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CAPÍTULO 9 Razões trigonométricas nos triângulos retângulos

Fotografia. Vista do alto de teleférico entre montanhas com vegetação em um ambiente enevoado. Na parte inferior, destaque com outra fotografia, com vista do alto para uma cabine vermelha e em segundo plano, uma estrada de terra em formato sinuoso com vegetação cobrindo o resto do terreno. — O maior teleférico de montanhas altas do mundo fica na montanha Tianmen, localizada no Parque Florestal Nacional de Zhangjiajie, na China. (Fotografia de 2018.)

Observe, leia e responda no caderno.

a) Na região em que você mora, há algum teleférico? Mesmo que não haja, você conhece algum teleférico brasileiro? Sabe qual é a inclinação de seus cabos?

b) E você conhece algum parque com tirolesa? Pesquise essa prática esportiva originária da região do Tirol, na Áustria. Escolha uma tirolesa que achar mais interessante e informe qual é a inclinação dessa tirolesa.

c) Observe escadas fixas (na sua escola ou residência). Os degraus têm altura de mesma medida e piso de mesma medida? A inclinação deve ser igual em todos os degraus?

Durante os 30 minutos do passeio, os passageiros dentro das cabines suspensas percorrem 7 quilômetros entre nuvens e paredões das montanhas e se elevam, com inclinações que medem até 37graus, à altitude que mede .1279 métros.

Nesse percurso, é possível observar a chamada Estrada do Céu (Tongtian Highway) serpenteando a montanha com seus 11 quilômetros e 99 curvas.

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1. Primeiras razões trigonométricas

A figura a seguir mostra o esquema de uma represa. A ponte, representada pelo segmento

\overline{A B}

, pode ser medida com uma trena de maneira que

m (\overline{A B})

= 164 métros.

•

Observando o esquema indicado na figura, como poderíamos determinar a medida BC na realidade? E a medida á cê ?

Ilustração. Vista superior de um lago com formato ovalado, com grama e arbustos em volta. Do lado esquerdo, não é possível visualizar a margem, estando para fora do enquadramento; há uma ponte de madeira, indicada por AB, medindo 164 metros. Há um triângulo ABC indicado, sendo que C é um ponto da margem direita, formando em A, um ângulo de medida 75 graus e em B, um ângulo reto.

Já o ângulo

B \hat{A} C

pode ser medido diretamente usando um teodolito (instrumento de precisão usado para medir ângulos horizontais e verticais):

m (B \hat{A} C)

= 75graus.

Existem, contudo, muitas situações em que não é possível medir diretamente um ângulo ou a distância entre dois pontos. Um exemplo é a medida da distância entre os pontos a (localizado em um extremo da ponte) e C (localizado na margem oposta da represa) da figura anterior.

Procurando resolver problemas dessa natureza, os matemáticos estabeleceram importantes relações entre as medidas dos ângulos e as medidas dos lados de um triângulo. A área da Matemática que estuda essas relações é chamada de Trigonometria.

A palavra trigonometria, de origem grega, significa “medida de triângulos”. Embora não tenhamos informações precisas sobre a origem dos estudos trigonométricos, há registros de sua aplicação por babilônios e antigos egípcios, especialmente na Agrimensura e na Astronomia.

Sabe-se que a Trigonometria era usada, por exemplo, para determinar medidas de distâncias que não podiam ser realizadas com instrumentos, como aquelas entre os planetas. Para tais cálculos, eram aplicadas relações entre as medidas dos lados e as medidas dos ângulos de um triângulo.

Neste capítulo, estudaremos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.

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Seno de um ângulo agudo

Considere a figura a seguir.

Ilustração. Triângulo OEF com ângulo alfa em O e ângulo reto em E. Dentro do triângulo estão dois segmentos perpendiculares à OE: AB e CD.

Os triângulos retângulos ó á bê, ó cê dê e ó é éfe são semelhantes pelo caso ângulo ângulo, pois têm em comum o ângulo de medida α (também chamado de ângulo α) e um ângulo reto.

Como os triângulos ó á bê e ó cê dê são semelhantes e os lados correspondentes são proporcionais, podemos escrever:

Proporção. Fração; numerador OA, denominador OC. É igual à: Fração; numerador OB, denominador OD. É igual à: Fração; numerador AB, denominador CD. Destaque para proporção entre a segunda e a terceira razões indicadas.

Os triângulos ó á bê e ó é éfe são semelhantes; portanto, as medidas dos lados correspondentes são proporcionais:

Proporção. Fração; numerador OA, denominador OE. É igual à: Fração; numerador OB, denominador OF. É igual à: Fração; numerador AB, denominador EF. Destaque para proporção entre a segunda e a terceira razões indicadas.

Observe as duas proporções que foram destacadas:

\frac{O B}{O D} = \frac{A B}{C D}

\frac{O B}{O F} = \frac{A B}{E F}

Da propriedade fundamental das proporções, podemos escrever:

\frac{C D}{O D} = \frac{A B}{O B}

\frac{E F}{O F} = \frac{A B}{O B}

Assim, obtemos:

\frac{A B}{O B} = \frac{C D}{O D} = \frac{E F}{O F}

\frac{m e d i d a d o c a t e t o o p o s t o a α}{m e d i d a d a h i p o t e n u s a}

Há infinitos outros triângulos retângulos que têm como ângulo interno o ângulo α e que, por isso, também são semelhantes aos triângulos ó á bê, ó cê dê e ó é éfe.

Para todos esses triângulos retângulos, a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo α e a medida da hipotenusa, em uma mesma unidade, é constante. Chamamos essa razão constante de seno do ângulo α e a indicamos por sen α.

Seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Considerando qualquer um desses triângulos:

sen α = \frac{medida do cateto oposto a α}{medida da hipotenusa}

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Acompanhe um exemplo.

No triângulo MNP, vamos calcular o seno do ângulo interno

\hat{P}

, que mede 25graus.

Ilustração. Triângulo MNP com ângulo P medindo 25 graus, e ângulo N reto. Medidas dos lados: MP: 7,1 centímetros e MN: 3 centímetros.

sen 25° = \frac{medida do cateto oposto a \hat{P}}{medida da hipotenusa}

sen 25 ° = \frac{3}{7, 1}

seno de 25graus ≃ 0,42

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Construa um triângulo retângulo com um dos ângulos internos medindo 30graus. Com uma régua, determine as medidas aproximadas, em milímetro, do cateto oposto ao ângulo de 30graus e da hipotenusa.

a) Qual é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo de 30graus e a medida da hipotenusa dêsse triângulo?

b) Indique o valor do seno de 30graus.

2 Construa um triângulo á bê cê, retângulo em

\hat{B},

em que

m (\hat{C})

= 40graus e á cê = 10 centímetros. Com uma régua obtenha, em milímetro, a medida aproximada do cateto

\overline{A B}

Qual é o valor, aproximado com uma casa decimal, do seno de 40graus?

3 O valor do seno de um ângulo varia de acordo com as medidas dos lados do triângulo ou de acordo com a medida do ângulo?

Cosseno e tangente de um ângulo agudo

Considere novamente os triângulos retângulos ó á bê, ó cê dê e ó é éfe.

Como já observamos, esses triângulos são semelhantes.

De modo análogo ao que fizemos para a razão seno, dessa semelhança, obtemos:

\frac{O A}{O B} = \frac{O C}{O D} = \frac{O E}{O F}

\frac{m e d i d a d o c a t e t o a d j a c e n t e a α}{m e d i d a d a h i p o t e n u s a}

Chamamos essa razão constante de cosseno do ângulo α e a indicamos por cos α.

Cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Para qualquer um desses triângulos:

cos α = \frac{medida do cateto adjacente a α}{medida da hipotenusa}

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Da mesma semelhança, também obtemos:

\frac{A B}{O A} = \frac{C D}{O C} = \frac{E F}{O E} = \frac{m e d i d a d o c a t e t o o p o s t o a α}{m e d i d a d o c a t e t o a d j a c e n t e a α}

Chamamos essa razão constante de tangente do ângulo α e a indicamos por tg α.

Tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

Considerando qualquer dos triângulos da figura anterior, obtemos:

tg α = \frac{medida do cateto oposto a α}{medida do cateto adjacente a α}

Acompanhe alguns exemplos.

a) No triângulo érre ésse tê, vamos calcular o cosseno do ângulo interno

\hat{R}

, que mede 42graus.

Ilustração. Triângulo RST, com ângulo reto em S e ângulo medindo 42 graus em R. Medidas dos lados: RS, 3 vírgula 8 centímetros; RT, 5 vírgula 1 centímetros.

cosseno de 42graus =

\frac{m e d i d a d o c a t e t o a d j a c e n t e a \hat{R}}{m e d i d a d a h i p o t e n u s a}

cos 42° = \frac{3,8}{5,1}

cosseno de 42graus ≃ 0,74

b) Vamos calcular a tangente do ângulo interno

\hat{B}

do triângulo á bê cê.

Ilustração. Triângulo ABC, com ângulo reto em C. Medidas dos lados: BC: raiz quadrada de 45. Medida AB: 9.

Inicialmente, aplicamos o teorema de Pitágoras para calcular a medida do segmento á cê :

(AC )elevado a 2 + (BC )elevado a 2 = (AB )elevado a 2

(AC )elevado a 2 +

{(\sqrt{45})}^{2}

= 9elevado a 2

(AC )elevado a 2 + 45 = 81

(AC )elevado a 2 = 36

AC = 6

tg \hat{B} = \frac{medida do cateto oposto a \hat{B}}{medida do cateto adjacente a \hat{B}}

t g \hat{B} = \frac{6}{\sqrt{45}} = \frac{6 \sqrt{45}}{45} = \frac{6 \cdot 3 \sqrt{5}}{45} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}

Portanto:

tg \hat{B} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}

Observações

▶ O seno e o cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo são números reais positivos menores que 1.

▶ A tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é um número real positivo.

▶ Outras razões trigonométricas serão estudadas no Ensino Médio.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

4 Construa um triângulo retângulo com um dos ângulos internos medindo 45graus. Com uma régua, determine as medidas aproximadas, em centímetro, dos catetos e da hipotenusa.

a) Qual é o valor aproximado da razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo de 45grause a medida da hipotenusa dêsse triângulo?

b) Qual é o valor aproximado de cosseno de 45graus?

c) Qual é o valor da razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo de 45graus e a medida do cateto adjacente ao ângulo de 45graus?

d) Qual é o valor de tangente de 45graus?

Considere o triângulo retângulo a seguir e, usando uma calculadora, obtenha, com aproximação de duas casas decimais:

Ilustração. Triângulo ABC. Em C, Ângulo de 90 graus. Medidas dos lados: AC: 4; BC: 7,5.

a) medida de

\overline{A B}

;

b) cosseno de

\hat{B}

;

c) tangente de

\hat{B}

;

d) cosseno de

\hat{A}

;

e) tangente de

\hat{A}

6 Um brinquedo tem uma rampa medindo 64 centímetros de comprimento, por meio da qual se desloca um carrinho. A parte mais alta da rampa está a 12 centímetros da horizontal que passa pela parte mais baixa.

a) Faça uma figura representando essa situação.

b) Calcule o seno do ângulo que a rampa fórma com a horizontal.

7 Considere um papel retangular de medidas 15,6 centímetros de comprimento por 7,2 centímetros de largura. Traça-se uma das diagonais dêsse retângulo. Qual é a tangente do ângulo que a diagonal fórma com o lado maior do papel? E a tangente do ângulo que a diagonal fórma com o lado menor?

8 Justifique a afirmação: “O seno e o cosseno de um ângulo agudo são números reais positivos menores que 1”.

9 No triângulo retângulo MQR, determine:

Ilustração. Triângulo MQR, com ângulo reto em Q.

a) as medidas aproximadas dos lados (use uma régua);

b) as medidas dos ângulos agudos (use um transferidor);

c) seno de

\hat{M}

;

d) cosseno de

\hat{M}

;

e) tangente de

\hat{M}

10 Desenhe um triângulo retângulo ABC de modo que

m (\hat{B})

= 36graus. Determine, com duas casas decimais, o valor aproximado de cada razão.

a) seno de

\hat{B}

b) cosseno de

\hat{B}

c) tangente de

\hat{B}

11 A tampa retangular de uma caixa de madeira mede 32 centímetros de comprimento por 24 centímetros de largura. Entre dois cantos diagonalmente opostos da tampa, prende-se um fio esticado. Qual é o cosseno do ângulo

\hat{A}

que o fio fórma com o lado maior da tampa?

12 Considerando o triângulo MNP, determine, com duas casas decimais, o que se pede a seguir.

Ilustração. Triângulo MNP, com ângulo reto em P. As medidas dos lados são: MN: raiz quadrada de 13; MP: 2; NP: 3.

a) seno de

\hat{M}

b) cosseno de

\hat{N}

c) tangente de

\hat{M}

d) cosseno de

\hat{M}

e) tangente de

\hat{N}

f ) seno de

\hat{N}

13 (Etec-São Paulo) O acesso a um edifício é feito por uma escada de dois degraus, sendo que cada um mede 16 centímetros de altura. Para atender a portadores de necessidades especiais, foi construída uma rampa.

Respeitando a legislação em vigor, a rampa deve formar, com o solo, um ângulo de 6graus, conforme mostrado na figura.

Dados:

• seno de 6graus = 0,10

• cosseno de 6graus = 0,99

Ilustração. Esquema com a vista lateral de dois degraus. Segmento que representa a rampa construída, da quina do degrau superior até a altura do chão no térreo, com medida C e forma ângulo medindo 6 graus com o chão.

A medida c do comprimento da rampa é, em metro, igual a:

a) 1,8.

b) 2,0.

c) 2,4.

d) 2,9.

e) 3,2.

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Reúna-se com três colegas e façam o que se pede.

a) Cada um constrói um triângulo á bê cê, retângulo em a, e passa ao colega, que medirá os seus lados e ângulos.

b) Com base nas medidas obtidas no item a, calculem o valor de cada uma das expressões:

• seno de

\hat{B}

‒ cosseno de

\hat{C}

• seno de

\hat{C}

‒ cosseno de

\hat{B}

• tangente de

\hat{B}

· tangente de

\hat{C}

•

\frac{sen \hat{B}}{cos \hat{B}} ‒ tg \hat{B}

•

\frac{sen \hat{C}}{cos \hat{C}} ‒ tg \hat{C}

c) Analisem os valores obtidos em cada expressão do item b e respondam às questões:

• O que ocorre com o seno de um ângulo e com o cosseno do seu complementar?

• O que ocorre com as tangentes de um ângulo e de seu complementar?

• O que ocorre com a razão entre o seno e o cosseno de um ângulo agudo e com a tangente dêsse ângulo?

Hora de criar – Troque com um colega um problema, criado individualmente por vocês, sobre seno, cosseno ou tangente. O problema pode se referir à necessidade de obter a medida de certa altura ou profundidade cuja situação seja representada por um triângulo retângulo. Forneça dados tais como a medida do ângulo sob o qual a altura/profundidade seja vista, e/ou a medida do afastamento (cateto) e/ou a medida da hipotenusa do triângulo. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

2. Quadro de razões trigonométricas

As razões trigonométricas são aplicadas na resolução de uma grande variedade de problemas. Para facilitar, reproduzimos mais adiante um quadro dos valores aproximados do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos de 1grau a 89graus.

Atribui-se ao astrônomo grego Hiparco de Niceia (180 a 125 antes de Cristo) o estabelecimento das bases da Trigonometria, e deve-se a ele a construção dos primeiros quadros de razões trigonométricas.

Mais tarde, Cláudio Ptolomeu (85 a 165 Depois de Cristo), astrônomo, matemático e geógrafo grego, ampliou o trabalho de Hiparco com sua obra Sintaxe matemática, na qual apresenta um trabalho sobre Trigonometria.

Os árabes traduziram os treze livros que compunham a obra de Ptolomeu e a intitularam Almagesto, que em árabe significa “o maior”.

Atualmente, muitas calculadoras fornecem os valores das razões trigonométricas.

Acompanhe como calculamos o seno, o cosseno e a tangente do ângulo de 45graus usando uma calculadora científica como a da fotografia a seguir:

• seno de 45graus:

• cosseno de 45graus:

• tangente de 45graus:

Fotografia. Calculadora científica, retangular de cor clara com visor na parte superior, teclas de funções abaixo e na parte inferior, teclado numérico. No visor da calculadora, o número: 0.707106781 — Muitas calculadoras científicas são importadas. Nelas, a tecla

Muitas calculadoras científicas são importadas. Nelas, a tecla

representa o seno, a tecla

representa o cosseno, e a tecla

, a tangente.

Ilustração. Homem branco de cabelo ruivo e camisa vermelha fala: Em outras calculadoras, a sequência de teclas a serem pressionadas pode ser diferente.

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QUADRO DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Ângulo	Seno	Cosseno	Tangente
1°	0,0175	0,9998	0,0175
2°	0,0349	0,9994	0,0349
3°	0,0523	0,9986	0,0524
4°	0,0698	0,9976	0,0699
5°	0,0872	0,9962	0,0875
6°	0,1045	0,9945	0,1051
7°	0,1219	0,9925	0,1228
8°	0,1392	0,9903	0,1405
9°	0,1564	0,9877	0,1584
10°	0,1736	0,9848	0,1763
11°	0,1908	0,9816	0,1944
12°	0,2079	0,9781	0,2126
13°	0,2250	0,9744	0,2309
14°	0,2419	0,9703	0,2493
15°	0,2588	0,9659	0,2679
16°	0,2756	0,9613	0,2867
17°	0,2924	0,9563	0,3057
18°	0,3090	0,9511	0,3249
19°	0,3256	0,9455	0,3443
20°	0,3420	0,9397	0,3640
21°	0,3584	0,9336	0,3839
22°	0,3746	0,9272	0,4040
23°	0,3907	0,9205	0,4245
24°	0,4067	0,9135	0,4452
25°	0,4226	0,9063	0,4663
26°	0,4384	0,8988	0,4877
27°	0,4540	0,8910	0,5095
28°	0,4695	0,8829	0,5317
29°	0,4848	0,8746	0,5543
30°	0,5000	0,8660	0,5774
31°	0,5150	0,8572	0,6009
32°	0,5299	0,8480	0,6249
33°	0,5446	0,8387	0,6494
34°	0,5592	0,8290	0,6745
35°	0,5736	0,8192	0,7002
36°	0,5878	0,8090	0,7265
37°	0,6018	0,7986	0,7536
38°	0,6157	0,7880	0,7813
39°	0,6293	0,7771	0,8098
40°	0,6428	0,7660	0,8391
41°	0,6561	0,7547	0,8693
42°	0,6691	0,7431	0,9004
43°	0,6820	0,7314	0,9325
44°	0,6947	0,7193	0,9657
45°	0,7071	0,7071	1,0000
46°	0,7193	0,6947	1,0355
47°	0,7314	0,6820	1,0724
48°	0,7431	0,6691	1,1106
49°	0,7547	0,6561	1,1504
50°	0,7660	0,6428	1,1918
51°	0,7771	0,6293	1,2349
52°	0,7880	0,6157	1,2799
53°	0,7986	0,6018	1,3270
54°	0,8090	0,5878	1,3764
55°	0,8192	0,5736	1,4281
56°	0,8290	0,5592	1,4826
57°	0,8387	0,5446	1,5399
58°	0,8480	0,5299	1,6003
59°	0,8572	0,5150	1,6643
60°	0,8660	0,5000	1,7321
61°	0,8746	0,4848	1,8040
62°	0,8829	0,4695	1,8807
63°	0,8910	0,4540	1,9626
64°	0,8988	0,4384	2,0503
65°	0,9063	0,4226	2,1445
66°	0,9135	0,4067	2,2460
67°	0,9205	0,3907	2,3559
68°	0,9272	0,3746	2,4751
69°	0,9336	0,3584	2,6051
70°	0,9397	0,3420	2,7475
71°	0,9455	0,3256	2,9042
72°	0,9511	0,3090	3,0777
73°	0,9563	0,2924	3,2709
74°	0,9613	0,2756	3,4874
75°	0,9659	0,2588	3,7321
76°	0,9703	0,2419	4,0108
77°	0,9744	0,2250	4,3315
78°	0,9781	0,2079	4,7046
79°	0,9816	0,1908	5,1446
80°	0,9848	0,1736	5,6713
81°	0,9877	0,1564	6,3138
82°	0,9903	0,1392	7,1154
83°	0,9925	0,1219	8,1443
84°	0,9945	0,1045	9,5144
85°	0,9962	0,0872	11,4301
86°	0,9976	0,0698	14,3007
87°	0,9986	0,0523	19,0811
88°	0,9994	0,0349	28,6363
89°	0,9998	0,0175	57,2900

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Observe alguns exemplos de utilização do quadro de razões trigonométricas. É importante lembrar que os valores dêsse quadro são aproximações para as razões trigonométricas.

a) Vamos procurar no quadro o seno de 35graus e a tangente de 35graus.

Ângulo	Seno	Cosseno	Tangente
34°	0,5592	0,8290	0,6745
35°	0,5736	0,8192	0,7002
36°	0,5878	0,8090	0,7265

Na coluna ângulo, procuramos 35graus.

Na coluna seno e na linha 35graus, encontramos 0,5736 e, na coluna tangente e na linha 35graus, encontramos 0,7002.

Portanto, seno de 35graus = 0,5736 e tangente de 35graus = 0,7002.

b) Vamos procurar no quadro a medida do ângulo que tem cosseno 0,4695.

Ângulo	Seno	Cosseno	Tangente
61°	0,8746	0,4848	1,8040
62°	0,8829	0,4695	1,8807
63°	0,8910	0,4540	1,9626

Na coluna cosseno, procuramos o número 0,4695.

Na coluna ângulo e na linha cujo cosseno é igual a 0,4695, encontramos 62graus.

Portanto, cosseno de 62graus = 0,4695.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

16 Consulte o quadro de razões trigonométricas para encontrar o valor indicado em cada item.

a) seno de 54graus

b) cosseno de 36graus

c) tangente de 12graus

d) seno de 56graus

e) cosseno de 75graus

f) tangente de 89graus

17 Em cada item, determine x utilizando o quadro de razões trigonométricas.

a) seno de x = 0,4695

b) cosseno de x = 0,7771

c) tangente de x = 0,2867

d) seno de x = 0,9135

e) cosseno de x = 0,1908

f ) tangente de x = 9,5144

Pense mais um poucoreticências

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Consultando o quadro de razões trigonométricas e sem usar transferidor, determine em cada caso a medida aproximada do ângulo

\hat{A}

Ilustração. Triângulo ABC. Em B, ângulo reto. Medidas dos lados: AC: 6,5 centímetros; AB: 5 centímetros.

Ilustração. Triângulo ABC, com ângulo reto em B. Medidas dos lados: AB: 4 centímetros; BC: 16 terços centímetros.

Ilustração. Triângulo ABC. Em C, ângulo reto. Medidas dos lados: AB: 4,3 centímetros; BC: 3,8 centímetros.

2 Determine, consultando o quadro de razões trigonométricas e sem usar transferidor, as medidas aproximadas, em grau, dos ângulos

A \hat{B} C, B \hat{M} C

B \hat{C} M

Ilustração. Malha quadriculada com 5 linhas e 6 colunas, com ponto C no canto superior direito, B no canto inferior esquerdo e A no inferior direito. Entre B e A, ponto médio M. Indicados em verde os segmentos que formam o triângulo ABC e o segmento CM.

Página 206

PARA SABER MAIS

Ângulos da cidade maravilhosa

Na abertura do capítulo, pudemos observar o maior teleférico do mundo, que fica na montanha Tianmen, na China.

No Brasil, o trajeto do bondinho do Pão de Açúcar, no Rio de Janeiro, tem duas etapas. Na primeira etapa, da subida da praia Vermelha para o morro da Urca, a extensão do cabo mede 575 metros e eleva-se da altitude próxima de 0 até 220 metros. Com esses dados, podemos obter a medida aproximada α do ângulo que o cabo fórma com a horizontal. Observe o esquema.

lustração. Triângulo retângulo, com ângulo alfa entre um cateto e a hipotenusa. A medida do cateto oposto à alfa é 220 metros e a medida da hipotenusa é 575 metros.

Fotografia. Destaque do alto de bondinho do teleférico com ângulo alfa entre os cabos e a vista lateral do bondinho. Ao fundo, sol entre morros. Abaixo, cidade do Rio de Janeiro. — Bondinho do teleférico no Rio de Janeiro (Rio de Janeiro). (Fotografia de 2017.)

Calculando o seno de α, obtemos:

sen α = \frac{220}{575} ≃ 0, 38

Consultando o quadro de razões trigonométricas, encontramos α ≃ 22graus.

Agora é com você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Na segunda etapa do trajeto, do morro da Urca ao morro Pão de Açúcar, com extensão que mede 750 métros, o bondinho eleva-se a uma altitude que mede 396 métros. Calcule a medida aproximada β do ângulo de inclinação do cabo do teleférico dessa etapa. Lembre-se de descontar a altitude do morro da Urca.

3. Resolução de problemas que envolvem triângulos retângulos

Observe algumas situações envolvendo triângulos retângulos em que podemos aplicar as razões trigonométricas estudadas.

Situação 1

Uma pessoa observa o ponto mais alto de uma árvore sob um ângulo de 20graus em relação à horizontal, conforme a situação representada na figura. Vamos calcular a medida da altura dessa árvore.

Ilustração. Pessoa observando uma árvore semelhante a um pinheiro. À direita está a árvore, com altura medindo x. À esquerda, pessoa em pé com altura de 1,80 metros até seus olhos. Estão traçados dois segmentos partindo dos olhos da pessoa: um até o topo da árvore, e outro até a base dela. O ângulo formado por esses segmentos é 20 graus, indicando que ela observa a árvore em um ângulo de 20 graus. A distância da pessoa até o pinheiro é 30 metros.

Do triângulo retângulo representado na figura, obtemos:

• a medida do cateto adjacente ao ângulo de 20graus: 30 métros;

• a medida do cateto oposto ao ângulo de 20graus: x.

Página 207

Como conhecemos a medida do cateto adjacente e queremos determinar a medida do cateto oposto ao ângulo de 20graus, vamos aplicar a razão trigonométrica definida por esses dois lados do triângulo, isto é, a tangente. Usando o valor aproximado com duas casas decimais, obtemos tangente de 20graus = 0,36.

tg 20° = \frac{x}{30}

0, 36 = \frac{x}{30}

x = 10,8

Para determinar a medida da altura da árvore, precisamos adicionar a altura dos olhos da pessoa que a observa, que é 1,80 métro: x + 1,80 = 10,8 + 1,80 = 12,60.

Portanto, a medida da altura dessa árvore é 12,60 métros.

Situação 2

Os bombeiros são chamados para tirar um gato de cima de uma árvore. Eles apoiam na árvore uma escada, formando com o chão um ângulo de 68graus, cuja base dista 1,4 métro do tronco. Qual é a medida do comprimento aproximado dessa escada?

Ilustração. À direita, árvore com um gato no topo. À esquerda, escada encostada na árvore com medida x. ângulo da escada com o solo: 68 graus. Distância da escada até a árvore: 1,40 metros.

Do triângulo retângulo da figura, obtemos:

• a medida da distância da base da escada ao tronco (cateto adjacente ao ângulo de 68graus): 1,4 métro;

• a medida do comprimento da escada (hipotenusa): x.

Como conhecemos a medida do cateto adjacente e queremos determinar a medida da hipotenusa, vamos aplicar a razão trigonométrica definida por esses dois lados do triângulo, isto é, o cosseno. Usando o valor aproximado com duas casas decimais, obtemos cos 68graus = 0,37.

cos 68° = \frac{1, 4}{x}

0, 37 = \frac{1, 4}{x}

x = \frac{1, 4}{0, 37} ≃ 3, 8

O comprimento da escada mede aproximadamente 3,8 metros.

• Se uma escada fosse apoiada à distância de 1,4 métro de uma árvore e, assim, formasse um ângulo de 60graus com o solo, o comprimento dessa escada seria maior ou menor do que 3,8 métros?

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

18 Retome o esquema da represa (apresentado na página 198) e calcule a medida da distância aproximada do ponto A ao ponto C.

19 Usando valores das razões trigonométricas com duas casas decimais, calcule o valor aproximado de x no triângulo retângulo á bê cê a seguir.

Ilustração. Triângulo ABC, com um ângulo de 90 graus em B. Em C, ângulo 35 graus. Medidas dos lados: AC: x; BC: 75 centímetros.

Página 208

20 Para determinar a medida aproximada da largura de um rio, André mediu com um teodolito o ângulo indicado na figura a seguir.

Ilustração. Rio largo com duas margens paralelas, André observa no teodolito para determinar sua largura, através de um triângulo ilustrado em preto. Na margem próxima, são dois os pontos de interesse: o ponto de medição de André, com ângulo 55 graus, e outro ponto a 20 metros. Na margem oposta, o terceiro ponto do triângulo é aquele que permite formar ângulo reto no ponto a 20 metros de André. Portanto, ficam indicadas as medidas dos catetos: 20 metros e l metros, e as medidas dos ângulos: reto no encontro dos catetos e 55 graus entre a hipotenusa e o cateto medindo 20 metros.

Qual é a medida aproximada, em metro, da largura do rio?

21 Para o losango a bê cê dê, determine:

a) a medida aproximada da diagonal maior;

b) a medida aproximada da diagonal menor;

c) a medida aproximada da área do losango.

Ilustração. Losango ABCD com as diagonais AC e BD indicadas. Cada lado mede 2,5 centímetro. No vértice B, o ângulo formado entre a diagonal e o lado mede 20 graus.

22 Considere o triângulo retângulo á bê cê e faça o que se pede.

Ilustração. Triângulo ABC com ângulo reto em C. Em A, ângulo medindo 35 graus. Medida de AB: 12,6 centímetros.

a) Qual é a medida do ângulo

\hat{B}

b) Calcule a medida aproximada do cateto

\overline{B C} .

c) Determine a medida aproximada da área dêsse triângulo.

23 Um observador vê o ponto mais alto de uma torre sob um ângulo de 28°, conforme a figura a seguir. Calcule a medida aproximada da altura dessa torre.

Ilustração. Vista lateral de uma pessoa de camiseta vermelha que observa uma torre de castelo, formada por blocos de pedra branca. À direita, a construção. À esquerda, homem em pé. A distância horizontal do homem até a torre mede 40 metros, enquanto a altura do homem é 1,60 metros. Traçados dois segmentos partindo do olho do observador, um até o topo da torre e um até a base dela. Esses segmentos formam um ângulo de 28 graus.

24 Observando a representação a seguir, calcule quanto mede, aproximadamente, o trecho da avenida das Constelações entre a rua do Brilho e a rua das Estrelas.

Ilustração. Vista superior do triângulo formado por três ruas. Rua horizontal, no topo da imagem: Avenida das Constelações. Perpendicular a ela, rua vertical à esquerda: Rua das Estrelas, medindo 70 metros. Na diagonal, formando a hipotenusa, Rua do Brilho, que forma ângulo de medida 35 graus com a Avenida das Constelações.

25 Um gavião, a 700 métros de altura, avista uma presa no chão; faz uma descida de 17graus em relação à horizontal e consegue capturá-la. Quanto o gavião percorreu para capturar essa presa?

Ilustração. Vista lateral do ataque de um gavião. À direita, gavião na altura de 700 metros. Segmento de medida x até um ponto no solo à esquerda, formando ângulo de 17 graus. Reta tracejada horizontal na altura do gavião, paralela ao solo, formando ângulo de medida 17 graus com o segmento de medida x.

Reúna-se com um colega e façam o que se pede.

a) Cada um escolhe cinco medidas de 1grau a 89grauspara que o outro calcule, usando o quadro de razões trigonométricas e uma calculadora, a soma dos quadrados do seno e do cosseno de cada uma das medidas escolhidas.

b) Arredondando os resultados obtidos no item anterior, qual é o valor do quadrado do seno de um ângulo mais o quadrado do cosseno do mesmo ângulo?

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Pense mais um poucoreticências

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Considerando que a figura á bê cê dê é é um pentágono regular e H é o ponto médio da diagonal

\overline{A C},

calcule:

Ilustração. Pentágono ABCDE, indicado também segmento AC e um segmento perpendicular à ele, de B até AC no ponto H. Medida de AB: 10 centímetros.

m (A \hat{B} C)

m (A \hat{B} H);

b) as medidas aproximadas de

\overline{A H},

\overline{A C}

\overline{A D} .

Ilustração. Jovem negro de cabelo curto castanho, camiseta amarela e calça, segura um caderno com o desenho de um pentágono.

2 No início do capítulo 8 aprendemos que o emblema da sociedade secreta formada pelos pitagóricos era um pentagrama.

a) No pentágono regular á bê cê dê é, podemos perceber que suas diagonais formam o pentagrama. Sendo A bê = 10 centímetros, calcule a razão

\frac{A C}{A B}

Ilustração. Pentágono ABCDE. Dentro, uma estrela de 5 pontas formada pelos segmentos AC, CE, EB, BD e DA. Os pontos de encontro das diagonais são A linha, B linha, C linha, D linha e E linha.

b) Tendo por base o pentágono á bê cê dê é do item a, também podemos obter o pentagrama, se prolongarmos os seus lados.

Considerando o pentagrama da figura 1, calcule:

• AJ

• JE

•

\frac{J E}{A J}

c) Na figura 1, podemos traçar

\overline{F G},

\overline{G H},

\overline{H I}

\overline{I J}

\overline{J F}

e obter um novo pentágono regular.

Dessa maneira, calcule: JF, JH e

\frac{J H}{J F}

d) Copie a figura 1 e siga estes passos:

• trace o pentágono éfe gê agá í jota ;

• prolongue os lados do pentágono éfe gê agá í jota para obter um pentagrama;

• trace as diagonais do pentágono A’B ’C ’D ’E’ para obter um pentagrama.

Reúna-se com um colega e façam o que se pede. As razões

\frac{A C}{A B}, \frac{J E}{A J} e \frac{J H}{J F}

são iguais a um mesmo número irracional, conhecido como número de ouro, do qual vocês já obtiveram um valor aproximado. Pesquisem informações a respeito dêsse número e façam um resumo de sua pesquisa.

Página 210

PARA SABER MAIS

O teodolito

Instrumento de medição de ângulos, o teodolito é usado geralmente por agrimensoresglossário e construtores para calcular medidas de grandes distâncias ou de alturas inacessíveis. Para efetuar as medições com esse instrumento, o profissional utiliza-se do conceito de tangente de um ângulo agudo.

Fotografia. Destaque para um homem negro de capacete cinza e macacão laranja. Ele olha através de um teodolito, instrumento retangular sobre tripé. Ao fundo, construção e solo de terra. — Medição de ângulos feita com teodolito em uma obra, Fortaleza (Ceará). (Fotografia de 2013.)

Vamos aprender a construir um teodolito?

• Construção de um teodolito “caseiro”

Material

• papelão grosso (10 centímetros por 15 centímetros);

• barbante (medindo cêrca de 20 centímetros);

• um canudo de papel;

• um peso (moeda ou argola de metal);

• imagem (cópia xerográfica) de um transferidor de 180graus;

• fita adesiva;

• cola.

Como construir

• Com a fita adesiva, prenda o canudo em uma das bordas de 15 centímetros do papelão.

• Cole a imagem do transferidor logo abaixo do canudo.

• Prenda o peso em uma das extremidades do barbante.

• Com cuidado, faça um pequeno furo, transpassando o papelão bem no encontro da linha de fé do transferidor (linha 0grau/180graus) com a linha perpendicular que marca 90graus.

• Passe por esse furo a outra extremidade do barbante, deixando o restante no mesmo lado em que está a imagem do transferidor e dê um nó bem firme.

Como fazer a medição

Agora, vamos experimentar o instrumento para cálculos de medida de grandes alturas. Para isso, necessitamos de uma trena (ou de uma fita métrica ou de um metro articulado).

• Afaste-se de um poste de iluminação, meça sua distância (d) até ele e anote (corresponde ao cateto adjacente).

• Olhe pelo orifício do canudo até enxergar o topo do poste (que corresponde ao cateto oposto).

• Segure o barbante com o peso na posição em que ele parou.

Fotografia. Menina branca de cabelo claro, imagem de perfil, segura com uma mão o teodolito caseiro, formado por uma folha com um transferidor de 180 graus no centro. O transferidor está fixado na folha com o lado reto (sua linha de fé) acompanhando a parte de cima da folha, que a menina alinha com a linha de seus olhos, e há uma reta vertical traçada pelo ângulo de 90 graus. Com a outra mão, a menina mantém no lugar um barbante com peso na ponta, que irá se alinhar na vertical pela ação da gravidade. — Adolescente utilizando um teodolito “caseiro”.

Página 211

• Anote a medida do ângulo determinado pelo barbante (na posição horizontal, o ângulo marcado mede 90graus).

• Procure, no quadro de razões trigonométricas, a tangente do seu ângulo de visão, cuja medida é 90graus menos o valor anotado. Essa tangente é a razão entre h e d, em que h é a diferença entre a medida da altura do poste (H ) e a do olho do observador.

Faça os cálculos e determine H, que é a medida da altura do poste. Não se esqueça de que H é igual à medida h adicionada à altura dos olhos do observador.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Paulo usa um teodolito “caseiro” para calcular a medida da altura de uma torre. O ângulo de visão de Paulo ao topo dela é de 45graus, ele está a 3,5 métros dela e seus olhos estão a 1,25 métro do chão. Qual é a altura da torre?

2 Ainda treinando o uso de seu teodolito, Paulo observou o topo de um poste de 7 métros, sob um ângulo de visão de 15graus. Qual é a distância aproximada de Paulo até o poste?

4. Razões trigonométricas dos ângulos de 45graus, 30graus e 60graus

Estudamos que os valores das razões seno, cosseno e tangente podem ser encontrados no quadro de razões trigonométricas ou obtidos com uma calculadora científica.

Mas os valores encontrados dessas duas maneiras não são valores exatos, exceto os valores para seno de 30º, cosseno de 60º e tangente de 45º.

No entanto, os valores exatos das razões seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30graus, 45graus e 60graus são facilmente calculados, como verificaremos a seguir.

Razões trigonométricas do ângulo de 45graus

Considere o quadrado a bê cê dê. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo á bê cê, obtemos:

Ilustração. Quadrado ABCD com medida l em cada lado. Diagonal AC com medida d.

(AB )elevado a 2 + (BC )elevado a 2 = (AC )elevado a 2

𝓁elevado a 2 + 𝓁elevado a 2 = d elevado a 2

𝓁

\sqrt{2}

= d ou d = 𝓁

\sqrt{2}

A diagonal

\overline{A C}

mede 𝓁

\sqrt{2}

Destacando o triângulo ABC, obtemos:

Ilustração. Triângulo ABC com ângulos A e C medindo 45 graus. As medidas dos lados são: AB igual a l; BC igual a l, e AC igual a l raiz quadrada de 2.

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Razões trigonométricas do ângulo de 30graus

Considere agora o triângulo equilátero á bê cê, com lado de medida 𝓁.

Ilustração. Triângulo ABC. Indicada a altura de A até lado BC, no ponto H, altura de medida h. A medida AC é l.

Já sabemos que a altura

\overline{A H}

do triângulo mede

h = \frac{ℓ \sqrt{3}}{2} .

Destacando do triângulo á bê cê o triângulo á agá cê, obtemos:

Ilustração. Triângulo ACH com ângulo 30 graus em A e 90 graus em H. As medidas dos lados são: AC igual a l, CH igual a l sobre 2 e AH igual a fração l raiz quadrada de 3, sobre 2.

Quadro. Na primeira coluna: seno de 30 graus igual a um meio de l, sobre l, então seno de 30 graus igual a l sobre 2, vezes 1 sobre l, então seno de 30 graus igual a 1 meio. Na segunda coluna: cosseno de 30 graus igual a fração com numerador l raiz quadrada de 3 sobre 2 e denominador l, fim da fração, então cosseno de 30 graus igual a l raiz quadrada de 3 sobre 2, vezes 1 sobre l, então cosseno 30 graus igual a raiz quadrada de 3, sobre 2. Na terceira coluna: tangente de 30 graus igual fração com numerador l sobre 2 e denominador l raiz quadrada de 3 sobre 2, fim da fração, então tangente de 30 graus igual a l sobre 2, vezes 2 sobre l raiz quadrada de 3, então tangente de 30 graus igual a raiz quadrada de 3, sobre 3.

Razões trigonométricas do ângulo de 60graus

Destacando novamente o triângulo á agá cê da figura anterior, obtemos:

Ilustração. Triângulo ACH com ângulo 60 graus em C e 90 graus em H. As medidas dos lados são: AC igual a l, CH igual a l sobre 2 e AH igual a fração l raiz quadrada de 3 sobre 2.

Quadro. Na primeira coluna: seno de 60 graus igual a fração com numerador l raiz de 3 sobre 2 e denominador l, fim da fração, então seno de 60 graus igual a l raiz quadrada de 3, sobre 2, vezes 1 sobre l, então seno 60 graus igual a raiz quadrada de 3, sobre 2. Na segunda coluna: cosseno de 60 graus igual a um meio de l, sobre l, então cosseno de 60 graus igual a l sobre 2, vezes 1 sobre l, então cosseno de 60 graus igual a 1 meio. Na terceira coluna: tangente de 60 graus igual fração com numerador l raiz quadrada de 3, sobre 2, e denominador l sobre 2, fim da fração, então tangente de 60 graus igual a l raiz quadrada de 3, sobre 2, vezes 2 sobre l, então tangente de 60 graus igual a raiz quadrada de 3.

Agora, vamos organizar em um quadro todos os valores obtidos:

Ângulo	Seno	Cosseno	Tangente
30°	$divisão de 1 sobre 2$	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 2$	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 3$
$45 elevado a ∘$	$divisão de raiz de 2 fecha raiz sobre 2$	$divisão de raiz de 2 fecha raiz sobre 2$	1
$60 elevado a ∘$	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 2$	$divisão de 1 sobre 2$	$raiz de 3 fecha raiz$

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

27 Usando as razões trigonométricas, calcule o valor de x e de y nos triângulos retângulos.

Ilustração. Triângulo com um ângulos medindo 90 graus e um 30 graus. Usando como referência o ângulo de medida 30, as medidas dos lados: cateto adjacente x, cateto oposto 10 centímetros e hipotenusa y.

Ilustração. Triângulo retângulo com ângulo de 60 graus e medidas dos lados: cateto oposto x, cateto adjacente y e hipotenusa 12 centímetros.

Ilustração. Triângulo retângulo com ângulo x e y. Medidas dos lados: oposto a y: 1 metro; oposto ao reto: 2 metros; oposto ao x: raiz quadrada de 3 metros.

Ilustração. Triângulo retângulo com ângulos x e y. Medidas dos lados: oposto ao x: raiz quadrada de 5 metros; oposto ao reto: raiz quadrada de 10 metros.

28 (ú éfe vê-Minas Gerais) O cosseno do ângulo α, assinalado na figura a seguir, é:

Ilustração. Triângulo retângulo com um ângulo alfa. Medidas dos lados: oposto a alfa: 1 e hipotenusa: 2.

\frac{1}{2}

\frac{2}{\sqrt{3}}

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{3}}{3}

29 O lado não perpendicular às bases de um trapézio retângulo fórma com a base maior um ângulo de 45graus. Considerando que as bases medem 12 centímetros e 9 centímetros, determine:

a) a medida da altura;

b) a medida do lado não perpendicular às bases.

30 Construa um losango em que uma das diagonais meça 12 centímetros e forme com um dos lados um ângulo de 30graus. Determine:

a) a medida da outra diagonal;

b) a medida do lado do losango.

31 Um poste cilíndrico cujo diâmetro da base mede 0,40 métro projeta uma sombra de 5,6 métros no momento em que os raios solares determinam um ângulo de 45graus com a vertical.

a) Quanto mede a altura dêsse poste?

b) Para o cálculo do item a, foi preciso usar a medida 0,40 métro?

32 Uma das alturas de um triângulo equilátero mede

2 \sqrt{3} cm .

Determine a medida do lado dêsse triângulo.

33 Em um trapézio isósceles, os lados não paralelos formam com a base maior ângulos de 60°. Se as bases medem 28 centímetros e 20 centímetros, então:

a) qual é a medida do perímetro do trapézio?

b) qual é a medida da área do trapézio?

34 (uquisal-Bahia) Na figura a seguir, tem-se um trapézio isósceles cujos lados têm as medidas indicadas.

Ilustração. Trapézio com um ângulo alfa na base e medidas dos lados: base maior: 6; base menor: 4; laterais: 2 e 2.

A medida do ângulo assinalado é:

a) 60graus.

b) 45graus.

c) 30graus.

d) 22graus30minutos.

e) 15graus.

35 Um paraquedista salta de um avião que voa a .1500 métros de altura. Devido à velocidade do avião e à ação do vento, o paraquedista faz um percurso aproximado conforme indica o segmento

\overline{P A}

. A que medida de distância do ponto B o paraquedista cai?

Ilustração. Vista lateral do salto de um paraquedista a partir de um avião no ponto P, sendo o segmento AB no solo e AP o segmento que o paraquedista percorre. Traçando o triângulo ABP, é reto em B. Em P, ângulo de 30 graus. A medida BP é 1500 metros.

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TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Ícone do Tema Contemporâneo Transversal: SAÚDE

Ícone do Tema Contemporâneo Transversal: CIDADANIA E CIVISMO.

Ícone do Tema Contemporâneo Transversal: ECONOMIA.

Gráficos com distorção

Pela primeira vez na série histórica, em 2017, o Brasil ficou estagnado (79ª posição) no Índice de Desenvolvimento Humano, com o indicador de 0,754.

O Índice de Desenvolvimento Humano (í dê agá) é uma medida composta de indicadores de três dimensões do desenvolvimento humano: longevidade, educação e renda. Ele varia de 0 a 1; quanto mais próximo de 1, maior o desenvolvimento humano. São quatro classificações: baixo, médio, alto e muito alto.

O Relatório de Desenvolvimento Humano 2016 da ônu (Organização das Nações Unidas) mostra que, em 2015, o Brasil apresentou uma discreta melhora em relação a 2014 em alguns aspectos, como: expectativa de vida (de 74,5 para 74,7 anos) e média de anos de estudo (de 7,7 para 7,8 anos). Porém, o país estagnou na marca de 15,2 anos na expectativa de anos de estudo.

Podemos ler essa situação nos gráficos a seguir. Porém, para essa leitura, observe atentamente estes gráficos.

1. Expectativa de anos de estudo

Gráfico de linha. Título: Expectativa de anos de estudo. Eixo x: estão os anos de 1990 a 2015. Os dados do gráfico são: 1990: 12,2. 1995: 13,3. 2000: 14,3. 2005: 13,8. 2010: 14,0. 2011: 14,2. 2012: 14,2. 2013: 15,2. 2014: 15,2. 2015: 15,2.

2. Expectativa de vida ao nascer

Gráfico de linha. Título: Expectativa de vida ao nascer. Eixo x: estão os anos de 1990 a 2015. Os dados do gráfico são: 1990: 65,3. 1995: 67,6. 2000: 70,1. 2005: 71,9. 2010: 73,3. 2011: 73,6. 2013: 73,9. 2012: 74,2. 2014: 74,5. 2015: 74,7.

3. Média de anos de estudo

Gráfico de linha. Título: Média de anos de estudo. Eixo x: estão os anos de 1990 a 2015. Os dados do gráfico são: 1990: 3,8. 1995: 4,6. 2000: 5,6. 2005: 6,1. 2010: 6,9. 2011: 7,0. 2012: 7,2. 2013: 7,3. 2014: 7,7. 2015: 7,8. — Dados dos gráficos 1, 2 e 3 obtidos em: LABORATÓRIO de Demografia e Estudos Populacionais. Relatório do penúdi destaca grupos sociais que não se beneficiam do desenvolvimento humano. Universidade Federal de Juiz de fóra, Juiz de fóra, 21 março 2017. Disponível em: https://oeds.link/CHTTG0. Acesso em: 4 julho 2022.

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4. Renda Nacional Bruta per cápita (PPS)

Gráfico de linha. Título: Renda Nacional Bruta per capita (PPS). Eixo x: estão os anos de 1990 a 2015. Eixo y: indicação em reais de 10.000 a 15.000. Os dados do gráfico são: Em 1990: 10.746 reais. 2011: 14.580 reais. 2014: 14.858 reais. 2015: 14.145 reais. — Dados obtidos em: LABORATÓRIO de Demografia e Estudos Populacionais. Relatório do penúdi destaca grupos sociais que não se beneficiam do desenvolvimento humano. Universidade Federal de Juiz de fóra, Juiz de fóra, 21 março 2017. Disponível em: https://oeds.link/CHTTG0. Acesso em: 4 julho 2022.

Os quatro gráficos anteriores podem ser resumidos no gráfico a seguir.

Gráfico de linha. Título: Índice de Desenvolvimento Humano (IDH). Eixo x: estão os anos de 1990 a 2015. Eixo y: IDH, no intervalo de 0,600 a 0,800. Os dados do gráfico são: Em 1990: IDH 0,611. 2011: IDH 0,730. 2015: IDH 0,754. — Dados obtidos em: LABORATÓRIO de Demografia e Estudos Populacionais. Relatório do penúdi destaca grupos sociais que não se beneficiam do desenvolvimento humano. Universidade Federal de Juiz de fóra, Juiz de fóra, 21 março 2017. Disponível em: https://oeds.link/CHTTG0. Acesso em: 4 julho 2022.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Em um gráfico de linha que preserva a escala nos eixos, isto é, em que a unidade é uniforme em cada eixo, ao caminhar da esquerda para a direita, a maior inclinação da linha indica maior variação na grandeza do eixo vertical. Identifique, em cada um dos quatro primeiros gráficos, o período em que houve a maior evolução.

2 Refaça os gráficos dados com espaçamentos horizontais iguais para períodos de tempo iguais, por exemplo, 1 centímetro para cada ano. Responda novamente à atividade 1. As suas respostas são as mesmas? Por quê?

3 Em sua opinião, os gráficos de linha divulgados na mídia (jornais, revistas, internet, tê vê etcétera) devem aplicar unidades uniformes nos eixos?

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Construa um triângulo retângulo em que um dos ângulos meça 55graus. Meça os lados dêsse triângulo, em milímetro. Calcule as razões trigonométricas dêsse ângulo, com uma casa decimal. Confira os resultados consultando o quadro de razões trigonométricas ou uma calculadora.

2 Nos triângulos, determine o valor de x :

Ilustração. Triângulo retângulo com um ângulo de 30 graus, medidas dos lados: oposto ao ângulo de 30 graus mede x e a hipotenusa mede 30 centímetros.

Ilustração. Triângulo retângulo com um ângulo de 60 graus, sendo as medidas: do cateto adjacente x e da hipotenusa 15,6 metros.

Ilustração. Triângulo retângulo com ângulo medindo x, e sendo as medidas: o lado oposto ao ângulo x mede 14 raiz quadrada de 3 centímetros e o outro cateto mede 42 centímetros.

3 (Unopar-Paraná) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem a e 3a, respectivamente, então o cosseno do ângulo oposto ao menor lado é:

\frac{\sqrt{10}}{10}

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

\frac{1}{3}

\frac{\sqrt{2}}{3}

2 \sqrt{2}

4 Os ângulos da base de um triângulo isósceles medem 50graus. Calcule a medida aproximada dos lados congruentes, sabendo que a altura em relação à base mede 20 centímetros.

5 A figura a seguir representa um canudinho biodegradável dentro de um copo cuja altura mede 15 centímetros.

Ilustração. Copo cilíndrico com 15 centímetros de medida de altura. Dentro do copo há um canudo, apoiado na diagonal formando ângulo de 60 graus com a base do copo.

Calcule a medida aproximada do comprimento dêsse canudinho, sabendo que 8 centímetros dele estão fóra do copo.

(Dado:

\sqrt{3}

= 1,73.)

6 Uma escada medindo 2,80 métros de comprimento e 0,65 métro de largura está apoiada no topo de um muro, formando com ele um ângulo de 60graus. Qual é a medida da altura do muro?

7 Regina tem um terreno no formato de um trapézio, conforme mostra a figura. Quantos metros quadrados de muro, aproximadamente, serão necessários para cercar esse terreno, se o muro tiver 1,80 métro de altura? Calcule, se possível, a medida do volume dêsse muro.

Ilustração. Trapézio com um ângulo reto entre a base e uma das laterais, ângulo externo na outra lateral com a base menor medindo 60 graus. Medidas dos lados: lateral perpendicular: 9 metros e base maior: 16 metros.

8 (uquisal-Bahia) Na figura a seguir tem-se o triângulo á bê cê, cujos ângulos internos têm as medidas indicadas.

Ilustração. Triângulo ABC com ângulo 30 graus em A, 90 graus em B e 60 graus em C. Entre A e B, ponto M.

Se M é ponto médio de

\overline{A B}

e AC = 10 centímetros, qual é a medida do segmento

\overline{A M}

9 Rosana mediu a largura de um rio fixando um ponto A em uma das margens e um ponto B na margem oposta, de modo que

\overline{A B}

ficasse perpendicular às margens dêsse rio. Do ponto a, caminhou 40 métros perpendicularmente a

\overline{A B}

e marcou um ponto C. Mediu o ângulo

B \hat{C} A,

obtendo 30graus. Assim, ela pôde determinar a medida da largura do rio.

(Dado:

\sqrt{3}

= 1,73.)

a) Determine a medida dessa largura, expressa na fórma

a \sqrt{b}

b) Determine a medida aproximada dessa largura.

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10 De uma folha de cartolina, foi recortado um triângulo isósceles cujo ângulo do vértice mede 120graus. Cada um dos lados congruentes do triângulo mede 40 centímetros. Qual é a medida da área do triângulo recortado?

11 Uma escada rolante une dois andares de uma loja. Sabendo que o comprimento dessa escada mede 10 métros e tem inclinação de 30graus, a medida de sua altura, em metro, fica entre quais números pares consecutivos?

12 (Mackenzie-São Paulo) Na figura,

\overline{A B}

é paralelo a

\overline{C D} .

Ilustração. Segmentos AB e CD paralelos. Em B um segmento forma ângulo de 45 graus e em D, outro segmento forma ângulo alfa. Os dois segmentos se encontram em um ponto formando ângulo de 75 graus.

O valor de seno de α é:

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{1}{2}

d) 1.

e) 0.

13 Dois prédios, A e B, estão situados em um mesmo plano. Da base do prédio A, avista-se o topo do prédio B sob um ângulo de 45graus com a horizontal, e da base do prédio B avista-se o topo do prédio A sob um ângulo de 60graus com a horizontal. Se a medida da distância entre A e B é 34,6 métros, determine as medidas das alturas do prédio A e do prédio B.

14 Considere o triângulo á bê cê da figura.

Sabendo que A bê = 750 métros e á dê = 620 métros, determine a medida DC.

Ilustração. Triângulo ABC com ângulo de 60 graus em B e 90 graus em A. Segmento horizontal tracejado passando por D, um ponto de AC, e paralelo a esse lado.

15 Um paralelogramo tem lados de medida 8 centímetros e 12 centímetros, e um de seus ângulos internos mede 120graus. Calcule a medida da sua área.

Ilustração. Paralelogramo com um ângulo de 120 graus no canto superior esquerdo. Medidas dos lados: 8 centímetros e 12 centímetros.

16 Um avião de acrobacias levanta voo formando um ângulo de 50graus em relação à pista. Calcule a que altura o avião estará do solo após percorrer 3,5 quilômetros em linha reta. (Dado: seno de 50graus = 0,76.)

Ilustração. Visão lateral do avião levantando voo. Triângulo com avião percorrendo a hipotenusa de medida 3,5 quilômetros. O cateto do lado direito de medida x é oposto ao ângulo de 50 graus.

17 (Vunéspi-São Paulo) A figura representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma altura. Se A bê = 2 métros e

B \hat{C} A

mede 30graus, qual é a medida da extensão de cada degrau?

Ilustração. Visão lateral de uma escada com 5 degraus. Triângulo retângulo ABC contém toda a escada, sendo as quinas dos degraus todas pertencentes à hipotenusa. Ângulo medindo 90 graus em B.

18 Qual é a medida da área do triângulo a seguir?

Ilustração. Triângulo com um ângulo de 30 graus. Medidas dos lados adjacentes a esse ângulo: 3 metros, 6 metros.

a) 4 métros quadrados

b) 4,5 métros quadrados

c) 5 métros quadrados

d) 5,5 métros quadrados

19 Um automóvel parte de a e segue, em uma direção que forma com a reta

\overset{\leftrightarrow}{A C}

um ângulo de 30graus, com velocidade média de 50 quilômetros por hora. Após 3 horas de percurso, qual será a medida da distância que o automóvel estará da reta

\overset{\leftrightarrow}{A C}

a) 75 quilômetros

75 \sqrt{3} km

50 \sqrt{3} km

75 \sqrt{2} km

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 O seno de um ângulo pode ser calculado em um triângulo retângulo pela razão, nessa ordem, entre as medidas:

a) do cateto oposto ao ângulo e da hipotenusa.

b) do cateto adjacente ao ângulo e da hipotenusa.

c) do cateto oposto ao ângulo e do cateto adjacente ao ângulo.

d) da hipotenusa e do cateto oposto ao ângulo.

2 Sabendo que, em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 13 centímetros e o cateto adjacente a um ângulo mede 5 centímetros, qual é o valor do seno dêsse ângulo?

\frac{5}{13}

\frac{13}{5}

\frac{5}{12}

\frac{12}{13}

3 A tangente de um ângulo agudo de medida α é uma relação entre as medidas do seno e do cosseno dêsse ângulo. Essa relação é:

\frac{sen α}{cos α}

\frac{cos α}{sen α}

c) seno de α · cosseno de α

d) seno de² α + cosseno de² α

4 Qual é a medida x do cateto adjacente ao ângulo de 38graus?

Ilustração. Triângulo retângulo com um ângulo de 38 graus, sendo as medidas dos lados: cateto adjacente x, hipotenusa 5 centímetros.

a) 6,34 centímetros

b) 3,94 centímetros

c) 0,158 centímetro

d) Não é possível determinar.

5 Qual é, aproximadamente, a medida do ângulo agudo indicado na imagem?

Ilustração. Triângulo retângulo com medidas: cateto adjacente 4 centímetros, hipotenusa 5 centímetros.

a) 53graus

b) 37graus

c) 51graus

d) 45graus

6 Qual é a diferença entre os valores do seno do ângulo de 30graus e do cosseno do ângulo de 60graus?

a) 1

b) 0,5

c) 0,25

d) 0

7 Qual é a medida do ângulo agudo de um triângulo retângulo com hipotenusa medindo 2 centímetros e cateto oposto medindo 1 centímetro?

a) 60graus

b) 45graus

c) 30graus

d) 15graus

8 Qual é o valor da tangente do menor ângulo do triângulo a seguir, formado pela diagonal de um retângulo de lados medindo 10 métros e 5 métros?

Ilustração. Triângulo retângulo com medidas de catetos: 5 centímetros e 10 centímetros.

a) 2

b) 0,3

c) 0,5

d) 0,8

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) Quais são as três razões trigonométricas que você estudou neste capítulo?

b) Qual é o instrumento de precisão usado para medir ângulos horizontais e verticais que você conheceu neste capítulo?

c) Quais são as razões do seno, do cosseno e da tangente dadas pelas medidas á cê e bê cê dos catetos e A bê da hipotenusa de um triângulo retângulo em

\hat{C}

d) Verifique a relação

tg (α) = \frac{sen (α)}{cos (α)}

com os valores do seno, do cosseno e da tangente do ângulo de 30graus.

Glossário

Agrimensor: : profissional legalmente habilitado para medir e demarcar terras ou propriedades rurais.; Voltar para o texto