Página noventa e um

Parte 9

Capítulo 9 ‒ Razões trigonométricas nos triângulos retângulos

• Objetivos do capítulo e justificativas

• Aplicar a semelhança de triângulos para a obtenção das razões trigonométricas em um triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.

• Resolver problemas que envolvem semelhança de triângulos e razões trigonométricas no triângulo retângulo.

• Utilizar o quadro de razões trigonométricas.

• Aplicar o teorema de Pitágoras na determinação das razões trigonométricas dos ângulos de 30graus, 45graus e 60graus.

• Analisar gráficos com distorção.

Neste capítulo, ampliamos o estudo do triângulo retângulo apresentando as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente para ângulos agudos, que serão a base para o estudo de Trigonometria a ser desenvolvido no Ensino Médio. Ao longo dos estudos, propomos atividades de verificação, reflexão e aplicação dêsses conteúdos, que contribuem para o desenvolvimento do raciocínio lógico e do espírito de investigação, que estão relacionados com a competência específica 2 e a competência geral 2.

As atividades também relacionam conceitos relacionados às Unidades Temáticas Álgebra e Geometria, além de explorar aplicações em contextos diversos, o que favorece o desenvolvimento das competências específicas 3 e 6 e das competências gerais 2 e 4.

Apresentamos o trabalho com calculadora para o cálculo de razões trigonométricas, o que contribui para o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 5.

O capítulo trata ainda da análise de gráficos com distorções, que induzem a conclusões equivocadas com a temática Índice de Desenvolvimento Humano (í dê agá). Essa temática possibilita uma discussão sobre saúde, educação e renda. Assim, o trabalho proposto contribui com o desenvolvimento das competências específicas 4 e 7 e da competência geral 8.

O desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e da competência específica 8 é favorecido com as diferentes propostas de atividades a serem realizadas em grupos, pois possibilitam aos estudantes que exercitem diferentes habilidades socioemocionais ao trabalharem com colegas que podem ou não ter dificuldades ou facilidades em relação às atividades propostas.

• Habilidades trabalhadas no capítulo

(ê éfe zero nove ême ah um dois) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

(ê éfe zero nove ême ah um quatro) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

(ê éfe zero nove ême ah dois um) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, à vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

Este capítulo dá continuidade ao anterior, desenvolvendo agora as relações trigonométricas nos triângulos retângulos e suas aplicações na resolução das atividades, vinculadas à Unidade Temática Geometria, tendo como base a proporcionalidade e a semelhança de triângulos, tópicos já estudados em capítulos anteriores neste livro, favorecendo o trabalho com as habilidades (ê éfe zero nove ême ah um dois) e (ê éfe zero nove ême ah um quatro).

Os conhecimentos tratados neste capítulo constituem-se como subsídios para a compreensão de estudos a serem desenvolvidos no Ensino Médio.

Faz-se conexão com a Unidade Temática Probabilidade e estatística, por meio da análise de gráficos de linhas com distorção na seção Trabalhando a informação, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero nove ême ah dois um).

• Comentários e resoluções

Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompanham as reproduções das páginas do livro do estudante.

Exercícios propostos

5. a) Pelo teorema de Pitágoras:

(á cê )2 + (cê bê)2 = (A bê)2 ⇒

⇒ 42 + 7,52 = (A bê)2 ⇒

⇒ (A bê)2 = 16 + 56,25 ⇒

⇒ (A bê)2 = 72,25 ⇒

⇒

A B = \sqrt{72, 25}

⇒

⇒ A bê = 8,50

5. b)

cos \hat{B} = \frac{C B}{C A} \Rightarrow cos \hat{B} = \frac{7, 5}{8, 50} \Rightarrow cos \hat{B} ≃ 0, 88

5. c)

g t \hat{B} = \frac{A C}{B C} \Rightarrow t g \hat{B} = \frac{4}{7, 5} = tg \hat{B} ≃ 0, 53

5. d)

\frac{B C}{A B} \Rightarrow cos \hat{A} = \frac{4}{8, 5} \Rightarrow cos \hat{A} ≃ 0, 47

5. e)

tg \hat{A} = \frac{B C}{A C} \Rightarrow tg \hat{A} = \frac{7, 5}{4} ≃ t g \hat{A} ≃ 1,88

6. a) Apresentamos, a seguir, uma figura que representa a situação descrita.

Ilustração. Triângulo retângulo com um cateto medindo 12 centímetros e a hipotenusa medindo 64 centímetros. Ângulo alfa formado pela hipotenusa e o outro cateto.

6. b)

s e n α = \frac{medida do cateto oposto a α}{medida da hipotenusa} \Rightarrow

⇒

s e n α = \frac{12}{64} \Rightarrow s e n α = 0, 1875 \Rightarrow s e n α ≃ 0, 19

7. Seja α o ângulo formado entre a diagonal e o maior lado, e β o ângulo formado entre a diagonal e o menor lado. Como a tangente de um ângulo é dada pela razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo, então:

t g α = \frac{7, 2}{15, 6} \Rightarrow t g α ≃ 0, 46

t g β = \frac{15, 6}{7, 2} \Rightarrow t g β ≃ 2, 17

Página noventa e dois

9. a) MQ ≃ 1,75 centímetro, MR ≃ 3,54 centímetros e QR ≃ 3,07 centímetros.

9. b) medida do(

\hat{M}

) = 60graus e medida do(

\hat{R}

) = 30graus.

9. c)

sen \hat{M} = \frac{Q R}{M R} \Rightarrow s e n (60 °) = \frac{3, 07}{3, 54} \Rightarrow s e n (60 °) ≃ 0, 87

9. d)

cos \hat{M} = \frac{M Q}{M R} \Rightarrow cos (60 °) = \frac{1, 75}{3, 54} \Rightarrow cos (60 °) ≃ 0, 49

9. e)

tg \hat{M} = \frac{Q R}{M Q} \Rightarrow t g (60 °) = \frac{3, 07}{1, 75} \Rightarrow t g (60 °) ≃ 1, 75

10. Apresentamos, a seguir, uma das representações possíveis do triângulo descrito.

Ilustração. Triângulo retângulo ABC com ângulo de 36 graus em B e 90 graus em C. Medidas: AB: 9,5. BC: 7,7. AC: 5,6.

10. a)

sen \hat{B} = \frac{A C}{A B} = \frac{5, 6}{9, 5} \Rightarrow sen \hat{B} ≃ 0, 59

10. b)

cos \hat{B} = \frac{B C}{A B} = \frac{7, 7}{9, 5} \Rightarrow cos \hat{B} ≃ 0, 81

10. c)

tg \hat{B} = \frac{A C}{B C} = \frac{5, 6}{7, 7} \Rightarrow tg \hat{B} ≃ 0, 73

11. O cosseno do ângulo α formado entre o fio diagonal e o lado maior da tampa é dado por:

cos \hat{A} = \frac{m e d i d a d o c a t e t o a d j a c e n t e \hat{A}}{m e d i d a d a h i p o t e n u s a} =

= \frac{32}{m e d i d a d a h i p o t e n u s a}

Para determinar a medida da hipotenusa (x), como conhecemos as medidas dos catetos, vamos aplicar o teorema de Pitágoras.

322 + 242 = x2 ⇒ x2 = .1024 + 576 ⇒

\Rightarrow x = \sqrt{1 600} \Rightarrow x = 40

Assim:

cos \hat{A} = \frac{32}{x} = \frac{32}{40} \Rightarrow cos \hat{A} = 0, 8

12. a)

sen \hat{M} = \frac{N P}{M N} \Rightarrow sen \hat{M} = \frac{3}{\sqrt{13}} ≃ 0, 83

12. b)

cos \hat{N} = \frac{N P}{M N} \Rightarrow cos \hat{N} = \frac{3}{\sqrt{13}} \Rightarrow cos \hat{N} ≃ 0, 83

12. c)

tg \hat{M} = \frac{N P}{M P} \Rightarrow tg \hat{M} = \frac{3}{2} \Rightarrow tg \hat{M} = 1, 50

12. d)

cos \hat{M} = \frac{M P}{M N} \Rightarrow cos \hat{M} = \frac{2}{\sqrt{13}} \Rightarrow cos \hat{M} ≃ 0, 55

12. e)

tg \hat{N} = \frac{M P}{N P} \Rightarrow tg \hat{N} = \frac{2}{3} \Rightarrow tg \hat{N} ≃ 0, 67

12. f)

sen \hat{N} = \frac{M P}{M N} \Rightarrow sen \hat{N} = \frac{2}{\sqrt{13}} \Rightarrow sen \hat{N} ≃ 0, 55

13. Como cada degrau mede 16 centímetros de altura, o ponto mais alto da rampa está a uma altura que mede 32 centímetros (2 · 16 = 32). Com isso, convém aplicar a razão seno para determinar a medida c do comprimento da rampa, em centímetro.

s e n 6 ° = \frac{32}{c} ≃ 0, 1 \Rightarrow 0, 1 c ≃ 32 \Rightarrow c ≃ \frac{32}{0, 1} \Rightarrow c ≃ 320

Como 1 metro equivale a 100 centímetros, então 320 centímetros = 3,2 métros.

Alternativa ê.

16. a) Consultando o quadro de razões trigonométricas, temos:

seno de 54graus = 0,8090

16. b) cosseno de 36graus = 0,8090

16. c) tangente de 12graus = 0,2126

16. d) seno de 56graus = 0,8290

16. e) cosseno de 75graus = 0,2588

16. f) tangente de 89graus = 57,2900

17. a) Consultando o quadro de razões trigonométricas, temos:

seno de 28graus = 0,4695

17. b) cosseno de 39graus = 0,7771

17. c) tangente de 16graus = 0,2867

17. d) seno de 66graus = 0,9135

17. e) cosseno de 79graus = 0,1908

17. f) tangente de 84graus = 9,5144

20. Considerando as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo de 55graus, vamos aplicar a razão trigonométrica tangente para determinar a medida aproximada, em metro, da largura do rio.

t g 55 ° = \frac{ℓ}{20} \Rightarrow 1, 4281 = \frac{ℓ}{20} \Rightarrow ℓ = 28, 562

A largura do rio mede 28,562 métros

21. a)

\bar{B D}

é a diagonal maior dêsse losango. Considerando o triângulo de hipotenusa de medida AB, o cateto adjacente ao ângulo de 20° mede metade de BD, ou seja,

cos 20 ° = \frac{\frac{B D}{2}}{2, 5} .

Consultando o quadro de razões trigonométricas, temos que cos 20graus= 0,9397; portanto:

0, 9397 = \frac{\frac{B D}{2}}{2, 5} \Rightarrow \frac{B D}{2} = 2, 34925 \Rightarrow B D ≃ 4, 7

Portanto, a medida da diagonal maior é aproximadamente 4,7 centímetros.

21. b)

\bar{A C}

é a diagonal menor do losango. Considerando o triângulo de hipotenusa de medida AB, o cateto oposto ao ângulo de 20graus mede metade de AC, ou seja,

s e n 20 ° = \frac{\frac{A C}{2}}{2, 5}

Consultando o quadro de razões trigonométricas para sen 20graus:

Página noventa e três

0, 3420 = \frac{\frac{A C}{2}}{2, 5} \Rightarrow \frac{A C}{2} = 0, 855 \Rightarrow A C ≃ 1, 7

Então, a diagonal menor mede 1,7 centímetro.

21. c)

A = \frac{B D \cdot A C}{2} \Rightarrow A ≃ \frac{4, 7 \cdot 1, 7}{2} \Rightarrow A ≃ 4

Portanto, a medida aproximada da área é 4 centímetros quadrados.

22. a) Sabendo que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180graus, concluímos que o ângulo

\hat{B}

mede 55graus.

35graus + 90graus + medida do(

\hat{B}

) = 180graus ⇒ medida do(

\hat{B}

) = 55graus

22. b)

sen 35 ° = \frac{B C}{12, 6}

⇒

0, 5736 = \frac{B C}{12, 6} \Rightarrow B C ≃ 7, 2

Portanto, a medida bê cê é aproximadamente 7,2 centímetros.

22. c)

A = \frac{A C \cdot B C}{2} \Rightarrow A ≃ \frac{10, 3 \cdot 7, 2}{2} \Rightarrow A ≃ 37, 1

Então, a medida da área é aproximadamente 37,1 centímetros quadrados.

24. Vamos chamar de x a medida do trecho da avenida das Constelações entre a rua do Brilho e a rua das Estrelas. Assim:

t g 35 ° = \frac{70}{x} \Rightarrow 0, 7002 = \frac{70}{x} \Rightarrow x ≃ 100

Portanto, o trecho mede aproximadamente 100 métros.

26. Esta atividade é uma abordagem prévia da relação trigonométrica

s e n^{2} a + {cos}^{2} a = 1

. Acompanhe as resoluções dos grupos e verifique se eles chegam a resultados muito próximos de 1.

27. a)

t g 30 ° = \frac{10}{x} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{10}{x} \Rightarrow \sqrt{3} x = 30 \Rightarrow x = \frac{30}{\sqrt{3}}

⇒

x = \frac{30}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{30 \sqrt{3}}{3} \Rightarrow x = 10 \sqrt{3}

s e n 30 ° = \frac{10}{y} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{10}{y} \Rightarrow y = 20

Portanto,

x = 10 \sqrt{3}

centímetros e y = 20 centímetros.

27. b)

s e n 60 ° = \frac{x}{12} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{12} \Rightarrow 2 x = 12 \sqrt{3} \Rightarrow x = 6 \sqrt{3}

cos 60 ° = \frac{y}{12} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{y}{12} \Rightarrow y = 6

Portanto,

x = 6 \sqrt{3}

centímetros e y = 6 centímetros.

27. c)

s e n x = \frac{\sqrt{3}}{2}

; portanto, x = 60graus.

s e n y = \frac{1}{2}

; portanto, y = 30graus.

27. d)

sen x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} \Rightarrow sen x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}

⇒

sen x = \frac{1}{\sqrt{2}}

 ⇒ 

sen x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Portanto, x = 45graus.

cos y = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} \Rightarrow cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}

Portanto, y = 45graus.

28. Pelo teorema de Pitágoras:

22 = 12 + x2 ⇒ x2 = 4 ‒ 1 ⇒ x2 = 3 ⇒

x = \sqrt{3}

Então:

cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}

Alternativa d.

29. a)

Ilustração. Trapézio retângulo cuja base menor mede 9 centímetros. Uma altura do trapézio é cateto do triângulo retângulo cuja hipotenusa é o lado inclinado do trapézio que forma um ângulo de 45 graus com a base maior. A base deste triângulo mede 3 centímetros.

Sendo x a medida da altura do trapézio, temos:

t g 45 ° = \frac{x}{3} \Rightarrow 1 = \frac{x}{3} \Rightarrow x = 3

A altura mede 3 centímetros.

29. b) Sendo y a medida do lado não perpendicular às bases, temos:

s e n 45 ° = \frac{3}{y} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{y} \Rightarrow \sqrt{2} y = 6 \Rightarrow y = \frac{6 \sqrt{2}}{2} \Rightarrow y = 3 \sqrt{2}

Então, a medida do lado não perpendicular às bases é

3 \sqrt{2}

centímetros.

31. a) Sendo x a medida da altura do poste, temos:

t g 45 ° = tg 45 = \frac{5, 6}{x} \Rightarrow 1 = \frac{5, 6}{x} \Rightarrow x = 5, 6

A altura do poste mede 5,6 métros.

31. b) Não, pois o ângulo de 45graus é formado entre um raio solar e uma linha vertical da superfície do poste.

33. a)

Ilustração. Trapézio isósceles, cujos ângulos da base maior medem 60 graus, e cuja base menor mede 20 centímetros. .As duas alturas do trapézio estão tracejadas e formam triângulos retângulos cuja a hipotenusa é um dos lados são paralelos do trapézio.

Sendo x a medida dos lados não paralelos, temos:

cos 60 ° = \frac{4}{x} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{4}{x} \Rightarrow x = 8

Então, o perímetro dos lados não paralelos mede: 64 centímetros (20 + 28 + 8 + 8 = 64).

33. b) Vamos determinar a medida da altura (h).

sen 60 ° = \frac{h}{8} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{8} \Rightarrow 2 h = 8 \sqrt{3} \Rightarrow h = 4 \sqrt{3}

Página noventa e quatro

Assim, a medida da área é dada por:

A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}

\frac{(28 + 20) \cdot 4 \sqrt{3}}{2}

⇒

\Rightarrow A = 48 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \Rightarrow A = 96 \sqrt{3}

A área mede

96 \sqrt{3}

centímetros quadrados.

34. Como o trapézio é isósceles, a projeção ortogonal do lado que mede 2 sobre o lado que mede 6 determina um segmento de medida 1. Assim:

cosseno de α =

\frac{1}{2}

⇒ α = 60graus

Alternativa a.

35.

t g 30 ° = \frac{A B}{1 500} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{A B}{1 500} \Rightarrow 3 A B = 1 500 \sqrt{3} \Rightarrow

\Rightarrow A B = 500 \sqrt{3}

Portanto, o paraquedista cai a

500 \sqrt{3}

metros do ponto B.

Pense mais um pouco

Página 209

1. a) A soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono regular é dada por:

S_{i} = (5 ‒ 2) \cdot 180 ° = 3 \cdot 180 ° = 540 °

Portanto, cada um dos ângulos internos desse pentágono mede 108graus

(\frac{540 º}{5} = 108 °)

. Como H é o ponto médio da diagonal

\bar{A C}

, o segmento

\bar{B H}

divide o ângulo

\hat{B}

em dois ângulos congruentes. Assim:

medida do(

A \hat{B} C

) = 108graus

medida do(

A \hat{B} H

) =

\frac{108 °}{2}

= 54graus

1. b) sen 54graus

= \frac{A H}{A B} \Rightarrow 0, 8090 = \frac{A H}{10} \Rightarrow A H = 8, 09

A medida de

\bar{A H}

é 8,09 centímetros.

AC = 2 · AH ⇒ AC = 16,18

O pentágono é regular.

Então, as medidas de

\bar{A C}

\bar{A D}

são iguais a 16,18 centímetros.

2. a) Da razão áurea no pentagrama, temos:

\frac{A C}{A B} ≃ \frac{16, 18}{10} ≃ 1, 618

2. b) Como

A \hat{B} C

é suplementar a

A \hat{B} J

m (A \hat{B} C)

= 108graus, então

m (A \hat{B} J)

= 72°

. Traçando

\bar{J H ’}

, em que agá linha seja o ponto médio de

\bar{A B}

, temos AH’ = 5.

• cosseno de 72graus

= \frac{5}{A J} \Rightarrow 0, 3090 = \frac{5}{A J} \Rightarrow A J = \frac{5}{0, 3090} ≃ 26, 18

• JE = JA + A Ê ≃ 16,18 + 10 ≃ 26,18

•

\frac{J E}{A J} = \frac{26, 18}{16, 18} ≃ 1, 618

2. c) Sendo Hpolegadas o ponto médio de

\bar{J F}

, então JHpolegadas =

\frac{J F}{2}

. Assim:

seno de 54graus

= \frac{J H ”}{J B} \Rightarrow 0, 8090 = \frac{\frac{J F}{2}}{16, 18} \Rightarrow

\Rightarrow \frac{J F}{2} ≃ 13, 09 \Rightarrow J F ≃ 26, 18

Então,

\bar{J F}

mede 26,18 centímetros.

JH = JA + A Ê + EH ⇒ JH = 16,18 + 10 + 16,18 ⇒ JH = 42,36

Então,

\bar{J H}

mede 42,36 centímetros. Por fim:

\frac{J H}{J F} = \frac{42, 36}{26, 18} ≃ 1, 618

Para saber mais

Páginas 210 e 211

1. A medida da altura da torre é dada por h = A bê + 1,25.

Ilustração. À direita, torre cuja altura mede h. A partir do solo marca-se um ponto B na torre que está a 1,25 metros do solo. Na torre acima do ponto B é indicado um ponto A, o segmento AB é um cateto de um triângulo retângulo, cuja base mede 3,5 metros e forma um ângulo de 45 graus com a hipotenusa. À esquerda, altura de Paulo: 1,25 metros.

tangente de 45graus

= \frac{A B}{3, 5} \Rightarrow 1 = \frac{A B}{3, 5} \Rightarrow A B = 3, 5

Portanto, a altura da torre é 4,75 métros.

h = 3,5 + 1,25 = 4,75

2. O cateto oposto ao ângulo de medida 15graus mede 5,75 métros (7 ‒ 1,25 = 5,75). Assim:

t g 15 ° = \frac{5, 75}{x} \Rightarrow 0, 2679 = \frac{5, 75}{x} \Rightarrow x ≃ 21, 5

Então, a medida da distância de Paulo até o poste é aproximadamente 21,5 métros.

Exercícios complementares

1. Embora a construção seja pessoal, e as medidas obtidas variem, em todos os casos, seno de 55graus ≃ 0,8; cosseno de 55graus ≃ 0,6 e tangente de 55graus ≃ 1,4.

2. a)

sen 30 ° = \frac{x}{30} ⇒ \frac{1}{2} = \frac{x}{30} ⇒ x = 15

Portanto, x mede 15 centímetros.

2. b)

cos 60 ° = \frac{x}{15, 6} ⇒ \frac{1}{2} = \frac{x}{15, 6} ⇒ x = 7, 8

Portanto, x mede 7,8 métros.

2. c)

tg x = \frac{14 \sqrt{3}}{42} ⇒ tg x = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x = 30

Portanto, x mede 30graus.

3. Pelo teorema de Pitágoras, sendo x a medida do cateto desconhecido, obtemos:

(3a)² = a2 + x2 ⇒ 9a² = a² + x² ⇒ x² = 8a² ⇒

x = 2 a \sqrt{2}

Como

2 a \sqrt{2}

> a, então a é a medida do menor lado do triângulo, o cosseno do ângulo oposto a ele é dado por:

\frac{2 a \sqrt{2}}{3 a} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

Alternativa b.

Página noventa e cinco

4. Considere o triângulo retângulo formado por um lado, pela altura e pela metade da base do triângulo isósceles. A hipotenusa dêsse triângulo coincide com um lado congruente do triângulo isósceles, que mede x, e o cateto oposto ao ângulo de 50graus coincide com a altura, que mede 20 centímetros. Podemos escrever:

s e n 50 ° = \frac{20}{x} \Rightarrow 0, 7660 = \frac{20}{x} \Rightarrow x ≃ 26, 1

Então, a medida aproximada dos lados congruentes é 26,1 centímetros.

5. Sendo x a medida do comprimento do canudo que está dentro do copo, temos:

s e n 60 ° = \frac{15}{x} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{x} \Rightarrow \sqrt{3} x = 30 \Rightarrow

⇒

x = \frac{30 \sqrt{3}}{3} \Rightarrow x = 10 \sqrt{3} = 10 \cdot 1, 73 \Rightarrow x = 17, 3

O comprimento do canudo é 25,3 centímetros (17,3 + 8 = 25,3).

6. Se x é a medida da altura do muro, temos:

cos 60 ° = \frac{x}{2, 80} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{x}{2, 80} \Rightarrow x = \frac{2, 80}{2} \Rightarrow x = 1, 40

Portanto, a altura do muro mede 1,40 métro.

7. Seja b a medida da base menor e x a medida do outro lado. Considere um triângulo retângulo com ângulos internos medindo 60graus, cuja hipotenusa seja o lado que mede x, um dos catetos mede 9 métros e o o outro mede y. Calculando x:

s e n 60 ° = \frac{9}{x} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{x} \Rightarrow \sqrt{3} x = 18 \Rightarrow x = \frac{18}{\sqrt{3}}

 ⇒

\Rightarrow x = \frac{18 \sqrt{3}}{3} \Rightarrow x = 6 \sqrt{3}

tg 60 ° = \frac{9}{y} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{9}{y} \Rightarrow y = \frac{9}{\sqrt{3}} \Rightarrow y = \frac{9 \sqrt{3}}{3} \Rightarrow y = 3 \sqrt{3}

A base menor mede, em m: b = 16 ‒ y ⇒ b ≃ 16 ‒ 5,20 ⇒ b = 10,80. Para a área de medida a, em métro quadrado, do terreno, temos:

A = (16 + 9 + 10,80 + 10,39) · 1,8

A = 46,19 · 1,8 ⇒ A ≃ 83

Logo, a área mede 83 métros quadrados.

Além disso, não é possível determinar a medida do volume do muro sem saber sua espessura.

s e n 60 ° = \frac{A B}{10} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{A B}{10} \Rightarrow 2 \cdot A B = 10 \sqrt{3} \Rightarrow A B = 5 \sqrt{3}

A M = \frac{A B}{2}

⇒

A M = \frac{5 \sqrt{3}}{2}

Assim, ei ém mede

\frac{5 \sqrt{3}}{2}

centímetros

10. Para determinar a medida da área do triângulo recortado, precisaremos da medida de sua base, 2c; sendo c a medida do cateto oposto ao ângulo de 60graus formado pela altura (bissetriz) do triângulo isósceles. Nesse caso, a hipotenusa mede 40 centímetros, pois:

s e n 60 ° = \frac{x}{40} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{40} \Rightarrow x = 20 \sqrt{3}

Então, a medida da base é: 2 ⋅

20 \sqrt{3} = 40 \sqrt{3}

A medida da altura h é dada por:

cos 60 ° = \frac{h}{40} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{h}{40} \Rightarrow h = 20

Então, a área mede

\frac{40 \sqrt{3} \cdot 20}{2}

centímetros quadrados =

400 \sqrt{3}

centímetros quadrados.

11. A medida x da altura é:

s e n 30 ° = \frac{x}{10} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{x}{10} \Rightarrow x = 5

Então, a altura é de 5 metros, valor que está entre 4 e 6.

13.

Ilustração. À esquerda, prédio retangular B cuja altura mede y e à direita, prédio retangular A mais alto que o prédio B, cuja altura mede x.
A parede da direita do prédio B é um cateto de um triângulo retângulo cujo outro cateto mede 34,6 metros e forma 45 graus com a hipotenusa. A parede esquerda do prédio A é um cateto de um triângulo retângulo, cujo outro cateto mede 34,6 metros e forma um ângulo de 60 graus com a hipotenusa.

tg 45 ° = \frac{y}{34, 6} \Rightarrow 1 = \frac{y}{34, 6} \Rightarrow y = 34, 6

Portanto, a altura do prédio B mede 34,6 métros.

tg 60 ° = \frac{x}{34, 6} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{x}{34, 6} \Rightarrow x = 34, 6 \sqrt{3} \Rightarrow x ≃ 60

Portanto, a altura do prédio a mede, aproximadamente, 60 métros.

14.

s e n 30 ° = \frac{C A}{A B} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{C A}{750} \Rightarrow C A = 750 \sqrt{3}

D C = A C - A D = 750 \sqrt{3} - 620 \Rightarrow D C = 10 (753 - 62)

Assim, a medida de DC é

10 (75 \sqrt{3} - 62) m

16.

s e n 50 ° = \frac{x}{3, 5} \Rightarrow 0, 76 = \frac{x}{3, 5} \Rightarrow x = 2, 66

A medida da altura é 2,66 quilômetros.

17.

t g 30 ° = \frac{A B}{BC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{B C} \Rightarrow \sqrt{3} B C = 6 \Rightarrow

\Rightarrow B C = \frac{6 \sqrt{3}}{3} \Rightarrow B C = 2 \sqrt{3}

Como a escada tem seis degraus, a extensão de cada um deles é dada por:

\frac{B C}{6} = \frac{2 \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Ou seja, a extensão de cada degrau mede

\frac{\sqrt{3}}{3}

métro.

Página noventa e seis

18. Primeiro vamos determinar a medida da altura do triângulo, h.

sen 30 ° = \frac{h}{3} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{h}{3} \Rightarrow h = \frac{3}{2} \Rightarrow h = 1, 5

Assim, a área do triângulo mede 4,5 métros quadrados, pois:

\frac{(6 \cdot 1, 5)}{2} = \frac{9}{2} = 4, 5

Alternativa b.

Verificando

cos α = \frac{4}{5} = 0, 8

Consultando o quadro de razões trigonométricas, concluímos que o ângulo mede aproximadamente 37graus.

Alternativa b.

6. Como

sen 30 ° = \frac{1}{2} = cos 60 °

; então, seno de 30graus ‒ cosseno de 60graus = 0.

Alternativa d.

s e n α = \frac{m e d i d a d o c a t e t o o p o s t o a α}{m e d i d a d a h i p o t e n u s a}

⇒

s e n α = \frac{1}{2}

O ângulo cujo seno é

\frac{1}{2}

é 30graus.

Alternativa c.

8. O menor ângulo é oposto ao menor lado, ou seja, oposto ao lado de medida 5 métros. Assim:

t g α = \frac{m e d i d a d o c a t e t o o p o s t o a α}{m e d i d a d o c a t e t o a d j a c e n t e a α} \Rightarrow t g α = \frac{5}{10}

⇒

⇒ tangente de α = 0,5

Alternativa c.

Capítulo 10 ‒ Estudo das funções

• Objetivos do capítulo e justificativas

• Conceituar e reconhecer função como relação de dependência unívoca entre duas grandezas.

• Determinar a lei de formação de uma função.

• Obter valores que uma função assume.

• Representar graficamente uma função.

• Estudar as funções polinomiais do 1º e do 2º grau.

• Identificar as relações de proporcionalidade em funções.

• Resolver problemas envolvendo equações do 2º grau no cálculo dos zeros de uma função quadrática.

• Resolver problemas envolvendo sistemas de equações do 2º grau.

Neste capítulo, situações contextualizadas subsidiam as abordagens dos conceitos de função, de função polinomial do 1º grau e de função polinomial do 2º grau, favorecendo o trabalho com a competência específica 6. Algumas das situações apresentadas se relacionam com a temática trabalho, como a situação 2 da página 221, contribuindo para o desenvolvimento da competência geral 6.

O trabalho desenvolvido está diretamente relacionado com a Unidade Temática Álgebra, que tem como finalidade o desenvolvimento do pensamento algébrico, fazendo uso de representações gráficas e contribuindo para que os estudantes estabeleçam relações entre variável e função. Assim, contribui-se para o desenvolvimento das competências específicas 2, 3 e 5 e das competências gerais 2 e 4.

A construção de gráficos de funções polinomiais do 1º e do 2º grau com o uso de software, apresentados nas seções Para saber mais, propiciam o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 5. Também em uma das seções Para saber mais apresentamos um texto sobre a História da Matemática, o que favorece o trabalho com a competência geral 1 e a competência específica 1.

Na seção Trabalhando a informação propomos algumas questões para que os estudantes reflitam sobre o envelhecimento populacional e sobre a participação das mulheres no ambiente de trabalho. Atividades como essas possibilitam aos estudantes exercitar a empatia e o diálogo, contribuindo para o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e das competências específicas 7 e 8.

• Habilidades trabalhadas no capítulo

(ê éfe zero nove ême ah zero seis) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

(ê éfe zero nove ême ah zero oito) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

(ê éfe zero nove ême ah zero nove) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.

Os conceitos e as atividades ligados à Unidade Temática Álgebra, foco deste capítulo, utilizam como base os conhecimentos já construídos no capítulo 3 deste livro e nos anos anteriores, em especial no 8º ano (ê éfe zero oito ême ah um dois). Exploram-se situações e resoluções de problemas que envolvem a variação de duas grandezas e a noção de função, estudando mais profundamente as funções polinomiais do 1º e do 2º graus, o que contribui com o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero nove ême ah zero seis) e (ê éfe zero nove ême ah zero oito).

O estudo de funções é ferramenta fundamental para a continuidade do trabalho com Matemática e outras áreas do conhecimento. Desse modo, espera-se que os conteúdos deste capítulo propiciem embasamento necessário para esse instrumental no Ensino Médio.

Ainda na Unidade Temática Álgebra, o capítulo trata da representação gráfica das funções estudadas, explorando a análise e a construção de seus gráficos no plano cartesiano, e de problemas envolvendo valores máximos e valores mínimos de uma função polinomial do 2º grau, o que favorece o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero nove ême ah zero seis).

• Comentários e resoluções

Apresentamos a seguir as resoluções de alguns exercícios e atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompanham as reproduções das páginas do livro do estudante.

Página noventa e sete

Abertura

b) Espera-se que os estudantes representem uma curva que lembre uma parábola com concavidade para baixo, de um ponto P ao vértice e do vértice ao simétrico de P em relação ao eixo de simetria.

Exercícios propostos

1. a) Custará R$ 80,00oitenta reais, pois 2 · 40 = 80. A segunda compra custará R$ 400,0quatrocentos reais0, pois 10 · 40 = 400.

1. c) É função se entre as grandezas associadas há uma correspondência tal que, para cada valor de x, exista um único valor de y. Então, sim, pois cada quantidade comprada está associada a um único preço.

2. a) Não, pois pode existir uma mãe que esteja associada a mais de um filho.

2. b) Sim, pois qualquer filho tem uma única mãe biológica.

3. y = 15 + (x ‒ 1) · 4 ⇒ y = 15 + 4x ‒ 4 ⇒ y = 4x + 11

p = \frac{8}{10} \cdot t \Rightarrow p = \frac{4 \cdot t}{5} \Rightarrow p = 0, 8 \cdot t

5. a) Observando que o segmento de medida y é formado por dois segmentos consecutivos e colineares de medidas 6 e x, tem-se que: y = x + 6

5. b) No triângulo: y = 2x + 3x + 4,5 = 5x + 4,5

No retângulo: y = x + (x + 2) + x + (x + 2) = 4x + 4

6. a) f(2) = 4 · 2 + 9 = 8 + 9 = 17

6. b)

f (\frac{1}{2}) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 9 = 2 + 9 = 11

6. c) f(‒2) = 4 · (‒2) + 9 = ‒8 + 9 = 1

6. d) f(‒0,3) = 4 · (‒0,3) + 9 = ‒1,2 + 9 = 7,8

6. e)

f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} + 9

7. a) Se y é a medida da área, então:

y = \frac{12 \cdot x}{2}

⇒ y = 6 · x

7. b) y = 6 · 7 = 42, então a área mediria 42 centímetros quadrados.

7. c) 45 = 6 · x ⇒

x = \frac{45}{6} = 7, 5

Então, a diagonal deve medir 7,5 centímetros.

8. a) Sem a despesa fixa, o custo em reais da produção de n pirulitos é 0,30n. Então, acrescentando a despesa fixa, tem-se em reais que: c = 0,3n + 27

8. b) Com a venda dos pirulitos, são arrecadados R$ 240,00duzentos e quarenta reais, pois 200 · 1,2 = 240. O custo é R$ 87,00oitenta e sete reais, pois c = 27 + 0,3 · 200 = 27 + 60 = 87. Portanto, o lucro é de R$ 153,00cento e cinquenta e três reais, pois: 240 ‒ 87 = 153

8. c) 1,2 · n ‒ (27 + 0,3 · n) > 0 ⇒ 1,2 · n ‒ 27 ‒ 0,3 · n > 0 ⇒

\Rightarrow 0, 9 \cdot n > 27 \Rightarrow n > \frac{27}{0, 9} \Rightarrow n > 30

Portanto, o número mínimo de pirulitos é 31.

8. d) 1,20 · n ‒ (27 + 0,30 · n) = 45 ⇒ 1,20 · n ‒ 27 ‒ 0,30 · n =

= 45 ⇒ 0,90 · n = 45 + 27 ⇒ 0,90 · n = 72 ⇒

\Rightarrow n = \frac{72}{0, 90} \Rightarrow n = 80

8. e) Depende do salário mínimo vigente; seja s esse valor, portanto o lucro mensal deve ser 6 · s e o lucro por dia será de

\frac{6 \cdot s}{22}

; assim, vendendo p pirulitos por dia para obter esse lucro:

0, 9 p - 27 = \frac{6 s}{22}

⇒

p = (\frac{6 s}{22} + 27) \cdot \frac{1}{0, 9}

9. a) Atualmente, a produção em toneladas é:

y = 50 \sqrt{121}

= 50 · 11 = 550. Com a contratação, essa produção passará a:

y = 50 \sqrt{121 + 48} = 50 \sqrt{169} = 50 \cdot 13 = 650

Portanto, o aumento na produção será de 100 toneladas pois: 650 ‒ 550 = 100

9. b) Fazendo x’ = 4x em

y = 50 \sqrt{x}

tem-se:

y ’ = 50 \sqrt{x ’} = 50 \cdot \sqrt{4 x} = 50 \cdot 2 \cdot \sqrt{x} = 100 \sqrt{x} \neq 4 y

, pois:

4 y ’ = 4 \cdot 50 \sqrt{x ’} = 200 \sqrt{x ’}

14. Como os zeros das funções são as abscissas dos pontos em que seus gráficos interceptam o eixo das abscissas, tem-se que:

14. a) x = ‒3

14. b) x = 1

15. Fazendo y = 0 para cada item:

15. a) x + 3 = 0 ⇒ x = ‒3

15. b) ‒3x2 + 6 = 0 ⇒ ‒3x2 = ‒6 ⇒ x2

= \frac{‒ 6}{‒ 3} \Rightarrow x^{2} = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}

15. c) 3x + 18 = 0 ⇒ 3x = ‒18 ⇒

x = \frac{‒ 18}{3} \Rightarrow x = ‒ 6

17. a) Função polinomial de 1º grau com a = 1 e b = 3.

17. b) Função polinomial de 1º grau com a = ‒5 e b = 1.

17. c) Não é função polinomial de 1º grau.

17. d) Função polinomial de 1º grau com a = ‒4 e b = 0.

17. e) Não é função polinomial de 1º grau.

17. f) Função polinomial de 1º grau com a = ‒1 e b = 2.

19. a) f(‒1) = 5 · (‒1) ‒ 4 = ‒5 ‒ 4 = ‒9

19. b)

f (- \frac{3}{5}) = 5 \cdot (- \frac{3}{5})

‒ 4 = ‒3 ‒ 4 = ‒7