Página quarenta e um

Parte 2

(ê éfe zero nove ême ah um oito) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

(ê éfe zero nove ême ah dois dois) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

Neste capítulo, serão aprofundados os conhecimentos acerca das operações com os conjuntos numéricos, ampliando-as para o cálculo com radicais, com foco na Unidade Temática Números, contribuindo para o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero nove ême ah zero um), (ê éfe zero nove ême ah zero dois) e (ê éfe zero nove ême ah zero três). Esse trabalho amplia e consolida conhecimentos construídos ao longo dos anos anteriores, em especial no 8º ano (ê éfe zero oito ême ah zero um e ê éfe zero oito ême ah zero dois). Espera-se que as situações envolvendo tais conhecimentos possam subsidiar os que serão explorados no Ensino Médio, entre eles a história dos números irracionais e as propriedades de radicais.

O capítulo apresenta também articulação com temas das Unidades Temáticas Grandezas e medidas, no reconhecimento e no emprego de unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, além das unidades de medidas relacionadas à informática, o que favorece o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero nove ême ah zero quatro) e (ê éfe zero nove ême ah um oito), e Probabilidade e estatística, na construção e na interpretação de gráficos de linhas, que está relacionada com a habilidade (EF09MA22).

• Comentários e resoluções

Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompanham as reproduções das páginas do livro do estudante.

Abertura

a) Resposta pessoal. Uma opção de resposta é os estudantes se lembrarem do surgimento dos números a partir da necessidade de contar objetos e animais em rebanhos ou em contextos de agrimensura, por exemplo.

b) Resposta pessoal. Uma opção de resposta é os estudantes medirem a roda de uma bicicleta encontrando as seguintes medidas aproximadas: contorno 194 centímetros; diâmetro 61 centímetros;

\frac{contorno}{di â metro} = \frac{194}{61} ≃ 3, 18

Exercícios propostos

2. Como o nanômetro é a unidade de medida de comprimento equivalente à bilionésima parte do metro, temos que 1 nanômetro = 10‒9 métro. Logo:

0,05 nanômetro = (0,05 ⋅ 10‒9) métro =

(\frac{5}{100} \cdot 10^{‒ 9})

métro = 5 · 10‒11 métro

3. Considerando que um disco de vidro pode guardar até 360 térabáites, que 1 téra báite equivale a 1012 báites e que 1 mega báite equivale a 106 báites, temos:

360 térabáites = 360 · 1012 báites = 360 · 106 · 106 báites = 360 · 106 mégabáites = 3,6 · 108 mégabáites

1 mega báite =

\frac{10^{6}}{2^{20}}

mebi báites =

\frac{1 000 000}{1 048 576}

mebi báites = 0,95367431640625 mebi báites

Logo:

3,6 · 108 mégabáites = 3,6 · 108 · 0,95367431640625 mebi báites

3,6 · 108 mégabáites = 3,4332275390625 · 108 mebi báites ≃ 3,4 · 108 mebi báites

4. a) Sabe-se que 1 kibi báite equivale a .1024 báites. Para determinar o erro percentual ao substituir 210 por 103, basta calcular:

\frac{10^{3}}{2^{10}} = 0, 9765625 ≃ 97, 66 %

Portanto, o erro é de aproximadamente 2,34% (100 ‒ 97,66 = 2,34), ou aproximadamente 2,3%.

4. b) Assim como no caso anterior, basta calcular:

\frac{10^{24}}{2^{80}} = {(\frac{10^{3}}{2^{10}})}^{8} = {(\frac{1 000}{1 024})}^{8}

= 0,97656258 ≃ 0,827 ≃ 82,7%

Assim, o erro é de aproximadamente 17,3% (100 ‒ 82,7 = 17,3).

5. Sabe-se que uma unidade astronômica ≃ 1,5 · 1011 métros = 1,5 · 108 quilômetros e que 1 ano-luz corresponde a aproximadamente 9,5 ⋅ 1015 m = 9,5 ⋅ 1012 quilômetros, o que equivale a aproximadamente .63241 unidades astronômicas.

Assim, a medida do diâmetro da Via Láctea é cêrca de 100 mil anos-luz = 1 · 105 anos-luz, ou seja, aproximadamente, 9,5 ⋅ 1017 quilômetros ≃ 6,32 ⋅ 109 unidades astronômicas.

A medida do diâmetro da galáxia Andrômeda é de aproximadamente 220 mil anos-luz = 2,2 · 105 anos-luz, 2,09 ⋅ 1018 quilômetros ≃ 1,39 ⋅ 1010 unidades astronômicas

(.220000 ⋅ .63241) ua = ...13913020000 ua ≃ 1,39 ⋅ 1010 unidades astronômicas ≃ ≃ (1,39 ⋅ 1010 ⋅ 1,5 ⋅ 108) quilômetros ≃ 2,09 ⋅ 1018 quilômetros

Essa galáxia está a uma distância de aproximadamente 2,75 ⋅ 1019 quilômetros ou 1,83 ⋅ 1011 unidades astronômicas.

2,9 ⋅ 106 anos-luz = (2,9 ⋅ 106 ⋅ .63241) unidades astronômicas =

= .183398,9 ⋅ 106 unidades astronômicas ≃ 1,83 ⋅ 1011 unidades astronômicas

(1,83 ⋅ 1011 ⋅ 1,5 ⋅ 108) quilômetros ≃ 2,75 ⋅ 1019 quilômetros

O diâmetro da Grande Nuvem de Magalhães mede aproximadamente 70 mil anos-luz, ou seja, aproximadamente 6,6 · 1017 quilômetros ≃ 4,4 · 109 unidades astronômicas.

(.70000 ⋅ .63241) unidades astronômicas = ...4426870000 unidades astronômicas ≃

≃ (4,4 · 109 · 1,5 · 108) quilômetros ≃ 6,6 · 1017 quilômetros

Essa galáxia está a uma distância de aproximadamente 200 mil anos-luz, ou seja, aproximadamente

1,9 · 1018 quilômetros ≃ 1,26 · 1010 unidades astronômicas.

(.200000 ⋅ .63241) unidades astronômicas = ...12648200000 unidades astronômicas ≃

≃ (12,6 · 109 · 1,5 . 108) quilômetros ≃ 18,9 · 1017 quilômetros ≃ 1,9 · 1018 quilômetros

O diâmetro da Pequena Nuvem de Magalhães mede aproximadamente 14 mil anos-luz, ou seja, aproximadamente 1,33 · 1017 quilômetros = 8,8 · 108 unidades astronômicas.

(.14000 · .63241) unidades astronômicas = ..885374000 unidades astronômicas ≃

≃ (8,8 · 108 · 1,5 · 108) quilômetros ≃ 13,28 · 1016 quilômetros ≃ 1,33 · 1017 quilômetros

Essa galáxia está a uma distância de aproximadamente 168 mil anos-luz, ou seja, aproximadamente

1,6 · 1018 quilômetros ≃ 1,1 · 1010 unidades astronômicas.

(.168000 · .63241) unidades astronômicas ≃ ...10624488000 unidades astronômicas ≃

≃ (1,1 · 1010 · 1,5 . 108) quilômetros ≃ 1,6 · 1018 quilômetros

6. Apresentamos um problema como exemplo. Considerando que a medida da distância entre a Terra e a Lua é de .384400 quilômetros, escreva essa medida de distância em unidade astronômica.

A medida da distância da Terra à Lua é .384400 quilômetros ≃ ≃ 3,8 ⋅ 105 quilômetros, assim, em unidade astronômica (U A), temos:

Página quarenta e dois

\frac{1 ua}{1, 5 \cdot 10^{8} km} ≃ \frac{x ua}{3, 8 \cdot 10^{5} km} \Rightarrow x ≃ \frac{3, 8 \cdot 10^{5}}{1, 5 \cdot 10^{8}} u a ≃

≃ 2,5 ⋅ 10‒3 unidade astronômica

7. Apresentamos um problema como exemplo. Considere que um agá dê externo seja anunciado como tendo capacidade de armazenar 1 téra báite de dados. Quantas vezes mais informações cabem nesse agá dê externo do que no agá dê de um computador com capacidade de armazenamento anunciada como 240 gigabáites?

Como 1 téra báite = .1000 gigabáites, temos:

1 téra báite = .1000 gigabáites ⇒ 1 giga báite =

\frac{1}{1 000}

téra báite

Portanto:

\frac{1 000}{240} ≃ 4

Assim, em um agá dê de 1 téra báite cabem cêrca de quatro vezes mais informações do que em um agá dê de 240 gigabáites.

8. a) Aplicando a relação conhecida

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

, para a = 8,1; m = 4; n = 5, temos:

\sqrt[5]{8, 1^{4}} = 8, 1^{\frac{4}{5}}

8. b) Para a = π; m = 3; n = 2, temos:

\sqrt{π^{3}} = π^{\frac{3}{2}}

8. c) Para a =

\frac{1}{7}

; m = 4; n = 6, temos:

\sqrt[6]{{(\frac{1}{7})}^{4}} = {(\frac{1}{7})}^{\frac{4}{6}}

8. d) Para a =

\sqrt{8}

; m = 3; n = 3, temos:

\sqrt[9]{{(\sqrt{8})}^{3}} = {(\sqrt{8})}^{\frac{3}{9}}

{(\sqrt{8})}^{\frac{1}{3}}

9. a) Aplicando a relação conhecida

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

, para a = π; m = 1; n = 2, temos:

π^{\frac{1}{2}} = \sqrt{π}

9. b) Para a = ϕ; m = 6; n = 5, temos:

ϕ^{\frac{6}{5}} = \sqrt[5]{ϕ^{6}}

9. c) Para a =

\sqrt{3}

; m = 1; n = 2, temos:

{(\sqrt{3})}^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\sqrt{3}}

9. d) Sendo 50,5 =

5^{\frac{1}{2}}

, para a = 5; m = 1; n = 2, temos:

5^{0, 5} = \sqrt[2]{5^{1}} = \sqrt{5}

10. a)

{(\sqrt{7})}^{\frac{1}{3}} \cdot {(\sqrt{7})}^{\frac{1}{4}} = {(\sqrt{7})}^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} = {(\sqrt{7})}^{\frac{7}{12}}

10. b)

{(\sqrt{7})}^{\frac{1}{3}} : {(\sqrt{7})}^{\frac{1}{4}} = {(\sqrt{7})}^{\frac{1}{3} ‒ \frac{1}{4}} = {(\sqrt{7})}^{\frac{1}{12}}

10. c)

{[{(\sqrt{10})}^{\frac{1}{3}}]}^{\frac{9}{2}} = {(\sqrt{10})}^{\frac{1}{3} · \frac{9}{2}} = {(\sqrt{10})}^{\frac{9}{6}} = {(\sqrt{10})}^{\frac{3}{2}}

10. d)

π^{{(\frac{1}{16})}^{{\frac{1}{2}}^{}}^{}} = π^{\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2}} = π^{\frac{1}{32}}

11. a)

{(\sqrt{\sqrt{2}})}^{4} = {(\sqrt{2^{\frac{1}{2}}})}^{4} = {({(2^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{4} = 2^{(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 4)} = 2^{(\frac{4}{4})} = 2^{1} = 2

11. b)

0, 512^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{0, 512} = \sqrt[3]{\frac{512}{1 000}} = \sqrt[3]{\frac{2^{9}}{10^{3}}} = \sqrt[3]{\frac{{(2^{3})}^{3}}{10^{3}}} = \frac{2^{3}}{10} =

= \frac{8}{10} = 0, 8

11. c)

\sqrt[5]{π^{10}} = π^{\frac{10}{5}} = π^{2}

11. d)

{(\sqrt{27})}^{\frac{2}{3}} = {(27^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{1}{2} · \frac{2}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3

12. a) Espera-se que os estudantes percebam que, dividindo o índice do radical e o expoente do radicando por um fator comum não nulo, se obtém um radical igual.

\sqrt[12]{π^{6}} = π^{\frac{6}{12}} = π^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{π^{1}} = \sqrt{π}

12. b)

\sqrt[14]{1, 7^{7}} = 1, 7^{\frac{7}{14}} = 1, 7^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{1, 7^{1}} = \sqrt{1, 7}

12. c)

\sqrt[6]{{(\frac{13}{5})}^{9}} = {(\frac{13}{5})}^{\frac{9}{6}} = {(\frac{13}{5})}^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{{(\frac{13}{5})}^{3}}

12. d)

\sqrt[18]{Φ^{12}} = Φ^{\frac{12}{18}} = Φ^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{Φ^{2}}

12. e)

\sqrt[24]{{(\frac{π}{2})}^{8}} = {(\frac{π}{2})}^{\frac{8}{24}} = {(\frac{π}{2})}^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{π}{2}}

12. f)

\sqrt[12]{π^{18}} = π^{\frac{18}{12}} = π^{\frac{3}{2}} = \sqrt{π^{3}}

14. a) Aplicando a 2ª propriedade dos radicais, temos:

\sqrt[9]{5^{6}} = \sqrt[9 : 3]{5^{6 : 3}} = \sqrt[3]{5^{2}}

14. b)

\sqrt[15]{3^{20}} = \sqrt[15 : 5]{3^{20 : 5}} = \sqrt[3]{3^{4}}

14. c)

\sqrt[6]{11^{3}} = \sqrt[6 : 3]{11^{3 : 3}} = \sqrt{11}

14. d)

\sqrt[18]{7^{2}} = \sqrt[18 : 2]{7^{2 : 2}} = \sqrt[9]{7}

16. a) Aplicando a 2ª propriedade dos radicais, temos:

\sqrt[6]{a^{3}} = \sqrt[6 : 3]{a^{3 : 3}} = \sqrt{a}

16. b)

\sqrt[20]{x^{15}} = \sqrt[20 : 5]{x^{15 : 5}} = \sqrt[4]{x^{3}}

16. c)

\sqrt[9]{y^{6}} = \sqrt[9 : 3]{y^{6 : 3}} = \sqrt[3]{y^{2}}

16. d)

\sqrt[12]{m^{10}} = \sqrt[12 : 2]{m^{10 : 2}} = \sqrt[6]{m^{5}}

17. a) Aplicando a 3ª propriedade dos radicais, temos:

\sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5}

17. b)

\sqrt[3]{2 \cdot 3} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3}

17. c)

\sqrt[4]{7 \cdot 10} = \sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{10}

18. a) Aplicando a 4ª propriedade dos radicais, temos:

\sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}

18. b)

\sqrt[3]{\frac{18}{5}} = \frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{5}}

18. c)

\sqrt[5]{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{9}}

19. a)

\sqrt{8} = \sqrt{2^{3}} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{1}} = \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{2^{1}} = 2 \sqrt{2}

19. b)

\sqrt[3]{27 \cdot 5} = \sqrt[3]{3^{3} \cdot 5} = \sqrt[3]{3^{3}} \cdot \sqrt[3]{5} = 3 \sqrt[3]{5}

19. c)

\sqrt[5]{2^{7}} = \sqrt[5]{2^{5} \cdot 2^{2}} = \sqrt[5]{2^{5}} \cdot \sqrt[5]{2^{2}} = 2 \cdot \sqrt[5]{2^{2}} = 2 \sqrt[5]{4}

Página quarenta e três

19. d)

\sqrt[4]{2^{7} \cdot 3^{5} \cdot 5^{4}} = \sqrt[4]{2^{4} \cdot 2^{3}} \cdot \sqrt[4]{3^{4} \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{5^{4}} =

= 2 \cdot \sqrt[4]{2^{3}} \cdot 3 \sqrt[4]{3} \cdot 5 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sqrt[4]{2^{3} \cdot 3} = 30 \sqrt[4]{24}

19. e)

\sqrt[3]{162} = \sqrt[3]{2 \cdot 3^{4}} = \sqrt[3]{2 \cdot 3 \cdot 3^{3}} = 3 \sqrt[3]{6}

19. f)

\sqrt[6]{3^{3} \cdot 4^{12}} = \sqrt[6 : 3]{3^{3 : 3}} \cdot \sqrt[6 : 3]{4^{12 : 3}} = \sqrt[]{3} \cdot \sqrt{{(4^{2})}^{2}} = 16 \sqrt{3}

20. a)

2 \sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{2^{2}} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{2^{2} \cdot 5}

20. b)

3 \sqrt[3]{2} = 3 \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{3^{3}} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{3^{3} \cdot 2}

20. c)

‒ 2 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{{(‒ 2)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{3^{3}} \cdot \sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{{(‒ 2)}^{3} \cdot 3^{3} \cdot 10}

20. d)

\frac{2}{3} \sqrt{5} = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2}} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{\frac{2^{2} \cdot 5}{3^{2}}}

20. e)

0, 2 \sqrt[3]{2} = 0, 2 \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{(0, 2)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{(0, 2)}^{3} \cdot 2}

20. f)

2 \sqrt[4]{3} = 2 \cdot \sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{2^{4}} \cdot \sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{2^{4} \cdot 3}

21. a)

\sqrt{25} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[4]{81} = \sqrt{5^{2}} + \sqrt[3]{3^{3}} + \sqrt[4]{3^{4}} = 5 + 3 + 3 = 11

21. b)

\sqrt[3]{‒ 64} + \sqrt{64} + \sqrt[6]{64} = \sqrt[3]{{(‒ 4)}^{3}} + \sqrt{8^{2}} + \sqrt[6]{2^{6}} =

= ( ‒ 4 ) + 8 + 2 = 6

21. c) Sendo 4,41 = 2,12 e 2,56 = 1,62, então:

\sqrt{4, 41} ‒ 3 \sqrt{2, 56}

= 2 · 2,1 ‒ 3 · 1,6 = 4,2 ‒ 4,8 = ‒0,6

21. d)

5 \sqrt{1, 44} + 3 \sqrt[3]{0, 343} = 5 \sqrt{1, 2^{2}} + 3 \sqrt[3]{0, 7^{3}}

= 5 \cdot 1, 2 + 3 \cdot 0, 7 = 6 + 2, 1 = 8, 1

22. a)

3 \sqrt{5} + \sqrt{5} ‒ 6 \sqrt{5} = (3 + 1 ‒ 6) \cdot \sqrt{5} = ‒ 2 \sqrt{5}

22. b)

4 \sqrt{2} + 6 \sqrt{3} ‒ 2 \sqrt{2} + 9 \sqrt{3}

= (4 ‒ 2) \cdot \sqrt{2} + (6 + 9) \cdot \sqrt{3}

= 2 \sqrt{2} + 15 \sqrt{3}

22. c)

2 \sqrt[5]{3} ‒ 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt[5]{3}

= (2 + 3) \cdot \sqrt[5]{3} + (‒ 2 + 3) \cdot \sqrt{3}

= 5 \sqrt[5]{3} + \sqrt{3}

22. d)

3 + \sqrt{2} + 7 ‒ 5 \sqrt{2} = 10 + (1 ‒ 5) \cdot \sqrt{2} = 10 ‒ 4 \sqrt{2}

23. a)

\sqrt{20} + \sqrt{45} = \sqrt{2^{2} \cdot 5} + \sqrt{3^{2} \cdot 5} = 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} = 5 \sqrt{5}

23. b)

4 \sqrt{63} ‒ \sqrt{7} = 4 \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7} ‒ \sqrt{7} = 4 \cdot 3 \sqrt{7} ‒ \sqrt{7} =

= 12 \sqrt{7} ‒ \sqrt{7} = 11 \sqrt{7}

23. c)

\sqrt{50} + \sqrt{98} ‒ \sqrt{72} = \sqrt{2 \cdot 5^{2}} + \sqrt{2 \cdot 7^{2}} ‒ \sqrt{2 \cdot 6^{2}} =

= 5 \sqrt{2} + 7 \sqrt{2} ‒ 6 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}

23. d)

\sqrt{12} + \sqrt{75} + \sqrt{108} = \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{3 \cdot 5^{2}} + \sqrt{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3} =

= 2 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 13 \sqrt{3}

24. a)

2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3}

Então, a medida do perímetro é

10 \sqrt{3}

24. b)

\sqrt{8} + \sqrt{18} + \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 2^{2}} + \sqrt{2 \cdot 3^{2}} + \sqrt{2 \cdot {(2^{2})}^{2}}

= 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} = 9 \sqrt{2}

Então, a medida do perímetro é

9 \sqrt{2}

26. a)

\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{5 \cdot 6} = \sqrt[3]{30}

26. b)

\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4

26. c)

\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 6 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6

26. d)

\sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{50} = \sqrt{2 \cdot 5^{2}} = 5 \sqrt{2}

26. e)

\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 3} = 2 \sqrt[3]{3}

26. f)

\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[6]{2^{3}} \cdot \sqrt[6]{5^{2}} = \sqrt[6]{2^{3} \cdot 5^{2}} = \sqrt[6]{8 \cdot 25} = \sqrt[6]{200}

27. a)

\sqrt{5} \cdot (1 + \sqrt{5}) = \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5} + {(\sqrt{5})}^{2} = \sqrt{5} + 5

27. b)

(3 \sqrt{2} ‒ 2) \cdot (\sqrt{2} + 3) = 3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 3 \sqrt{2} ‒ 2 \sqrt{2} ‒ 6

3 \cdot {(\sqrt{2})}^{2} + 9 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 6 = 6 + 7 \sqrt{2} - 6 = 7 \sqrt{2}

27. c)

(\sqrt{3} + 2) \cdot (2 \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot 2 \sqrt{3}

2 \cdot {(\sqrt{3})}^{2} + 4 \sqrt{3} = 6 + 4 \sqrt{3}

28. a) A medida do perímetro é dada por:

\sqrt{3} + 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 1 + \sqrt{2} = 2 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}

A medida da área da figura é dada por:

\sqrt{3} \cdot (1 + \sqrt{2}) = \sqrt{3} + (\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{6}

28. b) A medida do perímetro é dada por:

2 \sqrt{2} + \sqrt{10} + 4 \sqrt{2} + \sqrt{10} = 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10}

A medida da área da figura é dada por:

\frac{(4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}) \cdot 2 \sqrt{2}}{2} = \frac{8 \cdot {(\sqrt{2})}^{2} + 4 · {(\sqrt{2})}^{2}}{2} =

= \frac{8 \cdot 2 + 4 \cdot 2}{2} = 8 + 4 = 12

29. a)

\sqrt{12} : \sqrt{3} = \sqrt{12 : 3} = \sqrt{4} = 2

29. b)

\sqrt{50} : \sqrt{2} = \sqrt{50 : 2} = \sqrt{25} = 5

29. c)

12 \sqrt[3]{‒ 6} : 3 \sqrt[3]{2} = 4 \sqrt[3]{(‒ 6) : 2} = 4 \sqrt[3]{‒ 3}

29. d)

\sqrt[3]{6} : \sqrt{3} = \sqrt[6]{6^{2}} : \sqrt[6]{3^{3}} = \sqrt[6]{\frac{36}{27}} = \sqrt[6]{\frac{4}{3}}

30. a)

(\sqrt{18} + \sqrt{98} + \sqrt{200}) : (2 \sqrt{2} + \sqrt{8}) =

(\sqrt{2 \cdot 3^{2}} + \sqrt{2 \cdot 7^{2}} + \sqrt{2 \cdot 10^{2}}) : (2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{3}}) =

(3 \sqrt{2} + 7 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2}) : (2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} : 4 \sqrt{2} = 5

30. b)

(\sqrt{150} - \sqrt{24}) : (2 \sqrt{8} - 3 \sqrt{2})

(\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 5^{2}} - \sqrt{2^{3} \cdot 3}) : (2 \sqrt{2^{3}} - 3 \sqrt{2})

(5 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6}) : (4 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2})

3 \sqrt{6} : \sqrt{2} = 3 \sqrt{6 : 2} = 3 \sqrt{3}

30. c)

(10 \sqrt{27} + 10 \sqrt{3}) : 10 \sqrt{3} = (10 \sqrt{3^{3}} + 10 \sqrt{3}) : (10 \sqrt{3})

(30 \sqrt{3} + 10 \sqrt{3}) : 10 \sqrt{3} = 40 \sqrt{3} : 10 \sqrt{3} = 4

Página quarenta e quatro

30. d)

(20 \sqrt{10} + 10 \sqrt{18}) : 2 \sqrt{2} = (20 \sqrt{10} + 10 \sqrt{2 \cdot 3^{2}}) : 2 \sqrt{2}

(20 \sqrt{10} + 30 \sqrt{2}) : 2 \sqrt{2} = (20 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + 30 \sqrt{2}) : 2 \sqrt{2}

10 \sqrt{2} \cdot (2 \sqrt{5} + 3) : 2 \sqrt{2} = 5 \cdot (2 \sqrt{5} + 3)

10 \sqrt{5} + 15

31.

p \cdot q - p = (3 + \sqrt{2}) \cdot (2 - \sqrt{2}) - (3 + \sqrt{2}) =

6 - 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2 - 3 - \sqrt{2} = 1 - 2 \sqrt{2}

Alternativa a.

32. a  · b  = 

\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{2^{2}} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{2^{3}} = \sqrt[4]{8}

Alternativa a.

33. a)

(\sqrt{201} + \sqrt{199}) \cdot (\sqrt{201} - \sqrt{199})

\sqrt{201^{2}} - \sqrt{201} \cdot \sqrt{199} + \sqrt{201} \cdot \sqrt{199} - \sqrt{199^{2}}

= 201 ‒ 199 = 2

(\sqrt{31, 4} + \sqrt{29, 4}) \cdot (\sqrt{31, 4} - \sqrt{29, 4})

\sqrt{31, 4^{2}} - \sqrt{31, 4} \cdot \sqrt{29, 4} + \sqrt{31, 4} \cdot \sqrt{29, 4} - \sqrt{29, 4^{2}}

= 31,4  ‒  29,4  =  2

(\sqrt{89} + \sqrt{82}) \cdot (\sqrt{89} - \sqrt{82})

\sqrt{89^{2}} ‒ \sqrt{89} \cdot \sqrt{82} + \sqrt{89} \cdot \sqrt{82} ‒ \sqrt{82^{2}}

= 89 ‒ 82 = 7

33. b) Para os números 7 e 5, por exemplo, temos:

(\sqrt{7} + \sqrt{5})

(\sqrt{7} - \sqrt{5})

7 - \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} - 5

= 7 ‒ 5 = 2

Espera-se que os estudantes concluam que o resultado da operação é sempre a diferença entre os radicando.

34. a)

{(\sqrt{15})}^{2} = \sqrt{15^{2}} = 15

34. b)

{(\sqrt[3]{3})}^{3} = \sqrt[3]{3^{3}} = 3

34. c)

{(3 \sqrt{7})}^{2} = 3^{2} \sqrt{7^{2}} = 9 · 7 = 63

34. d)

{(3 \sqrt[4]{3})}^{4} = 3^{4} · \sqrt[4]{3^{4}} = 81 · 3 = 243

34. e)

{(\sqrt{10})}^{3} = \sqrt{10^{3}} = \sqrt{10^{2} \cdot 10} = 10 \sqrt{10}

34. f)

{(2 \sqrt[3]{3})}^{4} = 2^{4} \cdot \sqrt[3]{3^{4}} = 16 \cdot \sqrt[3]{3^{3} \cdot 3} = 16 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{3} = 48 \sqrt[3]{3}

35. a)

{(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{2} = {(\sqrt{7})}^{2} + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2}

7 + 2 \cdot \sqrt{21} + 3 = 10 + 2 \sqrt{21}

35. b)

{(3 - \sqrt{7})}^{2} = 3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + {(\sqrt{7})}^{2} = 9 - 6 \sqrt{7} + 7

16 ‒ 6 \sqrt{7}

36.

A = {(‒ \sqrt{3})}^{4} + {(‒ \sqrt{3})}^{2} + 2 = \sqrt{3^{4}} + \sqrt{3^{2}} + 2

\sqrt{3^{2} \cdot 3^{2}} + 3 + 2

 =  3 ⋅ 3  +  3 + 2  = 14

37. a)

\sqrt{\sqrt{10}} =\sqrt[2 \cdot 2]{10}=\sqrt[4]{10}

37. b)

\sqrt[3]{\sqrt{3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{3} =\sqrt[6]{3}

37. c)

\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} = \sqrt[2 \cdot 2 \cdot 2]{2} = \sqrt[8]{2}

37. d)

\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt{3}}} = \sqrt[3 \cdot 3 \cdot 2]{3} =\sqrt[18]{3}

37. e)

\sqrt[6]{\sqrt{5^{3}}} = \sqrt[6 \cdot 2]{5^{3}} = \sqrt[12]{5^{3}} = \sqrt[4]{5}

37. f)

\sqrt[3]{2 \sqrt{2^{4}}} = \sqrt[3]{\sqrt{2^{2} \cdot 2^{4}}} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^{6}} = \sqrt[6]{2^{6}} = 2

37. g)

\sqrt{\sqrt{15^{4}}} = \sqrt[2 \cdot 2]{15^{4}} = \sqrt[4]{15^{4}} = 15

37. h)

\sqrt[4]{3 \sqrt{5}} = \sqrt[4]{\sqrt{3^{2} \cdot 5}} = \sqrt[4 \cdot 2]{45} = \sqrt[8]{45}

38. a) Verdadeira, pois:

\sqrt[3]{\sqrt{11}} = \sqrt[3 \cdot 2]{11} = \sqrt[6]{11}

38. b) Falsa, pois:

\sqrt[2]{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[2 \cdot 3]{2} = \sqrt[6]{2}

38. c) Verdadeira, pois:

\sqrt{\sqrt{\sqrt{1 024}}} = \sqrt[2 \cdot 2 \cdot 2]{2^{10}} = \sqrt[8]{2^{10}} = \sqrt[4]{2^{5}}

38. d) Verdadeira, pois:

\sqrt[3]{\sqrt{81}} = \sqrt[3 · 2]{3^{4}} = \sqrt[3]{3^{2}}

39. Para o denominador da expressão

\frac{15}{4 \sqrt{3}}

ser racional, podemos multiplicá-lo por

\sqrt{3}

, pois:

\frac{15}{4 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{15 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3^{2}}} = \frac{15 \sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{15 \sqrt{3}}{12}

40. Os dois termos da expressão podem ser multiplicados por

\sqrt[3]{5^{2}}

, por exemplo, para obter uma expressão cujo denominador seja um número racional, pois:

\frac{10}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5^{2}}}{\sqrt[3]{5^{2}}} = \frac{10 \sqrt[3]{5^{2}}}{\sqrt[3]{5^{3}}} = \frac{10 \sqrt[3]{5^{2}}}{5}

41. a)

\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{{(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}

41. b)

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

41. c)

\frac{2}{3 \sqrt{5}} = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot {(\sqrt{5})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{2 \sqrt{5}}{15}

41. d)

\frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot {(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

41. e)

\frac{5}{\sqrt[3]{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{5^{2}}}{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5^{2}}} = \frac{5 \sqrt[3]{5^{2}}}{\sqrt[3]{5^{3}}} = \frac{5 \sqrt[3]{5^{2}}}{5} = \sqrt[3]{5^{2}}

41. f)

\frac{4}{\sqrt[8]{2^{5}}} = \frac{4 \cdot \sqrt[8]{2^{3}}}{\sqrt[8]{2^{5}} \cdot \sqrt[8]{2^{3}}} = \frac{4 \sqrt[8]{2^{3}}}{\sqrt[8]{2^{8}}} = \frac{4 \sqrt[8]{2^{3}}}{2} = 2 \sqrt[8]{2^{3}}

42. a)

\frac{3}{\sqrt{5}} ≃ \frac{3}{2, 236} ≃ 1, 342

Página quarenta e cinco

42. b)

\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} ≃ \frac{3 \cdot 2, 236}{{(\sqrt{5})}^{2}} = \frac{6, 708}{5} ≃ 1, 342

43.  

\frac{2}{\sqrt{10} ‒ 3} ≃ \frac{2}{3, 162 ‒ 3} = \frac{2}{0, 162} ≃ 12, 346

44. A medida da área da região retangular, em centímetros quadrados, é dada por:

A = 5 \sqrt{2} \cdot x \Rightarrow 10 = 5 \sqrt{2} \cdot x \Rightarrow \frac{10}{5} = \sqrt{2} \cdot x \Rightarrow 2 = \sqrt{2} x

⇒

x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

Logo,

x = \sqrt{2}

centímetro.

Pense mais um poucoreticências

Página 54

a) Em um cubo, as medidas da largura, da altura e do comprimento são iguais. Se Bruno usar a medida da aresta de dois cubos para as medidas da altura, da largura e do comprimento, usará um total de 8 cubos para formar o cubo maior; se Bruno usar a medida da aresta de três cubos para as medidas da altura, da largura e do comprimento, usará um total de 27 cubos para formar o cubo maior; se Bruno usar a medida da aresta de quatro cubos para as medidas da altura, da largura e do comprimento, usará um total de 64 cubos para formar o cubo maior. Logo, se Bruno tem apenas 30 dêsses cubos, ele deve usar 27 deles para formar o maior cubo possível.

b) O lado do cubo maior medirá

6 \sqrt{7}

centímetros, pois 3 ·

2 \sqrt{7} = 6 \sqrt{7}

. Assim, a medida do volume será .1512

\sqrt{7}

centímetros cúbicos, pois:

{(6 \sqrt{7})}^{3} = 6 \sqrt{7} \cdot 6 \sqrt{7} \cdot 6 \sqrt{7} = 216 \cdot \sqrt{7^{3}}

216 \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 7} = 216 \cdot 7 \cdot \sqrt{7} = 1 512 \sqrt{7}

Trabalhando a informação

1. a) O índice percentual foi maior em 2010, pois é o ano que apresenta a maior taxa de variação (7,5%). O índice percentual foi menor em 2020, pois é o ano que apresenta a menor taxa de variação (‒3,9%).

1. b) Não, de acordo com os dados, a taxa de variação do Píbi sempre foi diferente de zero nesse período, ou seja, sempre houve oscilação para mais ou para menos.

1. c)

Gráfico de linhas. Título do gráfico: 'Taxa acumulada de variação do PIB brasileiro no quarto trimestre'. Há duas linhas, uma verde e uma laranja. Eixo horizontal: ano de 2004 a 2021. Eixo vertical: Taxa de variação do PIB em porcentagem, com escala de menos 6,0 a 10,0., de 1 em 1. Os dados são: Linha laranja; 2004: 5,8. 2006: 4,0. 2008: 5,1. 2010: 7,5. 2012: 1,9. 2014: 0,5. 2016: menos 3,3. 2018: 1,8. 2020: menos 3,9. Linha verde. Em 2004: 5,8. 2005: 3,2. 2006: 4,0. 2007: 6,1. 2008: 5,1. 2009: menos 0,1. 2010: 7,5. 2011: 4,0. 2012: 1,9. 2013: 3,3. 2014: 0,5. 2015: menos 3,5. 2016: menos 3,3. 2017: 1,3. 2018: 1,8. 2019: 1,2. 2020: menos 3,9. 2021: 4,6. — Dados obtidos em: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Disponível em: https://oeds.link/Jie12T. Acesso em: 24 jul. 2022.

Ao comparar os dois gráficos, os estudantes poderão perceber que o gráfico de linha que construíram é diferente do original e que, com a taxa de variação do Píbi indicada de dois em dois anos, algumas informações são perdidas. Por exemplo, se analisarmos os anos de 2008 a 2010, observamos um crescimento do Píbi de 2,4% (7,5 ‒ 5,1 = 2,4); mas, em 2009, a taxa de variação do Píbi foi de ‒0,1%. Ou seja, entre 2008 e 2009 houve uma queda do Píbi de 5,2% (‒0,1 ‒ 5,1 = ‒5,2), havendo recuperação de 2009 a 2010.

2. a) O índice percentual foi maior em 2010, pois nesse ano o Píbi apresentou maior taxa de variação (6,5%). O índice percentual foi menor em 2015, pois nesse ano o Píbi apresentou menor taxa de variação ( ‒ 4,6%).

2. b) Sim, no ano de 2001, a taxa de variação do Píbi chegou a zero; portanto, podemos concluir que, nesse ano, o Píbi não cresceu nem diminuiu.

Página quarenta e seis

2. c) Uma sugestão de gráfico é apresentada a seguir.

Gráfico de linha. Título: "Taxa acumulada de variação do PIB brasileiro per capita". Eixo horizontal: ano de 2000 a 2016. Eixo vertical: Taxa de variação do PIB (em porcentagem) com escala de menos 5,0 a 7,0. Os dados são: 2000: 2,9. 2001: 0,0. 2002: 1,7. 2003: menos 0,2. 2004: 4,4. 2005: 2,0. 2006: 2,8. 2007: 4,9. 2008: 4,0. 2009: menos 1,2. 2010: 6,5. 2011: 3,0. 2012: 1,0. 2013: 2,1. 2014: menos 0,4. 2015: menos 4,6. 2016: menos 4,4. — Dados obtidos em: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Contas Nacionais Trimestrais. Rio de Janeiro: í bê gê É, out./dez. 2016. Disponível em: https://oeds.link/s4peK1. Acesso em: 26 maio 2022.

Exercícios complementares

1. Como 10‒3 : 106 =10‒9, a medida corresponde a 10‒9 métro, que equivale a 1 nanômetro.

2. O diâmetro da Terra na linha do Equador mede aproximadamente .12756 quilômetros ou aproximadamente 1,28 · 104 quilômetros. O diâmetro do Sol mede aproximadamente 1,4 · 106 quilômetros.

Assim, 1 centésimo de 1, 4 · 106 quilômetros corresponde a:

\frac{1, 4 \cdot 10^{6}}{10^{2}}

= 1,4 · 106 ‒ 2 =1, 4 · 104

Como 1, 4 · 104 quilômetros é próximo de 1,28 · 104 quilômetros, a informação é coerente.

3. a) O armazenamento disponível é 1,2 giga báite. Sabendo que 1 giga báite = .1000 mégabáites ⇒

⇒ 1 mega báite =

\frac{1}{1 000}

giga báite, e que 1 mega báite = .1000 quilobáites ⇒ 1 quilo báite =

\frac{1}{1 000}

mega báite, temos:

21,5 mégabáites =

\frac{21, 5}{1 000}

giga báite = 0,0215 giga báite

.33450 quilobáites =

\frac{33 450}{1 000}

mégabáites = 33,45 mégabáites =

\frac{33, 45}{1 000}

giga báite = 0,03345 giga báite

318 mégabáites =

\frac{318}{1 000}

giga báite = 0,318 giga báite

104 mégabáites =

\frac{104}{1 000}

giga báite = 0,104 giga báite

.43500 kB =

\frac{43 500}{1 000}

mégabáites = 43,5 mégabáites =

\frac{43, 5}{1 000}

giga báite = 0,0435 giga báite

99,5 mégabáites =

\frac{99, 5}{1 000}

giga báite = 0,0995 giga báite

110,55 mégabáites =

\frac{110, 55}{1 000}

giga báite = 0,11055 giga báite

Então, os vídeos enviados por Caio, juntos, tinham 0,7305 giga báite, pois:

0,0215 + 0,03345 + 0,318 + 0,104 + 0,0435 + 0,0995 + 0,11055 = 0,7305

Portanto, o celular de Andréa tinha capacidade para receber todos os vídeos enviados por Caio.

3. b) Poderia receber 0,4695 giga báite, pois 1,2 ‒ 0,7305 = 0,4695 e

0,4695 giga báite = (0,4695 · .1000) mega báite = 469,5 mégabáites.

4. Sabemos que 1 unidade astronômica ≃ 1,5 · 108 quilômetros e 1 ano-luz ≃ 9,5 · 1015 métros.

Assim, as medidas que completam cada linha da tabela são:

Página quarenta e sete

• Mercúrio: 6 · 107 quilômetros e 5,05 · 10‒10 ano-luz.

0,4 · 1,5 · 108 = 6 · 107

\frac{4, 8 \cdot 10^{3}}{9, 5 \cdot 10^{12}} ≃ 5, 05 \cdot 10^{‒ 10}

• Vênus: 0,72 unidade astronômica e 1,26 · 10‒9 ano-luz.

\frac{1, 08 \cdot 10^{8}}{1, 5 \cdot 10^{8}} = 0, 72

\frac{1, 2 \cdot 10^{4}}{9, 5 \cdot 10^{12}} ≃ 1, 26 \cdot 10^{‒ 9}

• Terra: 1,28 · 104 quilômetros

1,35 · 10‒9 · 9,5 · 1012 ≃ 1,28 · 104

• Marte: 2,25 · 108 quilômetros e 6,8 · 103 quilômetros.

1,5 · 1,5 · 108 = 2,25 · 108

7,16 · 10‒10 · 9,5 · 1012 ≃ 6,8 · 103

• Júpiter: 5,2 unidades astronômicas e 1,51 · 10‒8 ano-luz.

\frac{7, 8 \cdot 10^{8}}{1, 5 \cdot 10^{8}}

= 5,2

\frac{1, 43 \cdot 10^{5}}{9, 5 \cdot 10^{12}}

≃ 1,51 · 10‒8

• Saturno: 1,43 · 109 quilômetros e 1,26 · 10‒8 ano-luz.

9,5 · 1,5 · 108 quilômetros ≃ 1,43 · 109 quilômetros

\frac{1, 2 \cdot 10^{5}}{9, 5 \cdot 10^{12}}

ano-luz ≃ 1,26 · 10‒8 ano-luz

• Urano: 2,87 ·109 quilômetros e 5,37 · 10‒9 ano-luz.

19,1 · 1,5 · 108 ≃ 2,87 · 109

\frac{5, 1 \cdot 10^{4}}{9, 5 \cdot 10^{12}} ≃ 5, 37 \cdot 10^{‒ 9}

• Netuno: 30 unidades astronômicas e 4,9 · 104 quilômetros.

\frac{4, 5 \cdot 10^{9}}{1, 5 \cdot 10^{8}} = 30

5,16 · 10‒9 · 9,5 · 1012 ≃ 4,9 · 104

7. Para fazer essa representação, basta construir um triângulo retângulo com catetos medindo 4 unidades e uma u, em que u indica a unidade de medida de comprimento, sendo uma u a distância entre 0 e 1 na reta numérica considerada. A hipotenusa desse triângulo medirá

\sqrt{17}

unidades, pois 12 + 42 =

{(\sqrt{17})}^{2}

. Assim, com uma abertura do compasso igual à medida da hipotenusa dêsse triângulo, marcamos a posição do número

\sqrt{17}

na reta numérica.

8. a) A soma das medidas das arestas é (12 +

12 \sqrt{2}

) centímetros.

4 \cdot (\sqrt{2}) + 4 \cdot (1 + \sqrt{2}) + 4 \cdot (2 + \sqrt{2}) =

= 4 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} + 8 + 4 \sqrt{2} = 12 + 12 \sqrt{2}

8. b) Há dois tipos de face lateral; portanto, a soma das medidas das áreas pode ser dada por:

2 \cdot A_{1} + 2 \cdot A_{2}

A_{1} = \sqrt{2} \cdot (1 + \sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{4} = \sqrt{2} + 2

A_{2} = \sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} + \sqrt{4} = 2 \sqrt{2} + 2

Então, a soma das medidas das áreas das faces laterais é

(8 + 6 \sqrt{2})

centímetros quadrados, pois:

2 \cdot A_{1} + 2 \cdot A_{2} = 2 (2 + \sqrt{2}) + 2 (2 + 2 \sqrt{2}) =

= 4 + 2 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} = (8 + 6 \sqrt{2})

8. c) A medida de volume é

(6 + 4 \sqrt{2})

centímetros cúbicos, pois:

\sqrt{2} \cdot (1 + \sqrt{2}) \cdot (2 + \sqrt{2}) = (\sqrt{2} + \sqrt{4}) \cdot (2 + \sqrt{2}) =

= (\sqrt{2} + 2) \cdot (2 + \sqrt{2}) = {(2 + \sqrt{2})}^{2} =

= 2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = 4 + 4 \sqrt{2} + 2 = 6 + 4 \sqrt{2}

9. Primeiro vamos converter a medida da distância a ser percorrida pelo robô de metro (métro) para centímetro (centímetro). Sendo 1 métro = 100 centímetros, temos:

18, 5 \sqrt{3}

métros = (

18, 5 \sqrt{3} \cdot 100

) centímetros =

1 850 \sqrt{3}

centímetros

Portanto, o robô deverá dar 37 passos de

50 \sqrt{3}

centímetros para percorrer essa distância, pois:

\frac{1 850 \sqrt{3}}{50 \sqrt{3}} = 37

10. a)

\frac{8}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}

10. b)

\frac{10}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{10 \sqrt{3} + 10}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \frac{10 \sqrt{3} + 10}{3 - 1}

\frac{10 \sqrt{3} + 10}{2} = \frac{10 (\sqrt{3} + 1)}{2} = 5 (\sqrt{3} + 1)

10. c)

\frac{5 + 3 \sqrt{5}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5} + 3 \sqrt{25}}{\sqrt{25}} = \frac{5 \sqrt{5} + 3 \cdot 5}{5} =

\frac{5 \sqrt{5} + 15}{5} = \frac{5 (\sqrt{5} + 3)}{5} = \sqrt{5} + 3

11. Como

\frac{26 \cdot \sqrt{146}}{100} = 0, 26 \cdot \sqrt{146}

≃ 0,26 · 12,08304597 ≃

≃ 3,1415919522, considerando π = 3,1415927reticências, percebemos que os números são iguais até a quinta casa decimal.

Verificando

1. Como 1 petabyte equivale a 1015 bytes, temos que a capacidade do agá dê é 120 · 1015 bytes.

Alternativa c.

5^{\frac{3}{4}} \cdot {(\sqrt[3]{5})}^{\frac{5}{2}} = 5^{\frac{3}{4}} \cdot {(5^{\frac{1}{3}})}^{\frac{5}{2}} = 5^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2}} = 5^{\frac{3}{4} + \frac{5}{6}} = 5^{\frac{9 + 10}{12}}

= 5^{\frac{19}{12}} = \sqrt[12]{5^{19}}

Alternativa a.

\frac{b \cdot \sqrt[9]{a^{6}}}{\sqrt[6]{c^{14}}} = \frac{b^{1} \cdot a^{\frac{6 : 3}{9 : 3}}}{c^{\frac{14 : 2}{6 : 2}}} = \frac{b^{1} \cdot a^{\frac{2}{3}}}{c^{\frac{7}{3}}} = \frac{b^{\frac{3}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}}}{c^{\frac{7}{3}}} = \frac{\sqrt[3]{b^{3} \cdot a^{2}}}{\sqrt[3]{c^{7}}} =

\sqrt[3]{\frac{b^{3} \cdot a^{2}}{c^{7}}}

Alternativa d.