Adição e subtração de números racionais na forma de fração

Os tipos ou grupos sanguíneos dos seres humanos são A, B, AB e O. Verifique no gráfico a fração aproximada da população mundial que faz parte de cada um deles. Que fração da população corresponde ao grupo sanguíneo A ou B?

Fonte de pesquisa: HERLIHY, Barbara; MAEBIUS, Nancy K. Anatomia e Fisiologia do Corpo Humano Saudável e Enfermo. Tradução: Cíntia Bovi Binotti et al. Barueri: Manole, 2002. p. 278.

Podemos responder a essa questão com o resultado de uma adição de frações, assunto que provavelmente você já estudou em anos anteriores. Nesse caso, precisamos calcular $\frac{2}{5}+\frac{1}{10}$.

Note que essas frações têm denominadores diferentes. Assim, para adicioná-las, determinamos frações equivalentes a elas, com o mesmo denominador.

Nesse caso, não precisamos obter uma fração equivalente a $\frac{1}{10}$, pois $\frac{4}{10}$, que equivale a $\frac{2}{5}$, tem denominador 10. Em seguida, adicionamos as frações com mesmo denominador e simplificamos o resultado, obtendo uma fração irredutível.

Também podemos realizar esse cálculo usando o mínimo múltiplo comum para obter frações equivalentes com o mesmo denominador. Nesse caso, o $\text{mmc}\left(5,10\right)$.

O resultado obtido, $\frac{1}{2}$, representa a fração da população correspondente ao grupo sanguíneo A ou B.

É possível efetuar cálculos envolvendo números inteiros e fracionários, e esse assunto provavelmente já foi visto por você em anos anteriores. Por exemplo, podemos obter o resultado de $3+\frac{1}{3}-\frac{4}{7}$ da seguinte maneira.

1. Escrevemos uma fração que representa o número 3.

2. Calculamos o $\text{mmc}$ dos denominadores.

3. Usando o $\text{mmc}$, realizamos o cálculo.

Portanto, o resultado obtido é $\frac{58}{21}$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Junte-se a um colega e, conforme os dados do gráfico da página anterior, respondam às questões a seguir.

a) Que fração representa a população que tem o grupo sanguíneo O ou AB?

b) Que fração representa a diferença entre a população que tem o grupo sanguíneo O e a que tem o A?

c) Que fração representa a diferença entre a população que tem o grupo sanguíneo B e a que tem o AB?

d) Que fração representa a população que tem o grupo sanguíneo A, B ou AB?

2. Efetue os cálculos em seu caderno.

a) $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$

b) $\frac{2}{7}+\frac{4}{5}$

c) $\frac{2}{3}-\frac{1}{5}$

d) $\frac{2}{9}-\frac{1}{6}$

e) $\frac{5}{18}+\frac{1}{6}+\frac{5}{3}$

f) $\frac{9}{15}+\frac{1}{5}-\frac{5}{3}$

3. O mosaico a seguir é formado por quadrados com as mesmas dimensões.

Que fração representa as partes do mosaico pintadas de:

a) verde ou amarelo?

b) amarelo ou roxo?

c) verde, amarelo, roxo ou laranja?

d) verde, laranja ou roxo?

e) amarelo, laranja ou roxo?

f) Junte-se a um colega e expliquem como vocês fizeram para resolver os itens c e e.

4. Efetue os cálculos a seguir.

a) $2+\frac{1}{5}-\frac{5}{6}$

b) $\frac{4}{5}+\frac{3}{2}-1$

c) $4-\frac{7}{3}+\frac{3}{8}$

d) $\frac{1}{8}+4+5$

e) $\frac{1}{3}+3-\frac{12}{5}$

5. Analise o marcador de combustível do automóvel de Arnaldo antes e depois de abastecê-lo.

Que fração do tanque representa a quantidade de combustível colocada ao abastecer?

6. De 1920 a 2021, o Brasil conquistou 150 medalhas, ao todo, nos jogos olímpicos, das quais $\frac{37}{150}$ foram de ouro, $\frac{7}{25}$ foram de prata e o restante, de bronze.

a) Que fração do total de medalhas representa as de ouro e as de prata conquistadas pelo Brasil nos jogos olímpicos?

b) Que fração representa as medalhas de bronze conquistadas pelo Brasil?

c) Quantas medalhas de ouro o Brasil conquistou ao todo nos jogos olímpicos no período de 1920 a 2021? E de prata? E de bronze?

7. Na biblioteca de uma escola, há uma estante com diversos livros, dos quais $\frac{2}{5}$ são de Matemática e $\frac{3}{7}$ são de Geografia.

Que fração do total de livros dessa estante representa os de Matemática e os de Geografia juntos?

8. Uma indústria recebeu uma encomenda para fabricar certa quantidade de peças. Para produzi-las, uma das máquinas demora $6\text{h}$ e outra, mais moderna, $5\text{h}$.

Se as duas máquinas trabalharem juntas, que fração do total da encomenda elas fabricariam em:

a) $1\text{h}$?

b) $2\text{h}$?

Multiplicação de números racionais na forma de fração

Multiplicação de um número natural por uma fração

Joana comprou uma torta dividida em 10 pedaços iguais e comeu 3 deles. Que fração da torta Joana comeu?

Podemos responder a essa pergunta resolvendo uma adição de frações.

$\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{3}{10}$

Essa adição tem 3 parcelas iguais a $\frac{1}{10}$. Então, podemos indicá-la pela seguinte multiplicação.

$\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=3\cdot \frac{1}{10}=\frac{3\cdot 1}{10}=\frac{3}{10}$

Portanto, Joana comeu $\frac{3}{10}$ da torta.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

9. Efetue os cálculos.

a) $9\cdot \frac{11}{100}$

b) $5\cdot \frac{2}{13}$

c) $2\cdot 6\cdot \frac{4}{7}$

d) $5\cdot 6\cdot \frac{2}{50}$

10. Heitor tinha R$ 56,00 e gastou $\frac{1}{4}$ dessa quantia na compra de um caderno. Quantos reais custou esse caderno?

Para obter o preço do caderno, precisamos calcular $\frac{1}{4}$ de 56, ou seja, $\frac{1}{4}\cdot 56$.

Copie o cálculo a seguir no caderno substituindo ■ pelo número adequado.

11. Em seu caderno, calcule e simplifique os resultados.

a) $\frac{1}{7}\cdot 49$

b) $\frac{2}{9}\cdot 27$

c) $\frac{3}{5}\cdot 35$

d) $\frac{3}{4}\cdot 36$

e) $\frac{5}{6}\cdot 54$

12. Em uma meia maratona o atleta percorre uma distância medindo $21.097\text{m}$. Em uma dessas provas, certo atleta percorreu em média $\frac{1}{68}$ do percurso a cada minuto.

a) Após $17\text{min}$, que fração do percurso ele percorreu?

b) A fração do percurso obtida no item a corresponde aproximadamente a uma medida de distância de quantos metros?

Multiplicação de uma fração por outra fração

Do total de salgados que Tatiane preparou para uma festa de aniversário, $\frac{1}{4}$ representa a quantidade de pastéis, dos quais $\frac{3}{5}$ eram de carne e o restante era de queijo.

Que fração do total de salgados representa a quantidade de pastéis de carne?

Podemos responder a essa pergunta calculando $\frac{3}{5}$ de $\frac{1}{4}$, ou seja, $\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}$.

Podemos fazer esse cálculo utilizando figuras.

1º. Representamos pela figura a seguir o total de salgados que Tatiane preparou, e a dividimos em 4 partes iguais, indicando na cor amarela $\frac{1}{4}$ dos salgados, que corresponde aos pastéis.

2º. Dividimos em 5 partes iguais a parte indicada em amarelo e consideramos 3 delas, pois queremos calcular $\frac{3}{5}$ de $\frac{1}{4}$.

Pela figura, percebemos que 3 partes de 20 foram consideradas.

Portanto, $\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}$ corresponde a $\frac{3}{20}$, ou seja, $\frac{3}{20}$ dos salgados eram pastéis de carne.

Questão 1. Que que fração dos salgados representa a quantidade de pastéis de queijo?

Questão 2. Sabendo que Tatiane preparou 1.200 salgados ao todo, responda em seu caderno: Quantos pastéis eram de carne? E quantos eram de queijo?

Atividades

Faça as atividades no caderno.

13. Calcule:

a) o triplo de $\frac{7}{10}$.

b) o quádruplo de $\frac{5}{12}$.

c) o dobro de $\frac{3}{5}\cdot \frac{7}{8}$.

d) a metade de $\frac{12}{11}\cdot \frac{5}{6}$.

e) dois terços de $\frac{6}{10}\cdot \frac{9}{30}$.

f) cinco oitavos de $\frac{8}{7}\cdot \frac{32}{50}$.

14. Copie no caderno os itens, substituindo as letras por números, de modo que as igualdades sejam verdadeiras.

a) $\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{15}{18}$

b) $\frac{E}{A}\cdot \frac{B}{C}=\frac{12}{20}$

c) $\frac{E}{B}\cdot \frac{C}{E}=\frac{8}{24}$

d) $\frac{F}{B}\cdot \frac{C}{E}=\frac{27}{40}$

e) $\frac{A}{B}\cdot \frac{F}{A}=\frac{10}{15}$

f) $\frac{E}{C}\cdot \frac{C}{F}=\frac{28}{36}$

15. Uma padaria produz diariamente 2.240 pães, dos quais $\frac{1}{16}$ é do tipo doce e $\frac{2}{7}$ são de leite. Em certo dia, em consequência de um problema no forno, essa padaria produziu $\frac{1}{4}$ dos pães do tipo doce e $\frac{3}{4}$ dos pães de leite que normalmente prepara. No dia que ocorreu o problema no forno, essa padaria produziu quantos:

a) pães do tipo doce?

b) pães de leite?

16. A professora de Camila escreveu o cálculo a seguir na lousa para os estudantes resolverem.

Camila resolveu esse cálculo simplificando as frações.

De maneira semelhante, simplifique em seu caderno as frações de cada item e determine o resultado dos cálculos.

a) $\frac{12}{35}\cdot \frac{14}{27}$

b) $\frac{64}{65}\cdot \frac{39}{88}$

c) $\frac{81}{91}\cdot \frac{7}{45}\cdot 5$

d) $\frac{3}{20}\cdot \frac{25}{8}\cdot \frac{30}{15}$

e) $\frac{33}{100}\cdot \frac{8}{11}\cdot \frac{40}{32}$

f) $\frac{25}{13}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{26}{45}$

Divisão de números racionais na forma de fração

Divisão de um número natural por uma fração

Fernando vai acampar em Ilhabela (SP) e vai levar, entre outros itens, $2\text{L}$ de suco distribuídos em garrafas com capacidade para $\frac{1}{2}\mathrm{L}$ cada.

De quantas garrafas de $\frac{1}{2}\mathrm{L}$ ele vai precisar?

Podemos responder a essa pergunta obtendo o resultado da divisão a seguir.

Podemos efetuar esse cálculo usando figuras.

1º. Representamos $1\mathrm{L}$ de suco, ou seja, a unidade, por uma figura.

2º. Em seguida, dividimos essa figura em 2 partes iguais. Cada uma delas representa $\frac{1}{2}\mathrm{L}$ de suco.

3º. Como o conteúdo total de suco é $2\mathrm{L}$, devemos representar 2 unidades e dividir cada uma em duas partes iguais.

$\frac{1}{2}$ cabe 4 vezes em 2 unidades, ou seja, $2:\frac{1}{2}=4$.

Portanto, Fernando vai precisar de 4 garrafas de $\frac{1}{2}\mathrm{L}$ para levar $2\mathrm{L}$ de suco.

Questão 3. Se Fernando fosse levar $3\mathrm{L}$ de suco, quantas garrafas de $\frac{1}{2}\mathrm{L}$ seriam necessárias?

Analise um exemplo.

Divisão de uma fração por um número natural

Uma fábrica produziu 885 pares de calçados em uma semana. Dessa produção, $\frac{1}{5}$ era de calçados masculinos e o restante, de calçados femininos. Os calçados masculinos foram entregues aos revendedores em três lotes, com a mesma quantidade de pares em cada um.

Que fração da produção total cada lote de calçados masculinos representa?

Podemos responder a essa pergunta obtendo o resultado da divisão a seguir.

Acompanhe como efetuar esse cálculo usando figuras.

1º. Representamos a produção total da fábrica por um retângulo. Em seguida, dividimos essa figura em 5 partes iguais e indicamos na cor amarela $\frac{1}{5}$ da produção, que corresponde aos calçados masculinos.

2º. Dividimos em 3 partes iguais a parte indicada em amarelo e consideramos 1 delas, pois queremos calcular $\frac{1}{5}:3$.

Na figura, percebemos que 1 parte de 15 foi considerada

Portanto, cada lote de calçados masculinos representa $\frac{1}{15}$ da produção total.

Questão 4. Quantos pares de calçados masculinos foram produzidos por essa fábrica nessa semana? E quantos pares de calçados femininos?

Questão 5. Quantos pares de calçados masculinos há em cada lote?

Questão 6. Os pares de calçados femininos foram divididos em dois lotes iguais. Que fração representa a quantidade de pares de calçados de cada lote em relação ao total produzido?

Analise um exemplo.

Divisão de uma fração por outra fração

Um professor propôs aos estudantes a atividade indicada a seguir.

Para resolver o item a, precisamos saber quantas vezes $\frac{1}{8}$ cabe em $\frac{1}{2}$. Para isso, vamos usar as figuras a seguir.

Analisando as figuras, percebemos que $\frac{1}{8}$ cabe 4 vezes em $\frac{1}{2}$.

Portanto, $\frac{1}{2}:\frac{1}{8}=4$.

Questão 7. De maneira semelhante, calcule em seu caderno o resultado dos itens b, c e d.

Analise um exemplo.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

17. Junte-se a um colega, desenhem figuras no caderno e determinem o resultado de cada cálculo.

a) $3:\frac{1}{4}$

b) $2:\frac{1}{4}$

c) $2:\frac{1}{3}$

d) $3:\frac{1}{3}$

e) $4:\frac{1}{5}$

f) $1:\frac{1}{7}$

g) $\frac{1}{2}:2$

h) $\frac{2}{5}:3$

i) $\frac{1}{3}:5$

18. Escreva no caderno uma divisão de fração por fração cujo resultado seja:

a) 5

b) 8

c) 10

19. Analise as imagens e responda às questões.

a) Quantas vezes $\frac{1}{9}$ cabe em $\frac{1}{3}$?

b) Quantas vezes $\frac{1}{12}$ cabe em $\frac{1}{3}$?

20. Efetue os cálculos.

a) $4:\frac{1}{3}$

b) $15:\frac{2}{3}$

c) $\frac{2}{5}:3$

d) $\frac{5}{10}:7$

e) $\frac{2}{5}:\frac{2}{3}$

f) $\frac{1}{6}:\frac{3}{4}$

21. Faça estimativas e associe cada cálculo a um resultado, escrevendo a letra e o número correspondentes.

Agora, efetue as operações e verifique se sua resposta está correta.

22. Na imagem a seguir, a balança não está em equilíbrio.

Quantas peças iguais a que está próxima à balança (de $\frac{1}{2}\text{kg}$) são necessárias para que ela fique em equilíbrio?

23. Simone dividiu $3\text{kg}$ de carne moída em pacotes de $\frac{1}{4}\text{kg}$ cada um. Em quantos pacotes essa carne foi dividida?

24. Renato repartiu igualmente $\frac{1}{3}$ das figurinhas que tinha entre seus dois irmãos. Que fração do total de figurinhas cada um deles recebeu?

25. Leia a seguir uma receita.

Com base nas informações dessa receita, escreva no caderno a quantidade de cada ingrediente necessária para preparar:

a) 6 porções.

b) 3 porções.

26. Na lanchonete de Pedro, há uma máquina de suco cujo reservatório está com $\frac{3}{5}$ de sua medida da capacidade. Sabendo que Pedro vende o suco em copos com $\frac{1}{50}$ da capacidade do reservatório da máquina, responda às questões.

a) No máximo, quantos copos de suco podem ser vendidos com o conteúdo que está no reservatório da máquina?

b) Se o reservatório da máquina estivesse completamente cheio, quantos copos de suco, no máximo, poderiam ser vendidos?

c) Sabendo que o reservatório da máquina tem medida de capacidade de $15\text{L}$, quantos litros de suco há no reservatório dela?

d) Qual é a medida da capacidade, em litros, de cada copo?

Adição e subtração de números racionais na forma de número decimal

No início desta unidade, vimos uma pessoa imprimindo um cupom fiscal, que, além de discriminar os produtos e seus valores, e caracteriza um documento que certifica o pagamento da compra realizada.

Veja a seguir parte do cupom fiscal que André recebeu ao comprar alguns produtos.

Para saber quantos reais ele gastou na compra desses produtos, calculamos $11,35+4,27$.

No algoritmo usual da adição, escrevemos os números colocando vírgula abaixo de vírgula, como representado a seguir. Para efetuar os cálculos, adicionamos milésimos com milésimos, centésimos com centésimos, décimos com décimos, unidades com unidades, e assim por diante, realizando as trocas quando necessário.

Portanto, André gastou R$ 15,62 na compra desses produtos.

Ele pagou a compra com uma cédula de R$ 20,00. Para saber quantos reais recebeu de troco, calculamos $20,00-15,62$.

No algoritmo usual da subtração, representado a seguir, também escrevemos os números colocando vírgula abaixo de vírgula e, então, subtraímos milésimos de milésimos, centésimos de centésimos, décimos de décimos, unidades de unidades, e assim por diante, realizando as trocas quando necessário.

Portanto, André recebeu R$ 4,38 de troco.

Questão 8. Em sua opinião, por que devemos pedir cupom fiscal ao efetuar uma compra? Justifique sua resposta no caderno.

Questão 9. Faça uma pesquisa para saber quais informações um cupom fiscal deve apresentar e qual é a importância desse documento para os consumidores.

Questão 10. Após a pesquisa realizada na questão anterior, sua opinião em relação à importância de solicitar o cupom fiscal ao realizar uma compra mudou? Converse com os colegas e o professor sobre isso.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

27. Efetue os cálculos.

a) $25,695+32,65$

b) $69,2-32,57$

c) $102,37+58,574$

d) $48,92-17,4$

e) $51,712-32,57$

f) $83,621+41,9$

g) $173,203+74,5$

h) $211,9-81,46$

28. Copie os itens no caderno e complete-os substituindo cada $\text{█}$ pelo número adequado.

a) $24,695+\text{█}=36,256$

b) $86,32-\text{█}=6,67$

c) $74,78-\text{█}=22,3$

d) $53,6+\text{█}=89,37$

e) $63,19+\text{█}=76,51$

f) $127,482-\text{█}=68,129$

29. Calcule a medida do perímetro de cada polígono.

A.

B.

30. Em cada paralelepípedo reto retângulo a seguir estão indicadas as medidas de suas dimensões.

Sabendo que as pilhas representadas nos itens a seguir foram construídas com esses paralelepípedos, efetue os cálculos em seu caderno e determine a medida da altura de cada uma delas.

31. Escreva no caderno uma adição e uma subtração com números decimais, de modo que o resultado de cada uma seja o número apresentado a seguir.

32. O lançamento de dardo é uma modalidade esportiva em que o atleta deve arremessar um dardo com o objetivo de alcançar a maior medida de distância possível. Na tabela estão indicadas as marcas das três primeiras colocadas na final da prova feminina dessa modalidade nos Jogos Olímpicos de Tóquio, no Japão, em 2020.

Prova feminina de lançamento de dardos – Jogos Olímpicos de Tóquio em 2020

Atleta	Melhor lançamento (em metros)
Shiying Liu (China)	66,34
Maria Andrejczyk (Polônia)	64,61
Kelsey-Lee Barber (Austrália)	64,56

Fonte de pesquisa: Final Womens javelin throw Athletics Results: Tokyo 2020 Olympics. Marca. Disponível em: https://oeds.link/ujQ6pk. Acesso em: 23 mar. 2022.

Qual foi a diferença, em metro, entre os melhores lançamentos de:

a) Shiying Liu e Maria Andrejczyk?

b) Shiying Liu e Kelsey-Lee Barber?

c) Maria Andrejczyk e Kelsey-Lee Barber?

33. Verifique como Luísa pensou para calcular mentalmente a diferença entre o preço à vista e o preço a prazo de um vestido.

Agora, arredonde os valores a seguir para a unidade mais próxima e efetue os cálculos mentalmente.

a) $63,81-28,23$

b) $12,47+38,52$

c) $71,65+48,6$

d) $81,21-67,53$

e) $48,54+39,12$

f) $92,65-77,48$

34. (Obmep-2017) Alvimar pagou uma compra de R$ 3,50 com uma [cédula] de R$ 5,00 e recebeu o troco em moedas de R$ 0,25. Quantas moedas ela recebeu?

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

Multiplicação de números racionais na forma de número decimal

Multiplicação de um número natural por um número decimal

Clarice e Helena foram juntas à peixaria. Analise a cena.

Para saber quantos reais Clarice vai pagar por $2\text{kg}$ de sardinha, calculamos $2\cdot 6,38$. Podemos realizar esse cálculo do seguinte modo.

$2\cdot 6,38=6,38+6,38=\frac{638}{100}+\frac{638}{100}=\frac{1276}{100}=12,76$

Outro procedimento é desconsiderar a vírgula do número 6,38, fazer a multiplicação e, depois, acrescentar a vírgula ao resultado, como apresentado nos procedimentos a seguir.

Multiplicamos 6,38 por 100 e obtemos o número natural 638. Em seguida, calculamos $2\cdot 638$.

Para compensar a multiplicação $6,38\cdot 100=638$, dividimos o resultado por 100, pois a divisão é a operação inversa da multiplicação.

Portanto, Clarice vai pagar R$ 12,76 por $2\text{kg}$ de sardinha.

Multiplicação de um número decimal por outro número decimal

Na página anterior, vimos que Helena pediu $2,5\text{kg}$ de sardinha. Para saber quantos reais ela vai pagar, calculamos $2,5\cdot 6,38$. Esse cálculo pode ser realizado da seguinte maneira.

$2,5\cdot 6,38=\frac{25}{10}\cdot \frac{638}{100}=\frac{15.950}{1000}=15,95$

Outro procedimento é desconsiderar as vírgulas dos números 6,38 e 2,5, fazer a multiplicação e, depois, acrescentar a vírgula ao resultado, como apresentado nos procedimentos a seguir.

Multiplicamos 6,38 por 100 e 2,5 por 10 e obtemos os números naturais 638 e 25.

Em seguida, calculamos $638\cdot 25$.

Para compensar as multiplicações $6,38\cdot 100=638$ e $2,5\cdot 10=25$, dividimos o resultado por $10\cdot 100$, ou seja, por 1.000, pois a divisão é a operação inversa da multiplicação.

Portanto, Helena vai pagar R$ 15,95 por $2,5\text{kg}$ de sardinha.

Questão 11. No cálculo anterior, o que você pôde perceber em relação à quantidade de casas decimais do resultado e em relação às casas decimais dos fatores? Responda a essa pergunta em seu caderno.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

35. Efetue os cálculos.

a) $4\cdot 67,6$

b) $12\cdot 4,59$

c) $28\cdot 11,47$

d) $12,02\cdot 22,8$

e) $0,6\cdot 3,125$

f) $7,2\cdot 9,8$

g) $4,3\cdot 28,25$

h) $0,75\cdot 2,14$

36. Efetue os cálculos e escreva no caderno os três próximos números de cada sequência.

a)

b)

37. Uma moeda de 25 centavos tem $7,55\text{g}$ de medida de massa.

Determine a medida da massa de cada pilha a seguir, sabendo que elas são formadas apenas por moedas de 25 centavos.

38. Odair comprou o eletrodoméstico a seguir em prestações iguais, como aparece no anúncio.

Calcule o valor total que Odair vai pagar por esse eletrodoméstico.

39. Determine a medida da área, em centímetros quadrados, e a medida do perímetro, em centímetros, de cada retângulo a seguir.

40. O Autódromo de Interlagos, localizado na cidade de São Paulo, é usado em competições nacionais e internacionais de automobilismo. Uma volta completa nele corresponde a um percurso cuja medida da distância é de aproximadamente $4,31\text{km}$.

Em uma prova automobilística realizada nesse autódromo, os carros deveriam completar 71 voltas. Qual é a medida da distância total percorrida pelos carros que completaram essa prova?

41. Mauro abasteceu seu carro com $25,5\text{L}$ de combustível. Quantos reais ele pagou, sabendo que $1\text{L}$ de combustível custou R$ 4,78?

42. Dividindo a quantidade de habitantes de um estado por sua medida da área (em ${\text{km}}^2$), obtemos a quantidade média de habitantes por quilômetro quadrado desse estado. A esse quociente chamamos densidade demográfica.

O gráfico apresenta a densidade demográfica, em 2010, de cada estado da Região Sudeste, e a tabela traz a medida da área de cada um deles.

Fonte de pesquisa: IBGE. Cidades e Estados. Disponível em: https://oeds.link/PPUwHr.

Acesso em: 5 jan. 2022.

Medida da área dos estados da Região Sudeste

Estado	Medida da área (em $\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{000}{\mathbf{\text{km}}}^{\mathbf{2}}$)
Minas Gerais	586,52
Espírito Santo	46,10
Rio de Janeiro	43,78
São Paulo	248,22

Fonte de pesquisa: IBGE. Cidades e Estados. Disponível em: https://oeds.link/PPUwHr. Acesso em: 5 jan. 2022.

Em seu caderno, efetue os cálculos e determine a quantidade aproximada de habitantes de cada estado.

Divisão de números racionais na forma de número decimal

Divisão de números naturais com quociente decimal

Jair e Ângela são vendedores em uma mesma empresa. Eles viajam com seus carros para visitar os clientes em várias cidades. O carro de Jair percorre $424\text{km}$ com $32\text{L}$ de gasolina, enquanto o carro de Ângela percorre $12,8\text{km}$ com $1\mathrm{L}$ de gasolina.

Qual vendedor tem o carro que percorre mais quilômetros com $1\text{L}$ de gasolina?

Para responder a essa questão, precisamos determinar quantos quilômetros o carro de Jair percorre com $1\text{L}$ de gasolina. Para isso, vamos calcular $424:32$.

1º. Não podemos dividir 4 centenas por 32 e obter centenas inteiras como resultado, pois $4<32$. Então, trocamos 4 centenas por 40 dezenas e adicionamos a 2 dezenas, obtendo 42 dezenas.

2º. Dividimos as 42 dezenas por 32. Obtemos 1 dezena e sobram 10 dezenas.

3º. Trocamos 10 dezenas por 100 unidades e adicionamos a 4 unidades. Dividimos as 104 unidades por 32. Obtemos 3 unidades e sobram 8 unidades.

4º. Trocamos 8 unidades por 80 décimos e colocamos uma vírgula no quociente para separar a parte inteira da parte decimal. Dividimos os 80 décimos por 32. Obtemos 2 décimos e sobram 16 décimos.

5º. Trocamos 16 décimos por 160 centésimos e dividimos por 32, obtendo 5 centésimos.

Portanto, o carro de Jair percorre $13,25\text{km}$ com $1\text{L}$ de gasolina e, assim, concluímos que o carro de Jair percorre mais quilômetros com $1\text{L}$ de gasolina do que o carro de Ângela.

Em alguns casos, não é possível obter unidades inteiras como quociente. O cálculo $1:2$ é um exemplo disso. Nesse caso, como a divisão de 1 por 2 não resulta em uma unidade inteira, trocamos 1 unidade por 10 décimos e colocamos um zero e uma vírgula no quociente. Em seguida, continuamos o cálculo normalmente.

Em alguns casos, um ou mais algarismos da parte decimal do quociente se repetem indefinidamente. Chamamos esse tipo de quociente de dízima periódica, como no caso de $5:3$.

Ao continuar o cálculo, o resto da divisão $20:3$ sempre será 2. Por isso, não é possível chegar ao resto zero. Nesse caso, chamamos o algarismo que se repete de período da dízima periódica.

O período também pode ser formado por mais de um algarismo. Por exemplo:

$134:99=1,\overline{35}=1,353535\dots$

Divisão de um número decimal por um número natural

Cecília, ao comprar na promoção um pacote de lápis com 3 unidades por R$ 3,48, deparou-se com a seguinte dúvida: se um pacote contém 3 lápis, quantos reais vai custar cada lápis?

Para saber o preço de cada lápis, calculamos o valor de $3,48:3$. Podemos realizar esse cálculo do seguinte modo.

1º. Multiplicamos o dividendo e o divisor por 100 para torná-los números naturais.

2º. Efetuamos $348:300$.

Portanto, cada lápis vai custar R$ 1,16.

Divisão de um número decimal por outro número decimal

Francisco abasteceu seu carro em um posto cujo preço de 1 litro de etanol é R$ 5,50. Quantos litros de etanol foram colocados no carro, sabendo que foi pago R$ 143,44 pelo abastecimento?

Para saber com quantos litros de etanol Francisco abasteceu seu carro, calculamos $143,44:5,5$. Podemos efetuar esse cálculo do seguinte modo.

1º. Multiplicamos o dividendo e o divisor por 100 para torná-los números naturais.

2º. Efetuamos $14.344:550$.

Portanto, Francisco abasteceu seu carro com $26,08\text{L}$ de etanol.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

43. Efetue os cálculos.

a) $4,8:2$

b) $63,9:3$

c) $93,17:11$

d) $162:24$

e) $211,95:15$

f) $294,75:11,25$

g) $8,421:5,614$

h) $21,876:9,115\mathrm{}$

Ao finalizar esta atividade, se possível, utilize uma calculadora e verifique se os resultados dos cálculos estão corretos.

44. Em um supermercado, uma mesma marca de arroz é vendida em 3 embalagens diferentes, como mostra o quadro.

Embalagem	$1\text{kg}$	$2\text{kg}$	$5\text{kg}$
Preço (R$)	R$ 4,18	R$ 7,58	R$ 19,60

Em qual delas o preço do quilograma do arroz é menor?

45. Acompanhe como Anita fez para calcular mentalmente $16,8:4$.

De maneira semelhante, resolva os cálculos a seguir.

a) $12,9:3$

b) $15,5:5$

c) $24,3:3$

d) $18,9:3$

46. João é marceneiro e recebeu uma encomenda para confeccionar algumas prateleiras de madeira. Para isso, ele comprou uma tábua com $6,45\text{m}$ de medida de comprimento. Qual deve ser a medida do comprimento em centímetros de cada pedaço de madeira para que ele consiga fazer 5 prateleiras de mesma medida de comprimento, sem desperdiçar nenhum pedaço?

47. Com base na nota fiscal representada a seguir, determine a quantidade de cada produto que Elaine comprou na papelaria.

48. Rafael comprou um aparelho de som em prestações iguais. Sabendo que o valor de cada prestação é R$ 89,27 e que ele vai pagar R$ 981,97 ao todo, calcule em quantas prestações Rafael parcelou sua compra.

Potenciação cuja base é um número racional

Os números racionais podem ser utilizados como base na potenciação. Esses cálculos podem ser feitos de maneira parecida com a utilizada para os inteiros. A seguir, apresentamos alguns exemplos para números racionais na forma decimal.

• ${\left(3,5\right)}^3=\left(3,5\right)\cdot \left(3,5\right)\cdot \left(3,5\right)=\left(12,25\right)\cdot \left(3,5\right)=42,875$
• ${\left(-0,5\right)}^2=\left(-0,5\right)\cdot \left(-0,5\right)=0,25$

Os números racionais escritos na forma de fração também podem ser base para potenciação.

${\left(\frac{3}{4}\right)}^4=\left(\frac{3}{4}\right)\cdot \left(\frac{3}{4}\right)\cdot \left(\frac{3}{4}\right)\cdot \left(\frac{3}{4}\right)=\left(\frac{9}{16}\right)\cdot \left(\frac{9}{16}\right)=\frac{81}{256}$

Acompanhe o procedimento do professor Igor para calcular ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

49. Calcule as potências.

a) ${\left(0,2\right)}^4$

b) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3$

c) ${\left(-0,7\right)}^2$

d) ${\left(\frac{8}{5}\right)}^2$

e) ${\left(2,5\right)}^3$

f) ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^3$

50. Para cada item, escreva uma potência para representar a medida da área do quadrado e calcule-a para obter essa medida.

51. Em seu caderno, elabore um problema envolvendo o cálculo de uma potência com um número racional na base. Em seguida, troque com um colega para que ele o resolva.