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CAPÍTULO 10 Estudo das funções

Fotografia. Seis momentos de um motociclista em um salto acrobático em trajetória de arco no ar. À frente, um rio. Ao fundo, construção com topo arredondado e hastes verticais ligadas por cabos. — O atleta Travis Pastrana realiza um salto acrobático com a motocicleta, em Londres, Inglaterra. (Fotografia de 2017.)

Observe a fotografia e responda às questões no caderno.

a) Você conhece algum esporte em que os atletas fazem giros no ar?

b) Represente, em uma folha quadriculada, a trajetória do giro com a motocicleta realizada por Travis Pastrana desde o momento em que começa a subir na rampa para saltar até o momento em que chega à outra rampa.

c) Uma atividade como essa, em que o corpo é projetado no espaço com ou sem motocicleta, pode ser realizada pelas pessoas sem conhecimento das técnicas próprias, sem preparo com instrutores, sem treinamento evolutivo e sem os elementos necessários para a sua segurança?

Travis Pastrana é um atleta que compete em várias modalidades, como Supercross, Motocross, Freestyle e corridas de rally. Na fotografia, está registrada uma sequência de momentos em que ele realiza uma de suas acrobacias em um movimento que pode ser associado ao lançamento oblíquo.

Nesse tipo de lançamento, desprezada a resistência do ar, sob a ação de seu peso, um corpo fica sujeito à aceleração da gravidade, e sua trajetória em relação à Terra é uma parábola.

O estudo dêsse fenômeno envolve dois movimentos:

• horizontal, descrito por uma função polinomial do 1º grau;

• vertical, descrito por uma função polinomial do 2º grau.

Respostas e comentários

a) Respostas possíveis: ginástica acrobática, ginástica artística (argolas, barra fixa, barras paralelas, cavalo com alças, solo, trave), esqui, bicicleta, skate.

b) Construção de imagem.

c) Não, todos esses requisitos são indispensáveis.

Capítulo 10 – Estudo das funções

Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática (Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.

Neste capítulo, situações contextualizadas subsidiam as abordagens dos conceitos de função, de função polinomial do 1º grau e de função polinomial do 2º grau. Enfatize o papel das variáveis e de suas interdependências nesse tipo de relação.

O contexto da abertura do capítulo possibilita trabalhar as culturas juvenis. Para explorar os itens a e b, incentive os estudantes a comentar situações em esportes ou games em que são realizados saltos e manobras como os da fotografia. Se possível, eles podem apresentar alguns vídeos desses movimentos a fim de verificar a trajetória e compará-la com a do motociclista e, depois, representá-la por meio de pontos no plano cartesiano. Nesse momento, não é necessário que os estudantes representem pontos de uma função polinomial do 2º grau, mas é importante que observem e representem características como o ponto de máximo e a simetria em relação a um eixo vertical, ainda que de maneira intuitiva. No item c, converse com eles sobre a importância de realizar manobras com treinamento adequado e equipamentos de segurança.

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1. Conceito de função

Acompanhe as situações a seguir.

Situação 1

Uma empresa de tê vê a cabo cobra de seus assinantes uma mensalidade de R$ 195,00cento e noventa e cinco reais e mais R$ 9,00nove reais por programa extra comprado. dêsse modo, o valor a ser pago (preço) no final de cada mês depende do número de programas extras adquiridos pelo assinante.

Vamos organizar um quadro que mostra a relação entre o número de programas extras comprados e o total a ser pago.

Fotografia. Um homem branco, uma menina negra e uma mulher negra sentados no sofá à esquerda. Ao fundo, móvel com televisão sobre ele. Uma jovem negra sentada sobre um tapete no chão está com controle remoto apontado para a televisão.

Número de programas extras	Preço (em real)
0	195 + 0 ⋅ 9
1	195 + 1 ⋅ 9
2	195 + 2 ⋅ 9
3	195 + 3 ⋅ 9
4	195 + 4 ⋅ 9

Indicando por x o número de programas extras comprados e por y o preço a pagar, podemos relacionar essas duas grandezas por meio da sentença:

y = 195 + x · 9 ou y = 195 + 9x

Note que, a cada valor atribuído para x, obtemos um único valor para y; por exemplo:

• para x = 0, obtemos:

y = 195 + 9 · 0 = 195 + 0 = 195

Isso significa que, quando não se compra programa extra, o preço é R$ 195,00cento e noventa e cinco reais.

• para x = 1, obtemos:

y = 195 + 9 · 1 = 195 + 9 = 204

Ou seja, com a compra de 1 programa extra, o preço é R$ 204,00duzentos e quatro reais.

• para x = 2, obtemos:

y = 195 + 9 · 2 = 195 + 18 = 213

Ou seja, com a compra de 2 programas extras, o preço é R$ 213,00duzentos e treze reais.

Nesse caso, podemos dizer que o preço a pagar ( y) é obtido em função do número de programas extras comprados (x).

Dizemos que a grandeza y é função da grandeza x se há entre elas uma correspondência tal que, para cada valor de x, exista um único valor de y.

Respostas e comentários

1. Conceito de função

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero seis.

Neste tópico, exploram-se a ideia de função e gráficos de uma função abordando a habilidade (ê éfe zero nove ême ah zero seis). Na situação 1, o contexto é bastante simples para realçar as variáveis e a relação de dependência entre elas, com poucos valores (números naturais) possíveis de ser atribuídos à variável independente.

Os cálculos numéricos, feitos um a um e organizados em um quadro, induzem à descoberta das operações envolvidas na relação entre as variáveis, possibilitando a generalização delas para a elaboração da lei de formação da função.

Questione os estudantes sobre a impossibilidade de comprar 3,5 programas e reforce que essa é uma grandeza discreta (não contínua).

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Na função que relaciona o número de programas extras comprados (x) e o preço a pagar (y), escrevemos a sentença y = 195 + 9x. Nesse caso, x e y são chamadas de variáveis, e a sentença y = 195 + 9x é chamada de lei da função.

Em geral, dizemos que y é uma função de x por y = f (x) (lemos: “y é igual a f de x ”). Então, para o caso em que a lei da função é y = 195 + 9x, podemos escrever f (x) = 195 + 9x.

Situação 2

Paulo é vendedor de assinaturas de revistas, e seu salário varia conforme o número de assinaturas que ele vende no mês. Ele recebe um valor fixo de R$ 1.800,00mil oitocentos reais, e uma comissão de R$ 40,00quarenta reais para cada assinatura vendida. Considere a relação entre o número de assinaturas vendidas e o salário de Paulo indicada no quadro.

Ilustração. Homem branco, de cabelo castanho, camisa azul, gravata, colete vermelho e calça. Ele está em pé segurando revistas e sorri. Ao fundo, mais revistas expostas.

Número de assinaturas vendidas	Salário de Paulo (em real)
0	1.800 + 0 ⋅ 40 = 1.800
1	1.800 + 1 ⋅ 40 = 1.840
2	1.800 + 2 ⋅ 40 = 1.880
3	1.800 + 3 ⋅ 40 = 1.920
4	1.800 + 4 ⋅ 40 = 1.960
5	1.800 + 5 ⋅ 40 = 2.000

Nesse caso, podemos escrever a função:

f (décima) = .1800 + x · 40 ou f (décima) = .1800 + 40x

Observe que f abre parênteses décimafecha parênteses representa o salário de Paulo, e x, o número de assinaturas vendidas por ele.

Com essas informações, podemos responder, por exemplo, às questões a seguir.

Ilustração. Homem branco, de cabelo castanho, camisa azul, gravata, colete vermelho e calça com um revista na mão. Ele está de frente para uma mulher branca, de cabelo castanho, camiseta escura e calça. Eles conversam.

a) Se Paulo vender 59 assinaturas em um mês, qual será seu salário? Nesse caso, substituímos x por 59 na lei da função f (décima) = .1800,00 + 40x ; desta maneira:

f (59) = .1800 + 40 · 59

f (59) = .1800 + .2360

f (59) = .4160

Logo, se vender 59 assinaturas, Paulo receberá R$ 4.160,00quatro mil cento e sessenta reais de salário.

Observe que f (59) corresponde ao salário de Paulo quando x for igual a 59.

•

Analisando os valores de f abre parênteses décimafecha parênteses, apresentados no quadro, é correto afirmar que f (60) < f (61)? E é verdade que, se x < y, fabre parênteses décimafecha parênteses < f abre parênteses yfecha parênteses?

Respostas e comentários

Espera-se que os estudantes percebam intuitivamente que fabre parênteses décimafecha parênteses é crescente, pois, se x aumenta, éfe de xis aumenta também; assim, para quaisquer x e y, tais que x < y, temos que fabre parênteses décimafecha parênteses < fabre parênteses yfecha parênteses.

Conceito de função

No contexto da situação 2, a variável independente também pode assumir apenas números naturais. Com alguns valores atribuídos a ela, os cálculos numéricos organizados em um quadro induzem facilmente à lei de formação da função que representa essa situação.

Avançamos um pouco na abordagem e levantamos um questionamento atribuindo à variável independente um valor, ainda compatível com o contexto, bem maior do que os valores do quadro.

Questione os estudantes sobre a impossibilidade de vender 8,2 revistas e reforce que essa também é uma grandeza discreta (não contínua).

Peça a cada estudante que escolha um número natural com dois dígitos e calcule o salário do personagem Paulo.

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b) Se o salário ao final do mês foi de R$ 3.600,00três mil seiscentos reais, quantas assinaturas Paulo vendeu? Agora, substituímos fabre parênteses décimafecha parênteses por .3600 e encontramos o valor de x correspondente.

.3600 = .1800 + 40x

‒ 40x = .1800 ‒ .3600

40x = .1800

x = 45

Portanto, se Paulo receber R$ 3.600,00três mil seiscentos reais de salário, ele vendeu 45 assinaturas.

Situação 3

José tem um sítio e pratica agricultura de subsistência. Para proteger durante a noite suas galinhas de outros animais, ele resolveu construir um galinheiro retangular com 16 metros de tela e aproveitou um muro já existente como um dos lados.

Ilustração. Parede com galinheiro retangular. A frente é o comprimento e o lado é a largura do galinheiro.

Observe que a soma das medidas de duas larguras com a de um comprimento resulta em 16 metros. Assim, se José construir um galinheiro medindo 3 metros de largura, o comprimento medirá 10 metros.

16 ‒ 2 · 3 = 10, pois 2 · 3 + 10 = 16

Considere outros possíveis valores para as medidas do galinheiro, em metro, como indicados no quadro:

Medida da largura (m)	Medida do comprimento (m)
1	16 − 2 ⋅ 1 = 14
2	16 − 2 ⋅ 2 = 12
3,5	16 − 2 ⋅ 3,5 = 9
5	16 − 2 ⋅ 5 = 6
6,4	16 − 2 ⋅ 6,4 = 3,2

Note que a medida y do comprimento é dada em função da medida x da largura e que ambos se relacionam de acordo com a lei y = 16 ‒ 2x, ou seja, para essa situação, podemos considerar a função f dada por f (décima) = 16 ‒ 2x, em que x assume valores entre 0 e 8.

Com essas informações, podemos responder às questões a seguir.

Fotografia. Gramado com galinhas marrons, brancas e pretas, e um galo.

a) Para José construir um galinheiro medindo 7,5 metros de comprimento, qual será a medida da largura?

Basta substituir f abre parênteses décimafecha parênteses por 7,5 e encontramos o valor de x correspondente.

7,5 = 16 ‒ 2x

2x = 16 ‒ 7,5

2x = 8,5

x = 4,25

Portanto, para o galinheiro medir 7,5 metros de comprimento, a largura deverá medir 4,25 metros.

Respostas e comentários

Conceito de função

A situação 2 ainda é explorada com outro questionamento. No item b, atribuímos um valor numérico à variável dependente e pedimos o valor respectivo da variável independente.

Peça a cada estudante que atribua outro valor ao salário de Paulo e obtenha a quantidade de revistas vendidas para ele obter esse salário atribuído. Provavelmente, o número de revistas obtido nesse cálculo não será um número natural. Discuta esse fato com os estudantes. Espera-se que eles percebam que, dentro de um limite razoável ao contexto, podem atribuir ao número de revistas qualquer número natural, porém não podem fazer o mesmo com o salário de Paulo, que depende do número de revistas vendidas.

Na situação 3, as grandezas comprimento e largura são contínuas, possibilitando atribuir à variável independente, desde que satisfaçam às condições do contexto, quaisquer números reais; no caso, números reais maiores do que zero e menores do que 16. Apesar de esses números serem matematicamente adequados, discuta com os estudantes o que aconteceria com o galinheiro se o valor de x fosse igual a 0,01 métro, ou seja, 1 centímetro. Certamente, esse galinheiro não teria utilidade prática. Semelhantemente, se a medida x da largura é um valor próximo de 8 métros, a medida do comprimento tende a valores próximos de zero. Incentive os estudantes a comentar valores para x que façam sentido no contexto.

O contexto no qual se insere a situação 3, se julgar conveniente, pode ser explorado perguntando à turma o que eles entendem por agricultura de subsistência e por agricultura familiar. Solicite uma pesquisa em grupo com relatório que destaque os principais pontos a respeito do tema. A apresentação dos relatórios em uma roda de conversa valoriza a diversidade de saberes e vivências culturais e possibilita entender as relações do mundo do trabalho e exercitar a cidadania favorecendo o desenvolvimento da competência geral 6.

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b) Se José quiser construir um galinheiro quadrado, qual será a medida da largura? Nesse caso, a medida x da largura deverá ser igual à do comprimento f abre parênteses décimafecha parênteses. Assim, substituímos fabre parênteses décimafecha parênteses por x na lei f (décima) = 16 ‒ 2x, obtendo: x = 16 ‒ 2x 3x = 16

x = \frac{16}{3}

Logo, se José construir um galinheiro quadrado, ele medirá

\frac{16}{3}

metros de largura.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Responda oralmente às questões.

Em certa loja, uma camiseta custa R$ 40,00quarenta reais a unidade, não importando a quantidade que se compre.

a) Na compra de duas camisetas, qual será o valor pago? E na compra de 10 camisetas?

b) Para cada quantidade comprada dessa camiseta, o preço associado é único?

c) A relação entre a quantidade de camisetas compradas e o preço a ser pago é uma função?

d) Determine o preço pago (y) como uma função do número de camisetas compradas (x).

2 Responda no caderno às questões a seguir.

a) Considerando a relação que associa uma mãe a cada filho, podemos dizer que essa relação é uma função?

b) Considerando a relação que associa cada filho à sua mãe biológica, podemos dizer que essa relação é uma função?

3 Em um estacionamento, são cobradas as seguintes tarifas:

• pela 1ª hora: R$ 15,00quinze reais;

• pela 2ª hora e seguintes: R$ 4,00quatro reais por hora.

Se x representa o número de horas que um carro permaneceu no estacionamento e y, o valor a ser pago, qual é a lei da função que fornece y em função de x?

4 Uma máquina produz 8 litros de sorvete a cada 10 minutos. Assim, a produção p depende da quantidade t de minutos que a máquina funciona.

Escreva a lei dessa função, que fornece p em função de t.

5 Faça o que se pede.

a) Represente a medida do comprimento y, em centímetro, em função de x, na figura a seguir.

Ilustração. Segmento de reta de comprimento total y. Acima, a medida do segmento é dividida em duas partes: uma parte maior medindo 6 centímetros e uma parte menor medindo x.

b) Determine a medida do perímetro y, em centímetro, em função de x, nos polígonos a seguir.

Ilustração. Triângulo escaleno com medidas de lado: 2x, 3x e 4 vírgula 5 centímetros.

Ilustração. Retângulo com medidas de lado x e x mais 2.

Respostas e comentários

1. a) R$ 80,00oitenta reais; R$ 400,00quatrocentos reais.

1. b) Sim.

1. c) Sim.

1. d) y = 40x

2. a) Não, pois pode existir uma mãe que esteja associada a mais de um filho.

2. b) Sim, pois qualquer filho tem uma única mãe biológica.

3. y = 15 + 4 · (x ‒ 1)

p = \frac{8}{10} \cdot t

5. a) y = x + 6

5. b) y = 5x + 4,5

5. b) y = 4x + 4

Conceito de função

No item b da situação 3, a Unidade Temática Geometria se integra à Unidade Temática Álgebra com a condição imposta de o galinheiro ter o piso quadrado. Converse com os estudantes se haveria mais de um valor para x de modo que o piso fosse quadrado. Eles devem concluir que há um só valor para o piso quadrado:

\frac{16}{3}

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 1 a 5 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Explore a diversidade das atividades propostas no início deste bloco de exercícios. O exercício 1 pede cálculo mental em uma resolução oral; o exercício 2 não propõe cálculo, por meio da relação mãe/filho, mas o entendimento da ideia de função no que diz respeito à unicidade da imagem para cada elemento do domínio; o exercício 3 se aproxima das situações‑problema empregadas como exemplo; e no exercício 4 pode ser explorada a proporcionalidade entre as duas grandezas. O exercício 5, tal como a situação 3, integra as Unidades Temáticas Geometria, Álgebra e Grandezas e medidas.

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6 Considerando a função f cuja lei é f (x) = 4x + 9, determine os valores indicados em cada item.

a) f (2)

f (\frac{1}{2})

c) f (‒2)

d) f (‒0,3)

f (\sqrt{2})

7 A diagonal maior de um losango mede 12 centímetros.

Ilustração. Losango com diagonal maior medindo 12 centímetros e diagonal menor medindo x.

a) Represente a medida da área dêsse losango em função da medida da diagonal menor.

b) Calcule a medida da área dêsse losango quando a diagonal menor medir 7 centímetros.

c) Quanto deve medir a diagonal menor para que a área dêsse losango meça 45 centímetros quadrados?

Reúna-se com um colega para resolverem a atividade a seguir.

Certo fabricante de pirulitos tem uma despesa diária fixa de R$ 27,00vinte e sete reais mais R$ 0,30zero reais e trinta centavos por pirulito produzido. Ele vende cada pirulito por R$ 1,20um reais e vinte centavos.

a) Represente o custo diário c em função da quantidade n de pirulitos produzidos.

b) Se em um dia ele vender 200 pirulitos, terá lucro ou prejuízo? De quanto?

c) Qual é o número mínimo de pirulitos que esse fabricante deverá vender por dia para ter lucro?

d) Para esse fabricante ter um lucro de R$ 45,00quarenta e cinco reais, quantos pirulitos deverá vender?

e) Quantos pirulitos ele deve vender por dia útil para que, no fim de um mês com 22 dias úteis, lucre 6 salários mínimos?

f) Expliquem para outra dupla como vocês chegaram às respostas das questões.

9 A produção de uma fábrica onde trabalham 121 funcionários é dada por

y = 50 \sqrt{x}

, em que y representa a quantidade, em tonelada, de certo produto fabricado mensalmente e x representa o número de funcionários.

a) Calcule no caderno quantas toneladas a mais serão produzidas, em um mês, com a contratação de 48 novos funcionários.

b) Se o número de funcionários fosse quadruplicado, a produção também seria quadruplicada? A variação do número de funcionários é proporcional à variação da produção?

10 Represente no caderno um retângulo medindo 10 centímetros de comprimento e a largura medindo x centímetro a menos.

a) Construa um quadro colocando na primeira linha os valores 1, 2, 3, 4 e 5 para x e, na segunda linha, a medida da área (a) do retângulo.

b) Pode-se atribuir a x um valor igual a 10 ou maior que 10? Justifique sua resposta.

c) Escreva uma dupla desigualdade, do tipo a < x < b, para indicar os valores reais que x pode assumir.

Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre a lei de uma função, criado individualmente por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

Respostas e comentários

6. a) f (2) = 17

6. b) f

(\frac{1}{2})

= 11

6. c) f (‒2) = 1

6. d) f (‒0,3) = 7,8

6. e) f (

\sqrt{2}

) =

4 \sqrt{2} + 9

7. a)

y = \frac{12 \cdot x}{2}

7. b) 42 centímetros quadrados

7. c) 7,5 centímetros

8. a) c = 27 + 0,30n

8. b) Lucro de R$ 153,00cento e cinquenta e três reais.

8. c) 31 pirulitos.

8. d) 80 pirulitos.

8. e) A resposta depende do salário mínimo vigente.

8. f) Resposta pessoal.

9. a) 100 toneladas.

9. b) Não, seria duplicada; não é proporcional.

10. a) Construção de quadro.

10. b) Não, pois a largura seria nula ou negativa.

10. c) 0 < x < 10

11. Resposta pessoal.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 6 a 10 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Peça aos estudantes que resolvam o exercício 10 em duplas, incentivando a troca de ideias sobre as diferentes possibilidades de representar esse retângulo. Acompanhe as resoluções e faça as intervenções necessárias para que eles utilizem adequadamente a ideia de função nesse contexto. Os estudantes devem representar um retângulo e indicar a medida de seu comprimento como 10 e a de sua largura como (10 ‒ x), ambas medidas em centímetro.

No item a, é preciso encontrar a relação que possibilita calcular a medida da área dêsse retângulo. Com a afirmação “medindo 10 centímetros de comprimento e a largura medindo x centímetros a menos”, podemos escrever que a medida da área a do retângulo é dada por:

A = 10(10 ‒ x) = 100 ‒ 10x

Assim, podemos organizar o quadro solicitado:

Valor de x	Medida da área
1	A = 100 − 10 ⋅ 1 = 90
2	A = 100 − 10 ⋅ 2 = 80
3	A = 100 − 10 ⋅ 3 = 70
4	A = 100 − 10 ⋅ 4 = 60
5	A = 100 − 10 ⋅ 5 = 50

No item b, para chegar à conclusão de que o valor de x não pode ser igual ou maior que dez, os estudantes podem atribuir valores para x na expressão A = 100 ‒ 10x ou usar diretamente a afirmação de que a largura mede “x centímetros a menos que os 10 centímetros da medida do comprimento”.

No item c, temos uma generalização da relação observada no item anterior. Vale comentar com os estudantes que podemos atribuir a x quaisquer valores que estiverem nesse intervalo, sejam eles naturais ou não, definido pela dupla desigualdade 0 < x < 10. Essa ressalva é importante, pois, no item a, eles fizeram apenas “testes” com números naturais e podem acreditar que só esses números seriam válidos na relação.

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Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Observe o mapa.

MAPA POLÍTICO BRASILEIRO

Considerando a escala indicada no mapa, resolva as questões a seguir no caderno.

a) Escreva a lei da função que fornece a medida da distância real y, em quilômetro, entre duas cidades do mapa em função da medida da distância x, em centímetro, medida no mapa.

b) Use uma régua para medir a distância entre São Paulo e Florianópolis em linha reta. Em seguida, calcule a distância real aproximada entre essas duas cidades.

c) Qual capital está a .1800 quilômetros de Brasília?

d) Um pequeno avião tem autonomia de voo igual a .1350 quilômetros. Se ele partisse de Belo Horizonte, a quais das cidades destacadas no mapa ele conseguiria chegar sem precisar reabastecer?

Versão adaptada acessível

Pense mais um pouco…

Um mapa do Brasil foi construído em uma escala de modo que cada centímetro, no mapa, corresponde à 310 quilômetros na realidade.

a) Escreva a lei da função que fornece a medida da distância real y, em quilômetro, entre duas cidades do mapa em função da medida da distância x, em centímetro, medida no mapa.

b) Sabendo, que neste mapa, a distância em linha reta entre São Paulo e Florianópolis é de aproximadamente 1,6 centímetro, qual é a distância aproximada entre essas capitais?

c) Uma capital que esteja a .1800 quilômetros de distância de Brasília, deve estar a que distância no mapa?

d) Um pequeno avião tem autonomia de voo igual a .1350 quilômetros. Se ele partisse de Belo Horizonte, a quais cidades poderia chegar?

i) Cidades que estão em um raio de medida menor que 4,4 centímetros, no mapa.

ii) Cidades que estão em um raio de medida igual a 4,4 centímetros, no mapa.

iii) Cidades que estão em um raio de medida maior que 4,4 centímetros, no mapa.

Orientação para acessibilidade

Respostas:

Pense mais um pouco...:

a) y = x · 310

b) Aproximadamente 496 quilômetros.

c) 5, 8 centímetros.

d) Alternativa i.

Respostas e comentários

Pense mais um poucoreticências:

a) y = x · 310

b) 495 quilômetros

c) Natal.

d) Brasília, Florianópolis, Curitiba, São Paulo, Rio de Janeiro, Campo Grande, Goiânia, Palmas, Aracaju, Salvador, Vitória.

Pense mais um pouco...

Comente com os estudantes que, por convenção cartográfica, todos os mapas devem ter rosa dos ventos, que indica a orientação geográfica.

No item a, como para cada centímetro no mapa a distância real é 310 quilômetros, então y = 310x.

No item b, os estudantes devem usar régua; instrua-os sobre o fato de que algumas aproximações podem ser necessárias nas medições.

No item c, para estar a .1800 quilômetros de Brasília, no mapa as capitais devem estar a uma distância de cêrca de 5,8 centímetros, pois: .1800 : 310 ≃ 5,8

A situação apresentada no item d coloca uma situação-problema recorrente nos procedimentos das torres de aeroportos em cartas aeronáuticas para o contrôle do tráfego aéreo ou nas cartas náuticas de embarcações marítimas.

A não observância do cálculo da medida de distâncias comparativo com a autonomia das aeronaves, por meio do uso de escalas, pode ocasionar desastres.

As respostas para o item d são as capitais que, no mapa, estão a uma distância aproximada de 4,35 centímetros de Belo Horizonte.

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PARA SABER MAIS

Função, um longo caminho na história da Matemática

Não sabemos exatamente quando o conceito de função foi usado pela primeira vez. Sabe-se que os babilônios, cêrca de 2000 antes de Cristo, construíram quadros sexagesimais de quadrados e de raízes quadradas, as quais podem ser consideradas quadros de funções.

Antigos registros mesopotâmicos sobre lunaçõesglossário representavam, por meio de quadros, a relação entre as fases da Lua e o período de tempo solar. Os babilônios valorizavam esses quadros, pois eles estabeleciam uma correspondência de valores. Eram utilizados não somente para obter as informações que continham, mas também para avaliar os resultados correspondentes a valores intermediários, calculados por meio de aproximações por segmentos de reta.

O emprego das aproximações na Antiguidade significa a aplicação de uma relação funcional elementar, pois é uma simples proporcionalidade e constituiu o primeiro passo rumo ao desenvolvimento posterior de noções mais gerais de função.

Novas contribuições, ainda implícitas, para o desenvolvimento do conceito de função surgiram muito depois, no final da Idade Média, como as do matemático francês Nicole Oresme (1323 a 1382).

As ideias mais explícitas de função parecem ter surgido por meio de René Decárte (1596 a 1650), matemático e filósofo francês que adotou equações em x e em y para introduzir uma relação de dependência entre quantidades variáveis, de modo a possibilitar o cálculo de valores de uma delas por meio do valor da outra.

Pintura. Retrato de René Descartes, matemático e filósofo francês. É um homem branco, de cabelos escuros e compridos, com franja, bigode e barba pequena. Ele usa um casaco escuro com gola branca. — Retrato de Renê Decarte. ráus, F. [cêrca dê 1649]. Óleo sobre tela. 77,5 centímetros por 68,5 centímetros.

Foi a partir dos trabalhos do físico e matemático inglês Isaac Newton (1642 a 1727) e do matemático alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 a 1716) que a palavra função, na sua fórma latina equivalente, parece ter sido introduzida. Eles fizeram as primeiras contribuições efetivas para o desenvolvimento dêsse conceito.

Por volta de 1718, o matemático suíço Johann Bernoulli (1667‑1748) chegou a considerar uma função como uma expressão qualquer, formada de uma variável e algumas constantes. Usou várias notações para uma função de x, sendo fx a mais próxima da que usamos hoje.

O suíço Leonhard Euler (1707 a 1783), um dos maiores matemáticos de sua época, também trabalhou com funções e introduziu a notação fabre parênteses décimafecha parênteses, hoje padronizada.

Posteriormente, outros matemáticos, como Joseph-Louis Lagrange (1736‑1813), Jean-Baptiste furriê (1768‑1830) e Johann Dirichlet (1805 a 1859), contribuíram significativamente para o desenvolvimento do conceito de função.

A teoria dos conjuntos, criada pelo matemático alemão Georg Cantor (1845‑1918), ampliou o conceito de função até chegar à definição conhecida atualmente.

Esse relato nos leva a concluir que os conceitos matemáticos são construídos e evoluem segundo as necessidades históricas e as conjunturas favoráveis nas mais diversas civilizações.

Respostas e comentários

Para saber mais

Seja de qual for o componente curricular, não podemos prescindir do seu espaço na História. Assim, o texto desta seção descreve de maneira sucinta a trajetória observável do conceito função, possibilitando perceber a Matemática como um conjunto de conhecimentos historicamente construídos e, por isso, contribuindo para o desenvolvimento da competência geral 1.

Em textos de História da Matemática, é comum a origem ser citada com cautela, muitas vezes por meio de referências a registros incompletos de terceiros, ou seja, não menciona registros originais. Com o tempo, as informações tornam-se mais confiáveis e mais abundantes.

O objetivo aqui é mostrar aos estudantes que o conhecimento matemático é fruto do trabalho intelectual contínuo e progressivo de muitas pessoas dedicadas ao desenvolvimento da ciência. Discuta com os estudantes sobre em que locais esse desenvolvimento é propiciado atualmente e conversem sobre a importância das universidades e de outros centros de pesquisa científica e acadêmica. Incentive-os a pesquisar locais próximos de onde residem em que são realizadas pesquisas científicas e, se possível, agende uma visita a feiras de profissões realizadas por universidades, por exemplo. Esse trabalho possibilita a compreensão da importância do desenvolvimento científico e, assim, os estudantes desenvolvem a competência geral 6, pois aprendem a valorizar a diversidade de saberes que lhes propiciam entender relações próprias do mundo do trabalho, particularmente do campo científico.

Página 227

Gráfico de uma função

Considere a função f dada pela lei y = x + 1, em que x representa um número inteiro qualquer. Vamos construir seu gráfico.

Para isso, atribuímos valores inteiros a x e calculamos os valores de y, determinando os pares ordenados correspondentes. Esses dados foram organizados no quadro com alguns pontos do gráfico de f.

Quadro com alguns pontos do gráfico de f

x	y = x + 1	(x, y)
−2	y = −2 + 1 = −1	(−2, −1)
−1	y = −1 + 1 = 0	(−1, 0)
0	y = 0 + 1 = 1	(0, 1)
1	y = 1 + 1 = 2	(1, 2)
3	y = 3 + 1 = 4	(3, 4)

Para representar graficamente essa função, vamos marcar, em um plano cartesiano, os pontos determinados por esses pares ordenados. Os pontos marcados são apenas alguns dos pontos do gráfico dessa função, pois existem infinitos pares ordenados (x, y) que satisfazem a lei y = x + 1, sendo x um número inteiro.

Gráfico da função f. Malha quadriculada mostrando o gráfico da função f. Um plano cartesiano, com origem em zero e, no eixo horizontal x, os valores: menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3 destacados. No eixo vertical y, os valores: menos 1, 0, 2 e 4 destacados. Os pontos da função mostrados no gráfico são: ( menos 2, menos 1), (menos 1, 0) (0, 1), (1, 2) e (3, 4).

Ilustração. Homem branco, de cabelo preto curto, barba, camisa azul e casaco. Ele fala: Note que seria possível traçar uma reta que passe por todos esses pontos, porém nem todos os pontos dessa reta seriam pontos do gráfico de f. Por exemplo, no gráfico não há um ponto de abcissa 0,5, pois 0,5 não é um número inteiro.

Considere agora uma função g dada pela mesma lei da função f, y = x + 1, porém com x representando um número racional qualquer.

Como todo número inteiro é também um número racional, todos os pontos do gráfico de f também são pontos do gráfico de g. Além desses pontos, podemos obter outros. Acompanhe:

Quadro com alguns pontos do gráfico de g

x	y = x + 1	(x, y)
−0,5	y = −0,5 + 1 = 0,5	(−0,5; 0,5)
0,5	y = 0,5 + 1 = 1,5	(0,5; 1,5)
$divisão de 3 sobre 2$	$y$ = $divisão de 3 sobre 2$ + $1$ = $divisão de 5 sobre 2$	( $divisão de 3 sobre 2 ; divisão de 5 sobre 2$ )
2,3	y = 2,3 + 1 = 3,3	(2,3; 3,3)

Gráfico da função g. Malha quadriculada mostrando o gráfico da função g. Um plano cartesiano, com origem em zero e, no eixo horizontal x, destacados os valores: menos 2, menos 1, menos 0,5, 0, 0,5, 1, fração três meios, 2, 2,3 e 3. No eixo vertical y, os valores: menos 1, 0, 0,5, 1, 1,5, 2, fração 5 meios, 3,3 e 4. Os pontos da função mostrados no gráfico são: (menos 2, menos 1), (menos 1, 0), (menos 0,5, menos 0,5), (0, 1), (0,5, 1,5), (1, 2), (fração 3 meios, fração 5 meios), (2,3, 3,3) e (3, 4).

Respostas e comentários

Gráfico de uma função

Compreender o comportamento de uma função e, portanto, saber analisar gráficos de funções é importante para a interpretação de fenômenos das ciências em geral e da própria Matemática.

Os gráficos representam a expressão algébrica de uma função por meio de pontos do plano cartesiano que podem formar linhas retas ou curvas, intercaladas ou contínuas, limitadas ou ilimitadas.

Nesta página, após atribuirmos valores a x e fazermos os cálculos das ordenadas, com os pares ordenados organizados no quadro, obtemos alguns pontos do gráfico das funções f e g dadas pela mesma lei, fabre parênteses décimafecha parênteses = x + 1, porém com domínios diferentes: a função f definida para números inteiros e a função g definida para números racionais.

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Também nesse caso não foram marcados todos os pontos do gráfico de g, pois existem infinitos pares ordenados (x, y ), sendo x um número racional, que satisfazem a lei y = x + 1.

Ilustração. Homem branco, de cabelo preto curto, barba, camisa azul e casaco. Ele fala: Novamente, seria possível traçar uma reta passando pelo gráfico da função g. Embora haja nesse gráfico infinitos pontos dessa reta, nem todos os pontos dela pertencem ao gráfico de g, como o ponto de abcissa x igual a raiz quadrada de 2, pois a raiz quadrada de 2 não é um número racional.

Observação

▶ O termo infinitos não significa todos, por isso não podemos traçar a reta que passa pelos pontos obtidos no gráfico da função g.

▶ Em um ponto (x, y), dizemos que x corresponde à abscissa e y, à ordenada do ponto.

Agora, vamos considerar uma função h dada pela mesma lei da função f, y = x + 1, porém com x representando um número real qualquer.

Os pontos obtidos para os gráficos das funções f e g também são pontos do gráfico de h, pois os números inteiros e os números racionais são números reais. Além desses pontos, devemos considerar aqueles cujos pares ordenados (x, y) satisfazem a lei y = x + 1, sendo x um número irracional, como x =

\sqrt{2}

, ou seja,

(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 1)

Ilustração. Homem branco, de cabelo preto curto, barba, camisa azul e casaco. Ele fala: Neste caso, em que x representa todos os números reais, podemos traçar a reta que passa pelos pontos obtidos.

Gráfico da função h. Malha quadriculada mostrando o gráfico da função h. Um plano cartesiano, com origem em zero e, no eixo horizontal x destacados os valores: menos 2, menos 1, 0, 0,5, 1, raiz quadrada de 2, fração três meios, 2, 2,3 e 3. No eixo vertical y, os valores: meios 1, 0, 1, 1,5, 2, raiz quadrada de 2, fim da raiz, mais 1, fração 5 meios, 3,3 e 4. Os pontos da função mostrados no gráfico são: (menos 2, menos 1), (menos 1, 0), (menos 0,5, menos 0,5), (0, 1), (0,5, 1,5), (1, 2), (raiz quadrada de 2, raiz quadrada de dois, fim da raiz, mais 1), (fração; 3 meios; fim da fração, fração; 5 meios; fim da fração), (2,3, 3,3) e (3, 4). No ponto (menos 1, 0), uma seta indica que o ponto é o zero da função.

Zero de uma função

No gráfico anterior, observe que a abscissa do ponto que tem y = 0 é x = ‒1. Esse valor de x é chamado de zero da função.

Zero da função é todo valor de x para o qual y é igual a zero, ou seja, é a abscissa do ponto onde o gráfico da função cruza o eixo x.

dêsse modo, para calcular o zero da função do nosso exemplo, cuja lei é y = x + 1, basta resolver a equação x + 1 = 0. Assim, obtemos x = ‒1.

Respostas e comentários

Gráfico de uma função

Explore a função h, definida pela mesma lei de f e de g, porém agora com domínio real. Neste caso, afirmamos, sem demonstrar, que o gráfico é uma reta. Neste nível de estudos, não é necessário demonstrar essa afirmação. Peça aos estudantes que atribuam um número real qualquer a x, obtenham hidrogênioabre parênteses décimafecha parênteses, localizem o ponto (x, hidrogênioabre parênteses décimafecha parênteses) e observem que ele pertence à reta que é gráfico de h.

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Acompanhe estes outros exemplos em que obtemos o zero da função dada pela lei:

a) y = 4x + 9 Basta atribuir a y o valor zero: 0 = 4x + 9 ou 4x + 9 = 0. 4x = ‒9 ⇒ x =

‒ \frac{9}{4}

ou x = ‒2,25 O zero da função dada por y = 4x + 9 é x = ‒2,25.

b) y = xelevado a 2 ‒ 121 Basta atribuir a y o valor zero: 0 = xelevado a 2 ‒ 121 ou xelevado a 2 ‒ 121 = 0. xelevado a 2 = 121 ⇒ x = 11 ou x = ‒11 Os zeros da função dada por y = xelevado a 2 ‒ 121 são x = 11 e x = ‒11.

Como reconhecer o gráfico de uma função

Ilustração. Mulher amarela, de cabelo curto preto e blusa verde. Ela diz: Daqui em diante, vamos considerar, salvo observação em contrário, apenas as funções que tenham para valores de x todos os números reais.

Já vimos que, quando y é função de x, para cada valor de x existe um único valor de y.

dêsse modo, em um gráfico de função, para cada abscissa haverá somente um ponto correspondente no gráfico. Podemos verificar isso geometricamente, traçando retas perpendiculares ao eixo x.

Acompanhe alguns exemplos.

Gráfico no plano cartesiano. No eixo x, são destacados os valores menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, os valores menos 1, 0, 1, 2 e 3. Uma reta vertical r passa pelo ponto x igual a menos 4. Uma reta vertical s passa pelo ponto x igual a 2. Uma reta inclinada para baixo, à esquerda do eixo y, passa pelos pontos (menos 3, 3) e (0,0). À direita do eixo y, essa reta é espelhada, passando pelos pontos (0, 0) e (2, 2). Os pontos pelos quais as funções representadas passam estão em uma linha vermelha.

Gráfico no plano cartesiano. No eixo x, são destacados os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, os valores menos 1, 0, 1, 2 e 3. Uma reta vertical r passa pelo ponto x igual a menos 3. Uma reta vertical s passa pelo ponto x igual a menos 1. Uma reta vertical t passa pelo ponto x igual a 2. Um gráfico de função periódica passa pelos pontos (menos 3, 0), (0, 0), (3,0), e atinge um valor mínimo em y igual a menos 1, e um valor máximo em y igual a 1. Os pontos pelos quais a função representada passa estão em uma linha curva vermelha.

Em ambos os casos, qualquer reta perpendicular ao eixo dos x intersectará os gráficos em um único ponto. Logo, cada um desses gráficos representa uma função, pois, para qualquer valor de x, obtemos um único valor de y correspondente.

Respostas e comentários

Como reconhecer o gráfico de uma função

O zero de uma função tem papel importante no estudo das funções em geral.

Convém sugerir uma revisão aos estudantes que apresentarem dificuldade na resolução de equações.

Uma maneira prática de verificar se um gráfico representa uma função é usando régua e esquadro. Posicionamos a régua paralelamente ao eixo da variável dependente x e encostamos um dos lados do ângulo reto do esquadro na reta, fazendo-o correr por ela. Nesse procedimento, devemos observar o outro lado do ângulo reto. Para qualquer valor de x, se ele cortar o gráfico em mais de um ponto, o gráfico não representa função, pois teríamos, associado a um valor de x, mais de um valor de y, o que contradiz a definição de função.

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Gráfico no plano cartesiano. No eixo x, são destacados os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3. No eixo y, os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3. Uma reta vertical r passa à esquerda do ponto x igual a menos 1. Uma curva parabólica com concavidade para cima passa pelos pontos (menos 1, 1), (0, 0), (1, 1). Uma curva parabólica com concavidade para baixo passa pelos pontos (menos 1, menos 1), (0, 0) e (1, menos 1). Os pontos pelos quais as funções representadas passam estão em uma linha vermelha.

Gráfico no plano cartesiano. No eixo x, são destacados os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3. Uma reta vertical r pelo ponto x igual a 3. Uma curva parabólica com concavidade para a direita passa pelos pontos (2, menos 1), (1, 0) e (2, 1). Os pontos pelos quais a função representada passa estão em uma linha vermelha.

Observe, em cada caso, que existe uma reta r, perpendicular ao eixo x, que intersecta os gráficos em dois pontos com ordenadas ( y ) diferentes. Então, esses gráficos não representam função, pois existe valor de x com dois valores de y correspondentes.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

12 Considere a função dada pela lei y = ‒x + 1. Construa, em uma folha de papel quadriculado, o gráfico dessa função, sendo:

a) x um número inteiro qualquer;

b) x um número real qualquer.

13 Um automóvel percorre uma estrada à velocidade constante de 80 quilômetros por hora.

a) Indicando por x a medida do tempo transcorrido (em hora) e por y a medida da distância percorrida (em quilômetro), organize um quadro com os seguintes valores para x: 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Em seguida, escreva a lei da função que fornece y em relação a x.

b) A variável x pode assumir qualquer número real, por exemplo, um número negativo?

c) O gráfico dessa função é uma reta ou uma semirreta?

d) Represente, em uma folha de papel quadriculado, o gráfico correspondente.

14 Determine no caderno o zero das funções representadas nos gráficos a seguir.

Gráfico cartesiano x, y, de função. No eixo horizontal x, são destacados os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3. No eixo vertical y, são destacados os valores 0, 1 e 2. Uma reta é traçada, em azul, passando pelos pontos (menos 3, 0) e (0, 2).

Gráfico cartesiano x, y, de função. No eixo horizontal x, são destacados os valores menos 1, fração menos um meio, 0, fração um meio, e 1. Uma reta é traçada, em vermelho, passando pelos pontos (0, 1) e (1, 0).

15 Determine no caderno o zero das funções dadas por:

a) y = x + 3

b) y = ‒3xelevado a 2 + 6

c) y = 3x + 18

Respostas e comentários

12. Construção de gráfico.

13. a) y = 80x

13. b) Não.

13. c) O gráfico é uma semirreta.

13. d) Construção de gráfico.

14. a) ‒3

14. b) 1

15. a) x = ‒3

15. b) x =

\sqrt{2} e x = ‒ \sqrt{2}

15. c) x = ‒6

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 14 e 15 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Para o exercício 12, temos os seguintes gráficos:

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. No eixo x, são destacados os valores menos 2, menos 1, 1, 2 e 3. No eixo y, os valores menos 2, menos 1, 1 e 2. No plano, os pontos destacados são: (menos 1, 2), (0, 1), (1, 0), (2, menos 1) e (3, menos 2).

Retome o que esses gráficos têm de diferente ou em comum, explorando o fato de um ser discreto e o outro, contínuo, devido à natureza do domínio das funções.

Para o exercício 13, apresentamos uma possível resolução:

x (medida do tempo em h)	y (medida da distância percorrida, em km)
0	0
1	80
2	160
3	240
4	320
5	400

A lei da função que fornece y em relação a x é:

y = 80x

b) A variável x não pode assumir valores negativos porque representa a medida do tempo em que um automóvel faz determinado percurso a partir de um instante inicial (x = 0).

c) É uma semirreta que tem origem no ponto (0, 0).

Ilustração. Gráfico. No eixo x, são destacados os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5. No eixo y, são destacados os valores, 0, 80, 160, 240, 320 e 400. Uma reta inclinada para cima é traçada, em vermelho, passando pelos pontos (0, 0), (1, 80), (2, 160), (3, 240), (4, 320) e (5, 400).

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16 Observe os gráficos a seguir e identifique aqueles que representam funções. Justifique sua resposta.

Gráfico no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. Uma reta passa pelos pontos (menos 1, 0) e (0, 1).

Gráfico no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. Uma curva ascendente da esquerda para a direita, passa pelo ponto (0,0) e cresce até a reta que passa pelo ponto x igual a 2. Após chegar ao ponto máximo, uma reta vertical é traçada sobre a reta x igual a 2.

Gráfico no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. Uma reta vertical que passa pelo ponto x igual a 1 é traçada.

Gráfico no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. Uma reta horizontal, que passa pelo ponto y igual a 2, é traçada.

Gráfico no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. Uma curva que passa pelos pontos (0, 2) e (0, menos 2) é traçada. A curva se parece com uma parábola, simétrica no eixo x, mas tem uma linha contínua em um valor acima de y igual a 2, e outra linha contínua em um valor abaixo de y igual a menos 2.

Gráfico no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. No terceiro quadrante, uma linha curva, com concavidade voltada para baixo, passa pelo ponto (0,0), e no primeiro quadrante a linha curva tem concavidade voltada para cima.

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Sabendo que o preço de uma revista em quadrinhos é 16 reais, faça o que se pede.

a) Construa um quadro que apresente o preço de 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 exemplares dessa revista.

b) Represente em um plano cartesiano os pares ordenados (x, y) do quadro, colocando no eixo x o número de revistas e no eixo y o preço a pagar.

c) É possível comprar 4,5 revistas? E

\sqrt{3}

revistas? Justifique sua resposta.

d) Você pode traçar uma reta por esses pontos para representar o gráfico? Por quê?

Respostas e comentários

16. As alternativas a, d e f representam funções, pois para cada valor de x existe um único valor de y.

Pense mais um poucoreticências:

a) Construção de quadro.

b) Construção do gráfico.

c) Não; não; só é possível comprar um número natural de revistas.

d) Não, porque a quantidade de revistas é uma grandeza discreta, ela é representada pelos números naturais, não pelos reais.

Pense mais um poucoreticências

As resoluções dos itens a a c estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Para o item c, discuta com os estudantes uma possível resposta em que o número de revistas a serem compradas só pode ser um número natural, pois compramos revistas por inteiro e não parte delas.

No item d, após ter realizado diversas atividades em que é necessário determinar a lei de formação de uma função, os estudantes farão o mesmo nos itens a e b, mas o foco principal será observar por que essa função não pode ser representada por uma reta e o que significa ser uma grandeza discreta. Explore com os estudantes exemplos de outras situações que envolvem grandezas discretas.

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2. Função polinomial do 1º grau

Considere o pentágono da figura a seguir.

Ilustração. Pentágono com medidas de lado iguais a: x, x, x, 25 e 25.

Nele, as medidas são dadas em centímetro. A medida do perímetro dêsse polígono depende dos valores que forem atribuídos a x. Indicando a medida do perímetro por y, obtemos:

y = 3x + 50

A função definida pela lei y = 3x + 50 é um exemplo de função polinomial do 1º grau.

Uma função polinomial do 1º grau é toda função dada por uma lei de formação do tipo y = ax + b, sendo os coeficientes a e b números reais e a ≠ 0, e é definida para todo x real.

Observe outros exemplos de funções polinomiais do 1º grau, dos quais destacamos os valores de a e b.

a) y = 2x ‒ 1, sendo a = 2 e b = ‒1.

y = ‒ \frac{3}{2} x + 5

sendo

a = ‒ \frac{3}{2}

e b = 5.

c) y = ‒5x, sendo a = ‒5 e b = 0. Em casos como este, nos quais b = 0, chamamos a função polinomial do 1º grau de função linear.

y = \frac{x}{2}

sendo

a = \frac{1}{2}

e b = 0.

Ilustração. Mulher branca, de cabelo curto preto e blusa verde. Ela diz: Para simplificar a linguagem, podemos nos referir a uma função diretamente por sua lei de formação. Assim, diremos, por exemplo, a função y igual a 8 vezes x, menos 3, em vez de “a função definida pela lei de formação y igual a 8 vezes x, menos 3.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

17 Identifique as leis que representam funções polinomiais do 1º grau.

a) y = x + 3

b) y = ‒5x + 1

c) y = x2 ‒ 3x

d) y = ‒ 4x

e) y = x2 ‒ 5x + 6

f) y = 2 ‒ x

18 Dados a e b, escreva a lei de cada função polinomial do 1º grau, em que y = ax + b.

a) a = 2 e b = ‒1

a = \frac{1}{2}

e b = 0

a = \sqrt{2} e b = ‒ \frac{1}{2}

a = ‒ \frac{1}{3} e b = ‒ \frac{1}{3}

19 Dada a função definida pela lei fabre parênteses décimafecha parênteses = 5x ‒ 4 com x real, determine:

a) f (‒1)

b) f

(‒ \frac{3}{5})

c) o valor de x para que se tenha f abre parênteses décimafecha parênteses = 6;

d) o valor de x para que se tenha f abre parênteses décimafecha parênteses = 0.

20 Considere o retângulo:

Ilustração. Retângulo cujos lados medem x e 35 metros.

Determine:

a) a medida do perímetro y em função de x ;

b) a medida do perímetro para x = 12,5 metros;

c) o valor de x para y = 90 metros.

21 Considerando um quadrado cujo lado mede x centímetros, determine:

a) a medida do perímetro em função de x;

b) a medida do perímetro para x = 10.

Respostas e comentários

17. Alternativas a, b, d, f.

18. a) y = 2x ‒ 1

18. b)

y = \frac{x}{2}

18. c)

y = \sqrt{2} x ‒ \frac{1}{2}

18. d)

y = ‒ \frac{x}{3} ‒ \frac{1}{3}

19. a) f (‒1) = ‒9

19. b) f

(‒ \frac{3}{5})

= ‒7

19. c) x = 2

19. d) x =

\frac{4}{5}

20. a) y = 2x + 70

20. b) 95 métros

20. c) 10 métros

21. a) p = 4x

21. b) 40 centímetros

2. Função polinomial do 1º grau

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero seis.

Neste tópico, exploramos a representação algébrica e gráfica de uma função polinomial do 1º grau, favorecendo o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero nove ême ah zero seis).

Verifique se é necessário fazer uma breve revisão do que é um polinômio. Questione os estudantes sobre o motivo da restrição a ≠ 0. Pergunte como ficaria a lei de formação caso a fosse igual a zero. Eles devem concluir que a lei não seria dada por um polinômio do 1º grau, mas por uma constante. Sugerimos trabalhar o gráfico de algumas funções do tipo y = b, em que b é um número real qualquer, a fim de possibilitar aos estudantes distinguir o comportamento desse tipo de função em relação ao de funções polinomiais do 1º grau.

Exercícios propostos

As resoluções do exercício 17 e dos exercícios 19 a 21 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Comente com os estudantes que o exercício 19, item d, pede que se calcule o zero da função f e que o procedimento para obtermos o zero de qualquer função é resolver a equação fabre parênteses décimafecha parênteses = 0.

Explore o exercício 20 solicitando aos estudantes que respondam: x pode assumir o valor ...1000000000? (Resposta: Sim.) Existe x de modo que y seja igual a 60? (Resposta: Não.)

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22 A lei que fornece a medida da temperatura tê, em grau céucius, de ebulição da água de acordo com a medida da altitude h, em metro, é: T = 100 ‒ 0,001h.

Responda no caderno às questões a seguir.

a) Qual é a medida da temperatura de ebulição da água a .2400 métros de altitude?

b) Qual é a medida da temperatura de ebulição da água ao nível do mar?

23 Uma caixa-d’água de .1000 litros de capacidade é alimentada por um registro que, totalmente aberto, despeja 25 litros de água a cada 3 minutos.

Ilustração. Caixa d’água de 1.000 litros. Ao lado, homem de boné abaixado próximo ao registro de água.

a) Considerando que a caixa-d’água esteja vazia, em quanto tempo ela ficará cheia depois que o registro for totalmente aberto?

b) Se o registro permanecer totalmente aberto por 15 minutos, quantos litros de água serão despejados na caixa-d’água durante esse tempo?

c) Faça um quadro indicando a medida do volume de água que haverá na caixa-d’água de 15 em 15 minutos até ela ficar cheia.

d) Qual é a lei da função que representa a medida do volume de água v em função da medida do tempo t do registro totalmente aberto?

Gráfico de uma função polinomial do 1º grau

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta não perpendicular ao eixo x.

Acompanhe os exemplos a seguir.

a) Vamos representar graficamente a função polinomial do 1º grau definida pela lei y = 2x + 1.

Quadro com alguns pontos do gráfico da função

x	y = 2x + 1	(x, y)
−1	−1	(−1, −1)
0	1	(0, 1)
1	3	(1, 3)

Indicação dos pontos determinados no quadro. Gráfico no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. No eixo horizontal x, são destacados os valores menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo vertical y, são destacados os valores menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. São indicados os pontos (menos 1, menos 1), (0, 1) e (1, 3).

Gráfico da função. Gráfico no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. No eixo horizontal x, são destacados os valores menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo vertical y, são destacados os valores menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. São indicados os pontos (menos 1, menos 1), (0, 1) e (1, 3). Uma reta que passa por esses pontos é traçada, em azul.

Como uma reta pode ser determinada por dois pontos distintos, então, para construir o gráfico de uma função polinomial do 1º grau, é suficiente representar dois pontos no plano cartesiano e traçar a reta que passa por esses pontos.

Respostas e comentários

22. a) 97,6 graus Célsius

22. b) 100 graus Célsius

23. a) 120 minutos ou duas horas.

23. b) 125 litros.

23. c) Construção de quadro.

23. d)

v = 25 \cdot \frac{t}{3}

Exercícios propostos

A resolução do exercício 22 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Para complementar o exercício 22, peça aos estudantes que pesquisem as diferentes altitudes encontradas no Brasil e, em seguida, organizem os dados em uma tabela comparando as diferentes temperaturas de ebulição da água nessas altitudes. Essa pesquisa pode ser feita com o auxílio do professor de Geografia, promovendo um trabalho interdisciplinar.

Apresentamos a seguir uma possível resolução para o exercício 23.

a) A cada 3 minutos, o registro despeja 25 litros de água, em um crescimento diretamente proporcional, o que nos possibilita escrever a seguinte proporção:

\frac{t}{v} = \frac{3}{25}

, em que t é a medida do tempo decorrido para despejar v litros de água na caixa. Então, para v = .1000, temos:

\frac{t}{1 000} = \frac{3}{25} \Rightarrow t = \frac{3 \cdot 1 000}{25} = 120

A caixa estará cheia após 120 minutos, ou seja, após duas horas.

b) Do mesmo modo, aos 15 minutos, podemos escrever:

\frac{15}{v} = \frac{3}{25} \Rightarrow v = \frac{15 \cdot 25}{3} = 125

A cada 15 minutos a caixa enche 125 litros.

c) Como a cada 15 minutos o registro despeja 125 litros de água, podemos montar o quadro a seguir:

t (medida do tempo, em minuto)	v (quantidade de água, em litro)
0	0
15	125
30	250
45	375
60	500
75	625
90	750
105	875
120	1.000

d) A lei da função é:

v (t) = \frac{25}{3}

t Pergunte aos estudantes por que o gráfico de uma função polinomial do 1º grau não pode ser uma reta vertical. Eles devem responder que uma reta vertical não representa o gráfico de função, pois para um único valor de x corresponderia mais de um valor de y.

Página 234

b) Vamos representar graficamente a função polinomial do 1º grau definida pela lei y = ‒2x.

Quadro com dois pontos do gráfico da função

x	y = −2x	(x, y)
0	0	(0, 0)
1	−2	(1, −2)

Ilustração. Homem branco, de cabelo ruivo e camisa vermelha. Ele fala: O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau do tipo y igual à a vezes x é sempre uma reta, não perpendicular ao eixo x, que passa pela origem do plano cartesiano. A função polinomial do primeiro grau definida pela lei y igual a menos 2 vezes x é um exemplo de função com essa característica.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

24 Observe o gráfico de uma função para responder no caderno às questões.

Gráfico no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. No eixo x, são destacados os valores menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3. No eixo y, são destacados os valores 0, 1, 2, 3 e 4. Uma reta é traçada, em vermelho, passando pelos pontos (0, 2) e (2, 0).

a) Qual é o valor de y quando x = 2?

b) Para que valor de x obtemos y = 4?

25 O par ordenado (2, 8) representa um ponto do gráfico de uma função polinomial do 1º grau do tipo y = ax.

a) Determine o valor de a da lei dessa função.

b) Determine o valor de y para x = 3,5.

c) Dê o valor de x para y = 0.

d) Represente graficamente essa função. Utilize uma folha de papel quadriculado para representar o plano cartesiano.

26 Considere a função polinomial do 1º grau definida pela lei y = x ‒ 3.

a) Represente graficamente essa função.

b) Qual é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x ?

c) Qual é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y ?

27 O gráfico a seguir mostra a variação da medida do volume de álcool em função da medida de sua massa.

Gráfico cartesiano. No eixo horizontal está representada a grandeza massa (em grama). No eixo vertical está representada a grandeza volume (em centímetro cúbico). Uma reta parte da origem (0, 0) e passa pelo ponto (40, 50).

Determine no caderno:

a) a lei da função;

b) a massa (em grama) de 30 centímetros cúbicos de álcool.

Respostas e comentários

24. a) y = 0

24. b) x = ‒2

25. a) a = 4

25. b) y = 14

25. c) x = 0

25. d) Construção de gráfico.

26. a) Construção de gráfico.

26. b) x = 3

26. c) y = ‒3

27. a) y = 1,25x

27. b) 24 gramas.

Gráfico de uma função polinomial do 1º grau

Solicite aos estudantes que, na função do exemplo a, atribuam a x quatro números inteiros e consecutivos e calculem os respectivos valores de y. Em seguida, pergunte a eles o que acontece com a variação dos valores de y cada vez que x aumenta uma unidade.

Pergunte também se isso é uma regularidade para essa função, isto é, se acontece sempre. Espera-se que eles percebam que y aumenta duas unidades e que, para essa função, isso é uma regularidade, acontece sempre que x aumenta uma unidade.

Solicite que façam o mesmo para a função do exemplo b. Espera-se que eles percebam que sempre que x aumenta uma unidade, y diminui duas unidades.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 24 a 27 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Após resolverem o exercício 24, pergunte aos estudantes o que acontece com a variação dos valores de y cada vez que x aumenta uma unidade. Pergunte também se isso é uma regularidade para essa função. Eles devem responder que y diminui uma unidade e que, para essa função, isso é uma regularidade.

Página 235

28 Usando uma folha de papel quadriculado, represente graficamente, em um mesmo plano cartesiano, as funções polinomiais do 1º grau dadas pelas leis: f abre parênteses décimafecha parênteses = 3x + 1 e gabre parênteses décimafecha parênteses = ‒2x + 6.

Em seguida, responda às questões.:

a) Para que valor de x obtemos f abre parênteses décimafecha parênteses = 0?

b) Qual é a abscissa do ponto onde o gráfico da função g corta o eixo x ?

c) Qual é a ordenada do ponto onde o gráfico da função f corta o eixo y ?

d) Para que valor de x obtemos f abre parênteses décimafecha parênteses = g abre parênteses décimafecha parênteses?

29 No papel quadriculado, construa o gráfico, em um mesmo plano cartesiano, das funções polinomiais do 1º grau dadas pelas leis: hidrogênioabre parênteses décimafecha parênteses = ‒3x + 1 e primeiraabre parênteses décimafecha parênteses = ‒3x + 6.

Em seguida, responda às questões.

a) Quais são as coordenadas do ponto em que o gráfico de h corta o eixo x ? E o eixo y ?

b) Quais são as coordenadas do ponto em que o gráfico de i corta o eixo x? E o eixo y?

c) Os gráficos de h e de ih têm ponto comum?

d) Para que valor de x obtemos hidrogênioabre parênteses décimafecha parênteses = primeiraabre parênteses décimafecha parênteses?

Pense mais um poucoreticências

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Em uma folha de papel quadriculado e em um mesmo plano cartesiano para cada item, construa os gráficos das funções:

a) y = ‒0,5x + 3 e y = 0,5x + 3

b) y = ‒x + 3 e y = x + 3

c) y = ‒2x + 3 e y = 2x + 3

d) y = ‒3x + 3 e y = 3x + 3

2 Observando os gráficos das funções y = ax + b do exercício anterior, responda às questões.

a) Quando a > 0, ao aumentar o valor atribuído a x, também aumenta (cresce) o valor de y? Se tivesse que classificar essas funções polinomiais do 1º grau com a > 0 entre função crescente ou função decrescente, por qual delas você optaria?

b) Quando a < 0, ao aumentar o valor atribuído a x, também aumenta (cresce) o valor de y? Se tivesse que classificar essas funções polinomiais de 1º grau com a < 0 como função crescente ou função decrescente, por qual delas você optaria?

Hora de criar – Escreva duas leis de função polinomial do 1º grau y = ax + b, nas quais os valores de a sejam opostos. Troque-as com um colega. Depois que cada um construir os gráficos das funções dadas pelo colega, discutam e identifiquem em qual dos esboços a seguir a inclinação da reta mais se aproxima dos gráficos em que a > 0 e em qual deles a inclinação mais se aproxima dos gráficos em que a < 0.

Ilustração. Esboço I. Eixo horizontal x. Reta crescente, da direita para a esquerda, passa por um ponto no eixo x. Uma seta indica que o ponto no qual a função intercepta o eixo x é chamada de zero de função.

Ilustração. Esboço II. Eixo horizontal x. Reta decrescente, da direita para a esquerda, passa por um ponto no eixo x. Uma seta indica que o ponto no qual a função intercepta o eixo x é chamada de zero de função.

Respostas e comentários

28. a) x =

‒ \frac{1}{3}

28. b) x = 3

28. c) y = 1

28. d) x = 1

29. a)

(\frac{1}{3}, 0)

; (0, 1)

29. b) (2, 0); (0, 6)

29. c) Não.

29. d) Não existe valor de x para que hidrogênio(décima) = primeira(décima).

Pense mais um poucoreticências:

1. Construção de gráfico.

O objetivo do exercício 2 é possibilitar ao estudante antecipar, de modo intuitivo, os conceitos de função crescente e de função decrescente.

2. a) Sim. Espera-se que o estudante opte por função crescente.

2. b) Não. Espera-se que o estudante opte por função decrescente.

3. Para a > 0, esboço um; para a < 0, esboço dois.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 28 e 29 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Peça aos estudantes que resolvam os exercícios 28 e 29 individualmente e, em seguida, solicite que troquem de caderno com outro colega, de modo que cada um corrija a resolução do outro.

Comente as posições relativas das retas que representam os gráficos de f e g (concorrentes, no exercício 28) e de h e ih (paralelas, no exercício 29).

Pense mais um poucoreticências

A resolução do exercício 1 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

A seção antecipa informalmente os conceitos de função crescente e função decrescente e possibilita aos estudantes optar pela denominação adequada às características da variação.

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Variação de uma função polinomial do 1º grau

Observe os gráficos das funções y = 2x + 2 e y = ‒3x + 1, em que x pode ser qualquer número real.

Quadro com alguns pontos do gráfico de y = 2x + 2

x	y	Par ordenado
0	2	(0, 2)
−1	0	(−1, 0)

Gráfico no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. No eixo x, são destacados os valores menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5. No eixo y, são destacados os valores menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Uma reta, em vermelho, é traçada, passando pelos pontos (menos 1, 0) e (0, 2). — Aumentando o valor de x, o valor de y aumenta; por isso, dizemos que a função é crescente. Observe que na lei y = 2x + 2 temos a = 2.

Quadro com alguns pontos do gráfico de y = ‒3x + 1

x	y	Par ordenado
0	1	(0, 1)
2	−5	(2, −5)

De modo geral, verificamos:

• uma função polinomial do 1º grau y = ax + b é crescente quando o coeficiente a é maior que zero (a > 0);

• uma função polinomial do 1º grau y = ax + b é decrescente quando o coeficiente a é menor que zero (a < 0).

Acompanhe mais exemplos.

f (x) = ‒ \frac{x}{5}

é decrescente, pois a < 0.

g (z) = \sqrt{3}

z é crescente, pois a > 0.

Observação

▶ Existem funções que não são crescentes nem decrescentes. Por exemplo:

a) hidrogênioabre parênteses yfecha parênteses = ‒10

b) páginaabre parênteses kfecha parênteses = π

Funções como essas são chamadas de constantes, e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo x.

Respostas e comentários

Variação de uma função polinomial do 1º grau

Neste tópico, apresentamos uma definição formal de função crescente e de função decrescente. Retome com os estudantes o que aconteceria com uma função cuja lei de formação fosse

fabre parênteses décimafecha parênteses = ax + b, com a = 0.

Eles deverão concluir que ela não seria uma função polinomial do 1º grau.

Neste momento, se possível, leve os estudantes ao laboratório de informática da escola, providenciando que nos computadores esteja instalado algum software de geometria dinâmica, como o Geogebra (disponível em: https://oeds.link/t5IKzF; acesso em: 24 julho 2022).

Ao utilizar as ferramentas dêsse software, proponha a eles que digitem fabre parênteses décimafecha parênteses = ax + b no campo Entrada e pressionem Enter. Automaticamente é gerado um gráfico e são criados os controles deslizantes a e b. Oriente os estudantes a utilizar esses controles deslizantes para inferir como os coeficientes a e b influenciam no comportamento do gráfico de uma função polinomial do 1º grau.

Esse tipo de atividade possibilita desenvolver a competência geral 5, pois os estudantes podem utilizar tecnologias digitais para criar conhecimentos e para resolver problemas.

Página 237

PARA SABER MAIS

Uso do computador: retas

Na internet, existem softwares de geometria dinâmica gratuitos que apresentam muitas ferramentas, entre elas uma que nos auxilia no estudo das funções. É possível, por exemplo, construir o gráfico de qualquer função digitando a lei correspondente no campo “Entrada” na tela inicial e, em seguida, teclando “Enter”.

Por meio dêsse recurso, podemos estudar o que acontece com o gráfico de funções do tipo f (x) = ax + b à medida que os coeficientes a e b variam.

1. Ao digitar f (x) = ax + b e teclar “Enter” no campo “Entrada” da tela inicial do software, aparecerá uma janela.

2. Clicando em “Criar Controles Deslizantes”, aparecerão os controles deslizantes correspondentes aos coeficientes a e b de f (x) = ax + b, além do gráfico para a = 1 e b = 1.

3. É possível movimentar os cursores dos controles deslizantes para variar os valores dos coeficientes a e b.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Considere os gráficos das funções f abre parênteses décimafecha parênteses = x, g abre parênteses décimafecha parênteses = x + 2 e hidrogênioabre parênteses décimafecha parênteses = x ‒ 3.

Gráfico no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. No eixo x, são destacados os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, são destacados os valores menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Uma reta f, em verde, é traçada, passando pelos pontos (menos 3, menos 3), (0, 0) e (4, 4). — Bissetriz dos quadrantes ímpares.

Agora, responda: como seria o gráfico das funções páginaabre parênteses décimafecha parênteses = ‒x, queabre parênteses décimafecha parênteses = ‒x + 4 e t abre parênteses décimafecha parênteses = ‒x ‒ 5?

Se for possível, construa esses gráficos usando um software de geometria dinâmica e confira suas respostas.

2 Imagine o que acontece se modificarmos o coeficiente a. Qual é o papel do coeficiente a no gráfico de f abre parênteses décimafecha parênteses = ax + b?

3 Imagine se modificarmos o coeficiente b. Em seguida, responda às questões.

a) Qual é o papel do coeficiente b no gráfico de f abre parênteses décimafecha parênteses = ax + b?

b) Podemos associar esse coeficiente à ordenada de um ponto. Que ponto é esse?

Respostas e comentários

1. páginaabre parênteses décimafecha parênteses: bissetriz dos quadrantes pares; queabre parênteses décimafecha parênteses: paralela à bissetriz dos quadrantes

pares deslocada de modo a passar pelo ponto (0, 4); tabre parênteses décimafecha parênteses: paralela à bissetriz dos quadrantes pares deslocada de modo a passar pelo ponto (0, ‒5). Construção de gráficos.

2. O coeficiente a determina a inclinação da reta.

3. a) O coeficiente b determina a translação vertical da reta.

3. b) Ponto de intersecção da reta com o eixo y.

Para saber mais

Para a construção dos gráficos da seção, é possível usar softwares de geometria dinâmica para representar gráficos em um sistema de coordenadas, que possibilitam visualizar uma função e fazer alguns cálculos matemáticos.

Os gráficos da atividade 1 do Agora é com você! estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Página 238

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

30 Classifique cada função em crescente ou decrescente.

a) f abre parênteses décimafecha parênteses = ‒2x + 3

b) g abre parênteses décimafecha parênteses = 7x + 1

c) hidrogênioabre parênteses décimafecha parênteses = x

d) medida doabre parênteses décimafecha parênteses =

‒ \frac{x}{3}

e) norteabre parênteses décimafecha parênteses = 5 ‒ x

f) página (décima) =

\sqrt{2}

+ 6x

g) que (décima) = πx

h) r (décima) = ‒5 + 0,001x

31 Responda às questões sobre função polinomial do 1º grau.

a) A função cujo gráfico passa pelos pontos (‒3, 4) e (0, 0) é crescente ou decrescente?

b) A função cujo gráfico passa pelos pontos (‒3, ‒4) e (0, 0) é crescente ou decrescente?

Estudo do sinal de uma função polinomial do 1º grau

Ilustração. Mulher negra, de cabelo preto e grisalho, faixa verde e camiseta rosa. Ela fala: Estudar o sinal de uma função y igual a função de x é determinar os valores reais de x para que: a função se anule (ponto no qual y é igual a 0); a função seja positiva (local no qual ou locais nos quais y é maior que 0); a função seja negativa (local no qual ou locais nos quais y é menor que 0).

Acompanhe dois exemplos.

a) Vamos estudar o sinal da função dada pela lei: y = 2x ‒ 4.

Podemos fazer esse estudo por meio do esboço do gráfico da função. Para isso, calculamos o valor de x para o qual essa função se anula.

Para y = 0, obtemos:

2x ‒ 4 = 0, ou seja, x = 2.

Logo, essa função se anula quando x = 2.

Observando ainda que na lei dessa função y = 2x ‒ 4, a = 2, portanto a > 0, podemos esboçar o gráfico e fazer o estudo do sinal.

Ilustração. Eixo horizontal x. Reta crescente que passa pelo ponto x igual a 2. Abaixo do eixo x, à esquerda de x igual a 2, a função possui sinal negativo (ou seja, é menor do que zero). Acima do eixo x, à direita de x igual a 2, a função possui sinal positivo (ou seja, é maior do que zero).

Estudo do sinal

• Para x = 2, ponto do eixo x, obtemos: y = 0

• Para x > 2, pontos acima do eixo x, obtemos: y > 0

• Para x < 2, pontos abaixo do eixo x, obtemos: y < 0

Respostas e comentários

30. a) Decrescente.

30. b) Crescente.

30. c) Crescente.

30. d) Decrescente.

30. e) Decrescente.

30. f) Crescente.

30. g) Crescente.

30. h) Crescente.

31. a) Decrescente.

31. b) Crescente.

Exercícios propostos

Apresentamos a seguir uma possível resolução para o exercício 30.

a) Decrescente, pois: a = ‒2 < 0

b) Crescente, pois: a = 7 > 0

c) Crescente, pois: a = 1 > 0

d) Decrescente, pois: a =

‒ \frac{1}{3}

< 0

e) Decrescente, pois: a = ‒1 < 0

f) Crescente, pois: a = 6 > 0

g) Crescente, pois: a = π ≃ 3,14 > 0

h) Crescente, pois: a = 0,001 > 0

No exercício 31, peça aos estudantes que construam os esboços dos gráficos utilizando os pontos dados, antes de responderem aos itens.

Acompanhe uma possível resolução para esse exercício.

a) Decrescente, pois do ponto (‒3, 4) para o ponto (0, 0) a abscissa x aumenta 3 unidades, enquanto a ordenada y diminui 4 unidades.

b) Crescente, pois do ponto (‒3, ‒4) para o ponto (0, 0) a abscissa x aumenta 3 unidades enquanto a ordenada y também aumenta, só que 4 unidades.

Estudo do sinal de uma função polinomial do 1º grau

Sugerimos utilizar um software de geometria dinâmica para representar gráficos de funções polinomiais do 1º grau e incentivar os estudantes a estudar o sinal da função. Oriente-os a observar o ponto (décimo’, 0) do gráfico e a verificar o que acontece com as imagens (valores da variável dependente) para valores de x tais que x < décimo’ e para valores de x tais que décimo’ < x. Para funções crescentes, eles perceberão que as imagens y serão negativas quando x < décimo’ e serão positivas para décimo’ < x. Analogamente, para funções decrescentes, as imagens y são positivas para x < décimo’ e negativas para décimo’ < x.

Após observarem essas características das funções estudadas, solicite que leiam o conteúdo do livro do estudante e as sistematizem elaborando um texto de maneira coletiva.

Página 239

b) Vamos estudar o sinal da função dada pela lei: y = ‒2x + 4.

Inicialmente, vamos calcular o valor de x para o qual essa função se anula. Para y = 0, obtemos:

‒2x + 4 = 0, ou seja, x = 2.

Logo, essa função se anula quando x = 2.

Observando ainda que em y = ‒2x + 4, a = ‒2, portanto a < 0, podemos esboçar o gráfico e fazer o estudo do sinal.

Ilustração. Eixo horizontal x. Reta decrescente que passa pelo ponto x igual a 2. Acima do eixo x, à esquerda de x igual a 2, a função possui sinal positivo (ou seja, é maior do que zero). Abaixo do eixo x, à direita de x igual a 2, a função possui sinal negativo (ou seja, é menor do que zero).

Estudo do sinal

• Para x = 2, ponto do eixo x, obtemos: y = 0

• Para x > 2, pontos abaixo do eixo x, obtemos: y < 0

• Para x < 2, pontos acima do eixo x, obtemos: y > 0

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

32 Considere o seguinte gráfico de uma função polinomial do 1º grau.

Gráfico de função no plano cartesiano x y. No eixo x, são destacados os valores menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3. No eixo y, são destacados os valores menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3. Uma reta é traçada, em vermelho, passando pelos pontos (0, 3) e (3, 0).

Responda:

a) Para que valor de x obtemos y = 0?

b) Para que valores de x obtemos y > 0?

c) Para que valores de x obtemos y < 0?

33 Estude o sinal das funções polinomiais do 1º grau.

a) y = 2x ‒ 8

b) y = ‒3x + 6

c) y = 2x ‒ 5

d) y = ‒2x ‒ 1

34 Considere a função polinomial do 1º grau definida por y = ax + b. Sabe-se que a > 0 e que o ponto determinado pelo par (5, 0) pertence ao gráfico dessa função. Determine o sinal de y em cada caso.

a) x = ‒2

b) x = 0

c) x = 4,99

d) x = 5,01

e) x = 10

35 Hora de criar – Crie uma função polinomial do 1º grau de modo que:

• o zero dessa função seja 2;

• o gráfico para x > 2 esteja acima do eixo das abscissas, ou seja, y > 0.

Quantas funções assim existem?

Respostas e comentários

32. a) x = 3

32. b) x < 3

32. c) x > 3

33. a) x = 4: y = 0; x > 4: y > 0; x < 4: y < 0

b) x = 2: y = 0; x > 2: y < 0; x < 2: y > 0

c) x =

\frac{5}{2}

: y = 0; x >

\frac{5}{2}

: y > 0; x <

\frac{5}{2}

: y < 0

d) x = ‒

\frac{1}{2}

: y = 0; x > ‒

\frac{1}{2}

: y < 0; x < ‒

\frac{1}{2}

: y > 0

34. a) Negativo.

34. b) Negativo.

34. c) Negativo.

34. d) Positivo.

34. e) Positivo.

35. Existem infinitas funções que satisfazem os critérios, por exemplo: y = x ‒ 2, y = +

\frac{x}{2}

‒ 1; y = 2x ‒ 4.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 32 a 34 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Antes de responderem ao exercício 34, oriente os estudantes a fazer um esboço do gráfico da função referida no enunciado.

O exercício 35 merece atenção especial por possibilitar infinitas respostas. Por isso, é preciso dar condições para que todos os estudantes tenham certeza de que a “sua função” está de acordo com o enunciado, embora aquela não seja a única resposta possível.

Vale a pena sugerir que eles confiram as próprias respostas, retomando o enunciado e testando as condições na função escolhida. Além disso, a troca com outros colegas possibilitará verificar eventuais erros, assim como observar que há outras possibilidades de resposta. Pode-se sugerir aos estudantes que utilizem um software de geometria dinâmica para construir o gráfico nele e comparar se as condições do exercício foram contempladas.

Página 240

PARA SABER MAIS

Proporcionalidade na função linear

Vamos analisar a função linear dada pela lei y = 2x.

x	y
−1	−2
0	0
1	2
2	4

Gráfico de função no plano cartesiano x y. No eixo x, são destacados os valores menos 1, 0, 1 e 2. No eixo y, são destacados os valores menos 2, 0, 2 e 4. Uma reta é traçada, em verde, passando pelos pontos (menos 1, menos 2), (0, 0), (1, 2) e (2, 4). — Observe que os valores de y são diretamente proporcionais aos valores de x, porque, dobrando o valor de x, o valor de y também dobra; triplicando o valor de x, o valor de y também triplica, e assim por diante.

Se há proporcionalidade direta entre os valores reais de x e y, existe uma função linear que relaciona as variáveis x e y, ou seja, uma função cuja lei pode ser escrita na fórma y = ax, com a real, a ≠ 0, x e y reais. Reciprocamente, se as variáveis x e y estão relacionadas por uma função linear, então x e y são diretamente proporcionais.

Outras funções apresentam proporcionalidade inversa, e algumas não apresentam proporcionalidade direta nem inversa entre os valores de x e de y. Acompanhe alguns exemplos.

a) y =

\frac{1}{x}

x	y
1	1
2	$divisão de 1 sobre 2$
3	$divisão de 1 sobre 3$
4	$divisão de 1 sobre 4$

Gráfico de função no plano cartesiano x y. No eixo x, são destacados os valores 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, são destacados os valores fração um quarto, fração um terço, fração um meio, e 1. Uma curva é traçada, em azul, passando pelos pontos (1, 1), (2, fração um meio), (3, fração um terço) e (4, fração um quarto). — Observe que os valores de y são inversamente proporcionais aos valores de x, porque, dobrando o valor de x, o valor de y se reduz pela metade; triplicando o valor de x, o valor de y se reduz a um terço, e assim por diante.

b) y = 2x ‒ 1

x	y
−1	−3
0	−1
1	1
2	3

Gráfico de função no plano cartesiano x y. No eixo x, são destacados os valores menos 1, 0, 1 e 2. No eixo y, são destacados os valores menos 3, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. Uma reta é traçada, em laranja, passando pelos pontos (menos 1, menos 3), (0, menos 1), (1, 1) e (2, 3). — Observe que não há proporcionalidade direta nem inversa entre os valores de x e de y.

Agora é com você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Um automóvel percorre certa distância com velocidade constante de 50 quilômetros por hora.

a) Qual é a lei da função que relaciona a distância percorrida (y), em quilômetro, e o tempo (x), em hora?

b) Considerando que a velocidade é constante, as grandezas distância percorrida e tempo são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não são proporcionais? Por quê?

Respostas e comentários

a) y = 50x

b) São diretamente proporcionais. Exemplo de resposta: porque estão relacionadas por uma função linear.

Para saber mais

O contexto dessa seção possibilita desenvolver a habilidade (EF09MA08). Pergunte aos estudantes se, caso a velocidade não fosse constante, poderíamos dizer que as grandezas “distância percorrida” e “tempo” são diretamente proporcionais. Espera-se que eles respondam que não. Como a velocidade é a razão entre as medidas da distância percorrida e do tempo, se a velocidade não fosse constante, as razões entre as medidas de distância e tempo seriam diferentes, ou seja, essas grandezas não seriam diretamente proporcionais.

Página 241

3. Função polinomial do 2º grau

Ilustração. Mulher branca, de cabelo castanho e camiseta verde e homem branco, de cabelo enrolado e castanho, usando camisa laranja. Eles imaginal uma piscina, em um gramado de uma casa.

Gustavo e Nicole estudam as possibilidades de uso do quintal de sua casa para a construção de um terraço com piscina ladeada por um gramado cuja medida da área eles precisam decidir. Nicole fez o croqui e Gustavo representou algebricamente a medida da área do gramado em função de x, com as medidas indicadas em metro. Observe:

Ilustração. Quadrado verde cujo lado é igual a x. Dentro do quadrado, um retângulo azul, de lados que medem 3, e x menos 2.

A medida da área do quadrado é: x2

A medida da área da piscina, representada pelo retângulo azul, é: 3(x ‒ 2)

Então, a medida da área do gramado é: x 2 ‒ 3(x ‒ 2), ou seja, x 2 ‒ 3x + 6

Indicando essa medida de área por y, obtemos: y = x 2 ‒ 3x + 6.

A função definida pela lei y = x2 ‒ 3x + 6 é um exemplo de função polinomial do 2º grau (ou função quadrática).

Uma função polinomial do 2º grau é uma função dada por uma lei de formação do tipo y = ax 2 + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, e é definida para todo x real.

•

Considerando f abre parênteses décimafecha parênteses = x 2 ‒ 3x + 6 e os valores f (0), f (1) e f (2), é possível afirmar que o gráfico de fabre parênteses décimafecha parêntesesé uma reta?

Observe outros exemplos de funções polinomiais do 2º grau, em que destacamos os valores de a, b e c.

a) y = x2 ‒ 5x + 4, sendo a = 1, b = ‒5 e c = 4

b) y = 2x 2 + 5x ‒ 2, sendo a = 2, b = 5 e c = ‒2

c) y = x 2 ‒ 9, sendo a = 1, b = 0 e c = ‒9

d) y = ‒3x 2 + 2x, sendo a = ‒3, b = 2 e c = 0

e) y = x 2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

36 Na situação inicial desta página, se Gustavo e Nicole reservarem para o terraço (incluindo a piscina) um quadrado de lado medindo 8 métros, quantos metros quadrados de gramado eles deverão comprar?

37 Sendo f abre parênteses décimafecha parênteses = x 2 ‒ 5x + 6, determine:

a) f (0), f (2), f (3) e f (4);

b) os valores de x de modo que f abre parênteses décimafecha parênteses seja 0;

c) os valores de x de modo que f abre parênteses décimafecha parênteses seja 20.

Respostas e comentários

Como f(0) = 6, f(1) = 4 e f(2) = 4, espera-se que os estudantes percebam o gráfico não pode ser uma reta, pois a reta que passa por (0, 6) e (1, 4) não é a mesma que passa por (1, 4) e (2, 4).

36. 46 métros quadrados

37. a) f (0) = 6, f (2) = 0, f (3) = 0, f (4) = 2

37. b) x = 2 ou x = 3

37. c) x = ‒2 ou x = 7

3. Função polinomial do 2º grau

Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero seis e ê éfe zero nove ême ah zero nove.

Verifique a necessidade de revisar com os estudantes a resolução de equações do 2º grau e de fatoração de expressões algébricas. Neste tópico, ampliamos o estudo das funções trabalhando com funções polinomiais do 2º grau. Os estudantes podem, assim, mobilizar e aprofundar o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero nove ême ah zero seis) e (EF09MA09).

Assim como na abordagem inicial de outros conceitos importantes, fazemos um primeiro contato com função polinomial do 2º grau por meio de uma situação contextualizada, na qual um projeto arquitetônico apresenta uma medida generalizada x do lado de um quadrado e propõe analisar a construção de um jardim próximo de uma piscina.

Problemas do cotidiano muitas vezes podem ser generalizados por meio de expressões algébricas. Em geral, quando trabalhamos com área de superfícies poligonais, recaímos em uma função polinomial do 2º grau.

Para que os estudantes entendam melhor as restrições que um contexto pode impor à estruturação da resolução por meio da Álgebra, considerando os valores das variáveis em metro, discuta com eles as possibilidades de x valer 2 ou valer 3. Eles devem concluir que, se x for fosse igual a 2, a piscina teria a medida da largura igual a zero; logo, não é possível. Se x for igual a 3, a largura da piscina medirá 1 métro e a parte do gramado será um retângulo com lados medindo 2 métros e 3 métros.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 36 e 37 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Página 242

38 Expresse a medida da área y de cada polígono em função de x.

Ilustração. Retângulo cujos lados medem x mais 2, e 2 x menos 1.

Ilustração. Triângulo cuja base mede 5 x menos 3, e a altura é igual a 2 x.

39 Sendo f (x) = x 2 + 3x, determine o que se pede em cada item.

a) f (0)

b) Os valores de x para que y = 0.

c) f (2);

d) Os valores de x para que y = 10.

40 Sendo f abre parênteses décimafecha parênteses = 2x 2 + 5, determine no caderno:

a) o valor de f

(\sqrt{3})

;

b) os valores de x para que f (x) = 21.

41 Expresse na fórma y = ax 2 + bx + c a medida do volume do paralelepípedo.

Ilustração. Paralelepípedo cujas medidas são: altura x mais 2, largura 2, e profundidade x mais 1.

Gráfico de uma função polinomial do 2º grau

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva chamada parábola.

Fotografia. Destaque para as mãos de uma pessoa que lança uma bola de basquete em direção à cesta. A trajetória percorrida pela bola até chegar na cesta é registrada de tempo em tempo, formando uma parábola. — Fotocomposição da trajetória parabólica descrita por uma bola lançada por um jogador de basquete, em Houston, Texas, Estados Unidos. (Fotografia de 2015.)

Para construir o gráfico de uma função dêsse tipo, procedemos como no caso da função polinomial do 1º grau:

• Atribuímos valores a x e obtemos os correspondentes valores de y.

• Organizamos os dados obtidos em um quadro com os pares ordenados.

• Localizamos esses pontos no plano cartesiano.

• Se o conjunto de pontos localizados possibilitar que se perceba a linha que passa por eles, traçamos essa linha. Caso contrário, devemos obter e localizar mais pontos do gráfico.

Respostas e comentários

38. a) y = 2x 2 + 3x ‒ 2

38. b) y = 5x 2 ‒ 3x

39. a) f (0) = 0

39. b) x = 0 ou x = ‒3

39. c) f (2) = 10

39. d) x = ‒5 ou x = 2

40. a) f

(\sqrt{3})

= 11

40. b) x = ±2

\sqrt{2}

41. y = 2x 2 + 6x + 4

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 38 a 41 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

No exercício 38, peça aos estudantes que, por meio de fatorações, encontrem outras figuras que tenham a mesma medida da área. Por exemplo, no item b, em que a medida da área do triângulo é dada por 5x² ‒ 3x, temos:

5x² ‒ 3x = x(5x ‒ 3)

5x² ‒ 3x = 5x

(x ‒ \frac{3}{5})

Nesse caso, um retângulo cujas dimensões são x e (5x ‒ 3) ou outro que tenha as dimensões 5x e

(x ‒ \frac{3}{5})

têm a mesma medida da área do triângulo do item b. Em contextos como o dêsse exercício, incentive os estudantes a determinar, ainda que de maneira intuitiva, o domínio das funções. No item a, por exemplo, por se tratar das medidas do lado de um retângulo, temos:

• x + 2 > 0

x > ‒ 2

• 2x ‒ 1 > 0

2x > 1

x > \frac{1}{2}

Assim, x deve ser maior do que

\frac{1}{2}

no contexto do item a.

Página 243

Acompanhe alguns exemplos.

a) Vamos representar graficamente a função polinomial do 2º grau definida pela lei: y = x 2 ‒ 2x ‒ 3

Para x = ‒2, obtemos: y = (‒2)2 ‒ 2 · (‒2) ‒ 3 = 4 + 4 ‒ 3 = 5

Para x = ‒1, obtemos: y = (‒1)2 ‒ 2 · (‒1) ‒ 3 = 1 + 2 ‒ 3 = 0

Para x = 0, obtemos: y = (0)2 ‒ 2 · (0) ‒ 3 = ‒3

Para x = 1, obtemos: y = (1)2 ‒ 2 · (1) ‒ 3 = 1 ‒ 2 ‒ 3 = ‒4

Para x = 2, obtemos: y = (2)2 ‒ 2 · (2) ‒ 3 = 4 ‒ 4 ‒ 3 = ‒3

Para x = 3, obtemos: y = (3)2 ‒ 2 · (3) ‒ 3 = 9 ‒ 6 ‒ 3 = 0

Para x = 4, obtemos: y = (4)2 ‒ 2 · (4) ‒ 3 = 16 ‒ 8 ‒ 3 = 5

Quadro com alguns pontos do gráfico da função
x	y = x2 − 2x − 3	(x, y)
−2	5	(−2, 5)
−1	0	(−1, 0)
0	−3	(0, −3)
1	−4	(1, −4)
2	−3	(2, −3)
3	0	(3, 0)
4	5	(4, 5)

Indicação dos pontos encontrados no quadro. Gráfico de função no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. No eixo x, são destacados os valores menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, são destacados os valores menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Em vermelho, os pontos (menos 2, 5), (menos 1, 0), (0, menos 3), (1, menos 4), (2, menos 3), (3, 0) e (4, 5).

Gráfico de função. Gráfico no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. No eixo x, são destacados os valores menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, são destacados os valores menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Em vermelho, os pontos (menos 2, 5), (menos 1, 0), (0, menos 3), (1, menos 4), (2, menos 3), (3, 0) e (4, 5). Uma curva parabólica, com concavidade para cima, é traçada sobre esses pontos. Uma reta vertical r passa pelo ponto x igual a 1. Uma seta indica que a reta r, que passa também pelo ponto (1, menos 4), que é o ponto mais "baixo" da parábola, é o eixo de simetria da parábola.

b) Vamos representar graficamente a função polinomial do 2º grau definida pela lei: y = ‒x 2 + 4x ‒ 3

Para x = 0, obtemos: y = ‒(0)2 + 4 · (0) ‒ 3 = 0 + 0 ‒ 3 = ‒3

Para x = 1, obtemos: y = ‒(1)2 + 4 · (1) ‒ 3 = ‒1 + 4 ‒ 3 = 0

Para x = 2, obtemos: y = ‒(2)2 + 4 · (2) ‒ 3 = ‒4 + 8 ‒ 3 = 1

Para x = 3, obtemos: y = ‒(3)2 + 4 · (3) ‒ 3 = ‒9 + 12 ‒ 3 = 0

Para x = 4, obtemos: y = ‒(4)2 + 4 · (4) ‒ 3 = ‒16 +16 ‒ 3 = ‒3

Quadro com alguns pontos do gráfico da função
x	y = −x2 + 4x − 3	(x, y)
0	−3	(0, −3)
1	0	(1, 0)
2	1	(2, 1)
3	0	(3, 0)
4	−3	(4, −3)

Gráfico da função. Gráfico de função no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. No eixo x, são destacados os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, são destacados os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3. Em verde, os pontos (0, menos 3), (1, 0), (2, 1), (3, 0) e (4, menos 3). Uma curva parabólica, com concavidade para baixo, é traçada sobre esses pontos. Uma reta vertical r passa pelo ponto x igual a 2. Uma seta indica que a reta r, que passa também pelo ponto (2, 1), que é o ponto mais "alto" da parábola, é o eixo de simetria da parábola.

Respostas e comentários

Gráfico de uma função polinomial do 2º grau

No estudo da construção dos gráficos, iniciamos por atribuir a x valores convenientes para serem abscissas de pontos que se situam próximo do vértice, pois esse trecho representa a variação no comportamento da função (crescente ou decrescente). Depois de estudar o cálculo das coordenadas do vértice, os estudantes terão mais autonomia para a escolha dos valores a serem atribuídos a x. Esclareça antecipadamente essa opção didática para os estudantes.

Destaque a existência do eixo de simetria da parábola nos gráficos das funções polinomiais do 2º grau, conceito que será usado adiante para a obtenção da expressão que determina as coordenadas do vértice.

Página 244

Concavidade da parábola

Conforme observamos nos gráficos dos dois exemplos anteriores, a parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo.

Gráfico. Em um plano com os eixos x e y, uma parábola formada por uma curva descendente e que, após cruzar o eixo x e chegar ao ponto mais baixo, torna-se ascendente. Uma seta vertical indicando o sentido de baixo para cima em relação ao ponto mais baixo da parábola indica concavidade para cima.

Gráfico. Em um plano com os eixos x e y, uma parábola formada por uma curva ascendente e que, após cruzar o eixo x e chegar ao ponto mais alto, torna-se descendente. Uma seta vertical indicando o sentido de cima para baixo em relação ao ponto mais alto da parábola indica concavidade para baixo.

No primeiro exemplo ( y = x 2 ‒ 2x ‒ 3), o coeficiente a é positivo, e a parábola tem a concavidade voltada para cima.

No segundo exemplo ( y = ‒x 2 + 4x ‒ 3), o coeficiente a é negativo, e a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

Ilustração. Mulher negra, de cabelo castanho e grisalho, faixa verde e camiseta roxa. Ela fala: Considerando a função polinomial f de x dada pela lei y igual a a x elevado ao quadrado, mais b x, mais c, verificamos: se a é maior que 0, a parábola tem concavidade voltada para cima; se a é menor que 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo.

Vértice da parábola

Toda parábola tem um eixo de simetria e um vértice (V ).

Observe os exemplos.

a) p(x) = ‒x2 + 4x ‒ 2

Gráfico de função no plano cartesiano x y. No eixo x, são destacados os valores menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, são destacados os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3. Em verde, os pontos (0, menos 2), (1, 1), (2, 2), (3, 1) e (4, menos 2). Uma parábola com concavidade para baixo é traçada sobre esses pontos. Uma reta que passa pelo ponto mais alto da parábola é indicada como: eixo de simetria. O ponto (2,2), o mais alto da parábola, é chamado de Vértice, identificado pela letra V. Linhas tracejadas mostram que há simetria entre os pontos (0, menos 2) e (4, menos 2); (1, 1) e (3, 1).

b) q(x) = x2 + 2x ‒ 1

Gráfico de função no plano cartesiano x y. No eixo x, são destacados os valores menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1 e 2. No eixo y, são destacados os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3. Em verde, os pontos (menos 3, 2), (menos 2, menos 1), (menos 1, menos 2), (0, menos 1) e (1, 2). Uma parábola com concavidade para cima é traçada sobre esses pontos. Uma reta que passa pelo ponto mais baixo da parábola é indicada como: eixo de simetria. O ponto (menos 1, menos 2), o mais baixo da parábola, é chamado de Vértice, identificado pela letra V. Linhas tracejadas mostram que há simetria entre os pontos (menos 3, 2) e (1, 2); (menos 2, menos 1) e (0, menos 1)

O vértice da parábola é o ponto de intersecção da parábola com seu eixo de simetria.

Respostas e comentários

Gráfico de uma função polinomial do 2º grau

Se julgar pertinente, utilize os recursos de um software de geometria dinâmica incentivando os estudantes a descobrir o que determina a concavidade da parábola ser para baixo ou para cima. Eles podem explorar o gráfico de uma função genérica do tipo f(x) = ax2 + bx + c e variar, um por vez, os coeficientes a, b e c atribuindo valores positivos e negativos a cada um deles. Ao atribuir valores negativos ao coeficiente a, poderão perceber que os gráficos obtidos têm concavidade para baixo e, ao atribuir valores positivos, concavidade para cima. Esse fato não precisa ser demonstrado nesta etapa do ensino, mas auxiliará os estudantes na resolução de problemas que envolvem o esboço de gráficos dêsse tipo de função.

Nesta página, apresentamos e definimos o vértice da parábola. Esse conceito será retomado para a obtenção das fórmulas das coordenadas do vértice.

Página 245

Observações

▶ O vértice de uma parábola corresponde ao ponto de máximo dessa parábola quando ela tem concavidade voltada para baixo e corresponde ao ponto de mínimo dessa parábola quando ela tem concavidade voltada para cima.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

42 Considere a parábola indicada no plano cartesiano.

Gráfico de função no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. No eixo x, são destacados os valores menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, são destacados os valores menos 4, menos 3, menos 2, 0, 1, 2 e 3. Uma parábola com concavidade para cima, que passa pelos pontos (0, 0), (0, 4) e ponto mais baixo em (2, menos 4).

a) Qual é o sinal do coeficiente a ?

b) Quais são as coordenadas do vértice da parábola?

c) Para quais valores de x se obtém y = 0?

d) Identifique o ponto de intersecção entre o eixo x e o eixo de simetria da parábola.

43 As medidas, em centímetro, das diagonais de um losango são expressas por (x + 2) e (2x + 4). Determine no caderno:

a) a medida da área y dêsse losango em função de x ;

b) para que valor de x esse losango tem área medindo 25 centímetros.

44 O gráfico de cada uma das funções a seguir é uma parábola. Determine no caderno os casos em que a parábola tem concavidade voltada para cima.

a) y = 2x 2 ‒ 3x + 1

b) y = ‒x 2 + 4x ‒ 4

c) y = ‒3x 2 + x ‒ 4

d) y = x 2 + 5x

e) y = x 2

f) y = ‒x 2 + 9

45 Considere a parábola a indicada no plano cartesiano.

Gráfico de função no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. No eixo x, são destacados os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3. No eixo y, são destacados os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1 e 2. Uma parábola com concavidade para baixo, que passa pelos pontos (menos 2, menos 3), (menos 1, 0), (0, 1), (1, 0) e (2, menos 3). O ponto mais alto da parábola é o ponto (0, 1).

Determine no caderno:

a) x quando y = ‒3;

b) x quando y = 2;

c) y quando x = 2;

d) f (1);

e) as coordenadas do vértice.

46 Determine no caderno os valores de p na função definida pela lei y = (p ‒ 3)x 2 ‒ 5x ‒ 24 para que a parábola tenha a concavidade voltada para cima.

47 Determine no caderno os valores de p na função definida pela lei y = (2p + 1)x 2 ‒ 2x + 1 para que a parábola tenha a concavidade voltada para baixo.

48 Uma função polinomial do 2º grau é definida pela lei:

y = (m + 2)x 2 + (m + 3)x + m + 4

Responda no caderno às questões a seguir.

a) Para que valores reais de ême o gráfico dessa função tem concavidade voltada para baixo?

b) Para que valores reais de m o gráfico dessa função passa pelo ponto (0, 0)?

Respostas e comentários

42. a) Positivo.

42. b) (2, ‒4)

42. c) x = 0 e x = 4

42. d) (2, 0)

43. a) y = x 2 + 4x + 4

43. b) x = 3

44. Alternativas a, d, ê.

45. a) x = ‒2 e x = 2

45. b) Não existe.

45. c) y = ‒3

45. d) f (1) = 0

45. e) (0, 1)

46. p > 3

47.

p < ‒ \frac{1}{2}

48. a) m < ‒2

48. b) m = ‒4

Gráfico de uma função polinomial do 2º grau

Caso os estudantes estranhem as denominações ponto de máximo ou ponto de mínimo, comente que tais nomenclaturas se referem a pontos que têm ordenada máxima (maior do que a dos demais pontos) ou que têm ordenada mínima (menor do que a dos demais pontos).

Exercícios propostos

Os exercícios desta página trabalham a verificação do sinal do coeficiente a da lei da função.

No exercício 42, os estudantes obtêm esse sinal por meio da leitura do gráfico, enquanto nos exercícios 44, 46, 47 e 48 o sinal é obtido pela leitura da lei ou por imposição de uma condição algébrica que resulta em uma equação a ser resolvida.

No item a do exercício 48, devemos impor a condição do coeficiente a ser negativo, logo:

m + 2 < 0

m < ‒2

No item b do exercício 48, como (0, 0) pertence ao gráfico, para x = 0, temos y = 0, então devemos substituir x e y por 0, logo:

(m + 2) · 0elevado a 2 + (m + 3) · 0 + m + 4 = 0

0 + 0 + m + 4 = 0

m = ‒4

As resoluções dos exercícios 42 a 47 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Página 246

Zeros de uma função polinomial do 2º grau

Antes de fazer o esboço de uma parábola, devemos determinar os zeros da função e identificar sua concavidade.

Acompanhe um exemplo. Vamos determinar os zeros da função dada pela lei y = x elevado a 2 ‒ 3x ‒ 10.

x elevado a 2 ‒ 3x ‒ 10 = 0 (a = 1, b = ‒3 e c = ‒10)

Δ = b elevado a 2 ‒ 4ac

Δ = (‒3)elevado a 2 ‒ 4 · 1 · (‒10) = 9 + 40 = 49

Ilustração. Seta azul indicando da esquerda para a direita.

\sqrt{Δ}

= 7

Esquema. x é igual a fração numerador: menos b, mais ou menos raiz quadrada de delta; denominador: 2 vezes a; fim da fração. Implica que x é igual a fração numerador: menos, abre parênteses menos 3 fecha parênteses, mais ou menos 7; denominador: 2 vezes 1; fim da fração, que é igual a fração numerador: 3 mais ou menos 7; denominador: 2; fim da fração. Uma seta indica que: x1 é igual a fração numerador: 3 mais 7; denominador: 2; fim da fração, que é igual a fração; numerador: 10; denominador: 2; fim da fração, que é igual a 5. Outra seta indica que: x2 é igual a fração numerador: 3 menos 7; denominador: 2; fim da fração, é igual a fração numerador: menos 4; denominador: 2; fim da fração, que é igual a menos 2.

Portanto, os zeros da função são ‒2 e 5.

Como a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. dêsse modo, podemos fazer o esboço do gráfico da função dada pela lei y = x2 ‒ 3x ‒ 10.

Ilustração. Eixo horizontal x com os pontos valores menos 2 e 5. Parábola com concavidade para cima passa pelos dois pontos, os 'zeros' da função.

Considere estes outros exemplos.

a) y = ‒2x elevado a 2 + 5x ‒ 2 ‒2x elevado a 2 + 5x ‒ 2 = 0 Δ = b elevado a 2 ‒ 4ac Δ = (5)elevado a 2 ‒ 4 · (‒2) · (‒2) = 9

\sqrt{Δ}

= 3

x = \frac{‒ b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}

Esquema. x é igual a fração numerador: menos abre parênteses menos 5 fecha parênteses, mais ou menos 3; denominador: 2 vezes abre parênteses menos 2 fecha parênteses; fim da fração, é igual a fração numerador: menos 5, mais ou menos 3; denominador: menos 4; fim da fração. Uma seta indica que: x1 igual a fração numerador: menos 2; denominador: menos 4; fim da fração, é igual a fração um meio. Outra seta indica que: x2 igual a fração numerador: menos 8; denominador: menos 4; fim da fração, é igual a 2.

Ilustração. Folha de papel com as informações: Como a é igual a menos 2, portanto a é menor que 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Abaixo, eixo x com os valores: fração um meio, e 2. Parábola com concavidade para baixo passa pelos dois pontos, os "zeros" da função.

b) y = 4x elevado a 2 ‒ 4x + 1 4x elevado a 2 ‒ 4x + 1 = 0 Como o 1º membro dessa equação é um trinômio quadrado perfeito, podemos escrever: (2x ‒ 1)elevado a 2 = 0 Assim, obtemos: 2x ‒ 1 = 0 x =

\frac{1}{2}

Ilustração. Folha de papel com as informações: Como a é igual a 4, portanto a é maior que 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. Abaixo, eixo x com o ponto fração um meio. Parábola com concavidade para cima passa pelo ponto.

Respostas e comentários

Zeros de uma função polinomial do 2º grau

Relembre aos estudantes que, ao resolver uma equação do 2º grau em

Símbolo. Letra R, símbolo do conjunto dos números reais.

, temos três possibilidades:

• Δ > 0 (a equação tem duas raízes reais e distintas, x₁ e x₂);

• Δ = 0 (a equação tem duas raízes reais e iguais, x₁ = x₂);

• Δ < 0 (a equação não tem raízes reais).

Comente com eles que, sempre que o primeiro membro da equação obtida, atribuindo 0 a y, puder ser fatorado em quadrado de uma soma ou de uma diferença, a função tem duas raízes reais iguais ou raiz dupla. Peça a eles que façam a verificação dêsse fato na função dada no exemplo b.

Página 247

c) y = ‒3x elevado a 2 + 2x ‒ 1 ‒3x elevado a 2 + 2x ‒ 1 = 0 Δ = b elevado a 2 ‒ 4ac Δ = (2)elevado a 2 ‒ 4 · (‒3) · (‒1) Δ = 4 ‒ 12 = ‒8 Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. Portanto, a parábola não corta o eixo x.

Ilustração. Folha de papel com as informações: Como a é igual a menos 3, portanto a é menor que 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Abaixo, eixo x sem nenhum valor destacado. Abaixo da semirreta que corresponde a este eixo, uma parábola com concavidade para baixo.

No esboço do gráfico de uma função quadrática, podem ocorrer os seguintes casos:

Quadro-resumo da relação entre os zeros da função quadrática e seu gráfico
	a > 0	a < 0
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

49 Determine no caderno os zeros (se existentes) das funções quadráticas e faça um esboço do gráfico de cada uma.

a) y = x elevado a 2 ‒ 6x + 8

b) y = x elevado a 2 + 2

c) y = ‒x elevado a 2 + 4x

d) y = x elevado a 2 ‒ 6x + 9

e) y = ‒9x elevado a 2 + 12x ‒ 4

f) y = 2x elevado a 2 ‒ 2x + 1

50 A trajetória de um projétil lançado obliquamente por um canhão, em um local plano e horizontal, é dada por parte do gráfico da função cuja lei é:

y = \frac{‒ x^{2}}{32} + \frac{x}{8}

Se as medidas das distâncias horizontal e vertical, em relação ao canhão, são dadas em quilômetro e representadas, respectivamente por x e y, determine a quantos quilômetros do canhão o projétil caiu.

Respostas e comentários

49. Construção de figura.

49. a) 2 e 4.

49. b) Não existem.

49. c) 0 e 4.

49. d) 3

49. e)

\frac{2}{3}

49. f) Não existem.

50. 4 quilômetros

Exercícios propostos

No exercício 49, ao fazer y = 0 em cada item, obtemos as raízes das equações.

A resolução do exercício 49 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Aqui, considerando as raízes de cada função, apresentamos o esboço de cada uma delas.

a) Encontramos como zeros da função: 2 e 4. Considerando que o coeficiente a é positivo, a concavidade é para cima:

Ilustração. Eixo x com os pontos 2 e 4. Parábola com concavidade para cima passa pelos dois pontos.

b) A equação não tem raízes reais; logo, a função dada por y = x2 + 2 não tem zeros. Como a = 1, a concavidade é voltada para cima:

Ilustração. Eixo x. Acima da semirreta que corresponde a este eixo, uma parábola com concavidade para cima.

c) Encontramos como zeros da função: 0 e 4. Como a = ‒1, a concavidade é voltada para baixo:

Ilustração. Eixo x com os pontos menos 0 e 4. Parábola com concavidade para baixo passa pelos dois pontos.

d) Encontramos como zero da função: 3. Como a = 1, a concavidade é voltada para cima:

Ilustração. Eixo x com o ponto 3. Parábola com concavidade para cima passa pelo ponto.

e) Encontramos como zero da função:

\frac{2}{3}

. Como a = ‒9, a concavidade é voltada para baixo:

Ilustração. Eixo x com o ponto fração; 2 terços. Parábola com concavidade para baixo passa pelo ponto.

f) A equação não tem raízes reais; logo, a função dada por y = 2x2 ‒ 2x + 1 não tem zeros. Como a = 2, a concavidade é voltada para cima:

A resolução do exercício 50 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Página 248

Coordenadas do vértice da parábola

Observe o gráfico correspondente à função y = x 2 ‒ 2x ‒3.

Gráfico de função no plano cartesiano x y. No eixo x, são destacados os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, são destacados os valores menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5. São destacados os pontos: (menos 2, 5), (menos 1, 0), (0, menos 3), (1, menos 4), (2, menos 3), (3, 0) e (4, 5). Uma parábola com concavidade para cima é traçada sobre esses pontos. Uma reta vertical que passa pelo ponto (1, menos 4), o ponto mais baixo da parábola, é indicada, por uma seta como o eixo de simetria. Linhas tracejadas mostram que há simetria entre os pontos (menos 2, 5) e (4, 5), (menos 1, 0) e (3, 0) e (0, menos 3) e (2, menos 3). — Os pontos destacados com a mesma cor são simétricos em relação ao eixo de simetria da parábola.

Note que a abscissa do vértice da parábola (x = 1) corresponde à metade da soma das abscissas dos pontos que são simétricos em relação ao eixo de simetria da parábola. Assim, considerando os pares de pontos destacados no gráfico, obtemos:

\frac{‒ 2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1

\frac{‒ 1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1

\frac{0 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1

Substituindo x por 1 em y = x 2 ‒ 2x ‒3 e efetuando os cálculos, obtemos a ordenada do vértice:

y = (1)elevado a 2 ‒ 2(1) ‒ 3 = 1 ‒ 2 ‒ 3 = ‒ 4

De modo geral, podemos relacionar a abscissa do vértice da parábola (x_v ) que representa a função quadrática dada por fabre parênteses décimafecha parênteses = ax 2 + bx + c aos coeficientes a e b.

Gráfico de função no plano cartesiano x y. No eixo x, são destacados os valores: 0, (x v menos 1), x v, e (x v mais 1). No eixo y, são destacados os valores: y1, e y v. Uma parábola com concavidade para baixo é traçada, passando pelos pontos P, de coordenadas iguais a: x v menos 1, e y1; Q, de coordenadas: x v mais 1, e y1. O vértice da parábola está no ponto de coordenadas (x v, y v). Uma reta vertical que passa pelo vértice e pelo ponto x v é indicada por uma seta como o eixo de simetria.

Ilustração. Menino branco, de cabelo castanho, camiseta azul, usa óculos. Ele diz: Observe que os pontos P e Q são simétricos em relação ao eixo de simetria da parábola.

Por causa da simetria do gráfico, observe, por exemplo, que as abscissas (x_V ‒ 1) e (x_V + 1) estão a uma mesma distância de xV e que f (x_V ‒ 1) = f (x_V + 1) = y1. Dessa fórma, obtemos:

a(x_V ‒ 1)elevado a 2 + b(x_V ‒ 1) + c = a(x_V + 1)elevado a 2 + b(x_V + 1) + c

a[(x_V)elevado a 2 ‒ 2x_V · 1 + 1] + b (x_V ‒ 1) + c = a[(x_V)elevado a 2 + 2x_V · 1 + 1] + b(x_V + 1) + c

a(x_V)elevado a 2 ‒ 2ax_V + a + bx_V ‒ b + c = a(x_V)elevado a 2 + 2ax_V + a + bx_V + b + c

‒2ax_V ‒ b = 2ax_V + b

‒4ax_V = 2b

x_V =

\frac{2 b}{‒ 4 a}

, ou seja:

Fórmula. x do vértice é igual a fração; numerador: menos b; denominador: 2a.

Respostas e comentários

Coordenadas do vértice da parábola

Relembre com os estudantes o conceito de simetria de reflexão em relação a uma reta.

Neste tópico, retomamos o conceito de eixo de simetria para obter a fórmula da abscissa do vértice. Em um primeiro momento, obtemos a abscissa do vértice de determinada função polinomial do 2º grau. Em seguida, generalizamos o procedimento e desenvolvemos o cálculo cujo resultado é expresso por:

x_{V} = ‒ \frac{b}{2 a}

Comente com os estudantes que, na demonstração, foram considerados dois pontos simétricos quaisquer em relação ao eixo de simetria e que, por esse motivo, poderíamos considerar outros pares de abscissas como xV ‒ 2, xV + 2 ou xV ‒ 3, xV + 3 etcétera

Página 249

Ilustração. Mulher branca, de cabelo ruivo e camiseta roxa. Ela fala: Conhecida a abscissa do vértice da parábola, o valor da ordenada pode ser obtido atribuindo o valor de x do vértice à variável x da função dada.

Como exemplo, vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola das funções quadráticas dadas por:

a) y = x elevado a 2 ‒ 8x + 15

• Abscissa do vértice:

x_{V} = \frac{‒ b}{2 a} = \frac{‒ (‒ 8)}{2 \cdot (1)} = \frac{8}{2} = 4

• Ordenada do vértice:

Substituindo x por 4 na lei da função, obtemos:

y_V = (4)elevado a 2 ‒ 8 · (4) + 15 = 16 ‒ 32 + 15 = ‒1

Logo, o vértice da parábola é V (4, ‒1).

Note que a > 0 e Δ = 4 > 0.

Ilustração. Esboço do gráfico da função f de x igual a y, em uma folha de papel. Parábola com concavidade para cima e vértice no ponto (4, menos 1).

b) y = 2x elevado a 2 ‒ 3x + 2

• Abscissa do vértice:

x_{V} = \frac{‒ b}{2 a} = \frac{‒ (‒ 3)}{2 \cdot (2)} = \frac{3}{4}

• Ordenada do vértice:

y_{V} = 2 \cdot {(\frac{3}{4})}^{2} ‒ 3 \cdot (\frac{3}{4}) + 2 =

2 \cdot (\frac{9}{16}) ‒ \frac{9}{4} + 2 = \frac{18}{16} ‒ \frac{9}{4} + 2 =

= \frac{18}{16} ‒ \frac{36}{16} + \frac{32}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}

Portanto, o vértice da parábola é

V (\frac{3}{4}, \frac{7}{8})

Note que a > 0 e Δ = ‒7 < 0.

Ilustração. Esboço do gráfico da função f de x igual a y, em uma folha de papel. Parábola com concavidade para cima e vértice no ponto (fração 3 quartos, e fração 7 oitavos).

Valor máximo e valor mínimo de uma função polinomial do 2º grau

Considere as funções polinomiais do 2º grau cujos gráficos estão representados a seguir.

Gráfico de função no plano cartesiano x y. Parábola com concavidade para cima, com vértice no ponto (x v, y v), que é o ponto de mínimo. O gráfico indica: a maior que 0.

Gráfico de função no plano cartesiano x y. Parábola com concavidade para baixo, com vértice no ponto (x v, y v), que é o ponto de máximo. O gráfico indica: a menor que 0.

Respostas e comentários

Coordenadas do vértice da parábola

Reforce com os estudantes que o vértice é um ponto importante da parábola porque é nele que a função muda de sentido, de crescente para decrescente ou vice-versa.

Essa importância pode ser reforçada também pelo fato de que a ordenada do vértice determina o ponto de maior ordenada do gráfico da função (ponto de máximo, quando a < 0) ou de menor ordenada (ponto de mínimo, quando a > 0).

Página 250

Examinando esses gráficos, podemos dizer que:

• se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado ponto de mínimo, e a ordenada do vértice, valor mínimo da função;

• se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é chamado ponto de máximo, e a ordenada do vértice, valor máximo da função.

Acompanhe dois exemplos.

a) Para que valor de x o valor de y = ‒2x elevado a 2 + 6x + 1 é máximo?

O ponto de máximo de uma função polinomial do 2º grau com a < 0 é o vértice V. Como queremos o valor de x, devemos calcular x_V.

x_{V} = ‒ \frac{b}{2 a} = \frac{‒ (+ 6)}{2 \cdot (‒ 2)} = \frac{‒ 6}{‒ 4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1, 5

Logo, y tem valor máximo para x = 1,5.

b) Vamos determinar o valor mínimo da função dada pela lei y = x elevado a 2 ‒ 10x + 24.

O valor mínimo de uma função polinomial do 2º grau com a > 0 é dado pela ordenada y_V do vértice da parábola. Primeiro, calculamos x_V:

x_{V} = \frac{‒ b}{2 a} = \frac{10}{2} = 5

Agora, calculamos y_V , substituindo x por 5 na lei da função: y_V = 5elevado a 2 ‒ 10 · 5 + 24 = 25 ‒ 50 + 24 = ‒1 Logo, o valor mínimo dessa função ocorre quando y = ‒1.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

51 Determine no caderno as coordenadas do vértice da parábola em cada caso.

a) y = ‒x elevado a 2 ‒ 8x + 16

b) y = 2x elevado a 2 + 6x

c) y = x elevado a 2 ‒ 16

52 O ponto de vértice da parábola definida pela lei da função y = 3x elevado a 2 ‒ px + 2q é dado por V (2, 1). Determine no caderno os valores reais de p e q.

53 Verifique se a função tem ponto de máximo ou de mínimo.

a) y = 4x elevado a 2 ‒ 9x + 2

b) y = x elevado a 2 + 3x ‒ 70

c) y = ‒x elevado a 2 + 14x ‒ 24

d) y = 5x elevado a 2 ‒ 6x

e) y = ‒3x elevado a 2 + 9x

f) y = ‒2x elevado a 2 ‒ 50

54 Para cada lei da função, calcule no caderno o x correspondente ao valor mínimo.

a) y = 3x elevado a 2 ‒ 4x + 1

b) y = x elevado a 2 + 12x + 11

55 Para cada lei da função, calcule no caderno o x correspondente ao valor máximo.

a) y = ‒2x elevado a 2 + 11x ‒ 5

b) y = ‒2x elevado a 2 + 25x ‒ 150

56 Calcule no caderno o valor máximo da função dada pela lei y = ‒x elevado a 2 + 11x ‒ 18.

57 Calcule no caderno o valor mínimo da função dada pela lei y = x elevado a 2 ‒ 6x + 8.

58 Fernando demarcou uma região retangular de 100 métros de medida do perímetro em um terreno para construir uma casa.

Calcule no caderno as dimensões dessa região para que Fernando aproveite a maior medida de área possível.

59 O custo C, em real, de um produto é dado por centésimaabre parênteses décimafecha parênteses = x elevado a 2 ‒ 80x + .3000, sendo x a quantidade de unidades produzidas.

a) Qual deve ser a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo?

b) Qual é o valor dêsse custo mínimo?

Respostas e comentários

51. a) V (‒4, 32)

51. b)

V (‒ \frac{3}{2}, ‒ \frac{9}{2})

51. c) V (0, ‒16)

52. p = 12 e q =

\frac{13}{2}

53. a) Ponto de mínimo.

53. b) Ponto de mínimo.

53. c) Ponto de máximo.

53. d) Ponto de mínimo.

53. e) Ponto de máximo.

53. f) Ponto de máximo.

54. a) x =

\frac{2}{3}

54. b) x = ‒6

55. a) x =

\frac{11}{4}

55. b) x =

\frac{25}{4}

56. y =

\frac{49}{4}

57. y = ‒1

58. A maior medida de área é obtida por um quadrado medindo 25 métros de lado.

59. a) 40 unidades.

59. b) R$ 1.400,00mil quatrocentos reais

Coordenadas do vértice da parábola

Se julgar conveniente, incentive os estudantes a demonstrar a expressão da ordenada do vértice,

y_{V} = ‒ \frac{Δ}{4 a}

. Para isso, pode-se utilizar a expressão de x_V em y = ax2 + bx + c.

Exercícios propostos

Neste bloco de exercícios, iniciamos pelos exercícios de aplicação da fórmula da abscissa do vértice para que os estudantes adquiram habilidade do cálculo do valor numérico.

As resoluções dos exercícios 51 a 59 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Os exercícios 58 e 59 propõem uma aplicação da fórmula para a resolução de situações-problema contextualizadas. O exercício 58 articula a Unidade Temática Álgebra com a Geometria, enquanto o exercício 59 trabalha no campo da minimização de custo.

Página 251

Construção do gráfico de uma função polinomial do 2º grau

Ilustração. Homem branco, de cabelo preto, barba e camisa vermelha. Ele fala: A parte da parábola que melhor caracteriza o gráfico da função polinomial do segundo grau é a parte próxima do vértice. Por isso, utilizamos o procedimento a seguir.

• Determinamos as coordenadas do vértice V ;

• atribuímos a x valores próximos de décimo_V e calculamos os correspondentes valores de y ;

• construímos um quadro com os pontos determinados;

• marcamos, no plano cartesiano, os pontos obtidos;

• considerando o sentido da concavidade dada pelo sinal de a, traçamos o gráfico (a parábola).

Acompanhe alguns exemplos.

a) y = x elevado a 2 ‒ 4x + 3

• Coordenadas do vértice:

Portanto, V(2, ‒1) é o vértice da parábola.

Vamos atribuir a x valores próximos de x_V.

Esquema. À esquerda, chave abaixo do intervalo de 0 a 1 indicando que são os valores menores. À direita, chave abaixo do intervalo de 3 a 4 indicando que são os valores maiores. No meio, o número 2, indicado como: x v.

Para x = 0, obtemos: y = (0)elevado a 2 ‒ 4 · (0) + 3 = 0 ‒ 0 + 3 = 3

Para x = 1, obtemos: y = (1)elevado a 2 ‒ 4 · (1) + 3 = 1 ‒ 4 + 3 = 0

Para x = 3, obtemos: y = (3)elevado a 2 ‒ 4 · (3) + 3 = 9 ‒ 12 + 3 = 0

Para x = 4, obtemos: y = (4)elevado a 2 ‒ 4 · (4) + 3 = 16 ‒ 16 + 3 = 3

Quadro com alguns pontos simétricos e o vértice do gráfico da função
x	y = x2 − 4x + 3	(x, y)
0	3	(0, 3)
1	0	(1, 0)
2	−1	(2, −1)	V
3	0	(3, 0)
4	3	(4, 3)

Gráfico de função no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. No eixo x, são destacados os valores menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, são destacados os pontos menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3. Parábola com concavidade para cima, passando pelos pontos (0, 3), (1, 0), (2, menos 1), (3, 0) e (4, 3).

Respostas e comentários

Construção do gráfico de uma função polinomial do 2º grau

Já apresentamos uma abordagem inicial sobre o gráfico de uma função polinomial do 2º grau, estudamos os conceitos de concavidade e vértice da parábola, realizamos o cálculo dos zeros de uma função polinomial do 2º grau acompanhado de quadro analítico com os sinais do coeficiente a e do discriminante, demonstramos a fórmula da abscissa do vértice da parábola e obtivemos valor máximo e valor mínimo. Agora, chegamos à condição de organizar e utilizar todo esse conhecimento para a construção do gráfico de uma função polinomial do 2º grau, com critério e entendimento do procedimento. Neste momento, os estudantes adquirem autonomia para saber quais valores reais devem atribuir a x para obter pontos convenientes na construção dêsse gráfico.

É importante destacar a fala da personagem sobre o fato de que não podemos unir os pontos obtidos e organizados no quadro de coordenadas usando uma régua. Sempre que necessário, outros valores podem ser atribuídos a x e acrescentados ao quadro, obtendo, assim, mais pontos do gráfico que auxiliarão no traçado da linha.

Página 252

b) y = ‒x elevado a 2 + 4x ‒ 4

• Coordenadas do vértice:

Note que a < 0; então, a concavidade é voltada para baixo.

Quadro com alguns pontos simétricos e o vértice do gráfico da função
x	y = −x2 + 4x − 4	(x, y)
0	−4	(0, −4)
1	−1	(1, −1)
2	0	(2, 0)	V
3	−1	(3, −1)
4	−4	(4, −4)

c) y = x elevado a 2 ‒ 2x + 2

• Coordenadas do vértice:

Note que a > 0; então, a concavidade é voltada para cima.

Quadro com alguns pontos simétricos e o vértice do gráfico da função
x	y = x2 − 2x + 2	(x, y)
−1	5	(−1, 5)
0	2	(0, 2)
1	1	(1, 1)	V
2	2	(2, 2)
3	5	(3, 5)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

60 Construa o gráfico das funções quadráticas em uma folha de papel quadriculado.

a) y = x elevado a 2 + 2x ‒ 8

b) y = ‒x elevado a 2 + 6x ‒ 5

c) y = 3x elevado a 2 ‒12x + 9

d) y = ‒x elevado a 2 + x + 1

e) y = ‒x elevado a 2

f) y = x elevado a 2 ‒ x + 2

Respostas e comentários

60. Construção de gráficos.

Exercícios propostos

A resolução do exercício 60 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Se necessário, retome com os estudantes alguns pontos notáveis da parábola, como o vértice, as raízes (quando houver) e o ponto que o gráfico intersecta o eixo y (isto é, quando x = 0).

Após resolverem o exercício, sugerimos orientar os estudantes a compor os gráficos das funções de cada item utilizando algum recurso tecnológico. Eles podem criar um quadro de duas colunas, em uma planilha eletrônica, em que na primeira coluna digitam valores para x e na segunda coluna obtêm, por meio das ferramentas de cálculo automático da planilha eletrônica, os valores de y. Com esse conjunto de pares de pontos de um gráfico, podem plotar o gráfico com os recursos da planilha eletrônica. Neste caso, o gráfico será composto de pontos discretos (relativos aos pares de pontos que os estudantes digitarem). Contudo, pode-se ampliar o estudo discutindo com eles que, quanto mais pontos digitarem, mais o gráfico se aproxima de uma linha contínua. Se julgar pertinente, para visualizarem esse fato, solicite que utilizem algum software de geometria dinâmica a fim de obter, de fato, o gráfico de cada função.

Esse trabalho favorece o desenvolvimento da competência geral 5, pois os estudantes podem perceber como utilizar diferentes recursos tecnológicos para resolver problemas.

Página 253

61 Em uma folha de papel quadriculado e em um mesmo plano cartesiano, construa os gráficos das funções dadas pelas leis y = x elevado a 2 ‒ 4 e y = ‒x elevado a 2 + 4 e determine os pontos de intersecção desses dois gráficos.

Reúna-se com um colega para fazerem esta atividade.

Usando uma folha de papel quadriculado, construam, para cada item, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções dadas pelas seguintes leis:

a) fabre parênteses décimafecha parênteses = x elevado a 2, gabre parênteses décimafecha parênteses = x elevado a 2 + 1 e hidrogênioabre parênteses décimafecha parênteses = x elevado a 2 ‒ 1

b) fabre parênteses décimafecha parênteses = x elevado a 2 e gabre parênteses décimafecha parênteses = ‒x elevado a 2

c) fabre parênteses décimafecha parênteses = x elevado a 2, gabre parênteses décimafecha parênteses = 2x elevado a 2 e hidrogênioabre parênteses décimafecha parênteses = 4x elevado a 2

Comparando os gráficos em cada plano cartesiano, o que vocês podem observar?

PARA SABER MAIS

Uso do computador: parábolas

Com o auxílio de um software de geometria dinâmica, é possível estudar o que acontece com o gráfico de funções do tipo f(décima) = ax elevado a 2 + bx + c à medida que os coeficientes a, b e c variam.

1. Ao digitar fabre parênteses décimafecha parênteses = ax elevado a 2 + bx + c e teclar “Enter” no campo “Entrada” na tela inicial, aparecerá uma janela.

2. Clicando em “Criar Controles Deslizantes” na tela inicial, aparecerão os controles deslizantes correspondentes aos coeficientes a, b e c de fabre parênteses décimafecha parênteses = ax elevado a 2 + bx + c, além do gráfico para a = 1, b = 1 e c = 1.

3. É possível movimentar os cursores dos controles deslizantes para variar os valores dos coeficientes a, b e c .

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Imagine se modificarmos o coeficiente a. Em seguida, responda às questões a seguir.

a) O que acontece quando o valor absoluto de a aumenta?

b) O que acontece quando o valor absoluto de a diminui?

2 Imagine o que acontece se modificarmos o coeficiente c. Em seguida, responda às questões a seguir.

a) Qual é o papel do coeficiente c no gráfico de f abre parênteses décimafecha parênteses = ax elevado a 2 + bx + c?

b) Podemos associar esse coeficiente à ordenada de um ponto. Que ponto é esse?

3 Construa o gráfico de algumas funções quadráticas do tipo f abre parênteses décimafecha parênteses = ax elevado a 2 + c. Depois, responda às questões a seguir.

a) Em que ponto cada parábola traçada intersecta o eixo y?

b) Qual é o eixo de simetria de cada parábola traçada?

Respostas e comentários

61. (‒2, 0) e (2, 0).

62. Construção de gráficos.

62. a) Há uma translação vertical das parábolas.

62. b) As parábolas são simétricas em relação ao eixo x.

62. c) As parábolas têm o mesmo vértice e a concavidade para cima.

1. a) A abertura da parábola diminui.

1. b) A abertura da parábola aumenta.

2. a) O coeficiente c determina a translação vertical da parábola.

2. b) Ponto de intersecção da parábola com o eixo y.

3. a) No vértice.

3. b) Eixo y.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 61 e 62 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Para saber mais

Para desenvolver a atividade proposta nesta seção, indicamos utilizar um software de geometria dinâmica como o Geogebra (disponível em: https://oeds.link/oS3C7M; acesso em: 25 julho 2022) ou o Winplot (disponível em: https://oeds.link/ou6uyP. Acesso em: 25 julho 2022).

No Agora é com você!, para resolver a atividade 1, os estudantes devem atribuir diferentes valores para o coeficiente a e observar o comportamento do gráfico função.

De maneira semelhante, para a atividade 2, devem atribuir diferentes valores para c e observar o que muda no gráfico. Neste momento, eles poderão perceber que o valor do gráfico de uma função polinomial do 2º grau intersecta o eixo y sempre no ponto (0, c).

Na atividade 3, eles podem estudar um tipo específico de função polinomial do 2º grau, em que b = 0, e perceber que, nesse caso, o eixo y será o eixo de simetria do gráfico.

Sugestão de leitura

Sugerimos o material a seguir para aprofundar o uso de tecnologias digitais no estudo de funções:

SOUZA, A. S. Usando o Winplot. Universidade Federal da Paraíba, Departamento de Matemática. Disponível em: https://oeds.link/yQwrha. Acesso em: 25 julho 2022.

Nessa página, apresentam-se informações gerais sobre o Winplot e como utilizar esse software para compor gráficos de funções de diferentes maneiras.

Página 254

Estudo do sinal de uma função polinomial do 2º grau

Estudar o sinal de uma função polinomial do 2º grau é determinar os valores reais de x que tornam a função positiva (y > 0), negativa (y < 0) ou nula (y = 0). Para isso, é necessário determinar, quando houver, os zeros da função (valores de x que anulam a função), observar o sentido da concavidade (para cima ou para baixo) e esboçar seu gráfico.

Agora, acompanhe alguns exemplos do estudo do sinal de funções polinomiais do 2º grau.

a) Vamos estudar o sinal da função dada pela lei y = x elevado a 2 ‒ 6x + 8. Como a = 1 > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. Zeros da função x elevado a 2 ‒ 6x + 8 = 0 (a = 1 > 0, b = ‒6, c = 8) Δ = (‒6)2 ‒ 4 · 1 · 8 = 4

\sqrt{Δ} = \sqrt{4} = 2

Esquema. x é igual a fração numerador: 6 mais ou menos 2; denominador: 2; fim da fração. Uma primeira seta indica que a raiz x1 é igual a fração numerador: 6 mais 2; denominador: 2; fim da fração, que é igual a fração; 8 meios; que é igual a 4. Uma segunda seta indica que a raiz x2 é igual a fração numerador: 6 menos 2; denominador: 2; fim da fração, que é igual a fração; 4 meios; que é igual a 2.

Estudo do sinal

• Para x < 2 ou x > 4, obtemos: y > 0; pontos acima do eixo x.

• Para x = 2 ou x = 4, obtemos: y = 0; pontos do eixo x.

• Para 2 < x < 4, obtemos: y < 0; pontos abaixo do eixo x.

Ilustração. Esboço do gráfico. Eixo x. Uma parábola com concavidade para cima passa pelos valores 2 e 4. Na região à esquerda, acima do eixo x e à esquerda de 2, a função é positiva (maior que zero). Na região abaixo da semirreta que representa o eixo x, entre 2 e 4, a função é negativa (menor que zero). À direita, na região acima do eixo x e à direita do 4, a função é positiva (maior que zero).

b) Vamos estudar o sinal da função dada pela lei y = ‒x 2 ‒ 6x ‒ 9. Como a = ‒1 < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. Zeros da função ‒x elevado a 2 ‒ 6x ‒ 9 = 0 (a = ‒1 < 0, b = ‒6, c = ‒9) Δ = (‒6)elevado a 2 ‒ 4 · (‒1) · (‒9) = 0

\sqrt{Δ} = \sqrt{0} = 0

x = \frac{‒ (‒ 6)}{2 \cdot (‒ 1)} = \frac{6}{‒ 2} = ‒ 3

Estudo do sinal

• Para x ≠ ‒3, obtemos: y < 0; pontos abaixo do eixo x.

• Para x = ‒3, obtemos: y = 0; ponto do eixo x.

• Não existe valor real de x que torne y > 0.

Ilustração. Esboço do gráfico. Eixo x. Uma parábola com concavidade para baixo passa pelo valor menos 3. Na região à esquerda de 3, abaixo do eixo x, a função é negativa (menor que zero). Na região à direita de 3, abaixo do eixo x, a função também é negativa.

Respostas e comentários

Estudo do sinal de uma função polinomial do 2º grau

Peça aos estudantes que observem que, assim como estudamos o sinal da função polinomial do 1º grau, também o fazemos com o sinal da função polinomial do 2º grau, que pode ser usado em estudos mais avançados para aplicar em restrições de situações-problema contextualizadas.

Preferencialmente em duplas, solicite aos estudantes uma leitura atenta dos exemplos do estudo do sinal das funções apresentadas para propiciar a troca de entendimentos e de dúvidas. Depois, verifique se há alguma dúvida sobre esses exemplos.

Página 255

c) Vamos estudar o sinal da função dada pela lei y = x elevado a 2 ‒ 3x + 3. Como a = 1 > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. Zeros da função x elevado a 2 ‒ 3x + 3 = 0 (a = 1 > 0, b = ‒3, c = 3) Δ = (‒3)elevado a 2 ‒ 4 · 1 · 3 = ‒3 A função não tem zeros reais. Estudo do sinal A função nunca se anula e não existe valor de x real que a torne negativa, ou seja, para qualquer x real, a função sempre é positiva.

Ilustração. Esboço do gráfico. Eixo x. Uma parábola com concavidade para cima, acima do eixo x. Na região acima do eixo x, a função é positiva.

d) Vamos estudar o sinal da função dada pela lei y = ‒x elevado a 2 + 3x ‒ 3. Como a = ‒1 < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. Zeros da função ‒x elevado a 2 + 3x ‒ 3 = 0 (a = ‒1 < 0, b = 3, c = ‒3) Δ = 32 ‒ 4 · (‒1) · (‒3) = ‒3 A função não tem zeros reais. Estudo do sinal A função nunca se anula e não existe valor de x real que a torne positiva, ou seja, para cada x real, a função sempre é negativa.

Ilustração. Esboço do gráfico. Eixo x.Uma parábola com concavidade para baixo, abaixo do eixo x. Na região abaixo do eixo x, a função é negativa.

EXERCÍCIO PROPOSTO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

63 Faça o estudo do sinal das funções dadas pelas leis:

a) y = x elevado a 2 ‒ 3x + 2

b) y = 6x elevado a 2 ‒ 5x + 1

c) y = ‒2x elevado a 2 ‒ 5x + 3

d) y = x elevado a 2 + 8x + 16

e) y = ‒x elevado a 2 + 12x ‒ 36

f) y = 3x elevado a 2 ‒ 2x + 1

PARA SABER MAIS

Sistema de equações do 2º grau

Na linguagem matemática, as situações que relacionam dados por meio de uma igualdade são expressas por uma equação. Duas ou mais equações, com incógnitas em comum, constituem um sistema de equações. Se pelo menos uma delas é do 2º grau, obtemos um sistema de equações do 2º grau.

Respostas e comentários

63. a) x < 1 ou x > 2: y > 0; x = 1 ou x = 2: y = 0; 1 < x < 2: y < 0

63. b) x <

\frac{1}{3}

ou x >

\frac{1}{2}

: y > 0; x =

\frac{1}{3}

ou x =

\frac{1}{2}

: y = 0;

\frac{1}{3}

< x <

\frac{1}{2}

: y < 0

63. c) ‒3 < x <

\frac{1}{2}

: y > 0; x = ‒3 ou x =

\frac{1}{2}

: y = 0; x < ‒3 ou x >

\frac{1}{2}

: y < 0

63. d) x ≠ ‒4: y > 0; x = ‒4: y = 0

63. e) x = 6: y = 0; x ≠ 6: y < 0

63. f) Para qualquer x real a função é sempre positiva.

Estudo do sinal de uma função polinomial do 2º grau

Solicite aos estudantes que comparem as expressões que definem as duas funções dos exemplos c e d. Depois, peça que respondam qual é a consequência dessa relação nos dois gráficos. Eles devem perceber que a expressão da função no exemplo d é a oposta da expressão do exemplo c e que a consequência no plano cartesiano é a reflexão do gráfico do item c em relação ao eixo x, resultando no gráfico do item d. Se julgar pertinente, sugira que construam os gráficos dessas funções em um mesmo plano cartesiano e, para isso, utilizem folha de papel quadriculado.

Exercício proposto

A resolução do exercício 63 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Após a resolução dêsse exercício, peça aos estudantes que investiguem o que acontece com os gráficos das funções polinomiais do 2º grau cuja expressão da lei que as define tem os coeficientes a, b e c com os sinais opostos aos dados em cada item. Eles devem verificar que cada gráfico é obtido pela reflexão do respectivo gráfico do item.

Página 256

Considere a situação a seguir.

Hoje, a soma das idades de um tio e de seu sobrinho é 38 anos. Sabendo que daqui a 2 anos a idade do tio será igual ao quadrado da idade do sobrinho, calcule a idade de cada um hoje.

Ilustração. Homem branco, de cabelo preto, camisa cinza listrada e calça preta. Ele está sentado em um banco com um menino branco, de cabelo preto, camiseta roxa e bermuda. Atrás, lago com grama e vegetação.

Para calcular as idades, vamos chamar de x a idade do tio e de y a idade do sobrinho. Com os dados fornecidos, podemos montar o seguinte sistema:

\{\begin{cases} x + y = 38 \\ x + 2 = {(y + 2)}^{2} \end{cases}

Isolando x na equação x + y = 38, obtemos:

x = 38 ‒ y

Substituindo x por 38 ‒ y na equação x + 2 = ( y + 2)elevado a 2, obtemos:

x + 2 = ( y + 2)elevado a 2

38 ‒ y + 2 = y elevado a 2 + 4y + 4

‒y elevado a 2 ‒ y ‒ 4y + 38 + 2 ‒ 4 = 0

‒y elevado a 2 ‒ 5y + 36 = 0

y elevado a 2 + 5y ‒ 36 = 0

Resolvendo essa equação na incógnita y, obtemos:

Δ = b elevado a 2 ‒ 4ac = 5elevado a 2 ‒ 4 · 1 · (‒36) = 25 + 144 = 169

\sqrt{Δ} = \sqrt{169} = 13

Esquema. y é igual a fração numerador: menos b, mais ou menos raiz quadrada de delta; denominador: 2 a; fim da fração, que é igual a fração numerador: menos 5 mais ou menos 13; denominador: 2 vezes 1; fim da fração, que é igual a fração numerador: menos 5 mais ou menos 13; denominador: 2. Uma primeira seta indica que a raiz y1 é igual a fração numerador: menos 5 mais 13; denominador: 2; fim da fração, é igual a fração; 8 meios, que é igual a 4. Uma segunda seta indica que a raiz y2 é igual a fração numerador: menos 5 menos 13; denominador: 2; fim da fração, que é igual a fração numerador: menos 18; denominador: 2, que é igual a menos 9.

Como não pode haver idade negativa, então y = 4.

Portanto, o sobrinho tem 4 anos.

Substituindo y por 4 na equação x = 38 ‒ y, encontramos a idade do tio.

x = 38 ‒ y = 38 ‒ 4 = 34

Logo, hoje o sobrinho tem 4 anos e o tio, 34 anos.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Determine no caderno dois números positivos a e b de modo que a + b = 2 e a elevado a 2 + b elevado a 2 =

\frac{5}{2} .

2 A diferença entre dois números é 3. A soma de seus quadrados é 17. Qual é o maior desses números?

3 Na figura, a área verde mede 51 centímetros quadrados, e a diferença entre as medidas dos lados dos quadrados é 3 centímetros. Calcule no caderno a medida da área amarela.

Ilustração. Quadrado verde cujos lados medem x. Dentro deste quadrado, no canto inferior direito, um quadrado amarelo, menor, cujos lados medem y.

Respostas e comentários

1. a =

\frac{1}{2}

e b =

\frac{3}{2}

ou a =

\frac{3}{2}

e b =

\frac{1}{2}

2. Há duas possibilidades para o maior número: 4 ou ‒1.

3. 49 centímetros quadrados

Para saber mais

A seção traz uma situação‑problema cuja solução demanda a aplicação de um sistema de equações, das quais uma é equação do 2º grau.

Questione os estudantes se também seria possível, para resolver um sistema como esse, usar os métodos estudados anteriormente (adição e comparação). Eles devem concluir que podem utilizar o método da adição apenas se, na adição membro a membro, eliminarmos a incógnita que tem grau 1.

As resoluções das atividades 1 a 3 do Agora é com você! estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Página 257

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Ícone do Tema Contemporâneo Transversal: CIDADANIA E CIVISMO.

O envelhecimento populacional

O artigo 3º da lei 10.741 estabelece que é obrigação de todos, inclusive do Estado, garantir aos idosos (pessoas com 60 anos ou mais) a efetivação do direito à vida, à saúde, à alimentação e, entre outros, à dignidade.

Em 1950, o total de brasileiros idosos era maior do que 2,6 milhões e correspondia a cêrca de 4,9% da população naquele ano. Já em 2020, o total de brasileiros idosos era de quase 30 milhões, cêrca de 14% da população brasileira. Esses dados evidenciam o envelhecimento populacional, que pode ser analisado, também, por meio do índice de envelhecimento (í ê). Esse índice é a razão entre o número de pessoas idosas e o número de jovens (crianças e adolescentes até 14 anos). A população é considerada idosa quando o í ê é maior do que 1.

Alguns meios de comunicação expressam a preocupação de que o envelhecimento populacional comprometa o crescimento econômico, pois a população em idade ativa diminui em relação à população total, como indica o gráfico a seguir.

Gráfico de linhas. Título: Projeção de número de jovens (0 a 14 anos) e de idosos (60 anos ou mais) no Brasil: de 2010 a 2060. No eixo x, os anos de 2010, 2015, 2020, 2025, 2030, 2035, 2040, 2045, 2050, 2055 e 2060. No eixo y, o número de pessoas: 10.000.000, 20.000.000, 30.000.000, 40.000.000, 50.000.000, 60.000.000, 70.000.000 e 80.000.000. Linha azul, que indica população de 0 a 14 anos, decresce do valor de aproximadamente 50.000.000, em 2010, até aproximadamente 35.000.000, em 2060. Linha laranja, que indica população com 60 anos ou mais, cresce do valor de aproximadamente 20.000.000, em 2010, para um pouco mais de 70.000.000 em 2060. As linhas se cruzam em 2030, com aproximadamente 40.000.000 pessoas — Dados obtidos em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Projeções da população do Brasil e Unidades da Federação por sexo e idade: 2010 a 2060. Rio de Janeiro: í bê gê É, 2018. Disponível em: https://oeds.link/N3VjTX. Acesso em: 6 julho 2022.

Apesar da preocupação em relação à diminuição da população em idade ativa, há outros fatores que podem ser considerados, como o comportamento dessa população. A inserção da mulher no mercado de trabalho, por exemplo, possibilitou que a população ocupada passasse de 32% em 1950 para 45,3% em 2010.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Reúna-se em um grupo e façam o que se pede.

a) Determinem uma função polinomial do 1º grau, fabre parênteses décimafecha parênteses, que indique, aproximadamente, a projeção de número de jovens de 2010 a 2060. Depois, determinem uma função polinomial do 1º grau, gabre parênteses décimafecha parênteses, que aproxime a projeção do número de idosos nesse mesmo período. Considere que x = 0 corresponde ao ano 2010; x = 1, ao ano 2015; x = 2, ao ano 2020; e assim sucessivamente até x = 10, correspondendo ao ano 2060.

b) Em que ano, aproximadamente, o índice de envelhecimento (í ê) será maior do que 1 de acordo com essas projeções?

c) Na opinião de vocês, qual é a importância da participação das mulheres no mercado de trabalho, considerando o envelhecimento populacional?

d) Qual é a importância da projeção do envelhecimento populacional em relação às políticas públicas que garantem os direitos dos idosos?

e) Pesquisem informações sobre envelhecimento saudável e, depois, com base na projeção do envelhecimento populacional, discutam como vocês poderiam se preparar para envelhecer de maneira saudável.

Respostas e comentários

a) Veja a resposta neste Manual.

b) Após 2030, aproximadamente.

c) Resposta pessoal.

d) Resposta pessoal.

e) Resposta pessoal.

Trabalhando a informação

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah zero seis.

A seção trata de funções polinomiais e análise de gráfico com o tema “Envelhecimento populacional”. Ao explorar esse tema contribui-se para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal processo de envelhecimento, respeito e valorização do idoso.

Agora quem trabalha é você!

Pode-se trabalhar as atividades coletivamente. Incentive os estudantes a discutir os assuntos abordados.

Para responder ao item b, os estudantes devem observar o gráfico e notar que após 2030, aproximadamente, o índice de envelhecimento será maior do que 1.

No item c, espera-se que os estudantes percebam que a inserção das mulheres no mercado de trabalho possibilita recompor a população em idade ativa, por exemplo. Além disso, a igualdade de direitos e a de participação na sociedade, em todas as esferas, independente do gênero, contribuem para que as mulheres assumam autonomia no desenvolvimento de seus projetos de vida.

No item d, espera-se que os estudantes percebam que projeções como essas possibilitam antecipar possíveis cenários e, assim, são instrumentos para requerer dos governantes políticas públicas que garantam o direito à vida e à dignidade humana agora e no futuro.

Após a pesquisa realizada no item e, espera-se que os estudantes percebam que, para possibilitar um processo de envelhecimento saudável, é importante ter hábitos como praticar regularmente atividades físicas, alimentar-se de maneira balanceada, dormir adequadamente ou proteger-se financeiramente, na medida do possível, por exemplo.

A resolução do item a está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Página 258

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Logo depois da formatura, a família de Juliana resolveu comemorar em uma pizzaria. Ao se despedirem, todos os familiares deram apertos de mão. Juliana calculou que o total de cumprimentos foi 78. Sabendo que, quando uma pessoa cumprimenta outra, esta outra também está cumprimentando-a, portanto, conta-se como um só cumprimento, quantas pessoas estavam participando dessa comemoração?

Ilustração. Seis pessoas reunidas ao redor de uma mesa. Há pizzas sobre a mesa.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Considerando a figura, expresse a medida da área y da região verde em função de x.

Ilustração. Retângulo verde, cujos lados medem x mais 3, e x. Dentro dele, centralizado, há um retângulo menor, cujos lados medem x menos 3, e 2.

2 Considerando a função dada pela lei

f (x) = \frac{3 x}{5} ‒ \frac{7}{4}

, calcule no caderno:

\frac{f (15) ‒ f (10)}{15 ‒ 10}

3 Uma função é dada pela lei f (x) = 10x + 10. Calcule no caderno f (10) ‒ f (0).

4 Observe este gráfico da função polinomial f do 1º grau:

Gráfico de função no plano cartesiano x y, em malha quadriculada. No eixo x, são destacados os valores menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4. No eixo y, são destacados os valores menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e 3. Uma reta, em azul, passa pelos pontos (menos 3, menos 2), (menos 1, 0), (0, 1) e (2, 3).

Determine no caderno o que se pede em cada item.

a) f (‒3)

b) f (0)

c) O valor de x para y = 3.

d) O zero da função.

• Agora, responda: o gráfico passa pelo ponto (10, 11)?

5 Considere a função polinomial do 1º grau dada pela lei y = 7x ‒ 4.

a) Determine no caderno o zero da função.

b) Construa, em uma folha de papel quadriculado, o gráfico dessa função.

c) Para que valor de x se obtém f abre parênteses décimafecha parênteses = 2?

d) Para que valores de x se obtém y > 0?

6 Dadas as funções f abre parênteses décimafecha parênteses = 2x ‒ 6 e g abre parênteses décimafecha parênteses = ‒3x + 6, determine no caderno os valores reais de x de acordo com o que se pede em cada item.

a) f abre parênteses décimafecha parênteses > 0

b) g abre parênteses décimafecha parênteses > 0

c) f abre parênteses décimafecha parênteses = g abre parênteses décimafecha parênteses

d) f abre parênteses décimafecha parênteses > g abre parênteses décimafecha parênteses

7 O gráfico da função dada pela lei y = 6x + p passa pelo ponto (1, 11). Determine no caderno para que valores reais de x se obtém:

a) y = 23

b) y < 0

8 (saréspi) Um motoboy, para fazer entregas ou retirar documentos de escritórios espalhados pela cidade de São Paulo, recebe R$ 3,00três reais por quilômetro rodado. Suponhamos que ele passe a receber, mensalmente, um auxílio fixo de R$ 50,00cinquenta reais. O gráfico que representa o seu ganho mensal, em reais, em função dos quilômetros rodados é:

Gráfico de função no plano cartesiano. No eixo horizontal é indicado o número de quilômetros. No eixo vertical, o ganho mensal. Reta diagonal sai do ponto (0, 0) e segue crescente.

Gráfico de função no plano cartesiano. No eixo horizontal é indicado o número de quilômetros. No eixo vertical, o ganho mensal. Reta horizontal sai do ponto (0, 50) e fica constante.

Respostas e comentários

Pense mais um poucoreticências: 13 pessoas.

1. y = x 2 + x + 6

\frac{3}{5}

3. 100

4. a) f (‒3) = ‒2

4. b) f (0) = 1

4. c) x = 2

4. d) x = ‒1

4. Sim.

5. a)

x = \frac{4}{7}

5. b) Construção de gráfico.

5. c)

x = \frac{6}{7}

5. d)

x > \frac{4}{7}

6. a) x > 3

6. b) x < 2

6. c)

x = \frac{12}{5}

6. d)

x > \frac{12}{5}

7. a) x = 3

7. b)

x < ‒ \frac{5}{6}

8. Alternativa b.

Pense mais um poucoreticências

O desafio pode ser realizado com os estudantes organizados em duplas ou trios. A discussão entre eles favorece a exposição das ideias e amplia a busca de estratégias de resolução, enriquecendo o aprendizado.

Considerando que são n pessoas, cada uma cumprimentará (n ‒ 1) pessoa. Como devemos desconsiderar as repetições (o cumprimento entre a e B é o mesmo de B e a), o total de cumprimentos é dado por:

\frac{n \cdot (n ‒ 1)}{2}

Como são realizados 78 cumprimentos distintos, temos:

\frac{n \cdot (n ‒ 1)}{2} = 78

n2 ‒ n = 156

n2 ‒ n ‒ 156 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos n = ‒12 (não convém) ou n = 13.

Portanto, participaram 13 pessoas.

Após os estudantes resolverem esse exercício, peça-lhes para verificarem que:

\frac{13 \cdot 12}{2} = 78

Exercícios complementares

As resoluções dos exercícios 1 a 8 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Página 259

9 (unifór-Ceará) A função f do 1º grau é definida por f (x) = ‒3x + k. O valor de k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é:

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

e) 5.

10 Considere a função definida pela lei

y = x 2 ‒ 2x + 1.

a) Determine no caderno o(s) zero(s) dessa função.

b) Construa, em uma folha de papel quadriculado, o gráfico da função.

c) Para que valores de x obtemos y = 1?

d) Para que valores de x obtemos y > 0?

11 A medida da temperatura, em grau Celsius, no interior de uma câmara frigorífica é dada por uma função cuja lei é y = t 2 ‒ 7t + c, em que t indica a medida de tempo após a câmara ser ligada até atingir a temperatura mínima e y indica a medida da temperatura.

a) Sabendo que para t = 0 a temperatura mede 10 graus Célsius, calcule no caderno o valor de c.

b) Qual é a lei da função?

c) Calcule o valor de t para que a medida da temperatura seja a mínima possível.

12 (uquisal-Bahia) A parábola de equação y = 2x elevado a 2 ‒ 3x + 1 corta o eixo das abscissas nos pontos:

a) (0, 0) e (3, 0).

b) (0, 1) e (0, 2).

c) (0, 1) e

(0, \frac{1}{2})

d) (1, 0) e

(\frac{1}{2}, 0)

e) (2, 0) e (1, 0).

13 O custo (C ) de certo produto é obtido pela função definida pela lei centésimaabre parênteses décimafecha parênteses = x elevado a 2 ‒ 50x + 2, em que x representa a quantidade do produto. Calcule no caderno o valor de x para que o custo dêsse produto seja mínimo.

14 (púqui-Minas Gerais) O valor máximo da função f (x) = ‒x elevado a 2 + 2x + 2 é:

a) 2.

b) 3.

c) 4.

d) 5.

e) 6.

15 Em um experimento, um objeto é solto do alto de um prédio e cai, em queda livre, em direção ao chão. A medida de sua altura y em relação ao solo, x segundos após o lançamento, é dada por y = ‒16x 2 + 256. Quantos segundos após o lançamento o objeto atingirá o chão?

a) 2 segundos

b) 4 segundos

c) 6 segundos

d) 8 segundos

e) 16 segundos

16 (u éfe érre gê ésse-Rio Grande do Sul) Uma bola colocada no chão é chutada para o alto, percorrendo uma trajetória descrita por y = ‒2x elevado a 2 + 12x, em que y é a medida da altura dada em metro. A altura máxima atingida pela bola mede:

a) 36 métros.

b) 18 métros.

c) 12 métros.

d) 6 métros.

e) 3 métros.

17 Um engenheiro vai projetar uma piscina em fórma de paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas, em metro, são expressas por x, (20 ‒ x) e 2. Qual é a maior medida de volume que essa piscina poderá ter, em metro cúbico?

18 (ê ésse pê ême-São Paulo) A estrutura do lucro de uma pequena empresa pode ser estudada através da equação y = ‒x2 + 120x ‒ .2000, sendo y o lucro em real quando a empresa vende x unidades. Com base nisso, pode-se afirmar que:

a) o lucro é máximo quando x = 60.

b) o lucro é máximo quando x = .1600.

c) o lucro é máximo quando x = 20 ou x = 100.

d) o lucro é máximo quando x > .2000.

e) o lucro é máximo quando x < 20 ou x > 100.

19 O lucro (L) de uma empresa para certo produto é obtido pela função definida pela lei L = ‒2xelevado a 2 + .2000x ‒ 100, em que x representa a quantidade do produto. Calcule no caderno para quantas unidades se obtém o lucro máximo possível.

20 (éfespSão Paulo) Considere a função quadrática f (x) = (m + 1)x elevado a 2 ‒ 5x + 5.

a) Para que valores de m o gráfico da função tem concavidade voltada para baixo?

b) Para que valor de m o gráfico da função tangencia o eixo das abscissas?

21 Estude o sinal das funções quadráticas.

a) y = ‒3x elevado a 2 ‒ 5x + 2

b) y = 9x elevado a 2 ‒ 12x + 4

c) y = 4x elevado a 2 ‒ 2x + 3

d) y = 2x elevado a 2 ‒ 6x

22 Assinale a alternativa que indica quando o vértice da parábola que representa a função quadrática y = ax elevado a 2 + bx + c será um ponto do eixo das abscissas.

a) a = 0

b) Δ < 0

c) Δ = 0

d) Δ > 0

Respostas e comentários

9. Alternativa ê.

10. a) x = 1

10. b) Construção de gráfico.

10. c) x = 0 ou x = 2

10. d) x ≠ 1

11. a) c = 10

11. b) y = t 2 ‒ 7t + 10

11. c) 3,5 minutos.

12. Alternativa d.

13. x = 25

14. Alternativa b.

15. Alternativa b.

16. Alternativa b.

17. 200 métros cúbicos

18. Alternativa a.

19. quinhentas unidades.

20. a) m < ‒1

20. b)

m = \frac{1}{4}

21. Construção de gráficos.

22. Alternativa c.

Exercícios complementares

As resoluções dos exercícios 9 a 20 e do exercício 22 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Para o exercício 21, temos:

a) y = ‒3xelevado a 2 ‒5x + 2 ‒3xelevado a 2 ‒ 5x + 2 = 0 Δ = (‒5)elevado a 2 ‒ 4 · (‒3) · 2 = 49

x = \frac{5 \pm 7}{‒ 6} \Rightarrow

décimo₁ = ‒2 e décimo₂

= \frac{1}{3}

Ilustração. Esboço do gráfico. Eixo x. Uma parábola com concavidade para baixo passa pelos valores menos 2 e um terço. Na região à esquerda, abaixo do eixo x e à esquerda de menos 2, a função é negativa. Na região acima do eixo x, entre menos 2 e fração; um terço, a função é positiva. À direita, na região abaixo do eixo x e à direita do ponto fração; um terço, a função é negativa.

• x < ‒2 ou x >

\frac{1}{3}

⇒ y < 0.

• x entre ‒2 e

\frac{1}{3}

⇒ y > 0.

• x = ‒2 ou x =

\frac{1}{3}

⇒ y = 0.

b) y = 9xelevado a 2 ‒ 12x + 4 9xelevado a 2 ‒ 12x + 4 = 0 Δ = (‒12)2 ‒ 4 · 9 · 4 = 0

x = \frac{12 \pm 0}{18} = \frac{2}{3}

Ilustração. Esboço do gráfico. Eixo x. Uma parábola com concavidade para cima passa pelo valor 2 terços. Na região à esquerda de 2 terços, acima do eixo x, a função é positiva. Na região à direita de 2 terços, acima do eixo x, a função também é positiva.

•

x = \frac{2}{3} \Rightarrow y = 0

•

x \neq \frac{2}{3} \Rightarrow y > 0

Não existe valor real de x que torne a função negativa.

c) y = 4xelevado a 2 ‒ 2x + 3

4xelevado a 2 ‒ 2x + 3 = 0

Δ = (‒2)elevado a 2 ‒ 4 · 4 · 3 = ‒44

A função não tem zeros reais.

Para qualquer x real, a função é sempre positiva.

d) y = 2xelevado a 2 ‒ 6x

2xelevado a 2 ‒ 6x = 0

2x(x ‒ 3) = 0

x1 = 0 e x2 = 3

Ilustração. Esboço do gráfico. Eixo x. Uma parábola com concavidade para baixo passa pelos valores 0 e 3. Na região à esquerda, acima do eixo x e à esquerda de 0, a função é positiva. Na região abaixo do eixo x, entre 0 e 3, a função é negativa. À direita, na região acima do eixo x e à direita de 3, a função é negativa.

• x < 0 ou x > 3 ⇒ y > 0.

• x entre 0 e 3 ⇒ y < 0.

• x = 0 ou x = 3 ⇒ y = 0.

Página 260

VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Quais são os valores de y para x igual a 0, 1, 2 e 3 na função dada pela lei y = 14 ‒ 2x, respectivamente?

a) 8; 10; 12; 14.

b) 14; 12; 10; 8.

c) 12; 10; 8; 6.

d) 12; 12; 12; 12.

2 João trabalha com venda de planos de celular. Seu salário mensal é composto de um valor fixo de R$ 2.500,00dois mil quinhentos reais e de R$ 12,00doze reais por plano vendido. Qual é a equação que ele deve usar para calcular seu salário (S) em um mês em que vender uma quantidade v de planos?

a) v = 12 + .2500S

b) S = 12 + .2500v

c) v = .2500 + 12S

d) S = .2500 + 12v

3 Qual deve ser o valor de x para que y seja igual a 47 na função dada pela lei y = 20 + 3x?

a) 7

b) 9

c) 8

d) 10

4 Qual é a equação de 2º grau que dá a medida da área (a) de um retângulo de lados que medem x e x + 3?

a) A = x² + 3x

b) A = 3x²

c) A = x² + 3x²

d) A = 3x² + x

5 Qual é o zero da função dada pela lei y = 3x + 2?

a) 2

‒ \frac{3}{2}

‒ \frac{2}{3}

d) 3

6 Qual é a lei da função que relaciona as variáveis x e y no gráfico a seguir?

Gráfico de função no plano cartesiano x y. No eixo x, são destacados os valores 0, 1, 2 e 3. No eixo y, os valores 0, 1, 2, 3 e 4. Uma reta passa pelos pontos (0, 0) e (3, 3)

a) y =

\frac{x}{2}

b) y = 3x

c) y = 2x

d) y = x

7 Quais são os zeros da função polinomial do 2º grau dada pela lei y = ‒2xelevado a 2 + 5x ‒ 2?

\frac{1}{2}

e 2

‒ \frac{1}{2}

e 2

\frac{1}{2}

e ‒2

‒ \frac{1}{2}

e ‒2

8 qual é o zero ou quais são os zeros da função polinomial do 2º grau dada pela lei y = (4x ‒ 1)elevado a 2?

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

\frac{1}{4}

‒ \frac{1}{4}

\frac{1}{4}

9 Assinale a alternativa que completa a frase corretamente: “O gráfico da função dada pela lei y = x2 ‒ 5x + 6 é uma parábola voltada para

e cruza o eixo x

vez ou vezes”.

a) baixo; uma.

b) baixo; duas.

c) cima; duas.

d) cima; uma.

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir:

a) Qual é a definição de função?

b) O que é uma função polinomial de 1º grau? E de 2º grau?

c) Como são os gráficos das funções polinomiais de 1º e 2º grau, respectivamente?

d) Como você explicaria a um colega um procedimento para verificar se um gráfico cartesiano representa uma função?

e) Dada uma função polinomial do 2º grau pela lei y = axelevado a 2 + bx + c, qual condição deve haver para que o vértice do gráfico seja um ponto de mínimo? E como as suas coordenadas podem ser obtidas?

Respostas e comentários

1. Alternativa b.

2. Alternativa d.

3. Alternativa b.

4. Alternativa a.

5. Alternativa c.

6. Alternativa d.

7. Alternativa a.

8. Alternativa c.

9. Alternativa c.

Organizando:

a) Uma função f (x) = y é definida por uma relação matemática entre duas grandezas, x e y, de modo que, para cada valor de x, associa-se um único valor de y.

b) Função polinomial do 1º grau é toda função dada por uma lei do tipo y = ax + b, em que a e b são coeficientes reais, com a ≠ 0. Função polinomial do 2º grau é toda função dada por uma lei do tipo y = ax² + bx + c, em que a, b e c são coeficientes reais, com a ≠ 0.

c) O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta não vertical e não horizontal; e o da função polinomial de 2º grau é uma parábola com eixo de simetria vertical.

d) Deve-se verificar se há alguma reta perpendicular ao eixo x que corta o gráfico em mais de um ponto. Se houver, o gráfico não representa uma função.

e) Condição: a > 0. Coordenadas: x_V =

‒ \frac{b}{2 a}

e y_V = a(x_V)2 + bx_V + c.

Verificando

Nesta seção, apresentamos testes que abrangem todo o capítulo, sendo uma oportunidade para os estudantes validarem o entendimento do conteúdo estudado. Caso eles apresentem dúvidas em relação a algum dos exercícios propostos, oriente-os a rever os conceitos apresentados no capítulo.

Sugerimos, ainda, que os estudantes se organizem em duplas para resolver os exercícios e, depois de corrigidos, cada estudante resolva novamente aqueles que tiver errado.

As resoluções e os comentários dos exercícios 1 a 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 10.

Organizando

As questões feitas nesta seção possibilitam retomar com os estudantes os principais conceitos trabalhados no capítulo. Elas também podem orientar uma autoavaliação dos estudantes.

É interessante que cada estudante responda individualmente e, depois, comente com os colegas as respostas, corrigindo-as ou ampliando-as.

Página 261

DIVERSIFICANDO

Clique no play e acompanhe a reprodução do Áudio.

Transcrição do áudio

Animação gráfica

Duração: 7:54min. Página: 261.

>> [Locutor] Animação gráfica

>> [Joaquim] Olá! Eu sou o Joaquim.

>> [Diana] Eu sou a Diana!

>> [Joaquim] Neste podcast, vamos conversar um pouco sobre uma profissão que está bastante ligada à criatividade e à tecnologia: a de designer de animação.

Música eletrônica.

>> [Diana] Mas, antes de começarmos, aqui vai uma curiosidade: [tom de questionamento] você sabia que a palavra “animação” vem do verbo “animar”, que significa “dar vida a algo”?

>> [Joaquim] Pois é exatamente isso que faz o designer de animação, ou animador gráfico, como esse profissional também é conhecido. Ele dá vida a personagens e cenários, criando filmes de animação, como aqueles que vemos na televisão e no cinema.

>> [Diana] [Tom de interesse] Eu sempre tive curiosidade de saber como essas animações são feitas, Joaquim! Então, fui pesquisar sobre o assunto e descobri que há animações com técnicas 2D e 3D. [Tom de questionamento] Você sabia que a técnica de animação 2D já era conhecida no século XIX? Esse tipo de animação é aquele em que o cenário e os personagens são representados por figuras planas, com duas dimensões, comprimento e largura. Já nas animações 3D, como o próprio nome indica, os desenhos têm três dimensões: comprimento, largura e altura. Por isso, eles se assemelham mais ao mundo [tom enfático] real!

>> [Joaquim] Também fiz algumas pesquisas, Diana, e vi que, no início, nas animações 2D, os desenhos eram feitos todos a mão; cada cena de um filme era desenhada uma a uma. Hoje em dia, os desenhos podem ser criados e animados com o auxílio de softwares, tudo no computador, tanto para fazer animações 2D como animações 3D.

>> [Diana] [Tom de confirmação de raciocínio] É verdade!

>> [Joaquim] Para entender como as animações eram feitas a mão, podemos pensar naquela técnica de desenhar uma ação cena a cena nas folhas de um bloco de papel e depois folhear as páginas rapidamente, criando a ilusão de movimento contínuo, um desenho animado.

>> [Diana] [Tom de confirmação de raciocínio] Isso mesmo! [Tom explicativo] Por exemplo, se quisermos animar um personagem levantando um dos braços, no primeiro desenho, ele deve aparecer com os braços abaixados. Nas folhas seguintes, a cada novo desenho o braço deve ser levantado um pouco mais do que no desenho anterior, até chegar ao último desenho, em que o personagem estará com um dos braços totalmente levantado.

>> [Joaquim] [Tom de brincalhão] Nossa, que trabalhão, hein, Diana! E olha que, nesse exemplo, só falamos de uma cena, com apenas um personagem fazendo um movimento bem simples. [Tom enfático] Imagine o que seria animar uma história inteira com vários personagens, muitos movimentos e diversos cenários!

>> [Diana] Hoje em dia, existem diversos recursos digitais com técnicas mais sofisticadas para fazer a animação das cenas, o que torna o processo muito mais rápido. Atualmente, o designer de animação digital pode contar com softwares específicos para a modelagem de personagens e cenários, em que modelos matemáticos são utilizados na construção dos objetos digitais.

>> [Joaquim] [Tom de descoberta] Que interessante, Diana! [Tom de questionamento] Mas onde exatamente a Matemática é aplicada na criação de animações?

>> [Diana] [Tom enfático] Em praticamente tudo, Joaquim! [Tom explicativo] Para fazer o esboço de um personagem, por exemplo, conectam-se pontos, linhas retas e curvas. São também utilizadas figuras geométricas planas e não planas como referência para alguns desenhos. Para dar movimento a um personagem ou determinar a posição de um objeto em um cenário, são utilizadas coordenadas cartesianas. Como a animação é do tipo 3D, cada elemento é construído considerando três eixos cartesianos: um relacionado ao comprimento do objeto, que chamamos de eixo x; outro à largura, o eixo y; e outro à altura, o eixo z. Para o esboço de um personagem em três dimensões, o animador gráfico precisa pensar nas diferentes vistas do personagem: frontal, lateral, superior e inferior, por exemplo. No software, cada uma dessas vistas está relacionada a pares de eixos: as vistas superior e inferior ficam no plano limitado pelos eixos x e y, ou plano horizontal; as vistas laterais, pelos eixos y e z, ou plano lateral; e a vista frontal, pelos eixos x e z, ou plano vertical.

>> [Joaquim] [Tom de confirmação do raciocínio] Certo. [Tom explicativo] Então, o personagem é desenhado em um sistema de coordenadas cartesiano, e cada ponto do seu contorno é dado por um par de coordenadas. Assim, é possível determinar a posição do personagem, as medidas de suas dimensões e o espaço que ele ocupa. E, com esses eixos, também dá para fazer a rotação da imagem. [Tom de questionamento] E para fazer cada parte do corpo do personagem se movimentar ao mesmo tempo e de forma independente?

>> [Diana] [Tom explicativo] Para realizar a animação completa desse personagem, são traçados eixos secundários em cada parte do corpo que será movimentada de forma independente. Para cada um desses eixos, o designer de animação define os diferentes pares de coordenadas que determinarão o movimento de cada parte do corpo do personagem, considerando pelo menos dois instantes ou duas posições diferentes.

>> [Joaquim] É preciso bastante atenção na hora de conceber a imagem de um personagem e planejar os movimentos que ele vai fazer. [Tom enfático] E ainda tem a criação dos cenários, não é?

>> [Diana] [Tom de confirmação do raciocínio] Exatamente! E, para que uma cena pareça real, é necessário pensar em alguns itens importantes, como a iluminação desejada para a cena, as sombras dos objetos e também a profundidade.

>> [Joaquim] Para dar a ideia de profundidade, imagino que os profissionais elaborem desenhos em perspectiva.

>> [Diana] [Tom de confirmação do raciocínio] Isso mesmo! O desenho em perspectiva representa objetos tridimensionais em uma superfície bidimensional, dando a ideia de profundidade e fazendo com que eles tenham uma aparência mais realista.

>> [Joaquim] [Tom enfático] É muito interessante como esses conceitos matemáticos também podem ajudar na descrição do mundo ao nosso redor, não é?

>> [Diana] [Tom de confirmação do raciocínio] Sem dúvida!

>> [Joaquim] [Tom explicativo] É importante destacar que o trabalho do designer de animação não se restringe apenas ao desenho e à animação dos personagens e cenários. Ele pode também criar roteiros e contar histórias, descrevendo as cenas que imaginou.

>> [Diana] [Tom de questionamento] Como será que é o mercado de trabalho nessa área?

>> [Joaquim] [Tom explicativo] Eu pesquisei sobre isso e posso dizer que, hoje em dia, com as novas tecnologias e o uso cada vez mais frequente de mídias e plataformas digitais, a atuação do profissional que trabalha com animação gráfica não se restringe somente à criação de filmes de animação. Ele também pode atuar na produção de videoclipes, videoaulas, webseries, na animação de games e em campanhas publicitárias, por exemplo.

>> [Diana] O mercado de trabalho tem se ampliado com as novas tecnologias.

>> [Joaquim] [Tom de confirmação do raciocínio] Sim, hoje, esses profissionais são contratados por emissoras de TV, produtoras de conteúdo para a internet, agências de publicidade, indústrias de jogos, estúdios de animação e empresas do setor educacional, entre outras!

>> [Diana] Para quem quer trabalhar nessa área, existem desde cursos técnicos [tom enfático] até cursos de graduação em diferentes universidades.

>> [Joaquim] [Tom animado] Muito legal conhecer mais sobre essa profissão! [Tom empolgado] É isso aí, pessoal! Espero que tenham curtido o nosso podcast.

>> [Diana] [Tom empolgado] Até a próxima, então!

>> [Joaquim] Até!

Música eletrônica.

Créditos

O áudio inserido neste conteúdo é da Free Sound.

Vistas ortogonais

Em um jogo, apresenta-se dois tipos de cartas.

Tipo 1: cartas com a representação de uma figura tridimensional.

Tipo 2: cartas com a representação de vistas dessa figura.

O objetivo do jogo é de que os jogadores associem as vistas ortogonais à figura tridimensional.

Observe os exemplos de cartas que compõe esse jogo:

Exemplo 1

Ilustração. Figura A. Figura tridimensional composta por retângulo azul na face superior. Na face anterior, um sulco forma um retângulo amarelo ao fundo. Na parte superior e inferior do sulco, dois retângulos na cor laranja. Na lateral, a figura é verde.

Ilustração. Três vistas diferentes do objeto da figura anterior. Vista 1: Retângulo azul. Vista 2: Três retângulos: um retângulo amarelo entre dois retângulos laranjas. Vista 3: Retângulo verde, com recorte no lugar do sulco que passa por uma d

Exemplo 2

Ilustração. Figura B, composta por uma sequência de três cubos na vertical, de cima para baixo: um cubo amarelo, um cubo verde e um cubo vermelho. Embaixo, ao lado do cubo vermelho, um cubo azul.

Ilustração. Três vistas diferentes do objeto da figura anterior. Vista 1: sequência de três quadrados, um amarelo, um verde e um vermelho. Ao lado do quadrado vermelho, um quadrado azul. Vista 2: sequência de três quadrados um amarelo, um verde e um azul. Vista 3: sequência de dois quadrados, um amarelo e um verde.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Reúnam-se em grupos e façam o que se pede em cada item.

a) Que figuras geométricas planas podem ser associadas às vistas ortogonais de um objeto com:

• formato de cubo?

• formato de cilindro reto?

• formato de pirâmide quadrangular?

b) Escolham alguns objetos que lembram figuras geométricas planas e produzam cartas contendo vistas ortogonais desses objetos.

c) Elaborem as regras de um jogo em que esses objetos e as cartas sejam utilizados. Lembrem-se de definir um objetivo para o jogo e de explicar como jogar, dando exemplos.

d) Apresentem o jogo aos demais colegas da turma. Depois, joguem o jogo.

Respostas e comentários

a) As vistas ortogonais de um cubo podem ser associadas a um quadrado; as de um cilindro podem ser associadas a um círculo e a um retângulo; e as vistas ortogonais de uma pirâmide quadrangular podem ser associadas a triângulos e a um quadrado.

b) Resposta pessoal. Construção de figuras.

c) Resposta pessoal.

d) Resposta pessoal.

Diversificando

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah um sete.

Propomos aos estudantes que construam um jogo envolvendo representações ortogonais de objetos tridimensionais. Para a construção das cartas, deverão desenhar objetos em perspectiva, favorecendo o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero nove ême ah um sete).

Aproveite esse momento para fazer um trabalho interdisciplinar com o professor de Língua Portuguesa para a escrita das regras do jogo. É importante que os estudantes compreendam os diferentes elementos que devem fazer parte dessa produção de texto, como quantidade de jogadores, regras e definição de como um jogador será o vencedor.

Após a elaboração das regras e das cartas, proponha a troca dos jogos desenvolvidos entre os grupos, para que todos possam jogar e avaliar as diferentes regras elaboradas.

Glossário

Lunação: : período de tempo entre duas luas novas consecutivas.; Voltar para o texto