Parte 2
4. Adição algébrica com radicais
Acompanhe duas fórmas de efetuar a adição algébrica com radicais.
1ª fórma
Substituímos as raízes por seus valores e fazemos os cálculos indicados. Por exemplo:
a)
raiz quadrada de 49 mais raiz quadrada de 16.= 7 + 4 = 11
b)
raiz cúbica de 8 menos raiz quarta de 16.= 2 ‒ 2 = 0
c)
menos 5 raiz cúbica de 0,125 mais 2 raiz quadrada de 1,69.= ‒5 ⋅ 0,5 + 2 ⋅ 1,3 = ‒2,5 + 2,6 = 0,1
2ª fórma
Se houver vários radicais iguais, podemos colocá-los em evidência. Por exemplo:
a)
b)
3 vezes raiz quadrada de 5 mais 2 vezes raiz quadrada de 7 menos 5 vezes raiz quadrada de 5 mais raiz quadrada de 7 mais 4 vezes raiz quadrada de 7.=
abre parêntese, 3 menos 5, fecha parêntese, vezes raiz quadrada de 5, mais, abre parêntese, 2 mais 1 mais 4, fecha parêntese, vezes raiz quadrada de 7.=
menos 2 vezes raiz quadrada de 5, mais 7 vezes raiz quadrada de 7.A expressão
menos 2 vezes raiz quadrada de 5 mais 7 vezes raiz quadrada de 7.não pode mais ser reduzida, porque seus termos não têm radicais iguais. Mas é possível encontrar um valor aproximado para ela.
Como
raiz quadrada de 5, aproximadamente, 2,2.e
raiz quadrada de 7, aproximadamente, 2,6., temos:
c)
raiz quadrada de 18 mais raiz quadrada de 50, igual a, raiz quadrada de 2 vezes 3 ao quadrado, mais raiz quadrada de 2 vezes 5 ao quadrado, igual a 3 vezes raiz quadrada de 2 mais 5 vezes raiz quadrada de 2, igual a 8 vezes raiz quadrada de 2d)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
21 Calcule.
a)
raiz quadrada de 25 mais raiz cubica de 27 mais raiz quarta de 81
b)
raiz cubica de menos 64, mais raiz quadrada de 64 mais raiz sexta de 64
c)
2 vezes raiz quadrada de 4,41 menos 3 vezes raiz quadrada de 2,56
d)
5 vezes raiz quadrada de 1,44 mais 3 vezes raiz cubica de 0,343
22 Efetue.
a)
3 raiz quadrada de 5 mais raiz quadrada de 5 menos 6 raiz quadrada de 5.
b)
4 vezes raiz quadrada de 2 mais 6 vezes raiz quadrada de 3 menos 2 vezes raiz quadrada de 2 mais 9 vezes raiz quadrada de 3
c)
2 vezes raiz quinta de 3 menos 2 vezes raiz quadrada de 3 mais 3 vezes raiz quadrada de 3 mais 3 vezes raiz quinta de 3
d)
3 mais raiz quadrada de 2 mais 7 menos 5 vezes raiz quadrada de 2
Respostas e comentários
21. a) 11
21. b) 6
21. c) ‒0,6
21. d) 8,1
22. a)
menos 2 vezes raiz quadrada de 522. b)
Dois vezes raiz quadrada de 2 mais 15 vezes raiz quadrada de 3.22. c)
5 vezes raiz quinta de 3 mais raiz quadrada de 322. d)
10 menos 4 vezes raiz quadrada de 24. Adição algébrica com radicais
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero três e ê éfe zero nove ême ah zero quatro.
Neste tópico, os estudantes podem desenvolver as habilidades ( ê éfe zero nove ême ah zero três) e ( ê éfe zero nove ême ah zero quatro) compreendendo maneiras de efetuar adição com números racionais. Para que os estudantes compreendam que determinados números expressos como radicais são irracionais, incentive-os a escrevê-los na fórma decimal e a perceber que alguns desses números têm a parte decimal infinita e não apresentam dízima periódica.
Comente com os estudantes que radicais que têm mesmo índice e mesmo radicando são conhecidos como radicais semelhantes. Assim, eles podem perceber que a adição algébrica com radicais é efetuada quando ela envolve radicais semelhantes (fazendo uma analogia com adição algébrica de termos semelhantes em expressões algébricas). Por isso, é necessário simplificar cada radical envolvido na adição algébrica para obter termos com o mesmo radical.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 21 e 22 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 2.
23 Reduza os radicais a uma expressão na fórma
a, raiz quadrada de b, com a e b inteiros.
a)
raiz quadrada de 20 mais rais quadrada de 45
b)
4, raiz quadrada de 63 menos raiz quadrada de 7
c)
raiz quadrada de 50, mais raiz quadrada de 98, menos raiz quadrada de 72
d)
raiz quadrada de 12 mais raiz quadrada de 75 mais raiz quadrada de 108
24 Determine a medida do perímetro das figuras, cujas medidas dos lados são dadas em uma mesma unidade de medida de comprimento.
a)
b)
25 Ao efetuar
Raiz cubica de 15, 343 avos, mais, raiz quadrada de 3 sétimos menos 5, 49 avos, qual é o valor obtido?
a)
Fração. Numerador raiz cubica de 211, denominador 7b)
Numerador raiz cubica de 211, denominador 49c)
211, 343 avosd)
19, 350 avos5. Multiplicação e divisão com radicais
Multiplicação com radicais
Para multiplicar radicais de mesmo índice, aplicamos a 3ª propriedade dos radicais:
sendo n um número natural não nulo e a e b números reais positivos.
Portanto, para multiplicar radicais de mesmo índice, mantemos o índice e multiplicamos os radicandos, simplificando, sempre que possível, o resultado obtido.
Acompanhe alguns exemplos.
a)
raiz quarta de 2, vezes raiz quarta de 8, igual a, raiz quarta de 2 vezes 8, igual a, raiz quarta de 16, igual a, raiz quarta de 2 elevado a 4, igual a 2b)
menos 5, raiz quadrada de 3, vezes 3, raiz quadrada de 2, igual a, entre parenteses, menos 5 vezes 3, raiz quadrada de 3 vezes 2, igual a, menos 15, raiz quadrada de 6c)
d)
Respostas e comentários
23. a)
5, raiz quadrada de 523. b)
11, raiz quadrada de 723. c)
6, raiz quadrada de 223. d)
13, raiz quadrada de 324. a)
P igual a 10, raiz quadrada de 324. b)
P igual a 9, raiz quadrada de 225. Alternativa a.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 23 e 24 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 2.
Apresentamos a seguir uma possível resolução para o exercício 25.
Alternativa a.
5. Multiplicação e divisão com radicais
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero três e ê éfe zero nove ême ah zero quatro.
Neste tópico, os estudantes continuam desenvolvendo as habilidades (EF09MA03) e (EF09MA04), agora, explorando a multiplicação e a divisão com radicais. Sempre que viável, explore a representação na fórma decimal de alguns radicais que representem números irracionais.
Na multiplicação de dois ou mais radicais, é necessário apenas que os radicais tenham o mesmo índice. dêsse modo, espera-se que os estudantes percebam que devem utilizar as propriedades de radicais para obter radicais de mesmo índice antes de efetuar essas operações.
Se os índices dos radicais forem diferentes, antes da multiplicação reduzimos esses radicais a um mesmo índice. Observe, por exemplo, como fazemos a redução dos radicais
Raiz cúbica de dois elevado ao quadrado.e
Raiz quarta de três.a um mesmo índice.
Então, multiplicando esses dois radicais, obtemos:
Observe que, no desenvolvimento apresentado, os números considerados são positivos. Mas também poderíamos ter números negativos, caso o índice do radical seja ímpar. Por exemplo:
a)
raiz cubica de menos 5, vezes raiz cubica de 0,2, igual a, raiz cubica de menos 5 vezes 0,2, igual a, raiz cubica de menos 1, igual a menos 1b)
raiz cubica de menos 27 vezes raiz cubica de menos 8, igual a, raiz cubica de menos 27 vezes menos 8, igual a, raiz cubica de 216, igual a 6.
Divisão com radicais
Para dividir radicais de mesmo índice, aplicamos a 4ª propriedade dos radicais:
sendo n um número natural não nulo e a e b números reais positivos (note que b ≠ 0).
Logo, para dividir radicais de mesmo índice, conservamos o índice e dividimos os radicandos, simplificando o resultado obtido, sempre que possível.
Acompanhe alguns exemplos.
a)
raiz cubica de 20 dividido por raiz cubica de 10, igual a, raiz cubica de 20 dividido por 10, igual a, raiz cubica de 2b)
raiz quadrada de 28 dividido por raiz quadrada de 7, igual a, raiz quadrada de 28 dividido por 7, igual a, raiz quadrada de 4, igual a 2c)
30, raiz quadrada de 15 dividido por 5, raiz quadrada de 3, igual a, entre parenteses, 30 dividido por 5, raiz quadrada de 15 dividido por 3, igual a, 6, raiz quadrada de 5d)
entre parenteses, 12, raiz quadrada de 6 menos 2, raiz quadrada de 3, dividido por, entre parenteses, 5, raiz quadrada de 2, igual a, 12, raiz quadrada de 6 dividido por 5, raiz quadrada de 2, menos 2, raiz quadrada de 3 dividido por 5, raiz quadrada de 2, igual a, 12 quintos, raiz quadrada de 3 menos 2 quintos, raiz quadrada de 3 meiosRespostas e comentários
Multiplicação e divisão com radicais
Assim como na multiplicação, na divisão de dois ou mais radicais é necessário que os radicais tenham índices iguais. Ressalte aos estudantes que as expressões numéricas envolvendo as operações com radicais estudadas seguem a mesma ordem utilizada para expressões numéricas com números racionais.
Caso perceba algum estudante com dificuldade em aplicar as propriedades dos radicais, oriente-o a seguir o caminho da transformação do radical em potência com expoente fracionário e, depois, a efetuar as operações com as frações, e reverter a fração obtida em radical.
Se os índices dos radicais forem diferentes, antes da divisão reduzimos esses radicais a um mesmo índice. Por exemplo:
a)
raiz quadrada de 8 terços, dividido por raiz cubica de 8 terços, igual a, raiz sexta de 8 terços ao cubo, dividido por raiz sexta de 8 terços ao quadrado, igual a, raiz sexta de 8 terçosb)
raiz cubica de 4, dividido por raiz quarta de 2, igual a, raiz 12 de 4 elevado a 4, dividido por raiz 12 de 2 elevado ao cubo, igual a, raiz 12 de 2 elevado a 8 dividido por 2 elevado ao cubo, igual a, raiz 12 de 2 elevado a 5EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
26 Efetue as multiplicações.
a)
raiz cubica de 5 vezes raiz cubica de 6
b)
raiz quadrada de 2 vezes raiz quadrada de 8
c)
raiz quadrada de 2 vezes raiz quadrada de 6 vezes raiz quadrada de 3
d)
raiz quadrada de 5 vezes raiz quadrada de 10
e)
Raiz cúbica de quatro vezes raiz cúbica de seis.
f)
raiz quadrada de 2 vezes raiz cubica de 5
27 Aplicando a propriedade distributiva, calcule:
a)
raiz quadrada de 5, vezes, entre parenteses, 1 mais raiz quadrada de 5
b)
entre parenteses, 3, raiz quadrada de 2 menos 2, vezes, entre parenteses, raiz quadrada de 2 mais 3.
c)
entre parenteses, raiz quadrada de 3 mais 2, vezes, entre parenteses, 2, raiz quadrada de 3
28 Calcule as medidas da área e do perímetro das figuras, cujas medidas são dadas em uma mesma unidade de medida de comprimento.
a)
b)
29 Efetue as divisões.
a)
raiz quadrada de 12 dividido por raiz quadrada de 3b)
raiz quadrada de 50 dividido por raiz quadrada de 2
c)
12, raiz cubica de menos 6, dividido por 3, raiz cubica de 2
d)
raiz cubica de 6 dividido por raiz quadrada de 3
30 Calcule o valor das expressões.
a)
entre parenteses, raiz quadrada de 18 mais raiz quadrada de 98 mais raiz quadrada de 200, dividido por entre parenteses, 2, raiz quadrada de 2 mais raiz quadrada de 8
b)
entre parenteses, raiz quadrada de 150 menos raiz quadrada de 24, dividido por, entre parenteses, 2, raiz quadrada de 8 menos 3, raiz quadrada de 2
c)
entre parenteses, 10, raiz quadrada de 27 mais 10, raiz quadrada de 3, dividido por, 10, raiz quadrada de 3
d)
entre parenteses, 20, raiz quadrada de 10, mais 10, raiz quadrada de 18, dividido por 2, raiz quadrada de 2
31 ( ú é cê é) Se p = 3 +
Raiz quadrada de dois.e q = 2 ‒
Raiz quadrada de dois., então p ⋅ q ‒ p é igual a:
a) 1 ‒
2 raiz quadrada de 2.b) 1 ‒
Raiz quadrada de dois.c) 1 +
Raiz quadrada de dois.d) 1 +
2 raiz quadrada de 2.32 (Fuvest- São Paulo) Se a =
Raiz quadrada de dois.e b =
raiz quarta de 2., então o valor de a ⋅ b é:
a)
raiz quarta de 8b)
raiz quarta de 4c)
raiz quadrada de 8d)
raiz quadrada de 4e)
raiz 8 de 433
Hora de criar – Reúna-se com um colega e façam o que se pede.
a) Calculem:
•
entre parenteses, raiz quadrada de 201 mais raiz quadrada de 199, vezes, entre parenteses, raiz quadrada de 201 menos raiz quadrada de 199
•
entre parenteses, raiz quadrada de 31,4 mais raiz quadrada de 29,4, vezes, entre parenteses, raiz quadrada de 31,4 menos raiz quadrada de 29,4
•
entre parenteses, raiz quadrada de 89 mais raiz quadrada de 82, vezes, entre parenteses, raiz quadrada de 89 menos raiz quadrada de 82
b) Cada um de vocês pensa em dois números positivos e substitui as figuras △ e ◇ na expressão
entre parenteses, raiz quadrada de triângulo mais raiz quadrada de prisma, vezes, entre parenteses, raiz quadrada de triângulo, menos raiz quadrada de prismapara que o outro faça o cálculo. Discutam os resultados obtidos e elaborem uma regra para o resultado dêsse tipo de expressão.
Respostas e comentários
26. a)
raiz cubica de 3026. b) 4
26. c) 6
26. d)
5, raiz quadrada de 226. e)
2, raiz cubica de 326. f)
raiz sexta de 20027. a)
raiz quadrada de 5 mais 527. b)
7, raiz quadrada de 227. c)
6 mais 4, raiz quadrada de 328. a) P = 2 +
2 raiz quadrada de 2 mais 2 raiz quadrada de 3.A =
raiz quadrada de 3 mais raiz quadrada de 6.28. b) P =
6 raiz quadrada de 2 mais 2 raiz quadrada de 10.A = 12
29. a) 2
29. b) 5
29. c)
4, raiz cubica de menos 329. d)
raiz sexta de 4 terços30. a) 5
30. b)
3, raiz quadrada de 330. c) 4
30. d)
10, raiz quadrada de 5 mais 1531. Alternativa a.
32. Alternativa a.
33. a) 2; 2; 7.
33. b) Espera-se que os estudantes concluam que o resultado sempre será a diferença entre os radicandos.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 26 a 33 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 2.
No exercício 33, verifique se alguma dupla associa os produtos indicados com o produto notável da soma pela diferença de dois termos e, se associar, como procede ao efetuar a potenciação com radicais que surgirão nesse caso. Compartilhe os diferentes procedimentos, validando-os com os estudantes.
6. Potenciação e radiciação com radicais
Potenciação
Observe o cálculo a seguir.
Então:
raiz quinta de 3, elevado a 4, igual a, raiz quinta de 3 elevado a 4Para potenciação com radicais, basta elevar o radicando à potência indicada. Observe como podemos fazer para simplificar algumas expressões.
a)
raiz quadrada de 2, ao cubo, igual a, raiz quadrada de 2 ao cubo, igual a, raiz quadrada de 2 ao quadrado vezes 2, igual a, 2, raiz quadrada de 2b)
raiz cubica de 9, ao quadrado, igual a raiz cubica de 3 ao quadrado, ao quadrado, igual a, raiz cubica de 3 ao quadrado, ao quadrado, igual a, raiz cubica de 3 elevado a 4, igual a, raiz cubica de 3 ao cubo vezes 3, igual a, 3, raiz cubica de 3c)
4, raiz quadrada de 5, ao cubo igual a, 4 cubos, vezes raiz quadrada de 5 cubo, igual a, 64 vezes raiz quadrada de 5 ao quadrado vezes 5, igual a, 64 vezes 5, raiz quadrada de 5, igual a, 320, raiz quadrada de 5d)
entre parenteses, raiz quadrada de 2 mais raiz quadrada de 3, ao quadrado, igual a, raiz quadrada de 2, ao quadrado, mais 2 vezes raiz quadrada de 2 vezes raiz quadrada de 3 mais raiz quadrada de 3, ao quadrado, igual, 2 mais 2, raiz quadrada de 6 mais 3, igual a,5 mais 2, raiz quadrada de 6EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
34 Calcule:
a)
raiz quadrada de 15, ao quadradob)
raiz cubica de 3, ao cuboc)
abre parêntese, 3 raiz de 7, fecha parêntese, ao quadrado.d)
abre parêntese, 3 raiz quarta de 3, fecha parêntese, elevado a 4.
e)
raiz quadrada de 10, ao cubo
f)
abre parêntese, 2 raiz cúbica de 3, fecha parêntese, elevado a 4.
35 Efetue:
a)
entre parenteses, raiz quadrada de 7 mais raiz quadrada de 3, ao quadradob)
entre parenteses, 3 menos raiz quadrada de 7, ao quadrado36 Qual é o valor da expressão A = x ⁴ + x ² + 2, para x =
menos raiz quadrada de 3.?
Pense mais um pouco reticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Bruno tem 30 cubos cujas arestas medem
2, raiz quadrada de 7centímetros.
a) Quantos desses cubos ele deve usar para formar o maior cubo possível?
b) Calcule a medida do volume do cubo formado.
Radiciação com radicais
Observe como podemos proceder para simplificar as expressões a seguir e reduzi-las a um radical, utilizando os conceitos estudados.
a)
Respostas e comentários
34. a) 15
34. b) 3
34. c) 63
34. d) 243
34. e)
10, raiz quadrada de 1034. f)
48, raiz cubica de 335. a)
10 mais dois raiz quadrada de 21.35. b)
16 menos 6, raiz quadrada de 736. A = 14
Pense mais um pouco reticências: a) 27 cubos.
b)
1512 raiz quadrada de 7 centímetros cúbicos.6. Potenciação e radiciação com radicais
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero três e ê éfe zero nove ême ah zero quatro.
Neste tópico, os estudantes mobilizam as habilidades ( ê éfe zero nove ême ah zero três) e ( ê éfe zero nove ême ah zero quatro) e as desenvolvem à medida que resolvem problemas envolvendo radicais, dos quais alguns representam números irracionais. Ressalte aos estudantes que efetuar uma potenciação de um radical equivale a elevar o radicando à potência indicada. Assim, no caso de o radicando ser formado por uma expressão, toda essa expressão deve ser elevada à potência. Por exemplo:
•
abre parêntese, raiz quadrada de 125, fecha parêntese, ao quadrado, igual a, raiz quadrada de, abre parêntese, 125, fecha parêntese, ao quadrado.•
abre parêntese, raiz cubica de 64, 125 avos, fecha parêntese, elevado a menos 1, igual a, raiz cubica de, abre parêntese, 64, 125 avos, fecha parêntese, elevado a menos 1.•
abre parêntese, raiz quarta de 2a menos b, fecha abre parêntese, elevado a 8, igual a, raiz quarta de, abre parêntese, 2a menos b, fecha parêntese, elevado a 8.Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 34 a 36 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 2.
Pense mais um pouco reticências
Nesta seção, a intenção é que os estudantes não utilizem um material concreto, no caso cubos, para encontrar as respostas, pois devem ser incentivados a usar conceitos numéricos e geométricos.
Pode ser interessante que eles formem duplas para que registrem coletivamente as resoluções e depois as troquem e comparem.
As resoluções dos itens a e b estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 2.
b)
Para extrair a raiz de um radical, devemos multiplicar os índices desses radicais e conservar o radicando, simplificando o radical obtido sempre que possível (considerando o radicando um número real positivo e os índices números naturais não nulos).
Acompanhe outros exemplos.
a)
raiz cubica de raiz quadrada de 7, igual, raiz de índice 2 vezes 3, de 7, igual a, raiz sexta de 7b)
raiz quadrada de raiz cubica de raiz quadrada de 5 ao quadrado, igual, raiz de índice 2 vezes 3 vezes 2, de 5 ao quadrado, igual, raiz 12 de 5 ao quadrado, igual, raiz sexta de 5c)
raiz quarta de raiz quadrada de 2, raiz cubica de 5, igual, raiz quarta de raiz quadrada de raiz cubica de 2 ao cubo vezes 5, igual, raiz de índice 4 vezes 2 vezes 3, de 8 vezes 5, igual,raiz 24 de 40.d)
raiz quarta de 2, raiz quadrada de raiz cubica de 5, igual, raiz quarta de 2, raiz de índice 2 vezes 3, de 5, igual, raiz quarta de 2, raiz sexta de 5.=
raiz quarta de raiz sexta de 2 elevado a 6 vezes 5, igual, raiz de índice 4 vezes 6, de 64 vezes 5, igual, raiz 24 de 320.e)
raiz quarta de 2 ao quadrado vezes raiz cúbica de 2 ao cubo vezes raiz quadrada de 2 elevado a 4, fim da raiz quarta, igual, raiz quarta de 2 ao quadrado vezes raiz cúbica de raiz quadrada de 2 elevado a 6 vezes 2 elevado a 4, fim da raiz cúbica, fim da raiz quarta.=
raiz quarta de 2 ao quadrado vezes raiz índice 3 vezes 2 de 2 elevado a 10, fim da raiz quarta, igual, raiz quarta de 2 ao quadrado vezes raiz 6 de 2 elevado a 10, fim da raiz quarta.=
raiz quarta de raiz 6 de 2 elevado a 12 vezes 2 elevado a 10, fim da raiz quarta, igual, raiz 24 de 2 elevado a 22, igual, raiz 12 de 2 elevado a 11.EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
37 Reduza estas expressões a um único radical e simplifique-as, se possível.
a)
raiz quadrada de raiz quadrada de 10b)
raiz cubica de raiz quadrada de 3c)
raiz quadrada de raiz quadrada de raiz quadrada de 2d)
raiz cúbica de raiz cúbica de raiz quadrada de 3.
e)
raiz sexta de raiz quadrada de 5 ao cubo
f)
raiz cubica de 2, raiz quadrada de 2 elevado a 4
g)
raiz quadrada de raiz quadrada de 15 elevado a 4
h)
raiz quarta de 3, raiz quadrada de 5
38 Verifique qual das sentenças a seguir é falsa.
a)
raiz cubica de raiz quadrada de 11, igual, raiz sexta de 11
b)
raiz quadrada de raiz cubica de 2, igual, raiz quinta de 2
c)
raiz quadrada de raiz quadrada de raiz quadrada de 1024, igual, raiz quarta de 2 elevado a 5
d)
raiz cubica de raiz quadrada de 81, igual, raiz cubica de 3 ao quadrado
Racionalização de denominadores
Considere o quociente de 2 por
raiz quadrada de 3. Ele pode ser indicado por
fração de 2 sobre raiz quadrada de 3.
Um quociente não se altera quando multiplicamos o dividendo e o divisor por um mesmo número não nulo. Observe, por exemplo, o que acontece quando multiplicamos o numerador e o denominador da fração
fração de 2 sobre raiz quadrada de 3por
raiz quadrada de 3:
Com essa multiplicação, obtemos uma expressão com denominador racional. Esse procedimento é chamado de racionalização de denominadores.
É conveniente efetuar cálculos com radicais quando eles não estão no denominador. Por isso, quando necessário, racionalizamos o denominador de uma expressão fracionária.
Respostas e comentários
37. a)
Raiz quarta de 1037. b)
Raiz sexta de 337. c)
Raiz oitava de 237. d)
raiz 18 de 337. e)
Raiz quarta de 537. f) 2
37. g) 15
37. h)
raiz oitava de 4538. Alternativa b.
Radiciação com radicais
Ao tratar de radiciação com radicais, ressalte aos estudantes os casos nos quais é necessária a inclusão de um fator em um radical para que se obtenha radical de radical, por exemplo:
•
raiz cubica de 2, raiz quadrada de de 2 elevado a 4, igual, raiz cubica de raiz quadrada de de 2 elevado a 4 vezes 2 ao quadrado.=
•
raiz quarta de 3, raiz quadrada de 5, igual, raiz quarta de raiz quadrada de 5 vezes 3 ao quadrado.=
Exercícios propostos
A resolução do exercício 37 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 2.
No exercício 38, a sentença do item b é falsa pois, aplicando-se a propriedade da radiciação dos radicais, os índices não deveriam ter sido adicionados, mas sim multiplicados, como ocorreu nos demais itens.
Acompanhe outros exemplos.
a) Vamos racionalizar o denominador da expressão
fração, numerador 2, denominador 3, raiz quadrada de 2.
Multiplicando os dois termos dessa expressão por
raiz quadrada de 2, obtemos:
b) Vamos racionalizar o denominador da expressão
fração, numerador 2, denominador raiz quinta de 7 ao quadrado.
Para multiplicar os dois termos da expressão, convém escolher um número que, multiplicado por
raiz quinta de 7 elevado a 2, resulte em
raiz quinta de 7 elevado a 5, isto é, em 7. Esse número é o quociente
raiz quinta de 7 elevado a 5, dividido por raiz quinta de 7 ao quadrado, igual, raiz quinta de 7 ao cubo.
Portanto, multiplicando os dois termos da expressão por
raiz quinta de 7 ao cubo, obtemos:
c) Vamos racionalizar o denominador da expressão
fração, numerador 1, denominador raiz quadrada de 7 menos raiz quadrada de 3.
Nesse caso, convém aplicar o produto notável (a + b) ⋅ (a ‒ b) = a² ‒ b² Multiplicando os dois termos da expressão por
raiz quadrada de 7 mais raiz quadrada de 3, obtemos:
=
igual, fração, numerador raiz quadrada de 7 mais raiz quadrada de 3, denominador raiz quadrada de 7, ao quadrado, menos, raiz quadrada de 3, ao quadrado, igual, fração, numerador raiz quadrada de 7 mais raiz quadrada de 3, denominador 7 menos 3, igual, fração, numerador raiz quadrada de 7 mais raiz quadrada de 3, denominador 4.EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
39 Qual é um número pelo qual devemos multiplicar os dois termos da expressão
fração, numerador 15, denominador 4, raiz quadrada de 3para obter uma expressão cujo denominador seja um número racional?
40 Para racionalizar o denominador da expressão
fração, numerador 10, denominador raiz cubica de 15, podemos multiplicar seus dois termos por qual radical?
41 Racionalize o denominador das expressões a seguir.
a)
Fração. 6 sobre raiz quadrada de 3b)
Fração. 1 sobre raiz quadrada de 2c)
fração, numerador 2, denominador 3, raiz quadrada de 5d)
fração, numerador 3, denominador 2, raiz quadrada de 3
e)
fração, numerador 5, denominador raiz cubica de 5
f)
fração, numerador 4, denominador raiz oitava de 2 elevado a 5
42 Sabendo que
raiz quadrada de 5com três casas decimais é 2,236, calcule o quociente
Fração. 3 sobre raiz quadrada de 5:
a) substituindo
raiz quadrada de 5por 2,236;
b) racionalizando o denominador e, depois, substituindo
raiz quadrada de 5por 2,236.
43 Sabendo que
raiz quadrada de 10com três casas decimais é 3,162, calcule da maneira mais conveniente o quociente
fração, numerador 2, denominador raiz quadrada de 10 menos 3.
44 Sabendo que a medida da área da região retangular a seguir é 10 , centímetros quadrados calcule o valor de x.
45 Demonstre que o inverso de
raiz quadrada de 2 menos 1.é
raiz quadrada de 2 mais 1..
Respostas e comentários
39. Resposta possível:
raiz quadrada de 3.
40. Resposta possível:
raiz cubica de 5 ao quadrado.
41. a)
2 vezes raiz quadrada de 341. b)
fração. raiz quadrada de 2 sobre 241. c)
fração. 2 vezes raiz quadrada de 5 sobre 1541. d)
fração. raiz quadrada de 3 sobre 241. e)
raiz cubica de 5 ao quadrado41. f)
2, raiz oitava de 2 ao cubo42. a) Aproximadamente 1,342.
42. b) Aproximadamente 1,342.
43. Respostas possíveis: 12,324 ou 12,346
44. x =
raiz quadrada de 2.centímetros
45. Demonstração.
Racionalização de denominadores
Sugerimos que seja retomado o produto notável da soma pela diferença de dois termos, para explorar a racionalização em situações como a apresentada no exemplo c.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 39 a 44 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 2.
Como o exercício 42 exige que os estudantes busquem um recurso mais conveniente para fazer os cálculos, é importante destacar que ter um número irracional aproximado por racional pode levar a erros significativos de aproximação quando são realizadas muitas operações envolvendo a aproximação e dependendo do contexto. Esse é, então, um exercício em que os estudantes podem colocar em prática a racionalização de denominadores para obter resultados mais precisos ou exatos.
Para complementar o exercício 44, peça aos estudantes que escrevam entre quais números naturais encontra-se o valor de x.
Para fazer a demonstração no exercício 45, basta realizar os cálculos a seguir, lembrando que o inverso de
Raiz quadrada de 2‒ 1 é dado por
fração, numerador 1, denominador raiz quadrada de 2 menos 1., então, temos que:
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Construindo e interpretando gráfico de linha
Observe a tabela a seguir, que mostra a taxa acumulada de variação do Produto Interno Bruto ( Píbi) brasileiro, em porcentagem, de 2004 a 2021, no 4º trimestre de cada ano.
Ano |
PIB |
---|---|
2004 |
5,8 |
2005 |
3,2 |
2006 |
4,0 |
2007 |
6,1 |
2008 |
5,1 |
2009 |
−0,1 |
2010 |
7,5 |
2011 |
4,0 |
2012 |
1,9 |
2013 |
3,0 |
2014 |
0,5 |
2015 |
−3,5 |
2016 |
−3,3 |
2017 |
1,3 |
2018 |
1,8 |
2019 |
1,2 |
2020 |
−3,9 |
2021 |
4,6 |
Dados obtidos em: í bê gê É. Disponível em: https://oeds.link/4LsKpz julho 2022.
O gráfico que melhor comunica a variação de valores no decorrer do tempo é o gráfico de linha. Já estudamos a construção de um gráfico de linha com base em um gráfico de colunas. Lá, construímos um gráfico de colunas usando os valores da tabela. Nesse gráfico, antes de apagar as colunas, marcamos o ponto médio do lado superior do retângulo de cada coluna e traçamos uma linha de segmentos consecutivos cujas extremidades são esses pontos assinalados.
Porém podemos construir o gráfico de linha sem passar pelo de colunas; basta traçar os eixos vertical e horizontal com as respectivas escalas e localizar os pontos dados pelas coordenadas (ano, Píbi), por exemplo (2004; 5,8), (2005; 3,2) etcétera É como se reduzíssemos as colunas a linhas verticais tracejadas e destacássemos o “ponto de cima”.
Nesse gráfico de linha, os únicos pontos confiáveis são os das extremidades dos segmentos; os outros só compõem o segmento que indica se, naquele intervalo de tempo, há acréscimo, constância ou decréscimo do Píbi. Observe.
Respostas e comentários
Trabalhando a informação
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah dois dois.
Nesta seção, os estudantes devem interpretar o gráfico de linha apresentado, construir outros e fazer comparações dos resultados obtidos, desenvolvendo, assim, a habilidade ( ê éfe zero nove ême ah dois dois).
Sugerimos ampliar as atividades, propondo aos estudantes que pesquisem os dados mais recentes sobre o Píbi brasileiro no ano de realização da atividade.
Discuta com eles o significado da taxa de variação do Píbi para a economia de um país, trabalhando o Tema Contemporâneo Transversal educação fiscal. Comente que um dos fatores determinantes para o crescimento do Píbi é o consumo privado de bens e serviços, ou seja, o gasto das famílias para a aquisição de bens e serviços. Se o consumo das famílias aumenta, indústrias e empresas precisam aumentar a produção para atender à demanda e, consequentemente, aumentar seus lucros. Assim, quanto mais a população consome, mais o Píbi de um país ou de uma região tende a crescer. Em contrapartida, a diminuição do consumo pode levar à queda do Píbi.
Agora quem trabalha é você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Com base no gráfico anterior, responda.
a) Em que ano o índice percentual foi maior? Em que ano ele foi menor?
b) Há algum ano em que o Píbi não cresceu nem diminuiu? Qual?
c) Usando as mesmas unidades, reconstrua o gráfico em papel vegetal e considere apenas os pontos de ano par. Depois, sobreponha-o ao gráfico anterior e escreva as diferenças que você observa entre os dois gráficos.
2 Considere a tabela a seguir.
Ano |
PIB |
---|---|
2000 |
2,9 |
2001 |
0 |
2002 |
1,7 |
2003 |
−0,2 |
2004 |
4,4 |
2005 |
2,0 |
2006 |
2,8 |
2007 |
4,9 |
2008 |
4,0 |
2009 |
−1,2 |
2010 |
6,5 |
2011 |
3,0 |
2012 |
1,0 |
2013 |
2,1 |
2014 |
−0,4 |
2015 |
−4,6 |
2016 |
−4,4 |
Dados obtidos em: í bê gê É. Contas Nacionais Trimestrais. Rio de Janeiro: í bê gê É, outubro/ dezembro 2016. Disponível em: https://oeds.link/s4peK1. Acesso em: 26 maio 2022.
a) Em que ano o índice percentual foi maior? Em que ano esse índice foi menor?
b) Há algum ano em que o Píbi não cresceu nem diminuiu? Qual?
c) Construa o gráfico de linha com os dados da tabela.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Em 1995, Dave Wineland e Chris Monroe construíram o primeiro transmissor do tamanho de um átomo, ou seja, 1 milhão de vezes menor do que 1 milímetro. Use o prefixo do SI mais adequado para expressar essa medida em metro.
2 “Quando o Sol se for – Na fase gigante vermelha, daqui a 5 bilhões de anos, o diâmetro do Sol engolirá a atual órbita da Terra. Já quando virar uma anã branca, o Sol deve ficar com um diâmetro parecido com o do nosso planeta – cêrca de 1 centésimo do diâmetro que a estrela tem hoje.”
Fonte: ALMANAQUE Abril 2015. São Paulo: Abril, 2015. página 173.
Pesquise as medidas dos diâmetros da Terra e do Sol e verifique se a informação dêsse texto tem coerência.
3 Ontem, o celular de Andréa tinha 1,2 giga báite disponível para armazenamento quando Caio lhe enviou vários vídeos que fez durante a apresentação de uma banda. Eles tinham 21,5 mégabáites, .33450 quilobáites, 318 mégabáites, 104 mégabáites, .43500 quilobáites, 99,5 mégabáites e 110,55 mégabáites.
a) O celular de Andréa tinha capacidade para receber todos os vídeos enviados por Caio?
b) Caso a resposta ao item anterior seja afirmativa, quantos mégabáites o celular dela ainda poderia receber?
Respostas e comentários
Trabalhando a informação:
1. a) 2010; 2020.
1. b) Não.
1. c) Construção de gráfico.
2. a) 2010; 2015.
2. b) Sim; 2001.
2. c) Construção de gráfico.
Exercícios complementares:
1. 1 nanômetro.
2. Medidas dos diâmetros: = 1,28 ⋅ 10⁴ quilômetros; Sol = 1,4 ⋅ 10⁶ quilômetros. 1 centésimo de 1,4 ⋅ 10⁶ quilômetros = 1,4 ⋅ 10⁴ quilômetros, que é próximo de 1,28 ⋅ 10⁴ quilômetros. Podemos considerar que a informação tem coerência.
3. a) Sim.
3. b) 469,5 mégabáites
Agora quem trabalha é você!
Na atividade 1, uma diferença observada pode ser o fato de que o gráfico reconstruído contenha menos detalhes relativos a essa taxa de variação, por ter sido feito com base apenas nos anos pares. Do ano 2008 para o ano 2010, por exemplo, verificamos um crescimento na taxa acumulada de variação do Píbi brasileiro no 4º trimestre, o que pode levar à conclusão de que nesse período a taxa de variação do Píbi só cresceu. No entanto, no gráfico original (que já estava construído), observamos que de 2008 para 2009 a taxa de variação do Píbi diminuiu, o crescimento se dá de 2009 para 2010, ou seja, no período de 2008 a 2010 não houve apenas crescimento. Conclusão análoga pode ser obtida em outros períodos. No período de 2012 a 2014, por exemplo, não há só decréscimo, mas um crescimento seguido de uma queda.
As resoluções das atividades 1 e 2 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 2.
Exercícios complementares
Este bloco de exercícios é mais uma oportunidade de os estudantes revisitarem os principais conceitos tratados no capítulo e mobilizarem os conhecimentos construídos, identificando possíveis dúvidas.
As resoluções dos exercícios 1 a 3 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 2.
4 No caderno, complete a tabela com as medidas das distâncias médias dos planetas do Sistema Solar ao Sol e com as medidas dos respectivos diâmetros.
Planeta |
Medida da distância média ao Sol em ua |
Medida da distância média ao Sol em km |
Medida do diâmetro em ano-luz |
Medida do diâmetro em km |
---|---|---|---|---|
Mercúrio |
0,4 |
4,8 ⋅ 103 |
||
Vênus |
1,08 ⋅ 108 |
1,2 ⋅ 104 |
||
Terra |
1 |
1,5 ⋅ 108 |
1,35 ⋅ 10−9 |
|
Marte |
1,5 |
7,16 ⋅ 10−10 |
||
Júpiter |
7,8 ⋅ 108 |
1,43 ⋅ 105 |
||
Saturno |
9,5 |
1,2 ⋅ 105 |
||
Urano |
19,1 |
5,1 ⋅ 104 |
||
Netuno |
4,5 ⋅ 109 |
5,16 ⋅ 10−9 |
Dados obtidos em: PLANETÁRIO ú éfe ésse cê. Disponível em: https://oeds.link/8swgxy. Acesso em: 23 mar. 2022.
5 Use uma régua para traçar uma reta numérica e, com o auxílio de um compasso, represente nela os números
raiz quadrada de 5e
raiz quadrada de 6.
(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta- sêca!)
6 Com régua e compasso, represente o número
raiz quadrada de 13na reta numérica.
7 Com régua e compasso, represente o número
raiz quadrada de 17em uma reta numérica.
8 Considere o paralelepípedo a seguir.
Determine:
a) a soma das medidas de todas as arestas do paralelepípedo;
b) a soma das medidas das áreas das faces laterais;
c) a medida do volume dêsse paralelepípedo.
9 O passo de um robô mede exatamente
50, raiz quadrada de 3centímetros. Quantos passos ele deverá dar para percorrer
18,5, raiz quadrada de 3métros?
10 Racionalize o denominador de cada uma das expressões a seguir.
a)
Fração. 8 sobre raiz quadrada de 2b)
fração, numerador 10, denominador raiz quadrada de 3, menos 1c)
fração, numerador 5 mais 3, raiz quadrada de 5, denominador raiz quadrada de 5
11
Por volta dos anos 1800, a expressão
fração, numerador 26 vezes raiz quadrada de 146, denominador 100foi usada como um valor aproximado do número π. Usando uma calculadora simples, verifique até que casa decimal a expressão dada coincide com o valor de π conhecido atualmente: π = 3,1415927 reticências
Respostas e comentários
4. A resposta deste exercício está no Manual.
5. Construção de figura.
6. Construção de figura.
7. Construção de figura.
8. a)
abre parêntese, 12 mais 12, raiz quadrada de 2, fecha parêntese, centímetros.8. b)
abre parêntese, 6, raiz quadrada de 2 mais 8, fecha parêntese, centímetros quadrados.8. c)
abre parêntese, 4, raiz quadrada de 2 mais 6, fecha parêntese, centímetros cúbicos.9. 37 passos.
10. a)
4, raiz quadrada de 210. b)
5 abre parêntese, raiz quadrada de 3 mais 1, fecha parêntese.10. c)
raiz quadrada de 5 mais 311. Até a 5ª casa decimal.
Exercícios complementares
As resoluções do exercício 4 e dos exercícios 8 a 11 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 2.
A seguir, apresentamos uma possível construção para o exercício 5.
No exercício 6, uma possível representação é:
No exercício 7, uma representação pode ser:
VERIFICANDO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 O disco rígido, popularmente conhecido como agá dê, é a parte do computador no qual se armazenam dados. Em 2022, o agá dê de maior capacidade poderia armazenar 120 petabytes de dados. Qual é o armazenamento dêsse agá dê em byte?
a) 120 ⋅ 2 elevado a 30
b) 120 ⋅ 2 elevado a 50
c) 120 ⋅ 10 elevado a 15
d) 120 ⋅ 10 elevado a 50
2 Qual é a raiz reduzida da expressão
5 elevado a 3 quartos, vezes, entre parenteses, raiz cubica de 5, elevado a 5 meios?
a)
raiz 12 de 5 elevado a 19b)
raiz 19 de 5 elevado a 12c)
raiz 12 de 5 elevado a 5d)
raiz 12 de 5 elevado a 83 Ao simplificar a expressão a seguir em um só radical, obtemos:
fração, numerador b vezes raiz nona de a elevado a 6, denominador raiz sexta de c elevado a 14
a)
raiz cubica de, fração, numerador a ao cubo vezes b, denominador c elevado a 12b)
raiz quadrada de, fração, numerador a elevado a 6 vezes b ao quadrado, denominador c elevado a 5c)
raiz cubica de, fração, numerador a elevado a 6 vezes b, denominador c elevado a 14d)
raiz cubica de, fração, numerador a ao quadrado vezes b ao cubo, denominador c elevado a 74 Qual é a medida do perímetro do quadrilátero da figura a seguir?
a)
16, raiz quadrada de 3b)
raiz quadrada de 3, abre parêntese, 29 mais raiz quadrada de 7, fecha parêntese.c)
raiz quadrada de 3, abre parêntese, 9 mais raiz quadrada de 7, fecha parêntese.d)
27 mais 3, raiz quadrada de 75 Se a =
raiz 4 de 3e b =
raiz sexta de 2, então a ⋅ b é igual a:
a)
raiz 12 de 31.
b)
raiz 12 de 108.
c)
raiz sexta de 108.
d)
raiz 24 de 108.
6 A área de um retângulo mede
raiz quadrada de 1550centímetros quadrados e a altura,
raiz quadrada de 62. centímetros A medida da base dêsse retângulo é igual a:
a) 25 centímetros.
b) 5 centímetros.
c)
raiz quadrada de 15centímetros.
d)
raiz quadrada de 40centímetros.
7 Qual é a medida do volume do cubo da figura a seguir?
a) 125 centímetros cúbicos
b)
125, raiz cubica de 4centímetros cúbicos
c) 250 centímetros cúbicos
d)
250 vezes raiz cubica de 4centímetros cúbicos
8 Assinale a alternativa que contém a fórma simplificada da expressão
raiz quadrada de 9 menos raiz quadrada de 34 mais raiz cubica de 8.
a) 3
b)
raiz quadrada de 15c) 4
d)
raiz quadrada de 39 Racionalizando o denominador da expressão a seguir, obtemos a expressão de qual das alternativas?
fração, numerador raiz quadrada de 12, denominador raiz quadrada de 5 mais raiz quadrada de 3
a)
fração, numerador raiz quadrada de 60 mais 6, denominador 2b)
fração, numerador raiz quadrada de 60 menos 6, denominador 8c)
raiz quadrada de 15 menos 3d)
raiz quadrada de 30 menos 3Organizando
Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.
a) Descreva como você transforma a medida de um comprimento dada em ano-luz para uma medida aproximada dada em quilômetro.
b) Que relação podemos estabelecer entre um radical e uma potência?
c) Descreva a estratégia que você utiliza para efetuar a multiplicação e a divisão de radicais com um mesmo índice.
d) Descreva a estratégia que você utiliza para efetuar a multiplicação e a divisão de radicais com índices diferentes.
e) Como você explicaria a um colega no que consiste o processo de racionalização do denominador de uma fração com denominador irracional?
Respostas e comentários
1. Alternativa c.
2. Alternativa a.
3. Alternativa d.
4. Alternativa c.
5. Alternativa b.
6. Alternativa b.
7. Alternativa c.
8. Alternativa d.
9. Alternativa c.
Organizando:
a) Multiplicando a medida dada em ano-luz por 9,5 ⋅ 10 elevado a 12.
b) Considerando as condições de existência, podemos dizer que radical é uma potência com expoente fracionário. Em símbolos:
raiz enésima de a elevado a m, igual, a elevado a m sobre n, sendo a um número real, m um número inteiro e n um número natural não nulo.
c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes considerem a 3ª e a 4ª propriedade dos radicais.
d) Idem à c, acrescentando que, primeiro, se deve reduzir os radicais ao mesmo índice.
e) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes digam que a racionalização do denominador se faz com a multiplicação do numerador e do denominador da fração por um mesmo número, não nulo, de modo que o produto dêsse número com o denominador seja racional.
Verificando
Nesta seção são propostos testes que abordam os conteúdos apresentados ao longo deste capítulo, sendo uma oportunidade para os estudantes validarem o entendimento do conteúdo estudado. Caso eles apresentem dúvidas em relação a algum dos testes propostos, oriente-os a rever os conceitos apresentados no capítulo.
Sugerimos, ainda, que os estudantes se organizem em duplas para resolver os testes e, depois de corrigidos, cada estudante deve resolver novamente aqueles que estiverem incorretos.
As resoluções dos testes 1 a 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 2.
Organizando
As questões apresentadas nessa seção possibilitam retomar com os estudantes os principais conceitos trabalhados no capítulo. Elas também podem orientar uma autoavaliação dos estudantes.
É interessante que cada estudante responda individualmente e, depois, comente com os colegas as respostas, corrigindo-as ou complementando-as.