Resoluções

O que eu já sei?

1. Considerando os números que já estão indicados na reta, verificamos que a letra A representa um número entre 0 e 1. Portanto, a letra A representa 0,61.

As letras B e C representam números entre 1 e 2, sendo $B<C$. Assim, verificamos que a letra B representa 1,247 e a letra C representa 1,489.

As letras D, E, F e G representam números entre 2 e 3,5, sendo $D<E<F<G$. Assim, verificamos que: a letra D representa 2,38; a letra E representa 2,92; a letra F representa 3 e a letra G representa 3,36.

a) Como os números são todos positivos, o maior número será o que estiver localizado mais distante do zero na reta, nesse caso, representado pela letra G. Já o menor número será o que estiver localizado mais próximo do zero na reta, nesse caso, associado à letra A. Portanto, o maior número será o 3,36 e o menor número será o 0,61.

b) • $1,489>1,247$;

$2,38<2,92$;

$3,5>3,36$.

2. a) Como o algarismo 6 ocupa a 3ª ordem (centenas simples) no número 12.657, seu valor posicional é 600.

b) Como o algarismo 6 ocupa a 5ª ordem (dezenas de milhar) no número 69.745, seu valor posicional é 60.000.

c) Como o algarismo 6 ocupa a 2ª ordem (dezenas simples) no número 32.561, seu valor posicional é 60.

d) Como o algarismo 6 ocupa a 1ª ordem (unidades simples) no número 98.456, seu valor posicional é 6.

3. a) Sim, pois o valor no 1º membro é igual ao do 2º membro.

b) Adicionando 50 ao 1º membro, teremos $68+50=118$. Portanto, devemos acrescentar 50 ao 2º membro para que a igualdade se mantenha verdadeira.

c) Subtraindo 20 do 1º membro, teremos $68-20=48$. Portanto, devemos subtrair 20 do 2º membro para que a igualdade se mantenha verdadeira.

4. a) $250+530=200+500+50+30=$ $700+80=780$, ou seja, R$ 780,00.

b) $440+250=400+200+40+50=$ $600+90=690$, ou seja, R$ 690,00.

c) $360+380=300+300+60+80=$ $600+140=740$, ou seja, R$ 740,00.

5. a) Os 10 primeiros múltiplos de:

4 são 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 e 36.

6 são 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 e 54.

8 são 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 e 72.

b) De acordo com os números listados no item anterior:

os múltiplos comuns de 4 e 6 são 0, 12, 24 e 36. Assim, $\text{mmc}\left(4,6\right)=12$.

os múltiplos comuns de 4 e 8 são 0, 8, 16, 24 e 32. Assim, $\text{mmc}\left(4,8\right)=8$.

os múltiplos comuns de 6 e 8 são 0, 24 e 48. Assim, $\text{mmc}\left(6,8\right)=24$.

6. a) As figuras A, C e E são prismas e as figuras B, D e F são pirâmides.

Figura A: Prisma de base triangular;

Figura B: Pirâmide de base pentagonal;

Figura C: Prisma de base quadrada;

Figura D: Pirâmide de base quadrada;

Figura E: Prisma de base pentagonal;

Figura F: Pirâmide de base triangular.

b) A figura E tem 7 faces, 10 vértices e 15 arestas.

c) Contando a quantidade de arestas em cada figura, temos:

figura A: 9 arestas; figura B: 10 arestas; figura C: 12 arestas; figura D: 8 arestas; figura E: 15 arestas; figura F: 6 arestas.

Portanto, a pirâmide de base triangular tem a menor quantidade de arestas e o prisma de base pentagonal tem a maior quantidade de arestas.

7. Como há 10 quadradinhos pintados de verde na figura A, a porcentagem que representa essa quantidade é 10%, que pode ser expressa pela fração $\frac{10}{100}$ e pelo número decimal 0,1.

A parte pintada de verde na figura B representa 50% dela. Essa quantidade pode ser expressa pela fração $\frac{50}{100}$ e pelo número decimal 0,5.

8. a) A diferença foi R$ 0,29, pois $4,39-4,10=0,29$.

b) O aumento foi R$ 0,31, pois $5,35-5,04=0,31$.

c) Vamos, inicialmente, identificar o maior e o menor preço ao longo deste ano. Nesse caso, os valores são, respectivamente, R$ 6,13 e R$ 4,10.

$\underset{\begin{array}{l}\text{maior}\\ \text{preço}\end{array}}{\underbrace{6,13}}-\underset{\begin{array}{l}\text{menor}\\ \text{preço}\end{array}}{\underbrace{4,10}}=2,03$

Portanto, R$ 2,03 foi a diferença entre o maior e o menor preço deste ano.

d) O aumento em reais do preço da gasolina é representado pela diferença entre os preços de dezembro e janeiro, ou seja, $6,04-4,10=1,94$.

Portanto, houve R$ 1,94 de aumento.

9. a) Como R$ 45,00 corresponde a 10% de desconto, 20% de desconto corresponde ao dobro deste valor, isto é, R$ 90,00.

b) Sendo R$ 45,00 correspondente a 10% do preço original, o preço do produto sem desconto é $10\times 45=450$, ou seja, R$ 450,00.

10. Figura A: quadrilátero; figura B: pentágono; figura C: triângulo; figura D: hexágono; figura E: quadrilátero; figura F: triângulo.

a) Nos polígonos, a quantidade de vértices corresponde à quantidade de lados. Portanto, o polígono que tem a maior quantidade de vértices é o hexágono.

b) A quantidade de ângulos internos corresponde à quantidade de vértices do polígono. Logo, o pentágono tem exatamente 5 ângulos internos.

c) O polígono com a menor quantidade de lados é o triângulo.

11. A figura A é formada por 19 quadrados e 4 triângulos. Como a medida da área de 2 triângulos corresponde à medida da área de 1 quadrado, a figura A é formada por 21 quadrados, isto é, sua área mede $21{\text{cm}}^2$.

A figura B é formada por 9 quadrados e 5 triângulos, o que corresponde a 11 quadrados e 1 triângulo. Portanto, sua área mede $11,5{\text{cm}}^2$.

12. a) Os possíveis resultados são bolinha vermelha, azul, verde ou laranja.

b) A probabilidade de retirar uma determinada cor de bolinha é representada pela razão entre a quantidade de bolinhas de uma determinada cor e a quantidade total de bolinhas na urna. Portanto, a probabilidade de sortear uma bolinha:

azul é $\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$ ou 0,2 ou 20%.

verde é $\frac{12}{30}=\frac{4}{10}$ ou 0,4 ou 40%.

laranja é $\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$ ou 0,1 ou 10%.

13. a) Em 2017, a quantidade de embalagens recebidas foi a menor.

b) Em 2019, a quantidade de embalagens recebidas foi a maior.

c) Calculando a diferença entre a quantidade de embalagens recebidas e a quantidade de embalagens recicladas em cada ano, temos:

$245\text{t}$ em 2017, pois $4.742-4.497=245$.

$206\text{t}$ em 2018, pois $4.774-4.568=206$.

$318\text{t}$ em 2019, pois $5.036-4.718=318$.

$\text{368 t}$ em 2020, pois $4.815-4.453=362$.

Comparando as quantidades, verificamos que em 2018 houve uma diferença de 206 toneladas. Essa foi a menor diferença entre a quantidade recebida e a reciclada de embalagens de óleo lubrificante.

Unidade 1

Múltiplos e divisores de um número

Questão 1. Um número é múltiplo de 4 quando pode ser escrito como uma multiplicação de números naturais em que um dos fatores é 4. Por exemplo, 12 é múltiplo de 4, pois $4\cdot 3=12$. Analogamente, um número é múltiplo de 6 quando pode ser escrito como uma multiplicação de números naturais em que um dos fatores é 6. Por exemplo, 30 é múltiplo de 6, pois $6\cdot 5=30$.

Questão 2. A quantidade de estudantes é maior do que 35 e menor do que 40. Sendo assim, a quantidade de estudantes da turma poderá ser 36, 37, 38 ou 39. Como ele está pensando em formar duplas ou trios, essa quantidade deve ser expressa por um número múltiplo de 2 e 3. Para ser múltiplo de 2, basta ser par, ou seja, poderá ser 36 ou 38. Porém, entre esses dois números, apenas 36 é múltiplo de 3. Portanto, há exatamente 36 estudantes.

Atividades

1. a) Um número será múltiplo de 2 quando puder ser escrito como uma multiplicação entre dois números naturais em que um dos fatores for 2. Nesse caso, os múltiplos de 2 são:

8, pois $8=2\cdot 4$;

12, pois $12=2\cdot 6$;

800, pois $800=2\cdot 400$;

122, pois $122=2\cdot 61$.

b) Um número será múltiplo de 10 quando puder ser escrito como uma multiplicação em que um dos fatores for 10. Nesse caso, o único múltiplo de 10 é o 800, pois $800=10\cdot 80$.

c) Um número será múltiplo de 5 quando puder ser escrito como uma multiplicação em que um dos fatores for 5. Nesse caso, os múltiplos de 5 são:

15, pois $15=5\cdot 3$;

95, pois $95=5\cdot 19$;

800, pois $800=5\cdot 160$;

45, pois $45=5\cdot 9$.

2. Como Joana gostaria de distribuir em quantidades menores de bombons em cada caixa, temos entre os múltiplos de 24 as seguintes possibilidades:

2 caixas com 12 bombons em cada caixa: $2\cdot 12=24$;

3 caixas com 8 bombons em cada caixa: $3\cdot 8=24$;

4 caixas com 6 bombons em cada caixa: $4\cdot 6=24$;

6 caixas com 4 bombons em cada caixa: $6\cdot 4=24$;

8 caixas com 3 bombons em cada caixa: $8\cdot 3=24$;

12 caixas com 2 bombons em cada caixa: $12\cdot 2=24$;

24 caixas com 1 bombom em cada caixa: $24\cdot 1=24$;

Portanto, seria possível montar caixas com 1, 2, 3, 4, 6, 8 ou 12 bombons.

3. O número está entre 1.000 e 2.000. O algarismo das dezenas é o 7 e o das centenas é o 9. Como o número é um múltiplo de 5 e não é múltiplo de 10, o número que representa o ano indicado é 1975.

Questão 3.

Divisibilidade por 2

Número natural	É divisível por 2?
20	Sim
35	Não, pois 35 é ímpar.
48	Sim, pois 48 é par.
66	Sim, pois 66 é par.
89	Não, pois 89 é ímpar.

Questão 4. Para que um número seja divisível por 3, a soma dos valores correspondentes aos seus algarismos deve ser um número divisível por 3.

270: $2+7+0=9$. Como 9 é divisível por 3, então 270 é um número divisível por 3.

202: $2+0+2=4$. Como 4 não é divisível por 3, então 202 não é um número divisível por 3.

234: $2+3+4=9$. Como 9 é divisível por 3, então 234 é um número divisível por 3.

613: $6+1+3=10$. Como 10 não é divisível por 3, então 613 não é um número divisível por 3.

Questão 5. Resposta no final da seção Resoluções.

Questão 6. Para que um número seja divisível por 9, a soma dos valores correspondentes ao seus algarismos deve ser um número divisível por 9.

270: $2+7+0=9$. Como 9 é divisível por 9, então 270 é um número divisível por 9.

502: $5+0+2=7$. Como 7 não é divisível por 9, então 502 não é um número divisível por 9.

738: $7+3+8=18$. Como 18 é divisível por 9, então 738 é um número divisível por 9.

907: $9+0+7=16$. Como 16 não é divisível por 9, então 907 não é um número divisível por 9.

Questão 7. Sim, pois todo número divisível por 100 tem os algarismos das unidades e das dezenas simultaneamente iguais a 0, o que satisfaz o critério de divisibilidade por 10.

Atividades

4. a) Um número será divisível por 2 se ele for par. Desse modo, o algarismo das unidades do número a ser formado pode ser substituído por 0, 2, 4, 6 ou 8.

b) Para um número ser divisível por 3, a soma dos valores correspondentes aos seus algarismos deve ser divisível por 3. Como $1+8+4+5+7=25$, o valor de X pode ser:

2, pois $25+2=27$ e 27 é divisível por 3;

5, pois $25+5=30$ e 30 é divisível por 3;

8, pois $25+8=33$ e 33 é divisível por 3.

c) Um número será divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5. Nesse caso, o algarismo das unidades do número deve ser substituído por 0 ou 5.

d) Um número será divisível por 10 se o algarismo das unidades for 0. Nesse caso, o algarismo das unidades deve ser substituído por 0.

e) Um número será divisível por 100 se os algarismos das unidades e dezenas forem simultaneamente 0. Nesse caso, não há algarismo para substituir X, de modo que o número formado seja divisível por 100, visto que o algarismo das dezenas é 7.

5. a) Apenas o número 1 divide qualquer número natural.

b) O maior divisor de um número é o próprio número.

c) Um número natural maior do que 1 pode ter no mínimo dois divisores, que são o 1 e o próprio número.

6. a) O número a ser substituído precisa ser par, ou seja, terminar em 2 ou 4.

Sugestões de resposta: 342, 754 e 254.

b) A soma dos algarismos do número a ser substituído precisa ser divisível por 3.

Sugestões de resposta: 234, 732 e 534.

c) O número a ser substituído precisa terminar em 0 ou 5 para ser divisível por 5.

Sugestões de resposta: 235, 725 e 345.

d) Um número natural é divisível por 6 quando também for divisível por 2 e 3, simultaneamente.

Sugestões de resposta: 42, 324 e 372.

e) O número a ser substituído precisa ser par, ou seja, terminar em 2 ou 4, e deve ser divisível por 8.

Sugestões de resposta: 24, 352 e 752.

f) Um número natural é divisível por 9 quando a soma dos valores correspondentes aos seus algarismos é um número também divisível por 9.

Sugestões de resposta: 27, 234 e 423.

7. a) Devemos encontrar os divisores de 40. Portanto, os grupos podem ter 2, 4, 5, 8, 10 ou 20 estudantes.

b) Devemos encontrar os divisores de 45. Portanto, os grupos podem ter 3, 5, 9 ou 15 estudantes.

c) Devemos encontrar os divisores de 50 estudantes. Portanto, os grupos podem ter 2, 5, 10 ou 25 estudantes.

8. Resposta no final da seção Resoluções.

9. a) Entre os números apresentados, os divisíveis por 3 são 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45 e 48.

b) Para que um número seja divisível por 5, o algarismo das unidades precisa ser 5 ou 0. Os divisores de 5 são 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 e 50.

c) Os números divisíveis por 8 são 8, 16, 24, 32, 40 e 48.

d) Para que um número seja divisível por 10, o algarismo das unidades precisa ser 0. Portanto, são divisíveis por 10 os números 10, 20, 30, 40 e 50.

10. Resposta pessoal. Sugestão de respostas:

Considere a sequência dos 10 primeiros múltiplos de 2. Qual é o número obtido pela diferença entre o sexto e o segundo número dessa sequência? Resposta: 8.

A idade de Pedro é dada pela soma dos divisores de 10. Qual é a idade de Pedro? Resposta: 50 anos.

Questão 8. Os outros números pares não são primos porque eles têm, no mínimo, três divisores (o 1, o 2 e eles próprios).

Questão 9. Primeiro, vamos listar todos os divisores de cada número.

Divisores do número 2: 1 e 2.

Divisores do número 6: 1, 2, 3 e 6.

Divisores do número 7: 1 e 7.

Divisores do número 15: 1, 3, 5 e 15.

Divisores do número 18: 1, 2, 3, 6, 9 e 18.

Divisores do número 26: 1, 2, 13 e 26.

Divisores do número 35: 1, 5, 7 e 35.

Assim, qualquer par de números que tenha apenas o número 1 como divisor serão primos entre si.

Sugestão de resposta: 2 e 15; 6 e 7; 6 e 35; 15 e 26.

Atividades

11. Inicialmente, riscamos todos os múltiplos de 2, ou seja, os números pares. Em seguida, os múltiplos de 3, 5 e 7. Por fim, riscamos os múltiplos de números primos que são maiores do que 10, como é o caso dos números 11, 13 e 17.

Portanto, os números primos entre 100 e 150 são: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139 e 149.

12. a) Falsa. Sugestão de correção: Nem todos os números primos são ímpares.

b) Falsa. Sugestão de correção: A decomposição em fatores primos do número $342$ é $2\cdot 3\cdot 3\cdot 19$.

c) Verdadeira.

d) Verdadeira.

13. Decompondo os números em fatores primos, temos:

a)

Assim, $72=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$.

b)

Assim, $100=2\cdot 2\cdot 5\cdot 5$.

c)

Assim, $121=11\cdot 11$.

14. a) Entre os números que aparecem como divisores, os primos são 2, 3, 5, 11, 13 e 23.

b) Os divisores primos do número 24 são os números 2 e 3.

15. Os números primos entre 1 e 31 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23.

16. a) Neste caso, para ser múltiplo de 5 o algarismo das unidades deverá ser 5. Logo, o menor número natural formado será o 235.

b) Não é possível, pois $2+3+5=10$, e esse resultado não é número múltiplo de 3.

c) Para ser múltiplo de 2, o número precisa ser par. Logo, o menor número par será o 352.

Para ser primo, o número não poderá ser par (pois, neste caso, seria múltiplo de 2) e nem ter o algarismo das unidades igual a 5 (pois seria múltiplo de 5). Assim, temos dois possíveis números: 253 e 523. Como o número 253 pode ser decomposto em fatores primos ($253=11\cdot 23$), ele é um número composto. Sendo assim, concluímos que apenas o número 523 é primo.

Questão 10.

a) Divisores de 11: 1 e 11.

Divisores de 5: 1 e 5.

Portanto, $\text{mdc}\left(11,5\right)=1$.

b) Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.

Portanto, $\text{mdc}\left(12,36\right)=12$.

c) Divisores de 4: 1, 2 e 4.

Divisores de 102: 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51 e 102.

Portanto, $\text{mdc}\left(4,102\right)=2$.

d) Divisores de 123: 1, 3, 41 e 123.

Divisores de 13: 1 e 13.

Portanto, $\text{mdc}\left(123,13\right)=1$.

e) Divisores de 45: 1, 3, 5, 9, 15 e 45.

Divisores de 27: 1, 3, 9 e 27.

Portanto, $\text{mdc}\left(45,27\right)=9$.

f) Divisores de 37: 1 e 37.

Divisores de 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100.

Portanto, $\text{mdc}\left(37,100\right)=1$.

Atividades

17. a) Os divisores de 30 são: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.

b) Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 e 18.

Divisores de 50: 1, 2, 5, 10, 25 e 50.

Portanto, os divisores comuns são 1 e 2.

c) Divisores de 50: 1, 2, 5, 10, 25 e 50.

Divisores de 75: 1, 3, 5, 15, 25 e 75.

Divisores comum entre 50 e 75: 1, 5 e 25.

Portanto, o maior divisor comum é 25.

18. a) Os múltiplos positivos de 3 menores do que 50 são 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45 e 48.

b) Os múltiplos positivos de 5 menores do que 50 são 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 e 45.

c) Os múltiplos positivos comuns de 3 e 5 são 15, 30 e 45.

d) O menor múltiplo comum de 3 e 5 é o 15.

19. a) Múltiplos de 10: $0,10,20,30,40,50,60,\dots$

Múltiplos de 12: $0,12,24,36,48,60,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(10,12\right)=60$.

b) Múltiplos de 6: $0,6,12,18,\dots$

Múltiplos de 9: $0,9,18,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(6,9\right)=18$.

c) Múltiplos de 12: $0,12,24,36,48,60,72,84,96,\dots ,276,288,$ $300,\dots$

Múltiplos de 25: $0,25,50,75,100,125,150,175,200,225,250,$ $275,300,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(12,25\right)=300$.

d) Múltiplos de 18: $0,18,36,72,\dots$

Múltiplos de 24: $0,24,48,72,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(18,24\right)=72$.

e) Múltiplos de 16: $0,16,32,48,\dots$

Múltiplos de 48: $0,48,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(16,48\right)=48$.

f) Múltiplos de 18: $0,18,36,72,90,108,\dots ,198,216,234,252,270,288,306,324,$ $342,360,\dots$

Múltiplos de 20: $0,20,40,60,80,100,120,140,160,180,200,220,240,260,280,$ $300,320,340,360,\dots$

Múltiplos de 24: $0,24,48,72,96,120,144,168,192,216,240,264,288,312,336,$ $360,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(18,24\right)=360$.

g) Divisores de 15: 1, 3, 5 e 15.

Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 e 18.

Portanto, $\text{mdc}\left(15,18\right)=3$.

h) Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.

Portanto, $\text{mdc}\left(12,20\right)=4$.

i) Divisores de 7: 1 e 7.

Divisores de 11: 1 e 11.

Portanto, $\text{mdc}\left(7,11\right)=1$.

j) Divisores de 50: 1, 2, 5, 10, 25 e 50.

Divisores de 70: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 e 70.

Portanto, $\text{mdc}\left(50,70\right)=10$.

k) Divisores de 22: 1, 2, 11 e 22.

Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.

Portanto, $\text{mdc}\left(22,30\right)=2$.

l) Divisores de 16: 1, 2, 4, 8 e 16.

Divisores de 32: 1, 2, 4, 8, 16 e 32.

Portanto, $\text{mdc}\left(16,32\right)=16$.

20. a) Múltiplos de 2: $0,2,4,6,\dots$

Múltiplos de 3: $0,3,6,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(2,3\right)=6$.

b) Múltiplos de 3: $0,3,6,9,12,15,\dots$

Múltiplos de 5: $0,5,10,15,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(3,5\right)=15$.

c) Múltiplos de 5: $0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,$ $65,\dots$

Múltiplos de 13: $0,13,26,39,52,65,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(5,13\right)=65$.

d) Múltiplos de 2: $0,2,4,6,8,\dots ,150,152,154,\dots$

Múltiplos de 7: $0,7,14,21,28,\dots ,140,147,154,\dots$

Múltiplos de 11: $0,11,22,33,\dots ,132,143,154,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(2,7,11\right)=154$.

e) Múltiplos de 5: $0,5,10,15,20,\dots ,195,200,205,\dots$

Múltiplos de 41: $0,41,82,123,164,205,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(5,41\right)=205$.

f) Múltiplos de 2: $0,2,4,6,8,10,12,14,\dots$

Múltiplos de 7: $0,7,14,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(2,7\right)=14$.

g) Múltiplos de 11: $0,11,22,33,\dots ,132,143,\dots$

Múltiplos de 13: $0,13,26,39,52,65,78,91,104,117,130,143,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(11,13\right)=143$.

h) Múltiplos de 5: $0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,\dots$

Múltiplos de 11: $0,11,22,33,44,55,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(5,11\right)=55$.

i) Múltiplos de 7: $0,7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,\dots$

Múltiplos de 13: $0,13,26,39,52,65,78,91,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(7,13\right)=91$.

j) Múltiplos de 19: $0,19,38,57,\dots ,684,703,\dots$

Múltiplos de 37: $0,37,74,111,\dots ,666,703,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(19,37\right)=703$.

21. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes digam que o $\text{mmc}$ de dois ou mais números primos é igual ao produto deles.

22. a) Múltiplos de 4: $0,4,8,12,16,20,\dots$

Múltiplos de 5: $0,5,10,15,20,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(4,5\right)=20$.

b) Múltiplos de 6: $0,6,12,18,24,30,36,42,\dots$

Múltiplos de 7: $0,7,14,21,28,35,42,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(6,7\right)=42$.

c) Múltiplos de 8: $0,8,16,24,32,40,48,56,64,72,\dots$

Múltiplos de 9: $0,9,18,27,36,45,54,63,72,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(8,9\right)=72$.

d) Múltiplos de 10: $0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,\dots$

Múltiplos de 11: $0,11,22,33,44,55,66,77,88,99,110,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(10,11\right)=110$.

e) Múltiplos de 12: $0,12,24,36,48,\dots ,144,156,\dots$

Múltiplos de 13: $0,13,26,39,\dots ,143,156,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(12,13\right)=156$.

f) Múltiplos de 14: $0,14,28,42,56,\dots ,196,210,\dots$

Múltiplos de 15: $0,15,30,45,60,\dots ,150,210,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(14,15\right)=210$.

g) Múltiplos de 16: $0,16,32,48,64,\dots ,256,272,\dots$

Múltiplos de 17: $0,17,34,51,68,\dots ,255,272,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(16,17\right)=272$.

h) Múltiplos de 18: $0,18,36,54,72,\dots ,324,342,\dots$

Múltiplos de 19: $0,19,38,57,76,\dots ,323,342,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(18,19\right)=342$.

i) Múltiplos de 20: $0,20,40,60,80,\dots ,400,420,\dots$

Múltiplos de 21: $0,21,42,63,84,\dots ,399,420,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(20,21\right)=420$.

j) Múltiplos de 22: $0,22,44,66,88,\dots ,484,506,\dots$

Múltiplos de 23: $0,23,46,69,92,\dots ,483,506,\dots$

Portanto, $\text{mmc}\left(22,23\right)=506$.

23. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes digam que o $\text{mmc}$ de dois números naturais consecutivos é igual ao produto deles.

24. Nos itens apresentados, como o maior número é sempre o múltiplo dos demais, o $\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{c}$ será esse número. Então:

a) $\text{mmc}\left(3,9\right)=9$

b) $\text{mmc}\left(5,35\right)=35$

c) $\text{mmc}\left(2,4,24\right)=24$

d) $\text{mmc}\left(10,20\right)=20$

e) $\text{mmc}\left(5,15\right)=15$

f) $\text{mmc}\left(18,36\right)=36$

g) $\text{mmc}\left(15,30\right)=30$

h) $\text{mmc}\left(7,21,42\right)=42$

i) $\text{mmc}\left(20,40\right)=40$

j) $\text{mmc}\left(12,48\right)=48$

25. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes digam que o $\text{mmc}$ de dois ou mais números diferentes de zero é igual ao maior deles, desde que ele seja múltiplo dos demais.

26. Como a professora quer dividir a turma em grupos de 3, 4, 6 ou 12 estudantes, precisamos determinar o múltiplo comum entre esses números que esteja entre 30 e 40.

Múltiplos de 3: 30, 33, 36 e 39

Múltiplos de 4: 32, 36 e 40

Múltiplos de 6: 30 e 36

Múltiplo de 12: 36

Dos números verificados, apenas o 36 é um múltiplo comum. Portanto, essa turma tem 36 estudantes.

27. Para resolver este problema, inicialmente, vamos determinar o $\text{mmc}$ entre 8 e 12.

Múltiplos de 8: $0,8,16,24,\dots$

Múltiplos de 12: $0,12,24,\dots$

Logo, o $\text{mmc}\left(8,12\right)=24$. Portanto, João tomará os remédios juntos novamente depois de 24 horas.

28. Calculando o $\text{mmc}$ entre 8, 15 e 20, temos:

Múltiplos de 8: $0,8,16,24,32,40,48,56,\dots ,112,120,\dots$

Múltiplos de 15: $0,15,30,45,60,75,90,105,120,\dots$

Múltiplos de 20: $0,20,40,60,80,100,120,\dots$

Logo, o $\text{mmc}\left(8,15,20\right)=120$. Portanto, os luminosos estarão acesos juntos novamente depois de 120 segundos.

29. a) Como um dos números é o triplo do outro, o $\text{mmc}$ será o maior deles, ou seja, um dos números será o próprio 45. Sabendo disso, verificamos que 45 é o triplo de 15. Portanto, os números procurados são 15 e 45.

b) Como o máximo divisor entre os números é 1, verificamos que os números devem ser primos entre si. Nesse caso, há mais de uma resposta correta.

Sugestão de resposta: 3 e 5.

30. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Problema 1: Dois ônibus partem juntos de um mesmo terminal. O ônibus 1 realiza o trajeto em 25 minutos e o ônibus 2, em 35 minutos. Se eles saíram às $7\text{h}$ da manhã, qual será o próximo horário de saída em que eles partirão juntos novamente? Resposta: O próximo horário de saída ocorrerá depois de 175 minutos, ou seja, às $9\mathrm{h}55\text{min}$.

Problema 2: Giovana vai organizar os estudantes de sua turma em grupos com a mesma quantidade de pessoas em cada um. Sabendo que nessa turma há 15 meninas e 12 meninos, qual será a quantidade máxima de integrantes em cada grupo, sem misturar a quantidade de meninas e de meninos? Resposta: 3 integrantes.

31. Para dividir o número 216 e obter resto 6, o divisor deverá ser múltiplo de 210. Analogamente, para dividir o número 169 e obter resto 1, o divisor deverá ser múltiplo de 168. Sendo assim, precisamos determinar o mdc entre 210 e 168.

Divisores de 210: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70 e 210.

Divisores de 168: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84 e 168.

Logo, $\text{mdc}\left(210,168\right)=42$. Portanto, o maior número é 42.

32. Espera-se que os estudantes respondam que calcularam o mínimo múltiplo comum entre os números 8, 15 e 20. Utilizando esse procedimento, é possível resolver os problemas propostos nos itens desta atividade.

a) Para resolver este problema, precisamos calcular o $\text{mmc}$ entre 4, 5 e 10.

Múltiplos de 4: $0,4,8,12,16,20,\dots$

Múltiplos de 5: $0,5,10,15,20,\dots$

Múltiplos de 10: $0,10,20,\dots$

Logo, o $\text{mmc}\left(4,5,10\right)=20$.

Portanto, os ônibus sairão juntos novamente depois de 20 horas.

b) Para resolver este problema, precisamos calcular o mdc entre 60 e 126.

Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.

Divisores de 126: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63 e 126.

Logo, o $\text{mdc}\left(60,126\right)=6$. Portanto, ela deverá cortar os tecidos em pedaços cujo comprimento mede $6\text{cm}$.

c) Para resolver este problema, precisamos calcular o $\text{mmc}$ entre 4, 6 e 8.

Múltiplos de 4: $0,4,8,12,16,20,24,\dots$

Múltiplos de 6: $0,6,12,18,24,\dots$

Múltiplos de 8: $0,8,16,24,\dots$

Logo, o $\text{mmc}\left(4,6,8\right)=24$. Portanto, após 24 dias os três trabalharão juntos novamente, ou seja, no dia 27 de março.

Questão 11. Para obter o mdc entre 32 e 48, precisamos decompor, separadamente, cada número em fatores primos e, em seguida, identificar os fatores comuns.

Efetuando o produto entre os fatores dos produtos comuns, obtemos $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$. Portanto, $\text{mdc}\left(32,48\right)=16$.

Questão 12. Para obter o $\text{mmc}$ entre 32 e 48 precisamos decompor simultaneamente os dois números em fatores primos. Vamos efetuar esse procedimento no algoritmo.

Efetuando o produto de todos os fatores obtidos no algoritmo, verificamos que:

$\text{mmc}\left(32,48\right)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3=96$

Atividades

33. Para responder a essa questão, precisamos determinar o valor máximo para cada fone, que corresponde ao divisor de 180, 240 e 320, ou seja, o $\text{mdc}\left(180,240,320\right)$. Decompondo separadamente cada um destes números em fatores primos, temos:

Como $\text{mdc}\left(180,240,320\right)=2\cdot 2\cdot 5=20$, concluímos que o valor máximo de cada fone é R$ 20,00.

Em seguida, dividimos o valor vendido em cada dia por esse resultado e adicionamos as quantidades obtidas.

$180:20=9$

$240:20=12$

$320:20=16$

$9+12+16=37$

Portanto, foram vendidos, ao todo, 37 fones.

34. Como o menor número é a metade do maior, então o maior número será o $\text{mmc}$ entre eles. Assim, 50 é o maior número e, como 50 é o dobro de 25, os números procurados são 25 e 50.

35. Para resolver este problema, precisamos calcular o $\text{mmc}$ entre 6 e 8. Decompondo simultaneamente esses números em fatores primos por meio do algoritmo, obtemos:

Assim, o $\text{mmc}\left(6,8\right)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3=24$. Portanto, após 24 horas, Carla vai ingerir as vitaminas ao mesmo tempo novamente.

36. Para resolver este problema, precisamos calcular o mdc entre 36 e 42. Então, vamos decompor, separadamente, cada número em fatores primos e, em seguida, identificar os fatores comuns.

Assim, o $\text{mdc}\left(36,42\right)=2\cdot 3=6$. Portanto, Rafaela deve colocar 6 doces em cada prato.

37. Para resolver este problema, precisamos encontrar o mdc entre 165, 220 e 275. Então, vamos decompor, separadamente, cada número em fatores primos e, em seguida, identificar os fatores comuns.

Assim, o $\text{mdc}\left(165,220,275\right)=5\cdot 11=55$. Portanto, Tobias deve colocar 55 ímãs em cada caixa.

38. De acordo com as informações do enunciado, formando agrupamentos de 2, 3, 4, 5 ou 6 bolinhas sobra 1 bolinha. Assim, a quantidade total de bolinhas menos 1 é representada por um múltiplo de 2, 3, 4, 5 e 6. Nesse caso, precisamos determinar o mínimo múltiplo comum entre 2, 3, 4, 5 e 6 simultaneamente.

Assim, o $\text{mmc}\left(2,3,4,5,6\right)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=60$.

Analisando os múltiplos de 60, podemos listar alguns deles, como $60,120,180,240,300,360,\dots$

Adicionando 1 unidade a esses múltiplos listados, verificamos que a quantidade total de bolinhas poderia ser $61,121,181,241,301,361,\dots$. Porém, como a quantidade total de bolinhas deve ser múltiplo de 7, o menor múltiplo de 60 que atende a essa condição é 301. Portanto, concluímos que Rodrigo tem 301 bolinhas de gude.

39. Para resolver esse problema, precisamos encontrar o mdc entre 48, 74 e 120. Então, vamos decompor, separadamente, cada número em fatores primos e, em seguida, identificar os fatores comuns.

Logo, o $\text{mdc}\left(48,74,120\right)=2$. Portanto, T é igual a 2.

40. Para resolver este problema, precisamos encontrar o $\text{mmc}$ entre 30, 20 e 15. Decompondo, simultaneamente, os três números em fatores primos, temos:

Logo, o $\text{mmc}\left(30,20,15\right)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=60$. Portanto, após 60 minutos, ou seja, após 1 hora eles se encontrarão novamente nesse local.

41. Para que a quantidade de recipientes utilizados seja a menor possível, devemos ter a menor quantidade possível de bolinhas em cada recipiente. Sendo assim, precisamos calcular o mdc entre 180 e 220.

Logo, o $\text{mdc}\left(180,220\right)=2\cdot 2\cdot 5=20$. Portanto, Theo vai usar 20 caixas.

O que eu estudei?

1. a) Os números primos consecutivos menores do que 30 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. Deles, os dois números cuja adição resulta em 30 são 13 e 17.

b) Os números primos consecutivos menores do que 100 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97. Deles, os quatro números cuja adição resulta em 168 são 37, 41, 43 e 47.

c) Os números primos consecutivos menores do que 50 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47. Deles, os dois números cujo produto resulta em 899 são 29 e 31.

2. a) Os números primos de apenas um algarismo são 2, 3, 5 e 7, dos quais o único número primo par é 2 e o maior número primo entre eles é 7. Portanto, o produto é igual a 14.

b) Os números primos de dois algarismos são 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97, dos quais o único número primo par é 2 e o maior número primo de dois algarismos é 97. Portanto, o produto é igual a 194.

3. Para que os números sejam primos entre si, o maior divisor comum entre eles deve ser o 1.

Divisores de 14: 1, 2, 7 e 14.

Divisores de 39: 1, 3, 13 e 39.

Divisores de 50: 1, 2, 5, 10, 25 e 50.

Para determinar outros três números, devemos escolher números que não tenham divisores comuns com os que já estão no quadro. Sugestão de resposta:

Divisores de 11: 1 e 11.

Divisores de 13: 1 e 13.

Divisores de 18: 1, 2, 3, 6 e 18.

Assim:

• 14
• 11
• 50
• 13
• 39
• 18

4. a) Os 15 primeiros múltiplos de 4 são 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52 e 56.

b) Os 10 primeiros múltiplos de 7 são 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 e 63.

c) Os três primeiros múltiplos comum de 4 e 7 são 0, 28 e 56.

d) De acordo com o item anterior, o $\text{mmc}\left(4,7\right)=28$.

e) Divisores de 4: 1, 2 e 4.

Divisores de 7: 1 e 7.

Logo, o $\text{mdc}\left(4,7\right)=1$.

f) Como o número 1 é o maior divisor comum entre eles, então 4 e 7 são números primos entre si.

5. Como o resto da divisão de um número por 2, 3, 4, 5, 6 ou 7 é 1, esse número não deve ser múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Desse modo, o número que procuramos é 1 unidade maior do que o menor múltiplo dos números citados. Calculando o mínimo múltiplo comum entre esses números, temos:

Logo, o $\text{mmc}\left(2,3,4,5,6,7\right)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=420$.

Portanto, o número procurado é 421, pois $420+1=421$.

6. Para resolver este problema, precisamos calcular o mdc entre 162 e 90.

Como o $\text{mdc}\left(162,90\right)=18$ e há 252 fichas no total $\left(162+90=252\right)$, devemos dividir a quantidade de fichas pelo $\text{mmc}$ obtido. Assim, $252:18=14$. Portanto, podem ser formadas 14 pilhas.

7. a) Calculando o $\text{mmc}$ entre 10 e 12, temos:

Logo, o $\text{mmc}\left(10,12\right)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=60$.

Portanto, Maicon e Renata se encontram na casa da mãe a cada 60 dias.

b) Calculando o $\text{mmc}$ entre 10 e 18, temos:

Logo, o $\text{mmc}\left(10,18\right)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.

Portanto, Maicon e Laura se encontram na casa da mãe a cada 90 dias.

c) Calculando o $\text{mmc}$ entre 10, 12 e 18, temos:

Logo, o $\text{mmc}\left(10,12,18\right)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=180$.

Portanto, Maicon, Renata e Laura se encontram na casa da mãe a cada 180 dias.

d) Calculando o $\text{mmc}$ entre 12 e 18, temos:

Logo, o $\text{mmc}\left(12,18\right)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=36$.

Portanto, Renata e Laura se encontram na casa da mãe a cada 36 dias.

8. Calculando o mdc entre 36 e 28, temos:

Como os fatores comuns são $2\cdot 2=4$, o $\text{mdc}\left(36,28\right)=2\cdot 2=4$.

Portanto, podem ser formados no máximo 4 arranjos, cada um com 9 rosas $\left(36:4=9\right)$ e 7 margaridas $\left(28:4=7\right)$.

Unidade 2

Os números inteiros

Questão 1. O município de Arcoverde está localizado em Pernambuco (PE). Esse estado faz fronteira com Alagoas (AL), Bahia (BA), Ceará (CE) Paraíba (PB) e Piauí (PI).

O município de Manaus está localizado no estado do Amazonas (AM). Esse estado faz fronteira com Acre (AC), Mato Grosso (MT), Pará (PA), Roraima (RR) e Rondônia (RO).

O município de Maringá está localizado no estado do Paraná (PR). Esse estado faz fronteira com Mato Grosso do Sul (MS), Santa Catarina (SC) e São Paulo (SP).

O município de Lajes está localizado no estado de Santa Catarina (SC). Esse estado faz fronteira com Rio Grande do Sul e Paraná.

O município de Vacaria está localizado no Rio Grande do Sul (RS). Esse estado faz fronteira apenas com Santa Catarina (SC).

Questão 2.

a) Os números negativos são $-1,5$, $-\frac{7}{8}$ e $-4,9$.

b) Os números maiores do que o zero são $\frac{1}{3}$ e $+2,8$.

c) O número 0 (zero).

Atividades

1. O termômetro A está marcando $3°\text{C}$ e representa a medida da temperatura na cidade de Maringá (PR); O termômetro B está marcando $24°\text{C}$ e representa a medida da temperatura da cidade de Manaus (AM); O termômetro C está marcando $-4°\text{C}$ e representa a medida da temperatura da cidade de Vacaria (RS).

2. a) O termômetro C está indicando a maior medida de temperatura. O termômetro A está indicando a menor medida de temperatura.

b) Verificamos que o termômetro A está indicando $-7°\text{C}$, o termômetro B está indicando $7°\text{C}$, o termômetro C está indicando $25°\text{C}$ e o termômetro D está indicando $0°\text{C}$.

3. a) Os termômetros B e F estão indicando uma temperatura com medida negativa.

b) A água estaria em estado líquido nos ambientes cujas medidas de temperatura estão indicadas nos termômetros A, C, D, e E, pois estão marcadas medidas de temperatura acima de zero.

A água estaria em estado sólido nos ambientes cujas medidas de temperatura estão indicadas nos termômetros abaixo de zero, ou seja, nos termômetros B e F.

c) Resposta Pessoal. Espera-se que os estudantes indiquem o termômetro A, pois apresenta uma medida de temperatura mais próxima da medida de temperatura do corpo humano.

4. a) A medida de temperatura média mensal esteve abaixo de zero em janeiro, fevereiro e dezembro.

b) A maior medida de temperatura média mensal foi registrada em agosto. Essa medida foi $23,6°\text{C}$.

c) A medida de temperatura média foi maior do que $10°\text{C}$ em maio, junho, julho, agosto, setembro e outubro.

5. a) Espera-se que os estudantes respondam $37°\text{C}$.

b) Espera-se que os estudantes respondam $100°\text{C}$.

c) Espera-se que os estudantes respondam $-5°\text{C}$.

d) Espera-se que os estudantes respondam $3.000°\text{C}$.

e) Espera-se que os estudantes respondam $-30°\text{C}$.

f) Espera-se que os estudantes respondam $220°\text{C}$.

6. a) O saldo estava positivo nos dias 25/09, 27/09 e 28/09. O saldo estava negativo nos dias 26/09 e 29/09.

b) Márcio fez a compra referida no dia 29/09, pois no extrato bancário há uma descrição de compra com cartão neste valor.

c) O histórico indica que a compra foi realizada com cartão de débito e podemos perceber que a compra foi efetuada em 27/09.

d) O saldo era positivo no valor de R$ 2,75.

e) Resposta pessoal.

Sugestão de resposta: Em qual dia Márcio depositou mais dinheiro do que ele retirou da conta? Resposta: No dia 27/09.

7. a) Como a Fossa das Marianas está abaixo do nível do mar, temos uma medida de altitude negativa, que representamos por $-10.920\text{m}$.

b) Como a montanha K2 está acima do nível do mar, temos uma medida de altitude positiva, que representamos por $8.611\text{m}$.

c) Como o Mar Morto está abaixo do nível do mar, temos uma medida de altitude negativa, que representamos por $-395\text{m}$.

d) Como o Pico da Neblina está acima do nível do mar, temos uma medida de altitude positiva, que representamos por $2.993\text{m}$.

e) Como a montanha Kilimanjaro está acima do nível do mar, temos uma medida de altitude positiva, que representamos por $5.895\text{m}$.

Questão 3. Resposta no final da seção Resoluções.

Atividades

8. a) Resposta no final da seção Resoluções.

b) O número $-120$ está entre $-150$ e $-100$.

O número 290 está entre 250 e 300.

O número 25 está entre 0 e 50.

O número $-230$ está entre $-250$ e $-200$.

O número $-320$ está entre $-350$ e $-300$.

9. Resposta no final da seção Resoluções.

10. a) Resposta no final da seção Resoluções.

b) O ponto A dista 9 unidades de medida do ponto O.

O ponto C dista 3 unidades de medida do ponto O.

O ponto D dista 3 unidades de medida do ponto O.

O ponto E dista 6 unidades de medida do ponto O.

O ponto F dista 10 unidades de medida do ponto O.

11. Para indicar a medida de altitude de um determinado local, geralmente utilizamos o nível do mar como referência. Quando a altitude indicada está acima do nível do mar, indicamos uma medida de altitude positiva e, quando está abaixo do nível do mar, indicamos uma medida de altitude negativa.

a) Os locais citados que ficam acima do nível do mar são o Monte Aconcágua, o Monte Elbrus, o Monte Everest e o Monte Branco.

b) Os locais que ficam abaixo da altitude de medida $-100\text{m}$ são o Mar Morto e o Lago Assal.

c) O local que tem maior medida de altitude é o Monte Everest. O local que tem menor medida de altitude é o Mar Morto.

12. a) Terra, Vênus e Mercúrio.

b) Em Marte, a temperatura média aproximada da superfície mede $-65°\text{C}$.

c) A temperatura média aproximada da superfície do planeta Netuno mede $-200°\text{C}$. Essa medida é negativa.

d) O planeta que tem maior medida de temperatura média aproximada é Vênus. Essa medida é $464°\text{C}$.

e) Associando cada planeta à letra correspondente, temos:

Vênus: A; Mercúrio: B; Terra: C; Marte: D; Júpiter: E; Saturno: F; Urano: G e Netuno: H.

13. a) Resposta no final da seção Resoluções.

b) O número 4 é o mais próximo da origem. O número $-12$ é o mais distante da origem.

c) Os números que estão a mais de sete unidades de distância da origem são $-8$, $-10$, $-12$, 9 e 11.

d) Resposta no final da seção Resoluções.

14. Como C e E estão situados à mesma medida de distância da origem e o ponto D está no ponto médio entre C e E, concluímos que D representa o zero (0) na reta numérica. Com base nesta informação, identificamos que E corresponde a 3 e, sendo simétrico a C, verificamos que C corresponde a $-3$. Como o ponto F está a 4 unidades à direita de E, então F corresponde a 7. Como B dista 6 unidades à esquerda do zero, verificamos que B corresponde a $-6$. Por fim, como A dista 9 unidades à esquerda de 0, então A corresponde a $-9$.

15. a) $\left|5\right|=5$

b) $|-8|=8$

c) $|-11|=11$

d) $\left|16\right|=16$

e) $|-2|=2$

f) $|-19|=19$

g) $\left|33\right|=33$

16. a) Contando as unidades na reta, verificamos que a medida de distância entre C e D é igual a 6 unidades, pois C representa o número $-11$ e D representa o número $-5$.

b) O ponto C está distante 8 unidades do ponto B.

c) Os pontos F e G distam 10 unidades um do outro.

d) O ponto D está distante 15 unidades do ponto F.

e) O ponto A é o mais distante do ponto E, com 30 unidades de medida de distância.

17. a) De acordo com a reta numérica apresentada, verificamos que as medidas de distância entre os pontos indicados e a origem são as seguintes:

Ponto A: 4 unidades.

Ponto B: 7 unidades.

Ponto C: 4 unidades.

Ponto D: 7 unidades.

b) O ponto A está à mesma medida de distância da origem que o ponto C. O ponto B está à mesma medida de distância da origem que o ponto D.

18. a) Entre os números $-3$ e 2, estão os números $-2$, $-1$, 0 e 1, cujos módulos são, respectivamente, 2, 1, 0 e 1.

b) Os números $-2$, $-1$, 0, 1 e 2 têm módulo menor do que 3.

19. Números simétricos são números que estão localizados à mesma distância da origem na reta numérica. Sendo assim, determinamos os simétricos dos números apresentados em cada item.

a) $-3$ é simétrico de 3.

b) 2 é simétrico de $-2$.

c) 32 é simétrico de $-32$.

d) $-9$ é simétrico de 9.

e) 15 é simétrico de $-15$.

f) $-56$ é simétrico de 56.

g) 1 é simétrico de $-1$.

h) $-10$ é simétrico de 10.

20. Existem várias respostas para os itens apresentados. Elencamos a seguir uma possível resposta para cada um deles.

a) Um possível número de três algarismos diferentes: 298. O oposto de 298 é $-298$.

b) Um possível número negativo de dois algarismos diferentes: $-98$. O oposto de $-98$ é 98.

c) Um possível número múltiplo de 10: 70. O oposto de 70 é $-70$.

d) Um possível número par de três algarismos: 986. O oposto de 986 é $-986$.

21. Para completar o quadro substituindo as letras de cada coluna, devemos identificar o oposto do número apresentado em cada linha, seja na coluna da direita, seja na coluna da esquerda. Assim, temos o seguinte resultado.

22. a) O módulo de $-7$ é 7.

b) O módulo de 3 é 3, e o módulo de $-3$ é 3.

c) O módulo dos números $-5$ e 5 é 5.

d) O módulo de $-15$ é 15, e o módulo de $-9$ é 9.

23. a) O simétrico de $-21$ é 21 e o simétrico de 21 é $-21$.

b) Como $|-7|=7$, o oposto do módulo de $-7$ é $-7$.

c) Como $|-9|=9$, o simétrico de $|-9|$ é $-9$.

d) Como os números são simétricos, eles estão a mesma distância da origem, ou seja, o zero está exatamente no ponto médio da medida de distância desses números e um deles é negativo e o outro é positivo. Assim, $150:2=75$. Portanto, os números são $-75$ e 75.

24. Resposta no final da seção Resoluções.

25. Organizando as medidas de temperatura em ordem crescente, temos:

$-18°\text{C}$, $-12°\text{C}$, $-5°\text{C}$, $-1°\text{C}$, $0°\text{C}$, $1°\text{C}$, $7°\text{C}$, $16°\text{C}$.

26. a) De acordo com a posição das letras na reta numérica, verificamos que:

A: $-38$; B: $-26$; C: $-10$; D: $-7$; E: 5; F: 30; G: 38.

b) O maior número representado por uma dessas letras é o 38. O menor número é o $-38$.

c) Entre os números representados pelas letras:

são menores do que zero: $-38$, $-26$, $-10$ e $-7$.

são maiores do que $-15$ e menores do que 15: $-10$, $-7$ e 5.

são maiores do que $-20$: $-10$, $-7$, $5$, $30$ e $38$.

27. a) $5>2$

b) $-7>-9$

c) $-1<0$

d) $-53<53$

e) $1>-15$

f) $-158<-157$

g) $11>-11$

h) $-170<5$

28. Entre os números apresentados, verificamos que:

a) os maiores do que $-14$ são $-9$, $-7$, $-3$ e $-1$.

b) os que estão entre $-3$ e 2 são $-1$ e 1.

c) o menor do que $-4$ é o $-7$.

29. a) O maior valor de x é 2 e o menor valor é $-1$.

b) O maior valor de x é $-23$ e o menor valor é $-34$.

c) O maior valor de x é $-2$ e o menor valor é $-6$.

d) O maior valor de x é 6 e o menor valor é $-9$.

e) O maior valor de x é $-3$ e o menor valor é $-7$.

f) O maior valor de x é 4 e o menor valor é $-11$.

30. Escrevendo em ordem crescente todos os números inteiros, temos as seguintes sequências:

a) Números maiores do que $-6$ e menores do que 4: $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2, 3.

b) Números maiores do que $-12$ e menores do que $-5$: $-11$, $-10$, $-9$, $-8$, $-7$, $-6$.

c) Números diferentes de zero, cuja medida de distância em relação à origem é menor do que 4 unidades: $-3$, $-2$, $-1$, 1, 2, 3.

31. a) A maior medida de temperatura atmosférica registrada é $6°\text{C}$. A menor medida é aproximadamente $-57°\text{C}$.

b) Na altitude indicada, o termômetro desse avião registrou $-45°\text{C}$ de medida de temperatura atmosférica.

c) Uma medida de temperatura de $-40°\text{C}$ pode ser registrada entre $7.200\text{m}$ e $9.200\text{m}$ de medida de altitude.

d) Em altitudes de medida acima de $4.000\text{m}$, a medida de temperatura atmosférica aproximada é negativa.

32. a) O saldo era o maior no dia 16/07. O saldo era o menor no dia 23/07.

b) O saldo era maior do que $-\text{R\$}\mathrm{5,00}$ e menor do que R$ 10,00 no dia 25/07.

c) Resposta no final da seção Resoluções.

33. A equipe que obteve o menor saldo de gols nesse campeonato foi o Sport (PE). A equipe que obteve o maior saldo de gols nesse campeonato foi o Cuiabá (MT).

34. a) No período indicado, passaram-se 4 anos.

b) Escrevendo os anos em ordem crescente, temos:

9 a.C., 7 a.C., 3 a.C., 2 a.C., 1 a.C., 1 d.C., 2 d.C., 4 d.C.

Questão 4. Resposta no final da seção Resoluções.

Questão 5.

a) $\left(-5\right)+0=-5$

b) $0+\left(-17\right)=-17$

c) $\left(-12\right)+0=-12$

d) $\left(-15\right)+0=-15$

e) $0+\left(+14\right)=+14$

f) $\left(-25\right)+0=-25$

g) $\left(-7\right)+0=-7$

h) $\left(-184\right)+0=-184$

Questão 6. Sugestão de resposta: Ao adicionar um número inteiro a zero, o resultado é o próprio número inteiro.

Questão 7.

a) $\left(-6\right)+\left(+6\right)=0$

b) $\left(+17\right)+\left(-17\right)=0$

c) $\left(-28\right)+\left(+28\right)=0$

d) $\left(+41\right)+\left(-41\right)=0$

e) $\left(-37\right)+\left(+37\right)=0$

f) $\left(+65\right)+\left(-65\right)=0$

Questão 8. Independentemente do número inteiro que o estudante escolha, o resultado é zero. Caso ele escolha $-10$, a adição a ser efetuada é $-10+10$, cujo resultado é 0.

Questão 9. 0 (zero).

Atividades

35. a) Devemos substituir o $\text{█}$ por $-3$, pois a seta laranja indica que estamos deslocando 3 unidades para a esquerda (sentido negativo) a partir do número 8. Assim, $\left(+8\right)+\left(-3\right)=+5$.

b) Devemos substituir o $\text{█}$ por $+9$, pois a seta verde indica que estamos deslocando 9 unidades para a direita (sentido positivo) a partir do número $-12$. Assim, $\left(-12\right)+\left(+9\right)=-3$.

c) Devemos substituir o $\text{█}$ da parcela por $-5$, pois a seta laranja menor indica que estamos deslocando 5 unidades para a esquerda (sentido negativo) a partir do número 0. Com isso, substituímos o outro $\text{█}$ pelo resultado da adição indicada, ou seja, $\left(-5\right)+\left(-6\right)=-11$.

d) Devemos substituir os $\text{█}$ das parcelas, respectivamente, por $-3$ e $+7$, pois a seta laranja indica que estamos deslocando 3 unidades para a esquerda (sentido negativo) a partir do número 0, e a seta verde indica que estamos deslocando 7 unidades para a direita (sentido positivo) a partir do número $-3$. Com isso, substituímos o último $\text{█}$ pelo resultado da adição indicada, ou seja, $\left(-3\right)+\left(+7\right)=+4$.

e) Devemos substituir os $\text{█}$ das parcelas, respectivamente, por $-3$ e $+3$, pois a seta verde indica que estamos deslocando 3 unidades para a esquerda (sentido negativo) a partir do número 0, e a seta laranja indica que estamos deslocando 3 unidades para a direita (sentido positivo) a partir do número $-3$. Com isso, substituímos o último $\text{█}$ pelo resultado da adição indicada, ou seja, $\left(-3\right)+\left(+3\right)=0$.

f) Devemos substituir os $\text{█}$ das parcelas, respectivamente, por $+7$ e $-12$, pois a seta verde indica que estamos deslocando 7 unidades para a direita (sentido positivo) a partir do número 0, e a seta laranja indica que estamos deslocando 12 unidades para a esquerda (sentido negativo) a partir do número 7. Com isso, substituímos o último $\text{█}$ pelo resultado da adição indicada, ou seja, $\left(+7\right)+\left(-12\right)=-5$.

36. a) Raul deve depositar R$ 590,00, pois $\left(-590\right)+\left(590\right)=0$.

b) Raul deve depositar a mesma quantia em dinheiro para o saldo ficar igual a zero, ou seja, R$ 590,00. Para que o saldo fique igual a R$ 490,00, ele deve cobrir o valor correspondente ao saldo devedor e acrescentar a quantia de R$ 490,00, pois $590+490=1.080$.

Portanto, Raul deverá depositar R$ 1.080,00.

37. Para descobrir o saldo da conta bancária de Fernanda, basta adicionarmos os valores do extrato, ou seja:

$\left(+250\right)+\left(-135\right)+\left(-62\right)+\left(+253\right)=\left(+115\right)+\left(+191\right)=306$

Portanto, o saldo após as movimentações é R$ 306,00.

38. a) $\left(-9\right)+\left(+5\right)=-4$

b) $\left(+41\right)+\left(-23\right)=+18$

c) $\left(-7\right)+\left(+4\right)=-3$

d) $\left(+18\right)+\left(-35\right)=-17$

e) $\left(-52\right)+\left(+17\right)=-35$

f) $\left(-3\right)+\left(-14\right)=-17$

g) $\left(+57\right)+\left(-2\right)=+55$

h) $\left(-16\right)+\left(-37\right)=-53$

39. Ao aplicar a propriedade comutativa da adição, a ordem das parcelas não altera o resultado da operação.

a) $\left(-12\right)+\left(+8\right)=-4$ e $\left(+8\right)+\left(-12\right)=-4$.

b) $\left(-31\right)+\left(-6\right)=-37$ e $\left(-6\right)+\left(-31\right)=-37$.

c) $\left(-9\right)+\left(+21\right)=12$ e $\left(+21\right)+\left(-9\right)=12$.

d) $\left(+12\right)+\left(-19\right)=-7$ e $\left(-19\right)+\left(+12\right)=-7$.

40. a) $\left(+30\right)+\left(-12\right)=+18$

b) $\left(+30\right)+\left(-12\right)=+18$

c) $\left(-17\right)+\left(-1\right)=-18$

d) $\left(-17\right)+\left(-1\right)=-18$

e) $\left(+7\right)+\left(-25\right)=-18$

f) $\left(+7\right)+\left(-25\right)=-18$

g) $\left(+52\right)+\left(-34\right)=+18$

h) $\left(+52\right)+\left(-34\right)=+18$

41. a) $\left(-3\right)+\left(+5\right)+\left(-5\right)=\left(+2\right)+\left(-5\right)=-3$ e $\left(-3\right)+\left(+5\right)+\left(-5\right)=\left(-3\right)+0=-3$.

b) $\left(+2\right)+\left(-2\right)+\left(+2\right)=0+\left(+2\right)=+2$ e $\left(+2\right)+\left(-2\right)+\left(+2\right)=\left(+2\right)+0=+2$.

c) $\left(+1\right)+\left(-15\right)+\left(+7\right)=\left(-14\right)+\left(+7\right)=-7$ e $\left(+1\right)+\left(-15\right)+\left(+7\right)=\left(+1\right)+\left(-8\right)=-7$.

d) $\left(+7\right)+\left(+14\right)+\left(-7\right)=\left(+21\right)+\left(-7\right)=+14$ e $\left(+7\right)+\left(+14\right)+\left(-7\right)=\left(+7\right)+\left(+7\right)=+14$.

e) $\left(+30\right)+\left(-18\right)+\left(-6\right)=\left(+12\right)+\left(-6\right)=+6$ e $\left(+30\right)+\left(-18\right)+\left(-6\right)=\left(+30\right)+\left(-24\right)=+6$.

f) $\left(-52\right)+\left(-2\right)+\left(-5\right)=\left(-54\right)+\left(-5\right)=-59$ e $\left(-52\right)+\left(-2\right)+\left(-5\right)=\left(-52\right)+\left(-7\right)=-59$.

g) $\left(+60\right)+\left(-23\right)+\left(+7\right)=\left(+37\right)+\left(+7\right)=+44$ e $\left(+60\right)+\left(-23\right)+\left(+7\right)=\left(+60\right)+\left(-16\right)=+44$.

h) $\left(+4\right)+\left(+15\right)+\left(-8\right)=\left(+19\right)+\left(-8\right)=+11$ e $\left(+4\right)+\left(+15\right)+\left(-8\right)=\left(+4\right)+\left(+7\right)=+11$.

i) $\left(+3\right)+\left(-18\right)+\left(+12\right)=\left(-15\right)+\left(+12\right)=-3$ e $\left(+3\right)+\left(-18\right)+\left(+12\right)=\left(+3\right)+\left(-6\right)=-3$.