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UNIDADE

3

Múltiplos e divisores

Fotografia das mãos de uma pessoa, apoiadas em um teclado de notebook. Acima das mãos, há um esquema de uma representação virtual, que exibe modelos de criptografia e segurança de dados virtuais.
Representação esquemática de um modelo de criptografia sendo codificado por meio de números primos para segurança de dados virtuais.

Agora vamos estudar...

  • os múltiplos de um número natural;
  • os divisores de um número natural;
  • os critérios de divisibilidade;
  • os números primos e os números compostos;
  • a decomposição de números compostos em fatores primos.

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Múltiplos

As receitas culinárias geralmente apresentam os ingredientes e o modo de preparo de um alimento para determinada quantidade de porções. Analise os ingredientes e o rendimento de uma receita de tapioca que Ana está preparando.

Ilustração de um caderno pautado com a descrição de uma receita de tapioca. Ingredientes: meio quilo de farinha de tapioca, uma fatia de queijo para o recheio e sal a gosto. Rendimento: 12 tapiocas.

Se desejar uma quantidade maior de tapiocas, Ana terá de preparar mais de uma receita. No preparo de:

  • 2 receitas, obtêm-se 24 tapiocas, pois 2 12 = 2 4 ;
  • 3 receitas, obtêm-se 36 tapiocas, pois 3 12 = 3 6 ;
  • 4 receitas, obtêm-se 48 tapiocas, pois 4 12 = 4 8 ;
  • 5 receitas, obtêm-se 60 tapiocas, pois 5 12 = 6 0 .

Os números 24, 36, 48 e 60 são múltiplos de 12, pois podem ser representados pela multiplicação de um número natural por 12. Por exemplo:

24 = 12 2

24 é múltiplo de 12.

24 também é múltiplo de 2, pois podemos escrever 24 = 2 1 2 .

60 = 12 5

60 é múltiplo de 12.

60 também é múltiplo de 5, pois podemos escrever 60 = 5 1 2 .

Atenção!

Todo número natural é múltiplo dele mesmo.

O número zero é múltiplo de qualquer número natural.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Entre os números a seguir, quais são múltiplos de 8? Em seu caderno, represente esses números com uma multiplicação de um número natural por 8.

  • 88

  • 162

  • 94

  • 160

  • 100

  • 247

  • 120

  • 96

  • 240

2. Em seu caderno, escreva multiplicações para representar a quantidade total de objetos em cada item.

A. Ilustração de bolas de futebol alinhadas em 3 fileiras e 6 colunas.
B. Ilustração de alguns lápis de escrever, alinhados em 2 fileiras e 10 colunas.

3. Determine o número natural que substitui corretamente as letras em cada item.

a) 18 é múltiplo de A e de B, pois A B = 1 8 .

b) 20 é múltiplo de A e de B, pois A B = 2 0 .

4. Descubra o que há em comum nos números de cada conjunto a seguir.

Conjunto 1

  • 2

  • 4

  • 8

  • 14

  • 22

  • 28

  • 34

Conjunto 2

  • 3

  • 9

  • 27

Conjunto 3

  • 5

  • 25

5. Considere o padrão nos números de cada conjunto da atividade anterior.

a) Mantendo esse padrão, escreva em seu caderno mais 2 números que poderiam estar em cada conjunto.

b) O número 100 pode estar em quais conjuntos?

6. Considere os 6 primeiros múltiplos do número 12.

0, 12, 24, 36, 48 e 60

Agora, escreva no caderno os 10 primeiros múltiplos de cada número indicado.

a) Múltiplos de 2.

b) Múltiplos de 3.

c) Múltiplos de 5.

d) Múltiplos de 7.

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7. Escreva no caderno, quando possível, uma multiplicação com 2 fatores naturais, sendo um deles o número 6 e cujo resultado seja:

a) 42

b) 18

c) 24

d) 54

e) 16

f) 72

8. Quais dos números indicados nos itens da atividade anterior são múltiplos de 6?

9. Elabore um problema envolvendo três entre os múltiplos de 7 a seguir e peça a um colega que o resolva. Depois, verifique se a resolução está correta.

  • 14

  • 21

  • 28

  • 35

  • 42

10. Junte-se a um colega e leiam a tirinha a seguir.

Tirinha com três quadrinhos e em cada um deles, Cascão, Mônica e Magali ouvem histórias de sua mãe, enquanto deitam para dormir. Q1. Mãe do Cascão: 'Era uma vez três porquinhos que viviam....'. Q2. Mãe da Mônica: '...E chapeuzinho vermelho disse: Pra que esse nariz tão...' . Q3. Mãe da Magali: '...e então adicionam-se duas colheres de açúcar mascavo e mexe-se a calda por dois minutos...'.

SOUSA, Mauricio de. Magali. São Paulo: Globo, n. 235, jun. 1998.

a) Qual é o assunto de cada livro que as mães estão lendo?

b) Qual é o ingrediente citado na tirinha? Qual é a quantidade desse ingrediente?

c) Suponha que a receita da tirinha rendesse 3 porções. Se fossem utilizadas 8 colheres de açúcar mascavo, a receita renderia quantas porções?

11. Responda às questões de acordo com os números indicados a seguir.

  • 20

  • 24

  • 64

  • 16

  • 10

  • 48

  • 30

  • 50

  • 60

  • 36

  • 28

  • 72

a) Quais desses números são múltiplos de 4?

b) Quais deles são múltiplos de 5?

c) Quais são múltiplos de 4 e também de 5?

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12. Considere a sequência dos 12 primeiros múltiplos de 2.

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22

Agora, considere a sequência dos 10 primeiros múltiplos de 3.

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27

Em seu caderno, escreva os números que aparecem tanto na sequência dos 12 primeiros múltiplos de 2 como na dos 12 primeiros múltiplos de 3.

Atenção!

Os números que você escreveu são alguns dos múltiplos comuns de 2 e 3.

O menor múltiplo comum de 2 e 3, diferente de zero, é o 6. Esse número é chamado mínimo múltiplo comum de 2 e 3 e pode ser indicado da seguinte maneira:

mmc ( 2 , 3 ) = 6

13. Nos quadros a seguir estão representadas as sequências dos 12 primeiros múltiplos de 4, de 6 e de 9.

Múltiplos de 4

0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44

Múltiplos de 6

0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66

Múltiplos de 9

0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99

a) Entre esses números, quais são os múltiplos comuns de 4 e 6?

b) Qual é o mínimo múltiplo comum de:

4 e 6?

4 e 9?

6 e 9?

14. Heitor está fazendo um tratamento médico no qual deve tomar dois medicamentos, sendo um de 8 em 8 horas e outro de 6 em 6 horas. Ele tomou os medicamentos juntos às 8h da manhã. Após quantas horas Heitor tomará novamente os dois medicamentos juntos?

Atenção!

Nunca tome medicamentos sem orientação médica, pois isso pode causar graves danos à saúde.

15. Ícone desafio. (OBMEP–2019) No Planeta Pemob as semanas têm 5 dias: Aba, Eba, Iba, Oba e Uba, nessa ordem. Os anos são divididos em 6 meses com 27 dias cada um. Se o primeiro dia de um certo ano foi Eba, qual foi o último dia desse ano?

Ilustração de um planeta com um foguete decolando.

a) Aba.

b) Eba.

c) Iba.

d) Oba.

e) Uba.

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Divisores

Bianca fez 16 bombons para vender. Ela pode embalar esses bombons de diferentes maneiras, de modo que todas as embalagens fiquem completas, com a mesma quantidade de bombons, e nenhum bombom fique sem ser embalado.

Embalar cada bombom separadamente.

16 : 1 = 1 6

Serão necessárias 16 embalagens para embalar todos os bombons.

Ilustração de 16 bombons, todos embalados separadamente.

Embalar em caixas em que caibam 2 bombons em cada uma.

16 : 2 = 8

Nesse caso, serão necessárias 8 caixas para embalar todos os bombons.

Ilustração de 16 bombons, embalados em 8 caixas com 2 bombons em cada uma delas.

Embalar em caixas em que caibam 4 bombons em cada uma.

16 : 4 = 4

Utilizando 4 caixas, será possível embalar todos os bombons.

Ilustração de 16 bombons, embalados em 4 caixas com 4 bombons em cada uma delas.

Embalar em caixas em que caibam 8 bombons em cada uma.

16 : 8 = 2

Serão necessárias 2 caixas para embalar todos os bombons.

Ilustração de 16 bombons, embalados em 2 caixas com 8 bombons em cada uma delas.

Embalar em uma caixa em que caibam 16 bombons.

16 : 16 = 1

Nesse caso, 1 caixa será suficiente para embalar todos os bombons.

Ilustração de 16 bombons, embalados em uma caixa.

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Na página anterior, vimos que 16 bombons podem ser embalados em caixas com 1, 2, 4, 8 ou 16 bombons em cada uma, de modo que nenhum bombom fique sem ser embalado.

Como as divisões de 16 por 1, 2, 4, 8 e 16 são divisões exatas, podemos dizer que:

16 é divisível por 1, por 2, por 4, por 8 e por 16.

Assim:

1, 2, 4, 8 e 16 são os divisores naturais de 16.

Questão 1. Ícone atividade oral. É possível embalar 16 bombons em caixas com 5 unidades em cada uma sem que fiquem bombons sem ser embalados? Por quê?

Atividades

Faça as atividades no caderno.

16. Arnaldo empilhou 24 livros de modo que todas as pilhas ficassem com a mesma quantidade de livros.

Ilustração de uma mesa com 3 pilhas de livros e 8 livros em cada uma delas.

Escreva em seu caderno outras 3 maneiras de empilhar esses livros de modo que as pilhas fiquem com a mesma quantidade de livros.

17. Analise as divisões a seguir.

Algoritmo da divisão de 168 dividido por 5 resultando em 33 com resto zero 3. Abaixo do número 168, há uma subtração, em que há o sinal de menos e o algarismo 1 posicionado abaixo do 1 e 5 posicionado abaixo do 6, resultando em zero 1. Ao lado do 1, o algarismo 8 do número 168 se repete. Há outra subtração, agora de zero 18 menos 15, resultando no resto zero 3.
Algoritmo da divisão de 156 dividido por 3 resultando em 52 com resto zero. Abaixo do número 156, há uma subtração, em que há o sinal de menos e o algarismo 1 posicionado abaixo do 1 e 5 posicionado abaixo do 5, resultando em zero. Ao lado do zero, o algarismo 6 do número 156 se repete. Há outra subtração, agora de zero zero 6 menos 6, resultando no resto zero.

a) 168 é divisível por 5? Por quê?

b) Por que 3 é divisor de 156?

18. Junte-se a um colega, efetuem os cálculos e verifiquem se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Depois, reescrevam as afirmações falsas no caderno, tornando-as verdadeiras.

a) 3 é divisor de 42.

b) 8 é divisor de 26.

19. Nas imagens a seguir, aparecem algumas pilhas de blocos numerados.

A. Ilustração de uma pilha com 4 blocos numerados. Os números que aparecem nos blocos são: 14, 11, 42 e 53.
B. Ilustração de uma pilha com 5 blocos numerados. Os números que aparecem nos blocos são: 17, 45, 90, 22 e 31.
C. Ilustração de uma pilha com 5 blocos numerados. Os números que aparecem nos blocos são: 9, 36, 21, 45 e 15.
D. Ilustração de uma pilha com 4 blocos numerados. Os números que aparecem nos blocos são: 18, 16, 32 e 54.

a) Em seu caderno, escreva todos os divisores naturais do maior número da pilha B.

b) Em qual pilha há dois números que têm o 4 e o 6 como seus divisores?

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Critérios de divisibilidade

Para embalar uma produção de 987   kg de uva, Paulo pode utilizar embalagens de 2   kg ou de 3   kg . Que tipo de embalagem ele deverá utilizar para que todas tenham a mesma medida de massa?

Podemos determinar o tipo de embalagem que Paulo vai utilizar verificando se 987 é divisível por 2 e por 3.

Algoritmo da divisão de 987 dividido por 2 resultando em 493 com resto 1. Abaixo do número 987, há uma subtração, em que há o sinal de menos com o algarismo 8 posicionado abaixo do 9, resultando em 1. Ao lado do 1, o algarismo 8 do número 987 se repete e há outra subtração, de 18 menos 18, resultando no resto zero. Ao lado do zero, o algarismo 7 do número 987 se repete e há outra subtração, agora de zero 7 menos 6, resultando no resto 1.

Se Paulo utilizar embalagens de 2   kg , uma delas terá massa diferente das demais, pois 987 : 2 é uma divisão não exata. Ou seja, 987 não é divisível por 2.

Algoritmo da divisão de 987 dividido por 3 resultando em 329 com resto zero. Abaixo do número 987, há uma subtração, em que há o sinal de menos com o algarismo 9 posicionado abaixo do 9, resultando em zero. Ao lado do zero, o algarismo 8 do número 987 se repete e há outra subtração, de zero 8 menos 6, resultando no resto 2. Ao lado do 2, o algarismo 7 do número 987 se repete e há outra subtração, agora de 27 menos 27, resultando no resto zero.

Se utilizar embalagens com 3   kg , todas as embalagens terão a mesma massa, pois 987 : 3 é uma divisão exata. Ou seja, 987 é divisível por 3.

Para verificar se um número natural é divisível por outro, podemos utilizar os critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Considere as sequências de números a seguir.

A. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...

B. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...

Questão 2. Ícone atividade oral. Os números da sequência A são pares ou ímpares? E os da sequência B?

Questão 3. Ao dividir os números da sequência A e da sequência B por 2, o que podemos perceber com relação aos restos das divisões? Faça os cálculos no caderno.

Questão 4. Ícone atividade oral. O que os números divisíveis por 2 têm em comum?

Questão 5. Copie a frase a seguir no caderno substituindo as letras A, B, C, D e E pelos algarismos corretos.

Um número natural é divisível por 2 quando é par. Desse modo, um número divisível por 2 tem o algarismo da unidade igual a A, B, C, D ou E.

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Divisibilidade por 3

Considere as divisões de alguns números naturais por 3.

Algoritmo da divisão de 42 dividido por 3 resultando em 14 com resto zero. Abaixo do número 42, há uma subtração, em que há o sinal de menos com o algarismo 3 posicionado abaixo do 4, resultando em 1. Ao lado do 1, o algarismo 2 do número 42 se repete e há outra subtração, agora de 12 menos 12, resultando no resto zero.
Algoritmo da divisão de 261 dividido por 3 resultando em 87 com resto zero. Abaixo do número 261, há uma subtração, em que há o sinal de menos com o algarismo 2 posicionado abaixo do 2 e o algarismo 4 abaixo do algarismo 6, resultando em 2. Ao lado do 2, o algarismo 1 do número 261 se repete e há outra subtração, agora de 21 menos 21, resultando no resto zero.

Algoritmo da divisão de 986 dividido por 3 resultando em 328 com resto 2. Abaixo do número 986, há uma subtração, em que há o sinal de menos e o algarismo 9 posicionado abaixo do 9, resultando em zero. Ao lado do zero, o algarismo 8 do número 986 se repete e há outra subtração, agora de zero 8 menos 6, resultando no resto zero 2. Ao lado do 2, o algarismo 6 do número 986 se repete e há outra subtração de 26 menos 24, resultando no resto zero 2.
Algoritmo da divisão de 2361 dividido por 3 resultando em 787 com resto zero. Abaixo do número 2361, há uma subtração, em que há o sinal de menos com o algarismo 2 posicionado abaixo do 2, o algarismo 1 posicionado abaixo do 3, resultando em 2. Ao lado do 2, o algarismo 6 do número 2361 se repete e há outra subtração, de 26 menos 24, resultando no resto 2. Ao lado do 2, o algarismo 1 do número 2361 se repete e há outra subtração, agora de 21 menos 21, resultando no resto zero.

Questão 6. Ícone atividade oral. Os números 42, 261, 986 e 2.361 são divisíveis por 3? Justifique sua resposta.

Questão 7. No caderno, adicione os valores correspondentes aos algarismos dos números divisíveis por 3 da questão anterior. O que essas somas têm em comum?

Questão 8. A característica dos números da questão anterior é uma condição necessária para que um número seja divisível por 3. Agora, copie no caderno a frase a seguir substituindo a letra A pelos números adequados.

Um número natural é divisível por 3 quando a soma dos valores correspondentes de seus algarismos for um número divisível por A.

Divisibilidade por 6

Considere os números das fichas a seguir.

  • 84

  • 92

  • 108

  • 423

  • 132

  • 378

Atenção!

Utilize os critérios de divisibilidade já estudados para verificar se esses números são divisíveis por 2 e por 3.

Questão 9. Ícone atividade oral. Quais desses números são divisíveis por 2? E por 3?

Questão 10. Ícone atividade oral. Quais desses números são divisíveis, simultaneamente, por 2 e por 3?

Questão 11. Ícone uso de instrumentosÍcone atividade oral. Com auxílio de uma calculadora, verifique se esses números são divisíveis também por 6.

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Questão 12. Ícone atividade oral. O que podemos perceber com relação aos números que são divisíveis simultaneamente por 2 e por 3 e os que são divisíveis por 6?

Questão 13. Copie no caderno a frase a seguir substituindo as letras A e B pelos algarismos corretos.

Um número natural é divisível por 6 quando for divisível, simultaneamente, por A e por B.

Divisibilidade por 9

Considere os números a seguir.

  • 72

  • 417

  • 684

  • 243

  • 3.987

Questão 14. Ícone atividade oral.Ícone uso de instrumentos Com auxílio de uma calculadora, verifique quais desses números são divisíveis por 9 e anote-os no caderno.

Questão 15. No caderno, adicione os valores correspondentes aos algarismos dos números divisíveis por 9. O que podemos perceber com relação ao resultado obtido?

Questão 16. No caderno, adicione os valores correspondentes aos algarismos do número 417. A soma obtida tem as mesmas características da questão anterior? Justifique sua resposta.

Questão 17. Agora, copie no caderno e complete a frase a seguir substituindo a letra A pelo número adequado.

Um número natural é divisível por 9 quando a soma dos valores correspondentes aos seus algarismos for um número divisível por A.

Divisibilidade por 5

Considere a sequência a seguir dos múltiplos naturais de 5.

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, …

Questão 18. Escreva no caderno os próximos três números dessa sequência.

Questão 19. Ícone atividade oral. Os números 95 e 100 pertencem a essa sequência? E o número 108? Justifique sua resposta.

Questão 20. Ícone atividade oral. O que podemos perceber em relação ao algarismo das unidades dos números dessa sequência?

Questão 21. Copie no caderno e complete a frase a seguir substituindo as letras A e B pelos algarismos corretos.

Um número natural é divisível por 5 quando o algarismo da unidade for A ou B.

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Divisibilidade por 10

Considere a sequência numérica a seguir dos múltiplos naturais de 10.

0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, …

Questão 22. Ícone atividade oral. Qual é o próximo número dessa sequência?

Questão 23. Escreva no caderno um número que pertence a essa sequência e outro que não pertence a ela.

Questão 24. Escreva no caderno algumas multiplicações de um número natural por 10.

Questão 25. Ícone atividade oral. Todos os resultados dessas multiplicações são divisíveis por um mesmo número natural. Que número é esse?

Questão 26. Ícone atividade oral. O que podemos perceber em relação ao algarismo das unidades dos múltiplos de 10?

Questão 27. Copie no caderno a frase a seguir substituindo a letra A pelo algarismo correto.

Um número natural é divisível por 10 quando o algarismo da unidade for A.

Divisibilidade por 100

Considere a sequência dos múltiplos de 100 entre 1 e 1.000.

100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900

Questão 28. Escreva no caderno a sequência dos múltiplos de 100 entre 900 e 1.500.

Questão 29. Ícone atividade oral. O número 3.200 é um múltiplo de 100? E 3.250?

Questão 30. Ícone atividade oral. O que podemos perceber em relação aos algarismos da dezena e da unidade de um múltiplo de 100 maior do que 1?

Questão 31. Copie no caderno a frase a seguir substituindo a letra A pelo algarismo correto.

Um número natural é divisível por 100 quando os algarismos da dezena e da unidade forem, simultaneamente, A.

Divisibilidade por 1.000

Considere a sequência numérica dos múltiplos naturais de 1.000.

0, 1.000, 2.000, 3.000, 4.000, 5.000, …

Questão 32. Escreva no caderno o próximo número dessa sequência.

Questão 33. Ícone atividade oral. O número 10.000 pertence a essa sequência? E o número 10.200? Justifique sua resposta.

Questão 34. Ícone atividade oral. O que podemos perceber em relação aos algarismos da centena, da dezena e da unidade dos números dessa sequência?

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Questão 35. Agora, copie no caderno a frase a seguir substituindo a letra A pelo algarismo correto.

Um número natural é divisível por 1.000 quando seus três últimos algarismos forem, simultaneamente, A.

Divisibilidade por 4

Considere os números apresentados a seguir.

  • 320

  • 501

  • 316

  • 2.000

  • 2.048

  • 4.225

Questão 36. Faça os cálculos no caderno e escreva quais desses números são divisíveis por 4.

Questão 37. Entre os números divisíveis por 4 apresentados, escreva no caderno aqueles cujos números formados pelos algarismos da dezena e da unidade também sejam divisíveis por 4.

Questão 38. Ícone atividade oral. Entre os números divisíveis por 4 apresentados, há também múltiplos de 10? E de 100?

Questão 39. Ícone atividade oral. Todo número divisível por 10 também é divisível por 4? E todo número divisível por 100? Justifique sua resposta com exemplos.

Questão 40. Ícone atividade oral. O número formado pelos dois últimos algarismos de 316 é um múltiplo de 4 e é par. Ser par é condição suficiente para que um número seja divisível por 4? Justifique sua resposta com um exemplo.

Questão 41. Copie no caderno a frase a seguir substituindo as letras A e B pelos números adequados.

Um número natural com mais de dois algarismos é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos forem, simultaneamente, A ou formarem, na ordem em que aparecem, um número divisível por B.

Divisibilidade por 8

Considere os números a seguir.

  • 4.984

  • 3.256

  • 1.152

Agora, analise as decomposições desses números.

  • 4 . 984 = 4 . 000 + 984

  • 3 . 256 = 3 . 000 + 25 6

  • 1 . 152 = 1 . 000 + 15 2

Atenção!

Todo número natural múltiplo de 1.000 é também múltiplo de 8, pois 1 . 000 = 8 12 5 .

Todo número natural com mais de três algarismos pode ser decomposto em uma adição de duas parcelas em que uma delas é um múltiplo de 1.000.

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Questão 42. Ícone atividade oral. Os números 4.000, 3.000 e 1.000 são divisíveis por 8? Por quê?

Questão 43. Ícone atividade oral. Se 4.000, 3.000 e 1.000 são divisíveis por 8, qual é a condição para que os números 4.984, 3.256 e 1.152 também sejam divisíveis por 8?

Questão 44. Utilize o algoritmo da divisão no caderno para verificar se os números 984, 256 e 152 são divisíveis por 8.

Questão 45. Ícone uso de instrumentosÍcone atividade oral. Com o auxílio de uma calculadora, verifique se os números 4.984, 3.256 e 1.152 são divisíveis por 8.

Questão 46. Agora, copie no caderno a frase a seguir substituindo as letras A e B pelos números adequados.

Um número natural com mais de três algarismos é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem, simultaneamente, A ou formarem, na ordem em que aparecem, um número divisível por B.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

20. Verifique se os seguintes números são divisíveis, simultaneamente, por 2, por 3, por 6 e por 9.

a) 193

b) 252

c) 276

d) 567

e) 386

f) 795

g) 541

h) 2.968

i) 978

21. Um algarismo do número a seguir está oculto.

2 3

a) Se esse número for divisível por 3, então qual pode ser esse algarismo oculto?

b) Qual algarismo pode estar oculto para o número ser divisível por 2?

c) Para que esse número seja divisível por 6, qual algarismo está oculto?

d) Se esse número for divisível por 9, então qual algarismo está oculto?

22. Uma turma tem 32 estudantes. É possível formar grupos com 3 estudantes, sem que nenhum deles fique sem grupo? Justifique sua resposta.

23. Determine o maior número de três algarismos divisível por:

a) 2

b) 3

c) 6

d) 9

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24. Considere os seguintes números.

  • 40

  • 36

  • 42

  • 60

  • 80

  • 35

a) Quais desses números são divisíveis por 4?

b) Quais não são divisíveis por 3?

c) Quais são divisíveis por 4 e 5, simultaneamente?

d) Quais são divisíveis por 20?

25. Considere os números a seguir.

  • 1.734

  • 3.627

  • 1.224

  • 1.412

  • 2.518

Quais deles são divisíveis:

a) por 4?

b) por 6?

c) por 8?

d) por 9?

e) por 4, 6, 8 e 9, simultaneamente?

f) por nenhum deles?

26. Utilizando o fluxograma apesentado a seguir, podemos verificar se um número natural é divisível por 2.

Fluxograma com as seguintes informações: Início, dentro de uma forma oval. Seta aponta para: 'Escolha um número natural.', que está dentro de um retângulo. Seta aponta para: 'O algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6 ou 8?', que está dentro de um retângulo. Se sim, seta aponta para: 'O número é divisível por 2.', dentro de um retângulo. Se não, seta aponta para: 'O número não é divisível por 2.', dentro de um retângulo. Ambas as respostas apontam para Fim, dentro de uma forma oval.

Agora, construa no caderno um fluxograma que possibilite verificar se um número natural é divisível por 100.

Página 83

Números primos e números compostos

Considere a sequência dos números naturais de 1 a 10.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Agora, vamos escrever os divisores de cada um desses números.

  • Divisores de 1: 1
  • Divisores de 2: 1 e 2
  • Divisores de 3: 1 e 3
  • Divisores de 4: 1, 2 e 4
  • Divisores de 5: 1 e 5
  • Divisores de 6: 1, 2, 3 e 6
  • Divisores de 7: 1 e 7
  • Divisores de 8: 1, 2, 4 e 8
  • Divisores de 9: 1, 3 e 9
  • Divisores de 10: 1, 2, 5 e 10

Os números que estão em destaque na sequência dos números naturais de 1 a 10 têm apenas 2 divisores naturais: o número 1 e o próprio número. Esses números são chamados números primos.

Os outros números dessa sequência, com exceção do 1, têm mais de 2 divisores. Esses números são chamados números compostos.

Atenção!

Números primos são os números naturais que têm apenas 2 divisores naturais, o número 1 e o próprio número.

Números compostos são os números naturais maiores do que 1 que têm mais de 2 divisores.

Os números primos sempre despertaram grande interesse entre os matemáticos. Entre eles, podemos destacar o matemático grego Eratóstenes (276 a.C.-194 a.C.), que criou um método para determinar se um número era primo ou não. Esse método ficou conhecido como crivo de Eratóstenes.

Questão 47. Junte-se a um colega e façam uma pesquisa sobre Eratóstenes e outras de suas contribuições para a Matemática anotando no caderno.

Atenção!

A pesquisa proposta na questão 47 pode ser feita em livros, revistas e sites. Mas cuidado!

Devemos nos certificar de que as informações sejam pesquisadas em fontes atuais e confiáveis. Para encerrar, uma dica: confira as informações obtidas comparando-as com outras fontes.

A seguir é apresentado como determinar os números primos da sequência dos números naturais de 1 a 50, utilizando o crivo de Eratóstenes.

Escrevemos a sequência dos números naturais de 1 a 50 e riscamos o número 1, pois esse número não é primo. Em seguida, contornamos o número 2, que é o próximo da sequência e é o primeiro número primo. Depois, riscamos os múltiplos de 2, pois esses não são primos.

Ilustração de uma sequência com os números de 1 a 50 em caderno pautado.  O número 2 está circulado e os números: 1, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48 e 50 estão riscados.

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  • Agora contornamos o próximo número da sequência que não foi riscado, o 3, pois ele é um número primo. Em seguida, riscamos os múltiplos de 3, pois esses números não são primos.
  • Esse procedimento deve ser seguido com os próximos números da sequência que não foram riscados, até não existir mais números a serem contornados ou riscados.
Ilustração de uma sequência com os números de 1 a 50 em caderno pautado. Os números: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 estão circulados e os outros números estão riscados.

Ao final, podemos verificar que os números contornados são os números primos da sequência dos números naturais de 1 a 50.

Podemos também verificar se um número é primo realizando algumas divisões. Por exemplo: O número 127 é primo?

Para resolver esta questão, podemos dividir esse número pelos números primos menores do que ele, em ordem crescente, até obter um quociente menor do que o divisor ou igual a ele.

Se alguma das divisões for uma divisão exata, então o número não é primo, pois tem mais de 2 divisores.

Algoritmo da divisão, de 127 dividido por 2, que resulta em 63 e resto 1. Abaixo de 127 está o número zero 7 e, abaixo dele, está o número 1.
Algoritmo da divisão, de 127 dividido por 3, que resulta em 42 e resto 1. Abaixo de 127 está o número zero 7 e, abaixo dele, está o número 1.
Algoritmo da divisão, de 127 dividido por 5, que resulta em 25 e resto 2. Abaixo de 127 está o número 27 e, abaixo dele, está o número 2.
Algoritmo da divisão, de 127 dividido por 7, que resulta em 18 e resto 1. Abaixo de 127 está o número 57 e, abaixo dele, está o número 1.

Atenção!

Essas divisões não são exatas e os quocientes são maiores do que os divisores. Portanto, devemos continuar efetuando divisões até obter um quociente menor do que o divisor ou igual a ele.

Algoritmo da divisão, de 127 dividido por 11, que resulta em 11 e resto 6. Abaixo de 127 está o número 17 e, abaixo dele, está o número 6.

Essa foi a última divisão realizada, pois obtivemos um quociente igual ao divisor.

Caso continuássemos as divisões, os quocientes seriam cada vez menores. Porém, já testamos os primos menores do que 11 e não obtivemos uma divisão exata. Portanto, 127 é um número primo.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

27. Quais são os números primos entre 1 e 50?

28. Quais são os números primos entre 51 e 100?

29. Classifique os números a seguir em primo ou composto.

a) 159

b) 247

c) 269

d) 301

e) 331

f) 541

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30. Junte-se a um colega e respondam às questões.

a) Por que o número 1 não é primo?

b) Qual é o único número natural par que é primo? Por que ele é primo?

c) Qual é o menor número ímpar que seja primo?

d) O número 112 é primo? Por quê?

e) Quantos números primos há entre 1 e 100?

f) O número 17 é primo? Por quê?

g) Qual é o maior número primo de dois algarismos?

31. Ícone desafio. (OBMEP–2015) Um quadro com linhas e colunas numeradas de 1 a 100 foi preenchido da seguinte forma:

na linha 1, todas as casas foram preenchidas com 1;

na linha 2, as casas pertencentes a colunas de número par foram preenchidas com 1 e as demais, com 0;

na linha 3, as casas pertencentes a colunas múltiplas de três foram preenchidas com 1 e as demais, com 0;

continuando, cada uma das demais linhas do quadro foi preenchida com o algarismo 1 nas casas de colunas múltiplas do número correspondente à linha, e com 0 nas demais.

Quadro com linhas e colunas numeradas de 1 a 100

COLUNAS/LINHAS

1

2

3

4

5

6

99

100

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

0

1

0

1

0

1

0

1

3

0

0

1

0

0

1

1

0

4

0

0

0

1

0

0

0

1

5

0

0

0

0

1

0

0

1

6

0

0

0

0

0

1

0

0

99

0

0

0

0

0

0

1

0

100

0

0

0

0

0

0

0

1

a) Qual é o algarismo que foi escrito na linha 7 e coluna 21?

b) Qual é a soma dos algarismos da linha 23? Por quê?

32. Utilizando as informações da atividade anterior, responda: qual é a soma dos algarismos da coluna 29?

33. Escreva no caderno todos os divisores naturais do número 72 e, em seguida, contorne os que são números primos.

Página 86

Decomposição em fatores primos

Decompor um número em fatores primos significa escrever esse número como um produto de números primos.

A seguir são apresentadas 3 maneiras diferentes de decompor o número 40 em um produto de fatores primos.

A. Esquema com a decomposição do número composto 40, que está na primeira linha. Na segunda linha, o 40, corresponde a 2 vezes 20. Na terceira linha, o 2 da segunda linha se repete e o 20, corresponde a 2 vezes 10. Na quarta linha os dois números dois da terceira linha se repetem e são multiplicados por 2 vezes 5, que corresponde ao número 10 da terceira linha.
B. Esquema com a decomposição do número composto 40, que está na primeira linha. Na segunda linha, o 40, corresponde a 4 vezes 10. Na terceira linha, o 4 da segunda linha corresponde a 2 vezes 2, vezes 2 vezes 5, que corresponde ao número 10 da segunda linha.
C. Esquema com a decomposição do número composto 40, que está na primeira linha. Na segunda linha, o 40, corresponde a 5 vezes 8. Na terceira linha, o 5 da segunda linha se repete e o 8, corresponde a 2 vezes 4. Na quarta linha os números cinco e dois da terceira linha se repetem e são multiplicados por 2 vezes 2, que corresponde ao número 4 da terceira linha.

Atenção!

A decomposição de um número composto, diferente de zero, em fatores primos é única, diferenciando-se apenas pela ordem dos fatores.

Para qualquer uma das decomposições, obtemos o mesmo produto de fatores primos.

A. 40 = 2 20 = 2 2 10 = 2 2 2 5

B. 40 = 4 10 = 2 2 2 5

C. 40 = 5 8 = 5 2 4 = 5 2 2 2 = 2 2 2 5

Assim, 2 2 2 5 é a decomposição em fatores primos do número 40. Também podemos decompor um número em fatores primos usando uma regra prática. Analise a decomposição do número 40.

Inicialmente dividimos o número 40 por um de seus divisores primos. Nesse caso, vamos começar pelo menor número primo possível, o 2. O resultado 20 da divisão é escrito logo abaixo do 40.

Decomposição de número composto. Há um segmento de reta na vertical, com os seguintes números: na primeira linha: 40 à esquerda e o 2 à direita do segmento e na segunda linha, 20 à esquerda.

Dividimos o quociente obtido (20) por um de seus divisores primos, e assim sucessivamente, até obtermos o quociente 1.

Decomposição de número composto. Há um segmento de reta na vertical, com os seguintes números: na primeira linha: 40 à esquerda e o 2 à direita do segmento; na segunda linha 20 à esquerda e o 2 à direita do segmento. Na terceira linha 10 à esquerda e o 2 à direita do segmento; na quarta linha 5 à esquerda e o 5 à direita do segmento. Por fim, há o número 1 à esquerda do segmento.

Assim: 40 = 2 2 2 5 .

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Também poderíamos decompor o número 40 em fatores primos das seguintes maneiras.

Decomposição de número composto. Há um segmento de reta na vertical, com os seguintes números: na primeira linha: 40 à esquerda e o 2 à direita do segmento; na segunda linha 20 à esquerda e o 2 à direita do segmento. Na terceira linha 10 à esquerda e o 5 à direita do segmento; na quarta linha 2 à esquerda e o 2 à direita do segmento. Por fim, há o número 1 à esquerda do segmento. Abaixo está o seguinte produto: 2 vezes 2 vezes 5 vezes 2.

ou

Decomposição de número composto. Há um segmento de reta na vertical, com os seguintes números: na primeira linha: 40 à esquerda e o 2 à direita do segmento; na segunda linha 20 à esquerda e o 5 à direita do segmento. Na terceira linha 4 à esquerda e o 2 à direita do segmento; na quarta linha 2 à esquerda e o 2 à direita do segmento. Por fim, há o número 1 à esquerda do segmento. Abaixo está o seguinte produto: 2 vezes 5 vezes 2 vezes 2.

ou

Decomposição de número composto. Há um segmento de reta na vertical, com os seguintes números: na primeira linha: 40 à esquerda e o 5 à direita do segmento; na segunda linha 8 à esquerda e o 2 à direita do segmento. Na terceira linha 4 à esquerda e o 2 à direita do segmento; na quarta linha 2 à esquerda e o 2 à direita do segmento. Por fim, há o número 1 à esquerda do segmento. Abaixo está o seguinte produto: 5 vezes 2 vezes 2 vezes 2.

Note que o resultado final é o mesmo em todas as maneiras.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

34. Decomponha no caderno os seguintes números em fatores primos sem usar a regra prática.

a) 12

b) 20

c) 55

d) 150

e) 196

f) 210

35. Agora, decomponha no caderno os seguintes números em fatores primos usando a regra prática.

a) 200

b) 315

c) 550

d) 676

e) 430

f) 720

36. Em cada item, determine o número representado pelo produto de fatores primos.

a) 2 2 3 5

b) 2 3 3 3 7

c) 3 3 3 5 7

d) 3 7 7 1 1

e) 5 7 7 7 1 3

f) 5 5 5 5 7 1 1

g) 2 2 7 7 7 1 7

h) 3 3 3 3 5 7 7 1 3

37. Ícone desafio. Qual é o número cuja decomposição em fatores primos é o produto de todos os números primos de um algarismo?

38. A idade atual de meu avô é um número entre 70 e 80. Descubra a idade dele, sabendo que ela pode ser representada pelo produto de 2 números primos consecutivos.

39. Junte-se a um colega, leiam as afirmações a seguir e copiem no caderno apenas as verdadeiras. Depois, reescrevam as afirmações falsas, tornando-as verdadeiras.

a) A decomposição em fatores primos de 180 é 2 2 3 3 5 .

b) A decomposição em fatores primos de 50 é 2 2 5 .

c) A decomposição em fatores primos de 44 é 3 3 5 .

d) A decomposição em fatores primos de 350 é 2 5 5 7 .

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O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Considere as medidas das dimensões da embalagem de leite e das caixas A e B a seguir.

Ilustração de uma caixa de leite com formato de paralelepípedo retângulo e dimensões: largura 6 centímetros, altura 17 centímetros, comprimento 9 centímetros.
A. Ilustração de um recipiente vazio com formato de paralelepípedo retângulo com as dimensões: comprimento 36 centímetros, largura 18 centímetros, altura 17 centímetros.
B. Ilustração de um recipiente vazio com formato de paralelepípedo retângulo com as dimensões: comprimento 27 centímetros, largura 30 centímetros, altura 17 centímetros.

Atenção!

As medidas indicadas correspondem às dimensões internas das caixas.

a) Colocando as embalagens de leite em pé dentro das caixas, no máximo quantas embalagens cabem em cada caixa?

b) Em alguma das caixas sobra espaço ao colocar a maior quantidade possível de embalagens de leite?

2. Em uma folha de papel avulsa, escreva os 10 primeiros múltiplos de:

a) 3

b) 7

c) 10

3. Com os algarismos 2, 3, 4 e 5, forme um número natural com quatro algarismos, sem repeti-los, divisível por:

a) 2

b) 4

c) 5

d) 8

4. Utilizando os algarismos da atividade anterior, sem repetir, é possível formar um número natural com quatro algarismos que seja divisível por 6? Justifique sua resposta.

5. Cada letra representa um fator primo da decomposição de um número. Copie as sentenças em uma folha de papel avulsa substituindo cada letra pelo fator primo adequado.

a) 3 3 A = 4 5

b) 2 2 B C D = 7 2

c) E F G = 10 5

d) H I J K = 30 8

6. Verifique se os números a seguir são divisíveis por 9 e por 10.

a) 4.708

b) 11.260

c) 3.591

d) 96.480

7. Um número de 5 algarismos é ímpar. É possível que ele seja divisível por 100? Justifique sua resposta.