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Na ilha de Samos, na Grécia, há um monumento de bronze construído em homenagem a ­Pitágoras, filósofo a quem se atribuem inúmeras contribuições à Matemática. No monumento edificado de modo a lembrar um triângulo retângulo, a escultura de Pitágoras compõe um dos catetos.

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1. Um pouco de História

Pitágoras é um matemático cuja história está bastante envolvida de algum misticismo e, por isso, pouco se sabe com certeza sobre ele. Pitágoras teria nascido na ilha de Samos por volta do ano 570 a.C.antes de Cristo, cercacêrca de cinquenta anos depois do nascimento de Tales de Mileto.

Filho de um rico comerciante, teria viajado pelo Egito, pela ­Babilônia e talvez tenha chegado até a Índia. Ao voltar para a Grécia, fixou-se em sua terra natal, mas, descontente com as arbitrariedades do governo de Samos, controlado pelo tirano Polícrates, mudou-se para a colônia grega Crotona, situada na Itália. Lá, fundou a escola pitagórica.

Nessa escola, havia aulas de Religião, Filosofia, Política, Música, Astronomia e Matemática. Os estudantes eram organizados em duas categorias: os dos três primeiros anos eram chamados de ouvintes, e os dos anos seguintes, de matemáticos, pois somente a estes eram revelados os segredos da Matemática.

O lema da escola era “Tudo é número”. Nela, procuravam explicar com números tudo o que existe na natureza.

Os pitagóricos tinham o conhecimento como única aspi­ração e formaram uma sociedade secreta cujo emblema era um pentágono estrelado — ou pentagrama.

Os estudos dos pitagóricos trouxeram grandes contribuições para a Matemática, principalmente para a Geometria. Entre essas contribuições, a de maior sucesso foi, sem dúvida, o conhecido teorema de Pitágoras.

Mesmo depois da morte de seu fundador, por volta de 490 a.C.antes de Cristo, a sociedade dos pitagóricos continuou a existir por pelo menos mais dois séculos.

2. Teorema de Pitágoras

Neste capítulo, vamos estudar várias relações entre as medidas de comprimento dos elementos de um triângulo retângulo. Por isso, convém recordar a nomenclatura a ser usada.

Elementos de um triângulo retângulo

Já sabemos que um triângulo ABCá bê cê é denominado triângulo retângulo em Aa quando o ângulo reto tem vértice Aa.

Chamamos catetos os lados perpendiculares entre si que formam o ângulo reto em um triângulo retângulo. E o lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa.

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Nesse triângulo, destacamos as medidas:

Em relação aos ângulos, sabemos que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°graus. Assim, nos triângulos retângulos, a soma das medidas dos dois ângulos agudos de cada triângulo é 90°graus, ou seja, eles são complementares.

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Desenhe no caderno um triângulo retângulo cujos catetos meçam 8,4 cmcentímetros e 11,2 cmcentímetros.

a) Obtenha, com o auxílio de uma régua, a medida aproximada da hipotenusa dessedêsse triângulo.

b) Verifique se o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

2 Usando régua e compasso, construa no caderno triângulos cujos lados meçam:

• 2 cmcentímetros, 4 cmcentímetros e 5 cmcentímetros;

• 3 cmcentímetros, 3,5 cmcentímetros e 4 cmcentímetros;

• 4,2 cmcentímetros, 5,6 cmcentímetros e 7 cmcentímetros.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca.)

a) Classifique os triângulos construídos de acordo com as medidas dos ângulos internos.

b) Para cada triângulo, estabeleça uma relação entre o quadrado da medida do maior lado e a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, utilizando os símbolos >, < ou =.

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Enunciando o teorema de Pitágoras

Considerando como unidade de medida a área de cada quadradinho que compõe os quadrados da figura, notamos que a medida da área do quadrado maior é igual à soma das medidas das áreas dos quadrados menores, ou seja:

25 = 9 + 16

Como 25 = 5²elevado a 2, 9 = 3²elevado a 2 e 16 = 4²elevado a 2, podemos escrever essa igualdade da seguinte maneira:

5²elevado a 2 = 3²elevado a 2 + 4²elevado a 2

Repare que 5, 3 e 4 são as medidas dos lados dos quadrados da figura e, consequentemente, as medidas dos res­pectivos lados do triângulo retângulo ABCá bê cê.

A relação entre os quadrados das medidas dos lados dessedêsse triângulo retângulo é válida para todo triângulo retângulo e é conhecida como teorema de Pitágoras.

Demonstrando o teorema de Pitágoras

Existem mais de trezentas demonstrações do teorema de Pitágoras. Vamos apresentar uma que faz uso da equivalência de medidas de áreas.

Considerando um triângulo retângulo, construímos quadrados sobre a hipotenusa de medida aa e sobre os catetos de medidas b e c, como mostra a figura 1. Nas figuras 2 e 3, construímos quadrados de lados que medem (b + c).

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O quadrado da figura 2 é formado por quatro triângulos retângulos, congruentes ao triângulo da figura 1, e pelo quadrado verde. Assim, a medida da área do quadrado de lado medindo (b + c) é a soma das medidas das áreas dos quatro triângulos com a da área do quadrado verde.

O quadrado da figura 3 é formado por quatro triângulos retângulos, congruentes ao triângulo da figura 1, pelo quadrado azul e pelo quadrado rosa. Então, a medida da área do quadrado de lado de medida (b + c) é a soma das medidas das áreas dos quatro triângulos com as das áreas dos quadrados azul e rosa.

Logo, a medida da área do quadrado verde é a soma da medida da área do quadrado azul com a da área do quadrado rosa, ou seja:

Observe um exemplo de aplicação do teorema de Pitágoras.

Precisamos calcular a medida do comprimento x de uma escada que está apoiada em uma parede, conforme a figura a seguir. Para isso, vamos aplicar o teorema de Pitágoras:

x ²elevado a 2 = (4,8)²elevado a 2 + (3,6)²elevado a 2

x ²elevado a 2 = 23,04 + 12,96

x ²elevado a 2 = 36

x = ±6

Como x é a medida do comprimento da escada, ele deve ser um número positivo. Portanto, o comprimento da escada mede 6 mmétros.

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

3 Calcule o valor de x aplicando o teorema de Pitágoras:

a)

b)

c)

d)

4 Considere os quadrados ABDCá bê dê cê e DEFGdê é éfe gê representados na figura e, em seguida, faça o que se pede.

a) Determine a medida da área do triângulo CDEcê dê é.

b) Calcule a medida da hipotenusa dessedêsse tri­ângulo.

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6 Aplicando o teorema de Pitágoras, determine, se possível, a medida x de cada uma das ­figuras.

a)

b)

c)

d)

7 As diagonais de um losango medem 12 cmcentímetros e 16 cmcentímetros. O ângulo menor dessedêsse losango mede aproximadamente 74°graus.

a) Determine a medida do lado dessedêsse losango.

b) Calcule a medida da área dessedêsse losango.

c) Para responder aos itens anteriores foi necessário usar todas as informações do enunciado? Justifique sua resposta.

8 Em um triângulo isósceles, um lado mede 12 cmcentímetros e cada um dos lados congruentes mede 9 cmcentímetros. Faça um esboço dessedêsse triângulo em seu caderno e calcule a medida da altura relativa ao lado de 12 cmcentímetros dele.

9 Quantos metros de arame são necessários para cercar, com 6 voltas, um terreno em formato de trapézio retângulo cujas bases medem 12 mmétros e 20 mmétros e cujo lado oblíquo mede 10 mmétros?

11 Um bambu foi quebrado pelo vento a uma altura de medida igual a 4,8 mmétros. Ele tombou de modo que sua ponta tocou o chão a 3,6 mmétros de sua base. Considerando que o bambu formou um ângulo reto com o solo, determine a medida da altura dessedêsse bambu.

12 Para reforçar a sustentação de uma placa de propaganda com formato retangular, que mede 2 mmétros de comprimento por 5 mmétros de largura, foram colocadas duas ripas de madeira no sentido das diagonais da placa. Qual é a medida aproximada do comprimento de cada ripa?

13 A figura a seguir representa parte da estrutura de madeira do telhado de uma residência. A base mede 7,2 mmétros e na metade dela é fixada, perpendicularmente, uma haste que mede 1,5 mmétro. Quantos metros de madeira são necessários para construir as outras partes dessa estrutura?

14 Um avião sai da cidade A e vai até a cidade B, que está à medida de distância de 300 ­km. Depois, decola em direção à cidade C, a 400 ­km. Se o avião fosse em linha reta da cidade Aa para a C, que distância percorreria?

Página 179

Pense mais um pouco...reticências

PARA SABER MAIS

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Agora é com você!

3. Aplicações do teorema de Pitágoras

Relacionando as medidas da diagonal e do lado de um quadrado

Considere o quadrado ABCDa bê cê dê, com lado medindo 𝓁 e diagonal d.

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABCá bê cê, temos:

(AC)²elevado a 2 = (AB)²elevado a 2 + (BC)²elevado a 2

d ²elevado a 2 = 𝓁 ²elevado a 2 + 𝓁 ²elevado a 2

d ²elevado a 2 = 2𝓁 ²elevado a 2

Acompanhe alguns exemplos.

Página 181

Usando régua e compasso, podemos seguir estes passos:

• por Aa, traçamos a reta s, perpendicular a r ;

• com abertura do compasso igual a u, traçamos três arcos: com centro em Aa, obtemos o ponto C em s; com centro em B e, depois, em C, obtemos o ponto D ;

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-secasêca.)

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

16 Considere que o lado de um quadrado ABCDa bê cê dê mede 15 cmcentímetros.

a) Determine a medida de sua diagonal.

b) Calcule a medida da área do quadrado cujo lado tem a mesma medida da diagonal do quadrado ABCDa bê cê dê.

17 Calcule a medida da área do quadrado AMNCá ême êne cê, no qual B é ponto médio de uma de suas diagonais.

19 Qual é a medida da diagonal do cubo a seguir, destacada em vermelho?

Página 182

Pense mais um pouco...reticências

Relacionando as medidas da altura e do lado de um triângulo equilátero

Considere o triângulo equilátero ABCá bê cê, com lados medindo 𝓁 e altura h.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo HCAagá cê á, temos:

(AH)²elevado a 2 + (HC)²elevado a 2 = (AC)²elevado a 2

Acompanhe os exemplos a seguir.

a) Vamos calcular a medida da altura de um triângulo equilátero cujo perímetro mede 18 cmcentímetros. Se P = 18 cmcentímetros, então 𝓁 = 6 cmcentímetros.

Logo, o lado dessedêsse triângulo mede 12 cmcentímetros.

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

20 O lado de um triângulo equilátero mede 3 cmcentímetros. Calcule a medida da altura dessedêsse triângulo.

Página 183

22 Com um barbante que mede 48 cmcentímetros, contorna-se exatamente a figura de um triângulo equilátero. Qual é a medida da altura dessedêsse triângulo?

23 O lado de um triângulo equilátero tem a mesma medida da diagonal de um quadrado de lado medindo 25 cmcentímetros. Calcule a medida da altura dessedêsse triângulo.

24 Na figura a seguir, o raio de cada circunferência mede 1,5 cmcentímetro.

Determine a medida da área do triângulo ABCá bê cê.

Pense mais um pouco...reticências

4. Relações métricas em um triângulo retângulo

Além do teorema de Pitágoras, há outras relações métricas no triângulo retângulo. Porém, antes de estudá-las, vamos conhecer alguns conceitos para entender melhor os termos que serão usados.

Projeções ortogonais

Considere uma reta r e um ponto P externo a ela.

Vamos traçar por P a reta s, perpendicular à reta r. No cruzamento das retas r e s obtemos o ponto Ppê ', que é chamado projeção ortogonal de P sobre r.

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Também podemos projetar ortogonalmente um ponto ou um segmento sobre um segmento.

Observe os exemplos.

a)

b)

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

25 Observe as figuras. Depois, classifique cada sentença em verdadeira ou falsa.

a) P é a projeção ortogonal do ponto P pê' sobre a reta r.

c) N ' é a projeção ortogonal do ponto N sobre a reta s.

a)

b)

Relações métricas

Observe o triângulo ABCá bê cê com hipotenusa de medida aa e catetos de medidas b e c.

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Considerando os triângulos retângulos ABCá bê cê, HBAagá bê á e HACagá á cê, por meio da semelhança de triângulos, podemos estabelecer relações entre as medidas de seus lados.

1ª relação

Considere o triângulo ABCá bê cê da figura. Traçando a altura relativa à hipotenusa, obtemos alguns pares de triângulos semelhantes.

1. Comparando os triângulos ABCá bê cê e HBAagá bê á, temos:

Logo, pelo caso AAângulo ângulo, os triângulos ABCá bê cê e HBAagá bê á são semelhantes; portanto, os lados dessesdêsses triângulos são proporcionais. Então, podemos escrever a proporção:

2. Comparando os triângulos ABCá bê cê e HACagá á cê, temos:

Do mesmo modo, pelo caso AAângulo ângulo, os triângulos ABCá bê cê e HACagá á cê são semelhantes. Portanto:

2ª relação

Comparando os triângulos ABHá bê agá e CAHcê á agá, temos:

Logo, pelo caso AAângulo ângulo, os triângulos ABHá bê agá e CAHcê á agá são semelhantes. Portanto:

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3ª relação

Comparando os triângulos ABCá bê cê e HACagá á cê, temos:

Logo, pelo caso AAângulo ângulo, os triângulos ABCá bê cê e HACagá á cê são semelhantes. Portanto:

Outra demonstração do teorema de Pitágoras

Dado um triângulo retângulo ABCá bê cê, vamos provar que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Hipótese: △ABCá bê cê é um triângulo retângulo em Aa.

Tese: b ²elevado a 2 + c ²elevado a 2 = a ²elevado a 2

• Demonstração Como o quadrado da medida de cada cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção ortogonal dessedêsse cateto sobre ela, temos:

    b ²elevado a 2 = am e c ²elevado a 2 = an

Adicionando membro a membro essas duas igualdades, temos:

Dessedêsse modo, também provamos o teorema de Pitágoras.

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

27 Considere a figura e responda às questões.

a) Qual é a medida do perímetro do △ODMó dê ême ?

b) Considere um quadrado de lado de medida ODó dê. Qual é a medida da área dessedêsse ­quadrado?

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28 Aplicando as relações métricas dos triângulos retângulos, calcule o valor de x.

a)

b)

c)

29 Calcule as medidas h, n, m e b do triângulo retângulo a seguir.

30 As projeções dos catetos de um triângulo retân­gulo sobre a hipotenusa medem 1,8 cmcentímetro e 3,2 cmcentímetros. Determine a medida dos catetos dessedêsse triângulo.

31 (Uniforunifór-CECeará) Na figura a seguir, tem-se um retângulo cujos lados medem 8 cmcentímetros e 6 cmcentímetros. Os pontos M, N, P e Q são pontos médios dos lados.

O perímetro do quadrilátero MNPQême êne pê quê é:

a) 20 cmcentímetros.

b) 24 cmcentímetros.

c) 32 cmcentímetros.

d) 36 cmcentímetros.

e) 52 cmcentímetros.

32 Aplique os casos de semelhança entre triângulos para provar que:

a) p 2 = rx

b) x 2 = ab

33 (UFPEú éfe pê é) Quanto mede, em cmcentímetro, a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 15 cmcentímetros e 20 cmcentímetros?

34 A medida da área do triângulo retângulo RSTérre ésse tê é 36 cm²centímetros quadrados. Determine o produto da medida da hipo­tenusa pela medida da altura referente à ­hipotenusa.

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TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

A representação de um relevo

O estudo topográfico de uma região consiste na descrição exata e pormenorizada de um terreno com todos os seus acidentes geográficos. Com base em estudos topográficos, são construídos os chamados perfis topográficos, como o do conjunto Pão de Açúcar e morro da Urca, no Rio de Janeiro (RJRio de Janeiro), na figura Vcinco.

Para entender como esses perfis são construídos, imagine os morros sendo cortados por planos horizontais paralelos ao nível do mar em altitudes de medidas 50 mmétros, 100 mmétros, 150 mmétros, ...reticências, 350 mmétros. Agora imagine linhas conectando todos os pontos sobre a superfície dos morros pertencentes aos planos de mesma altitude. Essas linhas imaginárias, como as linhas brancas nas figuras Ium e IIdois, são chamadas de curvas de nível.

Na figura IIdois, note que as curvas de nível aparecem vistas de cima.

A figura IIItrês é um desenho do contorno da fotografia aérea da figura IIdois, identificando as curvas de nível e suas altitudes correspondentes, em metro.

Para construir o perfil topográfico dessa região, traçamos uma semirreta de origem Aa, que passa pelo cume dos morros, e as perpendiculares a ela, pelos pontos de intersecção com as curvas de nível (figura IVquatro). As perpendiculares são prolongadas para obter a figura Vcinco, que representa o perfil topográfico do Pão de Açúcar e do morro da Urca.

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Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Analise o perfil topográfico da figura Vcinco e dê a medida da altitude aproximada do Pão de Açúcar e do morro da Urca.

2 (Sarespsaréspi) A figura indica seis rádios e o desenho de suas vistas superior e lateral.

A tabela correta que relaciona cada rádio com suas vistas é:

a)

b)

c)

d)

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5. O teorema de Pitágoras no plano cartesiano

O técnico de um time de futebol é muito exigente nos treinos de cobrança de escanteio. Ele quer saber a medida exata da distância entre o ponto de esquina do campo de onde se cobra o escanteio e o ponto da marca do pênalti, lugar onde se posiciona um atacante para cabecear a bola ao gol. Sabendo que a marca do pênalti fica a 11 mmétros da linha de fundo e a 34 mmétros da linha lateral do campo, vamos ajudar o técnico a calcular a medida da distância pretendida.

Vamos imaginar a figura do campo em um plano cartesiano com a origem na esquina de escanteio (ponto Eê), com o eixo vertical sobre a linha de fundo e o eixo horizontal sobre a linha lateral.

Observe, na ilustração, que o técnico quer calcular a medida da distância de Eê a P, e também que ELé éle = 11 e LP = 34.

No triângulo retângulo ELPé éle pê, com catetos medindo 11 e 34, aplicamos o teorema de Pitágoras:

(EP)²elevado a 2 = (EL)²elevado a 2 + (LP)²elevado a 2

(EP)²elevado a 2 = (11)²elevado a 2 + (34)²elevado a 2

Portanto, a distância de Eê a P mede, aproximadamente, 35,74 metros.

Note que, no plano cartesiano, temos Eê = (0, 0) e P = (11, 34), e que a medida ELé éle é dada pela diferença das abscissas:

ELé éle = 11 ‒ 0 = 11

Note também que a medida LP é dada pela diferença das ordenadas:

LP = 34 ‒ 0 = 34

Página 191

Assim, o cálculo anterior fica:

EP ≃ 35,74

Agora, vamos explorar outras dis­tâncias no campo de futebol colocado no plano cartesiano.

Observe na figura os pontos P = (11, 34), Q = (52,5; 68), C = (52,5; 34) e E' = (105, 68).

1. Para determinar a medida da distância entre os pontos Eê e E', podemos:

2. Para calcular a distância entre os pontos C e E ', podemos:

3. Quando os pontos estão em um segmento horizontal:

4. Quando os pontos estão em um segmento vertical:

Página 192

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

37 Considere a ilustração do campo de futebol da página 191 e, usando as coordenadas dos pontos na figura, calcule a medida da distância entre os seguintes pontos:

a) Eê e T;

b) Eê e Q;

c) P e C;

d) C e T;

e) C e Q.

38 Represente em um plano cartesiano o losango de vértices Aa(0, 0), B(6, 2), C(8, 8) e D(2, 6). ­Depois, ­calcule:

a) as medidas das diagonais dessedêsse losango;

b) a medida dos lados dessedêsse losango.

39 Dados os pontos destacados no plano cartesiano e sabendo que Aa = (3, 2), calcule a medida da distância entre cinco pares desses pontos.

Página 193

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Dois ciclistas, Aa e B, partem de um ponto O e movem-se perpendicularmente um em direção ao outro, à medida de velocidades de 16 metros por segundo e 12 metros por segundo, respectivamente. Que medida de distância os separará após 10 segundos?

2 Uma balsa está fazendo a travessia de veículos e transeuntes, pois a ponte sobre o rio foi interditada. Ela parte do ponto Aa, que, por segurança, fica a 50 metros da ponte, e chega ao ponto B.

a) Quantos metros a balsa percorre nessa ­travessia?

b) Se a balsa demorar 5 minutos para fazer a travessia, qual será a medida da velocidade média em quilômetro por hora?

3 Determine o valor de y na figura.

a) a medida da base maior;

b) a medida do lado oblíquo;

c) a medida do perímetro dessedêsse trapézio;

d) a medida da área dessedêsse trapézio.

5 A figura representa a vista frontal de uma pilha de latas de leite em pó deitadas. Deter­mine a medida da altura da pilha, sabendo que o raio de cada lata mede 4,5 cmcentímetros.

6 Em um triângulo isósceles, cada lado con­gruente mede 15 cmcentímetros. Determine a medida da área dessedêsse triângulo, sabendo que sua base mede 24 cmcentímetros.

7 É possível colocar um lápis de 18 cmcentímetros em um estojo retangular de 12 cmcentímetros por 15 cmcentímetros? Justifique sua resposta.

8 Observe a figura e faça o que se pede.

a) Determine as medidas CD, ECê cê e AEA Ê.

b) Determine as medidas de área dos △ACEá cê ê e △BCD.

c) Calcule a medida da área do quadrilátero ABDEá bê dê é.

9 Um losango tem 60 cmcentímetros de perímetro. Sabendo que a diagonal maior dessedêsse losango mede 26 cmcentímetros, calcule a medida da diagonal menor.

10 As dimensões de um retângulo são expressas por x + 1 e x ‒ 2. Sabendo que a medida da área é 18 cm²centímetros quadrados, determine a medida da diagonal dessedêsse ­retângulo.

11 (FuvestFuvésti-SPSão Paulo) Um trapézio retângulo tem bases ­5 e 2 e altura 4. O perímetro dessedêsse trapézio é:

a)  13.

b)  14.

c)  15.

d)  16.

e)  17.

Página 194

Se m = BD, n = DC e L = 25 ⋅ m ⋅ n, então L é igual a:

a)  100.

b)  121.

c)  169.

d)  144.

e)  225.

13 Qual é medida da área da figura a seguir?

14 (UELuél-PRParaná) As medidas, em centímetro, dos três lados de um triângulo retângulo são expressas por (x ‒ 2), x e (x + 2). A medida, em centí­metro, da hipotenusa dessedêsse triângulo é:

a)  5.

b)  8.

c)  10.

d)  12.

e)  14.

15 A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cmcentímetros, e um dos segmentos determinados por essa altura sobre a hipotenusa mede 9 cmcentímetros. Calcule a medida dos catetos desse triângulo.

17 A figura mostra o esquema do roteiro de uma prova de ciclismo.

A sequência do percurso é:

O ponto P está a 80 metros do ponto D. Quantos quilômetros tem esse percurso?

18 (FEI-SPSão Paulo) Se em um triângulo os lados medem 9, 12 e 15 cmcentímetros, então a altura relativa ao maior lado mede:

a) 8,0 cmcentímetros.

b) 7,2 cmcentímetros.

c) 6,0 cmcentímetros.

d) 5,6 cmcentímetros.

e) 4,3 cmcentímetros.

19 (FEI-SPSão Paulo) Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa mede 12 cmcentímetros e a diferença entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é 7 cmcentímetros. A hipotenusa desse triângulo mede:

a) 10 cmcentímetros.

b) 15 cmcentímetros.

c) 20 cmcentímetros.

d) 25 cmcentímetros.

e) 30 cmcentímetros.

20 (Ulbraulbra-RSRio Grande do Sul) A área do triângulo a seguir mede 6 mmétros². O valor do perímetro desse triângulo é:

a) 6 mmétros.

b) 9 mmétros.

c) 10 mmétros.

d) 12 mmétros.

e) 20 mmétros.

21 (UFPEú éfe pê é) Um barco navegou 10 kmquilômetros para o oeste, depois 5 kmquilômetros para o sul, depois 13 kmquilômetros para o leste e finalmente 9 kmquilômetros para o norte. Onde o barco parou relativamente ao ponto de partida?

a) 5 kmquilômetros ao norte

b) 3 kmquilômetros a sudeste

c) 4 kmquilômetros ao sul

d) 3 kmquilômetros a sudoeste

e) 5 kmquilômetros a nordeste

22 (UFPRú éfe pê érre) Uma corda de 3,9 mmétros de comprimento conecta um ponto na base de um bloco de madeira a uma polia localizada no alto de uma elevação, conforme o esquema a seguir. Observe que o ponto mais alto dessa polia está 1,5 mmétro acima do plano em que esse bloco desliza. Caso a corda seja puxada 1,4 mmétro, na direção indicada, a distância x que o bloco deslizará será de:

a) 1,0 mmétro.

b) 1,3 mmétro.

c) 1,6 mmétro.

d) 1,9 mmétro.

e) 2,1 mmétros.

Página 195

VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Se uma escada de 5 metros for apoiada em uma parede, com distância da base à parede medindo 3 metros, a que medida de altura a escada deve ser apoiada na parede?

a) 3 metros

b) 4 metros

c) 5 metros

d) 6 metros

2 O teorema de Pitágoras enuncia que:

a) um triângulo retângulo tem dois catetos e uma hipotenusa.

b) a soma da medida dos catetos ao quadrado é igual à da medida da hipotenusa.

c) a soma da medida dos catetos é sempre menor que a da medida da hipotenusa.

d) a soma dos quadrados das medidas dos ­catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.

3 Entre as alternativas a seguir, dadas em metro, quais medidas correspondem às medidas dos catetos do triângulo ilustrado?

a) 15 mmétros e 15 mmétros

b) 10 mmétros e 20 mmétros

c) 18 mmétros e 24 mmétros

d) 6 mmétros e 29 mmétros

4 Com base nas informações da figura, qual é a medida da hipotenusa do triângulo?

a) 5 mmétros

b) 7 mmétros

c) 12 mmétros

d) 25 mmétros

5 Sem utilizar o teorema de Pitágoras, calcule o valor de x.

a) 36 mmétros

b) 24 mmétros

c) 12 mmétros

d) 6 mmétros

6 Qual é a medida do comprimento da diagonal de um retângulo de lados medindo 8 mmétros e 6 mmétros?

a) 6 mmétros

b) 8 mmétros

d) 10 mmétros

7 Qual é a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado medindo 10 cmcentímetros?

c) 10 cmcentímetros

d) 5 cmcentímetros

8 Qual é a medida da área de um quadrado que tem o lado de mesma medida que a da diagonal de um quadrado de lado de medida 5 mmétros?

a) 25 m²métros quadrados

b) 50 m²métros quadrados

c) 125 m²métros quadrados

d) 12,5 m²métros quadrados

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) Quais são os elementos principais de um triângulo retângulo?

b) Como o teorema de Pitágoras relaciona esses elementos?

c) O que são os triângulos pitagóricos?

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DIVERSIFICANDO

Uma “quase” circunferência!

Aninha ficou admirada quando a professora de Arte disse que, naquela aula, com paciên­cia, os estudantes fariam uma “quase” circunferência usando triângulos retângulos.

A professora pediu a eles que, primeiramente, desenhassem no caderno, com régua e esquadro, um quadrado de 12 cmcentímetros de medida de lado. Na sequência, eles deveriam:

• em cada lado do quadrado, marcar pontos de 0,5 cmcentímetro em 0,5 cmcentímetro, a partir do vértice;

• construir 8 triângulos retângulos com catetos nos lados do quadrado, sendo um cateto medindo 0,5 cmcentímetro e o outro, 6 cmcentímetros;

• construir grupos de 8 triângulos retângulos com catetos nos lados do quadrado, sendo que, em cada um, a soma das medidas dos catetos seja sempre igual a 6,5 cmcentímetros.

Observe como Aninha começou o desenho no caderno dela.

Agora é com você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Em um papel quadriculado, para facilitar, desenhe um quadrado cujos lados tenham 24 quadradinhos e siga as indicações da professora de Aninha para obter uma “quase” circunferência. O que poderia ser feito para obter uma figura mais próxima de uma circunferência?