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UNIDADE

2

Operações com números naturais e igualdades

Fotografia de uma mão escrevendo resultado de cálculos em uma folha, com um soroban ao lado.
Pessoa fazendo uso de um soroban para efetuar cálculos por meio do manuseio de suas contas móveis em hastes fixas.

Agora vamos estudar...

  • adição;
  • subtração;
  • multiplicação;
  • divisão;
  • potenciação;
  • expressões numéricas;
  • igualdades.

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Adição

Os Jogos Olímpicos são competições poliesportivas que ocorrem de 4 em 4 anos desde 1896. Nesses jogos, participam atletas de vários países. Na edição de 2012, o Brasil conquistou 17 medalhas, na edição de 2016, 19 medalhas e na edição de 2020, que ocorreu em 2021, 21 medalhas.

Fotografia da atleta Ana Marcela Cunha, com roupa contendo a bandeira do Brasil, segurando a medalha de ouro que está em seu pescoço. Ela está sorrindo.
Ana Marcela Cunha recebendo a medalha de ouro, na prova dos 10   km da maratona aquática, nos Jogos Olímpicos de Tóquio, em 2021.
Poliesportivo
: que envolve várias práticas esportivas.

Questão 1. Ícone atividade oral. Que cálculo você faria para obter o total de medalhas conquistadas pelo Brasil nas edições de 2012, 2016 e 2020?

Para obter o total de medalhas conquistadas pelo Brasil nessas edições, adicionamos as quantidades de medalhas conquistadas em cada uma delas.

17 + 19 + 21 = 5 7

ou

Algoritmo da adição. 17 mais 19 mais 21 resultando em 57.  Acima do algarismo 1 do número 17, há o número 1. Está indicado que os números 17; 19 e 21 são as parcelas. E o número 57 é a soma.

Portanto, o Brasil conquistou, ao todo, 57 medalhas nessas três edições.

Instrumentos e softwares

Utilizando a calculadora para obter somas

Efetuar cálculos, realizar medições e desenhar figuras são atividades que realizamos em outros componentes curriculares além da Matemática e em diversas situações, como no trabalho, em casa e no supermercado. Existem alguns instrumentos que podem nos auxiliar na realização dessas tarefas. Entre eles, podemos destacar a calculadora, que é um instrumento utilizado para efetuar cálculos. Analise como podemos efetuar 5 . 206 + 47 8 utilizando esse instrumento.

1º. Com a calculadora ligada, digite as teclas Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 5.Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 2.Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 0.Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 6. e, em seguida, a tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de adição..

2º. Digite as teclas Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 4.Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 7.Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 8.

3º. Por fim, digite a tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de igual.. Deste modo, obtém-se o resultado da adição.

Ilustração do visor de calculadora com o número 5684 ponto.
Visor de uma calculadora apresentando o resultado de 5 . 206 + 47 8 .

Para efetuar essa adição com o aplicativo calculadora do smartphone, realizamos os mesmos procedimentos anteriores.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Ícone uso de instrumentos Efetue os cálculos usando uma calculadora.

a) 54 . 321 + 28 . 421

b) 654 . 321 + 345 . 499

c) 7 . 654 . 352 + 1 . 029 . 104

2. Junte-se a um colega e, utilizando os números apresentados, escrevam no caderno todas as adições possíveis com duas parcelas diferentes. Em seguida, resolvam-nas.

  • 1.228

  • 3.090

  • 4.281

  • 998

3. Um quadrado mágico recebe esse nome porque a soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. Essa soma é chamada constante mágica. Analise um exemplo.

Ilustração de um quadrado formado por 9 quadradinhos menores, com 3 de largura e 3 de comprimento. Na primeira linha de quadradinhos temos os números 72, 57 e 78, da esquerda para a direita, na segunda linha os números 75, 69, 63 e na terceira linha 60, 81, 66. Há uma linha demarcando a primeira coluna com os números 72, 75, 60, outra demarcando a diagonal com os números 78, 69, 60 e outra demarcando a última linha com os números 60, 81, 66.

a) Efetue os cálculos e verifique qual é a constante mágica desse quadrado mágico.

b) Se adicionarmos 45 unidades a cada número do quadrado mágico mostrado anteriormente, ele continuará sendo mágico? Se sim, determine sua constante mágica.

c) Realize uma pesquisa a respeito da origem dos quadrados mágicos.

Atenção!

A pesquisa proposta no item c pode ser feita em livros, revistas e sites. Mas cuidado! Devemos nos certificar de que as informações sejam pesquisadas em fontes atuais e confiáveis. Para encerrar, uma dica: confira as informações obtidas comparando-as com outras fontes.

4. Elias mora em Fortaleza (CE) e decidiu fazer uma viagem. O esquema a seguir apresenta o trajeto que ele fez e as medidas das distâncias que percorreu.

Esquema com um caminho percorrido em passando pelas cidades de Fortaleza, Natal, Recife, Maceió, Aracaju e Salvador. Entre Fortaleza e Natal está indicada a distância de 537 quilômetros, entre Natal e Recife, 297 quilômetros, entre Recife e Maceió tem 285 quilômetros, entre Maceió e Aracaju a distância de 294 quilômetros e entre Aracaju e Salvador está indicada a distância de 356 quilômetros.

No 1º dia de viagem, Elias saiu de Fortaleza (CE) e foi até Recife (PE), passando por Natal (RN). No 2º dia, saindo de Recife, ele passou por Maceió (AL) e foi até Aracaju (SE). Por fim, no 3º dia de viagem, Elias foi até Salvador (BA).

a) Quantos quilômetros Elias percorreu no 1º dia de viagem? E no 2º dia?

b) Qual é, em quilômetros, a medida da distância percorrida por Elias de Fortaleza até Salvador?

5. Arredonde cada número à unidade de milhar mais próxima. Depois, efetue os cálculos mentalmente.

a) 20 . 582 + 36 . 418  

b) 19 . 602 + 15 . 903  

c) 179 . 389 + 51 . 164

6. Efetue os cálculos exatos da atividade anterior da maneira que preferir e compare-os com os resultados aproximados.

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Propriedades da adição

Agora, vamos estudar as propriedades da adição. Essas propriedades nos auxiliarão em alguns cálculos.

Propriedade comutativa

Henrique e Luciana pesquisaram o preço de alguns produtos em um site.

Imagens não proporcionais entre si.

Fotografia de um console de videogame e seu controle.
Videogame R$ 749,00
Fotografia de um notebook.
Notebook R$ 2.690,00
Fotografia de uma televisão.
Televisão R$ 1.950,00
Fotografia de um smartphone.
Smartphone R$ 1.250,00

Em seguida, eles calcularam a quantia que vão gastar caso comprem o videogame e a televisão.

  • Henrique

    Algoritmo da adição. Com o 749 em cima, mais 1950, resultando em 2699. Próximo do algarismo 1 do número 1950 há o número 1.
  • Luciana

    Algoritmo da adição. Com o 1950 em cima, mais 749, resultando em 2699. Próximo do algarismo 1 do número 1950 há o número 1.

Como a adição tem a propriedade comutativa, ao trocar a ordem das parcelas, a soma não se altera.

Em uma adição, ao trocar a ordem das parcelas, o resultado permanece o mesmo. Essa é a propriedade comutativa da adição.

Questão 2. Escreva no caderno duas adições que possibilitem determinar o preço total dos seguintes produtos. Depois, efetue-as.

a) Televisão e smartphone.

b) Videogame e notebook.

c) Notebook e smartphone.

d) Smartphone e videogame.

Propriedade associativa

No quadro a seguir está indicada a quantidade de pontos que Fernando e seus amigos fizeram em três rodadas de um jogo.

Quantidade de pontos em três rodadas de um jogo

Rodada/Jogador

1ª

2ª

3ª

Fernando

70

35

42

Ivo

48

80

30

Gilberto

60

47

18

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A seguir são apresentadas três maneiras diferentes de calcular o total de pontos de Fernando.

Esquema. Na primeira linha, abre parênteses 70 mais 35, fecha parênteses, mais 42. Na segunda linha, 105 mais 42. 70 mais 35 corresponde a 105 e o 42 continua. A segunda linha corresponde a terceira, onde está o 147.
Esquema. Na primeira linha, 70 mais, abre parênteses, 35 mais 42, fecha parênteses. Na segunda linha, 70 mais 77. 35 mais 42 corresponde a 77 e o 70 continua. A segunda linha corresponde a terceira, onde está o 147.
Esquema. Na primeira linha, 70, mais 35, mais 42. Na segunda linha, 112 mais 35. 70 mais 42 corresponde a 112 e o 35 continua. A segunda linha corresponde a terceira, onde está o 147.

Como a adição tem a propriedade associativa, ao associar as parcelas de maneiras diferentes, a soma não se altera.

Em uma adição de três ou mais parcelas, ao associá-las de maneiras diferentes, o resultado permanece o mesmo. Essa é a propriedade associativa da adição.

Questão 3. Calcule em seu caderno a quantidade total de pontos de Ivo e de Gilberto associando as parcelas de duas maneiras diferentes.

Propriedade do elemento neutro

Janaina efetuou as seguintes adições.

  • 72 + 0 = 7 2

    0 + 72 = 7 2

  • 451 + 0 = 45 1

    0 + 451 = 45 1

Como a adição tem a propriedade do elemento neutro, quando uma das parcelas é igual a zero, a soma é igual à outra parcela.

Ao adicionar um número a zero, o resultado é igual ao próprio número. Por isso, dizemos que o zero é o elemento neutro da adição.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

7. Efetue os cálculos mentalmente e associe as fichas cujos cálculos têm resultados iguais. Para isso, escreva os pares de letras correspondentes.

A. 45 + 2 4

B. 50 + 8 3

C. 21 + 1 3

D. 37 + 1 0

E. 83 + 5 0

F. 10 + 3 7

G. 24 + 4 5

H. 13 + 2 1

8. Efetue os cálculos da atividade anterior da maneira que preferir e verifique se suas associações estão corretas.

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9. Analise o preço de alguns itens em uma loja.

Imagens não proporcionais entre si.

Fotografia de um cinto rosa.
Cinto R$ 54,00
Fotografia de uma bolsa de mão rosa.
Bolsa R$ 67,00
Fotografia de um par de sapatos rosa.
Par de sapatos R$ 86,00

Marilda comprou a bolsa e o par de sapatos, e calculou mentalmente o valor total de sua compra.

Fotografia de uma mulher com a mão no queixo e ao lado um balão de pensamento vindo dela com o esquema: Na primeira linha, 67 mais 86. Na segunda linha, 60, mais 80, mais 7, mais 6. 67 corresponde a 60 mais 7 e 86 corresponde a 80 mais 6. Na terceira linha, 140, mais 13, igual a 153. 60 mais 80 corresponde a 140 e 7 mais 6 corresponde a 13.
Marilda.

Assim como Marilda calcule mentalmente quantos reais uma pessoa vai gastar se comprar os produtos mostrados em cada item.

Imagens não proporcionais entre si.

A. Fotografia de uma bolsa de mão rosa.
Fotografia de um cinto rosa.
B. Fotografia de um cinto rosa.
Fotografia de um par de sapatos rosa.

10. Roberta calculou mentalmente 85 + 7 + 15 + 1 3 .

Fotografia de uma menina com a mão no queixo e ao lado um balão de pensamento vindo dela com a frase: Para facilitar o cálculo, vou associar as parcelas de modo que os resultados sejam números terminados em zero. Abaixo há um esquema. Na primeira linha, 85, mais 7, mais 15, mais 13. Na segunda linha, 100, mais 20, igual a 120. 85 mais 15 corresponde a 100 e 7 mais 13 corresponde a 20.
Roberta.

De maneira semelhante ao pensamento de Roberta, calcule as adições.

a) 92 + 15 + 8 + 1 5

b) 75 + 36 + 25 + 1 4

c) 38 + 21 + 12 + 9

d) 57 + 33 + 45 + 3 5

e) 72 + 8 + 63 + 1 7

f) 29 + 21 + 32 + 1 8

11. Elabore e escreva em seu caderno o enunciado de um problema cuja solução pode ser obtida pelo cálculo a seguir. Depois, mostre a um colega o problema que você escreveu para que ele o resolva. Verifique se a resposta obtida está correta.

101 + 213 + 32 9

12. Copie as adições a seguir no caderno e substitua cada pelo número adequado.

a) 15 + 0 =

b) 0 + 798 =

c) + 0 = 31 5

d) + 0 =

e) 218 + 394 + 0 =

f) 210 + + 412 = 62 2

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Subtração

Entre os esportes automobilísticos, a Fórmula 1 é uma das modalidades mais conhecidas e tradicionais.

Em 2021, foram realizadas 22 corridas pelo Grande Prêmio (GP), e o piloto neerlandês Max Verstappen conquistou o Campeonato mundial nesse ano.

Fotografia de vários carros automobilísticos em uma corrida de Fórmula 1.
Grande Prêmio de Fórmula 1, no autódromo de Interlagos (SP), em 2021.
Esquema com ilustrações de 'representação de alguns circuitos dos GPs de Fórmula 1 em 2021', apresentando 4 circuitos de corrida diferentes, o primeiro com 'medida de extensão: 3337 metros' de 'Mônaco, localização: Mônaco'. O segundo com 'medida de extensão 3337 metros', de 'Monza, localização: Itália. O terceiro circuito com 'medida de extensão: 4309 metros', de 'Interlagos, localização: Brasil. E o quarto com 'medida de extensão: 5 807 metros', de 'Suzuka, localização: Japão'.

Fonte de pesquisa: LEWIS, Neil. The Grand Prix Cookbook: Cook The World Of Grand Prix Racing. Lulu, 2018. Disponível em: https://oeds.link/a9RVQq. Acesso em: 4 fev. 2022.

Qual é a diferença, em metros, entre a medida de extensão do circuito de Interlagos e a do circuito de Mônaco?

Para responder a esta pergunta, precisamos calcular 4 . 309 3 . 337 .

4 . 309 3 . 337 = 97 2

ou

Algoritmo da subtração, de 4309 menos 3337 que resulta em 972. Próximo ao algarismo 0 da ordem de dezena do número 4309, há outro número 1, o algarismo 3 está riscado e próximo dele está o número 12, o algarismo 4 está riscado e próximo dele está o número 3. Nessa subtração, 4309 é o minuendo, 3337 é o subtraendo, e 972 é a diferença.

Portanto, a diferença entre as medidas de extensão desses circuitos é 972   m .

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

13. De acordo com as informações da página anterior, determine a diferença, em metros, entre as medidas de extensão dos seguintes circuitos.

a) Suzuka e Mônaco.

b) Monza e Interlagos.

c) Monza e Mônaco.

d) Suzuka e Interlagos.

14. No caderno, escreva e calcule o resultado de uma subtração em que o minuendo seja o maior número de três algarismos diferentes e o subtraendo seja o menor número de três algarismos iguais.

15. Os museus são fundamentais no processo de preservação e conexão entre diferentes períodos históricos e culturais. De acordo com o Instituto Brasileiro de Museus (Ibram), em 2021 havia 3.891 museus no Brasil.

a) Sabendo que em 2014 havia 3.118 museus no Brasil, quantos foram construídos de 2014 a 2021?

b) Em sua opinião é importante visitar museus?

c) Faça uma pesquisa sobre a importância dos museus e quais são os principais do Brasil.

d) Após a pesquisa no item c sua opinião sobre a importância dos museus mudou? Justifique sua resposta.

e) Você sabia que é possível visitar um museu de maneira virtual? Sim, é possível! Visite um museu virtualmente e compartilhe essa experiência com os colegas e o professor.

Atenção!

A visita virtual pode ser feita por meio do site Vila360. Disponível em: https://oeds.link/SJEK11. Acesso em: 27 abr. 2022.

16. Determine o número referente a cada letra no quadrado mágico a seguir.

Atenção!

Inicialmente, determine a constante mágica do quadrado.

19

A

B

55

C

28

D

13

52

E

37

F

10

43

G

46

17. Ícone uso de instrumentos Ícone desafio. Usando apenas uma vez os números e sinais matemáticos representados em cada item, obtenha o número indicado no visor da calculadora em cada um.

Atenção!

Para efetuar subtrações em uma calculadora, repita os procedimentos da seção Instrumentos e softwares da página 32, porém utilizando a tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de menos. em vez da tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de adição..

A. Ilustração do visor de calculadora com o número 115 ponto. Abaixo há as teclas com os números 9, 1, 4, 7, 8, o sinal de igualdade e o de subtração.
B. Ilustração do visor de calculadora com o número 238 ponto. Abaixo há as teclas com os números 3, 1, 1, 2, 6, 0, o sinal de igualdade e o de adição.

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18. Carlos faz fretes em seu caminhão. As imagens a seguir apresentam a quilometragem que o hodômetro do caminhão estava marcando ao fim de três dias de trabalho.

Ilustração de um calendário de 2024, do mês de janeiro, relacionando o dia 1 ao hodômetro marcando 31329 quilômetros, o dia 12 ao hodômetro marcando 33147 quilômetros e o dia 23 ao hodômetro marcando 35741 quilômetros.
Frete:
carregamento ou carga transportada, mediante pagamento, em qualquer meio de transporte.
Hodômetro:
instrumento que indica medidas de distâncias percorridas por pedestres ou por veículos.

a) Quantos quilômetros Carlos percorreu com seu caminhão do início do dia 2 até o fim do dia 12 de janeiro?

b) Quantos quilômetros Carlos percorreu ao todo do início do dia 2 até o fim do dia 23 de janeiro?

c) Carlos percorreu mais 1.645 km desde o início do dia 24 até o fim do dia 31 de janeiro. Que quilometragem seu caminhão estava marcando ao fim do dia 31 de janeiro?

19. Lúcio calculou mentalmente o resultado de 67 3 2 .

Esquema. Na primeira linha, 67 menos 32. Na segunda linha, 67 menos 30 menos 2. 32 corresponde a 30 menos 2  e o 67 continua. Na terceira linha, 37 menos 2 igual a 35. 67 menos 30 corresponde a 37 e o 2 continua.

De maneira semelhante, calcule mentalmente os resultados dos cálculos a seguir.

a) 90 2 5

b) 94 2 3

c) 73 2 1

d) 59 3 3

e) 78 1 7

f) 112 4 8

20. Junte-se a um colega e obtenham, da maneira que preferirem, os resultados dos seguintes cálculos.

  • 12 1

  • 123 1 2

  • 1 . 234 12 3

  • 12 . 345 1 . 234

a) O que podemos perceber em relação ao minuendo, ao subtraendo e ao resultado de cada cálculo?

b) Agora, sem efetuar os cálculos por escrito ou em uma calculadora, determinem os resultados a seguir.

  • 123 . 456 12 . 345

  • 1 . 234 . 567 123 . 456

Expressões numéricas envolvendo adição e subtração

Márcio saiu de sua casa com R$ 168,00. Dessa quantia, ele gastou R$ 68,00 na compra de uma calça e R$ 14,00 em um restaurante. Quando estava voltando para casa, Márcio encontrou um amigo que lhe pagou R$ 25,00 que havia emprestado dele anteriormente.

Após comprar a calça, pagar o restaurante e receber o dinheiro emprestado, com quantos reais Márcio ficou?

Podemos responder a esta questão resolvendo a expressão numérica a seguir.

Esquema. Na primeira linha, 168, menos 68, menos 14, mais 25. Na segunda linha, 100, menos 14, mais 25. 168 menos 68 corresponde a 100, o 14 e 25 continuam. Na terceira linha, 86 mais 25. 100 menos 14 corresponde a 86 e o 25 continua. A terceira linha corresponde a quarta, onde está o 111.

Portanto, Márcio ficou com R$ 111,00.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

21. No caderno, associe os problemas a seguir à expressão numérica que os representa. Depois, resolva as expressões e determine a resposta.

a) Jair comprou 280 latas de suco para vender em sua lanchonete. Ele vendeu 82 dessas latas no sábado e 120 no domingo. Quantas latas sobraram?

b) Em sua coleção, Maria tem 120 cartões-postais de cidades do Brasil e 280 de cidades de outros países. Do total de seus cartões-postais, 82 são repetidos. Sem contar os cartões repetidos, quantos cartões-postais Maria tem em sua coleção?

  • Expressão 1

    120 + 280 8 2

  • Expressão 2

    280 82 12 0

22. Efetue os cálculos e determine o número natural correspondente a cada letra.

a) Esquema. Na primeira linha, 200, menos A, mais B, menos C. Na segunda linha, 150, mais B, menos C. 200 menos A corresponde a 150, o B e C continuam. Na terceira linha, 185 menos C. 150 mais B corresponde a 185 e o C continua. A terceira linha corresponde a quarta, onde está o 170.

b) Esquema. Na primeira linha, 600, mais D, menos 200, mais 75. Na segunda linha, 900, menos E, mais F. 600 mais D corresponde a 900, o E e F continuam. Na terceira linha, G mais F. 900 menos E corresponde a G e o F continua. A terceira linha corresponde a quarta, onde está o 775.

23. Resolva no caderno as expressões numéricas a seguir.

Atenção!

Nas expressões numéricas com parênteses, efetuamos primeiro os cálculos que estão entre eles.

a) 211 + ( 11 8 ) 4

b) 1 . 543 486 + 127 68 2

c) ( 267 + 385 ) 528 + 15 2

d) 1 . 936 ( 2 . 857 1 . 736 ) + 37 4

24. Na escola em que Silas estuda, os 115 estudantes matriculados no 6º ano estão distribuídos em 4 turmas e o quadro a seguir apresenta a quantidade de estudantes de 3 dessas turmas.

Quantidade de estudantes nas turmas de 6º ano de uma escola

6º ano

A

B

C

D

Quantidade de estudantes

25

29

32

Escreva e resolva uma expressão numérica que possibilita determinar a quantidade de estudantes do 6º ano B.

25. Junte-se a um colega e escrevam no caderno uma expressão numérica para o problema a seguir. Depois, resolvam-na.

Mário registrou o número 725 em uma calculadora e subtraiu 456 dele. Por fim, adicionou 356 ao resultado obtido. Qual número Mário visualizou na calculadora ao final das operações?

26. Ícone desafio. Considere os seguintes números.

  • 45

  • 20

  • 85

  • 50

Junte-se a um colega e copiem no caderno a expressão numérica a seguir, substituindo cada pelos números dessas fichas, de maneira que o resultado seja verdadeiro.

( ) + = 11 0

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Operações inversas: adição e subtração

Tiago tinha certa quantidade de selos em sua coleção. Ele ganhou 32 selos de sua tia e ficou com 78. Quantos selos Tiago tinha inicialmente em sua coleção?

Vamos resolver este problema! Para isso, representamos a quantidade de selos que Tiago tinha pore construímos um esquema.

Esquema. Há uma lacuna quadrada para resposta a esquerda, no qual sai uma seta que indica mais 32 e aponta para o número 78. Outra seta sai desse número, indica menos 32 e aponta para a lacuna para resposta.

Subtraindo 32 de 78 obtemos o valor de.

78 32 = 4 6

ou

Algoritmo da subtração, de 78 menos 32 que resulta em 46.

Logo, Tiago tinha inicialmente 46 selos em sua coleção.

Podemos perceber que ao adicionarmos 32 a 46 obtemos 78 e ao subtrair 32 de 78 obtemos 46, ou seja, a quantidade de selos que Tiago tinha inicialmente.

46 + 32 = 7 8 , ou seja, 78 32 = 4 6

Isso é possível porque a adição e a subtração são operações inversas.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

27. De maneira semelhante à resolução do problema de Tiago, construa no caderno um esquema para resolver o problema a seguir.

Nair comprou um par de sapatos por R$ 94,00 e ainda ficou com R$ 345,00. Quantos reais Nair tinha antes dessa compra?

28. Copie os esquemas no caderno e complete-os, substituindo cada ou pelo número adequado.

A. Esquema. Há uma lacuna quadrada para resposta a direita, no qual sai uma seta que indica menos 18 e aponta para o número 217. Outra seta sai desse número, indica mais 18 e aponta para a lacuna para resposta.
B. Esquema. Há uma lacuna, no formato de losango, para resposta a direita, no qual sai uma seta que indica a operação menos lacuna  quadrada para resposta e aponta para o número 93. Outra seta sai desse número, indica mais 29 e aponta para a lacuna para resposta, losango.
C. Esquema. Há uma lacuna quadrada para resposta a esquerda, no qual sai uma seta que indica mais 35 e aponta para o número 183. Outra seta sai desse número, indica menos 35 e aponta para a lacuna para resposta.
D. Esquema. Há uma lacuna para resposta, no formato de losango, a direita, no qual sai uma seta que indica menos 21 e aponta para o número 107. Outra seta sai desse número, indica a operação mais lacuna para resposta no formato de quadrado, e aponta para a lacuna para resposta losango.

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29. Determine nos esquemas o número que substitui cada adequadamente.

A. Esquema. Há a igualdade 257, mais 148, igual a lacuna para resposta. Essa igualdade leva a duas outras: lacuna para resposta, menos 148, igual a 257 e lacuna para resposta, menos 257, igual a 148.
B. Esquema. Há a igualdade 453, mais 329, igual a lacuna para resposta. Essa igualdade leva a duas outras: lacuna para resposta, menos 329, igual a 453 e lacuna para resposta, menos 453, igual a 329.

30. O município de Bonito, no Mato Grosso do Sul, foi fundado em meados do século passado, em 1948. Em razão da beleza e da quantidade de pontos turísticos, Bonito é considerado um dos principais destinos de ecoturismo e turismo de aventura do Brasil.

Fotografia de uma gruta com sua água com vários tons de azul refletidos.
Gruta do Lago Azul, em Bonito, MS, em 2019.

a) De acordo com o Censo de 2010 do IBGE, o município de Bonito tinha 19.587 habitantes, entre os quais 9.878 eram homens. Qual era a quantidade de mulheres em Bonito nesse ano?

b) Em sua opinião, quais são as possíveis ações para ajudar na preservação ambiental de pontos turísticos, como o município de Bonito?

31. Resolva os problemas a seguir.

a) Agnaldo é 27 anos mais novo do que seu pai. Sabendo que seu pai tem 56 anos, qual é a idade de Agnaldo?

b) Do total de figurinhas que tinha, Rubens deu 48 para seu irmão e ficou com 237. Quantas figurinhas Rubens tinha inicialmente?

32. Efetue os cálculos e responda.

A. Fotografia de busto de uma menina. Ela está dizendo: Pensei em um número, subtraí 57 unidades e obtive 143 como resultado. Em que número pensei?
Aline.
B. Fotografia de um menino  dizendo: Subtraí 85 unidades de um número e obtive 381 como resultado. Qual é esse número?
Mário.
C. Fotografia de uma menina dizendo: Adicionei 242 unidades a um número e obtive 489 como resultado. Qual é esse número?
Lara.

33. Em seu caderno, elabore um problema envolvendo cálculos com operações inversas. Depois, peça a um colega que o resolva. Ao final, verifique se ele resolveu corretamente.

Página 43

Multiplicação

O coração é o órgão responsável pelo bombeamento do sangue no corpo humano. Os primeiros batimentos do coração iniciam quando ainda somos fetos no útero da mãe, por volta da 4ª semana de gestação, e esse órgão continua a bater por toda nossa vida.

Imagens não proporcionais entre si. Cores-fantasia.

Ilustração do tronco de um corpo humano aberto, com vasos sanguíneos e coração. Há a letra A relacionada ao lado esquerdo do coração, letra B relacionada ao vaso representado pela cor azul e letra C relacionada ao vaso representado pela cor vermelha.

A. Ventrículo esquerdo

Possui a pressão sanguínea mais alta dentro do coração, pois é responsável pelo bombeamento do sangue arterial para todo o corpo.

B. Veia cava inferior

É a maior veia, cuja função é coletar sangue desoxigenado da parte inferior do corpo.

C. Artéria aorta

É a maior artéria, cuja função é levar sangue oxigenado para o corpo.

Atenção!

A frequência cardíaca de um adulto em repouso é aproximadamente 70 batimentos por minuto.

Em um intervalo de 15 minutos, aproximadamente quantas vezes bate o coração de um adulto em repouso?

Podemos responder a esta pergunta pelo resultado de uma adição de parcelas iguais.

Esquema com a seguinte igualdade: 70, mais 70, mais 70, mais 70, mais 70, mais 70, mais 70, mais 70, mais 70, mais 70, mais 70, mais 70, mais 70, mais 70, mais 70, igual a 1050.Está indicado que o número 70 se repete 15 vezes. .

Essa adição tem 15 parcelas iguais a 70. Podemos indicá-la pela seguinte multiplicação.

Igualdade. 15 vezes 70, igual a 1050.

ou

Algoritmo da multiplicação, de 70 vezes 15 que resulta em 350 mais 700 igual a 1050. O 70 e 15 são os fatores, enquanto o 1050 é o produto.

Logo, o coração de um adulto em repouso bate aproximadamente 1.050 vezes em 15 minutos.

Página 44

Atividades

Faça as atividades no caderno.

34. De acordo com a informação da página anterior, efetue uma multiplicação para calcular a quantidade aproximada de vezes que o coração de uma pessoa adulta em repouso bate em:

a) 9 minutos;

b) 41 minutos;

c) 10 minutos;

d) 22 minutos.

35. Copie as expressões numéricas no caderno e complete-as substituindo cada pelo número adequado.

a) 412 + 412 + 412 = 3 =

b) 78 + 78 + + = 4 =

c) 101 + + + + = =

36. Efetue os seguintes cálculos.

a) 7 18 4

b) 5 21 9

c) 2 97 3

d) 6 508

37. Copie os algoritmos no caderno e substitua cada uma das letras pelo algarismo adequado.

A. Algoritmo da multiplicação, de 2 A 7, vezes B 2 que resulta em C 9 4 mais 12350 igual a 1 2 D E 4.
B. Algoritmo da multiplicação, de F 2 4, vezes 3 G que resulta em 1344 mais 6 7 H igual a I J K 4.

38. Ter uma alimentação saudável contribui para fortalecer o coração e combater tanto o colesterol ruim quanto algumas doenças, como câncer e diabetes. Para incentivar os funcionários de uma empresa a adquirir bons hábitos alimentares, a diretoria da empresa decidiu servir, no horário do almoço, 2 frutas a cada um de seus 62 funcionários.

a) Diariamente, quantas frutas serão servidas aos funcionários dessa empresa?

b) Quantas frutas essa empresa vai servir a seus funcionários no horário do almoço durante 12 dias? E durante 20 dias?

39. Em certo momento de um campeonato de futebol, o time de Gustavo fez o triplo dos pontos do time de Pedro. Considerando que os dois times juntos fizeram 32 pontos, qual foi a pontuação de cada um nesse momento?

40. Em seu caderno, elabore um problema que envolva uma multiplicação. Em seguida, entregue-o a um colega para que ele o resolva. Depois, confira se ele solucionou corretamente.

Página 45

41. O hotel JW Marriott Marquis, situado nos Emirados Árabes Unidos, é um dos mais altos do mundo. É composto de duas torres gêmeas e tem 72 andares e 1.608 quartos. Sua altura mede o equivalente a nove vezes a medida da altura do Cristo Redentor.

Ilustração de dois prédios, lado a lado, mais altos que os outros de sua paisagem e, ao lado, uma montagem com 9 estátuas do Cristo Redentor, uma em cima da outra, ficando da mesma altura dos prédios. Está indicado que cada estátua equivale a 38 metros.
Hotel JW Marriott Marquis, nos Emirados Árabes Unidos, em 2020.

De acordo com a imagem, qual é a medida da altura aproximada desse hotel?

42. Junte-se a um colega para efetuarem os cálculos a seguir da maneira que preferirem.

a) 34 1 . 001

b) 72 1 . 001

c) 44 1 . 001

O que vocês podem concluir em relação aos resultados dos cálculos?

43. Considerando o que foi concluído na atividade anterior, determinem o resultado dos cálculos a seguir sem efetuá-los por escrito.

a) 25 1 . 001

b) 68 1 . 001

c) 39 1 . 001

d) 51 1 . 001

e) 83 1 . 001

f) 94 1 . 001

44. Ícone uso de instrumentos Com uma calculadora, obtenha os resultados das seguintes multiplicações.

Atenção!

Para efetuar multiplicações em uma calculadora, repita os procedimentos da seção Instrumentos e softwares da página 32, porém utilizando a tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de multiplicação. em vez da tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de adição..

a) 86 98 1

b) 300 60 0

c) 580 96 4

d) 402 321

45. Para obter o resultado aproximado de 68 8 1 e 124 6 9 , podemos arredondar os fatores à dezena mais próxima.

Esquema com a multiplicação 68 vezes 81 e a igualdade 70 vezes 80, igual a 5600 abaixo. Do 68 há uma linha relacionando ao 70, do 81 relacionando 80.
Esquema com a multiplicação 124 vezes 69 e a igualdade 120 vezes 70, igual a 8400 abaixo. Do 124 há uma linha relacionando ao 120, do 69 relacionando 70.

De maneira semelhante, obtenha o resultado aproximado dos cálculos a seguir. Depois, efetue os cálculos exatos para conferir se os resultados realmente eram próximos deles.

a) 51 10 3

b) 139 19 7

c) 77 30 2

d) 34 15 1

e) 182 4 1

f) 219 40 1

Atenção!

Confira os cálculos usando uma calculadora.

Página 46

Propriedades da multiplicação

Agora, vamos estudar as propriedades da multiplicação, as quais nos auxiliarão em alguns cálculos.

Propriedade comutativa

Júlia pintou alguns quadradinhos na malha quadriculada representada a seguir.

Quantos quadradinhos Júlia pintou ao todo?

Ilustração de uma malha quadriculada com vários quadradinhos pintados, formando um retângulo, de 15 quadradinhos de comprimento e 11 de largura.

Podemos calcular a quantidade de quadradinhos de duas maneiras diferentes.

Multiplicando a quantidade de linhas pela quantidade de quadradinhos em cada uma delas.

Algoritmo da multiplicação, de 15 vezes 11 que resulta em 15 mais 150 igual a 165.

Multiplicando a quantidade de colunas pela quantidade de quadradinhos em cada uma delas.

Algoritmo da multiplicação, de 11 vezes 15 que resulta em 55 mais 110 igual a 165.

Logo, Júlia pintou 165 quadradinhos.

Como a multiplicação tem a propriedade comutativa, ao mudar a ordem dos fatores, o resultado não se altera.

Em uma multiplicação, ao mudar a ordem dos fatores, o resultado não se altera. Essa é a propriedade comutativa da multiplicação.

Propriedade do elemento neutro

Fernanda efetuou as seguintes multiplicações.

  • 80 1 = 8 0

  • 1 186 = 18 6

  • 1 1 . 250 = 1 . 250

  • 6 . 893 1 = 6 . 893

Ela percebeu que em todas as multiplicações um dos fatores era igual a 1.

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Como a multiplicação tem a propriedade do elemento neutro, se um dos fatores é igual a 1, o produto é igual ao outro fator.

Ao multiplicar um número por 1, o resultado é igual ao próprio número. Por isso, dizemos que o 1 é o elemento neutro da multiplicação.

Propriedade associativa

Marcos trabalha em uma sapataria e empilhou algumas caixas de sapato, conforme apresentado a seguir.

Ilustração de caixas de sapatos empilhadas. Na pilha há 5 caixas de largura, 10 de comprimento e 6 caixas de altura.

Para saber a quantidade de caixas de sapatos dessa pilha, sem contá-las uma a uma, podemos efetuar um dos três cálculos apresentados a seguir.

Esquema. Na primeira linha, 5 vezes 6 vezes 10. Na segunda linha, 30 vezes 10. 5 vezes 6 corresponde a 30, o 10 continua. A segunda linha corresponde a terceira, onde está o 300.
Esquema. Na primeira linha, 5 vezes 6 vezes 10. Na segunda linha, 5 vezes 60. 6 vezes 10 corresponde a 60, o 5 continua. A segunda linha corresponde a terceira, onde está o 300.
Esquema. Na primeira linha, 5 vezes 6 vezes 10. Na segunda linha, 50 vezes 6. 5 vezes 10 corresponde a 50, o 6 continua. A segunda linha corresponde a terceira, onde está o 300.

Como a multiplicação tem a propriedade associativa, ao associar os fatores de maneiras diferentes, o produto permanece o mesmo.

Em uma multiplicação de três ou mais fatores, ao associá-los de maneiras diferentes, o resultado permanece o mesmo. Essa é a propriedade associativa da multiplicação.

Propriedade distributiva

Murilo preparou uma festa de aniversário para seu filho. Para isso, ele comprou 15 embalagens com 6 latas de suco de uva em cada uma e 13 embalagens com 6 latas de suco de laranja em cada uma.

Ilustração de duas embalagens, uma com 6 latas de suco de uva e a outra com 6 latas de suco de laranja.

Podemos calcular de duas maneiras diferentes a quantidade de latas de suco que Murilo comprou ao todo.

Esquema com a igualdade, abre parênteses, 6 vezes 15, fecha parênteses, mais, abre parênteses, 6 vezes 13, fecha parênteses, igual a 90, mais 78, igual a 168. 6 vezes 15 corresponde a 'quantidade de latas de suco de uva', 6 vezes 13 corresponde a 'quantidade de latas de suco de laranja' e o 168 corresponde ao total de latas de suco.
Esquema com a igualdade 6 vezes, abre parênteses, 15 mais 13, igual a 6 vezes 28, igual a 168. O 6 corresponde a 'quantidade de latas de suco em cada embalagem', enquanto o 15 mais 13 corresponde a 'quantidade de embalagens de suco de cada sabor' e o 168 corresponde ao total de latas de suco.

Portanto, Murilo comprou 168 latas de suco ao todo.

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Para multiplicar um número natural por uma adição (ou subtração) com dois ou mais termos, podemos multiplicar esse número pelos termos da adição (ou da subtração) e adicionar (ou subtrair) os resultados obtidos. Exemplos:

a) Esquema com as equações 7 vezes, abre parênteses, 15 mais 10 mais 18, fecha parênteses, igual a 7 vezes 15, mais 7 vezes 10, mais 7 vezes 18, igual a 105, mais 70, mais 126, igual a 301. Do 7 há 3 setas que apontam para o 15, 10 e 18.
b) Esquema com as equações 9 vezes, abre parênteses, 30 menos 12, fecha parênteses, igual a 9 vezes 30, menos 9 vezes 12, igual a 270, menos 108, igual a 162. Do 9 há duas setas apontando para o 30 e 12.

Essa é a propriedade distributiva da multiplicação.

Questão 4. Sabendo que Murilo pagou R$ 18,00 em cada embalagem, quantos reais ele gastou na compra dos sucos? Responda a esta pergunta efetuando os cálculos no caderno de duas maneiras diferentes.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

46. Efetue os seguintes cálculos associando os fatores da maneira que preferir.

a) 6 7 3 0

b) 4 12 1 5

c) 4 7 1 3

d) 14 7 1 0

e) 18 10 6

f) 16 2 3 1

47. Usando duas multiplicações diferentes, calcule quantos quadradinhos foram pintados de amarelo na malha quadriculada a seguir.

Ilustração de uma malha quadriculada, com alguns quadradinhos pintados, formando um retângulo de 10 quadradinhos de comprimento e 6 de largura.

48. Para calcular mentalmente o valor de 4 7 2 5 , Estela escolheu a associação de dois dos fatores que resultavam em um número terminado em zero.

Esquema. Na primeira linha, 4 vezes 7 vezes 25. Na segunda linha, 100 vezes 7. 4 vezes 25 corresponde a 100, o 7 continua. A segunda linha corresponde a terceira, onde está o 700.

De maneira parecida, efetue mentalmente os seguintes cálculos.

a) 11 4 2 5

b) 2 13 5 0

c) 5 8 2 0

d) 8 10 5 0

e) 50 9 6

f) 60 18 5

Página 49

49. O quadro apresenta as diferentes opções de planos de internet e de quantidades de minutos para ligações que uma empresa de telefonia oferece.

Opções de planos de internet de uma empresa

Medida da velocidade de internet (em MB)

Quantidade de minutos para ligações

1.500

2.000

4.500

7.000

10

1 . 500   min / 10   MB

2 . 000   min / 10   MB

4 . 500   min / 10   MB

7 . 000   min / 10   MB

100

1 . 500   min / 100   MB

2 . 000   min / 100   MB

4 . 500   min / 100   MB

7 . 000   min / 100   MB

200

1 . 500   min / 200   MB

2 . 000   min / 200   MB

4 . 500   min / 200   MB

7 . 000   min / 200   MB

a) Com 3 tipos de planos de internet e 4 de telefone, temos as possibilidades indicadas no quadro. Copie no caderno a multiplicação a seguir substituindo o pelo número adequado, de modo que represente o total de possibilidades indicadas.

3 =

b) Suponha que essa empresa passe a oferecer 4 planos de internet e 5 de telefone. Nesse caso, quantas possibilidades uma pessoa teria ao escolher 1 plano de internet e 1 de telefone?

50. Certa loja expôs em sua vitrine as seguintes roupas.

Ilustração de uma vitrine com roupas expostas. Há 5 camisetas diferentes, estilizadas com uma cor maior em maior destaque. Uma é rosa, outra é amarela, outra é azul; outra é roxa e a última é verde.  Há 3 shorts diferentes: um é amarelo com roxo, outro é azul, e o outro é vermelho com amarelo. E há 2 bonés diferentes, um é verde com amarelo, e o outro é roxo com vermelho.

Se uma pessoa deseja comprar dessa vitrine 1 camiseta, 1 bermuda e 1 boné, quantas possibilidades diferentes de compra ela teria?

Atenção!

Ao efetuar os cálculos, considere a quantidade de cada tipo de peça de roupa.

51. Copie os itens no caderno e substitua cada pelo número adequado.

a) 6 ( 11 + 3 ) = ( 6 ) + ( 6 ) = + =

b) 8 ( + 14 ) = ( 8 26 ) + ( ) = + =

c) ( 20 + ) = ( 9 ) + ( 30 ) = + =

52. Uma fábrica utiliza 26 parafusos na montagem de uma bicicleta. Diariamente são montadas 53 bicicletas nessa fábrica.

a) Qual é a quantidade de parafusos utilizada diariamente na montagem de bicicletas?

b) Quantos parafusos a mais serão utilizados caso sejam produzidas diariamente 76 bicicletas?

Página 50

Expressões numéricas com multiplicação

Em certo teatro, as cadeiras estão dispostas como mostra a imagem a seguir.

Ilustração de uma sala de teatro vista de cima, com 21 fileiras de cadeira em seu comprimento, por 15 fileiras de cadeira de largura.

Nele foi apresentada uma peça teatral cujo ingresso custava R$ 34,00. Na 1ª apresentação foram vendidos 25 ingressos a menos do que a lotação máxima do teatro.

Quantos reais foram arrecadados nessa apresentação?

Podemos responder a esta pergunta resolvendo a seguinte expressão numérica.

Esquema com a expressão, abre parênteses, 15 vezes 21, menos 25, fecha parênteses, vezes 34. Está indicado que a expressão é a 'arrecadação com a venda dos ingressos', a multiplicação de 15 vezes 21 corresponde a 'lotação máxima do teatro' e 15 vezes 21 menos 25 é o 'total de ingressos vendidos'.
Esquema. Na primeira linha, abre parênteses, 15 vezes 21 menos 25, fecha parênteses, vezes 34. Na segunda linha, abre parênteses, 315 menos 25, fecha parênteses, vezes 34. 15 vezes 21 corresponde a 315, o resto continua igual. Na terceira linha, 290 vezes 34, 315 menos 25 corresponde a 290. A terceira linha corresponde a quarta, onde está o 9860.

Atenção!

Essa expressão numérica envolve as operações de subtração e multiplicação. Em expressões desse tipo, efetuamos primeiro as multiplicações e, em seguida, as adições e as subtrações, na ordem em que aparecem. Se houver parênteses, as operações que estão dentro deles devem ser realizadas primeiro.

Logo, foram arrecadados R$ 9.860,00 na 1ª apresentação da peça.

Questão 5. Em outra apresentação foram vendidos todos os ingressos, dos quais 35 estavam em promoção a R$ 20,00 cada um deles. Quantos reais foram arrecadados dessa vez? Para responder a esta pergunta, escreva no caderno uma expressão numérica e resolva-a.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

53. Obtenha os resultados das seguintes expressões numéricas.

a) 2 4 5

b) 6 1 + 2 4

c) 10 + 7 2 1 5

d) 3 + 5 ( 1 + 2 )

e) 2 + 30 5 ( 8 3 )

f) 12 5 3 ( 1 + 7 )

54. Fernando comprou 3 camisetas, 2 bermudas e 1 boné.

Sabendo que ele pagou R$ 33,00 em cada bermuda, R$ 28,00 em cada camiseta e R$ 19,00 no boné, escreva no caderno uma expressão numérica que represente a quantia gasta por Fernando nessa compra. Quantos reais ele gastou?

55. Copie no caderno os itens a seguir, substituindo cada por + , ou .

a) 8 3 5 = 1 9

b) 9 2 7 = 1 1

c) 2 10 = 2 6

d) 35 3 7 = 7 7

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Divisão

A reciclagem de materiais é uma atividade que gera muitos benefícios à sociedade. Uma das principais vantagens em reciclar metais, por exemplo, é a economia de energia.

Um dos metais recicláveis mais comuns é o alumínio, facilmente encontrado em latas de bebidas. Sabendo que é possível obter 1   kg de alumínio reciclado com cerca de 75 latas, aproximadamente quantos quilogramas desse metal é possível obter com 1.695 latas?

Fotografia de fardos empilhados, com latas de alumínio prensadas.
Latas de alumínio prensadas.

Podemos responder a esta pergunta dividindo 1.695 (quantidade total de latas) por 75 (quantidade de latas para obter 1   kg de alumínio reciclado).

Algoritmo da divisão de 1695, dividido por 75, resultando em 22, com resto 45. Abaixo do número 1695, há uma subtração, em que há o sinal de menos com o algarismo 0 posicionado abaixo do 9, o algarismo 5 posicionado abaixo do 6 e o algarismo 1 abaixo do algarismo 1, resultando em 19. Ao lado do 9, o algarismo 5 do número 1695 se repete e há outra subtração, agora de 195 menos 150, resultando no resto 45. Há a informação de que o 1695 é o dividendo, representado pelo d maiúsculo, o 75 é o divisor, representado pelo d minúsculo, 22 é o quociente, representado pelo q minúsculo e 45 é o resto, representado pelo r minúsculo.

Portanto, com 1.695 latas é possível obter aproximadamente 22   kg de alumínio reciclado.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

56. De acordo com os dados do texto anterior, calcule aproximadamente quantos quilogramas de alumínio reciclado é possível obter com:

a) 1.580 latas;

b) 2.045 latas;

c) 3.119 latas;

d) 5.346 latas;

e) 6.902 latas;

f) 8.555 latas;

g) 11.412 latas;

h) 15.003 latas.

57. Com uma calculadora, efetue as divisões a seguir.

a) 1 . 107 : 9

b) 2 . 160 : 1 2

c) 5 . 000 : 8

d) 7 . 290 : 1 5

Atenção!

Para efetuar divisões em uma calculadora, repita os procedimentos da seção Instrumentos e softwares da página 32, porém utilizando a tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de divisão. em vez da tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de adição..

Página 52

58. Responda às questões.

a) Em uma divisão, o quociente é 53, o divisor é 64 e o resto é 23. Qual é o dividendo?

b) Em uma divisão, o dividendo é 242 e o divisor é a metade do dividendo. Qual é o quociente?

59. Na divisão a seguir, o resto é zero. Com números naturais, quando isso ocorre, temos uma divisão exata.

Algoritmo da divisão de 350, dividido por 70, resultando em 5, com resto zero. Abaixo do número 350, há uma subtração, de menos 350, resultando em 0.

Escreva no caderno duas divisões exatas com números naturais em que:

a) o dividendo tenha três algarismos e o divisor, dois algarismos;

b) o dividendo esteja entre 1.000 e 1.500 e o divisor seja um número par.

60. Eliane é dona de um quiosque que vende sanduíches naturais. A tabela a seguir apresenta a quantidade de sanduíches que ela vendeu em 5 dias de uma semana em 2023.

Sanduíches naturais vendidos por Eliane — 11/09/2023 a 15/09/2023

Dia da semana

Quantidade de sanduíches

Segunda-feira

39

Terça-feira

41

Quarta-feira

35

Quinta-feira

42

Sexta-feira

58

Fonte de pesquisa: anotações de Eliane.

a) Para calcular quantos sanduíches naturais Eliane vendeu em média por dia, da segunda à sexta-feira dessa semana, precisamos calcular a média aritmética da quantidade total vendida. Para isso, adicionamos as quantidades diárias que foram vendidas e dividimos o resultado pela quantidade de dias.

Determine o número correspondente a cada letra no esquema a seguir.

Esquema. Na primeira linha, abre parênteses, 39 mais 41 mais 35 mais 42 mais 58, fecha parênteses, dividido por 5. Na segunda linha, C dividido por D, igual a E. 39 mais 41 mais 35 mais 42 mais 58, corresponde a C, 5 corresponde a D.

Atenção!

Eliane vendeu E sanduíches em média por dia.

b) No sábado, Eliane vendeu 30 sanduíches naturais a mais do que a média desde a segunda à sexta-feira. Quantos sanduíches Eliane vendeu no sábado?

c) Qual foi a média de sanduíches vendidos diariamente desde a segunda-feira até o sábado dessa semana?

61. Jandira comprou 28   m de fita e usou a metade para confeccionar alguns laços. O restante foi usado para enfeitar 7 caixas de presente.

a) Com quantos metros de fita Jandira confeccionou os laços?

b) Sabendo que Jandira enfeitou cada caixa de presente com a mesma medida de comprimento de fita, quantos metros foram usados em cada uma?

Página 53

62. Em cada item a seguir, somente um número natural substitui o corretamente. Efetue os cálculos mentalmente e copie no caderno os respectivos números.

a) Uma máquina produz 8.200 peças em 2 horas. Portanto, nesse ritmo ela produz peças em 1 hora.

  • 3.600

  • 4.200

  • 4.100

  • 3.500

b) Uma escola comprou 3 computadores iguais por R$ 9.900,00. O preço de cada computador foi .

  • R$ 3.300,00

  • R$ 2.600,00

  • R$ 2.100,00

  • R$ 2.200,00

63. Adriane e Diego viajaram para conhecer o Marco Zero do Equador, construído exatamente onde passa a linha imaginária do Equador, dividindo o planeta em dois hemisférios, e onde há outras atrações turísticas de Macapá, no estado do Amapá.

Fotografia de uma paisagem com uma rampa a frente e, atrás, uma estrutura alta, parecida com uma torre e com uma abertura circular perto de seu topo.
Marco Zero do Equador, em Macapá (AP), em 2015.

O quadro apresenta a quantia que eles gastaram com alimentação nos cinco primeiros dias.

Gastos de Adriane e Diego com alimentação em 5 dias de uma viagem

Dia

Quarta-feira

Quinta-feira

Sexta-feira

Sábado

Domingo

Quantia gasta (R$)

85,00

97,00

107,00

131,00

80,00

a) Nesse período, quantos reais, em média, os dois gastaram diariamente com alimentação?

b) Sabendo que eles têm R$ 270,00 para os gastos com alimentação dos próximos três dias de viagem, e que pretendem gastar a mesma quantia diária, quanto eles podem gastar por dia?

64. Em uma loja, André comprou uma camiseta por R$ 63,00, uma calça por R$ 120,00 e uma bermuda por R$ 87,00, parcelando o total dessa compra em 3 vezes iguais.

Utilizando o fluxograma a seguir, ele determinou o valor de cada parcela dessa compra.

Fluxograma com as seguintes informações: 'Início', dentro de uma forma oval. Seta aponta para: 'Adicione os preços de cada item comprado.', dentro de um retângulo. Seta aponta para: 'Divida o resultado obtido por 3.', dentro de um retângulo. Seta aponta para: 'Fim', dentro de uma forma oval.

a) Qual é o valor de cada prestação dessa compra?

b) Construa um fluxograma para determinar o valor de cada prestação caso André dividisse a compra em 5 parcelas iguais.

Página 54

Operações inversas: multiplicação e divisão

Juliana tem certa quantidade de fotos e vai distribuí-las igualmente em 4 álbuns, colando 38 fotos em cada um deles.

Quantas fotos Juliana tem?

Para resolver esse problema podemos representar a quantidade de fotos que Juliana tem por e construir o esquema a seguir.

Esquema. Há uma lacuna para resposta a esquerda, no qual sai uma seta que indica dividido por 4 e aponta para o número 38. Outra seta sai desse número, indica vezes 4 e aponta para a lacuna para resposta.

Então, para saber a quantidade de fotos que Juliana tem multiplicamos 38 por 4 e obtemos a resposta.

38 4 = 15 2

ou

Algoritmo da multiplicação, de 38 vezes 4, resultando em 152.

Podemos concluir que, ao multiplicar 38 por 4, obtemos 152 e que, ao dividir 152 por 4, obtemos 38, que se refere à quantidade de fotos em cada álbum.

152 : 4 = 3 8 e 38 4 = 15 2

Isso é possível porque a multiplicação e a divisão são operações inversas.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

65. Determine nos esquemas o número que substitui cada ou adequadamente.

A. Esquema. Há uma lacuna quadrada para resposta a direita, no qual sai uma seta que indica dividido por 3 e aponta para o número 320. Outra seta sai desse número, indica vezes 3 e aponta para a lacuna para resposta.
B. Esquema. Há uma lacuna quadrada para resposta a esquerda, no qual sai uma seta que indica vezes 5 e aponta para o número 130. Outra seta sai desse número, indica dividido por 5 e aponta para a lacuna para resposta.
C. Esquema. Há uma lacuna, no formato de losango, para resposta a direita, no qual sai uma seta que indica a operação dividido por lacuna quadrada para resposta, e aponta para o número 137. Outra seta sai desse número, indica vezes 4 e aponta para a lacuna para resposta, losango.

66. Determine nos esquemas o número que substitui cada adequadamente.

A. Esquema. Há a igualdade 5, vezes 125, igual a lacuna para resposta. Essa igualdade leva a duas outras: lacuna para resposta, dividido por 5, igual a 125 e lacuna para resposta, dividido por 125, igual a 5.
B. Esquema. Há a igualdade 24, vezes 32, igual a lacuna para resposta. Essa igualdade leva a duas outras: lacuna para resposta, dividido por 24, igual a 32 e lacuna para resposta, dividido por 32, igual a 24.

67. Resolva os seguintes problemas.

a) Pensei em um número e o dividi por 8, obtendo 64 como resultado. Em que número pensei?

b) O produto de um número por 23 é igual a 1.104. Qual é esse número?

Página 55

Expressões numéricas com divisão

Jamil e Lurdes foram a uma loja comprar móveis e se depararam com os seguintes preços.

Imagens não proporcionais entre si.

Fotografia de uma cama de solteiro, de madeira, com seu colchão.
Cama de solteiro.

R$ 360,00

Fotografia de uma cadeira de madeira.
Cadeira.

R$ 72,00

Fotografia de uma mesa de madeira.
Mesa.

R$ 380,00

Fotografia de uma poltrona azul.
Poltrona.

R$ 426,00

Fotografia de um sofá de 3 lugares, cinza, com almofadas cinzas e amarelas.
Sofá de 3 lugares.

R$ 974,00

Jamil comprou 1 cama, 6 cadeiras e 1 mesa. Sabendo que ele vai pagar a compra em 4 parcelas iguais, sem juro, qual será o valor de cada prestação?

Podemos responder a esta pergunta usando uma expressão numérica.

Questão 6. Efetue os cálculos necessários no caderno e determine o número que substitui cada letra corretamente.

Esquema. Na primeira linha, abre parênteses, 360, mais 6, vezes 72, mais 380, fecha parênteses, dividido por 4. Na segunda linha, abre parênteses, A, mais B, mais C, fecha parênteses, dividido por D. 6 vezes 72 corresponde a B; 360 corresponde a A; 380 corresponde a C; e 4 corresponde a D. Na terceira linha, E dividido por D. A, mais B, mais C, corresponde a E e o D continua. A terceira linha corresponde a quarta, onde está o F.

Atenção!

Em expressões desse tipo, efetuamos primeiro as multiplicações e as divisões na ordem em que aparecem e, depois, as adições e as subtrações, também na ordem em que aparecem. Se houver parênteses, as operações que estão dentro deles devem ser realizadas primeiro.

De acordo com os cálculos que você efetuou, qual é o valor de cada prestação?

Questão 7. Lurdes comprou 1 sofá, 2 poltronas e 4 cadeiras. Para pagar a compra, ela deu uma entrada de R$ 499,00 e pagará o restante em 5 parcelas iguais, sem juro. Calcule no caderno quantos reais Lurdes vai pagar em cada prestação.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

68. Resolva as expressões numéricas.

a) 150 ( 7 4 + 246 : 6 )

b) 147 : ( 28 3 11 7 )

c) ( 23 + 488 : 4 ) : ( 741 : 3 242 )

69. Efetue os cálculos a seguir da maneira que preferir.

a) ( 203 + 302 ) : ( 3 + 2 )

b) ( 701 + 107 ) : ( 1 + 7 )

c) ( 402 + 204 ) : ( 2 + 4 )

d) ( 303 + 303 ) : ( 3 + 3 )

70. De acordo com os resultados obtidos na atividade anterior, determine o resultado dos cálculos sem efetuá-los por escrito ou em uma calculadora.

a) ( 502 + 205 ) : ( 2 + 5 )

b) ( 101 + 101 ) : ( 1 + 1 )

c) ( 109 + 901 ) : ( 9 + 1 )

d) ( 405 + 504 ) : ( 5 + 4 )

71. Efetue os cálculos da atividade anterior da maneira que preferir, depois confira se as respostas estão corretas.

Página 56

72. Jaqueline gastou R$ 87,00 na compra de 5 cadernos iguais e 1 mochila. Sabendo que a mochila custou R$ 52,00, copie no caderno, entre as expressões numéricas a seguir, aquela que permite calcular o preço de 1 caderno. Depois resolva a expressão que você copiou e obtenha o preço de cada caderno.

  • 87 52 : 5

  • ( 87 52 ) : 5

  • 87 5 + 5 2

  • 87 ( 52 : 5 )

73. Flávio fez uma viagem com três amigos e gastou R$ 376,00 com pedágio e combustível, R$ 55,00 com alimentação e R$ 63,00 com outras despesas. Sabendo que ele dividiu igualmente com seus amigos a despesa com pedágio e combustível, escreva uma expressão numérica e determine quantos reais Flávio gastou nessa viagem.

74. Ícone desafio. Copie no caderno os itens a seguir, substituindo cada por + , , ou : .

A. Esquema. Na primeira linha, 15, lacuna para resposta, 3, lacuna para resposta, 12, lacuna para resposta, 2. Na segunda linha, 5, lacuna para resposta, 6. 15, lacuna para resposta, 3,  corresponde a 5, 12, lacuna para resposta, 2, corresponde a 6. A segunda linha corresponde a terceira, onde está o 11.
B. Esquema. Na primeira linha, 32, lacuna para resposta, 12, lacuna para resposta, 3, lacuna para resposta, 4. Na segunda linha, 32, lacuna para resposta, 36, lacuna para resposta, 4. 12, lacuna para resposta 3,  corresponde a 36, o resto continua igual. Na terceira linha, 32 lacuna para resposta, 9. 36 lacuna para resposta 4 corresponde a 9. A terceira linha corresponde a quarta, onde está o 23.

75. Quando pensamos em divisão, imaginamos uma situação envolvendo a partilha de uma quantidade em partes iguais. Porém, há situações de partilha em partes desiguais. Vamos analisar e resolver o exemplo a seguir.

Para um show beneficente, Rafael e Ana venderam juntos 33 ingressos. Sabendo que Ana vendeu o dobro de ingressos de Rafael, quantos ingressos cada um deles vendeu?

Atenção!

Lembre-se: para calcular o dobro de uma quantidade, basta multiplicá-la por 2.

Resolução: Analisando essa situação, podemos afirmar que Rafael vendeu 1 parte do total de ingressos, enquanto Ana vendeu 2 partes. Dividindo o total de ingressos em 3 partes iguais, temos:

33 : 3 = 1 1

Portanto, Rafael vendeu 11 ingressos e Ana, 22, que corresponde a ( 2 11 ) .

Agora é com você! As atividades a seguir envolvem a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais. Junte-se a um colega e as resolvam.

a) Marcela e João economizaram dinheiro para comprar um presente a um familiar. Sabendo que ao todo eles economizaram R$ 180,00 e que Marcela economizou R$ 20,00 a mais que João, quantos reais cada um deles economizou?

b) Em um jogo de tabuleiro, Thaís e Gustavo fizeram 200 pontos ao todo. Sabendo que Gustavo fez o triplo da quantidade de pontos de Thaís, quantos pontos cada um deles fez nesse jogo?

76. Em seu caderno, elabore duas situações-problema envolvendo a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais: uma semelhante ao item a e outra semelhante ao item b da atividade anterior. Em seguida, dê essas situações para um colega resolver e, ao final, confira se ele as solucionou corretamente.

Página 57

Potências

A cada figura a seguir, a quantidade de quadradinhos dobra.

  • Figura 1

    Ilustração com dois quadradinhos, um acima do outro.

    2

  • Figura 2

    Ilustração com 4 quadradinhos, formando um quadrado.

    2 2 = 4

  • Figura 3

    Ilustração de um retângulo formado por 8 quadradinhos, 4 de comprimento e 2 de largura.

    2 4 = 8 ou

    2 2 2 = 8

  • Figura 4

    Ilustração de um retângulo formado por 16 quadradinhos, 8 de comprimento e 2 de largura.

    2 8 = 16 ou

    2 2 2 2 = 16

A partir da Figura 2, a quantidade de quadradinhos pode ser calculada por uma multiplicação de fatores iguais, os quais podem ser representados por uma potência. Exemplos:

Figura 2

2 fatores iguais

Esquema com as seguintes igualdades: 4 igual a 2 vezes 2, igual a 2 elevado a segunda potência. Está indicado que os fatores correspondem ao expoente 2.

Potência: 2 2

(lê-se: dois elevado à segunda potência)

Figura 3

3 fatores iguais

Esquema com as seguintes igualdades: 8 igual a 2 vezes 2 vezes 2, igual a 2 elevado a terceira potência. Está indicado que os fatores correspondem ao expoente 3.

Potência: 2 3

(lê-se: dois elevado à terceira potência)

Figura 4

4 fatores iguais

Esquema com as seguintes igualdades: 16 igual a 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2, igual a 2 elevado a quarta potência. Está indicado que os fatores correspondem ao expoente 4.

Potência: 2 4

(lê-se: dois elevado à quarta potência)

Atenção!

A potenciação é utilizada para representar uma multiplicação de fatores iguais, enquanto a multiplicação é usada para representar uma adição de parcelas iguais. Por exemplo:

Esquema com as igualdades: 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 igual a 2 elevado a quarta potência igual a 16. Está indicado que 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 corresponde a 4 fatores iguais.
Esquema com as igualdades: 2 mais 2 mais 2 mais 2 igual a 4 vezes 2 igual a 8. Está indicado que 2 mais 2 mais 2 mais 2 corresponde a 4 parcelas iguais.

Questão 8. Ícone atividade oral. Qual é a relação entre o número da figura e a quantidade de fatores iguais nas multiplicações anteriores?

Questão 9. Calcule no caderno a quantidade de quadradinhos da Figura 5 dessa sequência com uma multiplicação de fatores iguais. Depois escreva a potência correspondente.

A operação que calcula o valor de uma potência é a potenciação. Por exemplo:

  • 2 2 = 4

  • 2 3 = 8

  • 2 4 = 1 6

Página 58

Analise os nomes dos elementos de uma potenciação.

Esquema com a seguinte igualdade: 2 elevado a quarta potência igual a 16. Está indicado que 2 elevado a quarta potência é a potência, em que 2 é a 'base: é o fator que se repete na multiplicação' e o 4 é o 'expoente: indica quantas vezes o fator se repete na multiplicação'. Está indicado que o 16 é o resultado da potenciação.

Atenção!

As potências de expoente 2 e de expoente 3 também podem ser lidas de outra maneira.

3 2 : três elevado ao quadrado.

6 3 : seis elevado ao cubo.

Instrumentos e softwares

Cálculo de potenciação na calculadora

Para calcular 5 3 em uma calculadora, efetuamos uma multiplicação de fatores iguais, conforme as etapas apresentadas a seguir.

1º. Digite as teclas:

Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 5.
Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de multiplicação.
Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 5.
Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de multiplicação.
Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 5.
Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de igual.

O número exibido é o resultado de 5 3 .

Ilustração do visor de calculadora com o número 125 ponto.
Visor de uma calculadora apresentando o resultado de 5 5 5 .

Por outro lado, na maioria das calculadoras, a tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de igual. não serve apenas para exibir o resultado das operações, ela também repete a última operação a cada vez que é digitada. Utilizando esse recurso, vamos obter, por exemplo, potências do número 7.

1º. Digite as teclas Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 7. Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de multiplicação. Ilustração de uma tecla de calculadora com o número 7. Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de igual..

O número exibido é o resultado de 7 2 .

Ilustração do visor de calculadora com o número 49 ponto.
Visor de uma calculadora apresentando o resultado de 7 7 .

2º. Digite novamente a tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de igual..

O número exibido é o resultado de 7 3 .

Ilustração do visor de calculadora com o número 343 ponto.
Visor de uma calculadora apresentando o resultado de 49 7 .

Ao digitarmos mais vezes a tecla Ilustração de uma tecla de calculadora com o símbolo de igual., obtemos o resultado de 7 4 , 7 5 , 7 6 , ..., nessa ordem. Ou seja, para determinar a potência do número, essa tecla deve ser digitada uma vez a menos que o valor do expoente.

De modo geral, o procedimento para o cálculo pode ser diferente em algumas calculadoras, como a do aplicativo calculadora do smartphone.

Página 59

Atividades

Faça as atividades no caderno.

77. Ícone uso de instrumentos Calcule as potências a seguir em uma calculadora.

a) 2 8

b) 5 5

c) 3 6

d) 7 4

e) 1 2 4

f) 9 6

g) 1 5 3

h) 20 4

78. No caderno, escreva os produtos de fatores iguais com uma potência, como no exemplo a seguir. Depois calcule seu valor.

4 4 = 4 2 = 1 6

a) 8 8

b) 5 5 5

c) 6 6 6 6

d) 10 10 1 0

79. Determine a potência ou o produto de fatores iguais correspondente a cada letra.

Potências e produtos de fatores iguais

Base

Expoente

Potência

Produto de fatores iguais

3

2

3 2

3 3

5

7

A

B

7

5

C

D

28

4

E

F

12

3

G

H

80. No caderno, represente com uma potência a quantidade de quadradinhos de cada figura. Em seguida, calcule seu valor.

A. Ilustração de um quadrado formado por vários quadradinhos, com 2 quadradinhos de lado.
B. Ilustração de um quadrado formado por vários quadradinhos, com 5 quadradinhos de lado.
C. Ilustração de um quadrado formado por vários quadradinhos, com 3 quadradinhos de lado.
D. Ilustração de um quadrado formado por vários quadradinhos, com 4 quadradinhos de lado.
E. Ilustração de um quadrado formado por vários quadradinhos, com 6 quadradinhos de lado.

81. Analise como podemos determinar a quantidade de cubos da pilha.

Ilustração de uma pilha de cubos, em que a largura, comprimento e altura são compostos por 2 cubos.
Esquema com as seguintes igualdades: 2 vezes 2 vezes 2, igual a 8. Abaixo está  2 elevado a terceira potência, igual a 8. Está indicado que 2 vezes 2 vezes 2 corresponde a 2 elevado a terceira potência.

Utilizando uma potência, determine a quantidade de cubos em cada pilha a seguir.

A. Ilustração de uma pilha de cubos, em que a largura, comprimento e altura são compostos por 3 cubos.
B. Ilustração de uma pilha de cubos, em que a largura, comprimento e altura são compostos por 4 cubos.
C. Ilustração de uma pilha de cubos, em que largura, comprimento e altura são compostos por 5 cubos.

Página 60

82. As potências que você obteve nos itens A, B e C da atividade anterior formam uma sequência de potências de expoente 3. No caderno, escreva a próxima potência e calcule quantos cubos terá a pilha correspondente.

83. Gilberto joga em um time de voleibol e, para compor o uniforme, dispõe das seguintes opções.

Ilustração com diferentes peças de roupas. Há 4 camisetas estampadas, cada uma com uma cor diferente em maior destaque: azul, roxa, verde, e a última é laranja. Há 4 shorts coloridos, cada um com uma cor diferente em maior destaque: verde, laranja, roxo e o último é vermelho. E há 4 meias também em diferentes cores: uma é rosa com roxo, outra azul, outra verde com amarelo, e a última é roxa com verde.

Usando 1 camiseta, 1 bermuda e 1 par de meias, de quantas maneiras diferentes Gilberto pode compor o uniforme de seu time?

Atenção!

Resolva esse problema utilizando uma potência.

84. O esquema a seguir, chamado organograma, representa a hierarquia dos funcionários de uma empresa.

Esquema com a ilustração de algumas pessoas. Na primeira linha, a primeira ilustração com a denominação 'presidente'. Na segunda linha, 'gerente A' e 'gerente B', relacionados ao presidente. Na terceira linha, 'funcionário 1', 'funcionário 2', 'funcionário 3', 'funcionário 4'. Os dois primeiros funcionários então relacionados ao 'gerente A', enquanto os dois últimos, ao 'gerente B'.

a) De acordo com esse organograma, quantos funcionários são subordinados a cada gerente?

b) Se nessa empresa houver 2 assistentes subordinados a cada funcionário, quantos assistentes haverá ao todo? Resolva este problema utilizando uma potência.

85. Na escola em que Mariana estuda foi feita uma dinâmica, na qual Mariana escreveu 3 cartas e enviou para 3 estudantes da mesma escola. Em cada envelope ela escreveu a letra A. Os estudantes que receberam essas cartas escreveram, cada um deles, 3 cartas semelhantes, registraram a letra B nos envelopes e encaminharam essas correspondências para outros 3 estudantes.

Esse procedimento se repetiu com todos que receberam uma carta, de modo que a letra registrada no envelope a ser enviado seguiu a ordem alfabética.

Esquema. Há 3 cartas com a letra A, relacionadas a 3 cartas com a letra B, cada uma. A primeira carta com a letra B ainda se relaciona com 3 outras cartas com a letra C.

a) No caderno, escreva na forma de potência para calcular quantas cartas foram enviadas com a letra C registrada no envelope.

b) Faça o mesmo procedimento no caderno para descobrir quantas cartas foram enviadas com a letra D registrada no envelope.

Página 61

Potências de expoente 1 e de expoente 0

Jonas escreveu as sequências A e B a seguir.

Na sequência A, o número que ocupa cada posição, a partir do segundo, foi obtido dividindo o número da posição anterior por 2.

Na sequência B, os números são obtidos de maneira semelhante, mas dividindo o número da posição anterior por 3.

Representando com potência os números dessas sequências, podemos escrever os seguintes esquemas.

A. 16, 8, 4, 2, 1.

Esquema com os números 16, 8, 4, 2, 1, nessa ordem, e embaixo deles as potências 2 elevado a quarta potência, 2 elevado a terceira potência, 2 elevado a segunda potência, 2 elevado a primeira potência, 2 elevado a 0, respectivamente. A cada número há uma seta para o próximo com a operação 'dividido por 2' representada.

B. 81, 27, 9, 3, 1.

Esquema com os números 81, 27, 9, 3, 1, nessa ordem, e embaixo deles as potências 3 elevado a quarta potência, 3 elevado a terceira potência, 3 elevado a segunda potência, 3 elevado a primeira potência, 3 elevado a 0, respectivamente. A cada número há uma seta para o próximo com a operação 'dividido por 3' representada.

Na sequência A, note que 2 1 = 2 e 2 0 = 1 , e na sequência B, 3 1 = 3 e 3 0 = 1 .

Em potências cuja base é um número qualquer e expoente igual a 1, o resultado é igual ao próprio número.

Já as potências cuja base é um número diferente de zero e expoente igual a 0, o resultado é igual a 1.

Questão 10.

Descubra a regra da sequência a seguir. Depois, no caderno, represente com potências todos os termos dessa sequência.

625, 125, 25, 5, 1.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

86. Calcule o valor de cada potência a seguir.

a) 8 1

b) 9 3

c) 7 4

d) 1 1 0

87. Copie os itens no caderno substituindo cada pelo número adequado.

a) 5 1 0 = 5

b) 8 9 = 7 2

c) 1 0 0 = 5 0

d) 7 = 3 5

e) 1 0 = 3 0

f) = 8 0

Página 62

Potências de base 10

Aline escreveu algumas potências em seu caderno.

Ilustração de uma folha de caderno com os escritos em colunas com os títulos: 'potência', 'base', 'expoente', 'produto de fatores iguais' e 'resultado'. A primeira linha corresponde a 10 elevado a primeira potência, 10 de base, 1 de expoente, 10 de produto de fatores iguais e 10 de resultado, a segunda linha corresponde a 10 elevado a segunda potência, 10 de base, 2 de expoente, 10 vezes 10 de produto de fatores iguais e 100 de resultado, a terceira linha corresponde a 10 elevado a terceira potência, 10 de base, 3 de expoente, 10 vezes 10 vezes 10 de produto de fatores iguais e 1000 de resultado e a quarta linha corresponde a 10 elevado a quarta potência, 10 de base, 4 de expoente, 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10 de produto de fatores iguais e 10000 de resultado.

Para calcular rapidamente uma potência de base 10, basta acrescentar à direita do algarismo 1 a quantidade de zeros correspondente ao expoente dessa potência. Por exemplo, para calcular 1 0 5 , basta acrescentar 5 zeros à direita do algarismo 1.

Esquema da seguinte igualdade: 10 elevado a quinta potência igual a 100000. Uma linha relaciona os 5 algarismos 0 do número 100000 e o expoente 5.

Do mesmo modo, podemos escrever um número com uma potência de base 10 simplificando sua escrita. Por exemplo:

Esquema da seguinte igualdade: 1000000000 igual a 10 elevado a quinta potência. Uma linha relaciona os 9 algarismos 0 do número 1000000000 e o expoente 9.

Comumente, em informações com números "muito grandes", usamos essa forma de escrita. Por exemplo: a Terra tem aproximadamente 8.000.000.000 de habitantes em 2022.

Fonte de pesquisa: UNdata. Disponível em: https://oeds.link/A7l8Vn. Acesso em: 7 mar. 2022.

O dado numérico nessa informação pode ser representado da seguinte maneira.

Esquema da seguinte igualdade: 8000000000, igual a 8 vezes 1000000000, igual a 8 elevado a nona potência. Uma linha relaciona os 9 algarismos 0 do número 1000000000 e o expoente 9.

As potências de base 10 também podem ser usadas na decomposição dos números. Por isso, dizemos que nosso sistema de numeração é decimal, ou seja, de base 10.

Analise algumas maneiras de decompor, por exemplo, o número 243.781.

243 . 781 = 200 . 000 + 40 . 000 + 3 . 000 + 700 + 80 + 1

ou

243 . 781 = 2 100 . 000 + 4 10 . 000 + 3 1 . 000 + 7 100 + 8 10 + 1

ou

Esquema da seguinte igualdade: 243781, igual a 2 vezes 10 elevado quinta potência, mais 4 vezes 10 elevado a quarta potência, mais 3 vezes 10 elevado a terceira potência, mais 7 vezes 10 elevado a segunda potência, mais 8 vezes 10 elevado a primeira potência, mais 1. Está indicado que essa igualdade é a 'decomposição utilizando potências de base 10'.

Página 63

Atividades

Faça as atividades no caderno.

88. Leia as informações a seguir e, usando potência de base 10, escreva no caderno o número apresentado em cada item.

Mapa do Brasil

Mapa do Brasil com os limites internacionais, estaduais e as siglas de cada estado.

Fonte de pesquisa: ATLAS geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018.

A. A área do Brasil mede aproximadamente 8 . 500 . 000   km 2 .

B. No Brasil havia cerca de 213.000.000 de habitantes em 2021.

89. Calcule mentalmente.

a) 1 0 5

b) 1 0 8

c) 1 0 7

d) 1 0 6

e) 1 0 1 0

f) 1 0 9

90. Escreva os números a seguir no caderno usando potências de base 10.

a) 538.000

b) 2.300.000

c) 74.000.000

d) 957.000.000

e) 63.000.000.000

f) 12.500.000.000.000

91. Efetue os cálculos e registre no caderno o valor correspondente a cada letra.

Potências de base 10

Base

Expoente

Resultado da potenciação

10

4

A

10

B

100.000

10

C

1.000

10

11

D

92. Determine nos itens a potência de base 10 que substitui cada corretamente.

a) 987 = 987 . 000

b) 4 = 40 . 000

c) 312 = 312 . 000 . 000

d) 25 = 2 . 500 . 000

e) 14 = 140 . 000 . 000

f) 7 = 700 . 000 . 000

Página 64

93. No caderno, escreva com uma potência de base 10 o número indicado em cada item.

a) Cem mil

b) 1.000.000

c) 100.000.000.000

d) Dez milhões

e) Um bilhão

f) 10.000

g) Cem milhões

h) 1.000.000.000.000

i) Dez bilhões

94. Decomponha os números utilizando potências de base 10.

a) 1.230

b) 32.419

c) 389.725

d) 2.236.451

95. Na tabela está indicada a medida da distância média entre cada planeta do Sistema Solar e o Sol.

Medida da distância média entre cada planeta do Sistema Solar e o Sol

Planeta

Medida da distância média (em km )

Terra

149.600.000

Marte

227.940.000

Urano

2.870.990.000

Mercúrio

57.910.000

Vênus

108.210.000

Júpiter

778.340.000

Saturno

1.426.700.000

Netuno

4.500.400.000

Fonte de pesquisa: NATIONAL AERONAUTICS AND SPACE ADMINISTRATION (NASA). Solar System Exploration. Disponível em: https://oeds.link/eUTf8h. Acesso em: 23 fev. 2022.

No caderno, arredonde essas medidas de distância à unidade de milhão mais próxima. Depois, escreva-as utilizando potências de base 10.

96. O esquema a seguir apresenta a medida da distância entre algumas cidades.

Esquema com a representação de 4 cidades, A, B, C, D, nessa respectiva ordem. Há as seguintes distâncias: 118 quilômetros entre as cidades B e C, 137 quilômetros entre as cidades B e D, 151 quilômetros entre as cidades A e C.

Qual é a medida da distância, em metros, entre a cidade A e a cidade D?

a) 17 1 0 5

b) 17 1 0 2

c) 17 1 0 4

d) 27 1 0 4

e) 27 1 0 3

97. Ícone desafio. (OBMEP-2006) Qual é a soma dos algarismos do número 1 0 1500 + 1 0 1792 + 1 0 1822 + 1 0 1888 + 1 0 1889 ?

a) 1

b) 5

c) 10

d) 1.889

e) 1.890

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Igualdades

A balança de dois pratos representada a seguir está em equilíbrio.

Ilustração de uma balança em equilíbrio. No prato da esquerda, há 3 pesos, 1 de 4 quilogramas e 2 de 3 quilogramas. No prato a direita, há 2 pesos de 5 quilogramas.

Atenção!

Uma balança de dois pratos está em equilíbrio quando as massas em cada um deles têm a mesma medida.

Podemos representar esse equilíbrio por meio da seguinte sentença matemática.

4 4   kg + 3 3   kg + 3 3   kg 10   kg = 5 5   kg + 5 5   kg 10   kg

Dizemos que essa sentença é uma igualdade, pois temos o sinal de igual ( = ) .

Uma sentença matemática que apresenta o sinal de igual ( = ) é chamada igualdade. Em uma igualdade, chamamos a expressão à esquerda do sinal de 1º membro e a expressão à direita de 2º membro.

4 + 3 + 3     membro = 5 + 5     membro

Em uma igualdade, o valor da expressão do 1º membro deve ser igual ao valor da expressão do 2º membro. Caso contrário, dizemos que a sentença matemática é falsa.

Agora, analise a situação a seguir e como Carol pensou para determinar a medida da massa da caixa azul.

Atenção!

A balança a seguir está em equilíbrio.

Ilustração de uma balança em equilíbrio. No prato da esquerda, há 1 peso de 5 quilogramas, 1 caixa azul e 1 peso de 1 quilograma. No prato a direita, há 4 pesos, de 1, 2, 3 e 4 quilogramas.
Ilustração de uma menina dizendo: 'Inicialmente usei o, lacuna para resposta, para representar a medida da massa da caixa azul. Depois, escrevi uma sentença com as medidas das massas dos pratos da balança por meio da seguinte igualdade: lacuna para resposta, mais 5 mais 1, igual a 3, mais 2, mais 4, mais 1'. 'Para determinar a medida da massa da caixa azul, podemos retirar 6 quilogramas de cada um dos pratos. Também podemos subtrair 6 de cada membro da igualdade e descobrir que a massa da caixa azul mede 4 quilogramas. Lacuna para resposta, mais 5, mais 1, menos 6, igual a 3, mais 2, mais 4, mais 1, menos 6. Lacuna para resposta, mais 6, menos 6, igual a 10, menos 6. Lacuna para resposta, iguala 4.

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Quando adicionamos ou subtraímos o mesmo número natural aos dois membros de uma igualdade, a relação de igualdade se mantém.

7 + 5 = 3 + 9

7 + 5 + 8 = 3 + 9 + 8

Ao adicionar 8 unidades em ambos os membros, a relação de igualdade se mantém.

8 + 15 = 19 + 4

8 + 15 5 = 19 + 4 5

Ao subtrair 5 unidades em ambos os membros, a relação de igualdade se mantém.

Quando multiplicamos os dois membros de uma igualdade por um mesmo número natural ou quando dividimos os dois membros de uma igualdade por um número natural diferente de zero, a relação de igualdade se mantém.

2 + 3 = 5

( 2 + 3 ) 3 = 5 3

Ao multiplicar ambos os membros por 3, a relação de igualdade se mantém.

24 = 12 + 1 2

24 : 12 = ( 12 + 12 ) : 1 2

Ao dividir ambos os membros por 12, a relação de igualdade se mantém.

Questão 11. Ícone atividade oral. Em uma igualdade, se adicionarmos o número 4 ao 1º membro, quanto devemos adicionar ao 2º membro para que permaneça uma relação de igualdade?

Questão 12. Ícone atividade oral. Em uma igualdade, se dividirmos o 1º membro por 5, como devemos proceder com o 2º membro para que permaneça uma relação de igualdade?

Atividades

Faça as atividades no caderno.

98. A balança a seguir está em equilíbrio.

Ilustração de uma balança em equilíbrio. No prato da esquerda, há 3 pesos, 1 de 12 quilogramas e 2 de 4 quilogramas. No prato a direita, há 1 caixa e 1 peso de 10 quilogramas.

a) Usando um para representar a medida da massa da caixa laranja escreva no caderno uma igualdade que represente o equilíbrio da balança.

b) Calcule no caderno a medida da massa da caixa laranja.

c) Em seu caderno, desenhe uma balança em equilíbrio parecida com a desta atividade, acrescentando uma caixa e peças com medidas de massa diferentes em cada um dos pratos. Em seguida, dê para um colega resolver e, ao final, confira se ele solucionou corretamente.

Versão adaptada acessível

c) Junte-se a um colega e desenhem uma balança em equilíbrio parecida com a retratada nesta atividade, acrescentando uma caixa e peças com medidas de massa diferentes em cada um dos pratos. Em seguida, entregue a atividade para uma dupla resolver e, ao final, confira se eles a solucionaram corretamente.

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99. Em cada expressão, determine o número que substitui o para que a sentença seja uma igualdade.

Atenção!

Para determinar o valor do no item c, subtraímos 4 aos dois membros da igualdade. Depois, dividimos ambos os membros por 2. Com isso, a igualdade não se altera.

a) 15 5 = + 2

b) + 9 = 2 5

c) 2 + 4 = 20

d) + 2 ( 8 + 2 ) = 4 0

e) 3 + 5 = ( 43 3 ) : 2

f) 1 ( 10 ) = 35 : 5

100. A balança representada a seguir está em equilíbrio

Ilustração de uma balança em equilíbrio. No prato da esquerda, há 3 pesos, de 3, 5 e 2 quilogramas. No prato a direita, há 3 pesos, de 3, 5 e 2 quilogramas.

a) Para manter essa balança em equilíbrio, o que devemos fazer se colocarmos, em um dos seus pratos, 3 caixas com massa medindo 2   kg cada uma?

b) Se dobrarmos a medida de massa em um dos pratos, o que devemos fazer para manter a balança em equilíbrio?

c) Renata trocou a peça de 3   k g do prato da direita por uma peça de 5   k g . O que ela deve fazer no prato da esquerda para manter o equilíbrio da balança?

101. Após ganhar R$ 12,00 de seu pai, Daniela ficou com R$ 25,00.

Para calcular a quantia que tinha antes, ela escreveu a seguinte expressão.

+ 12 = 25

Calcule no caderno a quantia que Daniela tinha antes de ganhar R$ 12,00 de seu pai.

102. A balança a seguir não está em equilíbrio.

Ilustração de uma balança que não está em equilíbrio. No prato da esquerda, há 4 pesos de 3 quilogramas. No prato a direita não há nada.

Gabriel quer deixar a balança em equilíbrio, mas só dispõe de peças com medida de massa igual a 2   kg cada uma. Quantas dessas peças ele precisa colocar no outro prato para deixar a balança em equilíbrio?

103. Em seu caderno, elabore um problema envolvendo igualdade. Depois, entregue para um colega resolver. Ao final, verifique se ele solucionou corretamente.

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O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Resolva as expressões numéricas em uma folha de papel avulsa.

a) 10 + 23 5 + 2

b) 3 31 + 43 15 4

c) ( 12 8 ) 25 56 : ( 5 + 3 )

d) ( 128 16 ) : 8 + ( 99 + 280 ) 3 8 5

2. Ícone desafio. Carla economizou dinheiro durante três meses. No 1º mês, ela economizou R$ 182,00. No 2º mês, o dobro da quantia que economizou no 1º mês e, no 3º mês, R$ 56,00 a mais que no 2º mês.

a) Qual foi a quantia total economizada por Carla ao final do 3º mês?

b) Amanda também economizou dinheiro durante três meses e obteve a mesma quantia de Carla. Porém, a quantia economizada por ela em cada um dos meses foi igual. Quantos reais Amanda economizou por mês?

3. Efetue as potenciações.

a) 9 2

b) 1 0 3

c) 1 5 4

d) 2 0 2

e) 2 9

f) 5 7 0

4. Na adição a seguir, cada figura representa um número natural.

+ + = 18 0

a) Qual é o valor de + + ?

b) Qual é o valor de + + ?

c) Se representa o número 90 e o número 30, então representa qual número?

5. Na tabela está indicada a população estimada das cinco regiões do Brasil, em 2021.

População brasileira estimada por região – 2021

Região

População estimada

Norte

18.906.962

Nordeste

57.667.842

Sudeste

89.632.912

Sul

30.402.587

Centro-Oeste

16.707.336

Fonte de pesquisa: AGÊNCIA IBGE NOTÍCIAS. População estimada do país chega a 213,3 milhões de habitantes em 2021. Disponível em: https://oeds.link/Or44ZZ. Acesso em: 29 jun. 2022.

a) Arredonde a população estimada de cada região à centena de milhar mais próxima.

b) Agora, escreva em uma folha de papel avulsa os números obtidos no item anterior, utilizando potências de base 10.

c) Ícone uso de instrumentos Utilizando uma calculadora, determine qual era a população brasileira estimada em 2021.

6. Determine o número que substitui cada adequadamente, de modo que as sentenças sejam uma igualdade.

a) 15 + = 2 8

b) 25 + 10 = 22 + 8

c) 5 12 = 12 8

d) 3 32 = 28 : 7

e) ( 18 + 7 ) 4 = ( 6 + 1 )