Números racionais

A professora Roberta escreveu alguns números na lousa.

Eles são números racionais e podem ser escritos tanto na forma fracionária quanto na decimal.

Em seguida, a professora organizou esses números em uma reta numérica.

Analise como ela localizou, por exemplo, a fração $\frac{1}{3}$ nessa reta.

Podemos transformar um número racional representado na forma decimal em fracionário. A seguir apresentamos alguns exemplos.

• $0,5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$
• $-0,22=-\frac{22}{100}=-\frac{11}{50}$
• $1,1=1+0,1=1+\frac{1}{10}=\frac{10}{10}+\frac{1}{10}=\frac{11}{10}$
• $5,03=5+0,03=5+\frac{3}{100}=\frac{500}{100}+\frac{3}{100}=\frac{503}{100}$

Também podemos fazer o inverso, como apresentado nos exemplos a seguir.

• $\frac{1}{2}=1:2=0,5$
• $\frac{22}{25}=22:25=0,88$
• $-\frac{8}{5}=-\left(8:5\right)=-1,6$
• $\frac{49}{40}=49:40=1,225$

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Analise o que Fernando está dizendo.

Entre quais números inteiros consecutivos estão os números indicados em cada item?

a) 1,4

b) 5,87

c) 0,3

d) $-0,99$

e) $-8,7$

f) 3,75

2. Associe cada um dos números a uma letra na reta numérica.

• $-1,5$

• $-4$

• 0,2

• 2,6

• $\frac{4}{3}$

• $-\frac{1}{2}$

• $\frac{7}{2}$

3. Em cada item, escreva um número decimal que esteja entre os números:

a) 0 e 1.

b) $-3$ e $-2$.

c) 5 e 6.

d) 2 e 3.

4. Analise a reta numérica a seguir.

Determine a letra que corresponde ao número racional 2,4.

5. Em seu caderno, escreva os números fracionários na forma decimal.

a) $\frac{1}{10}$

b) $-\frac{1}{4}$

c) $\frac{5}{8}$

d) $\frac{7}{4}$

e) $\frac{9}{16}$

f) $-\frac{7}{8}$

6. Em seu caderno, escreva os números decimais na forma fracionária.

a) 0,2

b) 0,75

c) 1,5

d) $-2,5$

e) $0,125$

f) 4,8

7. Em qual item é apresentado o número 0,8 na forma fracionária? Resolva a atividade mentalmente e justifique sua resposta.

a) $\frac{3}{2}$

b) $\frac{5}{4}$

c) $\frac{4}{5}$

d) $\frac{7}{4}$

8. Utilizando os números 0,2; $\frac{1}{5}$; 3,5 e $\frac{7}{9}$, elabore uma questão envolvendo transformações entre números na forma decimal e na forma fracionária. Depois, troque com um colega e peça a ele que a responda.

Módulo de um número racional

Já estudamos que a medida da distância entre um ponto da reta numérica e a origem (0) é chamada módulo ou valor absoluto do número associado a esse ponto. Na unidade 2, vimos alguns exemplos envolvendo números inteiros e, agora, vamos determinar o módulo dos números racionais. A seguir, apresentamos alguns exemplos.

$\left|2,6\right|=2,6$, pois a distância entre o ponto correspondente ao número 2,6 e a origem da reta numérica mede 2,6 unidades.

$\left|-5,1\right|=5,1$, pois a distância entre o ponto correspondente ao número $-5,1$ e a origem da reta numérica mede 5,1 unidades.

$\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$, pois a distância entre o ponto correspondente ao número $-\frac{1}{3}$ e a origem da reta numérica mede $\frac{1}{3}$ de unidade.

Questão 1. Em seu caderno, calcule.

a) $\left|3,7\right|$

b) $\left|-\frac{2}{8}\right|$

c) $\left|-7,8\right|$

d) $\left|-\frac{135}{36}\right|$

e) $\left|325,6\right|$

f) $\left|-458,2\right|$

Quando dois números racionais estão a uma mesma medida de distância da origem na reta numérica (ou seja, têm módulos iguais), mas estão localizados em sentidos contrários, são chamados números opostos ou números simétricos.

• O número 2,3 é o oposto de $-2,3$, pois $\left|2,3\right|=\left|-2,3\right|$ e eles estão localizados em sentidos contrários da reta numérica.
• O número $-\frac{5}{7}$ é o oposto de $\frac{5}{7}$, pois $\left|-\frac{5}{7}\right|=\left|\frac{5}{7}\right|$ e eles estão localizados em sentidos contrários da reta numérica.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

9. Indique, entre os números apresentados, os que têm módulos iguais.

• 1

• 7

• $-2,8$

• $-1,2$

• $2,8$

• $-7,1$

• 1,2

• $-2$

• 0

• $-7$

• $4,5$

• $-1,8$

10. Em cada item, determine o oposto do número.

a) $-1$

b) 8

c) 3,4

d) $-7,8$

e) $-\frac{3}{4}$

f) $\frac{5}{2}$

11. Determine os números cujo módulo é:

a) 0,5.

b) 2,1.

c) 5,9.

d) 7,3.

12. Analise os números indicados na reta numérica a seguir.

a) Entre os números destacados, qual apresenta a maior medida de distância até a origem?

b) Explique para um colega como você obteve a resposta do item a.

13. Armando e seus amigos estão brincando de adivinhar números. Verifique o que eles estão dizendo.

Determine o número que Armando e seus amigos estão pensando.

Comparação de números racionais

Leonardo pesquisou na internet as medidas das temperaturas mínimas em algumas cidades em certo dia e as registrou em seu caderno.

Em seguida, ele organizou os valores obtidos em uma reta numérica.

Com o auxílio dela, podemos comparar as medidas de temperatura. Para isso, basta analisar a posição de um número em relação a outro. A seguir, apresentamos alguns exemplos.

• O número 23,5 está à direita de $-4$. Nesse caso, $23,5>-4$ (lê-se: vinte e três vírgula cinco é maior do que menos quatro). Portanto, $23,5°\mathrm{C}>-4°\mathrm{C}$.
• O número 19 está à esquerda de 21. Nesse caso, $19<21$ (lê-se: dezenove é menor do que vinte e um). Portanto, $19°\mathrm{C}<21°\mathrm{C}$.
• O número $-1,3$ está à direita de $-4$. Nesse caso, $-1,3>-4$ (lê-se: menos um vírgula três é maior do que menos quatro). Portanto, $-1,3°\mathrm{C}>-4°\mathrm{C}$.
• O número $-1,3$ está à esquerda de 21. Nesse caso, $-1,3<21$ (lê-se: menos um vírgula três é menor do que vinte e um). Portanto, $-1,3°\mathrm{C}<21°\mathrm{C}$.

Os números que estão à esquerda de um número qualquer na reta numérica são menores do que esse número. De maneira análoga, os números que estão à direita de um número qualquer na reta numérica são maiores do que esse número.

Questão 2. Qual número é maior: 2,3 ou $\frac{3}{2}$? Justifique sua resposta.

Questão 3. Em seu caderno, escreva alguns números racionais, tanto positivos quanto negativos, nas formas fracionária e decimal. Em seguida, organize-os em ordem crescente.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

14. Copie os itens no caderno, substituindo cada $\text{█}$ pelo símbolo $>$ ou $<$.

a) $6,7\text{█}6$

b) $-5,4\mathrm{█}5,4$

c) $-9,8\mathrm{█}0$

d) $\frac{1}{3}\mathrm{█}0$

e) $-4,4\mathrm{█}\frac{12}{7}$

f) $0\mathrm{█}12,5$

15. Escreva os números apresentados a seguir em ordem crescente.

• $-2$

• 1

• 0

• 4,5

• 2,5

• $-4,5$

• 2

• $-3,5$

16. Márcia comparou os números $\frac{3}{2}$ e 0,8 da seguinte maneira.

Utilize o mesmo procedimento de Márcia e compare os números indicados em cada item.

a) $\frac{3}{2}$ e 0,8

b) $\frac{1}{2}$ e $0,7$

c) $-2,5$ e $-\frac{7}{2}$

d) $-1,6$ e $-\frac{4}{5}$

17. Em seu caderno, associe cada um dos números a uma letra da reta numérica.

Agora, escreva dois números racionais que estão entre B e D.

18. Rodrigo, Guilherme e Tobias estão disputando um jogo de corrida em um videogame. A medida do tempo gasto por eles para completar a última volta em uma das partidas está indicada a seguir.

Qual dos amigos fez a volta mais rápida?

19. O quadro apresenta a quantia poupada por Marcela mensalmente durante o ano de 2023.

Quantia poupada por Marcela em 2023

Mês	Jan.	Fev.	Mar.	Abr.	Maio	Jun.	Jul.	Ago.	Set.	Out.	Nov.	Dez.
Quantia (R$)	135,50	237,00	78,90	148,00	148,90	378,10	58,00	49,00	364,30	100,00	269,00	405,50

a) Em qual mês ela poupou a maior quantia? E em qual economizou a menor quantia?

b) A quantia poupada no mês de março foi maior, menor ou igual àquela economizada em dezembro?

c) Escreva as quantias poupadas por Marcela em ordem decrescente.

20. Duas equipes estão competindo em uma gincana escolar. A equipe A venceu $\frac{18}{45}$ das provas e a equipe B, venceu $\frac{3}{5}$. Qual delas ganhou mais provas?

21. Marcelo é vendedor em uma concessionária. Em certo dia, ele vendeu dois carros. O cliente 1 pagou $\frac{2}{5}$ do valor total do automóvel como entrada; já o cliente 2 pagou $\frac{3}{8}$ do valor. Sabendo que os dois veículos vendidos têm o mesmo valor, qual dos clientes pagou a maior quantia de entrada?

22. Para um trabalho escolar, Marcos vai usar dois pedaços de barbantes: um vermelho e um azul. Analise o que Marcos está dizendo.

Sabendo que o comprimento total do barbante azul mede $82\text{m}$, qual dos pedaços terá a maior medida de comprimento?