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UNIDADE

1

Sistemas de numeração e números naturais

Esquema com uma pessoa clicando em um celular, com várias ilustrações de notificações de redes sociais ao redor.
Esquema representativo da quantidade de informações compartilhadas em rede social por uma pessoa.

Agora vamos estudar...

  • alguns sistemas de numeração: egípcio, romano e decimal;
  • os números naturais;
  • a reta numérica;
  • os números pares e os números ímpares;
  • comparação de números naturais;
  • arredondamento.

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Alguns sistemas de numeração

Com a evolução das sociedades, contar tornou-se inevitável. Era necessário, por exemplo, conhecer a quantidade de animais no controle do rebanho, registrar a quantidade de dias e trocar mercadorias. Para representar quantidades, acredita-se que os pastores contavam o rebanho utilizando pedras, ou seja, uma pedra para cada animal.

Dada a necessidade de contagens extensas, algumas civilizações começaram a criar símbolos e sistemas de numeração próprios.

Sistema de numeração egípcio

A civilização egípcia surgiu na Antiguidade há aproximadamente 6.000 anos. Os egípcios criaram um dos primeiros sistemas de numeração, que atualmente não é mais usado. Os numerais egípcios eram representados por figuras da fauna e da flora do rio Nilo, utensílios, pessoas e partes do corpo humano, chamados de hieróglifos.

Hieróglifos do sistema de numeração egípcia
Hieróglifo Número Significado
Ilustração de traço no sentido vertical. 1

Traço vertical

Ilustração de um símbolo do sistema de numeração egípcia representado por uma asa que é semelhante a letra U virada para baixo.

10

Asa

Ilustração de um símbolo do sistema de numeração egípcia semelhante a uma corda enrolada

100

Corda enrolada

Ilustração de um símbolo do sistema de numeração egípcia representado uma flor de lótus.

1.000

Flor de lótus

Ilustração de um símbolo do sistema de numeração egípcio semelhante a um dedo.

10.000

Dedo levantado, ligeiramente inclinado

Ilustração de um símbolo do sistema de numeração egípcio semelhante a um girino.

100.000

Girino

Ilustração de um símbolo do sistema de numeração egípcio semelhante a um homem ajoelhado. E também, com os braços levantados.

1.000.000

Homem ajoelhado levantando os braços

Fonte de pesquisa: IFRAH, Georges. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Tradução: Alberto Muñoz e Ana Beatriz Katinsky. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. v. 1.

Hieróglifo:
notação simbólica criada pelos egípcios para representar números e letras.

Atenção!

No sistema de numeração egípcio, não há um símbolo para representar o zero.

Para escrever outros números nesse sistema, há algumas regras, descritas a seguir.

Cada símbolo podia ser repetido até 9 vezes.

129= Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há 9 traços verticais, duas asas e uma corda enrolada.

1.377= Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há uma flor de lótus, 7 traços verticais, 3 cordas enroladas e 7 asas.

Os numerais egípcios podiam ser escritos em qualquer posição.

113= Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há uma corda enrolada, uma asa e 3 traços verticais.

113= Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há uma corda enrolada, 1 traço vertical, uma asa, 2 traços verticais.

113= Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há 1 traço vertical, uma corda enrolada, 2 traços verticais e uma asa.

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Para determinar o valor de um número representado, adicionavam-se os valores dos símbolos utilizados.

Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há 1 girino, 2 dedos levantados, uma corda enrolada, uma asa e 3 traços verticais. =100.000+10.000+10.000+100+10+1+1+1=120.113

Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há uma flor de lótus, duas cordas enroladas e uma asa. =1.000+100+100+10=1.210

Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há 2 homens ajoelhados, 1 dedo levantado, duas asas e 1 traço vertical. =1.000.000+1.000.000+10.000+10+10+1=2.010.021

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Utilizando o sistema de numeração atual, escreva no caderno o número representado em cada item.

a) Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há 3 cordas enroladas, 2 asas e 3 traços verticais.
b) Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há duas flores de lótus, 6 cordas enroladas e 2 traços verticais.
c) Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há 1 dedo levantado, uma flor de lótus, uma corda enrolada e 1 traço vertical.
d) Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há 1 girino, 5 dedos levantados, 5 asas e 1 traço vertical.
e) Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há 3 girinos, 1 dedo levantado e 4 traços verticais.
f) Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há 5 homens ajoelhados, uma corda enrolada e 6 traços verticais.

2. Utilizando os numerais egípcios, escreva no caderno um número que expresse:

a) a quantidade de estudantes que há em sua turma.

b) o ano atual.

c) o dia, o mês e o ano em que você nasceu.

3. Quantos símbolos que representam o zero são utilizados ao escrever o número quatrocentos mil:

a) no sistema de numeração atual?

b) no sistema de numeração egípcio?

4. No sistema de numeração egípcio, uma das regras é:

Cada símbolo pode ser repetido até nove vezes.

Nos itens a seguir, agrupe símbolos egípcios e realize as trocas necessárias para que os números sejam representados respeitando as regras desse sistema de numeração.

a) Ilustração de um número em notação egípcia. Há 10 asas, uma ao lado da outra.
b) Ilustração de um número em notação egípcia. Há 15 dedos levantados, um ao lado do outro.
c) Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há 10 flores de lótus e 2 cordas enroladas.
d) Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há 10 girinos, 1 dedo levantado e uma flor de lótus.
e) Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há 10 flores de lótus e 10 cordas enroladas.

5. Utilizando uma única vez cada hieróglifo indicado responda às questões.

Ilustração de um número em notação egípcia. Da esquerda para direita, há uma corda enrolada, 1 homem ajoelhado, 1 traço vertical e 1 dedo levantado.

a) Quantos números podem ser formados com esses hieróglifos no sistema de numeração egípcio? Justifique sua resposta.

b) Qual número pode ser formado com esses hieróglifos no sistema de numeração atual?

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Sistema de numeração romano

A civilização romana desenvolveu-se na península Itálica há aproximadamente 2.500 anos, onde está atualmente localizada a Itália. Os romanos criaram um sistema de numeração que foi amplamente utilizado na Europa até por volta do século XIV. Esse sistema ainda é utilizado em diversas situações.

No sistema de numeração romano, são usadas apenas sete letras do alfabeto latino.

Fotografia de um relógio com ponteiros, com seus números representados pelo sistema de numeração romano.
Uso do sistema de numeração romano em um relógio com ponteiros.
Símbolos do sistema de numeração romano

I

X

C

M

V

L

D

1

10

100

1.000

5

50

500

Atenção!

No sistema de numeração romano, não há um símbolo para representar o zero.

Para escrever outros números nesse sistema, há algumas regras, descritas a seguir.

  • I, X, C e M são símbolos que podem aparecer até três vezes seguidas. Já os símbolos V, L e D não podem ser repetidos na representação de um número.
  • Quando um símbolo da numeração romana está à direita de outro numeral com valor maior ou igual ao dele, adicionam-se os valores dos símbolos para representar o número.

 DCCCVIII=500+100+100+100

 LXXV=50+10+10+5=75

Quando, em um número escrito com símbolos romanos, temos I à esquerda de V ou X, X à esquerda de L ou C e C à esquerda de D ou M, devemos subtrair o menor valor do maior.

 IV=51=4

XL=5010=40

CD=500100=400

IX=101=9

XC=10010=90

 CM=1.000100=900

Atenção!

As regras apresentadas nesta página são utilizadas para a escrita de números de 1 a 3.999.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

6. Utilizando o sistema de numeração atual, escreva no caderno o número representado em cada item.

a) XLIII

b) LXVII

c) CDLXXXI

d) DVI

e) CMXIX

f) MDCL

g) MMXL

h) MMMCDXLIV

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7. No caderno, escreva os números a seguir usando o sistema de numeração romano.

a) 61

b) 302

c) 1.236

d) 2.001

8. Em 2014, a matemática iraniana Maryam Mirzakhani (1977-2017) foi a primeira mulher no mundo a ser premiada com a Medalha Fields. Esse prêmio é concedido a matemáticos que se destacam com sua pesquisa, como uma maneira de reconhecer suas realizações para a Matemática.

Fotografia da matemática iraniana Maryam Mirzakhani, de cabelo castanho e curto, olhos azuis, ela está séria.
Maryam Mirzakhani, em 2017.

a) Utilizando símbolos da numeração romana, escreva em seu caderno o ano de nascimento e o de morte de Maryam e o ano em que ela ganhou a Medalha Fields.

b) Realize uma pesquisa e obtenha mais informações a respeito de Maryam Mirzakhani. Depois, compartilhe as informações que você obteve com os colegas e o professor.

Atenção!

A pesquisa proposta no item b pode ser feita em livros, revistas e sites. Mas cuidado! Devemos nos certificar de que as informações sejam pesquisadas em fontes atuais e confiáveis. Para encerrar, uma dica: confira as informações obtidas comparando-as com outras fontes.

9. Utilizando símbolos da numeração romana, represente no caderno:

a) a quantidade de estudantes de sua turma.

b) a sua idade em anos.

c) o número do seu calçado.

d) o dia do mês em que você nasceu.

e) o ano em que você nasceu.

f) o ano em que estamos.

10. Escreva em seu caderno o número três mil utilizando:

a notação atual.

numerais romanos.

a) Quantas vezes você usou um símbolo específico para o zero na escrita com a notação atual? E com os símbolos da numeração romana?

b) O que você pode concluir com relação à escrita do zero na numeração romana?

11. A partir do número 4.000, traços horizontais são indicados acima de um símbolo da numeração romana ou conjunto de símbolos. Utiliza-se um traço para representar os milhares e dois traços para representar os milhões, conforme indicado nos exemplos.

 IV=41.000=4.000

 VCC=51.000+200=5.200

 X =101.000.000=10.000.000

 VI MCCC=61.000.000+1.000+

+100+100+100=6.001.300

a) Escreva no caderno os números a seguir em notação atual.

 VIII CCXXXVIII

 XVII CIV

b) Escreva no caderno os números a seguir com símbolos romanos.

215.023

9.107.000

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Sistema de numeração decimal

O sistema de numeração que usamos hoje é chamado sistema de numeração decimal e foi criado pelos hindus há aproximadamente 1.500 anos. Nesse sistema, os elementos são agrupados de 10 em 10, ou seja, um sistema de base 10.

10 unidades equivalem a 1 dezena.

Ilustração de 10 cubos e, ao lado, os 10 formando uma só coluna, um em cima do outro.

10 dezenas equivalem a 1 centena.

Ilustração de 10 colunas de cubos, cada um com 10 e, ao lado, as 10 colunas formando uma figura só, uma ao lado da outra.

10 centenas equivalem a 1 unidade de milhar.

Ilustração de 10 figuras de 100 cubos agrupados, cada e, ao lado, um grande cubo com 1000 destes pequenos cubos juntos.

Também podemos representar o agrupamento de 10 unidades e a troca por 1 dezena utilizando um ábaco.

1º.

Como não podemos colocar 10 contas na haste das unidades, elas são retiradas e trocadas por 1 conta na haste das dezenas.

Ilustração de um ábaco com 9 contas na haste das unidades e a representação de mais uma conta a ser colocada.
2º.

O número registrado é 10.

Ilustração de um ábaco com uma conta na haste das dezenas.

Atenção!

Lembre-se:

U – Unidade

D – Dezena

C – Centena

UM – Unidade de milhar

O sistema de numeração decimal também é chamado sistema de numeração indo-arábico, pois ele foi inventado pelos hindus e aperfeiçoado pelos árabes. Os símbolos utilizados para representar qualquer número nesse sistema recebem o nome de algarismos. São eles:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

Atenção!

O termo algarismo tem origem em al-Khowarizmi, parte do nome do matemático, astrônomo e geógrafo árabe Mohammed Ibn Mussa al-Khowarizmi (c. 780-850), um dos responsáveis pela propagação do sistema de numeração indo-arábico na Europa e em outras partes do mundo.

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O sistema de numeração decimal é posicional, ou seja, um algarismo pode assumir valores diferentes de acordo com a posição que ele ocupa na representação de um número. Considere, por exemplo, os números 178, 1.283 e 8.647 representados nos ábacos.

178

O algarismo 8 representa 8 unidades.

Ilustração de um ábaco com 1 conta na haste das centenas, 7 na das dezenas e 8 na das unidades.

1.283

O algarismo 8 representa 8 dezenas.

Ilustração de um ábaco com 1 conta na haste das centenas, 7 na das dezenas e 8 na das unidades.

8.647

O algarismo 8 representa 8 unidades de milhar.

Ilustração de um ábaco com 1 conta na haste das centenas, 7 na das dezenas e 8 na das unidades.

Podemos concluir que o algarismo 8 assume valores diferentes em cada um desses números.

  • No número 178, o valor posicional do algarismo 8 é 8.
  • No número 1.283, o valor posicional do algarismo 8 é 80.
  • No número 8.647, o valor posicional do algarismo 8 é 8.000.

O sistema de numeração decimal tem o algarismo zero (0), que representa a ausência de quantidade. Esse algarismo estrutura todo o sistema de numeração decimal.

Relação entre alguns sistemas de numeração

Estudamos algumas características dos sistemas de numeração egípcio, romano e decimal. O quadro a seguir resume algumas semelhanças e diferenças entre esses sistemas de numeração.

Semelhanças e diferenças entre os sistemas de numeração decimal, romano e egípcio

Sistema de numeração

Base 10

Posicional

Símbolo para representar o zero

Decimal

Ilustração de um símbolo semelhante a letra V em cor verde.. Ilustração de um símbolo semelhante a letra V em cor verde.. Ilustração de um símbolo semelhante a letra V em cor verde..

Romano

Ilustração de um símbolo igual a letra X em cor vermelha. Ilustração de um símbolo semelhante a letra V em cor verde.. Ilustração de um símbolo igual a letra X em cor vermelha.

Egípcio

Ilustração de um símbolo semelhante a letra V em cor verde.. Ilustração de um símbolo igual a letra X em cor vermelha. Ilustração de um símbolo igual a letra X em cor vermelha.

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Ordens e classes

No sistema de numeração decimal, a posição de cada algarismo, contada da direita para a esquerda, indica uma ordem. Cada grupo de três ordens recebe o nome de classe.

O quadro a seguir é chamado quadro de ordens e classes. Nele, está representado o número 2.502.293.

Quadro de ordens e classes

Classe dos milhões

Classe dos milhares

Classe das unidades simples

9ª ordem

8ª ordem

7ª ordem

6ª ordem

5ª ordem

4ª ordem

3ª ordem

2ª ordem

1ª ordem

Centena de milhão

Dezena de milhão

Unidade de milhão

Centena de milhar

Dezena de milhar

Unidade de milhar

Centena

Dezena

Unidade

2

5

0

2

2

9

3

Lê-se: dois milhões, quinhentos e dois mil, duzentos e noventa e três.

Atenção!

Logo à esquerda da classe dos milhões, há a classe dos bilhões, seguida pela classe dos trilhões, depois pela classe dos quatrilhões, e assim por diante.

O número 2.502.293 tem sete ordens. O esquema a seguir apresenta o valor posicional de cada algarismo de acordo com a ordem que ele ocupa.

Esquema com o número 2502293 e sua decomposição. Da direita para esquerda, o algarismo 3 indica 1ª ordem e uma seta aponta para '3 unidades: 3 vezes 1 igual a 3'. O algarismo 9 indica 2ª ordem e uma seta aponta para '9 dezenas: 9 vezes 10 igual a 90'. O algarismo 2 indica 3ª ordem e uma seta aponta para '2 centenas: 2 vezes 100 igual a 200'. O algarismo 2 indica 4ª ordem e uma seta aponta para '2 unidades de milhar: 2 vezes 1000 igual a 2000.' O algarismo 0 indica 5ª ordem e uma seta aponta para '0 dezena de milhar: 0 vezes 10000 igual a 0.' O algarismo 5 indica 6ª ordem e uma seta aponta para '5 centenas de milhar: 5 vezes 100000 igual a 500000. Por último, o algarismo 2 indica a 7ª ordem e uma seta aponta para '2 unidades de milhão: 2 vezes 1000000 igual a 2000000'.

Podemos decompor o número 2.502.293 de várias maneiras. Analise duas delas.

  • 2.502.293=21.000.000+5100.000+010.000+21.000+2100+910+31
  • 2.502.293=2.000.000+500.000+0+2.000+200+90+3

Questão 1. Decomponha no caderno os números apresentados em cada item.

a) 1.346.809

b) 96.855.190

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

12. Escreva no caderno, com algarismos e por extenso, os números representados nos ábacos.

A. Ilustração de um ábaco com 2 contas na haste das centenas e 8 na das unidades.
B. Ilustração de um ábaco com 3 contas na haste das unidades de milhar, 6 contas na haste das centenas e 6 na das dezenas.

13. Resolva os itens.

a) Escreva no caderno o valor posicional de cada algarismo dos números destacados nas informações a seguir.

Uiramutã é o único município do estado de Roraima que faz fronteira com mais de um país. De acordo com o IBGE, em 2021 a população estimada desse município era 11.014 habitantes.

Município de Uiramutã (RR)

Mapa representando a fronteira do município de Uiramutã, em Roraima com 3 países: Brasil, Venezuela e Guiana.

Fonte de pesquisa: IBGE. Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro, 2018.

A primeira medalha olímpica de ouro na história da ginástica artística feminina do Brasil foi conquistada por Rebeca Andrade, nos jogos Olímpicos de Tóquio, em 2021, no Japão.

Fotografia da atleta Rebeca Andrade. A garota segura, sorridente, duas medalhas: uma de ouro e outra de prata.
Rebeca Andrade comemorando as medalhas de ouro e de prata conquistadas nos Jogos Olímpicos de Tóquio, em 2021.

b) Analise o mapa do item anterior e determine quantos e quais são os países que fazem fronteira com Uiramutã.

14. Junte-se a um colega e escrevam no caderno, para cada item, um número de 4 algarismos diferentes em que o algarismo 7 tenha valor posicional:

a) 70

b) 7

c) 7.000

d) 700

15. No número a seguir, A e B representam algarismos diferentes:

7A5B4

Quais devem ser os algarismos representados por A e B para que esse número:

a) seja o maior possível?

b) seja o menor possível?

c) tenha o algarismo 2 com valor posicional 2.000 e o algarismo 1 com valor posicional 10?

d) esteja entre 72.510 e 72.550?

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16. Resolva no caderno cada item utilizando os algarismos apresentados a seguir.

  • 5
  • 6
  • 7
  • 2
  • 8
  • 3
  • 9

a) Escreva um número de 6 algarismos diferentes em que o valor posicional do algarismo 3 seja 3.000.

b) Escreva um número de 7 algarismos diferentes em que o valor posicional do algarismo 5 seja 500.000.

c) Escreva um número de 5 algarismos diferentes em que o valor posicional do algarismo 2 seja 20.

d) Escolha um dos números que você escreveu nos itens anteriores e o decomponha.

17. A professora de Ricardo escreveu dois números:

Ilustração de uma lousa com os números 7386492 e 8432176 escritos.

a) Quantas ordens tem cada número?

b) Qual é o valor posicional do algarismo 7 em cada número?

c) Em qual dos números o valor posicional do algarismo 3 é 30.000?

d) No caderno, escreva por extenso cada número.

18. Junte-se a um colega e, utilizando os algarismos apresentados a seguir, façam o que se pede.

  • 5
  • 1
  • 6
  • 2
  • 7
  • 3
  • 8
  • 4
  • 9

a) Utilizando uma única vez cada algarismo, formem:

o maior número de 5 ordens;

o menor número de 7 ordens;

um número de 6 ordens maior do que 652.187.

b) Escrevam no caderno, por extenso, cada número que vocês formaram no item anterior.

c) Qual é o maior número que podemos formar utilizando uma única vez cada um desses algarismos? Quantas ordens tem esse número?

19. Em cada item, efetue as adições necessárias e componha os números.

a) 2.000+400+50+5=

b) 300.000+50+7=

c) 1.000.000+300+9=

20. Copie no caderno e complete a decomposição dos números, substituindo cada letra pelo número adequado.

a) 347.586=

=A+40.000+B+500+C+D

b) E=20.000+3.000+400+30+2

c) 74.624=70.000+F+G+20+H

d) 2.876.531=

=I+J+K+L+M+N+O

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Números naturais

Considere a sequência dos números naturais.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Nessa sequência, a partir do 0, o próximo número natural é obtido adicionando uma unidade ao número anterior.

  • O número 1 é igual ao anterior (0) mais 1: 0+1=1
  • O número 2 é igual ao anterior (1) mais 1: 1+1=2
  • O número 3 é igual ao anterior (2) mais 1: 2+1=3

e assim por diante.

Esquema mostrando os números naturais de 0 à 10, e com reticências ao final. A cada número há uma seta para o próximo com a operação 'mais um' representada.

As reticências (...) indicam que há infinitos números nessa sequência, pois sempre é possível escrever o próximo número adicionando uma unidade ao número natural anterior.

Cada número natural, com exceção do zero, tem um antecessor, que é o número natural que vem imediatamente antes dele na sequência numérica. Além disso, cada número natural tem um sucessor, que é o número natural que vem imediatamente depois dele na sequência numérica.

A seguir é apresentado o antecessor e o sucessor do número 12.

Esquema com a sequência dos números 11, 12 e 13. Do número 12 para o 11, há uma seta informando a operação de menos 1 e, do 12 para o número 13, há uma seta informando a operação de mais 1. Abaixo do número 11 está descrito 'antecessor de 12' e abaixo do número 13, 'sucessor de 12'.

Dois ou mais números naturais são consecutivos se um vem imediatamente após o outro na ordem em que aparecem na sequência dos números naturais. No exemplo anterior, podemos dizer que 11, 12 e 13 são números consecutivos.

Questão 2. Escreva no caderno três números naturais consecutivos, sendo um deles:

a) 25.

b) 99.

c) 141.

d) 999.

Reta numérica

Podemos representar cada número natural por um ponto em uma reta, chamada reta numérica.

Para fazer essa representação, escrevemos os números naturais do menor para o maior, da esquerda para a direita, iniciando pelo ponto que corresponde ao número zero, chamado origem. Além disso, em uma reta numérica, os pontos são igualmente espaçados.

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Na reta numérica a seguir, estão representados os primeiros 15 números consecutivos da sequência dos números naturais.

Reta numérica com o intervalo de 0 à 14.

Assim, na sequência dos números naturais representados na reta numérica, um número que está à direita do outro será sempre maior do que ele. Portanto:

  • 5 vem antes do 8, então 5<8;
  • 46 vem depois do 32, então 46>32.

Números pares e números ímpares

A professora de Fernanda escreveu na lousa duas sequências com números naturais: uma de números pares e outra de números ímpares.

Ilustração de uma lousa com as frases escritas: sequência de números pares: zero, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, reticências. Sequência de números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, reticências.

Analise o que a professora está dizendo.

Ilustração de uma professora, em sala de aula, falando aos alunos: os números pares são números naturais cujo algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6 ou 8. Quando dividimos um número par por 2, obtemos resto 0.
Ilustração de uma professora, em sala de aula com dois alunos. Ela diz: os números ímpares são números naturais cujo algarismo das unidades é 1, 3, 5, 7 ou 9. Quando dividimos um número ímpar por 2, obtemos resto 1.

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A seguir, é apresentado um algoritmo que possibilita verificar se um número é par ou ímpar.

Algoritmo:
sequência de comandos, regras ou tarefas que possibilita solucionar um problema.

Início

1º. Escolha um número natural.

2º. O número termina em 1, 3, 5, 7 ou 9?

3º. Se sim, o número é ímpar. Caso contrário, o número é par.

Fim

Podemos representar um algoritmo por meio de um fluxograma. Considere, por exemplo, o algoritmo anterior representado dessa maneira.

Fluxograma:
representação gráfica de uma sequência de comandos, regras ou tarefas que possibilita solucionar um problema.
Fluxograma com as seguintes informações: Início, dentro de uma forma oval. Seta aponta para: 'Escolha um número natural', que está dentro de um retângulo. Seta aponta para: 'O número termina em 1, 3, 5, 7 ou 9?', que está dentro de um losango. Se a resposta for sim, seta aponta para: 'O número é ímpar', dentro de um retângulo. Se a resposta for não, seta aponta para: 'O número é par', que está dentro de um retângulo. Ambas as respostas apontam para 'Fim', dentro de uma forma oval.

Atenção!

Em um fluxograma, cada tipo de figura tem um significado.

Ilustração de uma forma oval.
Figura que indica o início e o fim de um fluxograma.
Ilustração de um retângulo.
Figura que indica uma ação a ser feita.
Ilustração de um losango.
Figura que indica questionamento para tomada de decisão.

Além disso, as figuras são conectadas por setas. Quando as setas partem de uma figura que indica um questionamento para tomada de decisão, elas são acompanhadas das palavras Sim e Não. A cada resposta, o fluxograma segue determinando o caminho.

Questão 3. Escreva, em seu caderno, um algoritmo semelhante ao apresentado nesta página. Porém, troque a pergunta do passo 2 e faça os ajustes necessários.

Questão 4. Em seu caderno, represente o algoritmo que você escreveu na questão anterior em um fluxograma.

Questão 5. Utilizando o algoritmo apresentado nesta página ou o escrito por você na questão 3, verifique no caderno se os números apresentados nos itens são pares ou ímpares.

a) 423

b) 13.572

c) 9.274.361

d) 864.135.210

Página 26

Atividades

Faça as atividades no caderno.

21. Determine o antecessor e o sucessor de cada número natural a seguir.

a) 929

b) 500

c) 1.347

d) 3.568

e) 12.009

f) 18.701

g) 508.000

h) 746.800

22. Considere os seguintes algarismos.

  • 7
  • 1
  • 5
  • 3
  • 4
  • 0
  • 9
  • 8

Utilizando esses algarismos, escreva no caderno:

a) o maior número natural com três algarismos diferentes.

b) o menor número natural com quatro algarismos diferentes.

c) Dois números naturais consecutivos de dois algarismos que adicionados resultem em 79.

23. Sabendo que A, B e C representam números naturais, copie os itens a seguir no caderno substituindo cada pelo símbolo > ou <, de acordo com a reta numérica apresentada.

Reta numérica com 9 pontos demarcados. O primeiro ponto, da esquerda para a direita, corresponde ao valor 240, o quinto ponto corresponde à 320 e o nono, à 400. Além disso, o quarto ponto corresponde à letra A, o sexto à letra B e o sétimo corresponde à letra C.

a) 240A

b) AC

c) 400B

d) 320A

e) 240320B

f) BC400

24. Para aguardar o atendimento em algumas agências bancárias, o cliente recebe uma senha. Ao chegar em uma dessas agências, Cláudia recebeu a seguinte senha.

Ilustração de um pedaço de papel com a mensagem 'senha 127'.

Escreva no caderno a sequência de números naturais consecutivos que representa as senhas das:

a) 7 pessoas que chegaram depois de Cláudia;

b) 5 pessoas que chegaram antes de Cláudia.

25. Na reta numérica a seguir, os pontos destacados correspondem a números naturais.

Reta numérica com 21 pontos demarcados. O primeiro ponto, da esquerda para a direita, corresponde à letra A, o quarto corresponde à letra B, o décimo, à letra C, o décimo oitavo, à letra D e o vigésimo primeiro ponto corresponde à letra E.

De acordo com as informações a seguir, determine o número natural correspondente a cada letra.

Os pontos correspondem a números naturais consecutivos.

A letra E corresponde a 372 unidades a mais do que o menor número natural de três algarismos.

26. No cálculo indicado a seguir, cada figura representa um número natural.

++=27

Determine o número natural referente a cada figura, sabendo que eles são consecutivos.

Atenção!

Esses números podem ser de 0 a 10.

Página 27

27. O sistema braile é um código universal de leitura tátil e escrita com símbolos em alto-relevo. Esse sistema é formado por símbolos compostos de pontos. Com base nesses pontos, podem ser formados 63 símbolos, que representam não somente as letras do alfabeto, mas também os sinais de pontuação e os números. Os algarismos de 1 a 9 e o algarismo 0 são representados por um símbolo seguido de outro. O primeiro símbolo indica que será representado um número; o segundo símbolo é o mesmo que também representa as letras de A até J, respectivamente.

Ilustração dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 representados em braile. Para cada número há duas celas. Cada cela é composta por duas colunas com três pontos cada. Alguns desses pontos estão preenchidos em cor mais escura. A primeira cela de todos os números tem o 3º ponto da primeira coluna e os 3 pontos da 2ª coluna preenchidos, e essa cela indica 'número'. E a segunda cela de cada número representa uma letra. Número 1: só está preenchido o 1º ponto da primeira coluna, e essa indica a letra a. Número 2: só estão preenchidos os dois primeiros pontos da primeira coluna, o qual indica a letra b. Número 3: estão preenchidos o primeiro ponto da primeira e segunda coluna, o qual indica letra c. Número 4: estão preenchidos o primeiro ponto da primeira coluna e os dois primeiros pontos da segunda coluna, o qual indica a letra d. Número 5: estão preenchidos o 1º ponto da primeira coluna e o 2º ponto da segunda coluna, o que indica a letra e. Número 6: estão preenchidos os dois primeiros pontos da primeira coluna e o 1º ponto da segunda coluna, o que indica a letra f. Número 7: estão preenchidos os dois primeiros pontos da primeira e segunda coluna, o que indica a letra g. Número 8: estão preenchidos os dois primeiros pontos da primeira coluna e o 2º ponto da segunda coluna, o que indica a letra h. Número 9: estão preenchidos o 2º ponto da primeira coluna e o 1º ponto da segunda coluna, o que indica a letra i. Número 0: estão preenchidos o 2º ponto da primeira coluna e os dois primeiros pontos da segunda coluna, o que indica a letra j.

Em um número formado por dois ou mais algarismos, apenas o primeiro é precedido pelo símbolo Ilustração  do símbolo que indica número em braile. Há duas colunas com 3 pontos cada. Na primeira coluna, apenas o último ponto está preenchido, enquanto na segunda os 3 pontos estão preenchidos. . Analise a seguir a representação do número 143.

Ilustração com a representação do número 143 em braile. Há 4 celas braile. A primeira cela corresponde ao símbolo que indica número. A segunda cela corresponde ao número 1 com apenas o primeiro ponto da primeira coluna preenchido. A terceira cela corresponde ao número 4, com o primeiro ponto da primeira coluna mais os dois primeiros pontos da segunda coluna preenchidos. E a quarta cela corresponde ao número 3, com o primeiro ponto da primeira e segunda coluna preenchido.

a) Represente no caderno os maiores números naturais de dois e três algarismos distintos usando o sistema braile.

b) Faça uma pesquisa e obtenha mais informações a respeito de outro sistema de símbolos ou sinais utilizado na comunicação entre pessoas com deficiência. Em seguida, liste-os.

c) Entreviste uma pessoa com deficiência visual de sua comunidade ou realize uma pesquisa em sites e livros para obter mais informações a respeito do sistema braile.

d) Após a entrevista ou pesquisa realizada no item anterior, qual é sua opinião a respeito do sistema braile? Apresente-a aos colegas e argumente com o objetivo de defender suas ideias.

e) Sua opinião a respeito do sistema braile mudou após a entrevista ou pesquisa realizada no item c? Converse com os colegas e professor.

f) Mariana estuda o sistema braile e recebeu a seguinte mensagem em uma de suas redes sociais.

Ilustração de parte de um celular com a mensagem de texto recebida: o sistema braile torna pessoas com deficiência visual mais dependentes.

Você acha que Mariana concorda com essa mensagem? E você, concorda? Justifique sua resposta.

Página 28

28. Algumas invenções e descobertas importantes que ocorreram ao longo da História estão apresentadas a seguir.

Imagens não proporcionais entre si.

Fotografia de um antigo telefone, com estrutura de madeira e parte metálica semelhante a parte de um instrumento musical, trompete.
O telefone foi inventado em 1876 pelo escocês Alexander Graham Bell.
Fotografia de uma 'máquina de adições', antiga, em madeira, formato de caixa e com algumas 'teclas'.
Em 1624, o francês Blaise Pascal criou a primeira máquina de adições.
Fotografia da primeira máquina fotográfica, em formato de caixa, preta, uma abertura circular em um dos lados.
Em 1888, o estadunidense George Eastman inventou a primeira máquina fotográfica portátil.

Na reta numérica a seguir, cada letra está associada a um dos anos citados. Escreva no caderno o ano representado em cada letra.

Reta numérica com os seguintes pontos demarcados: 1600, 1700, 1800 e 1900, da esquerda para a direita. Além disso, há o ponto A entre 1600 e 1700, mas mais próximo de 1600, B e C entre 1800 e 1900, mas mais próximos de 1900 e com o B antes do C.

29. Analise os números nas fichas e os envelopes em que elas serão guardadas.

  • 143
  • 92
  • 80
  • 95
  • 2
  • 129
  • 64
  • 47
  • 158
  • 71
  • 15
  • 81
  • 24
  • 56
A. Ilustração de um envelope com a frase 'números pares menores do que 60'.
B. Ilustração de um envelope com a frase 'números ímpares menores do que 80'.
C. Ilustração de um envelope com a frase 'números pares entre 60 e 100'.
D. Ilustração de um envelope com a frase 'números ímpares entre 80 e 130'.

a) Escreva no caderno os números das fichas que devem ser guardadas em cada envelope de acordo com as indicações.

b) Há fichas que não foram guardadas em nenhum envelope. Quais são os números representados nessas fichas?

30. Considere a sequência de figuras representadas por palitos.

Ilustração de uma sequência, na qual a primeira figura indica 1 triângulo formado por 3 palitos, a segunda tem 2 triângulos formados por 5 palitos, a terceira tem 3 triângulos formados por 7 palitos, a quarta tem 4 triângulos formados por 9 palitos e reticências.

Sabendo que a regularidade na quantidade de palitos utilizada para representar cada figura da sequência será mantida, ou seja, cada figura, a partir da 2ª, será representada com 2 palitos a mais do que a anterior, responda às questões.

a) Quantos palitos são necessários para representar a 5ª figura dessa sequência?

b) O número que representa a quantidade de palitos utilizados para representar a 5ª figura dessa sequência é par ou ímpar?

Página 29

Arredondamento

No gráfico está representada a população estimada dos cinco estados mais populosos do Brasil em 2021.

Estados brasileiros mais populosos em 2021

Gráfico de barras apresentando a quantidade estimada de estudantes de cinco estados. Os dados são: Bahia: 14985284 habitantes; Paraná: 11597484 habitantes; São Paulo: 46649132 habitantes; Rio de Janeiro: 17463349 habitantes; Minas Gerais: 21411923 habitantes.

Fonte de pesquisa: IBGE Cidades. Disponível em: https://oeds.link/JOX77t. Acesso em: 10 fev. 2022.

Para facilitar a leitura e a interpretação desses números com muitos algarismos, fazemos um arredondamento de cada número para a unidade de milhão mais próxima.

Assim, podemos dizer que a população do estado da Bahia era de aproximadamente 15.000.000 de habitantes em 2021. Já o Rio de Janeiro tinha uma população de aproximadamente 17.000.000 de habitantes nesse mesmo ano.

A quantidade de habitantes na Bahia foi arredondada para 15.000.000, pois 14.985.284 está mais próximo desse número do que de 14.000.000.

Reta numérica com os valores 14000000 e 15000000 próximos, cada um de uma extremidade e o valor 14500000 no centro. Além disso, há o valor 14985284 representado próximo do 15000000.

De modo geral, para fazer arredondamentos, observamos o algarismo à direita da ordem que queremos arredondar. Se ele for 0, 1, 2, 3 ou 4, mantemos a ordem; se ele for 5, 6, 7, 8 ou 9, adicionamos uma ordem.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

31. Copie o quadro em seu caderno e, em seguida, complete a segunda e a terceira coluna fazendo arredondamentos para a centena e para a unidade de milhar mais próximas.

Arredondamentos para alguns números

Número

Número arredondado para a centena mais próxima

Número arredondado para a unidade de milhar mais próxima

1.617

4.950

2.198

6.243

3.444

Página 30

O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Escreva em uma folha de papel avulsa, utilizando numerais egípcios e romanos, os números indicados a seguir.

a) 38

b) 507

c) 2.003

d) 4.262

2. Escreva em uma folha de papel avulsa, com algarismos e por extenso, o número representado em cada ábaco.

A. Ilustração de um ábaco com 7 contas na haste das dezenas de milhões, 4 contas nas unidades de milhões, 5 contas na haste das centenas de milhares, 8 contas nas dezenas de milhares, 8 contas na das unidades de milhares, 3 contas na haste das centenas, uma conta na das dezenas e 3 contas na das unidades.
B. Ilustração de um ábaco com 7 contas na haste das centenas de milhões, 4 contas nas dezenas de milhões, 6 contas nas unidades de milhões, 8 contas na haste das centenas de milhares, 7 contas nas dezenas de milhares, 9 contas na das unidades de milhares, 6 contas na haste das centenas e duas contas na das unidades.
C. Ilustração de um ábaco com 9  contas na haste das centenas de milhões, duas contas nas unidades de milhões, uma conta na haste das centenas de milhares, duas contas nas dezenas de milhares, 3 contas na das unidades de milhares, 8 contas na haste das centenas, 7 contas na das dezenas e 6 contas na das unidades.

3. Determine o valor posicional de cada algarismo dos números a seguir.

a) 134

b) 3.201

c) 7.220

d) 91.050

e) 709.055

f) 4.381.896

4. Associe cada número apresentado a uma ou mais informações a seguir.

  • 246.088
  • 1.356.152
  • 96.294.000
  • 24.955
  • 4.886.002

A . É composto de 7 ordens.

B . Tem o algarismo 6 na classe dos milhares.

C . O valor posicional do algarismo 4 é 4.000.

D . Está entre 100.000 e 1.000.000.

E . Seu antecessor é um número ímpar.

5. Em cada item, determine o valor das letras A e B, sabendo que A é o menor número natural possível com algarismos diferentes e B é o maior número natural possível com algarismos diferentes.

a) 1<A<B<10

b) 100<A<B<1.000

c) 1.000<A<B<10.000

d) 100.000<A<B<1.000.000

6. Em uma folha de papel avulsa, escreva quatro números de seis algarismos diferentes. Depois, arredonde cada um dos números que você escreveu para:

a) a dezena mais próxima.

b) a centena mais próxima.

c) a dezena de milhar mais próxima.