradinhos. À esquerda, placa escrita Início. À direita, placa escrita FIM.

Azulejos

Pedro conseguiu juntar dinheiro para colocar azulejos novos em sua cozinha. Na loja de material para construção, ele resolveu combinar alguns azulejos. Observe as combinações que ele fez.

Ilustração. Malha quadriculada de 4 linhas e 4 colunas. 8 quadrados estão preenchidos pela metade formando uma figura com triângulos azuis que lembra um cata-vento. Ilustração. Malha quadriculada de 4 linhas e 4 colunas. 8 quadrados estão preenchidos pela metade formando uma figura que lembra um quadrado azul com um quadrado branco dentro dele e 1 triângulo azul para fora de cada vértice dele .

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Com o auxílio da ilustração de “O labirinto dos robôs”, escreva todos os passos que o robô deve dar para completar o percurso sem bater nas paredes. Por exemplo: “Dê 1 passo e vire 90graus à esquerda”. Cada passo corresponde a um quadrado.

2 O labirinto apresenta simetria? E o caminho que o robô deve fazer para chegar ao final do percurso? Justifique suas respostas.

3 Quantos tipos de azulejo Pedro usou para fazer a primeira combinação? E a segunda?

4 Entre essas combinações, qual apresenta uma figura com eixo de simetria? Quantos eixos de simetria essa combinação tem?

Formem grupos e, considerando os azulejos representados, façam uma nova combinação que apresente uma figura com eixo de simetria. Escolham um representante do grupo para desenhar a combinação na lousa e outro representante para explicá-la e mostrar o eixo de simetria.

Respostas e comentários

1. Resposta possível: Dê 1 passo e vire 90graus à direita. Dê 3 passos e vire 90graus à esquerda. Dê 2 passos e vire 90graus à esquerda. Dê 3 passos e vire 90graus à direita. Dê 8 passos e vire 90graus à direita. Dê 3 passos e vire 90graus à esquerda. Dê 2 passos e vire 90graus à esquerda. Dê 3 passos e vire 90graus à direita. Dê 1 passo à frente.

2. Espera-se que os estudantes percebam que o labirinto não apresenta simetria e que o caminho que o robô deve fazer apresenta simetria. O eixo de simetria seria uma linha vertical localizada no centro.

3. 1ª combinação: 2 tipos; 2ª combinação: 2 tipos.

4. A segunda; 4 eixos de simetria.

5. Construção de figura.

Diversificando

Nesta seção, os estudantes poderão trabalhar a ideia de transformações geométricas na resolução das atividades propostas, desenvolvendo a habilidade (ê éfe zero oito ême ah um oito).

A seguir, um exemplo de figura construída para a atividade 5 do Agora é com você! e a mesma figura construída com eixo de simetria.

Ilustração. Malha quadriculada de 4 linhas e 4 colunas. 8 quadrados estão preenchidos pela metade formando um quadrado azul em cima de dois triângulos azuis. Uma reta vermelha divide a malha ao meio.

Ilustração. Malha quadriculada de 4 linhas e 4 colunas.
8 quadrados estão preenchidos pela metade. Um reta vermelha divide a malha ao meio.

Glossário

Pichar: : escrever ou rabiscar em muros ou paredes.; Voltar para o texto