Página 61

Em seus coloridos e vibrantes murais que compõem a cena urbana de diversas cidades pelo mundo, a artista Shamsia Hassani apresenta sua personagem, uma mulher sem boca; o instrumento musical não é para tocar, é um símbolo que faz a vez da sua voz. Assim, ela chama a atenção para a desigualdade de gênero, ainda muito presente na sociedade atual.

Página 62

1. Razão entre grandezas de naturezas diferentes

Já estudamos como determinar a razão entre duas medidas da mesma grandeza e entre duas medidas de grandezas de mesma natureza. Nessas razões, usamos apenas os números que expressam as medidas dessas grandezas.

Agora, vamos conhecer algumas razões entre duas medidas de grandezas de naturezas diferentes.

Gramatura de um papel

Observe o pacote de papel usado para impressão.

Na parte inferior da embalagem, está escrito 75 g/m²gramas por métro quadrado. Isso significa que cada metro quadrado dessedêsse papel tem massa de medida igual a 75 ggramas.

A esse tipo de razão damos o nome de gramatura.

Note que as grandezas massa e área são grandezas de naturezas diferentes. Em casos como esse, a razão não é expressa só por um número, mas por um número acompanhado da unidade de medida correspondente. Nesse exemplo, a razão (gramatura) é dada por 75 g/m²gramas por métro quadrado (lemos: “setenta e cinco gramas por metro quadrado”).

Velocidade média

Um carro parte da cidade A para a cidade B. A medida da distância entre as duas cidades é 140 kmquilômetros, e o carro leva 2duas hhoras para percorrer esse trajeto. Vamos calcular a razão entre as medidas da distância percorrida e do tempo gasto para percorrê-la. Observe que essas grandezas são de naturezas diferentes. Então:

Esse tipo de razão é chamado de velocidade média.

Página 63

Densidade demográfica

A área do estado da Bahia mede aproximadamente 564.760564760 km²quilômetros quadrados e, em 2021, sua população era de 14.985.28414985284 habitantes.

A esse tipo de razão damos o nome de densidade demográfica.

Consumo médio

Um carro percorreu 444 kmquilômetros e utilizou 37 Llitros de combustível. Dividindo o número de qui­lômetros percorridos (a medida da distância percorrida) pelo número de litros de combustível consumido (a medida do volume de combustível consumido), temos a quantidade de quilômetros que esse carro percorreu com 1 Llitro de combustível. Observe.

A esse tipo de razão damos o nome de consumo médio.

Densidade absoluta da matéria

O que você pensa dessa conversa?

A densidade absoluta, ou massa específica, de um corpo, um material ou uma substância é dada pela razão entre as medidas da massa e do volume que ele ocupa.

Página 64

No Sistema Internacional de Unidades (SIésse Í), a unidade de medida da grandeza massa é o quilograma, e a da grandeza volume é o metro cúbico; logo, a densidade deve ser dada em quilograma por metro cúbico. Porém, às vezes, convém considerar a densidade em grama por centímetro cúbico.

Observe a situação a seguir.

Um caminhão com capacidade de carga de até 7 toneladas será usado para transportar um carregamento de blocos de granito, paralelepípedos retos, com as dimensões dadas na imagem. Considerando que a medida da densidade do granito é de 2,7 g/cm³gramas por centímetro cúbico, esse caminhão conseguirá levar mil blocos?

Inicialmente, vamos determinar a medida do volume (Vvê) de cada bloco.

V = 10 ⋅ 12 ⋅ 25 = 3.0003000

Portanto, a medida do volume de cada bloco é de 3.0003000 cm³centímetros cúbicos.

Como a densidade é dada pela razão entre as medidas da massa e do volume, para a medida da massa (même) de cada bloco de granito, temos:

Portanto, a medida da massa de cada bloco é de 8.1008100 ggramas, ou 8,1 kgquilogramas.

A capacidade de carga do caminhão é de 7 toneladas, que corresponde a 7.0007000 quilogramas. Assim, a quantidade aproximada de blocos que o caminhão pode transportar é dada pelo quociente da divisão 7.0007000 : 8,1, ou seja, o caminhão pode transportar aproximadamente 864 blocos, no máximo.

Portanto, o caminhão não conseguirá levar mil blocos de granito de uma só vez.

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Entre 1968 e 1969, Robin Knox-Johnston foi a primeira pessoa a dar a volta ao mundo em um barco a vela, sozinho e sem aportar, isto é, sem parar em lugar nenhum. Ele percorreu um total de 48.47848478 kmquilômetros em 312 dias. Determine a medida aproximada de sua velocidade média, em quilômetro por dia.

2 A medida da distância rodoviária entre Jericoacoara e Fortaleza é de aproximadamente 300 kmquilômetros. Qual é a medida da velocidade média de um ônibus que faz esse percurso em 5 horas e 30 minutos?

3 Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGEí bê gê É), em 2021, a medida da área do estado do Rio Grande do Sul era aproximadamente de 281.707281707,151 km²quilômetros quadrados. Considerando que a medida da densidade demográfica dessedêsse estado, neste mesmo ano, era aproximadamente de 40,704 hab/km²habitantes por quilômetro quadrado, determine a população aproximada que o estado do Rio Grande do Sul tinha naquele ano.

4 Em um leilão, um colecionador comprou uma coroa de prata. Para verificar se a coroa era de fato feita de prata, ele resolveu medir a densidade absoluta da coroa. Sabe-se que a den­sidade da prata mede 10,5 g/cm³gramas por centímetro cúbico. Ele mediu a ­massa da coroa e obteve 840 ggramas. Depois, colocou a coroa em uma cuba com 1.0001000 cm³centímetros cúbicos de água e viu quanto o nível da água subiu dentro da cuba.

Página 65

A diferença entre os níveis da água na cuba antes e depois de a coroa ser submersa corresponde à medida do volume da coroa, em centímetro cúbico. De acordo com a situação descrita, a medida da densidade da coroa, calculada pelo colecionador, coincide com a medida da densidade conhecida da prata?

5 A densidade do mármore é 2,60 g/cm³gramas por centímetro cúbico. Qual é a medida da massa, em quilograma, de uma pedra de mármore cuja medida do volume é igual a 12,40 dm³decímetros cúbicos?

6 Vitória encheu de gasolina o tanque do carro e percorreu 385 kmquilômetros. Ao abastecer novamente, foram necessá­rios 35 litros de gasolina para completar o tanque. Qual foi o consumo médio do carro de Vitória nesse trajeto?

7 O hidrômetro é um dispositivo que registra o volume de água consumido. Ele nos ajuda a identificar vazamentos, controlar nossos hábitos de consumo e evitar o desperdício, mantendo as contas sob controlecontrôle.

Para acompanhar o padrão de consumo mensal de água na sua residência, você pode fazer a leitura do hidrômetro. Para calcular o consumo de água, em um período considerado, subtraímos a medida de volume indicada pelos números em preto no visor do hidrômetro, chamada de leitura atual, pela leitura anterior indicada na conta de água.

a) Considere que uma residência com cinco moradores tem a leitura atual indicada pelo hidrômetro da ilustração e que a leitura anterior, feita há exatamente 30 dias, é de 5.9435943 m³métros cúbicos. Determine o consumo médio diário de água, em litro por dia (L/dia), dessa residência nesse período.

b) A Organização das Nações Unidas (ONUônu) julga que são necessários cercacêrca de 110 litros de água por dia para suprir as necessidades de consumo e higiene de uma pessoa. Considerando essa informação, quantos litros de água a mais do que o recomendado pela ONUônu foram consumidos por pessoa, em média, na residência do item aa?

c) Que mudanças de hábitos podemos adotar para evitar desperdícios e praticar o consumo consciente de água?

d) Reflita sobre seus hábitos de consumo. O que você faz para evitar o desperdício?

8 Em um condomínio, há uma piscina que mede 15 mmétros de comprimento, 5 mmétros de largura e 2 mmétros de profundidade. Ela está vazia e, para enchê-la até a borda, será utilizada uma bomba que despeja a água à razão de 2.0002000 litros por hora. Quanto tempo é necessário para encher essa piscina?

9 Observe as duas opções de embalagem de sabão que Rodrigo achou no supermercado.

a) Rodrigo comprou a embalagem menor, pois considerou-a mais vantajosa. A embalagem menor é mesmo mais ­vantajosa?

b) Troque ideias com um colega e redijam um texto que justifique a decisão de Rodrigo.

c) Sem os 200 gramas grátis, a embalagem menor seria a mais vantajosa? Justifique a resposta.

d) Você costuma comparar embalagens e preços de produtos de mesma qualidade? Qual é a importância de ter essa atitude?

Página 66

Pense mais um pouco...reticências

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Comparando gráficos de barras

Em quase todos os países, a maior concentração dos profissionais de saúde se dá nas áreas urbanas mais ricas. No Brasil, não é diferente. Esse fato acentua desigualdades sociais, de modo que há lugares com excesso de médicos, enquanto nas áreas mais vulneráveis dos municípios brasileiros a população não recebe atendimento médico.

Em outubro de 2013, o Programa Mais Médicos (PMM) foi instituído pela lei n⁰ 12.87112871, na qual o artigo 1º prevê:

I – diminuir a carência de médicos nas regiões prioritárias para o SUSsús, a fim de reduzir as desigualdades regionais na área da saúde; [...reticências]

Entre outros objetivos, o PMM visava aumentar a medida da densidade de médicos no Brasil, que era, segundo a Organização Mundial de Saúde (OMSó ême ésse), de 1,8 médico por 1.0001000 habitantes, em 2012, para 2,7 médicos por 1.0001000 habitantes até 2026.

Página 67

Observe, nos gráficos a seguir, o número de médicos ativos e a população estimada por região geográfica brasileira.

Comparando os dois gráficos, podemos determinar a medida da densidade de médicos nessas regiões, dada pela razão entre o número de médicos e o número de habitantes.

Para simplificar a comparação, podemos trabalhar com valores aproximados.

Vamos tomar como exemplo a região Nordeste, que tinha aproximadamente 96.00096000 médicos e uma população estimada de aproximadamente 57 milhões de habitantes (ou 57.00057000 grupos de mil).

Portanto, na região Nordeste havia cercacêrca de 1,7 médico para cada 1.0001000 habitantes em 2020.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Apenas observando os gráficos, responda: a densidade de médicos da região Norte era maior do que a da região Centro-Oeste em 2020?

3 Calcule a medida da densidade de médicos aproximada no Brasil em 2020. Quanto faltava, em 2020, para que esse índice chegasse aos 2,7 esperados para 2026?

Página 68

2. Proporcionalidade entre grandezas

Entendemos como grandeza toda quantidade que pode ser medida ou contada. Assim, comprimento, área, população, temperatura, massa e tempo são exemplos de grandezas.

Acompanharemos a seguir algumas situações que envolvem uma relação de dependência entre duas grandezas.

Situação 1

Gabriel percebeu que a torneira da cozinha estava vazando.

Para medir o volume de água desperdiçado com o vazamento, por minuto, ele colocou um recipiente graduado sob a torneira. Acompanhe o que ele observou.

Note que:

• quando duplicamos o tempo, o volume de água também duplica;

• quando triplicamos o tempo, o volume de água também triplica; e assim por diante.

Nesse caso, dizemos que as grandezas tempo e volume têm uma relação de proporcionalidade direta, ou seja, são grandezas diretamente proporcionais.

Situação 2

Suponha que, em uma doceria, um funcionário faça certa quantidade de bolos em 6 horas.

Com a proximidade das festas de fim de ano, o proprietário da doceria precisa produzir a mesma quantidade de bolos em um tempo menor. Para isso, aumenta a quantidade de funcionários, com igual produtividade e trabalhando nas mesmas condições, conforme a necessidade.

Página 69

Observe a relação entre o número de funcionários e o tempo gasto para a produção desses bolos.

Note que:

• quando duplicamos o número de funcionários, o número de horas para a produção dos bolos é reduzido à metade;

• quando triplicamos o número de funcionários, o número de horas para a produção dos bolos é reduzido à terça parte; e assim por diante.

Nesse caso, dizemos que o número de funcionários e o tempo têm uma relação de proporcionalidade inversa, ou seja, são grandezas inversamente proporcionais.

Situação 3

Observe, no quadro a seguir, a relação entre a idade e a medida da altura média dos estudantes de 1 a 5 anos da Escola Pequenitos.

Note que, quando a idade é duplicada, a medida da altura não dobra nem se reduz à metade. A medida da altura simplesmente aumenta sem respeitar nenhuma proporção em relação à idade. Então, altura e idade não são grandezas direta nem inversamente proporcionais. Nesse caso, dizemos que altura e idade são grandezas não proporcionais.

A seguir, vamos estudar detalhadamente as grandezas diretamente proporcionais e as grandezas inversamente proporcionais.

Página 70

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

11 Identifique e classifique as grandezas em cada situação a seguir como diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais.

a) Velocidade média e tempo gasto para percorrer determinado trajeto.

b) Volume de água e massa de polpa de fruta necessários para preparar um suco de fruta.

c) Idade e massa de uma pessoa.

12 O quadro a seguir indica as medidas da velocidade média de um automóvel e do tempo que ele leva para percorrer determinado trajeto.

Responda às questões.

a) Qual é a medida da velocidade média do automóvel quando ele percorre esse trajeto em 2duas horas e meia?

b) Quantas horas o automóvel levará para percorrer esse trajeto se a medida de sua velocidade média for de 80 km/hquilômetros por hora?

c) As grandezas “velocidade média” e “tempo” são direta ou inversamente proporcionais?

d) Multiplique cada medida da velocidade com a do respectivo tempo. O que acontece com os produtos obtidos? Que grandeza esses resultados representam?

13 Para organizar suas fotografias de viagem e liberar espaço em seu celular, Elisa precisa transferir as fotografias para o computador. Considerando que o tamanho médio do arquivo de cada fotografia é de 6 MBmégabáites e que a medida da velocidade de transferência de arquivos para o computador é de 50 MB/smega báites por segundo, responda ao que se pede.

a) Qual é a medida do tempo de transferência de uma pasta com 400quatrocentas fotografias? E com 800oitocentas fotografias? E com 3.200duzentas fotografias?

b) O tamanho do arquivo e o tempo de transferência são grandezas direta ou inversamente proporcionais?

c) Determine as razões entre as medidas do tamanho das pastas com 400quatrocentas fotografias, 800oitocentas fotografias e 3.200duzentas fotografias e a medida do tempo de transferência dessas pastas para o computador. O que acontece com os quocientes obtidos?

Pense mais um pouco...reticências

Página 71

Grandezas diretamente proporcionais

Mariana pesquisou a produção de uma usina de açúcar e anotou o número de sacas produzidas no decorrer de cinco dias, organizando o quadro a seguir.

Para organizar o quadro, Mariana trabalhou com duas grandezas: tempo e produção. Ela mediu o tempo em dias e a produção em sacas de açúcar. Então, as unidades de medida empregadas para o tempo e para a produção são, respectivamente, dia e saca de açúcar.

Sabendo que cada saca de açúcar tem massa de medida igual a 50 kgquilogramas, Mariana analisou, também, a produção dessa usina em quilograma e, dessa maneira, obteve os seguintes dados.

No segundo quadro, as grandezas continuam sendo tempo e produção, mas a unidade para medir a produção é o quilograma, e não a saca de açúcar.

Ao examinar esses quadros, observe que:

• duplicando o número de dias, duplica-se a produção de açúcar;

• triplicando o número de dias, triplica-se a produção de açúcar, e assim por diante.

Por isso, as grandezas tempo e produção são grandezas diretamente proporcionais.

Note também que a razão entre as duas medidas de tempo de produção e a razão entre as duas medidas de produção de açúcar correspondentes são iguais, ou seja, formam uma proporção. Acompanhe, por exemplo, as proporções formadas para os valores referentes ao primeiro quadro.

Página 72

Repare ainda que as razões entre os valores da primeira coluna e os valores correspon­dentes da segunda coluna são iguais.

Dizemos, então, que os números da sequência 1, 2, 3, 4 e 5 são diretamente proporcionais aos números da sequência 5.0005000, 10.00010000, 15.00015000, 20.00020000 e 25.00025000.

Acompanhe outros exemplos.

a) Para montar uma pequena empresa, Márcia, Cláudio e Ricardo formaram uma sociedade. Márcia investiu R$ 24.000,00vinte e quatro mil reais, Cláudio investiu R$ 27.000,00vinte e sete mil reais e Ricardo investiu R$ 30.000,00trinta mil reais. Depois de seis meses, a empresa obteve um lucro de R$ 32.400,00trinta e dois mil quatrocentos reais, que foi dividido entre os sócios em partes diretamente proporcionais à quantia que cada um investiu.

Vamos calcular a parte que coube a cada sócio.

Representaremos a parte do lucro de Márcia por x, a parte de Cláudio por y e a de Ricardo por z. Assim, podemos escrever:

Nesse caso, r é o valor correspondente a essas razões, chamado de razão de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade.

Então, obtemos as seguintes proporções:

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, obtemos:

x = 24.00024000r

y = 27.00027000r

z = 30.00030000r

Substituindo x por 24.00024000r, y por 27.00027000r e z por 30.00030000r em x + y + z = 32.40032400, calculamos o valor de r .

x + y + z = 32.40032400

24.00024000r + 27.00027000r + 30.00030000r = 32.40032400

81.00081000r = 32.40032400

r = 0,4

Página 73

Com o valor encontrado para r, calculamos os valores de x, y e z.

x = 24.00024000 ⋅ r

x = 24.00024000 ⋅ 0,4

x = 9.6009600

y = 27.00027000 ⋅ r

y = 27.00027000 ⋅ 0,4

y = 10.80010800

z = 30.00030000 ⋅ r

z = 30.00030000 ⋅ 0,4

z = 12.00012000

Portanto, Márcia recebeu R$ 9.600,00nove mil seiscentos reais, Cláudio recebeu R$ 10.800,00dez mil oitocentos reais e Ricardo, R$ 12.000,00doze mil reais.

b) Vamos determinar x e y, de modo que a sequência de números 2, 8 e y seja diretamente proporcional à sequência de números 3, x e 21.

Assim:

2x = 3 ⋅ 8

2x = 24

x = 12

3y = 2 ⋅ 21

3y = 42

y = 14

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

14 Em uma fábrica, determinado tipo de detergente é armazenado em tambores. Sabendo que todos os tambores são iguais e que 2 tambores armazenam 360 litros dessedêsse detergente, determine:

a) o número de tambores necessários para armazenar 720 litros;

b) a medida do volume, em litro, de detergente armazenado em 10 desses tambores;

c) a medida do volume, em litro, de detergente armazenado em 21 tambores e meio.

15 Um concurso para a escolha das melhores fotografias de monumentos oferecia um prêmio de R$ 3.600,00três mil seiscentos reais. Esse prêmio foi dividido entre os dois primeiros colocados, em partes diretamente proporcionais aos pontos obtidos por eles. Sabendo que o primeiro colocado atingiu 10 pontos e o segundo, 8, qual foi o prêmio de cada um?

16 Determine o valor das letras do quadro, de modo que as sequências de números sejam diretamente proporcionais.

Página 74

17 Em um banho de ducha, são gastos 135 litros de água em 15 minutos. Para economizar água, é preciso fechar o registro enquanto se ensaboa, reduzindo para 5 minutos o tempo de banho com o registro aberto.

a) Quantos litros de água são economizados dessa maneira?

Troque ideias com seus colegas e façam uma lista de atitudes que podemos tomar para fazer o uso racional da água.

18 A medida do perímetro de um triângulo cujos lados, em centímetro, medem x, y e z é de 18 cmcentímetros.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca!)

b) Usando régua e compasso, desenhe dois triângulos:

• Triângulo ABCá bê cê com ABA bê = 3 cmcentímetros, BCbê cê = 4 cmcentímetros, ACá cê = 5 cmcentímetros.

• Triângulo A'B'C'á linha bê linha cê linha com A'B'á linha bê linha = x cmcentímetros, B'C' = y cmcentímetros, A'C' = z cmcentímetros.

19 Márcia adora doces. Sabendo disso, uma amiga lhe passou a seguinte receita de ­queijadinha.

a) Com base nessa receita, Márcia quer fazer uma quantidade maior de queija­di­nhas. Para isso, aumentará proporcionalmente a quantidade de todos os ingredientes da receita. Quantos ovos serão necessários se ela utilizar 4 colheres de sopa de farinha? E quantas colheres de sopa de farinha serão necessárias se ela utilizar 9 ovos?

b) Se Márcia quiser fazer quatro receitas dessa, quantas colheres de sopa de farinha serão necessárias? E quantos ovos?

Pense mais um pouco...reticências

Página 75

PARA SABER MAIS

Página 76

Agora é com você!

Página 77

Grandezas inversamente proporcionais

Antes de estudar as grandezas inversamente proporcionais, veremos o conceito de razões inversas.

Acompanhe outros exemplos.

Agora, observe uma situação que envolve as grandezas velocidade e tempo.

Fernando tem um jogo de videogame que simula uma corrida de motos. Algumas vezes, ele percorreu o mesmo trajeto com velocidades diferentes e anotou a medida do tempo que levou a cada vez.

Analisando o quadro, temos que:

• duplicando a velocidade da moto, o tempo fica reduzido à metade;

• triplicando a velocidade, o tempo fica reduzido à terça parte; e assim por diante.

Por isso, podemos concluir que as grandezas velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.

Perceba ainda que, duas a duas, as razões entre os números que indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões entre os números que indicam o tempo.

Página 78

Note também que a multiplicação dos valores da primeira coluna do quadro pelos valores correspondentes da segunda é igual.

30 ⋅ 12 = 60 ⋅ 6 = 90 ⋅ 4 = 120 ⋅ 3

Todos esses produtos são iguais a 360.

Dizemos, então, que os números da sequência 30, 60, 90 e 120 são inversamente proporcionais aos números da sequência 12, 6, 4 e 3.

Acompanhe outros exemplos.

a) Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias. De acordo com essas informações, podemos supor que:

• o dobro do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na metade do tempo, isto é, em 18 dias;

• o triplo do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na terça parte do tempo, isto é, em 12 dias.

Então, concluímos que as grandezas quantidade de máquinas e tempo são inversamente proporcionais.

b) Vamos determinar x e y de modo que a sequência de números 4, x e 8 seja inversamente proporcional à sequência de números 20, 16 e y.

Para que as duas sequências sejam inversamente proporcionais, os produtos dos números correspondentes devem ser iguais, isto é:

4 ⋅ 20 = x ⋅ 16 = 8 ⋅ y

Assim:

x ⋅ 16 = 4 ⋅ 20

16x = 80

x = 5

8 ⋅ y = 4 ⋅ 20

8y = 80

y = 10

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

21 Cinco iogurteiras iguais produzem certa quan­tidade de iogurte em 28 dias. Nessas condições, responda.

a) O dobro do número dessas iogurteiras produz essa mesma quantidade de iogurte em quantos dias?

b) O quádruplo do número de iogurteiras faz esse mesmo trabalho em quan­tos dias?

c) As grandezas quantidade de iogurteiras e tempo são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais?

22 Para encher um tanque, são usadas três torneiras que têm a mesma vazão. Com apenas uma torneira aberta, enche-se o tanque em 8 horas.

a) Em quantas horas duas torneiras abertas encheriam o tanque?

b) Em quantos minutos as três torneiras abertas encheriam o tanque?

c) Quantas torneiras iguais a essas seriam necessárias para encher o tanque em 1uma hora?

Página 79

23 Os dados no quadro referem-se ao número de máquinas (iguais) e ao tempo necessário para a produção de 36 litros de sorvete.

a) Determine os valores de a, b e c.

b) Com apenas uma máquina, em quanto tempo seriam produzidos 108 litros de sorvete?

c) Para produzir 72 litros de sorvete em 30 minutos, seriam necessárias quantas máquinas?

24 Divida o número 132:

a) em três partes iguais;

b) em partes diretamente proporcionais a 2, 4 e 6;

c) em partes inversamente proporcionais a 2, 4 e 6.

3. Regra de três

Regra de três simples

Os problemas que envolvem duas grandezas direta ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos por meio de um procedimento prático chamado regra de três simples. Para enten­der tal procedimento, considere as situações a seguir.

Situação 1

O problema envolve duas grandezas: distância percorrida e volume de etanol. As unidades empregadas para medir essas grandezas são, respectivamente, quilômetro e litro.

Ao indicar por x a medida do volume de etanol, em litro, necessária para percorrer os 240 quilômetros, podemos organizar o seguinte quadro:

Página 80

As grandezas distância percorrida e volume de etanol são diretamente propor­cio­nais, pois, se a medida da distância percorrida aumenta, a medida do volume de etanol utilizado aumenta proporcionalmente, ou seja, se a medida da distância dobra, triplica etc.etcétera, a medida do volume de etanol também dobra, triplica etc.etcétera

Logo, a razão entre as medidas da distância percorrida é igual à razão entre as correspondentes medidas de volume de etanol.

15x = 1 ⋅ 240

x = 16

Portanto, esse automóvel precisa de 16 Llitros de etanol para percorrer 240 kmquilômetros.

Situação 2

Ao viajar de automóvel, à velocidade média de 60 km/hquilômetros por hora, Vânia leva 4 horas para percorrer determinado trajeto. Certo dia, ela aumentou a velocidade média do automóvel para o limite máximo da rodovia, que era 80 km/hquilômetros por hora. Vamos calcular o tempo que ela levou para percorrer o mesmo trajeto.

O problema envolve duas grandezas: velocidade média, medida em quilômetro por hora, e tempo, medida em hora.

Indicando por x a medida do tempo, em hora, necessário para percorrer o trajeto a 80 km/hquilômetros por hora, orga­nizamos este quadro:

As grandezas velocidade média e tempo são inversamente proporcionais, pois, ao aumentar a velocidade média, o tempo de viagem diminui proporcionalmente. Se, por exemplo, a velocidade for duplicada, o tempo de viagem será reduzido à metade.

Então, como as grandezas são inversamente proporcionais, podemos escrever:

Assim, a multiplicação de cada uma das medidas de velocidade média por cada uma das medidas de tempo de viagem correspondentes tem produtos iguais.

80x = 60 ⋅ 4

Resolvendo a equação, obtemos o valor de x :

x = 3

Portanto, quando Vânia aumentou a velocidade média do automóvel para 80 km/hquilômetros por hora, o tempo que ela levou para percorrer o mesmo trajeto foi de 3 horas.

Página 81

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

26 Se 9 metros de tecido custam R$ 117,00cento e dezessete reais, então:

a) quanto custam 12,5 mmétros dessedêsse tecido?

b) quantos metros de tecido é possível comprar com R$ 109,20cento e nove reais e vinte centavos?

27 Uma usina produz 350 litros de álcool com 5 toneladas de cana-de-açúcar. Para produzir 8.7508750 litros de álcool, são necessárias quantas toneladas de cana-de-açúcar ?

28 No rio que atravessa certa cidade, foram encontradas 3 toneladas de peixes mortos, em decorrência de um grande vazamento de uma indústria química. A prefeitura da cidade contratou 45 funcionários de uma empresa de limpeza urbana, que, em 4 dias, retiraram do rio todos os peixes mortos.

a) Supondo que a prefeitura tivesse contratado outros 15 funcionários, de mesma produtividade, quantos dias seriam necessários para retirar do rio aquela quantidade de peixes?

b) Faça uma pesquisa sobre as atitudes que as empresas devem tomar para evitar desastres ambientais como esse.

29 Uma padaria produz 400 pães com 10 kgquilogramas de farinha de trigo.

a) Quantos pães ela produzirá com uma saca de 60 kgquilogramas de farinha?

b) Quantos quilogramas de farinha são necessários para a produção de 720 pães?

30 Para construir uma roda dentada com determinada máquina, perdem-se 30 gramas de material. Depois de 10 dias utilizando essa máquina, que produz 150 rodas dentadas por dia, quantos quilogramas de material serão perdidos?

31 Um automóvel faz certo percurso em 4,5 horas com velocidade média de 80 km/hquilômetros por hora, consumindo 1 litro de etanol a cada 12 ­quilômetros.

a) Se a medida da velocidade média fosse de 90 km/hquilômetros por hora, esse percurso seria feito em quanto tempo?

b) Desejando-se fazer esse percurso em 5 horas, qual deve ser a velocidade média do automóvel?

32 Uma torneira fornece 24 litros de água por minuto e enche um tanque em 45 minutos.

a) Duas torneiras iguais a essa encheriam o tanque em quantos minutos?

b) Para encher o tanque em 15 minutos, seriam necessárias quantas dessas torneiras, sabendo que agora ele tem um vazamento?

33 Em uma cidade, uma frota de 600 ônibus transporta 240duzentas e quarenta.000 pessoas por dia. Para reduzir os gastos, a prefeitura propôs retirar 200 ônibus de circulação.

a) Supondo que os usuários desses 200 ônibus passem a usar automóveis e que cada automóvel transporte 4 pessoas por dia, no mínimo quantos automóveis serão necessários para transportar essas pessoas?

b) O que você imagina que acontecerá com o trânsito da cidade e o meio ambiente se a prefeitura de fato tomar essa medida?

Pense mais um pouco...reticências

Página 82

PARA SABER MAIS

Agora é com você!

Página 83

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Construindo gráficos de barras e de colunas

O Índice de Desenvolvimento Humano (IDHí dê agá) é uma medida que classifica os países pelo seu nível de desenvolvimento com base em três dimensões: renda, educação e saúde.

Para estudar o IDHí dê agá de diferentes países, Fred utilizou um mapa coroplético, isto é, um mapa que usa uma escala de cor para representar os dados estatísticos de diferentes localizações geográficas. Mapas dessedêsse tipo mostram como os dados variam de um lugar para outro.

Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) – 2019

Após analisar os dados do IDHí dê agá indicados pelo mapa, Fred resolveu fazer um gráfico de barras para comparar os dados do IDHí dê agá de alguns países para 2019.

Para o gráfico não ficar muito extenso, Fred estabeleceu a medida de 10,0 cmcentímetros de comprimento para a barra correspondente ao maior dado de IDHí dê agá que será considerado (Austrália: 0,944). Em seguida, ele calculou a medida do comprimento, aproximada, das outras barras por meio da regra de três. Observe alguns cálculos que ele fez.

Página 84

Comparando o IDHí dê agá da Austrália e o da Etiópia, de 2019, Fred organizou o quadro:

Como as grandezas IDFih dê éfe 2019 e comprimento da barra são diretamente proporcionais, Fred fez uma regra de três para obter, em centímetro, a medida x:

De maneira semelhante, Fred pôde comparar o IDHí dê agá 2019 da Austrália com o da Índia e, depois, o da Austrália com o do Brasil. Observe como ele organizou as informações em quadros e como utilizou a regra de três para determinar, em centímetro, as medidas y e z referentes ao comprimento das barras do IDHí dê agá 2019 da Índia e do Brasil, respectivamente.

Assim, as barras referentes à Etiópia, à Índia e ao Brasil ficaram com medidas de 5,1 cmcentímetros, 6,8 cmcentímetros e 8,1 cmcentímetros de comprimento, respectivamente.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Calcule a medida do comprimento das barras referentes aos outros países destacados no mapa e faça um gráfico de barras como Fred fez.

2 Pesquise quais são, atualmente, os três países com maior IDHí dê agá e quais são os três com menor IDHí dê agá. Organize esses dados em uma tabela e elabore um gráfico de colunas comparando o IDHí dê agá desses países. (Sugestão: deixe a coluna maior com 10 cmcentímetros de altura.)

3 Os países com maior IDHí dê agá são necessariamente os países com melhor qualidade de vida? Escreva uma explicação para isso.

Página 85

Regra de três composta

O procedimento usado para resolver problemas que envolvam mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais, é chamado de regra de três composta.

Considere as situações a seguir, que envolvem três grandezas.

Situação 1

Uma empresa fornece café da manhã para 80 funcionários, gerando um custo de R$ 5.000,00cinco mil reais para um período de 120 dias. Vamos calcular quanto essa empresa gastaria para fornecer o mesmo café da manhã para 150 funcionários, durante 100 dias.

Vamos chamar de x o preço, em real, dessedêsse café da manhã para 150 funcionários durante 100 dias. Para facilitar, vamos dispor em um quadro os dados do problema.

Fixando o número de dias em 120, vamos estabelecer uma relação entre o número de fun­cionários e o preço. Assim, é possível determinar o preço, em real, que essa empresa pagaria para fornecer o café da manhã para 150 funcionários durante 120 dias. Vamos indicar esse preço por z.

O número de funcionários e o preço são diretamente proporcionais. Então, podemos escrever a seguinte proporção e determinar o valor de z.

80z = 150 ⋅ 5.0005000

z = 9.3759375

Agora, fixando o número de funcionários em 150, vamos estabelecer uma relação entre o tempo e o preço. Então, vamos encontrar o valor de x, que é o preço do café da manhã para 150 funcio­ná­rios durante 100 dias.

Página 86

O tempo e o preço são diretamente proporcionais. Então, podemos escrever a seguinte proporção e determinar o valor de x.

120x = 100 ⋅ 9.3759375

x = 7.8127812,5

Portanto, o preço que a empresa pagaria para fornecer o café da manhã para 150 funcionários durante 100 dias é R$ 7.812,50sete mil oitocentos e doze reais e cinquenta centavos.

Observe que a grandeza preço é diretamente proporcional à grandeza tempo e à grandeza ­número de funcionários. Essa relação conduz a outra formafórma de resolução dessedêsse problema, por meio da aplicação da seguinte propriedade:

Observe o quadro com os dados iniciais dessa situação.

Vamos resolver esse problema aplicando a propriedade apresentada.

9.6009600x = 5.0005000 ⋅ 15.00015000

x = 7.8127812,5

Página 87

Situação 2

Em uma indústria, 5 máquinas de mesmo rendimento produzem 600seiscentas peças em 5 dias.

Vamos calcular quantas dessas máquinas produziriam 720setecentas e vinte peças em 3 dias.

Vamos dispor os dados em um quadro e chamar de x o número de máquinas que produziriam 720setecentas e vinte peças em 3 dias.

Fixando o número de dias em 5, estabelecemos uma relação entre o número de máquinas e o número de peças. Então, vamos determinar o número de máquinas que produziriam 720setecentas e vinte peças em 5 dias, indicando-o por z.

O número de máquinas é diretamente proporcional ao número de peças, então podemos escrever a seguinte proporção e determinar o valor de z:

600z = 5 ⋅ 720

z = 6

Fixando o número de peças em 720setecentas e vinte, vamos agora estabelecer uma relação entre o número de máquinas e o tempo. Então, encontramos o valor de x, que é o número de máquinas que produziriam 720setecentas e vinte peças em 3 dias.

O número de máquinas é inversamente proporcional ao tempo, então a razão entre o número de máquinas é igual ao inverso da razão entre o número de dias.

3x = 30

x = 10

Portanto, o número de máquinas que produziriam 720setecentas e vinte peças em 3 dias é 10.

Página 88

Vamos resolver novamente esse problema aplicando a propriedade estudada.

As grandezas número de máquinas e número de peças são diretamente propor­cionais. No ­entanto, as grandezas número de máquinas e tempo são inversamente proporcio­nais. Assim, temos:

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

35 Em um restaurante, 150 fregueses consomem 3.0003000 esfirras em 5 dias. Calcule quantas esfirras 200 fregueses vão consumir em 30 dias, admitindo que todos esses fregueses tenham hábitos iguais.

36 Uma jovem percorreu de bicicleta o equivalente a 320 kmquilômetros em 10 dias, pedalando 8 horas por dia. Quantos quilômetros ela poderia percorrer em 8 dias, na mesma velocidade, se pedalasse 12 horas por dia?

37 Uma gráfica tem 5 máquinas de mesmo rendimento que imprimem 36.00036000 panfletos em duas horas. Considerando que duas dessas máquinas não estejam funcionando, calcule em quanto tempo as restantes imprimiriam 27.00027000 exemplares do mesmo panfleto.

38 Nove amigos foram acampar por 6 dias. Para isso, levaram alimento suficiente, calculando 4 refeições diárias. Se chegassem mais 3 amigos e o grupo fizesse 3 refeições diárias, a quantidade de alimento que levaram inicialmente seria suficiente para quanto tempo?

39 Se 4 tratores iguais realizam um serviço em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia, calcule em quantos dias esse serviço seria realizado com 2 tratores trabalhando 10 horas por dia.

40 Em 4 horas, 9 pessoas colhem uma quantidade de laranjas que preenche um total de 360 caixas. Quantas pessoas, que trabalham no mesmo ritmo das demais, colhem a quantidade de laranjas necessária para preencher 510quinhentas e dez caixas em 3 horas?

41 Uma empresa foi contratada para fornecer refei­ções a 72 funcionários, durante 60 dias, por R$ 13.824,00treze mil oitocentos e vinte e quatro reais. Vinte dias depois, foram contratados mais 8 funcionários. Qual é o valor do novo contrato?

Página 89

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Uma moto percorreu 225 kmquilômetros em 2,5 hhoras.

a) Qual foi a medida da velocidade média da moto, em km/hquilômetro por hora, nesse percurso?

b) Nessa mesma velocidade, em quanto tempo essa moto percorreria 270 quilômetros?

c) Qual é a medida do consumo médio dessa moto se, percorrendo 259 kmquilômetros, ela gastou 14 litros de combustível?

2 Caatinga (que em tupi-guarani significa “mata branca”) é um bioma exclusivamente brasileiro, encontrado na Região Nordeste e em uma pequena faixa do norte do estado de Minas Gerais.

A caatinga abriga a mais povoada região semiárida do planeta. São aproximadamente 27 milhões de pessoas distribuídas em uma superfície de 844.453844453 km²quilômetros quadrados de área. Qual é a medida da densidade demográfica aproximada da Caatinga?

3 Sabendo que 1.2001200 frangos consomem 90 kgquilogramas de ração diariamente, calcule quantos qui­logramas de ração 2.0002000 frangos consumirão por dia.

4 Em uma exposição de equipamentos de limpeza e manutenção, foi apresentada uma máquina que, segundo o fabricante, varre, lava e enxuga uma área de 5.1005100 m²métros quadrados em 6 horas. Em iguais condições, em quantas horas a máquina executará a mesma operação em uma área medindo 11.90011900 m²métros quadrados?

5 Trabalhando 8 horas por dia, 3 pedreiros cons­truíram metade de um muro em 15 dias. Como um pedreiro saiu da equipe, os outros passaram a trabalhar 9 horas por dia para terminar o serviço. No total, o muro foi construído em quanto tempo?

6 A reciclagem de uma latinha de alumínio economiza energia suficiente para manter um televisor ligado por três horas. Quantas lati­nhas reci­cladas são necessárias para manter um televisor ligado por um dia inteiro?

7 Uma editora utilizou 6.5106510 kgquilogramas de papel para produzir 5.0005000 livros de 280 páginas cada um. Se cada livro fosse reduzido a 240duzentas e quarenta páginas, qual seria a medida da massa de papel necessária para a produção de 4.0004000 desses livros?

8 (UFUúfu-MGMinas Gerais) As idades de um pai e seus dois filhos são diretamente proporcionais aos números 27, 14 e 11, respectivamente. Se a soma de suas idades é de 104 anos, então, as idades de cada um deles, na mesma ordem, são:

a) 54 anos, 28 anos e 22 anos.

b) 50 anos, 28 anos e 26 anos.

c) 56 anos, 26 anos e 22 anos.

d) 59 anos, 23 anos e 22 anos.

e) 55 anos, 27 anos e 22 anos.

a) 8.

b) 12.

c) 34.

d) 48.

e) 68.

10 Uma rede de televisão fez uma pesquisa entre os habitantes de uma cidade cuja população é de 21vinte e uma.000 pessoas. Foram entrevistadas 7.500quinhentas pessoas, e descobriu-se que 3.0003000 delas assistem aos programas dessa rede. Supondo que os resultados da pesquisa sejam proporcionais aos que seriam obtidos se todos os moradores fossem entrevistados, quantas pessoas dessa cidade assistem aos programas dessa rede de televisão?

11 Para preservar uma área de floresta de medida equivalente a 18 campos de futebol, a cada mês 1.000.0001000000 de pessoas deveriam usar o verso das folhas de papel. Para que a área preservada tivesse a medida equivalente à da área de pelo menos um campo de futebol, quantas pessoas deveriam usar o verso do papel?

12 (Uniforunifór-CECeará) Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Nas novas condições, o número de páginas ocupadas pelo texto será:

a) 24.

b) 21.

c) 18.

d) 12.

e) 9.

13 (UFRGSu éfe érre gê ésse-RSRio Grande do Sul) Se foram empregados 4 kgquilogramas de fios para tecer 14 mmétros de fazenda com 80 cmcentímetros de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 mmétros de fazenda com 120 cmcentímetros de largura?

a) 130

b) 150

c) 160

d) 180

e) 250

Página 90

VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Para realizar uma viagem de São Paulo até ­Salvador, um avião leva 2duas hhoras 30 minminutos. Se a medida da distância que o avião percorre nesse trajeto é de 1.5001500 kmquilômetros, qual é a medida da velocidade média do avião?

a) 3.0003000 km/hquilômetros por hora

b) 750 km/hquilômetros por hora

c) 652 km/hquilômetros por hora

d) 600 km/hquilômetros por hora

2 Em 2021, a medida da área territorial da cidade de Manaus, no Amazonas, era de aproximadamente 11.40111401 km²quilômetros quadrados e sua população estimada era de 2.255.9032255903 habitantes. Qual era a medida aproximada da densidade demográfica da cidade em 2021?

a) 50 hab/km²habitantes por quilômetro quadrado

b) 114 hab/km²habitantes por quilômetro quadrado

c) 198 hab/km²habitantes por quilômetro quadrado

d) 225 hab/km²habitantes por quilômetro quadrado

3 Sobre a gramatura e a massa de um papel, podemos afirmar que essas grandezas são:

a) inversamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra aumenta na mesma razão.

b) inversamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra diminui.

c) diretamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra aumenta na mesma razão.

d) diretamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra diminui na mesma razão.

4 Considere as sequências x, 9, 24 e 4, 6, y. Para que essas sequências sejam diretamente proporcionais, x e y devem ser, respectivamente, iguais a:

a) 3 e 8.

b) 3 e 16.

c) 6 e 8.

d) 6 e 16.

5 Se dividirmos 120 em duas partes, Aa e B, inversamente proporcionais a 3 e a 2, respectivamente, temos que:

a) A = 48 e B = 72.

b) A = 24 e B = 72.

c) A = 60 e B = 60.

d) A = 12 e B = 36.

6 Em uma fábrica, 14 máquinas produzem determinada quantidade de um produto em 6 horas. Em quanto tempo 24 máquinas produziriam a mesma quantidade dessedêsse produto?

a) 35 minminutos

b) 3 hhoras 30 minminutos

c) 3 hhoras 50 minminutos

d) 10 hhoras 30 minminutos

7 Uma pessoa lê 20 páginas de um livro a cada 45 minutos. Quanto tempo, em hora, ela levaria para ler um livro inteiro de 300 páginas?

a) 11 hhoras 15 minminutos

b) 11 hhoras 25 minminutos

c) 2duas hhoras 22 minminutos

d) 2duas hhoras 13 minminutos

8 Uma empresa foi contratada para pintar todos os corredores idênticos de um condomínio de apartamentos. Sabe-se que 3 pintores levam 5 dias para pintar 5 corredores. Quantos pintores serão necessários para pintar 6 corredores em 2 dias?

a) 3

b) 4

c) 9

d) 10

9 Um cicloviajante percorreu 450 kmquilômetros de bicicleta em 9 dias, pedalando 4 horas por dia. Quantos quilômetros ele teria percorrido em 5 dias se pedalasse 6 horas por dia?

a) 540 kmquilômetros

b) 500 kmquilômetros

c) 166 kmquilômetros

d) 375 kmquilômetros

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) Qual é a unidade de medida de uma razão entre duas grandezas de natureza diferentes?

b) Quando duas grandezas são diretamente proporcionais?

c) Quando duas grandezas são inversamente proporcionais?

d) Escreva um passo a passo que possa ser seguido para a resolução de um problema utilizando uma regra de três composta.

e) Quais medidas você utiliza no dia a dia ou observa em notícias e reportagens que são dadas por meio da razão entre duas grandezas diferentes?

f) Você estudou sobre o PIBPíbi per capitaper cápita de um país. O que a expressão “per capitaper cápita” significa?

g) Se Bryan, aos 7 anos, tinha 24 kgquilogramas de medida de massa e, aos 14 anos, tinha 48 kgquilogramas, podemos dizer que as grandezas idade e massa são diretamente proporcionais? Por quê?