Página quarenta e oito

Parte 3

4. A medida do perímetro é dada pela adição das medidas dos lados do quadrilátero.

\sqrt{12} + \sqrt{48} + \sqrt{27} + \sqrt{21} = \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{4^{2} \cdot 3} + \sqrt{3^{2} \cdot 3} +

+ \sqrt{3 \cdot 7} = 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} =

= 9 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{3} (9 + \sqrt{7})

Alternativa c.

5.

a \cdot b = \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[6]{2} = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{3}{12}} \cdot 2^{\frac{2}{12}} = \sqrt[12]{3^{3}} \cdot \sqrt[12]{2^{2}}

 =

= \sqrt[12]{3^{3} \cdot 2^{2}} = \sqrt[12]{27 \cdot 4} = \sqrt[12]{108}

Alternativa b.

6. Considerando x a medida da base do retângulo, temos:

\sqrt{1 550} = x \cdot \sqrt{62} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{1 550}}{\sqrt{62}} = \sqrt{\frac{1 550}{62}} = \sqrt{25} = 5

Então a base mede 5 centímetros.

Alternativa b.

7. O volume mede 250 centímetros cúbicos, pois:

{(5 \sqrt[6]{4})}^{3} = 5^{3} {(\sqrt[6]{4})}^{3} = 125 \cdot \sqrt[6]{4^{3}} = 125 \cdot \sqrt[2]{4} = 125 \cdot 2 = 250

Alternativa c.

8.

\sqrt{9 ‒ \sqrt{34 + \sqrt[3]{8}}} = \sqrt{9 ‒ \sqrt{34 + 2}} = \sqrt{9 ‒ \sqrt{36}} =

= \sqrt{9 ‒ 6} = \sqrt{3}

Alternativa d.

9.

\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{(\sqrt{5} ‒ \sqrt{3})}{(\sqrt{5} ‒ \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{60} ‒ \sqrt{36}}{{(\sqrt{5})}^{2} ‒ {(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 15} ‒ 6}{5 ‒ 3}

 =

\frac{2 \sqrt{15} ‒ 6}{2} = \frac{2 (\sqrt{15} ‒ 3)}{2} = \sqrt{15} ‒ 3

Alternativa c.

Capítulo 3 — Grandezas proporcionais

• Objetivos do capítulo e justificativas

• Determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como: gramatura de papel, velocidade média, densidade demográfica, entre outras.

• Resolver problemas envolvendo razões entre grandezas de espécies diferentes.

• Reconhecer relações de proporcionalidade entre duas grandezas.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo grandezas direta e inversamente proporcionais.

• Resolver e elaborar problemas por meio da regra de três.

• Aplicar a relação de proporcionalidade na obtenção da medida de arcos de circunferência.

• Comparar gráficos de barras envolvendo cálculo de razões.

• Construir gráficos de barras e de colunas com base em pesquisa sobre expectativa de vida.

Este capítulo trata do estudo de razões entre grandezas de naturezas diferentes e da proporcionalidade entre grandezas. São apresentadas estratégias de resolução de problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais, considerando problemas que tenham a mesma estrutura e que envolvam a variação entre duas ou mais grandezas dependentes. Esse trabalho contribui para que os estudantes relacionem aspectos quantitativos em diferentes situações, seja na Matemática ou em diferentes áreas de conhecimento. Nesse aspecto, colabora-se para o desenvolvimento das competências específicas 2, 3 e 6 e das competências gerais 2 e 4.

Algumas das situações trabalhadas exploram temáticas relacionadas ao mundo do trabalho, como a situação 2 das páginas 68 e 69, contribuindo para o desenvolvimento da competência geral 6 e da competência específica 7.

Na seção Trabalhando a informação são propostas atividades relacionadas à construção de gráficos com a temática Índice de Desenvolvimento Humano (í dê agá), favorecendo o desenvolvimento da competência geral 8 e das competências específicas 4 e 7.

Na página de Abertura é apresentada a imagem que propõe uma conversa sobre a importância do grafite como fórma de manifestação cultural e artística, o que contribui para o trabalho com a competência geral 3.

O desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e da competência específica 8 é favorecido com as diferentes propostas de atividades a serem realizadas em grupos, pois possibilitam aos estudantes exercitar diferentes habilidades socioemocionais ao trabalharem com colegas que podem ou não ter dificuldades ou facilidades em relação às atividades propostas.

• Habilidades trabalhadas no capítulo

(ê éfe zero nove ême ah zero sete) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

(ê éfe zero nove ême ah zero oito) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

(ê éfe zero nove ême ah um um) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

(ê éfe zero nove ême ah dois três) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

Os conceitos e as atividades envolvendo o estudo de proporcionalidade entre grandezas são o foco deste capítulo, desenvolvendo a Unidade Temática Álgebra com os temas razão entre grandezas de espécies diferentes, grandezas direta ou inversamente proporcionais e regra de três, ampliando os conhecimentos construídos em anos anteriores e em especial no 8º ano (ê éfe zero oito ême ah um dois e ê éfe zero oito ême ah um três) e contribuindo para o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero nove ême ah zero sete) e (ê éfe zero nove ême ah zero oito).

Página quarenta e nove

As articulações são feitas com a Unidade Temática Números por meio de cálculos e problemas envolvendo números reais, com a Unidade Temática Geometria na seção Para saber mais, que trata de medida de arco de uma circunferência, favorecendo o trabalho com a habilidade (ê éfe zero nove ême ah um um). A articulação com a Unidade Temática Probabilidade e estatística está na comparação de gráficos de barras e na análise de texto e construção de gráficos de barras e de colunas, temas das seções Trabalhando a informação, ampliando o trabalho feito em anos anteriores e contribuindo para o trabalho com a habilidade (ê éfe zero nove ême ah dois dois).

• Comentários e resoluções

Apresentamos a seguir as resoluções de alguns exercícios e atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompanham as reproduções das páginas do livro do estudante.

Abertura

b) Com o dôbro de artistas igualmente hábeis, eles farão o serviço em metade do tempo, ou seja, 5 dias.

c) São usados 25 litros para pintar um mural com área medindo 250 métros quadrados (25 · 10 = 250). O segundo mural tem área medindo .1000 métros quadrados (20 · 50 = .1000), como a área do mural aumentou 4 vezes, então será necessário 4 vezes a quantidade de tinta, ou seja, 100 litros ou 100 latas de 1 litro pois: 4 · 25 = 100

Exercícios propostos

1. Considerando a relação:

velocidade média = \frac{medida da distância percorrida}{medida do tempo gasto}

Então, basta dividir o número de quilômetros pelo número de dias, 155 quilômetros/dia, pois .48478 : 312 ≃ 155.

2. Tomando 30 minutos = 0,5 hora, 5 horas e 30 minutos equivalem a 5,5 horas. Então, a medida da velocidade média é

\frac{300 km}{5,5 h}

≃ 55quilômetros por hora.

3. A densidade demográfica é calculada por:

\frac{número de habitantes}{medida da área da região}

Em 2021, a população aproximada era de ..11466608 habitantes. Tomando n como o número de habitantes, temos:

40, 704 = \frac{n}{281 707, 151} \Rightarrow n ≃ 11 466 608

4. O nível aumentou 80 centímetros cúbicos (.1080 ‒ .1000 = 80). Para um material, a relação

\frac{medida de massa}{medida de volume}

é constante e indica a densidade absoluta da matéria, que é 10,5 gramas por centímetro cúbico no caso da prata. Então, para a coroa, fazendo

\frac{medida de massa}{medida de volume}

= \frac{840}{80} = 10, 5

; assim, a medida da densidade do material da coroa é a mesma medida de densidade da prata; portanto, a coroa é de prata.

5. Considerando a relação

\frac{medida de massa}{medida de volume}

, sendo m a medida da massa, em grama, e o volume dado em centímetro cúbico, temos:

2,6 =

\frac{m}{(12, 4 \cdot 1 000)}

⇒ m = 12,4 · 2, 6 · .1000 = 32,24 · .1000

Como (32,24 · .1000)gramas = 32,24 quilogramas, então a massa da pedra de mármore mede 32,24 quilogramas.

6. Vitória gastou 35 litros para percorrer 385 quilômetros, então o consumo médio será:

\frac{medida da distância percorrida}{medida do volume consumido}

=

\frac{385 km}{35 L}

= 11 quilômetros por litro

7. a) Em 30 dias o consumo médio foi de 30 métros cúbicos, (.5973 ‒ .5943 = 30). Como 1 métro cúbico = .1000 litros, o consumo médio da residência em 30 dias foi de .30000 litros (30 · .1000 = .30000). Assim, o consumo médio nesse período foi de .1000 litros/dia.

\frac{medida do volume consumido}{quantidade de dias}

=

\frac{30 000}{30}

= .1000

7. b) Segundo o recomendado pela ó ême ésse, uma residência de 5 moradores deveria consumir 550 litros (5 · 110 = 550). Logo, 450 litros (.1000 ‒ 550 = 450) de água foram consumidos a mais do que o recomendado. Cada pessoa excede em 90 litros, pois 450 : 5 = 90. Ou seja, cada pessoa consome aproximadamente 82% a mais do que o necessário.

\frac{110}{100} = \frac{90}{x} \Rightarrow x = \frac{90 \cdot 100}{110} = \frac{900}{11} ≃ 82

8. O volume da piscina mede 150 métros cúbicos (15 · 5 · 2 = 150). Como 1 métro cúbico = .1000 litros, a medida do volume da piscina é igual a .150000 litros (150 · .1000 = .150000).

Como a bomba despeja a água à razão de .2000 litros por hora, temos:

2 000 = \frac{150 000}{t} \Rightarrow t = 75

Logo, o tempo será de 75 horas.

9. a) Sim, pois a embalagem maior deveria custar R$ 42,75quarenta e dois reais e setenta e cinco centavos, se seguisse a mesma relação da menor (preço pago por quilograma).

(11,40 : 1,2) · 4,5 = 42,75

9. b) Na embalagem maior o preço por quilograma é de R$ 9,70nove reais e setenta centavos e na embalagem menor o preço por quilograma é de R$ 9,50nove reais e cinquenta centavos.

9. c) Não, pois, o preço pago por quilograma seria R$ 11,40onze reais e quarenta centavos, e o da embalagem maior é R$ 9,70nove reais e setenta centavos.

43,65 : 4,5 = 9,7

9. d) Resposta pessoal.

Página cinquenta

11. a) Inversamente proporcionais. Por exemplo, se a velocidade média é duplicada, o tempo é reduzido pela metade.

11. b) Diretamente proporcionais. Por exemplo, se o volume é duplicado, a massa também é duplicada.

11. c) Não são proporcionais. Por exemplo, se a idade é duplicada, não se pode afirmar que a massa será duplicada.

12. a) De acordo com o quadro, a velocidade é 48 quilômetros por hora.

12. b) De acordo com o quadro, o tempo é uma,5 hora.

12. c) Como ao duplicar a velocidade, o tempo é reduzido pela metade, então essas grandezas são inversamente proporcionais.

12. d) 120 ⋅ 1 = 120; 80 ⋅ 1,5 = 120; 60 ⋅ 2 = 120; 48 ⋅ 2,5 = 120.

Os produtos obtidos têm o mesmo valor numérico, o que confirma que o trajeto percorrido foi o mesmo, de 120 quilômetros. Relembre os estudantes que a velocidade média pode ser calculada por

\frac{medida da distância percorrida}{medida do tempo gasto}

; portanto, conclui-se que os resultados representam a grandeza distância percorrida.

15. O total de pontos entre os primeiros colocados foi 18 (10 + 8 = 18). Como o total dos prêmios foi R$ 3.600,00três mil seiscentos reais, então cada ponto corresponde a uma premiação de R$ 200,00duzentos reais (.3600 : 18 = 200). Assim, os prêmios foram: R$ 2.000,00dois mil reais para o primeiro colocado (10 ⋅ 200 = .2000) e R$ 1.600,00mil seiscentos reais para o segundo colocado (8 ⋅ 200 = .1600).

16.

\frac{4}{10} = \frac{8}{b}

⇒ 4b = 80 ⇒ b = 20

\frac{4}{10} = \frac{a}{25}

⇒ 10a = 100 ⇒ a = 10;

\frac{4}{10} = \frac{20}{c}

⇒ 4c = 200 ⇒ c = 50

18. a) Considere que as razões são tais que

\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = r

. Aplicando a propriedade fundamental das proporções, obtemos:

x = 3r; y = 4r; z = 5r

Pela medida do perímetro, temos:

x + y + z = 18 centímetros ⇒ 3r + 4r + 5r = 18 centímetros ⇒

⇒ 12r = 18 centímetros ⇒ r = 1,5 centímetro

Assim, temos:

x = 3 · r = 3 · 1,5 centímetro = 4,5 centímetros

y = 4 · r = 4 · 1,5 centímetro = 6 centímetros

z = 5 · r = 5 · 1,5 centímetro = 7,5 centímetros

18. b)

Ilustração. Triângulo retângulo ABC, retângulo em B. As medidas são: AB: 3 centímetros. BC: 4 centímetros. AC: 5 centímetros. Ilustração. Triângulo retângulo A linha B linha C linha, retângulo em B linha. As medidas são: A linha B linha: x. B linha C linha: y. A linha C linha: z. Destaque ângulo A linha.

18. c)

19. a) Quatro colheres de farinha de trigo é o dôbro do indicado originalmente. Logo, será necessário o dôbro de ovos: 6 ovos (2 ⋅ 3 = 6). Ao usar 9 ovos, a quantia de ovos está sendo triplicada, então a quantia de farinha também deverá ser triplicada: 6 colheres de farinha (2 ⋅ 3 = 6).

19. b) Quadruplicando a receita, serão necessárias 8 colheres de farinha de trigo e 12 ovos, pois 4 ⋅ 2 = 8 e 4 ⋅ 3 = 12.

21. a) Na metade do tempo, ou seja, 14 dias.

21. b) Em

\frac{1}{4}

do tempo, ou seja, 7 dias.

21. c) As grandezas são inversamente proporcionais.

23. a) Como o número de máquinas e o tempo para produção são grandezas inversamente proporcionais, o produto das duas quantidades deve ser igual ao produto expresso na primeira coluna: 1 ⋅ 60 = 60; Então: 60 = 2 · a ⇒ a = 30; 60 = b · 15 ⇒ b = 4; 60 = c · 6 ⇒ c = 10

23. b) De acordo com os dados apresentados, uma máquina produz 36 litros de sorvete em 60 minutos, ou uma hora. Portanto, com apenas uma máquina, 108 litros de sorvete seriam produzidos em 3 horas.

108 : 36 = 3

23. c) Como uma máquina faz 36 litros em uma hora, para produzir 72 litros (o dôbro) em 30 minutos (metade do tempo) seriam necessárias 4 máquinas.

24. a) 132 : 4 = 44

24. b) Como 2 + 4 + 6 = 12, as razões entre as quantidades correspondentes são iguais a

\frac{132}{12} = \frac{11}{1}

= 11. Portanto: 11 =

\frac{x}{2}

⇒ x = 11 · 2 = 22; 11 =

\frac{y}{4}

⇒ y = 44; 11 =

\frac{z}{6}

⇒ z = 66

Página cinquenta e um

24. c) Sendo x, y e z as partes procuradas, x + y + z =132, a proporção inversa indica que é possível escrever a relação 2x = 4y = 6z = r. Por isso,

x = \frac{r}{2}; y = \frac{r}{4}; e z = \frac{r}{6}

. Portanto,

\frac{r}{2} + \frac{r}{4} + \frac{r}{6}

= 132 e, encontrando o denominador comum: 

\frac{6 r + 3 r + 2 r}{12}

 = 

\frac{1 584}{12}

⇒ ⇒ 11r = .1584 ⇒ r = 144

Logo: x = 144 : 2 = 72; y = 144 : 4 = 36; z = 144 : 6 = 24

26. a) O valor final x é diretamente proporcional a quantidade de metros de tecido, então:

\frac{9}{12, 5} = \frac{117}{x}

⇒ ⇒ 9 · x = 12,5 · 117 ⇒ 9x = .1462,5 ⇒ x = 162,5

Portanto, custam R$ 162,50cento e sessenta e dois reais e cinquenta centavos.

26. b) Sendo x a quantidade procurada, temos:

\frac{9}{x} = \frac{117}{109, 5}

 ⇒ 117 · x = 109,5 · 9 ⇒ 117x = 985,5 ⇒

⇒

x = \frac{985, 5}{117} ≃ 8, 423

Portanto, é possível comprar 8,4 metros.

27. A medida total da massa da cana é diretamente proporcional à quantidade de litros de álcool produzidos; assim:

\frac{350}{8 750} = \frac{5}{x}

⇒ 350 · x = 5 · .8750 ⇒ 350x = .43750 ⇒ ⇒

x = \frac{43 750}{350} = 125

Portanto, 125 toneladas.

28. a) O número de funcionários e o número de dias totais para cumprir o trabalho são inversamente proporcionais, assim:

\frac{45}{60} = \frac{x}{4}

⇒ 60 · x = 45 · 4 ⇒ 60x = 180 ⇒ ⇒

x = \frac{180}{60} \Rightarrow x = 3

Portanto, seriam 3 dias.

28. b) Pesquisa e elaboração pessoal. Em geral, para evitar desastres ambientais, são necessários planos de prevenção e de gestão de riscos, além da intensificação da fiscalização de rotina para garantir o bom funcionamento dos equipamentos de segurança da indústria em questão.

29. a) A quantidade de pães produzidos é diretamente proporcional à quantidade de farinha de trigo utilizada, assim:

\frac{400}{10} = \frac{x}{60}

⇒ 10 · x = 400 · 60 ⇒ 10x = .24000 ⇒ x = .2400

Portanto, produzirá .2400 pães.

29. b) Das informações do enunciado, temos:

Quantidade de pães	Quantidade de farinha (kg)
400	10
720	x

Portanto:

\frac{10}{x} = \frac{400}{720}

⇒ x · 400 = 10 · 720 ⇒ 400x = = .7200 ⇒

x = \frac{7 200}{400} \Rightarrow x = 18

Ou seja, 18 quilogramas.

30. Em 10 dias, são produzidas uma.quinhentas rodas (10 ⋅ 150 = .1500). Das informações do enunciado, temos:

Quantidade de rodas	Material perdido (g)
1	30
1.500	x

A quantidade de rodas produzidas é diretamente proporcional à massa de material perdido, assim:

\frac{1}{1 500} = \frac{30}{x}

 ⇒ x = .1500 · 30 = .45000

Portanto, a massa de material perdido é:

.45000 gramas = (.45000 : .1000) quilogramas = 45 quilogramas.

31. a)

Tempo de viagem (h)	Velocidade (km/h)
4,5	80
x	90

A velocidade média é inversamente proporcional ao tempo gasto na viagem, assim:

\frac{4, 5}{x} = \frac{90}{80}

 ⇒ 90 · x = 4,5 · 80 ⇒ 90x = 360 ⇒ x = 4

Portanto, 4 horas.

31. b)

Tempo de viagem (h)	Velocidade (km/h)
4,5	80
5	x

\frac{4, 5}{5} = \frac{x}{80}

⇒ 5 · x = 4,5 · 80 ⇒ 5x = 360 ⇒ x = 72

Portanto, 72 quilômetros por hora.

32. a)

Quantidade de torneiras	Tempo (min)
1	45
2	x

A quantidade de torneiras ligadas é inversamente proporcional ao tempo que se leva para encher o tanque, então:

\frac{1}{2} = \frac{x}{45}

⇒ x = 45 : 2 = 22,5

Portanto, 22,5 minutos.

Página cinquenta e dois

33. a) Em média, cada ônibus transporta quatrocentas pessoas por dia, pois .240000 : 600 = 400. Nesse cenário, a retirada de 200 ônibus levaria .80000 pessoas a utilizar automóveis, pois 400 ⋅ 200 = .80000. Considerando 4 pessoas por automóvel, são .20000 veículos a mais circulando (.80000 : 4 = .20000).

35.

Quantidade de fregueses	Quantidade de esfirras	Tempo (dias)
150	3.000	5
200	x	30

As grandezas são todas diretamente proporcionais, então:

\frac{3 000}{x} = \frac{150}{200} \cdot \frac{5}{30} \Rightarrow \frac{3 000}{x} = \frac{750}{6 000}

⇒ 750x = ..18000000 ⇒

x = \frac{18 000 000}{750} \Rightarrow x = 24 000

Portanto, .24000 esfirras.

36.

Distância (km)	Tempo pedalando (dias)	Tempo por dia (h)
320	10	8
x	8	12

As grandezas são todas diretamente proporcionais, então:

\frac{320}{x} = \frac{10}{8} \cdot \frac{8}{12} \Rightarrow \frac{320}{x} = \frac{80}{96}

⇒ 80x = .30720 ⇒

x = \frac{30 720}{80} \Rightarrow x = 384

Portanto, 384 quilômetros.

37.

Quantidade de máquinas	Quantidade de panfletos	Tempo (h)
5	36.000	2
3	27.000	x

As grandezas quantidade de máquinas e tempo são inversamente proporcionais, e as grandezas quantidade de panfletos e tempo são diretamente proporcionais, então:

\frac{2}{x} = \frac{36 000}{27 000} \cdot \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{2}{x} = \frac{108 000}{135 000} = \frac{108}{135}

⇒ 108x = 270 ⇒

x = \frac{270}{108} \Rightarrow x = 2, 5

Portanto, 2,5 horas, ou seja, 2 horas e 30 minutos.

38.

Tempo (dias)	Quantidade de refeições por dia	Quantidade de amigos
6	4	9
x	3	12

As grandezas quantidade de refeições e quantidade de amigos são ambas inversamente proporcionais ao número de dias.

Então:

\frac{6}{x} = \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{9} \Rightarrow \frac{6}{x} = \frac{36}{36} = 1 \Rightarrow x = 6

Portanto, 6 dias.

39.

Quantidade de tratores	Tempo (dias)	Número de horas por dia
4	10	8
2	x	10

As grandezas quantidade de tratores e número de horas por dia são ambas inversamente proporcionais ao tempo, por isso:

\frac{10}{x} = \frac{10}{8} \cdot \frac{2}{4} \Rightarrow \frac{10}{x} = \frac{20}{32}

⇒ 20x = 320 ⇒ x = 16

Portanto, 16 dias.

40.

Tempo (h)	Quantidade de pessoas	Quantidade de caixas
4	9	360
3	x	510

A grandeza tempo é inversamente proporcional ao número de pessoas, por sua vez, a quantidade de caixas é diretamente proporcional ao número de pessoas, então:

\frac{9}{x} = \frac{360}{510} \cdot \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{9}{x} = \frac{1 080}{2 040}

⇒ 108x = 9 · 204 = .1836 ⇒

⇒

x = \frac{1 836}{108} \Rightarrow x = 17

Portanto, 17 pessoas.

Pense mais um poucoreticências

Página 66

a) Para cada país, Píbi per cápita =

\frac{PIB em dólar}{número de habitantes}

. Então, o Píbi per cápita da Argentina é aproximadamente .8476 dólares, pois

\frac{383 067 000 000}{45 195 777} ≃ 8 476

. O Píbi per cápita do Brasil é aproximadamente .6797 dólares, pois

\frac{1 444 733 000 000}{212 559 409} ≃ 6 797

. O Píbi per cápita do Paraguai é aproximadamente .4950 dólares, pois

\frac{35 304 000 000}{7 132 530}

≃ .4950. O Píbi per cápita do Uruguai é aproximadamente .15438 dólares, pois

\frac{53 629 000 000}{3 473 727}

≃ .15438. Dessa maneira, Uruguai foi o país com maior desenvolvimento econômico em 2020.

Página cinquenta e três

Página 70

a)

Dia	2º dia	4º dia	6º dia	8º dia	10º dia	12º dia	14º dia
Tempo de atraso (min)	4	8	12	16	20	24	28

b) 20 minutos.

c) 28 minutos.

d) Nesse caso, como o dôbro de uma grandeza (número de dias) implica o dôbro da outra (tempo de atraso), elas são diretamente proporcionais.

e) Nota-se que a relação entre d (número de dias) e t (tempo de atraso) é t = 2d; assim, quando d = 22, temos:

t = 2 · 22 = 44

Portanto, o relógio ficará atrasado 44 minutos.

f) Como t = 2 · d, tomando d = 60, então: 60 = 2d ⇒ d = 30

Portanto, 30 dias.

Para saber mais

Páginas 75 e 76

3. a) Como o giro todo tem medida 360graus, então a fração procurada é:

\frac{20}{360} \Rightarrow \frac{1}{18}

3. b)

\frac{45}{360} \Rightarrow \frac{1}{8}

3. c)

\frac{90}{360} \Rightarrow \frac{1}{4}

3. d)

\frac{180}{360} \Rightarrow \frac{1}{2}

3. e)

\frac{135}{360} \Rightarrow \frac{3}{8}

3. f)

\frac{270}{360} \Rightarrow \frac{3}{4}

4. a) No relógio 3, r = 20 centímetros, e como 30graus corresponde a

\frac{1}{12}

da circunferência, então

C = \frac{2 π r}{12} = \frac{2 \cdot 3, 14 \cdot 20}{12}

=

\frac{125, 6}{12}

≃ 10, 47; portanto, aproximadamente 10,47 centímetros.

4. b) 45graus corresponde a

\frac{1}{8}

da circunferência, então

C = \frac{2 π r}{12}

=

\frac{2 \cdot 3, 14 \cdot 20}{8} = \frac{125, 6}{8} = 15, 7

; portanto, 15,7 centímetros.

4. c) 90graus corresponde a

\frac{1}{4}

da circunferência, então

C = \frac{2 π r}{4}

 =

= \frac{2 \cdot 3, 14 \cdot 20}{4} = \frac{125, 6}{4} = 31, 4

; portanto, 31,4 centímetros.

4. d) 270graus corresponde a

\frac{3}{4}

da circunferência, então

C = \frac{3 \cdot 2 π r}{4} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 3, 14 \cdot 20}{4} = \frac{376, 8}{4} = 94, 2

; portanto, 94,2 centímetros.

4. e) 180graus corresponde a

\frac{1}{2}

da circunferência, então

C = \frac{2 π r}{2}

=

= \frac{2 \cdot 3, 14 \cdot 20}{2} = 3, 14 \cdot 20 = 62, 8

; portanto, 62,8 centímetros.

Página 82

1. a) Ficaria como representado a seguir:

Quadro com esquema. Massa em quilograma: 20 e Preço em reais: 32; Massa em quilograma: 5 e Preço em reais: 8; Massa em quilograma: 1 e Preço em reais: 1,6. 20 dividido por 4 dá 5, 32 dividido por 4 dá 8. 5 dividido por 5 dá 1; 8 dividido por 5 dá 1,6.

2. a) R$ 2,50dois reais e cinquenta centavos, pois:

Quadro com esquema. Massa de banana em quilograma: 18 e Preço em real: 45; Massa em quilograma: 1 e Preço em real: 2,5. 18 dividido por 18 dá 1; 45 dividido por 18 dá 2,5;<Inserir descrição> Quadro com esquema. Massa de banana em quilograma: 18 e Preço em real: 45; Massa em quilograma: 1 e Preço em real: 2,5. 18 dividido por 18 dá 1; 45 dividido por 18 dá 2,5;

2. b) 10 litros, pois:

Quadro com esquema. Volume de gasolina em litro: 4; Distância em quilômetros: 60; Volume de gasolina em litro: 2; Distância em quilômetros: 30; Volume de gasolina em litro: 8; Distância em quilômetros: 120; Volume de gasolina em litro: 8 mais 2 igual a 10; Distância em quilômetros: 30 mais 120 igual a 150; 4 dividido por 2 dá 2, 60 dividido por 2 dá 30. 2 vezes 4 dá 8; 30 vezes 4 dá 120.

2. c) .11760 lugares, pois:

Quadro com esquema. Percentual: 100; Número de lugares ocupados: 24.500; Percentual: 50; Número de lugares ocupados: 12.250; Percentual: 2; Número de lugares ocupados: 490; Percentual: 50 menos 2 igual a 48; Número de lugares ocupados: 12.250 menos 490 igual a 11.760; 100 dividido por 2 dá 50; 24.500 dividido por 2 dá 12.250; 100 dividido por 50 dá 2; 24.500 dividido por 50 dá 490.

Página cinquenta e quatro

2. d) R$ 209,00duzentos e nove reais pois:

Quadro com esquema. Percentual: 100; Valor em real: 550; Percentual: 20; Valor em real: 110; Percentual: 2; Valor em real: 11; Percentual: 20 maia 20 menos 2 igual a 38; Valor em real: 110 mais 110 menos 11 igual a 209; 100 dividido por 5 dá 20; 550 dividido por 5 dá 110; 20 dividido por 10 dá 2; 110 dividido por 10 dá 11.

Trabalhando a informação

Páginas 66 e 67

1. Não, pois observando o gráfico, mesmo sem fazer contas, é possível notar que o número de médicos da região Norte é menor que o número de médicos do Centro Oeste ao mesmo tempo que o número de habitantes (população) da região Norte é maior do que o número de habitantes do Centro Oeste. Então, a densidade de médicos tende a ser menor na região Norte.

2. Basta, em cada caso, obter a razão entre número de médicos e grupos de mil habitantes por região.

d = \frac{número de médicos}{grupos de mil habitantes}

3. O total de médicos é .523528, pois: .80278 + .278325 + + .44658 + .96303 + .23964 = .523528

A população é ..210855692, pois: ..18672591 + ..57374243 + + ..16504303 + ..89012240 + ..30192315 = ..211755692

Então:

d = \frac{523 528}{211 755, 692} ≃ 2, 5

Por isso, faltava aproximadamente 0,2 (2,7 ‒ 2,5 = 0,2).

Páginas 83 e 84

1.

País	IDH	Comprimento da barra (cm)
Austrália	0,944	10
Canadá	0,929	c = 9,8
China	0,761	ch = 8,1
Tunísia	0,740	t = 7,8
Índia	0,645	i = 6,8
Mianmar	0,583	m = 6,2
Paquistão	0,557	p = 5,9
Haiti	0,510	h = 5,4

Dessa maneira:

• Canadá:

\frac{0, 944}{0, 929} = \frac{10}{c}

⇒ 0,944c = 9, 29 ⇒

c = \frac{9, 29}{0, 944} ≃ 9, 8

;

• Paquistão:

\frac{0, 944}{0, 557} = \frac{10}{p} \Rightarrow 0, 944 p = 5, 57 \Rightarrow p = \frac{5, 57}{0, 944} ≃ 5, 9

;

• Tunísia:

\frac{0, 944}{0, 740} = \frac{10}{t} \Rightarrow 0, 944 t = 7, 4 \Rightarrow t = \frac{7, 4}{0, 944} ≃ 7, 8

;

• China:

\frac{0, 944}{0, 761} = \frac{10}{c h} \Rightarrow 0, 944 c h = 7, 61 \Rightarrow c h = \frac{7, 61}{0, 944} ≃ 8, 1

;

• Haiti:

\frac{0, 944}{0, 510} = \frac{10}{h} \Rightarrow 0, 944 h = 5, 1 \Rightarrow h = \frac{5, 1}{0, 944} ≃ 5, 4

;

• Índia:

\frac{0, 944}{0, 645} = \frac{10}{i} \Rightarrow 0, 944 i = 6, 45 \Rightarrow i = \frac{6, 45}{0, 944} ≃ 6, 8

;

• Mianmar:

\frac{0, 944}{0, 583} = \frac{10}{m} \Rightarrow 0, 944 m = 5, 83 \Rightarrow m = \frac{5, 83}{0, 944} ≃ 6,2

Gráfico de barras verticais. Título: IDH por país. Eixo horizontal: país. Eixo vertical , IDH com escala de 0,00 a 1,00. Os dados são: Austrália: 0,944. Canadá: 0,929. Paquistão: 0,557. Tunísia: 0,740. China: 0,761. Haiti: 0,510. Índia: 0,645. Mianmar: 0,583. Brasil: 0,76.

Dados obtidos em: HUMAN DEVELOPMENT REPORTS. HDR 2020 Tables and Dashboards. Disponível em: https://oeds.link/10rJjS. Acesso em: 30 jun. 2022.

2. Utilizando dados referentes ao ano de 2019, divulgados pela ônu em 2020, os três maiores í dê agá eram da Noruega (í dê agá 0,957), Suíça (í dê agá 0,955) e Irlanda (í dê agá 0,955) e ostrês menores í dê agá eram de Chade (í dê agá 0,398), República Centro-Africana (í dê agá 0,397) e Níger (í dê agá 0,394).

País	IDH	Comprimento da barra (cm)
Noruega	0,957	10
Suíça	0,955	s = 9,98
Irlanda	0,955	i = 9,98
Chade	0,398	c = 4,16
República Centro-Africana	0,397	r = 4,15
Níger	0,394	n = 4,12