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CAPÍTULO 11 Circunferência, arcos e relações métricas

Fotografia. Ponte do Diabo composto por pedras em formato de arco sobre um rio. No rio, abaixo da ponte, estrutura com hastes de tamanhos diferentes. Ao redor, vegetação e árvores. — Ponte do Diabo, Parque Kromlau, distrito de Görlitz Gablenzgasse, Alemanha. (Fotografia de 2021.)

Revelada pela lente fotográfica do artista, uma circunferência imaginária, espelhada na água tranquila do lago, pode surgir da simetria do arco da ponte.

Observe a imagem e responda às questões no caderno.

a) Você conhecia ou já tinha ouvido falar dessa ponte? Comente sua resposta.

b) Sabendo que a altura da ponte da fotografia mede 15 métros, o diâmetro da circunferência imaginária que ela fórma, ao ser refletida na água, mede quantos metros?

c) Reúna-se com alguns colegas e pesquisem fotografias de outros lugares, objetos ou obras de arte que contenham formatos que possam ser associados a uma circunferência. Depois, compartilhe com os demais colegas e o professor os resultados que vocês obtiveram.

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1. Circunferência e arcos de circunferência

Em muitas culturas agrícolas é empregado um sistema de irrigação chamado pivô central. Nesse sistema, a água é distribuída de maneira controlada, com economia e eficiência, por meio de uma tubulação que, apoiada em torres sobre rodas, dá voltas completas em torno de um dispositivo central.

Fotografia. Vista do alto de plantação em formato circular com reta no centro de um lado a outro da plantação. — Plantação com sistema de irrigação com pivô central em Bernardino dos Campos, São Paulo. (Fotografia de 2021.)

Fotografia. mulher de chapéu de palha, camisa xadrez e macacão. Ela segura uma enxada e fala: Os desenhos na plantação, feitos pelas torres sobre rodas, dão ideia de circunferência.

Ilustração. Homem de boina, camisa, avental. Ele segura uma aquarela e um pincel e diz: O contorno de algumas figuras utilizadas na obra de arte Círculos em um círculo, de Wassily Kandinsky, também dão ideia de circunferência.

Pintura. Quadro branco com faixa diagonal verde e faixa diagonal laranja que se cruzam. No centro, circunferência com círculos coloridos sobrepostos e linhas finas dentro. — KANDINSKY, W. Círculos em um círculo. 1923. Óleo sobre tela, 98,7 centímetros por 95,6 centímetros.

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Ilustração.
Menina de cabelo castanho e regata rosa fala: Vamos recordar um pouco do que já estudamos sobre circunferências.

Circunferência é a linha formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma medida de distância de um ponto fixo dêsse plano.

Na circunferência a seguir:

• O é o centro;

•

\overline{A B}

é uma corda;

•

\overline{O C}

é um dos raios;

•

\overline{D E}

é um dos diâmetros.

Ilustração. Circunferência. Dentro, corda AB, raio de O até C e diâmetro de E até D passando em O no centro.

Considere dois pontos distintos de uma circunferência. Esses pontos a dividem em duas partes chamadas de arco.

Ilustração. Circunferência. No centro, ponto O. Arco AB destacado na circunferência.

Ilustração. Circunferência. No centro, ponto O. Menor parte do arco AB destacado em tamanho menor na circunferência. Ilustração. Circunferência. No centro, ponto O. Arco AMB destacado na circunferência.

Quando os dois pontos coincidem com os extremos de um diâmetro, cada um dos arcos é chamado de semicircunferência.

Ilustração. Circunferência. No centro, ponto O. Diâmetro AOB.

Medida do comprimento de uma circunferência

Acompanhe a situação a seguir.

Aline é arquiteta e está desenhando a planta de uma quadra poliesportiva.

Ilustração.
Mulher de cabelo vermelho preso, camisa vermelha e calça azul. Ela está sentada em uma mesa com folha de papel com desenho de uma quadra.

Qual deverá ser a medida do comprimento da circunferência central dessa quadra, sabendo que o raio deve medir 1,8 metro?

Já sabemos que a razão entre a medida do comprimento (C ) de uma circunferência e a medida de seu diâmetro (d ) é constante e aproximadamente igual a 3,14. Essa constante é representada pela letra grega π (lemos: “pi”). Ou seja, dada uma circunferência de raio medindo r, verificamos:

Fração. Numerador C, denominador d, igual a pi ou Fração. Numerador C, denominador 2 vezes r, igual a pi ou c igual a 2 pi r

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Na situação anterior, como o raio da circunferência central da quadra mede 1,8 métro, podemos calcular a medida do comprimento dessa circunferência, em metro, da seguinte maneira:

C = 2πr ≃ 2 ⋅ 3,14 ⋅ 1,8

C ≃ 11,3

Portanto, o comprimento da circunferência do círculo central da quadra poliesportiva mede, aproximadamente, 11,3 métros.

Convém lembrar que o número π, que indica a razão entre a medida do comprimento de uma circunferência e a medida do seu diâmetro, é um número irracional, isto é, não pode ser representado na fórma decimal exata nem por uma dízima periódica.

π = 3,141592653reticências

Acompanhe alguns exemplos de aplicação.

Ilustração. Homem de cabelo preto, camiseta amarela e casaco azul. Ele pensa em uma circunferência azul e está sentado de frente para uma mesa escrevendo no caderno.

a) Vamos calcular a medida do comprimento de uma circunferência, cujo diâmetro mede 16 centímetros, considerando π = 3,14.

É dado d = 16 centímetros e sabemos que C = πd.

Assim, obtemos:

C = 3,14 ⋅ 16 = 50,24

Logo, o comprimento da circunferência mede 50,24 centímetros.

b) Vamos calcular a medida do raio de uma circunferência, cujo comprimento mede 37,68 centímetros, considerando π = 3,14.

É dado: C = 37,68 centímetros e sabemos que C = 2πr.

Assim, obtemos:

2πr = 37,68

2 ⋅ 3,14 ⋅ r = 37,68

6,28 ⋅ r = 37,68

r = 6

Logo, a medida do raio da circunferência é 6 centímetros.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Para os exercícios a seguir, adote π = 3,14.

1 Um ciclista deu quinhentas pedaladas completas. O raio da roda da bicicleta dêsse ciclista mede 25 centímetros. Determine quantos metros ele percorreu aproximadamente, supondo que cada pedalada corresponde a uma volta completa da roda da bicicleta.

2 Construa uma circunferência de raio medindo r. Trace dois diâmetros,

\overline{A C}

\overline{B D}

, perpendiculares entre si. Determine a diferença entre as medidas do comprimento da circunferência e do perímetro do quadrado a bê cê dê em função de r. (Use

\sqrt{2}

= 1,41.)

3 Um marceneiro construiu uma porta com as características da figura a seguir.

Ilustração. Porta retangular com parte superior semicircular. A altura da porta da base retangular até o topo é 2,60 metros. E metade da largura é 70 centímetros.

Determine a medida do comprimento do acabamento em madeira destacado em vermelho na figura.

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4 Uma polegada equivale a cêrca de 2,5 centímetros. A medida do diâmetro de um cano é de

\frac{3}{4}

de polegada. A quantos centímetros essa medida equivale, aproximadamente?

5 O diâmetro da roda de uma moto mede 70 centímetros. Se ela der 10 voltas completas por segundo, qual será a velocidade aproximada, em quilômetro por hora, dessa roda?

Ilustração. Homem de cabelo castanho, jaqueta, calça e botas. Ele está em pé segurando um capacete ao lado de uma moto vermelha.

6 O diâmetro de uma praça circular mede 118 métros. Edu e Ari, partindo de um mesmo ponto, correm em torno dela em sentido contrário e param ao se encontrar. Nesse instante, Edu havia percorrido 192,52 métros. Qual dos dois é mais rápido?

7 Em outra praça circular, Teca e Lia fizeram o mesmo que Edu e Ari. Quando elas se encontraram, Teca havia percorrido 180 métros, e Lia, 196,8 métros. Qual é a medida aproximada do raio dessa praça?

8 Uma pista circular de corrida de kart foi construída a partir de duas circunferências concêntricas cujos comprimentos têm medidas .1500 métros e .1200 métros. Determine a medida aproximada da largura dessa pista.

Ilustração. Pista circular com um carro. Seta indica a largura da pista.

9 Lucila traçou uma circunferência de 3 centímetros de raio. Depois traçou outras circunferências, concêntricas à primeira, aumentando a medida do raio de 1 em 1 centímetro. Quantas circunferências ela deverá traçar até encontrar aquela que tenha o triplo da medida do comprimento da primeira?

Ilustração. Circunferência com raio de 3 centímetros. Ao redor, duas circunferências tracejadas com indicação de de que o raio aumenta em 1 centímetro.

Hora de criar – Em dupla, cada um cria um problema sobre medida de comprimento de uma circunferência. Troquem de caderno e, depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

A figura representa uma lata de formato cilíndrico.

Ilustração. Cilindro com circunferência no centro. A medida do raio é 4,2 centímetros e a altura é 12 centímetros.

Calcule, aproximadamente, a medida de comprimento em centímetro de fita adesiva que é necessária para contornar a linha vermelha sobre a lata.

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Arco de circunferência

Ana Paula faz projetos de lustres e luminárias. Ela precisa projetar um lustre com 12 lâmpadas igualmente espaçadas entre si e à mesma distância do centro do lustre. Para isso, ela desenhou um esquema: uma circunferência dividida em 12 arcos de mesma medida angular.

Ilustração. Lustre com 12 lâmpadas curvadas para cima. Ao lado, mulher de cabelo castanho e regata azul.

Ilustração. Circunferência com centro O.
Pontos da circunferência em destaque: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K e L. Ângulo A O B mede 30 graus.

Ana Paula percebeu que a soma de todas as medidas angulares desses arcos é igual à medida angular de uma circunferência (360graus) e, portanto, cada um deles mede 30graus (pois 360graus : 12).

Na circunferência, Ana Paula destacou o arco

\overset{⌢}{A B}

, correspondente ao ângulo central

A \hat{O} B

Ilustração.
Jovem de cabelo castanho curto e camiseta vermelha, fala: Recordando, a medida angular (em grau) de um arco é igual à medida do ângulo central correspondente.

Indicamos a medida angular do arco

\overset{⌢}{A B}

por m(

\overset{⌢}{A B}

) = 30graus.

O arco

\overset{⌢}{A B}

da figura é

\frac{1}{12}

da circunferência, então podemos dizer que a medida do comprimento dêsse arco, na mesma unidade de medida da circunferência, é igual a

\frac{2 π r}{12}

Observe algumas relações que podemos estabelecer entre a medida angular e a medida do comprimento de arcos de uma mesma circunferência.

• Um arco de medida angular de 60graus tem o dobro da medida do comprimento de um arco de 30graus, ou seja,

2 \cdot \frac{2 π r}{12}

Ilustração. Circunferência com centro O.
Há 12 pontos indicados na circunferência sendo 3 deles os pontos A, B e C. Ângulo A O B mede 30 graus. Ângulo B O C mede 30 graus. Ângulo A O C mede 60 graus.

• Um arco de medida angular de 90graus tem o triplo da medida do comprimento de um arco de 30graus, ou seja,

3 \cdot \frac{2 π r}{12}

Ilustração. Circunferência com centro O.
Há 12 pontos indicados na circunferência sendo 4 deles os pontos A, B, C, D. Ângulo A O B mede 30 graus. Ângulo B O C mede 30 graus. Ângulo C O D mede 30 graus. Ângulo A O D mede 90 graus.

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• Um arco de medida angular de 120graus tem o quádruplo da medida do comprimento de um arco de 30graus, ou seja, 4 ⋅

\frac{2 π r}{12}

Ilustração. Circunferência com centro O.
Há 12 pontos indicados na circunferência sendo 5 deles os pontos A, B, C, D, E. Ângulo A O B mede 30 graus. Ângulo B O C mede 30 graus. Ângulo C O D mede 30 graus. Ângulo D O E mede 30 graus. Ângulo A O E mede 120 graus.

Ilustração.
Homem de cabelo preto curto, óculos, camisa vermelha fala: Em uma mesma circunferência, o comprimento de um arco em determinada unidade de medida é diretamente proporcional à sua medida angular (em grau).

Vamos considerar a seguinte terminologia:

• ℓ: medida do comprimento de um arco da circunferência (medido em determinada unidade de comprimento);

• α: medida angular do mesmo arco em grau;

• r : medida do raio da circunferência (medido na mesma unidade de comprimento de ℓ).

Lembrando que o arco de uma circunferência mede 360graus, podemos, por meio da regra de três, organizar o seguinte quadro:

Medida do comprimento do arco	Medida angular do arco
2πr	360°
ℓ	α

Assim, obtemos a proporção:

\frac{2 π r}{ℓ} = \frac{360°}{α}

Acompanhe dois exemplos.

a) Vamos calcular a medida do comprimento de um arco de 20graus em uma circunferência com raio de medida 10 centímetros.

Medida do comprimento do arco (cm)	Medida angular do arco (grau)
2π ⋅ (10)	360°
ℓ	20°

\frac{20 π}{ℓ} = \frac{360}{20}

\frac{10 π}{ℓ} = \frac{9}{1}

9ℓ = 10π

\frac{9 ℓ}{9} = \frac{10 π}{9}

ℓ = \frac{10 π}{9}

Considerando π ≃ 3,14, obtemos:

ℓ ≃ \frac{10 \cdot 3, 14}{9} ≃ 3, 49

Portanto, o arco mede, aproximadamente, 3,49 centímetros.

b) Vamos calcular a medida em grau de um arco que mede 6π centímetros de comprimento em uma circunferência com raio de medida 15 centímetros.

Medida do comprimento do arco (cm)	Medida angular do arco (grau)
2π ⋅ (15)	360°
6π	α

\frac{30 π}{6 π} = \frac{360}{α}

\frac{5}{1} = \frac{360}{α}

5α = 360

\frac{5 α}{5} = \frac{360}{5}

α = 72

Portanto, o arco mede 72graus.

Clique no play e acompanhe as informações do vídeo.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

11 Uma circunferência tem raio de medida 12 centímetros. Calcule a medida aproximada, em centímetro, de um arco dessa circunferência correspondente a um ângulo central de 40°.

12 Construa uma circunferência com raio de medida 3 centímetros. Trace dois diâmetros perpendiculares entre si. Quantos centímetros mede aproximadamente cada um dos quatro arcos em que a circunferência ficou dividida?

13 Uma circunferência é dividida em 12 arcos congruentes de medida 3π centímetros de comprimento. Determine:

a) a medida do comprimento da circunferência;

b) a medida do raio dessa circunferência.

14 Calcule a medida aproximada do comprimento dos arcos

\overset{⌢}{A B}

\overset{⌢}{B C}

\overset{⌢}{C D}

da circunferência.

Ilustração. Circunferência com centro O.
Pontos indicados na circunferência A, B, C, D. Ângulo A O B mede 30 graus. Ângulo B O C mede 45 graus. Ângulo C O D mede 60 graus. Raio mede 1,8 centímetros.

15 Calcule a medida aproximada do comprimento da linha representada pela figura a seguir. Utilize uma régua para obter a medida dos segmentos necessários para o cálculo.

Ilustração. Três pontos na horizontal. Linha sinuosa formada por 3 semicircunferências. A primeira semicircunferência tem centro no primeiro ponto e está abaixo dele. A segunda semicircunferência tem centro no segundo ponto e está acima dele. A terceira semicircunferência tem centro no terceiro ponto e está abaixo dele.

16 Construa uma circunferência cujo raio meça 4 centímetros. Trace um de seus diâmetros e apague metade da circunferência traçada. A figura obtida tem medida de perímetro de quantos centímetros, aproximadamente?

17 Na figura, considere que o comprimento do arco

\overset{⌢}{A B}

mede 6,28 centímetros.

Ilustração. Circunferência com centro O. De O para a extremidade, retas A e B com medida 6 centímetros de O até B e medida l do arco AB.

Calcule a medida aproximada do ângulo

A \hat{O} B

18 Calcule em grau a medida de um arco de circunferência de 9,42 centímetros, sabendo que o raio dessa circunferência mede 15 centímetros.

19 Uma circunferência tem a medida do raio igual a 18 centímetros. Calcule a medida aproximada do comprimento do arco de 40graus contido nessa circunferência.

20 O pêndulo de um relógio de parede tem 30 centímetros de comprimento.

Ilustração. Relógio com pêndulo na parte inferior com ângulo de 20 graus e medida do pêndulo: 30 centímetros.

A cada movimento, o pêndulo descreve um arco de 20graus.

Determine a medida aproximada do percurso realizado pelo peso dêsse pêndulo.

21 Calcule a medida em grau de um arco de 7,85 centímetros em uma circunferência de 10 centímetros de raio.

22 Alguns adereços das fantasias de Carnaval são apreciados por sua beleza e pompa.

Ilustração. Adereço de carnaval composto por hastes diagonais azuis.

Observe, no esquema a seguir, a estrutura de um desses adereços feita com arame grosso.

Esquema. Setor circular com ângulo de 120 graus. Abaixo, à esquerda e direita, estrutura pequena em forma de setor circular com ângulo de 30 graus cada e medida do lado igual a 25 centímetros. A medida do lado do setor até a pequena estrutura é 35 centímetros.

Quantos metros de arame, aproximadamente, são necessários para construir esse adereço?

Hora de criar – Em dupla, cada um cria um problema sobre medida do comprimento de arco de circunferência. Troquem de caderno e, depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

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Propriedades entre arcos e cordas de uma circunferência

1ª propriedade

Considere a figura a seguir, em que

\overset{⌢}{A B}

\overset{⌢}{C D}

são arcos congruentes de uma circunferência.

Ilustração. Circunferência com centro em O. Pontos A, B, C, D na circunferência. Dois triângulos equiláteros e congruentes sendo eles: triângulo A O B e triângulo C O D.

Vamos mostrar que as cordas

\overline{A B}

\overline{C D}

também são congruentes.

Hipótese:

\overset{⌢}{A B}

≅

\overset{⌢}{C D}

Tese:

\overline{A B}

≅

\overline{C D}

Observe que:

Portanto, os lados correspondentes são congruentes, isto é,

\overline{A B} ≅ \overline{C D}

Em toda circunferência, se dois arcos têm a mesma medida, então as cordas compreendidas por esses arcos são congruentes.

Ilustração. Mulher de cabelo ruivo e camiseta roxa fala: Também é verdade que, se as cordas são congruentes, então os arcos também são congruentes.

2ª propriedade

Considere a figura a seguir, em que o diâmetro

\overline{A B}

é perpendicular à corda

\overline{C D}

Ilustração. Circunferência com centro O. Pontos A, B, C D na circunferência. Corda C B congruente com a corda B D. Segmento C D em destaque vermelho. Raios O C e raios O D em destaque. Ponto médio do segmento C D indicado como ponto M. Reta A B passando por M e perpendicular ao segmento C D.

Observe que

\overline{O C} ≅ \overline{O D}

(raios) e, portanto, △cê ó dê é um triângulo isósceles cuja altura é

\overline{O M}

Como em um triângulo isósceles a altura relativa à base coincide com a mediana, então M é ponto médio de

\overline{C D}

. Logo,

\overline{M C} ≅ \overline{M D}

Com isso, mostramos que:

Em uma circunferência, todo diâmetro perpendicular a uma corda divide-a ao meio.

Ilustração. Mulher de cabelo ruivo e camiseta roxa fala: Também é verdadeiro que, se uma corda é cortada perpendicularmente ao meio por outra corda, então essa segunda corda é um diâmetro.

Ilustração. Circunferência com centro O. Pontos A, B, C D na circunferência. Corda C B congruente com a corda B D. Segmento C D em destaque vermelho. Ponto médio do segmento C D indicado como ponto M. Reta A B passando por M e perpendicular ao segmento C D.

\overline{C M} ≅ \overline{M D}

\overline{A B} ⟂ \overline{C D}

, então

\overline{A B}

é diâmetro.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

24 Na figura, A bê = 1,2 centímetro e

m (A \hat{O} B) = 45 ° .

Ilustração. Circunferência com centro O e os pontos dela em destaque: A B C D. Ângulos A O B e C O D são congruentes. Ângulo A O D mede 65 graus. Corda C D e corda A B em destaque vermelho. Raios O A, O B, O C, O D.

Calcule:

a) a medida da corda

\overline{C D}

;

b) a medida do ângulo

B \hat{O} C

25 Considere um ponto P comum ao diâmetro

\overline{X Y}

de uma circunferência (de centro óh) e a uma corda

\overline{A B}

. Determine a medida do raio dessa circunferência, sabendo que

\overline{X Y}

é perpendicular a

\overline{A B}

, ó pê = 5 centímetros e AB = 24 centímetros.

26 Marque sobre uma folha do caderno três pontos: a, B e C, não alinhados. Trace o segmento

\overline{A B}

e o segmento

\overline{B C}

. Trace a mediatriz de cada um desses segmentos. Chame de M o ponto de encontro dessas mediatrizes. Com centro em M e abertura ei ém, trace uma circunferência. Qual é a posição dos pontos a, B e C em relação à circunferência?

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca!)

27 Construa um triângulo á bê cê, em que A bê = 4 centímetros, BC = 3,6 centímetros e AC = 7 centímetros. Trace uma circunferência que passe pelos vértices dêsse triângulo.

28 Para confeccionar um chapéu de palhaço, Aline seguiu o modelo indicado na figura. Determine a medida aproximada do arco de circunferência dêsse modelo.

Ilustração. Duas retas formando arco de 80 graus. Medida da reta: 40 centímetros.

2. Triângulo retângulo inscrito em uma circunferência

Considere a figura a seguir.

Ilustração. Circunferência com centro O. Triângulo ABC com diagonal de A e B até O. Ângulo em C e abaixo de O.

Nela, destacamos o ângulo inscrito

A \hat{C} B

, ou seja, um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência.

Sabemos que um ângulo inscrito em uma circunferência tem por medida a metade da medida do ângulo central correspondente e, portanto, a metade da medida do arco compreendido por seus lados, ou seja:

m (A \hat{C} B) = \frac{m (A \hat{O} B)}{2} = \frac{m (\overset{⌢}{A B})}{2}

Esta outra figura mostra um triângulo em que um dos lados é um diâmetro da circunferência. Esse triângulo é retângulo, pois:

m (\hat{C}) = \frac{m (\overset{⌢}{A B})}{2} = \frac{180 °}{2} =

90graus

Ilustração. Circunferência com centro O. Triângulo ABC passando em O. Ângulo reto em C.

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De modo geral, todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo e, reciprocamente, todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semicircunferência.

Ilustração 1. Homem de cabelo ruivo e camisa vermelha. Ele fala: Observe na figura ao lado que a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é um raio da circunferência que o circunscreve. Ao lado direito, Ilustração 2. Circunferência com centro O. Pontos A, B, C dela em destaque. Triângulo retângulo A B C, com ângulo reto em C. Raios O A, O B, O C estão indicados.

Clique no play e acompanhe as informações do vídeo.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

29 Determine a medida da mediana, relativa à hipotenusa, de um triângulo retângulo cujos catetos medem

\sqrt{20}

centímetros e 4 centímetros.

30 A mediana de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa mede 4 centímetros, e um dos catetos mede

\sqrt{15}

centímetros. Qual é a medida do outro cateto?

31 A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede 12 centímetros. Calcule quantos centímetros mede o comprimento da circunferência que o circunscreve.

32 O comprimento de uma circunferência mede 10π centímetros. Determine:

a) a medida do cateto maior de um triângulo retângulo inscrito nessa circunferência, sabendo que o menor cateto tem a mesma medida da mediana relativa à hipotenusa;

b) a medida da área dêsse triângulo.

33 Considere o triângulo á bê cê inscrito em uma circunferência de raio de medida 3 centímetros.

Ilustração. Circunferência com centro O.
Pontos A, B, C dela em destaque. Triângulo A B C. Raios O A, O B, O C estão indicados. ângulo O A C mede 30 graus

a) Quais são as medidas de

A \hat{C} B

A \hat{B} C

B \hat{O} C

B \hat{C} O

A \hat{O} C

b) Quais são as medidas de

\overline{O B}

\overline{O C}

\overline{B C}

\overline{A B}

\overline{A C}

c) Classifique, quanto às medidas dos ângulos e às medidas dos lados, os triângulos á bê cê, á ó cê e ó bê cê.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Deseja-se cortar, de um toco de árvore cujo raio mede 20 centímetros, uma coluna de base quadrada em formato como o de um bloco retangular.

Ilustração. Toco de árvore com raio de 20 centímetros. Ao lado, coluna de base quadrada em formato de bloco retangular.

1 Determine a medida máxima do lado da base que se pode obter.

2 Calcule a medida da área da base quadrada da coluna em centímetro quadrado.

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3. Relações métricas em uma circunferência

1ª relação

Considerando a figura a seguir, vamos demonstrar que:

Ilustração. Circunferência. Corda AB e corda CD representadas. As cordas se cruzam em P.

Se duas cordas se intersectam em um ponto interior a uma circunferência, então o produto das medidas dos dois segmentos de uma delas é igual ao produto das medidas dos segmentos da outra.

Hipótese: as cordas

\overline{A B}

\overline{C D}

se intersectam em um ponto P, interior à circunferência.

Tese: pê á ⋅ PB = PC ⋅ PD

Ilustração. Circunferência. Corda AB na diagonal e corda CD na diagonal. As cordas se cruzam em P. Ângulo D A P tem mesma medida que ângulo B C P. Ângulo A D P tem mesma medida que ângulo C B P.

Traçando os segmentos

\overline{A D}

\overline{C B}

, obtemos os triângulos á pê dê e CPB. Nesses triângulos:

• os ângulos

\hat{A}

\hat{C}

são congruentes, pois são ângulos inscritos e determinam na circunferência o mesmo arco

\overset{⌢}{B D}

;

• os ângulos

\hat{B}

\hat{D}

são congruentes, pois são ângulos inscritos e determinam na circunferência o mesmo arco

\overset{⌢}{A C}

Logo, pelo caso ângulo-ângulo de semelhança de triângulos, os triângulos á pê dê e CPB são semelhantes.

Portanto,

\frac{P A}{P C} = \frac{P D}{P B}

, ou seja:

pê á ⋅ PB = PC ⋅ PD

Acompanhe alguns exemplos.

Vamos calcular o valor de x em cada figura.

Ilustração. Circunferência e duas cordas delas representadas. As cordas se cruzam em um ponto. As cordas estão divididas em duas partes considerando o ponto de intersecção. A primeira corda tem uma parte medindo 5 e outra parte medindo 8. A segunda corda tem uma parte medindo 4 e a outra parte medindo x.

4 ⋅ x = 8 ⋅ 5

4x = 40

x =

\frac{40}{4}

x = 10

2x ⋅ x = 8 ⋅ 9

2x duas = 72

x^{2} = \frac{72}{2}

x duas = 36

x = \pm \sqrt{36}

x = ±6

Como xis é um número positivo, xis = 6.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

34 Calcule o valor de x em cada uma das figuras.

35 Determine a medida da área do △ABC a seguir.

Ilustração. Circunferência. Triângulo ABC inscrito nela. No centro, ponto O. Lado A B mede 6 centímetros do vértice A até o encontro desse lado com o diâmetro C D e mede 6 centímetros desse encontro até o vértice B. A parte do diâmetro C D fora do triângulo mede 4 centímetros. O diâmetro C D forma Ângulo reto com o lado A B.

36 Uma praça circular é cortada por duas ruas, como mostra a figura a seguir.

Ilustração. Praça circular que pode ser representada por uma circunferência e duas cordas (corda A C e corda D B) delas representadas. As cordas se cruzam em um ponto. As cordas estão divididas em duas partes considerando o ponto de intersecção. A medida A P é igual 30; a medida B P é igual 72, a medida P D é igual 20.

Para ir de a até P, Rita dá 30 passos. Luísa dá 72 passos para ir de B a P e 20 passos para ir de P a D. Calcule quantos passos Rita deve dar para chegar até C, admitindo que os passos das duas garotas tenham mesma medida de comprimento.

37 Uma corda de 6 centímetros corta perpendicularmente um diâmetro a 4 centímetros do centro de uma circunferência. Calcule a medida da área do círculo determinada por essa circunferência.

2ª relação

Ilustração. Circunferência com ponto A e B na parte superior e C e D na parte inferior da circunferência. Ponto P fora da circunferência à direita com segmento de reta B P e segmento de reta D P. Pontos B A P são colineares; pontos D C P são colineares.

Considerando a figura apresentada, vamos provar que:

Se, de um ponto exterior a uma circunferência, traçamos dois segmentos secantes, então o produto das medidas de um segmento secante e de sua parte externa é igual ao produto das medidas do outro segmento secante e de sua parte externa.

Hipótese:

\overline{P B}

\overline{P D}

são segmentos secantes à circunferência, com P no exterior.

Tese: pê á ⋅ PB = PC ⋅ PD

Traçando os segmentos

\overline{A D}

\overline{B C}

, obtemos os triângulos pê á dê e PCB. Nesses triângulos:

• os ângulos

\hat{D} e \hat{B}

são congruentes, pois são ângulos inscritos e determinam na circunferência o mesmo arco

\overset{⌢}{A C}

;

• o ângulo

\hat{P}

é comum.

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Logo, pelo caso ângulo-ângulo de semelhança de triângulos, os triângulos á pê dê e CPB são semelhantes.

Portanto,

\frac{P A}{P C} = \frac{P D}{P B}

, ou seja:

pê á ⋅ PB = PC ⋅ PD

Acompanhe alguns exemplos.

Vamos calcular o valor de x em cada figura.

Ilustração. Circunferência com dois segmentos secantes a ela que se encontram em um ponto exterior à circunferência. Cada segmento está dividido em duas partes, do ponto exterior a até o primeiro ponto de encontro com a circunferência e desse ponto até o segundo ponto de encontro com a circunferência. O primeiro segmento tem a primeira parte medindo 4 e no total mede 12; o segundo segmento tem a primeira parte medindo x e no total mede 16.

16 ⋅ x = 4 ⋅ 12

16x = 48

x =

\frac{48}{16}

x = 3

6 ⋅ (6 + x) = 5 ⋅ (x + 8)

36 + 6x = 5x + 40

6x ‒ 5x = 40 ‒ 36

x = 4

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

38 Calcule o valor de x em cada uma das figuras.

39 O canteiro circular de uma rotatória é cortado por duas estradas, como mostra a figura a seguir. A medida do comprimento da parte da estrada LP-132 que corta o canteiro está indicada por x. Calcule o valor de x.

Ilustração. Canteiro circular com duas ruas diagonais. A ilustração pode ser resumida a uma circunferência com dois segmentos secantes a ela que se encontram em um ponto exterior à circunferência. Cada segmento está dividido em duas partes, do ponto exterior a até o primeiro ponto de encontro com a circunferência e desse ponto até o segundo ponto de encontro com a circunferência. O primeiro segmento tem a primeira parte medindo 50 metros e a segunda parte mede 94 metros; o segundo segmento representa a L P 132 e tem a primeira parte medindo 48 metros e a segunda parte mede x.

3ª relação

Na figura a seguir,

\overline{P A}

é tangente à circunferência.

Ilustração. Circunferência com dois segmentos sendo um secante e o outro tangente a ela; esses segmento se encontram em um ponto exterior à circunferência. O segmento secante está dividido em duas partes, do ponto exterior a até o primeiro ponto de encontro com a circunferência e desse ponto até o segundo ponto de encontro com a circunferência.

Vamos provar que:

Se, de um ponto exterior a uma circunferência, traçamos um segmento tangente e um segmento secante a essa circunferência, então o quadrado da medida do segmento tangente é igual ao produto das medidas do segmento secante e de sua parte externa.

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Hipótese:

\overline{P A}

\overline{P C}

são segmentos tangente e secante à circunferência, respectivamente.

Tese: (pê á)duas = PB ⋅ PC

Ilustração. Circunferência com dois segmentos sendo o segmento C P secante e o segmento A P tangente a ela; esses segmentos se encontram em um ponto P exterior à circunferência. O segmento secante C P está dividido em duas partes, do ponto exterior a até o primeiro ponto de encontro com a circunferência (ponto B) e desse ponto até o segundo ponto de encontro com a circunferência (ponto C).
Ângulo B A P tem mesma medida que ângulo A C P.

Traçando os segmentos

\overline{A B}

\overline{A C}

, obtemos os triângulos pê bê a e pê á cê. Nesses triângulos:

• os ângulos

\hat{C}

\hat{A}

são congruentes, pois são ângulos com vértice na circunferência e determinam nela o mesmo arco

\overset{⌢}{A B}

;

• o ângulo

\hat{P}

é comum.

Logo, pelo caso ângulo-ângulo de semelhança de triângulos, os triângulos PBA e PAC são semelhantes.

Portanto,

\frac{P A}{P C} = \frac{P B}{P A}

, ou seja:

(pê á)duas = PB ⋅ PC

Acompanhe os exemplos.

Vamos calcular o valor de x em cada figura, sabendo que

\overline{M N}

é tangente à circunferência.

Ilustração. Circunferência com dois segmentos sendo o segmento O M secante e o segmento N M tangente a ela; esses segmentos se encontram em um ponto M exterior à circunferência.
O segmento secante está dividido em duas partes, do ponto exterior até o primeiro ponto de encontro com a circunferência e desse ponto até o segundo ponto de encontro com a circunferência. A primeira parte mede 2 e a segunda parte mede 6.
O segmento tangente mede x.

x duas = 8 ⋅ 2

x duas = 16

x = \pm \sqrt{16}

x = ±4

Como x é um número positivo, x = 4.

Ilustração. Circunferência com dois segmentos sendo um segmento secante o segmento N M tangente a ela; esses segmentos se encontram em um ponto M exterior à circunferência.
O segmento secante está dividido em três partes, do ponto exterior até o primeiro ponto de encontro com a circunferência, depois desse ponto até o centro O da circunferência, e do ponto O até o segundo ponto de encontro com a circunferência. A primeira parte mede x e a terceira parte mede 4,5.
O segmento tangente mede 6.

6duas = x ⋅ (x + 9)

xduas + 9x ‒ 36 = 0

x = \frac{‒ 9 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1}

Como x é um número positivo, x = 3.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

40 Calcule o valor de x nas figuras a seguir, sendo

\overline{P Q}

tangente à circunferência.

Ilustração. Circunferência com dois segmentos sendo o segmento O P secante e o segmento Q P tangente a ela; esses segmentos se encontram em um ponto P exterior à circunferência.
O segmento secante está dividido em duas partes, do ponto exterior até o primeiro ponto de encontro com a circunferência e desse ponto até o segundo ponto de encontro com a circunferência. A primeira parte mede 4 e a segunda parte mede 21.
O segmento tangente mede x.

Ilustração. Circunferência com dois segmentos sendo o segmento P R secante e o segmento P Q tangente a ela; esses segmentos se encontram em um ponto P exterior à circunferência.
O segmento secante está dividido em duas partes, do ponto exterior até o primeiro ponto de encontro com a circunferência e desse ponto até o segundo ponto de encontro com a circunferência. A primeira parte mede x e a segunda parte mede 8x.
O segmento tangente mede x.

41 Um fotógrafo assistia a uma apresentação circense na qual um acrobata, durante toda sua apresentação, descreveu um movimento circular em torno do picadeiro. Em três momentos distintos, o fotógrafo tirou fotografias conforme o esquema a seguir.

Ilustração. Circunferência com dois segmentos sendo um segmento secante (do ponto denominado fotografia 1 até o ponto denominado fotógrafo) passando pelo ponto comum à circunferência e denominado fotografia 2; e o outro segmento é tangente a ela e tem extremidades nos pontos denominados fotografia 3 e fotógrafo; esses segmentos se encontram em um ponto exterior à circunferência (denominado fotógrafo).
O segmento secante está dividido em duas partes, do ponto exterior até o primeiro ponto de encontro com a circunferência e desse ponto até o segundo ponto de encontro com a circunferência.
A circunferência indica a trajetória do acrobata.

Estime valores para as medida das distâncias entre o acrobata e o fotógrafo, nos momentos das fotografias, de modo que atendam à 3ª relação estudada.

Hora de criar – Em dupla, cada um cria um problema sobre uma das três propriedades estudadas. Troquem de caderno e, depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

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TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Semicoroa circular

Nesta reportagem, observe um tipo de gráfico, diferente dos que já estudamos até aqui, muito usado em jornais e revistas.

Ilustração. Folha de jornal com as informações: É desperdiçada aos montes. A água é essencial para a vida, e seu desperdício pode acarretar sérios problemas sócio ambientais para a humanidade. Isso porque, embora 70% do planeta Terra seja coberto por água, apenas 1% dela é própria para o consumo. Abaixo, gráfico de setores. Para onde vai nosso estoque de água doce: No mundo. 70% agricultura. 22% indústria e 8% uso doméstico. No Brasil: 70% agricultura. 17% indústria e 13% uso doméstico. — Dados obtidos em: GRUPO Recicla. Quais são as atividades que mais consomem água no mundo? Blog Grupo Recicla, Cachoeirinha, 18 dezembro 2019. Disponível em: https://oeds.link/79BCiX. Acesso em: 4 julho 2022; WWW-Brasil. Dia Mundial da Água. WWF Brasília, [201-]. Disponível em: https://oeds.link/RJP8Pu. Acesso em: 4 julho 2022.

Podemos considerar o gráfico usado na reportagem como uma variação de um gráfico de setores. Porém, em vez de ser composto de setores circulares cujo total fórma um círculo, suas partes compõem uma semicoroa circular, ou seja, uma região limitada por duas semicircunferências concêntricas.

Para construir um gráfico com semicoroa circular, uma vez construída a tabela com as frequências relativas dos dados pesquisados, basta multiplicar as porcentagens por 180graus (no gráfico de setores multiplicamos por 360graus) e construir, com um transferidor, setores circulares adjacentes, de mesmo raio e centro, cujas medidas angulares são os produtos obtidos. A soma desses setores resulta em um semicírculo do qual retiramos outro semicírculo concêntrico de raio menor.

No exemplo da reportagem, 70% da água doce é destinada à agricultura (tanto no Brasil como no mundo). Então, o setor que inicialmente devemos representar para esse dado deve medir 0,7 ⋅ 180graus, isto é, 126graus.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Faça uma pesquisa com os colegas de turma sobre a quantidade de água que eles bebem, em média, por dia. Em seguida, construa uma tabela e um gráfico como o da reportagem apresentada.

Considere na pesquisa as seguintes quantidades (e que 1 copo = 200 mililitros):

• 1 copo;

• 2 copos;

• 3 copos;

• 4 copos;

• 5 copos;

• 6 ou mais copos.

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Um autorama circular tem duas pistas, A e B, conforme esquema a seguir.

Ilustração. Pista circular A e ao redor, pista circular B. Do centro até o centro da pista A: 3 metros. Do centro da pista A para o centro da pista B: 0,6 metros.

a) Depois que um carro der 36 voltas na pista a, quantos metros terá andado?

b) Quantos metros terá andado um carro que der 24 voltas na pista B?

2 O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 9 centímetros. Determine a medida da distância, em centímetro, que o extremo dêsse ponteiro percorre em 20 minutos.

3 Um ciclista, em uma pista circular de 24 métros de raio, dá 15 voltas em 160 segundos. Qual é medida da velocidade média dele nesse trajeto?

4 Observe a circunferência a seguir em que as cordas,

\overline{A B}

\overline{C D}

, concorrem no ponto M.

Ilustração. Circunferência com as cordas AB e CD representadas. Estas cordas se intersectam no ponto M de modo que a medida do comprimento de AM é indicada por 2x mais 3, que a medida do comprimento de MB é indicada por x mais 1, que a medida do comprimento de CM é indicada por 2x e que a medida do comprimento de MD é indicada por x mais 3

Sejam ei ém, MB, CM e MD dadas em centímetro. Quanto vale AB?

a) 36.

b) 18.

c) 14.

d) 13.

5 (u ésse éfe-São Paulo) Na circunferência a seguir, de centro óh e raio r = 4, a corda

\overline{C D}

corta o diâmetro

\overline{A B}

no ponto P de tal fórma que P é o ponto médio do raio

\overline{O A}

e PC = 2 ⋅ PD.

Ilustração. Circunferência com centro em O e duas cordas delas representadas. As cordas se cruzam em um ponto P.
A corda C D está dividida em duas partes: segmento D P e segmento P C.
A corda A B é um diâmetro e está dividida em 3 partes: segmento A P, segmento P O, segmento O B.

Então:

a) CD =

2 \sqrt{6}

b) CD =

3 \sqrt{6}

c) CD =

6 \sqrt{6}

d) CD =

\sqrt{6}

e) CD = 6

6 Considerando a figura, determine a medida da área do quadrado a bê cê dê.

Ilustração. Circunferência. Quadrado ABCD com lado A B sendo uma corda da circunferência.
A corda A B é dividida pelo diâmetro em duas partes de mesma medida sendo cada medida igual a x. O diâmetro é dividido pela corda A B em duas partes uma medindo 8 centímetros e a outra medindo 3 centímetros.

7 Em uma circunferência, uma corda é intersectada por um diâmetro que fica dividido em dois segmentos, um de 7 centímetros e um de 2 centímetros. Se essa intersecção é feita a 2,5 centímetros do centro da circunferência, quanto mede o raio da circunferência?

8 Construa uma circunferência de 12 centímetros de diâmetro e trace um diâmetro

\overline{A B}

. Marque sobre ele, distante 11 centímetros de a, um ponto M. Trace, por esse ponto, uma perpendicular que intersecte a circunferência em um ponto P. O segmento

\overline{P M}

é a representação geométrica de qual número?

9 Determine a medida da altura

\overline{E H}

do triângulo ABE na figura.

Ilustração. Circunferência e 3 segmentos secantes a ela sendo eles: segmento F E, segmento A E, segmento B E.
Duas cordas indicadas, sendo elas corda A B, corda D C.
Ponto H é comum ao segmento F E e à corda A B; ponto G é comum ao segmento F E e à corda D C.
AS medidas dos segmentos indicadas são:
A D 3,5 centímetros;
D E 6 centímetros;
G E 5,7 centímetros;
A distância de H até o centro é 0,65 centímetro.

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Um corredor treina em uma pista circular de comprimento de medida 31,4 quilômetros. Qual é a medida do raio da circunferência da pista?

a) 197,19 quilômetros

b) 98,6 quilômetros

c) 10 quilômetros

d) 5 quilômetros

2 Um automóvel é fabricado com rodas aro 17”. Sabendo que 1” equivale a 2,54 centímetros, qual é a medida aproximada do comprimento da circunferência dessa roda?

a) 15,95 centímetros

b) 106,8 centímetros

c) 135,6 centímetros

d) 271,2 centímetros

3 Qual é, aproximadamente, a medida do comprimento de arco compreendido por um ângulo de 45graus em uma circunferência de raio de medida 4,5 métros?

a) 14,13 métros

b) 28,26 métros

c) 3,53 métros

d) 1,18 métro

4 Qual é a medida do comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio de medida 15 centímetros?

a) 30 centímetros

b) 15π centímetros

c) 60 centímetros

d) 30π centímetros

5 Qual é o valor de x na figura?

Ilustração. Circunferência com duas cordas dela indicadas; essas cordas se encontram em um ponto interior à circunferência.
As cordas estão divididas pelo ponto em comum em duas partes.
A primeira parte da primeira corda mede 8 centímetros e a segunda parte mede 3 centímetros.
A primeira parte da segunda corda mede 5 centímetros e a segunda parte mede 2 x.

a) 0,417 centímetro

b) 2,4 centímetros

c) 4,2 centímetros

d) 20 centímetros

6 Sendo x, em centímetro, a medida da corda indicada na figura, qual é, aproximadamente, a medida do comprimento de uma circunferência cujo raio mede x?

Ilustração. Circunferência com dois segmentos sendo um segmento secante e o outro segmento tangente a ela; esses segmentos se encontram em um ponto exterior à circunferência.
O segmento secante está dividido em duas partes, do ponto exterior até o primeiro ponto de encontro com a circunferência e desse ponto até o segundo ponto de encontro com a circunferência. A primeira parte mede 5 centímetros e a segunda parte mede x.
O segmento tangente mede 12 centímetros.

a) 18,09 centímetros

b) 21,42 centímetros

c) 33,18 centímetros

d) 149,46 centímetros

7 Sendo x a medida, em centímetro, da corda indicada na figura, aproximadamente, qual é a medida da área de um quadrado cujos lados medem x?

Ilustração. Circunferência com dois segmentos secantes a ela; esses segmentos se encontram em um ponto exterior à circunferência.
Os segmento estão divididos em duas partes, do ponto exterior até o primeiro ponto de encontro com a circunferência e desse ponto até o segundo ponto de encontro com a circunferência.
A primeira parte do primeiro segmento mede 7 centímetros e a segunda parte mede x.
A primeira parte do segundo segmento mede 6 centímetros e a segunda parte mede 9.

a) 165,38 centímetros

b) 64

c) 34,31 centímetros

d) 22 centímetros

8 Qual é a medida do ângulo correspondente a um índice de 50% em um gráfico de semicoroa circular?

a) 90graus

b) 45graus

c) 180graus

d) 120graus

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) O que é um arco de circunferência?

b) A razão entre a medida do comprimento de uma circunferência e a medida de seu diâmetro é sempre o mesmo valor. Qual é esse valor?

c) Como podemos determinar a medida do comprimento de uma circunferência qualquer? Sabendo a medida do comprimento de uma circunferência, é possível determinar a medida de seu diâmetro?

d) Explique as três relações métricas em uma circunferência que você aprendeu neste capítulo.