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CAPÍTULO 3 Grandezas proporcionais

Pintura. Parede com imagem de uma mulher de cabelo pretos compridos, touca roxa e casaco azul. Ela está com a cabeça virada para cima e segura um instrumento de corda na vertical. À frente, estrutura metálica retangular laranja com objetos e um guarda-sol colorido. — Obra da artista de grafite Shamsia Hassani, em um estacionamento em Eugene, Oregon, Estados Unidos. (Fotografia de 2018.)

Surgido nos anos 1970 em Nova York, Estados Unidos, o grafite é uma fórma de manifestação artística e cultural em espaços públicos com adeptos em vários países. O grafite é uma expressão caracteristicamente urbana e faz parte do cenário da maioria das grandes cidades. Contando histórias por meio de imagens, ele também é usado como uma maneira de comunicar críticas sociais por meio de arte acessível.

Em seus coloridos e vibrantes murais que compõem a cena urbana de diversas cidades pelo mundo, a artista Shamsia Hassani apresenta sua personagem, uma mulher sem boca; o instrumento musical não é para tocar, é um símbolo que faz a vez da sua voz. Assim, ela chama a atenção para a desigualdade de gênero, ainda muito presente na sociedade atual.

Observe, leia e responda no caderno.

a) O grafite brasileiro é conhecido no mundo todo. No Japão, na Lituânia, no Malaui e em Cuba é possível observar murais com temáticas brasileiras enfeitando as ruas e estimulando um pensamento crítico sobre a sociedade. Qual é a importância da arte urbana, como o grafite?

b) Se dois grafiteiros levam 10 dias para concluir um grande painel, com a ajuda de outros dois artistas, igualmente hábeis, em quantos dias eles terminariam essa arte?

c) Para pintar um mural medindo 25 metros de altura por 10 metros de comprimento uma artista precisa de 25 litros de tinta. Para pintar um mural medindo 20 metros de altura por 50 metros de comprimento quantas latas de tinta de 1 litro cada seriam necessárias?

d) A arte de rua é comum na cidade em que você vive? Você conhece algum artista de arte urbana?

Respostas e comentários

a) Resposta possível: a arte urbana é importante como manifestação cultural, além de artística, e como fórma de crítica social, chamando a atenção para os problemas sociais atuais que precisam ser solucionados.

b) 5 dias.

c) 100 litros de tinta.

d) Resposta pessoal.

Capítulo 3 – Grandezas proporcionais

Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática (Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.

Este capítulo trata do estudo de razões entre grandezas de naturezas diferentes e da proporcionalidade entre grandezas. São apresentadas estratégias de resolução de problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais, considerando problemas que tenham a mesma estrutura e que envolvam a variação entre duas ou mais grandezas dependentes.

Com as questões propostas na abertura deste capítulo é possível verificar os conhecimentos prévios dos estudantes a respeito das relações de proporcionalidade entre grandezas.

Espera-se que os estudantes identifiquem a relação de proporcionalidade inversa no problema proposto no item b, concluindo, assim, que os quatro artistas terminariam o painel em 5 dias. No item c, espera-se que eles relembrem como determinar a medida da área de superfícies planas e identifiquem a relação de proporcionalidade direta entre a medida da área do mural e o número de latas de tinta (ou a medida do volume de tinta) necessário para pintá-lo.

As questões propostas também são uma ótima oportunidade para o trabalho com os Temas Contemporâneos Transversais. No item a, ao discutir a importância do grafite como fórma de crítica social, comente com os estudantes sobre a importância dêsse tipo de arte na sociedade, chamando a atenção para problemas sociais atuais, como desigualdade social, desigualdade de gênero, preconceito, entre outros. Se achar conveniente, comente com os estudantes sobre como o incentivo e o apoio à arte de rua vêm crescendo no Brasil nos últimos anos, com a criação de diversos projetos que remuneram artistas por suas intervenções e com a criação de políticas públicas para a transformação de espaços públicos em galerias de arte a céu aberto. No item d, é possível trabalhar com o Tema Contemporâneo Transversal diversidade cultural. Discuta com os estudantes sobre a importância do grafite como fórma de manifestação cultural e artística, que está presente no mundo todo e retrata o dia a dia, os diversos pontos de vista, as experiências e os valores de diferentes pessoas das mais variadas culturas, além de levar a arte ao alcance de todos. Essa discussão favorece o desenvolvimento da competência geral 3. Converse com eles sobre a presença da arte de rua na cidade em que vivem e peça que descrevam as características observadas em alguns grafites.

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1. Razão entre grandezas de naturezas diferentes

Já estudamos como determinar a razão entre duas medidas da mesma grandeza e entre duas medidas de grandezas de mesma natureza. Nessas razões, usamos apenas os números que expressam as medidas dessas grandezas.

Agora, vamos conhecer algumas razões entre duas medidas de grandezas de naturezas diferentes.

Gramatura de um papel

Observe o pacote de papel usado para impressão.

Ilustração. Caixa retangular de papel com 75 gramas por metro quadrado. Ao lado, uma impressora com folhas.

Na parte inferior da embalagem, está escrito 75 gramas por métro quadrado. Isso significa que cada metro quadrado dêsse papel tem massa de medida igual a 75 gramas.

A esse tipo de razão damos o nome de gramatura.

g r a m a t u r a = \frac{m e d i d a d a massa do papel}{m e d i d a d a \overset{´}{a} rea do papel}

Note que as grandezas massa e área são grandezas de naturezas diferentes. Em casos como esse, a razão não é expressa só por um número, mas por um número acompanhado da unidade de medida correspondente. Nesse exemplo, a razão (gramatura) é dada por 75 gramas por métro quadrado (lemos: “setenta e cinco gramas por metro quadrado”).

Velocidade média

Um carro parte da cidade A para a cidade B. A medida da distância entre as duas cidades é 140 quilômetros, e o carro leva duas horas para percorrer esse trajeto. Vamos calcular a razão entre as medidas da distância percorrida e do tempo gasto para percorrê-la. Observe que essas grandezas são de naturezas diferentes. Então:

\frac{140 km}{2 h}

= 70 cá ême barra agá (lemos: “setenta quilômetros por hora”)

Esse tipo de razão é chamado de velocidade média.

v e l o c i d a d e m é d i a = \frac{m e d i d a d a dist \hat{a} ncia percorrida}{m e d i d a d o tempo gasto}

• Se em um trecho de uma rodovia o limite de velocidade é de 90 quilômetros por hora, um motorista que percorre esse trecho a uma velocidade média de 90 quilômetros por hora, pode ter desrespeitado o limite de velocidade?

Respostas e comentários

Espera-se que os estudantes percebam que a única possibilidade de o motorista não ter desrespeitado o limite de velocidade no trecho é tê-lo percorrido a uma velocidade constante de 90 quilômetros por hora, o que é improvável ocorrer na prática. Se a velocidade média foi de 90 quilômetros por hora e a velocidade no trecho não foi constante, então é certo que em algum momento a velocidade foi maior do que 90 quilômetros por hora.

1. Razão entre grandezas de naturezas diferentes

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero sete.

Retome a noção de razão. Até aqui os estudantes têm trabalhado com a razão entre duas grandezas de mesma natureza, mas no cotidiano eles têm contato com razões que envolvem grandezas de naturezas diferentes, como é o caso da velocidade.

Explore com os estudantes os diversos tipos de razão entre duas grandezas de naturezas diferentes apresentados, desenvolvendo, assim, a habilidade (ê éfe zero nove ême ah zero sete). Ao tratar da gramatura de um papel, por exemplo, mostre a eles a diferença entre duas folhas de papel sulfite de tamanho a4 com gramaturas diferentes, como 75 gramas por métro quadrado e 90 gramas por métro quadrado. Se possível, leve algumas folhas de papel sulfite de gramaturas diferentes para que os estudantes possam manipulá-las. Ressalte o significado dessas informações:

• 75 gramas por métro quadrado significa que cada metro quadrado do papel tem massa medindo 75 gramas.

• 90 gramas por métro quadrado significa que cada metro quadrado do papel tem massa medindo 90 gramas.

Espera-se que os estudantes percebam que, se a gramatura de um papel aumenta, mantido seu tamanho, ele fica mais pesado, ou seja, a folha é mais grossa.

Se achar conveniente, ao tratar da velocidade média, aproveite para falar sobre velocidades máximas permitidas. Proponha aos estudantes uma pesquisa sobre a legislação de trânsito com relação à velocidade dos veículos em zonas urbanas e rurais, além das multas relacionadas à infração da velocidade permitida.

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Densidade demográfica

A área do estado da Bahia mede aproximadamente .564760 quilômetros quadrados e, em 2021, sua população era de ..14985284 habitantes.

Fotografia. Vista de rua de pedras com casas coloridas nas laterais e pessoas na rua. — Largo do Pelourinho, no centro histórico de Salvador, Bahia. (Fotografia de 2019.)

Dividindo o número de habitantes pela área, vamos obter o número de habitantes por quilômetro quadrado (habitantes por quilômetro quadrado):

\frac{14 985 284 hab}{564 760 {km}^{2}}

, que é aproximadamente igual a 27 habitantes por quilômetro quadrado (lemos: “vinte e sete habitantes por quilômetro quadrado”).

A esse tipo de razão damos o nome de densidade demográfica.

d e n s i d a d e d e m o g r \overset{´}{a} f i c a = \frac{n \overset{´}{u} mero de habitantes}{m e d i d a d a \overset{´}{a} rea da regi \tilde{a} o}

Consumo médio

Um carro percorreu 444 quilômetros e utilizou 37 litros de combustível. Dividindo o número de quilômetros percorridos (a medida da distância percorrida) pelo número de litros de combustível consumido (a medida do volume de combustível consumido), temos a quantidade de quilômetros que esse carro percorreu com 1 litro de combustível. Observe.

\frac{444 km}{37 L}

= 12 quilômetros por litro (lemos: “doze quilômetros por litro”)

A esse tipo de razão damos o nome de consumo médio.

c o n s u m o m \overset{´}{e} d i o = \frac{m e d i d a d a dist \hat{a} ncia percorrida}{m e d i d a d o volume de combust í vel consumido}

Densidade absoluta da matéria

Ilustração. Homem de cabelo ruivo e camisa vermelha fala: O que pesa mais: 1 kg de chumbo ou 1 kg de algodão?

Ilustração. Menino de cabelo preto e camiseta verde diz: Ah, o chumbo pesa mais do que o algodão, não é?

O que você pensa dessa conversa?

A densidade absoluta, ou massa específica, de um corpo, um material ou uma substância é dada pela razão entre as medidas da massa e do volume que ele ocupa.

d e n s i d a d e = \frac{m e d i d a d a massa}{m e d i d a d o volume}

Ilustração. Homem de cabelo ruivo e camisa vermelha fala: 1 kg de algodão tem a mesma massa de 1 kg de chumbo, portanto as duas porções têm o mesmo peso! No entanto, a densidade do chumbo é maior do que a do algodão, por isso 1 kg de chumbo ocupa um volume menor do que 1 kg de algodão.

Respostas e comentários

Densidade demográfica

Paralelamente ao conceito de razão (densidade demográfica), aproveite a situação proposta para conversar com os estudantes sobre a concentração populacional nas grandes cidades do país e as consequências dêsse fato.

No estudo da densidade demográfica como razão entre grandezas de naturezas diferentes, é possível o trabalho interdisciplinar com Geografia, promovendo uma discussão mais ampla sobre o significado dos valores de densidade demográfica e como eles se relacionam com as políticas públicas e a qualidade de vida da população. Por exemplo, nas grandes cidades, onde a densidade demográfica geralmente é mais alta, as políticas de mobilidade urbana, relacionadas ao trânsito e ao transporte coletivo, são muito importantes e afetam consideravelmente a qualidade de vida da população. Outro ponto que pode ser discutido é a relação entre a densidade demográfica e o planejamento urbano; como os serviços (educação, saúde, transporte, lazer) estão distribuídos pelas cidades e que parcela da população tem acesso a eles.

Densidade absoluta da matéria

Para trabalhar o conceito de densidade da matéria, retome a noção de volume que os estudantes já construíram em anos anteriores.

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No Sistema Internacional de Unidades (ésse Í), a unidade de medida da grandeza massa é o quilograma, e a da grandeza volume é o metro cúbico; logo, a densidade deve ser dada em quilograma por metro cúbico. Porém, às vezes, convém considerar a densidade em grama por centímetro cúbico.

Observe a situação a seguir.

Um caminhão com capacidade de carga de até 7 toneladas será usado para transportar um carregamento de blocos de granito, paralelepípedos retos, com as dimensões dadas na imagem. Considerando que a medida da densidade do granito é de 2,7 gramas por centímetro cúbico, esse caminhão conseguirá levar mil blocos?

Fotografia. Dois blocos retangulares, um sobre o outro. A medida de cada um deles é: 25 centímetros de comprimento por 10 centímetros de altura por 12 centímetros de largura.

Inicialmente, vamos determinar a medida do volume (vê) de cada bloco.

V = 10 ⋅ 12 ⋅ 25 = .3000

Portanto, a medida do volume de cada bloco é de .3000 centímetros cúbicos.

Como a densidade é dada pela razão entre as medidas da massa e do volume, para a medida da massa (ême) de cada bloco de granito, temos:

2, 7 \frac{g}{c m^{3}} = \frac{m}{3 000 {cm}^{3}}

, ou seja,

m = 2, 7 \frac{g}{c m^{3}}

⋅ .3000 centímetros cúbicos ou m = .8100 gramas

Portanto, a medida da massa de cada bloco é de .8100 gramas, ou 8,1 quilogramas.

A capacidade de carga do caminhão é de 7 toneladas, que corresponde a .7000 quilogramas. Assim, a quantidade aproximada de blocos que o caminhão pode transportar é dada pelo quociente da divisão .7000 : 8,1, ou seja, o caminhão pode transportar aproximadamente 864 blocos, no máximo.

Portanto, o caminhão não conseguirá levar mil blocos de granito de uma só vez.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Entre 1968 e 1969, Robin Knox-Johnston foi a primeira pessoa a dar a volta ao mundo em um barco a vela, sozinho e sem aportar, isto é, sem parar em lugar nenhum. Ele percorreu um total de .48478 quilômetros em 312 dias. Determine a medida aproximada de sua velocidade média, em quilômetro por dia.

2 A medida da distância rodoviária entre Jericoacoara e Fortaleza é de aproximadamente 300 quilômetros. Qual é a medida da velocidade média de um ônibus que faz esse percurso em 5 horas e 30 minutos?

3 Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (í bê gê É), em 2021, a medida da área do estado do Rio Grande do Sul era aproximadamente de .281707,151 quilômetros quadrados. Considerando que a medida da densidade demográfica dêsse estado, neste mesmo ano, era aproximadamente de 40,704 habitantes por quilômetro quadrado, determine a população aproximada que o estado do Rio Grande do Sul tinha naquele ano.

4 Em um leilão, um colecionador comprou uma coroa de prata. Para verificar se a coroa era de fato feita de prata, ele resolveu medir a densidade absoluta da coroa. Sabe-se que a densidade da prata mede 10,5 gramas por centímetro cúbico. Ele mediu a massa da coroa e obteve 840 gramas. Depois, colocou a coroa em uma cuba com .1000 centímetros cúbicos de água e viu quanto o nível da água subiu dentro da cuba.

Respostas e comentários

1. Aproximadamente 155 quilômetros por dia.

2. Aproximadamente 55 quilômetros por hora.

3. Aproximadamente ..11466608 habitantes.

Exercícios propostos

O exercício 1 pode ser ampliado pedindo aos estudantes que expressem a medida da velocidade média obtida em quilômetro por hora (cá ême barra agá) e em metro por segundo (ême barra ésse), com o auxílio de uma calculadora.

velocidade média

= \frac{48 478 k m}{312 d i a} ≃ 155

quilômetros por dia

Para transformar de quilômetros por dia para quilômetros por hora, fazemos: 155 quilômetros por dia

= \frac{155 km}{1 dia} = \frac{155 km}{24 h} ≃ 6, 5

quilômetros por hora

Para transformar de quilômetros por dia para métros por segundo, fazemos: 155 quilômetros por dia

= \frac{155 km}{1 dia} = \frac{155 \cdot 1 000 m}{86 400 s} ≃ 1, 8

métro por segundo

Para comprovar suas respostas, os estudantes podem fazer as transformações de métro por segundo para quilômetro por hora, ou de quilômetro por hora para métro por segundo.

Por exemplo, para transformar de métro por segundo para quilômetro por hora, fazemos:

1, 8 m / s = \frac{1,8 m}{1 s} =

= \frac{1,8 \cdot \frac{1}{1 000} km}{1 \cdot \frac{1}{3 600} h} =

= 1, 8 \cdot \frac{1}{1 000} \cdot \frac{3 600}{1}

quilômetros por hora ≃

≃ 6,5 quilômetros por hora

As resoluções dos exercícios 2 e 3 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

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Ilustração. Dois recipientes cilíndricos com água dentro. O recipiente da esquerda tem água até 1.000 centímetros cúbicos. O recipiente da direita tem uma coroa dentro com água até 1080 centímetros cúbicos.

A diferença entre os níveis da água na cuba antes e depois de a coroa ser submersa corresponde à medida do volume da coroa, em centímetro cúbico. De acordo com a situação descrita, a medida da densidade da coroa, calculada pelo colecionador, coincide com a medida da densidade conhecida da prata?

5 A densidade do mármore é 2,60 gramas por centímetro cúbico. Qual é a medida da massa, em quilograma, de uma pedra de mármore cuja medida do volume é igual a 12,40 decímetros cúbicos?

6 Vitória encheu de gasolina o tanque do carro e percorreu 385 quilômetros. Ao abastecer novamente, foram necessários 35 litros de gasolina para completar o tanque. Qual foi o consumo médio do carro de Vitória nesse trajeto?

7 O hidrômetro é um dispositivo que registra o volume de água consumido. Ele nos ajuda a identificar vazamentos, controlar nossos hábitos de consumo e evitar o desperdício, mantendo as contas sob contrôle.

Para acompanhar o padrão de consumo mensal de água na sua residência, você pode fazer a leitura do hidrômetro. Para calcular o consumo de água, em um período considerado, subtraímos a medida de volume indicada pelos números em preto no visor do hidrômetro, chamada de leitura atual, pela leitura anterior indicada na conta de água.

Ilustração. Entenda seu hidrômetro. Objeto redondo com visor na parte superior com número 5 9 7 3 4 5 m elevado ao cubo (5.973: Consumo total de água em metro cúbico (medida do volume de água acumulado, 4: centenas de litro, 5: dezenas de litro; m elevado a 3: Unidade de medida (1 metro cúbico = 1.000 litros). No centro, relógio com disco preto: O disco em movimento indica a passagem de água. Na parte inferior, selo do INMETRO. Relógio com ponteiro vermelho: Litros (uma volta completa registra o consumo de 10 litros e ao lado, outro relógio com ponteiro vermelho: Décimo de litros (uma volta completa registra o consumo de 1 litro).

a) Considere que uma residência com cinco moradores tem a leitura atual indicada pelo hidrômetro da ilustração e que a leitura anterior, feita há exatamente 30 dias, é de .5943 métros cúbicos. Determine o consumo médio diário de água, em litro por dia (L/dia), dessa residência nesse período.

b) A Organização das Nações Unidas (ônu) julga que são necessários cêrca de 110 litros de água por dia para suprir as necessidades de consumo e higiene de uma pessoa. Considerando essa informação, quantos litros de água a mais do que o recomendado pela ônu foram consumidos por pessoa, em média, na residência do item a?

c) Que mudanças de hábitos podemos adotar para evitar desperdícios e praticar o consumo consciente de água?

d) Reflita sobre seus hábitos de consumo. O que você faz para evitar o desperdício?

8 Em um condomínio, há uma piscina que mede 15 métros de comprimento, 5 métros de largura e 2 métros de profundidade. Ela está vazia e, para enchê-la até a borda, será utilizada uma bomba que despeja a água à razão de .2000 litros por hora. Quanto tempo é necessário para encher essa piscina?

9 Observe as duas opções de embalagem de sabão que Rodrigo achou no supermercado.

Ilustração. Duas embalagens de sabão em pó. A embalagem á esquerda tem 4,5 quilogramas. À frente, preço: 43 reais e 65 centavos. À direita, caixa de 1,2 quilogramas. À frente, preço: 11 reais e 40 centavos.

a) Rodrigo comprou a embalagem menor, pois considerou-a mais vantajosa. A embalagem menor é mesmo mais vantajosa?

b) Troque ideias com um colega e redijam um texto que justifique a decisão de Rodrigo.

c) Sem os 200 gramas grátis, a embalagem menor seria a mais vantajosa? Justifique a resposta.

d) Você costuma comparar embalagens e preços de produtos de mesma qualidade? Qual é a importância de ter essa atitude?

Hora de criar – Troque com um colega um problema, criado por vocês, envolvendo a razão entre grandezas de naturezas diferentes. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi‑los.

Respostas e comentários

4. Sim.

5. 32,24 quilogramas

6. 11 quilômetros por litro

7. a) .1000 Litros por dia

7. b) 90 litros.

7. c) Resposta pessoal.

7. d) Resposta pessoal.

8. 75 horas.

9. a) Sim.

9. b) Resposta pessoal.

9. c) Não, pois na maior o preço é de R$ 9,70nove reais e setenta centavos/quilogramas.

9. d) Resposta pessoal.

10. Resposta pessoal.

Exercícios propostos

Aproveite o contexto do exercício 7 para discutir com os estudantes sobre a importância do consumo consciente de água, abordando seus hábitos na escola e em casa. Converse também sobre como a mudança de hábitos pode contribuir para reduzir o desperdício – mudanças como: fechar a torneira ao escovar os dentes, tomar banhos menos demorados, usar a vassoura para limpar áreas externas (como quintal e calçadas) ou reutilizar a água da máquina de lavar roupas, identificar e consertar vazamentos, coletar e armazenar a água da chuva em cisternas.

Peça a eles que pensem nas mudanças que estariam dispostos a realizar em seus hábitos de consumo de água.

Proponha aos estudantes a análise de situações de economia de água, como:

• Se uma pessoa escova os dentes em 5 minutos com a torneira não muito aberta, gasta 12 litros de água. No entanto, se molhar a escova e fechar a torneira enquanto escova os dentes, além de usar um copo com água para enxaguar a boca, é possível economizar mais de 11,5 litros de água. Considerando que uma pessoa costuma ficar 7 minutos com a torneira não muito aberta enquanto escova os dentes, quantos litros de água são gastos nesse período? (Resposta: 16,8 litros). Quantos litros de água essa pessoa economizaria se adotasse o hábito de fechar a torneira enquanto escova os dentes e se também utilizasse um copo com água para enxaguar a boca? (Resposta: 16,1 litros).

• Ao lavar o rosto durante 1 minuto, com a torneira pouco aberta, uma pessoa gasta 2,5 litros de água. Quantos litros de água serão gastos se a pessoa ficar 3 minutos com a torneira pouco aberta? (Resposta: 7,5 litros).

Proponha aos estudantes uma pesquisa sobre outras dicas para a economia de água. Promova uma discussão com toda a turma sobre as informações encontradas.

Aproveite o exercício 9 para discutir com os estudantes a importância de avaliar campanhas publicitárias de promoção usando a proporção, como foi feito no exercício, e de comparar embalagens e preços de produtos de mesma qualidade, evidenciando a importância da proporcionalidade no dia a dia.

As resoluções dos exercícios 4 a 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

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Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

O Produto Interno Bruto (Píbi) é o total de bens e serviços finais produzidos por um país, estado ou cidade durante determinado período, geralmente um ano, calculado na moeda do país em questão.

A razão entre o Píbi e o número de habitantes é chamada de Píbi per cápita. O Píbi per cápita de um país equivale à quantia que cada habitante receberia caso o Píbi fosse dividido igualmente por toda a população, ou seja, considera uma distribuição de renda igualitária.

O Píbi é muito utilizado para a comparação das economias de diferentes países. Como é calculado na moeda de cada país, em situações de comparação, precisamos converter os valores para uma moeda comum, geralmente o dólar.

Considere os dados da tabela a seguir e calcule o valor aproximado do Píbi per cápita de cada um destes países.

PIB dos países fundadores do Mercosul em 2020
País	Produto Interno Bruto (em dólar)	Número de habitantes
Argentina	383.067.000.000	45.195.777
Brasil	1.444.733.000.000	212.559.409
Paraguai	35.304.000.000	7.132.530
Uruguai	53.629.000.000	3.473.727

Dados obtidos em: í bê gê É. Disponível em: https://oeds.link/v9mKio. Acesso em: 25 março 2022.

Agora, responda:

a) Comparando os Píbis per cápita calculados, qual dos países teve maior desenvolvimento econômico em 2020?

b) O fato de o Píbi per cápita de um país ser alto significa que todos os habitantes vivem bem? Justifique sua resposta.

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Comparando gráficos de barras

Em quase todos os países, a maior concentração dos profissionais de saúde se dá nas áreas urbanas mais ricas. No Brasil, não é diferente. Esse fato acentua desigualdades sociais, de modo que há lugares com excesso de médicos, enquanto nas áreas mais vulneráveis dos municípios brasileiros a população não recebe atendimento médico.

Fotografia. Uma médica negra examina uma criança, ela está com o estetoscópio nas costas da criança, que está segurando um brinquedo. A mãe, que é negra, apoia a criança.

Em outubro de 2013, o Programa Mais Médicos (PMM) foi instituído pela lei n⁰ .12871, na qual o artigo 1º prevê:

I – diminuir a carência de médicos nas regiões prioritárias para o sús, a fim de reduzir as desigualdades regionais na área da saúde; [reticências]

Entre outros objetivos, o PMM visava aumentar a medida da densidade de médicos no Brasil, que era, segundo a Organização Mundial de Saúde (ó ême ésse), de 1,8 médico por .1000 habitantes, em 2012, para 2,7 médicos por .1000 habitantes até 2026.

Respostas e comentários

Pense mais um poucoreticências: Argentina: aproximadamente .8476 dólares; Brasil: aproximadamente .6797 dólares; Paraguai: aproximadamente .4950 dólares; Uruguai: aproximadamente .15438 dólares.

a) Uruguai.

b) Não, pois esse valor é uma média e considera uma distribuição de renda igualitária, o que, de fato, não ocorre, pois existe desigualdade econômica.

Pense mais um poucoreticências

As resoluções das atividades estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

Essa seção possibilita o trabalho interdisciplinar com Geografia. Para isso, proponha aos estudantes que pesquisem o Produto Interno Bruto (Píbi) per capita (per cápita deriva do latim e significa “por cabeça”) da cidade em que vivem e de algumas outras cidades da região. Analise os dados coletados com a turma toda e discuta com eles o que esses dados indicam sobre a economia da cidade, da região e a qualidade de vida da população. É importante que os estudantes compreendam que o Píbi é apenas um dos indicadores da economia de um país, de uma cidade ou de uma região; portanto, ele não deve ser usado como parâmetro para determinar a qualidade de vida e a distribuição de renda da população. A população de uma região com Píbi pequeno pode, sim, ter alta qualidade de vida.

Esse tópico é uma ótima oportunidade para o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal educação fiscal. Como o Píbi é calculado com base nos valores totais de bens e serviços finais produzidos por um país, estado ou cidade durante determinado período, ele também considera os valores dos impostos adicionados aos produtos, os tributos. Então, para entender melhor a importância do Píbi na economia, é fundamental entender como o Píbi é formado. Para isso, questione os estudantes se eles sabem o que são impostos e para que eles servem. É importante que eles reconheçam os impostos como tributos cobrados sobre diferentes bens e serviços, sobre um saco de arroz, a água que consomem em suas casas, sobre a casa, um carro etcétera, e que esses impostos são parte dos recursos recolhidos e utilizados pelos governos para garantir o bem-estar social, com a construção de escolas, hospitais, parques, investindo em sistemas de transporte público, em ações para garantir a segurança da população, entre outras ações.

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Observe, nos gráficos a seguir, o número de médicos ativos e a população estimada por região geográfica brasileira.

Gráfico de barras horizontais. Números de médicos ativos (2020). Eixo horizontal, Número de médicos (mil). Eixo vertical, região. Os dados são: norte: 23.964. Nordeste: 96.303. Centro-Oeste: 44.658. Sudeste: 278.325. Sul: 80.278. — Dados obtidos em: DEMOGRAFIA Médica no Brasil 2020. Disponível em: https://oeds.link/EPtlnB. Acesso em: 25 março 2022.

Gráfico de barras horizontais. População estimada por região (2020). Eixo horizontal, Número de habitantes (milhão). Eixo vertical, região. Os dados são: norte: 18.672.591. Nordeste: 57.374.243. Centro-Oeste: 16.504.303. Sudeste: 89.012.240. Sul: 30.192.315 — Dados obtidos em: í bê gê É. Disponível em: https://oeds.link/Tn6lGq. Acesso em: 25 março 2022.

Ilustração. Mulher loira de blusa vermelha e jaleco branco. Ela fala: Note que 57 milhões de pessoas equivalem a 57 mil grupos de mil pessoas.

Comparando os dois gráficos, podemos determinar a medida da densidade de médicos nessas regiões, dada pela razão entre o número de médicos e o número de habitantes.

Para simplificar a comparação, podemos trabalhar com valores aproximados.

Vamos tomar como exemplo a região Nordeste, que tinha aproximadamente .96000 médicos e uma população estimada de aproximadamente 57 milhões de habitantes (ou .57000 grupos de mil).

Região Nordeste:

\frac{96 000 m \overset{´}{e} dicos}{57 000 grupos de mil habitantes} ≃ 1, 7

médico/.1000 habitantes

Portanto, na região Nordeste havia cêrca de 1,7 médico para cada .1000 habitantes em 2020.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Apenas observando os gráficos, responda: a densidade de médicos da região Norte era maior do que a da região Centro-Oeste em 2020?

Com uma calculadora, obtenha os valores aproximados da medida da densidade de médicos das regiões norte, Centro-Oeste, Sudeste e Sul em 2020 por .1000 habitantes.

3 Calcule a medida da densidade de médicos aproximada no Brasil em 2020. Quanto faltava, em 2020, para que esse índice chegasse aos 2,7 esperados para 2026?

Respostas e comentários

1. Não.

2. (norte) 1,3; (Centro-Oeste) 2,7; (Sudeste) 3,1; (Sul) 2,7.

3. Aproximadamente 2,5; então, faltava aproximadamente 0,2.

Trabalhando a informação

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero sete.

Esta seção explora a comparação de gráficos de barras com o objetivo de determinar a densidade de médicos em diferentes regiões do Brasil, dada pela razão entre o número de médicos por grupo de .1000 habitantes de determinada região, desenvolvendo, assim, a habilidade (ê éfe zero nove ême ah zero sete).

Proponha aos estudantes uma discussão sobre o fato de a maior concentração de profissionais de saúde se dar em áreas urbanas. Por que isso ocorre? O número de habitantes é maior em áreas urbanas do que em áreas rurais? O acesso às áreas urbanas é mais fácil? Discuta também sobre como a concentração de médicos em regiões específicas dos municípios é um fator que contribui para a desigualdade social, pois, com isso, nem toda a população tem acesso aos mesmos serviços de saúde. O acesso aos serviços de saúde também é um indicativo da qualidade de vida da população; lembre os estudantes de que ele é direito de todos e deve ser garantido pelo poder público, de acordo com a Constituição de 1988.

Converse com os estudantes sobre a importância do acesso aos serviços de saúde e dos exames preventivos nas diferentes fases da vida (infância, adolescência, fase adulta e velhice). Pergunte a eles sobre o acesso aos serviços de saúde na cidade ou no bairro em que vivem. Esses serviços existem? Eles e suas famílias utilizam esses serviços? Com base em suas experiências, o número de médicos em sua cidade ou bairro é adequado ao número de habitantes? Se achar conveniente, peça a eles que façam uma pesquisa sobre o número de médicos e de habitantes da cidade em que vivem, e que determinem a densidade de médicos, comparando o valor obtido com os valores para as diferentes regiões do Brasil.

As resoluções das atividades 1 a 3 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

Sugestão de leitura

Para ampliar e enriquecer essa discussão, sugerimos:

SCHEFFER, M. et alponto Demografia médica no Brasil. São Paulo: Efe Eme Uspi, cê éfe ême, 2020. Disponível em: https://oeds.link/ibPaIa. Acesso em: 21 julho 2022.

A produção científica, resultado da colaboração entre o Conselho Federal de Medicina (cê éfe ême) e a Universidade de São Paulo (úspi), traz dados e informações detalhadas sobre a população de médicos no Brasil de 2010 a 2020 e sobre a área de atuação desses médicos. Além de discutir a desigualdade na distribuição de médicos, comparar os dados do Brasil com os de outros países e apresentar um atlas da demografia médica, com dados das unidades da federação e especialidades médicas.

Página 68

2. Proporcionalidade entre grandezas

Entendemos como grandeza toda quantidade que pode ser medida ou contada. Assim, comprimento, área, população, temperatura, massa e tempo são exemplos de grandezas.

Acompanharemos a seguir algumas situações que envolvem uma relação de dependência entre duas grandezas.

Situação 1

Gabriel percebeu que a torneira da cozinha estava vazando.

Ilustração. Homem de cabelo castanho, óculos e camisa laranja. Ele está com o corpo curvado para frente e a mão embaixo de uma torneira pingando água. Ao fundo, fogão.

Para medir o volume de água desperdiçado com o vazamento, por minuto, ele colocou um recipiente graduado sob a torneira. Acompanhe o que ele observou.

Tempo (min)	1	2	3	4	5	6
Volume de água (mL)	5	10	15	20	25	30

Ilustração. Homem de cabelo preto, gravata roxa e paletó branco. Ele fala: Não desperdice água. Se a torneira estiver vazando, conserte-a. Assim, você contribuirá para a conservação de um recurso natural essencial para nossa sobrevivência. Cada gota de água que se economiza é um ponto a favor para o futuro da humanidade!

Note que:

• quando duplicamos o tempo, o volume de água também duplica;

• quando triplicamos o tempo, o volume de água também triplica; e assim por diante.

Nesse caso, dizemos que as grandezas tempo e volume têm uma relação de proporcionalidade direta, ou seja, são grandezas diretamente proporcionais.

Situação 2

Suponha que, em uma doceria, um funcionário faça certa quantidade de bolos em 6 horas.

Com a proximidade das festas de fim de ano, o proprietário da doceria precisa produzir a mesma quantidade de bolos em um tempo menor. Para isso, aumenta a quantidade de funcionários, com igual produtividade e trabalhando nas mesmas condições, conforme a necessidade.

Respostas e comentários

2. Proporcionalidade entre grandezas

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero oito.

A noção de proporcionalidade é um dos temas fundamentais no estudo da Matemática e de diversas outras áreas do conhecimento. É possível observar relações de proporcionalidade na natureza, no cotidiano (como em receitas culinárias), nas Artes e na Arquitetura, por exemplo. Os estudantes têm desenvolvido noções de probabilidade ao longo de seus estudos. Agora, o objetivo é ampliar e consolidar a aprendizagem dos estudantes sobre proporcionalidade.

Explore a situação 1 e peça a eles que exemplifiquem outros tipos de grandezas dependentes que, na opinião deles, variam na proporção direta, desenvolvendo, assim, a habilidade (ê éfe zero nove ême ah zero oito) (possível resposta: distância percorrida e tempo que se leva para fazer o percurso, mantendo-se as mesmas condições).

Ressalte que o fato de duas grandezas terem seus valores aumentados (ou diminuídos) quando comparadas, não garante que elas sejam grandezas diretamente proporcionais. Para isso, elas devem aumentar (ou diminuir) sempre da mesma maneira, isto é: se uma tem seu valor dobrado, a outra também deve dobrar de valor; se uma tem seu valor triplicado, a outra também deve triplicar de valor; e assim por diante.

Aproveite a situação apresentada para tratar com os estudantes a respeito do cuidado para evitar o desperdício de água e sobre a importância da conservação dos recursos naturais para o meio ambiente e para a manutenção da vida no planeta em que vivemos.

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Observe a relação entre o número de funcionários e o tempo gasto para a produção desses bolos.

Número de funcionários	1	2	3	4
Tempo (h)	6	3	2	1,5

Note que:

• quando duplicamos o número de funcionários, o número de horas para a produção dos bolos é reduzido à metade;

• quando triplicamos o número de funcionários, o número de horas para a produção dos bolos é reduzido à terça parte; e assim por diante.

Nesse caso, dizemos que o número de funcionários e o tempo têm uma relação de proporcionalidade inversa, ou seja, são grandezas inversamente proporcionais.

Ilustração. Homem de cabelo castanho e camisa roxa fala: Ao lidar com grandezas proporcionais aplicadas a uma situação real, devemos ter o cuidado de analisar até que ponto a proporcionalidade existe nessa situação.

Ilustração. Jovem de cabelo curto, óculos e camiseta azul diz: Por exemplo, poderíamos pensar em aumentar muito o número de funcionários, de modo que a produção dos bolos acontecesse em segundos.

Ilustração. O homem de camisa roxa continua falando: Contudo, sabemos que na realidade isso é impossível, pois há um tempo mínimo para a produção de um bolo e há também a limitação do espaço físico da doceria, entre outros fatores.

Situação 3

Observe, no quadro a seguir, a relação entre a idade e a medida da altura média dos estudantes de 1 a 5 anos da Escola Pequenitos.

Idade (ano)	1	2	3	4	5
Altura média dos estudantes (cm)	73,2	84,1	91,9	99,1	105,9

Note que, quando a idade é duplicada, a medida da altura não dobra nem se reduz à metade. A medida da altura simplesmente aumenta sem respeitar nenhuma proporção em relação à idade. Então, altura e idade não são grandezas direta nem inversamente proporcionais. Nesse caso, dizemos que altura e idade são grandezas não proporcionais.

Ilustração. Grupo com 4 crianças de alturas diferentes e de mãos dadas, elas estão uma ao lado da outra, organizadas da esquerda para a direita, da mais baixa para a mais alta: menino, menina, menina, menino.

A seguir, vamos estudar detalhadamente as grandezas diretamente proporcionais e as grandezas inversamente proporcionais.

Respostas e comentários

Proporcionalidade entre grandezas

Trabalhe a situação 2 de maneira análoga ao que foi feito na situação anterior.

Peça aos estudantes que citem outros exemplos, como a velocidade média com que se faz um percurso e o tempo que se leva para isso, desenvolvendo a habilidade (ê éfe zero nove ême ah zero oito).

Em uma roda de conversa, verifique qual foi o entendimento da turma a respeito das falas dos personagens sobre cuidados a serem considerados na aplicação do conceito proporcionalidade em uma situação real.

A situação 3 possibilita aos estudantes complementar seu entendimento a respeito de grandezas proporcionais, considerando que reconhecer o que “não é” amplia a compreensão do que “é”.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

11 Identifique e classifique as grandezas em cada situação a seguir como diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais.

a) Velocidade média e tempo gasto para percorrer determinado trajeto.

b) Volume de água e massa de polpa de fruta necessários para preparar um suco de fruta.

c) Idade e massa de uma pessoa.

12 O quadro a seguir indica as medidas da velocidade média de um automóvel e do tempo que ele leva para percorrer determinado trajeto.

Velocidade média (km/h)	120	80	60	48
Tempo (h)	1	1,5	2	2,5

Responda às questões.

a) Qual é a medida da velocidade média do automóvel quando ele percorre esse trajeto em duas horas e meia?

b) Quantas horas o automóvel levará para percorrer esse trajeto se a medida de sua velocidade média for de 80 quilômetros por hora?

c) As grandezas “velocidade média” e “tempo” são direta ou inversamente proporcionais?

d) Multiplique cada medida da velocidade com a do respectivo tempo. O que acontece com os produtos obtidos? Que grandeza esses resultados representam?

13 Para organizar suas fotografias de viagem e liberar espaço em seu celular, Elisa precisa transferir as fotografias para o computador. Considerando que o tamanho médio do arquivo de cada fotografia é de 6 mégabáites e que a medida da velocidade de transferência de arquivos para o computador é de 50 mega báites por segundo, responda ao que se pede.

a) Qual é a medida do tempo de transferência de uma pasta com quatrocentas fotografias? E com oitocentas fotografias? E com 3.duzentas fotografias?

b) O tamanho do arquivo e o tempo de transferência são grandezas direta ou inversamente proporcionais?

c) Determine as razões entre as medidas do tamanho das pastas com quatrocentas fotografias, oitocentas fotografias e 3.duzentas fotografias e a medida do tempo de transferência dessas pastas para o computador. O que acontece com os quocientes obtidos?

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

O relógio de Márcio está com defeito. Ele atrasa 4 minutos a cada 2 dias.

Nos últimos 14 dias, Márcio se esqueceu de acertar o relógio e, por esse motivo, chegou atrasado para a sessão de cinema.

Ilustração. Menina de cabelo preto, casaco vermelho está de braços cruzados na frente da porta do cinema. À esquerda, rapaz de camiseta branca e calça corre olhando para o relógio em seu pulso.

a) Construa um quadro que indique o tempo de atraso, em minuto, correspondente a cada 2 dias que Márcio se esqueceu de acertar seu relógio.

b) Quantos minutos o relógio de Márcio atrasa em 10 dias?

c) Quantos minutos o relógio de Márcio estava atrasado nesse dia que foi ao cinema?

d) As grandezas apresentadas (tempo de atraso e número de dias) são direta ou inversamente proporcionais?

e) Supondo que o defeito continue, quantos minutos o relógio ficaria atrasado em 22 dias sem ajuste?

f) Quantos dias sem ajustes serão necessários para que o relógio registre uma hora (60 minutos) de atraso?

Respostas e comentários

11. a) Velocidade média e tempo. Inversamente proporcionais.

11. b) Volume e massa. Diretamente proporcionais.

11. c) Idade e massa. Não proporcionais.

12. a) 48 quilômetros por hora

12. b) uma hora e meia.

12. c) Inversamente proporcionais.

12. d) São iguais a 120 quilômetros. Representam a grandeza distância percorrida.

13. a) 48 segundos; 96 segundos; 384 segundos.

13. b) Diretamente proporcionais.

13. c)

\frac{2 400 MB}{48 s}

;

\frac{4 800 MB}{96 s}

;

\frac{19 200 MB}{384 s}

São iguais a 50 mega báites por segundo; as razões são equivalentes.

Pense mais um poucoreticências: a) Construção de quadro.

b) 20 minutos.

c) 28 minutos.

d) Diretamente proporcionais.

e) 44 minutos.

f) 30 dias.

Exercícios propostos

Se julgar necessário, retome com os estudantes a propriedade fundamental das proporções.

Ao finalizar este bloco de exercícios, organize os estudantes em duplas e proponha uma conversa sobre os três exercícios, qual acharam mais fácil e qual foi o mais difícil. Depois, peça a eles que redijam um texto com as justificativas de suas opiniões. Cada dupla apresenta seu texto para a turma e um estudante registra na lousa os resultados, para, ao final, verificarem a opinião de todos. Utilize essa atividade para verificar as dificuldades dos estudantes e planejar estratégias para realizar as intervenções necessárias.

As resoluções dos exercícios 11 e 12 e das atividades da seção Pense mais um poucoreticências estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

Apresentamos a seguir uma possível resolução para o exercício 13.

a) À medida que o número de fotografias aumenta, o tempo de transferência também aumenta, na mesma proporção. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.

De quatrocentas fotografias para oitocentas fotografias, o número de fotografias foi dobrado; assim, o tempo de transferência correspondente também deve ser o dobro. Para quatrocentas fotografias: 48 segundos [(400 · 6) : 50 = 48]. Para oitocentas fotografias: 96 segundos.

De oitocentas fotografias para 3.duzentas fotografias, o número de fotografias foi quadruplicado (.3200 : 800 = 4); portanto, o tempo de transferência também deve ser quadruplicado. Assim, para a transferência de 3.duzentas fotografias são necessários 384 segundos (96 · 4 = 384).

b) De acordo com os dados obtidos, é possível concluir que essas grandezas são diretamente proporcionais.

c) Para uma pasta com quatrocentas fotografias de 6 mégabáites cada uma, temos:

\frac{400 \cdot 6 MB}{48 s} = \frac{2 400 MB}{48 s}

Para uma pasta com oitocentas fotografias de 6 mégabáites cada uma, temos:

\frac{800 \cdot 6 MB}{96 s} = \frac{4 800 MB}{96 s}

Para uma pasta com 3.duzentas fotografias de 6 mégabáites cada uma, temos:

\frac{3 200 \cdot 6 MB}{384 s} = \frac{19 200 MB}{384 s}

Os quocientes obtidos são todos iguais a 50 mega báites por segundo (a velocidade de transferência dos arquivos); portanto, é possível concluir que as razões são equivalentes.

Página 71

Grandezas diretamente proporcionais

Mariana pesquisou a produção de uma usina de açúcar e anotou o número de sacas produzidas no decorrer de cinco dias, organizando o quadro a seguir.

Ilustração. Mulher negra de cabelo escuro curto, faixa na cabeça, óculos e camiseta azul listrada. Ela está de frente para sacas de açúcar com um táblet nas mãos e registra números na tela.

Tempo de produção (em dia)	Produção de açúcar (em saca de açúcar)
1	5.000
2	10.000
3	15.000
4	20.000
5	25.000

Para organizar o quadro, Mariana trabalhou com duas grandezas: tempo e produção. Ela mediu o tempo em dias e a produção em sacas de açúcar. Então, as unidades de medida empregadas para o tempo e para a produção são, respectivamente, dia e saca de açúcar.

Sabendo que cada saca de açúcar tem massa de medida igual a 50 quilogramas, Mariana analisou, também, a produção dessa usina em quilograma e, dessa maneira, obteve os seguintes dados.

Ilustração. Mulher de cabelo escuro curto, faixa na cabeça, óculos e camiseta azul listrada. Ela está sentada de frente para uma mesa com uma calculadora e papel. Atrás dela, sacas de açúcar.

Tempo de produção (em dia)	Produção de açúcar (em quilograma)
1	250.000
2	500.000
3	750.000
4	1.000.000
5	1.250.000

No segundo quadro, as grandezas continuam sendo tempo e produção, mas a unidade para medir a produção é o quilograma, e não a saca de açúcar.

Ao examinar esses quadros, observe que:

• duplicando o número de dias, duplica-se a produção de açúcar;

• triplicando o número de dias, triplica-se a produção de açúcar, e assim por diante.

Por isso, as grandezas tempo e produção são grandezas diretamente proporcionais.

Note também que a razão entre as duas medidas de tempo de produção e a razão entre as duas medidas de produção de açúcar correspondentes são iguais, ou seja, formam uma proporção. Acompanhe, por exemplo, as proporções formadas para os valores referentes ao primeiro quadro.

\frac{1}{2} = \frac{5 000}{10 000}

\frac{1}{5} = \frac{5 000}{25 000}

\frac{2}{5} = \frac{10 000}{25 000}

\frac{4}{5} = \frac{20 000}{25 000}

\frac{1}{3} = \frac{5 000}{15 000}

\frac{2}{3} = \frac{10 000}{15 000}

\frac{3}{4} = \frac{15 000}{20 000}

\frac{1}{4} = \frac{5 000}{20 000}

\frac{2}{4} = \frac{10 000}{20 000}

\frac{3}{5} = \frac{15 000}{25 000}

Ilustração. Homem de cabelo preto e camisa rosa fala: Escreva no caderno as proporções para os valores referentes ao segundo quadro.

Respostas e comentários

Grandezas diretamente proporcionais

Peça aos estudantes que, em duplas, leiam e acompanhem a situação apresentada, registrando no caderno as considerações sobre o que leram. Depois, em uma roda de conversa, estimule-os a expor suas observações.

Verifique se eles observaram que, se as grandezas são diretamente proporcionais, temos que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual à razão entre os valores correspondentes da outra.

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Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre dois valores quaisquer da primeira é igual à razão entre os valores correspondentes da segunda.

Repare ainda que as razões entre os valores da primeira coluna e os valores correspondentes da segunda coluna são iguais.

\frac{1}{5 000} = \frac{2}{10 000} = \frac{3}{15 000} = \frac{4}{20 000} = \frac{5}{25 000}

Todas essas frações são equivalentes e redutíveis à mesma fração,

\frac{1}{5 000}

Dizemos, então, que os números da sequência 1, 2, 3, 4 e 5 são diretamente proporcionais aos números da sequência .5000, .10000, .15000, .20000 e .25000.

Ilustração. Menina de cabelo longo castanho e blusa lilás diz: Acontece o mesmo com os números 1, 2, 3, 4 e 5 em relação aos números 250000, 500000, 750000, 1000000 e 1250000 do segundo quadro? Ao lado, homem de cabelo preto e camisa rosa fala: Sim, os números dessas sequências são diretamente proporcionais.

Acompanhe outros exemplos.

a) Para montar uma pequena empresa, Márcia, Cláudio e Ricardo formaram uma sociedade. Márcia investiu R$ 24.000,00vinte e quatro mil reais, Cláudio investiu R$ 27.000,00vinte e sete mil reais e Ricardo investiu R$ 30.000,00trinta mil reais. Depois de seis meses, a empresa obteve um lucro de R$ 32.400,00trinta e dois mil quatrocentos reais, que foi dividido entre os sócios em partes diretamente proporcionais à quantia que cada um investiu.

Vamos calcular a parte que coube a cada sócio.

Representaremos a parte do lucro de Márcia por x, a parte de Cláudio por y e a de Ricardo por z. Assim, podemos escrever:

\{\begin{cases} x + y + z = 32400 \\ \frac{x}{24000} = \frac{y}{27000} = \frac{z}{30000} = r \end{cases}

Nesse caso, r é o valor correspondente a essas razões, chamado de razão de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade.

Então, obtemos as seguintes proporções:

\frac{x}{24 000} = \frac{r}{1}

\frac{y}{27 000} = \frac{r}{1}

\frac{z}{30 000} = \frac{r}{1}

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, obtemos:

x = .24000r

y = .27000r

z = .30000r

Substituindo x por .24000r, y por .27000r e z por .30000r em x + y + z = .32400, calculamos o valor de r .

x + y + z = .32400

.24000r + .27000r + .30000r = .32400

.81000r = .32400

\frac{81000 r}{81000} = \frac{32400}{81000}

r = 0,4

Ilustração. Dois homens de camisa e gravata e uma mulher loira de óculos e camisa vermelha. Eles estão ao redor de uma mesa.

Respostas e comentários

Grandezas diretamente proporcionais

Continue o trabalho de exploração com os estudantes, pedindo a eles que acompanhem o primeiro exemplo e determinem os valores de x, y e z (para compararem depois com os valores apresentados no livro).

Página 73

Com o valor encontrado para r, calculamos os valores de x, y e z.

x = .24000 ⋅ r

x = .24000 ⋅ 0,4

x = .9600

y = .27000 ⋅ r

y = .27000 ⋅ 0,4

y = .10800

z = .30000 ⋅ r

z = .30000 ⋅ 0,4

z = .12000

Portanto, Márcia recebeu R$ 9.600,00nove mil seiscentos reais, Cláudio recebeu R$ 10.800,00dez mil oitocentos reais e Ricardo, R$ 12.000,00doze mil reais.

b) Vamos determinar x e y, de modo que a sequência de números 2, 8 e y seja diretamente proporcional à sequência de números 3, x e 21.

Esquema. Números e letras organizados em duas linhas e três colunas. Primeira linha: 2 8 y Segunda linha: 3 x 21

Para que as sequências sejam diretamente proporcionais, as razões entre os números correspondentes das duas sequências devem ser iguais, isto é:

\frac{2}{3} = \frac{8}{x} = \frac{y}{21}

Assim:

\frac{2}{3} = \frac{8}{x}

2x = 3 ⋅ 8

2x = 24

\frac{2 x}{2} = \frac{24}{2}

x = 12

\frac{2}{3} = \frac{y}{21}

3y = 2 ⋅ 21

3y = 42

\frac{3 y}{3} = \frac{42}{3}

y = 14

Ilustração. Homem de cabelo preto, camisa verde fala: Portanto, para que as duas sequências sejam diretamente proporcionais, devemos ter x = 12 e y = 14.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

14 Em uma fábrica, determinado tipo de detergente é armazenado em tambores. Sabendo que todos os tambores são iguais e que 2 tambores armazenam 360 litros dêsse detergente, determine:

a) o número de tambores necessários para armazenar 720 litros;

b) a medida do volume, em litro, de detergente armazenado em 10 desses tambores;

c) a medida do volume, em litro, de detergente armazenado em 21 tambores e meio.

15 Um concurso para a escolha das melhores fotografias de monumentos oferecia um prêmio de R$ 3.600,00três mil seiscentos reais. Esse prêmio foi dividido entre os dois primeiros colocados, em partes diretamente proporcionais aos pontos obtidos por eles. Sabendo que o primeiro colocado atingiu 10 pontos e o segundo, 8, qual foi o prêmio de cada um?

16 Determine o valor das letras do quadro, de modo que as sequências de números sejam diretamente proporcionais.

Quadro com 2 linhas e 5 colunas com um número em cada célula. Dados das células da linha 1: 4, 6, 8, a, 20. Dados das células da linha 2: 10, 15, b, 25, c

Respostas e comentários

14. b) .1800 litros.

14. a) 4 tambores.

14. c) .3870 litros.

15. R$ 2.000,00dois mil reais e R$ 1.600,00mil seiscentos reais.

16. a = 10, b = 20 e c = 50.

Grandezas diretamente proporcionais

Reproduza o exemplo b na lousa e peça aos estudantes que identifiquem os passos que devem ser feitos no desenvolvimento da resolução da situação proposta.

Exercícios propostos

Apresentamos a seguir uma possível resolução para o exercício 14, montando um quadro para nos auxiliar.

Quantidade de tambores	Volume de detergente armazenado (L)
2	360
x	720
10	y
21,5	z

Se 2 tambores armazenam 360 litros de detergente, temos que:

• 4 tambores armazenam 720 litros (valores dobrados para as duas grandezas);

• 6 tambores armazenam .1080 litros (valores triplicados para as duas grandezas);

• 1 tambor armazena 180 litros (valores reduzidos à metade para as duas grandezas); e assim por diante.

dêsse modo, podemos concluir que as grandezas “quantidade de tambores” e “volume de detergente armazenado” são grandezas diretamente proporcionais e, assim, a razão de quaisquer dois valores de uma dessas grandezas é igual à razão entre os valores correspondentes da outra grandeza, desenvolvendo, assim, a habilidade (ê éfe zero nove ême ah zero oito). De acordo com os valores do quadro, vamos montar proporções convenientes para obter os valores que faltam, indicados por x, y e z.

\frac{2}{x} = \frac{360}{720} ⇒ \frac{2}{x} = \frac{6}{12} \Rightarrow \frac{2}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 4

\frac{2}{10} = \frac{360}{y} \Rightarrow \frac{1}{5} = \frac{360}{y} \Rightarrow y = 1 800

\frac{2}{21, 5} = \frac{360}{z} \Rightarrow \frac{1}{10, 75} = \frac{360}{z} \Rightarrow z = 3 870

As resoluções dos exercícios 15 e 16 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

Página 74

17 Em um banho de ducha, são gastos 135 litros de água em 15 minutos. Para economizar água, é preciso fechar o registro enquanto se ensaboa, reduzindo para 5 minutos o tempo de banho com o registro aberto.

a) Quantos litros de água são economizados dessa maneira?

Imagine que toda a água do mundo coubesse em uma garrafa de 1 litro. Se tirássemos da garrafa toda a água salgada, a porção de água doce seria suficiente apenas para encher um copinho de café. Porém a porção de água doce disponível para consumo direto não representaria mais do que algumas gotinhas retiradas dêsse copinho. Pouco, não é? Por esse motivo, é importante adotarmos certas atitudes, como fechar o registro de água enquanto nos ensaboamos durante o banho. Você conhece outras atitudes?

Troque ideias com seus colegas e façam uma lista de atitudes que podemos tomar para fazer o uso racional da água.

Ilustração. Menina de cabelo preto e blusa lilás e ao lado, menino de cabelo castanho e camiseta amarela. Ele segura um copinho de café. Sobre a mesa, garrafa de 1 litro, caderno e lápis.

18 A medida do perímetro de um triângulo cujos lados, em centímetro, medem x, y e z é de 18 centímetros.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca!)

a) Sabendo que

\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}

, calcule x, y e z.

b) Usando régua e compasso, desenhe dois triângulos:

• Triângulo á bê cê com A bê = 3 centímetros, bê cê = 4 centímetros, á cê = 5 centímetros.

• Triângulo á linha bê linha cê linha com á linha bê linha = x centímetros, B'C' = y centímetros, A'C' = z centímetros.

c) Usando um transferidor, meça os ângulos dos triângulos do item b. O que acontece com as medidas de

\hat{A}

\hat{B}

\hat{C}

, respectivamente, em relação às medidas de

\hat{A} ʹ

\hat{B} ʹ

\hat{C} ʹ ?

19 Márcia adora doces. Sabendo disso, uma amiga lhe passou a seguinte receita de queijadinha.

lustração. Folha de papel com as informações: Queijadinha. 3 ovos, 1 lata de leite condensado, 1 xícara (chá) de leite, 2 colheres (sopa) de farinha de trigo, 1 colher (sobremesa) de fermento em pó, 1 pacote de coco ralado, 1 xícara (chá) de queijo ralado, 1 colher (sopa) de manteiga.

a) Com base nessa receita, Márcia quer fazer uma quantidade maior de queijadinhas. Para isso, aumentará proporcionalmente a quantidade de todos os ingredientes da receita. Quantos ovos serão necessários se ela utilizar 4 colheres de sopa de farinha? E quantas colheres de sopa de farinha serão necessárias se ela utilizar 9 ovos?

b) Se Márcia quiser fazer quatro receitas dessa, quantas colheres de sopa de farinha serão necessárias? E quantos ovos?

Hora de criar – Em duplas, discutam e listem as grandezas diretamente proporcionais mais comuns em sua rotina diária. Depois, elaborem dois problemas, um cada, envolvendo algumas dessas grandezas. Troquem de caderno e resolvam o problema um do outro. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo colega, destroquem para corrigi-los.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Reúna-se com um colega e troquem ideias sobre as questões a seguir.

a) O perímetro de um quadrado e o comprimento de seus lados são grandezas diretamente proporcionais? Justifiquem a resposta.

b) A área de um quadrado e o comprimento de seus lados são grandezas diretamente proporcionais? Justifiquem a resposta.

c) E a medida da aresta de um cubo é proporcional à medida do seu volume? Justifiquem a resposta.

Respostas e comentários

17. a) 90 litros.

17. b) Respostas possíveis: varrer o quintal e a calçada com a vassoura em vez de com água de mangueira, reutilizar a água da máquina de lavar roupas, fechar a torneira ao escovar os dentes, consertar vazamentos, providenciar cisterna para armazenar a água da chuva.

18. a) x = 4,5 centímetros, y = 6 centímetros e z = 7,5 centímetros.

18. b) Construção de figura.

18. c) As medidas são respectivamente congruentes.

19. a) 6; 6.

19. b) 8; 12.

20. Resposta pessoal.

Pense mais um poucoreticências:

a) Sim, pois, ao duplicar (triplicar, e assim sucessivamente) a medida do comprimento do lado, a medida do perímetro também duplica (triplica etcétera).

b) Não, pois a medida da área e a medida do lado não se alteram na mesma razão.

c) Não, pois a medida do volume e a medida da aresta não se alteram na mesma razão.

Exercícios propostos

Para a resolução do item a do exercício 17, é preciso considerar que, em média, gasta-se 9 litros de água por minuto em um banho de ducha (135 : 15 = 9). Assim, ao reduzir para 5 minutos o tempo de banho, é possível economizar água por 10 minutos, ou seja, são economizados 90 litros de água.

No item b, espera-se que os estudantes considerem atitudes como: varrer o quintal e a calçada com a vassoura, e não com água de mangueira, reaproveitar a água da máquina de lavar roupa para outros fins (para lavar o carro ou o chão), fechar a torneira ao escovar os dentes, consertar vazamentos, providenciar cisterna para armazenar a água da chuva, entre outras.

As resoluções dos exercícios 18 e 19 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

Pense mais um poucoreticências

Acompanhe a seguir uma possível resolução para as atividades dessa seção.

Medida do lado (cm)	2	4	6	8
Medida do perímetro (cm)	8	16	24	32

Observando o quadro, percebemos que, ao duplicar (triplicar etcétera) a medida do lado, a medida do perímetro duplica (triplica etcétera); logo, são grandezas diretamente proporcionais.

Medida do lado (cm)	2	4	6	8
Medida da área (cm2)	4	16	36	64

Observando o quadro, verificamos que a medida da área e a medida do lado não se alteram na mesma razão; logo, não são grandezas diretamente proporcionais.

c) Seguindo o mesmo raciocínio usado para analisar a medida da área do quadrado, que está relacionada ao quadrado da medida do lado, concluímos que a medida do volume de um cubo, que está relacionada ao cubo da medida da aresta, e a medida da aresta dêsse cubo não são proporcionais.

O item b pode ser um pouco mais explorado ao solicitar aos estudantes que escrevam razões entre dois valores de medidas do lado e as comparem com as razões das respectivas medidas da área. Eles devem concluir que estas equivalem aos quadrados daquelas. Por exemplo:

•

{(\frac{2}{4})}^{2} = \frac{4}{16}

•

{(\frac{4}{6})}^{2} = \frac{16}{36}

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PARA SABER MAIS

Medida de arcos de uma circunferência

Nos relógios com ponteiros, a circunferência está dividida em 12 partes iguais (marcando as horas), e cada uma dessas 12 partes está dividida em 5 partes iguais (marcando os minutos). Usualmente, nesses relógios, aparecem, no mínimo, dois ponteiros: um ponteiro menor, que indica as horas, e outro maior, que indica os minutos. Enquanto o ponteiro dos minutos dá uma volta completa, isto é, descreve um arco correspondente a um ângulo central medindo 360graus, o ponteiro das horas descreve um arco correspondente a um ângulo central medindo

\frac{360°}{12}

, ou seja, 30graus.

Ilustração. Três relógios circulares de ponteiros. O primeiro relógio tem indicado os números 3, 6, 9 e 12 E os outros dois relógios, os números 3, 4, 6, 9, 12. Da esquerda para direita: relógio com ponteiro menor no 3 e maior no 12. Relógio com ponteiro menor no 3 e maior no 12. Linha tracejada do centro até 4 formando ângulo de 30 graus e ao redor do ponto central, seta circular de 360 graus. O relógio à direita com ponteiro menor no 4 e maior no 12

Vamos descobrir a medida do arco que o ponteiro das horas descreve em 1 minuto.

Se, em uma hora, o ponteiro das horas descreve um arco que mede 30graus, em 1 minuto, esse ponteiro descreve um arco que mede

\frac{30°}{60}

, ou seja, 0,5grau, que corresponde a 30 minutos de arco ou 30minutos.

Agora, vamos determinar a medida do menor ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos quando o relógio indica 3 horas 10 minutos.

Ilustração. Dois relógios circulares de ponteiros. O relógio da esquerda tem os números 3, 6, 9 e 12 com ponteiro menor no 3 e maior no 12. Marca 3 horas. Relógio da direita com os números 1, 2, 3, 6, 9, e 12, com ponteiro menor no 3 e maior no 2, marca 3 horas e 10 minutos.

Quando o relógio indica 3 horas, a medida do menor ângulo entre os ponteiros é de 90graus. Analisamos que, a cada minuto, o ponteiro das horas se desloca 0,5grau. Assim, em 10 minutos, ele se desloca 10 ⋅ 0,5grau, ou seja, 5graus.

Em uma hora, isto é, 60 minutos, o ponteiro dos minutos descreve um arco correspondente a um ângulo central medindo 360graus. Então, a cada minuto, o ponteiro dos minutos se desloca

\frac{360°}{60}

, ou seja, 6graus. Assim, em 10 minutos, ele se desloca 10 ⋅ 6graus, ou seja, 60graus.

No deslocamento do ponteiro das horas, a medida do arco aumenta de 5graus e, no deslocamento do ponteiro dos minutos, a medida do arco diminui de 60graus. Assim, a medida do menor ângulo entre os ponteiros é dada por 90graus + 5graus ‒ 60graus, ou seja, é de 35graus. Logo, o menor ângulo às 3 horas 10 minutos mede 35graus.

Já aprendemos que o número irracional π é obtido pela razão:

\frac{m e d i d a d o comprimento da circunfer \hat{e} ncia}{m e d i d a d o di \hat{a} metro}

Respostas e comentários

Para saber mais

Esta seção explora a relação de proporcionalidade direta entre a medida do ângulo central e a medida do comprimento do arco de circunferência correspondente, desenvolvendo, assim, as habilidades (ê éfe zero nove ême ah zero oito) e (ê éfe zero nove ême ah um um).

É importante destacar a distinção entre a medida angular e a medida linear (a medida do comprimento) de um arco. Essa questão pode ser trabalhada detalhadamente nesta seção.

Retome a razão que determina o número irracional π, a razão entre a medida do comprimento de uma circunferência e a medida de seu diâmetro. Lembrando que a medida do comprimento C de uma circunferência de raio r é dada por C = 2 · π · r. Lembre os estudantes de que a medida, em grau, associada a um giro de uma volta completa corresponde a um arco de 360graus.

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Assim, a medida do comprimento de uma circunferência (cê ) é obtida pelo produto da medida de seu diâmetro (d ) pelo número π, ou seja, C = d ⋅ π.

Como a medida do diâmetro de uma circunferência é igual ao dobro da medida de seu raio, temos:

C = 2πr

É por isso que, em um relógio, quando o ponteiro dos minutos gira 360graus, sua extremidade faz um percurso de 2πr, ou seja, percorre todo o comprimento da circunferência.

Nos relógios das fotografias a seguir, os ponteiros têm diferentes medidas. Vamos considerar a circunferência determinada pela extremidade do ponteiro dos minutos e que a medida do comprimento désse ponteiro no relógio 1 é 12,5 centímetros, no relógio 2 é 14 centímetros e no relógio 3 é 20 centímetros.

Fotografia. Relógio redondo com o ponteiro menor no 10 e maior no 2. E o ponteiro dos segundos no 6. Esse relógio é nomeado de 1.

Fotografia. Relógio redondo com o ponteiro menor entre 11 e 12 e maior no 7. Ponteiro dos segundos entre o 2 e 3. Esse relógio é nomeado de 2.

Fotografia. Relógio redondo com o ponteiro menor no 8 e maior no 12. E ponteiro dos segundos no 4. Esse relógio é nomeado de 3.

(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)

Quando o ponteiro dos minutos descreve um ângulo α, sua extremidade percorre um arco cujo comprimento é diretamente proporcional a α. Assim, por exemplo, em um relógio, quando o ponteiro dos minutos gira 60graus, sua extremidade percorre

\frac{1}{6}

da circunferência, isto é, um arco de comprimento medindo

\frac{2 \cdot π \cdot r}{6}

que equivale a

\frac{π r}{3}

Observe que o relógio 2 tem ponteiro com medida de comprimento igual a 14 centímetros. Quando o ponteiro dos minutos gira 60graus, sua extremidade percorre um arco que mede

\frac{π \cdot 14}{3}

centímetros, ou seja, aproximadamente 15 centímetros. Já a extremidade do ponteiro dos minutos do relógio 1, quando ele gira 60graus, percorre um arco que mede

\frac{π \cdot 12,5}{3}

centímetros, ou seja, aproximadamente 13 centímetros.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Descubra a medida do arco que o ponteiro dos minutos descreve em 1 minuto.

2 Às 4 horas, a menor medida do ângulo entre os ponteiros de um relógio é de 120graus. A que horas a menor medida do ângulo entre os ponteiros será novamente de 120graus quando o ponteiro dos minutos estiver no 12?

3 Lembrando que um giro de 30graus corresponde a

\frac{1}{12}

da circunferência, determine qual é a fração da circunferência correspondente a cada giro.

a) 20graus

b) 45graus

c) 90graus

d) 180graus

e) 135graus

f) 270graus

4 Observe o relógio 3 e, considerando π = 3,14, calcule, em centímetro, a medida aproximada dos arcos descritos pelo ponteiro dos minutos correspondentes ao giros indicados nos itens.

a) 30graus

b) 45graus

c) 90graus

d) 270graus

e) 180graus

Respostas e comentários

1. 6graus

2. Às 8 horas.

3. a)

\frac{1}{18}

3. b)

\frac{1}{8}

3. c)

\frac{1}{4}

3. d)

\frac{1}{2}

3. e)

\frac{3}{8}

3. f)

\frac{3}{4}

4. a) 10,47 centímetros

4. b) 15,70 centímetros

4. c) 31,40 centímetros

4. d) 94,20 centímetros

4. e) 62,80 centímetros

Para saber mais

Enfatize que a medida de um mesmo arco, em grau, é sempre a mesma em qualquer circunferência. No entanto, a medida do comprimento dêsse arco, em centímetro, muda de acordo com a medida do raio da circunferência.

A seguir, apresentamos algumas possíveis resoluções do Agora é com você!

Na atividade 1, em uma hora, ou seja, em 60 minutos, o ponteiro dos minutos descreve um arco de 360graus (uma volta completa), em 1 minuto descreve um arco de medida x.

\frac{60}{1} = \frac{360 °}{x}

⇒ 60x = 360graus

Logo: x = 6graus

Na atividade 2, os relógios (analógicos) têm 12 números igualmente espaçados. Então, cada arco formado por dois números consecutivos corresponde a 30graus (360graus : 12). Analisando um desenho da situação, podemos verificar que os ponteiros determinarão novamente um menor arco de 120graus com o ponteiro dos minutos no 12 às 8 horas.

Esquema de relógio redondo com números de 1 a 12. O ponteiro maior azul aponta para o 12. Linhas tracejadas que saem de extremidades 1 e 7; 2 e 8; 3 e 9; 4 e 10; 5 e 1, 6 e 12. Um ponteiro menor laranja aponta para o 4 e outro ponteiro laranja aponta para o 8. Ângulo de 120 graus de 8 a 12. Ângulo de 30 graus em 12 a 1 e ângulo de 120 graus de 12 a 4.

As resoluções das atividades 3 e 4 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

Página 77

Grandezas inversamente proporcionais

Antes de estudar as grandezas inversamente proporcionais, veremos o conceito de razões inversas.

Ao trabalhar com números racionais, você já se deparou com números inversos. Por exemplo, os números

\frac{4}{3}

\frac{3}{4}

são inversos, assim como os números 3 e

\frac{1}{3}

Vamos considerar as razões

\frac{3}{4}

\frac{4}{3}

. Note que o produto delas é igual a 1, pois:

\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{12} = 1

Nessas condições, dizemos que as razões são inversas. Portanto,

\frac{3}{4}

é a razão inversa de

\frac{4}{3}

, e

\frac{4}{3}

é a razão inversa de

\frac{3}{4}

Acompanhe outros exemplos.

\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}

= 1, assim, a razão inversa de

\frac{5}{6}

\frac{6}{5}

, e a razão inversa de

\frac{6}{5}

\frac{5}{6}

\frac{1}{7} \cdot \frac{7}{1}

= 1, assim, a razão inversa de

\frac{1}{7}

\frac{7}{1}

, e a razão inversa de

\frac{7}{1}

\frac{1}{7}

Agora, observe uma situação que envolve as grandezas velocidade e tempo.

Fernando tem um jogo de videogame que simula uma corrida de motos. Algumas vezes, ele percorreu o mesmo trajeto com velocidades diferentes e anotou a medida do tempo que levou a cada vez.

Ilustração. Menino de cabelo enrolado, camiseta vermelha sentado no sofá com controle remoto nas mãos. Ele está de frente para a televisão.

Velocidade (km/h)	Tempo (min)
30	12
60	6
90	4
120	3

Analisando o quadro, temos que:

• duplicando a velocidade da moto, o tempo fica reduzido à metade;

• triplicando a velocidade, o tempo fica reduzido à terça parte; e assim por diante.

Por isso, podemos concluir que as grandezas velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.

Perceba ainda que, duas a duas, as razões entre os números que indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões entre os números que indicam o tempo.

30, 60 avos igual 6, 12 avos Seta partindo de 6, 12 avos com a indicação: inverso da razão 12 sextos. 30, 90 avos igual 4, 12 avos Seta partindo de 4, 12 avos com a indicação: inverso da razão 12 quartos. 30, 120 avos igual 3, 12 avos Seta partindo de 3, 12 avos com a indicação: inverso da razão 12 terços. 60, 90 avos igual 4 sextos Seta partindo de 4, sextos com a indicação: inverso da razão 6 quartos. 60, 120 avos igual a 3 sextos Seta partindo de 3 sextos com a indicação: inverso da razão 6 terços. 90, 120 avos igual a 3 quartos Seta partindo de 3, quartos com a indicação: inverso da razão 4 terços.

Respostas e comentários

Grandezas inversamente proporcionais

Peça aos estudantes que, em duplas, leiam e acompanhem a situação apresentada, registrando no caderno as considerações sobre o que leram. Depois, proponha que comparem com as situações apresentadas anteriormente que envolvem grandezas diretamente proporcionais.

Verifique se os estudantes observam que, se as grandezas são inversamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma grandeza é igual à razão inversa entre os valores correspondentes da outra, desenvolvendo, assim, a habilidade (ê éfe zero nove ême ah zero oito).

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Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre dois valores quaisquer da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da segunda.

Note também que a multiplicação dos valores da primeira coluna do quadro pelos valores correspondentes da segunda é igual.

30 ⋅ 12 = 60 ⋅ 6 = 90 ⋅ 4 = 120 ⋅ 3

Todos esses produtos são iguais a 360.

Dizemos, então, que os números da sequência 30, 60, 90 e 120 são inversamente proporcionais aos números da sequência 12, 6, 4 e 3.

Acompanhe outros exemplos.

a) Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias. De acordo com essas informações, podemos supor que:

• o dobro do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na metade do tempo, isto é, em 18 dias;

• o triplo do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na terça parte do tempo, isto é, em 12 dias.

Então, concluímos que as grandezas quantidade de máquinas e tempo são inversamente proporcionais.

b) Vamos determinar x e y de modo que a sequência de números 4, x e 8 seja inversamente proporcional à sequência de números 20, 16 e y.

Esquema. Números e letras organizados em duas linhas e três colunas: Primeira linha: 4 x 8 Segunda linha: 20 16 y

Para que as duas sequências sejam inversamente proporcionais, os produtos dos números correspondentes devem ser iguais, isto é:

4 ⋅ 20 = x ⋅ 16 = 8 ⋅ y

Assim:

x ⋅ 16 = 4 ⋅ 20

16x = 80

\frac{16 x}{16} = \frac{80}{16}

x = 5

8 ⋅ y = 4 ⋅ 20

8y = 80

\frac{8 y}{8} = \frac{80}{8}

y = 10

Ilustração. Homem ruivo de camisa vermelha fala: Portanto, para que as duas sequências sejam inversamente proporcionais, devemos ter x = 5 e y = 10

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

21 Cinco iogurteiras iguais produzem certa quantidade de iogurte em 28 dias. Nessas condições, responda.

a) O dobro do número dessas iogurteiras produz essa mesma quantidade de iogurte em quantos dias?

b) O quádruplo do número de iogurteiras faz esse mesmo trabalho em quantos dias?

c) As grandezas quantidade de iogurteiras e tempo são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais?

22 Para encher um tanque, são usadas três torneiras que têm a mesma vazão. Com apenas uma torneira aberta, enche-se o tanque em 8 horas.

a) Em quantas horas duas torneiras abertas encheriam o tanque?

b) Em quantos minutos as três torneiras abertas encheriam o tanque?

c) Quantas torneiras iguais a essas seriam necessárias para encher o tanque em uma hora?

Respostas e comentários

21. a) 14 dias.

21. b) 7 dias.

21. c) Inversamente proporcionais.

22. a) 4 horas.

22. b) 160 minutos.

22. c) 8 torneiras.

Grandezas inversamente proporcionais

Explore com os estudantes os exemplos apresentados. Ressalte o fato de que, no caso das grandezas inversamente proporcionais, o produto entre os valores de uma grandeza pelos valores correspondentes da outra se mantém constante.

Exercícios propostos

As resoluções do exercício 21 e dos exercícios 23 e 24 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

No exercício 22, é interessante chamar a atenção dos estudantes para o fato de que, se aumentamos o número de torneiras, o tempo para encher o tanque tende a diminuir. dêsse modo:

a) com duas torneiras abertas, o tempo se reduziria à metade, ou seja, duas torneiras abertas encheriam o tanque em 4 horas;

b) com 3 torneiras abertas, o tempo se reduziria à terça parte, ou seja, 3 torneiras abertas encheriam o tanque em

\frac{8}{3}

horas ou, ainda, 160 minutos

(\frac{8}{3} \cdot 60 minutos);

c) em uma hora, uma única torneira aberta encheria

\frac{1}{8}

do tanque, ou seja, seriam necessárias 8 torneiras para encher o tanque em uma hora.

Página 79

23 Os dados no quadro referem-se ao número de máquinas (iguais) e ao tempo necessário para a produção de 36 litros de sorvete.

Número de máquinas	1	2	b	6
Tempo (min)	60	a	15	c

a) Determine os valores de a, b e c.

b) Com apenas uma máquina, em quanto tempo seriam produzidos 108 litros de sorvete?

c) Para produzir 72 litros de sorvete em 30 minutos, seriam necessárias quantas máquinas?

24 Divida o número 132:

a) em três partes iguais;

b) em partes diretamente proporcionais a 2, 4 e 6;

c) em partes inversamente proporcionais a 2, 4 e 6.

Hora de criar – Troque com um colega um problema, criado por vocês, sobre grandezas inversamente proporcionais. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

3. Regra de três

Regra de três simples

Os problemas que envolvem duas grandezas direta ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos por meio de um procedimento prático chamado regra de três simples. Para entender tal procedimento, considere as situações a seguir.

Ilustração. Mulher de cabelo preto e blusa roxa fala: Toda proporção tem quatro termos, dois extremos e dois meios. Aplicamos a regra de três quando queremos obter um desses termos e conhecemos os outros três termos. Daí o nome regra de três!

Situação 1

Ilustração. Frentista está segurando a mangueira de combustível ao lado da bomba e o braço apoiado em um carro vermelho. Ele fala: Seu automóvel consome, em média, 1 litro de etanol a cada 15 quilômetros percorridos. À direita, mulher de cabelo castanho, camiseta laranja e calça preta diz: Com quantos litros de etanol devo abastecer o carro se vou percorrer 240 quilômetros?

O problema envolve duas grandezas: distância percorrida e volume de etanol. As unidades empregadas para medir essas grandezas são, respectivamente, quilômetro e litro.

Ao indicar por x a medida do volume de etanol, em litro, necessária para percorrer os 240 quilômetros, podemos organizar o seguinte quadro:

Distância percorrida (km)	Volume de etanol (L)
15	1
240	x

Respostas e comentários

23. a) a = 30, b = 4 e c = 10.

23. b) 3 horas.

23. c) 4 máquinas.

24. a) 44

24. b) 22, 44 e 66.

24. c) 72, 36 e 24.

25. Resposta pessoal.

3. Regra de três

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero oito.

Ainda desenvolvendo a habilidade (ê éfe zero nove ême ah zero oito), aplicando as relações de proporcionalidade direta e inversa na resolução de problemas que envolvem a variação de duas ou mais grandezas dependentes, estudamos um processo de resolução denominado regra de três.

Ele é simples quando há apenas duas grandezas envolvidas, que são direta ou inversamente proporcionais.

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As grandezas distância percorrida e volume de etanol são diretamente proporcionais, pois, se a medida da distância percorrida aumenta, a medida do volume de etanol utilizado aumenta proporcionalmente, ou seja, se a medida da distância dobra, triplica etcétera, a medida do volume de etanol também dobra, triplica etcétera

Logo, a razão entre as medidas da distância percorrida é igual à razão entre as correspondentes medidas de volume de etanol.

Assim, temos a proporção

\frac{15}{240} = \frac{1}{x}

, que nos leva ao valor de x.

15x = 1 ⋅ 240

\frac{15 x}{15} = \frac{240}{15}

x = 16

Portanto, esse automóvel precisa de 16 litros de etanol para percorrer 240 quilômetros.

Situação 2

Ao viajar de automóvel, à velocidade média de 60 quilômetros por hora, Vânia leva 4 horas para percorrer determinado trajeto. Certo dia, ela aumentou a velocidade média do automóvel para o limite máximo da rodovia, que era 80 quilômetros por hora. Vamos calcular o tempo que ela levou para percorrer o mesmo trajeto.

O problema envolve duas grandezas: velocidade média, medida em quilômetro por hora, e tempo, medida em hora.

Indicando por x a medida do tempo, em hora, necessário para percorrer o trajeto a 80 quilômetros por hora, organizamos este quadro:

Velocidade média (km/h)	Tempo (h)
60	4
80	x

As grandezas velocidade média e tempo são inversamente proporcionais, pois, ao aumentar a velocidade média, o tempo de viagem diminui proporcionalmente. Se, por exemplo, a velocidade for duplicada, o tempo de viagem será reduzido à metade.

Então, como as grandezas são inversamente proporcionais, podemos escrever:

\frac{60}{80} = \frac{x}{4}

Assim, a multiplicação de cada uma das medidas de velocidade média por cada uma das medidas de tempo de viagem correspondentes tem produtos iguais.

80x = 60 ⋅ 4

Resolvendo a equação, obtemos o valor de x :

\frac{80 x}{80} = \frac{240}{80}

x = 3

Ilustração. Vista de trás de um carro vermelho em uma estrada.

Portanto, quando Vânia aumentou a velocidade média do automóvel para 80 quilômetros por hora, o tempo que ela levou para percorrer o mesmo trajeto foi de 3 horas.

Respostas e comentários

Regra de três simples

Peça aos estudantes que façam a leitura e acompanhem o desenvolvimento da situação 1 e da situação 2. Espera-se que eles observem que a montagem de cada quadro organiza os dados fornecidos pelo problema, destaca o valor desconhecido e facilita a análise da relação entre as grandezas envolvidas, para verificar se elas são grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Depois disso, aplicamos as condições estudadas anteriormente para a relação de proporcionalidade identificada – direta ou inversa – e resolvemos a equação obtida.

Página 81

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

26 Se 9 metros de tecido custam R$ 117,00cento e dezessete reais, então:

a) quanto custam 12,5 métros dêsse tecido?

b) quantos metros de tecido é possível comprar com R$ 109,20cento e nove reais e vinte centavos?

27 Uma usina produz 350 litros de álcool com 5 toneladas de cana-de-açúcar. Para produzir .8750 litros de álcool, são necessárias quantas toneladas de cana-de-açúcar ?

28 No rio que atravessa certa cidade, foram encontradas 3 toneladas de peixes mortos, em decorrência de um grande vazamento de uma indústria química. A prefeitura da cidade contratou 45 funcionários de uma empresa de limpeza urbana, que, em 4 dias, retiraram do rio todos os peixes mortos.

a) Supondo que a prefeitura tivesse contratado outros 15 funcionários, de mesma produtividade, quantos dias seriam necessários para retirar do rio aquela quantidade de peixes?

b) Faça uma pesquisa sobre as atitudes que as empresas devem tomar para evitar desastres ambientais como esse.

Não jogar lixo na rua, separar material reciclável e evitar o uso de automóvel para percorrer pequenas distâncias são atitudes que todos nós podemos tomar para ajudar na preservação do meio ambiente. Troque ideias com os colegas e façam uma lista de outras atitudes que podem ser tomadas para a preservação do meio ambiente.

29 Uma padaria produz 400 pães com 10 quilogramas de farinha de trigo.

a) Quantos pães ela produzirá com uma saca de 60 quilogramas de farinha?

b) Quantos quilogramas de farinha são necessários para a produção de 720 pães?

30 Para construir uma roda dentada com determinada máquina, perdem-se 30 gramas de material. Depois de 10 dias utilizando essa máquina, que produz 150 rodas dentadas por dia, quantos quilogramas de material serão perdidos?

31 Um automóvel faz certo percurso em 4,5 horas com velocidade média de 80 quilômetros por hora, consumindo 1 litro de etanol a cada 12 quilômetros.

a) Se a medida da velocidade média fosse de 90 quilômetros por hora, esse percurso seria feito em quanto tempo?

b) Desejando-se fazer esse percurso em 5 horas, qual deve ser a velocidade média do automóvel?

32 Uma torneira fornece 24 litros de água por minuto e enche um tanque em 45 minutos.

a) Duas torneiras iguais a essa encheriam o tanque em quantos minutos?

b) Para encher o tanque em 15 minutos, seriam necessárias quantas dessas torneiras, sabendo que agora ele tem um vazamento?

33 Em uma cidade, uma frota de 600 ônibus transporta duzentas e quarenta.000 pessoas por dia. Para reduzir os gastos, a prefeitura propôs retirar 200 ônibus de circulação.

a) Supondo que os usuários desses 200 ônibus passem a usar automóveis e que cada automóvel transporte 4 pessoas por dia, no mínimo quantos automóveis serão necessários para transportar essas pessoas?

b) O que você imagina que acontecerá com o trânsito da cidade e o meio ambiente se a prefeitura de fato tomar essa medida?

Hora de criar – Em duplas, elaborem dois problemas, um cada, que devem ser resolvidos por regra de três simples. Para elaborar os problemas, considerem situações do dia a dia que envolvam a relação entre duas grandezas de naturezas diferentes. Troquem de caderno e resolvam o problema um do outro. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo colega, destroquem para corrigi-los.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Um navio zarpou para uma viagem carregando alimentos suficientes para 30 dias. Entre passageiros e tripulantes, havia duzentas e cinquenta pessoas a bordo. Passados 6 dias, o navio atracou em um porto, onde 10 passageiros desembarcaram, desistindo da viagem. Para quantos dias foram suficientes os alimentos restantes?

Respostas e comentários

26. a) R$ 162,50cento e sessenta e dois reais e cinquenta centavos

26. b) 8,4 métros

27. 125 toneladas.

28. a) 3 dias.

28. b) Resposta pessoal.

28. c) Resposta pessoal.

29. a) .2400 pães.

29. b) 18 quilogramas

30. 45 quilogramas

31. a) 4 horas.

31. b) 72 quilômetros por hora

32. a) 22,5 minutos.

32. b) Como não sabemos o volume de água que escoa do tanque por minuto com o vazamento, não é possível calcular o número de torneiras.

33. a) .20000 automóveis.

33. b) Resposta pessoal.

34. Resposta pessoal.

Pense mais um poucoreticências: 25 dias.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 26 a 33 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

Aproveite o exercício 28 para conversar com os estudantes sobre atitudes para a preservação do meio ambiente. Converse com eles sobre atitudes que podem ser tomadas para evitar a poluição ambiental, sobre os impactos da poluição no meio ambiente, na conservação da biodiversidade, na saúde humana e até na economia. Comente sobre a importância da redução da quantidade de lixo que produzimos e a importância da reciclagem. Pergunte aos estudantes se sabem para onde vai o lixo que eles produzem e o que acontece com as embalagens depois que são descartadas. Se achar conveniente, proponha uma pesquisa sobre os programas de coleta seletiva na cidade em que moram, investigando também a adesão da comunidade a esses programas.

O item b do exercício 33 possibilita a extensão do trabalho com esse tema, ao chamar a atenção para a poluição ambiental. Comente com os estudantes que os automóveis são um dos principais emissores de poluentes nas cidades, comprometendo a qualidade do ar e afetando o clima do planeta a longo prazo. Além disso, os automóveis também são responsáveis pela poluição sonora, que tem grande impacto na saúde, aumentando o estresse, podendo levar a distúrbios do sono, à perda da capacidade auditiva, causando dores de cabeça, falta de concentração, entre outros efeitos nocivos.

Pense mais um poucoreticências

Peça aos estudantes que organizem os dados em um quadro.

Quantidade de pessoas	250	240
Número de dias de duração dos alimentos	24	x

A resolução do problema pode ser encaminhada do seguinte modo: as grandezas “quantidade de pessoas” e “número de dias” são inversamente proporcionais; ao diminuir a quantidade de pessoas, o número de dias (x) que os alimentos duram aumenta:

\frac{x}{24} = \frac{250}{240}

⇒ 240x = 24 · 250 ⇒ x = 25

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PARA SABER MAIS

Resolvendo problemas com o auxílio de um quadro

Observe o problema que Juca resolveu usando um quadro para organizar seus cálculos.

Em um supermercado que vende por atacado, 20 quilogramas de cebola custam R$ 32,00trinta e dois reais. Calcule o preço de 1 quilograma de cebola.

Ilustração. Menino de cabelo castanho, óculos e camiseta azul. Ele fala: Como as grandezas massa e preço são diretamente proporcionais, se eu dividir a massa por 2, também tenho de dividir o preço por 2... E, usando esse mesmo raciocínio, descubro o preço de 1 kg, dividindo os resultados obtidos por 10.

Quadro com esquema. O quadro tem 2 linhas e 4 colunas. Primeira linha: Massa (em quilograma): 20, 10 e 1 Segunda linha: Preço (em real): 32, 16 e 1,6 De 20 a 10 seta indicando divisão por 2, de 10 a 1 seta indicando divisão por 10. De 32 a 16 seta indicando divisão por 2, de 16 a 1,6 seta indicando divisão por 10.

Assim, Juca descobriu que o preço de 1 quilograma de cebola é R$ 1,60um reais e sessenta centavos.

Miriam também fez um quadro para organizar seus cálculos na resolução do seguinte problema.

Em um estádio de futebol, existem .8600 lugares disponíveis. Em certo dia de jogo, 62% dos lugares estavam ocupados. Quantos lugares estavam ocupados?

Quadro com esquema. O quadro tem 2 linhas e 7 colunas. Primeira linha: Percentual: 100, 10, 60, 1, 2, 60 mais 2 igual a 62 Segunda linha: Número de lugares: 8.600, 860, 5.160, 86, 172, 5.160 mais 172 igual a 5.332 De 100 para 10, seta indicando divisão por 10, de 10 para 60 seta indicando multiplicação por 6. De 8.600 para 86, seta indicando divisão por 100, de 86 para 172 seta indicando multiplicação por 2.

Assim, Miriam descobriu que .5332 lugares estavam ocupados.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Reúna-se com um colega para responder às questões.

a) Como ficaria o quadro de Juca se ele inicialmente dividisse a massa e o preço por 4?

b) Qual foi o raciocínio de Miriam para elaborar o quadro e obter o número de lugares ocupados no estádio?

2 Faça como Juca e Miriam e resolva os problemas a seguir com o auxílio de quadros.

a) Se 18 quilogramas de banana custam R$ 45,00quarenta e cinco reais, calcule o preço de 1 quilograma de banana.

b) Um automóvel gasta 4 litros de gasolina para percorrer 60 quilômetros. Calcule quantos litros de gasolina ele gastará ao percorrer 150 quilômetros.

c) Em um estádio de futebol existem .24500 lugares. Em um dia de jogo, 48% dos lugares dêsse estádio estavam ocupados. Calcule a quantidade de lugares ocupados nesse dia.

d) Um relógio que custava R$ 550,00quinhentos e cinquenta reais em determinada loja estava na promoção com um desconto de 38%. Calcule o valor do desconto.

Respostas e comentários

1. a) Construção de quadro.

1. b) Resposta possível: inicialmente, Miriam associou o total de lugares disponíveis a 100%. Depois, calculou o número de lugares correspondente a 60%, dividindo o percentual e o número de lugares por 10 e, em seguida, multiplicando os resultados obtidos por 6. Como o percentual pedido é 62%, Miriam teve de calcular o número correspondente a 2%. Ela optou por, primeiro, descobrir o número de lugares correspondente a 1% (dividindo por 100 os valores da primeira coluna do quadro) e, em seguida, o número correspondente a 2% (multiplicando os resultados obtidos por 2). Para finalizar seus cálculos, Miriam adicionou os números de lugares correspondentes a 60% e 2%.

2. a) R$ 2,50dois reais e cinquenta centavos

2. b) 10 litros.

2. c) .11760

2. d) R$ 209,00duzentos e nove reais

Para saber mais

Nesta seção, exploramos a organização e a análise dos quadros montados como estratégia de resolução de problemas que envolvem relações de proporcionalidade direta ou inversa, desenvolvendo também as habilidades (ê éfe zero nove ême ah zero sete) e (ê éfe zero nove ême ah zero oito).

Sugerimos que as atividades do Agora é com você! sejam desenvolvidas em duplas, para propiciar a troca de experiências e o compartilhamento de estratégias de resolução, o que contribui para o desenvolvimento da competência geral 9. Durante as atividades, estimule a cooperação e o diálogo entre os estudantes, e ajude-os a resolver possíveis conflitos que podem surgir, destacando a importância do respeito mútuo.

Ao final, um representante de cada dupla pode mostrar na lousa o procedimento utilizado na resolução de alguma das atividades.

Apresentamos a seguir uma possível resolução do item d da atividade 2. A montagem do quadro auxilia os estudantes a determinar a porcentagem correspondente ao valor integral do relógio (550 reais). Espera-se que eles concluam que esse valor corresponde a 100%, enquanto 38% corresponderá ao valor do desconto.

Valor (em reais)	Porcentagem
550	100%
x	38%

Como a relação envolvida é de proporcionalidade direta, temos:

\frac{550}{x} = \frac{100}{38}

100x = 550 · 38

x = 209

Logo, o valor do desconto é R$ 209,00duzentos e nove reais.

Se achar conveniente, retome a noção de razão centesimal e a noção de porcentagem.

As resoluções das atividades 1 e 2 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

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TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Construindo gráficos de barras e de colunas

O Índice de Desenvolvimento Humano (í dê agá) é uma medida que classifica os países pelo seu nível de desenvolvimento com base em três dimensões: renda, educação e saúde.

Para estudar o í dê agá de diferentes países, Fred utilizou um mapa coroplético, isto é, um mapa que usa uma escala de cor para representar os dados estatísticos de diferentes localizações geográficas. Mapas dêsse tipo mostram como os dados variam de um lugar para outro.

Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) – 2019

Após analisar os dados do í dê agá indicados pelo mapa, Fred resolveu fazer um gráfico de barras para comparar os dados do í dê agá de alguns países para 2019.

Para o gráfico não ficar muito extenso, Fred estabeleceu a medida de 10,0 centímetros de comprimento para a barra correspondente ao maior dado de í dê agá que será considerado (Austrália: 0,944). Em seguida, ele calculou a medida do comprimento, aproximada, das outras barras por meio da regra de três. Observe alguns cálculos que ele fez.

Respostas e comentários

Trabalhando a informação

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah dois dois.

Esta seção apresenta uma boa oportunidade para promover uma discussão interdisciplinar de temas como pobreza e distribuição de renda. É importante deixar evidente para os estudantes que o Índice de Desenvolvimento Humano (í dê agá) considera dados relacionados a renda, educação e saúde, mas não considera aspectos como a fórma de governo vigente no país, a desigualdade social (de renda, de gênero, de crença), ações de sustentabilidade, entre outros aspectos, que são importantes para determinar a qualidade de vida da população.

Nesse contexto, se julgar adequado, promova um trabalho conjunto com os professores de História, Geografia e Ciências, chamando a atenção dos estudantes para o desempenho dos países também em outros anos e para o significado de possíveis mudanças nesses índices de um ano para outro.

Sugestão de leitura

Para ampliar o trabalho com esse tema, sugerimos:

ATLAS do desenvolvimento humano no Brasil. Disponível em: https://oeds.link/tUmFR9. Acesso em: 22 julho 2022.

Essa página interativa reúne dados dos indicadores de desenvolvimento humano e das desigualdades sociais no Brasil, organizados em mapas, tabelas e gráficos, apresentados de fórma simples e dinâmica. São um conjunto de 120 indicadores obtidos por meio do Censo Demográfico e da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios, do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística.

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Comparando o í dê agá da Austrália e o da Etiópia, de 2019, Fred organizou o quadro:

País	IDH 2019	Comprimento da barra (cm)
Austrália	0,944	10,0
Etiópia	0,485	x

Como as grandezas ih dê éfe 2019 e comprimento da barra são diretamente proporcionais, Fred fez uma regra de três para obter, em centímetro, a medida x:

\frac{0, 944}{0, 485} = \frac{10, 0}{x} \Rightarrow 0, 944 x = 4, 85 \Rightarrow x = \frac{4, 85}{0, 944} ≃ 5, 1

De maneira semelhante, Fred pôde comparar o í dê agá 2019 da Austrália com o da Índia e, depois, o da Austrália com o do Brasil. Observe como ele organizou as informações em quadros e como utilizou a regra de três para determinar, em centímetro, as medidas y e z referentes ao comprimento das barras do í dê agá 2019 da Índia e do Brasil, respectivamente.

País	IDH 2019	Comprimento da barra (cm)
Austrália	0,944	10,0
Índia	0,645	y

\frac{0, 944}{0, 645} = \frac{10, 0}{y} \Rightarrow 0, 944 y = 6, 45 \Rightarrow y = \frac{6, 45}{0, 944} ≃ 6, 8

País	IDH 2019	Comprimento da barra (cm)
Austrália	0,944	10,0
Brasil	0,765	z

\frac{0, 944}{0, 765} = \frac{10, 0}{z} \Rightarrow 0, 944 z = 7, 65 \Rightarrow z = \frac{7, 65}{0, 944} ≃ 8, 1

Assim, as barras referentes à Etiópia, à Índia e ao Brasil ficaram com medidas de 5,1 centímetros, 6,8 centímetros e 8,1 centímetros de comprimento, respectivamente.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Calcule a medida do comprimento das barras referentes aos outros países destacados no mapa e faça um gráfico de barras como Fred fez.

2 Pesquise quais são, atualmente, os três países com maior í dê agá e quais são os três com menor í dê agá. Organize esses dados em uma tabela e elabore um gráfico de colunas comparando o í dê agá desses países. (Sugestão: deixe a coluna maior com 10 centímetros de altura.)

3 Os países com maior í dê agá são necessariamente os países com melhor qualidade de vida? Escreva uma explicação para isso.

Respostas e comentários

1. Haiti: 5,4 centímetros; Canadá: 9,8 centímetros; Paquistão: 5,9 centímetros; Tunísia: 7,8 centímetros; Mianmar: 6,2 centímetros; China: 8,1 centímetros. Construção de gráfico.

2. Construção de gráfico.

3. Não necessariamente, porque o í dê agá considera dados relacionados à renda, à educação e à saúde, mas não considera aspectos como fórma de governo vigente no país, desigualdade social (de renda, de gênero, de crença), sustentabilidade, que são importantes para a qualidade de vida.

Agora quem trabalha é você!

Se julgar conveniente, é interessante pedir aos estudantes que construam os gráficos propostos nas atividades no computador, utilizando um software de planilha eletrônica, desenvolvendo, assim, a habilidade (ê éfe zero nove ême ah dois dois).

Na atividade 2, os estudantes devem primeiro organizar os dados em uma tabela considerando a medida da altura da coluna correspondente ao país que tem o maior í dê agá (em 2019, a Noruega) igual a 10 centímetros e, assim, determinar as medidas das alturas das demais colunas proporcionalmente ao valor do í dê agá dos demais países.

As resoluções das atividades 1 a 3 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

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Regra de três composta

O procedimento usado para resolver problemas que envolvam mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais, é chamado de regra de três composta.

Considere as situações a seguir, que envolvem três grandezas.

Situação 1

Uma empresa fornece café da manhã para 80 funcionários, gerando um custo de R$ 5.000,00cinco mil reais para um período de 120 dias. Vamos calcular quanto essa empresa gastaria para fornecer o mesmo café da manhã para 150 funcionários, durante 100 dias.

Ilustração. Dois homens e uma mulher estão de frente para uma mesa com alimentos e sucos. Homem de cabelo ruivo segura a bandeja com xícara e pão. Homem de cabelo preto segura um pires com xícara na mão direita e uma colher na mão esquerda; e mulher loira segura um copo de suco na mão esquerda e um prato na mão direita.

Vamos chamar de x o preço, em real, dêsse café da manhã para 150 funcionários durante 100 dias. Para facilitar, vamos dispor em um quadro os dados do problema.

Número de funcionários	Tempo (em dia)	Preço (em real)
80	120	5.000
150	100	x

Fixando o número de dias em 120, vamos estabelecer uma relação entre o número de funcionários e o preço. Assim, é possível determinar o preço, em real, que essa empresa pagaria para fornecer o café da manhã para 150 funcionários durante 120 dias. Vamos indicar esse preço por z.

Número de funcionários	Tempo (em dia)	Preço (em real)
80	120	5.000
150	120	z

O número de funcionários e o preço são diretamente proporcionais. Então, podemos escrever a seguinte proporção e determinar o valor de z.

\frac{80}{150} = \frac{5000}{z}

80z = 150 ⋅ .5000

\frac{80 z}{80} = \frac{750000}{80}

z = .9375

Agora, fixando o número de funcionários em 150, vamos estabelecer uma relação entre o tempo e o preço. Então, vamos encontrar o valor de x, que é o preço do café da manhã para 150 funcionários durante 100 dias.

Respostas e comentários

Regra de três composta

Aplicando as relações de proporcionalidade direta e inversa na resolução de problemas que envolvem a variação de mais de duas grandezas dependentes, o procedimento de resolução aplicado, nesse caso, será uma regra de três composta. No entanto, a relação entre as grandezas é analisada de duas em duas, considerando as demais com valores constantes, para determinar quais das grandezas são diretamente proporcionais e quais são inversamente proporcionais.

Trabalhe com a situação 1 na lousa, pedindo aos estudantes que auxiliem com cada etapa desenvolvida e que justifiquem cada uma delas. A construção dos quadros passo a passo mostra a estratégia utilizada e possibilita verificar a propriedade concluída ao final.

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Número de funcionários	Tempo (em dia)	Preço (em real)
150	120	9.375
150	100	x

O tempo e o preço são diretamente proporcionais. Então, podemos escrever a seguinte proporção e determinar o valor de x.

\frac{120}{100} = \frac{9375}{x}

120x = 100 ⋅ .9375

\frac{120 x}{120} = \frac{937 500}{120}

x = .7812,5

Portanto, o preço que a empresa pagaria para fornecer o café da manhã para 150 funcionários durante 100 dias é R$ 7.812,50sete mil oitocentos e doze reais e cinquenta centavos.

Observe que a grandeza preço é diretamente proporcional à grandeza tempo e à grandeza número de funcionários. Essa relação conduz a outra fórma de resolução dêsse problema, por meio da aplicação da seguinte propriedade:

Se uma grandeza é proporcional a outras grandezas, então ela é proporcional ao produto dessas outras grandezas.

Observe o quadro com os dados iniciais dessa situação.

Número de funcionários	Tempo (em dia)	Preço (em real)
80	120	5.000
150	100	x

Vamos resolver esse problema aplicando a propriedade apresentada.

Ilustração. Rapaz de cabelo preto e camisa vermelha fala: A razão entre os preços é igual ao produto resultante da multiplicação da razão entre o número de funcionários pela razão entre o número de dias.

5000 sobre x, igual a 80, 150 avos vezes 120 centésimos Flecha indo para 5000 sobre x dizendo: razão entre os preços Flecha indo para 80, 150 avos dizendo: razão entre o número de funcionários Flecha indo para 120, 100 avos dizendo: razão entre o número de dias

\frac{5 000}{x} = \frac{9 600}{15 000}

.9600x = .5000 ⋅ .15000

\frac{9 600 x}{9 600} = \frac{75 000 000}{9 600}

x = .7812,5

Respostas e comentários

Regra de três composta

Analise com os estudantes o desenvolvimento da mesma situação com a aplicação direta da propriedade concluída anteriormente. Mostre a eles que, ao analisar duas grandezas de cada vez, estamos considerando mentalmente os quadros feitos passo a passo.

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Situação 2

Ilustração. Mulher de cabelo castanho, capacete amarelo de proteção e macacão azul. Ela aperta o botão de uma máquina.

Em uma indústria, 5 máquinas de mesmo rendimento produzem seiscentas peças em 5 dias.

Vamos calcular quantas dessas máquinas produziriam setecentas e vinte peças em 3 dias.

Vamos dispor os dados em um quadro e chamar de x o número de máquinas que produziriam setecentas e vinte peças em 3 dias.

Número de máquinas	Número de peças	Tempo (em dia)
5	600	5
x	720	3

Fixando o número de dias em 5, estabelecemos uma relação entre o número de máquinas e o número de peças. Então, vamos determinar o número de máquinas que produziriam setecentas e vinte peças em 5 dias, indicando-o por z.

Número de máquinas	Número de peças	Tempo (em dia)
5	600	5
z	720	5

O número de máquinas é diretamente proporcional ao número de peças, então podemos escrever a seguinte proporção e determinar o valor de z:

\frac{5}{z} = \frac{600}{720}

600z = 5 ⋅ 720

\frac{600 z}{600} = \frac{3 600}{600}

z = 6

Fixando o número de peças em setecentas e vinte, vamos agora estabelecer uma relação entre o número de máquinas e o tempo. Então, encontramos o valor de x, que é o número de máquinas que produziriam setecentas e vinte peças em 3 dias.

Número de máquinas	Número de peças	Tempo (em dia)
6	720	5
x	720	3

O número de máquinas é inversamente proporcional ao tempo, então a razão entre o número de máquinas é igual ao inverso da razão entre o número de dias.

Ilustração. Menina de cabelo preto e camiseta verde. Ela fala: 3 quintos é o inverso de 5 terços.

\frac{6}{x} = \frac{3}{5}

3x = 30

\frac{3 x}{3} = \frac{30}{3}

x = 10

Portanto, o número de máquinas que produziriam setecentas e vinte peças em 3 dias é 10.

Respostas e comentários

Regra de três composta

Inicialmente, apresente a situação 2 na lousa para que os estudantes, reunidos em duplas, possam resolvê-la no caderno. Depois, peça a eles que acompanhem a resolução apresentada no livro e comparem com as estratégias que usaram, para verificar se precisam modificar alguma etapa em suas resoluções. A discussão entre colegas é importante para a exposição de ideias, a busca de justificativas para procedimentos e a análise e a comparação com o desenvolvimento do livro. Ao final, organize uma roda de conversa para discutir as dificuldades que encontraram e para compartilhar as estratégias utilizadas pelas duplas.

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Vamos resolver novamente esse problema aplicando a propriedade estudada.

Número de máquinas	Número de peças	Tempo (em dia)
5	600	5
x	720	3

As grandezas número de máquinas e número de peças são diretamente proporcionais. No entanto, as grandezas número de máquinas e tempo são inversamente proporcionais. Assim, temos:

Esquema. 5 sobre x igual a 600, 720 avos vezes 3 quintos Flecha indo para 600, 720 avos indicando: razão entre o número de peças Flecha indo para 5 sobre x, indicando: razão entre o número de máquinas Flecha indo para 3, quintos, indicando: razão inversa entre o número de dias 5 sobre x igual a 1.800, 3.600 avos 1.800 vezes x igual a 5 vezes 3.600 fração, numerador 1.800 vezes x, denominador 1.800, igual, 18.000, 1800 avos x igual a 10

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

35 Em um restaurante, 150 fregueses consomem .3000 esfirras em 5 dias. Calcule quantas esfirras 200 fregueses vão consumir em 30 dias, admitindo que todos esses fregueses tenham hábitos iguais.

36 Uma jovem percorreu de bicicleta o equivalente a 320 quilômetros em 10 dias, pedalando 8 horas por dia. Quantos quilômetros ela poderia percorrer em 8 dias, na mesma velocidade, se pedalasse 12 horas por dia?

37 Uma gráfica tem 5 máquinas de mesmo rendimento que imprimem .36000 panfletos em duas horas. Considerando que duas dessas máquinas não estejam funcionando, calcule em quanto tempo as restantes imprimiriam .27000 exemplares do mesmo panfleto.

38 Nove amigos foram acampar por 6 dias. Para isso, levaram alimento suficiente, calculando 4 refeições diárias. Se chegassem mais 3 amigos e o grupo fizesse 3 refeições diárias, a quantidade de alimento que levaram inicialmente seria suficiente para quanto tempo?

39 Se 4 tratores iguais realizam um serviço em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia, calcule em quantos dias esse serviço seria realizado com 2 tratores trabalhando 10 horas por dia.

40 Em 4 horas, 9 pessoas colhem uma quantidade de laranjas que preenche um total de 360 caixas. Quantas pessoas, que trabalham no mesmo ritmo das demais, colhem a quantidade de laranjas necessária para preencher quinhentas e dez caixas em 3 horas?

41 Uma empresa foi contratada para fornecer refeições a 72 funcionários, durante 60 dias, por R$ 13.824,00treze mil oitocentos e vinte e quatro reais. Vinte dias depois, foram contratados mais 8 funcionários. Qual é o valor do novo contrato?

Hora de criar – Troque com um colega um problema, criado por vocês, que deve ser resolvido por meio de uma regra de três composta. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, elaborem um fluxograma cada um, representando o passo a passo para a resolução do problema aplicando a regra de três composta. Destroquem os problemas para corrigi-los e comparem seus fluxogramas. Os passos descritos para a resolução dos problemas são os mesmos?

Respostas e comentários

35. .24000 esfirras.

36. 384 quilômetros

37. 2 horas 30 minutos

38. 6 dias.

39. 16 dias.

40. 17 pessoas.

41. R$ 14.848,00quatorze mil oitocentos e quarenta e oito reais

42. Resposta pessoal.

Exercícios propostos

Neste bloco, os exercícios também podem ser resolvidos em duplas, o que propiciará a ampliação de repertório de estratégias de resolução dos estudantes.

Na correção, convide um representante de cada dupla para apresentar na lousa possíveis resoluções, envolvendo toda a turma no desenvolvimento de cada resolução.

As resoluções dos exercícios 35 a 40 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

No exercício 41, o desafio é que os estudantes compreendam que devem obter o valor a ser acrescido correspondente aos novos funcionários, pois o contrato anterior já engloba os 72 funcionários que a empresa tinha antes. Assim, os estudantes devem descobrir que valor será cobrado para fornecer refeições para 8 funcionários por 40 dias (tempo que falta para completar o contrato).

Montamos o quadro correspondente a essa situação:

Número de funcionários	Tempo (em dias)	Valor (em reais)
72	60 dias	13.824
8	40 dias	x

Analisando as grandezas número de funcionários e tempo em relação ao valor do contrato (grandeza que contém a incógnita), temos:

• “número de funcionários” e “valor” são diretamente proporcionais (duplicando o número de funcionários, o valor do contrato é duplicado etcétera);

• “tempo” e “valor” também são grandezas diretamente proporcionais (duplicando o tempo de fornecimento, o valor do contrato é duplicado etcétera).

Assim, obtemos:

\frac{13 824}{x} = \frac{72}{8} \cdot \frac{60}{40}

\frac{13 824}{x} = \frac{9}{1} \cdot \frac{3}{2}

27x = .13824 · 2

x = .1024

Esse é o valor cobrado pelos 8 funcionários, ou seja, é o valor a ser acrescido no contrato original.

Logo, o valor do novo contrato é R$ 14.848,00quatorze mil oitocentos e quarenta e oito reais (.13824 + .1024 = .14848).

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Uma moto percorreu 225 quilômetros em 2,5 horas.

a) Qual foi a medida da velocidade média da moto, em quilômetro por hora, nesse percurso?

b) Nessa mesma velocidade, em quanto tempo essa moto percorreria 270 quilômetros?

c) Qual é a medida do consumo médio dessa moto se, percorrendo 259 quilômetros, ela gastou 14 litros de combustível?

2 Caatinga (que em tupi-guarani significa “mata branca”) é um bioma exclusivamente brasileiro, encontrado na Região Nordeste e em uma pequena faixa do norte do estado de Minas Gerais.

A caatinga abriga a mais povoada região semiárida do planeta. São aproximadamente 27 milhões de pessoas distribuídas em uma superfície de .844453 quilômetros quadrados de área. Qual é a medida da densidade demográfica aproximada da Caatinga?

3 Sabendo que .1200 frangos consomem 90 quilogramas de ração diariamente, calcule quantos quilogramas de ração .2000 frangos consumirão por dia.

4 Em uma exposição de equipamentos de limpeza e manutenção, foi apresentada uma máquina que, segundo o fabricante, varre, lava e enxuga uma área de .5100 métros quadrados em 6 horas. Em iguais condições, em quantas horas a máquina executará a mesma operação em uma área medindo .11900 métros quadrados?

5 Trabalhando 8 horas por dia, 3 pedreiros construíram metade de um muro em 15 dias. Como um pedreiro saiu da equipe, os outros passaram a trabalhar 9 horas por dia para terminar o serviço. No total, o muro foi construído em quanto tempo?

6 A reciclagem de uma latinha de alumínio economiza energia suficiente para manter um televisor ligado por três horas. Quantas latinhas recicladas são necessárias para manter um televisor ligado por um dia inteiro?

7 Uma editora utilizou .6510 quilogramas de papel para produzir .5000 livros de 280 páginas cada um. Se cada livro fosse reduzido a duzentas e quarenta páginas, qual seria a medida da massa de papel necessária para a produção de .4000 desses livros?

8 (úfu-Minas Gerais) As idades de um pai e seus dois filhos são diretamente proporcionais aos números 27, 14 e 11, respectivamente. Se a soma de suas idades é de 104 anos, então, as idades de cada um deles, na mesma ordem, são:

a) 54 anos, 28 anos e 22 anos.

b) 50 anos, 28 anos e 26 anos.

c) 56 anos, 26 anos e 22 anos.

d) 59 anos, 23 anos e 22 anos.

e) 55 anos, 27 anos e 22 anos.

9 (unifór-Ceará) Dividindo-se o número 204 em partes diretamente proporcionais aos números 4 e

\frac{1}{4}

, a menor das partes será:

a) 8.

b) 12.

c) 34.

d) 48.

e) 68.

10 Uma rede de televisão fez uma pesquisa entre os habitantes de uma cidade cuja população é de vinte e uma.000 pessoas. Foram entrevistadas 7.quinhentas pessoas, e descobriu-se que .3000 delas assistem aos programas dessa rede. Supondo que os resultados da pesquisa sejam proporcionais aos que seriam obtidos se todos os moradores fossem entrevistados, quantas pessoas dessa cidade assistem aos programas dessa rede de televisão?

11 Para preservar uma área de floresta de medida equivalente a 18 campos de futebol, a cada mês ..1000000 de pessoas deveriam usar o verso das folhas de papel. Para que a área preservada tivesse a medida equivalente à da área de pelo menos um campo de futebol, quantas pessoas deveriam usar o verso do papel?

12 (unifór-Ceará) Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Nas novas condições, o número de páginas ocupadas pelo texto será:

a) 24.

b) 21.

c) 18.

d) 12.

e) 9.

13 (u éfe érre gê ésse-Rio Grande do Sul) Se foram empregados 4 quilogramas de fios para tecer 14 métros de fazenda com 80 centímetros de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 métros de fazenda com 120 centímetros de largura?

a) 130

b) 150

c) 160

d) 180

e) 250

Respostas e comentários

1. a) 90 quilômetros por hora

1. b) 3 horas.

1. c) 18,5 quilômetros por litro

2. Aproximadamente 32 habitantes por quilômetro quadrado.

3. 150 quilogramas

4. 14 horas.

5. 35 dias.

6. 8 latinhas.

7. .4464 quilogramas

8. Alternativa a.

9. Alternativa b.

10. 8.quatrocentas pessoas.

11. 55.quinhentas e cinquenta e seis pessoas.

12. Alternativa c.

13. Alternativa b.

Exercícios complementares

Com este bloco de exercícios os estudantes têm a oportunidade de revisitar os principais conceitos trabalhados neste capítulo. Verifique se eles ainda apresentam dificuldade em algum desses conceitos e, se for o caso, sugira que refaçam atividades referentes a tais assuntos.

Aproveite os exercícios 6 e 11 para trabalhar o Tema Contemporâneo Transversal educação ambiental. Converse com os estudantes sobre como pequenas atitudes (a reciclagem e a reutilização de embalagens e de outros itens) podem levar a grandes mudanças em relação à conservação do meio ambiente e dos recursos naturais.

As resoluções dos exercícios 1 a 13 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Para realizar uma viagem de São Paulo até Salvador, um avião leva duas horas 30 minutos. Se a medida da distância que o avião percorre nesse trajeto é de .1500 quilômetros, qual é a medida da velocidade média do avião?

a) .3000 quilômetros por hora

b) 750 quilômetros por hora

c) 652 quilômetros por hora

d) 600 quilômetros por hora

2 Em 2021, a medida da área territorial da cidade de Manaus, no Amazonas, era de aproximadamente .11401 quilômetros quadrados e sua população estimada era de ..2255903 habitantes. Qual era a medida aproximada da densidade demográfica da cidade em 2021?

a) 50 habitantes por quilômetro quadrado

b) 114 habitantes por quilômetro quadrado

c) 198 habitantes por quilômetro quadrado

d) 225 habitantes por quilômetro quadrado

3 Sobre a gramatura e a massa de um papel, podemos afirmar que essas grandezas são:

a) inversamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra aumenta na mesma razão.

b) inversamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra diminui.

c) diretamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra aumenta na mesma razão.

d) diretamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra diminui na mesma razão.

4 Considere as sequências x, 9, 24 e 4, 6, y. Para que essas sequências sejam diretamente proporcionais, x e y devem ser, respectivamente, iguais a:

a) 3 e 8.

b) 3 e 16.

c) 6 e 8.

d) 6 e 16.

5 Se dividirmos 120 em duas partes, a e B, inversamente proporcionais a 3 e a 2, respectivamente, temos que:

a) A = 48 e B = 72.

b) A = 24 e B = 72.

c) A = 60 e B = 60.

d) A = 12 e B = 36.

6 Em uma fábrica, 14 máquinas produzem determinada quantidade de um produto em 6 horas. Em quanto tempo 24 máquinas produziriam a mesma quantidade dêsse produto?

a) 35 minutos

b) 3 horas 30 minutos

c) 3 horas 50 minutos

d) 10 horas 30 minutos

7 Uma pessoa lê 20 páginas de um livro a cada 45 minutos. Quanto tempo, em hora, ela levaria para ler um livro inteiro de 300 páginas?

a) 11 horas 15 minutos

b) 11 horas 25 minutos

c) duas horas 22 minutos

d) duas horas 13 minutos

8 Uma empresa foi contratada para pintar todos os corredores idênticos de um condomínio de apartamentos. Sabe-se que 3 pintores levam 5 dias para pintar 5 corredores. Quantos pintores serão necessários para pintar 6 corredores em 2 dias?

a) 3

b) 4

c) 9

d) 10

9 Um cicloviajante percorreu 450 quilômetros de bicicleta em 9 dias, pedalando 4 horas por dia. Quantos quilômetros ele teria percorrido em 5 dias se pedalasse 6 horas por dia?

a) 540 quilômetros

b) 500 quilômetros

c) 166 quilômetros

d) 375 quilômetros

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) Qual é a unidade de medida de uma razão entre duas grandezas de natureza diferentes?

b) Quando duas grandezas são diretamente proporcionais?

c) Quando duas grandezas são inversamente proporcionais?

d) Escreva um passo a passo que possa ser seguido para a resolução de um problema utilizando uma regra de três composta.

e) Quais medidas você utiliza no dia a dia ou observa em notícias e reportagens que são dadas por meio da razão entre duas grandezas diferentes?

f) Você estudou sobre o Píbi per cápita de um país. O que a expressão “per cápita” significa?

g) Se Bryan, aos 7 anos, tinha 24 quilogramas de medida de massa e, aos 14 anos, tinha 48 quilogramas, podemos dizer que as grandezas idade e massa são diretamente proporcionais? Por quê?

Respostas e comentários

1. Alternativa d.

2. Alternativa c.

3. Alternativa c.

4. Alternativa d.

5. Alternativa a.

6. Alternativa b.

7. Alternativa a.

8. Alternativa c.

9. Alternativa d.

Organizando:

a) A unidade de medida será sempre dada pela razão entre as unidades de medida das grandezas envolvidas.

b) Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre dois valores quaisquer da primeira é igual à razão entre os valores correspondentes da segunda.

c) Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre dois valores quaisquer da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da segunda.

d) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes façam uma análise da proporcionalidade entre as grandezas envolvidas.

e) Respostas possíveis: preço por litro de combustível ou de produtos, densidade demográfica, velocidade média, rendimento médio etcétera

f) Significa que um valor bruto de um conjunto de dados é dividido igualmente entre o total de pessoas dêsse mesmo conjunto.

g) Não, pois apesar de a idade ter dobrado e a medida da massa também, isso não significa que ao triplicar, quadruplicar etcétera a idade, a massa também será triplicada, quadruplicada etcétera

Verificando

Esses testes são mais uma oportunidade para o estudante validar o entendimento do conteúdo estudado neste capítulo. Instrua-os a retornar às páginas anteriores caso alguma dúvida persista.

No teste 1, lembre os estudantes das relações entre grandezas de naturezas diferentes, como a relação entre as medidas da distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la, que determina a velocidade média de um corpo.

velocidade média

= \frac{m e d i d a d a dist \hat{a} ncia percorrida}{m e d i d a d o tempo gasto}

velocidade média

= \frac{1 500}{2, 5} = 600

Portanto, a medida da velocidade média do avião é 600 quilômetros por hora.

Alternativa d.

No teste 2, lembre os estudantes da relação entre o número de habitantes e a medida da área de uma região, que determina a densidade demográfica dessa região.

densidade demográfica

= \frac{n \overset{´}{u} mero d e habitantes}{a m e d i d a d a \overset{´}{a} rea da região}

densidade demográfica

= \frac{2 255 903}{11 401} ≃ 198

Portanto, a medida aproximada da densidade demográfica da cidade de Manaus em 2021 é 198 habitantes por quilômetro quadrado.

Alternativa c.

Para a resolução do teste 3, lembre os estudantes da relação entre a massa do papel e a sua área, que determina a gramatura dêsse papel.

gramatura

= \frac{m e d i d a d a massa do papel}{m e d i d a d a \overset{´}{a} rea do papel}

Os estudantes devem notar que as grandezas gramatura e massa, na situação em que a área do papel é mantida constante, são grandezas diretamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra também aumenta à mesma razão.

Alternativa c.

As resoluções dos testes 4 a 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.

Organizando

Incentive os estudantes a organizar seus aprendizados no caderno, fazendo resumos, mapas conceituais, fluxogramas ou aplicando destaques em conceitos importantes.

As questões propostas têm como objetivo fazer com que os estudantes retomem os conteúdos estudados no capítulo e reflitam sobre algumas temáticas. Após sua correção, é importante pedir aos estudantes que partilhem suas respostas. Essa estratégia possibilitará o compartilhamento de dúvidas e percepções sobre o conteúdo, contribuindo para o aprendizado de todos.