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UNIDADE

Figuras geométricas espaciais

Fotografia de uma pirâmide egípcia. Ela tem a base quadrangular, está em uma área deserta com a paisagem de uma cidade ao fundo. — Grande pirâmide de Gizé, no Egito, em 2022, cujo formato é semelhante a uma pirâmide de base quadrada.

Agora vamos estudar...

o paralelepípedo reto retângulo;
os prismas;
as pirâmides.

ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

Ao trabalhar com a página de abertura, converse com os estudantes a fim de que eles estabeleçam relação entre a construção da foto e o conteúdo referente a figuras geométricas espaciais. Questione-os, por exemplo, sobre o formato dessa construção, solicitando que o descrevam. Em seguida, peça-lhes que citem outras construções ou monumentos com esse formato. Por fim, pergunte-lhes o nome das figuras geométricas espaciais que conhecem e de construções que os fazem lembrar delas.

Metodologias ativas

Para desenvolver o trabalho com esta página de abertura, avalie a possibilidade de utilizar a metodologia ativa Abordagem por pares. Para isso, obtenha informações no tópico Metodologias e estratégias ativas, nas orientações gerais deste manual.

Algo a mais

Para mais informações sobre as Pirâmides do Egito, acesse o site do Educa Mais Brasil, disponível em: https://oeds.link/NLOR4r. Acesso em: 3 maio 2022. Nele, você encontrará informações sobre as pirâmides do Egito, tais como sua função e uma hipótese de como elas foram construídas, proposta por físicos da Universidade de Amsterdã, na Holanda.

Sugestão de avaliação

A fim de avaliar o conhecimento prévio dos estudantes acerca de geometria espacial, leve para a sala de aula, se possível, algumas representações de prismas e pirâmides. Em seguida, peça-lhes que as nomeiem e desafie-os a identificar e quantificar seus elementos (vértices, arestas e faces).

Resolução e comentários

As respostas desta atividade dependem das representações trabalhadas em sala de aula. Para melhor organização das informações, oriente a construção de um quadro, conforme apresentado a seguir.

Características de algumas figuras
Figura	Quantidade de vértices	Quantidade de arestas	Quantidade de faces

Mais informações sobre avaliações diagnósticas podem ser encontradas no tópico Avaliação, nas orientações gerais deste manual.

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Estudando figuras geométricas espaciais

Nas imagens a seguir, estão representadas algumas figuras geométricas espaciais que você provavelmente já estudou em anos anteriores.

Ilustração de uma figura geométrica espacial com duas bases circulares.

Ilustração de uma figura geométrica espacial com apenas uma base, e quadrada.

Ilustração de uma figura geométrica espacial que possui 6 lados em formatos de quadrados.

Ilustração de uma figura geométrica espacial que possui 6 lados em formatos de retângulos.

Ilustração de uma figura geométrica espacial com apenas uma base, e circular.

Ilustração de uma figura geométrica espacial que possui uma superfície curva contínua.

Ilustração de uma figura geométrica espacial com duas bases triangulares.

Ilustração de uma figura geométrica espacial com apenas uma base, e hexagonal.

Questão 1. Quais dessas figuras geométricas espaciais têm apenas superfícies planas?

Resposta: Alternativas B, C, D, G e H.

Além das construções, muitos objetos e embalagens do dia a dia lembram figuras geométricas espaciais. Considere alguns exemplos.

Imagens não proporcionais entre si.

Fotografia de uma lata de alumínio com bases redondas. — Lata de alumínio.

Fotografia de um brinquedo semelhante a um cubo mágico, mas com quatro faces triangulares e uma face quadrada. — Brinquedo pyraminx.

Fotografia de uma bola de futebol. — Bola de futebol.

Fotografia de uma caixa de fósforos. — Caixa de fósforos.

Fotografia de uma caixa de chocolate no formato que possui duas bases triangulares. — Caixa de chocolate.

Fotografia de um chapéu festivo de aniversário. — Chapéu festivo.

Fotografia de um enfeite de mesa no formato de pirâmide de base quadrada. — Enfeite de mesa.

Fotografia de uma caixa de pizza com a face da tampa em formato de um octógono. — Caixa para *pizza*.

Questão 2. Qual desses objetos ou embalagens se parece com a figura espacial representada pela imagem C? E pela imagem F?

Respostas: Dado; Bola de futebol.

ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

Objetivos da unidade

Reconhecer a planificação de um paralelepípedo.

Reconhecer as planificações de prismas e de pirâmides.

Quantificar vértices, arestas e faces de prismas e de pirâmides.

Justificativas

Os conteúdos abordados nesta unidade são relevantes para que os estudantes consigam verificar e identificar prismas e pirâmides, bem como suas respectivas planificações. Além disso, são essenciais para os futuros estudos envolvendo a temática.

Nesse momento, é importante propor as construções sugeridas, pois, assim, a percepção dos estudantes sobre as características e propriedades de cada figura geométrica espacial é facilitada. Esse é um dos fatores que caracterizam a geometria experimental, em que a aquisição dos conceitos está associada à experimentação e à observação de elementos da realidade e do espaço físico.

Se achar conveniente, nomeie, com ajuda dos estudantes, as figuras geométricas espaciais apresentadas nesta página. A: cilindro; B: pirâmide de base quadrada; C: cubo; D: paralelepípedo; E: cone; F: esfera; G: prisma de base triangular; H: pirâmide de base hexagonal.

Caso os estudantes apresentem dificuldades na questão 1, identifique com eles as superfícies planas e as não planas na figura A. Na sequência, deixe que a resolvam. Por fim, solicite a alguns deles que apresentem suas soluções para a turma.

Para aprimorar o trabalho com a questão 2, peça aos estudantes que identifiquem quais figuras geométricas espaciais se parecem com alguns dos outros objetos apresentados na página.

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Paralelepípedo reto retângulo

Na foto a seguir é apresentado o edifício do Banco Nacional do Desenvolvimento Social (BNDES), cujo formato lembra um paralelepípedo reto retângulo, também conhecido como bloco retangular.

Fotografia de um edifício preto, no formato de um bloco retangular, com uma paisagem de cidade ao fundo. — Edifício do BNDES, no Rio de Janeiro, em 2017.

Agora considere alguns elementos que podemos destacar no paralelepípedo reto retângulo representado a seguir.

As partes planas chamam-se faces.
O encontro de duas faces recebe o nome de aresta.
O encontro de três ou mais arestas recebe o nome de vértice.

Ilustração de um paralelepípedo reto retângulo com indicações. A lateral é chamada de face, as linhas de aresta e o encontro das arestas é o vértice.

Atenção!

O cubo é um paralelepípedo reto retângulo que tem todas as arestas com medidas de comprimento iguais. As seis faces do cubo são quadrados.

Todo paralelepípedo reto retângulo tem 8 vértices, 6 faces e 12 arestas, e todas as faces são retângulos.

Questão 3. O comprimento de todas as arestas de um cubo mede $108 centímetros$ . Determine em seu caderno a medida de comprimento, em centímetro, de cada aresta desse cubo.

Resposta: $9 centímetros$ .

ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

Se achar conveniente, apresente aos estudantes os elementos do paralelepípedo reto retângulo (face, vértice e aresta) em uma representação física dessa figura.

Durante o desenvolvimento da questão 3, faça questionamentos como: "Quantas são as arestas de um cubo?"; "As arestas de um cubo têm medidas de comprimento iguais ou diferentes?". Com isso, espera-se que os estudantes percebam que, para obter a solução desta questão, basta dividir $108 centímetros$ por $12$ , pois o cubo tem $12$ arestas com mesma medida de comprimento.

Atividade a mais

Complemente o trabalho com esta página, propondo aos estudantes a atividade a seguir. Para isso, reproduza-a na lousa, peça-lhes que efetuem os cálculos no caderno e, ao final, avalie se resolveram corretamente.

Andreia precisa empilhar caixas iguais em 4 camadas com 16 caixas em cada uma. A imagem a seguir apresenta as que ela já empilhou.

a) Quantas caixas ainda faltam para ela terminar a pilha?

b) Quais são as medidas das dimensões de cada caixa, sabendo que o comprimento, a largura e a altura da pilha medem, respectivamente, $72 centímetros$ , $48 centímetros$ e $24 centímetros$ ?

Resoluções e comentários

a) Inicialmente, determinamos a quantidade de caixas que Andreia vai empilhar. Para isso, efetuamos: $4 vezes 16 igual a 64$ . Logo, ela empilhará $64$ caixas. Em seguida, calculamos a diferença entre o total de caixas e a quantidade das que já foram empilhadas, ou seja:

$64 menos 43 igual a 21$

Portanto, faltam $21$ caixas para Andreia terminar a pilha.

b) Como o comprimento, a largura e a altura da pilha medem, respectivamente, $72 centímetros$ , $48 centímetros$ e $24 centímetros$ , fazemos:

$72 centímetros dividido por 4 igual a 18 centímetros$ ;

$48 centímetros dividido por 4 igual a 12 centímetros$ ;

$24 centímetros dividido por 4 igual a 6 centímetros$ .

Portanto, as dimensões de cada uma das caixas medem $18 centímetros$ , $12 centímetros$ e $6 centímetros$ .

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Roberto está desmontando uma caixa que tem formato de um paralelepípedo reto retângulo. Considere três momentos diferentes.

Ilustração das mãos de um menino desmontando uma caixa de papel, de formato de um paralelepípedo reto retângulo, que está em cima de uma mesa. Nesse momento o menino está abrindo as faces laterais da caixa. — Momento 1

Qual das imagens a seguir representa essa caixa totalmente desmontada?

Ilustração de uma figura plana composta por 4 retângulos, um abaixo do outro, pelo lado maior. De cima para baixo, o segundo retângulo possui um quadrado do lado direito e outro do seu lado esquerdo e o quarto retângulo possui um quadrado do seu lado direito.

Resposta: Alternativa B.

2. Nas faces opostas do paralelepípedo reto retângulo a seguir aparecem as mesmas letras.

Ilustração de um paralelepípedo reto retângulo com três faces aparentes com, respectivamente, as letras A, B, C.

a) Quantas são as faces com a letra A?

Resposta: 2 faces.

b) E quantas são as faces com a letra C?

Resposta: 2 faces.

3. Analise as afirmações a seguir e determine quais são verdadeiras.

a) Todo paralelepípedo reto retângulo tem 8 faces.

b) Um paralelepípedo reto retângulo pode ter 12 vértices.

c) Todo paralelepípedo reto retângulo tem 12 arestas.

d) Todo paralelepípedo reto retângulo tem faces quadradas e retangulares.

e) Um paralelepípedo reto retângulo pode ter faces quadradas.

f) Todo paralelepípedo reto retângulo tem exatamente duas faces quadradas.

Agora, reescreva as afirmações falsas em seu caderno corrigindo-as.

Resposta: Afirmações verdadeiras c e e; Sugestão de respostas: a) Todo paralelepípedo reto retângulo tem 6 faces; b) Um paralelepípedo reto retângulo tem 12 vértices; d) Nem todo paralelepípedo reto retângulo tem faces quadradas e retangulares; f) Um paralelepípedo reto retângulo pode ter duas faces quadradas.

ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

Metodologias ativas

Ao trabalhar com as atividades desta unidade, avalie a conveniência de utilizar a metodologia ativa Pensar-conversar-compartilhar. Para isso, obtenha informações no tópico Metodologias e estratégias ativas, nas orientações gerais deste manual.

Ao trabalhar com a atividade 1, leve os estudantes a perceber que a diferença entre os moldes apresentados está apenas na posição das abas que colam as "faces". Se julgar pertinente, organize-os em grupos e disponibilize os moldes apresentados na atividade. Desse modo, eles terão a oportunidade de montá-los e verificar com qual deles é possível obter um paralelepípedo.

Antes de propor aos estudantes as atividades 2 e 3, leve para a sala de aula representações de paralelepípedos retos retângulos e peça-lhes que identifiquem os vértices, as arestas, as faces e as faces opostas dessas figuras.

Durante o desenvolvimento da atividade 3, leia as afirmações com os estudantes e questione-os acerca da veracidade de cada uma delas. No caso das afirmações falsas, solicite um contraexemplo.

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4. Cada pilha a seguir é formada por cubos iguais, ou seja, com arestas de mesma medida de comprimento. No mínimo, quantos cubos devem ser acrescentados em cada pilha para que ela tenha o formato de um cubo?

Ilustração de uma pilha de cubos composta por 9 cubos iguais lado a lado, formando 3 linhas e 3 colunas. Há mais dois cubos, lado a lado, em cima de dois desses citados anteriormente.

Ilustração de uma pilha composta por 4 cubos iguais. Eles estão dispostos da seguinte forma: há um cubo com outro em cima, e dois lado a lado em duas faces laterais consecutivas do primeiro citado.

Ilustração de uma pilha composta por 7 cubos iguais. Eles estão dispostos da seguinte forma: 3 cubos estão alinhados; e encostado em um desses cubos, em uma extremidade, há outros dois cubos alinhados. Juntos, esses 5 cubos se assemelham a uma letra L. E sobre um deles estão os outros dois cubos empilhados.

Ilustração de uma pilha composta por 5 cubos iguais. Eles estão dispostos da seguinte forma: há um cubo com outro em cima, e três lado a lado em três faces laterais consecutivas do primeiro citado.

Respostas: A. 16; B. 4; C. 20; D. 22.

5. Na caixa representada a seguir há 72 cubos iguais com o comprimento da aresta medindo $3 centímetros$ .

Ilustração de uma caixa com uma pilha de cubos.

No máximo, quantos cubos iguais aos apresentados podem ser colocados em cada caixa representada a seguir?

Ilustração de uma caixa, com formato de paralelepípedo retângulo, com as dimensões: 12 centímetros de comprimento, 6 centímetros de largura, 9 centímetros de altura.

Ilustração de uma caixa, com formato de paralelepípedo retângulo, com as dimensões: 15 centímetros de comprimento, 12 centímetros de largura, 12 centímetros de altura.

Ilustração de uma caixa, com formato de paralelepípedo retângulo, com as dimensões: 27 centímetros de comprimento, 12 centímetros de largura, 9 centímetros de altura.

Respostas: A. 24; B. 80; C. 108.

6. Luísa construiu a planificação de um cubo e a pintou de acordo com a imagem a seguir.

Ilustração de uma figura plana composta por 4 quadrados, um ao lado do outro na horizontal e, no terceiro, da esquerda para a direita, há outro quadrado em cima e um em baixo. Cada quadrado possui uma metade de roxo escuro e metade de roxo claro. Da esquerda para a direita, o primeiro quadrado tem a metade esquerda e inferior escura, o segundo tem a metade esquerda e superior escura, o terceiro tem a metade esquerda e superior escura e o quarto tem a metade direita e superior escura. O quadrado de cima tem a metade direita e superior escura e o quadrado de baixo também.

Qual imagem a seguir representa o cubo construído por Luísa?

Ilustração de um cubo, em perspectiva em que 3 faces estão aparentes. As duas faces laterais tem a metade esquerda e superior pintada de roxo escuro. E a face superior tem a metade esquerda inferior em roxo escuro.

Ilustração de um cubo, em perspectiva em que 3 faces estão aparentes. A face superior tem a metade esquerda e inferior pintada de roxo escuro, a face frontal tem a metade esquerda e inferior em roxo escuro e a face da direita tem a metade direita e superior em roxo escuro.

Ilustração de um cubo, em perspectiva em que 3 faces estão aparentes. A face superior tem a metade esquerda e inferior pintada de roxo de escuro, a face frontal tem a metade esquerda e inferior em roxo escuro e a face da direita tem a metade direita e inferior em roxo escuro.

Ilustração de um cubo, em perspectiva em que 3 faces estão aparentes. A face superior tem a metade direita e superior pintada de roxo escuro, a face frontal tem a metade esquerda e superior em roxo escuro e a face da direita tem a metade esquerda e inferior em roxo escuro.

Ilustração de um cubo, em perspectiva em que 3 lados são aparentes. A face superior tem a metade esquerda e inferior pintada de roxo escuro, a face da frente tem a metade direita e superior em roxo escuro e a face da direita tem a metade esquerda e inferior em roxo escuro.

Resposta: Alternativa B.

ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

Se os estudantes apresentarem dificuldades na atividade 4, faça alguns questionamentos, como: "A pilha A tem uma camada com 9 cubos. Quantas dessas camadas são necessárias para obter o formato de um cubo?". Nesse momento, espera-se que eles identifiquem a necessidade de 3 dessas camadas, ou seja, 27 cubos. Como na pilha há 11 cubos, devemos acrescentar no mínimo 16 para que, ela tenha o formato cúbico. Nos outros itens, chame a atenção deles para o fato de que não há uma camada "pronta" e que, nesse caso, inicialmente, eles devem determinar a menor camada possível para, na sequência, fazer uma análise semelhante à apresentada no item A.

Com o trabalho proposto nas atividades 5 e 6, espera-se ampliar a capacidade dos estudantes de recorrer ao pensamento lógico e ao conhecimento adquirido para resolver situações-problema, uma vez que atividades como estas instigam a intuição e a busca por conhecimento, à medida que eles selecionam procedimentos e verificam sua adequação à situação apresentada. Aproveite a ocasião para solicitar a alguns dos estudantes que exponham suas soluções para a turma, explicando os procedimentos utilizados.

Sugestão de avaliação

Para avaliar como os estudantes estão lidando com os conteúdos estudados, reproduza na lousa a atividade a seguir para copiarem no caderno.

Quantos cubos cujo comprimento das arestas mede $7 centímetros$ cabem em uma caixa com largura interna, comprimento interno e altura interna medindo, respectivamente, $21 centímetros$ , $28 centímetros$ e $14 centímetros$ ?

Resolução e comentários

Para solucionarmos esse problema, devemos determinar, inicialmente, a quantidade de vezes que o comprimento da aresta do cubo cabe na largura, comprimento e altura internos da caixa. Sendo assim, dividimos:

a medida da largura interna pela medida da largura do cubo: $21 centímetros dividido por 7 centímetros igual a 3$ .

a medida do comprimento interno pela medida do comprimento do cubo: $28 centímetros dividido por 7 centímetros igual a 4$ .

a medida da altura interna pela medida da altura do cubo: $14 centímetros dividido por 7 centímetros igual a 2$ .

Portanto, nessa caixa, cabem $2$ camadas com $3$ vezes $4$ cubos (ou seja, $12$ cubos) cujo comprimento das arestas mede $7 centímetros$ , ou seja, $2$ vezes $12$ cubos, que é igual a $24$ cubos.

Mais informações sobre avaliações podem ser encontradas no tópico Avaliação, nas orientações gerais deste manual.

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7. Junte-se a um colega e escrevam no caderno os pares de peças que, ao serem encaixadas, formam um cubo.

Ilustração de uma parte de um cubo, com ênfase para o espaço de um pequeno cubo faltante.

Ilustração de uma parte de um cubo, com ênfase para seis espaços correspondentes a 6 pequenos cubos faltantes.

Ilustração de uma parte de um cubo, com ênfase para o espaço de três pequenos cubos faltantes.

Ilustração de uma parte de um cubo, com ênfase para três pequenos cubos de saliência.

Ilustração de uma parte de um cubo, com ênfase para o espaço de seis pequenos cubos faltantes.

Ilustração de uma parte de um cubo, com ênfase para um pequeno cubo de saliência.

Resposta: A-F; B-E; C-D.

8. Em um depósito foram empilhadas 60 caixas em formato de paralelepípedo reto retângulo, como mostra a imagem a seguir. As medidas das dimensões de cada caixa são as seguintes: $34 centímetros$ de comprimento, $19 centímetros$ de largura e $12 centímetros$ de altura.

Ilustração de uma pilha com 60 caixas formando um paralelepípedo reto retângulo, com a demarcação do seu comprimento, largura e altura. As caixas estão dispostas da seguinte forma. Cada pilha possui 4 caixas, o que corresponde a altura. 3 pilhas estão dispostas lado a lado em 5 fileiras. O comprimento corresponde as 3 caixas lado a lado e a largura corresponde as 5 caixas enfileiradas.

Determine, em centímetros, as medidas das dimensões dessa pilha.

Respostas: Comprimento: $102 centímetros$ ; largura: $95 centímetros$ ; altura: $48 centímetros$ .

9. Leia a seguir algumas das vantagens da pavimentação com paralelepípedos.

Possibilita a infiltração da água das chuvas, diminuindo a ocorrência de enchentes.

Absorve calor, contribuindo para amenizar a temperatura.

É resistente e tem alta durabilidade, o que a torna ecologicamente correta.

Fotografia de uma igreja com sua rua da frente e lateral feitas de paralelepípedos. A igreja tem duas torres nas laterais com uma cúpula acima. No alto de seu centro há uma cruz. Próximo a ela há várias casas e vegetação ao fundo. Em uma das ruas, alguns carros estacionados. — Ruas construídas com paralelepípedos em torno da igreja de Nossa Senhora do Rosário dos Homens Pretos em Ouro Preto, MG, 2020.

Para pavimentar parte de uma rua serão comprados blocos de pedra cujo formato lembra um paralelepípedo reto retângulo, como os da pilha a seguir.

Ilustração de uma pilha de blocos de pedra, em formato de paralelepípedo reto retângulo, com as dimensões: 90 centímetros de comprimento, 24 centímetros de largura, 50 centímetros de altura.

Sabendo que esses paralelepípedos retos retângulos têm dimensões com medidas aproximadamente iguais, calcule as medidas das dimensões aproximadas de cada um deles.

Respostas: Comprimento: $18 centímetros$ ; largura: $12 centímetros$ ; altura: $10 centímetros$ .

ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

A atividade 7 possibilita que os estudantes interajam de modo cooperativo na busca de soluções para o problema proposto, conforme orienta a Competência específica de Matemática 8. Enfatize a importância de respeitar o modo de pensar dos colegas e também a possibilidade de aprender com eles, uma vez que na busca de soluções surgem opiniões que podem ser consensuais ou não.

Após as duplas solucionarem o problema, peça a algumas delas que exponham suas resoluções para a turma.

Ao trabalhar com as atividades 8 e 9, verifique se os estudantes compreenderam que, para solucionar a primeira, é necessário efetuar multiplicações e, para resolver a segunda, divisões. Após todos resolverem estas atividades, sorteie dois estudantes para apresentar suas soluções à turma e justificar os procedimentos utilizados.

Na atividade 9, comente com os estudantes que a palavra "paralelepípedo" é utilizada para indicar a figura geométrica espacial e também a pedra cujo formato lembra a figura, utilizada em pavimentações ou nos calçamentos de ruas. Questione-os, por exemplo, sobre a pavimentação da cidade em que moram e se sabem qual é o tipo de material usado na construção das ruas. Esse bate-papo levará os estudantes a relacionar o real e o abstrato, à medida que comparam a pedra de calçamento da rua com a figura geométrica espacial.

Ao trabalhar com essa atividade, desenvolvem-se o tema contemporâneo transversal Diversidade cultural, as Competências gerais 1, 3 e 9 e a Competência específica de Matemática 1, uma vez que se valorizam o multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais brasileiras, as diversas manifestações culturais, a diversidade de indivíduos e de grupos sociais e mobiliza-se conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social e cultural.

O contexto apresentado na atividade 9 possibilita uma interação com o componente curricular de História. Converse com o professor do componente a fim de proporem juntos uma aula sobre a origem da pavimentação com paralelepípedos e o motivo de serem usadas pedras cujo formato lembra essa figura geométrica espacial.

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Prisma e pirâmide

Alguns prismas e pirâmides estão representados a seguir.

Esquema. Há o título 'prismas' e as ilustrações de 4 figuras geométricas espaciais, lado a lado: da esquerda para a direita, a primeira possui duas bases triangulares, a segunda possui duas bases pentagonais, a terceira possui duas bases hexagonais e a quarta possui duas bases quadradas.

Esquema. Há o título 'pirâmides' e as ilustrações de 4 figuras geométricas espaciais, lado a lado: da esquerda para a direita, a primeira possui apenas uma base que é pentagonal, a segunda possui apenas uma base que é hexagonal, a terceira possui apenas uma base que é quadrada e a quarta possui apenas uma base que é triangular.

Considere alguns elementos que podemos destacar em um prisma.

Ilustração de um prisma de base pentagonal, com a demarcação de que a lateral é chamada de face lateral, a face de baixo e de cima de base, as linhas de aresta e o encontro das arestas é o vértice. — Prisma de base pentagonal.

Os prismas têm duas faces, chamadas bases, que são paralelas e idênticas entre si. As outras faces são chamadas faces laterais. As arestas laterais também são paralelas entre si.

No prisma anterior, as bases são pentágonos. Portanto, ele é nomeado prisma de base pentagonal.

Analise a seguir outros prismas cujas bases não são pentágonos.

Ilustração de um prisma. Ele possui duas bases, as quais tem formato de triângulo. — Prisma de base triangular.

Ilustração de um prisma. Ele possui duas bases, as quais tem formato de quadrado. — Prisma de base quadrada.

Ilustração de um prisma. Ele possui duas bases, as quais tem formato de hexágono. — Prisma de base hexagonal.

Agora, considere alguns elementos que podemos destacar em uma pirâmide.

Ilustração de uma pirâmide de base pentagonal, com a demarcação de que a lateral é chamada de face lateral, a face de baixo de base, as linhas de aresta e o encontro das arestas é o vértice. — Pirâmide de base pentagonal.

As pirâmides têm apenas uma face chamada base. As outras faces são chamadas faces laterais, que são triângulos e possuem um vértice em comum.

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Na pirâmide apresentada anteriormente, a base é um pentágono. Assim, ela é nomeada pirâmide de base pentagonal.

Assim como os prismas, as pirâmides também recebem nomes relacionados ao polígono de sua base. Considere outras pirâmides.

Ilustração de uma pirâmide. Ela possui uma base, a qual tem formato de um triângulo. — Pirâmide de base triangular.

Ilustração de uma pirâmide. Ela possui uma base, a qual tem formato de um quadrado. — Pirâmide de base quadrada.

Ilustração de uma pirâmide. Ela possui uma base, a qual tem formato de um hexágono. — Pirâmide de base hexagonal.

Analise as planificações de um prisma e de uma pirâmide, ambas de base pentagonal.

Ilustração de uma figura plana composta por um pentágono no centro e cinco retângulos ao redor, cada um encostado em um dos lados do pentágono. Em um desses retângulos também há outro pentágono alinhado com o lado oposto ao que está o pentágono central. — Planificação de um prisma de base pentagonal.

Ilustração de uma figura plana composta por um pentágono no centro e cinco triângulos ao redor, cada um encostado em um dos lados do pentágono. — Planificação de uma pirâmide de base pentagonal.

Questão 4. Junte-se a um colega e escrevam, no caderno, uma diferença entre os prismas e as pirâmides.

Resposta pessoal. Sugestão de resposta: Prismas têm duas bases e as pirâmides têm somente uma.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

10. A seguir estão representados prismas e pirâmides. Identifique quais são os prismas e quais são as pirâmides.

Ilustração de uma figura geométrica espacial com duas bases, pentagonais.

Ilustração de uma figura geométrica espacial com apenas uma base, e pentagonal.

Ilustração de uma figura geométrica espacial com apenas uma base, e triangular.

Ilustração de uma figura geométrica espacial com duas bases, retangulares.

Resposta: Prismas: alternativas B, D e F; Pirâmides: alternativas A, C e E.

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11. Utilizando cartolina, foram construídas três representações de figuras geométricas espaciais.

Ilustração de um prisma de base triangular, feito de papel, semiaberto. — Etapa 1

Ilustração de um prisma de base triangular. — Etapa 2

Ilustração de uma pirâmide de base quadrada, feita de papel, semiaberta. — Etapa 1

Ilustração de uma pirâmide de base quadrada. — Etapa 2

Ilustração de uma pirâmide de base pentagonal, feita de papel, semiaberta. — Etapa 1

Ilustração de uma pirâmide de base pentagonal. — Etapa 2

No caderno, associe cada planificação a seguir a uma dessas figuras geométricas espaciais.

Ilustração de uma figura plana composta por um quadrado no centro e 4 triângulos ao redor. Cada triângulo tem um lado em comum com um lado do quadrado.

Ilustração de uma figura plana composta por 3 retângulos um ao lado do outro e, no retângulo do meio, há um triângulo em cima e outro embaixo.

Resposta: A-3; B-2; C-1.

12. Na imagem está representada uma pirâmide de base triangular.

Ilustração de uma pirâmide de base triangular.

Quais imagens a seguir representam a planificação dessa pirâmide?

Ilustração de uma figura plana composta por 4 triângulos iguais, um do lado do outro. Os 4 triângulos juntos formam um quadrilátero.

Ilustração de uma figura plana composta por 4 triângulos iguais, com um vértice em comum de todos. 3 deles estão alinhados na parte superior formado um quadrilátero. E abaixo do terceiro triângulo está o quarto triângulo.

Ilustração de uma figura plana composta por um triângulo central e três triângulos laterais, cada um dividindo um lado com o central. Os 4 triângulos juntos formam um triângulo maior.

Resposta: Alternativas A e C.

13. Escreva no caderno quantas faces, vértices e arestas tem cada figura geométrica a seguir.

Ilustração de uma pirâmide de base heptagonal.

Ilustração de uma pirâmide de base octogonal.

Ilustração de um prisma de base octogonal.

Respostas: A. 6 faces, 8 vértices e 12 arestas; B. 8 faces, 8 vértices e 14 arestas; C. 9 faces, 9 vértices e 16 arestas; D. 10 faces, 16 vértices e 24 arestas.

ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

Com o trabalho das atividades 11 e 12, espera-se que os estudantes ampliem sua capacidade de recorrer ao pensamento lógico e à criatividade para resolver problemas. Atividades como estas instigam a intuição e o senso espacial. Aproveite-as para solicitar a alguns estudantes que exponham suas estratégias de resolução para a turma.

A análise das etapas de construção proposta na atividade 11 contribui para o desenvolvimento do pensamento computacional.

A atividade 13 desenvolve aspectos da habilidade EF06MA17, uma vez que os estudantes são levados a quantificar vértices, arestas e faces de prismas e de pirâmides. Caso apresentem dificuldade em identificar esses elementos, retome o trabalho com a página 95.

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14. Escreva no caderno o número correspondente a cada letra apresentada nos quadros.

Características de diferentes prismas
Quantidade de lados do polígono da base	Quantidade de faces	Quantidade de arestas	Quantidade de vértices
3	5	A	6
B	C	12	D
E	7	F	G
6	H	I	J

Características de diferentes pirâmides
Quantidade de lados do polígono da base	Quantidade de faces	Quantidade de arestas	Quantidade de vértices
3	K	6	4
L	M	8	N
5	6	O	P
Q	7	12	R

Resposta: A: 9; B: 4; C: 6; D: 8; E: 5; F: 15; G: 10; H: 8; I: 18; J: 12; K: 4; L: 4; M: 5; N: 5; O: 10; P: 6; Q: 6; R: 7.

a) Quanto aos prismas nesse quadro, o que é possível concluir em relação à quantidade de lados do polígono da base e à quantidade de arestas? E em relação às pirâmides?

Respostas: A quantidade de arestas é igual ao triplo da quantidade de lados do polígono da base. A quantidade de arestas é igual ao dobro da quantidade de lados do polígono da base.

b) Quantos vértices tem um prisma cuja base é um dodecágono? E quantos vértices tem uma pirâmide com essa mesma base?

Respostas: 24 vértices; 13 vértices.

ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

Na atividade 14, os estudantes são desafiados a estabelecer relação entre a quantidade de arestas e de lados do polígono da base de prismas e pirâmides, desenvolvendo, assim, a habilidade EF06MA17. Aproveite os quadros apresentados para fazer questionamentos como: "Ao analisar a quantidade de faces dos prismas e de lados do polígono de sua base, o que você percebe? E no caso das pirâmides?"; "Ao analisar a quantidade de vértices dos prismas e de lados do polígono de sua base, o que você verifica? E no caso das pirâmides?".

Nesse momento, com o auxílio dos estudantes, conclua que:

nos prismas, a quantidade de faces é igual à quantidade de lados do polígono da base mais 2, e a quantidade de vértices é igual ao dobro da quantidade de lados do polígono da base.

nas pirâmides, a quantidade de faces e de vértices é igual à quantidade de lados do polígono da base mais 1.

Metodologias ativas

Para desenvolver o trabalho com a atividade 17, avalie a possibilidade de aplicar a metodologia ativa Pensamento do design. Para isso, obtenha informações no tópico Metodologias e estratégias ativas, nas orientações gerais deste manual.

Ao final do trabalho com as atividades desta unidade, avalie a possibilidade de aplicar a metodologia ativa Escrita rápida. Para isso, obtenha informações no tópico Metodologias e estratégias ativas, nas orientações gerais deste manual.

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15. Considere uma pirâmide de base quadrada, como a representada a seguir.

Compare a quantidade de faces dessa pirâmide com a quantidade de vértices. O que é possível concluir?

Resposta: São iguais.

16. O fluxograma a seguir possibilita identificar uma característica em relação à quantidade de lados do polígono da base, tanto de um prisma quanto de uma pirâmide, e à quantidade de arestas. Para que esse fluxograma fique completo, associe cada letra indicada nele com a informação correspondente.

Informações

A quantidade de arestas é igual ao triplo da quantidade de lados do polígono da base.
É um prisma?
Fim
A quantidade de arestas é igual ao dobro da quantidade de lados do polígono da base.
Início

Resposta: A: Início; B: É um prisma?; C: A quantidade de arestas é igual ao triplo da quantidade de lados do polígono da base; D: A quantidade de arestas é igual ao dobro da quantidade de lados do polígono da base; E: Fim.

Agora, usando o fluxograma, determine a quantidade de arestas de:

a) uma pirâmide cuja base é um polígono com 20 lados.

Resposta: 40 arestas.

b) um prisma cuja base é um polígono com 16 lados.

Resposta: 48 arestas.

17. Flávio vai construir um prisma e uma pirâmide para um trabalho da escola. O prisma terá 9 faces e a pirâmide terá 11 faces. Os polígonos da base dessas figuras geométricas espaciais serão respectivamente:

a) octógono e eneágono.

b) heptágono e decágono.

c) heptágono e eneágono.

d) octógono e decágono.

e) eneágono e undecágono.

Resposta: Alternativa b.

ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

As atividades desta página desenvolvem aspectos da habilidade EF06MA17.

Para complementar a atividade 15, peça aos estudantes que representem outras pirâmides (ou utilizem as apresentadas na unidade) e verifique se a relação que fizeram antes também é válida nelas.

A atividade 16 desenvolve o pensamento computacional, a Competência geral 4 e a Competência específica de Matemática 6, uma vez que trabalha com fluxogramas na resolução de problemas de Geometria. Faça a leitura do enunciado da atividade com eles e organize as ideias coletivamente. Por fim, sorteie um estudante para expor sua solução à turma, justificando os procedimentos utilizados.

Caso os estudantes apresentem dificuldades na atividade 17, retome a discussão proposta na atividade 14 da página anterior. Nessa ocasião, espera-se que eles relacionem a quantidade de faces com a quantidade de lados do polígono da base de prismas e de pirâmides.

Sugestão de avaliação

A fim de avaliar o aprendizado dos estudantes em relação a alguns conteúdos estudados nesta unidade, proponha-lhes que resolvam a atividade a seguir.

Em seu caderno, escreva a quantidade de vértices, arestas e faces de um prisma de base triangular e de uma pirâmide de base heptagonal.

Resolução e comentários

Inicialmente, analisaremos o prisma de base triangular. Como a base do prisma é um triângulo, para determinar a quantidade de:

vértices, fazemos: $2 vezes 3 igual a 6$ .

arestas, fazemos: $3 vezes 3 igual a 9$ .

faces, fazemos: $3 mais 2 igual a 5$ .

Portanto, o prisma de base triangular tem 6 vértices, $9$ arestas e $5$ faces.

Agora, analisaremos a pirâmide de base heptagonal. Como a base dela é um heptágono, para determinar a quantidade de:

vértices, fazemos: $7 mais 1 igual a 8$ .

arestas, fazemos: $2 vezes 7 igual a 14$ .

faces, fazemos: $7 mais 1 igual a 8$ .

Portanto, a pirâmide de base heptagonal tem $8$ vértices, $14$ arestas e $8$ faces.

Mais informações sobre avaliações podem ser encontradas no tópico Avaliação, nas orientações gerais deste manual.

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O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. (OBMEP-2017) Em um dos lados de uma folha de papel grosso, Pedro desenhou a figura a seguir. Depois, recortou-a e montou uma torre em miniatura. Das cinco imagens a seguir, quais podem representar a torre montada por Pedro?

Ilustração de uma torre planificada. No centro da figura há um quadrado, e há 4 retângulos ao redor, cada um encostado em um dos lados do quadrado. O retângulo da esquerda possui quadrados desenhados, o retângulo de cima possui riscos diagonais, o da direita possui bolinhas pintadas e o retângulo de baixo possui bolinhas em branco. Alinhado a cada retângulo, há um triângulo colorido de rosa no lado oposto ao quadrado central.

Ilustração de uma torre feita de papel, em perspectiva em que dois lados são aparentes. O lado aparente da esquerda possui riscos diagonais e o da direita possui bolinhas pintadas. A parte superior da torre tem o formado de pirâmide de base quadrada com as faces triangulares coloridas de rosa. — Imagem 1

Ilustração de uma torre feita de papel, em perspectiva em que dois lados são aparentes. O lado aparente da esquerda possui bolinhas pintadas e o da direita possui bolinhas em branco. A parte superior da torre tem o formado de pirâmide de base quadrada com as faces triangulares coloridas de rosa. — Imagem 3

Ilustração de uma torre feita de papel, em perspectiva em que dois lados são aparentes. O lado aparente da esquerda possui quadrados desenhados e o da direita possui riscos diagonais. A parte superior da torre tem o formado de pirâmide de base quadrada com as faces triangulares coloridas de rosa. — Imagem 5

a) Imagens 1, 3 e 5.

b) Imagens 1, 4 e 5.

c) Imagens 1, 2 e 3.

d) Imagens 2, 3 e 4.

e) Imagens 3, 4 e 5.

Resposta: Alternativa a.

2. A professora de Carlos escolheu três estudantes da turma e pediu que desmontassem caixas com formato de cubo, como a apresentada a seguir, e recortassem as abas que as fixavam. Ao desmontar as caixas, cada aluno obteve uma planificação diferente. Entre as figuras a seguir, apenas uma não pode representar uma planificação obtida pelos alunos. Qual é essa figura?

Ilustração de uma figura plana composta por 3 quadrados, um ao lado do outro, na horizontal. Abaixo do quadrado do meio há mais três quadrados, um abaixo do outro.

Ilustração de uma figura plana composta por 4 quadrados, um abaixo do outro. De cima para baixo, há um quadrado na esquerda do primeiro e há outro quadrado na direita do segundo.

Ilustração de uma figura plana composta por 4 quadrados, um abaixo do outro e, no segundo, de cima para baixo, há outro quadrado na esquerda e outro na direita.

Ilustração de uma figura plana composta por 4 quadrados, um abaixo do outro na vertical e, no segundo e no quarto, de cima para baixo, há outro quadrado na direita deles.

Resposta: Alternativa D.

3. A figura A representa a base de um prisma e a B, a base de uma pirâmide.

a) Quantas faces laterais tem esse prisma? E quantas faces laterais tem a pirâmide?

Respostas: 8; 6.

b) Qual é o nome de cada uma dessas figuras geométricas espaciais?

Resposta: prisma de base octogonal; pirâmide de base hexagonal.

ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

1 e 2. Objetivo

Avaliar se os estudantes relacionam a planificação à figura geométrica espacial correspondente.

Como proceder

Na atividade 1, caso julgue necessário, leve os estudantes a identificar a necessidade de comparar os elementos das "faces" das torres com o desenho de Pedro, principalmente a posição das linhas. Se for preciso, oriente-os a reproduzir o desenho e construir a torre. Já na atividade 2, se apresentarem dificuldades, reproduza as planificações de cada item e entregue a eles. Desse modo, eles poderão montá-las, percebendo a impossibilidade de o item D representar a planificação de um cubo.

3. Objetivo

Verificar se os estudantes estabelecem relação entre a quantidade de arestas laterais de prismas e de pirâmides e o polígono de sua base.

Como proceder

Caso os estudantes apresentem dificuldades em quantificar as arestas laterais do prisma e da pirâmide, leve-os a perceber que, de cada um dos vértices do polígono da base, parte uma aresta lateral. Consequentemente, a quantidade de arestas laterais é igual à de vértices do polígono da base.