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CAPÍTULO 6 Um pouco mais sobre Estatística

Fotografia. Rebanho de ovelhas sobre região gramada verde. Ao fundo, sol atrás dos morros e céu avermelhado. — Rebanho de ovelhas pastando em colina durante o pôr do sol. (Fotografia de 2015).

“Céu vermelho à noite, alegria do pastorreticências Céu vermelho pela manhã, alerta para o pastor”. Mencionando esse ditado popular inglês, a bê bê cê (British Broadcasting Corporation) propõe um desafio sobre a probabilidade de o pastor de ovelhas acertar a previsão meteorológica .

Dados obtidos em: BBC Brasil. Disponível em: https://oeds.link/KLQ66N. Acesso em: 1 abr. 2022.

Observar os fenômenos da natureza sempre foi importante para desenvolver práticas de cultivo em diferentes épocas e para diferentes povos. Atualmente, a Probabilidade e a Estatística continuam sendo essenciais para diversas práticas agrícolas que têm na meteorologia uma ferramenta para, por exemplo, planejar, tomar decisões e evitar perdas ou prejuízos.

Observe, leia e responda no caderno.

a) Você tem o hábito de acompanhar a previsão meteorológica para a cidade em que você vive? Se tem, com que frequência?

b) Em sua opinião, a faixa percentual de acerto da precisão meteorológica veiculada pela imprensa situa-se em:

a) 0% a 33%;

b) 34% a 66%;

c) 67% a 100%.

c) Pesquise quais são as principais variáveis de monitoramento para a previsão meteorológica.

d) Escreva sobre a importância da previsão meteorológica para as seguintes atividades: agricultura e pesca, navegação marítima e aérea, turismo.

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1. Recordando as medidas de tendência central

Ilustração. Mulher negra, de cabelo preto, faixa vermelha na cabeça e camiseta verde. Ela fala: Coletar, organizar, ler, interpretar e construir representações de um conjunto de dados de uma variável faz parte do que se entende por tratamento da informação. Por meio da informação devidamente decodificada é que entramos em sintonia com o mundo atual.

A necessidade de compreender informações veiculadas por meio de diversas linguagens e plataformas indica a importância da habilidade de coletar dados e analisar informações por meio de instrumentos como tabelas, gráficos, mapas, esquemas, algoritmos etcétera

Também é importante aprender a efetuar cálculos de medidas de tendência central e medidas de dispersão.

Assim, desenvolvemos a capacidade de resolver e formular problemas, tomar decisões e fazer previsões que possibilitarão realizar escolhas mais adequadas, pautadas na análise dos dados e das opções.

Vamos considerar uma situação na qual recordaremos alguns conceitos.

A tabela apresenta o resultado de uma pesquisa sobre o número de avós que residem na mesma casa de cada estudante do 9º ano.

Avós e netos na mesma casa
Número de avós residentes	0	1	2	3	4
Frequência absoluta	19	19	9	2	1

Dados fictícios.

Embora essa seja uma situação bastante simples e os valores da variável número de avós que residem na casa do estudante já estejam organizados na tabela de distribuição de frequências, ainda podemos observar outros aspectos dêsse conjunto de valores por meio das medidas de tendência central.

Vamos recordar as medidas de tendência central moda, média aritmética e mediana.

Ilustração. Homem branco, de cabelo preto, óculos quadrados de armação azul e camisa verde. Ele fala: Em um conjunto de dados, moda é o elemento, numérico ou não, que se destaca por apresentar a maior frequência absoluta. Se dois ou mais elementos desse conjunto tiverem a mesma frequência absoluta, maior do que a dos demais, esses elementos serão as modas do conjunto. Porém, se todos os elementos tiverem a mesma frequência, o conjunto não tem moda, é amodal. A média aritmética de dois ou mais números é a razão entre a soma desses números e a quantidade de números considerados. A mediana de um grupo de valores ordenados, de modo crescente ou decrescente, é o termo que ocupa a posição central (quando o conjunto de dados tem uma quantidade ímpar de termos) ou é o valor obtido pela média aritmética de seus dois termos centrais (se o conjunto de dados tem uma quantidade par de termos).

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No exemplo da pesquisa em relação ao número de avós, obtemos:

• As modas do número de avós que residem na casa dos estudantes do 9º ano, por terem maior frequência (19), são 0 e 1.

• A média aritmética é dada por:

\frac{19 \cdot 0 + 19 \cdot 1 + 9 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4}{19 + 19 + 9 + 2 + 1} = \frac{47}{50} = 0, 94

• Escrevendo em ordem crescente os dados referentes ao número de avós que residem na casa dos estudantes do 9º ano, isto é, escrevendo o rol, e destacando os dois termos centrais, obtemos:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1,

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4

Como o número de elementos é par, a mediana é dada pela média aritmética desses dois termos centrais:

\frac{1 + 1}{2} = 1

Quanto à distribuição dos valores, ainda podemos observar que ela apresenta amplitude igual a 4, que é a diferença entre o maior e o menor valor da variável estudada, ou seja, 4 ‒ 0 = 4; no caso, o número de avós que residem na casa dos estudantes do 9º ano.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 A tabela mostra o número de irmãos dos estudantes do 9º ano ê. Qual das alternativas representa a média aritmética, a moda e a mediana do número de irmãos dos estudantes do 9^o ano E, respectivamente?

Pesquisa do 9º ano E
Número de irmãos	Frequência absoluta
0	5
1	15
2	10
3	15
4	5

Dados obtidos pelos estudantes.

a) 2 irmãos, 1 e 3 irmãos, 2 irmãos.

b) 2,7 irmãos, 4 irmãos, 2 irmãos.

c) 1,7 irmão, 1 irmão, 4 irmãos.

d) 2,1 irmãos, 3 irmãos, 2 irmãos.

e) 1,7 irmão, 1 e 3 irmãos, 3 irmãos.

2 Observe as notas obtidas em uma avaliação de Matemática por um grupo de 5 estudantes:

7,0 5,5 4,0 6,0 8,5

a) Calcule a média aritmética das notas obtidas por esses estudantes.

b) Considerando essas notas, determine a mediana e a moda.

c) Dos 5 estudantes, quantos obtiveram nota abaixo da média do grupo?

3 Uma associação beneficente distribui brinquedos para crianças no mês de Outubro. Observe no gráfico a distribuição do último ano.

Gráfico com pictograma. Título: Brinquedos distribuídos. Legenda: Cada caixa de presente corresponde a 50 brinquedos. Os dados são: carrinho: 3 caixas. Ursinho de pelúcia: 5 caixas. Bola: 3 caixas e meia. Boneca: duas caixas e meia.

Dados obtidos pela associação beneficente.

a) Qual é o brinquedo modal?

b) Construa uma tabela de distribuição de frequência para essa situação.

c) É possível calcular a média para essa situação?

d) Essa situação seria melhor apresentada se estivesse em um gráfico de linha?

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4 (enêm) Depois de jogar um dado em formato de cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas, e anotar o número obtido em cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição de frequências.

Número obtido	Frequência
1	4
2	1
4	2
5	2
6	1

A média, mediana e moda dessa distribuição de frequências são, respectivamente:

a) 3, 2 e 1.

b) 3, 3 e 1.

c) 3, 4 e 2.

d) 5, 4 e 2.

e) 6, 2 e 4.

Hora de criar – Imagine uma variável – pode ser idade, altura, massa, dia do aniversário etcétera Pesquise entre os colegas de turma e organize os dados dessa variável. Com eles, crie um problema sobre média aritmética, moda e mediana. Troque-o com um colega e, depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

2. Medida de dispersão – desvio médio absoluto

Acompanhe a situação a seguir.

Uma rede de lanchonetes encomendou uma pesquisa para decidir entre duas empresas fornecedoras de achocolatados.

A pontualidade na entrega, as condições de pagamento e o preço do produto eram equivalentes, porém a porcentagem de cacau variava nos diversos lotes em ambas as empresas.

Fotografia. Vista superior de recipiente redondo com sementes de cacau. Ao lado, cacau em pó. À direita, pedaços de chocolate. — Sementes de cacau e cacau em pó, usado em produtos como o achocolatado.

Nessa pesquisa foram examinados ao acaso potes de 8 lotes com o seguinte resultado:

Teor de cacau em amostras de achocolatados
Empresa A	43%	47%	49%	49%	49%	50%	51%	54%
Empresa B	43%	46%	48%	49%	49%	51%	52%	54%

Dados obtidos pela rede de lanchonetes.

Para comparar os resultados, foram obtidas as medidas estatísticas de tendência central.

• A moda de a é 49, e a moda de B é 49. As modas são iguais.

• A mediana de a é:

\frac{49 + 49}{2} = 49

; a mediana de B é:

\frac{49 + 49}{2} = 49

As medianas são iguais.

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• A média aritmética de a é:

\frac{43 + 47 + 49 + 49 + 49 + 50 + 51 + 54}{8} = \frac{392}{8} = 49

;

a média aritmética de B é:

\frac{43 + 46 + 48 + 49 + 49 + 51 + 52 + 54}{8} = \frac{392}{8} = 49

As médias aritméticas são iguais.

• As amplitudes de a e de B são iguais a 11 (54 ‒ 43).

•

As medidas estatísticas e as amplitudes são iguais para as duas empresas. Como escolher entre a empresa a e a empresa B?

Ilustração. Homem branco, de cabelo castanho, óculos com armação azul e camisa roxa. Ele fala: Imagine que você costuma tomar achocolatado sempre na mesma lanchonete, mas o sabor está variando. Em alguns dias até está gostoso, mas às vezes está com outro sabor. Você continuaria a frequentar essa lanchonete?

Em uma reunião, os cozinheiros consultados observaram a importância de os lotes de achocolatado apresentarem regularidade na composição de cacau para manterem o padrão ao qual os fregueses se acostumaram.

Ilustração. Homem branco, de cabelo castanho, óculos com armação azul e camisa roxa. Ele diz: Quanto menos as porcentagens de cacau dos lotes se desviarem da média, mais o padrão será mantido. Nesses casos, podemos calcular o desvio médio absoluto.

O desvio médio absoluto D_m de um conjunto de valores de uma variável estudada mede o grau de dispersão e de concentração dessa variável. Quanto maior o desvio médio absoluto, maior é a dispersão e menor é a concentração, ou seja, em média, os valores se afastam mais da média aritmética. E vice-versa.

Ilustração. Homem branco, de cabelo castanho, óculos com armação azul e camisa roxa. Ele fala: Para calcular o desvio médio absoluto de um conjunto de valores da variável a ser estudada, dividimos a soma dos módulos das diferenças entre cada valor e a média aritmética pela quantidade de valores.

Lembrando: as médias aritméticas de a e de B são iguais a 49.

D_{m A} = \frac{|43 ‒ 49| + |47 ‒ 49| + |49 ‒ 49| + |49 ‒ 49| + |49 ‒ 49| + |50 ‒ 49| + |51 ‒ 49| + |54 ‒ 49|}{8}

D_{m A} = \frac{6 + 2 + 0 + 0 + 0 + 1 + 2 + 5}{8} = \frac{16}{8} = 2

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DmA = 2 significa que os valores do conjunto de dados de a se distanciam, em média, 2 pontos percentuais da média aritmética.

D_{m B} = \frac{|43 ‒ 49| + |46 ‒ 49| + |48 ‒ 49| + |49 ‒ 49| + |49 ‒ 49| + |51 ‒ 49| + |52 ‒ 49| + |54 ‒ 49|}{8}

D_{m B} = \frac{6 + 3 + 1 + 0 + 0 + 2 + 3 + 5}{8} = \frac{20}{8} = 2, 5

DmB = 2,5 significa que os valores do conjunto de dados de B se distanciam, em média, 2,5 pontos percentuais da média aritmética.

Ilustração. Homem branco, de cabelo castanho, óculos com armação azul e camisa roxa. Ele diz: Como o desvio médio absoluto da empresa A é menor do que o desvio médio absoluto da empresa B, as porcentagens de cacau nos lotes da empresa A se desviam menos da média aritmética do que as porcentagens de cacau nos lotes da empresa B. Podemos dizer que a empresa A mantém mais o padrão; portanto, ela deve ser a escolhida.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

6 Os irmãos Caio e Cauê estudam na mesma turma. Ao término do ano letivo, tiveram como resultados bimestrais os dados da tabela a seguir.

Avaliação bimestral de Caio e Cauê
Bimestre	1º		2º		3º		4º
Disciplina	Caio	Cauê	Caio	Cauê	Caio	Cauê	Caio	Cauê
Língua Portuguesa	7,0	5,0	7,0	7,5	7,0	7,5	7,0	9,0
Inglês	6,0	4,5	5,5	6,0	6,5	7,5	6,5	6,0
História	7,5	5,5	7,5	7,0	8,0	7,5	8,0	8,5
Geografia	8,0	5,0	7,5	8,0	8,0	7,5	7,5	9,0
Ciências	7,5	6,0	7,5	7,5	7,0	7,5	8,0	8,5
Matemática	9,5	5,5	9,5	8,0	10	7,5	9,5	8,0

Dados obtidos por Caio e Cauê.

a) Calcule as modas das notas de cada irmão.

b) Qual é a moda de Caio em Língua Portuguesa? E qual é a moda de Cauê no 3º bimestre?

c) Qual é a mediana das notas de Caio em Matemática? E de Cauê?

d) Suponha que a média mínima de aprovação em cada matéria seja 6,0 e que todos os bimestres tenham o mesmo peso. Algum deles foi reprovado em alguma das disciplinas?

e) Qual é o desvio médio absoluto de cada um deles em Geografia? E no 1º bimestre?

f) Qual dos dois teve aproveitamento mais regular em Geografia? E no 1º bimestre?

g) Em Língua Portuguesa, qual é o desvio médio absoluto de cada irmão?

h) No 3º bimestre, qual é o desvio médio absoluto de cada irmão?

Hora de criar – Troque com um colega um problema, criado individualmente por vocês, sobre desvio médio absoluto. Para isso, elabore ou obtenha por meio de uma pesquisa um conjunto de valores de uma variável numérica qualquer. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

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TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Pesquisando sobre o mercado de trabalho

Diferentemente do que ocorria há 20 ou 50 anos, o cenário atual no mercado de trabalho é de redução da necessidade de mão de obra “física”, devido ao uso cada vez mais frequente de máquinas, por exemplo. Além disso, cada vez mais, recursos tecnológicos podem ser operados por inteligência artificial. Entre outros fatores, isso, contribui para a redução da necessidade de mão de obra qualificada, isto é, especializada em determinadas áreas.

Fotografia. Mulher negra, de cabelos pretos encaracolados, camiseta amarela e avental preto. Ela está sorrindo, em pé com os braços cruzados. Atrás dela, prateleiras com vasos com plantas.

Apesar da dificuldade que pode ser ingressar no mercado de trabalho para a maioria dos jovens, alguns conseguem se destacar criando soluções inovadoras com startups e empresas ligadas à tecnologia. Psicólogos do trabalho indicam que estudar seja a porta de entrada para o mercado de trabalho, mas apontam que apenas ter um diploma de ensino superior ou de ensino técnico, por exemplo, pode não ser suficiente. Para ir além, é importante estar atento às mudanças sociais e tecnológicas e às tendências de sustentabilidade e diversidade, de modo a perceber necessidades atuais e promover mudanças que causem impacto na sociedade.

Alguns dados indicam uma precarização do mercado de trabalho, com um crescente número de trabalhos informais ou subempregos.

Gráfico circular. Título: Informalidade no mercado de trabalho no Brasil (de agosto a outubro de 2018). Os dados são: Trabalhador doméstico sem carteira (11,6%), que corresponde a 4,45 milhões de trabalhadores. Empregador sem CNPJ (2,4%), que corresponde a 919 mil trabalhadores. Trabalhador por conta própria, sem CNPJ (49,7%), que corresponde a 18,99 milhões de trabalhadores. Trabalhador familiar auxiliar (5,9%), que corresponde a 2,25 milhões de trabalhadores. Empregado sem carteira do setor privado (30,4%), que corresponde a 11,63 milhões de trabalhadores. No centro, é mostrado o número total de trabalhadores informais, 38,2 milhões, que corresponde a 41,2% do número total de 92,9 milhões de trabalhadores ocupados no Brasil.

Dados obtidos em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua Mensal. Rio de Janeiro: í bê gê É, 2015-. Disponível em: https://oeds.link/B9IDGC. Acesso em: 27 julho 2022.

Os jovens formam um dos grupos mais afetados pelo desemprego no Brasil. Dos quase 14 milhões de desempregados no quarto trimestre de 2020, cêrca de 70% eram pessoas na faixa-etária entre 14 e 24 anos de idade, segundo dados da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua (pê nádi), realizada pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (í bê gê É). Com a inserção das novas tecnologias, esse grupo encontra um mercado de trabalho cada vez mais exigente e consequentemente com mais dificuldades para garantir novas oportunidades.

Fonte: PIERRI, V. Desemprego entre os jovens aponta mercado de trabalho desafiador. Jornal da úspi, Ribeirão Preto, 6 abril 2021. Disponível em: https://oeds.link/Z7B9gC. Acesso em: 27 julho 2022.

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Assim, ressalta-se a importância de ações da sociedade e dos governos que precisam estar atentos às mudanças, a fim de garantir mecanismos que facilitem o ingresso dos jovens no mercado de trabalho; as empresas, por exemplo, podem assumir o compromisso de serem mentorasglossário de jovens que estão ingressando no mercado de trabalho.

Fotografia. Homem branco, de chapéu, camiseta branca e luvas. Ele segura uma bandeja com pães. Ao lado, forno com pães. — Jovem padeiro em Guarani, Minas Gerais. (Fotografia de 2022.)

Agora quem trabalha é você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Reúna-se com três colegas para realizarem uma pesquisa amostral. Depois, faça o que se pede em cada item.

a) Definam um objetivo de pesquisa que aborde a percepção dos jovens em relação ao mercado de trabalho e, depois, elaborem perguntas de pesquisa relacionadas a esse objetivo.

b) Definam uma população e uma maneira de determinar amostras para a pesquisa, por exemplo:

• se a população for os estudantes do 9º ano da escola, pode-se sortear 10 estudantes de cada turma do 9º ano;

• se a população for os jovens de 14 a 19 anos que moram na mesma rua que vocês, pode-se sortear 10% das casas de cada rua e entrevistar os jovens que residirem nelas.

c) Realizem a pesquisa considerando a amostra que definiram no item b.

d) Observem como é possível organizar os dados de uma pesquisa amostral utilizando uma planilha eletrônica.

Ilustração. Planilha eletrônica mostrando as linhas de 1 a 4 e as linhas de A a L. Nas duas primeiras linhas, são apresentadas as categorias: na coluna A, as perguntas de pesquisa; nas colunas B a G, os entrevistados e as respostas (A, B, C, D, E e F); e nas colunas de H a L, as medidas de tendência central e de dispersão (média, moda, mediana, desvio médio absoluto e amplitude). Na linha 3, a pergunta da pesquisa (coluna A) é: A inteligência artificial atrapalha o ingresso no mercado de trabalho? E as respostas são 0 para A, 1 para B, 2 para C, 4 para D, 10 para E e 10 para F. Os valores das medidas de tendência central e dispersão são: 4,4 para a média; 10,0 para a moda; 3,0 para a mediana; 3,66667 para o desvio médio absoluto e 10,0 para amplitude. Na linha 4, a pergunta da pesquisa (coluna A) é: Mão de obra qualificada garante emprego na área da especialização? E as respostas são 0 para A, 5 para B, 4 para C, 3 para D, 2 para E e 5 para F. Os valores das medidas de tendência central e dispersão são: 3,2 para a média; 5,0 para a moda; 3,5 para a mediana; 1,5 para o desvio médio absoluto e 5,0 para amplitude. — *Com respostas de 0 a 10, em que 0 indica que o entrevistado discorda totalmente da afirmação e 10, concorda totalmente.

Nas colunas B a G são indicadas as respostas dos entrevistados, em uma escala de 0 a 10, cujos nomes foram alterados para a, B, C, D, ê e F. As informações das colunas agá a K podem ser obtidas automaticamente por meio de recursos da planilha eletrônica. Por exemplo, ao digitar =MÉDIA(B3:G3) na célula H3, obtém-se a média das respostas dos entrevistados para a pergunta indicada na célula a3.

• Agora, utilizando os recursos de uma planilha eletrônica, organizem os dados coletados e determinem a média, a moda, a mediana, o desvio médio absoluto e a amplitude desses dados.

e) Com os recursos da planilha eletrônica, criem gráficos que facilitem analisar as informações coletadas. Depois, façam um resumo dos resultados obtidos na pesquisa e os comuniquem aos demais colegas da turma ou da escola.

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PARA SABER MAIS

A Matemática e os jogos

John von Neumann era um gênio indiscutível. Tanto que em 1927, com apenas 24 anos, esse matemático húngaro se tornou o mais jovem professor da Universidade de Berlim. Mas Von Neumann tinha uma cisma: jogar mal pôquer. Resolveu estudar o jogo, e logo concluiu que só a matemática não o salvaria. Porque no pôquer é fundamental saber blefarglossário . Von Neumann mergulhou no tema e, um ano depois, escreveu um artigo científico a respeito: Theory of Parlor Games (“teoria dos jogos de salão”, em inglês). Ele estava inaugurando a Teoria dos Jogos, ramo da Matemática que estuda estratégias de competição e cooperação. De início, debruçou-se sobre jogos de “soma zero” – aqueles em que um ganha e outro perde, como no pôquer. Mais tarde, John Nash, outro matemático, estenderia a teoria aos jogos de “soma não zero”, em que todos podem sair ganhando ou perdendo.

[reticências]

Suponha que você jogou dois dados. A chance que os dois têm de cair com o número 6 é mero fruto da sorte, certo? A humanidade sempre achou que sim. Até que, no século 16, o polímata lombardo Girolamo Cardano (1501 a 1576) resolveu crackear os dados. Ele anotou todas as 36 combinações possíveis e, a partir daí, notou que certas combinações tinham bem mais chance de sair. Cardano não ficou rico. Mas seu estudo foi o pontapé inicial na Teoria das Probabilidades.

Fotografia. Destaque para a mão de uma pessoa jogando dois dados. Abaixo, tabuleiros.

Fonte: HORTA, M. A ciência das apostas. Superinteressante, São Paulo, edição 384, janeiro 2018. página 46.

Na experiência descrita, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. Por isso, esses resultados são chamados de eventos independentes.

Porém, existem experimentos aleatórios que envolvem eventos dependentes, isto é, a ocorrência de um evento interfere nos resultados de outro evento. Acompanhe um exemplo de um experimento que envolve esse tipo de evento.

• Em uma urna há 7 bolas amarelas e 3 bolas vermelhas. Se as bolas sorteadas não são recolocadas na urna, qual é a probabilidade de a primeira bola sorteada ser vermelha e a segunda, amarela?

Note que para o 1º sorteio, a probabilidade é

\frac{3}{10}

, pois são 3 bolas vermelhas de 10 possibilidades de sorteio; mas, como consideramos que uma bola vermelha foi sorteada no 1º sorteio, então, no 2º sorteio teremos 7 bolas amarelas e duas bolas vermelhas. Assim, a probabilidade de uma bola amarela ser sorteada nessas condições é de

\frac{7}{9}

. Portanto, calculamos a probabilidade p de ser sorteada uma bola vermelha no 1º sorteio e uma amarela no 2º sorteio, assim:

Esquema. Probabilidade é igual a fração; 3 décimos vezes 7 nonos; fim da fração, que é igual a fração; numerador: 3 vezes 7; denominador: 10 vezes 9; fim da fração, que é igual a fração; numerador: 21; denominador: 90; fim da fração, que é igual a fração; numerador: 7; denominador: 30; fim da fração. Seta abaixo da fração 3 décimos indica que essa é a probabilidade de sortear bola vermelha no primeiro sorteio. Seta abaixo da fração 7 nonos indica probabilidade de sortear bola amarela no segundo sorteio, dado que no primeiro sorteio foi sorteada uma bola vermelha.

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Agora é com você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

1 O lançamento simultâneo de dois dados cúbicos corresponde a um espaço amostral de 36 pares ordenados.

Ilustração. Quadro com seis colunas, sendo que cada uma tem seis pares ordenados.
Primeira coluna: (1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5) e (1, 6)
Segunda coluna: (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5) e (2, 6)
Terceira coluna: (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5) e (3, 6)
Quarta coluna: (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5) e (4, 6)
Quinta coluna: (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5) e (5, 6)
Sexta coluna: (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5) e (6, 6)

Carol, Rafael e Sofia brincam de jogar dois dados como esses. Responda, em cada item, qual deles tem a maior probabilidade de ganhar e justifique sua resposta.

a) Na primeira rodada, eles apostaram que a soma dos números das faces de cima seria: Carol (6), Rafael (7) e Sofia (8).

b) Na segunda rodada, as apostas foram na diferença em módulo entre os números das faces de cima: Carol (1), Rafael (3) e Sofia (0).

c) Na terceira rodada, eles apostaram que o produto dos números das faces de cima seria: Carol (número ímpar), Rafael (número primo) e Sofia (número par).

2 Em uma caixa há 26 fichas com letras de a a Z, sem que alguma letra seja repetida. Dessas fichas, uma após a outra e sem reposição, serão sorteadas duas. Qual é a probabilidade de sortear primeiro uma vogal e, depois, uma consoante? Por quê?

3 Em uma urna estão os nomes de 8 estudantes de uma escola, sendo 3 nomes de estudantes do 9º ano, 3 nomes de estudantes do 8º ano e 2 nomes de estudantes do 7º ano. Serão sorteados dois desses nomes para compor o grêmio estudantil da escola, de maneira que o primeiro nome sorteado será o presidente do grêmio e o segundo, o vice-presidente. Explique como você pode determinar a probabilidade de ser sorteado um estudante do 7º ano para presidente e um do 8º ano para vice-presidente.

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Juros compostos

O juro ( j ) é a quantia com que um devedor remunera um credor pelo uso de seu dinheiro por um período (t) previamente combinado. Para o empréstimo dessa quantia, chamada de capital (c), geralmente é estabelecida uma taxa percentual (ih ).

juro = capital ⋅ tempo ⋅ taxa, ou j = c ⋅ t ⋅ i

Há o juro simples, que é calculado apenas sobre o capital inicial, mesmo quando o período do empréstimo é renovado. Acompanhe o exemplo a seguir.

Suponha que tomo emprestado R$ 500,00quinhentos reais por 4 meses e combino de pagar juro simples a uma taxa de juro (ih ) de 10% por mês.

Após o tempo combinado, devo devolver o capital (500) adicionado ao juro (10% de 500 = 0,10 ⋅ 500 = 50, ou seja, R$ 50cinquenta reais por mês). Essa soma é o montante (m).

montante = capital + juro ou m = c + j

ou m = c + c ⋅ t ⋅ i ou m = c ⋅ (1 + t ⋅ i )

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Se, após 1 mês, eu quitar o empréstimo, devo devolver ao credor os 500 reais mais a quantia de 10% de 500, referente ao juro de 1 mês. Mas, se eu continuar com o empréstimo, após 2 meses, a dívida será igual aos 500 mais 2 ⋅ (10% de 500). E segue: após 3 meses, os 500 mais 3 ⋅ (10% de 500); após 4 meses, os 500 mais 4 ⋅ (10% de 500).

Cálculo do montante considerando o juro simples, à taxa de 10% ao mês:

1º mês: m = 500 + 1 ⋅ 10% de 500 = 500 ⋅ (1 + 1 ⋅ 0,10) = 500 ⋅ 1,10 = 550

2º mês: m = 500 + 2 ⋅ 10% de 500 = 500 ⋅ (1 + 2 ⋅ 0,10) = 500 ⋅ 1,20 = 600

3º mês: m = 500 + 3 ⋅ 10% de 500 = 500 ⋅ (1 + 3 ⋅ 0,10) = 500 ⋅ 1,30 = 650

4º mês: m = 500 + 4 ⋅ 10% de 500 = 500 ⋅ (1 + 4 ⋅ 0,10) = 500 ⋅ 1,40 = 700

No juro composto, entretanto, a cada período, o juro é calculado sobre o saldo devedor. Acompanhe como fica o cálculo do montante considerando juro composto, à taxa de 10% ao mês:

1º mês: m = 500 + 1 ⋅ 10% de 500 = 500 + 0,10 ⋅ 500 = 1,10 ⋅ 500 = 550

2º mês: m = 1,10 ⋅ 1,10 ⋅ 500 = (1,10)2 ⋅ 500 = 605

3º mês: m = 1,10 ⋅ 1,10 ⋅ 1,10 ⋅ 500 = (1,10)3 ⋅ 500 = 665,5

4º mês: m = 1,10 ⋅ 1,10 ⋅ 1,10 ⋅ 1,10 ⋅ 500 = (1,10)4 ⋅ 500 = 1,4641 ⋅ 500 = 732,05

Assim, para determinar o montante m calculado a juros compostos, considerando um capital inicial c, uma taxa i e o período t, utilizamos a expressão:

m = c ⋅ (1 + i )^t

Acompanhe a comparação do empréstimo de R$ 500,00quinhentos reais, a ser quitado em 4 meses, com juros de 10% ao mês, considerando o pagamento a juros simples e a juros compostos.

Meses após o empréstimo	Montante acumulado (juro simples)	Montante acumulado (juros compostos)
1	R$ 550,00	R$ 550,00
2	R$ 600,00	R$ 605,00
3	R$ 650,00	R$ 665,50
4	R$ 700,00	R$ 732,05

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Considerando o exemplo apresentado nessa seção, com o auxílio de uma calculadora,construa uma tabela com a primeira coluna para os 12 meses, a segunda coluna para os juros compostos, a terceira coluna para os juros simples e a quarta coluna para a diferença entre os juros em cada período. A diferença também aumenta cada vez mais?

2 Carlos fez um empréstimo de R$ 1.000,00mil reais a uma taxa de juros compostos de 20% ao mês. Podemos dizer que após 4 meses a dívida de Carlos duplicou?

3 Um empréstimo de R$ 1.000,00mil reais foi realizado para ser quitado após um mês, à taxa mensal de juro de 5%. No dia do pagamento, no entanto, o cliente pediu mais um mês para quitar toda a dívida; para isso, seria aplicada uma taxa mensal de juro de 6% sobre o valor atual da dívida. Nessas condições, como você calcularia o total a ser quitado após o segundo mês? Qual é esse valor?

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4 Em determinado dia, uma loja ofereceu um desconto de 25% sobre qualquer um de seus produtos, podendo pagar à vista ou em até 60 dias com uma taxa mensal de juro composto de 8%. Nessas condições, responda:

a) Qual é a taxa percentual que deve ser aplicada ao preço original do produto se ele for quitado em 60 dias?

b) Ao quitar o produto após 60 dias, o cliente teve desconto ou acréscimo em relação ao valor original do produto? Percentualmente, quanto foi esse desconto ou acréscimo?

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 (saréspi) Após corrigir as provas de 30 estudantes da mesma classe de 8º ano, a professora de Matemática anotou, em ordem crescente, as notas a eles atribuídas.

1,0 – 2,0 – 2,5 – 3,0 – 3,0 – 4,0 – 4,0 – 4,0 – 4,0 – 5,0

5,0 – 5,0 – 5,5 – 5,5 – 6,0 – 6,0 – 6,0 – 6,0 – 6,0 – 6,5

6,5 – 7,0 – 7,5 – 7,5 – 7,5 – 8,0 – 8,0 – 8,5 – 9,0 – 9,0

Se a professora sortear uma dessas 30 provas, a probabilidade de que a nota a ela atribuída seja maior do que 6,5 é:

\frac{3}{30}

\frac{9}{30}

\frac{18}{30}

\frac{24}{30}

2 Considerando as notas do exercício 1, obtenha:

a) a moda;

b) a mediana;

c) a média aritmética.

3 Colete entre você e mais sete colegas os seguintes dados: massa (em quilograma), idade (em mês) e altura (em centímetro). Em seguida, obtenha de cada um desses conjuntos de dados:

a) o rol;

b) a moda;

c) a mediana;

d) a média aritmética;

e) o desvio médio absoluto.

4 Considerando o exercício 3, em qual das variáveis (idade, massa e altura) o conjunto de dados é mais regular? Em qual é menos regular? Justifique.

5 (enêm) Ao iniciar suas atividades, um ascensorista registra tanto o número de pessoas que entram quanto o número de pessoas que saem do elevador em cada um dos andares do edifício onde ele trabalha. O quadro apresenta os registros do ascensorista durante a primeira subida do térreo, de onde partem ele e mais três pessoas, ao quinto andar do edifício.

Número de pessoas	Térreo	1º andar	2º andar	3º andar	4º andar	5º andar
que entram no elevador	4	4	1	2	2	2
que saem do elevador	0	3	1	2	0	6

Com base no quadro, qual é a moda do número de pessoas no elevador durante a subida do térreo ao quinto andar?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 O quadro a seguir apresenta a idade dos 10 professores de uma escola. Qual é a idade média desses professores?

Ilustração. Quadro com duas linhas e em cada linha possui cinco números. Primeira linha: 23, 25, 25, 28 e 31 Segunda linha: 24, 32, 32, 27 e 23

a) 21,3

b) 27,1

c) 27

d) 26,8

2 Qual é a moda das velocidades medidas por um radar em um intervalo de 10 segundos, apresentadas no quadro a seguir?

Ilustração. Quadro com duas linhas e em cada linha possui cinco números. Primeira linha: 61, 60, 59, 59 e 58 Segunda linha: 58, 62, 58, 57 e 56

a) 58

b) 59

c) 62

d) 56

3 Qual é a mediana dos valores do quadro a seguir?

Ilustração. Quadro com duas linhas e em cada linha possui cinco números. Primeira linha: 23, 72, 72, 49 e 84 Segunda linha: 271, 650, 47, 48 e 74

a) 73

b) 72

c) 74

d) 60,5

4 Uma turma do 9º ano tem 20 estudantes. Destes, 15 têm 15 anos, 3 têm 16 e 2 têm 14 anos. Qual é o desvio médio dessas idades?

a) 0,295

b) 0,305

c) 0,275

d) 0,285

5 Os entrevistados de uma pesquisa deveriam votar com números de 1 a 3, em que 1 é insatisfeito, 2, satisfeito e 3, muito satisfeito. O resultado está no quadro:

Nota	Total de entrevistados
1	239
2	132
3	132

Qual é a mediana dessas notas?

a) 1

b) 1,5

c) 2

d) 2,5

6 Analisando o gráfico de vendas a seguir, qual é a peça de roupa mais vendida por essa loja? Qual dos conceitos – moda, mediana, média aritmética – ela representa?

Gráfico com pictograma. Título: Quantidade de peças de roupa vendidas. O eixo x, indica o produto. O eixo y indica a quantidade de vendas. Os dados são: quatro calças, cinco camisetas, três bermudas e três pares de meia.

Anotações do gerente da loja.

a) Calça, moda.

b) Bermuda, mediana.

c) Camiseta, moda.

d) Par de meias, média aritmética.

7 Qual é a probabilidade de uma pessoa tirar o mesmo número em dois lançamentos simultâneos de um dado cúbico não viciado?

a) 1

\frac{1}{6}

\frac{1}{36}

\frac{1}{12}

8 Percentualmente, ao lançar uma moeda duas vezes, qual a probabilidade de nas duas ela cair com a mesma face voltada para cima?

a) 50%

b) 25%

c) 33,3%

d) 75%

9 Considere o conjunto das alternativas das respostas que você deu nas questões anteriores desta seção Verificando. A moda é:

a) a.

b) b.

c) c.

d) d.

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) Quais são as medidas de tendência central e de dispersão estudadas?

b) Em que casos do cotidiano é importante sabermos o cálculo de juro?

c) Em qual caso – juro simples ou juro composto – o juro aumenta mais rapidamente em um mesmo período e com a mesma taxa?

Glossário

Mentor: : que ou quem tem experiência e auxilia um aprendiz; guia, conselheiro.; Voltar para o texto

Blefar: : fazer crer no que não é verdade; enganar, ludibriar.; Voltar para o texto