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CAPÍTULO 1 Números reais

Fotografia. Vista frontal do Partenon, construção grega em ruínas com colunas cilíndricas e degraus. Céu azul sem nuvens. — O Partenon, em Atenas, Grécia. (Fotografia de 2019.)

Ícone do Tema Contemporâneo Transversal: MULTICULTURALISMO.

Será que a estrutura espiral das conchas de moluscos, o Partenon em Atenas, na Grécia, as pirâmides em Gizé, no Egito, e a obra Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, têm algum elemento em comum?

Muitos afirmam que essas e outras obras de arte ou de arquitetura apresentam, em suas composições, segmentos cujas medidas a e b, com a > b, estão à razão:

\frac{a}{b} = \frac{a + b}{a}

Dizemos que as razões dessa proporção são a razão áurea, cujo valor numérico é representado pela letra grega ϕ (fi), o número de ouro. Para que isso ocorra, a e b devem ser tais que:

b = \frac{a (\sqrt{5} ‒ 1)}{2}

Observe a fotografia e responda às questões no caderno.

a) Para a = 1, qual deve ser o valor de b para que estejam à razão áurea?

b) Com os valores de a e de b considerados no item anterior, determine uma aproximação para o número ϕ.

c) Pesquise sobre o número de ouro e debata com os colegas sobre a razão áurea representar um padrão de beleza.

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1. A história dos números

Desde a invenção da escrita, há cêrca de 4 mil anos, o ser humano começou a usar símbolos para representar quantidades como resultado da contagem de objetos: quantidade de aves que criava, de peixes que pescava, de cereais que colhia etcétera

Os babilônios, por exemplo, muitos séculos antes de Cristo, empregavam símbolos em fórma de cunhaglossário para representar números:

Fotografia. Tábua de argila da civilização babilônica, retangular, com linhas e inscrições. — Tábua de argila da civilização babilônica, do período entre 1900 antes de Cristo e 1600 antes de Cristo Universidade Columbia, Nova York, Estados Unidos.

• Uma cunha “em pé” (

) representava o número 1 e podia ser repetida até nove vezes.

• Uma cunha “deitada” (

) representava o número 10 e podia ser repetida até cinco vezes.

Esses símbolos eram talhados em tábuas de argila, como a da fotografia.

Outros povos, como os egípcios e os romanos, tinham seus próprios símbolos e suas próprias regras para registrar quantidades.

Atualmente, a maioria dos povos adota o sistema de numeração decimal, composto de dez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), denominados algarismos indo-arábicos.

Números naturais

Números naturais são aqueles que expressam o resultado de uma contagem.

O conjunto dos números naturais, representado por

Símbolo. Letra N, com um traço vertical a lado esquerdo da letra. Representa o conjunto dos números naturais.

, pode ser indicado por:

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Com os números naturais, efetuamos qualquer adição ou multiplicação. As subtrações, no entanto, só serão possíveis quando o minuendo for maior ou igual ao subtraendo, e as divisões, quando o dividendo for múltiplo do divisor.

São exemplos de operações impossíveis de ser realizadas só com números naturais:

a) a subtração 6 ‒ 7 (não há número natural que adicionado a 7 resulte 6);

b) a divisão exata 8 : 5 (não há número natural que multiplicado por 5 resulte 8).

Os números naturais não são suficientes para representar todas as situações do dia a dia. Com eles, não é possível representar, por exemplo, temperaturas abaixo de zero grau Celsius nem a medida do comprimento do nosso palmo em metro.

Para atender a situações como essas, foram criados outros conjuntos numéricos, que estudaremos ao longo deste capítulo.

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Números inteiros

Os números inteiros são números relativos (positivos ou negativos) criados pelo ser humano, em decorrência de necessidades impostas pelo comércio e de situações cotidianas que exigiram a representação de quantidades em relação ao referencial zero.

Acompanhe exemplos em que recorremos aos números inteiros.

a) Nos termômetros, para indicar temperaturas abaixo de zero grau Celsius (números negativos) ou acima de zero grau Celsius (números positivos). O referencial é 0 grau cê.

Fotografia. Pessoa correndo em pista de corrida. À direita, relógio digital marcando menos 2 graus Celsius. — Pessoa em pista de corrida em Curitiba, Paraná. (Fotografia de 2021.)

b) Para descrever o saldo de gols de times em um campeonato de futebol, podemos utilizar os números inteiros positivos para indicar os gols realizados, e os inteiros negativos, para os gols sofridos.

Saldo de gols de alguns times do campeonato de futebol da escola
	Gols realizados	Gols sofridos	Saldo de gols
Time A	3	−4	−1
Time B	2	−1	1
Time C	5	−3	2
Time D	6	−6	0

Fonte: anotações realizadas pelo professor de Educação Física.

O conjunto dos números inteiros, representado por

Símbolo. Letra Z, com traço diagonal ao lado do traço do meio da letra. Representa o conjunto dos números inteiros.

, pode ser indicado por:

= {reticências, ‒3, ‒2, ‒1, 0, +1, +2, +3, reticências}

Os símbolos + e ‒ à esquerda dos números passam a indicar a posição que eles ocupam em relação ao zero, quando organizados em ordem crescente ou decrescente: os números menores do que zero são negativos, e os maiores do que zero, positivos. O número zero não é positivo nem negativo.

Os números inteiros não negativos (0, +1, +2, +3, reticências) são associados aos números naturais, tanto na ordenação como nas operações, então, esses números passarão a ser indicados simplesmente por 0, 1, 2, 3, 4, reticências

Por esse motivo, podemos dizer que qualquer número natural é um número inteiro:

Esquema. Letra Z, que representa o conjunto dos números inteiros, é igual a: abre chave, reticências, menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, reticências, fecha chave. A parte dos elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, reticências, está destacada, com a indicação de que esses números fazem parte do conjunto dos números naturais.

Com a criação do conjunto dos números inteiros, tornou-se possível efetuar subtrações em que o minuendo é menor do que o subtraendo. Por exemplo: (6 ‒ 7 = ‒1) e (0 ‒ 3 = ‒3).

Os números inteiros, no entanto, não são suficientes para representar o resultado de qualquer divisão. Por exemplo: (10 : 3) e [(‒5) : 7].

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Números racionais

Considere os números a seguir.

1,25

0,777reticências

‒13

‒0,75

Eles são exemplos de números racionais, pois podem ser escritos na fórma de fração

\frac{a}{b}

com um número inteiro no numerador e um número inteiro não nulo no denominador. Observe.

1,25 =

\frac{5}{4}

0,777reticências =

\frac{7}{9}

‒13 = ‒

\frac{13}{1}

‒0,75 = ‒

\frac{3}{4}

Com os números racionais, podemos representar o resultado da divisão de quaisquer dois números inteiros, com o divisor não nulo. O conjunto dos números racionais, representado por

Letra Q, que representa o conjunto dos números racionais.

, pode ser indicado por:

= \{\frac{a}{b}, c o m a e b inteiros e b \neq 0\}

Observe o quadro a seguir, com alguns exemplos de números racionais.

	Número natural	Número inteiro	Número racional
3	✓	✓	✓
−8		✓	✓
$divisão de 1 sobre 3$			✓
−0,7555...			✓

Agora, note como podemos representar alguns números racionais na reta numérica.

Ilustração. Reta numérica com os pontos a seguir, da esquerda para a direita: menos 1, fração menos 3 quartos; fração menos meio. Duas unidades à direita, os pontos: 0, fração 1 quinto. Quatro unidades à direita, o ponto, 1. Três unidades à direita: o ponto: fração 8 quintos. Duas unidades à direita, o ponto: 2.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Identifique, entre as operações a seguir, quais não podem ser realizadas apenas com números naturais.

a) 3 + 7

b) 5 ‒ 235

c) 0 ‒ 0

d) 7 ‒ 0

e) 3 : 7

f) 3 ⋅ 7

g) 8 : 3

h) 7 : 10

2 Responda às questões a seguir.

a) Por que é impossível efetuar a divisão exata 7 : 3 dispondo apenas de números naturais?

b) E 3 ‒ 7? Por que é impossível efetuá-la, considerando apenas os naturais?

3 Enquanto um avião sobrevoa a uma altitude de medida igual a 5,8 quilômetros, um submarino está a uma profundidade medindo 0,24 quilômetro.

a) Represente essas medidas com números relativos e explique qual foi o referencial utilizado.

b) Os números que aparecem no enunciado (5,8 e 0,24) são números racionais? Eles estão escritos na fórma de fração?

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4 Entre os números a seguir, quais são inteiros?

Ilustração. Cartões coloridos com os números: Fração menos 3 meios. Fração 1 terço. Fração menos 20 décimos. Fração menos 4 12 avos. Fração mais 12 quartos.

5 Identifique as sentenças falsas e justifique com um exemplo.

a) Todo número natural é inteiro.

b) Todo número inteiro é racional.

c) Todo número natural é racional.

d) Todo número que pode ser escrito na fórma de fração de inteiros, com denominador não nulo, é racional.

e) Todo número natural é um número inteiro positivo.

f) Todo número inteiro é natural.

g) Todo número racional é inteiro.

Reúna-se com um colega e respondam quantos números inteiros existem:

a) entre dois números inteiros consecutivos;

b) entre 1 e 9, entre ‒1 e 1, entre ‒9 e 9;

c) entre 0 e 10, entre 0 e 100, entre 0 e ..1000000.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Reúna-se com um colega e façam o que se pede.

a) Calculem os números racionais:

• a, que é a média aritmética de 3 e 7;

• b, que é a média aritmética de 3 e a ;

• c, que é a média aritmética de 3 e b;

• d, que é a média aritmética de 3 e c.

b) Representem os números racionais 3, a, b, c, d e 7 em uma mesma reta numérica.

c) As médias aritméticas de dois números obtidas no item a estão entre esses dois números?

d) É possível calcular os números ê, f, g, h, reticências, que sejam as médias aritméticas, respectivamente, de 3 e d, de 3 e ê, de 3 e f, de 3 e g, e assim por diante?

e) Considerando os itens anteriores, use sua percepção para dizer quantos números racionais existem entre 3 e 7 e quantos números racionais existem entre dois números racionais distintos quaisquer.

Representações dos números racionais

Com essa breve retomada sobre a necessidade de ampliar os conjuntos numéricos, podemos constatar que os algarismos indo-arábicos servem para representar todos os números que constituem esses conjuntos.

Notamos, também, que há mais de uma representação possível para todos os números racionais: a fracionária e a decimal.

No quadro a seguir, há algumas representações fracionárias e decimais de alguns números racionais.

Número racional	Algumas representações
−2	$menos divisão de 18 sobre 9$	−2,0
$divisão de 1 sobre 4$	$divisão de 4 sobre 16$	0,25
$divisão de 4 sobre 11$	$divisão de 8 sobre 22$	0,3636…

Número racional	Algumas representações
−5,3	$menos divisão de 53 sobre 10$	−5,300
$divisão de 32 sobre 15$	$2 divisão de 2 sobre 15$	2,1333…
6	$divisão de 12 sobre 2$	6,000

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Muitos números racionais podem ser representados por uma fração decimal, isto é, de denominador 10, 100, .1000 etcétera, como os números a seguir.

Esquema. Quatro números racionais e suas respectivas representações por frações decimais. Número: menos 2, é igual à fração menos 20 décimos. Número: fração 1 quarto, é igual à fração 25 centésimos. Número: menos 5,3, é igual à fração menos 53 décimos. Número: 6,000, é igual à fração 6 mil milésimos. Todas as frações com denominador 10, 100 ou 1000 estão identificadas por: frações decimais.

Já os números

\frac{4}{11}

\frac{32}{15}

não podem ser representados por uma fração decimal. No entanto, eles podem ser escritos na fórma decimal.

Note que, nas representações 0,3636reticências e 2,1333reticências, as reticências indicam infinitas casas decimais e periódicas. Por exemplo: em 0,3636reticências, as reticências indicam que 36, chamado de período, continua se repetindo indefinidamente. Já em 2,1333reticências, temos uma representação decimal periódica de período 3.

A representação decimal periódica recebe o nome de dízima periódica.

Uma dízima periódica pode ser escrita abreviadamente, colocando-se um traço sobre o período. Note a representação abreviada de algumas dízimas periódicas.

a) 2,555reticências =

2, \overline{5}

b) ‒0,1313reticências =

‒ 0, \overline{13}

c) 1,2777reticências =

1, 2 \overline{7}

d) 0,21888reticências =

0, 21 \overline{8}

e) ‒ 8,612612reticências =

‒ 8, \overline{612}

f) 4,0979797reticências =

4, 0 \overline{97}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

7 Escreva no caderno a representação decimal das frações a seguir.

\frac{35}{10}

\frac{28}{100}

‒ \frac{7}{100}

‒ \frac{321}{10000}

\frac{542}{100}

\frac{12}{1000}

8 Observando os resultados do exercício anterior, estabeleça a relação existente entre a quantidade de zeros do denominador de uma fração decimal e a quantidade de casas após a vírgula na representação decimal dessa fração.

9 Represente no caderno cada fração na fórma decimal.

\frac{2}{5}

\frac{5}{6}

\frac{11}{3}

‒ \frac{45}{8}

‒ \frac{11}{90}

\frac{52}{25}

10 Adicionando os dois números de cada item, obtemos outro número na fórma de dízima periódica. Determine em cada caso essa dízima periódica na fórma abreviada.

a) 2,444reticências e 5,111reticências

b) 2,5 e 3,222reticências

Usando uma calculadora, faça o que se pede.

a) Escreva no caderno o número que aparece no visor após digitar estas teclas:

Ilustração. Teclas de uma calculadora: 3, 3, sinal de divisão, 9, sinal de igual.

b) Reserve esse resultado na memória aditiva, digitando a tecla

Ilustração. Tecla: M mais, que representa a memória aditiva.

c) Escreva no caderno o número que aparece no visor após digitar estas teclas:

Ilustração. Teclas de uma calculador: 1, 5, sinal de divisão, 9, sinal de igual.

d) Para subtrair o resultado do item c do resultado do item a, basta digitar as teclas

Ilustração. Tecla: M menos, que representa a memória subtrativa.

da memória subtrativa e

, que recupera o último resultado da memória. Escreva no caderno o número que aparece no visor.

e) Efetue

\frac{20}{9} ‒ \frac{47}{9}

e, em seguida, com uma calculadora, confira o resultado.

f) Calcule o valor da expressão:

5,222reticências ‒ 2,222reticências

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Da fórma decimal para a fórma de fração

Já trabalhamos com a transformação de um número escrito na fórma de fração para a fórma decimal. Para isso, basta efetuar o algoritmo da divisão, como neste exemplo.

\frac{1}{5} = 1 : 5 = 0, 2

Algoritmo da divisão com chave. Dividendo: 1. Divisor, na chave: 5. Abaixo do dividendo, menos 0; um traço, e abaixo, o número 10; abaixo, o número menos 10; um traço e abaixo, o resto da divisão: 0. Abaixo do número 5, que está na chave, o quociente 0,2.

Agora, vamos acompanhar como transformar um número na fórma decimal para a fórma de fração.

1º caso: Quando o número tem finitas casas decimais, sua leitura fornece uma boa indicação de como expressá-lo na fórma de fração.

Observe alguns exemplos.

0,2, que é igual a dois décimos, que é igual a Fração; numerador: 2; denominador: 10. De 0,2, uma seta indica que há uma casa decimal. De dois décimos, uma chave indica como se lê o número. Da fração dois décimos, uma seta indica que há um zero acompanhando o 1 no denominador, formando o número 10.

5,325, que é igual a: cinco inteiros, trezentos e vinte e cinco milésimos, que é igual ao número misto: 5, fração; numerador: 325; denominador: 1000; fim da fração. De 5,325, uma seta indica que há três casas decimais. De cinco inteiros, trezentos e vinte e cinco e cinco milésimos, uma chave indica como se lê o número. De 5, Fração; numerador: 325; denominador: 1000; fim da fração, uma seta indica que há três zeros acompanhando o 1 no denominador, formando o número 1000.

2º caso: Quando o número tem infinitas casas decimais, como o número 0,55555reticências, procedemos do seguinte modo.

• Primeiro, chamamos o número 0,55555reticências de x, obtendo a igualdade:

x = 0,55555reticências (um)

• Em seguida, multiplicamos os dois membros por 10, chegando a uma nova igualdade:

10x = 5,5555reticências (dois)

• E, finalmente, subtraímos (um) de (dois), membro a membro, obtendo:

10x ‒ x = 5,555reticências ‒ 0,555reticências

9x = 5

\frac{9 x}{9} = \frac{5}{9}

x = \frac{5}{9}

Logo: 0,55555reticências =

\frac{5}{9}

Ilustração. Homem branco, de cabelo ruivo e camisa vermelha. Ele fala: Note que, ao multiplicar 0,55555 reticências por 10, a vírgula se deslocou uma casa para a direita do primeiro período. Assim, a parte decimal permaneceu a mesma.

Nesse caso, os dois membros da primeira igualdade foram multiplicados por 10. De modo geral, eles devem ser multiplicados por uma potência de 10 conveniente (10, 100, .1000, reticências) a fim de se deslocar a vírgula para a direita do primeiro período.

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Acompanhe outro exemplo, com o número 2,373737reticências

• Chamando 2,373737reticências de x, obtemos a igualdade x = 2,373737reticências

• Multiplicando os dois membros dessa igualdade por 100, obtemos uma nova igualdade:

100x = 237,3737reticências

Ilustração. Mulher branca, de cabelo vermelho e camiseta roxa. Ela diz: Note que, ao multiplicar 2,373737 reticências por 100, a vírgula se deslocou duas casas para a direita do primeiro período. Assim, a parte decimal permaneceu a mesma.

• Subtraindo a primeira igualdade da segunda, membro a membro, temos:

100x ‒ x = 237,3737reticências ‒ 2,3737reticências

99x = 235

\frac{99 x}{99} = \frac{235}{99}

x = \frac{235}{99}

Ilustração. Menino branco, de cabelo preto e camiseta verde. Ele diz: A fração irredutível que gera uma dízima periódica é chamada de fração geratriz (palavra grifada).

Logo: 2,3737reticências =

\frac{235}{99}

Agora, acompanhe o caso da dízima composta 6,8424242reticências com um algarismo (8) após a vírgula, além do período 42.

• A partir da igualdade x = 6,8424242reticências, devemos obter duas outras igualdades em que, no segundo membro, as partes decimais sejam iguais. Dessa maneira, na subtração de uma pela outra, essas partes decimais se anulam.

• Como há um algarismo (8) após a vírgula que não faz parte do período, multiplicamos ambos os membros por 10 e, depois, por .1000:

10x = 68,424242... e .1000x = .6842,424242...

• Subtraindo a primeira igualdade da segunda, membro a membro, temos:

1000 x menos 10 x, igual, seis mil oitocentos e quarenta e dois vírgula quarenta e dois quarenta e dois quarenta e dois reticências, menos, 68 vírgula quarenta e dois quarenta e dois quarenta e dois reticências. Uma seta indica que as partes decimais são iguais e se anulam. x é igual à Fração; numerador: 6774; denominador: 990. Uma seta indica que podemos simplificar a fração dividindo por 6 o numerador e o denominador. x é igual a Fração; numerador: 1129; denominador: 165. Uma seta indica que a fração da igualdade é a fração geratriz.

Portanto, temos: 6,8424242reticências =

\frac{1129}{165}

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Em uma calculadora, digite as teclas mostradas a seguir e escreva no caderno o resultado.

Ilustração. Teclas: 9, sinal de divisão, 6, 6, sinal de igual.

a) Para o último algarismo do número que aparece no visor, sua calculadora faz algum arredondamento?

b) Represente o número obtido na fórma de fração irredutível.

13 Escreva no caderno as frações irredutíveis que representam: o número 0,36, o número 0,04 e a adição 0,36 + 0,04.

14 Expresse os números a seguir na fórma de fração.

a) 3,444reticências

‒ 12, \overline{5}

0, \overline{45}

d) ‒0,31222reticências

15 Determine a fração irredutível que representa o valor de cada expressão a seguir.

0, 2 + 0, \overline{3}

0, 2 \overline{7} + 2, \overline{3}

0, 3 \overline{8} + 1, 4 \overline{5}

1, \overline{8} \cdot \frac{2}{17}

16 Dividindo um número x por um número y, obtém-se 2,555reticências Determine no caderno o valor de x e de y, sabendo que eles são números primos entre si.

17 Hora de criar – Escreva o número 7 como:

a) a soma de dois números racionais na fórma de fração;

b) a diferença de dois números racionais na fórma decimal, cada um com duas casas decimais;

c) a soma de duas dízimas periódicas.

18 Em uma caixa, há sete bolas numeradas de 1 a 7. Márcio retira três bolas consecutivas, sem recolocá-las na caixa, para representar um número a. O número retirado na primeira bola representará as unidades de a; o número da segunda bola representará os décimos de a; e o da terceira bola, os centésimos.

Ilustração. Menino branco, cabelo preto e roupa amarela em pé segurando três bolas numeradas: 2, 6 e 4. Ao lado, menina branca, de cabelo castanho claro, de camiseta amarela. Ela está sentada na carteira com uma caixa com bolinhas numeradas: 1, 3, 5, 7 sobre a mesa.

a) Márcio retirou os números 6, 4 e 2, nessa ordem. Qual é o número A formado nesse caso? Indique-o por uma fração irredutível.

b) Se, em seguida, Márcio retirar mais três bolas, qual é o maior número A possível que poderá ser formado com a retirada dessas bolas? E o menor?

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Observe as expressões a seguir.

1 + \frac{1}{2}

1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}

1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}

Calcule no caderno o valor das expressões dadas e, seguindo o padrão, escreva a quarta expressão e calcule seu valor.

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PARA SABER MAIS

O problema dos coelhos de Fibonacci e o número áureo

Leonardo de Pisa (cêrca de 1170-1240), conhecido como Fibonacci, publicou, em 1202, o famoso livro Liber Abaci (Livro do ábaco), em que explicou a notação indo-arábica que usamos hoje.

No capítulo XII, ele propôs o seguinte problema, que originou a sequência de Fibonacci:

Ilustração. Tira de papel com o texto: Um homem pôs um par de coelhos em um lugar cercado de todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir desse par em um ano se, supostamente, todo mês cada par dá à luz um novo par, que é fértil a partir do segundo mês?

O que nos interessa apresentar aqui é a sequência de Fibonacci. Por isso, vamos apenas iniciar a resolução dos primeiros passos do problema.

Observe a figura na qual um coelho grande representa um par de coelhos maduros (férteis) e um coelho pequeno representa um par de coelhos jovens (que não procriam).

• Vamos começar com um par de coelhos jovens.

• Esse par amadurece durante o 1º mês.

• Após o 1º mês, o 1º par dá à luz outro par, assim ficamos com 2 pares.

• Após o 2º mês, o par maduro dá à luz outro par jovem, enquanto o par de filhotes amadurece. Assim ficam 3 pares.

• Após o 3º mês, cada um dos 2 pares maduros dá à luz outro par, e o par de filhotes amadurece. Temos agora 5 pares.

• Após o 4º mês, cada um dos 3 pares maduros dá à luz outro par, e os 2 pares de filhotes crescem. Agora temos 8 pares.

• Após o 5º mês, temos 1 par de filhotes de cada um dos 5 pares adultos, mais 3 pares crescendo. Total: 13 pares.

Esquema. Reprodução de coelhos em cinco meses. De cima para baixo: 1 coelho pequeno. Abaixo, 1 coelho grande (coelho pequeno maduro). Abaixo, no primeiro mês: 1 coelho grande procria 1 coelho pequeno; total de 2 coelhos: 1 grande, 1 pequeno. Abaixo, segundo mês: 1 coelho maduro procria 1 coelho pequeno; 1 coelho pequeno amadurece para 1 coelho grande; total de 3 coelhos: 2 grandes, 1 pequeno. Abaixo, terceiro mês: 2 coelhos grandes procriam 2 coelhos pequenos; 1 coelho pequeno amadurece para 1 coelho grande; total de 5 coelhos: 3 grandes e 2 pequenos. Abaixo, quarto mês: 3 coelhos grandes procriam 3 coelhos pequenos; 2 coelhos pequenos amadurecem para 2 coelhos grandes; total de 8 coelhos: 5 grandes, 3 pequenos. Abaixo, quinto mês: 5 coelhos grandes procriam 5 coelhos pequenos; 3 coelhos pequenos amadurecem para 3 coelhos grandes; total de 13 coelhos: 8 grandes, 5 pequenos.

Podemos, então, observar a sequência de números de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, reticências

Dados obtidos em: LIVIO, Mario. Razão áurea. 3. ed. Rio de Janeiro: Record, 2008. p. 116.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Compare a soma de dois números consecutivos da sequência com o número seguinte.

2 Quais são os próximos quatro números da sequência?

3 Com os onze números (n1, n2, n3, n4, reticências) da sequência agora conhecidos, calcule a razão de um número pelo termo anterior com aproximação até a terceira casa após a vírgula. Consulte a abertura do capítulo e diga de qual número os quocientes obtidos se aproximam.

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TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Pesquisa amostral e estimativas

Ícone do Tema Contemporâneo Transversal: CIDADANIA E CIVISMO.

Violência contra mulheres

A violência contra as mulheres se manifesta de diversas fórmas. De fato, o próprio conceito definido na Convenção de Belém do Pará (1994) aponta para esta amplitude, definindo violência contra as mulheres como “qualquer ação ou conduta, baseada no gênero, que cause morte, dano ou sofrimento físico, sexual ou psicológico à mulher, tanto no âmbito público como no privado” (Artigo 1º). Além das violações aos direitos das mulheres e a sua integridade física e psicológica, a violência impacta também no desenvolvimento social e econômico de um país.

SUBSECRETARIA DE POLÍTICAS PÚBLICAS PARA MULHERES. Violência contra a mulher. Mato Grosso do Sul, [2021?]. Disponível em: https://oeds.link/MF1MKA. Acesso em: 2 abril 2022.

Em 2021, o Instituto DataSenado, em parceria com o Observatório da Mulher contra a Violência, realizou uma pesquisa, com 3 mil brasileiras de 16 anos ou mais, denominada “Violência doméstica e familiar contra a mulher – 2021”.

Para 71% das entrevistadas, o Brasil é um país muito machista, e 68% conhecem uma ou mais mulheres vítimas de violência doméstica ou familiar, enquanto 27% declaram já ter sofrido algum tipo de agressão por um homem.

Note, nas tabelas a seguir, outros dados sobre essa pesquisa.

Tabela 1: De forma geral, você acha que as mulheres são tratadas com respeito no Brasil?
	Amostra observada	População estimada
Sim	130	3.422.511
Às vezes	1.280	37.719.799
Não	1.574	49.490.883
Não sei/Prefiro não responder	16	581.707
Total	3.000	91.214.900

Fonte: BRASIL. Senado Federal. Violência doméstica e familiar contra a mulher, Brasília, Distrito Federal: Senado Federal, 2021. Disponível em: https://oeds.link/qWeDZi. Acesso em: 2 abril 2022.

Tabela 2: Alguma amiga, familiar ou conhecida já sofreu algum tipo de violência doméstica ou familiar?
	Amostra observada	População estimada
Sim, mais de uma	1.638	45.041.306
Sim, conheço uma	533	17.279.570
Não conheço	813	28.464.935
Não sei/Prefiro não responder	16	429.089
Total	3.000	91.214.900

Fonte: BRASIL. Senado Federal. Violência doméstica e familiar contra a mulher, Brasília, Distrito Federal: Senado Federal, 2021. Disponível em: https://oeds.link/qWeDZi. Acesso em: 2 abril 2022.

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Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 O que diz a Convenção de Belém do Pará (1994) sobre o que caracteriza a violência contra as mulheres?

2 Segundo a pesquisa, que percentual das entrevistadas consideram o Brasil um país machista?

3 De acordo com os dados, é possível dizer que as entrevistadas acham que as mulheres são tratadas com respeito no Brasil? Justifique sua resposta.

4 A maioria das entrevistadas conhece alguma mulher que já sofreu alguma violência? Justifique sua resposta.

5 Nas tabelas, foram identificadas a amostra observada e a população estimada. A amostra corresponde ao número de entrevistadas e, com base nesses valores e análises estatísticas, estimou-se a população feminina brasileira com 16 anos ou mais, correspondente a cada resposta.

Ilustração. Mulher negra, de óculos, cabelo preto, faixa roxa na cabeça, e blusa escura com detalhes amarelos. Ela fala: Observe, nas tabelas, que a população estimada para uma mesma quantidade de respostas tem valores diferentes.

A partir de uma pesquisa por amostragem é possível estimar a população correspondente. Para isso, são feitas análises estatísticas dos resultados, estabelecendo margens de erro e um índice de confiança de todo o resultado.

No caso dos dados apresentados na pesquisa “Violência doméstica e familiar contra a mulher – 2021”, o índice de confiança é 95%, e cada grupo de dados apresenta uma margem de erro.

Note que, para as duas perguntas apresentadas nas tabelas, 16 pessoas responderam não sei/prefiro não responder. Mas a estimativa para a população correspondente não foi a mesma. Isso ocorreu porque a margem de erro foi diferente para cada conjunto de dados. Qual foi a população estimada para cada um desses casos?

6 Considerando as 16 pessoas, em qual caso a população foi estimada para um valor maior e em qual caso foi estimada para um valor menor?

7 Você já tomou conhecimento de alguma pesquisa que apresente margem de erro? Converse com o professor e os colegas sobre essas pesquisas.

8 Considerando a temática apresentada pela pesquisa, procure outras informações sobre o assunto e converse com os colegas e o professor sobre ações que entidades governamentais podem fazer para conscientizar a população sobre esse tipo de violência.

Em grupos, elaborem cartazes de conscientização sobre a violência contra as mulheres. Com a permissão da escola e de outros estabelecimentos que frequentam, colem esses cartazes em lugares de grande visibilidade.

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2. Números quadrados perfeitos

Se um número natural é a segunda potência de outro número natural, ele é chamado de quadrado perfeito. Então, um quadrado perfeito pode ser escrito como quadrado de outro número natural.

Observe alguns exemplos.

a) 4 é quadrado perfeito, pois 4 = 2elevado a 2.

b) 81 é quadrado perfeito, pois 81 = 9elevado a 2.

O número 32 não é quadrado perfeito, pois ele não é quadrado de nenhum número natural. Observe que 32 está entre dois quadrados perfeitos:

25 < 32 < 36,

em que 25 = 5elevado a 2, 36 = 6elevado a 2, e entre 5 e 6 não há nenhum número natural.

Assim, para produzir quadrados perfeitos, basta escolher um número natural e elevá-lo ao quadrado. Por exemplo, 12 é um número natural; então, 12elevado a 2 = 144, que é um quadrado perfeito.

Observe o que acontece quando decompomos 12 e 144 em fatores primos.

Fatoração do número 12. Do lado esquerdo, abaixo do número 12, os números 6, 3 e 1. Do lado direito, um traço vertical. Ao lado dele, os números: 2, 2 e 3. Ou seja, 2 fatores iguais a 2 e um fator igual a 3.

Fatoração do número 144. Do lado esquerdo, abaixo do número 144, os números 72, 36, 18, 9, 3 e 1. Do lado direito, um traço vertical. Ao lado dele, os números: 2, 2, 2, 2, 3 e 3. Ou seja, 4 fatores iguais a 2 e dois fatores iguais a 3.

Observe que 144 tem o dobro de fatores primos de 12:

• 12 tem 2 fatores iguais a 2 e 1 fator igual a 3;

• 144 tem 4 fatores iguais a 2 e 2 fatores iguais a 3.

Podemos verificar se um número é quadrado perfeito decompondo-o em fatores primos e verificando se a quantidade de cada um desses fatores é par.

Ilustração. Garota branca, de cabelo claro e comprido, blusa azul. Ela pergunta: O número 324 é quadrado perfeito?

Ilustração. Homem negro, cabelo curto e castanho, camisa vermelha. Ele fala: Vamos verificar. Decompondo 324 em fatores primos, temos.

Esquema. Decomposição na vertical. Abaixo do número 324, os números 162, 81, 27, 9, 3 e 1. Do lado direito, um traço vertical. Ao lado dele, os números: 2, 2, 3, 3, 3, 3 e 3. Ou seja, 2 fatores iguais a 2 e 4 fatores iguais a 3, resultando na decomposição: 324 é igual a 2 elevado ao quadrado vezes 3 elevado a 4.

Note que todos os expoentes dos fatores são pares. Então, 324 é um quadrado perfeito.

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Acompanhe como podemos encontrar o número que gerou o quadrado perfeito 324:

324 = 22 ⋅ 34 = 22 ⋅ (32)2 = (2 ⋅ 32)2 = 182

Então, podemos dizer que 324 é quadrado perfeito, porque existe o número natural 18, que, elevado ao quadrado, resulta 324.

Ilustração. Garoto branco, de cabelo castanho, óculos e camiseta branca e azul. Ele pergunta: E o número 72, é quadrado perfeito?

Ilustração. Mulher branca, de cabelo ruivo e camiseta roxa. Ela diz: Vamos verificar. Decompondo o número 72 em fatores primos, temos:

Esquema. Decomposição na vertical. Do lado esquerdo, abaixo do número 72, os números 36, 18, 9, 3 e 1. Do lado direito, um traço vertical. Ao lado dele, os números: 2, 2, 2, 3 e 3. Ou seja, 3 fatores iguais a 2 e dois fatores iguais a 3, resultando na decomposição: 72 é igual a 2 elevado ao cubo (expoente ímpar) vezes 3 elevado ao quadrado.

72 é igual a 2 elevado ao cubo (expoente ímpar) vezes 3 elevado ao quadrado.

Note que 72 tem um número ímpar de fatores iguais a 2. Então, 72 não é um quadrado perfeito.

Podemos representar geometricamente um número quadrado perfeito. Por exemplo, com 36 quadradinhos iguais é possível formar um quadrado maior, porque 36 é um número quadrado perfeito.

Ilustração. Quadrado dividido em 6 linhas e 6 colunas (6 quadradinhos em cada linha). Total de quadradinhos calculado por: 6 vezes 6 é igual a 6 elevado ao quadrado, que é igual a 36.

Note que, com 8 quadradinhos iguais, não é possível formar um quadrado maior, pois 8 não é quadrado perfeito.

Ilustração. Fileira horizontal com 8 quadradinhos.

Ilustração. Duas fileiras horizontais com 4 quadradinhos cada, resultando em 8 quadradinhos.

Ilustração. Duas fileiras com 3 quadradinhos cada e uma fileira com dois quadradinhos, resultando em 8 quadradinhos.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

19 Determine os quadrados perfeitos entre 100 e 200.

20 Efetuando a decomposição em fatores primos, verifique entre os números a seguir quais são quadrados perfeitos.

a) 225

b) 360

c) 441

d) 480

e) 576

f) 784

21 Com 144 quadradinhos iguais e justapostos, Fernando pode construir um quadrado maior. Quantos quadradinhos há em cada linha dêsse novo quadrado?

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22 Com quantos quadradinhos iguais posso construir um quadrado maior que tenha 8 quadradinhos justapostos em cada linha?

Reúna-se com um colega e leiam o texto a seguir. Vamos usar três algarismos iguais para formar alguns números. A única operação que pode ser utilizada é a potenciação. Ao usar três algarismos iguais a 1, obtemos os números:

Ilustração. Fichas octogonais com os números: 111. Onze elevado a 1. Abre parêntese 1 elevado a 1 fecha parêntese, elevado a 1. Um elevado a 11.

É fácil verificar que o maior desses números é 111, pois (1elevado a 1)elevado a 1 = 1elevado a 1 = 1; 11elevado a 1 = 11 e 1elevado a 11 = 1.

Com três algarismos iguais a 2, obtemos os números:

Ilustração. Fichas octogonais com os números: 222. Abre parêntese 2 elevado a 2 fecha parênteses elevado a 2. Vinte e dois elevado a 2. E 2 elevado a 22.

Agora, respondam às questões a seguir no caderno.

a) Qual é o maior desses números?

b) Quais destes números são quadrados perfeitos: 2elevado a 22, (2elevado a 2)elevado a 2 ou 22elevado a 2? Justifiquem a resposta.

Hora de criar – Troque com um colega um problema, criado por vocês, sobre quadrados perfeitos. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

3. Raiz quadrada de números racionais não negativos

Quando calculamos o quadrado de um número natural, estamos determinando um número quadrado perfeito. Por exemplo:

15elevado a 2 = 225

Nesse caso, podemos dizer:

• 225 é o quadrado de 15;

• 15 é a raiz quadrada de 225, que indicamos da seguinte maneira:

15 = \sqrt{225}

Isso ocorre com qualquer número racional não negativo. Observe alguns exemplos.

Esquema. Fração; dois quintos (entre parênteses) elevado a dois; é igual à fração 4 25 avos. Uma seta indica que: a fração 4 25 avos é o quadrado da fração 2 quintos. Outra seta indica que: a fração 2 quintos é a raiz quadrada da fração 4 25 avos, isto é, a raiz quadrada da fração 4 25 avos é igual à fração 2 quintos.

\sqrt{1, 44}

= 1,2, pois (1,2)elevado a 2 = 1,44

c) 13elevado a 2 = 169; então, 13 =

\sqrt{169}

Da mesma maneira que representamos os números quadrados perfeitos pela quantidade de quadradinhos que formam um quadrado maior, também podemos relacionar o quadrado de um número racional não negativo à medida da área de uma região quadrada cujo lado tem a medida representada por esse número (em determinada unidade de medida de comprimento).

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Observação

▶ No estudo que faremos, vamos sempre nos referir à medida da área da região poligonal simplesmente por medida da área do polígono. Por exemplo, a medida da área de uma região quadrada será denominada área do quadrado.

Acompanhe as situações a seguir.

Situação 1

Uma região quadrada com área medindo 144 métros² tem o lado com 12 métros de medida de comprimento, pois 12elevado a 2 = 144.

Ilustração. Quadrado de lado medindo 12 metros. Dentro, indicação da área total, medindo 144 metros quadrados.

Então,

12 = \sqrt{144}

Assim, para encontrar a medida ℓ do lado de um quadrado, sabendo que a medida de sua área é A, basta encontrar a raiz quadrada de A.

ℓ = \sqrt{A}, p o i s ℓ^{2} = A

Situação 2

A área de uma plantação, que tem o formato de um quadrado, mede 256 métros quadrados. Para determinar a medida do lado do terreno dessa plantação, temos de calcular

\sqrt{256}

, pois ℓ2 = 256.

Como o número ℓ gera o quadrado perfeito 256, ele pode ser calculado ao decompor 256 em fatores primos. Assim, podemos escrever:

Fotografia. Vista do alto de plantação em formato quadrado em área gramada verde.

Esquema. 256 é igual a 2 elevado a 8, que é igual a: 2 elevado a 4 (entre parênteses) e elevado ao quadrado, que é igual a 16 ao quadrado. Do número 16, uma seta indica a letra l, que indica a medida do lado do quadrado.

Portanto, o lado do terreno dessa plantação mede 16 métros.

Cálculo da raiz quadrada pela decomposição em fatores primos

Vimos que, para identificar um número quadrado perfeito, verificamos se ele tem uma quantidade par de cada um de seus fatores primos.

Isso também nos possibilita encontrar o número que gerou o quadrado perfeito. Esse número gerador é a raiz quadrada do quadrado perfeito dado.

Acompanhe um exemplo.

Esquema. 225 é quadrado perfeito, pois: 225 é igual a três ao quadrado vezes 5 ao quadrado, que é igual a 3 vezes 5 (entre parênteses) elevado ao quadrado, que é igual a 15 ao quadrado. Nos números três ao quadrado e 5 ao quadrado, uma seta indica que o expoente representa um número par de fatores que se repetem.

Então, 225 = 15elevado a 2 e, portanto,

15 = \sqrt{225}

Esse procedimento constitui um meio de determinar a raiz quadrada de um número quadrado perfeito.

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Agora, para dar mais um exemplo, vamos determinar

\sqrt{576}

. Ao decompor 576 em fatores primos, obtemos:

576 = 2elevado a 2 ⋅ 3elevado a 2 = (2elevado a 3 ⋅ 3elevado a 1)elevado a 2 = 24elevado a 2

Como 576 = 24elevado a 2, concluímos que

\sqrt{576}

= 24.

Observe que 24, decomposto em fatores primos (24 = 2elevado a 3 ⋅ 3elevado a 1), apresenta metade dos fatores primos de 576.

Assim, de modo prático, podemos dizer que, para extrair a raiz quadrada de números quadrados perfeitos, primeiro decompomos o número em fatores primos; em seguida, dividimos cada expoente por 2; e, finalmente, efetuamos a multiplicação obtida.

Ilustração. Homem branco, de cabelo ruivo e camiseta vermelha. Ele diz: Dizemos “extrair a raiz quadrada” porque, nesse
procedimento, é como se extraíssemos do radical as bases das potências com expoente dois.

Ilustração. Menina negra, cabelo castanho e blusa amarela. Ela fala: E para calcular a raiz quadrada de números fracionários?

Ilustração. Homem branco, de cabelo ruivo e camiseta vermelha. Ele diz: Nesse caso, decompomos o numerador e o denominador em fatores primos e, em seguida, calculamos a raiz quadrada de cada um deles.

Observe mais alguns exemplos.

\sqrt{\frac{36}{625}} = \sqrt{\frac{2^{2} \cdot 3^{2}}{5^{4}}} = \frac{2 \cdot 3}{5^{2}} = \frac{6}{25}

\sqrt{12, 96} = \sqrt{\frac{1296}{100}} = \sqrt{\frac{2^{4} \cdot 3^{4}}{2^{2} \cdot 5^{2}}} = \frac{2^{2} \cdot 3^{2}}{2 \cdot 5} = \frac{4 \cdot 9}{10} = \frac{36}{10} = 3, 6

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

25 Justifique cada igualdade a seguir.

\sqrt{0,64}

= 0,8

\sqrt{2^{10} \cdot 3^{2}}

= 25 ⋅ 3

26 Extraia a raiz quadrada de cada número a seguir pela decomposição em fatores primos.

a) 256

b) 196

c) 484

d) 729

e) .1600

f) .1024

27 (unirrio-Rio de Janeiro) O valor de

\sqrt{15 ‒ \sqrt{32 + \sqrt{25 ‒ \sqrt{81}}}}

é:

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

e) 5.

28 Um paliteiro de base quadrada tem o formato da figura a seguir. Sabendo que a soma das medidas das áreas das faces laterais do paliteiro é igual a 162 centímetros² e que a área de todas as faces mede 202,5 centímetros², determine a medida a do lado da base dêsse paliteiro.

Ilustração. Bloco retangular com medida de lado da base quadrada igual à a, e um pequeno orifício na parte superior.

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29 Usando a decomposição em fatores primos, calcule a raiz quadrada de:

\frac{25}{576}

;

b) 0,01;

\frac{64}{1225}

;

d) 19,36.

30 Ivan vai construir uma pipa colorida no formato de um quadrado. Para isso, ele recortou um quadrado de papel azul com área medindo .2500 centímetros quadrados, três quadrados de papel amarelo de área medindo 900 centímetros quadrados cada um e dois retângulos de papel vermelho de lados medindo 20 centímetros por 30 centímetros. Qual será a medida do lado dessa pipa?

Ilustração. Quadrado composto por quadrado grande azul, três quadrados amarelos menores e dois retângulos vermelhos pequenos.

31 O piso de um salão no formato de um quadrado é coberto com .10800 lajotas retangulares de lados medindo 40 centímetros por 30 centímetros. Determine no caderno:

a) a medida da área do salão;

b) as dimensões do salão.

Raiz quadrada aproximada

Os números quadrados perfeitos têm como raiz quadrada um número natural que, elevado ao quadrado, reproduz o número dado.

Observe o que acontece quando queremos extrair a raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito. Para exemplificar, vamos calcular a raiz quadrada do número 31.

O número 31 está compreendido entre os números quadrados perfeitos 25 e 36.

25 < 31 < 36

Então,

\sqrt{31}

deve estar compreendida entre

\sqrt{25}

\sqrt{36}

\sqrt{25} < \sqrt{31} < \sqrt{36}

Como

\sqrt{25}

= 5 e

\sqrt{36}

= 6, temos:

5 < \sqrt{31} < 6

Dizemos, então, que:

• 5 é a raiz quadrada aproximada por falta, a menos de uma unidade, do número 31;

• 6 é a raiz quadrada aproximada por excesso, a menos de uma unidade, do número 31.

Em geral, considera-se raiz quadrada aproximada de um número não quadrado perfeito a raiz quadrada aproximada por falta, a menos de uma unidade. Indica-se que 5 é a raiz quadrada aproximada por falta de 31, escrevendo-se:

\sqrt{31} ≃ 5

(Lemos: “a raiz quadrada do número trinta e um é aproximadamente igual a cinco”.)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

32 Considerando o número 110, responda.

a) Entre quais números quadrados perfeitos ele está compreendido?

b) A raiz quadrada dêsse número está compreendida entre quais números naturais?

c) Qual é a raiz quadrada por falta, a menos de uma unidade?

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33 Qual é o menor número natural que devemos subtrair de 640 para obter um número quadrado perfeito? E qual é a raiz quadrada aproximada de 640 por falta, a menos de uma unidade?

34 No século vinte, qual foi o único ano representado por um número quadrado perfeito? E no século vinte e um, qual será o ano?

35 Faça estimativas para obter o valor aproximado de:

\sqrt{51}

b) 50 ⋅

\sqrt{51}

c) 200 ⋅

\sqrt{51}

Como você pode comprovar os resultados que obteve?

Raiz quadrada com aproximação decimal

A seguir, vamos aprender a calcular a raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito com aproximação decimal.

Como exemplo, vamos considerar o número 2. Qual é o número racional que, elevado ao quadrado, resulta 2? Observe.

1 não pode ser, pois 12 = 1

2 não pode ser, pois 22 = 4

Dessa maneira,

\sqrt{2}

é um número compreendido entre 1 e 2

(1 < \sqrt{2} < 2)

Ilustração. Reta numérica com os pontos: 1, raiz quadrada de 2 e 2. Do ponto raiz quadrada de 2 parte uma seta indicando que 1 é menor que raiz quadrada de 2, que é menor que 2.

Como não existe nenhum número inteiro cujo quadrado dê 2, dizemos que 1 é a raiz quadrada aproximada do número 2.

Vamos procurar um número com uma casa decimal cujo quadrado seja mais próximo de 2.

Esquema. 1,1 ao quadrado, é igual a 1,21, que é menor que 2. 1,2 ao quadrado, é igual a 1,44, que é menor que 2. 1,3 ao quadrado, é igual a 1,69, que é menor que 2. 1,4 ao quadrado, é igual a 1,96, que é menor que 2. 1,5 ao quadrado, é igual a 2,25, que é maior que 2. Duas setas indicam que o número 2 está entre 1,4 ao quadrado e 1,5 ao quadrado.

Como também não existe número com uma casa decimal cujo quadrado seja igual a 2, concluímos que

\sqrt{2}

é um número compreendido entre 1,4 e 1,5.

Ilustração. Reta numérica com os pontos: 1, 1,4, raiz quadrada de 2, 1,5 e 2. Do ponto entre os números 1,4 e 1,5, lugar estimado da raiz quadrada de 2, parte uma seta indicando que 1,4 é menor que raiz quadrada de 2, que é menor que 1,5.

Nesse caso, dizemos que a raiz quadrada aproximada do número 2 com uma casa decimal é igual a 1,4 e escrevemos

\sqrt{2}

≃ 1,4.

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Vamos tentar uma aproximação melhor, com duas casas decimais, para

\sqrt{2}

(1,41)2 = 1,9881 < 2

(1,42)2 = 2,0164 > 2

Logo,

\sqrt{2}

é um número compreendido entre 1,41 e 1,42.

Ilustração. Reta numérica com os pontos: 1, 1,4, raiz quadrada de 2 (1,4 menor que raiz quadrada de 2 menor que 1,42), 142 e 2. Setas indicam que raiz quadrada de 2 está localizada, na reta numérica, entre 1,41 e 1,42.

Então, podemos dizer que a raiz quadrada aproximada do número 2 com duas casas decimais é igual a 1,41 e escrevemos

\sqrt{2}

≃ 1,41.

Se prosseguirmos, encontraremos a raiz quadrada aproximada de 2 com quantas casas decimais desejarmos, sem, entretanto, encontrar um número decimal cujo quadrado resulte 2.

Acompanhe outros exemplos.

a) Calcule a raiz quadrada do número 58 com duas casas decimais.

Esquema. Sete ao quadrado é igual a 49, que é menor que 58. Oito ao quadrado é igual a 64, que é maior que 58. Uma chave indica que 7 é menor que raiz quadrada de 58, que é menor que 8.

7 é a raiz quadrada aproximada de 58.

Esquema. 7,1 ao quadrado é igual a 50,41, que é menor que 58. 7,2 ao quadrado é igual a 51,84, que é menor que 58. 7,5 ao quadrado é igual a 56,25, que é menor que 58. 7,6 ao quadrado é igual a 57,76, que é menor que 58. 7,7 ao quadrado é igual a 59,29, que é maior que 58. Uma chave indica que 7,6 é menor que raiz quadrada de 58, que é menor que 7,7.

7,6 é a raiz quadrada aproximada com uma casa decimal do número 58.

Esquema. 7,61 ao quadrado é igual a 57,9121, que é menor que 58. 7,62 ao quadrado é igual a 58,0644, que é maior que 58. Uma chave indica que 7,61 é menor que raiz quadrada de 58, que é menor que 7,62.

Assim, a raiz quadrada de 58 com duas casas decimais é 7,61. Escrevemos

\sqrt{58}

≃ 7,61.

b) Calcule a raiz quadrada do número 7,2 com uma casa decimal.

O número 7,2 está compreendido entre os quadrados perfeitos 4 e 9. Então:

\sqrt{4} < \sqrt{7, 2} < \sqrt{9}

, ou seja,

2 < \sqrt{7, 2} < 3

A raiz quadrada de 7,2 é um número compreendido entre 2 e 3.

Vamos começar testando 2,5.

(2,5)2 = 6,25 < 7,2

(2,6)2 = 6,76 < 7,2

(2,7)2 = 7,29 > 7,2

Assim, a raiz quadrada do número 7,2 com uma casa decimal é 2,6. Escrevemos

\sqrt{7, 2}

≃ 2,6.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

36 Verifique se 1,7 pode ser considerado uma raiz quadrada aproximada de 3.

37 Entre os números 3,87 e 3,88, qual deles se aproxima mais de

\sqrt{15}

38 Qual é o número com uma casa decimal que representa a raiz quadrada aproximada de 265?

39 Calcule a raiz quadrada aproximada com uma casa decimal de:

a) 572

b) 28,19

c) 42,55

d) 12,6

Com uma calculadora, encontre a raiz quadrada aproximada com duas casas decimais de:

\sqrt{88}

\sqrt{8 800}

\sqrt{6 000 000}

\sqrt{6}

\sqrt{1 000}

\sqrt{100 000}

Com uma calculadora, mas sem usar a tecla

, encontre a raiz quadrada aproximada com duas casas decimais:

\sqrt{410}

\sqrt{1 715}

\sqrt{1 999}

\sqrt{3 500}

Agora, usando a tecla

da calculadora, determine as raízes quadradas do exercício anterior e verifique se os resultados obtidos nele estão de acordo com os novos resultados.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Sabendo que 2732 = .74529, calcule:

\sqrt{745,29}

\sqrt{7 452 900}

4. Os números reais

Considere o número 0,101112reticências

Observando a formação dêsse número, vamos supor que podemos dar continuidade à sua parte decimal do seguinte modo: 0,10111213reticências; 0,1011121314reticências; e assim por diante.

Como a representação decimal dêsse número tem infinitas casas decimais e não é periódica, ele não pode ser escrito na fórma de fração; logo, esse número não é racional.

Esquema. Agora, observe este outro número:
Número real 0,52552555255552 reticências. Setas, da esquerda para a direita, indicam que o 5 se repete uma vez, depois duas vezes, depois três vezes, depois quatro vezes.

Imagine que, para continuar escrevendo esse número, devemos acrescentar sempre um algarismo 5 aos grupos de 5 separados por 2:

Esquema. Número real 0,525525552555525555525555552 reticências. Setas, da esquerda para a direita, indicam que o 5 se repete cinco vezes, depois seis vezes.

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A representação dêsse número também não é decimal exata nem periódica. Portanto, esse número não pode ser escrito na fórma de fração. Logo, não é um número racional.

Com esses exemplos, percebemos que existem números que não são representados por uma fórma decimal exata (com um número finito de casas decimais) nem por uma dízima periódica. Portanto, não podem ser escritos na fórma de fração, isto é, na fórma

\frac{a}{b}

com a e b inteiros e b ≠ 0; logo, não são números racionais. Esse tipo de número é chamado de número irracional.

•

Dê exemplos de outros números irracionais indicando uma regra de formação.

Agora, observe a representação decimal dos números

\sqrt{2}

\sqrt{3}

com aproximação de sete casas decimais.

\sqrt{2} ≃ 1, 4142136

\sqrt{3} ≃ 1, 7320508

Por maior que seja o número de casas decimais usadas para representar esses números, nunca vamos encontrar para eles uma representação decimal exata ou periódica. Portanto, não há frações que os representem. Por isso, dizemos que

\sqrt{2}

\sqrt{3}

são números irracionais. Também é irracional toda raiz quadrada de um número natural que não seja quadrado perfeito, assim como toda raiz quadrada de fração positiva irredutível cujos numerador e denominador não sejam quadrados perfeitos.

Além do número π, que conhecemos do cálculo do comprimento da circunferência, e do número ϕ, explorado na abertura deste capítulo, são irracionais raízes cúbicas, quartas, quintas etcétera cujos radicandos não podem ser escritos como potências de expoentes respectivamente iguais a três, a quatro, a cinco etcétera Por exemplo, são irracionais os números:

\sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{8}, \sqrt{\frac{3}{10}}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[5]{9}

A união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais fórma um novo conjunto chamado conjunto dos números reais, representado por

Letra R, que representa o conjunto dos números reais.

5. Reta real

Já vimos como representar números inteiros em uma reta.

Ilustração. Reta real com os pontos, nessa ordem: menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4.

Da mesma maneira, vimos como representar números racionais em uma reta. Na reta a seguir, representamos alguns números racionais.

Ilustração. Reta real com os pontos, nessa ordem: menos 1, menos 0,5, 0, fração 1 oitavo; fração 1 quarto; fração um meio; 1 e 1,5.

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Como sabemos, é impossível representar todos eles, pois, entre dois números racionais, existe uma infinidade de outros números racionais. Mesmo que isso fosse possível, os pontos que representariam esses números não seriam suficientes para cobrir toda a reta numérica. Faltariam ainda os pontos correspondentes aos números irracionais para completá-la.

A representação de todos os números racionais e irracionais, isto é, dos números reais, preenche a reta numérica. A essa reta chamamos de reta real.

Vamos representar na reta real o número irracional

\sqrt{2}

Já vimos que

\sqrt{2}

é um número que está entre 1,4 e 1,5; logo, sua localização aproximada na reta real é:

Ilustração. Reta numérica com os pontos menos 2, menos 1, 0, 1, 1,4, raiz quadrada de 2, 1,5, 2. Setas indicam que a raiz quadrada de 2 é um número que está entre 1,4 e 1,5.

Assim, sabendo a aproximação decimal de uma raiz quadrada não exata, podemos determinar sua posição aproximada na reta real.

Observação

▶ Qualquer ponto da reta real tem um único número real correspondente, e todo número real tem um único ponto correspondente na reta.

Localização de alguns números irracionais na reta real

O teorema que estudaremos a seguir vai nos ajudar a determinar a posição de

\sqrt{2}

e de outros números irracionais na reta real.

Você já sabe que o triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo interno reto. O maior lado dêsse triângulo é chamado de hipotenusa, e os demais, de catetos.

Ilustração. Triângulo retângulo. Dois lados do ângulo reto: catetos. Lado oposto ao ângulo reto: hipotenusa.

Os triângulos retângulos têm uma propriedade muito especial: com quadrados construídos sobre os catetos, sempre é possível construir quadrado sobre a hipotenusa.

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Na primeira figura a seguir, temos um quadrado (pintado de roxo) sobre um cateto e outro quadrado (pintado de verde) sobre outro cateto. Vamos decompô-los de modo conveniente para formar um quadrado sobre a hipotenusa. Observe.

Esquema. Ilustração de um quadrado grande verde e um quadrado roxo pequeno no canto superior esquerdo do quadrado verde. O lado de cima do quadrado verde e o lado direito do quadrado roxo formam um triângulo retângulo.

Seta para: quadrado grande verde com o quadrado roxo interno ao quadrado verde, no canto inferior esquerdo. Há um lápis na ponta do quadrado roxo, indicando a marcação deste ponto.

Seta para: quadrado grande verde com duas retas diagonais traçadas a partir do ponto marcado anteriormente e uma tesoura sobre a reta. À direita, no canto inferior direito, externo ao quadrado verde, o quadrado roxo e um lápis no canto superior direito, marcando este ponto.

Seta para quadrado verde dividido em dois triângulos, 1 e 3 e um quadrilátero, 2. Ao lado, quadrado roxo dividido em um triângulo, 4 e um quadrilátero, 5.

Seta para: Quadrado montado com as peças 1, 2, 3, 4 e 5. Na parte inferior, um triângulo retângulo e a linha tracejada dos quadrados na posição inicial.

Note que a medida da área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual à soma das medidas das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

Fórmula. Teorema de Pitágoras. a ao quadrado é igual a b ao quadrado mais c ao quadrado. De a, parte uma seta indicando que essa é a medida da área do quadrado construído sobre a hipotenusa. De b e c partem duas setas indicando que indicam a medida da área de cada quadrado construído sobre os catetos.

Então, ao indicar por c e b as medidas dos catetos e por a a medida da hipotenusa, podemos escrever:

Essa relação, chamada de teorema de Pitágoras, vale para qualquer triângulo retângulo e será usada para determinar a posição de alguns números irracionais na reta real.

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Por exemplo, se quisermos representar

\sqrt{2}

na reta real, construímos um triângulo retângulo com a hipotenusa medindo

\sqrt{2}

. Observe.

Ilustração. Triângulo retângulo com catetos iguais, de medida 1, e hipotenusa medindo a.

aelevado a 2 = belevado a 2 + celevado a 2

aelevado a 2 = 1elevado a 2 + 1elevado a 2

aelevado a 2 = 1 + 1

aelevado a 2 = 2

O valor procurado é um número positivo que, elevado ao quadrado, resulta 2. Esse número é

\sqrt{2}

. Logo: a =

\sqrt{2}

Então, para representar

\sqrt{2}

na reta, basta construir um triângulo retângulo de catetos medindo uma unidade e transferir a medida da hipotenusa para a reta. Acompanhe.

1. Por a, traçamos

\overline{B A} ⟂ r

, tal que bê á = 1. Também marcamos o ponto óh na reta r, tal que ó á = 1.

Ilustração. Reta r, que passa pelo segmento O A de medida 1. Segmento de reta A B, de medida 1, perpendicular à reta r.

2. Unimos óh com B e obtemos ó bê =

\sqrt{2}

Ilustração. Reta r, que passa pelo segmento O A de medida 1. Segmento de reta A B, de medida 1, perpendicular à reta r. Segmento de reta O B.

3. Com centro em óh e abertura ó bê, marcamos o ponto C.

Ilustração. Reta r, que passa pelo segmento O A de medida 1. Segmento de reta A B, de medida 1, perpendicular à reta r. Segmento de reta O B, de medida raiz quadrada de 2, com um compasso aberto marcando essa medida. Um arco BC é tracejado. A medida do segmento O C é indicada por raiz quadrada de 2.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca!)

Agora, vamos representar

\sqrt{3}

na reta numérica. Para isso, podemos construir, por exemplo, um triângulo retângulo de catetos

\sqrt{2}

e 1. A hipotenusa medirá

\sqrt{3}

unidades de comprimento.

Ilustração. Triângulo retângulo com cateto menor medindo 1, cateto maior medindo raiz quadrada de 2 e hipotenusa medindo y.

y elevado a 2 =

{(\sqrt{2})}^{2}

+ 12

y elevado a 2 = 3

y =

\sqrt{3}

Aproveitando o segmento que representa

\sqrt{2}

, construímos na reta numérica o segmento que mede

\sqrt{3}

Ilustração. Menina branca, cabelo castanho e camisa roxa. Ela fala: Como eu faço para encontrar menos raiz quadrada de 3 na reta?

Ilustração. Homem de cabelo ruivo e camisa vermelha. Ele diz: Basta transportar sobre a reta para a esquerda, a partir do zero, o segmento que mede raiz quadrada de 3.

Ilustração. Reta numérica com os pontos, nessa ordem: menos 1, 0, 1, raiz quadrada de 2, raiz quadrada de 3 e 2. Um triângulo retângulo de hipotenusa raiz quadrada de 2 e catetos de medida 1 é formado sobre os pontos 0 e 1 da reta. Um segundo triângulo retângulo de hipotenusa raiz quadrada de 3 é formado sobre os pontos 0 e raiz quadrada de 2 da reta.

Na calculadora, obtemos

\sqrt{3} ≃ 1, 73

. Repare que

\sqrt{3}

fica entre 2 e o ponto médio do segmento de extremos 1 e 2.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

43 Escreva o número irracional que está representado na reta pela letra m.

Ilustração. Reta com os pontos: m. menos 1, 0. Triângulo retângulo formado por cateto, de 0 até menos 1, e outro cateto, segmento vertical, medindo 1. Um arco é tracejado do topo do triângulo para m.

44 Construa, com auxílio de régua e compasso, um triângulo retângulo com um cateto de duas unidades de comprimento sobre uma reta numérica e outro cateto de uma unidade de comprimento. Determine a medida da hipotenusa dêsse triângulo e localize na reta numérica o número que expressa a medida da hipotenusa dêsse triângulo.

45 Considere o triângulo retângulo a seguir, cujas medidas dos lados estão indicadas em uma mesma unidade de comprimento.

Ilustração. Triângulo retângulo de catetos medindo 1 e 4, e hipotenusa medindo x.

a) Determine o valor de x.

b) Esse número é racional ou irracional?

Usando uma calculadora, represente esse número na fórma decimal aproximada, com duas casas decimais.

46 Na figura a seguir, foi representado o número

\sqrt{10}

na reta numérica. Explique por que essa construção está correta.

Ilustração. Reta com os pontos: 0 (ponto O), 1, 2 e 3 (ponto B). Triângulo retângulo OAB em que o vértice A tem altura 1. Reta tracejada do ponto A até o ponto C, localizado do lado direito do ponto B. O ponto C vale raiz quadrada de 10.

47 A figura a seguir representa um escorregador cujo comprimento, em metro, foi indicado por x.

Ilustração. Escorregador cuja altura da escada (altura máxima do escorregador) é igual a 2 metros e cuja distância do início ao fim do escorregador mede 3 metros, que são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa, x, é o comprimento do escorregador.

a) Qual é o número irracional que representa o comprimento dêsse escorregador?

b) Qual é o comprimento aproximado dêsse escorregador em centímetro?

48 Com régua e compasso, trace em seu caderno um segmento de

\sqrt{20}

u e outro de

\sqrt{27} u,

sendo u  =  2 centímetros. Construa um retângulo que tenha essas medidas. Construa outro retângulo que tenha por medidas

2 \sqrt{5}

u e

3 \sqrt{3}

u. Por sobreposição, compare as medidas das áreas dos retângulos encontrados e os produtos

\sqrt{20}

⋅

\sqrt{27}

2 \sqrt{5}

⋅

3 \sqrt{3}

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca!)

PARA SABER MAIS

Espiral de Teodoro, Pitágoras ou ainstain

Uma das mais famosas espirais, construída com triângulos retângulos, é conhecida pelos nomes de três grandes personalidades: Teodoro de Cirene, Pitágoras e Álbert Ainstén.

Sua construção tem início com um triângulo retângulo isósceles com catetos de uma unidade, prossegue com outros triângulos retângulos que têm um cateto de uma unidade e outro cateto com a medida da hipotenusa do triângulo anterior. Com ela, obtemos segmentos de medidas iguais a

\sqrt{2}

\sqrt{3}

\sqrt{4}

= 2,

\sqrt{5}

\sqrt{6}

, reticências

Observe como fica a construção de uma dessas espirais até

\sqrt{17}

Ilustração. Esquema. Triângulos coloridos dispostos em espiral. Do centro para a parte externa, a medida da hipotenusa de cada triângulo é: raiz quadrada de 1, raiz quadrada de 2, raiz quadrada de 3, raiz quadrada de 4, raiz quadrada de 5, raiz quadrada de 6, raiz quadrada de 7, raiz quadrada de 8, raiz quadrada de 9, raiz quadrada de 10, raiz quadrada de 11, raiz quadrada de 12, raiz quadrada de 13, raiz quadrada de 14, raiz quadrada de 15, raiz quadrada de 16, raiz quadrada de 17. Todos os triângulos possuem um cateto igual a 1.

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Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca!)

1 Com régua e esquadro, construa uma espiral como a da página anterior até obter

\sqrt{9}

. Depois, confira se essa medida se iguala de fato a 3 unidades usadas por você.

2 Construa uma reta numérica no caderno considerando a mesma medida unitária do cateto dos triângulos para a medida de distância entre 0 e 1. Depois, localize nessa reta os seguintes números:

\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}

\sqrt{7}

Explique ao professor e aos colegas como você pensou para localizar cada um desses números na reta numérica.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Identifique as sentenças falsas e dê um exemplo para justificá-las.

a) Todo número inteiro é natural.

b) Todo número racional é inteiro.

c) Todo número racional é real.

d) Todo número irracional é real.

2 Considere

A = \frac{2}{3} ‒ 1, \overline{4} e B = ‒ 0, 777

reticências Determine em seu caderno A : B.

3 Dadas as dízimas periódicas 2,555reticências e 0,222reticências, determine:

a) a soma delas, escrevendo o resultado na fórma abreviada;

b) o produto delas, escrevendo o resultado na fórma de fração.

4 Justifique em seu caderno por que

\sqrt{4,84}

= 2,2.

5 Sendo x = 2elevado a 8 ⋅ 5elevado a 2, calcule a raiz quadrada de x.

6 Qual é o menor número pelo qual devemos multiplicar 2elevado a 5 ⋅ 34 ⋅ 5elevado a 3 ⋅ 7 para obter um número natural que seja quadrado perfeito?

7 Sendo a = 

3^{3}

 ⋅ 5 ⋅ 7 e B = 3 ⋅ 5 ⋅ 7, calcule a raiz quadrada de a ⋅ B.

8 Um terreno tem o formato de um quadrado, e a medida da sua área é igual a 231,04 métros quadrados. Calcule a medida do perímetro dêsse terreno.

9 O valor de

\sqrt{5, 888 ...}

é aproximadamente igual a:

a) 2,4

b) 2,4333reticências

c) 2,8

d) 2,8333reticências

10 Os catetos de um triângulo retângulo medem 12 centímetros e 5 centímetros.

a) Calcule a medida da hipotenusa.

b) Essa medida é um número racional ou irracional?

11 Os catetos de um triângulo retângulo medem 6 centímetros e 2 centímetros.

a) Calcule a medida da hipotenusa.

b) Essa medida é um número racional ou irracional?

c) Determine a medida da hipotenusa com uma casa decimal.

12 Que número irracional está representado na reta pela letra a?

Ilustração. Triângulo retângulo de catetos 1 e 5, sendo que o cateto de comprimento 5 está sobre uma reta. Reta tracejada liga extremidade de altura 1 ao ponto a na reta, à direita do ângulo reto.

13 Em seu caderno, represente na reta real os números

\sqrt{29}

e menos

\sqrt{5}

14 Para calcular a altura de um poste, Alexandre encostou nele uma escada de 6 métros de comprimento, de modo que ela ficou apoiada no chão a 3 métros do poste. Qual é a medida aproximada da altura dêsse poste?

Ilustração. Poste de luz. À direita, homem em pé com uma escada à sua frente até topo do poste, formando um triângulo retângulo. A distância entre a base da escada e a base do poste é de 3 metros.

Página 36

VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Entre as sentenças matemáticas indicadas a seguir, qual delas terá como resultado um número natural?

a) 350 : 8 + 34

b) 352 : 8 ‒ 90 : 2

c) 456 : 5 + 88 : 10

d) 456 : 6 ‒ 88

2 Qual é a fração geratriz da dízima periódica 15,623623reticências?

\frac{15 623}{999}

\frac{15 608}{999}

\frac{15 623}{99}

\frac{623}{999}

3 Se um número for:

a) inteiro, então ele é natural.

b) racional, então ele não pode ser irracional.

c) irracional, então ele pode ser inteiro.

d) real, então ele é racional.

4 Qual dos números a seguir não é um quadrado perfeito?

a) .1764

b) .1225

c) 882

d) .1296

5 Sobre o valor de

\sqrt{42}

, podemos afirmar que está entre:

a) 6,4 e 6,5.

b) 6,5 e 6,6.

c) 6,6 e 6,7.

d) 6,8 e 6,9.

6 A raiz quadrada de .1185 está entre:

a) 25 e 26.

b) 34 e 35.

c) 118 e 119.

d) 592 e 593.

7 Um dos quartos de um apartamento tem formato quadrado de área medindo 18,49 métros quadrados. Qual é a medida do perímetro dêsse quarto?

a) 18,8 métros

b) 17,2 métros

c) 9,4 métros

d) 4,3 métros

8 A medida da diagonal de um retângulo de base medindo 4 centímetros e altura medindo 6 centímetros é um número:

a) natural.

b) inteiro.

c) racional.

d) irracional.

9 Considerando as medidas indicadas na figura, em centímetro, o valor de x é:

Ilustração. Reta com pontos 0 e x. Acima da reta, projeção de um triângulo retângulo, cujos catetos são o segmento de 0 a x, e o cateto 1. Hipotenusa com medida raiz quadrada de 23.

a) 1 centímetro.

b) 22 centímetros.

\sqrt{22}

centímetros.

\sqrt{24}

centímetros.

10 Um triângulo retângulo tem catetos medindo 6 centímetros e 8 centímetros. Qual é a medida da hipotenusa dêsse triângulo?

a) 7 centímetros

b) 10 centímetros

c) 14 centímetros

d) 50 centímetros

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) Quais são os conjuntos numéricos estudados no capítulo? Dê um exemplo de um número pertencente a cada conjunto.

b) O que é uma dízima periódica?

c) Explique como determinar a fração geratriz da dízima periódica de 0,666reticências

d) O que é um número quadrado perfeito?

e) Como você explicaria para um colega como encontrar a raiz quadrada aproximada de um número?

f) Que estratégia você utiliza para encontrar a posição da raiz quadrada de um número natural na reta real? Descreva-a.

g) Copie o diagrama a seguir no caderno. Depois, relacione os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais neste diagrama.

Ilustração. Modelo. Retângulo dividido em duas partes. Partes esquerda maior com dois pontos de interrogação e quadrado com um ponto de interrogação com três pontos de interrogação abaixo. À direita, dois pontos de interrogação.

Página 37

DIVERSIFICANDO

Jogo do enfileirando

Número de participantes: 2 a 4 jogadores.

Material:

• Vinte cartões numerados confeccionados com os números: 0, 2, 6, 7, 9, ‒8, ‒7, ‒4, ‒3, ‒1,

\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{7}{8}, \frac{3}{8}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{16}, \sqrt{25}

• Quatro cartas de ação: uma de “ordem crescente”; uma de “ordem decrescente”; uma de “adição dos números”; e uma de “multiplicação dos números”.

• Dois saquinhos não transparentes: um para guardar os cartões numerados, outro para guardar as cartas de ação.

• Papel e lápis para resolver as operações.

Regras:

• Sem olhar os números, cada jogador pega cinco cartões numerados de dentro do saquinho.

• Depois, um dos jogadores tira uma carta de ação e a coloca em cima da mesa para que todos a conheçam e façam o que ela indica. Por exemplo, se sair a carta “ordem crescente”, cada jogador colocará em ordem crescente os cartões que pegou. Suponha que um dos jogadores tenha os cartões

2, ‒ 3, \sqrt{2}, \frac{1}{2}

e 9; ele deverá colocá-los nesta disposição:

‒ 3, \frac{1}{2}, \sqrt{2}

, 2 e 9. Então, anota-se o nome de quem terminou a tarefa em primeiro lugar e retira-se outra carta.

• Para os cálculos com

\sqrt{2}

\sqrt{3}

, devem ser usados os valores aproximados 1,4 e 1,7, respectivamente. Exemplo:

2 + (‒ 3) + \sqrt{2} + \frac{1}{2} + 9 = 9, 9

• Vence o jogo aquele que ganhar o maior número de rodadas, isto é, concluir mais vezes as tarefas antes dos outros colegas. Caso nenhum jogador consiga executar as tarefas, reinicia-se o jogo.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Observe a ilustração e responda à questão. Quem ganhou esta rodada? Justifique.

Ilustração. Ao redor de uma mesa, à esquerda, menina branca, de cabelo ruivo, faixa azul no cabelo e camiseta branca. À frente dela, sobre a mesa, fichas com os números: menos 3, 2, raiz quadrada de 25, 7 e 9. À direita, menino branco, de cabelo preto e camiseta branca com detalhes azuis. À frente dele, sobre a mesa, fichas com os números: menos 1, menos 4, fração; um meio; fim da fração, raiz quadrada de 2 e 6. Sobre a mesa, à frente, há uma placa que diz: Ordem Crescente; ao fundo, há dois saquinhos azuis.

Formem grupos de 3 ou 4 integrantes, modifiquem uma regra do jogo e troquem com outro grupo. Antes de jogar com a nova regra, escolham um representante para explicar a regra nova do outro grupo.

Glossário

Cunha: : objeto que vai diminuindo de grossura e é utilizado para rachar lenha, fender pedras etcétera; Voltar para o texto