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UNIDADE

5

Operações com números racionais

Ilustração. Cupom fiscal de um supermercado, indicando em cinco colunas: quantidade, produto, descrição, valor unitário em reais, valor em reais. Na primeira linha está: 1X;  7 0 3 4 8 2 7 7 0 1 3 2 4; arroz 5 quilogramas; 13,98; 13,98. Na segunda linha está escrito: 3X;  7 1 4 6 5 7 1 2 4 5 1 2 2; feijão 1 quilograma; 7,59; 22,77. Na terceira linha está escrito: 2X; 7 1 3 6 4 7 1 2 4 5 1 8 9; café 500 gramas; 17,99; 35,98. Na quarta linha está escrito: 4X;  7 3 4 4 8 2 7 7 0 5 4 3 2; açúcar 1 quilograma; 5,79; 23,16. Na sequência há o total correspondente a 95,89; dinheiro 100,00; valor recebido 100,00; troco 4,11. Na parte inferior da nota está escrito: Obrigado volte sempre. Ao fundo uma fotografia de uma pessoa retirando um papel de uma impressora.
Pessoa imprimindo um cupom fiscal, no qual constam discriminados os valores das compras de um consumidor, além do pagamento e do troco, expressos por números racionais.

Agora vamos estudar...

  • adição e subtração de números racionais;
  • multiplicação e divisão de números racionais;
  • potenciação cuja base é um número racional.

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Adição e subtração de números racionais na forma de fração

Os tipos ou grupos sanguíneos dos seres humanos são A, B, AB e O. Verifique no gráfico a fração aproximada da população mundial que faz parte de cada um deles. Que fração da população corresponde ao grupo sanguíneo A ou B?

Ocorrência de cada grupo sanguíneo na população mundial

Gráfico de setores com os seguintes dados: grupo A: início de fração, numerador: 2, denominador: 5, fim de fração; grupo B: início de fração, numerador: 1, denominador: 10, fim de fração

Fonte de pesquisa: HERLIHY, Barbara; MAEBIUS, Nancy K. Anatomia e Fisiologia do Corpo Humano Saudável e Enfermo. Tradução: Cíntia Bovi Binotti et al. Barueri: Manole, 2002. p. 278.

Podemos responder a essa questão com o resultado de uma adição de frações, assunto que provavelmente você já estudou em anos anteriores. Nesse caso, precisamos calcular 2 5 + 1 10 .

Note que essas frações têm denominadores diferentes. Assim, para adicioná-las, determinamos frações equivalentes a elas, com o mesmo denominador.

Esquema com três frações entre duas igualdades. Início de fração, numerador: 2, denominador: 5, fim de fração, igual a, início de fração, numerador: 4, denominador: 10, fim de fração, igual a, início de fração, numerador: 6, denominador: 15, fim de fração. Uma seta indica vezes 2 e sai do número 2 e aponta para o número 4. Outra seta indica vezes 2 e sai do número 5 e aponta para o número 10. Uma seta indica vezes 3 e sai do número 5 e aponta para o número 10. Outra seta indica vezes 3 e sai do número 40 e aponta para o número 120.

Nesse caso, não precisamos obter uma fração equivalente a 1 10 , pois 4 10 , que equivale a 2 5 , tem denominador 10. Em seguida, adicionamos as frações com mesmo denominador e simplificamos o resultado, obtendo uma fração irredutível.

Esquema com uma adição entre frações. Início de fração, numerador: 2, denominador: 5, fim de fração, mais início de fração, numerador: 1, denominador: 10, fim de fração, igual a início de fração, numerador: 4, denominador: 10, fim de fração, mais, início de fração, numerador: 1, denominador: 10, fim de fração. Há uma seta saindo do numerador 2 da primeira fração e apontando para o numerador 4 da terceira fração. Outra seta sai do denominador de número 10 da segunda fração e aponta para o numerador de número 10 da quarta fração. Continuação da adição. Igual a início de fração, numerador: 5, denominador: 10, fim de fração, igual a início de fração, numerador: 1, denominador: 2, fim de fração. Há uma seta saindo do número 5 apontando para o número 1 e indicando a operação dividido por 5. Outra seta sai do número 10 e aponta para o número 2 indicando a operação dividido por 5.

Também podemos realizar esse cálculo usando o mínimo múltiplo comum para obter frações equivalentes com o mesmo denominador. Nesse caso, o mmc ( 5 , 10 ) .

mmc ( 5 , 10 )

Decomposição simultânea dos números 5 e 10. Há um segmento de reta na vertical, com os seguintes números: na primeira linha: 5 e 10 à esquerda e o 2 à direita do segmento; na segunda linha, 5 abaixo de 5 e 5 abaixo de 10, e o 5 à direita do segmento. Por fim, há o número 1 abaixo de 5 e 1 abaixo de 5 à esquerda do segmento.

mmc ( 5 , 10 ) = 2 5 = 1 0

Esquema com uma adição entre frações. início de fração, numerador: 2, denominador: 5, fim de fração, mais início de fração, numerador: 1, denominador: 10, fim de fração, igual a início de fração, numerador: 4, denominador: 10, fim de fração, mais, início de fração, numerador: 1, denominador: 10, fim de fração. Está indicado que o numerador de número 4 corresponde a abre parênteses, 10 dividido por 5, fecha parênteses vezes 2. E o numerador de número 1 da quarta fração corresponde a abre parênteses, 10 dividido por 10 fecha parênteses, vezes 1. Continuação da adição. Igual a, início de fração, numerador: 5, denominador: 10, fim de fração, igual a início de fração, numerador: 1, denominador: 2, fim de fração. Há uma seta saindo de 5 e apontando para 1 indicando a operação dividido por 5. E há outra seta que sai do 10 e aponta para o número 1 indicando a operação dividido por 5.

Atenção!

Dividimos o mmc obtido pelo denominador de cada fração. Em seguida, multiplicamos o resultado dessa divisão pelo numerador de cada uma. Com isso, obtemos frações equivalentes às iniciais com denominador igual ao mmc que, neste caso, é 10.

O resultado obtido, 1 2 , representa a fração da população correspondente ao grupo sanguíneo A ou B.

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É possível efetuar cálculos envolvendo números inteiros e fracionários, e esse assunto provavelmente já foi visto por você em anos anteriores. Por exemplo, podemos obter o resultado de 3 + 1 3 4 7 da seguinte maneira.

1. Escrevemos uma fração que representa o número 3.

Esquema com o seguinte cálculo. 3 mais início de fração, numerador: 1, denominador: 3, fim de fração, menos, início de fração, numerador: 4, denominador: 7, fim de fração. Está indicado que o número 3 corresponde a 3 igual a 3 dividido por 1 igual a início de fração, numerador: 3, denominador: 1, fim de fração. Continuação do cálculo. Igual a início de fração, numerador: 3, denominador: 1, fim de fração, mais início de fração, numerador: 1, denominador: 3, fim de fração, menos início de fração, numerador: 4, denominador: 7, fim de fração.

2. Calculamos o mmc dos denominadores.

mmc ( 1 , 3 , 7 )

Decomposição simultânea dos números 1, 3 e 7. Há um segmento de reta na vertical, com os seguintes números: na primeira linha: 1, 3 e 7  à esquerda e o 3 à direita do segmento; na segunda linha, 1 abaixo de 1, 1 abaixo de 3 e 7 abaixo de 7, e o 7 à direita do segmento. Por fim, há o número 1 abaixo de 1, 1 abaixo de 1 e 1 abaixo de 7 à esquerda do segmento.

mmc ( 1 , 3 , 7 ) = 3 7 = 2 1

3. Usando o mmc , realizamos o cálculo.

Esquema com o seguinte cálculo. Início de fração, numerador: 3, denominador: 1, fim de fração, mais início de fração, numerador: 1, denominador: 3, fim de fração menos início de fração, numerador: 4, denominador: 7, fim de fração, igual a início de fração, numerador: 63, denominador: 21, fim de fração, mais início de fração, numerador: 7, denominador: 21, fim de fração, menos início de fração, numerador: 12, denominador: 21, fim de fração. Está indicado que o numerador de número 63 corresponde a abre parênteses 21 dividido por 1, fecha parênteses, vezes 3. O numerador de número 7 corresponde a abre parênteses, 21 dividido por 3, fecha parênteses, vezes 1. E o numerador de número 12 corresponde a abre parênteses, 21 dividido por 7, fecha parênteses, vezes 4. Continuação do cálculo. Igual a início de fração, numerador: 63 mais 7 menos 12, denominador: 21, fim de fração, igual a início de fração, numerador: 58, denominador: 21, fim de fração.

Portanto, o resultado obtido é 58 21 .

Atenção!

Em uma adição ou subtração de frações com denominadores diferentes, inicialmente obtemos frações equivalentes a elas com o mesmo denominador. Em seguida, adicionamos ou subtraímos os numeradores delas.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Junte-se a um colega e, conforme os dados do gráfico da página anterior, respondam às questões a seguir.

a) Que fração representa a população que tem o grupo sanguíneo O ou AB?

b) Que fração representa a diferença entre a população que tem o grupo sanguíneo O e a que tem o A?

c) Que fração representa a diferença entre a população que tem o grupo sanguíneo B e a que tem o AB?

d) Que fração representa a população que tem o grupo sanguíneo A, B ou AB?

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2. Efetue os cálculos em seu caderno.

a) 2 3 + 1 4

b) 2 7 + 4 5

c) 2 3 1 5

d) 2 9 1 6

e) 5 18 + 1 6 + 5 3

f) 9 15 + 1 5 - 5 3

3. O mosaico a seguir é formado por quadrados com as mesmas dimensões.

Ilustração. Mosaico composto por quadradinhos, todos de mesma dimensão. Há 20 quadradinhos amarelos; 27 quadradinhos roxos; 22 quadradinhos laranjas e 6 quadradinhos verdes.

Que fração representa as partes do mosaico pintadas de:

a) verde ou amarelo?

b) amarelo ou roxo?

c) verde, amarelo, roxo ou laranja?

d) verde, laranja ou roxo?

e) amarelo, laranja ou roxo?

f) Junte-se a um colega e expliquem como vocês fizeram para resolver os itens c e e.

4. Efetue os cálculos a seguir.

a) 2 + 1 5 5 6

b) 4 5 + 3 2 1

c) 4 7 3 + 3 8

d) 1 8 + 4 + 5

e) 1 3 + 3 12 5

5. Analise o marcador de combustível do automóvel de Arnaldo antes e depois de abastecê-lo.

Antes de abastecer
Ilustração. Painel indicando o nível de combustível, com a forma de metade de um círculo, com divisões representando os seguintes números, da esquerda para direita: 0; um quarto; um meio; três quartos e 1. Há uma seta indicando que o nível está em um meio.
Depois de abastecer
Ilustração. Painel indicando o nível de combustível, com a forma de metade de um círculo, com divisões representando os seguintes números, da esquerda para direita: 0; um quarto; um meio; três quartos e 1. Há uma seta indicando que o nível está em três quartos.

Que fração do tanque representa a quantidade de combustível colocada ao abastecer?

6. De 1920 a 2021, o Brasil conquistou 150 medalhas, ao todo, nos jogos olímpicos, das quais 37 1 50 foram de ouro, 7 25 foram de prata e o restante, de bronze.

a) Que fração do total de medalhas representa as de ouro e as de prata conquistadas pelo Brasil nos jogos olímpicos?

b) Que fração representa as medalhas de bronze conquistadas pelo Brasil?

c) Quantas medalhas de ouro o Brasil conquistou ao todo nos jogos olímpicos no período de 1920 a 2021? E de prata? E de bronze?

7. Na biblioteca de uma escola, há uma estante com diversos livros, dos quais 2 5 são de Matemática e 3 7 são de Geografia.

Que fração do total de livros dessa estante representa os de Matemática e os de Geografia juntos?

8. Uma indústria recebeu uma encomenda para fabricar certa quantidade de peças. Para produzi-las, uma das máquinas demora 6   h e outra, mais moderna, 5   h .

Se as duas máquinas trabalharem juntas, que fração do total da encomenda elas fabricariam em:

a) 1   h ?

b) 2   h ?

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Multiplicação de números racionais na forma de fração

Multiplicação de um número natural por uma fração

Joana comprou uma torta dividida em 10 pedaços iguais e comeu 3 deles. Que fração da torta Joana comeu?

Ilustração. Torta em formato retangular, cortada em 10 retângulos iguais, formando duas fileiras de 5 pedaços cada fileira.

Podemos responder a essa pergunta resolvendo uma adição de frações.

1 10 + 1 10 + 1 10 = 3 10

Essa adição tem 3 parcelas iguais a 1 10 . Então, podemos indicá-la pela seguinte multiplicação.

1 10 + 1 10 + 1 10 = 3 1 10 = 3 1 10 = 3 10

Portanto, Joana comeu 3 10 da torta.

Atenção!

Para multiplicar um número natural por uma fração, efetuamos a multiplicação dele pelo numerador da fração e mantemos o denominador.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

9. Efetue os cálculos.

a) 9 11 100

b) 5 2 13

c) 2 6 4 7

d) 5 6 2 50

10. Heitor tinha R$ 56,00 e gastou 1 4 dessa quantia na compra de um caderno. Quantos reais custou esse caderno?

Para obter o preço do caderno, precisamos calcular 1 4 de 56, ou seja, 1 4 5 6 .

Copie o cálculo a seguir no caderno substituindo pelo número adequado.

1 4 56 = 1 4 =

Portanto, o caderno custou R$ ,00.

11. Em seu caderno, calcule e simplifique os resultados.

a) 1 7 4 9

b) 2 9 2 7

c) 3 5 3 5

d) 3 4 3 6

e) 5 6 5 4

12. Em uma meia maratona o atleta percorre uma distância medindo 21 . 097   m . Em uma dessas provas, certo atleta percorreu em média 1 68 do percurso a cada minuto.

a) Após 17   min , que fração do percurso ele percorreu?

b) A fração do percurso obtida no item a corresponde aproximadamente a uma medida de distância de quantos metros?

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Multiplicação de uma fração por outra fração

Do total de salgados que Tatiane preparou para uma festa de aniversário, 1 4 representa a quantidade de pastéis, dos quais 3 5 eram de carne e o restante era de queijo.

Que fração do total de salgados representa a quantidade de pastéis de carne?

Podemos responder a essa pergunta calculando 3 5 de 1 4 , ou seja, 3 5 1 4 .

Podemos fazer esse cálculo utilizando figuras.

1º. Representamos pela figura a seguir o total de salgados que Tatiane preparou, e a dividimos em 4 partes iguais, indicando na cor amarela 1 4 dos salgados, que corresponde aos pastéis.

Ilustração. Retângulo dividido verticalmente em quatro retângulos iguais, todos com medida da base menor que a medida da altura, e o primeiro retângulo da esquerda está destacado.

2º. Dividimos em 5 partes iguais a parte indicada em amarelo e consideramos 3 delas, pois queremos calcular 3 5 de 1 4 .

Pela figura, percebemos que 3 partes de 20 foram consideradas.

Ilustração. Retângulo dividido em outros 20 retângulos iguais, todos com medida da base menor que a medida da altura, formando quatro colunas verticais com cinco retângulos cada uma. Os retângulos da primeira coluna da esquerda estão destacados de uma cor diferente dos demais, além disso, o terceiro, quarto e quinto, de cima para baixo, estão preenchidos com linhas diagonais.

Portanto, 3 5 1 4 corresponde a 3 20 , ou seja, 3 20 dos salgados eram pastéis de carne.

Questão 1. Ícone atividade oral. Que que fração dos salgados representa a quantidade de pastéis de queijo?

Questão 2. Sabendo que Tatiane preparou 1.200 salgados ao todo, responda em seu caderno: Quantos pastéis eram de carne? E quantos eram de queijo?

Atenção!

A maneira prática de multiplicar duas frações é multiplicando o numerador de uma pelo numerador da outra e o denominador de uma pelo denominador da outra.

Analise outros exemplos.

Esquema com uma multiplicação entre frações. Início de fração, numerador: 1, denominador: 2, fim de fração, vezes, início de fração, numerador: 1, denominador: 5, fim de fração, vezes início de fração, numerador: 3, denominador: 7, fim de fração. Há uma seta que sai do numerador de número 1 e aponta para o numerador de número 2 indicando o símbolo de multiplicação. Outra seta sai do denominador de número 2 e aponta para o numerador de número 5 indicando o símbolo de multiplicação. Continuação da multiplicação. Igual a início de fração, numerador: 2, denominador: 10, fim de fração, vezes início de fração, numerador: 3, denominador: 7, fim de fração, igual a início de fração, numerador: 6, denominador: 70, fim de fração. Há uma seta que sai do numerador de número 2 e aponta para o numerador de número 3 indicando o símbolo de multiplicação. Outra seta sai do denominador de número 10 e aponta para o numerador de número 7 indicando o símbolo de multiplicação.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

13. Calcule:

a) o triplo de 7 10 .

b) o quádruplo de 5 12 .

c) o dobro de 3 5 7 8 .

d) a metade de 12 11 5 6 .

e) dois terços de 6 10 9 30 .

f) cinco oitavos de 8 7 32 50 .

14. Copie no caderno os itens, substituindo as letras por números, de modo que as igualdades sejam verdadeiras.

a) A B C D = 15 18

b) E A B C = 12 20

c) E B C E = 8 24

d) F B C E = 27 40

e) A B F A = 10 15

f) E C C F = 28 36

Atenção!

Em cada item, letras iguais representam números iguais.

15. Uma padaria produz diariamente 2.240 pães, dos quais 1 16 é do tipo doce e 2 7 são de leite. Em certo dia, em consequência de um problema no forno, essa padaria produziu 1 4 dos pães do tipo doce e 3 4 dos pães de leite que normalmente prepara. No dia que ocorreu o problema no forno, essa padaria produziu quantos:

a) pães do tipo doce?

b) pães de leite?

16. A professora de Camila escreveu o cálculo a seguir na lousa para os estudantes resolverem.

Ilustração. Quadro de giz escrito: 3 vezes a fração quatro nonos vezes a fração sete oitavos.

Camila resolveu esse cálculo simplificando as frações.

Ilustração. Em uma lousa está escrito: início de fração, numerador: 3, denominador: 1, fim de fração,   vezes início de fração, numerador: 4, denominador: 9, fim de fração, vezes início de fração, numerador: 7, denominador: 8, fim de fração. O número 3 está riscado e com o número 1 superiormente à sua esquerda. O número nove está riscado e com o número 3 superiormente à sua direita. Ao lado direito da lousa, há uma pessoa dizendo: Para simplificar o cálculo, divido 3 e 9 por 3.
Ilustração. Quadro de giz escrito: início de fração, numerador: 3, denominador: 1, fim de fração,   vezes a fração quatro nonos vezes a fração sete oitavos igual a início de fração, numerador: 1, denominador: 1, fim de fração, vezes a fração um terço vezes a fração sete meios igual a fração sete sextos. O numerador 3 da primeira fração à esquerda está riscado e com o número 1 superiormente à sua esquerda. O número quatro, da fração quatro nonos, está riscado e com o número 1 superiormente à sua esquerda. O número nove, da fração quatro nonos, está riscado com o número 3 superiormente à sua direita e, o número quatro desta fração, com o número 1  superiormente à sua esquerda. O número 8, da fração sete oitavos, está riscado e com o número 2 superiormente à sua direita. Ao lado direito da lousa há uma pessoa dizendo: Divido também 4 e 8 por 4. Em seguida, efetuo a multiplicação.

De maneira semelhante, simplifique em seu caderno as frações de cada item e determine o resultado dos cálculos.

a) 12 35 14 27

b) 64 65 39 88

c) 81 91 7 45 5

d) 3 20 25 8 30 15

e) 33 100 8 11 40 32

f) 25 13 2 5 26 45

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Divisão de números racionais na forma de fração

Divisão de um número natural por uma fração

Fernando vai acampar em Ilhabela (SP) e vai levar, entre outros itens, 2   L de suco distribuídos em garrafas com capacidade para 1 2   L cada.

De quantas garrafas de 1 2   L ele vai precisar?

Podemos responder a essa pergunta obtendo o resultado da divisão a seguir.

Esquema. 2 dividido por início de fração, numerador: 1, denominador: 2, fim de fração. Está indicado que o número 2 corresponde a quantidade total de suco, em litros. E a fração corresponde a medida da capacidade de cada garrafa, em litro.

Podemos efetuar esse cálculo usando figuras.

1º. Representamos 1   L de suco, ou seja, a unidade, por uma figura.

Ilustração. Retângulo com medida da base menor que a medida da altura.

2º. Em seguida, dividimos essa figura em 2 partes iguais. Cada uma delas representa 1 2   L de suco.

Ilustração. Retângulo, com medida da base menor que a medida da altura, dividido horizontalmente em outros dois retângulos iguais. À esquerda, há um segmento de reta vertical, também dividido na metade com a mesma altura do retângulo maior, com a fração um meio escrita na parte de cima e outra fração um meio na parte de baixo.

3º. Como o conteúdo total de suco é 2   L , devemos representar 2 unidades e dividir cada uma em duas partes iguais.

Ilustração. Dois retângulos, um ao lado do outro, ambos com medida da base menor que a medida da altura, cada um dividido horizontalmente em outros dois retângulos iguais. À esquerda de cada um dos dois retângulos maiores, há um segmento de reta vertical da mesma altura dos retângulos maiores, também dividido na metade, com a fração um meio escrita na parte de cima e outra fração um meio na parte de baixo.

1 2 cabe 4 vezes em 2 unidades, ou seja, 2 : 1 2 = 4 .

Portanto, Fernando vai precisar de 4 garrafas de 1 2   L para levar 2   L de suco.

Questão 3. Ícone atividade oral. Se Fernando fosse levar 3   L de suco, quantas garrafas de 1 2   L seriam necessárias?

Atenção!

A maneira prática de dividir um número natural diferente de zero por uma fração é multiplicá-lo pelo inverso da fração.

Analise um exemplo.

Esquema com uma divisão. 5 dividido por início de fração, numerador: 2, denominador: 5, fim de fração, igual a 5 vezes início de fração, numerador: 3, denominador: 2, fim de fração. Está indicado que a ultima fração corresponde ao inverso da fração de numerador 2 e denominador 3. Continuação do cálculo. Igual a início de fração, numerador: 5 vezes 3, denominador: 2, fim de fração, igual a início de fração, numerador: 15, denominador: 2, fim de fração.

Atenção!

O inverso de uma fração é outra que, multiplicada por ela mesma, resulta em 1. Por exemplo, o inverso de 5 4 é 4 5 , pois 5 4 4 5 = 1 .

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Divisão de uma fração por um número natural

Uma fábrica produziu 885 pares de calçados em uma semana. Dessa produção, 1 5 era de calçados masculinos e o restante, de calçados femininos. Os calçados masculinos foram entregues aos revendedores em três lotes, com a mesma quantidade de pares em cada um.

Que fração da produção total cada lote de calçados masculinos representa?

Podemos responder a essa pergunta obtendo o resultado da divisão a seguir.

Esquema. Início de fração, numerador: 1, denominador: 5, fim de fração dividido por 3. Está indicado que a fração corresponde a fração que representa a quantidade de calçados masculinos em relação ao total. E o número 3 corresponde a quantidade de lotes.

Acompanhe como efetuar esse cálculo usando figuras.

1º. Representamos a produção total da fábrica por um retângulo. Em seguida, dividimos essa figura em 5 partes iguais e indicamos na cor amarela 1 5 da produção, que corresponde aos calçados masculinos.

Ilustração. Retângulo dividido em 5 partes iguais, das quais, quatro estão coloridas em verde; e uma está colorida em amarelo.

2º. Dividimos em 3 partes iguais a parte indicada em amarelo e consideramos 1 delas, pois queremos calcular 1 5 : 3 .

Ilustração com o mesmo retângulo anterior. As 5 partes estão divididas em outras 3 partes iguais, totalizando 15 partes iguais. Dessas, 3 estão em amarelo, sendo uma delas com linhas, em maior destaque.

Na figura, percebemos que 1 parte de 15 foi considerada

Portanto, cada lote de calçados masculinos representa 1 15 da produção total.

Questão 4. Quantos pares de calçados masculinos foram produzidos por essa fábrica nessa semana? E quantos pares de calçados femininos?

Questão 5. Quantos pares de calçados masculinos há em cada lote?

Questão 6. Os pares de calçados femininos foram divididos em dois lotes iguais. Que fração representa a quantidade de pares de calçados de cada lote em relação ao total produzido?

Atenção!

A maneira prática de dividir uma fração por um número natural diferente de zero é multiplicá-la pelo inverso do número.

Analise um exemplo.

Esquema com uma divisão. Início de fração, numerador: 1, denominador: 4, fim de fração, dividido por 3. Há uma indicação para o numero 3: 3 igual a início de fração, numerador: 3, denominador: 1, fim de fração. Continuação da operação. Igual a início de fração, numerador: 1, denominador: 4, fim de fração, vezes início de fração, numerador: 1, denominador: 3, fim de fração, igual a início de fração, numerador: 1, denominador: 12, fim de fração. Está indicado que a fração de numerador 1 e denominador 3 corresponde ao inverso da fração de numerador 3 e denominador 1.

Atenção!

Podemos representar qualquer número natural diferente de zero usando uma fração. Por exemplo: 3 = 3 1 .

Então, o inverso do número natural 3 é 1 3 .

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Divisão de uma fração por outra fração

Um professor propôs aos estudantes a atividade indicada a seguir.

Ilustração de uma lousa. Nela está escrito: Efetue as seguintes divisões.  Letra a: início de fração, numerador: 1, denominador: 2, fim de fração, dividido por início de fração, numerador: 1, denominador: 8, fim de fração. Letra b: início de fração, numerador: 2, denominador: 3, fim de fração. Letra c: início de fração, numerador: 4, denominador: 5, fim de fração, dividido por início de fração, numerador: 1, denominador: 10, fim de fração. Letra d: início de fração, numerador: 7, denominador: 9, fim de fração dividido por início de fração, numerador: 1, denominador: 9, fim de fração.

Para resolver o item a, precisamos saber quantas vezes 1 8 cabe em 1 2 . Para isso, vamos usar as figuras a seguir.

Ilustração de um retângulo dividido em duas partes iguais. Uma delas está colorida em verde. E nela está indicado: início de fração, numerador: 1, denominador: 2, fim de fração.
Ilustração de um retângulo com as mesmas dimensões do retângulo anterior. Ele está dividido em 8 partes iguais, das quais, 4 delas estão coloridas em verde. E para cada parte em verde está indicado: início de fração, numerador: 1, denominador: 8, fim de fração..

Analisando as figuras, percebemos que 1 8 cabe 4 vezes em 1 2 .

Portanto, 1 2 : 1 8 = 4 .

Questão 7. De maneira semelhante, calcule em seu caderno o resultado dos itens b, c e d.

Atenção!

A maneira prática de dividir uma fração por outra fração, diferente de zero, é multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.

Analise um exemplo.

Esquema com uma divisão entre frações. Início de fração, numerador: 1, denominador: 2, fim de fração, dividido por, início de fração, numerador: 2, denominador: 5, fim de fração, igual a início de fração, numerador: 1, denominador: 4, fim de fração, vezes início de fração, numerador: 5, denominador: 2, fim de fração, igual a início de fração, numerador: 5, denominador: 8, fim de fração. Está indicado que a fração de numerador 5 e denominador 2 é o inverso da fração de numerador 2 e denominador 5.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

17. Junte-se a um colega, desenhem figuras no caderno e determinem o resultado de cada cálculo.

a) 3 : 1 4

b) 2 : 1 4

c) 2 : 1 3

d) 3 : 1 3

e) 4 : 1 5

f) 1 : 1 7

g) 1 2 : 2

h) 2 5 : 3

i) 1 3 : 5

18. Escreva no caderno uma divisão de fração por fração cujo resultado seja:

a) 5

b) 8

c) 10

19. Analise as imagens e responda às questões.

Ilustração de três retângulos de mesmas dimensões. O primeiro está dividido em três partes iguais, das quais, uma está colorida em amarelo. Para as três partes está indicado 'inteiro'. E para parte em amarelo está indicado inicio de fração, numerador: 1, denominador: 3, fim de fração. O segundo retângulo está dividido em 9 partes iguais, das quais 3 delas estão coloridas em amarelo. Para uma dessas partes em amarelo, está indicado início de fração, numerador: 1, denominador: 9, fim de fração. E o terceiro retângulo está dividido em 12 partes iguais, das quais 4 delas estão coloridas em amarelo. Para uma dessas partes em amarelo, está indicado início de fração, numerador: 1, denominador: 12, fim de fração.

a) Quantas vezes 1 9 cabe em 1 3 ?

b) Quantas vezes 1 12 cabe em 1 3 ?

Página 105

20. Efetue os cálculos.

a) 4 : 1 3

b) 15 : 2 3

c) 2 5 : 3

d) 5 10 : 7

e) 2 5 : 2 3

f) 1 6 : 3 4

21. Faça estimativas e associe cada cálculo a um resultado, escrevendo a letra e o número correspondentes.

A. 1 3 : 2

B. 3 : 1 2

C. 1 7 : 2 3

D. 1 5 : 4

1.6

2. 1 20

3. 1 6

4. 3 14

Agora, efetue as operações e verifique se sua resposta está correta.

22. Na imagem a seguir, a balança não está em equilíbrio.

Ilustração. Um peso de um meio quilograma. Ao lado direito do peso há uma balança de dois pratos que estão desalinhados, com o prato da esquerda vazio e mais elevado e o da direita mais baixo e com um saco de açúcar de 2 quilogramas.

Quantas peças iguais a que está próxima à balança (de 1 2   kg ) são necessárias para que ela fique em equilíbrio?

23. Simone dividiu 3   kg de carne moída em pacotes de 1 4   kg cada um. Em quantos pacotes essa carne foi dividida?

24. Renato repartiu igualmente 1 3 das figurinhas que tinha entre seus dois irmãos. Que fração do total de figurinhas cada um deles recebeu?

25. Leia a seguir uma receita.

Ilustração. Folha de um caderno contendo uma receita com as quantidade dos ingredientes de uma farofa temperada, descritos da seguinte forma: Ingredientes, um meio de quilograma de farinha de milho amarela; três décimos de quilograma de farinha de mandioca; 8 ovos cozidos picados; um quinto de quilograma de bacon picado em cubos; dois quintos de quilograma de linguiça; 4 cebolas picadas; 12 dentes de alho amassados; 1 xícara de chá de azeitonas verdes picadas; 1 xícara de chá de azeitonas pretas picadas; 2 xícaras de chá de salsinha picada; azeite. Na última linha está escrito: rendimento 12 porções.

Com base nas informações dessa receita, escreva no caderno a quantidade de cada ingrediente necessária para preparar:

a) 6 porções.

b) 3 porções.

26. Na lanchonete de Pedro, há uma máquina de suco cujo reservatório está com 3 5 de sua medida da capacidade. Sabendo que Pedro vende o suco em copos com 1 50 da capacidade do reservatório da máquina, responda às questões.

a) No máximo, quantos copos de suco podem ser vendidos com o conteúdo que está no reservatório da máquina?

b) Se o reservatório da máquina estivesse completamente cheio, quantos copos de suco, no máximo, poderiam ser vendidos?

c) Sabendo que o reservatório da máquina tem medida de capacidade de 15   L , quantos litros de suco há no reservatório dela?

d) Qual é a medida da capacidade, em litros, de cada copo?

Página 106

Adição e subtração de números racionais na forma de número decimal

No início desta unidade, vimos uma pessoa imprimindo um cupom fiscal, que, além de discriminar os produtos e seus valores, e caracteriza um documento que certifica o pagamento da compra realizada.

Veja a seguir parte do cupom fiscal que André recebeu ao comprar alguns produtos.

Ilustração. Cupom fiscal de um supermercado, indicando em cinco colunas: quantidade; produto; descrição; valor unitário em reais; valor em reais. Na primeira linha está: 1x; código 7 0 2 5 3 6 2 3 7 3 5 4 4; arroz 1 quilo; 11,35; 11,35+. Na segunda linha está escrito: 1x; código 7 1 6 5 2 1 8 3 4 5 2 6 8; achocolatado em pó 200 gramas; 4,27; 4,27+.

Para saber quantos reais ele gastou na compra desses produtos, calculamos 11 , 35 + 4 , 2 7 .

No algoritmo usual da adição, escrevemos os números colocando vírgula abaixo de vírgula, como representado a seguir. Para efetuar os cálculos, adicionamos milésimos com milésimos, centésimos com centésimos, décimos com décimos, unidades com unidades, e assim por diante, realizando as trocas quando necessário.

Algoritmo da adição, de 11,35 mais 4,27 resultando em 15,62. Estão indicadas as ordens dos, centésimos, décimos, unidade e dezena. Além disso, próximo ao algarismo 3 do número 11,35 há um número 1.

Portanto, André gastou R$ 15,62 na compra desses produtos.

Ele pagou a compra com uma cédula de R$ 20,00. Para saber quantos reais recebeu de troco, calculamos 20 , 00 15 , 6 2 .

No algoritmo usual da subtração, representado a seguir, também escrevemos os números colocando vírgula abaixo de vírgula e, então, subtraímos milésimos de milésimos, centésimos de centésimos, décimos de décimos, unidades de unidades, e assim por diante, realizando as trocas quando necessário.

Algoritmo da subtração, de 20 vírgula 0 0 menos 15,62 resultando em 04,38. Estão indicadas as ordens dos, centésimos, décimos, unidade e dezena. Além disso, próximo ao algarismo 0 do centésimo há o número 1; os algarismos 0 do décimo e unidade estão riscados e ao lado de cada um há o número 9; e o algarismo 2 do número 20 está riscado e ao lado há o número 1.

Portanto, André recebeu R$ 4,38 de troco.

Questão 8. Em sua opinião, por que devemos pedir cupom fiscal ao efetuar uma compra? Justifique sua resposta no caderno.

Questão 9. Faça uma pesquisa para saber quais informações um cupom fiscal deve apresentar e qual é a importância desse documento para os consumidores.

Questão 10. Ícone atividade oral. Após a pesquisa realizada na questão anterior, sua opinião em relação à importância de solicitar o cupom fiscal ao realizar uma compra mudou? Converse com os colegas e o professor sobre isso.

Página 107

Atividades

Faça as atividades no caderno.

27. Efetue os cálculos.

a) 25 , 695 + 32 , 6 5

b) 69 , 2 32 , 5 7

c) 102 , 37 + 58 , 57 4

d) 48 , 92 17 , 4

e) 51 , 712 32 , 5 7

f) 83 , 621 + 41 , 9

g) 173 , 203 + 74 , 5

h) 211 , 9 81 , 4 6

28. Copie os itens no caderno e complete-os substituindo cada pelo número adequado.

a) 24 , 695 + = 36 , 25 6

b) 86 , 32 = 6 , 6 7

c) 74 , 78 = 22 , 3

d) 53 , 6 + = 89 , 3 7

e) 63 , 19 + = 76 , 5 1

f) 127 , 482 = 68 , 12 9

29. Calcule a medida do perímetro de cada polígono.

A. Ilustração. Quadrilátero com indicação da medida do comprimento de seus lados: 2,4 centímetros; 2,1 centímetros; 2,9 centímetros; e 3,4 centímetros.
B. Ilustração. Polígono de cinco lados com indicação da medida de seus respectivos comprimentos: 3,2 centímetros; 1,4 centímetro; 2,6 centímetros; 1,6 centímetro; e 2,2 centímetros.

30. Em cada paralelepípedo reto retângulo a seguir estão indicadas as medidas de suas dimensões.

Ilustração. Paralelepípedo reto retângulo de cor amarela com indicação da medida do seu comprimento, largura e altura, todos com 13,7 centímetros.
Ilustração. Paralelepípedo reto retângulo de cor roxa com indicação da medida do seu comprimento, com 16,4 centímetros, da sua largura, com 6,3 centímetros, e da sua altura, com 25,3 centímetros.
Ilustração. Paralelepípedo reto retângulo de cor laranja com indicação da medida do seu comprimento, com 7,2 centímetros, da sua largura, com 17,6 centímetros, e da sua altura, com 10,1 centímetros.
Ilustração. Paralelepípedo reto retângulo de cor verde com indicação da medida do seu comprimento, largura e altura, todos com 9,2 centímetros.

Sabendo que as pilhas representadas nos itens a seguir foram construídas com esses paralelepípedos, efetue os cálculos em seu caderno e determine a medida da altura de cada uma delas.

A. Ilustração. Três paralelepípedos empilhados, cada um deles é reto retângulo. Embaixo está o paralelepípedo de cor roxa. Ele está deitado, com altura 6,3 centímetros. Acima dele está o paralelepípedo amarelo, e acima do amarelo está o paralelepípedo verde.
B. Ilustração. Três paralelepípedos empilhados, cada um deles é reto retângulo. Embaixo está o paralelepípedo de cor amarela. Acima dele está o paralelepípedo de cor laranja com sua altura sendo o lado de 17,6 centímetros, e acima do laranja está o paralelepípedo verde.
C. Ilustração. Dois paralelepípedos empilhados, cada um deles é reto retângulo. O de cima é o paralelepípedo de cor roxa com 16 vírgula 4 centímetros de altura; e o de baixo altura é o paralelepípedo de cor amarela.
D. Ilustração. Três paralelepípedos empilhados, cada um deles é reto retângulo. Embaixo está o paralelepípedo de cor roxa, com altura 25,3 centímetros. Acima dele está o paralelepípedo de cor laranja, com 10,1 centímetros de altura, e acima do laranja está o paralelepípedo verde.

Página 108

31. Escreva no caderno uma adição e uma subtração com números decimais, de modo que o resultado de cada uma seja o número apresentado a seguir.

17,245

32. O lançamento de dardo é uma modalidade esportiva em que o atleta deve arremessar um dardo com o objetivo de alcançar a maior medida de distância possível. Na tabela estão indicadas as marcas das três primeiras colocadas na final da prova feminina dessa modalidade nos Jogos Olímpicos de Tóquio, no Japão, em 2020.

Prova feminina de lançamento de dardos – Jogos Olímpicos de Tóquio em 2020

Atleta

Melhor lançamento (em metros)

Shiying Liu (China)

66,34

Maria Andrejczyk (Polônia)

64,61

Kelsey-Lee Barber (Austrália)

64,56

Fonte de pesquisa: Final Womens javelin throw Athletics Results: Tokyo 2020 Olympics. Marca. Disponível em: https://oeds.link/ujQ6pk. Acesso em: 23 mar. 2022.

Qual foi a diferença, em metro, entre os melhores lançamentos de:

a) Shiying Liu e Maria Andrejczyk?

b) Shiying Liu e Kelsey-Lee Barber?

c) Maria Andrejczyk e Kelsey-Lee Barber?

33. Verifique como Luísa pensou para calcular mentalmente a diferença entre o preço à vista e o preço a prazo de um vestido.

Ilustração. Uma vitrine com um vestido e uma mulher ao lado direito. Em baixo do vestido à um anúncio escrito: preço à vista R$ 82,65; preço a prazo R$ 89,72.  A mulher esta dizendo: Primeiro arredondei os valores para a unidade de real mais próxima. Ao lado dela há o seguinte texto em um balão de pensamento: Em seguida, efetuei o cálculo mentalmente. 89,72 menos 82,65. 90 menos 83 igual a 7. Está indicado que 89,72 corresponde ao 90, e 82,65 corresponde ao 83.

Agora, arredonde os valores a seguir para a unidade mais próxima e efetue os cálculos mentalmente.

a) 63 , 81 28 , 2 3

b) 12 , 47 + 38 , 5 2

c) 71 , 65 + 48 , 6

d) 81 , 21 67 , 5 3

e) 48 , 54 + 39 , 1 2

f) 92 , 65 77 , 48

34. (Obmep-2017) Alvimar pagou uma compra de R$ 3,50 com uma [cédula] de R$ 5,00 e recebeu o troco em moedas de R$ 0,25. Quantas moedas ela recebeu?

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

Página 109

Multiplicação de números racionais na forma de número decimal

Multiplicação de um número natural por um número decimal

Clarice e Helena foram juntas à peixaria. Analise a cena.

Ilustração de um balcão com peixes congelados a venda. De um lado do balcão, um vendedor e do outro lado, duas mulheres Clarice e Helena. No balcão há um anúncio dizendo: sardinha 6 reais e 38 centavos o quilograma. Clarice está dizendo: por gentileza, 2 quilogramas desta sardinha. E Helena está dizendo: Por favor, para mim, 2,5 quilogramas de sardinha.

Para saber quantos reais Clarice vai pagar por 2   kg de sardinha, calculamos 2 6 , 3 8 . Podemos realizar esse cálculo do seguinte modo.

2 6 , 38 = 6 , 38 + 6 , 38 = 638 100 + 638 100 = 1276 100 = 12 , 7 6

Outro procedimento é desconsiderar a vírgula do número 6,38, fazer a multiplicação e, depois, acrescentar a vírgula ao resultado, como apresentado nos procedimentos a seguir.

Multiplicamos 6,38 por 100 e obtemos o número natural 638. Em seguida, calculamos 2 638 .

Algoritmo da multiplicação, de 638 vezes 2 resultando em 1276. Ao lado do algarismo 3 há um número 1. E há uma seta apontando para 638 e indicando 6,38 vezes 100.

Para compensar a multiplicação 6 , 38 100 = 63 8 , dividimos o resultado por 100, pois a divisão é a operação inversa da multiplicação.

Esquema com a igualdade: 1276 dividido por 100 igual a 12,76. Está indicado que 1276 dividido por 100 corresponde a início de fração, numerador: 1276, denominador: 100, fim de fração.

Portanto, Clarice vai pagar R$ 12,76 por 2   kg de sardinha.

Atenção!

A maneira prática de multiplicar um número decimal por um número natural é inicialmente efetuar o cálculo desconsiderando a vírgula. Depois, a vírgula deve ser reposicionada ao resultado, de modo que a quantidade de casas decimais seja igual à quantidade de casas decimais do fator decimal.

Algoritmo da multiplicação, de 6,38 vezes 2 resultando em 12,76. Ao lado do algarismo 3 há um número 1. E há uma seta apontando para 6,38 indicando 'duas casas decimais'. Outra seta aponta para 12,76 e está indicado 'duas casas decimais'.

Página 110

Multiplicação de um número decimal por outro número decimal

Na página anterior, vimos que Helena pediu 2 , 5   kg de sardinha. Para saber quantos reais ela vai pagar, calculamos 2 , 5 6 , 3 8 . Esse cálculo pode ser realizado da seguinte maneira.

2 , 5 6 , 38 = 25 10 638 100 = 15 . 950 1000 = 15 , 95

Outro procedimento é desconsiderar as vírgulas dos números 6,38 e 2,5, fazer a multiplicação e, depois, acrescentar a vírgula ao resultado, como apresentado nos procedimentos a seguir.

Multiplicamos 6,38 por 100 e 2,5 por 10 e obtemos os números naturais 638 e 25.

Em seguida, calculamos 638 2 5 .

Algoritmo da multiplicação, de 638 vezes 25 que resulta em 3190 mais 12760 resultando em 15950.  Uma seta aponta para o número 638 e indica 6,38 vezes 100. E outra seta aponta para o número 25 e indica 2,5 vezes 10.

Para compensar as multiplicações 6 , 38 100 = 63 8 e 2 , 5 10 = 2 5 , dividimos o resultado por 10 10 0 , ou seja, por 1.000, pois a divisão é a operação inversa da multiplicação.

Esquema com a igualdade: 15950 dividido por 1000 igual a 15,950 igual a 15,95. Está indicado que 1000 corresponde a 10 vezes 100. E 15950 dividido por 1000 corresponde a início de fração, numerador: 15950, denominador: 1000, fim de fração.

Portanto, Helena vai pagar R$ 15,95 por 2 , 5   kg de sardinha.

Questão 11. Ícone atividade oral. No cálculo anterior, o que você pôde perceber em relação à quantidade de casas decimais do resultado e em relação às casas decimais dos fatores? Responda a essa pergunta em seu caderno.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

35. Efetue os cálculos.

a) 4 67 , 6

b) 12 4 , 5 9

c) 28 11 , 4 7

d) 12 , 02 22 , 8

e) 0 , 6 3 , 12 5

f) 7 , 2 9 , 8

g) 4 , 3 28 , 2 5

h) 0 , 75 2 , 1 4

36. Efetue os cálculos e escreva no caderno os três próximos números de cada sequência.

a) Esquema com uma sequência: 0 vírgula 0 52; 0,26; 1,3; 6,5;  e reticências. Uma seta indicando a operação: vezes 5 sai do primeiro número e vai pro segundo, do segundo por terceiro e assim por diante, até o final.
b) Esquema com uma sequência: 0,3; 1,2; 4,8; 19,2;  e reticências. Uma seta indicando a operação: vezes 4 sai do primeiro número e vai pro segundo, do segundo por terceiro e assim por diante, até o final.

37. Uma moeda de 25 centavos tem 7 , 55   g de medida de massa.

Determine a medida da massa de cada pilha a seguir, sabendo que elas são formadas apenas por moedas de 25 centavos.

A. Ilustração. Moedas de 25 centavos empilhadas em uma coluna. Ao lado direito está escrito 7 moedas.
B. Ilustração. Moedas de 25 centavos empilhadas em uma coluna. Ao lado direito está escrito 13 moedas.
C. Ilustração. Moedas de 25 centavos empilhadas em uma coluna. Ao lado direito está escrito 10 moedas.
D. Ilustração. Moedas de 25 centavos empilhadas em uma coluna. Ao lado direito está escrito 15 moedas.

Página 111

38. Odair comprou o eletrodoméstico a seguir em prestações iguais, como aparece no anúncio.

Fotografia de um Micro-ondas.
Micro-ondas.
Ilustração. Anúncio escrito: 9 prestações iguais de 60 reais e 75 centavos.

Calcule o valor total que Odair vai pagar por esse eletrodoméstico.

39. Determine a medida da área, em centímetros quadrados, e a medida do perímetro, em centímetros, de cada retângulo a seguir.

Ilustração. Quatro retângulos com indicações de suas dimensões. O retângulo A tem 3,7 centímetros de comprimento e 2,3 centímetros de largura. O retângulo B tem 2,6 centímetros de largura e 5,3 centímetros de comprimento. O retângulo C tem 4,5 centímetros de comprimento e 1,9 centímetros de largura. E o retângulo D tem 4 centímetros de comprimento e 1,8 centímetros de largura.

40. O Autódromo de Interlagos, localizado na cidade de São Paulo, é usado em competições nacionais e internacionais de automobilismo. Uma volta completa nele corresponde a um percurso cuja medida da distância é de aproximadamente 4 , 31   km .

Em uma prova automobilística realizada nesse autódromo, os carros deveriam completar 71 voltas. Qual é a medida da distância total percorrida pelos carros que completaram essa prova?

41. Mauro abasteceu seu carro com 25 , 5   L de combustível. Quantos reais ele pagou, sabendo que 1   L de combustível custou R$ 4,78?

42. Ícone desafio. Dividindo a quantidade de habitantes de um estado por sua medida da área (em km 2 ), obtemos a quantidade média de habitantes por quilômetro quadrado desse estado. A esse quociente chamamos densidade demográfica.

O gráfico apresenta a densidade demográfica, em 2010, de cada estado da Região Sudeste, e a tabela traz a medida da área de cada um deles.

Densidade demográfica de cada estado da Região Sudeste (2010)

Gráfico de barras com dois eixos, um vertical indicando densidade demográfica com demarcações indo de 0 até 400, de 50 em 50, e o outro horizontal com indicação de quatro estados.. Os dados são: Minas Gerais: 33,41; Espírito Santo: 76,25; Rio de Janeiro: 365,23; e São Paulo: 166,23.

Fonte de pesquisa: IBGE. Cidades e Estados. Disponível em: https://oeds.link/PPUwHr.

Acesso em: 5 jan. 2022.

Medida da área dos estados da Região Sudeste

Estado

Medida da área (em 1 . 000   km 2 )

Minas Gerais

586,52

Espírito Santo

46,10

Rio de Janeiro

43,78

São Paulo

248,22

Fonte de pesquisa: IBGE. Cidades e Estados. Disponível em: https://oeds.link/PPUwHr. Acesso em: 5 jan. 2022.

Em seu caderno, efetue os cálculos e determine a quantidade aproximada de habitantes de cada estado.

Página 112

Divisão de números racionais na forma de número decimal

Divisão de números naturais com quociente decimal

Jair e Ângela são vendedores em uma mesma empresa. Eles viajam com seus carros para visitar os clientes em várias cidades. O carro de Jair percorre 424   km com 32   L de gasolina, enquanto o carro de Ângela percorre 12 , 8   km com 1   L de gasolina.

Qual vendedor tem o carro que percorre mais quilômetros com 1   L de gasolina?

Para responder a essa questão, precisamos determinar quantos quilômetros o carro de Jair percorre com 1   L de gasolina. Para isso, vamos calcular 424 : 3 2 .

1º. Não podemos dividir 4 centenas por 32 e obter centenas inteiras como resultado, pois 4 < 3 2 . Então, trocamos 4 centenas por 40 dezenas e adicionamos a 2 dezenas, obtendo 42 dezenas.

Algoritmo da divisão na chave, de 424 dividido por 32. Acima de cada algarismo do número 424 estão as letras maiúsculas C D U, da esquerda para direita..

2º. Dividimos as 42 dezenas por 32. Obtemos 1 dezena e sobram 10 dezenas.

Parte do algoritmo da divisão na chave, de 424 dividido por 32, resultando em 1 com resto 10.  Acima de cada algarismo do número 424 estão as letras maiúsculas C D U, da esquerda para direita. E abaixo de 424, há uma subtração, em que há o sinal de menos e o algarismo 3 posicionado abaixo do 4 e 2 posicionado abaixo do 2, resultando no resto 1 0. O resultado de número 1 está abaixo da chave com a letra D maiúscula abaixo.

3º. Trocamos 10 dezenas por 100 unidades e adicionamos a 4 unidades. Dividimos as 104 unidades por 32. Obtemos 3 unidades e sobram 8 unidades.

Parte do algoritmo da divisão na chave, de 424 dividido por 32, resultando em 13 com resto 08.  Acima de cada algarismo do número 424 estão as letras maiúsculas C D U, da esquerda para direita. E abaixo de 424, há uma subtração, em que há o sinal de menos e o algarismo 3 posicionado abaixo do 4 e 2 posicionado abaixo do 2, resultando em 1 0. Ao lado do 0, o algarismo 4 da unidade  do número 424 se repete. E há outra subtração, de 104 menos 96, resultando no resto 0 8. O número 13 está abaixo da chave com a letra D maiúscula abaixo do algarismo 1 e a letra U maiúscula abaixo do algarismo 3.

4º. Trocamos 8 unidades por 80 décimos e colocamos uma vírgula no quociente para separar a parte inteira da parte decimal. Dividimos os 80 décimos por 32. Obtemos 2 décimos e sobram 16 décimos.

Parte do algoritmo da divisão na chave, de 424 dividido por 32, resultando em 13,2 com resto 16.  Acima de cada algarismo do número 424 estão as letras maiúsculas C D U, da esquerda para direita. E abaixo de 424, há uma subtração, em que há o sinal de menos e o algarismo 3 posicionado abaixo do 4 e 2 posicionado abaixo do 2, resultando em 1 0. Ao lado do 0, o algarismo 4 da unidade  do número 424 se repete. E há outra subtração, de 104 menos 96, resultando em 0 8. Ao lado do 8 está acrescido um 0, e há outra subtração, 80 menos 64 resultando no resto 16. O número 13,2 está abaixo da chave com a letra D maiúscula abaixo do algarismo 1, a letra U maiúscula abaixo do algarismo 3 e a letra d minúscula abaixo do algarismo 2.

Página 113

5º. Trocamos 16 décimos por 160 centésimos e dividimos por 32, obtendo 5 centésimos.

Algoritmo da divisão na chave, de 424 dividido por 32, resultando em 13,25 com resto 000.  Acima de cada algarismo do número 424 estão as letras maiúsculas C D U, da esquerda para direita. E abaixo de 424, há uma subtração, em que há o sinal de menos e o algarismo 3 posicionado abaixo do 4 e 2 posicionado abaixo do 2, resultando em 1 0. Ao lado do 0, o algarismo 4 da unidade  do número 424 se repete. E há outra subtração, de 104 menos 96, resultando em 0 8. Ao lado do 8 está acrescido um 0, e há outra subtração, 80 menos 64 resultando em 16. Ao lado do 6, foi acrescido o número 0 e há mais uma subtração, de 160 menos 160 resultado no resto 000. O número 13,25 está abaixo da chave com a letra D maiúscula abaixo do algarismo 1, a letra U maiúscula abaixo do algarismo 3, a letra d minúscula abaixo do algarismo 2, e a letra c minúscula abaixo do algarismo 5.

Portanto, o carro de Jair percorre 13 , 25   km com 1   L de gasolina e, assim, concluímos que o carro de Jair percorre mais quilômetros com 1   L de gasolina do que o carro de Ângela.

Em uma divisão cujo quociente é um número decimal e o resto é zero, dizemos que esse quociente está na forma de um número decimal exato.

Em alguns casos, não é possível obter unidades inteiras como quociente. O cálculo 1 : 2 é um exemplo disso. Nesse caso, como a divisão de 1 por 2 não resulta em uma unidade inteira, trocamos 1 unidade por 10 décimos e colocamos um zero e uma vírgula no quociente. Em seguida, continuamos o cálculo normalmente.

Algoritmo da divisão, de 1 dividido por 2.
Parte do algoritmo da divisão, de 1 dividido por 2, resultando em 0 vírgula. Ao lado do número 1 está acrescido um número 0.
Algoritmo da divisão de 1 dividido por 2 resultando em 0,5, com resto 0. Ao lado do número 1 há o número 0.

Em alguns casos, um ou mais algarismos da parte decimal do quociente se repetem indefinidamente. Chamamos esse tipo de quociente de dízima periódica, como no caso de 5 : 3 .

Algoritmo da divisão, de 5 dividido por 3, resultando em 1 com resto 2. Abaixo do número 5, há uma subtração, de 5 menos 3, resultando no resto 2.
Algoritmo da divisão, de 5 dividido por 3, resultando em 1,6 com resto 2. Abaixo do número 5, há uma subtração, de 5 menos 3, resultando em 2. Ao lado do 2, foi acrescido o número 0. Há outra subtração: 20 menos 18, resultando no resto 2.
Algoritmo da divisão, de 5 dividido por 3, resultando em 1,66 com resto 2. Abaixo do número 5, há uma subtração, de 5 menos 3, resultando em 2. Ao lado do 2, foi acrescido o número 0. Há outra subtração: 20 menos 18, resultando em 2 0, da qual há outra subtração de 20 menos 18 resultando no resto 2.

Ao continuar o cálculo, o resto da divisão 20 : 3 sempre será 2. Por isso, não é possível chegar ao resto zero. Nesse caso, chamamos o algarismo que se repete de período da dízima periódica.

Atenção!

Podemos indicar uma dízima periódica de duas maneiras diferentes.

  • 2 , 66 6
  • 2 , 6

O período também pode ser formado por mais de um algarismo. Por exemplo:

134 : 99 = 1 , 3 5 = 1 , 353 535

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Divisão de um número decimal por um número natural

Cecília, ao comprar na promoção um pacote de lápis com 3 unidades por R$ 3,48, deparou-se com a seguinte dúvida: se um pacote contém 3 lápis, quantos reais vai custar cada lápis?

Para saber o preço de cada lápis, calculamos o valor de 3 , 48 : 3 . Podemos realizar esse cálculo do seguinte modo.

1º. Multiplicamos o dividendo e o divisor por 100 para torná-los números naturais.

Esquema. Na primeira linha a divisão: 3,48 dividido por 3. Abaixo, a divisão: 348 dividido por 300. Há uma seta saindo de 3,48 apontando para 348 e indicando a operação: vezes 100. Outra seta sai do número 3 e aponta para o número 300 indicando a operação vezes 100.

2º. Efetuamos 348 : 300 .

Algoritmo da divisão na chave, de 348 dividido por 300, resultando em 1,16 com resto 0000.  Acima de cada algarismo do número 348 estão as letras maiúsculas C D U, da esquerda para direita. E abaixo de 348, há uma subtração, de 348 menos 300, resultando em 0 48. Ao lado do 8, foi acrescido o número 0. E há outra subtração, de 480 menos 300, resultando em 180. Ao lado do 0 está acrescido um 0, e há outra subtração, 1800 menos 1800 resultando no resto 0000. O número 1,16 está abaixo da chave, e da esquerda para direta com a letra U maiúscula abaixo do algarismo 1, a letra d minúscula abaixo do algarismo 1 e a letra c minúscula abaixo do algarismo 6.

Atenção!

A divisão de 3,48 por 3 tem o mesmo resultado de 348 dividido por 300. Esse fato pode ser verificado em uma calculadora.

Portanto, cada lápis vai custar R$ 1,16.

Divisão de um número decimal por outro número decimal

Francisco abasteceu seu carro em um posto cujo preço de 1 litro de etanol é R$ 5,50. Quantos litros de etanol foram colocados no carro, sabendo que foi pago R$ 143,44 pelo abastecimento?

Para saber com quantos litros de etanol Francisco abasteceu seu carro, calculamos 143 , 44 : 5 , 5 . Podemos efetuar esse cálculo do seguinte modo.

1º. Multiplicamos o dividendo e o divisor por 100 para torná-los números naturais.

Esquema. Na primeira linha a divisão: 143,44 dividido por 5,5. Abaixo, a divisão: 14344 dividido por 550. Há uma seta saindo de 143,44 apontando para 14344 e indicando a operação: vezes 100. Outra seta sai do número 5,5 e aponta para o número 550 indicando a operação vezes 100.

2º. Efetuamos 14 . 344 : 5 5 0 .

Algoritmo da divisão, de 14344 dividido por 550, resultando em 26 vírgula 0 8 com resto 0000. Abaixo do número 14344, há uma subtração, em que, da esquerda para direita há o sinal de menos, o algarismo 1 posicionado abaixo do 1; algarismo 1 posicionado abaixo de 4; algarismo 0 posicionado abaixo de 3; e 0 posicionado abaixo de 4, resultando em 0 334. Ao lado do 4, o último algarismo 4 do número 14344 se repete, e há uma subtração de 3344 menos 3300 resultando em 0 0 4 4. Ao lado do número 4, foi acrescido dois zeros, e há a subtração de 4400 menos 4400 resultando no resto 0000.

Atenção!

A divisão de 143,44 por 5,5 tem o mesmo resultado de 14.344 dividido por 550. Esse fato pode ser verificado em uma calculadora.

Portanto, Francisco abasteceu seu carro com 26 , 08   L de etanol.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

43. Efetue os cálculos.

a) 4 , 8 : 2

b) 63 , 9 : 3

c) 93 , 17 : 1 1

d) 162 : 2 4

e) 211 , 95 : 1 5

f) 294 , 75 : 11 , 2 5

g) 8 , 421 : 5 , 61 4

h) 21 , 876 : 9 , 11 5  

Ícone uso de instrumentos Ao finalizar esta atividade, se possível, utilize uma calculadora e verifique se os resultados dos cálculos estão corretos.

44. Em um supermercado, uma mesma marca de arroz é vendida em 3 embalagens diferentes, como mostra o quadro.

Embalagem

1   kg

2   kg

5   kg

Preço (R$)

R$ 4,18

R$ 7,58

R$ 19,60

Em qual delas o preço do quilograma do arroz é menor?

45. Acompanhe como Anita fez para calcular mentalmente 16 , 8 : 4 .

Ilustração de uma menina com um balão de pensamento ao lado. Nele há o seguinte cálculo: na primeira linha, 16,8 dividido por 4. Na segunda linha, abre parênteses, 16 mais 0,8, fecha parênteses dividido por 4. Está indicado que 16,8 da primeira linha corresponde a 16 mais 08. Na terceira linha, 16 dividido por 4 mais 0,8 dividido por 4. Está indicada a correspondência entre os termos da segunda e terceira linha: 16 corresponde ao 16; 0, 8 corresponde ao 0,8; e 4 corresponde ao 4 que se repete duas vezes. Na quarta linha, 4 mais 0,2. Está indicado que 16 dividido por 4 da terceira linha corresponde ao 4 da quarta linha; e 0,8 dividido por 4 corresponde ao 0,2. Na última linha, 4,2.

De maneira semelhante, resolva os cálculos a seguir.

a) 12 , 9 : 3

b) 15 , 5 : 5

c) 24 , 3 : 3

d) 18 , 9 : 3

46. João é marceneiro e recebeu uma encomenda para confeccionar algumas prateleiras de madeira. Para isso, ele comprou uma tábua com 6 , 45   m de medida de comprimento. Qual deve ser a medida do comprimento em centímetros de cada pedaço de madeira para que ele consiga fazer 5 prateleiras de mesma medida de comprimento, sem desperdiçar nenhum pedaço?

47. Com base na nota fiscal representada a seguir, determine a quantidade de cada produto que Elaine comprou na papelaria.

Ilustração. Nota fiscal de uma papelaria contendo uma tabela com quatro colunas, cada uma  com um título,: Produto, Quantidade, Preço unitário e Total. Na primeira linha está escrito: Lápis; quantidade A; R$ 0,82; total R$ 5,74. Na segunda linha está escrito: Régua; quantidade B; R$1,16;  total R$3,48. Na terceira linha está escrito: Cola; quantidade C; R$1,54; total R$6,16. Na quarta linha está escrito: Cartolina; quantidade D; R$0,76; total R$8,36. Na quinta linha está escrito: Corretivo líquido; quantidade E; R$3,17; total R$6,34.

48. Rafael comprou um aparelho de som em prestações iguais. Sabendo que o valor de cada prestação é R$ 89,27 e que ele vai pagar R$ 981,97 ao todo, calcule em quantas prestações Rafael parcelou sua compra.

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Potenciação cuja base é um número racional

Os números racionais podem ser utilizados como base na potenciação. Esses cálculos podem ser feitos de maneira parecida com a utilizada para os inteiros. A seguir, apresentamos alguns exemplos para números racionais na forma decimal.

  • ( 3 , 5 ) 3 = ( 3 , 5 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 5 ) = ( 12 , 25 ) ( 3 , 5 ) = 42 , 87 5
  • ( 0 , 5 ) 2 = ( 0 , 5 ) ( 0 , 5 ) = 0 , 2 5

Os números racionais escritos na forma de fração também podem ser base para potenciação.

( 3 4 ) 4 = ( 3 4 ) ( 3 4 ) ( 3 4 ) ( 3 4 ) = ( 9 16 ) ( 9 16 ) = 81 256

Acompanhe o procedimento do professor Igor para calcular ( 1 2 ) 4 .

Ilustração. Um professor apontando o dedo para uma lousa, onde á o seguinte cálculo: abre parênteses, início de fração, numerador: 1, denominador: 2, fim de fração, fecha parênteses, elevado a 4, igual a início de fração, numerador: 1 elevado a 4, denominador: 2 elevado a 4, fim de fração, igual a, início de fração, numerador: 1, denominador: 16, fim de fração.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

49. Calcule as potências.

a) ( 0 , 2 ) 4

b) ( 1 4 ) 3

c) ( 0 , 7 ) 2

d) ( 8 5 ) 2

e) ( 2 , 5 ) 3

f) ( 3 2 ) 3

50. Para cada item, escreva uma potência para representar a medida da área do quadrado e calcule-a para obter essa medida.

A. Ilustração de um quadrado com lados medindo 0,8 metro.
B. Ilustração de um quadrado com lados medindo início de fração, numerador: 3, denominador: 2, fim de fração, metros.
C. Ilustração de um quadrado com lados medindo 2,2 metros.

51. Em seu caderno, elabore um problema envolvendo o cálculo de uma potência com um número racional na base. Em seguida, troque com um colega para que ele o resolva.

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O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Carlos precisa pintar 3 7 de uma parede. Para isso, ele vai precisar de 1 3 de uma lata de tinta de 18   L .

a) Quantos litros de tinta ele vai usar para pintar essa parede?

b) Quantos litros de tinta ele usaria se precisasse pintar a parede inteira?

2. Em uma padaria, havia 4 bolos iguais, cada um dividido em 8 pedaços de mesma medida. Sabendo que José comprou 20 pedaços desses bolos, que número misto representa a quantidade de bolos comprados por ele?

3. Na biblioteca de certa escola há 160 livros de Biologia, que correspondem a 1 15 do total de livros.

a) Qual é a quantidade total de livros da biblioteca?

b) Qual é a quantidade de livros de História, sabendo que eles correspondem a 3 15 do total?

c) Que fração do total de livros corresponde aos que não são de História nem de Biologia?

4. Para cobrir 3 5 do piso de um estabelecimento, foram utilizadas 324 lajotas. Quantas lajotas foram usadas para cobrir metade desse piso?

Atenção!

Para resolver esta atividade, obtenha frações equivalentes a 3 5 e 1 2 com denominador 10.

5. (UFMG-2006) Uma prova de triatlo compreende 3 etapas: natação, ciclismo e corrida.

Em uma dessas provas, dos 170 atletas que iniciaram a competição, 10 abandonaram na etapa de natação; dos que continuaram, 1 4 desistiu ao longo da etapa de ciclismo; e dos que começaram a última etapa, 20% abandonaram a corrida.

Apenas N atletas completaram a prova. Então, é correto afirmar que a soma dos algarismos do número N é:

a) 16

b) 13

c) 14

d) 15

6. Luan gastou R$ 112,00 comprando uma calça e uma camiseta.

Sabendo que 5 14 dessa quantia correspondem ao preço da camiseta, responda às questões a seguir.

a) Que fração da quantia gasta por Luan representa o preço da calça?

b) Quantos reais Luan pagou pela camiseta? E pela calça?

7. (Obmep-2006) Três candidatos concorreram à eleição de representante de uma turma de escola: João, Rosa e Marcos. João obteve 2 7 dos votos e Rosa, 2 5 dos votos. Quem ganhou a eleição?

8. Ícone desafio. Elias tem 3 recipientes não graduados: o primeiro com 5 8 da medida da capacidade do segundo e o terceiro com 3 8 da capacidade do segundo.

Sabendo que o primeiro e o terceiro recipientes estão vazios e que o segundo está cheio de água, como Elias deve proceder para repartir o conteúdo de líquido do segundo recipiente de modo que dois deles fiquem com a mesma quantidade?

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9. Em uma jarra dividida em 5 partes iguais, como mostra a imagem, foi colocada certa quantidade de água.

Ilustração. Jarra com 4 marcações, dividindo-a em cinco partes iguais. Ela está preenchida por água até a primeira marcação, de baixo para cima.

a) Que fração da medida da capacidade da jarra corresponde à quantidade de água nela?

b) Ao encher um copo com água e despejar nessa jarra, ela passa a ter 2 5 de sua medida da capacidade. Que fração corresponde à quantidade de água do copo em relação à capacidade da jarra?

c) Quantos desses copos cheios de água são necessários para encher essa jarra, considerando a quantidade de água já colocada?

10. Felipe participou de uma competição de ciclismo que deveria ser realizada em 3 etapas. O esquema representa a medida da distância de cada uma.

Ilustração. Esquema representando uma pista de ciclismo circular. Nela há três pontos: A, B e C. O comprimento da parte da pista entre A e B é 23,7 quilômetros; entre B e C é 18,29 quilômetros; entre C e A é 35,473 quilômetros.

Sabendo que Felipe completou a prova, qual é a medida da distância em quilômetros que ele percorreu ao todo?

11. Certa indústria embalou 2 , 5   t de café torrado e moído em pacotes cuja medida da massa é 500   g . Quantos pacotes de café foram embalados?

12. Márcia vai participar de uma maratona. Nos 3 primeiros dias de seu treino, as medidas das distâncias que ela correu foram, respectivamente, 7 , 5   km , 7 , 9   km e 7 , 1   km .

a) A medida da distância que Márcia estabeleceu como objetivo foi correr 40   km ao todo nos 5 primeiros dias. Qual é a medida da distância, em quilômetros, que ainda falta para ela cumprir esse objetivo?

b) Se Márcia percorrer a mesma medida da distância em cada dia de treino que resta, quantos quilômetros ela percorrerá por dia para cumprir seu objetivo?

13. Bruno é eletricista e está instalando alguns postes de luz em uma praça. Para isso, vai precisar dividir um fio de 45 , 48   m de medida de comprimento em 6 partes iguais. Qual será a medida do comprimento, em metros, de cada pedaço de fio?

14. Fernanda estava no supermercado no qual faz suas compras quinzenalmente, quando foi anunciada uma promoção no preço da caixa de leite, como representado a seguir.

Ilustração. Embalagem contendo doze caixas de leite com um anúncio escrito: promoção caixa com 12 unidades R$47,76. Ao lado uma caixa de leite com um anúncio escrito: R$4,32 a unidade.

a) Se Fernanda comprar a embalagem com 12 caixas de leite, quantos reais ela vai pagar em cada unidade?

b) Quantos reais ela vai economizar em cada unidade se, em vez de comprar as caixas unitárias, ela adquirir a embalagem com 12 unidades, oferecida nessa promoção?