Múltiplos

As receitas culinárias geralmente apresentam os ingredientes e o modo de preparo de um alimento para determinada quantidade de porções. Analise os ingredientes e o rendimento de uma receita de tapioca que Ana está preparando.

Se desejar uma quantidade maior de tapiocas, Ana terá de preparar mais de uma receita. No preparo de:

• 2 receitas, obtêm-se 24 tapiocas, pois $2\cdot 12=24$;
• 3 receitas, obtêm-se 36 tapiocas, pois $3\cdot 12=36$;
• 4 receitas, obtêm-se 48 tapiocas, pois $4\cdot 12=48$;
• 5 receitas, obtêm-se 60 tapiocas, pois $5\cdot 12=60$.

Os números 24, 36, 48 e 60 são múltiplos de 12, pois podem ser representados pela multiplicação de um número natural por 12. Por exemplo:

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Entre os números a seguir, quais são múltiplos de 8? Em seu caderno, represente esses números com uma multiplicação de um número natural por 8.

• 88

• 162

• 94

• 160

• 100

• 247

• 120

• 96

• 240

Respostas: Os múltiplos de 8 são os números 88, 160, 120, 96 e 240; $11\cdot 8=88$, $20\cdot 8=160$, $15\cdot 8=120$, $12\cdot 8=96$ e $30\cdot 8=240$.

2. Em seu caderno, escreva multiplicações para representar a quantidade total de objetos em cada item.

A.

Resposta: $3\cdot 6=18$ ou $6\cdot 3=18$.

B.

Resposta: $2\cdot 10=20$ ou $10\cdot 2=20$.

3. Determine o número natural que substitui corretamente as letras em cada item.

a) 18 é múltiplo de A e de B, pois $A\cdot B=18$.

Possíveis respostas: Se $A=2$, $B=9$; se $A=9$, $B=2$; se $A=3$, $B=6$; se $A=6$, $B=3$; se $A=1$, $B=18$; se $A=18$, $B=1$.

b) 20 é múltiplo de A e de B, pois $A\cdot B=20$.

Possíveis respostas: Se $A=2$, $B=10$; se $A=10$, $B=2$; se $A=4$, $B=5$; se $A=5$, $B=4$; se $A=1$, $B=20$; se $A=20$, $B=1$.

4. Descubra o que há em comum nos números de cada conjunto a seguir.

• 2

• 4

• 8

• 14

• 22

• 28

• 34

• 3

• 9

• 27

• 5

• 25

Resposta: Os números do conjunto 1 são múltiplos de 2; os números do conjunto 2 são múltiplos de 3; os números do conjunto 3 são múltiplos de 5.

5. Considere o padrão nos números de cada conjunto da atividade anterior.

a) Mantendo esse padrão, escreva em seu caderno mais 2 números que poderiam estar em cada conjunto.

Sugestão de resposta: Conjunto 1: 38 e 44; Conjunto 2: 33 e 39; Conjunto 3: 35 e 55.

b) O número 100 pode estar em quais conjuntos?

Resposta: Conjunto 1 e conjunto 3.

6. Considere os 6 primeiros múltiplos do número 12.

Agora, escreva no caderno os 10 primeiros múltiplos de cada número indicado.

a) Múltiplos de 2.

Resposta: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18.

b) Múltiplos de 3.

Resposta: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27.

c) Múltiplos de 5.

Resposta: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

d) Múltiplos de 7.

Resposta: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63.

7. Escreva no caderno, quando possível, uma multiplicação com 2 fatores naturais, sendo um deles o número 6 e cujo resultado seja:

a) 42

Resposta: $6\cdot 7=42$ ou $7\cdot 6=42$.

b) 18

Resposta: $6\cdot 3=18$ ou $3\cdot 6=18$.

c) 24

Resposta: $6\cdot 4=24$ ou $4\cdot 6=24$.

d) 54

Resposta: $6\cdot 9=54$ ou $9\cdot 6=54$.

e) 16

Resposta: Não é possível.

f) 72

Resposta: $6\cdot 12=72$ ou $12\cdot 6=72$.

8. Quais dos números indicados nos itens da atividade anterior são múltiplos de 6?

Resposta: 42, 18, 24, 54 e 72.

9. Elabore um problema envolvendo três entre os múltiplos de 7 a seguir e peça a um colega que o resolva. Depois, verifique se a resolução está correta.

• 14

• 21

• 28

• 35

• 42

Resposta pessoal.

10. Junte-se a um colega e leiam a tirinha a seguir.

SOUSA, Mauricio de. Magali. São Paulo: Globo, n. 235, jun. 1998.

a) Qual é o assunto de cada livro que as mães estão lendo?

Resposta: As histórias "Os três porquinhos" e "Chapeuzinho Vermelho" e um livro de receitas.

b) Qual é o ingrediente citado na tirinha? Qual é a quantidade desse ingrediente?

Respostas: Açúcar mascavo; 2 colheres.

c) Suponha que a receita da tirinha rendesse 3 porções. Se fossem utilizadas 8 colheres de açúcar mascavo, a receita renderia quantas porções?

Resposta: 12 porções.

11. Responda às questões de acordo com os números indicados a seguir.

• 20

• 24

• 64

• 16

• 10

• 48

• 30

• 50

• 60

• 36

• 28

• 72

a) Quais desses números são múltiplos de 4?

Resposta: 16, 20, 24, 28, 36, 48, 60, 64 e 72.

b) Quais deles são múltiplos de 5?

Resposta: 10, 20, 30, 50 e 60.

c) Quais são múltiplos de 4 e também de 5?

Resposta: 20 e 60.

12. Considere a sequência dos 12 primeiros múltiplos de 2.

Agora, considere a sequência dos 10 primeiros múltiplos de 3.

Em seu caderno, escreva os números que aparecem tanto na sequência dos 12 primeiros múltiplos de 2 como na dos 12 primeiros múltiplos de 3.

Resposta: 0, 6, 12 e 18.

13. Nos quadros a seguir estão representadas as sequências dos 12 primeiros múltiplos de 4, de 6 e de 9.

a) Entre esses números, quais são os múltiplos comuns de 4 e 6?

Resposta: 0, 12, 24 e 36.

b) Qual é o mínimo múltiplo comum de:

4 e 6?

4 e 9?

6 e 9?

Respostas: 4 e 6: 12; 4 e 9: 36; 6 e 9: 18.

14. Heitor está fazendo um tratamento médico no qual deve tomar dois medicamentos, sendo um de 8 em 8 horas e outro de 6 em 6 horas. Ele tomou os medicamentos juntos às 8h da manhã. Após quantas horas Heitor tomará novamente os dois medicamentos juntos?

Resposta: Após 24 horas.

15. (OBMEP–2019) No Planeta Pemob as semanas têm 5 dias: Aba, Eba, Iba, Oba e Uba, nessa ordem. Os anos são divididos em 6 meses com 27 dias cada um. Se o primeiro dia de um certo ano foi Eba, qual foi o último dia desse ano?

a) Aba.

b) Eba.

c) Iba.

d) Oba.

e) Uba.

Resposta: Alternativa c.

Divisores

Bianca fez 16 bombons para vender. Ela pode embalar esses bombons de diferentes maneiras, de modo que todas as embalagens fiquem completas, com a mesma quantidade de bombons, e nenhum bombom fique sem ser embalado.

Embalar cada bombom separadamente.

Serão necessárias 16 embalagens para embalar todos os bombons.

Embalar em caixas em que caibam 2 bombons em cada uma.

Nesse caso, serão necessárias 8 caixas para embalar todos os bombons.

Embalar em caixas em que caibam 4 bombons em cada uma.

Utilizando 4 caixas, será possível embalar todos os bombons.

Embalar em caixas em que caibam 8 bombons em cada uma.

Serão necessárias 2 caixas para embalar todos os bombons.

Embalar em uma caixa em que caibam 16 bombons.

Nesse caso, 1 caixa será suficiente para embalar todos os bombons.

Na página anterior, vimos que 16 bombons podem ser embalados em caixas com 1, 2, 4, 8 ou 16 bombons em cada uma, de modo que nenhum bombom fique sem ser embalado.

Como as divisões de 16 por 1, 2, 4, 8 e 16 são divisões exatas, podemos dizer que:

Assim:

Questão 1. É possível embalar 16 bombons em caixas com 5 unidades em cada uma sem que fiquem bombons sem ser embalados? Por quê?

Resposta: Não, pois a divisão de 16 por 5 não é exata.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

16. Arnaldo empilhou 24 livros de modo que todas as pilhas ficassem com a mesma quantidade de livros.

Escreva em seu caderno outras 3 maneiras de empilhar esses livros de modo que as pilhas fiquem com a mesma quantidade de livros.

Resposta nas orientações ao professor.

17. Analise as divisões a seguir.

a) 168 é divisível por 5? Por quê?

Resposta: Não; Porque a divisão de 168 por 5 não é exata.

b) Por que 3 é divisor de 156?

Resposta: Porque a divisão de 156 por 3 é exata.

18. Junte-se a um colega, efetuem os cálculos e verifiquem se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Depois, reescrevam as afirmações falsas no caderno, tornando-as verdadeiras.

a) 3 é divisor de 42.

Resposta: Verdadeira.

b) 8 é divisor de 26.

Resposta: Falsa. Sugestão de resposta: 26 não é divisível por 8 porque a divisão de 26 por 8 não é exata.

19. Nas imagens a seguir, aparecem algumas pilhas de blocos numerados.

a) Em seu caderno, escreva todos os divisores naturais do maior número da pilha B.

Resposta: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 e 90.

b) Em qual pilha há dois números que têm o 4 e o 6 como seus divisores?

Resposta: Pilha D.

Critérios de divisibilidade

Para embalar uma produção de $987\text{kg}$ de uva, Paulo pode utilizar embalagens de $2\text{kg}$ ou de $3\text{kg}$. Que tipo de embalagem ele deverá utilizar para que todas tenham a mesma medida de massa?

Podemos determinar o tipo de embalagem que Paulo vai utilizar verificando se 987 é divisível por 2 e por 3.

Para verificar se um número natural é divisível por outro, podemos utilizar os critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Considere as sequências de números a seguir.

A. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...

B. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...

Questão 2. Os números da sequência A são pares ou ímpares? E os da sequência B?

Respostas: Pares; Ímpares.

Questão 3. Ao dividir os números da sequência A e da sequência B por 2, o que podemos perceber com relação aos restos das divisões? Faça os cálculos no caderno.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que os resultados obtidos sugerem que o resto da divisão por 2 dos números da sequência A é 0 e dos números da sequência B é 1.

Questão 4. O que os números divisíveis por 2 têm em comum?

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que são números pares, ou seja, o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6 ou 8.

Questão 5. Copie a frase a seguir no caderno substituindo as letras A, B, C, D e E pelos algarismos corretos.

Resposta: Um número natural é divisível por 2 quando é par. Desse modo, um número divisível por 2 tem o algarismo da unidade igual a 0, 2, 4, 6 ou 8.

Divisibilidade por 3

Considere as divisões de alguns números naturais por 3.

Questão 6. Os números 42, 261, 986 e 2.361 são divisíveis por 3? Justifique sua resposta.

Resposta: Os números 42, 261 e 2.361 são divisíveis por 3, pois as divisões são exatas. Já o número 986 não é divisível por 3, pois a divisão não é exata.

Questão 7. No caderno, adicione os valores correspondentes aos algarismos dos números divisíveis por 3 da questão anterior. O que essas somas têm em comum?

Resposta: 6, 9 e 12; Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que são múltiplos de 3.

Questão 8. A característica dos números da questão anterior é uma condição necessária para que um número seja divisível por 3. Agora, copie no caderno a frase a seguir substituindo a letra A pelos números adequados.

Resposta: Um número natural é divisível por 3 quando a soma dos valores correspondentes de seus algarismos for um número divisível por 3.

Divisibilidade por 6

Considere os números das fichas a seguir.

• 84

• 92

• 108

• 423

• 132

• 378

Questão 9. Quais desses números são divisíveis por 2? E por 3?

Respostas: 84, 92, 108, 132 e 378; 84, 108, 423, 132 e 378.

Questão 10. Quais desses números são divisíveis, simultaneamente, por 2 e por 3?

Resposta: 84, 108, 132 e 378.

Questão 11. Com auxílio de uma calculadora, verifique se esses números são divisíveis também por 6.

Resposta pessoal. Professor, professora: Espera-se que os estudantes verifiquem que os números 84, 108, 132 e 378 também são divisíveis por 6.

Questão 12. O que podemos perceber com relação aos números que são divisíveis simultaneamente por 2 e por 3 e os que são divisíveis por 6?

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que são os mesmos números.

Questão 13. Copie no caderno a frase a seguir substituindo as letras A e B pelos algarismos corretos.

Resposta: Um número natural é divisível por 6 quando for divisível, simultaneamente, por 2 e por 3.

Divisibilidade por 9

Considere os números a seguir.

• 72

• 417

• 684

• 243

• 3.987

Questão 14. Com auxílio de uma calculadora, verifique quais desses números são divisíveis por 9 e anote-os no caderno.

Resposta: 72, 684, 243 e 3.987.

Questão 15. No caderno, adicione os valores correspondentes aos algarismos dos números divisíveis por 9. O que podemos perceber com relação ao resultado obtido?

Resposta: 9, 18, 9 e 27; Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que também são divisíveis por 9.

Questão 16. No caderno, adicione os valores correspondentes aos algarismos do número 417. A soma obtida tem as mesmas características da questão anterior? Justifique sua resposta.

Resposta: A soma obtida é 12. Não, pois 12 é múltiplo de 3, mas não é múltiplo de 9.

Questão 17. Agora, copie no caderno e complete a frase a seguir substituindo a letra A pelo número adequado.

Resposta: Um número natural é divisível por 9 quando a soma dos valores correspondentes aos seus algarismos for um número divisível por 9.

Divisibilidade por 5

Considere a sequência a seguir dos múltiplos naturais de 5.

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, …

Questão 18. Escreva no caderno os próximos três números dessa sequência.

Resposta: 50, 55 e 60.

Questão 19. Os números 95 e 100 pertencem a essa sequência? E o número 108? Justifique sua resposta.

Respostas: Sim, pois as divisões de 95 e de 100 por 5 são exatas. Não, pois a divisão de 108 por 5 não é exata.

Questão 20. O que podemos perceber em relação ao algarismo das unidades dos números dessa sequência?

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que é sempre 0 ou 5.

Questão 21. Copie no caderno e complete a frase a seguir substituindo as letras A e B pelos algarismos corretos.

Resposta: Um número natural será divisível por 5 quando o algarismo da unidade for 0 ou 5.

Divisibilidade por 10

Considere a sequência numérica a seguir dos múltiplos naturais de 10.

0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, …

Questão 22. Qual é o próximo número dessa sequência?

Resposta: 110.

Questão 23. Escreva no caderno um número que pertence a essa sequência e outro que não pertence a ela.

Sugestão de resposta: 120; 131.

Questão 24. Escreva no caderno algumas multiplicações de um número natural por 10.

Sugestões de resposta: $6\cdot 10=60$; $8\cdot 10=80$; $13\cdot 10=130$.

Questão 25. Todos os resultados dessas multiplicações são divisíveis por um mesmo número natural. Que número é esse?

Resposta: 10.

Questão 26. O que podemos perceber em relação ao algarismo das unidades dos múltiplos de 10?

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que o algarismo das unidades é sempre 0.

Questão 27. Copie no caderno a frase a seguir substituindo a letra A pelo algarismo correto.

Resposta: Um número natural é divisível por 10 quando o algarismo da unidade for 0.

Divisibilidade por 100

Considere a sequência dos múltiplos de 100 entre 1 e 1.000.

100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900

Questão 28. Escreva no caderno a sequência dos múltiplos de 100 entre 900 e 1.500.

Resposta: 1.000, 1.100, 1.200, 1.300, 1.400.

Questão 29. O número 3.200 é um múltiplo de 100? E 3.250?

Respostas: Sim; Não, pois não termina em 00.

Questão 30. O que podemos perceber em relação aos algarismos da dezena e da unidade de um múltiplo de 100 maior do que 1?

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que ambos são 0.

Questão 31. Copie no caderno a frase a seguir substituindo a letra A pelo algarismo correto.

Resposta: Um número natural é divisível por 100 quando os algarismos da dezena e da unidade forem, simultaneamente, 0.

Divisibilidade por 1.000

Considere a sequência numérica dos múltiplos naturais de 1.000.

0, 1.000, 2.000, 3.000, 4.000, 5.000, …

Questão 32. Escreva no caderno o próximo número dessa sequência.

Resposta: 6.000.

Questão 33. O número 10.000 pertence a essa sequência? E o número 10.200? Justifique sua resposta.

Respostas: Sim; Não, pois 10.200 não é um múltiplo do número 1.000.

Questão 34. O que podemos perceber em relação aos algarismos da centena, da dezena e da unidade dos números dessa sequência?

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que são todos iguais a 0.

Questão 35. Agora, copie no caderno a frase a seguir substituindo a letra A pelo algarismo correto.

Resposta: Um número natural é divisível por 1.000 quando seus três últimos algarismos forem, simultaneamente, 0.

Divisibilidade por 4

Considere os números apresentados a seguir.

Questão 36. Faça os cálculos no caderno e escreva quais desses números são divisíveis por 4.

Resposta: 320, 316, 2.000 e 2.048.

Questão 37. Entre os números divisíveis por 4 apresentados, escreva no caderno aqueles cujos números formados pelos algarismos da dezena e da unidade também sejam divisíveis por 4.

Resposta: 320, 316 e 2.048.

Questão 38. Entre os números divisíveis por 4 apresentados, há também múltiplos de 10? E de 100?

Respostas: Sim, 320 e 2.000 são múltiplos de 10; Sim, 2.000 é múltiplo de 100.

Questão 39. Todo número divisível por 10 também é divisível por 4? E todo número divisível por 100? Justifique sua resposta com exemplos.

Respostas: Não, pois 110, por exemplo, é divisível por 10 e não é divisível por 4, já que $10:4$ não é uma divisão exata; Sim, pois $100:4$ é uma divisão exata e, portanto, todo número divisível por 100 pode ser escrito como um produto de 4 por qualquer outro número natural.

Questão 40. O número formado pelos dois últimos algarismos de 316 é um múltiplo de 4 e é par. Ser par é condição suficiente para que um número seja divisível por 4? Justifique sua resposta com um exemplo.

Resposta: Não, porque o número 314, por exemplo, é par e não é divisível por 4.

Questão 41. Copie no caderno a frase a seguir substituindo as letras A e B pelos números adequados.

Resposta: Um número natural com mais de dois algarismos é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos forem, simultaneamente, 0 ou formarem, na ordem em que aparecem, um número divisível por 4.

Divisibilidade por 8

Considere os números a seguir.

Agora, analise as decomposições desses números.

Questão 42. Os números 4.000, 3.000 e 1.000 são divisíveis por 8? Por quê?

Resposta: Sim, pois são múltiplos de 1.000.

Questão 43. Se 4.000, 3.000 e 1.000 são divisíveis por 8, qual é a condição para que os números 4.984, 3.256 e 1.152 também sejam divisíveis por 8?

Resposta: Que os números 984, 256 e 152 devem ser divisíveis por 8.

Questão 44. Utilize o algoritmo da divisão no caderno para verificar se os números 984, 256 e 152 são divisíveis por 8.

Resposta: São divisíveis.

Questão 45. Com o auxílio de uma calculadora, verifique se os números 4.984, 3.256 e 1.152 são divisíveis por 8.

Resposta: São divisíveis.

Questão 46. Agora, copie no caderno a frase a seguir substituindo as letras A e B pelos números adequados.

Resposta: Um número natural com mais de três algarismos é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem, simultaneamente, 0 ou formarem, na ordem em que aparecem, um número divisível por 8.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

20. Verifique se os seguintes números são divisíveis, simultaneamente, por 2, por 3, por 6 e por 9.

a) 193

Resposta: Não é divisível.

b) 252

Resposta: É divisível por 2, 3, 6 e 9.

c) 276

Resposta: É divisível por 2, 3 e 6.

d) 567

Resposta: É divisível por 3 e 9.

e) 386

Resposta: É divisível por 2.

f) 795

Resposta: É divisível por 3.

g) 541

Resposta: Não é divisível.

h) 2.968

Resposta: É divisível por 2.

i) 978

Resposta: É divisível por 2, 3 e 6.

21. Um algarismo do número a seguir está oculto.

a) Se esse número for divisível por 3, então qual pode ser esse algarismo oculto?

Possíveis respostas: 1, 4 ou 7.

b) Qual algarismo pode estar oculto para o número ser divisível por 2?

Possíveis respostas: 0, 2, 4, 6 ou 8.

c) Para que esse número seja divisível por 6, qual algarismo está oculto?

Resposta: 4.

d) Se esse número for divisível por 9, então qual algarismo está oculto?

Resposta: 4.

22. Uma turma tem 32 estudantes. É possível formar grupos com 3 estudantes, sem que nenhum deles fique sem grupo? Justifique sua resposta.

Resposta: Não. Porque o número 32 não é divisível por 3.

23. Determine o maior número de três algarismos divisível por:

a) 2

b) 3

c) 6

d) 9

Respostas: a) 998; b) 999; c) 996; d) 999.

24. Considere os seguintes números.

• 40

• 36

• 42

• 60

• 80

• 35

a) Quais desses números são divisíveis por 4?

b) Quais não são divisíveis por 3?

c) Quais são divisíveis por 4 e 5, simultaneamente?

d) Quais são divisíveis por 20?

Respostas: a) 40, 36, 60 e 80; b) 40, 80 e 35; c) 40, 60 e 80; d) 40, 60 e 80.

25. Considere os números a seguir.

• 1.734

• 3.627

• 1.224

• 1.412

• 2.518

Quais deles são divisíveis:

a) por 4?

b) por 6?

c) por 8?

d) por 9?

e) por 4, 6, 8 e 9, simultaneamente?

f) por nenhum deles?

Respostas: a) 1.224 e 1.412; b) 1.734 e 1.224; c) 1.224; d) 3.627 e 1.224; e) 1.224; f) 2.518.

26. Utilizando o fluxograma apesentado a seguir, podemos verificar se um número natural é divisível por 2.

Agora, construa no caderno um fluxograma que possibilite verificar se um número natural é divisível por 100.

Resposta nas orientações ao professor.

Números primos e números compostos

Considere a sequência dos números naturais de 1 a 10.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Agora, vamos escrever os divisores de cada um desses números.

• Divisores de 1: 1
• Divisores de 2: 1 e 2
• Divisores de 3: 1 e 3
• Divisores de 4: 1, 2 e 4
• Divisores de 5: 1 e 5
• Divisores de 6: 1, 2, 3 e 6
• Divisores de 7: 1 e 7
• Divisores de 8: 1, 2, 4 e 8
• Divisores de 9: 1, 3 e 9
• Divisores de 10: 1, 2, 5 e 10

Os números que estão em destaque na sequência dos números naturais de 1 a 10 têm apenas 2 divisores naturais: o número 1 e o próprio número. Esses números são chamados números primos.

Os outros números dessa sequência, com exceção do 1, têm mais de 2 divisores. Esses números são chamados números compostos.

Os números primos sempre despertaram grande interesse entre os matemáticos. Entre eles, podemos destacar o matemático grego Eratóstenes (276 a.C.-194 a.C.), que criou um método para determinar se um número era primo ou não. Esse método ficou conhecido como crivo de Eratóstenes.

Questão 47. Junte-se a um colega e façam uma pesquisa sobre Eratóstenes e outras de suas contribuições para a Matemática anotando no caderno.

Resposta nas orientações ao professor.

A seguir é apresentado como determinar os números primos da sequência dos números naturais de 1 a 50, utilizando o crivo de Eratóstenes.

Escrevemos a sequência dos números naturais de 1 a 50 e riscamos o número 1, pois esse número não é primo. Em seguida, contornamos o número 2, que é o próximo da sequência e é o primeiro número primo. Depois, riscamos os múltiplos de 2, pois esses não são primos.

• Agora contornamos o próximo número da sequência que não foi riscado, o 3, pois ele é um número primo. Em seguida, riscamos os múltiplos de 3, pois esses números não são primos.
• Esse procedimento deve ser seguido com os próximos números da sequência que não foram riscados, até não existir mais números a serem contornados ou riscados.

Ao final, podemos verificar que os números contornados são os números primos da sequência dos números naturais de 1 a 50.

Podemos também verificar se um número é primo realizando algumas divisões. Por exemplo: O número 127 é primo?

Para resolver esta questão, podemos dividir esse número pelos números primos menores do que ele, em ordem crescente, até obter um quociente menor do que o divisor ou igual a ele.

Se alguma das divisões for uma divisão exata, então o número não é primo, pois tem mais de 2 divisores.

Essa foi a última divisão realizada, pois obtivemos um quociente igual ao divisor.

Caso continuássemos as divisões, os quocientes seriam cada vez menores. Porém, já testamos os primos menores do que 11 e não obtivemos uma divisão exata. Portanto, 127 é um número primo.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

27. Quais são os números primos entre 1 e 50?

Resposta: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47.

28. Quais são os números primos entre 51 e 100?

Resposta: 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

29. Classifique os números a seguir em primo ou composto.

a) 159

b) 247

c) 269

d) 301

e) 331

f) 541

Respostas: a) Composto; b) Composto; c) Primo; d) Composto; e) Primo; f) Primo.

30. Junte-se a um colega e respondam às questões.

a) Por que o número 1 não é primo?

Resposta: Porque tem apenas um divisor: ele mesmo.

b) Qual é o único número natural par que é primo? Por que ele é primo?

Respostas: 2; Porque ele tem apenas dois divisores: 1 e ele mesmo.

c) Qual é o menor número ímpar que seja primo?

Resposta: 3.

d) O número 112 é primo? Por quê?

Respostas: Não. Porque ele tem mais de dois divisores: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56 e 112.

e) Quantos números primos há entre 1 e 100?

Resposta: 25 números primos.

f) O número 17 é primo? Por quê?

Respostas: Sim. Porque ele é divisível apenas por 1 e por ele mesmo.

g) Qual é o maior número primo de dois algarismos?

Resposta: 97.

31. (OBMEP–2015) Um quadro com linhas e colunas numeradas de 1 a 100 foi preenchido da seguinte forma:

na linha 1, todas as casas foram preenchidas com 1;

na linha 2, as casas pertencentes a colunas de número par foram preenchidas com 1 e as demais, com 0;

na linha 3, as casas pertencentes a colunas múltiplas de três foram preenchidas com 1 e as demais, com 0;

continuando, cada uma das demais linhas do quadro foi preenchida com o algarismo 1 nas casas de colunas múltiplas do número correspondente à linha, e com 0 nas demais.

a) Qual é o algarismo que foi escrito na linha 7 e coluna 21?

Resposta: O algarismo 1, pois 21 é múltiplo de 7.

b) Qual é a soma dos algarismos da linha 23? Por quê?

Respostas: 4. Porque entre 1 e 100 existem exatamente 4 múltiplos do número 23: 23, 46, 69 e 92.

32. Utilizando as informações da atividade anterior, responda: qual é a soma dos algarismos da coluna 29?

Resposta: 2, pois o número 29 é primo e por isso possui apenas dois divisores: 1 e ele mesmo. Logo, há apenas dois algarismos iguais a 1 na coluna 29.

33. Escreva no caderno todos os divisores naturais do número 72 e, em seguida, contorne os que são números primos.

Resposta: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Os divisores primos são 2 e 3.

Decomposição em fatores primos

Decompor um número em fatores primos significa escrever esse número como um produto de números primos.

A seguir são apresentadas 3 maneiras diferentes de decompor o número 40 em um produto de fatores primos.

Para qualquer uma das decomposições, obtemos o mesmo produto de fatores primos.

A. $40=2\cdot 20=2\cdot 2\cdot 10=2\cdot 2\cdot 2\cdot 5$

B. $40=4\cdot 10=2\cdot 2\cdot 2\cdot 5$

C. $40=5\cdot 8=5\cdot 2\cdot 4=5\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2\cdot 2\cdot 2\cdot 5$

Assim, $2\cdot 2\cdot 2\cdot 5$ é a decomposição em fatores primos do número 40. Também podemos decompor um número em fatores primos usando uma regra prática. Analise a decomposição do número 40.

Assim: $40=2\cdot 2\cdot 2\cdot 5$.

Também poderíamos decompor o número 40 em fatores primos das seguintes maneiras.

Note que o resultado final é o mesmo em todas as maneiras.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

34. Decomponha no caderno os seguintes números em fatores primos sem usar a regra prática.

a) 12

b) 20

c) 55

d) 150

e) 196

f) 210

Respostas: a) $2\cdot 2\cdot 3$; b) $2\cdot 2\cdot 5$; c) $5\cdot 11$; d) $2\cdot 3\cdot 5\cdot 5$; e) $2\cdot 2\cdot 7\cdot 7$; f) $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$.

35. Agora, decomponha no caderno os seguintes números em fatores primos usando a regra prática.

a) 200

b) 315

c) 550

d) 676

e) 430

f) 720

Respostas: a) $2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5$; b) $3\cdot 3\cdot 5\cdot 7$; c) $2\cdot 5\cdot 5\cdot 11$; d) $2\cdot 2\cdot 13\cdot 13$; e) $2\cdot 5\cdot 43$; f) $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$.

36. Em cada item, determine o número representado pelo produto de fatores primos.

a) $2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$

b) $2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 7$

c) $3\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 7$

d) $3\cdot 7\cdot 7\cdot 11$

e) $5\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 13$

f) $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 11$

g) $2\cdot 2\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 17$

h) $3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 7\cdot 13$

Respostas: a) 60; b) 378; c) 945; d) 1.617; e) 22.295; f) 48.125; g) 23.324; h) 257.985.

37. Qual é o número cuja decomposição em fatores primos é o produto de todos os números primos de um algarismo?

Resposta: 210.

38. A idade atual de meu avô é um número entre 70 e 80. Descubra a idade dele, sabendo que ela pode ser representada pelo produto de 2 números primos consecutivos.

Resposta: $7\cdot 11=77$. 77 anos.

39. Junte-se a um colega, leiam as afirmações a seguir e copiem no caderno apenas as verdadeiras. Depois, reescrevam as afirmações falsas, tornando-as verdadeiras.

a) A decomposição em fatores primos de 180 é $2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$.

Resposta: Verdadeira.

b) A decomposição em fatores primos de 50 é $2\cdot 2\cdot 5$.

Resposta: Falsa. Sugestão de resposta: A decomposição em fatores primos de 50 é $2\cdot 5\cdot 5$.

c) A decomposição em fatores primos de 44 é $3\cdot 3\cdot 5$.

Resposta: Falsa. Sugestão de resposta: A decomposição em fatores primos de 44 é $2\cdot 2\cdot 11$.

d) A decomposição em fatores primos de 350 é $2\cdot 5\cdot 5\cdot 7$.

d) Resposta: Verdadeira.