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CAPÍTULO 12 Polígonos regulares e áreas

Pintura. Duas mulheres de cabelos escuros, colares, blusas curtas de cor branca com detalhes coloridos e saias longas vermelhas com flores. Entre elas, homem de chapéu roxo, camisa florida laranja e calça branca sentado sobre objeto redondo de cor marrom. À esquerda, árvore. À direita, parte de uma canoa. Ao fundo, vegetação e uma mesa. — GOMEZ, T. Dançando Carimbó. 2011. Acrílica sobre tela, 60 por 80 centímetros.

Tradicional no Pará, o carimbó reúne elementos de culturas indígenas, ibéricas e africanas. Em suas músicas, nos instrumentos e nas danças, expressa características das populações tradicionais da região e a relação delas com o ambiente. Em tupi, curimbó significa “pau oco” e é o nome do instrumento de percussão indígena de onde deriva carimbó. Essa manifestação artística e cultural tem sido preservada pela oralidade dos mestres populares e, em 2014, tornou-se um Patrimônio Cultural Imaterial do Brasil.

Observe, leia e responda no caderno.

a) Junte-se a outros três colegas e pesquisem o carimbó e outras manifestações artísticas e culturais de diferentes regiões do Brasil. Conversem sobre a importância de reconhecer e valorizar o multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais brasileiras.

b) Com base na pesquisa que realizaram, que elementos da obra Dançando carimbó, de Thais Gomez, vocês acreditam que mais representam o carimbó?

c) Que tipo de instrumento musical é o curimbó? Qual é o formato dele? Que elemento geométrico foi utilizado na tela Dançando carimbó para o representar?

Respostas e comentários

a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

c) O curimbó é um instrumento de percussão, um tambor; ele pode ser associado a um cilindro reto; na tela Dançando carimbó ele foi representado por meio de uma figura que lembra um círculo.

Capítulo 12 – Polígonos regulares e áreas

Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas de Matemática (Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.

Neste capítulo, ampliamos o trabalho sobre polígonos regulares e seus elementos ao apresentar as relações métricas entre elementos de um polígono regular e a circunferência a que ele está inscrito.

Desenvolvemos o estudo de polígonos regulares, com o uso da linguagem algébrica, e de questões de construção geométrica de figuras. Nas demonstrações mostramos a aplicação do teorema de Pitágoras e da proporcionalidade.

Tratamos da medida da área de um polígono regular, de um círculo e de suas partes; e da medida do volume de alguns sólidos geométricos.

O contexto da abertura deste capítulo possibilita desenvolver o Tema Contemporâneo Transversal educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais brasileiras, pois os estudantes podem pesquisar e debater sobre o carimbó, que é uma manifestação artística que pode representar o multiculturalismo brasileiro, visto que reúne elementos de diferentes culturas.

Associado a isso, podem-se desenvolver atividades interdisciplinares com Arte, solicitando aos estudantes que pesquisem e analisem diferentes fórmas de expressão, representação e encenação da dança, em diferentes regiões do Brasil. Também é possível explorar a pintura Dançando carimbó e outras que retratem o multiculturalismo nas matrizes históricas brasileiras, orientando os estudantes a analisar aspectos históricos, sociais e políticos da produção artística. Dessa maneira, os estudantes desenvolvem a competência geral 3, pois poderão fruir e valorizar diferentes manifestações artísticas.

Sugestão de leitura

Para enriquecer o trabalho, sugerimos:

HUERTAS, B. M. O carimbó: cultura tradicional paraense, patrimônio imaterial do Brasil. Revista CPC, [sem local], número 18, página 81 a 105, 2014. Disponível em: https://oeds.link/LE71Uz. Acesso em: 23 julho 2022.

Nesse artigo, a autora apresenta um breve histórico sobre o carimbó e explora a relação dessa manifestação artística com o modo de vida de comunidades tradicionais.

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1. Relações métricas nos polígonos regulares

Retomando o estudo dos polígonos regulares

Ao elaborar um projeto para a construção de mostradores de relógios de parede feitos com chapas de madeira, Edgard precisa efetuar cálculos das medidas de um dodecágono regular com base na medida do raio da circunferência circunscrita a ele. Em particular, para saber quanto material comprar, ele precisará calcular a medida da área dêsse polígono.

Fotografia. Relógio com números romanos e em formato de dodecágono . O fundo é azul e os ponteiros são dourados. — Relógio na torre do antigo complexo de estaleiros e arsenais navais da cidade de Veneza, na Itália.

Situações como a de Edgard requerem um estudo sobre as relações métricas em polígonos regulares, o que faremos neste capítulo.

Ilustração. Homem negro de óculos e camisa verde fala: Ao retomar o estudo dos polígonos regulares, agora é uma boa hora para relembrar alguns conceitos

Por exemplo:

• Um polígono é regular quando todos os seus lados são congruentes entre si e todos os seus ângulos são congruentes entre si.

• Todo polígono regular é inscritível e circunscritível em uma circunferência.

Também vimos que, se uma circunferência é dividida em três ou mais arcos congruentes:

• as cordas determinadas pelos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular inscrito na circunferência;

• as tangentes aos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular circunscrito à circunferência. Observe os exemplos a seguir.

Ilustração. Triângulo equilátero inscrito na circunferência, ao lado, hexágono regular inscrito na circunferência. Abaixo, texto indicando polígonos regulares inscritos.

Ilustração. Octógono regular circunscrito à circunferência, ao lado, triângulo equilátero circunscrito à circunferência. Abaixo, texto indicando polígonos regulares circunscritos.

Em um polígono regular, consideramos:

Ilustração. Circunferência de centro O com hexágono ABCDEF inscrito. Segmento OM perpendicular ao lado AB. Triângulo de vértices OCD e ângulo a índice c em COD À esquerda, em F, ângulo a índice i.

• centro do polígono: centro da circunferência circunscrita a ele (ponto óh);

• raio do polígono: raio da circunferência circunscrita a ele (

\overline{O C}

);

• apótema do polígono: segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um de seus lados (

\overline{O M}

);

• ângulo central: aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados são semirretas que contêm dois vértices consecutivos do polígono (

C \hat{O} D

);

•

a_{c} = \frac{360 °}{n}

a_{i} = \frac{S_{i}}{n} = \frac{(n ‒ 2) \cdot 180 °}{n}

, em que n é o número de lados.

Respostas e comentários

Orientação: A situação descrita será explorada no exercício 36, na página 291.

1. Relações métricas nos polígonos regulares

Habilidades da Bê êne cê cê: EF09MA11 e ê éfe zero nove ême ah um quatro.

Neste tópico, ao estudar os polígonos regulares inscritos em uma circunferência, os estudantes mobilizam as habilidades (ê éfe zero nove ême ah um um) e (ê éfe zero nove ême ah um quatro), pois precisam compreender os conceitos de ângulo central e de ângulo inscrito e aplicar o teorema de Pitágoras para resolver problemas. Pergunte aos estudantes em que situações observam formatos de objetos que podem associar a polígonos regulares. Espera-se que identifiquem os favos hexagonais de uma colmeia ou os pentágonos em uma bola de futebol, por exemplo.

Aproveite o momento e verifique que conhecimentos eles já têm sobre polígonos regulares. Peça que deem exemplos dêsse tipo de polígono: quadrado, triângulo equilátero, hexágono regular etcétera

Desenhe na lousa um polígono regular com alguns de seus elementos e peça aos estudantes que os identifiquem.

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Ilustração. Mulher morena de cabelo escuro e casaco claro. Ela fala: A seguir, vamos estudar como calcular a medida do lado e a medida do apótema de um polígono regular inscrito em uma circunferência em função da medida do raio.

Quadrado inscrito

Considere uma circunferência de centro óh e raio de medida r.

Para construir um quadrado a bê cê dê inscrito nessa circunferência, podemos traçar dois diâmetros perpendiculares entre si (

\overline{A C}

\overline{B D}

), determinando os vértices do quadrado.

Vamos calcular as medidas do lado e do apótema dêsse quadrado em função de r.

Cálculo da medida do lado (𝓁)

Ilustração. Menina oriental de cabelo preto, tiara e camiseta rosa sentada de frente para uma mesa com um caderno. Ela pensa: A soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.

Ilustração. Circunferência de centro O, com um quadrado ABCD inscrito ABCD. O quadrado está posicionado de tal maneira que uma diagonal é horizontal e a outra vertical. Raio OB de medida r e raio OA de medida r. Lado AB mede L. Símbolo de ângulo reto no ângulo BOA. Os raios OC e OD estão tracejados.

No △á ó bê, pelo teorema de Pitágoras, obtemos:

(AB )elevado a 2 = (AO )elevado a 2 + (BO )elevado a 2

𝓁elevado a 2 = r elevado a 2 + r elevado a 2

𝓁elevado a 2 = 2r elevado a 2 (r > 0)

ℓ = \pm \sqrt{2 r^{2}}

ℓ = \pm r \sqrt{2}

Como 𝓁 é um número positivo, pois é a medida do lado do quadrado, obtemos:

ℓ = r \sqrt{2}

Cálculo da medida do apótema (a)

No △ô ême bê, pelo teorema de Pitágoras, obtemos:

(OM )elevado a 2 + (BM )elevado a 2 = (BO )elevado a 2

a^{2} + {(\frac{ℓ}{2})}^{2} = r^{2}

a^{2} + \frac{2 r^{2}}{4} = r^{2}

a^{2} = r^{2} ‒ \frac{2 r^{2}}{4} = \frac{2 r^{2}}{4} (r > 0)

a = \pm \sqrt{\frac{2 r^{2}}{4}}

a = \pm \frac{r \sqrt{2}}{2}

Como a é um número positivo, pois é a medida do apótema do quadrado, obtemos:

a = \frac{r \sqrt{2}}{2}

Respostas e comentários

Quadrado inscrito

Explore o quadrado inscrito em uma circunferência de raio medindo r. Peça aos estudantes que identifiquem os elementos do quadrado em relação aos elementos da circunferência. Espera-se que eles percebam que:

• as diagonais do quadrado são diâmetros da circunferência e, portanto, que a medida d da diagonal é dada por: d = 2r

• como o ângulo central do quadrado mede 90graus

(\frac{360 °}{4})

, cada triângulo retângulo cuja hipotenusa é o lado do quadrado (de medida ℓ) é um triângulo isósceles cujos catetos medem r. Assim, pelo teorema de Pitágoras, determinamos que:

ℓ = r \sqrt{2}

Note que essa relação poderia ter sido obtida por

d = ℓ \sqrt{2}

, pois:

d = ℓ \sqrt{2} \Rightarrow 2 r = ℓ \sqrt{2} \Rightarrow

\Rightarrow ℓ = \frac{2 r}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \Rightarrow

\Rightarrow ℓ = r \sqrt{2}

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Acompanhe os exemplos a seguir.

a) Vamos calcular as medidas do lado e do apótema de um quadrado inscrito em uma circunferência com raio medindo 6 centímetros. Observe a figura a seguir.

Ilustração. Circunferência com quadrado inscrito. O quadrado está posicionado de tal maneira que uma diagonal é horizontal e a outra vertical. Cada metade das diagonais medem 6. O lado do quadrado mede L e o apótema do quadrado mede a.

Pelo teorema de Pitágoras, obtemos:

𝓁elevado a 2 = 6elevado a 2 + 6elevado a 2

𝓁elevado a 2 = 72

ℓ = \pm \sqrt{72}

ℓ = \pm 6 \sqrt{2}

Como 𝓁 é um número positivo,

ℓ = 6 \sqrt{2}

centímetros.

a = \frac{ℓ}{2}

a = \frac{6 \sqrt{2}}{2}

a = 3 \sqrt{2}

Portanto,

a = 3 \sqrt{2}

centímetros.

Ilustração. Menino branco de óculos, sardas e cabelos curtos e castanhos, camiseta verde de manga curta azul, por baixo, camiseta de manga comprida marrom, de frente para o leitor. Ele pergunta: Existe outra maneira de resolver?

Sim; do enunciado, sabemos que r = 6 centímetros. Então:

L igual a r vezes raiz quadrada de 2. Seta indicando para L igual a 6 vezes raiz quadrada de 2

a = \frac{r \sqrt{2}}{2}

a = \frac{6 \sqrt{2}}{2}

a = 3 \sqrt{2}

Portanto,

ℓ = 6 \sqrt{2}

centímetros e

a = 3 \sqrt{2}

centímetros.

b) Vamos calcular a medida do raio de uma circunferência na qual está inscrito um quadrado cujo lado mede

5 \sqrt{2}

centímetros. Observe a figura a seguir.

Ilustração. Circunferência com quadrado inscrito. As duas diagonais do quadrado estão traçadas. . O lado do quadrado mede 5 raiz quadrada de 2. O raio da circunferência mede r.

Pelo teorema de Pitágoras, obtemos:

r^{2} + r^{2} = {(5 \sqrt{2})}^{2}

2r elevado a 2 = 25 ⋅ 2

r elevado a 2 = 25

r = \pm \sqrt{25}

r = ±5

Como r é um número positivo, r = 5 centímetros.

Ilustração, Menina negra de cabelo castanho comprido, camiseta azul com coração roxo. Ela pergunta: Existe outra maneira de resolver?

Sim; do enunciado, sabemos que

ℓ = 5 \sqrt{2}

centímetros. Então:

ℓ = r \sqrt{2}

5 \sqrt{2} = r \sqrt{2}

\frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{r \sqrt{2}}{\sqrt{2}}

r = 5

Portanto, r = 5 centímetros.

Respostas e comentários

Quadrado inscrito

Verifique se os estudantes percebem que o apótema do quadrado é a altura de um desses triângulos retângulos isósceles relativa à hipotenusa. Há vários caminhos para determinar a medida dessa altura, ou seja, do apótema do quadrado. Os estudantes devem mobilizar seus conhecimentos prévios para usar o fato de que a altura relativa à base de um triângulo isósceles coincide com a mediana relativa a essa mesma base (que no caso é a hipotenusa).

dêsse modo, um dos caminhos para determinar a medida a do apótema do quadrado é aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo ô ême bê, como feito no desenvolvimento na página anterior.

Outra maneira é usar a relação métrica no triângulo retângulo cê ó bê: o produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa a ela é igual ao produto das medidas dos catetos. Assim, temos:

ℓ \cdot a = r \cdot r \Rightarrow a = \frac{r^{2}}{ℓ} \Rightarrow

\Rightarrow a = \frac{r^{2}}{r \sqrt{2}} \Rightarrow

\Rightarrow a = \frac{r}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \Rightarrow

\Rightarrow a = \frac{r \sqrt{2}}{2}

Ao utilizar o teorema de Pitágoras para calcular a medida do lado e do apótema do quadrado, os estudantes mobilizam e aprofundam o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero nove ême ah um quatro).

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca.)

1 Construa um quadrado inscrito em uma circunferência de raio medindo 3 centímetros.

a) Que número irracional representa a medida do lado dêsse quadrado? A representação decimal dêsse número tem infinitas casas decimais e não é periódica. Determine essa representação decimal com uma casa decimal.

b) Que número irracional representa a medida do apótema?

2 O apótema de um quadrado inscrito em uma circunferência mede

6 \sqrt{2}

centímetros. Calcule a medida da diagonal dêsse quadrado.

3 A diagonal de um quadrado mede

5 \sqrt{2}

centímetros. Calcule a medida da distância do centro dêsse quadrado a um de seus lados.

4 O lado de um quadrado circunscrito a uma circunferência mede 8 centímetros.

a) Calcule a medida do lado de um quadrado inscrito nessa circunferência.

b) Calcule a medida da diagonal do quadrado inscrito nessa circunferência.

5 Construa um quadrado circunscrito e um quadrado inscrito em uma mesma circunferência. Determine a diferença entre as medidas dos perímetros desses quadrados em função da medida r do raio da circunferência.

6 Uma fábrica de chocolates lançou no mercado a nova caixa de bombons decorada. O desenho da tampa da caixa foi elaborado com base em dois quadrados, como se vê na figura a seguir.

Ilustração. Círculo verde com um quadrado branco inscrito. Esse quadrado está posicionado de tal maneira que as diagonais sejam horizontal e vertical. Há um quadrado verde inscrito no quadrado branco. Dentro do quadrado verde tem um coração laranja. Em cada triângulo que se formou no quadrado branco, há uma estrela com 8 pontas e um círculo no centro.

A medida do lado do quadrado menor é 10 centímetros. E os seus vértices são os pontos médios dos lados do quadrado maior. Determine:

a) a medida do lado do quadrado maior;

b) a medida do comprimento da faixa vermelha que cobre os lados dos dois quadrados;

c) a soma das medidas das áreas dos quatro triângulos da tampa.

Hexágono regular inscrito

Considere uma circunferência de centro óh e raio de medida r.

Como o ângulo central do hexágono regular mede

\frac{360°}{6}

= 60graus, podemos construir na circunferência um ângulo central com essa medida, obtendo um arco

\overset{⌢}{A B}

. Com a abertura do compasso igual a

\overline{A B}

, marcamos os outros vértices do hexágono.

Vamos calcular as medidas do lado e do apótema dêsse hexágono em função de r.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-sêca.)

Cálculo da medida do lado (𝓁)

Ilustração. Circunferência de centro O com hexágono ABCDEF inscrito. As diagonais AD, BE, CF estão traçadas com linha tracejada, o triângulo ABO está destacado, os lados AO e BO medem r, e o lado AB mede L. Os três ângulos desse triângulo estão destacados.

m (A \hat{O} B) = 60 °

m (A \hat{B} O) = \frac{m (\overset{⌢}{A E})}{2} = \frac{120 °}{2} = 60 °

m (B \hat{A} O) = \frac{m (\overset{⌢}{B D})}{2} = \frac{120 °}{2} = 60 °

O △á ó bê é equiângulo, logo é equilátero, ou seja: A bê = ó á = ó bê.

Portanto:

ℓ = érre

Respostas e comentários

1. a)

3 \sqrt{2} ≃ 4, 2

1. b)

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

2. 24 centímetros

3. 2,5 centímetros

4. a)

4 \sqrt{2} cm

4 b) 8 centímetros

(8 ‒ 4 \sqrt{2}) r

6. a)

10 \sqrt{2} cm

6. b)

(40 + 40 \sqrt{2}) cm

6. c) 100 centímetros quadrados

Exercícios propostos

A seguir, apresentamos uma possível resolução do exercício 1.

Obtemos o quadrado dividindo a circunferência em quatro arcos de mesma medida. Traçando duas retas perpendiculares que passam pelo centro, obtemos os arcos desejados.

Ilustração. Circunferência centro O e quadrado inscrito de tal forma que uma das diagonais é horizontal. A metade da diagonal mede 3 centímetros. Há uma reta que passa pelo centro O e intersecta o quadrado no ponto médio de um dos lados, formando um triângulo retângulo com a metade da diagonal. Um dos lados desse triângulo é o apótema e está indicado por a índice 4, um dos lados do quadrado está indicado como L índice 4.

a) O raio mede 3 centímetros. Assim, indicando por ℓ, em centímetro, a medida do lado dêsse quadrado, temos:

ℓ = r \sqrt{2} \Rightarrow ℓ = 3 \sqrt{2} \Rightarrow

ℓ ≃ 4,2

b) Indicando a medida do apótema do quadrado por a, em centímetro, temos:

a = \frac{r \sqrt{2}}{2} \Rightarrow a = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

Ressalte aos estudantes que, no caso do quadrado inscrito, a diagonal é um diâmetro.

Para o exercício 3, de acordo com o enunciado, um possível esquema da situação é apresentado a seguir, em que destacamos a circunferência circunscrita ao quadrado, cujo centro O é o centro dessa circunferência.

Ilustração. Circunferência de centro O com quadrado inscrito de tal modo que uma diagonal é horizontal e a outra vertical. As diagonais são tracejadas. Raio com medida r. A diagonal ou diâmetro da circunferência mede 5, raiz quadrada de 2. Um raio e um apótema estão destacados formando um triângulo retângulo.

No exercício 5, uma possível resolução é a que segue.

Ilustração. Um quadrado circunscrito e um quadrado inscrito em uma mesma circunferência de centro O. Duas retas perpendiculares: uma horizontal e outra vertical. Essas retas perpendiculares dividem o quadrado circunscrito em 4 quadrados de lado r. Cada lado do quadrado inscrito mede r vezes raiz quadrada de 2. Cada metade de diagonal do quadrado inscrito corresponde ao raio r da circunferência.

Como a diagonal do quadrado inscrito é um diâmetro, a medida da diagonal é 2r; assim, a medida do lado do quadrado inscrito é

r \sqrt{2}

. O lado do quadrado circunscrito é um diâmetro, então mede 2r. dêsse modo:

• perímetro pê₁ do quadrado circunscrito: P₁ = 4 · 2r = 8r

• perímetro pê₂ do quadrado inscrito:

P_{2} = 4 \cdot r \sqrt{2} = 4 r \sqrt{2}

Portanto, a diferença entre esses perímetros é:

P_{1} ‒ P_{2} = 8 r ‒ 4 r \sqrt{2} = (8 ‒ 4 \sqrt{2}) r

As resoluções dos exercícios 2 a 4 e 6 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 12.

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Cálculo da medida do apótema (a)

No △OMB, pelo teorema de Pitágoras, obtemos:

(ó ême )² + (MB )² = (bê ó )²

a^{2} + {(\frac{r}{2})}^{2} = r^{2}

a^{2} + \frac{r^{2}}{4} = r^{2}

a^{2} = r^{2} ‒ \frac{r^{2}}{4}

a^{2} = \frac{3 r^{2}}{4} (r > 0)

a = \pm \sqrt{\frac{3 r^{2}}{4}}

a = \pm \frac{r}{2} \sqrt{3}

Ilustração. Circunferência de centro O com hexágono ABCDEF inscrito. No lado AB do hexágono está marcado o ponto médio M. No hexágono está destacado o triângulo BMO retângulo em M, o lado OM mede a, o lado OB é o raio r, o lado MB mede r sobre 2.

Como a é um número positivo, pois é a medida do apótema, obtemos:

a, igual a, fração de numerador r vezes raiz quadrada de 3 e, de denominador 2.

Acompanhe os exemplos a seguir.

a) Vamos calcular a medida do raio de uma circunferência na qual o apótema do hexágono regular inscrito mede

12 \sqrt{3}

centímetros.

a igual a 12 vezes raiz quadrada de 3 fração de numerador r vezes raiz quadrada de 3 e de denominador 2, igual a 12 vezes raiz quadrada de 3, tendo raiz quadrada de 3 cancelada. r igual a 24

Portanto, o raio mede 24 centímetros.

b) Vamos calcular a medida do perímetro do hexágono regular a seguir, sendo A Ê =

10 \sqrt{3}

centímetros.

Ilustração. Circunferência de centro O com hexágono ABCDEF inscrito. No hexágono está destacado o triângulo ADE retângulo em E, sendo AD diâmetro da circunferência.

• ê de = r;

• á dê = 2r;

• A Ê =

10 \sqrt{3}

centímetros;

• △á dê é é retângulo.

Pelo teorema de Pitágoras no △á dê é, obtemos:

(A Ê )² + (ê de )² = (á dê)²

{(10 \sqrt{3})}^{2}

+ r elevado a 2 = (2r)elevado a 2

300 = 4r elevado a 2 ‒ r elevado a 2

300 = 3relevado a 2

relevado a 2 = 100

r = ±10

Como r é um número positivo, pois é medida de raio, obtemos r = 10 centímetros. Logo, 𝓁 = 10 centímetros. Portanto, a medida do perímetro é 60 centímetros.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

7 Marina é projetista em uma fábrica de lustres. Ela criou um lustre formado por quatro placas quadradas de polipropileno translúcido (um tipo de plástico que deixa passar a luz) com 60 centímetros de lado cada uma. A figura central dessas placas é um hexágono regular, desenhado com base em uma circunferência tangente aos lados das placas. Determine as medidas do lado e da área dêsse polígono.

Ilustração. Quadrado circunscrito a uma circunferência e hexágono inscrito nessa mesma circunferência. O lado do quadrado mede 60 centímetros.

Respostas e comentários

7. Medida do lado: 30 centímetros; medida da área: .1350

\sqrt{3}

centímetros quadrados.

Hexágono regular inscrito

No caso do hexágono regular inscrito, os estudantes devem perceber que o lado do hexágono tem a mesma medida do raio (ℓ = r) e que o apótema é a altura de cada um dos 6 triângulos equiláteros que compõem esse hexágono (e que também têm lado medindo ℓ). dêsse modo, a medida a do apótema do hexágono regular pode também ser obtida pela relação da medida h da altura em função da medida ℓ do lado de um desses triângulos equiláteros. Assim, temos:

h = \frac{ℓ \sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{ℓ \sqrt{3}}{2}

No exemplo b, retome com os estudantes que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é um triângulo retângulo.

Exercícios propostos

No exercício 7, o lado do quadrado circunscrito à circunferência mede 60 centímetros. Logo, o raio da circunferência mede 30 centímetros. Temos um hexágono regular inscrito nessa mesma circunferência; então, o lado dêsse hexágono mede 30 centímetros, ou seja, ℓ = 30 centímetros.

A medida da área do hexágono regular é igual à medida da área de 6 triângulos equiláteros de lado medindo r. A altura de cada um desses triângulos equiláteros é o apótema a do hexágono.

A altura de medida h de um triângulo equilátero de lado medindo ℓ₃ é dada por:

h = \frac{ℓ_{3} \cdot \sqrt{3}}{2}

Peça aos estudantes que determinem a medida da área de um triângulo equilátero nessas condições, em função da medida ℓ₃ de seu lado. A medida dessa área, em centímetros quadrados, é dada por:

A_{t r i â n g u l o (e q u i l á t e r o)} =

= \frac{{(ℓ_{3})}^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{{(30)}^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}

A_{t r i â n g u l o (e q u i l á t e r o)} = 225 \sqrt{3}

Assim, temos que a medida da área do hexágono regular, em centímetros quadrados, é

A_{h e x á g o n o (r e g u l a r)} = 6 \cdot 225 \sqrt{3}

A_{h e x á g o n o (r e g u l a r)} = 1 350 \sqrt{3}

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8 Um hexágono regular é inscrito em uma circunferência de raio medindo 3,2 centímetros. Calcule:

a) a medida dos lados dêsse hexágono;

b) a medida do perímetro dêsse hexágono;

c) a medida do apótema.

9 O apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência mede

9 \sqrt{3}

centímetros. Calcule a medida do lado do quadrado inscrito nessa circunferência.

10 A menor diagonal de um hexágono regular mede

12 \sqrt{3}

centímetros. Calcule a medida do perímetro dêsse hexágono.

11 Divide-se uma circunferência de diâmetro medindo 10 centímetros em seis partes iguais. Escolhem-se três pontos alternados dessa divisão, os quais são unidos com segmentos de reta. Determine a medida de cada um desses segmentos.

12 Considerando a figura a seguir, determine a medida do perímetro do quadrado circunscrito à circunferência.

Ilustração. Quadrado com hexágono dentro. Ao redor do hexágono circunferência. O lado do hexágono mede 5 centímetros.

Hora de criar – Junto com um colega, elaborem um tabuleiro de jogo (por exemplo, dama ou uma trilha a ser percorrida por peões, tampinhas etcétera) em formato de hexágono regular. Estabeleçam as regras do jogo e, em dia a ser agendado pelo ou pela professor ou professora, joguem uma partida para apresentar à turma.

Triângulo equilátero inscrito

Para construir um triângulo equilátero á bê cê inscrito em uma circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e unimos, alternadamente, os pontos de divisão por meio de segmentos.

Vamos calcular a medida do lado e do apótema dêsse triângulo em função de r.

Cálculo da medida do lado (𝓁)

Ilustração. Circunferência de centro O e raio r com triângulo equilátero ABC inscrito de lado L. Hexágono inscrito na mesma circunferência com os lados tracejados. O lado CD está destacado e a diagonal AD está destacada. O lado CD tem medida igual ao raio r.

Observe que:

• o △á dê cê é retângulo (inscrito na semicircunferência);

• DC = r, pois

\overline{D C}

é lado de um hexágono regular inscrito na circunferência.

No △á dê cê, pelo teorema de Pitágoras, obtemos:

(á cê )² + (DC )² = (á dê )²

(𝓁)² + (r)² = (2r)²

𝓁² + r² = 4r²

𝓁² = 3r² (r > 0)

ℓ = \pm \sqrt{3 r^{2}}

Como 𝓁 é um número positivo, pois é a medida do lado do triângulo, obtemos:

ℓ = r \sqrt{3}

Cálculo da medida do apótema (a)

No △ó ême cê, pelo teorema de Pitágoras, obtemos:

(OM)elevado a 2 + (MC)elevado a 2 = (OC)elevado a 2

a^{2} + {(\frac{ℓ}{2})}^{2} = r^{2}

a^{2} + \frac{3 r^{2}}{4} = r^{2}

a^{2} = r^{2} ‒ \frac{3 r^{2}}{4}

a^{2} = \frac{r^{2}}{4} (r > 0)

a = \pm \sqrt{\frac{r^{2}}{4}}

Ilustração. Circunferência de centro O e raio r com triângulo equilátero ABC inscrito. Segmento OA tracejado. M é ponto médio do lado BC. OM é apótema do triângulo e mede a, OC é raio da circunferência e mede r. O triângulo CMO é retângulo em M. Triângulo equilátero CDO, com lado CD tracejado e segmento DM tracejado.

Como a é um número positivo, pois é a medida do apótema, obtemos:

a =

\frac{r}{2}

Respostas e comentários

8. a) 3,2 centímetros

8. b) 19,2 centímetros

8. c)

1, 6 \sqrt{3} cm

18 \sqrt{2} cm

10. 72 centímetros

11.

5 \sqrt{3} cm

12. 40 centímetros

13. Resposta pessoal.

Exercícios propostos

No exercício 10, espera-se que os estudantes percebam que a medida da menor diagonal é o dobro da medida a do apótema. Assim, temos:

Ilustração. Circunferência com hexágono inscrito. São traçadas 3 diagonais do hexágono, sendo uma horizontal que passa pelo centro da circunferência, uma diagonal vertical que é a menor diagonal do hexágono, e uma diagonal inclinada. Também está destacado o apótema a do hexágono, e a diagonal menor mede 2a.

Com

a = \frac{r \sqrt{3}}{2} e 2 a = 12 \sqrt{3}

, obtemos:

\frac{12 \sqrt{3}}{2} = \frac{r \sqrt{3}}{2}

⇒ r = 12

Como no hexágono regular a medida do lado é igual à medida do raio da circunferência que o circunscreve, o lado mede 12 centímetros e o perímetro mede 72 centímetros (6 · 12).

No exercício 13, oriente os estudantes a pesquisar jogos de tabuleiro e agende um dia para que apresentem a pesquisa e as produções aos demais colegas.

As resoluções dos exercícios 8, 9, 11 e 12 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 12.

Triângulo equilátero inscrito

Apresentamos outra maneira de calcular a medida (ℓ) do lado e a medida (a) do apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio medindo r.

O ângulo central de um triângulo equilátero mede 120graus.

Ilustração. Circunferência de centro O com triângulo equilátero ABC inscrito. Cada lado mede L. No lado BC está marcado o ponto M que é o ponto médio do lado BC, sendo a medida do segmento BM igual a L sobre 2. Segmento OM tracejado formando um ângulo reto com o lado BC. Triângulo isósceles BOC, com ângulos da base de medida igual a 30 graus. O ângulo BOC mede 120 graus. Os lados OB e OC tem a medida igual ao raio r.

O triângulo bê ó cê é isósceles e, portanto, os ângulos da base são congruentes e medem 30graus(pois: 30graus + 30graus + 120graus = 180graus).

O segmento

\overline{O M}

é o apótema do triângulo equilátero ABC. Assim, é perpendicular à base

\overline{B C}

e, portanto,

\overline{O M}

é a altura relativa a essa base do triângulo bê ó cê. Logo,

\overline{O M}

é também mediana e M é ponto médio de

\overline{B C}

e o triângulo bê ó ême é retângulo em M.

• Cálculo da medida ℓ do lado:

cos 30graus

= \frac{B M}{B O}

\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{ℓ}{2}}{r}

ℓ = r \sqrt{3}

• Cálculo da medida a do apótema:

sen 30graus

= \frac{O M}{B O}

\frac{1}{2} = \frac{a}{r}

2a = r

a = \frac{r}{2}

Página 287

Acompanhe a aplicação dêsse cálculo no exemplo a seguir.

O lado de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência mede

9 \sqrt{3}

centímetros. Vamos calcular a medida do raio dessa circunferência.

Observe a figura geométrica a seguir.

Ilustração. Circunferência com triângulo equilátero inscrito de lado AC medindo 9 vezes a raiz quadrada de 3. Há um raio r cujas extremidades são o centro e o vértice A do triângulo. Há outro raio r cuja extremidade é o centro e um ponto B, formando o diâmetro AB. Há um segmento BC de medida r. Sendo assim forma-se o triângulo ABC retângulo em C.

No △á bê cê, pelo teorema de Pitágoras, obtemos:

(á cê )² + (BC )² = (A bê)²

{(9 \sqrt{3})}^{2} + r^{2} = (2 r)^{2}

81 ⋅ 3 + relevado a 2 = 4relevado a 2

81 ⋅ 3 = 3relevado a 2

relevado a 2 = 81

r = \pm \sqrt{81}

r = ±9

Ilustração. Menino oriental de cabelo preto e camiseta listrada vermelha e branca está sentado de frente para uma mesa com caderno e pensa: Novamente o teorema de Pitágoras!

Como r é um número positivo, pois é a medida do raio, obtemos r = 9 centímetros.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca.)

14 Trace uma circunferência de raio medindo 3 centímetros e um triângulo equilátero inscrito nela. Calcule:

a) a medida do lado do triângulo;

b) a medida do apótema.

15 Se o apótema de um triângulo equilátero mede

\sqrt{12}

centímetros, determine:

a) a medida do lado do triângulo;

b) a medida da altura do triângulo.

16 Um triângulo equilátero é inscrito em uma circunferência de raio medindo 8 centímetros.

a) Calcule a medida do apótema.

b) Adicione a medida do raio com a medida do apótema.

c) Calcule a medida da altura do triângulo aplicando a fórmula

h = \frac{ℓ \sqrt{3}}{2}

d) Considerando um triângulo equilátero em que o lado tem medida 𝓁, o raio tem medida r, e o apótema, medida a, e tendo em vista os resultados dos itens b e c, podemos dizer que

\frac{ℓ \sqrt{3}}{2} = r + a

17 Um colégio está divulgando uma campanha contra o tabagismo. Para isso, promoveu um concurso entre os estudantes para a escolha de um cartaz para a campanha. O cartaz a seguir foi o vencedor.

Ilustração. Cartaz quadrado vermelho com círculo verde quase tangente aos lados do quadrado. Círculo azul menor que o círculo verde, mas com mesmo centro. Sobre os círculos, triângulo equilátero amarelo inscrito no círculo verde e escrito: FUMAR É PREJUDICIAL À SAÚDE..

Sabendo que o raio da circunferência que circunscreve o triângulo equilátero mede 30 centímetros, determine a medida da área dêsse triângulo.

18 Em uma mesma circunferência, são inscritos um quadrado e um triângulo equilátero. O apótema do quadrado mede

3, 5 \sqrt{2}

centímetros. Calcule a medida do apótema do triângulo.

Respostas e comentários

14. a)

3 \sqrt{3} cm

14. b) 1,5 centímetro

15. a) 12 centímetros

15. b)

6 \sqrt{3} cm

16. a) 4 centímetros

16. b) 12 centímetros

16. c) 12 centímetros

16. d) Sim.

17.

675 \sqrt{3} {cm}^{2}

18. 3,5 centímetros

Exercícios propostos

Apresentamos a seguir uma possível resolução para o exercício 14.

Indicando a medida do lado do triângulo equilátero por ℓ e a de seu apótema por a, temos:

Ilustração. Circunferência de centro O com triângulo equilátero inscrito. Um diâmetro da circunferência está traçado, uma das extremidades dele é um vértice do triângulo e esse diâmetro é perpendicular ao lado oposto a esse vértice do triângulo. O apótema a está destacado

ℓ = r \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}

Logo, o lado do triângulo equilátero inscrito nessa circunferência mede

3 \sqrt{3}

centímetros.

a = \frac{r}{2} = \frac{3}{2} = 1, 5

Logo, o apótema dêsse triângulo mede 1,5 centímetro.

No exercício 17, a medida do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo é r = 30 centímetros. Assim, podemos obter um esquema da situação:

Cartaz quadrado vermelho com círculo verde quase tangente aos lados do quadrado. Círculo azul menor que o círculo verde, mas com mesmo centro O. Sobre os círculos, triângulo equilátero de lado L, com contorno amarelo, inscrito no círculo verde. No triângulo há um segmento que representa uma altura do triângulo, o apótema a está destacado sobre essa altura. O segmento consecutivo ao apótema é um raio r do círculo verde. Há um triângulo retângulo destacado no triângulo equilátero, cujos lados que formam o ângulo reto medem a e metade da medida do lado do triângulo, e o lado oposto ao ângulo reto mede r.

A medida ℓ do lado é dada por:

ℓ = r \sqrt{3} \Rightarrow ℓ = 30 \sqrt{3}

centímetros

Logo, a medida A da área dêsse triângulo equilátero, em centímetros quadrados, é igual a:

A = \frac{{(ℓ)}^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}

A = \frac{{(30 \sqrt{3})}^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}

A = 675 \sqrt{3}

Como atividade complementar, pode-se pedir aos estudantes que pesquisem os malefícios do cigarro. Ao trabalhar esse tema, contribui-se para desenvolver a competência geral 8, pois os estudantes podem perceber e discutir a importância de cuidar da saúde.

As resoluções dos exercícios 15, 16 e 18 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 12.

Página 288

19 Em uma circunferência, é inscrito um triângulo equilátero cujo lado mede

15 \sqrt{3}

centímetros. Calcule a medida do lado do hexágono regular inscrito nessa circunferência.

Hora de criar – Junte-se a três colegas para discutirem e determinarem um tema para uma campanha em prol da melhora da vida da sua comunidade. Criem, usando polígonos e circunferências, um logotipo para essa campanha.

2. Medida da área de um polígono regular

Considere um polígono regular de n lados.

Ilustração. Circunferência com parte de uma figura tracejada. No centro, ponto O. De O, diagonal até A e B. Reta vertical a entre lado AB. À direita, mais duas retas tracejadas com lado l.

Indicando por 𝓁 a medida do lado do polígono e por a a medida de seu apótema, a medida da área do △á ó bê é dada por:

\frac{ℓ \cdot a}{2}

Como o polígono tem n lados congruentes, terá também n triângulos de mesma medida de área do △á ó bê.

Portanto, a medida da área A do polígono é dada por:

A = n \cdot \frac{ℓ \cdot a}{2}

, ou seja,

A = \frac{n \cdot ℓ \cdot a}{2}

A medida do perímetro do polígono é n ⋅ 𝓁. Indicando essa medida por 2p, obtemos:

A igual a, fração de numerador 2p vezes a, e de denominador 2, tendo 2 cancelado.

A = p ⋅ a

Ilustração. Homem de cabelo castanho, óculos, camisa vermelha fala: Indicando a medida do perímetro por 2p, a fórmula fica mais simples.

A medida p é chamada de medida do semiperímetro.

Acompanhe o exemplo a seguir.

Vamos calcular a medida da área de um decágono regular de lado medindo 12 centímetros. Considere tangente de 18graus = 0,32.

• Cálculo da medida do semiperímetro, em centímetro:

p = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60

, ou seja, p = 60 centímetros

• Cálculo da medida do ângulo central:

a_{c} = \frac{360°}{10} =

36graus

Ilustração. Triângulo isósceles de base com medida 12. Há um segmento tracejado e perpendicular a base que divide o ângulo oposto à base em dois ângulos de 18 graus cada. Esse segmento tem medida a, e é altura de um triângulo retângulo de base com medida 6

• Cálculo da medida a do apótema, em centímetro: tangente de 18graus =

\frac{6}{a}

a ⋅ 0,32 = 6

\frac{a \cdot 0, 32}{0, 32} = \frac{6}{0, 32}

a = 18,75, ou seja, o apótema mede 18,75 centímetros.

Respostas e comentários

19. 15 centímetros

20. Resposta pessoal.

Exercícios propostos

Na resolução do exercício 19, indicando a medida do lado do triângulo equilátero por ℓ₃ e a medida do lado do hexágono regular por ℓ₆, temos:

ℓ_{3} = 15 \sqrt{3}

r \sqrt{3}

15 \sqrt{3}

Logo, r = 15 centímetros e ℓ₆ = 15 centímetros.

O exercício 20 tem como objetivo fazer com que os estudantes utilizem polígonos e circunferências para criar um logotipo para uma campanha que eles irão determinar. É importante que todos os integrantes dos grupos participem das discussões. Ao final, peça aos grupos que apresentem os logotipos criados e que falem um pouco sobre o tema que pensaram.

2. Medida da área de um polígono regular

Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah um um e ê éfe zero nove ême ah um quatro.

Explore a figura inicial com os estudantes, reproduzindo-a na lousa. Amplie o triângulo destacado de modo que eles percebam que esse triângulo é isósceles, cuja base é o lado do polígono regular considerado (de medida ℓ), a altura é o apótema do polígono (de medida a) e os lados congruentes são raios da circunferência (de medida r).

Aproveite o momento e retome as propriedades válidas para um triângulo isósceles, indicando, principalmente, que nesse triângulo a altura relativa à base coincide com a bissetriz e a mediana relativas à mesma base.

Página 289

• Cálculo da medida da área do polígono, em centímetro quadrado: A = p ⋅ a A = 60 ⋅ 18,75 A = .1125

Logo, a área do decágono regular mede .1125 centímetros quadrados.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

21 O professor de Matemática de uma escola promoveu um campeonato de pipas entre os estudantes. Para isso, passou a seguinte especificação: a pipa deverá ter a fórma de um hexágono regular de lados medindo 20 centímetros. Calcule as medidas do apótema e da área da pipa.

Ilustração. Menino branco, sorrindo, de cabelo castanho, camiseta branca e bermuda verde está correndo com uma pipa hexagonal colorida em uma quadra de basquete. Ao fundo, cesta de basquete.

22 O lado de um pentágono regular mede 20 centímetros. Calcule a medida da sua área. (Dado: tangente de 36graus ≃ 0,73.)

23 Um eneágono regular é inscrito em uma circunferência de raio medindo 18 centímetros. Calcule a medida da sua área, sabendo que sen 20graus ≃ 0,34 e cos 20graus ≃ 0,93.

24 Esta figura faz parte de um anúncio publicitário.

Ilustração. Circunferência com triângulo azul dentro.

Sabendo que o diâmetro da circunferência da figura mede 3,6 centímetros, determine a medida da área do triângulo equilátero impresso nesse anúncio.

25 Determine a medida da área das bases e a medida da área de superfície lateral de um cubo que tem uma das faces inscrita em uma circunferência de raio medindo 3 centímetros.

Ilustração. Cubo laranja cuja face inferior está inscrita em uma circunferência de raio medindo 3 centímetros.

26 Observe as figuras a seguir.

lustração. Octógono regular cinza com lado medindo 5 centímetros. Decágono regular amarelo com lado medindo 5 centímetros. Triângulo equilátero laranja com lado medindo 20 centímetros. Hexágono regular azul com lado medindo 10 centímetros. Pentágono regular verde com lado medindo 15 centímetros.

a) Represente em um gráfico de colunas as medidas das áreas dos polígonos regulares. (Considere:

\sqrt{3}

= 1,73; tangente de 30graus = 0,58; tangente de 36graus = 0,73; tangente de 22,5graus = 0,41; tangente de 18graus = 0,32.)

b) Calcule a média das medidas das áreas desses polígonos (área média).

Hora de criar – Em dupla com um colega separem algumas revistas que possam ser recortadas. Após cada um escolher uma imagem (paisagem, flores, um rosto etcétera), colem as duas imagens em dois pedaços de cartolina ou papelão. Usando lápis e régua, tracem polígonos cobrindo toda a imagem. Depois, cada um de vocês deve recortar os polígonos traçados sobre suas imagens, fazendo um quebra-cabeça. Troque seu quebra-cabeça com o do colega para cada um montar o quebra-cabeça do outro.

(Usem tesouras com pontas arredondadas e as manuseiem com cuidado!)

Respostas e comentários

21. Medida do apótema:

10 \sqrt{3}

centímetros; medida da área:

600 \sqrt{3} {c m}^{2}

22. Aproximadamente 395 centímetros quadrados.

23. Aproximadamente 922 centímetros quadrados.

24.

2, 43 \sqrt{3} {cm}^{2}

25. Área das bases: 18 centímetros quadrados; área da superfície lateral: 72 centímetros quadrados.

26. a) Construção de gráfico.

26. b) 226,89 centímetros quadrados

27. Resposta pessoal.

Exercícios propostos

No exercício 21, o raio da circunferência que circunscreve o hexágono mede r = ℓ = 20 centímetros. Então, a medida a do apótema do hexágono é dada por:

a = \frac{r \sqrt{3}}{2} = \frac{20 \sqrt{3}}{2}

Logo,

a = 10 \sqrt{3}

centímetros.

A medida da área A dêsse hexágono é dada por:

A = \frac{6 \cdot 20}{2} \cdot 10 \sqrt{3}

Assim,

A = 600 \sqrt{3}

centímetros quadrados.

No exercício 26, apresentamos o cálculo da medida da área do decágono regular. As demais medidas de áreas são obtidas de maneira análoga.

Cálculo da medida do ângulo central do decágono:

a_{c} = \frac{360}{10} \Rightarrow a_{c} =

36graus

Ilustração. Triângulo isósceles de base com medida 5. Há um segmento tracejado e perpendicular a base que divide o ângulo oposto à base em dois ângulos de 18 graus cada. Esse segmento tem medida a, e é altura de um triângulo retângulo de base com medida 2,5 e hipotenusa de medida r.

tg 18graus =

\frac{2, 5}{a}

a = \frac{2, 5}{0, 32} = 7, 8125

Assim, obtemos:

A_{d e c á g o n o (r e g u l a r)} = p \cdot a =

\frac{10 \cdot 5}{2} \cdot 7, 8125

Portanto, Adecágono (regular) ≃ 195,31 centímetros quadrados.

dêsse modo, os estudantes devem obter as seguintes medidas de áreas:

• octógono regular: 121,95 centímetros quadrados;

• triângulo equilátero: 173 centímetros quadrados;

• hexágono regular: 259,5 centímetros quadrados;

• pentágono regular: 385,27 centímetros quadrados.

As resoluções dos exercícios 22 a 25 e dos demais itens do exercício 26 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 12.

No exercício 27, incentive os estudantes a compor diferentes quebra-cabeças com base nos conceitos já estudados neste capítulo. Proponha a eles que apresentem aos demais colegas as produções.

Página 290

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Ângela é proprietária de uma loja de artesanato. No final do ano, ela pretende oferecer como brinde aos clientes da loja um enfeite confeccionado em madeira. O enfeite será uma flor estilizada, formada por polígonos regulares: um hexágono e seis pentágonos.

Ilustração. Hexágono regular azul em cada lado do hexágono há um pentágono regular lilás.

Sabendo que o hexágono tem lado de medida igual a 2,0 centímetros, determine a medida da área aproximada de madeira que Ângela utilizará para produzir cada enfeite. Considere tangente de 36º = 0,73.

3. Medida da área de um círculo

Considere um círculo de centro óh e raio de medida r.

Vamos inscrever nesse círculo um polígono regular de n lados, sendo a a medida do apótema do polígono.

Ilustração. Círculo de centro O, com polígono de n lados inscrito, sendo a a medida do apótema desse polígono.

Supondo que o número de lados (n ) cresça indefinidamente, acontecerá o seguinte:

• a medida do perímetro 2p do polígono regular vai se aproximar da medida do comprimento 2πr da circunferência e, portanto, a medida do semiperímetro p se aproximará de πr ;

• a medida do apótema do polígono regular vai se aproximar da medida do raio do círculo;

• a medida da área do polígono regular vai se aproximar da medida da área do círculo.

Então, vamos encontrar uma fórmula que forneça a medida da área de um círculo:

Esquema. Área do polígono igual a p vezes a, seta que sai de p e aponta para pi r, seta que sai de a e aponta para r. Área do círculo igual a pi r vezes r

Acírculo = πr 2

Observe um exemplo.

Vamos calcular, em metro quadrado, a medida da área de uma praça circular que tem raio medindo 35 métros. Considere π ≃ 3,14.

Ilustração. Praça circular com grama verde e árvores

Acírculo = π ⋅ r ²

Acírculo ≃ 3,14 ⋅ (35)²

Acírculo ≃ 3,14 ⋅ .1225

Acírculo ≃ .3846,50

Logo, a área da praça mede aproximadamente .3846,50 métros quadrados.

Respostas e comentários

Pense mais um poucoreticências: Aproximadamente 51,48 centímetros quadrados.

Pense mais um poucoreticências

Vamos indicar por a₆ e por a₅ as medidas dos apótemas do hexágono regular e do pentágono regular, respectivamente.

Para o hexágono regular, temos:

ℓ = r = 2 centímetros

a_{6} = \frac{r \sqrt{3}}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2}

Portanto,

a_{6} = \sqrt{3}

centímetros.

p_{6} = \frac{6 \cdot 2}{2} \Rightarrow p_{6} = 6

centímetros

A_{h e x á g o n o (r e g u l a r)} = 6 \sqrt{3} ≃ 10, 38

Para o pentágono regular, pela figura do enunciado, verificamos que o lado de cada pentágono regular mede ℓ = 2 centímetros (mesma medida do lado do hexágono). Então:

p_{5} = \frac{5 \cdot 2}{2} \Rightarrow p_{5} = 5

centímetros

O ângulo central do pentágono regular mede:

a_{c} = \frac{360}{5} \Rightarrow a_{c} = 72 °

Assim, cada triângulo isósceles que compõe cada um desses pentágonos regulares tem base medindo 2 centímetros e ângulo do vértice de 72graus:

Ilustração. Triângulo isósceles de base com medida 2 centímetros. Há um segmento tracejado e perpendicular a base que divide o ângulo oposto à base em dois ângulos de 36 graus cada. Esse segmento tem medida a índice 5, e é altura de um triângulo retângulo de base com medida 1 centímetro.

tangente de 36graus =

\frac{1}{a_{5}}

0, 73 = \frac{1}{a_{5}} \Rightarrow a_{5} = \frac{1}{0, 73}

Então, a₅ ≃ 1,37 centímetro.

Apentágono(regular) ≃ 5 · 1,37

Logo, Apentágono(regular) ≃ 6,85 centímetros quadrados.

Medida aproximada da área de madeira utilizada em cada enfeite:

Amadeira ≃ 10,38 + 6 · 6,85

Assim, Amadeira ≃ 51,48 centímetros quadrados.

3. Medida da área de um círculo

Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah um um e ê éfe zero nove ême ah um quatro.

Explore com os estudantes a determinação da medida da área do círculo. Sugira a eles que desenhem polígonos regulares inscritos em uma mesma circunferência, cada vez com maior número de lados, para que percebam a ideia de limite que pode ser associada à comparação da medida da área do círculo com a de um polígono regular de n lados, com n tendendo ao infinito (quanto maior o número n, melhor é a aproximação da medida dessas áreas).

Página 291

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

28 (saréspi) Juliana colocou um copo molhado sobre a mesa, onde ficou a marca da base circular do copo. A área da marca mede 16π centímetros quadrados.

Ilustração. Copo com base circular sobre uma superfície quadrada.

O diâmetro da base do copo mede:

a) 4 centímetros.

b) 8 centímetros.

c) 16 centímetros.

d) ≃ 5,7 centímetros.

29 (Fuvésti-São Paulo) O triângulo á bê cê é inscrito em uma circunferência de raio medindo 5 centímetros. Sabe-se que a e B são extremidades de um diâmetro e que a corda

\overline{B C}

mede 6 centímetros. Então a área do triângulo á bê cê, em centímetros quadrados, mede:

a) 24.

b) 12.

\frac{5 \sqrt{3}}{2}

6 \sqrt{3}

2 \sqrt{3}

30 (unifór-Ceará) Um triângulo está inscrito em uma circunferência de centro óh, como mostra a figura a seguir.

Ilustração. Circunferência de centro O com triângulo equilátero inscrito. Há 3 segmentos de reta tracejados com extremidade em um vértice e a outra extremidade no ponto O, eles formam em torno no ponto O três ângulos alfa, beta e gama

Se o raio da circunferência mede 1 centímetro e os ângulos α, β e γ são congruentes, então o lado do triângulo mede:

a) 1,2 centímetro.

b) 1,3 centímetro.

\sqrt{2}

centímetros.

d) 1,5 centímetro.

\sqrt{3}

centímetros.

31 Junte algumas moedas de diferentes valores. Com uma régua, meça cada diâmetro em milímetro, e calcule a medida da área aproximada da face de cada uma delas. Em seguida, construa uma tabela com essas medidas.

32 Calcule a medida da área da parte pintada de lilás, considerando

\sqrt{3}

= 1,73 e π = 3,14.

Ilustração. Retângulo com lado maior medindo 12 centímetros. Dentro, dois círculos de idênticos que tangenciam e tangenciam o retângulo.

33 Calcule a medida da área aproximada da parte pintada de verde, sabendo que A bê = 4 centímetros.

Ilustração. Círculo dividido em 4 partes. Na horizontal diâmetro AB. Cada parte tem meia circunferência branca, cujo diâmetro corresponde ao raio do círculo. O restante de cada parte está pintado de verde.

34 Durante uma aula de Arte, Pedro elaborou um painel, conforme a figura a seguir.

Ilustração. Retângulo dividido em 3 fileiras e 6 colunas pintadas. As duas partes verdes correspondem a quatro quadradinhos pela metade cada. Duas partes amarelas correspondem a quatro quadradinhos pela metade cada. Uma parte azul corresponde a quatro quadradinhos pela metade.

Esse painel foi feito em um papel quadriculado cujo quadradinho mede 3 centímetros de lado. Determine a medida da área da parte pintada de verde.

35 Na figura, r é a medida do raio da circunferência em uma unidade u, e

\overset{⌢}{A B} ≅ \overset{⌢}{B C} ≅ \overset{⌢}{C D} ≅ \overset{⌢}{D E} ≅ \overset{⌢}{E F} ≅ \overset{⌢}{F A} .

Ilustração. Hexágono regular ABCDEF inscrito em uma circunferência de centro O, triângulo equilátero ACE inscrito na mesma circunferência. Segmento OC corresponde ao raio r da circunferência.

Calcule a medida da área da região pintada de roxo.

36 Retomando a situação de Edgard sobre o projeto de construção de mostradores de relógios de parede, descrita no início do capítulo, considere um polígono regular de 12 lados inscrito em uma circunferência de raio medindo 10 centímetros.

a) Quanto mede o ângulo central do polígono?

b) Use o quadro de razões trigonométricas da página 204, com duas casas decimais, para determinar as medidas do apótema e do lado dêsse polígono.

c) Qual é a diferença entre as medidas do comprimento da circunferência e do perímetro dêsse polígono?

d) Qual é a medida da área dêsse polígono?

Respostas e comentários

28. Alternativa b.

29. Alternativa a.

30. Alternativa e.

31. Construção de tabela.

32. 56,52 centímetros quadrados

33. 6,28 centímetros quadrados

34. 36 centímetros quadrados

35.

\frac{3 r^{2} \sqrt{3}}{4} u^{2}

36. a) 30graus

36. b) Medida do apótema: 9,70 centímetros; medida do lado: 5,20 centímetros.

36. c) 0,4 centímetro

36. d) 302,64 centímetros quadrados

Exercícios propostos

No exercício 31, uma coleção de moedas pode ser formada pelas que estão em circulação no Sistema Monetário Brasileiro. Fazendo as medições dos diâmetros e usando π = 3,14, podemos montar a seguinte tabela:

Medidas das áreas de moedas
Valor da moeda	Medida do diâmetro (em mm)	Medida da área (em mm2)
R$ 0,05	22	379,94
R$ 0,10	20	314
R$ 0,25	25	490,625
R$ 0,50	23	415,265
R$ 1,00	27	572,625

Dados obtidos na coleção de moedas considerada.

No exercício 34, vamos analisar um dos conjuntos de quadradinhos que formam uma parte da área pintada de verde:

Nesse conjunto, a área destacada em amarelo nos quadradinhos 1 e 3 juntos é igual à área em verde nos quadradinhos 2 e 4 juntos. Trocando nesse conjunto a parte em amarelo com essas partes em verde, temos:

Ilustração. Quadrado dividido em quatro partes. O quadradinho superior esquerdo com número 3 e o quadradinho inferior esquerdo com número 1 estão pintados de verde.

A área em verde corresponde à área de 2 quadradinhos. Como no painel há dois conjuntos com regiões idênticas pintadas de verde, temos que nele toda a área pintada de verde corresponde à área de 4 quadradinhos (3 centímetros de lado). Ou seja:

Averde = 4 · 3²

Portanto, Averde = 36 centímetros quadrados.

As resoluções dos exercícios 28 a 30 e dos exercícios 32, 33, 35 e 36 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 12.

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PARA SABER MAIS

Construção de polígono regular de êne lados

Lizandra precisa programar um tear eletrônico para compor contornos de polígonos regulares na fabricação de tecidos.

fotografia. Tear eletrônico com cabos na parte superior acima de dois suportes com botões. À direita, painel eletrônico. Abaixo, tecido com desenhos de círculos com hexágonos e pentágonos dentro, formando um mosaico. — Tear eletrônico usado na indústria têxtil para a produção de tecidos com padrões criados por computador.

Acompanhe as etapas do programa que ela elaborou para a máquina seguir, também descritas no fluxograma.

1. Definir a medida do comprimento 𝓁 centímetro do lado do polígono.

2. Definir o número n de lados do polígono, n ⩾ 3.

3. Definir o número k = 1.

4. Calcular a medida

a_{e} = \frac{360 °}{n}

do ângulo externo.

5. Bordar em linha reta caminho com 𝓁 centímetro.

6. Fazer k = k + 1.

7. Se k > n, desligar a máquina.

8. Girar no sentido horário a_e graus e voltar para o item 5.

Fluxograma. A figura é um fluxograma com 7 caixas legendadas ligadas por setas. Em cada etapa, as setas apontam para a frente para uma caixa. Aqui, o fluxograma é descrito como listas nas quais os próximos passos possíveis são listados abaixo de cada legenda da caixa. 1. Definir L cm; n maior igual a 3; k igual a 1. a. Avança para Fazer a índice e, igual a, 360 graus sobre n. 2. Fazer a índice e, igual a, 360 graus sobre n. a. Avança para Bordar L cm em linha reta 3. Bordar L cm em linha reta a. Avança para Fazer k igual a k mais 1. 4. Fazer k igual a k mais 1. a. Avança para k maior que n? 5. k maior que n? a. Se sim, desligar a máquina. b. Se não, Girar a índice e, no sentido horário.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Seguindo as etapas descritas por Lizandra, escolha um número n de lados e construa em uma folha avulsa um polígono regular de lados medindo 6 centímetros.

2 Construa novamente o polígono da atividade 1 mudando o item 8 para “Girar no sentido anti-horário a_e graus e voltar para o item 5”.

Respostas e comentários

1. Construção de figura.

2. Construção de figura.

Para saber mais

Nessa seção, ao trabalhar com fluxogramas, contribui-se para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero nove ême ah um cinco).

Na atividade 1 do Agora é com você!, escolhendo n = 5, por exemplo, o procedimento será:

Com a_e = 72graus (pois 360graus : 5 = 72graus) e iniciando no ponto A, traçamos um segmento de 6 centímetros (“bordar 6 centímetros em linha reta”), que é o primeiro lado; para k = 2, com n = 5, obtemos 2 < 5, ou seja, k não é maior do que n; seguimos o fluxograma e giramos 72graus no sentido horário; traçamos outro segmento de 6 centímetros (segundo lado); para k = 3, temos k < n, então giramos 72graus no sentido horário; traçamos outro segmento de 6 centímetros (terceiro lado); para k = 4, temos k < n, portanto, giramos 72graus no sentido horário; traçamos outro segmento de 6 cm (quarto lado); para k = 5, com n = 5, temos k < n e giramos 72graus no sentido horário; traçamos outro segmento de 6 centímetros (quinto lado) e voltamos ao ponto A; para k = 6, temos k > n, então desligamos a máquina e o pentágono está construído.

Ilustração. Pentágono regular com lado medindo 6 centímetros. No canto inferior direito do pentágono, vértice A. Nos outros quatro vértices estão indicados os ângulos internos de 108 graus e os respectivos ângulos externos de 72 graus cada.

A resolução da atividade 2 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 12.

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Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Todas as figuras a seguir são formadas por duas circunferências concêntricas cujos raios medem 2 centímetros e 3 centímetros, mas apenas duas delas podem ser sobrepostas de modo que toda a região contida nas circunferências esteja pintada de verde. Descubra que figuras são essas e determine a medida da área da região pintada de verde em cada uma dessas figuras.

Ilustração. Duas circunferências concêntricas. A circunferência de raio maior está dividida em 4 partes iguais, de modo que os segmentos que a dividem um está na horizontal e o outro na vertical. A circunferência de raio menor está pintada de verde, e o restante da circunferência de maior raio está branco.

Ilustração. Duas circunferências concêntricas. A circunferência de raio maior está divida ao meio pelo diâmetro horizontal, e a metade de cima está dividida em duas partes iguais. A circunferência de menor raio está pintada de verde, e o restante da circunferência de maior raio está branco.

Ilustração. Duas circunferências concêntricas. As duas circunferências estão divididas ao meio pelo diâmetro horizontal. A circunferência de maior raio tem a metade de cima pintada de verde e debaixo branca. A circunferência de menor raio tem a metade de cima branca e debaixo verde.

Ilustração. Duas circunferências concêntricas. A circunferência de raio maior está dividida em 4 partes iguais pelos diâmetros horizontal e vertical. A circunferência de menor raio está dividida ao meio pelo diâmetro horizontal, sendo que a metade de cima está pintada de verde, e a metade debaixo está branca. Todo o restante da circunferência de raio maior está branco.

Medida da área de uma coroa circular

A figura a seguir mostra dois círculos concêntricos. O círculo menor tem raio de medida r, e o círculo maior, raio de medida R.

Ilustração. Dois círculos concêntricos de centro O, o círculo menor tem raio de medida r minúsculo e o círculo maior tem raio de medida R maiúsculo. O círculo menor está pintado de verde. E a parte que sobra está pintada de vermelho.

A parte da figura pintada de vermelho é chamada de coroa circular.

Observe que a medida da área da coroa circular é igual à diferença entre as medidas das áreas dos dois círculos, ou seja:

Acoroa circular = πR ² ‒ πr ²

Acoroa circular = π(R ² ‒ r ²)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

37 Calcule a medida aproximada da área pintada de azul em cada uma das figuras a seguir.

Ilustração. Duas circunferências concêntricas de centro O, sendo a menor com raio medindo 2 centímetros e a maior com raio medindo 3 centímetros. A coroa circular está pintada de azul.

Ilustração. Metade de duas circunferências concêntricas com centro O, a menor tem raio 1 centímetro, a maior tem raio 5 centímetros. A metade da coroa circular está pintada de azul.

38 Dois círculos concêntricos de raios medindo 6 centímetros e 2 centímetros formam uma coroa circular.

Calcule a medida da área dessa coroa.

Respostas e comentários

Pense mais um poucoreticências: Alternativas c, d; medida da área:

\frac{9 π}{2}

centímetros quadrados.

37. a) Aproximadamente 15,70 centímetros quadrados.

37. b) Aproximadamente 37,68 centímetros quadrados.

38. 100,48 centímetros quadrados

Pense mais um poucoreticências

As únicas duas figuras que podem ser sobrepostas são as das alternativas c e d, pois rotacionando uma delas 180graus em torno do centro, pode-se perceber que são idênticas. Observe o cálculo da medida da área (A) pintada de verde nesse caso.

A = \frac{π \cdot R^{2} ‒ π \cdot r^{2}}{2} + \frac{π \cdot r^{2}}{2} =

= \frac{π \cdot 3^{2} ‒ π \cdot 2^{2}}{2} + \frac{π \cdot 2^{2}}{2} =

= \frac{5 π}{2} + 2 π = \frac{9 π}{2}

Logo,

A = \frac{9 π}{2}

centímetros quadrados.

Alternativamente, pode-se perceber que a medida da área verde de cada figura é igual à metade da medida da área de um círculo de medida do raio igual a 3 centímetros.

Medida da área de uma coroa circular

Pergunte aos estudantes se eles se lembram da definição de coroa circular:

Coroa circular é a região do plano limitada por duas circunferências concêntricas.

Depois, diga que a medida da área de uma coroa circular é obtida por meio da medida de área do círculo de raio maior subtraída da medida de área do círculo de raio menor.

As resoluções dos exercícios 37 e 38 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 12.

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Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Adotando π = 3,14, calcule:

• a medida da área total da parte verde do alvo;

• a medida da área total da parte amarela do alvo.

Ilustração. À esquerda, jovem negro de cabelo castanho curto e camiseta roxa segura um dardo com a mão direita em posição de lançamento; A frente uma mesa com um caderno e mais 3 dardos. À direita, há um alvo formado por 7 círculos concêntricos alternando as cores verde e amarelo, sendo o círculo central verde. O círculo central tem raio medindo 10 centímetros. Cada círculo a partir do central tem 10 centímetros a mais de medida de raio.

(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)

Medida da área de um setor circular

Todo ângulo central determina em um círculo uma região chamada de setor circular.

Ilustração. Círculo verde de centro O. Destaque laranja para um ângulo alfa de vértice em O e lados com medida igual à medida do raio r.

Considerando o setor circular em que a medida do ângulo central, em grau, é α, podemos calcular a medida da área dêsse setor estabelecendo uma proporção. Observe.

Esquema. Quadro com duas colunas e três linhas.
Primeira linha e primeira coluna: Medida de área. Segunda coluna: Medida do ângulo central.
Segunda linha e primeira coluna: pi r ao quadrado. Segunda coluna: 360 graus.
Terceira linha e primeira coluna: A índice setor circular. Segunda coluna: alfa.
Seta para direita indicando a expressão: fração pi r ao quadrado sobre A índice setor circular, fim da fração, igual, 360 graus sobre alfa.

Acompanhe um exemplo.

Vamos calcular a medida da área do setor circular cujo ângulo central mede 30graus e cujo raio mede 10 centímetros.

Pelo enunciado, temos: α = 30graus e r = 10 centímetros.

Assim:

Ilustração. Círculo laranja com raio medindo 10 centímetros e com um setor circular destacado em azul, cujo ângulo central mede 30 graus.

\frac{π \cdot 10^{2}}{A_{setor circular}} = \frac{360}{30}

\frac{100 π}{A_{setor circular}} = \frac{12}{1}

12 ⋅ Asetor circular = 100π

A_{s e t o r c i r c u l a r} = \frac{25 π}{3}

Portanto, a medida da área do setor circular é

\frac{25 π}{3}

centímetros quadrados.

Respostas e comentários

Pense mais um poucoreticências: Parte verde: .8792 centímetros quadrados; parte amarela: .11304 centímetros quadrados.

Pense mais um poucoreticências

Sejam C_n os círculos de raio medindo 10n centímetros no esquema dado, com n = 1, 2, reticências, 7. Assim, C₁ é o círculo central de raio medindo 10 centímetros e C₇ é o círculo de raio medindo 70 centímetros, por exemplo. A área da região verde é dada pela relação entre as áreas desses círculos:

Averde = (AC₇ ‒ AC₆) + (AC₅ ‒ AC₄) + (AC₃ ‒ AC₂) + AC₁

Cálculo da medida da área de cada círculo, em centímetros quadrados:

AC₇ = π · 70² ⇒ AC₇ = .15386

AC₆ = π · 60² ⇒ AC₆ = .11304

AC₅ = π · 50² ⇒ AC₅ = .7850

AC₄ = π · 40² ⇒ AC₄ = .5024

AC₃ = π · 30² ⇒ AC₃ = .2826

AC₂ = π · 20² ⇒ AC₂ = .1256

AC₁ = π · 10² ⇒ AC₁ = 314

Cálculo da medida da área verde, em centímetros quadrados:

A = (.15386 ‒ .11304) + (.7850 ‒ .5024) + (.2826 ‒ .1256) + 314

A = .4082 + .2826 + .1570 + 314

A = .8792

Como AC₈ = π · 80² = .20096 centímetros quadrados, temos:

Aamarela = AC₈ ‒ Averde = .20096 ‒ .8792

Portanto, Aamarela = .11304 centímetros quadrados.

Medida da área de um setor circular

Pergunte aos estudantes se eles se lembram da definição de setor circular:

Setor circular é uma região do círculo delimitada por dois de seus raios e um arco.

Explore a noção de proporcionalidade envolvida no cálculo da medida da área de um setor circular. Comente com os estudantes que esse cálculo pode ser usado para determinar a medida da área dos setores circulares de um gráfico de setores e, assim, construir gráficos dêsse tipo.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

39 Em uma pista de atletismo, o campo de arremesso de peso tem a fórma de um setor circular com 60º de abertura e raio medindo 25 métros. Calcule a medida da área dêsse campo.

Ilustração. Pessoa em um campo de arremesso de peso com formato de setor circular com ângulo central de 60 graus e raio medindo 25 metros. Em cada extremidade do arco correspondente ao ângulo central há uma bandeira amarela.

40 Para fazer um molde, Clarice desenhou a figura a seguir.

Ilustração. Figura composta por círculo com diâmetro medindo 1 centímetro. Abaixo, centralizado e tangenciando o círculo por um vértice, um triângulo equilátero com lado medindo 1 centímetro. De cada lado do triângulo um setor circular cujo um dos raios é um lado do triângulo e o ângulo central é congruente ao ângulo interno do triângulo. Abaixo do triângulo, um trapézio isósceles de modo que a base do triângulo equilátero é a base menor do trapézio, os lados não paralelos do trapézio mede 1 centímetro.

Calcule a medida da área aproximada da figura desenhada por Clarice.

41 Em uma circunferência cujo raio mede 15 centímetros, o arco de um setor circular mede 10π centímetros. Determine:

a) a medida do ângulo central dêsse setor;

b) a medida da área dêsse setor.

42 (púqui-Rio de Janeiro) Triplicando-se o raio de uma circunferência:

a) a medida da área é multiplicada por 9π.

b) a medida do comprimento é multiplicada por 3π.

c) a medida da área é multiplicada por 9, e a do comprimento, por 3.

d) as medidas da área e do comprimento são ambas multiplicadas por 3.

e) a medida da área é multiplicada por 3, e a do comprimento, por 9.

43 Em cada figura, calcule a medida da área da parte colorida. Em seguida, verifique se existem figuras equivalentes. (Adote π = 3,14.)

Ilustração. Figura 1. Duas circunferências concêntricas, a menor tem raio de medida 3 centímetros e a maior tem raio de medida 5 centímetros. A coroa circular está pintada de cinza.

Ilustração. Figura 2. Círculo verde com triângulo retângulo branco dentro. Um dos catetos está posicionado verticalmente e passa pelo centro do círculo, o segmento que fica acima do centro mede 3 centímetros e o segmento que fica abaixo, mede 1,82 centímetros. O outro cateto mede 2 centímetros.

Ilustração. Figura 3. Círculo azul de raio medindo 3 centímetros. Do círculo foi retirado um setor circular cujo ângulo central mede 60 graus.

Ilustração. Figura 4. Quadrado laranja com lado medindo 6 centímetros. No interior do quadrado há um círculo branco com raio medindo 2 centímetros e cujo centro é o centro do quadrado.

44 (Fuvésti-São Paulo) Um comício político lotou uma praça semicircular cujo raio mede 130 métros. Admitindo uma ocupação média de quatro pessoas por métro quadrado, qual é a melhor estimativa do número de pessoas presentes?

a) dez mil

b) cem mil

c) meio milhão

d) um milhão

e) muito mais de um milhão

45 (Vunéspi) Um cavalo se encontra preso em um cercado de pastagem cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50 métros. Ele está amarrado a uma corda de 40 métros que está fixada em um dos cantos do quadrado. Considerando π = 3,14, calcule a medida da área, em metro quadrado, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado.

a) .1244

b) .1256

c) .1422

d) .1424

e) .1444

Respostas e comentários

39.

\frac{625 π}{6}

métros quadrados ≃ 327 métros quadrados

40. 3,56 centímetros quadrados

41. a) 120graus

41. b) 75π centímetros quadrados

42. Alternativa c.

43. Figura 1: 50,24 centímetros quadrados; figura 2: 23,44 centímetros quadrados; figura 3: 23,55 centímetros quadrados; figura 4: 23,44 centímetros quadrados. As figuras 2 e 4 são equivalentes.

44. Alternativa b.

45. Alternativa a.

Exercícios propostos

Para a resolução do exercício 39, vamos considerar π ≃ 3,14. Assim, a medida A da área do setor circular é dada por:

\frac{π \cdot 25^{2}}{A} = \frac{360}{60}

Logo,

A = \frac{625 π}{6} \Rightarrow A ≃ 327

métros quadrados.

No exercício 40, vamos considerar π = 3,14 e

\sqrt{3}

= 1,73. Na figura, todos os ângulos demarcados medem 60graus, pois são ângulos internos de um triângulo equilátero cujo lado mede ℓ = 2 centímetros.

Assim, a figura é composta de um círculo de raio medindo 0,5 centímetro, dois setores circulares de 60graus e raio de 1 centímetro e uma região determinada por um triângulo equilátero de lado medindo 2 centímetros.

• Cálculo da medida da área do círculo, em centímetro quadrado: πr² = 3,14 · (0,5)² Ac = 0,785

• Cálculo da medida da área de cada setor circular, em centímetro quadrado:

\frac{α \cdot π r^{2}}{360} = \frac{60 \cdot 3, 14 \cdot {(1)}^{2}}{360}

As ≃ 0,523

• Cálculo da medida da área do triângulo equilátero, em centímetro quadrado:

A_{t} = \frac{ℓ^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{2^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} ≃ 1, 73

A medida da área da figura, em centímetro quadrado, é dada pela soma das medidas das áreas dos elementos que a compõem:

A_figura ≃ (0,785 + 2 · 0,523 + 1,73) ≃ 3,56

No exercício 44, a medida a da área, em métro quadrado, de um semicírculo de raio medindo 130 métros é dada por:

A = \frac{π \cdot r^{2}}{2} = \frac{π \cdot 130^{2}}{2}

A = .8450π

Como admitimos uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, fazendo π = 3,14, temos:

4 · .8450 · 3,14 ≃ .106132

Logo, a melhor estimativa, entre as alternativas, é cem mil pessoas.

As resoluções dos exercícios 41 a 43 e 45 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 12.

Página 296

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Atenção ao ler gráficos

Ler um texto ou assistir a um filme requer atenção, assim como acontece com a leitura de um gráfico, especialmente gráficos duplos em que compará-los é inevitável e desejado.

Há gráficos que apresentam erros em sua construção, e outros que apresentam inadequações.

• Em um gráfico de setores, por exemplo, um erro banal é quando a soma das porcentagens dos setores, exceto nos casos de arredondamento, difere de 100% (ver gráfico 1). Já uma inadequação é haver uma quantidade muito grande de setores e de cores muito parecidas, tornando as legendas incompreensíveis (ver gráfico 2).

Gráfico 1

Gráfico de setores. Grau de escolaridade na empresa X. Os dados são: Ensino Fundamental: 47%. Ensino Médio: 25%. Ensino Superior: 25%. Pós-graduação: 13%. — Dados fictícios.

Gráfico 2

Gráfico de setores. Elementos químicos no Planeta Y dividida em: H, O, C, Fe, N, Na, K, Ca, Mn, Al, P, Cl, Mg, Ag, Cu, Zn, Co, Hg, Au, Cd, Pb. Destaca para os dados: H: 30,3%. O: 9,6%. C: 5,9%. Fe: 4,8%. N: 4,5%. K: 4%. P: 2,5%. — Dados fictícios.

• Em gráficos de colunas ou gráficos de barras, os erros mais comuns ocorrem por não contemplarem a proporcionalidade entre os comprimentos das colunas/barras e os valores que elas representam.

Gráfico em barras verticais. Densidade demográfica das regiões do Brasil (2010). Eixo horizontal, regiões. Eixo vertical, Densidade demográfica (habitante por quilômetro quadrado). Os dados são: Brasil: 22,43. Norte: 4,12. Nordeste: 34,15. Sudeste: 86,92. Sul: 48,58. Centro-Oeste: 8,75. — Dados obtidos em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Censo 2010. Disponível em: https://oeds.link/IHtjuz. Acesso em: 7 julho 2022.

Observe que a coluna referente à região Sudeste não é proporcional às demais colunas. Por exemplo, com o compasso no gráfico, se adicionarmos a altura da coluna Brasil e a da coluna Sul, veremos que uma sobre a outra resulta quase na altura da coluna Sudeste. No entanto, a soma dos valores 22,43 + 48,58 = 71,01 é diferente do valor da coluna Sudeste (86,92). Se o eixo vertical fosse graduado (não graduá-lo é um erro), a falta de proporcionalidade dificilmente ocorreria.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca.)

Respostas e comentários

Trabalhando a informação

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah dois um.

Nesta seção, trabalhamos com gráficos cujos elementos induzem a erros de leitura e interpretação, desenvolvendo, assim, a habilidade (EF09MA21).

Antes de trabalhar o texto desta seção apresente apenas os gráficos em cópia ampliada, fixando-os na lousa, para que os estudantes explorem cada gráfico. Verifique, por exemplo, se eles percebem que no gráfico 1, de maneira equivocada, o total é 110% e não 100%. Eles podem observar esse fato na própria figura (sem efetuar a soma das porcentagens), pois os dois setores de 25% deveriam corresponder à metade do círculo, mas não é o que acontece.

Para ampliar a discussão, apresente outros gráficos de setores.

Analise com eles o gráfico de colunas apresentado, sobre a densidade demográfica das regiões do Brasil, e verifique se percebem que nem todas as colunas têm a altura proporcional às demais. Espera-se que os estudantes percebam que a coluna referente à região Sudeste não é proporcional às demais, pois sua altura deveria ser quase o dobro da altura da coluna referente à região Sul.

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• Uma inadequação que por vezes ocorre tanto em gráficos de colunas quanto em gráficos de linhas duplas é quando a graduação do eixo vertical não inicia do zero. No gráfico de linhas duplas, por exemplo, esse fato pode induzir o leitor a erros ao comparar os valores de cada linha em uma mesma vertical. Acompanhe no gráfico a seguir.

Gráfico de linhas. Título do gráfico "Distribuição do emprego no Brasil por tipo de trabalho, em porcentagem". Há duas linhas no gráfico, uma delas indica "Menos qualificados. Atividades elementares, em geral manuais, como faxineiros, ambulantes e pedreiros". E, a outra linha indica "Mais qualificados Profissionais liberais, técnicos e gerentes". O eixo horizontal indica os anos e o eixo vertical indica a porcentagem. O eixo vertical começa em 15 porcento. No gráfico, a linha que indica menos qualificados, começa em 2000 em 19,7, cai para 17 em 2010, depois cai para 15,6 em 2017 e se mantém em 15,6 em 2021. No gráfico, a linha que indica mais qualificados, começa em 2000 em 18,4, sobre para 19,9 em 2010, sobre para 22 em 2017 e para 22,2 em 2021. Uma nota: No Brasil, a tendência de redução das vagas de menor qualificação e aumento das que exigem mais já ocorre e deve se intensificar. — Fonte: PERRIN, F. Automação vai mudar a carreira de 16 milhões de brasileiros até 2030. Folha de S.Paulo, São Paulo, 21 janeiro 2018.

Observe que os valores do eixo vertical não começam no zero, mas no 15. O fato de a escala vertical iniciar no valor 15 faz com que em 2010, por exemplo, tenhamos a impressão de que a porcentagem de empregos mais qualificados (19,9) seja pouco mais do que o dobro (ou seja, 100%) da porcentagem de empregos menos qualificados (17). Mas isso não é verdade: 19,9 é apenas 17% maior do que 17, pois 19,9 : 17 ≃ 1,17.

Agora observe os valores de 2021. Calculando 22,2 : 15,6 ≃ 1,42. Isso significa que 22,2 é aproximadamente 42% maior do que 15,6. No entanto, no gráfico, a altura de 22,2 é 10 vezes maior do que a altura de 15,6, ou seja, .1000% maior.

A compreensão da leitura que obtemos em um gráfico como esse pode nos induzir a conclusões equivocadas. Por isso, é preciso muita atenção na leitura.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Considerando o gráfico “Distribuição do emprego no Brasil por tipo de trabalho, em porcentagem” responda:

a) Em que ano os dois tipos de emprego representavam a mesma porcentagem?

b) Em 2000, o emprego menos qualificado era aproximadamente quantos por cento maior do que o emprego mais qualificado?

Respostas e comentários

a) Em 2004.

b) 7%

Agora quem trabalha é você!

As atividades propostas podem ser respondidas em duplas, pois a discussão enriquece o aprendizado e amplia o repertório de estratégias de resolução dos estudantes.

No item a, os estudantes devem observar no gráfico de linhas o ano em que as linhas se cruzam, pois isso indica quando a distribuição dos tipos de empregos foi igual; isso ocorreu em 2004 (quatro marcações após 2000 e antes da quinta marcação).

No item b, considerando que no ano 2000 as porcentagens indicadas são 19,7% e 18,4%, temos que 19,7 é cêrca de 7% maior do que 18,4 (pois 19,7 : 18,4 ≃ 1,07).

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4. Estudando alguns sólidos

Ilustração. Mulher morena de cabelo castanho e casaco claro fala: Você se lembra de como fazer a planificação da superfície de um paralelepípedo? E da superfície de um cubo? Analisando as planificações, podemos determinar a medida da área total da superfície de cada um desses sólidos. Acompanhe.

Ilustração. Planificação da superfície de um paralelepípedo. Quatro retângulos verticais, numerados: 2, 3, 2 e 3. A largura de cada retângulo 2 é 3 centímetros. A altura dos retângulos 2 e 3 é 5 centímetros. Acima e abaixo do primeiro retângulo 3, retângulo 1. A medida da largura de cada retângulo 1 é 4 centímetros e a medida da altura é 4 centímetros.

Cálculo da medida A da área em centímetro quadrado:

Esquema. A igual a 2 vezes 3 vezes 4, mais, 2 vezes 3 vezes 5, mais 2 vezes 4 vezes 5, em que 3 vezes 4 corresponde ao retângulo 1, 3 vezes 5corresponde ao retângulo 2, e 4 vezes 5 corresponde ao do retângulo 3.

A área total da superfície do paralelepípedo mede 94 centímetros quadrados.

Ilustração. Planificação da superfície de um cubo. Quatro quadrados um ao lado do outro. Acima e abaixo do segundo quadrado há um quadrado. A medida do lado de cada quadrado é 3 centímetros.

Cálculo da medida a da área em centímetro quadrado:

Esquema. A igual 6 vezes 3 vezes 3, em que 3 vezes 3 corresponde ao quadrado. A igual a 54

A área total da superfície do cubo mede 54 centímetros quadrados.

Do mesmo modo, podemos determinar a medida da área total da superfície de um prisma fazendo sua planificação. Observe.

Ilustração. Prisma de base hexagonal regular. A altura do prisma é 5 centímetros e a aresta da base mede 5 centímetros.

Ilustração. Planificação da superfície de um prisma de base hexagonal regular. Seis retângulos um ao lado do outro, cujos lados maiores medem 10 centímetros. Acima e abaixo do quarto retângulo há um hexágono regular de lado com medida 5 centímetros.

Respostas e comentários

4. Estudando alguns sólidos

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero nove ême ah um nove.

Esse tópico desenvolve a habilidade (ê éfe zero nove ême ah um nove), pois trata de expressões de cálculo da medida de volume de prismas retos e de cilindros retos.

Ao explorar as planificações indicadas, reforce a ideia do que é base dos prismas apresentados e como determinar a medida da altura deles.

Amplie esse tema explorando outros exemplos, como um prisma reto de base pentagonal (considerando que a base é um pentágono regular) e sua planificação:

Ilustração. Planificação de um prisma de base pentagonal regular. O lado do pentágono mede 2 centímetros, e o lado maior do retângulo da face lateral mede 5 centímetros.

Cálculo da medida da área de uma das bases (pentágono regular):

Ilustração. Pentágono regular com lado de medida 2 centímetros. Ponto no centro do pentágono, a partir dele um triângulo retângulo, em que um dos catetos é o apótema, o outro cateto corresponde à metade do lado do pentágono e a hipotenusa mede r. O ângulo central mede alfa.

• Medida α do ângulo central:

α = \frac{360 °}{5} =

72graus

• Cálculo da medida do apótema:

tangente de 72graus

= \frac{1}{a} \Rightarrow 3, 0777 = \frac{1}{a}

a ≃ 0,32 centímetro

• Cálculo da medida de área:

A_base = A_{pentágono (regular)} = p · a

A_{b a s e} = \frac{5 \cdot 2}{2} \cdot 0, 32

A_base ≃ 1,6 centímetros quadrados

A medida da área lateral corresponde à medida da área de 5 retângulos congruentes de lados medindo 2 centímetros por 5 centímetros.

Alateral = 5 · 2 · 5

Alateral = 50 centímetros quadrados

A medida da área total corresponde à medida da área da superfície do prisma pentagonal, ou seja, é a soma das medidas das áreas das duas bases com a medida da área lateral.

Atotal = 2 · 1,6 centímetros quadrados + 50 centímetros quadrados = 53,2 centímetros quadrados

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Cálculo da medida a da área em centímetro quadrado:

Ilustração. Hexágono regular dividido em 6 triângulos equiláteros. O lado hexágono regular mede 5 centímetros. O lado do triângulo equilátero mede r, e o apótema do hexágono mede a igual a fração r vezes raiz quadrada de 3 sobre 2.

Esquema: A igual a 6 vezes 10 vezes 5 mais 2 vezes a área do hexágono, em que 10 vezes 5, corresponde ao retângulo.
A igual a, 300 mais 2 vezes 6 vezes a área do triângulo.
A igual a, 300 mais 2 vezes 6 vezes, fração de numerador: 5 vezes fração de numerador 5 vezes raiz quadrada de 3, e de denominador: 2, fim da fração, denominador 2, fim da fração
A igual a, 300 mais 75 vezes raiz quadrada de 3.

A área total da superfície do prisma mede

(300 + 75 \sqrt{3})

centímetros quadrados.

Vamos recorrer à planificação da superfície de um cilindro para determinar a medida da área total de sua superfície.

Ilustração. Cilindro cuja altura mede por 18 centímetros e o diâmetro da base mede 8 centímetros

Ilustração. Planificação da superfície de um cilindro, formada por dois círculos de raio com medida 4 centímetros e um retângulo de altura 18 centímetros e cuja base mede aproximadamente 25,12 centímetros.

Cálculo da medida A da área em centímetro quadrado:

Esquema. A igual a 2 vezes pi vezes 4 elevado ao quadrado, fim do expoente, mais, 18 vezes 25,12; em que pi vezes 4 elevado ao quadrado corresponde ao círculo e 18 vezes 25,12; corresponde ao retângulo

A área total da superfície do cilindro mede aproximadamente 552,64 centímetros quadrados.

Ilustração. Homem de cabelo escuro, óculos e camisa verde fala: Vamos recorrer à planificação da superfície de um cone para determinar a medida da área total de sua superfície.

Ilustração. Cone cujo diâmetro mede 10 centímetros e a geratriz mede 13 centímetros.

Ilustração. Planificação da superfície de um cone. Setor circular com ângulo de 138 graus e lado de 13 centímetros. Ao lado da parte arredondada, círculo com diâmetro de 10 centímetros.

Medida da área do setor circular (A_sc)

Aplicando regra de três:

Esquema. pi vezes 13 elevado ao quadrado, corresponde a, A índice sc. e 360 graus corresponde a 138 graus

A_{s c} ≃ \frac{3,14 \cdot 169 \cdot 138}{360} ≃ 203

Respostas e comentários

Estudando alguns sólidos

Se possível, leve para a sala de aula modelos de cilindros e de cones (retos) que possam ser desmontados e remontados para que os estudantes percebam os elementos da planificação de sua superfície.

Espera-se que eles percebam que a planificação da superfície de um cilindro reto é composta de dois círculos congruentes e de um retângulo de dimensões de medidas h (altura do cilindro) e 2πr (comprimento da circunferência da base).

Ilustração. Planificação da superfície de um cilindro. O raio da base mede r, e o comprimento do retângulo mede 2 pi r.

Do mesmo modo, espera-se que observem que a planificação da superfície de um cone circular reto é composta do círculo da base e de um setor circular de raio de medida g (medida da geratriz do cone) e comprimento do arco de medida 2πr (medida do comprimento da circunferência da base).

lustração. Cone com geratriz g e raio da base r. Seta para planificação. Setor circular com lados de medida g e arco de medida 2 pi r, círculo de raio de medida. r.

Questione os estudantes sobre como seria a planificação da superfície esférica. Espera-se que eles compreendam que a superfície de uma esfera não pode ser planificada.

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Cálculo da medida a da área em centímetro quadrado:

Esquema. A aproximadamente pi vezes 5 elevado ao quadrado, fim do expoente, mais, fração de numerador 3,14 vezes 169 vezes 138 e de denominador 360, em que a primeira parcela da adição corresponde ao círculo e a segunda parcela corresponde ao setor circular.
Abaixo. A aproximadamente 78,5 mais 203 igual 281,5

A área total da superfície do cone mede aproximadamente 281,5 centímetros quadrados.

A medida do volume de prismas e cilindros retos

Ilustração. Homem branco de cabelo castanho, óculos e camisa vermelha. Ele fala: Agora, observe como podemos constatar, experimentalmente, as medidas de volume de alguns sólidos.

Situação 1

Em acrílico, construímos um modelo de prisma de base retangular e um modelo de prisma de base triangular, cujas dimensões internas estão indicadas nas figuras. Observe que eliminamos uma das faces, pois nesses modelos de prisma despejaremos areia até a borda.

Ilustração. Recipiente em formato de prisma de base retangular com dimensões 9 centímetros de medida de largura, 6 centímetros de medida de comprimento e 10 centímetros de medida de altura. Ao lado, recipiente em formato de prisma de base triangular o triângulo da base tem medidas, 15 centímetros, 12 centímetros e 9 centímetros, a altura do recipiente mede 10 centímetros.

Observe que os dois prismas têm as mesmas medidas de altura (10 centímetros) e de área da base (54 centímetros quadrados).

Enchemos o prisma de base retangular com areia. Ao despejar totalmente a areia do prisma de base retangular no prisma de base triangular, verificamos que os dois têm a mesma medida de volume. Como já sabemos calcular a medida do volume do primeiro prisma (V = 9 ⋅ 6 ⋅ 10), concluímos que o volume do segundo prisma também mede 540 centímetros cúbicos.

Ilustração. Menino branco de cabelo claro, óculos e camisa azul. Ele fala: De maneira geral, a medida do volume de um prisma reto é dada por meio do produto da medida da área da sua base pela medida de sua altura.

V_{prisma reto} = (medida da área da base) ⋅ (medida da altura)

Respostas e comentários

A medida do volume de prismas e cilindros retos

Explore a situação 1 com os estudantes incentivando-os a indicar uma expressão para o cálculo da medida do volume do prisma. Em seguida, explore o fato de o prisma de base triangular apresentado ter um triângulo retângulo como base (pois 15² = 9² + 12²). Assim, a medida do volume dêsse prisma de base triangular é dada por:

V_{Prisma} = \frac{9 \cdot 12 \cdot 10}{2} = 9 \cdot 6 \cdot 10

Logo, VPrisma = 540 centímetros quadrados.

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Situação 2

Para determinar a medida do volume de um cilindro reto, Emanuele fez o seguinte experimento. Ela providenciou dois recipientes de acrílico (sem as faces superiores), cujas dimensões internas estão representadas nas figuras a seguir, e encheu um deles com água. Depois, despejou completamente a água dêsse recipiente no outro e percebeu que a medida de volume de ambos são equivalentes.

Ilustração. Representações de um recipiente cilíndrico e de um prisma de base quadrada.
Recipiente cilíndrico com medida do diâmetro da base igual a 10 centímetros e medida da altura igual a 12 centímetros. Ao lado, recipiente em formato de prisma de base quadrada, cujo comprimento mede 5 vezes raiz quadrada de pi, largura mede 5 raiz de pi e altura mede 12 centímetros.

Seja vêp a medida do volume do prisma utilizado por Emanuele. Como já estudamos, essa medida de volume é dada por:

Vp = (medida da área da base) ⋅ (medida da altura)

Vp = (5

\sqrt{π}

⋅ 5

\sqrt{π}

) ⋅ (12)

Vp = (52π) ⋅ (12)

Como o volume do cilindro reto e do prisma reto utilizados por Emanuele têm a mesma medida de volume, podemos dizer que a medida vêc do volume do cilindro é:

Vc = Vp

Vc = (5²π) ⋅ (12)

Observando essa última expressão, podemos perceber que a medida do volume do cilindro utilizado por Emanuele é obtida por meio do produto da medida da área de sua base (5²π) pela medida de sua altura (12).

Ilustração. Mulher negra de cabelo escuro, faixa verde e camiseta lilás. Ela fala: De maneira geral, isso é válido para qualquer cilindro reto. Ou seja, a medida do volume de um cilindro reto é obtida por meio do produto da medida da área da sua base pela medida de sua altura

V_cilindro = (medida da área da base) ⋅ (medida da altura)

Se considerarmos um cilindro de raio cuja medida é érre e cuja medida da altura é agá, então, a medida do volume dêsse cilindro será dada por:

V_cilindro = (πr²) ⋅ (agá) ou V_cilindro = π ⋅ r ² ⋅ agá

Respostas e comentários

A medida do volume de prismas e cilindros retos

Na situação 2, incentive os estudantes a comparar a medida do volume do cilindro com a do prisma de base quadrada; destaque que ambos têm a altura de mesma medida.

Se possível, podem ser confeccionados um prisma e um cilindro, ambos retos e com apenas uma das bases (de maneira que fiquem “abertos”), por meio da planificação deles e de maneira que tenham a mesma medida de altura e as figuras das bases sejam equivalentes. Com um material como confetes de papel, os estudantes podem repetir o experimento dessa situação a fim de verificar se a quantidade de confetes que cabe no cilindro é a mesma que cabe no prisma construído. Ressalte que as medidas empíricas são aproximadas e, portanto, deve-se considerar que poderão ocorrer erros de aproximação.

Alternativamente, pode-se utilizar as expressões do cálculo da medida de volumes para verificar a medida de volume de alguns recipientes. Por exemplo, com um recipiente cilíndrico, os estudantes medem o diâmetro do círculo da base dele e calculam a medida de sua área; depois, medem a altura e calculam a medida do volume do recipiente, em centímetro cúbico. Sabendo que .1000 centímetros cúbicos = 1 litro, eles podem preencher o recipiente com água e, depois, utilizar um medidor graduado de volume para conferir se a medida de volume dada em centímetro cúbico equivale, de fato, à medida, em litro. Novamente, destaque que as medições realizadas podem decorrer de aproximações e dependem da precisão dos instrumentos utilizados, bem como de sua correta aferição.

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PARA SABER MAIS

Calculando a medida do volume de uma pirâmide

Em acrílico, construímos um modelo de pirâmide de base quadrada e um modelo de prisma de base quadrada, com base nas planificações das suas superfícies, cujas dimensões internas estão indicadas nas figuras a seguir. Observe que eliminamos uma das faces de cada um dos modelos para enchê-los com areia.

Ilustração. Representações de uma pirâmide de base quadrada e de um prisma de base quadrada. Recipiente com formato de pirâmide de base quadrada, cuja aresta da base mede 10 centímetros e altura da pirâmide mede 12 centímetros. Ao lado, recipiente com formato de prisma de base quadrada, cuja aresta da base mede 10 centímetros e a altura da pirâmide mede 12 centímetros.

Observe que o prisma e a pirâmide têm as mesmas medidas de área da base e, ainda, têm as mesmas medidas de altura.

Enchendo a pirâmide de areia e despejando seu conteúdo no prisma, é possível repetir o procedimento exatamente três vezes, ou seja, para encher um prisma, precisamos do conteúdo de três pirâmides cujas medidas da área da base e da altura sejam as mesmas das respectivas medidas do prisma.

Ilustração. Destaque para a mão de uma pessoa com o recipiente em formato de pirâmide de base quadrada cheia de areia. Seta da pirâmide para o recipiente em formato de prisma de base quadrada vazio. A pessoa começa a despejar a areia da pirâmide dentro do prisma. A pessoa continua despejando a areia da pirâmide dentro do prisma. O prisma de base quadrada está com areia até o topo.

O volume da pirâmide corresponde, portanto, a um terço do volume do prisma. Assim, a medida V do volume da pirâmide é dada por:

V = \frac{1}{3} \cdot (10 \cdot 10 \cdot 12)

Logo, a medida do volume da pirâmide é 400 centímetros cúbicos.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Se a medida do volume de um prisma é .1500 centímetros cúbicos, qual é a medida do volume de uma pirâmide cujo polígono da base é equivalente ao polígono da base dêsse prisma e cuja medida da altura é igual à medida da altura do prisma?

2 Com base no resultado do experimento, que relaciona a medida do volume da pirâmide e a medida do volume do prisma, escreva no caderno uma expressão para determinar a medida do volume de uma pirâmide qualquer.

Respostas e comentários

1. 500 centímetros cúbicos

2. V_pirâmide =

\frac{1}{3}

⋅ (medida da área da base) ⋅ (medida da altura)

Para saber mais

Verifique se os estudantes conseguem mobilizar os conhecimentos sobre o cálculo da medida do volume de prismas retos e de cilindros retos, transpondo esses conhecimentos para a situação apresentada nessa situação.

Para resolver a atividade 1 do Agora é com você!, deve-se considerar que a medida do volume da pirâmide será igual a um terço da medida do prisma considerado. Assim, como .1500 : 3 = 500, a medida do volume procurado é 500 centímetros cúbicos.

A atividade 2 resume a relação entre a medida do volume do prisma e a da pirâmide (ambas as figuras têm a mesma medida da altura e a mesma medida da área):

V_{p i r â m i d e} = \frac{V_{prisma}}{3}

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

46 Um recipiente cilíndrico tem raio que mede 5 centímetros e altura que mede 12 centímetros. Fábio possui um recipiente em fórma de cone e cujas medidas do raio da base e da altura são respectivamente iguais às do recipiente cilíndrico. Fábio enche de água esse recipiente em fórma de cone e, depois, despeja todo o conteúdo no recipiente cilíndrico, fazendo esse processo 3 vezes, como indica a figura.

Ilustração. Destaque para a mão de uma pessoa com um recipiente com formato de cone cheio de areia. Seta do cone para um recipiente cilíndrico vazio. A pessoa começa a despejar a areia do cone dentro do cilindro. A pessoa continua despejando a areia do cone dentro do cilindro. O cilindro está com areia até o topo.

Qual é a medida aproximada do volume do recipiente que tem fórma de cone?

47 (Urca-Ceará) Suponha que um grão de feijão ocupe, aproximadamente, o espaço de um prisma quadrangular regular de altura 1 centímetro e aresta da base 0,4 centímetro. Quantos grãos de feijão cabem, aproximadamente, num depósito do formato de um prisma quadrangular de altura 1 métro e aresta da base 40 centímetros?

a) .1000

b) .10000

c) .100000

d) ..1000000

e) ..10000000

48 Um marceneiro vai produzir peças de madeira em formato de prisma de base triangular. Os lados da base do polígono medem 5 centímetros, 5 centímetros e 6 centímetros. A altura de cada peça mede 12 centímetros. Qual é a menor medida do volume de madeira necessária para produzir 10 dessas peças?

49 Os Aparai e os Wayana são povos indígenas de língua karib que habitam a região de fronteira entre o Brasil, o Suriname e a Guiana Francesa. Em seu processo de cestaria eles produzem recipientes como os da fotografia.

Fotografia. Cestas arredondadas com desenhos geométricos pretos estampados. — Produtos da cestaria dos Aparai e Wayana. (Fotografia de 2012.)

Considerando que um desses cestos possa ser associado a um cilindro cujo raio da base mede 21 centímetros e cuja altura mede 45 centímetros, determine a medida:

a) da área total da superfície dêsse cesto;

b) do volume de um desses cestos.

Em grupo de três colegas, reproduzam em uma cartolina os sólidos como os das situações 1 e 2 e da seção Para saber mais três experiências anteriores. Em seguida, usando confete de papel ou material similar, verifiquem as relações entre as medidas dos volumes.

(Usem tesouras com pontas arredondadas e as manuseiem com cuidado!)

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 A medida do lado de um quadrado inscrito em uma circunferência é

8 \sqrt{2}

centímetros. Calcule a medida do apótema do triângulo equilátero inscrito nessa circunferência.

2 A medida do perímetro de um hexágono regular inscrito em uma circunferência é 42 métros. Calcule a medida do perímetro do quadrado inscrito nessa circunferência.

Respostas e comentários

46. V = 314 centímetros cúbicos

47. Alternativa d.

48. No mínimo .1440 centímetros cúbicos.

49. a) Aproximadamente .7319 centímetros quadrados.

49. b) Aproximadamente .62313 centímetros cúbicos.

50. Montagem de sólidos.

1. 4

\sqrt{2}

centímetros

28 \sqrt{2} m

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 46 a 49 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 12.

Reserve uma aula para desenvolver o exercício 50 ou instrua os estudantes a confeccionar em casa os sólidos geométricos que serão utilizados.

Exercícios complementares

Este bloco de exercícios explora os principais conceitos estudados no capítulo. Espera-se que os estudantes mobilizem os conhecimentos construídos, percebendo se ainda têm alguma dificuldade.

As resoluções dos exercícios 1 e 2 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 12.

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3 A circunferência a seguir, cujo raio mede

7 \sqrt{2}

centímetros, está dividida em seis arcos congruentes. Calcule a medida do perímetro do polígono á bê dê éfe.

Ilustração. Circunferência dividade em 6 arcos congruentes: AB, BC, CD, DE, EF, FA. Quadrilátero ABDF inscrito na circunferência.

4 Na figura,

\overline{A D}

\overline{D C}

são lados de um quadrado inscrito,

\overline{A B}

é lado de um hexágono regular inscrito,

\overline{B C}

é lado de um triângulo equilátero inscrito. Sabe-se que bê cê =

4 \sqrt{3}

. Calcule A bê e á dê.

Ilustração. Quadrilátero ABCD inscrito em uma circunferência.

5 Na figura a seguir, a bê cê dê é um retângulo inscrito em um quadrante de um círculo. Calcule a medida de

\overline{B D}

, sendo cedê = 8 centímetros e bê ê = 2 centímetros.

Ilustração. Círculo de centro A, dividido em 4 partes iguais pelos diâmetros horizontal e vertical. Retângulo ABCD inscrito no quadrante acima do diâmetro horizontal e à direita do diâmetro vertical desse círculo. Diagonal DB. Ponto E é extremidade do raio AE.

6 Considerando a figura a seguir, calcule:

a) a medida do raio da circunferência;

b) a medida de

\overline{A B}

;

c) a medida de

\overline{C D}

Ilustração. Quadrilátero ABCD inscrito em uma circunferência de centro O. A medida do segmento BC é 4 vezes raiz quadrada de 2, fim da raiz, centímetros. O ângulo BOC mede 90 graus, o ângulo BOA mede 60 graus, o ângulo AOD mede 90 graus, o ângulo DOC mede 120 graus.

7 Considerando π = 3,14, determine a medida da área da figura pintada de verde. No item b, O é o centro da circunferência.

Ilustração. Triângulo retângulo branco inscrito em um semicírculo verde. Os catetos medem 3 centímetros e 4 centímetros, a hipotenusa é o diâmetro do semicírculo.

Ilustração. Circunferência de centro O com diâmetro horizontal de medida 8 centímetros. Acima deste diâmetro, à esquerda do centro, semicircunferência branca com 4 centímetros de diâmetro, o restante da metade superior da circunferência maior está pintada de verde. Abaixo do diâmetro da circunferência maior e à direita do centro, semicircunferência verde com 4 centímetros de diâmetro.

Ilustração. Quadrado verde com semicircunferência branca , cujo diâmetro é um lado vertical do quadrado e outra semicircunferência branca cujo diâmetro é outro lado vertical do quadrado. A medida do lado do quadrado é 5,2 centímetros.

8 Qual é a diferença entre as medidas dos perímetros de dois quadrados, um circunscrito e outro inscrito em uma mesma circunferência cujo raio mede

\sqrt{2}

centímetros?

9 Raul deu de presente à sua mãe um relógio de parede com formato de hexágono regular, como na figura a seguir.

Ilustração. Circulo inscrito em hexágono regular. O círculo representa um relógio de ponteiros. O ponteiro menor aponta para o 3 e o maior para o 12.

Determine a medida da área do mostrador circular dêsse relógio, sabendo que o hexágono regular circunscrito tem lado medindo 12 centímetros.

Respostas e comentários

14 \sqrt{2} (1 + \sqrt{3}) cm

4. AB = 4 e AD =

4 \sqrt{2}

5. BD = 10 centímetros

6. a) 4 centímetros

6. b) AB = 4 centímetros

6. c) CD =

4 \sqrt{3} cm

7. a) 3,8125 centímetros quadrados

7. b) 25,12 centímetros quadrados

7. c) 5,8136 centímetros quadrados

8 (\sqrt{2} ‒ 1) cm

9. 108π centímetros quadrados

Exercícios complementares

As resoluções dos exercícios 3 a 6 e dos exercícios 8 e 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 12.

Acompanhe uma possível resolução para o exercício 7.

a) O triângulo em branco é um triângulo retângulo de lados medindo 3 centímetros, 4 centímetros e 5 centímetros. Assim, a medida da área da região verde, em centímetro quadrado, é dada por:

A_{v e r d e} = A_{s e m i c í r c u l o} ‒ A_{t r i â n g u l o}

A_{v e r d e} = \frac{π \cdot {(2, 5)}^{2}}{2} ‒ \frac{3 \cdot 4}{2}

A_{v e r d e} = \frac{3, 14 \cdot 6, 25}{2} ‒ 6

A_{v e r d e} = 3, 8125

b) As regiões destacadas em branco e em verde são idênticas, ou seja, se sobrepõem. Assim, a parte verde completa um semicírculo de raio medindo 4 centímetros.

Logo, a medida da área verde, em centímetro quadrado, é dada por:

A_{v e r d e} = A_{s e m i c í r c u l o}

A_{v e r d e} = \frac{3, 14 \cdot 4^{2}}{2}

A_{v e r d e} = 25, 12

c) As duas partes brancas juntas formam um círculo cujo diâmetro mede 5,2 centímetros (raio 2,6 centímetros). Assim, a medida da área da parte verde, em centímetro quadrado, é dada por:

A_{v e r d e} = A_{q u a d r a d o} ‒ A_{c í r c u l o}

A_{v e r d e} = 5, 2^{2} ‒ 3, 14 \cdot 2, 6^{2}

A_{v e r d e} = 27, 04 ‒ 21, 2264

A_{v e r d e} = 5, 8136

Página 305

10 Ao quadricular uma ilustração do calçadão de uma praia, Lucas notou que a área ocupada pelas pedras azul-escuras era maior que a ocupada pelas pedras azul-claras.

Ilustração. Retângulo azul claro. Dentro, faixas onduladas azul escuras. Destaque para um quadrado sobre as faixas ao centro com medida 3 centímetros por 3 centímetros.

a) Faça a estimativa da medida da área, em centímetro quadrado, ocupada pelas pedras azul-escuras do quadrado em destaque na ilustração do calçadão.

b) Considerando que a área estimada da parte azul-escura no quadrado seja igual à área de um círculo, faça um desenho de como ficaria um novo revestimento para esse calçadão com círculos azul-escuros. Indique as medidas em seu desenho.

11 Calcule a medida da área aproximada da parte da figura pintada de vermelho, sabendo que o lado do quadradinho do quadriculado mede 0,5 centímetro.

Ilustração. Malha quadriculada dividida em 10 linhas e 10 colunas com dois círculos concêntricos com centro no centro da malha quadriculada. Os círculos estão divididos em 6 partes iguais e intercaladas de vermelho e branco.

12 Uma folha de papel tem medidas 18 centímetros por 12 centímetros.

a) Qual é o maior número de círculos tangentes entre si com raio medindo 3 centímetros que é possível desenhar nessa folha?

b) Se esses círculos forem recortados, qual é a quantidade de aparas de papel, em centímetro quadrado, que restará? (Adote π = 3,14.)

13 (unifór-Ceará) Uma indústria utiliza as placas retangulares de alumínio mostradas na figura, nas quais toda a região sombreada, que está fóra dos círculos, é desperdiçada.

Ilustração. Retângulo cinza com medida 2 vezes raiz quadrada de 10, fim da raiz, centímetros por 4 vezes raiz quadrada de 10, fim da raiz, centímetros. No interior do retângulo cinza dois círculos brancos de mesmo raio e tangentes entre si e entre o retângulo

Qual é a medida da área desperdiçada, em centímetro quadrado? (Considere π = 3,1.)

14 A situação ilustrada de uma caixa de biscoitos sugere um quadrado circunscrito a uma circunferência. Sabendo que o lado do quadrado mede 3,6 centímetros e que o comprimento da caixa mede 20 centímetros, efetue os cálculos pedidos a seguir.

Ilustração. Caixa retangular roxa com biscoitos redondos dentro.

a) a medida do raio dessa circunferência;

b) a medida do volume da caixa de biscoitos;

c) a medida do volume aproximado da pilha de biscoitos dessa caixa.

15 A ferramenta representada na figura é uma chave L número 10. Sabendo que a circunferência destacada em verde tem, na realidade, raio medindo 5 centímetros, calcule a medida do lado e do apótema do hexágono destacado na cor laranja. Explique por que essa ferramenta tem esse nome.

Ilustração. Ferramenta em formato de L com abertura circular dos dois lados. Ao lado, destaque para a abertura circular com hexágono inscrito.

Respostas e comentários

10. a) 6 centímetros quadrados

10. b) Resposta pessoal; o círculo terá 1,38 cm de raio.

11. 6,28 centímetros quadrados

12. a) 6 círculos.

12. b) 46,44 centímetros quadrados

13. 17 centímetros quadrados

14. a) 1,8 centímetros

14. b) 259,2 centímetros cúbicos

14. c) 203,5 centímetros cúbicos

15. Medida do lado: = 5 centímetros; medida do apótema:

= \frac{5 \sqrt{3}}{2}

centímetros. A chave L número 10 tem esse nome porque tem o formato da letra L, e o número 10 corresponde à medida aproximada do diâmetro da circunferência, em milímetro.

Exercícios complementares

Acompanhe uma possível resolução do exercício 10.

a) Considerando que, aproximadamente,

\frac{2}{3}

do quadrado é composto de pedras azul-escuras e

\frac{1}{3}

de pedras azul-claras, temos, em centímetro quadrado: A_quadrado = 3 · 3 = 9

Assim, a medida da área das pedras azul-escuras é 6 centímetros quadrados, pois:

\frac{2}{3} \cdot 9 = 6

A medida estimada da área ocupada pelas pedras azul-escuras no quadrado é de 6 centímetros quadrados.

b) A_círculo = π · rduas ⇒ 6 = 3,14 · rduas ⇒ rduas = 1,91 ⇒ r = 1,38

Assim, com r = 1,38 centímetro, uma representação possível é:

Ilustração. Círculo azul cujo raio mede 1,38 centímetro inscrito em quadrado.

No exercício 11, assim como em outros que pedem o cálculo da medida da área de parte de um mosaico, discuta com os estudantes a possibilidade de, mentalmente, reunirem as porções que constituem essa parte e, feito isso, compararem a parte composta com o todo. Nesse exercício, tal procedimento os leva a perceber que a área da superfície pintada de vermelho corresponde à metade do círculo. A medida da área do círculo, com π = 3,14, em centímetros quadrados, é: 2duas · 3,14 = 12,56

Portanto, temos que a área em vermelho tem medida de 6,28 centímetros quadrados (pois 12,56 : 2 = 6,28).

As resoluções dos exercícios 12 a 15 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 12.

No exercício 14, basta os estudantes visualizarem que a medida do raio da circunferência é, de fato, metade da medida do lado dêsse quadrado. Amplie as discussões para questões de aumento ou diminuição da medida da área dêsse quadrado e dessa circunferência à medida que variamos as medidas do lado e do raio, respectivamente.

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Para a resolução dos testes, considere π = 3,14.

1 Qual é a medida da área de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio medindo 12 centímetros?

a) 144 centímetros quadrados

b) 288 centímetros quadrados

c) 452,16 centímetros quadrados

d) 904,32 centímetros quadrados

2 Um triângulo regular está inscrito em uma circunferência com 157 métros de medida de comprimento. Qual é a medida do apótema dêsse triângulo?

a) 25 métros

b) 17,5 métros

c) 12,5 métros

d) 10 métros

3 Qual é a medida do lado de um hexágono regular inscrito em uma circunferência que determina um círculo de medida da área igual a 113,04 métros quadrados?

a) 6 métros

b) 12 métros

c) 36 métros

d) 113,04 métros

4 Qual é a diferença entre a medida do lado de um hexágono regular e a do apótema de um triângulo regular, ambos inscritos na mesma circunferência de raio de medida r?

a) r

\frac{r}{2}

\frac{r}{4}

d) 0

5 Qual é a medida da área de uma coroa circular de raios maior e menor, respectivamente, medindo 5 métros e 3 métros?

a) 25,12 métros quadrados

b) 28,26 métros quadrados

c) 50,24 métros quadrados

d) 78,5 métros quadrados

6 Quanto mede a área de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio medindo r?

\frac{3 r^{2} \sqrt{3}}{2}

b) 3r duas

\sqrt{3}

\frac{3 r^{2} \sqrt{2}}{2}

d) 3r

\sqrt{3}

7 Qual é a medida do volume de uma pirâmide de altura que mede 9 métros cuja base é um quadrado inscrito em uma circunferência de raio com medida igual a 4 métros?

a) 10,7 métros cúbicos

b) 12 métros cúbicos

c) 48 métros cúbicos

d) 96 métros cúbicos

8 A pirâmide de Quéops, no Egito, mede 146 metros de altura, e cada lado da sua base mede 230 metros de comprimento. Qual é, aproximadamente, a medida do volume ocupado pela pirâmide?

a) 11,1 mil metros cúbicos

b) 17,6 mil metros cúbicos

c) 1,6 milhão de metros cúbicos

d) 2,5 milhões de metros cúbicos

9 Quantos centímetros cúbicos de água cabem em uma taça cônica de altura medindo 10 centímetros e raio da circunferência na parte aberta medindo 3 centímetros?

a) 31,4 centímetros cúbicos

b) 94,2 centímetros cúbicos

c) 282,6 centímetros cúbicos

d) 314 centímetros cúbicos

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir:

a) Quais são as relações algébricas das respectivas medidas dos lados, apótemas e raios da circunferência nos polígonos regulares inscritos destacados no capítulo?

b) Em quais situações do dia a dia podemos observar alguns polígonos regulares?

c) Há alguma sentença algébrica que relaciona a medida da área de qualquer polígono regular com as medidas do apótema e do perímetro? Qual?

d) Supondo uma sequência de polígonos regulares em que o número de lados cresça indefinidamente, quais aproximações (tendências) podemos fazer, com base na resposta da questão anterior, para obter a fórmula da medida da área de um círculo?

e) Dados um cone e um cilindro, ambos com as respectivas medidas da base e da altura iguais, qual é a razão entre as medidas de seus volumes?

Respostas e comentários

1. Alternativa b.

2. Alternativa c.

3. Alternativa a.

4. Alternativa b.

5. Alternativa c.

6. Alternativa a.

7. Alternativa d.

8. Alternativa d.

9. Alternativa b.

Organizando: a) Para os polígonos regulares destacados, inscritos em uma circunferência com raio de medida r, podemos calcular as medidas do lado (𝓁) e do apótema (a) em função de r.

Quadrado:

ℓ = r \sqrt{2}, a = \frac{r \sqrt{2}}{2}

;

Hexágono regular:

ℓ = r, a = \frac{r \sqrt{3}}{2}

;

Triângulo regular:

ℓ = r \sqrt{3}, a = \frac{r}{2}

b) Resposta pessoal. Espera-se que o estudante cite situações que envolvam objetos como espelhos, revestimentos cerâmicos, bandeiras, painéis, placas de sinais de trânsito etcétera

c) Sim. A = p ⋅ a, em que p é a medida do semiperímetro e a é a medida do apótema.

d) A medida do semiperímetro aproxima-se de πr, a medida do apótema aproxima-se de r e a medida da área do polígono aproxima-se de πr ². Assim, concluímos que a medida da área de um círculo é dada por A = πr ².

\frac{V_{Cone}}{V_{Cilindro}} = \frac{1}{3}

Verificando

Os testes desta seção são mais uma oportunidade para o estudante validar o entendimento do conteúdo estudado neste capítulo.

As resoluções dos testes 1 a 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 12.

Organizando

Incentive os estudantes a organizar seu aprendizado no caderno, fazendo resumos e mapas conceituais ou aplicando destaques em conceitos importantes.

As questões propostas têm como objetivo fazer com que eles retomem os conteúdos aprendidos no capítulo e que reflitam sobre algumas temáticas.

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DIVERSIFICANDO

Jogo do desenhe ou responda

Número de participantes: 2 jogadores

Material

• 20 cartas com figuras geométricas (polígono e seus elementos; circunferência e seus elementos – ângulo, mediatriz, bissetriz etcétera), com ênfase em figuras estudadas nos capítulos 11 e 12 deste livro. As figuras devem estar identificadas corretamente.

• Um saquinho não transparente para guardar as cartas confeccionadas.

• Papel e lápis para esboçar as figuras e marcar os pontos.

Regras

• Após o sorteio, o primeiro a jogar retira uma carta do saquinho, sem mostrá-la.

• O jogador que tira a carta deve dizer ao outro uma característica da figura para que ele tente adivinhá-la com um desenho ou uma resposta oral. Para cada carta, podem ser dadas até três dicas, uma a cada tentativa. Por exemplo, se a carta tiver um quadrado, o jogador poderá dar as seguintes dicas: “é um quadrilátero”, “tem ângulos opostos congruentes” e “tem todos os lados com medidas iguais”.

• Se um jogador der uma dica errada, perderá 2 pontos.

• Pontuação: ao acertar o nome ou o desenho na 1ª tentativa, o jogador ganha 3 pontos; na 2ª tentativa, ganha 2 pontos; e na 3ª, ganha 1 ponto.

• Após o acerto ou erro na 3ª tentativa, passa-se a vez.

• Vence aquele que completar primeiro 15 pontos. Caso nenhum jogador consiga atingir os 15 pontos, vence aquele que conseguir a maior pontuação.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Observe o diálogo entre Rafael e Karina. De acordo com as regras, o que deverá acontecer com a pontuação de Rafael?

Ilustração. Menino de cabelo preto e camiseta branca sentado à esquerda da mesa. Ele segura um cartão com um triângulo roxo e fala: A medida da área dessa figura é dada pelo produto entre a medida de sua base e a medida de sua altura. À direita, menina de cabelo castanho e camiseta branca diz: Retângulo! Sobre a mesa, papéis, lápis e um saco vermelho.

2 Se um jogador tirasse uma carta com um hexágono regular, que dica ele poderia dar sobre essa figura?

Respostas e comentários

1. Rafael deu uma dica errada e, segundo as regras, deve perder 2 pontos.

2. Respostas possíveis: “Você pode encontrar um formato parecido na colmeia de abelhas”, ou “A soma das medidas dos ângulos internos é 720graus ”, ou “Minha figura tem seis lados de mesma medida”.

Diversificando

Organize os estudantes em duplas e estimule-os a jogar. Depois de algumas partidas, proponha às duplas que troquem de elementos para novas partidas. Então, sugira às duplas formadas que discutam as questões apresentadas no Agora é com você!.

Ao final, faça uma roda de conversa para que os estudantes exponham suas respostas, dúvidas, observações e conclusões.

Pode-se aproveitar o momento para discutir sobre ética, honestidade e espírito colaborativo.