CAPÍTULO 11 Área de regiões poligonais
Órgão indispensável à vida, a pele protege o nosso organismo contra infecções, funcionando como uma barreira para germes do ambiente exterior, além de controlar a perda de calor e de líquidos. A pele é essencial para o contrôle da temperatura corporal, para o sentido do tato e para a percepção de sensações como a dor.
A pele, o maior e mais pesado órgão do corpo humano em um adulto, tem área medindo entre 1,5 metro quadrado e 2 metros quadrados.
Para avaliar a extensão de uma queimadura, por exemplo, os médicos usam o tamanho da palma da mão (incluindo os dedos) do paciente, que é tido como o equivalente a 1% da medida da área da superfície corporal.
Observe, leia e responda no caderno.
a) No tratamento de pessoas com queimaduras graves, o transplante de pele pode salvar a vida do paciente. Em situações como essa, a pele funciona como um curativo biológico. No Brasil, atualmente, existem quatro bancos de pele, que captam, preparam, armazenam e disponibilizam a pele doada, mas esses bancos são capazes de suprir apenas 10% das necessidades. Qual é a importância da pele para nosso organismo? E qual é a importância da doação de órgãos como a pele?
b) Segundo o texto, em um adulto, a superfície da pele pode ter que medidas de área?
c) Com a ajuda de uma régua, estime a medida da área da palma de sua mão, em centímetro quadrado, incluindo os dedos. Considerando que a medida da área da palma da sua mão corresponde a 1% da medida da área total da sua superfície corporal, determine a medida aproximada dessa área, em metro quadrado.
Respostas e comentários
a) Proteger o organismo de germes do ambiente exterior, controlar a perda de calor e de líquidos. Além disso, é essencial para o sentido do tato e para a percepção de sensações como a dor.
Resposta possível: a doação de órgãos como a pele é importante para salvar vidas, pois possibilita o restabelecimento da saúde do paciente e o prolongamento da expectativa de vida.
b) Entre 1,5 metro quadrado e 2 metros quadrados.
c) Resposta pessoal.
Capítulo 11 – Área de regiões poligonais
Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática (Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.
Neste capítulo, retomamos e ampliamos o trabalho com área de regiões poligonais. Além disso, ampliamos o trabalho com gráficos trabalhando com pictogramas.
A abertura do capítulo aborda a área do maior órgão do corpo humano: a pele. Se julgar conveniente, proponha um trabalho interdisciplinar com Ciências. É possível realizar debates sobre a importância do cuidado com a pele desenvolvendo o Tema Contemporâneo Transversal saúde. Os estudantes podem analisar as diferentes transformações que ocorrem na puberdade considerando a atuação dos hormônios sexuais e relacioná-los com alterações que ocorrem na pele principalmente nessa fase, como a acne.
Os itens a e b possibilitam discutir a importância dos bancos de pele, desenvolvendo a competência geral 9, no que se refere ao exercício da empatia.
Para resolver o item c, os estudantes podem apoiar a mão sobre uma folha de papel sulfite e desenhar o seu contôrno. Depois, podem aproximar esse contôrno por meio de regiões retangulares a fim de determinar a área aproximada da palma da mão.
Sugestão de leitura
Para ampliar a discussão, sugerimos:
PINHEIRO, C. As doenças de pele que mais abalam o bem-estar. VEJA Saúde, agosto 2014. Disponível em: https://oeds.link/0J5mSC. Acesso em: 20 julho 2022.
A matéria apresenta as principais doenças de pele, seus impactos na qualidade de vida e algumas maneiras de preveni-las.
1. Área do paralelogramo
Para medir uma superfície, é preciso tomar outra superfície como unidade de medida e verificar quantas vezes a superfície escolhida cabe naquela que se deseja medir.
Neste capítulo, estudaremos as áreas das superfícies poligonais.
Para facilitar a compreensão e simplificar a linguagem, vamos nos referir à área da região poligonal simplesmente por área do polígono. Assim, a área de uma região retangular, por exemplo, poderá ser denominada área do retângulo.
Já estudamos como determinar a medida da área de superfícies retangulares, que têm base de medida b e altura de medida h, e, em particular, a medida da área de regiões quadradas com base e altura medindo a. Observe a expressão da área do retângulo e do quadrado:
Vamos estudar como determinar a medida de área de um paralelogramo, considerando o paralelogramo a bê cê dê.
Qualquer segmento perpendicular a uma base, com uma extremidade nela e outra extremidade na reta suporte da base oposta, é chamado de altura do paralelogramo. Vamos considerar os lados paralelos
A Be
CDcomo bases. O segmento
CHpor exemplo, é uma altura do paralelogramo a bê cê dê.
Agora, observe o paralelogramo érre ésse tê ú e o retângulo ême êne pê quê a seguir.
Considerando
a unidade de medida de comprimento e
a unidade de medida de área, temos:
paralelogramo érre ésse tê ú
• medida da base: 6 u
• medida da altura: 4 u
• medida da área: 24 u2
retângulo ême êne pê quê
• medida da base: 6 u
• medida da altura: 4 u
• medida da área: 24 u2
Respostas e comentários
1. Área do paralelogramo
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um nove.
Neste tópico, serão apresentadas expressões de cálculo de medida de área de paralelogramos, favorecendo o desenvolvimento da habilidade (EF08MA19), de maneira que os estudantes compreendam como determinar tais expressões e como utilizá-las na resolução de problemas.
Se julgar necessário, retome o cálculo da área do retângulo e o do quadrado, como caso particular de retângulo.
Propicie aos estudantes que experimentem as duas situações mostradas: a comparação da área de um paralelogramo com a de um retângulo em uma mesma malha quadriculada e a obtenção de um retângulo a partir de um paralelogramo. Para isso, forneça-lhes malhas quadriculadas com essas figuras e malhas em branco para eles desenharem um paralelogramo e um retângulo de mesma base e mesma altura. Forneça aos estudantes também paralelogramos de cartolina (previamente preparados) para que recortem e formem retângulos com as peças obtidas.
Se possível, desenvolva atividades utilizando os recursos de software de Geometria dinâmica em que é possível representar as figuras e comparar suas áreas de maneira automática, o que desenvolve a competência específica 5 e favorece a compreensão da relação entre a expressão que determina a medida da área de paralelogramos, de modo geral, e a do retângulo e quadrado, como casos particulares.
Dizemos que duas figuras são equivalentes se têm a mesma medida de área. Isso acontecerá sempre que um paralelogramo e um retângulo tiverem as medidas das bases iguais e as medidas das alturas iguais também, pois, nesse caso, sempre há a possibilidade de decompor o paralelogramo em figuras que, rearranjadas, compõem o retângulo. Observe.
Portanto, a medida da área do paralelogramo é indicada por:
Aparalelogramo = b ⋅ h
Como exemplo, vamos determinar a medida da área dos paralelogramos a seguir.
a)
Aparalelogramo = b ⋅ h Aparalelogramo = 6 ⋅ 8 Aparalelogramo = 48 Logo, a área desse paralelogramo mede 48 centímetros2.
b)
Considerando o lado vertical como base, temos: Aparalelogramo = 6 ⋅ 8 Aparalelogramo = 48 Assim, a área desse paralelogramo mede 48 centímetros2.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 A medida da área de um retângulo cuja base mede x metros e cuja altura mede y metros é de 80 métros². Qual é a medida da área de um paralelogramo cuja base mede y metros e a altura mede x metros?
2 A área de um paralelogramo mede 56 centímetros². A base mede 8 centímetros. Determine a medida da altura.
3 Considerando as figuras a seguir, determine a medida da área do paralelogramo pintado de laranja, sabendo que a medida da área do retângulo pintado de marrom é igual a 20 centímetros².
Respostas e comentários
1. 80 métros2
2. 7 centímetros
3. 20 centímetros2
Área do paralelogramo
Para ampliar o trabalho com os exemplos, peça aos estudantes que desenhem em uma malha quadriculada de quadradinhos medindo 1 centímetro de lado os paralelogramos apresentados e estimem a quantidade de quadradinhos que compõem a superfície de cada paralelogramo. Sugira-lhes também que identifiquem a base e a altura de cada um dos paralelogramos.
Exercícios propostos
Se possível, podem-se utilizar as ferramentas de softwares de Geometria dinâmica para auxiliar na resolução dos problemas. No exercício 1, se essas ferramentas não estiverem disponíveis, faça um esbôço do gráfico na lousa, propiciando aos estudantes perceberem o comportamento da curva representada no gráfico. Esse exercício possibilita trabalhar aspectos das habilidades (ê éfe zero oito ême ah um dois) e (EF08MA13); espera-se que eles percebam que, como a área é dada por x · y, então x · y = 80 e, portanto, y =
y igual a 80 sobre xé uma representação algébrica da relação entre y e x. Explique que, neste caso, x e y são grandezas inversamente proporcionais.
Observe um exemplo de gráfico que representa essa relação:
Para o exercício 2, os estudantes podem compor no software diferentes paralelogramos cuja medida de área seja 56 centímetros2 e comparar o formato deles. Além disso, podem compor diferentes paralelogramos cuja base mede 8 centímetros e comparar suas áreas.
Outra possibilidade é compor um paralelogramo de base medindo 8 centímetros e variar a medida de sua altura para perceber como é alterada a medida de área. Destaque que, neste caso, a medida de área é diretamente proporcional à medida da altura do retângulo.
Esse trabalho de ampliação investigativo utilizando tecnologias digitais favorece o desenvolvimento da competência geral 5, pois os estudantes podem resolver problemas e produzir novos conhecimentos por meio dos recursos desse tipo de software.
A resolução do exercício 2 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
Para responder ao exercício 3, espera-se que os estudantes notem que, pelas figuras, os dois paralelogramos apresentam as mesmas medidas, b e h. Portanto, ambos têm a mesma medida de área, 20 centímetros quadrados.
4 No mosaico a seguir, os paralelogramos são equivalentes entre si. Os quadrados também são. Determine a medida da área da superfície do mosaico.
5 Determine a medida da área de cada figura a seguir.
a)
b)
6 Obtenha o que se pede.
a) A medida da altura (h) deste paralelogramo cuja área mede 34,2 centímetros quadrados.
b) A medida da base (b) deste paralelogramo cuja área mede 27,3 centímetros quadrados.
7 Observe a figura.
A região pintada de azul é circundada por quadrados de lados medindo 1 centímetro. Determine a medida da área, em centímetro quadrado, dessa região azul.
8 Mário quer revestir o piso de sua cozinha, que mede 2,40 métros por 3,00 métros.
Estes foram os revestimentos de que ele mais gostou.
|
Revestimento |
Medidas da peça (em cm) |
Preço do metro quadrado (em R$) |
|---|---|---|
|
|
5 × 5 (cada pastilha) |
150,00 |
|
|
20 × 20 |
350,00 |
|
|
30 × 30 |
76,00 |
Dados obtidos por Mário.
Copie a tabela de Mário e acrescente duas colunas:
• uma com a quantidade de peças de cada revestimento necessária para cobrir todo o piso da cozinha;
• outra com o custo total correspondente a cada revestimento.
Respostas e comentários
4. 49,8 centímetros quadrados
5. a) 12 centímetros quadrados
5. b) 8 centímetros quadrados
6. a) h = 4,5 centímetros
6. b) b = 9,1 centímetros
7. 3 centímetros quadrados
8. Veja a resposta neste Manual.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 4 a 7 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
No exercício 7, peça aos estudantes que expliquem como chegaram à resolução, pois as medidas dos lados que delimitam a região cuja área se quer saber não são dadas diretamente. Eles podem se reunir em duplas e comparar as resoluções.
O exercício 8 pode ser feito utilizando-se uma calculadora. O importante é os estudantes compreenderem as etapas que devem desenvolver para obter as respostas.
A seguir, apresentamos uma possível resolução para esse exercício.
A área total da cozinha de Mário mede 7,2 metros quadrados (2,40 · 3 = 7,2).
Placa de pastilhas de porcelana: Cada placa de pastilhas tem 25 centímetros quadrados de área, que equivalem a 0,0025 metro quadrado (1 metro quadrado equivale a .10000 c metros quadrados).
Logo, serão necessárias duas.oitocentas e oitenta peças para revestir a cozinha (7,2 : 0,0025 = .2880) com custo total de R$ 1.080,00mil oitenta reais (7,2 · 150 = .1080).
Ladrilho hidráulico: Cada ladrilho hidráulico tem 400 centímetros quadrados de área, que equivalem a 0,04 metro quadrado (1 metro quadrado equivale a .10000 centímetros quadrados).
Logo, serão necessárias 180 peças para revestir a cozinha (7,2 : 0,04 = 180) com custo total de R$ 2.520,00dois mil quinhentos e vinte reais (7,2 · 350 = .2520,00).
Porcelanato: Cada porcelanato tem 900 centímetros quadrados de área, que equivalem a 0,09 metro quadrado (1 metro quadrado equivale a .10000 centímetros quadrados).
Logo, serão necessárias 80 peças para revestir a cozinha (7,2 : 0,09 = 80) com custo total de R$ 547,20quinhentos e quarenta e sete reais e vinte centavos (7,2 · 350 = 547,20).
9 A figura a seguir representa a planta de um apartamento cujo dono deseja colocar carpete na sala e no dormitório. Sabendo que o metro quadrado colocado do carpete escolhido custa R$ 48,00quarenta e oito reais, quanto o dono do apartamento deverá gastar?
10
Hora de criar – Em duplas, elaborem um problema cada um para determinar a medida da área de um paralelogramo observado em alguma situação do dia a dia. Troquem de caderno e, depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Reúna-se com um colega e façam o que se pede.
1 De uma folha de papel quadriculado, recortem vários retângulos, de diferentes medidas de base e de altura. Em seguida, cortem cada retângulo por uma de suas diagonais, obtendo pares de triângulos.
(Usem tesouras com pontas arredondadas e as manuseiem com cuidado!)
Agora, respondam.
a) Para cada par de triângulos assim obtido, é possível sobrepor um triângulo ao outro?
b) Se a área de um desses retângulos medir 18 unidades de medida de área, qual será a medida da área de um dos triângulos obtidos a partir dele?
c) Se x é a medida da área de um dos triângulos obtidos pelo córte de uma das diagonais de um retângulo, qual é a medida da área desse retângulo?
2 De outra folha de papel quadriculado, recortem dois paralelogramos não retângulos idênticos, que vamos chamar de um e dois. Em seguida, cortem um pela diagonal menor e dois pela diagonal maior, obtendo pares de triângulos.
(Usem tesouras com pontas arredondadas e as manuseiem com cuidado!)
Respondam.
a) É possível sobrepor os dois triângulos de um? Eles são equivalentes?
b) É possível sobrepor os dois triângulos de dois? Eles são equivalentes?
c) É possível sobrepor um triângulo de um a um triângulo de dois?
d) Se a medida da área do paralelogramo um é igual a x, qual é a medida da área do paralelogramo dois? E a medida da área de um dos triângulos de um? E a medida da área de um dos triângulos de dois?
e) Um triângulo de um é equivalente a um triângulo de dois?
Respostas e comentários
9. R$ 1.764,00mil setecentos e sessenta e quatro reais
10. Resposta pessoal.
Pense mais um poucoreticências:
1. a) Sim.
1. b) 9 unidades de medida de área
1. c) 2x
2. a) Sim; sim.
2. b) Sim; sim.
2. c) Não.
2. d)
x; x sobre 2; x sobre 2.
2. e) Sim.
Exercícios propostos
A resolução do exercício 9 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
Aborde o exercício 9 propondo aos estudantes que levem para a sala de aula folhetos de propaganda de imóveis com desenho de suas plantas. Peça que calculem as medidas das áreas dos apartamentos de acôrdo com a planta. Eles também podem desenhar diferentes plantas de casas ou apartamentos, com base em uma medida de área dada.
No exercício 10, retome com eles o que são grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais, a fim de trabalhar as habilidades (EF08MA12) e (ê éfe zero oito ême ah um três). Cada estudante pode considerar uma medida da base (item a) e de área (item b) para elaborar os problemas.
Assim, fixando a medida da base no item a como sendo 4 centímetros, expressamos algebricamente a relação entre a medida a da área (em centímetros quadrados) e a medida h da altura (em centímetro) do retângulo da seguinte maneira:
A = 4h
No item b, fixando a medida da área como sendo 50 centímetros quadrados, por exemplo, temos a seguinte relação entre a medida b da base (em centímetro) e a medida h da altura do retângulo (em centímetro):
b =
50 sobre hDestaque com os estudantes que no item a a e h são diretamente proporcionais e que, no item b, b e h são inversamente proporcionais.
A seguir, apresentamos o gráfico para cada uma dessas relações.
• Gráfico para o item a:
• Gráfico para o item b:
Incentive os estudantes a explicar o tipo de gráfico obtido em cada item; espera-se que percebam que, quando as grandezas são diretamente proporcionais, o gráfico é uma reta passando pela origem e quando as grandezas são inversamente proporcionais o gráfico é uma “curva”. Nesse momento, não é objeto de estudo a construção de gráficos desse tipo, mas é interessante que os estudantes compreendam seu comportamento e o associem a grandezas inversamente proporcionais; para isso, podem observar algumas relações entre os pontos que possibilitam perceber mais facilmente que, quando uma variável dobra, a outra cai à metade, ou quando uma triplica, a outra cai à terça parte e assim por diante. No software de geometria dinâmica, explore outras grandezas inversamente proporcionais.
Pense mais um poucoreticências
As resoluções das atividades 1 e 2 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
2. Área do triângulo
Ao traçar um segmento de reta com uma extremidade em um vértice do triângulo e a outra extremidade na reta suporte do lado oposto a esse vértice, formando ângulos retos com a reta suporte, ou seja, perpendicular a ela, obtemos um segmento cuja medida é igual à medida da altura do triângulo em relação ao lado considerado.
No triângulo á bê cê, vamos considerar o lado
B Ccomo base. Observe que AH é a medida da altura desse triângulo relativa ao lado
B C.
Agora, observe dois triângulos com bases de medidas iguais (b) e alturas relativas a essas bases também de medidas iguais (h).
Com esses dois triângulos, é possível compor um paralelogramo com base medindo b e altura medindo h.
Então, a medida da área de cada triângulo é igual à metade da medida da área do paralelogramo.
Assim, a medida da área do triângulo é indicada por:
Acompanhe alguns exemplos.
a) Vamos determinar a medida da área de um triângulo cuja base mede 6 centímetros e cuja altura mede 5 centímetros, como mostra a figura.
Atriângulo =
b vezes h sobre 2Atriângulo =
6 vezes 5, e no denominador: 2, igual a, trinta meios área do triângulo igual a 15.Atriângulo = 15
Portanto, a medida da área desse triângulo é de 15 centímetros quadrados.
Respostas e comentários
2. Área do triângulo
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um nove.
Aborde o reconhecimento da base de um triângulo e da altura relativa a essa base apresentando aos estudantes variados tipos de triângulo. Deixe-os utilizar a expressão de cálculo da medida de área do triângulo para triângulos desenhados em folha de papel quadriculado, desenvolvendo a habilidade (EF08MA19).
Para cada triângulo, eles podem desenhar um paralelogramo cuja base e altura sejam coincidentes às do triângulo em questão e relacionar a expressão para o cálculo da medida de área de triângulos à do cálculo da medida de área de paralelogramos.
Outra possibilidade é, com pares de triângulos congruentes, confeccionados em cartolina, propor aos estudantes a montagem de paralelogramos de modo que possam constatar que a área de um triângulo é metade da área de um paralelogramo de mesma altura e mesma base.
Se possível, desenvolva atividades em software de Geometria dinâmica, em que os estudantes representam um triângulo com base e altura fixas, mas variando a posição de um dos vértices. Por exemplo, seja o triângulo á bê cê de altura relativa a
B Cde medida h, sendo bê cê e h fixados. Ao variar a posição do vértice a, no software, mantendo h e bê cê fixas, podem-se obter diferentes triângulos todos com mesma medida de área (pois as medidas da base e da altura são mantidas constantes).
b) Vamos calcular a medida da altura do triângulo relativa à medida da base, que é igual a 12,5 centímetros, sabendo que a área do triângulo mede 50 centímetros quadrados.
A medida da área desse triângulo é igual à metade da medida da área de um paralelogramo com a mesma medida de base e a mesma medida de altura. Como a área desse triângulo mede 50 centímetros quadrados, então a área do paralelogramo de mesma base e mesma altura mede 100 centímetros quadrados. Assim, temos: Aparalelogramo = b ⋅ h 100 = 12,5 ⋅ h
h = 8
Portanto, a altura desse triângulo mede 8 centímetros.
c) No triângulo retângulo á bê cê, os lados perpendiculares entre si medem 3 centímetros e 6 centímetros de comprimento. Um desses lados pode ser considerado uma base desse triângulo, e o outro, a altura relativa a essa base.
• A bê é a medida da altura relativa à base
B C.
• bê cê é a medida da altura relativa à base
A B.
Assim, a medida da área desse triângulo pode ser calculada desta fórma:
Atriângulo =
b vezes h sobre 2=
6 vezes 3 sobre 2= 9
Portanto, a medida da área desse triângulo é 9 centímetros quadrados.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
11 Determine a medida da área do triângulo pintado de amarelo em cada caso.
a) Aparalelogramo = 80 metros quadrados
b) áretângulo = 290 metros quadrados
12 Com uma régua, meça uma base do triângulo e a altura relativa a essa base. Depois, determine a medida aproximada da área desse triângulo, em centímetro quadrado.
Respostas e comentários
11. a) 40 metros quadrados
11. b) 145 metros quadrados
12. 6 centímetros quadrados
Exercícios propostos
O exercício 11 trabalha a relação entre a medida de área de paralelogramos e a de triângulos, de modo que basta os estudantes perceberem que cada triângulo amarelo tem mesma altura e mesma base que cada paralelogramo e determinarem, nesse caso, a metade da área do paralelogramo, que será a área do respectivo triângulo.
Apresentamos, a seguir, uma possível resolução para esse exercício.
a) Como as medidas da altura e da base das duas figuras são iguais, a área do triângulo representa a metade da área do paralelogramo. Logo, a área do triângulo mede 40 metros quadrados.
b) As medidas da altura e da base das duas figuras são iguais. Portanto, a área do triângulo representa a metade da área do paralelogramo. Então, a área do triângulo mede 145 metros quadrados.
Aproveite o exercício 12 para enfatizar que a presença de um ângulo interno de 90graus indica que o triângulo é retângulo e, nesse caso, os lados menores são chamados catetos e o lado maior, oposto ao ângulo reto, hipotenusa.
Em um triângulo retângulo, quando consideramos como base um dos catetos, o outro cateto será a altura relativa a essa base.
Ao fazer corretamente as medições do triângulo apresentado nesse exercício, o resultado obtido será de uma base medindo 2 centímetros e uma altura medindo 6 centímetros e, portanto, a área desse triângulo mede 6 centímetros quadrados.
13 Determine a medida da área do triângulo, sabendo que a medida do comprimento dos lados dos quadradinhos do quadriculado é 0,5 centímetro.
14 Na aula de Arte, Camila desenhou uma figura formada por sete triângulos retângulos.
Sabendo que os lados perpendiculares de cada triângulo da figura de Camila medem 3 centímetros e 4 centímetros, qual é a medida da área dessa figura?
15 No paralelogramo a seguir, foi representado um triângulo. Determine a medida da área da região pintada de verde.
16 Qual é a medida da área da parte pintada de azul desta figura?
17 Determine a medida da área aproximada deste hexágono, sabendo que a base de cada triângulo que o compõe mede 2,0 centímetros e que a altura relativa a essa base mede, aproximadamente, 1,7 centímetro.
18 Determine a medida aproximada da área de cada figura.
a)
b)
19 Uma base de um triângulo mede 6 centímetros. A altura relativa a essa base mede
2 terçosda medida dessa base. Determine a medida da área desse triângulo.
20
Hora de criar – Reúna-se com um colega e façam o que se pede.
De um triângulo á bê cê, são conhecidas as medidas do lado
A Bque é igual a 9,0 centímetros, e do lado
A Cigual a 7,0 centímetros. A altura relativa ao lado
A Cmede 8,9 centímetros, e a altura relativa ao lado
B Cmede 6,2 centímetros. Calculem as medidas aproximadas do lado
B Ce da altura relativa ao lado
A BSigam as etapas descritas a seguir para resolver esse problema.
• Façam um esbôço do triângulo á bê cê citado no problema. Nesse esbôço, indiquem com números as medidas dadas e com letras as medidas pedidas.
• Verifiquem se já resolveram um problema parecido com esse ou com parte dele que possa ajudar na resolução.
• Tracem e executem um plano de resolução.
• Para conferir as respostas obtidas, convém calcular a área do triângulo á bê cê três vezes, usando em cada vez as medidas de um lado e da respectiva altura.
Respostas e comentários
13. 4 centímetros quadrados
14. 42 centímetros quadrados
15. 5,4 metros quadrados
16. 6 centímetros quadrados
17. 10,2 centímetros quadrados
18. a) 13,5 centímetros quadrados
18. b) Aproximadamente 22,31 centímetros quadrados.
19. 12 centímetros quadrados
20. BC = 10,0 centímetros; h = 6,9 centímetros.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 15 a 18 e 20 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
No exercício 13, os estudantes devem contar quantos lados de quadradinhos da malha compõem a altura e a base do triângulo. Em seguida, devem multiplicar essas quantidades por 0,5 centímetro para obter as medidas da base e da altura do triângulo.
A altura do triângulo mede 2 centímetros (4 · 0,5 = 2) e a base mede 4 centímetros (8 · 0,5 = 4). Logo, a área do triângulo mede 4 centímetros quadrados
A igual 2 vezes 4 meios igual 4No exercício 14, os estudantes devem obter a medida da área de cada triângulo retângulo calculando a medida da área de um deles, pois, como os catetos correspondentes de todos os triângulos têm mesma medida, todos esses triângulos têm mesma área.
A área de cada triângulo mede 6 centímetros quadrados, pois:
fração com numerador: 3 vezes 4, no denominador: 2=
doze meios= 6
Como há 7 triângulos, a área dessa figura é 42 centímetros quadrados.
No exercício 19, um passo essencial para a resolução é fazer um esbôço com as medidas da base e da altura para depois obter a medida da área. Desse modo, os estudantes podem verificar que é possível obter a medida da altura calculando
dois terçosde 6 centímetros, que resultará em 4 centímetros. No entanto, pode ser que algum estudante utilize essa relação diretamente no cálculo da medida de área, dada em centímetros quadrados:
A =
fração com numerador: 6 vezes dois terços vezes 6 e no denominador 2= 4 · 3
A = 12
Compartilhe os diferentes procedimentos que aparecerem e valide-os com a turma.
PARA SABER MAIS
Construindo e explorando um losango
Você já sabe que o losango é um quadrilátero que tem os quatro lados de mesma medida.
Vamos construir, como exemplo, um losango cujos lados meçam 2,5 centímetros e que tenha um ângulo interno medindo 30graus.
Inicialmente, podemos desenhar, à mão, um esbôço do losango. Nesse esbôço, vamos indicar as medidas dadas.
Observando o esbôço e com o auxílio de régua, transferidor e compasso, vamos adotar os seguintes passos de construção:
• Traçamos uma reta e nela um segmento de reta de 2,5 centímetros, que será o lado
A B
• A partir do lado
A Bconstruímos um ângulo medindo 30graus com vértice em A.
• Com a ponta-sêca do compasso em A e abertura AB, traçamos um arco, indicando o ponto C no lado oposto ao ângulo medindo 30graus.
(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca.)
• Com a mesma abertura de 2,5 centímetros e a ponta-sêca do compasso em C, depois em B, traçamos dois arcos que se cruzam, determinando o ponto D (que é o quarto vértice do losango). Assim, obtemos o losango á bê dê cê.
(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)
Respostas e comentários
Para saber mais
A seção apresenta a construção de um losango, conhecendo-se a medida de seus quatro lados e a medida de um dos ângulos internos.
Reproduza a construção na lousa e peça aos estudantes que, nesse momento, acompanhem e elucidem as dúvidas que surgirem. Depois, proponha a eles que façam a mesma construção no caderno, revendo cada passo feito na lousa.
Pergunte a eles se existe outra maneira de construir esse losango e se é possível descobrir mais elementos dele. Esses questionamentos podem ser discutidos em duplas. Espera-se que pensem nas propriedades de quadriláteros que estudaram e percebam que podem determinar as medidas dos demais ângulos internos desse losango, usando essas medidas na construção do losango.
• Como em um paralelogramo os ângulos internos opostos são congruentes, o ângulo interno de vértice D desse losango também mede 30graus.
• Desse modo, os outros dois ângulos internos também são congruentes entre si. Indicando essa medida por x, obtemos: x + x + 30graus + 30graus = 360graus 2x = 300graus x = 150graus
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Escolha outra medida para o lado e para a abertura do ângulo e, repetindo o procedimento da página anterior, construa seu losango em uma folha de papel à parte.
2 Trace as diagonais do losango que você construiu. Em seguida, recorte-o, faça dobraduras pelas duas diagonais e observe o que obteve. Desdobre o losango e escreva o que você verificou a respeito dos quatro triângulos menores obtidos na dobradura.
(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)
3 Com o transferidor, meça as aberturas dos ângulos formados pelas diagonais. Com a régua, meça as distâncias entre o ponto em que as diagonais se cruzam e cada um dos vértices. O que você verificou?
3. Área do losango
Vamos considerar o losango da figura 1. Indicamos por D a medida da diagonal maior do losango e por d a medida da diagonal menor.
Essas diagonais dividem o losango em quatro triângulos retângulos congruentes.
Com mais outros quatro triângulos congruentes a esses, é possível compor um retângulo que tem base de medida D e altura de medida d. Observe a figura 2.
Note que a medida da área do retângulo formado é dada por:
Aretângulo = D ⋅ d
Perceba também que a medida da área do losango é metade da medida da área do retângulo.
Assim, a medida da área do losango é indicada por:
Alosango =
D maiúsculo vezes d minúsculo sobre 2
Respostas e comentários
1. Construção de figura.
2. Resposta possível: o ângulo formado pelas diagonais é reto. Além disso, o losango fica dividido em quatro triângulos idênticos e, portanto, com as mesmas medidas de área.
3. As aberturas de todos os ângulos medem 90graus, ou seja, as diagonais do losango são perpendiculares e se cruzam no meio.
Agora é com você!
Apresentamos a seguir uma possível figura para a atividade 1, considerando que o lado do losango mede 3 centímetros e um dos ângulos internos mede 60graus.
Traçamos uma reta e demarcamos nela um segmento de reta de extremidades a e B cuja medida é 3 centímetros. No vértice A, construímos um ângulo de 60graus e um de seus lados sendo a semirreta de origem em a e que passa por B. Com a ponta-sêca do compasso em a e abertura A bê (de 3 centímetros), traçamos um arco que cruza o outro lado do ângulo de 60graus no ponto D, outro vértice do losango. Com a mesma abertura A bê e a ponta-sêca do compasso em D, depois em B, traçamos dois arcos que se cruzam, determinando C, o quarto vértice do losango.
Assim, traçamos os quatro lados obtendo o losango a bê cê dê.
3. Área do losango
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um nove.
Antes de apresentar aos estudantes a expressão que determina a medida da área de um losango, dadas as medidas de suas diagonais, incentive-os a retomar os conhecimentos e a relacionar a área de losangos à expressão da área de paralelogramos que já estudaram. Esse trabalho investigativo pode ampliar o desenvolvimento da habilidade (EF08MA19).
Depois, os estudantes podem explicar aos colegas a expressão que obtiveram e o que pensaram, argumentando sobre a validade de tal expressão, assim desenvolvendo a competência geral 7.
Por fim, oriente-os a fazer a leitura do conteúdo apresentado no Livro do Estudante e a comentar a relação entre a medida da área de um losango e a de um paralelogramo.
Acompanhe alguns exemplos.
a) Vamos calcular a medida da área de um losango cujas diagonais medem 12 centímetros e 8 centímetros.
Alosango =
D maiúsculo vezes d minúsculo sobre 2Alosango =
12 vezes 8 sobre 2Alosango =
96 sobre 2Alosango = 48
Portanto, a área desse losango mede 48 centímetros2.
b) A área do losango a seguir mede 8,64 centímetros2. Vamos calcular a medida da diagonal menor d, sabendo que a diagonal maior mede 4,80 centímetros. A medida da área desse losango é metade da medida da área de um retângulo cuja base mede 4,80 centímetros e cuja altura tem medida dada por d. Podemos dizer também que a medida da área desse losango é igual ao semiproduto das medidas de suas diagonais. Assim, temos:
Alosango =
D maiúsculo vezes d minúsculo sobre 28,64 =
4,80 vezes d minúsculo sobre 24,80d = 17,28
d = 3,60
Portanto, a diagonal menor desse losango mede 3,60 centímetros.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
21 Conhecidas as medidas das diagonais deste losango, determine a medida de sua área.
22 Para formar um losango, retira-se de cada canto de uma placa retangular não quadrada um triângulo retângulo cujos lados menores medem 15 centímetros e 20 centímetros.
a) Faça um desenho correspondente à situação descrita.
b) Determine a medida da área de cada triângulo retirado da placa retangular e a medida da área do losango formado.
23 Determine a medida da área do losango, sabendo que a base do retângulo mede 12,4 métros e a altura mede 4,5 métros.
Respostas e comentários
21. 97,2 centímetros2
22. a) Construção de figura.
22. b) Medida da área do triângulo: 150 centímetros2; medida da área do losango: 600 centímetros2.
23. 27,9 métros2
Exercícios propostos
As resoluções do exercício 21 e 23 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
O exercício 22 pode ser representado por meio do seguinte esquema:
Nesse caso, o retângulo e o losango são não quadrados. A diagonal maior do losango tem a medida do maior lado do retângulo, 40 centímetros; e a sua diagonal menor tem a medida do menor lado do retângulo, 30 centímetros.
Desse modo, a área do losango mede 600 centímetros2, e a área de cada triângulo retirado mede 150 centímetros2 (triângulos retângulos de catetos medindo 15 centímetros e 20 centímetros).
24 Determine a medida da área do losango, sabendo que a medida da área da parte pintada de verde é igual a 12 centímetros².
a)
b)
25 Com auxílio de régua, transferidor e compasso, construa dois losangos. Para o primeiro, você escolherá a medida do comprimento do lado e a medida da abertura de um ângulo interno. Para o segundo, a medida do comprimento do lado deve ser igual ao dôbro da medida do comprimento do lado do primeiro losango, e um ângulo interno deve ser um ângulo suplementar do ângulo escolhido para o primeiro losango.
Quantas vezes o primeiro losango “cabe” no segundo?
(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca.)
26 A medida da área de um losango é igual a 48 centímetros², e as medidas de suas diagonais, dadas em centímetro, são expressas por números naturais. Que medidas podem ter essas diagonais?
27 Observe as figuras. Na figura 1, temos um quadrado a bê cê dê, com lados de comprimento medindo 12 centímetros. E temos as seguintes congruências:
segmento D H≅
segmento h c segmento c g≅
segmento g b segmento b f≅
segmento f a a e≅
segmento e dA figura 2 foi obtida da figura 1, aumentando as medidas dos comprimentos dos lados
b ae
d cde 12 centímetros para 16 centímetros, e reduzindo as medidas dos comprimentos dos lados
a de
C Bde modo que o quadrado a bê cê dê resultou no retângulo áʹbitʹcentésimoʹdivisores de ʹ e a medida da área do losango rosa foi mantida. De quantos centímetros foi a redução da medida do comprimento do lado
a d?
28
Hora de criar – Em duplas, elaborem um problema cada um para determinar a medida da diagonal menor de um losango com área medindo 8,8 centímetros². Troquem de caderno, resolvam o problema um do outro e desenhem o losango com as medidas obtidas. Depois, destroquem para corrigi-los. A medida da área dos losangos dos dois problemas é igual, mas e as medidas das diagonais dos dois losangos desenhados, elas são iguais? Os dois losangos são equivalentes?
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Para construir a bandeira do Brasil, é necessário obedecer a algumas regras.
A bandeira apresentada é uma réplica que obedece às proporções indicadas nessas regras.
A medida x é igual a 0,51 centímetro.
Qual é a medida aproximada da área da parte verde?
Respostas e comentários
24. a) 48 centímetros2
24. b) 48 centímetros2
25. 4 vezes.
26. 1 centímetro e 96 centímetros; 2 centímetros e 48 centímetros; 3 centímetros e 32 centímetros; 4 centímetros e 24 centímetros; 6 centímetros e 16 centímetros; 8 centímetros e 12 centímetros.
27. 3 centímetros
28. Resposta pessoal.
Pense mais um pouco...: Aproximadamente 17,28 cm2.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 24 a 28 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
Pense mais um poucoreticências
Nesta seção, os estudantes têm de calcular a medida da área da parte em verde da bandeira do Brasil.
A resolução da atividade proposta está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
Comente que a bandeira é um dos Símbolos Nacionais e que toda bandeira do Brasil deve seguir proporções estabelecidas pela Lei nº .5700, de 1º de setembro de 1971, que discorre sobre o formato e a apresentação dos Símbolos Nacionais:
[reticências]
um - Para cálculo das dimensões, tomar-se-á por base a largura desejada, dividindo-se esta em 14 (quatorze) partes iguais. Cada uma das partes será considerada uma medida ou módulo.
dois - O comprimento será de vinte módulos (20ême).
três - A distância dos vértices do losango amarelo ao quadro externo será de um módulo e sete décimos (1,7ême).
quatro - O círculo azul no meio do losango amarelo terá o raio de três módulos e meio (3,5ême).
[reticências]
BRASIL. Lei nº 5.700 de 1º de setembro de 1971. Disponível em: https://oeds.link/Xv5K1f. Acesso em: 20 julho 2022.
Aproveite os dados para propor aos estudantes atividades como:
• Mariana confeccionou uma bandeira do Brasil medindo 28 centímetros de largura. Quantos metros quadrados de tecido ela usou? (Resposta: Espera-se que os estudantes percebam que o módulo será correspondente a 28 centímetros : 14 = 2 centímetros; o comprimento medirá 20 · 2 centímetros = 40 centímetros, o que resulta na medida de área .1120 centímetros2.)
• Se uma bandeira do Brasil mede 30 decímetros de comprimento, qual é a medida da largura dessa bandeira? Qual é a medida da área de tecido utilizada para sua confecção? (Resposta: Os 30 decímetros correspondem a 20 módulos, ou seja, cada módulo mede 1,5 decímetro, e a largura, em dm, medirá 14 · 1,5 decímetro = 21 decímetros; a área de tecido medirá 630 decímetros2.)
4. Área do trapézio
Considere o trapézio a bê cê dê.
Ao traçar um segmento que tem extremidades em uma das bases e na reta suporte da outra, e é perpendicular a elas, a medida desse segmento será igual à medida da altura do trapézio.
Agora, vamos considerar dois trapézios congruentes cujas bases medem B e b e cuja altura mede h.
Com esses dois trapézios, podemos compor um paralelogramo com base medindo (B + b) e altura medindo h. Acompanhe.
A medida da área do paralelogramo formado é dada por:
Aparalelogramo = (B + b) ⋅ h
Observe que a medida da área do trapézio é igual à metade da medida da área do paralelogramo.
Assim, a medida da área do trapézio é indicada por:
Atrapézio =
parentese B maiúsculo mais b minúsculo fecha parentese vezes h sobre 2Respostas e comentários
4. Área do trapézio
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah um nove.
Para abordar a área de um trapézio, providencie pares de trapézios idênticos produzidos em cartolina para os estudantes fazerem a montagem sugerida no Livro do Estudante e verificarem as dimensões do paralelogramo obtido. Se necessário, antes disso, relembre-os das expressões para o cálculo da medida de área de triângulos e de paralelogramos já estudadas.
Em seguida, peça a eles que identifiquem as medidas das bases e da altura do trapézio em cada figura e comparem com as dimensões do paralelogramo obtido.
Converse com a turma e obtenha coletivamente a expressão do cálculo da medida da área do trapézio. Essa atividade de atribuir significado geométrico às expressões do cálculo de medida de área pode favorecer os estudantes a memorizar e compreender tais expressões e, assim, desenvolver a habilidade (EF08MA19).
Proponha a eles que desenhem paralelogramos (para facilitar, podem ser traçados em malhas quadriculadas), dividam cada paralelogramo em dois trapézios idênticos e recortem cada um deles. Desse modo, é possível compreenderem que a medida da área de cada trapézio desenhado é a metade da medida da área do paralelogramo que os originou.
Para exemplificar, vamos determinar a medida da área do trapézio a bê cê dê da ilustração a seguir.
Cálculo da medida da área do trapézio a bê cê dê:
Atrapézio =
parentese B maiúsculo mais b minúsculo fecha parentese vezes h sobre 2Atrapézio =
parentese 2 mais 0,8 fecha parentese vezes 2,5 sobre 2Atrapézio =
2,8 vezes 2,5 sobre 2Atrapézio = 3,5
Portanto, a área desse trapézio mede 3,5 metros quadrados.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
29 A medida da altura de um trapézio é igual a 12,4 centímetros.
a) Se a soma das medidas de suas bases é 15,5 centímetros, qual é a medida da área desse trapézio?
b) E se a medida da área do trapézio for igual a 155,0 centímetros quadrados, qual será a soma das medidas das bases?
30 Com uma régua, meça as bases e a altura do trapézio a seguir. Depois, determine a medida aproximada da área dele, em centímetro quadrado.
31 Um jardineiro precisa gramar um terreno que tem o formato da figura a seguir. Quantos metros quadrados de grama serão necessários para cobrir esse terreno?
32 Um trapézio cujos lados não paralelos têm medidas iguais é chamado de trapézio isósceles. Um trapézio isósceles de lados não paralelos medindo 5 centímetros e altura medindo 4 centímetros tem perímetro medindo 22 centímetros. Determine a medida da área desse trapézio.
33 Sabendo que h = 20 centímetros, determine a medida da área de cada figura.
Respostas e comentários
29. a) 96,1 centímetros quadrados
29. b) 25,0 centímetros
30. 8 centímetros quadrados
31. 88 metros quadrados
32. 24 centímetros quadrados
33. Paralelogramo: 400 centímetros quadrados; triângulo: 200 centímetros quadrados; trapézio: 400 centímetros quadrados.
Exercícios propostos
As resoluções do exercício 29 ao 33 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
No exercício 30, discuta com os estudantes como medimos a altura do trapézio. Eles devem perceber que essa altura é a distância entre as bases, mas, como toda altura, deve ser tomada perpendicularmente. Eles podem decalcar a figura do Livro do Estudante e reproduzi-la no caderno para traçar um segmento que determine essa altura e depois medir seu comprimento.
Para utilizar conhecimentos já adquiridos em capítulos anteriores na Unidade Temática Geometria, solicite aos estudantes que construam esse segmento com régua e compasso. Eles podem tomar um vértice de uma das bases e determinar a perpendicular à outra base que passa por esse vértice.
34 Determine a medida da base maior de um trapézio cuja área mede 260 centímetros², a altura mede 10 centímetros e a base menor mede 12 centímetros.
35 Dirceu fez um croqui para o projeto de seu escritório.
Faça uma estimativa da medida aproximada da área do escritório de Dirceu (incluindo as paredes). Depois, calcule a medida aproximada da área e apresente, em porcentagem, o êrro cometido.
36 A figura a seguir representa dois terrenos na forma de trapézio. Sabendo que as medidas das áreas desses terrenos são iguais, determine:
a) a medida da área do terreno a;
b) a medida do comprimento x no terreno B.
37 (Etec-São Paulo) As redes são usadas nas traves de futebol para impedir a passagem da bola e, desta fórma, facilitar a identificação do gol. Considerando a ilustração a seguir, quantos metros quadrados de rede são necessários para cobrir essa trave de futebol?
Dados: Retângulos a bê cê dê e bê cê agá é.
Os trapézios á bê é éfe e dê cê agá gê são congruentes.
a) 28,426 métros²
b) 31,598 métros²
c) 31,598 métros
d) 51,56 métros²
e) 51,56 métros
38
Hora de criar – Reúna-se com um colega e façam o que se pede.
a) Em uma folha de papel quadriculado, cada um desenha, sem que o outro veja, um trapézio, um triângulo e um retângulo que tenham áreas com as mesmas medidas, isto é, com a mesma quantidade de quadradinhos. Depois, informem um ao outro apenas a medida dessa área. Então, cada um deve construir, em seu papel quadriculado, os três polígonos com a área fornecida pelo colega.
b) Considere que um colega de outra dupla informou que a área de seus polígonos mede 16 quadradinhos e que o outro colega desenhou as seguintes figuras:
As figuras desenhadas pelo outro colega estão corretas?
c) Em outra folha de papel quadriculado, desenhem novamente os três polígonos do item a, mas agora considerem a medida da área igual a 32,5 quadradinhos. Depois de cada um terminar os seus desenhos, troquem de papel e corrijam os desenhos um do outro. Os desenhos feitos por vocês são congruentes?
Respostas e comentários
34. 40 centímetros
35. Medida estimada: 11,5 métros2; medida calculada: 11,365 métros2.
O erro cometido depende da estimativa. Neste caso, o erro foi de aproximadamente 1,2%.
36. a) 800 métros2
36. b) x = 32 métros
37. Alternativa b.
38. a) Construção de figuras.
38. b) Não, a medida da área do triângulo não é igual a 16 quadradinhos, é igual a 14 quadradinhos.
38. c) Resposta pessoal.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 34 ao 36 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
A seguir, apresentamos uma possível resolução para o exercício 37.
O gol é formado pelos trapézios á bê é éfe e dê cê agá gê e pelos retângulos a bê cê dê e bê cê agá é. Os trapézios são congruentes, pois suas medidas são congruentes. Então, eles têm mesma medida de área. Desse modo, cada trapézio tem 3,172 métros2 de área
abre parêntese fração com numerador: abree parênteses, 1,8 mais 0,8, fecha parênteses vezes 2,44, no denominador: 2, igual a 3,172, fecha parêntesesA área do retângulo a bê cê dê mede 5,856 métros2 (7,32 · 0,80 = 5,856), e a área do retângulo bê cê agá é mede, aproximadamente, 19,398 métros2 (7,32 · 2,65 = 19,398). Portanto, a área total mede, aproximadamente, 31,598 métros2 (2 · 3,172 + 5,856 + 19,398 = 31,598).
Exemplo de figuras para o item ado exercício 38:
As áreas do retângulo, do trapézio e do triângulo desenhados nessa malha quadriculada medem 18 quadradinhos.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Pictograma
Segundo o relatório Perspectivas da Urbanização Mundial (World Urbanization Prospects, em inglês), da Organização das Nações Unidas (ônu), em 2018, de cada 100 pessoas da população mundial, 55 viviam em áreas urbanas.
Isso significa que, em 2018, de cada 100 pessoas no mundo:
55 viviam em áreas urbanas
45 viviam em áreas rurais
Além dos gráficos de setores e de barras que estudamos anteriormente, podemos utilizar pictogramas para representar essa situação. Os pictogramas são símbolos usados para transmitir informação. Observe a representação a seguir.
Nessa representação, os símbolos
indicam o número de pessoas que vivem em áreas rurais, de cada 100 pessoas. Já os símbolos
indicam o número de pessoas que vivem em áreas urbanas, de cada 100 pessoas.
Agora, acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
O autismo é uma condição que pode comprometer o desenvolvimento da criança, pois pode afetar as áreas da sociabilidade, da comunicação e do comportamento.
Algumas das características que podem ser identificadas nas áreas citadas são:
A Organização Mundial da Saúde (ó ême ésse) estima que uma em cada 160 crianças é autista. A razão entre o número de crianças que apresentam autismo e as demais crianças, no mundo, pode ser representada por pictogramas.
Respostas e comentários
Trabalhando a informação
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero oito ême ah dois três.
Explique aos estudantes que um gráfico pictórico (ou um pictograma) é um gráfico constituído por meio de desenhos relacionados ao tema tratado. Às vezes, as frequências são representadas pela mesma figura, feita em tamanhos proporcionais a elas; outras vezes, uma figura representa determinada frequência e é replicada quantas vezes for necessário para contemplar todas as frequências dos dados coletados. A prática proposta nessa seção favorece o desenvolvimento da habilidade (EF08MA23).
Se julgar conveniente, proponha aos estudantes que assistam ao filme citado na situação 1 e promova um debate sobre o autismo, desenvolvendo-se, assim, os Temas Contemporâneos Transversais saúde e educação em direitos humanos. Eles podem pesquisar como promover a inclusão de pessoas com autismo, desenvolvendo a competência geral 8, quanto ao cuidado da saúde física, e a competência geral 9, quanto ao exercício da empatia e do respeito ao outro e aos direitos humanos para todos.
Sugestão de leitura
AUTISMO e Realidade. Disponível em: https://oeds.link/RT0Zjz. Acesso em: 20 julho 2022.
A página apresenta informações sobre autismo e cartilhas que visam à inclusão de pessoas com autismo.
Situação 2
A professora Mara fez seu planejamento anual com base em uma pesquisa sobre a preferência dos estudantes quanto a esportes coletivos. Ela registrou o resultado da pesquisa na tabela a seguir.
|
Esporte |
Futebol |
Basquete |
Voleibol |
|---|---|---|---|
|
Número de estudantes |
60 |
20 |
40 |
Dados obtidos pela professora Mara.
No quadro de avisos, a professora fixou um gráfico pictórico, em que cada símbolo equivale a 10 estudantes, de acôrdo com a legenda.
Dados obtidos pela professora Mara.
Agora quem trabalha é você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Em 2018, a população mundial era de aproximadamente 7,6 bilhões. Quantas pessoas viviam no campo?
2 Considerando a população mundial de crianças atual como 2 bilhões, aproximadamente quantas são autistas?
3 Em relação ao total de estudantes da professora Mara, qual é o índice percentual dos estudantes que preferem voleibol?
4 Escolha uma atividade qualquer do seu dia a dia e faça uma pesquisa com os colegas de turma para determinar quantos deles praticam essa mesma atividade. Depois de escolher o tema, defina o número de pessoas que farão parte da sua pesquisa e liste as perguntas que serão feitas a essas pessoas para que você obtenha os dados necessários. Após a coleta dos dados, construa um gráfico pictórico para representar o número de colegas de turma que praticam a atividade escolhida. Crie um símbolo para representar os colegas que praticam a atividade e outro para representar os que não praticam. Coloque uma legenda, um título e não se esqueça de incluir a fonte dos dados do seu gráfico.
Respostas e comentários
1. Aproximadamente 3,4 bilhões.
2. 12,5 milhões.
3. cêrca de 33,3%.
4. Construção de gráfico.
Trabalhando a informação
O trabalho com gráficos pictóricos é importante, pois eles aparecem em meios de comunicação, empregando figuras sugestivas com o objetivo de chamar a atenção do leitor.
Peça aos estudantes que coletem diferentes pictogramas em jornais e revistas e os compartilhem na classe. Com base nesses gráficos, proponha atividades de leitura e de interpretação dos dados.
As resoluções das atividades 1 a 4 do Agora quem trabalha é você! estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
O gráfico pedido na atividade 4 depende de cada turma. Os estudantes podem realizar essa atividade em duplas. Acompanhe cada dupla e intervenha quando julgar necessário, apresentando a eles dicas para contribuir com a discussão, a qual enriquecerá o processo e ampliará o repertório procedimental deles.
Ao final, proponha a cada dupla que apresente seu gráfico e os discuta com toda a turma.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 (saréspi) As hipotenusas de quatro triângulos retângulos isósceles coincidem com os lados de um quadrado, de côr branca, como indica a figura a seguir.
Se os lados desse quadrado medem 4 centímetros, a soma das áreas dos triângulos coloridos é igual a:
a) 32 centímetros quadrados.
b) 16 centímetros quadrados.
c) 8 centímetros quadrados.
d) 4 centímetros quadrados.
2 Mariana fez um mosaico com nove retângulos idênticos, como mostra a figura a seguir. Qual é a medida da área desse mosaico?
3 Um vitral é formado por 6 losangos com diagonais medindo 40 centímetros e 30 centímetros e por 8 triângulos medindo 30 centímetros de base por 20 centímetros de altura. Qual é a medida da área total desse vitral, em centímetro quadrado?
4 Determine a medida da área da figura a seguir.
5 A figura representa uma lâmina de espessura desprezível, composta de ouro (losango amarelo) e prata (paralelogramos cinzas).
Admitindo que o preço da prata seja R$ 4,00quatro reais por centímetro quadrado e o do ouro seja R$ 90,00noventa reais por centímetro quadrado, qual seria o preço dessa placa?
6 Um losango e um triângulo são equivalentes. As diagonais do losango medem 12,8 centímetros e 8,5 centímetros. A base do triângulo mede 13,6 centímetros. Quanto mede a altura relativa a essa base?
7 A figura a seguir mede 72 metros quadrados de área.
Determine a medida de x.
8 (ó bê mépi) Juliana desenhou, em uma folha de papel, um retângulo de comprimento 12 centímetros e largura 10 centímetros. Ela escolheu um ponto P no interior do retângulo e recortou os triângulos sombreados como na figura. Com esses triângulos, ela montou o quadrilátero da direita. Qual é a medida da área do quadrilátero?
a) 58 centímetros quadrados
b) 60 centímetros quadrados
c) 64 centímetros quadrados
d) 66 centímetros quadrados
e) 70 centímetros quadrados
9 (ó bê mépi) Na figura, os pontos C e F pertencem aos lados
BDe
a edo quadrilátero á bê dê é, respectivamente. Os ângulos
be
esão retos e os segmentos
A B,
CD,
DEe
segmento f atêm suas medidas indicadas na figura. Qual é a área do quadrilátero á cê dê éfe?
a) 16
b) 21
c) 31
d) 33
e) 40
Respostas e comentários
1. Alternativa b.
2. 882 centímetros quadrados
3. .6000 centímetros quadrados
4. 70 centímetros quadrados
5. R$ 456,00quatrocentos e cinquenta e seis reais
6. 8,0 centímetros
7. x = 4 métros
8. Alternativa b.
9. Alternativa c.
Exercícios complementares
Este bloco de exercícios possibilita aos estudantes retomar os principais conceitos estudados neste capítulo, revisitando problemas envolvendo área de regiões poligonais.
As resoluções dos exercícios 3 a 6 e dos exercícios 8 e 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
No exercício 1, os estudantes devem notar que todos os triângulos da figura são congruentes, pois têm em comum a hipotenusa e são triângulos isósceles, cujas bases são congruentes, pois são os lados de um quadrado. O quadrado branco é composto de quatro desses triângulos. Desse modo, a área de um triângulo mede 4 centímetros quadrados, pois pode ser obtida através da quarta parte da área do quadrado que mede 16 centímetros quadrados. Portanto, a soma das medidas das áreas dos triângulos coloridos é igual a 16 centímetros quadrados. A alternativa que apresenta essa medida é a b.
No exercício 2, os estudantes devem perceber que a base do retângulo mede o dôbro da medida do lado menor do mosaico e que a medida de 21 centímetros do lado do mosaico é composta da soma das medidas do lado menor e do lado maior do retângulo. Pode-se concluir isso porque, pelo mosaico, dois lados menores do retângulo correspondem ao lado maior do mesmo retângulo. Portanto, a área do mosaico mede 882 centímetros quadrados (42 · 21 = 882).
No exercício 7, os estudantes devem perceber que a figura dada é formada por dois trapézios congruentes, dispostos de maneira simétrica. Por isso, as medidas de área desses trapézios são iguais. Assim, obtemos:
Afigura = 2 · Atrapézio
72 = 2 ·
fração com numerador: abre parênteses, 12, 5 mais 5,5, fecha parênteses, vezes x, numerador: 2 72 igual a 18 x setenta e dois dezoito avos72 = 18x
4 = x
Logo, x corresponde a 4 métros.
VERIFICANDO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Luciene contratou um pintor para pintar as paredes de seu quarto. O quarto tem dois pares de paredes iguais, com as medidas indicadas na figura.
Se o pintor cobra R$ 25,00vinte e cinco reais por metro quadrado pintado, quanto custará a pintura de todas as paredes do quarto, desconsiderando janelas e portas?
a) R$ 625,00seiscentos e vinte e cinco reais
b) R$ 1.250,00mil duzentos e cinquenta reais
c) R$ 1.000,00mil reais
d) R$ 1.500,00mil quinhentos reais
2 Qual é a medida da área do paralelogramo a seguir?
a) .1100 centímetros quadrados
b) 616 centímetros quadrados
c) 880 centímetros quadrados
d) 484 centímetros quadrados
3 Um cabide tem as medidas indicadas na figura a seguir. Qual é a medida da área dessa face do cabide, desconsiderando a alça?
a) 224 centímetros quadrados
b) 424 centímetros quadrados
c) 324 centímetros quadrados
d) 100 centímetros quadrados
4 Qual é a medida da área de um triângulo retângulo de lados medindo 3 centímetros, 4 centímetros e 5 centímetros?
a) 10 centímetros quadrados
b) 7,5 centímetros quadrados
c) 6 centímetros quadrados
d) 4 centímetros quadrados
5 Determine a medida da diagonal maior de um losango cuja área mede 45,5 centímetros quadrados e a diagonal menor mede 7,0 centímetros.
a) 159,0 centímetros
b) 13,0 centímetros
c) 91,0 centímetros
d) 50,0 centímetros
6 Para produzir suas obras, um artista plástico utiliza telas de formatos não convencionais. Uma das novas telas tem o formato de losango e as seguintes medidas.
Qual é a medida da área que essa tela ocupa em uma parede?
a) 576 centímetros quadrados
b) .1152 centímetros quadrados
c) 384 centímetros quadrados
d) 96 centímetros quadrados
7 Em uma escola, as turmas do 9º ano farão uma votação para decidir o local da viagem de formatura. Para isso, construirão uma urna de papelão de base quadrada e com as seguintes medidas.
Qual é a quantidade de papelão necessária, em centímetro quadrado, para a construção da urna?
a) 844 centímetros quadrados
b) .2104 centímetros quadrados
c) .1680 centímetros quadrados
d) .2004 centímetros quadrados
8 Uma figura composta de um quadrado de lado medindo 4 centímetros de comprimento e um triângulo retângulo isósceles de lados iguais medindo 4 centímetros de comprimento, com um dos lados iguais do triângulo adjacente a um dos lados do quadrado, gera um:
a) paralelogramo, cuja área mede 32 centímetros quadrados.
b) trapézio, cuja área mede 24 centímetros quadrados.
c) trapézio, cuja área mede 32 centímetros quadrados.
d) triângulo, cuja área mede 16 centímetros quadrados.
Organizando
Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões.
a) O cálculo da medida da área de triângulos, losangos e trapézios pode ser demonstrado a partir de uma mesma figura específica. Que figura é essa?
b) Indique as informações necessárias para determinarmos a medida da área de um:
• paralelogramo;
• triângulo;
• losango;
• trapézio.
Respostas e comentários
1. Alternativa b.
2. Alternativa a.
3. Alternativa a.
4. Alternativa c.
5. Alternativa b.
6. Alternativa a.
7. Alternativa b.
8. Alternativa b.
Organizando:
a) Paralelogramo.
b) Precisamos das medidas:
• da base e da altura do paralelogramo;
• da base e da alturado triângulo;
• da diagonal maior e da diagonal menor do losango;
• da base maior, da base menor e da altura do trapézio.
Verificando
Nesta seção, apresentamos exercícios que abrangem todo o capítulo, uma oportunidade para os estudantes validarem o entendimento do conteúdo estudado. Caso eles apresentem dúvidas em relação a algum dos exercícios propostos, oriente-os a rever os conceitos apresentados no capítulo.
Sugerimos, ainda, que os estudantes formem duplas para resolverem os exercícios e, depois de corrigidos, cada um resolva novamente aqueles que tiverem errado.
Acompanhe uma possível resolução para o teste 1.
Pela figura, são duas paredes em formato retangular com medidas 2,5 métros por 6 métros e outras duas paredes com medidas 4 métros por 6 métros. Então, a área total a ser pintada mede 50 metros quadrados, pois:
A = 2(2,5 · 6) + 2(4 · 2,5) = 30 + 20 = 50
Portanto, o preço a ser pago será mil duzentos e cinquenta reais (50 · 25 = .1250).
Pela figura do teste 2, pode-se notar que a altura do paralelogramo mede 22 centímetros. Assim, a área mede .1100 centímetros quadrados, pois: (22 + 28) · 22 = .1100.
A alternativa que apresenta essa medida é a a.
As resoluções e comentários dos testes 3 a 8 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 11.
Organizando
As questões apresentadas nessa seção possibilitam retomar com os estudantes os principais conceitos trabalhados no capítulo. Elas também podem orientar uma autoavaliação.
É interessante que cada estudante responda às questões individualmente e, depois, comentem com os colegas suas respostas, corrigindo-as ou ampliando-as.