CAPÍTULO 4 Proporcionalidade em Geometria
Paralelas e transversais, cruzando em feixes, compõem um cenário harmonioso nas construções humanas. E a perspectiva oferece aos nossos olhos a ideia de proporcionalidade e uma representação de infinitude.
Observe, leia e responda no caderno.
a) Se o número do calçado de uma criança com idade de 1 ano é 20, então, é verdade que, quando essa criança tiver o dobro da idade, usará calçado cujo número é o dobro de 20?
b) De acordo com sua resposta ao item a, você entende que há proporcionalidade entre as grandezas idade e comprimento do pé?
c) Converse com um colega e elaborem uma lista com três pares de grandezas em que há proporcionalidade e três pares em que não há proporcionalidade.
1. Razão entre dois segmentos de reta
Neste capítulo, vamos retomar o conceito de razão entre dois números e o conceito de razão entre grandezas de mesma natureza, estudados anteriormente.
Considere as situações a seguir.
Situação 1
Em um campeonato de natação, na prova de 50 metros nado livre, Leo precisou dar 48 braçadas para atravessar a piscina, enquanto Márcio deu 56 braçadas.
A razão entre o número de braçadas de Leo e o número de braçadas de Márcio é dada por:
Isso significa que 6 braçadas de Leo equivalem a 7 braçadas de Márcio.
Considerando que Leo meça 1,80 métro de altura e Márcio meça 1,71 métro, a razão entre as medidas de suas alturas é:
•
A idade de uma criança e sua altura estão sempre à mesma razão?
Agora, vamos analisar outras duas situações que tratam de razão entre dois segmentos.
Situação 2
Observe os segmentos de reta a seguir.
A razão entre eles é dada pela razão entre suas medidas:
Fração: numerador AB, denominador CD, igual, Fração: numerador 4 centímetros, denominador 5 centímetros, igual 4 quintos.A razão entre dois segmentos de reta é a razão entre suas medidas tomadas em uma mesma unidade.
Situação 3
Considere os segmentos
AB, CD, EFe
Segmento GH..
Vamos calcular as razões:
e
Fração: numerador EF, denominador GH, igual, quatro sextos, igual, dois terços.Como as razões são iguais,
segmentos AB, CD, EF. segmento GHnessa ordem, são proporcionais, isto é:
ou
2 terços, igual, 4 sextos.Dizemos que quatro segmentos,
AB, CD, EF. segmento GHnessa ordem, são segmentos proporcionais quando suas medidas, tomadas na mesma unidade, formam uma proporção, isto é, quando
Fração: numerador AB, denominador CD, igual, Fração: numerador EF, denominador GH..
De acordo com o conceito de segmentos proporcionais, resolvemos problemas como o seguinte.
Para fazer uma tela mosquiteiro com moldura retangular cujas medidas dos comprimentos dos lados estão na razão 3 : 2 (lemos: “três para dois”), Zildo tem uma ripa que mede 5 métros de comprimento.
Que medidas devem ter os pedaços da ripa serrados por Zildo, sem haver sobra?
Vamos representar essas medidas por x e y.
Assim, podemos escrever:
ou x =
Fração. Numerador 3y, denominador 2e
2x + 2y = 5
Substituindo x por
Fração. Numerador 3y, denominador 2em 2x + 2y = 5, temos:
2 ⋅
Fração: numerador 3y, denominador 2+ 2y = 5
3y + 2y = 5
y = 1
Logo: x =
Fração. Numerador 3 vezes 1, denominador 2= 1,5
Portanto, a ripa deve ser serrada em pedaços de 1 metro e 1,5 metro.
A proporcionalidade entre segmentos é muito usada em Geometria e na vida prática. Por exemplo, para fazer a ampliação de uma fotografia, é necessário que os lados da fotografia ampliada sejam, respectivamente, proporcionais aos lados da fotografia original.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Observe a figura.
Considerando as medidas indicadas, determine a razão entre:
a)
Segmento AB e segmento CD.;
b)
Segmento AC e segmento AD.;
c)
Segmento AB e segmento BD.;
d)
Segmento BC e segmento AD..
2 No triângulo a seguir, determine a razão entre:
a)
Segmento AB e segmento BC.;
b)
Segmento AC e segmento AB.;
c)
Segmento BC e segmento AB..
3 Sendo
ABum segmento de medida x, calcule essa medida nos seguintes casos:
a)
Fração: numerador AB, denominador 5, igual, 14, 10 avos.
b)
Fração: numerador 3,4, denominador AB, igual, 12, 18 avos.
c)
Fração: numerador 0,9, denominador 0,5, igual, fração: numerador AB, denominador 3,5.
d)
Fração: numerador 2,4, denominador 3,2, igual, Fração: numerador 1,5, denominador AB.
4 (- púqui) Se o ponto Minas Gerais ême divide um segmento
ABde 18 centímetros na razão
2 sétimos., as medidas de
Segmento AM.e
Segmento MBsão, respectivamente, em centímetros:
a) 4 e 14.
b) 7 e 11.
c) 8 e 10.
d) 10 e 8.
e) 14 e 4.
5 Uma fotografia foi impressa no tamanho 10 × 15 (lemos: “10 por 15”), ou seja, um lado mede 10 centímetros e o outro, 15 . Para ampliá-la de modo que o lado menor tenha 13 centímetros , qual deve ser a medida do lado maior? centímetros
6 Os segmentos
AB, MN, CD e PQformam, nessa ordem, uma proporção. Calcule a medida de
Segmento CD.e
Segmento PQ.sabendo que A bê = 12 centímetros, MN = 15 centímetros e CD + PQ = 45 centímetros.
7 Considere dois triângulos: o triângulo ABC, cujo lado
ABmede 20 centímetros e a altura
Segmento CH.relativa a esse lado mede 18 centímetros; e o triângulo MNP, cujo lado
Segmento MN.mede 30 centímetros e a altura
Segmento PG.relativa a esse lado mede x centímetros.
Se
Fração: numerador AB, denominador MN, igual, Fração: numerador CH, denominador PG., determine:
a) o valor de x ;
b) a medida da área do triângulo ême êne pê.
8 O perímetro de um quadrilátero a bê cê dê mede 63 . As medidas dos lados centímetros
AB, BC, CDe
ADformam, nessa ordem, uma proporção. Se A bê = 12 centímetros e bê cê = 15 centímetros, quais são as medidas dos outros dois lados désse quadrilátero?
9 Hélio tem um terreno retangular cujas medidas das dimensões estão na razão 2 para 3. O perímetro dêsse terreno mede .1500 . Responda às questões no caderno. métros
a) Quais são as medidas das dimensões dêsse terreno?
b) Qual é a medida da área dêsse terreno?
PARA SABER MAIS
Uma razão de ouro
Estudando o pentágono regular estrelado, os gregos descobriram, mais de 500 anos antes de Cristo, um número irracional determinado pelas razões entre os segmentos dêsse pentágono.
Na figura a seguir, por exemplo, temos:
cêrca de .2000 anos depois, esse número, que já vimos representado pela letra grega fi (ϕ) e que tem infinitas casas decimais sem período, passou a ser chamado de número áureo ou número de ouro.
Observando a natureza, a arquitetura, algumas razões entre medidas do corpo humano etcétera, encontramos razões que se aproximam do número de ouro.
Observe o exemplo do girassol.
A estrutura central do girassol é formada por um grande número de pequenas sementes dispostas em espirais, algumas no sentido horário e outras no sentido anti-horário.
A razão é dada por:
Chamamos de retângulo áureo ou retângulo de ouro todo retângulo cuja razão entre as medidas dos lados maior e menor é o número de ouro (≃ 1,618).
Para todo retângulo áureo, vale a seguinte propriedade: se dele retirarmos o maior quadrado possível, o retângulo restante também será um retângulo áureo, isto é, a proporção entre os lados se manterá.
Retirando do retângulo a bê cê dê o quadrado á é éfe dê (maior possível), obtemos o retângulo é bê cê éfe de modo que:
Considerando c = 1 em
Fração: numerador c mais b, denominador c., temos:
ou b 2 + b ‒ 1 = 0
Chegamos a uma equação do 2º grau cuja resolução será estudada no capítulo 7.
Resolvendo essa equação, obtemos
Fração: numerador raiz quadrada de 5, menos 1, denominador 2.como um dos valores de b; logo:
Agora é com você!
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Observe os passos a seguir e construa retângulos áureos de duas maneiras diferentes.
1ª maneira: com dobradura
• Copie, em uma folha de papel em branco, o retângulo a bê cê dê (figura 1).
• Recorte o retângulo e, com dobradura, obtenha o quadrado á é éfe dê (figura 2).
• Recorte o quadrado (figura 3) e obtenha um novo retângulo áureo (figura 4).
(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)
2ª maneira: com régua e esquadro
• Copie novamente, em uma folha de papel em branco, o retângulo a bê cê dê (figura 1).
• Trace, com o auxílio de uma régua, uma semirreta com origem em a que passe por C (figura 5).
segmento ACé uma diagonal do retângulo.
• Com o auxílio de um esquadro, trace retas perpendiculares ao lado
Segmento AB.(ou à reta-suporte) e determine outros retângulos áureos (figura 6).
(A imagem não respeita as proporções reais entre os objetos.)
Com os retângulos áureos que construiu, descubra se uma folha de papel de formato a4 (21 centímetros por 29,7 centímetros) e uma de formato carta (21,59 centímetros por 27,94 centímetros) são retângulos áureos.
2. Feixe de retas paralelas
Um conjunto de três ou mais retas paralelas de um plano (como as retas a, b, c e d da figura 1) chama-se feixe de retas paralelas.
Uma reta que corta um feixe de retas paralelas (como a reta t) é chamada de reta transversal.
Figura 1
Considere a figura 2, com a ⫽ b ⫽ c, em que as retas s e t são transversais e
Segmento AB congruente ao segmento BC.Figura 2
Queremos provar que
Segmento MN congruente ao segmento NP.• Demonstração
Por M traçamos
Segmento MR.⫽ s. Com isso, obtemos o paralelogramo ABRM, com
Segmento AB congruente ao segmento MR..
Por N traçamos
Segmento NS.⫽ s. Assim, obtemos o paralelogramo bê cê ésse êne, em que
Segmento BC congruente ao segmento NS..
De
e
, temos
Segmento MR congruente ao segmento NS.pois
Segmento AB congruente ao segmento BC.Comparando os triângulos ême érre êne e , temos: êne ésse pê
•
Segmento MR congruente ao segmento NS.(já provado)
•
Ângulo 1 congruente ângulo 2.(ângulos correspondentes em retas paralelas)
•
Ângulo 3 congruente ângulo 4.(ângulos correspondentes em retas paralelas)
Assim, pelo caso lado-ângulo-ângulo opostoo , os triângulos ême érre êne e êne ésse pê são congruentes. Como
Segmento MN congruente ao segmento NP.são lados correspondentes em triângulos congruentes, então
Segmento MN congruente ao segmento NP.Se um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes sobre uma reta transversal, então esse feixe determina segmentos congruentes sobre qualquer outra reta transversal.
3. Teorema de Tales
Considere a figura a seguir, em que a, b e c formam um feixe de retas paralelas e as retas s e t são transversais.
Queremos provar que
Segmento AB,
Segmento BC.,
Segmento MNe
Segmento NP., nessa ordem, são segmentos proporcionais.
• Demonstração
Admitindo que exista um segmento de medida u que caiba x vezes em
Segmento ABe y vezes em
Segmento BC.com x e y sendo números inteiros, temos: AB = xu e BC = yu.
Logo:
Fração: numerador AB, denominador BC, igual, fração: numerador xu, denominador yu.ou
Fração: numerador AB, denominador BC, igual, fração: numerador x, denominador y.
Traçando pelos pontos de divisão de
Segmento AB e Segmento BC.retas paralelas ao feixe, elas dividirão
Segmento MN.e
Segmento NP.em segmentos congruentes. Indicando por v a medida desses segmentos (com v ≠ 0), temos MN = xv e NP = yv e, portanto:
ou
Fração: numerador MN, denominador NP, igual, fração: numerador x, denominador y.Comparando as igualdades
e
, temos:
Fração: numerador AB, denominador BC, igual, Fração: numerador MN, denominador NP.Com base nessa demonstração, podemos enunciar o teorema de Tales:
Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais segmentos proporcionais.
Com o auxílio do teorema de Tales, vamos calcular, como exemplo, o valor de x desta figura, sendo a ⫽ b ⫽ c.
20x = 15(x + 4)
Resolvendo a equação, obtemos: x = 12
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
10 Sendo a ⫽ b ⫽ c, calcule o valor de x.
a)
b)
c)
11 Determine os valores de x e de y nos seguintes feixes de paralelas:
12 Três retas paralelas determinam sobre uma transversal segmentos medindo 4,2 centímetros e 5,4 . Calcule a medida do maior segmento que o feixe determina sobre outra transversal, sabendo que o segmento menor mede 6,3 centímetros . centímetros
13 Sendo a ⫽ b ⫽ c, calcule o valor de x aplicando o teorema de Tales.
14 A figura a seguir representa um terreno com frente para duas alamedas. A frente para a alameda das Magnólias mede 90 , e a frente para a alameda dos Jasmins, 135 métros . métros
O proprietário do terreno resolveu dividi-lo em três lotes menores, traçando sobre ele duas paralelas perpendiculares à alameda das Magnólias. O terreno a ficou com 40 métros de frente para essa alameda, e o terreno B, com 30 métros de frente para a mesma alameda. Com base nessas informações, responda.
a) Quanto mede a frente do terreno C para a alameda das Magnólias?
b) Quanto medem as frentes dos três terrenos para a alameda dos Jasmins?
PARA SABER MAIS
Um pouco da história de Tales
Para tratar de semelhança, é imprescindível retomar os estudos do filósofo e matemático grego Tales de Mileto ( cêrca de 624 a 547 antes de Cristo), cujo nome está associado ao seguinte teorema:
Se um feixe de retas paralelas é intersectado por duas retas transversais, então os segmentos determinados pelas retas paralelas sobre as transversais são proporcionais.
Esse teorema, que provém diretamente da ideia de semelhança entre triângulos, que você estudará no capítulo 5, é conhecido como teorema de Tales.
Sabe-se pouco a respeito da vida e da obra de Tales. Acredita-se que ele tenha sido o primeiro filósofo e geômetra da Grécia conhecido e o primeiro de seus sábios. Acredita-se também que tenha sido o criador da Geometria demonstrativa.
Nenhum escrito de Tales chegou até nós, o que dificulta determinar precisamente suas ideias e suas descobertas matemáticas. Muito do que sabemos a respeito dele vem do chamado Sumário eudemiano, escrito pelo matemático, filósofo e comentarista grego Proclus ( 411 a 485 Depois de Cristo).
Essa obra é um breve resumo do desenvolvimento da Geometria grega desde os primeiros tempos até a época de Euclides e é, ainda hoje, o principal registro histórico do início dessa ciência na Grécia.
Muitos dos conhecimentos de Tales resultaram de viagens que ele empreendeu, especialmente ao Egito. Tales morou por um tempo no Egito, onde teria aprendido Geometria com os sacerdotes egípcios e, também, aplicado a semelhança de triângulos.
Segundo o Sumário eudemiano, Tales introduziu a Geometria na Grécia após essas viagens. Utilizando metodologias gerais e empíricas, o filósofo grego descobriu muitas proposições, algumas delas envolvendo semelhança.
Além de Proclus, outras fontes fazem menção a Tales. O grego Eudemo de Rodes (350‑290 antes de Cristo), primeiro grande historiador da Matemática, por exemplo, afirma que Tales mediu a distância de uma torre a um navio.
Hierônimo, um discípulo de Aristóteles ( 384 a 322 antes de Cristo), afirmou que Tales teria medido a altura da grande pirâmide de Quéops, no Egito, por meio da observação e da comparação da própria sombra com a sombra da pirâmide. Tales teria chegado à conclusão de que, quando sua sombra tivesse o mesmo comprimento de sua altura, a sombra da pirâmide teria o mesmo comprimento da altura dela.
O matemático e filósofo grego Plutarco ( cêrca de 46 a 119 Depois de Cristo) também o menciona em sua obra, ao dizer que Tales mediu a altura da pirâmide fincando verticalmente uma vara no chão e comparando as razões entre os dois triângulos formados.
Com base nesses relatos, percebemos que as ideias de proporcionalidade e de semelhança, em particular entre triângulos, estão estreitamente associadas ao nome de Tales. Adicionando a isso a grande importância que a Arquitetura e a Agrimensura tiveram no Egito antigo, bem como o fato de ele ter sido o fundador da Geometria demonstrativa na Grécia e quem primeiro organizou a Matemática dedutiva, é razoável a hipótese de que a primeira sistematização da Geometria tenha ocorrido na época de Tales.
Consequências do teorema de Tales
1ª consequência
Observe os triângulos á bê cê sobre os quais foram traçadas as retas r (qualquer) e s, que passa pelo vértice A; ambas as retas são paralelas à reta
reta BC.
Pelo teorema de Tales, nos três casos, temos:
Fração: numerador AD, denominador DB, igual, Fração: numerador AE, denominador EC.Podemos expressar essa consequência do teorema de Tales do seguinte modo:
Quando uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta os outros lados em dois pontos distintos, ela determina sobre esses lados segmentos proporcionais.
Observe que a recíproca dêsse teorema é verdadeira: se no triângulo á bê cê vale a relação
Fração: numerador AD, denominador DB, igual, Fração: numerador AE, denominador ECentão
Segmento DE, paralelo, ao segmento BC.
Acompanhe um exemplo de aplicação dessa propriedade.
Vamos dividir o segmento
ABem três partes iguais.
Pelo ponto A, traçamos uma semirreta oblíqua a
segmento ABsobre a qual, a partir de a, marcamos os pontos C, D e ê, de modo que á cê = CD = dê ê, e traçamos o segmento
Segmento BE.Pelos pontos C e D, com o auxílio de uma régua e de um esquadro, traçamos paralelas a
Segmento BE.Como á cê = CD = dê ê, então ei ém = MN = NB.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
15 Calcule o valor de x nas figuras a seguir.
a)
Segmento DE, paralelo, ao segmento BC.
b)
Segmento DE, paralelo, ao segmento BC.
16 Verifique, em cada caso, se o segmento
Segmento NM.é paralelo ao lado
Segmento GFdo triângulo. Justifique sua resposta.
a)
b)
17 Para calcular a medida do comprimento da ponte a ser construída, um engenheiro elaborou o esquema a seguir, em que o segmento
Segmento CErepresenta a ponte. Sabe-se que
Segmento DE.⫽
Segmento BC.Calcule a medida do comprimento dessa ponte.
18 Na planta a seguir, as ruas Colibri, Pardal e Canário são paralelas. Determine as medidas das distâncias x e y.
19 É hora de fazer o retrato da turma, e todos querem aparecer. Ana, a primeira menina da esquerda, está a 3 metros da câmera; Bete, a última da direita, está a 3,6 metros. Nessa disposição, todas as meninas ficam enquadradas, mas os meninos, não.
Então, o fotógrafo pediu a todos que se afastassem, mantendo a mesma posição na fila, de modo que Ana ficasse distante 4,5 metros. Observe o esquema.
Sabendo que essa câmera fotográfica mantém uma boa resolução até 5,5 metros, a imagem do menino da direita ficará prejudicada?
20 O proprietário de uma loja, preocupado em oferecer a seus clientes um acesso mais seguro e confortável, vai construir uma rampa ao lado dos degraus da escada da entrada da loja.
Para a construção dessa rampa, deverão ser instaladas três vigas de sustentação: uma a 10 centímetros do início, outra a 60 centímetros da primeira e a terceira a 50 centímetros desta última. Observando o esboço feito pelo dono da loja, determine o comprimento, em metro, da rampa que está destacada em azul.
21
Hora de criar – Em dupla, cada um cria um problema sobre aplicação do teorema de Tales. Troquem de caderno e, depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi‑los.
Pense mais um pouco reticências
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Reúna-se com um colega e façam o que se pede.
1 Em um triângulo , foi traçado um segmento paralelo ao lado á bê cê
Segmento BC.pelo ponto M, ponto médio de
Segmento AB.Esse segmento tem o outro extremo no lado
Segmento ACno ponto N.
Provem que N é ponto médio de
Segmento AC
2 Aprendam a dividir um segmento qualquer em 5 partes iguais sem usar a escala da régua.
No caderno, façam os seguintes passos:
• tracem um segmento
ABe uma semirreta
reta ACde modo que B não pertença à reta
reta AC• com um compasso, marquem os pontos P1, P2, P3, P4 e P5 em
reta ACde maneira que AP1 = P1P2 = P2P3 = P3P4 = P4P5 ;
• tracem a reta
reta P5B• com o esquadro deslizando ao lado da régua, tracem, por P4, P3, P2 e P1, paralelas a
reta P5Bque cortem
ABnos pontos Q 4, Q 3, Q 2, Q 1;
• verifiquem com o compasso que AQ1 = Q 1Q 2 = Q 2Q 3 = Q 3Q 4 = Q 4B.
(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-!) sêca
3 Justifiquem a construção realizada na atividade anterior.
PARA SABER MAIS
Rumo ao teorema das bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo
Vamos provar o seguinte teorema:
Duas retas paralelas cortadas por uma transversal determinam ângulos alternos internos congruentes.
• Demonstração
Construção auxiliar: pelo ponto M, ponto médio de
Segmento AB.traçamos o segmento
Segmento PQ.perpendicular às retas r e s.
Comparando os triângulos á ême pê e bê ême quê, temos:
1.
Segmento AM congruente ao segmento MB(M é ponto médio)
2.
Ângulo M 1 congruente ao ângulo M 2.(ângulos opostos pelo vértice)
3.
Ângulo P congruente ao ângulo Q.(ângulos retos)
Logo, pelo caso lado-ângulo-ângulo opostoo , os triângulos á ême pê e bê ême quê são congruentes. Portanto,
Ângulo a congruente ao ângulo b.pois são ângulos correspondentes em triângulos congruentes.
Agora é com você!
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Observe a figura, em que:
•
Segmento ADé bissetriz do ângulo
ângulo BAC.do triângulo á bê cê;
•
reta CE⫽
reta AD;
•
Medida do ângulo BAC igual a 82 graus.
a) Calcule o valor de m, n, p e q.
b) Mostre que o triângulo á cê ê é isósceles.
2ª consequência
Considere o triângulo á bê cê e a bissetriz
Segmento AD.relativa ao ângulo
Ângulo A.Traçamos pelo vértice C uma semirreta paralela a
Segmento AD.que cruza a semirreta
B Aem um ponto que chamamos de ê.
Pelo teorema de Tales, temos:
ou
Fração: numerador BD, denominador AB, igual, Fração: numerador DC, denominador AE.Dessa maneira:
• p = m (medidas de ângulos correspondentes em retas paralelas)
• m = n (
segmento ADé bissetriz)
• n = q (medidas de ângulos alternos internos em retas paralelas)
Concluímos, então, que p = q.
Logo, o triângulo CAE é isósceles. Portanto,
Segmento AC congruente ao segmento AESubstituindo A Ê por á cê em
Fração: numerador BD, denominador AB, igual, fração: numerador DC, denominador AE.temos:
Fração: numerador BD, denominador AB, igual, fração: numerador DC, denominador AC.A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
22 Calcule x nos triângulos, sabendo que
Segmento AD.é bissetriz relativa ao ângulo
Ângulo aa)
b)
c)
23 Calcule x e y nos triângulos, sabendo que
segmento ADé bissetriz relativa ao ângulo
A.
a) x + y = 55
b)
c) x + y = 22
24 Com o auxílio de uma régua, construa um triângulo , em que á bê cê A bê = 4,8 , centímetros á cê = 7,2 centímetros e bê cê = 8 . Usando régua e compasso, trace a bissetriz centímetros
Segmento ADCalcule BD e DC e, depois, verifique os valores obtidos, medindo com a régua a figura construída.
(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca!)
25 Considere um triângulo . A bissetriz á bê cê
Segmento AD.determina sobre
Segmento BC.dois segmentos,
Segmento BD.e
Segmento DCde medidas 2 centímetros e 2,4 centímetros, respectivamente. Sabendo que A bê = 5 centímetros, determine á cê .
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Cartograma do Índice de Vulnerabilidade Social ( í vê ésse)
No dicionário, o verbete cartograma é definido como:
Com a produção de informações cada vez mais crescente e diversificada, a alfabetização de uma pessoa não está mais restrita a textos. Atualmente, é necessário nos alfabetizarmos em linguagens diversas. A alfabetização cartográfica, por exemplo, aprender a ler e interpretar mapas, como os cartogramas, também é muito importante.
Vamos analisar o tema vulnerabilidade social por meio da comparação de cartogramas elaborados pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada ( ipéa) com dados do í bê gê É de 2000 e de 2010.
O Índice de Vulnerabilidade Social ( í vê ésse)
[] O Índice de Vulnerabilidade Social ( reticências), construído a partir de indicadores do í vê ésse Atlas do Desenvolvimento Humano (ADH) no Brasil, procura dar destaque a diferentes situações indicativas de exclusão e vulnerabilidade social no território brasileiro, em uma perspectiva que vai além da identificação da pobreza entendida apenas como insuficiência de recursos monetários. [] reticências
Como ler o í vê ésse
O í vê ésse é um índice que varia entre 0 e 1. Quanto mais próximo a 1, maior é a vulnerabilidade social de um município. [] reticências
Como é construído o í vê ésse
O í vê ésse é o resultado da média aritmética dos subíndices: í vê ésse Infraestrutura Urbana [saneamento básico e mobilidade urbana], í vê ésse Capital Humano [saúde e educação] e í vê ésse Renda e Trabalho [renda domiciliar per capita, desocupação de adultos, trabalho infantil], cada um deles entra no cálculo do í vê ésse final com o mesmo peso. [] reticências
O í vê ésse no Brasil
Em 2000, o Brasil apresentava í vê ésse igual a 0,446. Este valor indica que o país encontrava-se na faixa da alta vulnerabilidade social. Passados dez anos, a vulnerabilidade social é reduzida a 0,326, trazendo o país para a faixa do médio , em um avanço equivalente a 27% em direção a níveis mais baixos de vulnerabilidade social [ í vê ésse]. reticências
Fonte: Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada. Atlas da vulnerabilidade social nos municípios brasileiros. Brasília, Distrito Federal: ipéa, 2015. Disponível em: https://oeds.link/UeDIog. Acesso em: 28 março 2022.
Observe a seguir os cartogramas que mostram a distribuição espacial do Índice de Vulnerabilidade Social ( í vê ésse) para os municípios brasileiros nos anos de 2000 e 2010.
Vulnerabilidade social de acordo com o í vê ésse (2000)
Fonte: Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada. Atlas da vulnerabilidade social nos municípios brasileiros. Brasília, Distrito Federal: ipéa, 2015. Disponível em: https://oeds.link/UeDIog. Acesso em: 28 março 2022.
Vulnerabilidade social de acordo com o í vê ésse (2010)
Fonte: Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada. Atlas da vulnerabilidade social nos municípios brasileiros. Brasília, Distrito Federal: ipéa, 2015. Disponível em: https://oeds.link/UeDIog. Acesso em: 28 março 2022.
Agora quem trabalha é você!
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Observe os dois cartogramas, analise com atenção suas legendas e identifique pela cor a situação de cada região. Em seguida, identifique a localização aproximada do município em que você vive em cada cartograma.
a) Em que situação ele se classificava em 2000? E em 2010?
b) Atualmente, quais são os maiores problemas do município em que você vive que podem fazer com que o índice de vulnerabilidade social aumente?
c)
Discuta com os colegas o que poderia ser feito para resolver os problemas relacionados a situações de vulnerabilidade social no município em que vocês vivem.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Sendo r ⫽ s ⫽ t, calcule x e y.
a)
b)
2 Calcule a medida de
Segmento BD.na figura, sabendo que
Segmento AB, paralelo, ao segmento DE.
3 Calcule a medida da altura
Segmento CHrelativa ao lado
Segmento BD.do triângulo ABC, sabendo que
Segmento MN, paralelo, ao segmento AB4 Construa um segmento de 11 centímetros e divida-o em quatro partes iguais sem usar a escala da régua.
5 As medidas dos lados de um △ABC são: A bê = 21 , centímetros á cê = 18 centímetros e BC = 26 . Calcule as medidas dos segmentos determinados no lado centímetros
Segmento BC.pela bissetriz relativa ao ângulo
Ângulo A.6 Na figura,
Segmento DE, paralelo, ao segmento BCConsiderando o lado do quadradinho do quadriculado como unidade de medida, calcule o valor de x.
7 A bissetriz relativa ao ângulo
Ado △ á bê cê determina sobre o lado
Segmento BD.segmentos de 15 centímetros e 20 centímetros. Sabendo que a medida do perímetro do △ á bê cê é 84 centímetros, calcule as medidas dos lados dêsse triângulo.
8 (- unicâmpi) A figura mostra um segmento São Paulo
A Ddividido em três partes: A bê = 2 centímetros, BC = 3 centímetros e CD = 5 centímetros. O segmento
Segmento AD'.mede 13 centímetros, e as retas
reta BB'e
reta CC'são paralelas a
reta DD'Determine as medidas dos segmentos
Segmento A'B'. Segmento B'C'. Segmento C'D'.9 No triângulo,
Segmento DE, paralelo, ao segmento BCCalcule o valor de x.
10 Construa um triângulo á bê cê de modo que A bê = 4,2 , centímetros á cê = 5,6 centímetros e BC = 7 . Trace a bissetriz relativa ao ângulo centímetros
Ângulo AChame de D o ponto de encontro dessa bissetriz com
Segmento BC.Determine as medidas de
Segmento BD.e
Segmento DC.Em seguida, meça esses segmentos com a régua e compare os valores encontrados com as respectivas medidas obtidas pelo cálculo.
VERIFICANDO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 As medidas dos lados de um quadro retangular estão na razão 7 para 5. Se o perímetro do quadro mede 432 , quais são as medidas de suas dimensões? centímetros
a) 77 centímetros e 108 centímetros
b) 90 centímetros e 126 centímetros
c) 100 centímetros e 140 centímetros
d) 180 centímetros e 252 centímetros
2 Na figura a seguir, as retas horizontais são paralelas e BP = PD. Qual é a medida de
Segmento AC.a) 21
b) 42
c) x
d) 2x
3 Se as retas r, s e t da figura a seguir são paralelas, qual é o valor de x?
a) 6,0
b) 7,2
c) 8,0
d) 12,0
4 No triângulo da figura a seguir, foi traçado um segmento paralelo à base, que mede 4 centímetros de comprimento. Qual é a medida do perímetro do triângulo menor gerado?
a) 3 centímetros
b) 5 centímetros
c) 8 centímetros
d) 12 centímetros
5 Na figura a seguir, as retas r, s e t são paralelas? Qual é a medida da distância entre as retas r e t?
a) Sim; 12.
b) Sim; 44.
c) Não; 12.
d) Sim; 66.
6 Uma pessoa avista uma árvore e um poste alinhados nas condições da imagem.
Qual é a medida aproximada da distância entre a pessoa e o poste?
a) 3 métros
b) 5 métros
c) 7 métros
d) 8 métros
7 Na figura a seguir, x e y são, respectivamente, iguais a:
a) 7 e 42.
b) 10 e 30.
c) 16 e 28.
d) 22 e 22.
Organizando
Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.
a) Em que situação quatro segmentos de medidas A bê, CD, ê éfe e GH são proporcionais?
b) Quais são as hipóteses, ou seja, que situações geométricas devem ocorrer para que a aplicação do teorema de Tales seja válida?
c) Como você explicaria para um colega como aplicar o teorema de Tales?
d) Quais são as consequências do teorema de Tales?