CAPÍTULO 5 Semelhança
Os tapetes são uma herança cultural para muitos povos do norte da África e do Oriente Médio. Apesar de hoje terem uso mais decorativo, para os berberes, povos seminômades do norte da África, os tapetes originalmente serviam de proteção contra o frio, cobrindo não só o chão das casas, mas também o corpo nas noites mais frias.
Compostos de padrões geométricos variados, esses tapetes, tradicionalmente tecidos à mão por mulheres, comunicam a identidade cultural desses povos por meio de combinações de diferentes figuras geométricas em padrões que contam histórias com temas variados, como fertilidade, riqueza, liberdade e natureza.
Observe, leia e responda no caderno.
a) Que figuras geométricas você identifica nos tapetes da fotografia? Você consegue identificar transformações geométricas de algumas dessas figuras? Que transformações?
b) Utilizando transformações geométricas de alguns polígonos, represente um padrão geométrico inspirado nos tapetes da fotografia.
c) Identifique alguns pares de polígonos congruentes no seu padrão geométrico. Para isso, verifique se todos os seus lados correspondentes são congruentes e se seus ângulos correspondentes são congruentes.
d) Pesquise a importância de preservar e respeitar as tradições culturais de um povo.
Respostas e comentários
a) Resposta possível: polígonos diversos, como triângulos, quadriláteros (paralelogramos: losangos, retângulos), entre outros. Transformações geométricas: reflexão, translação.
b) Construção de desenho.
c) Resposta pessoal.
d) Espera-se que os estudantes reflitam sobre como as tradições culturais são importantes para contar a história de um povo e que preservar e respeitar essas tradições ajudam a manter a identidade cultural de um povo, que os distingue dos demais.
Capítulo 5 – Semelhança
Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática (Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.
Apresentamos neste capítulo o conceito de semelhança entre figuras e, em particular, a semelhança entre polígonos, ampliando o estudo sobre proporcionalidade tratado no capítulo 4 deste livro.
O trabalho com triângulos semelhantes é fundamental para o desenvolvimento dos assuntos dos próximos capítulos, como razões métricas e trigonométricas em um triângulo retângulo.
A abertura apresenta como motivação uma amostra da cultura berbere por meio da arte de seus tapetes com motivos geométricos e é uma boa oportunidade para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal diversidade cultural. Discuta com os estudantes a importância de manifestações artísticas e culturais como essa para a construção da identidade cultural de um povo e para a preservação de sua história, desenvolvendo, assim, a competência geral 3. Se achar conveniente, peça aos estudantes que pesquisem as tradições culturais da cidade ou da região em que moram.
Acompanhe as respostas dadas às questões propostas na abertura e estimule os estudantes a explorar imagens semelhantes a esta.
1. Figuras semelhantes
Quando uma imagem é formada em uma tela de televisão, de cinema, de celular etcétera, o tamanho dessa imagem geralmente é diferente do tamanho da imagem original, no entanto, a fórma é mantida.
Assim, dizemos que a imagem que aparece na tela é semelhante à original.
Além de cópias em tamanho original, as fotocopiadoras podem ampliar ou reduzir determinada imagem; nesse caso, também se mantém a fórma do original.
Para obter uma ampliação de, por exemplo, 50%, devemos programar essa máquina para fazer uma cópia de 150%, pois a ampliação deverá ser igual ao original (100%) aumentado de 50%. Se quisermos uma redução de 25%, devemos programar a máquina para 75%, que corresponde ao original (100%) diminuído de 25%.
Fotografia original
Fotografia ampliada (150% em relação à original)
Fotografia reduzida (75% em relação à original)
Figuras semelhantes são aquelas que têm a mesma fórma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Em uma fotografia, a medida da altura de João corresponde a 10 centímetros. Qual deve ser a porcentagem que devemos programar em uma fotocopiadora para que a medida da altura de João em uma cópia ampliada seja de 12 centímetros?
Respostas e comentários
Pense mais um poucoreticências: Devemos programar uma cópia com 120%, isto é, 100% do original mais 20% de ampliação.
1. Figuras semelhantes
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero oito.
Retomamos, neste tópico, o conceito de proporcionalidade aplicado à semelhança de figuras geométricas. Os problemas a serem elaborados e resolvidos demandam, além da aplicação de relações de proporcionalidade entre duas grandezas. Tais procedimentos criam condições para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero nove ême ah zero oito).
Pense mais um poucoreticências
Uma resolução possível para a questão proposta consiste em determinar quanto por cento 12 é de 10, ou seja, calculamos a razão entre essas duas alturas. É importante que os estudantes percebam, inicialmente, que 12 é mais de 100% de 10, visto que 12 > 10. Fazer estimativas de resultados ajuda a identificar valores inadequados.
Logo, 12 é 120% de 10. Portanto, devemos programar uma cópia com 120% de ampliação.
Discuta com os estudantes o fato de que o acréscimo aplicado na medida da altura de 10 centímetros para 12 centímetros é 2 centímetros, o que corresponde a 20% de 10 centímetros. Por isso, 120% correspondem à medida da altura obtida após o acréscimo.
Os estudantes podem comprovar esses percentuais utilizando uma calculadora para obter 120% de 10 e 20% de 10. Explore também o cálculo mental, tomando por base que calcular 10% de um valor equivale a dividir esse valor por 10, e calcular 50% de um valor equivale a dividir esse valor por 2. Assim, eles podem facilmente concluir que 10% de 10 é igual a 1 (10 : 10 = 1), e como 20% é o dobro de 10%, 20% de 10 deve ser 2.
2. Semelhança de polígonos
O uso de papel quadriculado pode auxiliar o trabalho de ampliação ou de redução de figuras. Acompanhe, por exemplo, como foi obtida a ampliação em 100% do polígono a bê cê dê, que resultou no polígono A'B'C'D'.
Os pares de ângulos
Ângulo A e ângulo A'.,
Ângulo B e ângulo B'.,
Ângulo C e ângulo C'.,
Ângulo D e ângulo D'.são chamados de ângulos correspondentes. Observe que eles são congruentes, ou seja:
Os pares de lados
Segmento AB e segmento A'B'.,
Segmento BC e segmento B'C'.,
Segmento CD e segmento C'D'.,
Segmento DA e segmento D'A'.são chamados de lados correspondentes. Observe que eles têm medidas de comprimento proporcionais, pois:
Assim, concluímos que o polígono A'B'C'D' é semelhante ao polígono a bê cê dê e indicamos por:
a bê cê dê ∼ á linha bê linha cê linha dê linha
Como qualquer lado do polígono ampliado (A'B'C'D' ) tem por medida o dobro da medida do lado correspondente no polígono original (a bê cê dê), dizemos que a razão de semelhança entre o polígono ampliado e o polígono original é 2. Isso significa que qualquer lado do polígono A'B'C'D' tem por medida o dobro da medida do lado correspondente no polígono a bê cê dê.
Dois polígonos são semelhantes quando os lados correspondentes têm medidas de comprimento proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes.
Agora, vamos reduzir o polígono á bê cê dê é em 50%, obtendo o polígono A'B'C'D'E'. Acompanhe.
Respostas e comentários
2. Semelhança de polígonos
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero oito.
Neste tópico damos continuidade ao estudo da semelhança de figuras, analisando a semelhança de polígonos. Os problemas a serem elaborados e resolvidos demandam a aplicação de relações de proporcionalidade entre duas grandezas, criando condições para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero nove ême ah zero oito).
A malha quadriculada é um importante recurso no trabalho com ampliação/redução e semelhança. Aproveite a figura e destaque oralmente os elementos correspondentes (ângulos e lados) nos dois polígonos da malha. Destaque o fato de que os ângulos internos correspondentes nos dois polígonos são congruentes entre si.
Peça aos estudantes que verifiquem nos dois quadriláteros, do menor para o maior, o que ocorreu com as medidas dos lados correspondentes, usando para isso os elementos da malha. Assim, indicando por ℓ a medida do lado do quadradinho da malha e por d a medida de sua diagonal, verificamos que:
A’D’ = 10ℓ = 2 · 5ℓ = 2 · á dê
á linha bê linha = 2ℓ = 2 · ℓ = 2 · A bê
dê linha cê linha = 6d = 2 · 3d = 2 · dê cê
C’B’ = 4d = 2 · 2d = 2 · cê bê
dêsse modo, os estudantes verificam que as medidas dos lados do polígono maior correspondem ao dobro das medidas dos lados correspondentes no polígono menor. Retome, então, a noção de segmentos proporcionais para continuar o desenvolvimento teórico.
Solicite aos estudantes que calculem mentalmente as medidas dos perímetros de ambos os polígonos e a razão do maior para o menor e respondam oralmente se essa razão é igual à razão de semelhança entre as medidas dos lados.
Explore o segundo par de figuras, que mostra uma redução, da mesma maneira como foi feito na ampliação.
A medida de qualquer lado do polígono á linha bê linha cê linha dê linha é linha tem metade da medida do lado correspondente no polígono á bê cê dê é. Nesse caso, dizemos que a razão de semelhança entre o polígono reduzido (á linha bê linha cê linha dê linha é linha ) e o polígono original (á bê cê dê é) é
Fração. 1 sobre 2.. Então:
Observe agora o par de polígonos.
Esses polígonos têm os ângulos correspondentes congruentes, mas seus lados correspondentes não têm medidas de comprimento proporcionais. Logo, eles não são semelhantes.
Observe estes outros polígonos.
Esses polígonos têm os lados correspondentes com medidas de comprimento proporcionais, mas seus ângulos correspondentes não são congruentes. Logo, eles não são semelhantes.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Qual é a razão de semelhança entre a figura reduzida (à direita) e a figura original (à esquerda) na ilustração a seguir?
2 Em um papel quadriculado, amplie esta figura na razão
Fração 3 sobre 1..
3 Os lados correspondentes de dois polígonos têm medidas de comprimento proporcionais. Podemos dizer que eles são semelhantes? Por quê?
Respostas e comentários
1.
Um meio.2. Construção de figura.
3. Não, porque é necessário também que os ângulos correspondentes sejam congruentes.
Semelhança de polígonos
Explore com os estudantes os exemplos apresentados. Ressalte que não basta ocorrer apenas uma das condições, ou seja, as duas condições devem ocorrer para que as figuras consideradas sejam semelhantes:
• ter ângulos correspondentes congruentes;
• ter lados correspondentes proporcionais.
Se possível, leve para a aula um par de polígonos semelhantes aos pentágonos desta página, em tamanho grande, recortados em um papelão ou placa de ê vê á para sobrepor, um de cada vez, os ângulos correspondentes e mostrar a congruência entre eles.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 1 e 3 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 5.
No exercício 1, peça aos estudantes que expliquem o procedimento utilizado para obter essa razão de semelhança.
Para ampliar uma figura feita em um papel quadriculado, um procedimento é multiplicar a medida do comprimento dos segmentos do contorno da figura original (em quantidade de lados ou diagonais dos quadradinhos da malha) de acordo com o fator de ampliação que se quer.
No exercício 2, como a razão de semelhança é 3 para 1, devemos triplicar tais medidas de comprimento. Apresentamos essa ampliação, na qual, à esquerda, temos a figura original, e à direita, a figura ampliada na razão
Fração. 3 sobre 1..
No exercício 3, proponha aos estudantes que mostrem um contraexemplo com desenhos.
4 Com uma régua, meça a base e a altura dos retângulos a seguir e, com o auxílio de um transferidor, meça os ângulos de ambos.
a) Qual é a razão entre a medida da base do retângulo vermelho e a medida da base do retângulo verde?
b) Qual é a razão entre a medida da altura do retângulo vermelho e a medida da altura do retângulo verde?
c) Esses retângulos são semelhantes? Por quê?
Versão adaptada acessível
4. Construa um retângulo ABCD de base medindo 4 centímetros e altura medindo 2 centímetros e um retângulo EFGH de base medindo 6 centímetros e altura medindo 3 centímetros. Depois, responda:
a) Qual é a razão entre a medida da base do retângulo ABCD e a medida da base do retângulo EFGH?
b) Qual é a razão entre a medida da altura do retângulo ABCD e a medida da altura do retângulo EFGH?
c) Esses retângulos são semelhantes? Por quê?
Orientação para acessibilidade
Respostas:
As respostas dessa atividade são as mesmas da atividade não acessível.
5 Indique a figura semelhante à figura A.
6 Sabendo que os polígonos a seguir são semelhantes, calcule x.
7 Considere os triângulos semelhantes á bê cê e á linha bê linha cê linha.
Com uma régua, determine a medida do comprimento dos lados e a medida das alturas relativas a
Segmento AB e segmento A'B'.Considerando as razões, sempre do triângulo á bê cê para o triângulo á linha bê linha cê linha, responda às perguntas.
a) Qual é a razão entre as medidas de dois lados correspondentes?
b) Qual é a razão entre as medidas de duas alturas relativas a lados correspondentes?
c) Qual é a razão entre as medidas dos perímetros?
d) Qual é a razão entre as medidas das áreas?
Versão adaptada acessível
7. Considere um triângulo ABC de base medindo 4 centímetros e altura medindo 2 centímetros e um triângulo DEF de base medindo 8 centímetros e altura medindo 4 centímetros. Depois, responda:
a) Qual é a razão entre as medidas de dois lados correspondentes?
b) Qual é a razão entre as medidas de duas alturas relativas a lados correspondentes?
c) Qual é a razão entre as medidas dos perímetros?
d) Qual é a razão entre as medidas das áreas?
Orientação para acessibilidade
Respostas:
a) 2
b) 2
c) 2
d) 4
8 Marcos desenhou um triângulo retângulo em um papel quadriculado. O papel tem quadradinhos medindo 1 centímetro por 1 centímetro de lado, e Marcos usou 12 vezes a medida do lado para a medida da base e 8 vezes a medida do lado para a medida da altura.
Pedro também desenhou um triângulo retângulo com medida da base igual a 12 vezes a medida do lado do quadradinho e medida da altura igual a 8 vezes a medida do lado do quadradinho, mas em um papel quadriculado com quadradinhos medindo 0,5 centímetro por 0,5 centímetro.
Considere que os triângulos desenhados por Marcos e Pedro são semelhantes.
a) Qual é a razão de semelhança entre as medidas dos lados do triângulo de Marcos e as medidas dos lados do triângulo de Pedro?
b) Qual é a razão de semelhança entre a medida do perímetro do triângulo de Marcos e a medida do perímetro do triângulo de Pedro?
c) Qual é a razão de semelhança entre a medida da área do triângulo de Marcos e a medida da área do triângulo de Pedro?
Respostas e comentários
4. a)
Fração dois terços.4. b)
Fração dois terços.4. c) Sim, pois, além de os lados correspondentes terem medidas de comprimento proporcionais, os ângulos medem 90graus e, portanto, os ângulos correspondentes são congruentes.
5. Figura D.
6. x = 6
7. a) 1,2
7. b) 1,2
7. c) 1,2
7. d) 1,44
8. a)
Fração 2 sobre 1.8. b)
Fração 2 sobre 1.8. c)
Fração 4 sobre 1.Exercícios propostos
As resoluções do exercício 4 e dos exercícios 6 a 8 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 5.
Para o exercício 4, vale destacar que, no caso dos retângulos, se as medidas dos 4 ângulos internos não forem alteradas, a figura continuará a ser um retângulo, mesmo que o aumento ou a redução das medidas dos lados não sejam proporcionais. Nesse caso, não basta que os estudantes respondam que os dois retângulos são semelhantes por serem retângulos, pois isso garante apenas que não houve alteração nas medidas dos ângulos; é necessário que apresentem argumentos sobre as medidas dos lados.
Pergunte: “Qualquer par de retângulos são figuras semelhantes? Por quê?”. Espera-se que eles percebam que não, pois, apesar de os ângulos sempre serem retos, nem sempre dois retângulos terão lados proporcionais. Um contraexemplo que pode ser discutido é apresentado a seguir, no qual visivelmente os retângulos não são semelhantes.
Amplie o questionamento perguntando: “Dois quadrados são sempre figuras semelhantes?”.
No exercício 5, a figura semelhante à figura a é a figura D. Cada lado da figura D tem medida de comprimento igual ao dobro da medida de comprimento do lado correspondente na figura a; além disso, todos os ângulos correspondentes são congruentes.
Peça aos estudantes que justifiquem por que as demais figuras não são semelhantes à figura a. Uma possível justificativa é falar sobre o “bico”: como nas figuras B e C ele permaneceu do mesmo tamanho da figura original, as demais partes dessas figuras também não poderiam ter sido modificadas.
Nos exercícios 7 e 8, verifique se os estudantes repararam que a razão entre as medidas das áreas é o quadrado da razão entre as medidas dos lados correspondentes – razão de semelhança.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Um grupo de amigos fez uma viagem para Recife (Pernambuco).
Lá, tiraram muitas fotografias, que foram impressas no tamanho 10 centímetros por 15 centímetros.
A fotografia do monumento Tortura Nunca Mais, construído em memória das pessoas torturadas e desaparecidas durante o período da ditadura civil-militar (1964 a 1985), ficou excelente. Resolveram, então, fazer uma cópia ampliada para cada um, no tamanho 20 centímetros por 30 centímetros.
Na fotografia original, o monumento mede 7,2 centímetros de largura.
Qual é a medida, em centímetro, da largura do monumento na cópia ampliada?
PARA SABER MAIS
Construindo figuras semelhantes por homotetia
A homotetia é um exemplo de transformação geométrica que preserva a fórma da figura original, mas não necessariamente seu tamanho, que pode ser ampliado ou reduzido. dêsse modo, a figura original e a figura obtida são semelhantes. Essas figuras são chamadas de figuras homotéticas.
Acompanhe como ampliar o pentágono á bê cê dê é, na razão 1,5, por homotetia.
• Fixamos um ponto óh (centro de homotetia).
• Traçamos, a partir do ponto óh, semirretas que passam pelos vértices do pentágono á bê cê dê é.
• Fazendo ó, á linha = 1,5 ⋅ ó á, ó, bê linha = 1,5 ⋅ ó bê, e assim por diante, determinamos os vértices do pentágono ampliado á linha bê linha cê linha dê linha é linha.
O pentágono á linha bê linha cê linha dê linha é linha é semelhante ao pentágono á bê cê dê é na razão de semelhança 1,5.
Respostas e comentários
Pense mais um poucoreticências: 14,4 centímetros.
Pense mais um poucoreticências
Na atividade desta seção, os estudantes devem obter a razão da ampliação feita. Considerando que as fotografias original e ampliada lembram polígonos de lados de medidas 10 centímetros por 15 centímetros e 20 centímetros por 30 centímetros, respectivamente, vamos determinar a razão entre as medidas dos lados correspondentes.
Note que as duas fotografias têm lados correspondentes com medidas de comprimento proporcionais e que elas lembram polígonos com ângulos correspondentes congruentes, de medidas 90graus; assim, podemos concluir que são semelhantes. Portanto, a medida da largura do monumento na fotografia ampliada também é ampliada na razão de semelhança
Fração 2 sobre 1., ou seja, a largura mede 14,4 centímetros (7,2 · 2 = 14,4).
Para saber mais
Nesta seção, apresentamos a homotetia, que é um procedimento para obter figuras semelhantes.
Peça a alguns estudantes que expliquem oralmente o significado dessa palavra, pesquisando no dicionário ou na internet.
Reproduza essa construção na lousa e discuta cada etapa dela com os estudantes. Em seguida, entregue a cada um deles uma folha de papel sulfite com desenhos de polígonos (previamente preparados) para que façam as homotetias indicadas.
Percorra a sala de aula e acompanhe a resolução das atividades propostas para avaliar se os estudantes compreenderam o significado de homotetia, visto que é um conceito novo e até mesmo diferente daquilo que já conhecem, apesar de seu significado não estar distante do que estão estudando.
Peça-lhes que verifiquem, usando régua e esquadro, que os lados correspondentes são paralelos.
Observe outros exemplos de figuras homotéticas.
a) A figura original foi invertida por homotetia de centro óh e razão ‒1.
Nesse caso, as figuras são congruentes, ou seja, têm ângulos correspondentes de mesmas medidas e lados correspondentes de mesmas medidas.
Note que figuras congruentes também são semelhantes.
b) A figura original foi reduzida por homotetia de centro óh e razão
Fração. 1 sobre 2.
c) Por meio da homotetia, podemos formar uma sequência de figuras homotéticas. A figura conhecida como floco de neve de córh é criada com um padrão de triângulos equiláteros que pode ser obtido pela combinação das transformações geométricas de translação, rotação e homotetia.
Note que os triângulos que compõem o floco de neve de córh são semelhantes, ou seja, têm todos a mesma fórma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.
Essa figura, formada por repetições de um padrão, é um exemplo de fractal.
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Desenhe um triângulo retângulo isósceles. Fixe um ponto óh e, por homotetia de centro óh, construa o triângulo homotético ao que você desenhou aplicando a razão:
a) 2
b)
Fração menos 1 sobre 2.2 Utilizando algumas das figuras geométricas presentes na fotografia da abertura deste capítulo, escolha um tema e crie um desenho aplicando os conceitos de semelhança e homotetia.
Respostas e comentários
1. Construção de figuras.
2. Construção de figura.
Para saber mais
Peça aos estudantes que analisem os exemplos apresentados. Espera-se que eles percebam que, se a razão da homotetia é 1, a figura obtida é a própria figura original, ou seja, uma homotetia de razão 1 (para qualquer centro) mantém a figura original no mesmo tamanho.
Aproveite para relembrar o que são figuras congruentes. Ressalte que são um caso particular de semelhança, quando essa razão é 1.
Seguem construções para a atividade 1 do Agora é com você!.
a) Com esquadro e régua, desenhamos o triângulo retângulo isósceles á bê cê. Depois, marcamos o ponto O, distante do triângulo á bê cê. Em seguida, traçamos três semirretas de origem em óh passando pelos vértices a, B e C, respectivamente. Em cada semirreta, a partir de óh, com o auxílio do compasso, demarcamos segmentos que medem o dobro da medida do comprimento do segmento com um extremo em óh e o outro extremo em um dos vértices do triângulo dado. Assim obtemos os pontos á linha, bê linha e cê linha, respectivamente, que serão os vértices do triângulo homotético de razão 2, pois OA’ = 2 · ó á, OB’ = 2 · ó bê e OC’ = 2 · ó cê. Observe que, quando a razão é positiva e maior que 1, o triângulo homotético está na mesma posição em relação ao triângulo original, e os vértices do triângulo original pertencem aos respectivos lados do triângulo homotético.
b) O procedimento é análogo ao do item a, mas, como a razão é negativa, os vértices do triângulo original não pertencem aos lados do triângulo homotético, que estará na posição invertida em relação ao original. Assim, traçamos retas, pois os vértices do triângulo homotético estão na respectiva semirreta oposta àquela que contém cada lado do triângulo original. Sendo a razão um número entre ‒1 e 0, o triângulo homotético é uma redução do triângulo original na razão indicada. Assim: OA’ = 0,5 · ó á; OB’ = 0,5 · ó bê; OC’ = 0,5 · ó cê
Na atividade 2, espera-se que os estudantes apliquem os conceitos de semelhança estudados e o conceito de homotetia para a criação de um desenho com tema livre. Essa é uma boa oportunidade para o desenvolvimento da competência geral 4. Proponha a eles que escolham temas relacionados a seu cotidiano e suas experiências, estimulando-os a utilizar a linguagem visual para partilhar ideias e sentimentos.
3. Semelhança de triângulos
Dizemos que, para dois triângulos serem semelhantes, deve ser possível estabelecer uma correspondência entre as medidas dos lados por proporcionalidade e entre os ângulos, por congruência.
Considere os triângulos á bê cê e dê ê éfe a seguir.
Esses triângulos são semelhantes, pois:
• os ângulos correspondentes são congruentes;
• os lados correspondentes têm medidas de comprimento proporcionais.
Observações
▶ Para saber quais lados se correspondem, observamos os ângulos opostos a eles. Assim:
• o lado
Segmento AB.corresponde ao lado
Segmento DE.pois são opostos a ângulos congruentes (
Ângulo C é congruente ao ângulo F.);
• o lado
Segmento AC.corresponde ao lado
Segmento DF.pois são opostos a ângulos congruentes (
Ângulo B é congruente ao ângulo E.);
• o lado
Segmento BC.corresponde ao lado
Segmento EF.pois são opostos a ângulos congruentes (
Ângulo A é congruente ao ângulo D.).
▶ Se dois triângulos são semelhantes e a razão de semelhança é k, então:
• a razão entre duas medidas de altura correspondentes é k ;
• a razão entre duas medidas de comprimento de medianas correspondentes é k ;
• a razão entre duas medidas de comprimento de bissetrizes correspondentes é k ;
• a razão entre as medidas de seus perímetros é k ;
• a razão entre as medidas de suas áreas é k².
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
9 Indique quais são os lados correspondentes nestes triângulos semelhantes.
Respostas e comentários
9.
Segmento BC e segmento GH.3. Semelhança de triângulos
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero oito e ê éfe zero nove ême ah um dois.
O conceito de proporcionalidade continua, neste tópico, a embasar nossos próximos passos com o estudo da semelhança aplicada a triângulos e das condições para que isso ocorra. Assim, coloca-se em prática o desenvolvimento das habilidades (EF09MA08) e (EF09MA12).
Para ilustrar os resultados que serão destacados no boxe Observação, inicialmente apresente pares de polígonos semelhantes (podem ser desenhados em malha quadriculada em tamanho grande), de modo que os estudantes possam verificar esses resultados, obtendo a razão de semelhança pela proporcionalidade das medidas dos lados, a razão entre as medidas dos perímetros e a razão entre as medidas das áreas.
Exercícios propostos
O exercício 9 chama a atenção para a identificação dos lados correspondentes entre polígonos semelhantes, um dos procedimentos essenciais para a aplicação de semelhança na resolução de problemas.
Os estudantes devem compreender e assimilar que os lados correspondentes em polígonos semelhantes são aqueles que estão opostos a ângulos congruentes. Nos dois triângulos do exercício, por exemplo, para determinar os lados correspondentes, devemos observar que, como o lado
Segmento AB.é oposto ao ângulo interno
ângulo Cdo triângulo á bê cê, devemos encontrar no outro triângulo o lado oposto ao ângulo congruente a
ângulo C, que é o ângulo
ângulo H, oposto ao lado
Segmento FG.do triângulo éfe gê agá. Assim, podemos concluir que
Segmento AB.e
Segmento FG.são lados correspondentes em triângulos semelhantes.
De maneira análoga, determinamos que
Segmento AC.e
Segmento FH., assim como
Segmento BC.e
Segmento GH., também são lados correspondentes em triângulos semelhantes.
10 Considere o seguinte par de triângulos semelhantes e determine os valores de x e de y.
11 Sabendo que △á bê cê ∼ △ême êne pê, calcule a medida da mediana
Segmento MS.do △ême êne pê.
12 Sabendo que △á bê cê ∼ △ême êne pê, calcule a medida da altura
Segmento AH.do △á bê cê.
13 Construa com régua e compasso um triângulo escaleno qualquer. Depois, construa um triângulo semelhante a esse na razão de semelhança 3 e outro na razão de semelhança
Fração. Três quartos..
(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca!)
14
Os lados de um triângulo medem 12,0 centímetros, 18,0 centímetros e 20,4 centímetros. O maior lado de um triângulo semelhante ao primeiro mede 15,3 centímetros.
a) Qual é a medida do perímetro do segundo triângulo?
b) Com o auxílio de uma calculadora, determine a medida aproximada da área do segundo triângulo, sabendo que a medida da área do primeiro é de aproximadamente 107,2 centímetros quadrados.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Na figura,
Segmento BD é paralelo ao segmento CE.e
Ângulo AEB é congruente ao ângulo AFC.
Determine a medida, em centímetro, de
Segmento AF.
Teorema fundamental da semelhança
Toda reta paralela a um lado de um triângulo que cruza os outros lados em dois pontos distintos determina um triângulo semelhante ao primeiro.
Observe a figura a seguir, em que
Segmento DE.⫽
Segmento BC.
Vamos provar que os triângulos á dê é e á bê cê são semelhantes.
Para a demonstração formal de um teorema, indicaremos, como em outras vezes, a hipótese (proposição aceita como verdadeira) e a tese (proposição cuja verdade se quer provar).
Respostas e comentários
10. x = 6 e y = 9.
11. ême ésse = 7,5
12. á agá = 8
13. Construção de figuras.
14. a) 37,8 centímetros
14. b) Aproximadamente 60,3 centímetros quadrados.
Pense mais um poucoreticências: á éfe =
Abre parênteses, 12 mais 8 raiz quadrada de 2, fecha parênteses, centímetros..
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 10, 11, 12 e 14 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 5.
No exercício 13, com régua e compasso, desenhamos um triângulo escaleno qualquer (três lados de medidas diferentes) e determinamos triângulos semelhantes segundo as razões dadas. Apresentamos uma possível situação na qual utilizamos homotetia para construir os triângulos semelhantes: o triângulo á bê cê é o triângulo escaleno original, o triângulo á linha bê linha cê linha é o triângulo homotético ao triângulo á bê cê na razão 3 (é uma ampliação) e o triângulo á duas linhas, bê duas linhas, cê duas linhas é o homotético de razão
Três quartos.(é uma redução).
Pense mais um poucoreticências
A resolução da atividade está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 5.
Teorema fundamental da semelhança
Antes de desenvolver esta demonstração, avalie a conveniência de relembrar a 1ª consequência do teorema de Tales, vista no capítulo anterior: “Quando uma reta paralela a um lado de um triângulo intercepta os outros lados em dois pontos distintos, ela determina sobre esses lados segmentos proporcionais.”
A demonstração do teorema fundamental da semelhança é uma boa oportunidade para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero nove ême ah um zero). Ao apresentar essa demonstração, certifique-se de que os estudantes compreenderam as relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. É importante que os estudantes consigam identificar ângulos correspondentes, congruentes, colaterais e suplementares, por exemplo, para que compreendam as relações entre os ângulos dos triângulos semelhantes analisados.
Hipótese:
Segmento DE paralelo ao segmento BC.Tese: △ADE ∼ △ABC
• Demonstração Construção auxiliar: traçamos, por ê,
Segmento EF paralelo ao segmento AB..
Analise atentamente os passos a seguir para acompanhar a demonstração.
(por hipótese)
(pelo teorema de Tales)
(ângulo comum)
(ângulos correspondentes em retas paralelas)
(ângulos correspondentes em retas paralelas)
(pelo teorema de Tales)
(lados opostos de um paralelogramo)
(de
e
)
(de
e
)
△á dê é ∼ △á bê cê (de
,
,
e
) Note que os lados correspondentes dos dois triângulos têm medidas de comprimento proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes. Portanto, á dê é e á bê cê são triângulos semelhantes, como queríamos demonstrar.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
15 Os prolongamentos dos lados não paralelos do trapézio a bê cê dê encontram-se em um ponto ê. Determine:
a) a medida de
Segmento AE.
b) a medida de
Segmento CE.
16 Para medir a altura de um pinheiro, Elza pegou um bastão medindo 1,5 métro de altura e posicionou-o verticalmente não muito longe do pinheiro. Ela verificou que o bastão projetava uma sombra medindo 2 métros de comprimento. Então, no mesmo instante, ela mediu o comprimento da sombra projetada pelo pinheiro, igual a 16 métros. Considerando as medidas obtidas por Elza, qual é a medida da altura dessa árvore?
Respostas e comentários
15. a) A Ê = 9,6
15. b) cê é = 4,2
16. 12 métros
Exercícios propostos
Este bloco de exercícios tem o objetivo de proporcionar a aplicação do teorema fundamental da semelhança. Durante a resolução, verifique se os estudantes entenderam as condições dêsse teorema e quando ele pode ser aplicado.
A resolução do exercício 15 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 5.
No exercício 16, os estudantes devem identificar o paralelismo entre os segmentos que determinam as alturas do pinheiro e do bastão, uma vez que ambos estão perpendiculares ao solo. Assim, eles devem considerar um triângulo e um segmento paralelo a um dos lados dêsse triângulo, cujos extremos (pontos distintos) pertencem aos outros dois lados, respectivamente, hipótese segundo a qual devem concluir que o triângulo determinado pelo segmento paralelo é semelhante ao primeiro triângulo. Determinando os lados correspondentes (opostos a ângulos congruentes) e indicando a medida da altura do pinheiro por x, podemos estabelecer a seguinte proporção:
2x = 16 · 1,5
x = 8 · 1,5
x = 12
Logo, a medida da altura dessa árvore é 12 métros.
17 Determine o valor de x e de y em cada caso.
a)
Segmento MN é paralelo ao segmento BC.
b)
Segmento MN é paralelo ao segmento BC.
c)
Segmento EB é paralelo ao segmento DC.
18 Calcule x nos seguintes triângulos:
a)
b)
19 Na figura, a bê cê dê é um quadrado e cê éfe = á gê = 2,0.
Calcule cê é.
20 (unirrio-Rio de Janeiro) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em fórma de disco, que estacionou a 50 métros do solo, aproximadamente. Um helicóptero do Exército, situado a aproximadamente 30 métros acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura a seguir.
Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco voador mede, em métros, aproximadamente:
a) 3,0.
b) 3,5.
c) 4,0.
d) 4,5.
e) 5,0.
21
Hora de criar – Em dupla com um colega, criem um fluxograma para determinar se dois triângulos são semelhantes. Em seguida, desenhem em seus cadernos dois triângulos semelhantes cada um. Troquem de caderno e, seguindo o passo a passo do fluxograma criado por vocês, verifiquem se os triângulos desenhados pelo colega são, de fato, semelhantes. Destroquem de caderno para a correção.
Casos de semelhança de triângulos
Respostas e comentários
17. a) x = 10 e y = 6.
17. b) x = 8 e y = 3.
17. c) x = 18 e y = 14.
18. a) x = 2
18. b) x = 4,5
19. CE = 1,2
20. Alternativa a.
21. Resposta pessoal.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 17, 18 e 21 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 5.
No exercício 19, os estudantes devem observar que, no triângulo éfe dê gê, o segmento
Segmento CE.é paralelo ao lado
Segmento DG.. Logo, os triângulos éfe dê gê e éfe cê é são semelhantes (pelo teorema fundamental da semelhança). Em seguida, eles devem verificar que conhecem a medida dos outros segmentos da figura. Incentive-os a reproduzir a figura no caderno e a marcar nela os valores conhecidos.
Da semelhança entre os triângulos éfe dê gê e éfe cê é, obtemos a seguinte proporção:
10,0 · CE = 2 · 6,0
10,0 · CE = 12,0
CE = 1,2
No exercício 20, observe se os estudantes consideraram o que seria uma projeção plana do esquema que ilustra a situação. Dessa maneira, representando por r a medida do raio do disco voador, eles podem escrever a seguinte proporção:
r é igual a 16 vezes 30 sobre 2 vezes 80.
r = 3
Portanto, o raio do disco voador mede aproximadamente 3 metros.
Alternativa a.
Casos de semelhança de triângulos
Ao tratar dos vários casos de semelhança, devemos reconhecer as condições necessárias para tal aplicando, por vezes, relações entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por transversais e o conceito de proporcionalidade.
Caso ângulo-ângulo (á á)
Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes respectivamente congruentes, esses triângulos são semelhantes.
Hipótese:
Ângulo A é congruente ao ângulo A' e ângulo B é congruente ao ângulo B'.Tese: △ABC ∼ △A'B'C'
• Demonstração Considerando que AB > A'B', vamos marcar sobre
Segmento AB.um ponto D, tal que
Segmento AD congruente ao segmento A'B'.Por D, traçamos
Segmento DE paralelo ao segmento BC
Assim, temos:
(ângulos correspondentes em retas paralelas)
(por hipótese)
(por construção)
(pois
Ângulo B congruente ao ângulo B'.e
Ângulo D é congruente ao ângulo B.) Logo, de
,
e
sabemos que os triângulos á dê é e á linha bê linha cê linha são congruentes pelo caso ângulo-lado-ângulo (á éle á ), já que esses dois triângulos têm dois ângulos e o lado adjacente a esses ângulos respectivamente congruentes. Pelo teorema fundamental da semelhança, △á bê cê ∼ △á dê é. Se △á bê cê ∼ △á dê é e △á dê é
congruente△á'bit'centésimo', então △á bê cê ∼ △á'bit'centésimo', como queríamos provar.
Nesses triângulos, temos:
•
Ângulo A congruente ao ângulo D.(ângulos correspondentes formados por duas retas paralelas e uma transversal)
•
Ângulo C1 é congruente ao ângulo C2.(ângulos opostos pelo vértice)
Portanto, os triângulos á bê cê e Dê ê cê são semelhantes pelo caso á á.
Respostas e comentários
Caso ângulo-ângulo (á á)
Retome com os estudantes que, para saber quais são os lados proporcionais em dois triângulos semelhantes, devemos primeiro identificar os ângulos internos congruentes (ângulos correspondentes de mesma medida). Os lados correspondentes, também chamados de homólogos, serão os lados opostos ao ângulos congruentes correspondentes. No entanto, assim como foi feito no estudo da congruência de triângulos, algumas situações já nos garantem que há dois triângulos semelhantes (sem verificar os demais elementos necessários para recair na definição de semelhança entre dois triângulos). São os casos de semelhança: á á (dois ângulos correspondentes congruentes), éle á éle (dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo compreendido entre eles respectivamente congruentes) e éle éle éle (três lados correspondentes proporcionais). Dentre eles, o mais comumente utilizado é o caso á á.
Reproduza na lousa a demonstração do caso ângulo-ângulo, pedindo aos estudantes que justifiquem a congruência em cada item elencado.
Amplie a aplicação dêsse caso apresentando-lhes outros exemplos para identificarem quais são os ângulos correspondentes congruentes.
Assim, os lados correspondentes têm medidas de comprimento proporcionais:
Portanto, os valores de x e de y são, respectivamente, 6 e 5.
Caso lado-ângulo-lado (éle á éle)
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes com medidas de comprimento proporcionais, e os ângulos compreendidos por esses lados são congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
Hipótese:
AB está para A'B' assim como AC está para A'C' e o ângulo A é congruente ao ângulo A'.Tese: △ABC ∼ △A'B'C'
• Demonstração Considerando que A bê > A'B', vamos marcar sobre
Segmento AB.um ponto D, tal que
Segmento AD congruente ao segmento A'B'.Por D, traçamos
Segmento DE paralelo ao segmento BC. Pelo teorema fundamental da semelhança, △á bê cê ∼ △á dê é.
Vamos mostrar, pelo caso lado ângulo lado de congruência de triângulos, que △á dê é ≅ △á'bit'centésimo'. Já sabemos que
Segmento AD congruente ao segmento A'B'.(por construção) e que
Ângulo A congruente ao ângulo A'.(por hipótese). Resta provar que
Segmento AE congruente ao segmento A'C'.Do teorema fundamental da semelhança (△á bê cê ∼ △á dê é), podemos escrever
AB está para AD assim como AC está para AE.ou, ainda,
AB está para A'B' assim como AC está para AE., pois
Segmento AD congruente ao segmento A'B'.Comparando
AB está para A'B' assim como AC está para AE.com
AB está para A'B' assim como AC está para A'C'.(hipótese), temos:
Segmento AE congruente ao segmento A'C'.Então:
Segmento AD congruente ao segmento A'B', Ângulo A congruente ao ângulo A'.e
Segmento AE é congruente ao segmento A'C'.Logo: △á dê é
congruente△á'bit'centésimo' (pelo caso lado ângulo lado de congruência de triângulos). Se △á bê cê ∼ △á dê é e △á dê é
congruente△á'bit'centésimo', então △á bê cê ∼ △á'bit'centésimo', como queríamos provar.
Respostas e comentários
Caso lado-ângulo-lado (éle á éle)
Esse caso de semelhança deve ser diferenciado do caso de mesmo nome para triângulos congruentes. Ressalte que, enquanto os casos de congruência envolvem congruência entre os lados, nos casos de semelhança consideramos a proporcionalidade entre os lados. Se houver congruência entre os lados, haverá também proporcionalidade (de razão 1). Por isso, dois triângulos que são congruentes também são triângulos semelhantes.
Peça aos estudantes que acompanhem no livro o desenvolvimento da demonstração dêsse caso. Depois, converse com eles sobre o que entenderam.
Nesses triângulos, temos:
•
Ângulo A congruente ao ângulo A'.(dado)
•
AB está para A'B' assim como AC está para A'C'., pois
12 está para 9 assim como 20 está para 15.Portanto, os triângulos á bê cê e á'bit'centésimo' são semelhantes pelo caso lado ângulo lado.
Caso lado-lado-lado (éle éle éle)
Se dois triângulos têm os três lados correspondentes com medidas de comprimento proporcionais, então esses triângulos são semelhantes.
Hipótese:
AB está A'B' assim como AC está para A'C' assim como BC está para B'C'.Tese: △ABC ∼ △A'B'C'
• Demonstração Considerando que A bê > á'bit', vamos marcar sobre
Segmento AB.um ponto D, tal que
Segmento AD é congruente ao segmento A'B'.Por D, traçamos
Segmento DE paralelo ao segmento BC.. Pelo teorema fundamental da semelhança, temos △á dê é ∼ △á bê cê.
Vamos mostrar, pelo caso lado lado lado de congruência de triângulos, que △á dê é ≅ △á'bit'centésimo'. Como sabemos que
Segmento AD congruente ao segmento A'B'.(por construção), resta provar que
Segmento AE congruente ao segmento A'C'.e que
Segmento DE congruente ao segmento B'C'.
Do teorema fundamental da semelhança (△á bê cê ∼ △á dê é ), podemos escrever:
•
AB está para AD assim como AC está para AE.ou, ainda,
AB está para A'B' assim como AC está para AE., pois
Segmento AD é congruente ao segmento A'B'.Comparando
AB está para A'B' assim como AC está para AE.com
AB está A'B' assim como AC está para A'C'.(hipótese), temos:
Segmento AE congruente ao segmento A'C'.Respostas e comentários
Caso lado-lado-lado (éle éle éle)
Apresente esse caso de semelhança ressaltando a diferença entre o caso de congruência de mesmo nome. Reproduza na lousa a demonstração com algumas lacunas e verifique se os estudantes conseguem completá-las antes de acompanharem o desenvolvimento no livro.
Pergunte a eles por que não é citado o caso ângulo-lado-ângulo (á éle á ) de semelhança. Espera-se que eles observem que, se já houver dois ângulos correspondentes congruentes, recairemos no caso ângulo ângulo, em que apenas um lado é correspondente a outro, não havendo proporção.
•
AB está para AD assim como BC está para DE.ou, ainda,
AB está para A'B' assim como BC está para DE.pois
Segmento AD é congruente ao segmento A'B'.Comparando
AB está para A'B' assim como BC está para DE.com
AB está para A'B' assim como BC está para B'C'.(hipótese), temos:
Segmento DE é congruente ao segmento B'C'.Então,
Ângulo D congruente ao ângulo B'.,
Segmento AE é congruente ao segmento A'C'.e
Segmento DE é congruente ao segmento B'C'.. Logo: △á dê é ≅ △á'bit'centésimo' (pelo caso lado lado lado) Se △á bê cê ∼ △á dê é e △á dê é ≅ △á'bit'centésimo', então △á bê cê ∼ △á'bit'centésimo', como queríamos provar.
Nesses triângulos, os lados correspondentes têm medidas de comprimento proporcionais.
, pois
15 está para 6 assim como 10 está para 4 assim como 20 está para 8Portanto, os triângulos á bê cê e á linha bê linha cê linha são semelhantes pelo caso lado lado lado.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
22 Prove que o △á bê é e o △cê bê dê são semelhantes, sabendo que
Segmento AE.⫽
Segmento CD.Para facilitar a visualização, refaça o desenho marcando os ângulos congruentes ou mudando a posição de um dos triângulos.
23 Calcule x e y em cada caso.
a)
b)
c)
Respostas e comentários
22.
Ângulo B1 congruente ao ângulo B2.(ângulos opostos pelo vértice)
(ângulos alternos internos)
23. a) x = 2 e y = 4.
23. b) x = 21 e y = 24.
23. c) x = 3,6 e y = 6,4.
Exercícios propostos
Se julgar necessário, retome as relações entre ângulos já estudadas, que apareceram nos problemas envolvendo a aplicação dos casos de semelhança de triângulos, como é o caso de ângulos opostos pelo vértice e das relações entre os ângulos formados por duas paralelas e uma transversal.
Comente com os estudantes quão importantes são nesses problemas a análise da figura e a identificação da congruência entre os ângulos e da proporcionalidade entre os lados com suas respectivas justificativas embasadas nos conceitos, nas propriedades e nos teoremas já estudados.
Segue uma possível resolução para o exercício 22.
Os ângulos internos com vértice em B são opostos pelo vértice; logo, são congruentes.
Os ângulos internos com vértices em a e C são ângulos alternos internos formados por paralelas cortadas por transversal; logo, são congruentes.
Portanto, pelo caso á á, os triângulos á bê é e cê bê dê são semelhantes.
A resolução do exercício 23 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 5.
24 Identifique os triângulos semelhantes e calcule o valor de x.
a)
b)
c)
d)
25 Mostre que os triângulos indicados são semelhantes e calcule o valor de x.
a) △á bê cê e △á dê bê
b) △á dê bê e △cê dê á
26 Verifique quais triângulos são semelhantes, sabendo que
Segmento AE paralelo ao segmento BD, segmento CE paralelo ao segmento BFe que F é o ponto médio de
Segmento AE.. Entre os pares de triângulos semelhantes, quais são triângulos congruentes?
27
Hora de criar – Em duplas, com o auxílio de régua e transferidor, construam dois triângulos semelhantes cada um, utilizando um dos três casos de semelhança de triângulos. Troquem de caderno e verifiquem a semelhança entre os triângulos construídos pelo colega aplicando um caso de semelhança diferente do utilizado para a construção das figuras. Destroquem de caderno para a correção.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Observe os dois quadrados da figura e determine a medida do perímetro e a medida da área do quadrado maior.
Respostas e comentários
24. a) x = 12
24. b) x = 7
24. c) x = 3,5
24. d) x = 4,5
25. a) Demonstração; x = 7.
25. b) Demonstração; x = 4.
26. △á cê ê ∼ △á bê éfe
△á cê ê ∼ △bê cê dê
△bê cê dê ∼ △á bê éfe
△bê cê dê ≅ △á bê éfe
27. Resposta pessoal.
Pense mais um poucoreticências: A medida do perímetro é 80 centímetros e a medida da área é 400 centímetros quadrados.
Exercícios propostos
Nesse bloco de exercícios, peça a alguns estudantes que resolvam na lousa exercícios diferentes, mostrando a análise da figura, a identificação dos elementos e as justificativas. Essa proposta possibilita ampliar o repertório de estratégias de resolução dos estudantes.
As resoluções dos exercícios 24 a 27 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 5.
Pense mais um poucoreticências
Apresentamos uma possível resolução da atividade proposta.
Analisando os dados, podemos desenhar a seguinte figura:
De acordo com as condições do problema, aplicamos o teorema fundamental da semelhança e, assim, concluímos que os triângulos á bê cê e á é dê são semelhantes. Obtemos, então:
18x = 360
x = 20
Assim, para a medida do perímetro, obtemos:
4 · 20 centímetros = 80 centímetros
Para a medida da área, obtemos:
20 centímetros · 20 centímetros = 400 centímetros quadrados
PARA SABER MAIS
Construindo um pantógrafo
Pantógrafo é um aparelho usado para ampliar ou reduzir figuras em determinada razão. Esse aparelho foi desenvolvido no século dezessete e vem sendo utilizado por artistas para auxiliar na cópia de desenhos em escala ampliada ou reduzida.
Para construí-lo, você vai precisar de:
• 4 ripas de madeira pequenas com as mesmas medidas de comprimento, perfuradas nas extremidades e no centro (peça ajuda a um adulto para evitar acidentes ao perfurar as ripas);
• 2 lápis;
• 3 parafusos com porcas, com medidas de diâmetro compatíveis com os furos nas ripas de madeira.
Com os materiais indicados, vamos montar o pantógrafo, conectando as ripas de madeira com os parafusos e as porcas de modo que as junções fiquem móveis; assim, as partes do pantógrafo podem se movimentar umas em relação às outras. Observe o esquema a seguir.
Para utilizar o pantógrafo, fixamos um ponto óh sobre uma superfície plana, como uma mesa, e colocamos cada um dos lápis nos pontos a e B indicados no esquema. Quando movemos o lápis em a, contornando a imagem original que queremos ampliar, o lápis em B também se move, desenhando uma nova imagem semelhante à original, mas ampliada. Para reduzir uma imagem, devemos colocá-la sob o lápis no ponto B. Assim, quando movemos o lápis contornando a imagem original em B, o lápis em a também se move, desenhando uma nova imagem semelhante à original, mas agora reduzida.
Respostas e comentários
Para saber mais
Nesta seção, é necessário providenciar com antecedência o material para que os estudantes realizem em conjunto a construção do pantógrafo e o utilizem.
Se não for possível obter material para a construção de um pantógrafo por estudante, é possível formar duplas para usarem o mesmo instrumento. Acompanhe a atividade para garantir que todos tenham oportunidade de manipulá-lo.
Para ampliar a atividade com o pantógrafo, sugira aos estudantes que pesquisem quais profissionais fazem uso dêsse instrumento em seu trabalho.
Observe na figura a seguir que os triângulos ó pê á e ó quê bê são semelhantes e a razão de semelhança é
OQ está para OP assim como 2 está para 1.. Assim, quando você traçar com o lápis em a um segmento
Segmento AA'.o lápis em B traçará um segmento
Segmento BB'.com o dobro da medida de comprimento. É assim que uma imagem qualquer é ampliada com um pantógrafo.
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 O pantógrafo também pode ser utilizado para a ampliação de mapas. Use o pantógrafo que você construiu para ampliar o contorno do mapa do Brasil, de acordo com a razão de semelhança k = 2. Não se esqueça de dar título ao mapa, de inserir legenda e rosa dos ventos (para indicar a orientação geográfica) e de corrigir a escala cartográfica de acordo com a ampliação.
Fuso horário civil (2018)
2 Se a razão de semelhança fosse
K é igual a um meio., como seria o novo mapa desenhado? Desenhe o contorno dêsse novo mapa utilizando seu pantógrafo.
Observação
▶ Perfurando as ripas em várias posições, você poderá montar e desmontar o pantógrafo, obtendo outras razões de semelhança.
Por exemplo, se as ripas forem perfuradas em três partes iguais, você poderá triplicar as medidas lineares de uma figura ou reduzi-las a um terço.
Respostas e comentários
1. Construção de figuras.
2. O novo mapa seria reduzido. Construção de figura.
Agora é com você!
As resoluções das atividades 1 e 2 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 5.
Sugerimos que as atividades sejam feitas em duplas, para facilitar o manuseio do pantógrafo e para que os estudantes, ao trocarem ideias sobre ampliação e redução de figuras semelhantes, aprimorem e enriqueçam o conjunto de conhecimentos e estratégias.
Sugerimos também que, inicialmente, as duplas ampliem e reduzam figuras mais simples, como triângulos e quadriláteros.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Um gráfico chamado pirâmide etária
Os gráficos são muito comuns em Matemática e em Física. No entanto, outras ciências, como a Geografia, também fazem uso dêsse importante instrumento de análise de informações. Particularmente, o gráfico conhecido como pirâmide etária é frequente no estudo da distribuição da população de acordo com a idade e o sexo.
Observe a tabela a seguir com dados do Censo realizado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (í bê gê É) em 2010.
|
Grupo etário* |
Homens (em porcentagem) |
Mulheres (em porcentagem) |
|---|---|---|
|
0 – 4 |
5,0 |
4,8 |
|
5 – 9 |
5,3 |
5,1 |
|
10 – 14 |
5,6 |
5,4 |
|
15 – 19 |
5,2 |
5,1 |
|
20 – 24 |
4,9 |
4,9 |
|
25 – 29 |
4,6 |
4,7 |
|
30 – 34 |
4,1 |
4,1 |
|
35 – 39 |
3,4 |
3,4 |
|
40 – 44 |
3,0 |
2,8 |
|
45 – 49 |
2,4 |
2,3 |
|
50 – 54 |
2,0 |
1,9 |
|
55 – 59 |
1,5 |
1,5 |
|
60 – 64 |
1,1 |
1,1 |
|
65 – 69 |
0,9 |
0,8 |
|
70 – 74 |
0,6 |
0,6 |
|
75 – 79 |
0,4 |
0,4 |
|
80 – 84 |
0,2 |
0,3 |
|
85 – 89 |
0,1 |
0,1 |
|
90 – 94 |
0,0 |
0,1 |
|
95 – 99 |
0,0 |
0,0 |
|
100 anos ou mais |
0,0 |
0,0 |
Dados obtidos em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Censo 2010. Disponível em: https://oeds.link/K1z03e. Acesso em: 5 abril 2022.
*Intervalo de idade, em anos, no qual o indivíduo se enquadra no momento da pesquisa.
Os geógrafos costumam representar essas informações em uma pirâmide etária como esta.
Por meio dêsse gráfico, fica fácil saber que a maioria da população pesquisada (60,6%) é constituída por crianças, adolescentes e jovens de até 29 anos. Com base nesse gráfico, também é possível traçar um perfil da população, por sexo e por grupo etário, o que contribui na elaboração de projetos que atendam às suas necessidades, visto que esses dados indicam aos governos quanto e em que setores – educação, esporte e lazer, saúde etcétera – se deve investir.
Respostas e comentários
Trabalhando a informação
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero cinco e ê éfe zero nove ême ah dois dois.
Esta seção, ao apresentar os resultados de uma pesquisa que envolve tema de realidade social e identificar o gráfico conhecido como pirâmide etária como o mais adequado para representar os dados dessa pesquisa, favorece o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero nove ême ah dois dois).
O tema apresentado pode ser aprofundado com base em uma pesquisa sobre a pirâmide etária em outras regiões do Brasil, em um trabalho interdisciplinar com Geografia. Proponha que, em grupos, os estudantes comparem e discutam as informações obtidas.
O contexto e as atividades propostos nesta seção também favorecem o trabalho com a habilidade (ê éfe zero nove ême ah zero cinco), pois os estudantes devem compreender o uso de porcentagem como taxa percentual para interpretar os dados apresentados. Além disso, podem-se fazer perguntas a eles que articulem outros aspectos dessa habilidade, como:
• Se, em 2010, a população do Brasil era cêrca de 196 milhões, quantas pessoas eram do sexo feminino e tinham de 0 a 4 anos?
Para responder a esse tipo de pergunta, os estudantes devem adicionar os percentuais relativos às pessoas do sexo feminino (todos os das colunas “Mulheres (em porcentagem)”, obtendo que são cêrca de 49,4% e aplicar essa taxa percentual ao total de 196 milhões de pessoas para aplicar, então, o percentual relativo ao grupo etário em questão; assim obtemos 4,65 milhões de pessoas, pois:
196 · 0,494 · 0,048 ≃ 4,65
Explique aos estudantes que ao adicionar o percentual de pessoas do sexo feminino e o de pessoas do sexo masculino, obtêm-se 99,7%, não 100%, e que isso acontece devido às aproximações consideradas para os percentuais de cada grupo etário.
Incentive-os a elaborar e resolver outros problemas que articulem o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero nove ême ah zero cinco) utilizando o contexto proposto nesta seção.
Agora quem trabalha é você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Observe a pirâmide etária relativa à projeção da população do Brasil para 2060.
a) A maior parte dessa população também é constituída por crianças, adolescentes e jovens?
b) Em relação aos dias de hoje, os futuros governos do Brasil deverão destinar à terceira idade uma parte maior ou menor de seu orçamento? Por quê?
c) Pesquise previdência social e previdência privada. A mudança prevista no perfil da população brasileira afetará a atual situação previdenciária brasileira? Por quê?
2 Agora, observe a pirâmide etária relativa à população da região Sul do Brasil em 2010.
Que diferenças você observa nessa pirâmide em relação à da região Norte?
Respostas e comentários
1. a) Não.
1. b) Maior, pois a população terá envelhecido; cêrca de 64% da população acima de 60 anos em 2060, de acordo com a projeção.
1. c) Sim. Resposta possível: a aposentadoria, a pensão e a assistência médica e hospitalar aos idosos serão mais onerosas e terão menos contribuintes para lhes dar suporte.
2. Resposta pessoal.
Agora quem trabalha é você!
Para ampliar as questões propostas, sugira outras comparações de pirâmides etárias, por meio do exemplo a seguir.
Peça aos estudantes que identifiquem a faixa etária em que estarão no ano 2060 e qual será a porcentagem prevista da população referente a essa faixa etária.
Para a resolução dos itens b e c da atividade 1, favorecendo o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal processo de envelhecimento, respeito e valorização do idoso, pode ser interessante comentar com os estudantes a estrutura etária em países desenvolvidos, onde a maior parte da população é constituída por adultos e o número de idosos é expressivo. Nesses países, a expectativa de vida comumente é alta (cêrca de 85 anos para os homens e 90 anos para as mulheres), fato que influencia na distribuição de recursos pelo Estado e leva a reformas no sistema previdenciário, porque uma parte maior dos recursos econômicos do país deve ser destinada à aposentadoria e aos serviços de saúde para garantir a qualidade de vida da população idosa.
Sugestões de leitura
Para enriquecer o trabalho, sugerimos:
PROJEÇÕES indicam aceleração do envelhecimento dos brasileiros até 2100. Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada, outubro 2021. Disponível em: https://oeds.link/I6rsnv. Acesso em: 23 julho 2022.
O artigo analisa projeções populacionais para o Brasil com base em três cenários, evidenciando o processo de envelhecimento populacional e indicando que a mudança da estrutura etária do país é inevitável.
MIRANDA, G. M. D.; MENDES, A. C. G.; SILVA, A. A. O envelhecimento populacional brasileiro: desafios e consequências sociais atuais e futuras. Revista Brasileira de Geriatria e Gerontologia, número 19, maio/junho 2016. Disponível em: https://oeds.link/BLjpwH. Acesso em: 23 julho 2022.
Nesse artigo, discutem-se os desafios atuais e futuros do envelhecimento populacional brasileiro com relação ao planejamento de políticas públicas.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Classifique cada sentença a seguir em verdadeira ou falsa e justifique as falsas.
a) Todos os triângulos congruentes são semelhantes.
b) Todos os triângulos semelhantes são congruentes.
c) Dois triângulos isósceles que têm os ângulos do vértice congruentes são semelhantes.
2 (Covest-Pernambuco) A figura a seguir representa um rio cujas margens são retas paralelas.
Qual é o inteiro mais próximo da largura do rio, medida em metro?
3 (enêm) A sombra de uma pessoa que mede 1,80 métro de altura mede 60 centímetros. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 métros. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuir 50 centímetros, a sombra da pessoa passará a medir:
a) 30 centímetros.
b) 45 centímetros.
c) 50 centímetros.
d) 80 centímetros.
e) 90 centímetros.
4 Os lados
Segmentos AB e ACde um triângulo medem, respectivamente, 35 centímetros e 42 centímetros. No lado
Segmento AB.distante 10 centímetros de a, marca-se um ponto D. Por D, traça-se uma paralela a
Segmento BC.que encontra
Segmento AC.no ponto ê.
a) Construa uma figura que represente a situação.
b) Determine as medidas de
Segmento AE e EC.5 O esquema a seguir representa a relação entre quatro estradas.
Determine a medida do comprimento da estrada JB 12.
6 Os lados de um triângulo medem 15 centímetros, 20 centímetros e 25 centímetros. Calcule as medidas aproximadas dos lados de um triângulo semelhante a ele que tenha perímetro medindo aproximadamente 45 centímetros.
7 Observe no esquema a seguir o procedimento usado por Marcelo para determinar a medida da distância entre as árvores a e B próximas do lago.
Sabendo que a medida do comprimento do passo de Marcelo é de 75 centímetros, determine a medida da distância entre essas árvores, em metro.
8 As medidas dos perímetros de dois triângulos semelhantes são 48 centímetros e 60 centímetros. As medidas das áreas deles são, respectivamente, 96 centímetros quadrados e 150 centímetros quadrados. O maior lado do triângulo maior mede 25 centímetros. Determine a medida do maior lado do triângulo menor.
9 Uma pessoa sobe uma rampa que mede 4,0 métros de altura na parte mais alta. Após caminhar 12,3 métros sobre a rampa, ela nota que está a 1,5 métro de altura em relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
10 Na figura, o raio da circunferência menor mede 6 centímetros e o da maior mede 10 centímetros. Se XC1 = 30 centímetros e
Segmento YC1 paralelo ao segmento ZC2, determine a medida do comprimento do segmento
Segmento C1C2
Respostas e comentários
1. a) Verdadeira.
1. b) Falsa. Resposta possível: dois triângulos semelhantes com razão de semelhança diferente de 1 não são congruentes.
1. c) Verdadeira.
2. 26
3. Alternativa b.
4. a) Construção de figura.
4. b) A Ê = 12 centímetros e ê cê = 30 centímetros.
5. 2,5 quilômetros
6. Aproximadamente: 11 centímetros, 15 centímetros e 19 centímetros.
7. 54 métros
8. 20 centímetros
9. 20,5 métros
10. C1C2 = 20 centímetros
Exercícios complementares
Neste bloco de exercícios, os estudantes têm a oportunidade de retomar os principais conceitos tratados no capítulo e verificar possíveis dificuldades que ainda tenham. As atividades podem ser desenvolvidas em duplas, o que amplia e enriquece o repertório de estratégias deles e consolida os conhecimentos construídos. Proponha aos estudantes que refaçam atividades anteriores sobre os assuntos em que ainda tenham dificuldade.
As resoluções dos exercícios 1 a 3 e dos exercícios 5 a 10 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 5.
No item a do exercício 4, como foram dados apenas dois lados do triângulo ABC e não foram mencionados os ângulos internos, existem infinitos triângulos que satisfazem as exigências do enunciado. Vamos construir dois triângulos que podem ilustrar a situação.
No item b, analisando o triângulo á bê cê e o triângulo á dê é, verificamos que eles são semelhantes pelo caso á á, pois
ângulo A, de medida α, é ângulo comum, e os ângulos
ângulo Ee
ângulo Csão ângulos correspondentes em retas paralelas, ou seja, são congruentes (de medida β). Assim, os lados correspondentes desses dois triângulos têm medidas proporcionais:
•
AB está para Ad assim como AC está para AE.35 está para 10 assim como 42 está para AE.
AE = 12
• AC = AE + EC 42 = 12 + EC EC = 30
Portanto,
AE.mede 12 centímetros e
EC.mede 30 centímetros.
Note que nesses cálculos não foi usada a medida do lado
BC.. Portanto, eles são válidos qualquer que seja a medida do lado
BC..
VERIFICANDO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Um arquiteto desenhou um pequeno esboço de um ambiente a ser decorado e, em seguida, reproduziu o desenho ampliando-o na razão 1:5 para inserir mais detalhes. A figura a seguir mostra o primeiro esboço feito pelo arquiteto.
Com base nesse esboço, qual é a medida do perímetro do ambiente a ser decorado no desenho ampliado?
a) 26 centímetros
b) 105 centímetros
c) 52 centímetros
d) 130 centímetros
2 Para que os polígonos a seguir sejam semelhantes, os valores de x e de y devem ser, respectivamente:
a) 6 e
Três meios..
b)
27 meios.e
Três meios..
c) 6 e
Dois terços..
d) 3 e 2.
3 Para que os triângulos a seguir sejam semelhantes, os valores de a e b devem ser iguais, respectivamente, a:
a) 15 e 25.
b) 9 e 15.
c) 12 e 20.
d) 9 e 25.
4 Os triângulos a seguir são semelhantes?
a) Sim, pois
Oito quintos igual a doze décimos..
b) Sim, pois
Oito quintos diferente de dez doze avos..
c) Não, pois
Oito quintos diferente de doze décimos..
d) Não, pois
Oito quintos diferente de dez doze avos..
5 O quadrilátero a seguir foi obtido ao traçar um segmento de reta cortando dois lados de um triângulo e paralelo ao terceiro lado. Qual é a medida aproximada de x?
a) 4,9 centímetros
b) 5,1 centímetros
c) 6,1 centímetros
d) 7,3 centímetros
6 O triângulo á bê cê é obtusângulo, A bê = x centímetro e os ângulos internos com vértices em a e em B são congruentes. Considerando um triângulo dê ê éfe tal que dê éfe = 3x centímetros, cujos ângulos com vértice em D e em F são congruentes entre si e, ainda, congruentes aos dois ângulos agudos do triângulo á bê cê, então, os triângulos á bê cê e dê ê éfe são:
a) congruentes (pelo caso ângulo-lado-ângulo).
b) congruentes (pelo caso lado-ângulo-ângulo opostoo).
c) semelhantes (pelo caso lado ângulo lado).
d) semelhantes (pelo caso ângulo ângulo).
7 Para que dois triângulos sejam semelhantes pelo caso lado lado lado, é preciso que eles tenham:
a) lados correspondentes congruentes.
b) lados correspondentes com medidas de comprimento proporcionais.
c) ângulos correspondentes com medidas proporcionais.
d) ângulos correspondentes congruentes.
Organizando
Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões.
a) Quais são as condições para que dois polígonos sejam considerados semelhantes?
b) Descreva cada um dos casos de semelhança de triângulos que você estudou.
Respostas e comentários
1. Alternativa d.
2. Alternativa a.
3. Alternativa a.
4. Alternativa c.
5. Alternativa b.
6. Alternativa d.
7. Alternativa b.
Organizando: a) As medidas dos lados correspondentes devem ser proporcionais, e os ângulos correspondentes devem ser congruentes.
b) Caso ângulo ângulo: triângulos semelhantes se dois de seus ângulos correspondentes são congruentes; caso lado ângulo lado: triângulos semelhantes se dois lados correspondentes têm medidas de comprimento proporcionais e se os ângulos entre eles são congruentes; caso lado lado lado: triângulos semelhantes se três lados correspondentes têm medidas de comprimento proporcionais.
Verificando
Nesta seção são propostos testes que abordam os conteúdos apresentados ao longo deste capítulo, sendo uma oportunidade para os estudantes validarem o entendimento do conteúdo estudado.
Caso os estudantes apresentem dúvidas em relação a algum dos testes propostos, oriente-os a rever os conceitos apresentados no capítulo; assim eles também desenvolverão a autonomia no estudo.
As resoluções dos testes 1 a 7 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 5.
Organizando
No item a, em tese, espera-se que os estudantes respondam apresentando as condições genéricas para que dois polígonos sejam semelhantes: medidas dos lados correspondentes proporcionais; ângulos correspondentes congruentes.
No item b, verifique se os estudantes conseguem descrever os casos de semelhança apresentando um exemplo de triângulos semelhantes para cada caso (ângulo ângulo, lado ângulo lado, lado lado lado). Lembre-se de verificar se as medidas dos lados de cada triângulo satisfazem as condições de existência do triângulo: medida do lado maior é menor do que a soma das medidas dos outros lados; medida do lado menor é maior do que a diferença das medidas dos outros lados.
Gire o seu dispositivo para a posição vertical
DIVERSIFICANDO
Câmara escura de orifício
A câmara escura de orifício, precursora das câmeras fotográficas modernas, é um dispositivo óptico muito simples, pois fórma imagens apenas com a focalização dos raios de luz ao atravessarem um pequeno orifício. Ela pode ser feita com uma caixa ou uma lata qualquer, desde que suas paredes internas sejam opacas e escuras. De um lado, deve ter um pequeno orifício e, na parte oposta, uma folha de papel branca.
(Representação esquemática. As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)
Quando apontamos o orifício da câmara escura para um objeto iluminado, observamos a projeção da imagem invertida dêsse objeto sobre o papel. Isso ocorre em virtude de uma importante propriedade da luz, que é a de se propagar em linha reta. Observe o esquema a seguir.
Nesse esquema, h é a medida da altura do objeto, h' é a medida da altura da imagem projetada e da caixa também, p é a medida da distância do objeto até o orifício e q é a medida da distância da imagem até o orifício. Os triângulos ó á bê e OA'bit' são semelhantes, pois os ângulos correspondentes são congruentes:
Ângulo AOB congruente ao ângulo A'OB'. Ângulo ABO congruente ao ângulo A'B'O.e
Ângulo BAO congruente ao ângulo B'A'O.Portanto, por semelhança, h ⋅ q = p ⋅ h'.
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Originalmente desenvolvida como um instrumento científico e muito utilizada na Antiguidade para observações astronômicas, a câmara escura se tornou popular entre os artistas do século dezesseis como um instrumento para auxiliar na criação de pinturas e facilitar o desenho em perspectiva. Explique como a câmera escura poderia auxiliar um artista na criação de uma pintura.
2 Felipe usou uma caixa de formato cúbico, com aresta medindo 20 centímetros de comprimento, para fazer uma câmara escura e retratar um quadro pendurado na parede de sua casa. Qual é a medida mínima da distância que esse quadro, de 50 centímetros por 50 centímetros, deve ficar do orifício da câmara para aparecer por inteiro no papel?
Respostas e comentários
1. Resposta esperada: com a câmara escura um artista pode projetar cenas reais e a imagem de qualquer objeto diretamente no papel ou em telas e simplesmente desenhar por cima da imagem projetada, o que torna muito mais fácil a criação de desenhos em perspectiva.
2. A medida da distância do quadro até o orifício deve ser de, no mínimo, 50 centímetros.
Diversificando
Esta seção explora a construção de uma câmara escura de orifício e a imagem projetada por meio dela.
As atividades propostas no Agora é com você! podem ser feitas com os estudantes organizados em duplas.
Solicite a eles que, em duplas, construam com uma caixa de papelão uma câmara escura de orifício e que desenhem na folha de papel vegetal a reprodução da imagem de um objeto à sua escolha.
A resolução da atividade 2 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 5.