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CAPÍTULO 9 Estudo dos quadriláteros

Pintura. Tela quadrada. No centro, losango composto por faixas horizontais intercaladas, nas cores vermelho e amarelo. Ao redor do losango, um triângulo em cada lado do losango, listrados também em vermelho e amarelo. — SACILOTTO, L. cê oito nove oito nove. 1989. 1 têmpera acrílica sobre tela, 70 por 70 centímetros. Coleção particular.

Observe a imagem e responda às questões no caderno.

a) Que figuras geométricas planas você identifica nessa obra de Luiz Sacilotto?

b) É possível dizer que nessa obra há retângulos? E losangos?

c) Faça um desenho utilizando apenas quadriláteros.

Luiz Sacilotto (1924 a 2003) foi um pintor, escultor e desenhista brasileiro abstracionista, embora muitas de suas obras também tenham forte relação com o movimento Op Art, caracterizado pelos efeitos visuais e pelo uso de ilusões de óptica.

O artista buscava utilizar em suas obras figuras geométricas planas para dar a quem as observa a sensação de movimento e dinamismo, gerando ilusões de curvas, dobras e profundidade.

Respostas e comentários

a) Resposta possível: trapézio, quadrado, retângulo e triângulo.

b) Espera-se que os estudantes respondam que sim, pois todo quadrado é também retângulo e losango.

c) Construção de figura.

Capítulo 9 – Estudo dos quadriláteros

Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática (Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.

Neste capítulo, retomamos e ampliamos o estudo dos quadriláteros. Iniciamos com uma breve revisão dos elementos que constituem um quadrilátero. Avançamos o estudo sobre a classificação dos quadriláteros, tendo como critérios os lados serem ou não paralelos, serem ou não perpendiculares, serem ou não congruentes. Aprofundamos o estudo sobre as propriedades decorrentes das características de classificação dos quadriláteros, demonstrando propriedades com base na congruência de triângulos, assunto já trabalhado em capítulos anteriores.

A abertura destaca a relação entre Matemática e Arte, apresentando uma obra de Luiz Sacilotto para explorar a conexão entre essas duas áreas de conhecimento. Esse contexto possibilita o desenvolvimento da competência geral 3, pois estimula os estudantes a apreciar e usufruir diferentes manifestações artísticas. Incentive-os a pesquisar exposições culturais regionais.

Além disso, essa é uma ótima oportunidade para um projeto interdisciplinar com Arte. Solicite aos estudantes um trabalho sobre Luiz Sacilotto e sua obra. Organize grupos de três integrantes e cada grupo, à sua escolha, deve fazer a reprodução de uma das obras do artista. O conjunto dessas reproduções pode compor uma exposição a ser agendada com a direção da escola.

Sugestão de leitura

GUIA das Artes. Luiz Sacilotto. São Lourenço, [2015?]. Disponível em: https://oeds.link/TD0vCr. Acesso em: 10 junho 2022.

O portal de conteúdo especializado em Arte apresenta a biografia do artista Luiz Sacilotto e a cronologia de suas obras.

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1. Quadriláteros

Podemos perceber os quadriláteros em muitas situações que vivenciamos, por exemplo, ao ler um livro ou ler um texto na tela do computador, na bandeirada final de uma corrida, em um jôgo de xadrez.

Fotografia. Homem de boné, fone de ouvido ao redor da cabeça e camiseta branca, está com o corpo inclinado para frente segurando uma bandeira quadriculada em branco e preto.

Fotografia. Vista do alto de um menino e uma menina sentados no chão jogando xadrez em tabuleiro quadriculado.

(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)

Quadriláteros são polígonos de quatro lados.

Ilustração. Mulher de cabelos compridos, castanhos e ondulados e camiseta roxa. Ela diz: 'Neste capítulo, vamos estudar mais detalhadamente as propriedades dos quadriláteros.'

Elementos dos quadriláteros

Considere os quadriláteros a seguir.

Ilustração. Quadrilátero ABCD com diagonais AC e BD destacadas.

No quadrilátero a bê cê dê, destacamos:

• os vértices a, B, C e D;

• os lados

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D A}

;

• as diagonais

\overline{A C}

\overline{B D}

;

• os lados consecutivos

\overline{A B} e \overline{B C}

\overline{B C} e \overline{C D}

\overline{C D} e \overline{D A}

\overline{D A} e \overline{A B}

;

• os lados opostos

\overline{A B} e \overline{C D}

\overline{B C} e \overline{A D}

No quadrilátero érre ésse tê ú, destacamos:

• os ângulos internos

\hat{i}

1 ,

\hat{i}

2 ,

\hat{i}

3 e

\hat{i}

4 ;

• os ângulos consecutivos

\hat{i}

1 e

\hat{i}

2 ,

\hat{i}

2 e

\hat{i}

3 ,

\hat{i}

3 e

\hat{i}

4 ,

\hat{i}

4 e

\hat{i}

• os ângulos opostos

\hat{i}

1 e

\hat{i}

3 ,

\hat{i}

2 e

\hat{i}

• os ângulos externos

\hat{e}

1 ,

\hat{e}

2 ,

\hat{e}

3 e

\hat{e}

Respostas e comentários

1. Quadriláteros

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um quatro.

Trabalhar demostração de propriedades dos quadriláteros por meio da congruência de triângulos possibilita ao estudante o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero oito ême ah um quatro).

Inicialmente, proponha aos estudantes que, em grupos, confeccionem cartazes nos quais apresentem:

• o que são quadriláteros, com desenhos de exemplos;

• os principais elementos de um quadrilátero;

• o que são quadriláteros convexos, com desenhos de exemplos e de contraexemplos (quadriláteros não convexos).

Em seguida, um representante de cada grupo apresenta o cartaz do grupo. Registre na lousa as conclusões da turma, ressaltando os temas que mais geraram dúvidas. Desse modo, espera-se que os estudantes ampliem e consolidem os conhecimentos construídos acerca de quadriláteros:

• Quadrilátero é um polígono de 4 lados. Tem 4 vértices, 4 ângulos internos e 4 ângulos externos.

• A convexidade de um quadrilátero pode ser verificada constatando que existem quadriláteros cujo prolongamento dos lados não cruza seu interior; nesse caso, os quadriláteros são convexos. Quando há lados cujo prolongamento cruza o interior do quadrilátero, ele é não convexo.

Ilustração. Trapézio laranja com linhas pontilhadas prolongando cada um dos lados da figura. — Quadrilátero convexo

Ilustração. Quadrilátero semelhante a uma ponta de seta para direita, com linhas pontilhadas prolongando cada um dos lados da figura. — Quadrilátero não convexo

• A diagonal de um quadrilátero é todo segmento de reta cujas extremidades são vértices não consecutivos do quadrilátero (ou seja, não é um de seus lados). Todo quadrilátero tem duas diagonais.

Reproduza na lousa o quadrilátero RSTU apresentado nesta página e destaque os ângulos internos e os ângulos externos. Explique aos estudantes que o nosso estudo será feito considerando sempre quadriláteros convexos.

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Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Desenhe um quadrilátero qualquer em uma folha de papel. Marque os ângulos internos desse quadrilátero, cada um com uma côr diferente. Recorte o quadrilátero separando os quatro ângulos internos.

Ilustração. Vista de cima de uma menina de cabelo ruivo, tiara amarela e camiseta rosa sentada de frente para uma mesa, desenhando em uma folha branca um trapézio com ângulos internos destacados em 4 cores diferentes.

Reúna os ângulos internos em tôrno de um dos vértices do quadrilátero, justapondo seus lados de modo que se obtenha um único ângulo, cuja medida será a soma das medidas dos quatro ângulos internos.

Qual é o valor dessa soma? Justifique.

(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Sabendo que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180graus, demonstre que a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360graus.

2 Considere o quadrilátero ême êne pê quê.

Ilustração. Quadrilátero MNPQ. Ângulos internos relativos aos vértices: M: 80 graus; N: xis grau; P: 105 graus; Q: 108 graus. Ângulo externo relativo ao vértice: Q: ípsilon grau.

Calcule no caderno:

a) a medida x do ângulo

\hat{N}

;

b) o valor de y.

3 Com o auxílio de régua e transferidor, desenhe no caderno um quadrilátero que tenha:

a) dois ângulos internos opostos congruentes medindo 90graus;

b) dois ângulos internos opostos congruentes, medindo 90graus, e quatro lados congruentes;

c) dois ângulos internos opostos congruentes, medindo 90graus, e quatro lados congruentes de 6 centímetros.

Em cada item, quantos quadriláteros diferentes com essas características é possível construir?

4 Três dos ângulos internos de um quadrilátero medem, respectivamente, 104graus, 97graus e 53graus. Calcule a medida do quarto ângulo desse quadrilátero.

5 Em um quadrilátero, os ângulos internos medem, respectivamente, x, x + 40graus, x + 80graus e 3x. Calcule o valor de x, em grau.

6 Em um quadrilátero ABCD, medida do(

\hat{A}

) = medida do(

\hat{B}

), medida do(

\hat{B}

) = 3 ⋅ medida do(

\hat{C}

) e medida do(

\hat{D}

) = 2 ⋅ medida do(

\hat{C}

). Calcule a medida dos ângulos

\hat{C}

\hat{A}

7 Em um quadrilátero a bê cê dê, temos:

• medida do(

\hat{A}

) = 108graus

• medida do(

\hat{B}

) = 76graus

• medida do(

\hat{C}

) = 92graus

Calcule a medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos

\hat{C}

\hat{D}

8 Com o auxílio de régua, transferidor e compasso, desenhe um quadrilátero a bê cê dê que tenha os quatro lados congruentes (com a medida que você quiser) e um ângulo de 70graus.

a) Qual é a medida dos outros ângulos internos?

b) Trace as diagonais que se intersectam no ponto M. Qual é a medida do ângulo que elas formam?

c) Meça

\overline{A M}

\overline{B M}

\overline{C M}

\overline{D M}

e responda: qual é a relação do ponto M com a diagonal maior? E com a diagonal menor?

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca.)

Respostas e comentários

Pense mais um poucoreticências: O valor é 360graus. Resposta possível: Ao juntar os quatro ângulos em torno de um dos vértices do quadrilátero, obtemos o giro de uma volta completa, que corresponde a 360graus.

1. Demonstração. Espera-se que os estudantes iniciem traçando uma das diagonais do quadrilátero.

2. a) x = 67graus

2. b) y = 72graus

3. a) Construção de figura. Resposta possível: quadrado.

3. b) Construção de figura. Quadrado.

3. c) Construção de figura. Com quatro ângulos medindo 90graus e quatro lados medindo 6 centímetros, existe um único quadrado.

4. 106graus

5. x = 40graus

6. medida do(

\hat{C}

) = 40graus e medida do(

\hat{A}

) = 120graus.

7. 92graus

8. a) 70graus; 110graus e 110graus.

8. b) 90graus

8. c) M é ponto médio da diagonal maior e da diagonal menor.

Pense mais um poucoreticências

Uma boa maneira de iniciar o estudo de um conceito é com uma atividade na qual os estudantes manipulem modelos concretos. Esta seção contempla esse tipo de abordagem, pois explora uma propriedade importante de um quadrilátero: a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360graus.

Nesta atividade, os estudantes recortam os ângulos internos de um quadrilátero desenhado em papel e, analogamente ao que já foi feito para a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, justapõem as partes em tôrno de um vértice com o objetivo de verificar o valor da soma das medidas desses ângulos.

Exercícios propostos

Uma possível demonstração para o exercício 1 é dada a seguir. Nela é utilizada apenas uma diagonal para dividir o quadrilátero em dois triângulos, resultando diretamente na verificação de que a soma das medidas dos ângulos internos do quadrilátero é igual à soma das medidas dos ângulos internos desses dois triângulos (2 · 180graus = 360graus).

Observe a resolução:

Hipótese: ABCD é um quadrilátero

Tese: medida do(

\hat{A}

) + medida do(

\hat{B}

) + medida do(

\hat{C}

) + medida do(

\hat{D}

) = 360graus

Ilustração. Quadrilátero ABCD qualquer. Destaque para a diagonal de A até C e para os ângulos internos dos dois triângulos que compõe o quadrilátero.

• Demonstração

Tomemos o quadrilátero a bê cê dê e tracemos sua diagonal

\overline{A C}

No triângulo á bê cê, temos: medida do(B

\hat{A}

C) + medida do(A

\hat{B}

C) + medida do(A

\hat{C}

B) = 180graus

No triângulo ACD, temos: medida do(D

\hat{A}

C) + medida do(A

\hat{C}

D) + medida do(C

\hat{D}

A) = 180graus

Logo, [medida do(B

\hat{A}

C) + medida do(A

\hat{B}

C) + medida do(A

\hat{C}

B)] + [medida do(D

\hat{A}

C) + medida do(A

\hat{C}

D) + medida do(C

\hat{D}

A)] = 180graus + 180graus

[medida do(B

\hat{A}

C) + medida do(D

\hat{A}

C)] + [medida do(A

\hat{C}

B) + medida do(A

\hat{C}

D)] + medida do(A

\hat{C}

C) + medida do(C

\hat{D}

A) = 360graus

medida do(B

\hat{A}

D) + medida do(A

\hat{B}

C) + medida do(B

\hat{C}

D) + medida do(C

\hat{D}

A) = 360graus

As resoluções dos exercícios 2 a 8 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.

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PARA SABER MAIS

Polígonos e proporcionalidade

Já conhecemos as fórmulas da soma S_i das medidas dos ângulos internos e da soma S_e das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados.

Fórmula. S i, igual a abre parênteses, n menos 2, fecha parênteses vezes 180 graus

Vamos examinar se existe proporcionalidade entre essas grandezas (Si e Se ) e o número n de lados dos polígonos. Em outras palavras, vamos verificar se, dobrando o número de lados, também dobra o valor de Si e o valor de Se ; se, triplicando o número de lados, também triplica o valor de Si e o valor de Se etcétera Enfim, se as grandezas Si e n formam proporções e se as grandezas Se e n formam proporções.

Observe a seguir o quadro das somas das medidas dos ângulos internos e dos ângulos externos de um polígono.

Soma das medidas dos ângulos de polígonos
Polígono	n	Si	Se
Triângulo	3	$S i 3$ = (3 − 2) ⋅ 180° = 180°	$S i 3$ = 360°
Quadrilátero	4	$S i 4$ = (4 − 2) ⋅ 180° = 360°	$S i 4$ = 360°
Pentágono	5
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Copie no caderno o quadro apresentado e complete-o.

2 Considerando o quadro que você completou, responda às questões a seguir.

a) Qual polígono tem S_i igual ao dôbro de S_i₃? Qual polígono tem Se igual ao dôbro de Se₃?

b) Qual polígono tem S_i igual ao triplo de S_i₃? Qual polígono tem Se igual ao triplo de Se₃?

3 Comparando dois polígonos, um de n lados e outro de 2n lados, responda às questões.

a) S_i₆ é o dôbro de S_i₃? E Se₆ é o dôbro de Se₃?

b) S_i8 é o dôbro de S_i₄? E Se8 é o dôbro de Se₄?

c) S_i₁₀ é o dôbro de S_i₅? E Se₁₀ é o dôbro de Se₅?

d) S_i₆ é o triplo de S_i₂? E Se₆ é o triplo de Se₂?

e) S_i₉ é o triplo de S_i₃? E Se₉ é o triplo de Se₃?

4 Considerando as suas respostas às atividades 2 e 3, você diria que as grandezas S_i e n formam proporções? E as grandezas Se e n formam proporções?

Respostas e comentários

1. Construção de quadro.

2. a) Quadrilátero; nenhum.

2. b) Pentágono; nenhum.

3. a) Não; não.

3. b) Não; não.

3. c) Não; não.

3. d) Não; não.

3. e) Não; não.

4. Espera-se que os estudantes concluam que nem as grandezas ésse minúsculo_i e n, nem as grandezas ésse minúsculo_e e n formam proporções.

Para saber mais

Esta seção trata de uma situação na qual analisamos se as grandezas envolvidas são ou não proporcionais, trabalhando com a soma das medidas dos ângulos de polígonos.

A relação entre o número de lados de um polígono e a soma das medidas dos ângulos internos exemplifica a não proporcionalidade, o que, por contraposição, reforça o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero oito ême ah um dois) e (EF08MA13).

Apresentar aos estudantes situações em que não há proporcionalidade é mais uma maneira de compreenderem grandezas proporcionais. É como apresentar-lhes o avesso para que entendam o direito.

As resoluções das atividades 1 a 4 do Agora é com você! estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.

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2. Paralelogramos

Para compor a obra reproduzida a seguir, o artista brasileiro Hélio Oiticica (1937-1980) usou diferentes figuras que dão a ideia de paralelogramos. Observe-as.

Pintura. Retângulo marrom com diversos paralelogramos vermelhos de tamanhos variados e em posições variadas próximos uns dos outros. — OITICICA, H. Metaesquema 295. 1958. 1 guache sobre cartão, 52,5 por 63,9 centímetros. Coleção Galeria LURIXS.

Paralelogramos são quadriláteros que têm os lados opostos paralelos.

Na figura a seguir,

\overline{A B} ⫽ \overline{C D}

\overline{A D} ⫽ \overline{B C}

. Logo, o quadrilátero a bê cê dê é um paralelogramo.

Ilustração. Paralelogramo ABCD. Segmento de reta vertical tracejado do ponto D até lado AB, no ponto H, formando um ângulo reto entre a linha tracejada e o lado AB. O segmento DH é indicado como altura. O segmento AB é indicado como base.

O lado

\overline{A B}

é uma base do paralelogramo, e o segmento

\overline{D H}

é uma altura do paralelogramo relativa a essa base.

Ilustração. Homem negro, de cabelo preto liso e camisa verde. Ele diz: 'Note que podemos considerar outras bases (segmento de reta BC, segmento de reta CD e segmento de reta DA) e outras alturas (infinitas) do paralelogramo.'

Entre os paralelogramos, destacam-se três casos particulares.

Retângulos: paralelogramos que têm os quatro ângulos congruentes (retos).

Ilustração. Retângulo ABCD. Quadrilátero com quatro ângulos retos e lados opostos paralelos.

Losangos: paralelogramos que têm os quatro lados congruentes.

Ilustração. Losango ABCD. Quadrilátero com quatro lados de mesma medida de comprimento.

Quadrados: paralelogramos que têm os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes (retos).

Ilustração. Quadrado ABCD. Quadrilátero com quatro ângulos retos e quatro lados de mesma medida de comprimento.

Assim, todo quadrado é um retângulo e, também, é um losango.

Respostas e comentários

2. Paralelogramos

Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um quatro, ê éfe zero oito ême ah um cinco, ê éfe zero oito ême ah um sete e ê éfe zero oito ême ah um nove.

Ao trabalhar a demostração de propriedades dos quadriláteros por meio da congruência de triângulos, o estudante desenvolve a habilidade (ê éfe zero oito ême ah um quatro). Ao construir mediatriz, bissetriz e aplicar esses conceitos na resolução de problemas, favorece o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero oito ême ah um cinco) e (EF08MA17). A aplicação de expressões para o cálculo de medidas de área de figuras geométricas e a resolução e elaboração de problemas envolvendo medidas de área possibilitam o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero oito ême ah um nove).

A primeira classe de quadriláteros que vamos estudar é a dos paralelogramos. Inicialmente, é importante retomar com os estudantes a classificação dos quadriláteros quanto ao paralelismo de seus lados:

• paralelogramos: quadriláteros que têm dois pares de lados paralelos (ou seja, têm os lados opostos paralelos);

• trapézios: quadriláteros que têm apenas dois pares de lados paralelos (ou seja, têm dois lados paralelos e dois lados não paralelos);

• quadriláteros que não são nem trapézios nem paralelogramos: aqueles que não têm lados paralelos.

Peça a alguns estudantes que desenhem na lousa exemplos de paralelogramos observando a característica que fórma esse grupo de quadriláteros. Espera-se que surjam diferentes tipos de paralelogramo. Em cada um deles, destaque uma base e a altura relativa a essa base. Ressalte o ângulo reto determinado ao traçar cada altura.

Faça desenhos de paralelogramos na lousa, destacando retângulos, losangos e quadrados. Peça aos estudantes que descrevam as características de cada um. Desse modo, eles expõem o que já sabem sobre essas figuras. Complemente, então, com as características que não surgirem.

Sugestão de leitura

Para ampliar e enriquecer a discussão com os estudantes, sugerimos:

NUNES, K. R. A. Tecendo Matemática com Arte. Associação Nacional dos Professores de Matemática na Educação Básica. Disponível em: https://oeds.link/GqnXGR. Acesso em: 10 junho 2022.

O artigo discute algumas relações entre Matemática e Arte e apresenta propostas para o trabalho de conceitos matemáticos por meio do estudo e da análise de obras de arte, fazendo com que a sala de aula se transforme em um ambiente de argumentação, pesquisa e construção de conhecimentos, e estimulando a criatividade dos estudantes.

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Propriedades dos paralelogramos

1ª propriedade

Ilustração. Mulher branca, cabelo ruivo, de camiseta roxa. Ela fala: 'Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.'

Ilustração. Paralelogramo ABCD. Diagonal de A até C, divide o ângulo A nos ângulos 1 (ângulo BAC) e 2 (ângulo CAD), e o ângulo C nos ângulos 3 (ângulo ACB) e 4 (ângulo ACD).

Esquema. Hipótese: ABCD é um paralelogramo.

Esquema. Tese: o segmento de reta AB é congruente ao segmento de reta CD e o segmento de reta BC é congruente ao segmento de reta AD.

• Demonstração

Traçando a diagonal

\overline{A C}

, decompomos o paralelogramo a bê cê dê nos triângulos á bê cê e cê dê á. Analisando os elementos desses triângulos, temos:

•

\hat{1} ≅ \hat{4}

(ângulos alternos internos formados pelos segmentos paralelos

\overline{A B}

\overline{C D}

com a diagonal

\overline{A C}

);

•

\overline{A C} ≅ \overline{A C}

(lado comum);

•

\hat{3} ≅ \hat{2}

(ângulos alternos internos formados pelos segmentos paralelos

\overline{A D}

\overline{B C}

com a diagonal

\overline{A C}

Pelo caso ângulo-lado-ângulo, os triângulos á bê cê e cê dê á são congruentes. Portanto:

\overline{A B} ≅ \overline{C D}

\overline{B C} ≅ \overline{A D}

2ª propriedade

Ilustração. Mulher branca, cabelo ruivo, de camiseta roxa. Ela fala: 'Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.'

Esquema. Tese: o ângulo B é congruente ao ângulo D e o ângulo A é congruente ao ângulo C.

Respostas e comentários

Propriedades dos paralelogramos

Ressalte a inclusão dos tipos especiais de paralelogramos antes de iniciar o estudo de suas propriedades.

Fluxograma. PARALELOGRAMOS. Uma setas para baixo indicam as figuras: Paralelogramo (ilustração de um paralelogramo vermelho); Retângulo (ilustração de um retângulo marrom); e Losango (ilustração de um losango verde). Das figuras do retângulo e do losango, parte uma seta para baixo que indica: Quadrado (ilustração de um quadrado roxo).

Analise o diagrama com os estudantes, de modo que reconheçam que retângulos, losangos e quadrados são paralelogramos e que quadrados são retângulos e também losangos. Registre em um cartaz o que caracteriza cada tipo de paralelogramo e afixe-o na sala de aula, possibilitando que os estudantes o consultem quando necessário.

• Paralelogramo: quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

• Retângulo: paralelogramo que tem 4 ângulos internos retos.

• Losango: paralelogramo que tem 4 lados de mesma medida.

• Quadrado: paralelogramo que tem os 4 ângulos internos retos e os 4 lados de mesma medida (é um retângulo e é um losango).

Ressalte para os estudantes que toda propriedade válida para paralelogramos é válida também para retângulos, losangos e quadrados, pois estes também são paralelogramos.

A primeira propriedade tratada é: “Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes”. Reproduza na lousa a demonstração, fazendo cada etapa com os estudantes.

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• Demonstração

Traçando a diagonal

\overline{A C}

, decompomos o paralelogramo a bê cê dê nos triângulos á bê cê e cê dê á. Por raciocínio análogo à demonstração da 1ª propriedade, analisando os elementos dos triângulos obtidos, á bê cê e cê dê á, concluímos, pelo caso ângulo-lado-ângulo, que os triângulos á bê cê e cê dê á são congruentes. Portanto,

\hat{B} ≅ \hat{D}

. Se traçarmos a diagonal

\overline{B D}

, demonstraremos que

\hat{A} ≅ \hat{C}

3ª propriedade

Ilustração. Mulher branca, cabelo ruivo, de camiseta roxa. Ela fala: 'As diagonais de um paralelogramo se intersectam nos respectivos pontos médios.'

Ilustração. Paralelogramo ABCD e diagonais AC e BD que se intersectam em M, no centro. Ângulo BCM nomeado como 1, ângulo MAD nomeado como 2, ângulo CBM nomeado como 3, ângulo MDA nomeado como 4.

Esquema. Tese: o segmento de reta AM é congruente ao segmento de reta MC e o segmento de reta BM é congruente ao segmento de reta MD.

• Demonstração

Comparando os elementos dos triângulos bê ême cê e dê ême ah, temos:

•

\hat{1} ≅ \hat{2}

(ângulos alternos internos formados pelos segmentos paralelos

\overline{A D}

\overline{B C}

com a diagonal

\overline{A C}

);

•

\overline{A D} ≅ \overline{B C}

(lados opostos de um paralelogramo demonstrado na 1ª propriedade);

•

\hat{3} ≅ \hat{4}

(ângulos alternos internos formados pelos segmentos paralelos

\overline{A D}

\overline{B C}

com a diagonal

\overline{B D}

Logo, pelo caso ângulo-lado-ângulo, os triângulos bê ême cê e dê ême ah são congruentes. Portanto:

\overline{A M} ≅ \overline{M C}

\overline{B M} ≅ \overline{M D}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

9 Observe os paralelogramos e, considerando as propriedades estudadas, determine:

a) x e y;

Ilustração. Losango com ângulos: 60 graus, y grau (oposto à 60 graus) e x grau.

b) Érre ésse, érre ú, MR e RT.

Ilustração. Paralelogramo RSTU. Diagonal SU e diagonal RT se cruzam no centro, no ponto M. Segmento de reta MT mede 6 centímetros. Segmento de reta TS mede 5 centímetros. Segmento de reta TU mede 8 centímetros.

10 Um dos ângulos agudos de um paralelogramo mede 74graus. Calcule a medida de um dos ângulos obtusos desse paralelogramo.

Respostas e comentários

9. a) x = 120graus e y = 60graus.

9. b) 8 centímetros, 5 centímetros, 6 centímetros, 12 centímetros.

10. 106graus

Propriedades dos paralelogramos

Nesta página, demonstramos outras duas propriedades dos paralelogramos:

• Os ângulos internos opostos de um paralelogramo são congruentes.

• As diagonais de um paralelogramo se cruzam nos respectivos pontos médios.

Antes de apresentar aos estudantes as demonstrações, organize-os em duplas e peça que demonstrem cada propriedade. Com base no que já estudaram da primeira propriedade e em estudos anteriores, é esperado que eles desenvolvam tais demonstrações. Depois, discuta com a turma o que cada dupla fez e, se julgar necessário, reproduza na lousa a demonstração do livro.

Exercícios propostos

Apresentamos aqui uma possível resolução do exercício 9.

a) Pela 2ª propriedade, obtemos y = 60graus. Pelo fato de os lados de um paralelogramo serem paralelos, os ângulos de medidas x e y são ângulos colaterais internos, portanto suplementares; assim, x = 120graus.

b) Aplicando a 3ª propriedade, obtemos: MR = MT = 6 centímetros RT = RM + MT = 12 centímetros Aplicando a 1ª propriedade, obtemos: érre ú = ésse tê = 5 centímetros Érre ésse = ú tê = 8 centímetros

A resolução do exercício 10 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.

Página 199

11 Em um losango, um dos ângulos mede 125graus. Determine a medida de um dos ângulos agudos desse losango.

12 Nos paralelogramos a seguir, calcule x e y.

Ilustração. Paralelogramo. Ângulo: 5x menos 20 graus; oposto a ele, o ângulo: 4x mais 10 graus. E o ângulo y grau.

Ilustração. Paralelogramo com duas diagonais que se cruzam no centro, formando dois triângulos (superior e inferior). No triângulo superior formado pelo cruzamento das diagonais, os ângulos (não centrais): 30 graus e y grau. no triângulo inferior, o ângulo central: 83 graus e o ângulo inferior direito do triângulo x grau.

13 Em um paralelogramo, um dos ângulos externos mede 108graus. Calcule as medidas dos ângulos internos desse paralelogramo.

14 No paralelogramo a seguir, medida do(

\hat{B}

) = 80graus,

\vec{B M}

é bissetriz do ângulo

\hat{B}

\vec{A M}

é bissetriz do ângulo

\hat{A}

. Calcule a medida do ângulo

A \hat{M} B

Ilustração. Paralelogramo ABCD. Semirreta partindo de A e semirreta partindo de B se cruzam no ponto M interno ao paralelogramo. Indicação dos ângulos DAM, MAB, ABM e MBC.

15 Construa um paralelogramo cujas diagonais meçam 4,2 centímetros e 5,6 centímetros e formem entre si um ângulo de 110graus.

16 Considere os paralelogramos a bê cê dê e ê éfe gê agá a seguir.

Ilustração. Paralelogramo ABCD. Diagonal de BD destacada. Ângulo CBD com medida de 30 graus. Ângulo BCD com medida de 110 graus. Lado AD com medida de 3 centímetros. Ilustração. Paralelogramo EFGH. Diagonal de FH destacada. Ângulo GFH com medida de 30 graus. Ângulo FGH com medida de 110 graus. Lado EH com medida de 3 centímetros.

Esses paralelogramos são congruentes? Justifique sua resposta.

17 Agora, considere os paralelogramos éle ême êne ó e PQRS a seguir.

Ilustração. Paralelogramo LMNO. Ângulo LMN com medida de 80 graus. Ângulo MNO com medida de 100 graus. Lado LO com medida de 3 centímetros. Ilustração. Paralelogramo PQRS. Ângulo PQR com medida de 80 graus. Ângulo QRS com medida de 100 graus. Lado PS com medida de 3 centímetros.

Podemos afirmar que esses paralelogramos são congruentes? Justifique sua resposta.

Ícone de Atividade em dupla ou em grupo.

Hora de criar – Em dupla, cada um cria um problema sobre uma das propriedades do paralelogramo. Troquem de caderno e, depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

Propriedade dos retângulos

Ilustração. Homem branco, de cabelo curto loiro e camisa azul. Ele fala: 'As diagonais de um retângulo são congruentes.'

Ilustração. Retângulo ABCD com as diagonais AC e BD destacadas.

Tese: o segmento de reta AC é congruente ao segmento de reta BD.

Respostas e comentários

11. 55graus

12. a) x = 30graus

y = 50graus

12. b) x = 67graus

y = 67graus

13. 72graus, 72graus, 108graus, 108graus.

14. 90graus

15. Construção de figura.

16. Sim, pois △bê cê dê ≅ △éfe gê agá pelo caso ângulo-lado-ângulo. Consequentemente,

\overline{D C} ≅ \overline{H G}

17. Não, pois não temos as medidas de

\overline{O N}

\overline{S R}

18. Resposta pessoal.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 11 a 13 e dos exercícios 16 a 18 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.

No exercício 14, a medida do ângulo A

\hat{M}

B independe da medida dada (80graus) para o ângulo

\hat{B}

. Explore esse exercício pedindo aos estudantes que repitam a resolução, inicialmente, atribuindo a medida 70graus ao ângulo, depois 60graus e depois uma medida qualquer a ser escolhida por eles. Apresente a demonstração da proposição a seguir ou solicite a eles que a apresentem.

As bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo formam, com o lado comum a esses ângulos, um triângulo retângulo, sendo esse lado a hipotenusa.

Hipótese:

\{\begin{cases} A B C D é um paralelogramo \\ \vec{A M} é a bissetriz do ângulo interno \\ \vec{B M} é a bissetriz do ângulo interno \end{cases}

Tese: O triângulo á ême bê é um triângulo retângulo com hipotenusa

\overline{A B} .

• Demonstração

Tomemos o paralelogramo a bê cê dê e tracemos as bissetrizes dos ângulos B

\hat{A}

D e A

\hat{B}

Vamos representar medida do(B

\hat{A}

D) por x. Então:

medida do(A

\hat{B}

C) = (180graus ‒ x)

medida do(B

\hat{A}

M) =

\frac{x}{2}

medida do(A

\hat{B}

M) =

\frac{180 ° ‒ x}{2}

Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180graus, obtemos:

medida do(B

\hat{A}

M) + medida do(A

\hat{B}

M) + medida do(A

\hat{M}

B) = 180graus

\frac{x}{2}

\frac{180 ° ‒ x}{2}

+ medida do(A

\hat{M}

B) = 180graus

\frac{x + 180 ° ‒ x}{2}

+ medida do(A

\hat{M}

B) = 180graus 90graus + medida do(A

\hat{M}

B) = 180graus medida do(A

\hat{M}

B) = 90graus

Portanto, o triângulo á ême bê é retângulo em M, ou seja,

\overline{A B}

é a hipotenusa.

Para o exercício 15, segue uma possível resolução.

Usando uma régua, traçamos um segmento

\overline{A C}

cuja medida é 5,6 centímetros e marcamos o seu ponto médio M.

Com um transferidor, construímos um ângulo de 110graus, com vértice em M, e traçamos uma reta r. Nela, marcamos os pontos B e D, de modo que BD = 4,2 centímetros, com M seu ponto médio.

Os pontos a, B, C e D são os vértices do paralelogramo.

Ilustração. Paralelogramo ABCD com reta r passando pela diagonal BD, que cruz com a diagonal AC no ponto M. O ângulo BMC tem medida de 110 graus.

Página 200

• Demonstração

Traçando as diagonais

\overline{A C}

\overline{B D}

no retângulo a bê cê dê, ele pode ser decomposto nos triângulos á bê dê e bê á cê.

Ilustração. Triângulo ABD, com ângulo reto no vértice A. Ao lado, triângulo BAC, com ângulo reto no vértice B. Há uma indicação de dois tracinhos nos lados BD e AC em ambos os triângulos.

Comparando os elementos desses triângulos, temos:

•

\overline{A D} ≅ \overline{B C}

(lados opostos de um paralelogramo);

•

\hat{A} ≅ \hat{B}

(ângulos retos);

•

\overline{A B} ≅ \overline{A B}

(lado comum).

Logo, pelo caso lado ângulo lado, os triângulos á bê dê e bê á cê são congruentes. Portanto,

\overline{A C} ≅ \overline{B D}

Propriedade dos losangos

Ilustração. Homem branco, de cabelo curto loiro e camisa azul. Ele fala: 'As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.'

Ilustração. Losango ABCD com as diagonais AC e BD que se cruzam no ponto M. Em A, ângulos internos 1 (ângulo BAM) e 2 (ângulo DAM). O ângulo AMB foi denotado por M1 e o ângulo AMD foi denotado por M2. Os lados AB e AD estão indicados com mesma medida de comprimento. Os segmentos BM e MD estão indicados com mesma medida de comprimento.

Esquema. Tese: o segmento de reta AC é perpendicular ao segmento de reta BD e o ângulo 1 é congruente ao ângulo 2.

• Demonstração

Analisando os elementos dos triângulos á ême bê e á ême dê, obtidos ao traçarmos as diagonais no losango a bê cê dê, temos:

•

\overline{A B} ≅ \overline{A D}

(lados de um losango);

•

\overline{B M} ≅ \overline{M D}

(M é ponto médio de

\overline{B D}

);

•

\overline{A M} ≅ \overline{A M}

(lado comum);

Logo, pelo caso lado lado lado, os triângulos á ême bê e á ême dê são congruentes. Portanto:

•

\hat{1} ≅ \hat{2}

, o que prova que

\vec{A C}

é bissetriz do ângulo

\hat{A}

;

•

\hat{M}

1 ≅

\hat{M}

2, que, por serem suplementares, são retos, o que prova que

\overline{A C}

⟂

\overline{B D}

Por raciocínio análogo, prova-se que

\vec{C A}

é bissetriz do ângulo

\hat{C}

\vec{B D}

é bissetriz do ângulo

\hat{B}

\vec{D B}

é bissetriz do ângulo

\hat{D}

Respostas e comentários

Propriedade dos retângulos e propriedade dos losangos

Na sequência, apresentamos propriedades específicas de retângulos e de losangos:

• As diagonais de um retângulo são congruentes.

• As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.

Ressalte que essas propriedades também são válidas para um quadrado, visto que todo quadrado pode ser classificado como retângulo e como losango.

As demonstrações dessas propriedades estão apresentadas de maneira compreensível e bem fundamentada. No entanto, os estudantes podem fazer verificações por meio de modelos desenhados em papel, recortados e convenientemente dobrados segundo suas diagonais, suas bissetrizes, suas mediatrizes; ou por superposição de seus elementos (lados e ângulos). Solicite aos estudantes que levem para a sala de aula vários paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados recortados em papel. Lembre-os de que devem usar tesouras de pontas arredondadas e manuseá‑las com cuidado. Programando-se dessa maneira, é suficiente usar parte de uma aula para essas verificações. Convém observar aos estudantes que verificação não é o mesmo que demonstração.

Página 201

Propriedades dos quadrados

O quadrado é, ao mesmo tempo, um retângulo e um losango, portanto apresenta as propriedades desses dois paralelogramos.

Ilustração. Homem branco, de cabelo curto loiro e camisa azul. Ele fala: 'As diagonais de um quadrado são congruentes, perpendiculares entre si no ponto médio e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.'

Ilustração. Quadrado com duas diagonais que se cruzam no centro, formando 4 ângulos retos. Indicação de medidas de comprimento iguais entre os lados do quadrado. Indicação de medidas de comprimento iguais entre os segmentos compostos pelo vértice do quadrado e o ponto de encontro das diagonais.

Observação

▶ Um paralelogramo que não é retângulo tem diagonais não congruentes.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

19 Nos quadriláteros a seguir, determine x e y.

Ilustração. Quadrilátero ABCD, com os 4 ângulos internos retos. As diagonais AC e BD se cruzam no centro. O segmento CD mede 8 centímetros. O segmento BC mede 6 centímetros. O segmento que vai do centro até o vértice D mede 5 centímetros. O segmento que vai do centro até o vértice C mede x centímetro. O segmento BD mede y centímetro.

Ilustração. Quadrilátero ABCD, com os 4 lados iguais. As diagonais AC e BD se cruzam no centro. O ângulo formado entre a diagonal maior e o segmento AD mede x grau. O ângulo formado entre a diagonal menor e o segmento CD mede 50 graus. O ângulo formado entre a diagonal menor e o segmento AB mede y grau.

Ilustração. Quadrilátero com os 4 lados iguais e os 4 ângulos retos. As diagonais se cruzam no centro. À direita, o ângulo entre as diagonais mede x grau. À esquerda, o ângulo interno da base do triângulo inferior (formado pelas diagonais) mede y grau.

20 As diagonais de um retângulo cortam-se formando um ângulo de 100graus. Determine a medida do menor ângulo que uma dessas diagonais fórma com um dos lados.

21 Corrija no caderno as sentenças falsas.

a) Em apenas alguns retângulos, as diagonais são congruentes.

b) As diagonais de um losango são perpendiculares entre si.

c) As diagonais dos retângulos são perpendiculares entre si.

d) As diagonais de um quadrado não formam, entre si, ângulo de 90graus.

e) As diagonais de um quadrado formam com os lados ângulos de 45graus.

22 A diagonal de um losango fórma, com um dos lados, um ângulo de medida igual a 35graus. Calcule as medidas dos ângulos desse losango.

23 Usando régua e compasso, construa um quadrado cujas diagonais meçam 5,6 centímetros. Com a régua, determine a medida do lado, em milímetro.

Calcule a medida da área desse quadrado, em milímetro quadrado.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca.)

24 Cada diagonal de um retângulo mede 5 centímetros. Elas cortam-se formando um ângulo de medida igual a 60graus. Usando régua, transferidor e compasso, construa esse retângulo, meça seus lados e determine a medida aproximada de sua área, em milímetro quadrado.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca.)

Respostas e comentários

19. a) x = 5 centímetros

y = 10 centímetros

19. b) x = 40graus

y = 50graus

19. c) x = 90graus;

y = 45graus.

20. 40graus

21. a) Falsa. Em todos os retângulos, as diagonais são congruentes.

21. b) Verdadeira.

21. c) Falsa. As diagonais de alguns retângulos são perpendiculares entre si.

21. d) Falsa. As diagonais de um quadrado sempre formam, entre si, ângulo de 90graus.

21. e) Verdadeira.

22. 70graus, 70graus, 110graus, 110graus.

23. Aproximadamente .1600 milímetros quadrados (considerando que a medida aproximada do lado seja 40 milímetros).

24. Aproximadamente .1075 milímetros quadrados.

Propriedades dos quadrados

Para os quadrados, basta considerar todas as propriedades anteriores:

• As diagonais de um quadrado são congruentes, perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 19 a 23 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.

Para a resolução do exercício 24, oriente os estudantes a fazerem uma figura construída à mão livre que contenha as informações do enunciado. Assim, eles percebem, por exemplo, que as diagonais do retângulo formam, com os lados menores, triângulos equiláteros; logo, o lado menor mede 2,5 centímetros, metade da medida da diagonal.

Ilustração. Retângulo dividido em quatro triângulos, pelo cruzamento de suas diagonais. Triângulo à esquerda indica três ângulos internos com medida de 60 graus. Triângulo inferior indica um ângulo da base com medida de 30 graus. Triângulo à direita indica um ângulo com medida de 60 graus.

Esse procedimento facilita e encaminha adequadamente a construção do retângulo com régua e compasso.

Ilustração. Retângulo vermelho e vértice indicados com pontos pretos. Sobre os vértices passam retas coincidentes as diagonais do retângulo. Há também uma reta tracejada passando pelo cruzamento das diagonais e marcações em formato de xis sobre a linha tracejada de cada lado do retângulo. Ângulo com medida de 60 graus entre as diagonais.

Medindo com a régua o retângulo construído, o estudante encontrará 43 milímetros para a medida da base e 25 milímetros para a medida da altura (aproximadamente). Assim:

Aretângulo ≃ 43 · 25

Aretângulo ≃ .1075

Portanto, a área desse retângulo mede aproximadamente .1075 milímetros quadrados.

Página 202

25 Em uma folha avulsa, com o auxílio de régua e de compasso, construa um losango cujas diagonais meçam 5,4 centímetros e 3,2 centímetros. Depois, recorte o contôrno dele e córte-o segundo as diagonais. Com os quatro triângulos obtidos, monte um retângulo e determine a medida de sua área. A medida da área do losango inicial é igual à medida da área do retângulo obtido? Determine a medida da área desse losango.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca. Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)

26 Desenhe os quadriláteros descritos a seguir e, depois, responda às perguntas.

a) Um quadrilátero cujos ângulos opostos sejam congruentes, pelo menos um deles sendo reto. Como você classifica esse quadrilátero?

b) Um quadrilátero em que pelo menos um dos ângulos não seja reto, sendo os lados opostos paralelos e congruentes. Como você classifica esse quadrilátero?

c) Um quadrilátero em que somente dois lados sejam paralelos e somente um dos ângulos seja reto.

27 Com base nas respostas do exercício anterior, faça o que se pede.

a) Você conseguiu desenhar um quadrilátero em todos os itens? Em caso negativo, em que item não conseguiu?

b) Compare suas respostas com as dos colegas. Houve divergências? Se sim, em quais itens? Como você explicaria?

Hora de criar – No caderno, faça um desenho com quadriláteros e redija instruções de modo que um colega possa construir o mesmo desenho. Troque seu texto com o de um colega e tentem fazer o desenho descrito pelo outro. Depois, comparem os desenhos.

Se houver divergências, analisem o caso e tentem descobrir o que poderia ter ocorrido.

29 Considere um retângulo a bê cê dê. Seja P um ponto de

\overline{A B}

. Trace por P uma reta paralela a

\overline{A D}

. Chame de Q o ponto em que essa reta intersecta

\overline{C D}

. Demonstre que

\overline{P Q}

⫽

\overline{B C}

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Alberto pinta painéis como este.

Ilustração. Painel retangular nas cores branco, azul e vermelho. O painel está dividido em dois outros retângulos brancos, um grande e um pequeno, cujas diagonais coincidem com a diagonal do painel retangular, formando então dois triângulos grandes e dois triângulos pequenos. Acima do retângulo grande e à esquerda do retângulo pequeno, dentro do painel, um retângulo azul. Abaixo do retângulo pequeno e à direita do retângulo grande, dentro do painel, um retângulo vermelho.

Duas latas com tintas, sendo uma com tinta azul e a outra com tinta vermelha. Acima das latas de tinta um pincel.

(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)

Para pintar o painel apresentado, Alberto gastou mais tinta azul ou vermelha? Justifique sua resposta.

3. Trapézios

Ilustração. Homem ruivo de camisa vermelha.
Ele fala: 'Agora, vamos falar dos quadriláteros que têm apenas dois de seus lados paralelos. Esses quadriláteros são chamados de trapézios.'

Os lados paralelos são chamados de bases do trapézio. Todo segmento que tem extremidades em uma base e na reta suporte da outra, perpendicular a elas, chama-se altura do trapézio.

Respostas e comentários

25. Sim. A área do losango mede 8,64 centímetros quadrados.

26. a) Respostas possíveis: retângulo ou quadrado.

26. b) Resposta possível: losango.

26. c) Não é possível construir esse quadrilátero.

27. a) Item c.

27. b) Respostas pessoais.

28. Resposta pessoal.

29.

\overline{P Q} ⫽ \overline{A D}

\overline{A D} ⫽ \overline{B C}

; logo,

\overline{P Q} ⫽ \overline{B C}

Pense mais um poucoreticências: Alberto gastou quantidades iguais de tinta azul e tinta vermelha. Demonstração.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 25 a 29 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.

Os exercícios 26 e 27 exigem reflexão e aplicação das propriedades do paralelogramo, do retângulo, do losango e do quadrado nas tentativas de construção das figuras pedidas com base nas instruções do enunciado.

O exercício 28 propõe uma situação contrária à dos exercícios 26 e 27. Nele, é o estudante quem estabelece as condições. Essa é uma boa oportunidade para constatar possíveis dificuldades na aprendizagem dos conceitos estudados.

Pense mais um poucoreticências

Apresentamos uma possível justificativa para o fato de as medidas das áreas da região azul e da região vermelha serem iguais. Para isso, consideremos o seguinte esquema:

Ilustração. Painel retangular ABCD nas cores branco, azul e vermelho. O painel está dividido em dois outros retângulos brancos, um grande e um pequeno, cujas diagonais coincidem com a diagonal do painel retangular, formando então dois triângulos grandes (regiões um e dois) e dois triângulos pequenos (regiões três e quatro). Acima do retângulo grande e à esquerda do retângulo pequeno, dentro do painel, um retângulo azul. Abaixo do retângulo pequeno e à direita do retângulo grande, dentro do painel, um retângulo vermelho.

Pode-se afirmar que o triângulo á bê cê é equivalente ao triângulo á dê cê, com medidas de área igual a m. Além disso, as regiões indicadas como um e dois são equivalentes e indicamos a medida da área delas como n e, ainda, as regiões três e quatro também são equivalentes e indicamos a medida da área delas como k.

Sejam x a medida da área em azul e y a da área em vermelho. Obtemos que:

x = m ‒ n ‒ k e y = m ‒ n ‒ k; logo, x = y.

Portanto, Alberto gastou quantidades iguais de tinta azul e de tinta vermelha para pintar o painel apresentado.

Página 203

No trapézio a bê cê dê, verificamos que os ângulos

\hat{A}

\hat{D}

, assim como os ângulos

\hat{B}

\hat{C}

, são colaterais internos formados pelas bases

\overline{A B}

\overline{C D}

com os lados não paralelos.

Ilustração. Trapézio ABCD. Quadrilátero ABCD em que os lados AB e CD são paralelos; e os lados AD e BC não são paralelos. Do vértice D parte um segmento de reta (tracejado) para o lado AB, no ponto H, perpendicular ao segmento AB. Esse segmento é indicado por altura. O lado AB é indicado por base maior. O lado CD é indicado por base menor.

Logo:

• medida do(

\hat{A}

) + medida do(

\hat{D}

) = 180graus

• medida do(

\hat{B}

) + medida do(

\hat{C}

) = 180graus

Destacamos três tipos de trapézio.

Trapézios isósceles: aqueles em que os lados opostos não paralelos são congruentes.

Ilustração. Trapézio ABCD em que: os lados AB e CD são paralelos não congruentes, e os lados AD e BC têm a mesma medida de comprimento.

Trapézios retângulos: aqueles que têm dois ângulos internos retos.

Ilustração. Trapézio ABCD em que: os lados AB e CD são paralelos não congruentes; e os ângulos BAD e ADC são retos.

Trapézios escalenos: aqueles que não têm ângulo reto e em que os lados opostos não paralelos não são congruentes.

Ilustração. Trapézio ABCD em que: os lados AB e CD são paralelos não congruentes, e os lados AD e BC têm medidas de comprimento diferentes.

Propriedades dos trapézios isósceles

1ª propriedade

Ilustração. Mulher negra, de cabelo castanho enrolado e camiseta amarela. Ela fala: 'Em um trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são congruentes.'

Ilustração. Trapézio ABCD com base maior AB, base menor CD, e dois lados não paralelos de mesma medida de comprimento. Reta tracejada de C até lado AB, no ponto E. Indicação de ângulo de mesmas medidas: BAD, ABC e BEC.

Esquema. Hipótese: ABCD é um trapézio isósceles e o segmento de reta AD é congruente ao segmento de reta BC.

Esquema. Tese: o ângulo A é congruente ao ângulo B.

• Demonstração

Traçando pelo ponto C um segmento paralelo a

\overline{A D}

, determinamos o ponto ê em

\overline{A B}

. Assim, temos:

•

\overline{A D} ≅ \overline{C E}

(são lados opostos de um paralelogramo);

•

\overline{A D} ≅ \overline{B C}

(pela hipótese);

•

\overline{C E} ≅ \overline{B C}

(

\overline{C E} ≅ \overline{A D} ≅ \overline{B C}

Logo, ECB é um triângulo isósceles e, portanto,

\hat{B} ≅ \hat{E}

. Como

\hat{E} ≅ \hat{A}

(ângulos correspondentes), temos

\hat{A} ≅ \hat{B}

(

\hat{B} ≅ \hat{E} ≅ \hat{A}

). Como medida do(

\hat{D}

) = 180graus ‒ medida do(

\hat{A}

), medida do(

\hat{C}

) = 180graus ‒ medida do(

\hat{B}

) e medida do(

\hat{A}

) = medida do(

\hat{B}

), temos medida do(

\hat{D}

) = medida do(

\hat{C}

). Logo,

\hat{D} ≅ \hat{C}

Respostas e comentários

3. Trapézios

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um quatro.

Neste tópico desenvolvemos um trabalho com a habilidade (EF08MA14) ao demonstrar propriedades de quadriláteros aplicando a congruência de triângulos.

Pergunte à turma em que os trapézios diferem dos paralelogramos. Assim, poderá verificar se os estudantes compreenderam a classificação dos quadriláteros discutida anteriormente. Desenhe na lousa quadriláteros diversos, dentre eles paralelogramos e trapézios de vários tipos. Em seguida, peça aos estudantes que identifiquem os trapézios, justificando suas escolhas.

Proponha a eles também que, entre os trapézios identificados, identifiquem as duas bases (maior e menor) e tracem uma altura de cada trapézio. Depois, podem classificá-los como trapézio isósceles, trapézio retângulo e trapézio escaleno.

Discuta com a turma a 1ª propriedade para trapézios isósceles: “Em um trapézio isósceles, os ângulos internos adjacentes à mesma base são congruentes”. Reproduza a demonstração na lousa e peça aos estudantes que justifiquem cada etapa.

Página 204

2ª propriedade

Ilustração. Mulher negra, de cabelo castanho enrolado e camiseta amarela. Ela fala: 'Em um trapézio isósceles, as diagonais são congruentes.'

Ilustração. Trapézio ABCD com base maior AB, base menor CD e dois lados não paralelos com mesma medida de comprimento. As diagonais AC e BD estão destacadas.

Esquema. Tese: Segmento de reta AC é congruente ao segmento de reta BD.

• Demonstração

Vamos destacar do trapézio a bê cê dê os triângulos á bê cê e bê á dê.

Ilustração. Triângulo ABC com destaques para o lado AC e para o ângulo B. Lado BC é destacado com um tracinho. Lado AB é destacado com dois tracinhos. Ilustração. Triângulo BAD com destaques para o lado BD e para o ângulo A. Lado AD é destacado com um tracinho. Lado AB é destacado com dois tracinhos.

Assim, temos:

•

\overline{B C} ≅ \overline{A D}

(pela hipótese);

•

\hat{B} ≅ \hat{A}

(ângulos adjacentes à base

\overline{A B}

do trapézio isósceles);

•

\overline{A B} ≅ \overline{A B}

(lado comum).

Logo, pelo caso lado ângulo lado, os triângulos á bê cê e bê á dê são congruentes. Portanto,

\overline{A C} ≅ \overline{B D}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

30 Calcule os valores de x e y, em grau, nos trapézios a seguir e classifique-os em escaleno, isósceles ou retângulo.

Ilustração. Trapézio em que: os lados paralelos não congruentes, e outros lados opostos têm medidas de comprimento diferentes. O trapézio tem ângulos internos com medidas: x, 2x, 3x e 4x graus. Ângulo externo ao ângulo 3x, medindo y grau.

Ilustração. Trapézio em que: os lados paralelos não são congruentes, e os outros dois lados opostos têm a mesma medida de comprimento. O ângulo interno direito da base maior mede x grau. O ângulo externo a ela mede y grau. O ângulo externo ao ângulo interno da base menor mede 70 graus.

31 Em um trapézio retângulo, a medida do ângulo obtuso é igual ao triplo da medida do ângulo agudo. Determine:

a) a medida do ângulo obtuso;

b) a medida do ângulo agudo.

32 No trapézio a seguir, temos

\overline{A D} ≅ \overline{B C}

Ilustração. Trapézio ABCD com base maior CD, base menor AB, e dois lados não paralelos de mesma medida de comprimento. As diagonais AC e BD se cruzam no ponto M. O segmento BM mede 1,2 centímetro. O segmento CM mede 3 centímetros.

a) Como podemos classificar esse trapézio?

b) Como podemos classificar os triângulos á bê ême e cê dê ême?

c) Calcule a medida de cada diagonal.

Respostas e comentários

30. a) x = 36graus; y = 72graus; escaleno.

30. b) x = 70graus; y = 110graus; isósceles.

31. a) 135graus

31. b) 45graus

32. a) Trapézio isósceles.

32. b) Os triângulos são isósceles.

32. c) 4,2 centímetros

Propriedades dos trapézios isósceles

Nesta página, tratamos da 2ª propriedade para trapézios isósceles: “Em um trapézio isósceles, as diagonais são congruentes”.

Organize os estudantes em duplas e proponha a eles que demonstrem essa propriedade. Em seguida, peça-lhes que compartilhem o que fizeram com outra dupla e comparem as estratégias utilizadas.

Exercícios propostos

Neste bloco de exercícios, além de aplicar as propriedades e a classificação de trapézios, os estudantes devem mobilizar seus conhecimentos sobre equações para determinar medidas desconhecidas.

As resoluções dos exercícios 30 e 31 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.

A seguir, apresentamos uma possível resolução do exercício 32. Como os lados não paralelos

\overline{A D}

\overline{B C}

são congruentes, podemos concluir que se trata de um trapézio isósceles (item a). Acompanhe a seguir:

Os triângulos á dê cê e bê cê dê são congruentes pelo caso lado lado lado:

\overline{A D}

≅

\overline{B C}

(hipótese do exercício)

\overline{D C}

≅

\overline{D C}

(lado comum)

\overline{A C}

≅

\overline{B D}

(diagonais em trapézio isósceles)

Então, os ângulos internos correspondentes desses dois triângulos são congruentes entre si. Desse modo, o ângulo de medida c₁ oposto ao lado

\overline{A D}

no triângulo á dê cê é congruente ao ângulo de medida d₁ oposto ao lado

\overline{B C}

no triângulo BCD (ângulos internos opostos a lados congruentes em triângulos congruentes). Assim: c₁ = d₁.

Logo, o triângulo cê dê ême é isósceles de base

\overline{D C}

, pois tem os ângulos dessa base congruentes.

De maneira análoga, provamos que o triângulo á bê ême é isósceles de base

\overline{A B}

. Portanto, á bê ême e cê dê ême são triângulos isósceles (item b).

Como os triângulos ABM e CDM são isósceles, temos DM = MC = 3 centímetros e ei ém = MB = 1,2 centímetro. Assim:

cê á = DB = DM + MB = 3 centímetros + 1,2 centímetro

cê á = DB = 4,2 centímetros (item c)

Página 205

33 As diagonais de um trapézio isósceles medem 6 centímetros. O ponto de encontro dessas diagonais fica a 2 centímetros dos vértices da base menor, e elas formam entre si um ângulo de medida igual a 60graus. Faça um desenho desse trapézio.

34 Considere a seguinte descrição de um trapézio isósceles: a base maior mede 4 centímetros, cada um dos lados não paralelos mede 2 centímetros e fórma com a base maior um ângulo medindo 50graus. Construa esse trapézio.

35 O maior ângulo interno de um trapézio retângulo tem o dobro da medida de seu menor ângulo interno. Calcule as medidas dos ângulos internos desse trapézio.

36 Fabiana definiu trapézio da seguinte maneira:

Ilustração. Parte de uma folha de caderno espiral com linhas, com as informações: Trapézio é um quadrilátero em que pelo menos dois dos lados opostos são paralelos.

A definição de Fabiana está de acôrdo com a definição apresentada neste capítulo? Justifique sua resposta.

Hora de criar – Em dupla, cada um cria um problema sobre trapézio. Troquem de caderno e, depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi‑los.

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Rotulando informações

Valentina desmontou uma caixinha de gelatina para descartá-la com o material reciclável. Observe como essa caixinha ficou.

Ilustração. Planificação de embalagem de gelatina. À esquerda, aba retangular com um trapézio acima e um abaixo. Na parte retangular há a informação: Ingredientes: Gelatina, sal, edulcorante natural, maltodextrina, aspartame, ácido cítrico, regulador de acidez, aromatizante de uva, corante artificial. Ao lado da parte retangular, retângulo com as informações: GELATINA TINA, nova embalagem, zero de açúcar. No centro, ilustração de um cacho de uvas, abaixo a palavra UVA e o texto: Não contém glúten, 15 gramas. Acima dessa parte retangular, aba retangular com o texto: Validade: 20/10/2025; Lote: 182-14k. Abaixo dessa parte retangular, aba retangular com um código de barras na parte inferior. Ao lado da parte retangular, no centro, aba retangular com um trapézio acima e um abaixo com as informações: Preparo: Adicione 250 mililitros (um quarto de litro) de água fervente ao conteúdo deste pacote. Mexa até dissolver. Adicione 250 mililitros de água fria. Leve à geladeira. No trapézio superior, símbolo de reciclagem. À direita, retângulo escrito: GELATINA TINA, nova embalagem, zero de açúcar. No centro, ilustração de um cacho de uvas e abaixo palavra UVA e texto: Não contém glúten, 15 gramas. Acima e abaixo, aba retangular. Ao lado direito do quadrado, aba na lateral em formato de trapézio.

Quantas informações importantes e necessárias o rótulo de uma embalagem traz!

Em um rótulo assim, podemos identificar o produto, seu código de barras, saber a data de validade, o lote, o tipo de embalagem, a medida da massa, os ingredientes, as orientações de uso etcétera

Esse rótulo traz orientações de preparo e ainda contém o selo indicando que a embalagem é reciclável.

Respostas e comentários

33. Construção de figura; há duas construções possíveis.

34. Construção de figura.

35. 60graus, 90graus, 90graus, 120graus.

36. Não. Espera-se que os estudantes percebam que, ao dizer que pelo menos dois dos lados opostos são paralelos, Fabiana incluiu, além dos trapézios, os paralelogramos nessa definição.

37. Resposta pessoal.

Exercícios propostos

No exercício 33, sugira aos estudantes que façam à mão livre um esbôço da situação. Depois, iniciem a construção pelas diagonais do trapézio. Assim, traçamos duas retas concorrentes, r e s, formando um ângulo de 60graus. Vamos chamar de P o ponto de intersecção dessas retas. Essas retas conterão as diagonais do trapézio em construção.

Na reta r, marcamos os pontos ae C, de modo que á cê = 6 centímetros e pê á = 2 centímetros. Da mesma maneira, na reta s, marcamos os pontos B e D, de modo que bê dê = 6 centímetros e pê bê = 2 centímetros.

Os pontos a, B, C e D são os vértices do trapézio.

Ilustração. Trapézio ABCD em que: AB é a base menor e CD é a base maior. Uma reta r passa pela diagonal AC e uma reta s passa pela diagonal BD. As retas r e s se cruzam no ponto P. O ângulo CPD mede 60 graus.

Segue uma possível figura para o exercício 34. Demarcamos em uma reta os pontos a e B, com A bê = 4 centímetros. Com o transferidor, construímos um ângulo de 50grausde vértice B, na base maior. Com a ponta-sêca do compasso em B e abertura de 2 centímetros, determinamos o ponto C, distante 2 centímetros de B, e traçamos a reta paralela à base maior passando por C. Com a ponta-sêca em a e abertura de 2 centímetros, traçamos um arco que cruza essa reta paralela em D. O quadrilátero a bê cê dê obtido é o trapézio solicitado.

Ilustração. Trapézio ABCD em que: AB é a base maior, CD é a base menor, AD mede 2 centímetros, BC mede 2 centímetros, AB mede 4 centímetros e o ângulo ABC mede 50 graus.

Lembre os estudantes de que devem tomar muito cuidado para não se machucarem com a ponta-sêca ao usar o compasso.

As resoluções dos exercícios 35 a 37 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.

No exercício 37, incentive os estudantes a representarem um trapézio antes de elaborar o problema. Depois, com base no trapézio representado, será mais prático elaborar uma situação-problema.

Página 206

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Que informações você pode destacar nessa imagem da embalagem?

2 Valentina tem intolerância a glúten. Ela pode comer essa gelatina?

3 Esse produto pode ser consumido na data de hoje? Por quê?

4 Para fazer gelatina para a família, Valentina usa três caixinhas como essa. Quantos gramas de pó de gelatina Valentina usa? E de açúcar?

5 Quantos mililitro de água fervente Valentina deve adicionar ao pó para preparar três caixinhas de gelatina? E quantos litros de água ao todo?

6 Sem realizar medições, você identifica figuras que lembram quadrados na imagem da embalagem? Em caso afirmativo, onde?

7 Com uma régua, obtenha as medidas das três dimensões da caixinha de gelatina.

8 Quantos e quais tipos de quadrilátero compõem as faces e as abas dessa embalagem?

9 Após fazer a gelatina, o que Valentina deve fazer com as caixinhas?

10 Em papel de seda, faça um decalque do contôrno da imagem da embalagem e cole-o em papel-cartão. Depois, recorte essa figura, vinque os lados comuns entre faces e entre faces e abas. Cole as abas, monte a caixinha e crie um rótulo do produto que quiser.

(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)

4. Propriedades da base média do triângulo e do trapézio

Base média do triângulo

Ilustração. Homem negro, de cabelo castanho e camiseta preta. Ele fala: 'O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo, chamado de base média (grifado), é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual à metade da medida do terceiro lado.'

Ilustração. Triângulo ABC. Segmento de reta horizontal MN, em que M é ponto médio do lado AB e N é ponto médio do lado AC. O ângulo ANM é indicado por N1. É desenhado um triângulo CDN tal que o lado CD é congruente e paralelo ao lado BM, e o lado ND é paralelo ao lado BC e congruente ao segmento de reta MN. O ângulo CND é indicado por N2. O ângulo NCD é indicado por C1.

Esquema. Hipótese: o segmento de reta AM é congruente ao segmento de reta MB. O segmento de reta AN é congruente ao segmento de reta NC.

Esquema. Tese: o segmento de reta MN é paralelo ao segmento de reta BC. O comprimento do segmento de reta MN é igual a fração, numerador: comprimento do segmento de reta BC, denominador 2, fim da fração.

• Demonstração

Construção auxiliar: traçamos pelo vértice C uma reta paralela a

\overline{A B}

, que intersecta

\vec{M N}

no ponto D. Assim, temos:

•

\hat{A} ≅ \hat{C}

1 (ângulos alternos internos formados por duas retas paralelas e uma transversal);

•

\overline{A N} ≅ \overline{N C}

(pela hipótese);

•

\hat{N}

1 ≅

\hat{N}

2 (ângulos opostos pelo vértice);

• △AMN ≅ △CDN (pelo caso ângulo-lado-ângulo);

Respostas e comentários

1. Resposta possível: sabor uva, não contém glúten, ingredientes, zero de açúcar, 15 gramas, código de barras, modo de preparo, validade, lote.

2. Sim.

3. A resposta depende da data em que a atividade é realizada.

4. Pó de gelatina: 45 gramas; açúcar: 0 grama.

5. Volume de água fervente: 750 mililitros; volume total de água: 1,5 litro ou

\frac{3}{2}

litro.

6. Espera-se que os estudantes respondam que sim, no contôrno das imagens da uva.

7. Comprimento: 6,0 centímetros; altura: 5,0 centímetros; largura: 1,5 centímetro.

8. 8 retângulos e 5 trapézios.

9. Espera-se que os estudantes respondam que ela deve separar para reciclagem.

10. Resposta pessoal.

Trabalhando a informação

As resoluções das atividades 1 a 10 do Agora quem trabalha é você! estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.

Sobre a atividade 7, sugerimos que discuta com os estudantes quais seriam essas três dimensões, antes de fazerem as medições. Proponha a eles que imaginem a caixa montada ou leve para a sala de aula modelos dela para que as manuseiem. Espera-se que eles identifiquem a largura, a altura e o comprimento da caixa.

Explore figuras de uma dimensão, como o segmento de reta (lado de algum quadrilátero), e figuras de duas dimensões, como a superfície de regiões poligonais, estimulando os estudantes a perceberem as dimensões estudadas e solicitando a eles que façam comparações com as dimensões de figuras tridimensionais.

4. Propriedades da base média do triângulo e do trapézio

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um quatro.

Neste tópico desenvolvemos um trabalho com a habilidade (EF08MA14) ao demonstrar propriedades de quadriláteros aplicando a congruência de triângulos.

Página 207

•

\overline{M N} ≅ \overline{N D}

(lados correspondentes de triângulos congruentes);

•

\overline{C D} ≅ \overline{A M}

(lados correspondentes de triângulos congruentes);

•

\overline{A M} ≅ \overline{M B}

(pela hipótese);

•

\overline{C D} ≅ \overline{M B}

(

\overline{C D} ≅ \overline{A M} ≅ \overline{M B}

);

• BCDM é paralelogramo.

Logo,

\overline{M D}

⫽

\overline{B C}

\overline{M N}

⫽

\overline{B C}

\overline{M D} ≅ \overline{B C}

ou, ainda, MN + ND = BC. Como

\overline{N D} ≅ \overline{M N}

, temos 2 ⋅ MN = BC; portanto, MN =

\frac{B C}{2}

Base média do trapézio

Ilustração. Homem negro, de cabelo castanho e camiseta preta. Ele fala: 'O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio, chamado de base média (grifado), é paralelo às bases, e sua medida é igual à metade da soma das medidas das bases.'

Ilustração. Trapézio ABCD em que: AD é base menor, BC é base maior, M é ponto médio do lado AB e N é ponto médio do lado DC. Segmento de reta MN é paralelo aos segmentos AD e BC. Segmento de reta tracejado indo de A até um ponto E externo ao trapézio, tal que os ângulos AND (denotado por N1) é congruente ao ângulo ENC (denotado por N2). O ângulo ECN é denotado por C1.

Esquema. Hipóteses: ABCD é um trapézio; o segmento de reta AM é congruente ao segmento de reta BM; o segmento de reta CN é congruente ao segmento de reta DN.

Esquema. Tese: o segmento de reta MN é paralelo ao segmento de reta BC; o comprimento do segmento MN é igual a fração, numerador: BC mais AD, denominador 2, fim da fração.

• Demonstração Construção auxiliar:

\vec{A N}

\vec{B C}

, que se cruzam no ponto ê. Assim, temos:

•

\hat{D} ≅ \hat{C}

1 (ângulos alternos internos formados por duas retas paralelas e uma transversal);

•

\overline{C N} ≅ \overline{D N}

(pela hipótese);

•

\hat{N}

1 ≅

\hat{N}

2 (ângulos opostos pelo vértice).

Logo, pelo caso ângulo-lado-ângulo, os triângulos A dê êne e ECN são congruentes. Portanto,

\overline{A N} ≅ \overline{N E}

\overline{A D} ≅ \overline{C E}

. Sabemos que MN =

\frac{B E}{2}

\overline{M N}

⫽

\overline{B C}

(propriedade da base média do triângulo). Pela construção da figura, temos: bê ê = BC + cê é Sendo

\overline{C E} ≅ \overline{A D}

, podemos escrever: bê ê = BC + á dê Substituindo bê ê por BC + á dê em MN =

\frac{B E}{2}

, obtemos: MN =

\frac{B C + A D}{2}

Respostas e comentários

Base média do triângulo e base média do trapézio

Discuta com a turma os conceitos de base média de um triângulo e de um trapézio.

Prepare antecipadamente, em folha separada, várias figuras de diferentes tipos de triângulos e de trapézios para que os estudantes identifiquem nelas a base média desses polígonos (determinando os pontos médios dos lados envolvidos) e façam medições para comprovar as propriedades apresentadas.

Transcreva as demonstrações na lousa e peça aos estudantes que justifiquem cada etapa.

Página 208

PARA SABER MAIS

O trapézio no telhado

Na edificação de casas, desde a fundação até o telhado, importantes conceitos matemáticos se expressam de maneira relativamente simples em procedimentos rotineiros de construtores, empreiteiros e pedreiros, como levantar paredes, instalar um sistema hidráulico e montar e cobrir um telhado.

Na construção do madeirame que suporta os telhados, são necessários cálculos matemáticos que possibilitam determinar com exatidão as medidas de todos os elementos que o compõem.

Nos telhados em formato de trapézio, por exemplo, os cálculos empregados para determinar as medidas das vigas (que são paralelas às bases do trapézio) baseiam-se na propriedade da base média do trapézio: se, pelo ponto médio de cada um dos lados não paralelos de um trapézio, traçarmos um segmento de reta, esse segmento será paralelo às bases, e a medida dele será a média aritmética das medidas dessas bases.

Por exemplo, em um trapézio cujas bases medem 6 métros e 10 métros, a medida da base média é dada por

\frac{6 + 10}{2}

métros, ou seja, 8 métros.

Assim, se um telhado em formato de trapézio tiver somente 3 vigas paralelas, a maior medindo 10 métros de comprimento e a menor medindo 6 métros, a viga que for colocada entre elas, nos pontos médios dos lados não paralelos, deverá medir 8 métros de comprimento.

Fotografia. Vista da parte frontal de uma casa com telhado em formato de trapézio isósceles. Abaixo, janelas nas paredes. — A vertente ou água frontal do telhado dessa imagem tem o formato de um trapézio isósceles.

Agora é com você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Um telhado trapezoidal tem 5 vigas paralelas e igualmente espaçadas. A menor delas (a superior) mede 2 métros de comprimento, e a maior (a inferior) mede 12 métros de comprimento. Calcule no caderno a medida do comprimento das outras 3 vigas.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

38 Nas figuras, M e N são pontos médios de

\overline{A B}

\overline{A C}

, respectivamente. Determine:

a) MN

Ilustração. Triângulo ABC, em que M é ponto médio de AB e N é ponto médio AC. O segmento MN está destacado de vermelho. O segmento de reta BC mede 14 centímetros.

b) BC

Ilustração. Triângulo ABC, em que M é ponto médio de AB e N é ponto médio AC. O segmento de reta MN mede 4,5 centímetros.

Respostas e comentários

Para saber mais: 7 métros; 4,5 métros; 9,5 métros.

38. a) 7 centímetros

38. b) 9 centímetros

Para saber mais

No Agora é com você!, sugira aos estudantes que façam um esbôço da situação.

Ilustração. Trapézio ABCD, de base menor AB e base maior CD. O lado AD está dividido em 4 partes de mesmo comprimento: AG, GE, EI e ID. O lado BC está dividido em 4 partes de mesmo comprimento: BH, HF, FJ e JC. O segmento AB tem medida 2 metros. O segmento CD tem medida 12 metros.

•

\overline{E F}

é a base média do trapézio a bê cê dê:

EF = (2 + 12) : 2 = 14 : 2 = 7

•

\overline{G H}

é a base média do trapézio á bê éfe é:

GH = (2 + 7) : 2 = 9 : 2 = 4,5

•

\overline{I J}

é a base média do trapézio é éfe cê dê:

í jota = (7 + 12) : 2 = 19 : 2 = 9,5

Logo, as outras três vigas têm comprimentos de medidas: 4,5 métros, 7 métros, 9,5 métros.

Exercícios propostos

Apresentamos a seguir uma possível resolução para o exercício 38.

a) Aplicando a propriedade da base média do triângulo, obtemos: MN =

\frac{B C}{2}

MN =

\frac{14}{2}

= 7 Logo, MN mede 7 centímetros.

b) Aplicando a propriedade da base média do triângulo, obtemos: MN =

\frac{B C}{2}

4,5 =

\frac{B C}{2}

BC = 2 · 4,5 Logo, BC mede 9 centímetros.

Página 209

39 Nos trapézios a seguir, M e N são, respectivamente, os pontos médios de

\overline{A D}

\overline{B C}

. Calcule o valor de x.

Ilustração. Trapézio ABCD, em que: AB é base maior, CD é base menor, M é ponto médio de AD e N é ponto médio de BC. O segmento de reta AB tem medida 8,6 centímetros. O segmento de reta MN tem medida xis centímetro. O segmento de reta CD tem medida 5,4 centímetros.

Ilustração. Trapézio ABCD, em que: AB é base maior, CD é base menor, M é ponto médio de AD e N é ponto médio de BC. O segmento de reta AB tem medida 9 centímetros. O segmento de reta MN tem medida 6 centímetros. O segmento de reta CD tem medida x centímetro.

Ilustração. Trapézio ABCD, em que: AB é base maior, CD é base menor, M é ponto médio de AD e N é ponto médio de BC. O segmento de reta AB tem medida x centímetro. O segmento de reta MN tem medida 5,6 centímetros. O segmento de reta CD tem medida 4,8 centímetros.

40 Nas figuras, M, N e P são, respectivamente, os pontos médios de

\overline{A B}

\overline{A C}

\overline{B C}

. Determine:

a) a medida do perímetro do △MNpê;

Ilustração. Triângulo ABC, em que M é ponto médio de AB, N é ponto médio de AC e P é ponto médio de BC. O triângulo MNP é destacado. O segmento AB tem medida 6 centímetros. O segmento AC tem medida 10 centímetros. O segmento BC tem medida 9 centímetros.

b) a medida do perímetro do △á bê cê.

Ilustração. Triângulo ABC, em que M é ponto médio de AB, N é ponto médio de AC e P é ponto médio de BC. O triângulo MNP é destacado. O segmento MN tem medida 5,5 centímetros. O segmento NP tem medida 3,5 centímetros. O segmento MP tem medida 4 centímetros.

41 Na figura a seguir, M, N, P e Q são, respectivamente, os pontos médios de

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{A D}

Ilustração. Quadrilátero ABCD. Dentro, quadrilátero MNPQ, em que: M é ponto médio do lado AB, N é ponto médio do lado BC, P é ponto médio do lado CD, e Q é ponto médio do lado AD.

a) Prove que

\overline{M N}

⫽

\overline{P Q}

b) Prove que

\overline{Q M}

⫽

\overline{P N}

c) Como podemos classificar o quadrilátero MNPQ?

d) Se AC = 12 centímetros, quanto mede o segmento

\overline{M N}

e) Se BD = 16 centímetros, quanto mede

\overline{Q M}

f) Se PN = 20 centímetros, quanto mede

\overline{B D}

42 O lado do triângulo equilátero vermelho mede 6 centímetros. Desenhamos um segundo triângulo equilátero (verde) unindo os pontos médios dos lados do triângulo vermelho. Unindo os pontos médios dos lados do triângulo verde, desenhamos um terceiro triângulo equilátero (azul). Qual é a medida do perímetro do triângulo azul?

Ilustração. Triângulo equilátero vermelho. Dentro, triângulo equilátero verde, em que seus vértices são pontos médios dos lados do triângulo vermelho. Dentro do triângulo verde, um triângulo equilátero azul, em que seus vértices são pontos médios dos lados do triângulo verde.

43 Considere um trapézio cujas bases meçam 10 centímetros e 5 centímetros.

a) Quanto mede o segmento de reta que une os pontos médios dos lados não paralelos?

b) Prolongando os lados não paralelos, obtêm-se dois triângulos equiláteros. Qual é a medida do perímetro desse trapézio?

44 Em um trapézio isósceles, os lados não paralelos medem 12 centímetros, e a base média, 20 centímetros.

a) Calcule a medida do perímetro desse trapézio.

b) Se a base menor mede 8 centímetros, quanto mede a base maior desse trapézio?

Respostas e comentários

39. a) x = 7 centímetros

39. b) x = 3 centímetros

39. c) x = 6,4 centímetros

40. a) 12,5 centímetros

40. b) 26 centímetros

41. a) Demonstração.

41. b) Demonstração.

41. c) Paralelogramo.

41. d) 6 centímetros

41. e) 8 centímetros

41. f) 40 centímetros

42. 4,5 centímetros

43. a) 7,5 centímetros

43. b) 25 centímetros

44. a) 64 centímetros

44. b) 32 centímetros

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 39 a 41, e dos exercícios 44 e 46 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.

Apresentamos a seguir uma possível resolução para o exercício 42. Cada lado do triângulo verde é a base média do triângulo vermelho relativo a um lado de 6 centímetros. Logo, a medida de cada lado do triângulo verde é 3 centímetros (metade da medida do lado de 6 centímetros). Cada lado do triângulo azul é a base média do triângulo verde relativo a um lado que mede 3 centímetros. Logo, a medida de cada lado do triângulo azul é 1,5 centímetro (metade da medida do lado de 3 centímetros). Portanto, a medida do perímetro do triângulo azul é 4,5 centímetros (3 · 1,5 centímetro).

Apresentamos uma possível resolução para o exercício 43, com um esbôço da situação:

Ilustração. Trapézio ABCD, em que AD é a base menor, BC é a base maior, e EF é a base média (ponto E em AB, ponto F em CD). Acima do trapézio, triângulo tracejado ADG, com base AD medindo 5 centímetros e com ponto G externo ao trapézio de modo que o lado AG é prolongamento do lado AB e o lado DG é prolongamento do lado CD. O lado BC mede 10 centímetros.

a) A base média desse trapézio mede [(10 + 5) : 2] centímetros, ou seja, 7,5 centímetros.

b) O triângulo gê á dê é equilátero (dado do enunciado). Logo, á gê = gê dê = 5 centímetros.

O triângulo gê é éfe é equilátero (dado do enunciado).

Logo, é gê = éfe gê = 7,5 centímetros.

Como é gê = ê á + AG, obtemos:

7,5 centímetros = ê á + 5 centímetros

Ou seja: ê á = 2,5 centímetros.

Analogamente, obtemos:

éfe dê = 2,5 centímetros

Como ê e F são pontos médios dos lados não paralelos desse trapézio, consideramos:

bê ê = ê á = 2,5 centímetros

cê éfe = éfe dê = 2,5 centímetros

Logo, podemos concluir que bê á = cedê = 5 centímetros. Portanto, a medida do perímetro desse trapézio é 25 centímetros (5 + 10 + 5 + 5 = 25).

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45 Em um trapézio, a base média fórma, com um dos lados não paralelos, um ângulo medindo 45graus e, com o outro lado, fórma um ângulo de 60graus. Calcule as medidas dos ângulos desse trapézio.

Hora de criar – Em dupla, cada um cria um problema sobre base média de um trapézio. Troquem de caderno e, depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Classifique os quadriláteros da figura.

Ilustração. Quadrilátero AEFH, em que: os segmentos AE e FH são paralelos e não congruentes (com AE maior que FH); os segmentos AH e EF são congruentes; os pontos B, C e D pertencem ao segmento AE, tal que BC é congruente a CD; o ponto G pertence ao segmento FH, tal que FG é congruente a GH; são congruentes os segmentos BC, CD, FG, GH, DF, CG e BH; têm medida de 90 graus os ângulos ABH, BHG, BCG, CGF, CDF e DFG.

a) bê dê éfe agá

b) á é éfe agá

c) á cê gê agá

d) bê cê gê agá

2 Calcule o valor de x.

Ilustração. Quadrilátero qualquer com ângulos internos de medida: 50 graus, xis grau, 90 graus e 2x mais 10 graus.

3 Desenhe dois segmentos,

\overline{A B}

\overline{C D}

, que se intersectem nos seus respectivos pontos médios. Que tipo de quadrilátero você obtém traçando os segmentos

\overline{A C}

\overline{C B}

\overline{B D}

\overline{D A}

? Justifique sua resposta.

4 Desenhe dois segmentos não congruentes,

\overline{A B}

\overline{C D}

, perpendiculares entre si, que se cruzem nos respectivos pontos médios. Que tipo de paralelogramo você obtém traçando os segmentos

\overline{A C}

\overline{C B}

\overline{B D}

\overline{D A}

? Justifique sua resposta.

5 Calcule o valor de x em cada paralelogramo a seguir.

Ilustração. Paralelogramo. No vértice inferior esquerdo, ângulo medindo 5x menos 56 graus. No vértice superior direito, ângulo medindo 3x mais 16 graus.

Ilustração. Paralelogramo. No vértice inferior esquerdo, ângulo com medida 2x graus. No vértice superior esquerdo, ângulo com medida 5x mais 12 graus.

6 Uma altura de um paralelogramo fórma, com um dos lados, um ângulo medindo 35graus. Calcule as medidas dos ângulos desse paralelogramo.

7 Uma das diagonais de um losango fórma, com um dos lados, um ângulo medindo 28graus. Calcule as medidas dos ângulos desse losango.

8 Calcule o valor de x em cada trapézio a seguir.

Ilustração. Trapézio isósceles. Ângulos da base maior com medidas: x mais 40 graus, e 3x mais 10 graus.

Ilustração. Trapézio retângulo. No vértice inferior direito e no vértice superior direito, ângulos medindo 90 graus. No vértice superior esquerdo, ângulo medindo 2x mais 7 graus. No vértice inferior esquerdo, ângulo medindo 2x menos 27 graus.

9 Um dos ângulos externos de um trapézio retângulo mede 118graus. Calcule a medida do ângulo obtuso desse trapézio.

10 A medida do perímetro de um trapézio isósceles é 66 centímetros. A base média mede 20 centímetros. Faça o cálculo e responda: quanto mede cada um dos lados não paralelos?

11 A base média de um trapézio isósceles mede 30 centímetros. Cada um dos lados congruentes mede 10 centímetros. Calcule a medida do perímetro desse trapézio.

12 Construa um triângulo retângulo á bê cê, reto em B. Marque o ponto M médio, de

\overline{A C}

, e o ponto D, simétrico de B em relação a M. Prove que a bê cê dê é um paralelogramo.

Respostas e comentários

45. 45graus, 60graus, 120graus, 135graus.

46. Resposta pessoal.

1. a) Retângulo.

1. b) Trapézio isósceles.

1. c) Trapézio retângulo.

1. d) Quadrado.

2. x = 70graus

3. a bê cê dê é um paralelogramo, porque suas diagonais se intersectam nos respectivos pontos médios.

4. Losango, porque as diagonais são perpendiculares entre si e se intersectam nos respectivos pontos médios.

5. a) x = 36graus

5. b) x = 24graus

6. 55graus, 55graus, 125graus, 125graus.

7. 56graus, 56graus, 124graus, 124graus.

8. a) x = 15graus

8. b) x = 50graus

9. 118graus

10. 13 centímetros

11. 80 centímetros

12. Construção de figura. Demonstração.

Exercícios propostos

A seguir uma possível resolução para o exercício 45.

Ilustração. Trapézio cuja base média está destacada. Prolongamento dos lados não paralelos formando um triângulo cuja base é a base menor do trapézio. As bases do trapézio e sua base média também estão prolongadas e tracejadas. Os ângulos da base maior do trapézio medem 45 graus e 60 graus. O trapézio formado pela base média e a base menor tem internos medindo 135 graus, 120 graus, 45 graus e 60 graus. O triângulo tem ângulos da base medindo 45 graus e 60 graus.

Logo, os ângulos internos do trapézio são 45graus, 60graus, 120graus e 135graus.

No exercício 46, possibilite aos estudantes discutir situações em que eles observam estruturas que possam ser associadas a trapézios; incentive-os a considerarem um dos contextos apresentados para elaborar a situação-problema.

Exercícios complementares

Este bloco de exercícios propicia aos estudantes revisitarem o trabalho com quadriláteros desenvolvido, ampliando e consolidando os conhecimentos que já construíram. Além disso, podem perceber possíveis dúvidas que ainda persistam e elucidá-las com o auxílio do professor e dos colegas.

As resoluções dos exercícios 1 a 9 e dos exercícios 11 e 12 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.

Apresentamos a seguir uma possível resolução para o exercício 10. Indicamos por B a medida da base maior, por b a medida da base menor e por x a medida dos lados não paralelos (uma vez que o trapézio é isósceles). Como a medida do perímetro do trapézio (P) é 66 centímetros, obtemos a seguinte expressão:

P = 2x + B + b

66 = 2x + B + b

66 ‒ 2x = B + b

\frac{66 ‒ 2 x}{2}

\frac{B + b}{2}

Como a base média mede 20 centímetros, obtemos:

\frac{66 ‒ 2 x}{2}

= 20

\frac{66 ‒ 2 x}{2}

· 2 = 20 · 2

66 ‒ 2x = 40

‒2x = ‒26

\frac{‒ 2 x}{‒ 2}

\frac{‒ 26}{‒ 2}

x = 13

Portanto, cada lado não paralelo desse trapézio mede 13 centímetros.

Para o exercício 12, por simetria de construção, os triângulos retângulos á bê cê e cê dê á são congruentes; então, o quadrilátero a bê cê dê é um retângulo, que também é um paralelogramo.

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Este quadrilátero representa um dos vidros que Carlos precisou cortar para a janela de uma casa. Qual é a medida do maior ângulo interno do quadrilátero?

a) 100graus

b) 90graus

c) 125graus

d) 135graus

Ilustração. Trapézio retângulo com a indicação de um dos ângulos internos com medida de 55 graus.

2 Para fazer um mosaico, uma artista usou dois tipos de paralelogramo. O ângulo agudo de um desses polígonos, o paralelogramo laranja, mede 70graus, conforme indicação na figura.

Ilustração. Mosaico composto por três paralelogramos: um laranja, um azul e um amarelo, lado a lado, formando uma figura de 6 lados, com um vértice em comum ao centro. Acima, está o paralelogramo laranja, em que um dos ângulos internos mede a grau e outro ângulo interno mede 70 graus (ângulo relativo ao vértice comum entre os três paralelogramos). Abaixo dele e à esquerda, está um paralelogramo azul, em que o ângulo interno inferior direito mede b grau. À direita, o paralelogramo amarelo, em que o ângulo interno direito mede c grau.

As medidas a, b e c dos ângulos destacados nesses paralelogramos são, respectivamente:

a) 90graus, 35graus e 145graus.

b) 110graus, 35graus e 145graus.

c) 110graus, 45graus e 145graus.

d) 140graus, 70graus e 290graus.

3 Seja um paralelogramo a bê cê dê e M o ponto de intersecção de suas diagonais. Sabendo que ei ém = 5 centímetros e BM = 7 centímetros, qual é a soma das medidas das diagonais desse quadrilátero?

a) 10 centímetros

b) 15 centímetros

c) 24 centímetros

d) 30 centímetros

4 Ter diagonais congruentes é uma característica:

a) de todos os losangos.

b) de todos os retângulos.

c) de todos os trapézios.

d) de todos os paralelogramos.

5 No paralelogramo a bê cê dê, a seguir, o ponto ê é o ponto de intersecção das diagonais,

\overline{A B}

mede 12 centímetros,

\overline{B C}

mede 20 centímetros e

\overline{A E}

mede 6,5 centímetros.

Ilustração. Paralelogramo ABCD com duas diagonais que se cruzam em E no centro.

Qual é a medida do perímetro do triângulo á cê dê?

a) 37 centímetros

b) 38,5 centímetros

c) 45 centímetros

d) 46,5 centímetros

6 Todo trapézio isósceles tem:

a) ângulos da base congruentes.

b) todos os ângulos congruentes.

c) lados paralelos congruentes.

d) todos os lados congruentes.

7 No trapézio a bê cê dê, M e N são, respectivamente, os pontos médios de

\overline{A D}

\overline{B C}

. A base menor,

\overline{A B}

, mede 5 centímetros e a paralela

\overline{M N}

mede 10 centímetros.

Ilustração. Trapézio ABCD, em que: AB é a base menor, CD é a base maior, M é ponto médio de AD e N é ponto médio de BC. O segmento de reta MN é destacado.

Qual é a medida da base maior

\overline{D C}

a) 10 centímetros

b) 15 centímetros

c) 20 centímetros

d) 25 centímetros

8 A medida do perímetro de um trapézio isósceles é igual a 88 centímetros e a base média mede 24 centímetros. Quanto mede cada um dos lados não paralelos desse trapézio?

a) 15 centímetros

b) 20 centímetros

c) 24 centímetros

d) 32 centímetros

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) Qual é a definição de paralelogramo?

b) Quais são as propriedades relacionadas a todos os paralelogramos?

c) Quais são as propriedades das diagonais dos retângulos e das diagonais dos losangos?

d) Defina trapézio isósceles e indique duas propriedades relacionadas a esse tipo de trapézio.

e) O que é a base média de um triângulo? Como se calcula sua medida?

f) O que é a base média de um trapézio? Como se calcula sua medida?

Respostas e comentários

1. Alternativa c.

2. Alternativa b.

3. Alternativa c.

4. Alternativa b.

5. Alternativa c.

6. Alternativa a.

7. Alternativa b.

8. Alternativa b.

Organizando:

a) Paralelogramo é todo quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

b) Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes, os ângulos opostos são congruentes e as diagonais se intersectam no ponto médio.

c) Retângulos: são congruentes; losangos: são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.

d) São trapézios em que os lados opostos não paralelos são congruentes. Propriedades: os ângulos adjacentes à base são congruentes e as diagonais são congruentes.

e) É o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo. Sua medida é igual à metade da medida do terceiro lado.

f) É o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio. Sua medida é igual à metade da soma das medidas das bases.

Verificando

Nesta seção são propostos testes que abordam os conteúdos apresentados ao longo deste capítulo, sendo uma oportunidade para os estudantes validarem o entendimento do conteúdo estudado. Caso eles apresentem dúvidas em relação a algum dos testes propostos, oriente-os a rever os conceitos apresentados no capítulo.

As resoluções dos testes 1 a 8 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.

Organizando

No item a, espera-se que o estudante tenha percebido que as definições são pontos de partida para o desenvolvimento do estudo em questão. No caso, o próprio nome do polígono – paralelogramo – indica aquilo que o caracteriza: lados paralelos.

No item b, espera-se que o estudante descreva as três propriedades dos paralelogramos (lados opostos congruentes, ângulos opostos congruentes e diagonais se intersectam no ponto médio).

No item c, caso o estudante tenha dificuldade de lembrar as propriedades das diagonais de um retângulo e de um losango, oriente-o a esboçar esses quadriláteros e traçar as diagonais. Tal esbôço, se bem-feito, lhe dará pistas das propriedades.

No item d, verifique se o estudante faz um analogia entre as classificações do triângulo isósceles e do trapézio isósceles.

Nos itens ê e f, o estudante pode fazer uma analogia como um instrumento de aquisição mnemônica atentando para o significado das palavras média (para o cálculo numérico) e médio (para o ponto médio). Assim, também ficará mais fácil obter a resposta à segunda pergunta: as medidas da base média são a metade da medida da base do triângulo e a média aritmética das medidas das bases do trapézio.

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DIVERSIFICANDO

Quadriláteros na caixa

Gabriela guarda sua coleção de livros na estante da sala, mas uma das prateleiras quebrou. Como seu pai só poderá consertar a estante no fim de semana, pediu a ela que guardasse os livros em uma caixa. Então, Gabriela desenhou a planificação da superfície de uma caixa em uma folha de papelão. Depois, com cuidado, recortou e montou-a. Observe a planificação a seguir.

Ilustração. Planificação de uma caixa retangular. No centro, três retângulos horizontais, um ao lado do outro nomeados da esquerda para a direita D, E, F. Um retângulo acima de E nomeado de B e um retângulo abaixo de E nomeado de H. As dimensões de cada um são as mesmas, dadas por 26 centímetros de largura por 20 centímetros de altura. À esquerda e à direita do retângulo B, trapézio A e trapézio C, com bases maiores medindo 20 centímetros. À esquerda e à direita do retângulo E, quadrado D e quadrado F, de dimensões 20 centímetros por 20 centímetros cada. À esquerda e direita do retângulo H, trapézio G e trapézio I, com bases maiores medindo 20 centímetros. — (Lembre-se de sempre usar tesoura com ponta arredondada e de manuseá-la com cuidado!)

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Quantos tipos de quadrilátero podemos identificar nessa planificação? Classifique os quadriláteros que você identificou.

2 Os livros de Gabriela têm as medidas indicadas na figura.

Ilustração. Livro, medindo: 26 centímetros comprimento, por 20 centímetros de largura, por 2 centímetros de espessura.

a) Determine quantos deles cabem na caixa se ela os guardar de modo que nenhuma parte deles fique fora da caixa e se ela os guardar de modo que uma das faces de área menor fique em contato com a base da caixa.

b) Calcule a medida do volume que ocupariam os livros que, no segundo modo do item anterior, ficariam fora da caixa.

3 É possível ter uma caixa cuja planificação não seja composta apenas de quadriláteros? Explique por quê. Em caso afirmativo, desenhe uma dessas caixas.

4 Usando apenas 12 palitos de sorvete iguais, construa um retângulo de tal modo que ele tenha a maior medida de área possível. Depois, responda às questões.

Ilustração. Menino branco, de cabelo castanho e camiseta azul. Ele está sentado de frente para uma mesa e, com uma das mãos, segura alguns palitos de sorvete. Com a outra mão está colocando um palito sobre a mesa para que fique alinhado junto com outros três palitos de sorvete que já estão sobre a mesa.

a) Podemos construir um triângulo equilátero com esses 12 palitos?

b) Qual dessas figuras construídas com os 12 palitos tem maior medida de área: o retângulo ou o triângulo?

Respostas e comentários

1. Três tipos: retângulo (B, D, ê, F e H, , sendo D e F quadrados) e trapézio (a, C, G e ih ).

2. a) 10 livros; 13 livros.

2. b) .3120 centímetros cúbicos

3. Resposta possível: Sim, basta imaginar um prisma de base triangular sem uma das bases. Uma possibilidade de desenho:

Ilustração. Planificação de um prisma de base triangular. Há três retângulos lado a lado. Próximo ao retângulo mais à esquerda, há uma aba no formato de trapézio. Acima do retângulo central há um triângulo e, nos dois lados do triângulo não adjacentes ao retângulo, há abas com formato de trapézio.

4. O retângulo de maior medida de área é o quadrado cujo lado é formado por 3 palitos de sorvete.

4. a) Sim, o triângulo terá cada lado composto de 4 palitos de sorvete.

4. b) O retângulo.

Diversificando

Esta seção aborda triângulos, quadriláteros e prismas. Reproduza em cartolina a planificação apresentada, em tamanho maior, de modo que os estudantes possam trabalhar em grupos, montando e desmontando a caixa.

As resoluções e comentários das atividades 1 a 4 do Agora é com você! estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 9.

Providencie palitos de sorvete ou similar para que os estudantes realizem a atividade 4.