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CAPÍTULO 5 Semelhança

Fotografia. Interior de uma casa com muitos tapetes coloridos no chão, alguns com motivos geométricos. Na parede, tapete pendurado listrado de amarelo, laranja e marrom, também com motivos geométricos. Do lado direito, um tapete listrado de vermelho e branco; à esquerda, uma cesta dependurada, com trançados de sisal bege e vermelho. Abaixo, no chão apoiado na parede, um quadro com a pintura de uma torre bem alta com uma porta na parte de baixo. Sobre um dos tapetes no chão, há uma bandeja redonda com um bule e alguns copos. — Interior de uma casa tradicional berbere com seus tapetes, em Gardaia, Argélia. (Fotografia de 2014.)

Os tapetes são uma herança cultural para muitos povos do norte da África e do Oriente Médio. Apesar de hoje terem uso mais decorativo, para os berberes, povos seminômades do norte da África, os tapetes originalmente serviam de proteção contra o frio, cobrindo não só o chão das casas, mas também o corpo nas noites mais frias.

Compostos de padrões geométricos variados, esses tapetes, tradicionalmente tecidos à mão por mulheres, comunicam a identidade cultural desses povos por meio de combinações de diferentes figuras geométricas em padrões que contam histórias com temas variados, como fertilidade, riqueza, liberdade e natureza.

Observe, leia e responda no caderno.

a) Que figuras geométricas você identifica nos tapetes da fotografia? Você consegue identificar transformações geométricas de algumas dessas figuras? Que transformações?

b) Utilizando transformações geométricas de alguns polígonos, represente um padrão geométrico inspirado nos tapetes da fotografia.

c) Identifique alguns pares de polígonos congruentes no seu padrão geométrico. Para isso, verifique se todos os seus lados correspondentes são congruentes e se seus ângulos correspondentes são congruentes.

d) Pesquise a importância de preservar e respeitar as tradições culturais de um povo.

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1. Figuras semelhantes

Quando uma imagem é formada em uma tela de televisão, de cinema, de celular etcétera, o tamanho dessa imagem geralmente é diferente do tamanho da imagem original, no entanto, a fórma é mantida.

Assim, dizemos que a imagem que aparece na tela é semelhante à original.

Além de cópias em tamanho original, as fotocopiadoras podem ampliar ou reduzir determinada imagem; nesse caso, também se mantém a fórma do original.

Para obter uma ampliação de, por exemplo, 50%, devemos programar essa máquina para fazer uma cópia de 150%, pois a ampliação deverá ser igual ao original (100%) aumentado de 50%. Se quisermos uma redução de 25%, devemos programar a máquina para 75%, que corresponde ao original (100%) diminuído de 25%.

Fotografia original

Fotografia. Área com vegetação, muitas árvores e um vasto gramado. Muita névoa e fumaça, ao fundo um grande monte em que aparecem árvores e partes da encosta em vermelho. Acima, céu azul com muitas nuvens cinzentas. — Monte Roraima, no Parque Nacional Monte Roraima, município de Uiramutã, Roraima, na fronteira com a Guiana e a Venezuela. (Fotografia de 2018.)

Fotografia ampliada (150% em relação à original)

Fotografia reduzida (75% em relação à original)

Ilustração. Mulher de cabelos castanhos, cacheados e curtos e pele negra. Ela veste blusa amarela e fala: Ampliando ou reduzindo figuras em uma fotocopiadora, obtemos figuras semelhantes às originais.

Figuras semelhantes são aquelas que têm a mesma fórma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Em uma fotografia, a medida da altura de João corresponde a 10 centímetros. Qual deve ser a porcentagem que devemos programar em uma fotocopiadora para que a medida da altura de João em uma cópia ampliada seja de 12 centímetros?

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2. Semelhança de polígonos

O uso de papel quadriculado pode auxiliar o trabalho de ampliação ou de redução de figuras. Acompanhe, por exemplo, como foi obtida a ampliação em 100% do polígono a bê cê dê, que resultou no polígono A'B'C'D'.

Ilustração. Dois quadriláteros de mesmo formato desenhados em uma malha quadriculada, o quadrilátero ABCD e ao lado o quadrilátero A linha, B linha, C linha e D linha, de tamanho maior. Os ângulos nos vértices correspondentes são congruentes e os lados correspondentes medem o dobro da medida na figura original.

Os pares de ângulos

\hat{A} e \hat{A'}

\hat{B} e \hat{B'}

\hat{C} e \hat{C'}

\hat{D} e \hat{D'}

são chamados de ângulos correspondentes. Observe que eles são congruentes, ou seja:

\hat{A} ≅ \hat{A'}, \hat{B} ≅ \hat{B'}, \hat{C} ≅ \hat{C'} e \hat{D} ≅ \hat{D'}

Os pares de lados

\overline{A B} e \overline{A' B'}

\overline{B C} e \overline{B' C'}

\overline{C D} e \overline{C' D'}

\overline{D A} e \overline{D' A'}

são chamados de lados correspondentes. Observe que eles têm medidas de comprimento proporcionais, pois:

\frac{A' B'}{A B} = \frac{B' C'}{B C} = \frac{C' D'}{C D} = \frac{D' A'}{D A} = \frac{2}{1}

Ilustração. Homem de cabelo preto, pele clara, óculos e camisa verde. Ele fala: Note que ângulos correspondentes são formados por lados correspondentes. Lados correspondentes são comuns a dois ângulos correspondentes.

Assim, concluímos que o polígono A'B'C'D' é semelhante ao polígono a bê cê dê e indicamos por:

a bê cê dê ∼ á linha bê linha cê linha dê linha

Como qualquer lado do polígono ampliado (A'B'C'D' ) tem por medida o dobro da medida do lado correspondente no polígono original (a bê cê dê), dizemos que a razão de semelhança entre o polígono ampliado e o polígono original é 2. Isso significa que qualquer lado do polígono A'B'C'D' tem por medida o dobro da medida do lado correspondente no polígono a bê cê dê.

Dois polígonos são semelhantes quando os lados correspondentes têm medidas de comprimento proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes.

Agora, vamos reduzir o polígono á bê cê dê é em 50%, obtendo o polígono A'B'C'D'E'. Acompanhe.

Ilustração. Malha quadriculada com dois quadriláteros de mesmo formato, polígono ABCDE e, à sua direita, o polígono A'B'C'D'E', um pouco menor. Os ângulos nos vértices correspondentes são congruentes e os lados correspondentes medem a metade da medida na figura original.

Ilustração. Mulher de cabelos ruivos e curtos vestindo uma camiseta roxa diz: Observe que os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes têm medidas de comprimento proporcionais. Então, os polígonos ABCDE e A linha B linha C linha D linha E linha são semelhantes.

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A medida de qualquer lado do polígono á linha bê linha cê linha dê linha é linha tem metade da medida do lado correspondente no polígono á bê cê dê é. Nesse caso, dizemos que a razão de semelhança entre o polígono reduzido (á linha bê linha cê linha dê linha é linha ) e o polígono original (á bê cê dê é) é

\frac{1}{2}

. Então:

\frac{A' B'}{A B} = \frac{B' C'}{B C} = \frac{C' D'}{C D} = \frac{D' E'}{D E} = \frac{E' A'}{E A} = \frac{1}{2}

Observe agora o par de polígonos.

Ilustração. Polígono ABCDE e ao lado o polígono A linha B linha C linha D linha E linha. A medida do segmento AE é 1,5 e de AB é 3. No outro polígono os segmentos correspondentes A linha E linha mede 0,8 e o segmento A linha B linha mede 3,5. O ângulos correspondentes possuem a mesma marcação.

\frac{A B}{A' B'} = \frac{3}{3, 5} = \frac{6}{7}

\frac{A E}{A' E'} = \frac{1, 5}{0, 8} = \frac{15}{8}

Esses polígonos têm os ângulos correspondentes congruentes, mas seus lados correspondentes não têm medidas de comprimento proporcionais. Logo, eles não são semelhantes.

Observe estes outros polígonos.

Ilustração. No quadrilátero ABCD, a medida AB é 2, BC é 2,3. CD é 1 e DA: 1,5 e o ângulo D mede 90°. Ao lado, no quadrilátero A'B'C'D', a medida de A'B' é 4, B'C' é 4,6, C'D' é 2, D'A' é 3 e o ângulo D' é agudo.

\frac{A B}{A' B'} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

\frac{B C}{B' C'} = \frac{2, 3}{4, 6} = \frac{1}{2}

\frac{C D}{C' D'} = \frac{1}{2}

\frac{D A}{D' A'} = \frac{1, 5}{3} = \frac{1}{2}

Esses polígonos têm os lados correspondentes com medidas de comprimento proporcionais, mas seus ângulos correspondentes não são congruentes. Logo, eles não são semelhantes.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Qual é a razão de semelhança entre a figura reduzida (à direita) e a figura original (à esquerda) na ilustração a seguir?

Ilustração. Malha quadriculada com figura laranja composta por dois trapézios iguais e um triângulo um em cima do outro lembrando o formato de uma árvore. À direita, uma figura semelhante mas em tamanho reduzido.

2 Em um papel quadriculado, amplie esta figura na razão

\frac{3}{1}

Ilustração. Malha quadriculada. Uma figura roxa formada por um trapézio isósceles e um quadrado colocado acima do trapézio, o lado do quadrado coincide com a base menor do trapézio.

3 Os lados correspondentes de dois polígonos têm medidas de comprimento proporcionais. Podemos dizer que eles são semelhantes? Por quê?

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4 Com uma régua, meça a base e a altura dos retângulos a seguir e, com o auxílio de um transferidor, meça os ângulos de ambos.

Ilustração. Dois retângulos, um vermelho e abaixo outro de cor verde e tamanho maior.

a) Qual é a razão entre a medida da base do retângulo vermelho e a medida da base do retângulo verde?

b) Qual é a razão entre a medida da altura do retângulo vermelho e a medida da altura do retângulo verde?

c) Esses retângulos são semelhantes? Por quê?

Versão adaptada acessível

4. Construa um retângulo ABCD de base medindo 4 centímetros e altura medindo 2 centímetros e um retângulo EFGH de base medindo 6 centímetros e altura medindo 3 centímetros. Depois, responda:

a) Qual é a razão entre a medida da base do retângulo ABCD e a medida da base do retângulo EFGH?

b) Qual é a razão entre a medida da altura do retângulo ABCD e a medida da altura do retângulo EFGH?

c) Esses retângulos são semelhantes? Por quê?

5 Indique a figura semelhante à figura A.

Ilustração. Malha quadriculada com quatro figuras de formatos parecidos, mas com tamanhos diferentes. As figuras lembram o contorno de um rosto, visto de lado, com lados de quadradinhos representando: pescoço, parte de trás da cabeça, nuca, parte de cima da cabeça, testa, nariz, boca e queixo. A figura A, na cor azul escuro, tem as seguintes medidas: pescoço (2 quadradinhos de largura), parte de trás da cabeça (4 quadradinhos de altura), nuca (diagonal de 1 quadradinho), parte de cima da cabeça (2 quadradinhos de largura), testa (1 quadradinho de altura), nariz (metade de um quadradinho), boca (1 quadradinho de altura) e queixo (metade de um quadradinho). A figura B, na cor azul claro, tem as seguintes medidas: pescoço (4 quadradinhos de largura), parte de trás da cabeça (5 quadradinhos de altura), nuca (diagonal de 2 quadradinhos), parte de cima da cabeça (3 quadradinhos de largura), testa (1 quadradinho de altura), nariz (metade de um quadradinho), boca (2 quadradinhos de altura) e queixo (metade de um quadradinho). A figura C, na cor azul claro, tem as seguintes medidas: pescoço (3 quadradinhos de largura), parte de trás da cabeça (6 quadradinhos de altura), nuca (diagonal de 1 quadradinho), parte de cima da cabeça (3 quadradinhos de largura), testa (1 quadradinho de altura), nariz (metade de um quadradinho), boca (2 quadradinhos de altura) e queixo (metade de um quadradinho). A figura D, na cor azul claro, tem as seguintes medidas: pescoço (4 quadradinhos de largura), parte de trás da cabeça (8 quadradinhos de altura), nuca (diagonais de 2 quadradinhos), parte de cima da cabeça (4 quadradinhos de largura), testa (2 quadradinhos de altura), nariz (metade de um quadrado de lado 2), boca (2 quadradinhos de altura) e queixo (metade de um quadrado de lado 2).

6 Sabendo que os polígonos a seguir são semelhantes, calcule x.

Ilustração. Quadrilátero com as medidas: 12, 8, 6 e 10. Ao lado, um outro quadrilátero semelhante de tamanho menor. O lado de medida x corresponde ao lado de medida 12, o lado de medida 4 corresponde ao lado de medida 8, o lado de medida 3 corresponde ao lado de medida 6 e o lado de medida 5 corresponde ao lado de medida 10.

7 Considere os triângulos semelhantes á bê cê e á linha bê linha cê linha.

Ilustração. Triângulo ABC, com a altura em relação ao lado AB tracejada. Ilustração. Triângulo A'B'C' com a altura em relação a A'B' tracejada.

Com uma régua, determine a medida do comprimento dos lados e a medida das alturas relativas a

\overline{A B} e \overline{A ’ B ’} .

Considerando as razões, sempre do triângulo á bê cê para o triângulo á linha bê linha cê linha, responda às perguntas.

a) Qual é a razão entre as medidas de dois lados correspondentes?

b) Qual é a razão entre as medidas de duas alturas relativas a lados correspondentes?

c) Qual é a razão entre as medidas dos perímetros?

d) Qual é a razão entre as medidas das áreas?

Versão adaptada acessível

7. Considere um triângulo ABC de base medindo 4 centímetros e altura medindo 2 centímetros e um triângulo DEF de base medindo 8 centímetros e altura medindo 4 centímetros. Depois, responda:

a) Qual é a razão entre as medidas de dois lados correspondentes?

b) Qual é a razão entre as medidas de duas alturas relativas a lados correspondentes?

c) Qual é a razão entre as medidas dos perímetros?

d) Qual é a razão entre as medidas das áreas?

8 Marcos desenhou um triângulo retângulo em um papel quadriculado. O papel tem quadradinhos medindo 1 centímetro por 1 centímetro de lado, e Marcos usou 12 vezes a medida do lado para a medida da base e 8 vezes a medida do lado para a medida da altura.

Pedro também desenhou um triângulo retângulo com medida da base igual a 12 vezes a medida do lado do quadradinho e medida da altura igual a 8 vezes a medida do lado do quadradinho, mas em um papel quadriculado com quadradinhos medindo 0,5 centímetro por 0,5 centímetro.

Considere que os triângulos desenhados por Marcos e Pedro são semelhantes.

a) Qual é a razão de semelhança entre as medidas dos lados do triângulo de Marcos e as medidas dos lados do triângulo de Pedro?

b) Qual é a razão de semelhança entre a medida do perímetro do triângulo de Marcos e a medida do perímetro do triângulo de Pedro?

c) Qual é a razão de semelhança entre a medida da área do triângulo de Marcos e a medida da área do triângulo de Pedro?

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Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Um grupo de amigos fez uma viagem para Recife (Pernambuco).

Lá, tiraram muitas fotografias, que foram impressas no tamanho 10 centímetros por 15 centímetros.

A fotografia do monumento Tortura Nunca Mais, construído em memória das pessoas torturadas e desaparecidas durante o período da ditadura civil-militar (1964 a 1985), ficou excelente. Resolveram, então, fazer uma cópia ampliada para cada um, no tamanho 20 centímetros por 30 centímetros.

Fotografia. Monumento formado com uma estrutura de concreto quadrada, ligando os lados verticais do quadrado duas fileiras formada por seis placas quadradas. Da parte superior no meio sai uma haste que passa por trás as fileiras de quadrados e vai até mais ou menos o centro do quadrado, na ponta desta haste tem a escultura de um corpo encolhido. Ao fundo tem algumas árvores e um lago. — Monumento Tortura Nunca Mais, na Praça Padre Henrique, em Recife (Pernambuco). (Fotografia de 2020.)

Na fotografia original, o monumento mede 7,2 centímetros de largura.

Qual é a medida, em centímetro, da largura do monumento na cópia ampliada?

PARA SABER MAIS

Construindo figuras semelhantes por homotetia

A homotetia é um exemplo de transformação geométrica que preserva a fórma da figura original, mas não necessariamente seu tamanho, que pode ser ampliado ou reduzido. dêsse modo, a figura original e a figura obtida são semelhantes. Essas figuras são chamadas de figuras homotéticas.

Acompanhe como ampliar o pentágono á bê cê dê é, na razão 1,5, por homotetia.

Ilustração. À esquerda, um ponto O de onde saem cinco semirretas que passam pelos vértices de um pentágono regular ABCDE e no prolongar dessas semirretas um outro pentágono regular A linha B linha C linha D linha E linha. Os pentágonos são semelhantes.

• Fixamos um ponto óh (centro de homotetia).

• Traçamos, a partir do ponto óh, semirretas que passam pelos vértices do pentágono á bê cê dê é.

• Fazendo ó, á linha = 1,5 ⋅ ó á, ó, bê linha = 1,5 ⋅ ó bê, e assim por diante, determinamos os vértices do pentágono ampliado á linha bê linha cê linha dê linha é linha.

O pentágono á linha bê linha cê linha dê linha é linha é semelhante ao pentágono á bê cê dê é na razão de semelhança 1,5.

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Observe outros exemplos de figuras homotéticas.

a) A figura original foi invertida por homotetia de centro óh e razão ‒1.

Ilustração. Duas retas concorrentes que se cruzam em O. Pontos P (à esquerda) e P linha (à direita) pertencem à reta inclinada para baixo. Pontos Q (à esquerda) e Q linha (à direita) pertencem à reta inclinada para cima. Entre os pontos P e Q, um polígono verde, virado para esquerda. Entre os pontos Q linha e P linha, o mesmo polígono verde, virado para direita e em posição invertida.

Nesse caso, as figuras são congruentes, ou seja, têm ângulos correspondentes de mesmas medidas e lados correspondentes de mesmas medidas.

Note que figuras congruentes também são semelhantes.

b) A figura original foi reduzida por homotetia de centro óh e razão

\frac{1}{2} .

Ilustração. À direita, ponto O. De O, saem duas semirretas, uma em sentido diagonal para cima que passa pelos pontos P linha e P, e outra em sentido diagonal para baixo que passa pelos pontos Q linha e Q. Entre as retas, a figura de uma galinha que tem a cabeça no ponto P e os pés no ponto Q, e uma outra galinha menor, que tem a cabeça no ponto P linha e os pés no ponto Q linha.

c) Por meio da homotetia, podemos formar uma sequência de figuras homotéticas. A figura conhecida como floco de neve de córh é criada com um padrão de triângulos equiláteros que pode ser obtido pela combinação das transformações geométricas de translação, rotação e homotetia.

Note que os triângulos que compõem o floco de neve de córh são semelhantes, ou seja, têm todos a mesma fórma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.

Ilustração. Fractal: floco de neve de Koch. Figura formada por triângulos equiláteros semelhantes, composta por: dois triângulos grandes virados e sobrepostos, formando uma estrela de seis pontas. Em cada ponta há 2 triângulos pequenos com outros 3 triângulos menores ao redor. A figura toda dá a ideia de um floco de neve. — Floco de neve de córh. Criado com base nos estudos do matemático sueco Niels Fabian Helge von Koch de 1906.

Essa figura, formada por repetições de um padrão, é um exemplo de fractal.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Desenhe um triângulo retângulo isósceles. Fixe um ponto óh e, por homotetia de centro óh, construa o triângulo homotético ao que você desenhou aplicando a razão:

a) 2

‒ \frac{1}{2}

2 Utilizando algumas das figuras geométricas presentes na fotografia da abertura deste capítulo, escolha um tema e crie um desenho aplicando os conceitos de semelhança e homotetia.

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3. Semelhança de triângulos

Dizemos que, para dois triângulos serem semelhantes, deve ser possível estabelecer uma correspondência entre as medidas dos lados por proporcionalidade e entre os ângulos, por congruência.

Considere os triângulos á bê cê e dê ê éfe a seguir.

Ilustração. Triângulo ABC. Em A, ângulo de 60 graus. Em B, ângulo de 30 graus e em C, ângulo de 90 graus. As medidas são: AB, 6. BC, 3 raiz quadrada de 3. AC, 3. Ao lado, triângulo DEF. Em D, ângulo de 60 graus, em E, ângulo de 30 graus e em F, ângulo de 90 graus. As medidas são: DE, 5. EF, fração 5 raiz quadrada de 3, sobre 2. DF, 2,5.

Esses triângulos são semelhantes, pois:

• os ângulos correspondentes são congruentes;

\hat{A} ≅ \hat{D}, \hat{B} ≅ \hat{E} e \hat{C} ≅ \hat{F}

• os lados correspondentes têm medidas de comprimento proporcionais.

\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{B C}{E F} = \frac{6}{5}

Observações

▶ Para saber quais lados se correspondem, observamos os ângulos opostos a eles. Assim:

• o lado

\overline{A B}

corresponde ao lado

\overline{D E},

pois são opostos a ângulos congruentes (

\hat{C} ≅ \hat{F}

);

• o lado

\overline{A C}

corresponde ao lado

\overline{D F},

pois são opostos a ângulos congruentes (

\hat{B} ≅ \hat{E}

);

• o lado

\overline{B C}

corresponde ao lado

\overline{E F},

pois são opostos a ângulos congruentes (

\hat{A} ≅ \hat{D}

▶ Se dois triângulos são semelhantes e a razão de semelhança é k, então:

• a razão entre duas medidas de altura correspondentes é k ;

• a razão entre duas medidas de comprimento de medianas correspondentes é k ;

• a razão entre duas medidas de comprimento de bissetrizes correspondentes é k ;

• a razão entre as medidas de seus perímetros é k ;

• a razão entre as medidas de suas áreas é k².

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

9 Indique quais são os lados correspondentes nestes triângulos semelhantes.

Ilustração. Triângulo ABC com três ângulos diferentes. Ao lado, triângulo FGH semelhante ao triangulo ABC, também com três ângulos diferentes. ângulo A é congruente ao ângulo F, ângulo G é congruente ao ângulo B, e ângulo H é congruente ao ângulo C.

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10 Considere o seguinte par de triângulos semelhantes e determine os valores de x e de y.

Ilustração. Triângulo ABC com medidas: AB, x. AC, y. BC, 12. Ao lado, triângulo A linha B linha C linha semelhante ao primeiro com medidas: A linha B linha, 10. A linha C linha, 15. B linha C linha, 20. Ângulo A é congruente ao ângulo A linha, ângulo B congruente ao ângulo B linha, ângulo C congruente ao ângulo C linha.

11 Sabendo que △á bê cê ∼ △ême êne pê, calcule a medida da mediana

\overline{M S}

do △ême êne pê.

Ilustração. Triângulo ABC. De A, mediana do lado BC, com medida 15 até o ponto R, que é ponto médio do lado BC. A medida AC é 21. Ao lado, triângulo MNP semelhante ao primeiro. O ponto S é ponto médio do lado NP. A medida MP é 10,5. Ângulos B e C são congruentes aos ângulos N e P, respectivamente

12 Sabendo que △á bê cê ∼ △ême êne pê, calcule a medida da altura

\overline{A H}

do △á bê cê.

Ilustração. Triângulo ABC. De A, sai o segmento AH perpendicular ao lado BC. A medida AB é 12. Ao lado, triângulo MNP semelhante ao triângulo ABC. De M, sai o segmento MR, que mede 6 e é perpendicular ao segmento NP. A medida MN é 9. Os ângulos B e C são congruentes aos ângulos N e P, respectivamente.

13 Construa com régua e compasso um triângulo escaleno qualquer. Depois, construa um triângulo semelhante a esse na razão de semelhança 3 e outro na razão de semelhança

\frac{3}{4}

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca!)

Os lados de um triângulo medem 12,0 centímetros, 18,0 centímetros e 20,4 centímetros. O maior lado de um triângulo semelhante ao primeiro mede 15,3 centímetros.

a) Qual é a medida do perímetro do segundo triângulo?

b) Com o auxílio de uma calculadora, determine a medida aproximada da área do segundo triângulo, sabendo que a medida da área do primeiro é de aproximadamente 107,2 centímetros quadrados.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Na figura,

\overline{B D} ⫽ \overline{C E}

A \hat{E} B ≅ A \hat{F} C .

Ilustração. Triângulo CFA. Saindo do vértice C um segmento que encontrará o ponto E sobre o segmento FA. Do ponto E sai um segmento que encontra o ponto B no lado AC e do ponto B sai um segmento que encontra o ponto D no segmento EA. Os ângulos formados com o lado FA, O ângulo F e o ângulo E são congruentes. As medidas nestes triângulos, CB mede 6 cm, BA mede 3 raiz de 2 cm e o DA mede 4 cm.

Determine a medida, em centímetro, de

\overline{A F} .

Teorema fundamental da semelhança

Toda reta paralela a um lado de um triângulo que cruza os outros lados em dois pontos distintos determina um triângulo semelhante ao primeiro.

Observe a figura a seguir, em que

\overline{D E}

⫽

\overline{B C} .

Ilustração. Triângulo ABC, de base BC. Segmento horizontal DE, paralelo ao lado BC, em que D pertence ao lado AB e E pertence ao lado AC.

Vamos provar que os triângulos á dê é e á bê cê são semelhantes.

Para a demonstração formal de um teorema, indicaremos, como em outras vezes, a hipótese (proposição aceita como verdadeira) e a tese (proposição cuja verdade se quer provar).

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Hipótese:

\overline{D E} ⫽ \overline{B C}

Tese: △ADE ∼ △ABC

• Demonstração Construção auxiliar: traçamos, por ê,

\overline{E F} ⫽ \overline{A B}

Ilustração. Triângulo ABC, de base BC. Segmento DE, cortando o triângulo ao meio, paralelo ao lado BC. Segmento EF paralelo ao segmento AB. Ângulos ADE e ABC são congruentes, e ângulos AED e ACB são congruentes. Arcos AE e AC são tracejados de roxo. Arcos AD e AB são tracejados de laranja. Arcos BF e BC são tracejados de azul.

Analise atentamente os passos a seguir para acompanhar a demonstração.

\overline{D E} ⫽ \overline{B C}

(por hipótese)

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}

(pelo teorema de Tales)

\hat{A} ≅ \hat{A}

(ângulo comum)

\hat{B} ≅ \hat{D}

(ângulos correspondentes em retas paralelas)

\hat{C} ≅ \hat{E}

(ângulos correspondentes em retas paralelas)

\frac{A E}{A C} = \frac{B F}{B C}

(pelo teorema de Tales)

\overline{B F} ≅ \overline{D E}

(lados opostos de um paralelogramo)

\frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}

(de

)

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}

(de

)

△á dê é ∼ △á bê cê (de

) Note que os lados correspondentes dos dois triângulos têm medidas de comprimento proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes. Portanto, á dê é e á bê cê são triângulos semelhantes, como queríamos demonstrar.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

15 Os prolongamentos dos lados não paralelos do trapézio a bê cê dê encontram-se em um ponto ê. Determine:

Ilustração. Trapézio escaleno ABCD, de base maior AB e base menor CD. Prolongando o lado AD e o lado BC com segmentos tracejados encontramos o ponto E, formando assim o triangulo AEB. As medidas do trapézio são: AB mede 7,2, BC mede 4,2, CD mede 3,6 e DA mede 4,8.

a) a medida de

\overline{A E};

b) a medida de

\overline{C E} .

16 Para medir a altura de um pinheiro, Elza pegou um bastão medindo 1,5 métro de altura e posicionou-o verticalmente não muito longe do pinheiro. Ela verificou que o bastão projetava uma sombra medindo 2 métros de comprimento. Então, no mesmo instante, ela mediu o comprimento da sombra projetada pelo pinheiro, igual a 16 métros. Considerando as medidas obtidas por Elza, qual é a medida da altura dessa árvore?

Ilustração. À direita, uma árvore projeta uma sombra à esquerda, que mede 16 metros. Um bastão paralelo à árvore projeta uma sombra de 2 metros. A altura do bastão é de 1,5 metro.

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17 Determine o valor de x e de y em cada caso.

\overline{M N} ⫽ \overline{B C}

Ilustração. Triângulo ABC cortado pelo segmento MN paralelo à base BC, formando segmentos de reta: AM mede 4, MB mede 4, MN mede 5, AN mede y, NC mede 6 e BC mede x.

\overline{M N} ⫽ \overline{B C}

Ilustração. Triângulo ABC cortado pelo segmento MN paralelo à base BC, formando segmentos de reta: AM mede x, MB mede 4, MN mede 10, AN mede 6, NC mede y e BC mede 15.

\overline{E B} ⫽ \overline{D C}

Ilustração. Triângulo ADC cortado pelo segmento EB paralelo ao lado DC, formando segmentos de reta: AE mede y, AB mede 12, ED mede 21, BC mede x, EB mede 8 e DC mede 20.

18 Calcule x nos seguintes triângulos:

Ilustração. Triângulo de base medindo 4, cortado por um segmento com medida x paralelo à sua base. À esquerda, os segmentos divididos medem 2,4 e 2,4. Os segmentos à direita medem 2,2 e 2,2.

Ilustração. Triângulo cortado por um segmento paralelo à base do triângulo que divide os lados do triângulo em partes iguais. Segmento paralelo medindo x , base medindo 9.

19 Na figura, a bê cê dê é um quadrado e cê éfe = á gê = 2,0.

Calcule cê é.

Ilustração. Quadrado ABCD. O prolongamento do lado DC à direita marca o ponto F. De F, segmento de reta diagonal que vai até G no lado AD, ao cortar o lado BC marca-se o ponto E. A medida AB é 8,0. E os segmentos AG e CF são congruentes.

20 (unirrio-Rio de Janeiro) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em fórma de disco, que estacionou a 50 métros do solo, aproximadamente. Um helicóptero do Exército, situado a aproximadamente 30 métros acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura a seguir.

Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco voador mede, em métros, aproximadamente:

a) 3,0.

b) 3,5.

c) 4,0.

d) 4,5.

e) 5,0.

Hora de criar – Em dupla com um colega, criem um fluxograma para determinar se dois triângulos são semelhantes. Em seguida, desenhem em seus cadernos dois triângulos semelhantes cada um. Troquem de caderno e, seguindo o passo a passo do fluxograma criado por vocês, verifiquem se os triângulos desenhados pelo colega são, de fato, semelhantes. Destroquem de caderno para a correção.

Casos de semelhança de triângulos

Ilustração. Homem de cabelo preto curto e pele morena, usa uma camiseta verde e diz: Você já estudou que dois triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes com medidas de comprimento proporcionais. No entanto, podemos reconhecer dois triângulos semelhantes pelos casos a seguir.

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Caso ângulo-ângulo (á á)

Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes respectivamente congruentes, esses triângulos são semelhantes.

Ilustração. Triângulo ABC. Ao lado, triângulo A linha B linha C linha. O ângulo A é congruente ao ângulo A linha; o ângulo B é congruente ao ângulo B linha.

Hipótese:

\hat{A} ≅ \hat{A'} e \hat{B} ≅ \hat{B'}

Tese: △ABC ∼ △A'B'C'

• Demonstração Considerando que AB > A'B', vamos marcar sobre

\overline{A B}

um ponto D, tal que

\overline{A D} ≅ \overline{A' B'} .

Por D, traçamos

\overline{D E} ⫽ \overline{B C}

Ilustração. Triângulo ABC. Segmento DE paralelo à base BC, em que D pertence ao lado AB e E pertence ao lado AC, formando o triângulo DEA. Ângulo D congruente ao ângulo B.

Assim, temos:

\hat{D} ≅ \hat{B}

(ângulos correspondentes em retas paralelas)

\hat{A} ≅ \hat{A'}

(por hipótese)

\overline{A D} ≅ \overline{A' B'}

(por construção)

\hat{D} ≅ \hat{B'}

(pois

\hat{B} ≅ \hat{B'}

\hat{D} ≅ \hat{B}

) Logo, de

sabemos que os triângulos á dê é e á linha bê linha cê linha são congruentes pelo caso ângulo-lado-ângulo (á éle á ), já que esses dois triângulos têm dois ângulos e o lado adjacente a esses ângulos respectivamente congruentes. Pelo teorema fundamental da semelhança, △á bê cê ∼ △á dê é. Se △á bê cê ∼ △á dê é e △á dê é

≅

△á'bit'centésimo', então △á bê cê ∼ △á'bit'centésimo', como queríamos provar.

Ilustração. Menina de cabelos castanhos compridos presos com uma presilha amarela, pele clara. Ela usa uma camiseta rosa e diz: Observe a seguir um exemplo de aplicação do caso de semelhança AA. Vamos calcular o valor de x e de y nos triângulos, sabendo que segmento AB é paralelo a DE.

Ilustração. Triângulos ABC e CDE. Os ângulos C1 e C2 têm uma marcação mostrando que são de mesma medida, e os ângulos A e D têm a mesma marcação mostrando que também têm a mesma medida. No triângulo ABC, as medidas são: AC = y, BC = 6 e AB = 4. No triângulo CDE, com ângulo C2 em C, as medidas são: CD = 7,5, DE = x e EC = 9.

Nesses triângulos, temos:

•

\hat{A} ≅ \hat{D}

(ângulos correspondentes formados por duas retas paralelas e uma transversal)

•

{\hat{C}}_{1} ≅ {\hat{C}}_{2}

(ângulos opostos pelo vértice)

Portanto, os triângulos á bê cê e Dê ê cê são semelhantes pelo caso á á.

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Assim, os lados correspondentes têm medidas de comprimento proporcionais:

Na proporção, DE está para AB. assim como CE está para CB x está para 4 assim como 9 está para 6. x = 36 dividido por 6 que é igual a 6 e Na proporção, AC está para DC. assim como BC está para EC y está para 7,5 assim como 6 está para 9. y = 45 dividido por 9 que é igual a 5

Portanto, os valores de x e de y são, respectivamente, 6 e 5.

Caso lado-ângulo-lado (éle á éle)

Se dois triângulos têm dois lados correspondentes com medidas de comprimento proporcionais, e os ângulos compreendidos por esses lados são congruentes, então esses triângulos são semelhantes.

Ilustração. Triângulo ABC com destaque para ângulo em A. Ao lado, triângulo A linha B linha C linha com destaque para ângulo em A linha. Os ângulos A e A linha são congruentes.

Hipótese:

\frac{A B}{A' B'} = \frac{A C}{A' C'} e \hat{A} ≅ \hat{A'}

Tese: △ABC ∼ △A'B'C'

• Demonstração Considerando que A bê > A'B', vamos marcar sobre

\overline{A B}

um ponto D, tal que

\overline{A D} ≅ \overline{A' B'} .

Por D, traçamos

\overline{D E} ⫽ \overline{B C}

. Pelo teorema fundamental da semelhança, △á bê cê ∼ △á dê é.

Ilustração. Triângulo ABC. Há um segmento DE, que divide o triângulo, e é paralelo à base BC. O ponto D pertence ao lado AB e E pertence ao lado AC. Destaque no ângulo A

Vamos mostrar, pelo caso lado ângulo lado de congruência de triângulos, que △á dê é ≅ △á'bit'centésimo'. Já sabemos que

\overline{A D} ≅ \overline{A' B'}

(por construção) e que

\hat{A} ≅ \hat{A'}

(por hipótese). Resta provar que

\overline{A E} ≅ \overline{A' C'} .

Do teorema fundamental da semelhança (△á bê cê ∼ △á dê é), podemos escrever

\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}

ou, ainda,

\frac{A B}{A' B'} = \frac{A C}{A E}

, pois

\overline{A D} ≅ \overline{A' B'} .

Comparando

\frac{A B}{A' B'} = \frac{A C}{A E}

com

\frac{A B}{A' B'} = \frac{A C}{A' C'}

(hipótese), temos:

\overline{A E} ≅ \overline{A' C'} .

Então:

\overline{A D} ≅ \overline{A' B'}, \hat{A} ≅ \hat{A'}

\overline{A E} ≅ \overline{A' C'} .

Logo: △á dê é

≅

△á'bit'centésimo' (pelo caso lado ângulo lado de congruência de triângulos). Se △á bê cê ∼ △á dê é e △á dê é

≅

△á'bit'centésimo', então △á bê cê ∼ △á'bit'centésimo', como queríamos provar.

Página 123

Ilustração. Mulher de cabelos pretos curtos e pele branca, usa blusa rosa e diz: Observe agora um exemplo de aplicação do caso de semelhança LAL. Vamos verificar se estes triângulos são semelhantes.

Ilustração. Triângulo ABC com destaque para ângulo A de 50 graus e medidas AB, 12 e AC, 20. Ao lado, triângulo A linha B linha C linha com destaque para ângulo A linha de 50 graus e medidas: A linha B linha, 9 e A linha C linha, 15.

Nesses triângulos, temos:

•

\hat{A} ≅ \hat{A'}

(dado)

•

\frac{A B}{A' B'} = \frac{A C}{A' C'}

, pois

\frac{12}{9} = \frac{20}{15}

Portanto, os triângulos á bê cê e á'bit'centésimo' são semelhantes pelo caso lado ângulo lado.

Caso lado-lado-lado (éle éle éle)

Se dois triângulos têm os três lados correspondentes com medidas de comprimento proporcionais, então esses triângulos são semelhantes.

Ilustração. Triângulo ABC. Ao lado, triângulo A linha B linha C linha em tamanho menor.

Hipótese:

\frac{A B}{A' B'} = \frac{A C}{A' C'} = \frac{B C}{B' C'}

Tese: △ABC ∼ △A'B'C'

• Demonstração Considerando que A bê > á'bit', vamos marcar sobre

\overline{A B}

um ponto D, tal que

\overline{A D} ≅ \overline{A' B'} .

Por D, traçamos

\overline{D E} ⫽ \overline{B C}

. Pelo teorema fundamental da semelhança, temos △á dê é ∼ △á bê cê.

Ilustração. Triângulo ABC. D é o ponto médio do segmento AB e E é o ponto médio do segmento AC. O segmento DE é paralelo à base BC.

Vamos mostrar, pelo caso lado lado lado de congruência de triângulos, que △á dê é ≅ △á'bit'centésimo'. Como sabemos que

\overline{A D} ≅ \overline{A' B'}

(por construção), resta provar que

\overline{A E} ≅ \overline{A' C'}

e que

\overline{D E} ≅ \overline{B' C'} .

Do teorema fundamental da semelhança (△á bê cê ∼ △á dê é ), podemos escrever:

•

\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}

ou, ainda,

\frac{A B}{A' B'} = \frac{A C}{A E}

, pois

\overline{A D} ≅ \overline{A' B'} .

Comparando

\frac{A B}{A' B'} = \frac{A C}{A E}

com

\frac{A B}{A' B'} = \frac{A C}{A' C'}

(hipótese), temos:

\overline{A E} ≅ \overline{A' C'} .

Página 124

•

\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E}

ou, ainda,

\frac{A B}{A' B'} = \frac{B C}{D E},

pois

\overline{A D} ≅ \overline{A' B'} .

Comparando

\frac{A B}{A' B'} = \frac{B C}{D E}

com

\frac{A B}{A' B'} = \frac{B C}{B' C'}

(hipótese), temos:

\overline{D E} ≅ \overline{B' C'} .

Então,

\overline{A D} ≅ \overline{A' B'}

\overline{A E} ≅ \overline{A' C'}

\overline{D E} ≅ \overline{B' C'}

. Logo: △á dê é ≅ △á'bit'centésimo' (pelo caso lado lado lado) Se △á bê cê ∼ △á dê é e △á dê é ≅ △á'bit'centésimo', então △á bê cê ∼ △á'bit'centésimo', como queríamos provar.

Ilustração. Homem de cabelos ruivos e pele clara, de camisa vermelha fala: Observe um exemplo de aplicação do caso de semelhança LLL. Vamos verificar se os triângulos são semelhantes.

Ilustração. Triângulo ABC como medidas: AB, 15, BC, 10 e AC, 20. Ao lado, triângulo A linha B linha C linha, em tamanho menor, com medidas: A linha B linha, 6, B linha C linha, 4 e A linha C linha, 8.

Nesses triângulos, os lados correspondentes têm medidas de comprimento proporcionais.

\frac{A B}{A' B'} = \frac{B C}{B' C'} = \frac{A C}{A' C''}

, pois

\frac{15}{6} = \frac{10}{4} = \frac{20}{8}

Portanto, os triângulos á bê cê e á linha bê linha cê linha são semelhantes pelo caso lado lado lado.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

22 Prove que o △á bê é e o △cê bê dê são semelhantes, sabendo que

\overline{A E}

⫽

\overline{C D} .

Para facilitar a visualização, refaça o desenho marcando os ângulos congruentes ou mudando a posição de um dos triângulos.

Ilustração. Figura composta por dois segmentos concorrentes formando os triângulos EBA e CBD.

23 Calcule x e y em cada caso.

Ilustração. Segmentos AD e BC que são concorrentes em M formando os triângulos AMB de medidas: AB = y, AM = 3 e BM = x e CMD de medidas: CM = 4, CD = 8 e MD = 6. Os ângulos A e D, B e C são congruentes.

Ilustração. Figura composta de dois triângulos unidos por um dos vértices e em posições invertidas: ABC de medidas AB = y, BC = 27 e AC igual a x; e DBE de medidas DB = 18, DE = 14 e BE = 16. Os ângulos A e E são congruentes.

Ilustração. Triângulo ABC. Segmento com medida 4,8 saindo do vértice A e perpendicular ao lado BC no ponto H que divide a base em dois segmentos x e y. As medidas dos lados são: AB = 6,0, BC = 10,0, AC = 8,0, BH = x e HC = y. Os ângulos BAH e HCA são congruentes.

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24 Identifique os triângulos semelhantes e calcule o valor de x.

Ilustração. Figura composta de dois triângulos retângulos unidos por um dos vértices. um maior, outro menor, em posições invertidas. Um triângulo tem catetos de medida 7,5 e 10, e hipotenusa de medida 12,5; o outro triângulo tem hipotenusa de medida 15 e um cateto de medida x. Esse cateto é prolongamento do cateto de medida 10 do outro triângulo.

Ilustração. Figura composta por dois segmentos concorrentes formando dois triângulos com um dos ângulos congruentes, as medidas dos lados desses ângulos é x e 8,75 10 e 8.

Ilustração. Triângulo retângulo de catetos de medida 12 e 9. No triângulo, um segmento de reta perpendicular à hipotenusa a divide em dois segmentos de medida 6 e 9.

25 Mostre que os triângulos indicados são semelhantes e calcule o valor de x.

a) △á bê cê e △á dê bê

Ilustração. Triângulo retângulo ABD, retângulo em A e triângulo DBC com o lado BD comum. Medidas AB, 8, AD, 4, DC, 12, CB, 14 e AD, x. Os ângulos ABD e DCB são congruentes.

b) △á dê bê e △cê dê á

Ilustração. Triângulo retângulo ABC, retângulo em A. De A, segmento com medida x perpendicular ao lado CB, formando o ponto D. As medidas são: CD, 2 e BD, 8. Os ângulos DCA e DAB são congruentes.

26 Verifique quais triângulos são semelhantes, sabendo que

\overline{A E} / / \overline{B D}, \overline{C E} / / \overline{B F}

e que F é o ponto médio de

\overline{A E}

. Entre os pares de triângulos semelhantes, quais são triângulos congruentes?

Ilustração. Triângulo ACE. No centro, segmento horizontal BD paralelo a AE e segmento BF paralelo a CE. Formando um quadrilátero BDEF de lados congruentes.

Hora de criar – Em duplas, com o auxílio de régua e transferidor, construam dois triângulos semelhantes cada um, utilizando um dos três casos de semelhança de triângulos. Troquem de caderno e verifiquem a semelhança entre os triângulos construídos pelo colega aplicando um caso de semelhança diferente do utilizado para a construção das figuras. Destroquem de caderno para a correção.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Observe os dois quadrados da figura e determine a medida do perímetro e a medida da área do quadrado maior.

Ilustração. Dois quadrados de tamanhos diferentes estão encostados um no outro. De determinado ponto afastado 18 centímetros do quadrado menor, sai uma semirreta inclinada que passa pelos vértices dos quadrados; outra semirreta na horizontal passa pelos lados dos quadrados. A medida de lado do quadrado menor é 12 centímetros.

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PARA SABER MAIS

Construindo um pantógrafo

Pantógrafo é um aparelho usado para ampliar ou reduzir figuras em determinada razão. Esse aparelho foi desenvolvido no século dezessete e vem sendo utilizado por artistas para auxiliar na cópia de desenhos em escala ampliada ou reduzida.

Fotografia. Pantógrafo, composto por duas hastes diagonais. No centro, duas hastes diagonais para baixo. — Pantógrafo do século dezenove.

Para construí-lo, você vai precisar de:

• 4 ripas de madeira pequenas com as mesmas medidas de comprimento, perfuradas nas extremidades e no centro (peça ajuda a um adulto para evitar acidentes ao perfurar as ripas);

• 2 lápis;

• 3 parafusos com porcas, com medidas de diâmetro compatíveis com os furos nas ripas de madeira.

Com os materiais indicados, vamos montar o pantógrafo, conectando as ripas de madeira com os parafusos e as porcas de modo que as junções fiquem móveis; assim, as partes do pantógrafo podem se movimentar umas em relação às outras. Observe o esquema a seguir.

Ilustração. Pantógrafo formado por hastes de madeira. Em cada junção de duas hastes, há um parafuso. Na parte inferior, as hastes têm marcações de pontos O, A e B. Sobre os pontos A e B, há um lápis. Na parte superior, ponto Q. Nas junções das hastes do centro, os pontos P e R. Há um segmento de reta tracejado diagonal para baixo de O, passando em A linha e B linha. Há um segmento de reta diagonal de A até A linha e outro segmento de reta de B até B linha. Os ângulos AOP e BAR são congruentes, e os ângulos OPA e PQR são congruentes.

Para utilizar o pantógrafo, fixamos um ponto óh sobre uma superfície plana, como uma mesa, e colocamos cada um dos lápis nos pontos a e B indicados no esquema. Quando movemos o lápis em a, contornando a imagem original que queremos ampliar, o lápis em B também se move, desenhando uma nova imagem semelhante à original, mas ampliada. Para reduzir uma imagem, devemos colocá-la sob o lápis no ponto B. Assim, quando movemos o lápis contornando a imagem original em B, o lápis em a também se move, desenhando uma nova imagem semelhante à original, mas agora reduzida.

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Observe na figura a seguir que os triângulos ó pê á e ó quê bê são semelhantes e a razão de semelhança é

\frac{O Q}{O P} = \frac{2}{1}

. Assim, quando você traçar com o lápis em a um segmento

\overline{A A'},

o lápis em B traçará um segmento

\overline{B B'}

com o dobro da medida de comprimento. É assim que uma imagem qualquer é ampliada com um pantógrafo.

Ilustração. Pantógrafo sobre duas folhas com pentágonos de tamanhos diferentes. Sobre os pontos A e B há um lápis.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 O pantógrafo também pode ser utilizado para a ampliação de mapas. Use o pantógrafo que você construiu para ampliar o contorno do mapa do Brasil, de acordo com a razão de semelhança k = 2. Não se esqueça de dar título ao mapa, de inserir legenda e rosa dos ventos (para indicar a orientação geográfica) e de corrigir a escala cartográfica de acordo com a ampliação.

Fuso horário civil (2018)

Mapa. O mapa mostra o Brasil e destaca as informações: menos 5 horas: Acre. Menos 4 horas: Amazonas, Roraima, Rondônia, Mato Grosso e Mato Grosso do Sul. Menos 3 horas: Amapá, Pará, Maranhão, Ceará, Piauí, Rio Grande do Norte, Paraíba, Pernambuco, Alagoas, Sergipe, Bahia, Tocantins, Distrito Federal, Goiás, Minas Gerais, Espírito Santo, Rio de Janeiro, São Paulo, Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. Na parte inferior, rosa dos ventos e escala de 0 a 725 quilômetros. — Mapa elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. oitava edição Rio de Janeiro: í bê gê É, 2018. Disponível em: https://oeds.link/SpskrW. Acesso em: 31 maio 2022.

2 Se a razão de semelhança fosse

k = \frac{1}{2}

, como seria o novo mapa desenhado? Desenhe o contorno dêsse novo mapa utilizando seu pantógrafo.

Observação

▶ Perfurando as ripas em várias posições, você poderá montar e desmontar o pantógrafo, obtendo outras razões de semelhança.

Por exemplo, se as ripas forem perfuradas em três partes iguais, você poderá triplicar as medidas lineares de uma figura ou reduzi-las a um terço.

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TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Um gráfico chamado pirâmide etária

Os gráficos são muito comuns em Matemática e em Física. No entanto, outras ciências, como a Geografia, também fazem uso dêsse importante instrumento de análise de informações. Particularmente, o gráfico conhecido como pirâmide etária é frequente no estudo da distribuição da população de acordo com a idade e o sexo.

Observe a tabela a seguir com dados do Censo realizado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (í bê gê É) em 2010.

Distribuição da população na região Norte do Brasil por sexo e idade – 2010
Grupo etário*	Homens (em porcentagem)	Mulheres (em porcentagem)
0 – 4	5,0	4,8
5 – 9	5,3	5,1
10 – 14	5,6	5,4
15 – 19	5,2	5,1
20 – 24	4,9	4,9
25 – 29	4,6	4,7
30 – 34	4,1	4,1
35 – 39	3,4	3,4
40 – 44	3,0	2,8
45 – 49	2,4	2,3
50 – 54	2,0	1,9
55 – 59	1,5	1,5
60 – 64	1,1	1,1
65 – 69	0,9	0,8
70 – 74	0,6	0,6
75 – 79	0,4	0,4
80 – 84	0,2	0,3
85 – 89	0,1	0,1
90 – 94	0,0	0,1
95 – 99	0,0	0,0
100 anos ou mais	0,0	0,0

Dados obtidos em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Censo 2010. Disponível em: https://oeds.link/K1z03e. Acesso em: 5 abril 2022.

*Intervalo de idade, em anos, no qual o indivíduo se enquadra no momento da pesquisa.

Os geógrafos costumam representar essas informações em uma pirâmide etária como esta.

Gráfico. Pirâmide etária. Distribuição da população por sexo e idade – Região Norte – Brasil – 2010. À esquerda, homens. À direita, mulheres. De baixo para cima, os dados são: De 0 a 4. Homens: 5,0%. Mulheres: 4,8%. De 5 a 9. Homens. 5,3%. Mulheres: 5,1%. De 10 a 14. Homens: 5,6%. Mulheres: 5,4%. De 15 a 19. Homens: 5,2%. Mulheres: 5,1%. De 20 a 24. Homens: 4,9%. Mulheres: 4,9% De 25 a 29. Homens: 4,6%. Mulheres: 4,7%. De 30 a 34. Homens: 4,1%. Mulheres: 4,1%. De 35 a 39. Homens: 3,4%. Mulheres: 3,4%. De 40 a 44. Homens: 3,0%. Mulheres: 2,8%. De 45 a 49. Homens: 2,4%. Mulheres: 2,3%. De 50 a 54. Homens: 2,0%. Mulheres: 1,9%. De 55 a 59. Homens: 1,5%. Mulheres: 1,5%. De 60 a 64. Homens: 1,1%. Mulheres: 1,1%. De 65 a 69. Homens: 0,9%. Mulheres: 0,8%. De 70 a 74. Homens: 0,6%. Mulheres: 0,6%. De 75 a 79. Homens: 0,4%. Mulheres: 0,4%. De 80 a 84. Homens: 0,2%. Mulheres: 0,3%. De 85 a 89. Homens: 0,1%. Mulheres: 0,1%. De 90 a 94. Homens: 0,0%. Mulheres: 0,1%. De 95 a 99. Homens: 0,0%. Mulheres: 0,0%. Mais de 100 anos. Homens: 0,0%. Mulheres: 0,0%. — Dados obtidos em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Censo 2010. Disponível em: https://oeds.link/K1z03e. Acesso em: 5 abril 2022.

Por meio dêsse gráfico, fica fácil saber que a maioria da população pesquisada (60,6%) é constituída por crianças, adolescentes e jovens de até 29 anos. Com base nesse gráfico, também é possível traçar um perfil da população, por sexo e por grupo etário, o que contribui na elaboração de projetos que atendam às suas necessidades, visto que esses dados indicam aos governos quanto e em que setores – educação, esporte e lazer, saúde etcétera – se deve investir.

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Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Observe a pirâmide etária relativa à projeção da população do Brasil para 2060.

Gráfico. Projeção da distribuição da população por sexo e idade – Brasil – 2060 (%). No eixo x, porcentagem. À esquerda, homens. À direita, mulheres. De baixo para cima, os dados são: De 0 a 4. Homens: 2,5. Mulheres: 2,3. De 5 a 9. Homens. 2,5. Mulheres: 2,4. De 10 a 14. Homens: 2,5. Mulheres: 2,5. De 15 a 19. Homens: 2,6. Mulheres: 2,5. De 20 a 24. Homens: 2,6. Mulheres: 4,9 De 25 a 29. Homens: 2,6. Mulheres: 2,7. De 30 a 34. Homens: 2,9. Mulheres: 2,9. De 35 a 39. Homens: 3,0. Mulheres: 3,0. De 40 a 44. Homens: 3,1. Mulheres: 3,0. De 45 a 49. Homens: 2,9. Mulheres: 3,0. De 50 a 54. Homens: 2,8. Mulheres: 3,0. De 55 a 59. Homens: 3,0. Mulheres: 3,0. De 60 a 64. Homens: 3,0. Mulheres: 3,1. De 65 a 69. Homens: 2,8. Mulheres: 3,0. De 70 a 74. Homens: 2,5. Mulheres: 2,5. De 75 a 79. Homens: 2,3. Mulheres: 2,3. De 80 a 84. Homens: 1,5. Mulheres: 2,0. De 85 a 89. Homens: 1,0. Mulheres: 1,5. De 90 ou mais. Homens: 0,5. Mulheres: 1,5. — Dados obtidos em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Projeções da população do Brasil e Unidades da Federação por sexo e idade: 2010 a 2060. Rio de Janeiro: í bê gê É, 2018. Disponível em: https://oeds.link/N3VjTX. Acesso em: 31 maio 2022.

a) A maior parte dessa população também é constituída por crianças, adolescentes e jovens?

b) Em relação aos dias de hoje, os futuros governos do Brasil deverão destinar à terceira idade uma parte maior ou menor de seu orçamento? Por quê?

c) Pesquise previdência social e previdência privada. A mudança prevista no perfil da população brasileira afetará a atual situação previdenciária brasileira? Por quê?

2 Agora, observe a pirâmide etária relativa à população da região Sul do Brasil em 2010.

Gráfico. Pirâmide etária. Distribuição da população por sexo e idade – Região Sul – Brasil – 2010. À esquerda, homens. À direita, mulheres. De baixo para cima, os dados são: De 0 a 4. Homens: 3,3%. Mulheres: 3,2%. De 5 a 9. Homens. 3,6%. Mulheres: 3,5%. De 10 a 14. Homens: 4,3%. Mulheres: 4,1%. De 15 a 19. Homens: 4,3%. Mulheres: 4,2%. De 20 a 24. Homens: 4,3%. Mulheres: 4,3%. De 25 a 29. Homens: 4,6%. Mulheres: 4,7%. De 30 a 34. Homens: 3,9%. Mulheres: 4,0%. De 35 a 39. Homens: 3,6%. Mulheres: 3,7%. De 40 a 44. Homens: 3,5%. Mulheres: 3,7%. De 45 a 49. Homens: 3,4%. Mulheres: 3,6%. De 50 a 54. Homens: 2,9%. Mulheres: 3,1%. De 55 a 59. Homens: 2,4%. Mulheres: 2,6%. De 60 a 64. Homens: 1,8%. Mulheres: 2,1%. De 65 a 69. Homens: 1,3%. Mulheres: 1,5%. De 70 a 74. Homens: 1,0%. Mulheres: 1,2%. De 75 a 79. Homens: 0,6%. Mulheres: 0,9%. De 80 a 84. Homens: 0,4%. Mulheres: 0,6%. De 85 a 89. Homens: 0,2%. Mulheres: 0,3%. De 90 a 94. Homens: 0,0%. Mulheres: 0,1%. De 95 a 99. Homens: 0,0%. Mulheres: 0,0%. Mais de 100 anos. Homens: 0,0%. Mulheres: 0,0%. — Dados obtidos em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Censo 2010. Disponível em: https://oeds.link/tbrSCO. Acesso em: 5 abril 2022.

Que diferenças você observa nessa pirâmide em relação à da região Norte?

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Classifique cada sentença a seguir em verdadeira ou falsa e justifique as falsas.

a) Todos os triângulos congruentes são semelhantes.

b) Todos os triângulos semelhantes são congruentes.

c) Dois triângulos isósceles que têm os ângulos do vértice congruentes são semelhantes.

2 (Covest-Pernambuco) A figura a seguir representa um rio cujas margens são retas paralelas.

Ilustração. Rio. Acima e abaixo, margens. Da margem inferior, segmento vertical e perpendicular até a outra margem e desce um segmento na diagonal cruzando a outra margem. Esses segmentos com a margem inferior do rio formam dois triângulos retângulos. A medida do segmento vertical para o que está na diagonal é 32 metros. Do segmento diagonal até o vertical pequeno: 10 metros. Altura do segmento pequeno vertical: 8 metros.

Qual é o inteiro mais próximo da largura do rio, medida em metro?

3 (enêm) A sombra de uma pessoa que mede 1,80 métro de altura mede 60 centímetros. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 métros. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuir 50 centímetros, a sombra da pessoa passará a medir:

a) 30 centímetros.

b) 45 centímetros.

c) 50 centímetros.

d) 80 centímetros.

e) 90 centímetros.

4 Os lados

\overline{A B} e \overline{A C}

de um triângulo medem, respectivamente, 35 centímetros e 42 centímetros. No lado

\overline{A B},

distante 10 centímetros de a, marca-se um ponto D. Por D, traça-se uma paralela a

\overline{B C},

que encontra

\overline{A C}

no ponto ê.

a) Construa uma figura que represente a situação.

b) Determine as medidas de

\overline{A E} e \overline{E C} .

5 O esquema a seguir representa a relação entre quatro estradas.

Ilustração. Triângulo com lados de medidas: 5,0 quilômetros, 4,0 quilômetros. No terceiro lado chega um segmento de reta JB 12 que sai do lado que mede 4,0 quilômetros, e divide o terceiro lado em dois segmentos de medida 2,0 quilômetros e 4,0 quilômetros.

Determine a medida do comprimento da estrada JB 12.

6 Os lados de um triângulo medem 15 centímetros, 20 centímetros e 25 centímetros. Calcule as medidas aproximadas dos lados de um triângulo semelhante a ele que tenha perímetro medindo aproximadamente 45 centímetros.

7 Observe no esquema a seguir o procedimento usado por Marcelo para determinar a medida da distância entre as árvores a e B próximas do lago.

Ilustração. Lago. No canto superior esquerdo, árvore representada pelo ponto A. No canto inferior direito, árvore representada pelo ponto B. Na margem inferior do lago, do ponto B até a reta de visão perpendicular ao ponto A são 60 passos. Do ponto B também se forma um triângulo retângulo com 30 passos no prolongamento da reta que uniria as duas árvores e com 25 passos para direita na margem do lago.

Sabendo que a medida do comprimento do passo de Marcelo é de 75 centímetros, determine a medida da distância entre essas árvores, em metro.

8 As medidas dos perímetros de dois triângulos semelhantes são 48 centímetros e 60 centímetros. As medidas das áreas deles são, respectivamente, 96 centímetros quadrados e 150 centímetros quadrados. O maior lado do triângulo maior mede 25 centímetros. Determine a medida do maior lado do triângulo menor.

9 Uma pessoa sobe uma rampa que mede 4,0 métros de altura na parte mais alta. Após caminhar 12,3 métros sobre a rampa, ela nota que está a 1,5  métro de altura em relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.

10 Na figura, o raio da circunferência menor mede 6 centímetros e o da maior mede 10 centímetros. Se XC1 = 30 centímetros e

{\overline{Y C}}_{1} ⫽ {\overline{Z C}}_{2}

, determine a medida do comprimento do segmento

\overline{C_{1} C_{2}} .

Ilustração. Duas circunferências de tamanhos diferentes, a menor de centro C1 e a maior de centro C2. De um ponto x distante dessas circunferências, partem dois segmentos: um passa pelos centros das circunferências e outro na horizontal passa pelo ponto y pertencente à menor e no ponto z pertencente à maior, formando assim dois triângulos XC1Y e XC2Z.

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Um arquiteto desenhou um pequeno esboço de um ambiente a ser decorado e, em seguida, reproduziu o desenho ampliando-o na razão 1:5 para inserir mais detalhes. A figura a seguir mostra o primeiro esboço feito pelo arquiteto.

Ilustração. Polígono de seis lados com as seguintes medidas: 6,8 centímetros, 2,5 centímetros, 5 centímetros, 2 centímetros, 4,5 centímetros e 5,2 centímetros.

Com base nesse esboço, qual é a medida do perímetro do ambiente a ser decorado no desenho ampliado?

a) 26 centímetros

b) 105 centímetros

c) 52 centímetros

d) 130 centímetros

2 Para que os polígonos a seguir sejam semelhantes, os valores de x e de y devem ser, respectivamente:

a) 6 e

\frac{3}{2}

\frac{27}{2}

\frac{3}{2}

c) 6 e

\frac{2}{3}

d) 3 e 2.

Ilustração. Trapézio cuja base menor mede 1, e os lados não paralelos medem 4 e 6. Ao lado Trapézio cuja base menor mede y, e os lados não paralelos medem 6 e 9.

3 Para que os triângulos a seguir sejam semelhantes, os valores de a e b devem ser iguais, respectivamente, a:

a) 15 e 25.

b) 9 e 15.

c) 12 e 20.

d) 9 e 25.

Ilustração. Triângulo retângulo cujos lados medem 3, 4 e 5; à direita, outro triângulo retângulo cujos lados medem a, 20 e b, na mesma posição do primeiro triângulo.

4 Os triângulos a seguir são semelhantes?

Ilustração. Triângulo isósceles de lados medindo 5, 5, e base 8. Abaixo, triângulo isósceles de lados medindo 10, 10 e base 12. O triângulo maior está invertido em relação primeiro

a) Sim, pois

\frac{8}{5} = \frac{12}{10}

b) Sim, pois

\frac{8}{5} \neq \frac{10}{12}

c) Não, pois

\frac{8}{5} \neq \frac{12}{10}

d) Não, pois

\frac{8}{5} \neq \frac{10}{12}

5 O quadrilátero a seguir foi obtido ao traçar um segmento de reta cortando dois lados de um triângulo e paralelo ao terceiro lado. Qual é a medida aproximada de x?

Ilustração. Quadrilátero com dois lados paralelos medindo 7,2 centímetros e x centímetros. Os lados não paralelos medem 2,5 centímetros e 1,8 centímetros, prolongando esses lados, eles se encontram em um ponto e formam um triângulo cuja base é o lado de 7,2 centímetros e o lado da esquerda mede 8,6 centímetros e o lado da direita mede 7,6 centímetros.

a) 4,9 centímetros

b) 5,1 centímetros

c) 6,1 centímetros

d) 7,3 centímetros

6 O triângulo á bê cê é obtusângulo, A bê = x centímetro e os ângulos internos com vértices em a e em B são congruentes. Considerando um triângulo dê ê éfe tal que dê éfe = 3x centímetros, cujos ângulos com vértice em D e em F são congruentes entre si e, ainda, congruentes aos dois ângulos agudos do triângulo á bê cê, então, os triângulos á bê cê e dê ê éfe são:

a) congruentes (pelo caso ângulo-lado-ângulo).

b) congruentes (pelo caso lado-ângulo-ângulo opostoo).

c) semelhantes (pelo caso lado ângulo lado).

d) semelhantes (pelo caso ângulo ângulo).

7 Para que dois triângulos sejam semelhantes pelo caso lado lado lado, é preciso que eles tenham:

a) lados correspondentes congruentes.

b) lados correspondentes com medidas de comprimento proporcionais.

c) ângulos correspondentes com medidas proporcionais.

d) ângulos correspondentes congruentes.

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões.

a) Quais são as condições para que dois polígonos sejam considerados semelhantes?

b) Descreva cada um dos casos de semelhança de triângulos que você estudou.

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Titulo do carrossel

Gire o seu dispositivo para a posição vertical

DIVERSIFICANDO

Câmara escura de orifício

A câmara escura de orifício, precursora das câmeras fotográficas modernas, é um dispositivo óptico muito simples, pois fórma imagens apenas com a focalização dos raios de luz ao atravessarem um pequeno orifício. Ela pode ser feita com uma caixa ou uma lata qualquer, desde que suas paredes internas sejam opacas e escuras. De um lado, deve ter um pequeno orifício e, na parte oposta, uma folha de papel branca.

Ilustração. Frente. Uma caixa cuja face voltada para uma vela acesa tem um pequeno furo. Ilustração. Fundo. Na face de trás da caixa aparece a imagem da vela de ponta cabeça no fundo.

(Representação esquemática. As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)

Quando apontamos o orifício da câmara escura para um objeto iluminado, observamos a projeção da imagem invertida dêsse objeto sobre o papel. Isso ocorre em virtude de uma importante propriedade da luz, que é a de se propagar em linha reta. Observe o esquema a seguir.

Esquema. À esquerda, um lápis cujas extremidades estão nomeadas com os ponto A e B, a medida AB é h. À direita, retângulo preto (câmara escura). Nesta face da câmara existe somente um orifício, por onde passarão os raios de luz. O raio de luz que vem do ponto A passa pelo orifício e vai até o ponto A linha e o raio que vem do ponto B passa pelo orifício e vai até o ponto B linha. Os raios se cruzam no ponto O (orifício) e continuam sua trajetória, invertendo assim a imagem do objeto dentro da câmara. O tamanho do lápis da imagem é h linha.

Nesse esquema, h é a medida da altura do objeto, h' é a medida da altura da imagem projetada e da caixa também, p é a medida da distância do objeto até o orifício e q é a medida da distância da imagem até o orifício. Os triângulos ó á bê e OA'bit' são semelhantes, pois os ângulos correspondentes são congruentes:

A \hat{O} B ≅ A' \hat{O} B',

A \hat{B} O ≅ A' \hat{B'} O

B \hat{A} O ≅ B' \hat{A'} O .

Portanto, por semelhança, h ⋅ q = p ⋅ h'.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Originalmente desenvolvida como um instrumento científico e muito utilizada na Antiguidade para observações astronômicas, a câmara escura se tornou popular entre os artistas do século dezesseis como um instrumento para auxiliar na criação de pinturas e facilitar o desenho em perspectiva. Explique como a câmera escura poderia auxiliar um artista na criação de uma pintura.

2 Felipe usou uma caixa de formato cúbico, com aresta medindo 20 centímetros de comprimento, para fazer uma câmara escura e retratar um quadro pendurado na parede de sua casa. Qual é a medida mínima da distância que esse quadro, de 50 centímetros por 50 centímetros, deve ficar do orifício da câmara para aparecer por inteiro no papel?