Unidade 11

Estatística e probabilidade

Atividades

1. a) Sabendo que a tabela e o gráfico representam a mesma informação, verificamos que:

A: 18,7; B: 52,7; C: 13,3; D: 13.

b) A maior quantia em dólares foi gasta em Pequim no ano 2008. A menor quantia em dólares foi gasta no Rio de Janeiro no ano 2016.

c) Calculando a diferença entre estes valores obtemos $52,7-18,7=34$, isto é, 34 bilhões de dólares.

2. a) A menor medida de temperatura ocorreu no dia 1º de julho. Essa medida foi $1°\text{C}$.

b) Os dias 1 e 3 apresentaram a mesma medida de temperatura máxima, que é $17°\text{C}$.

c) No dia 1, houve a maior diferença entre as medidas de temperatura máxima $\left(17°\text{C}\right)$ e mínima $\left(1°\text{C}\right)$ registradas. A diferença foi $16°\text{C}$.

3. a) Para determinar a quantidade de medalhas conquistadas pelo Brasil, devemos adicionar a quantidade de medalhas de ouro, prata e bronze conquistadas:

$55+45+71=171$

Portanto, o Brasil conquistou 171 medalhas.

b) De acordo com o gráfico, verificamos que os Estados Unidos conquistaram mais medalhas. Calculando a quantidade de medalhas, obtemos 293 medalhas, ou seja, $120+88+85=293$.

c) México e Canadá conquistaram entre 100 e 160 medalhas.

d) Como Canadá conquistou 35 medalhas de ouro e Cuba conquistou 33 medalhas de ouro, calculamos a diferença entre essas quantidades, que é dada por $35-33=2$. Portanto, o Canadá conquistou 2 medalhas de ouro a mais do que Cuba.

e) Como os Estados Unidos conquistaram 85 medalhas de bronze e o México conquistou 63 medalhas de bronze, a diferença de medalhas de bronze é dada por $85-63=22$. Portanto, o México conquistou 22 medalhas de bronze a menos do que os Estados Unidos.

4. a) No mês de fevereiro, houve o maior consumo de água. Essa quantidade foi $23{\text{m}}^3$.

b) Adicionando os valores desses 5 meses consecutivos, obtemos:

$23+20+22+19+17=101$

Portanto, foram consumidos $101{\text{m}}^3$.

c) O mês de menor consumo foi junho, com medida de $17{\text{m}}^3$, e o mês de maior consumo foi fevereiro, com medida de $23{\text{m}}^3$. Calculando a diferença entre esses meses, obtemos $23-17=6$, isto é, foram registrados $6{\text{m}}^3$ a menos no mês de menor consumo em relação ao mês de maior consumo.

5. a) De acordo com o gráfico, em 2017 houve a maior produção de maçãs. Como as informações estão apresentadas em 1.000 toneladas, calculamos $1.308\cdot 1.000=1.308.000$.

Portanto, em 2007 houve uma produção de aproximadamente $1.308.000\text{t}$ de maçãs.

b) A produção diminuiu. Calculando essa diferença, temos $1.223-983=240$, que em toneladas representa $240\cdot 1.000=240.000$, ou seja, aproximadamente $240.000\text{t}$.

c) Entre os anos de 2016 e 2017, houve o maior aumento de produção ocorrido de um ano para outro. Calculando a diferença entre essa produção, temos $1.308-1.055=253$, que em toneladas representa uma diferença de $253.000\text{t}$, pois $253\cdot 1.000=253.000$.

d) Entre os anos de 2018 e 2019, houve o menor aumento na produção ocorrido de um ano para outro.

e) A produção foi superior a de 2018 nos anos de 2015, 2017 e 2019.

6. a) De acordo com as informações do gráfico, podemos observar que a maior porcentagem está relacionada ao consumo de petróleo e derivados.

b) O consumo de carvão mineral foi a fonte de energia para 27% da população mundial e o consumo de gás natural foi a fonte de energia para 23%. Calculando a diferença entre essas porcentagens, obtemos $27-23=4$. Portanto, foram consumidos, aproximadamente, 4% a mais de carvão mineral do que de gás natural.

c) A porcentagem aproximada foi 19%, pois $14+5=19$.

d) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes exercitem o senso crítico e a capacidade de argumentação para responderem e justificarem suas opiniões.

e) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes citem ações como apagar as luzes quando não houver pessoas nos ambientes, reduzir o tempo no banho, fazer uso da bicicleta como meio de transporte e preferir fontes de energia renováveis.

7. a) O carvão foi a fonte de energia que gerou a maior produção de ${\text{CO}}_2$.

b) A diferença entre as fontes de emissão de ${\text{CO}}_2$ citadas é aproximadamente 13% $\left(34-21=13\right)$.

c) Resposta pessoal. Sugestão de resposta: Qual foi, ao todo, a porcentagem aproximada de ${\text{CO}}_2$ liberada por petróleo e gás natural? Resposta: 55%.

d) Ao construir a tabela no Calc, devemos lembrar de inserir um título, as informações correspondentes da tabela e a fonte das informações.

Para construir o gráfico, podemos proceder da seguinte maneira.

1º. Insira os dados no Calc, conforme apresentado a seguir. Selecione as células com os dados clicando em A1 e mantendo o botão pressionado para arrastar até a célula B5.

2º. Clique no menu Inserir e selecione a opção Gráfico ou, então, clique diretamente no botão Inserir gráfico. Na janela Assistente de gráficos, selecione Tipo de gráfico e escolha Pizza. Ainda nessa janela, selecione Elementos do gráfico, preencha o título "Emissão aproximada de ${\text{CO}}_2$ no mundo por fonte de energia – 2019", deixe a opção Exibir legenda habilitada e clique em Finalizar.

3º. Para exibir os valores dos setores, dê um clique duplo no gráfico. Em seguida, clique com o botão direito sobre um setor e escolha Inserir rótulo de dados. Depois, clique com o botão direito, escolha Formatar rótulo de dados e altere os atributos de texto para Valor como porcentagem. Como não há um campo para inserir a fonte de pesquisa, digite a informação em uma célula abaixo do gráfico.

e) Resposta pessoal. Sugestão de resposta: É importante reduzirmos a emissão de ${\text{CO}}_2$, pois o excesso de dióxido de carbono na atmosfera é tóxico para os seres humanos, prejudicando a saúde e a qualidade de vida, principalmente de idosos e crianças.

f) Espera-se que os estudantes encontrem em sua pesquisa algumas consequências da emissão de gás carbônico em excesso na atmosfera, tais como o agravamento de doenças cardiopulmonares; o desequilíbrio climático; as médias de temperaturas máxima e mínimas mais extremas; o aumento da acidez na água do mar. Algumas atitudes que podem ser tomadas para diminuir a emissão de ${\text{CO}}_2$ são: uso de energia renovável; redução de desmatamento e queimadas; uso de meios de transporte menos poluentes ou alternativos; incentivo ao reflorestamento; incentivo à agricultura sustentável.

8. a) Adicionando as quantidades informadas de acordo com o tipo de combustível, temos:

$237.394+1.336.702+33.239=1.607.335$

Portanto, em 2020 foram produzidos 1.607.335 automóveis.

b) De acordo com o item a, sabemos que, em 2020, foram produzidos 1.607.335 automóveis. Deste modo, organizamos as informações no seguinte quadro.

Utilizando regra de três, podemos obter o valor de x.

$\frac{1.607.335}{33.239}=\frac{100}{x}$

$1.607.335x=33.239\cdot 100$

$x=\frac{3.323.900}{1.607.335}$

$x\simeq 2$

Portanto, aproximadamente 2% da produção de 2020 correspondem a automóveis movidos a diesel.

c) Para resolver esse item, efetuamos uma subtração entre as duas quantidades informadas.

$1.336.702-237.394=1.099.308$

Logo, a diferença é 1.099.308 automóveis.

Para obter a porcentagem referente a essa quantidade, novamente usamos a regra de três como estratégia.

$\frac{1.607.335}{1.099.308}=\frac{100}{x}$

$1.607.335x=1.099.308\cdot 100$

$x=\frac{109.930.800}{1.607.335}$

$x\simeq 68$

Portanto, aproximadamente 68% da produção de 2020 correspondem à diferença entre a produção de automóveis flex fuel e a de automóveis movidos a gasolina.

d) Para construirmos um gráfico de setores no Calc, fazemos:

1º. Insira os dados no Calc, conforme apresentado a seguir. Selecione as células com os dados clicando em A1 e mantendo o botão pressionado para arrastar até a célula B4.

2º. Clique no menu Inserir e selecione a opção Gráfico ou, então, clique diretamente no botão Inserir gráfico. Na janela Assistente de gráficos, selecione Tipo de gráfico e escolha Pizza. Ainda nessa janela, selecione Elementos do gráfico, preencha o título "Produção de automóveis por tipo de combustível – 2020", deixe a opção Exibir legenda habilitada e clique em Finalizar.

3º. Para exibir os valores dos setores, dê um clique duplo no gráfico. Em seguida, clique com o botão direito sobre um setor e escolha Inserir rótulo de dados. Como não há um campo para inserir a fonte de pesquisa, digite a informação em uma célula abaixo do gráfico. Como não há campo para inserir a fonte de pesquisa, digite a informação em uma célula abaixo do gráfico.

Questão 1. Calculando a nova média, obtemos:

$\frac{9+8+7,5+8,5+8+9+6}{7}=\frac{56}{7}=8$

Portanto, a média permaneceria igual.

A amplitude mudaria, pois, como a maior nota é 9 e a menor nota é 6, a diferença passa a ser $9-6=3$, isto é, a amplitude seria maior.

Questão 2. Sabemos que o peso da avaliação curricular é 4 e o peso da entrevista é 6. Assim, calculando a média ponderada, temos:

$\frac{10\cdot 4+7\cdot 6}{4+6}=\frac{82}{10}=8,2$

Portanto, a nota média de Ana foi 8,2.

Atividades

9. a) O mês de outubro apresentou o maior IPCA. O mês de dezembro apresentou o menor IPCA.

b) A média aritmética é dada por:

$\frac{1,16+1,25+0,95+0,73}{4}=\frac{4,09}{4}=1,0225$

Portanto, a média aritmética mensal aproximada nesse quadrimestre foi 1,02%.

10. a) Inicialmente, vamos calcular a média e a amplitude das receitas da loja A.

Média: $\frac{95+100+130+105+170+180}{6}=\frac{780}{6}=130$, ou seja, R$ 130,00.

Amplitude: $180-95=85$, ou seja, R$ 85,00.

Calculando a média e a amplitude das receitas da loja B, temos:

média: $\frac{130+124+110+98+170+156}{6}=\frac{788}{6}\simeq 131,00$, ou seja, aproximadamente, R$ 131,00.

Amplitude: $170-98=72$, ou seja, R$ 72,00.

b) A loja B teve a receita mais homogênea nessa semana, pois as receitas dela têm uma menor amplitude quando comparada à das receitas da loja A.

11. a) Como $\frac{5+7+8+7}{4}=\frac{27}{4}=6,75$, a média aritmética das notas de Rui foi 6,75.

b) Como $\frac{5\cdot 1+7\cdot 2+8\cdot 3+7\cdot 4}{1+2+3+4}=\frac{71}{10}=7,1$, a média ponderada das notas de Rui foi 7,1.

c) Rui não seria aprovado com a média obtida no cálculo da média aritmética, pois obteve nota igual a 6,5. Rui seria aprovado se o resultado fosse obtido no cálculo da média ponderada, pois alcançou nota igual a 7,1.

12. a) A nota 4 recebeu mais indicações. A nota 1 recebeu menos indicações.

b) Para calcularmos a média no Calc, procedemos da seguinte maneira.

1º. Copie as informações do quadro correspondentes à satisfação dos entrevistados com relação à empresa no intervalo A1:B6.

2º. Na célula A7, digite o texto "Média ponderada". Em seguida, na célula B7, digite a fórmula $\mathbf{=}\mathbf{\text{SOMARPRODUTO}}$$\left(\mathbf{\text{A2:A6;B2:B6}}\right)\mathbf{/SOMA}\left(\mathbf{\text{B2:B6}}\right)$ e pressione Enter.

13. a) Sugestão de resposta: Uma pesquisa censitária é realizada com toda a população, enquanto uma pesquisa amostral é feita com uma parte da população.

b) Censitária, pois era possível entrevistar todos os colegas da turma.

c) Adilson utilizou gráfico e texto com dados estatísticos.

d) A banana foi a fruta que recebeu a menor quantidade de votos $\left(3\right)$. Usando regra de três, calculamos a porcentagem correspondente a essa quantidade.

$100\cdot 3=32x$

$\frac{300}{32}=\frac{32x}{32}$

$x=9,375$

Portanto, a banana recebeu, aproximadamente, 9,38% dos votos.

e) Para construir um gráfico de setores no Calc, realizamos os procedimentos indicados a seguir.

1º. Copie os valores da atividade no Calc e selecione todas as informações.

2º. Clique no menu Inserir e selecione a opção Gráfico ou, então, clique diretamente no botão Inserir gráfico. Na janela Assistente de gráficos, selecione Tipo de gráfico e escolha Pizza. Ainda nessa janela, selecione Elementos do gráfico, preencha o título "Fruta preferida pelos colegas da turma de Adilson – novembro de 2023", deixe a opção Exibir legenda habilitada e clique em Finalizar.

3º. Para exibir os valores dos setores, dê um clique duplo no gráfico. Em seguida, clique com o botão direito sobre um setor e escolha Inserir rótulo de dados. Como não há um campo para inserir a fonte de pesquisa, digite a informação em uma célula abaixo do gráfico.

14. a) A população desse tema de pesquisa são todos os eleitores desse estado, ou seja, 345.500 eleitores de um estado e a amostra, os 35.225 eleitores entrevistados.

b) A população desse tema de pesquisa são todos os estudantes da escola e a amostra, os 450 estudantes entrevistados.

c) A população desse tema de pesquisa são os ocupantes das poltronas e a amostra, os 85 ocupantes entrevistados.

15. a) Para os domicílios com acesso à internet, o tipo de pesquisa mais adequado é o censitário.

b) Para a preferência dos consumidores por determinada marca de produto, o tipo de pesquisa mais adequado é o amostral.

c) Para a população rural e urbana de um município, o tipo de pesquisa mais adequado é o censitário.

d) Para a aprovação do presidente de um país, o tipo de pesquisa mais adequado é o amostral.

16. Não, pois a população pesquisada são os funcionários da empresa que é dona da marca.

17. Tema: Satisfação dos moradores com o serviço de coleta de lixo no município.

Questionário: Já foi definido pela prefeitura.

Público-alvo: Adultos, moradores do município estudado.

a) Não, pois os adultos têm uma melhor percepção referente à qualidade do serviço de coleta de lixo.

b) Sugestão de resposta: Nas residências, por se tratar de um serviço público oferecido no bairro.

c) Não, pois pode demandar muito tempo entrevistar todos os moradores.

d) A pesquisa é amostral.

e) Resposta pessoal.

Questão 4. Adicionando a quantidade de lançamentos, obtemos $12+12+11+12+12+11=70$. Portanto, Sara fez nesse experimento 70 lançamentos.

Atividades

18. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes compartilhem o resultado de suas pesquisas com os colegas, agregando conhecimento e validando as informações.

19. a) São 2 resultados possíveis: cara ou coroa.

b) A probabilidade é 1 em 2 ou, ainda, $\frac{1}{2}=0,5=\frac{50}{100}=50\%$.

20. a) Como o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis, temos:

$\mathrm{\Omega }=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\right\}$

b) A probabilidade de sair o número 12 é 1 em 20, ou seja, $\frac{1}{20}=0,05=\frac{5}{100}=5\%$.

c) A probabilidade de um número sorteado ser ímpar é 10 em 20, ou seja, $\frac{10}{20}=0,5=\frac{50}{100}=50\%$.

d) Como existem 11 números com dois algarismos, a probabilidade é 11 em 20, ou seja, $\frac{11}{20}=0,55=\frac{55}{100}=55\%$.

e) Nesse espaço amostral, há 8 números primos, que são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Nesse caso, a probabilidade de um número sorteado ser primo é 8 em 20, ou seja, $\frac{8}{20}=0,4=\frac{40}{100}=40\%$.

21. a) Cada estudante fará 10 lançamentos e o grupo será formado por 4 estudantes. Então, a quantidade de lançamentos do grupo deve ser igual a 40.

b) A resposta depende do resultado do experimento.

c) Cada um dos resultados tem a mesma chance de ocorrer e a probabilidade de aparecer determinada face é representada pela fração $\frac{1}{6}$. Sendo assim, em 1.200 lançamentos, espera-se obter 200 pontos para determinada pontuação, pois $1.200\cdot \frac{1}{6}=\frac{1.200}{6}=200$.

Portanto, espera-se obter aproximadamente 200 resultados com pontuação 3 e 200 resultados com pontuação 5.

22. Inicialmente, vamos determinar o espaço amostral desse evento.

Desta maneira, verificamos que existem 9 possibilidades de somas e, dessas, 5 são resultados pares. Portanto, a alternativa correta é a b.

23. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Para realizar 20 sorteios com números de 0 até 50, procedemos da seguinte maneira.

Na célula A1, digite $\mathbf{=}\mathbf{\text{ALEATÓRIOENTRE}}\left(\mathbf{1}\mathbf{;}\mathbf{50}\right)$ e pressione Enter.

Clique na Alça de preenchimento automático, mantendo o botão pressionado, e arraste, por exemplo, até a célula A20. Os demais números sorteados serão exibidos.

Para descobrir a porcentagem de vezes que o número 7 foi sorteado, executamos os seguintes procedimentos.

Em uma célula vazia, digite a fórmula $\mathbf{=}\mathbf{\text{CONT.SE}}\left(\mathbf{\text{A}}\mathbf{1}\mathbf{:}\mathbf{\text{A}}\mathbf{20}\mathbf{;}\mathbf{7}\right)$ e pressione Enter.

Divida o resultado por 20, represente em forma de fração com denominador igual a 100 e anote a porcentagem.

O que eu estudei?

1. A menor porcentagem de estudantes com aprendizado adequado em Matemática ocorreu em 2013. A menor porcentagem de estudantes com aprendizado adequado em Língua Portuguesa ocorreu em 2011.

2. Calculando a média anterior, obtemos:

$\frac{18+16+17+13+14+1+19+14+16+12}{10}=\frac{140}{10}=14$, ou seja, 14 pontos.

Para calcular a nova média, devemos descartar a maior e a menor nota atribuída.

$\frac{18+16+17+13+14+14+16+12}{8}=\frac{120}{8}=15$, ou seja, 15 pontos.

Portanto, a nova média é 1 ponto maior em relação à media anterior. Logo, a alternativa correta é a b.

3. a) Calculando a porcentagem com relação à quantidade de votos, temos:

$11.900\cdot \frac{36}{100}=\frac{428.400}{100}=4.284$

Portanto, a candidata eleita teve 4.284 votos.

b) A diferença em porcentagem na quantidade de votos obtida por esses dois candidatos foi $30\%-26\%=4\%$.

Assim:

$11.900\cdot \frac{4}{100}=\frac{47.600}{100}=476$, ou seja, 476 votos.

c) Calculando a porcentagem, temos:

$11.900\cdot \frac{8}{100}=\frac{95.200}{100}=952$, ou seja, 952 votos foram brancos ou nulos.

4. a) O cargo é o de diretor de marketing. O cargo de maior salário na empresa A é o de diretor executivo.

b) Calculando a média salarial dos diretores da empresa A, obtemos:

$\frac{8.500+10.200+9.600}{3}=\frac{28.300}{3}\simeq 9.433,33$, ou seja, aproximadamente R$ 9.433,33.

Calculando a média salarial dos diretores da empresa B, obtemos:

$\frac{9.200+9.900+9.500}{3}=\frac{28.600}{3}\simeq 9.533,33$, ou seja, aproximadamente R$ 9.533,33.

Logo, a empresa B apresenta a maior média salarial.

c) Amplitude do salário na empresa A: $10.200-8.500=1.700$, ou seja, R$ 1.700,00.

Amplitude do salário na empresa B: $9.900-9.200=700$, ou seja, R$ 700,00.

5. a) A quantidade de resultados possíveis é $6\cdot 6=36$, ou seja, são 36 os resultados possíveis.

b) Cada um dos resultados tem a mesma chance de acontecer e existem 3 chances de obter um número par e a letra C em um lançamento. Desse modo, calculamos:

$\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\text{≃}0,08=\frac{8}{100}=8\%$

Portanto, a probabilidade é, aproximadamente, 8%.

c) Cada um dos resultados tem a mesma chance de acontecer e existem 6 chances de obter um número ímpar e a letra ser uma vogal em um lançamento. Desse modo, calculamos:

$6\cdot \frac{1}{36}=\frac{6}{36}\text{≃}0,17=\frac{17}{100}=17\%$. Portanto, a probabilidade é de, aproximadamente, 17%.

d) Contando inicialmente cada uma das quantidades, verificamos que 3 números são primos: 2, 3 e 5. Além disso, temos 4 consoantes: B, C, D e F. Logo, temos 12 em 36 chances, ou seja, $\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\text{≃}0,33=\frac{33}{100}=33\%$. Portanto, a probabilidade é, aproximadamente, 33%.

Unidade 12

Transformações de figuras

Questão 1. As figuras A e C têm simetria axial, pois são as únicas que apresentam duas partes que se sobrepõem se as "dobrarmos" ao longo da reta formada pelo eixo e.

Atividades

1. A linha e representa um eixo de simetria nas figuras A, B, D e F, pois elas apresentam duas partes opostas iguais, separadas pelo eixo e.

2. Traçando todos os eixos de simetria em cada uma das figuras, temos:

a)

b)

3. a) De acordo com os traçados apresentados, os algarismos que têm eixo de simetria são 0, 3 e 8. Esboçando a representação desses eixos, temos:

b) Os algarismos que têm mais de um eixo de simetria são 0 e 8, com dois eixos de simetria cada um.

4. A imagem que completa o mosaico adequadamente está representada na alternativa B.

5. As alternativas são B e D, pois apresentam figuras iguais de modo espelhado. Na alternativa A, não há simetria por reflexão entre as figuras dos dois lados do eixo e, e sim por rotação. Já na alternativa C, as figuras não são simétricas.

6. a) No padrão representado na figura 1, há 1 eixo de simetria.

No padrão representado na figura 3, há 4 eixos de simetria.

b) Resposta pessoal. O item a depende do desenho dos estudantes. Certifique-se de que eles utilizem padrões geométricos em suas criações.

7. Rogério cometeu um erro na figura A, pois, além de os pontos correspondentes aos vértices das duas figuras – uma de cada lado do eixo e – não terem a mesma distância até o eixo, eles não são simétricos por reflexão.

8. A figura 2 é simétrica à figura 1 por rotação na alternativa A, pois nessa alternativa a figura permanece a mesma após ser rotacionada em determinado ângulo em relação ao ponto O.

9. A. A figura 1 rotacionou $90°$ em relação ao ponto O.

B. A figura 1 rotacionou $100°$ em relação ao ponto O.

10. A figura apresentada na alternativa E é simétrica por rotação à figura dada, conforme as condições do enunciado.

11. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Para realizar a construção no GeoGebra, executamos os procedimentos a seguir.

1º) Com a ferramenta Polígono, construa um polígono qualquer. Depois, com a ferramenta Reta, clique em dois pontos distintos para traçar uma reta e, com a ferramenta Ponto, clique e marque um ponto aleatório.

2º) Com a ferramenta Reflexão em Relação a uma Reta, clique no polígono e, depois, na reta.

3º) Com a ferramenta Rotação em Torno de um Ponto, clique no polígono inicial e, depois, no ponto. No campo Ângulo da janela que será exibida, digite a medida do ângulo, ou seja, $85°$, escolha o sentido horário e clique em OK.

12. a) Sugestão de resposta: As paredes cobertas por mosaicos geométricos do Palácio na Alhambra, na cidade de Granada, na Espanha, foi o que despertou o interesse de Escher.

b) Nessa criação de Escher, está presente a simetria de rotação, pois ela apresenta três imagens idênticas e rotacionadas em torno de um ponto central.

c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes apresentem um texto enriquecido com o resultado de suas pesquisas, usando sua capacidade de comunicação e desenvolvendo o senso estético, crítico e argumentativo em suas produções.

d) Para permanecer a mesma, a obra Serpentes deve ser rotacionada em $120°$.

13. No item A, pois a figura 2 está transladada na direção horizontal, em 7 unidades para a direita.

14. A figura 2 está transladada na direção horizontal, 4 unidades à direita da figura 1, representada pela seta H.

A figura 3 está transladada 5 unidades para cima da figura 1, representada pela seta B.

A figura 4 está transladada na direção horizontal, 5 unidades à esquerda da figura 1, representada pela seta F.

15. As figuras que representam as imagens simétricas por translação, com sentido, direção e distância, de acordo com as setas A e B são:

16. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Para realizar a construção no GeoGebra, executamos os seguintes procedimentos.

1º) Com a ferramenta Polígono, construa um polígono qualquer.

2º) Com a ferramenta Vetor, clique em dois pontos distintos para delimitar as extremidades da seta, que será a referência para a medida da distância, a direção e o sentido da translação.

Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

17. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Para realizar a construção no GeoGebra, procedemos da seguinte maneira.

1º) Com a ferramenta Polígono, construa um polígono qualquer.

2º) Com a ferramenta Vetor, clique em dois pontos distintos para delimitar as extremidades da seta, que será a referência para a medida da distância, a direção e o sentido da translação.

Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Questão 2. As coordenadas dos pontos são $H\left(-3,0\right)$, $O\left(0,0\right)$ e $W\left(0,-1\right)$.

Atividades

18. Indicando os pontos A, B, C e D no plano cartesiano construído na malha quadriculada, temos:

19. a) As coordenadas dos pontos indicados no plano cartesiano são:

$A\left(0,3\right)$, $B\left(-4,0\right)$, $C\left(-3,-1\right)$, $D\left(-1,1\right)$, $E\left(3,-2\right)$, $F\left(3,2\right)$, $G\left(-3,-4\right)$, $H\left(-3,4\right)$, $I\left(-3,2\right)$, $J\left(2,4\right)$, $K\left(1,-2\right)$.

b) Os pares de pontos G e H, E e F são simétricos por reflexão em relação ao eixo x. Os pares de pontos I e F são simétricos por reflexão em relação ao eixo y. Esses pontos são simétricos por reflexão, pois estão a uma mesma distância de cada um dos eixos mencionados, porém em lados opostos.

20. De acordo com as informações, as coordenadas dos pontos são:

$A\left(-6,8\right)$, $B\left(\underset{\frac{-6}{2}}{\underbrace{-3}},-1\right)$, $C\left(3,-1\right)$, $D\left(3,\underset{-1+7}{\underbrace{6}}\right)$.

21. a) De acordo com o plano cartesiano apresentado, temos:

$A\left(-5,-1\right)$, $B\left(-4,-3\right)$, $C\left(5,-4\right)$, $D\left(5,-1\right)$, $E\left(0,-2\right)$.

b) As coordenadas dos vértices do pentágono simétrico ao pentágono $ABCDE$ serão:

$A’\left(-5,1\right)$, $B’\left(-4,3\right)$, $C’\left(5,4\right)$, $D’\left(5,1\right)$, $E’\left(0,2\right)$.

22. Em relação ao eixo x, são simétricos por reflexão os polígonos 5 e 7, pois os vértices do polígono 5 são $\left(-3,1\right)$, $\left(-3,3\right)$, $\left(-1,3\right)$, $\left(-2,1\right)$ e os vértices do polígono 7 são $\left(-3,-1\right)$, $\left(-3,-3\right)$, $\left(-1,-3\right)$, $\left(-2,-1\right)$, respectivamente.

Em relação ao eixo y, são simétricos por reflexão os polígonos 3 e 1, pois os vértices do polígonos 3 são $\left(-2,4\right)$, $\left(-2,6\right)$, $\left(-4,4\right)$ e os vértices do polígono 1 são $\left(2,4\right)$, $\left(2,6\right)$, $\left(4,4\right)$, assim como os polígonos 6 e 9, pois o polígono 6 tem vértices $\left(-7,-2\right)$, $\left(-7,-4\right)$, $\left(-5,-4\right)$, $\left(-5,-2\right)$ e os vértices do polígono 9 são $\left(7,-2\right)$, $\left(7,-4\right)$, $\left(5,-4\right)$, $\left(5,-2\right)$.

23. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Quais são os vértices do polígono simétrico por reflexão ao eixo x do polígono cujos vértices são $\left(-2,-2\right)$, $\left(-2,-5\right)$, $\left(-5,-5\right)$ e $\left(-5,-2\right)$?

Resposta: Os vértices são $\left(-2,2\right)$, $\left(-2,5\right)$, $\left(-5,5\right)$ e $\left(-5,2\right)$.

Questão 3. As coordenadas dos vértices do polígono apresentado são $A\left(1,2\right)$, $B\left(3,2\right)$, $C\left(5,4\right)$, $D\left(4,5\right)$ e $E\left(2,5\right)$.

Questão 4. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Questão 5. A resposta depende do polígono construído na questão anterior. De acordo com a sugestão apresentada, os vértices do pentágono A são $\left(-1,1\right)$, $\left(-1,4\right)$, $\left(-4,5\right)$, $\left(-5,3\right)$ e $\left(-4,1\right)$. As coordenadas dos vértices do simétrico dele em relação à origem do plano cartesiano são $\left(1,-1\right)$, $\left(1,-4\right)$, $\left(4,-5\right)$, $\left(5,-3\right)$ e $\left(4,-1\right)$.

Questão 6. Multiplicando as coordenadas do polígono $EFGHI$ por $-2$, obtemos $E’\left(-2,-4\right)$, $F’\left(-6,-8\right)$, $G’\left(-8,-6\right)$, $H’\left(-8,-2\right)$ e $I’\left(-2,-2\right)$.

Portanto, o polígono $E’F’G’H’I’$ é uma ampliação do polígono original $EFGHI$.

Atividades

24. a) As coordenadas dos vértices do polígono 1 são:

$\left(1,1\right)$, $\left(1,4\right)$, $\left(2,3\right)$, $\left(3,4\right)$, $\left(4,3\right)$, $\left(3,2\right)$, $\left(4,1\right)$.

Multiplicando por $-1$ essas coordenadas, obtemos o polígono cujas coordenadas do vértice são:

$\left(-1,-1\right)$, $\left(-1,-4\right)$, $\left(-2,-3\right)$, $\left(-3,-4\right)$, $\left(-4,-3\right)$, $\left(-3,-2\right)$, $\left(-4,-1\right)$.

Portanto, com essa operação, podemos obter o polígono 3.

b) Não, pois, ao multiplicarmos as coordenadas dos vértices de um polígono por $-1$, obtemos seu simétrico em relação à origem do plano cartesiano e os polígonos 2 e 4 não têm essa característica.

25. Resposta no final da seção Resoluções.

26. a) Multiplicando por $-3$ cada uma das coordenadas do vértice, obtemos:

$\left(-15,15\right)$, $\left(-15,24\right)$, $\left(-39,24\right)$ e $\left(-39,15\right)$.

Essas coordenadas são referentes a uma ampliação da figura desenhada por Fátima.

b) Resposta no final da seção Resoluções.

27. As coordenadas dos vértices do triângulo $ABC$ são $\left(-6,6\right)$, $\left(-2,4\right)$ e $\left(-6,2\right)$ e as coordenadas do vértice do triângulo $DEF$ são $\left(-12,12\right)$, $\left(-4,8\right)$ e $\left(-12,4\right)$, ou seja, as coordenadas do vértice foram multiplicadas por 2.

O que eu estudei?

1. A linha tracejada representa o eixo de simetria da figura, fazendo os desenhos ficarem simétricos após recortados. Analisando as duas partes da figura em relação a esse eixo, concluímos que a figura D representa a figura após o recorte e tendo o papel desdobrado. Portanto, a alternativa correta é a D.

2. Nos itens C e D, o eixo e não representa um eixo de simetria por reflexão, já que os dois lados do eixo não são iguais.

3. As letras F e L não têm simetria axial, pois não é possível traçar qualquer eixo que resulte em uma simetria axial.

4. Resposta no final da seção Resoluções.

5. Os pares de polígonos que são simétricos por translação são A e G; C e I; B e E; D e F, pois representam figuras iguais que foram apenas deslocadas.

6. a) As coordenadas dos vértices do pentágono $ABCDE$ são $\left(0,3\right)$, $\left(-2,1\right)$, $\left(-4,1\right)$, $\left(-3,3\right)$ e $\left(-3,4\right)$ e as coordenadas do vértices do pentágono $FGHIJ$ são $\left(0,-6\right)$, $\left(4,-2\right)$, $\left(8,-2\right)$, $\left(6,-6\right)$ e $\left(6,-8\right)$, ou seja, as coordenadas foram multiplicadas por $-2$.

b) O pentágono $FGHIJ$ é uma ampliação do pentágono $ABCDE$.

c) As coordenadas dos vértices do novo pentágono seriam:

$\left(0,6\right)$, $\left(-4,2\right)$, $\left(-8,2\right)$, $\left(-6,6\right)$ e $\left(-6,8\right)$.

7. a) As coordenadas do vértice desse polígono são:

$A\left(-2,0\right)$, $B\left(-1,-1\right)$, $C\left(-1,-3\right)$, $D\left(-3,-3\right)$, $E\left(-2,-2\right)$.

b) Fazendo uma rotação da figura apresentada de $180°$ em torno da origem do plano cartesiano, as novas coordenadas serão:

$A\left(2,0\right)$, $B\left(1,1\right)$, $C\left(1,3\right)$, $D\left(3,3\right)$ e $E\left(2,2\right)$.

8. Ao traçarmos retas ligando os vértices comuns das figuras, podemos verificar que todas elas passam pelo ponto cujas coordenadas são $\left(4,6\right)$. Portanto, as coordenadas do ponto O são $\left(4,6\right)$.

O que eu aprendi?

1. A. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180°$, podemos escrever e resolver a seguinte equação.

$30°+90°+x=180°$

$120°+x=180°$

$x=180°-120°$

$x=60°$

Portanto, o ângulo x mede $60°$. Esse triângulo é retângulo.

B. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180°$, podemos escrever e resolver a seguinte equação.

$62°+x+x=180°$

$62°+2x=180°$

$62°+2x-62°=180°-62°$

$2x=118°$

$\frac{2x}{2}=\frac{118°}{2}$

$x=59°$

Portanto, os ângulos x medem $59°$. Esse triângulo é acutângulo.

2. O ponto que representa a metade da medida de distância entre os pontos B e D é a origem, ou seja, o ponto C é a origem e o associamos ao 0. Com isso, temos:

$D=0+10=10$

$E=10+5=15$

Portanto, $A=-20$, $B=-10$, $C=0$, $D=10$ e $E=15$.

3. a) Para determinar a quantidade da torta que foi comida, adicionamos as frações. Como os denominadores são diferentes, é necessário calcular $\mathrm{mmc}\left(6,5,3\right)=30$. Assim, temos:

$\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{5}{30}+\frac{6}{30}+\frac{10}{30}=\frac{5+6+10}{30}=\frac{21}{30}$

Portanto, $\frac{21}{30}$ é a fração que representa a quantidade de torta que foi comida.

b) Para resolver esse problema, subtraímos a quantidade que Natália comeu da quantidade que Miguel comeu.

$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{6}{30}-\frac{5}{30}=\frac{6-5}{30}=\frac{1}{30}$

Portanto, a fração $\frac{1}{30}$ representa quanto Miguel comeu a mais do que Natália.

c) Para calcular quanto sobrou, realizamos a seguinte subtração: $1-\frac{21}{30}=\frac{30}{30}-\frac{21}{30}=\frac{30-21}{30}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$

Portanto sobrou $\frac{3}{10}$ da torta.

4. A. A medida do volume da figura geométrica espacial é a soma das medidas dos volumes de dois paralelepípedos reto retângulos. A medida do volume de cada um é dada por:

$7\cdot 6\cdot 5=210$

$4\cdot 4\cdot 5=80$

Adicionando os dois resultados, verificamos que o volume da figura geométrica espacial representado mede $290{\text{cm}}^3$, pois $80+210=290$.

B. A medida do volume da figura geométrica espacial é a soma das medidas dos volumes de dois paralelepípedos reto retângulos. Calculando a medida do volume de cada um deles, temos:

$10\cdot 12\cdot 3=360$

$5\cdot 12\cdot 3=180$

Adicionando os dois resultados, verificamos que o volume da figura geométrica espacial representado mede $540{\text{cm}}^3$, pois $360+180=540$.

C. A medida do volume do sólido geométrico espacial é a soma da medida dos volumes de três paralelepípedos reto retângulos. Calculando o volume de cada um deles, temos:

$9\cdot 4\cdot 5=180$

$5\cdot 5\cdot 5=125$

$6\cdot 7\cdot 5=210$

Adicionando os resultados, verificamos que o volume da figura geométrica espacial representado mede $515{\text{cm}}^3$, pois $180+125+210=515$.

5. Para determinar a medida da área da figura, vamos separá-la em dois retângulos e um triângulo.

Um retângulo tem dimensões $5\text{cm}$ e $2\text{cm}$. Como $5\cdot 2=10$, sua área mede $10{\text{cm}}^2$.

O outro retângulo tem dimensões $6\text{cm}$ e $4\text{cm}$. Como $6\cdot 4=24$, sua área mede $24{\text{cm}}^2$.

A base do triângulo mede $4\text{cm}$ e a altura mede $2\text{cm}$. Como $\frac{4\cdot 2}{2}=4$ , sua área mede $4{\text{cm}}^2$.

Desse modo, a medida da área dessa figura é $38{\text{cm}}^2$, pois $10+24+4=38$.

6. a) Calculando os primeiros termos da sequência, temos:

$a_1=1+3=4$

$a_2=2+3=5$

$a_3=3+3=6$

$a_4=4+3=7$

$a_5=5+3=8$

Portanto, temos a sequência $\left(4,5,6,7,8,\dots \right)$.

b) Calculando os primeiros termos da sequência, temos:

$a_1=2\left(1-1\right)+7=7$

$a_2=2\left(2-1\right)+7=9$

$a_3=2\left(3-1\right)+7=11$

$a_4=2\left(4-1\right)+7=13$

$a_5=2\left(5-1\right)+7=15$

Portanto, temos a sequência $\left(7,9,11,13,15,\dots \right)$.

c) Calculando os primeiros termos da sequência, temos:

$a_1=5\cdot 1=5$

$a_2=5\cdot 2=10$

$a_3=5\cdot 3=15$

$a_4=5\cdot 4=20$

$a_5=5\cdot 5=25$

Portanto, temos a sequência $\left(5,10,15,20,25,\dots \right)$.

7. a) A sequência foi definida por recorrência, pois, utilizando essa expressão, podemos calcular um termo da sequência com base nos termos anteriores.

b) Sendo $a_1=12$, calculando os próximos termos da sequência, obtemos:

$a_2=2\cdot a_{2-1}+10=2\cdot a_1+10=2\cdot 12+10=34$

$a_3=2\cdot a_{3-1}+10=2\cdot a_2+10=2\cdot 34+10=78$

$a_4=2\cdot a_{4-1}+10=2\cdot a_3+10=2\cdot 78+10=166$

$a_5=2\cdot a_{5-1}+10=2\cdot a_4+10=2\cdot 166+10=342$

$a_6=2\cdot a_{6-1}+10=2\cdot a_5+10=2\cdot 342+10=694$

$a_7=2\cdot a_{7-1}+10=2\cdot a_6+10=2\cdot 694+10=1.398$

8. a) Contando os círculos da sequência, obtemos 3, 5 e 7 círculos.

b) Sugestão de resposta:

c) Como os termos da sequência são números ímpares, podemos expressá-la por $a_n=2\cdot n+1$, com $n>0$, em que n indica a posição do termo na sequência.

d) • 9ª posição: $n=9$. Assim, $a_9=2\cdot 9+1=19$.

15ª posição: $n=15$. Assim, $a_{15}=2\cdot 15+1=31$.

17ª posição: $n=17$. Assim, $a_{17}=2\cdot 17+1=35$.

20ª posição: $n=20$. Assim, $a_{20}=2\cdot 20+1=41$.

9. De acordo com as informações, verificamos que as grandezas quantidade de convites comprados e convites sorteados são grandezas diretamente proporcionais. Considerando x a quantidade de convites sorteados quando 140 são comprados, temos:

Com isso, efetuamos os cálculos.

$\frac{20}{140}=\frac{3}{x}$

$20x=420$

$\frac{20x}{20}=\frac{420}{20}$

$x=21$

Portanto, foram sorteados 21 convites.

10. Considere x o preço do guarda-roupa sem o acréscimo correspondendo a 100% do preço. Então R$ 649,60 corresponde a $\underset{100\%+12\%}{\underbrace{112\%}}$ do preço. Desse modo, temos a seguinte proporção.

$\frac{x}{649,60}=\frac{100}{112}$

$112x=64.960$

$\frac{112x}{112}=\frac{64.960}{112}$

$x=580$

Portanto, o guarda-roupa, antes do acréscimo, custava R$ 580,00.

11. a) Calculando a média referente a cada colaborador, obtemos:

Matheus: $\frac{300+1.500+750}{3}=\frac{2.550}{3}=850$, ou seja, $\text{R\$}850,00$.

Talita: $\frac{400+2.000+100}{3}=\frac{2.500}{3}=833,33$, ou seja, $\text{R\$}833,33$.

Felipe: $\frac{290+1.950+830}{3}=\frac{3.070}{3}=1.023,33$, ou seja, $\text{R\$}1.023,33$.

Portanto, Felipe apresentou a maior média de venda.

b) O colaborador que apresentou a maior média vendeu, aproximadamente, R$ 1.023,33.

12. a) A probabilidade de retirar um botão:

preto é dada por: $\frac{5}{40}=0,125$, ou seja, 12,5%.

colorido é dada por: $\frac{35}{40}=0,875$, ou seja, 87,5%.

b) Retirando 2 botões pretos, sobram 3 botões pretos. Retirando 8 botões coloridos, sobram 27 botões coloridos. Nesse caso, verificamos que a caixa terá 30 botões, sendo 3 pretos e 27 coloridos. Assim, a probabilidade de retirar um botão colorido nessa situação é dada por $\frac{27}{30}=0,9$, ou 90%.

Resolução referente à unidade 1.

Questão 5.

Divisibilidade por 4

Número natural	Número formado pelos dois últimos algarismos da direita	É divisível por 4?
732	32	Sim, pois 32 é um número divisível por 4.
500	00	Sim, pois os dois últimos algarismos da direita são simultaneamente 0.
1.286	86	Não, pois 86 não é um número divisível por 4.
756	56	Sim, pois 56 é um número divisível por 4.

Espera-se que os estudantes digam que os dois últimos algarismos dos números que são divisíveis por 4 formam, na ordem em que aparecem, um número divisível por 4.

8.

Divisores de determinados números

Número	Divisor
	2	3	5	10
8.492	X (pois é um número par)
3.750	X (pois é um número par)	X (pois a soma dos algarismos é divisível por 3)	X (pois é um número terminado em 0)	X (pois é um número terminado em 0)
1.899		X (pois a soma dos algarismos é divisível por 3)

Resolução referente à unidade 2.

Questão 3.

8. a) Como a medida da distância entre dois pontos consecutivos é sempre igual a 50, temos:

A: 200; B: 300; C: 350; D: $-100$; E: $-150$; F: $-250$ e G: $-350$

Reescrevendo a reta numérica, obtemos:

9. Como a letra A representa o maior número na reta numérica, A corresponde a 65. A letra B representa um número entre 10 e 20, ou seja, B corresponde a 18. As letras C, D e E são menores do que $-20$, de modo que $C>D>E$. Assim, C: $-34$; D: $-46$ e E: $-80$. Substituindo as letras na reta numérica, obtemos:

10. a) Como a medida da distância entre dois pontos consecutivos é sempre igual a uma unidade, temos:

D: 3; E: 6; F: 10; C: $-3$; B: $-7$ e A: $-9$.

13. a)

d) Números simétricos são dois números que estão à mesma distância da origem na reta numérica, mas localizados em sentidos contrários dela. Os números simétricos aos números da atividade são: 10, $-4$, $-7$, 12, $-11$, 6, 8 e $-9$. Localizando esses pontos na reta numérica, temos:

24. a)

b)

32. c) Escrevendo as quantias em ordem crescente, temos:

$-\text{R\$}31,00<-\text{R\$}15,00<-\text{R\$}8,00$ $<-\text{R\$}1,00<\text{R\$}16,00<\text{R\$}46,00<\text{R\$}101,00$

Questão 4. Como a rede de supermercados teve prejuízo de 5 milhões de reais ao final do mês de abril e lucro de 6 milhões de reais no mês de maio, ao final desse mês a empresa terá lucro de 1 milhão de reais.

42. Calculando a soma das faces visíveis de cada pilha, temos:

Pilha A: $\left(+6\right)+\left(+2\right)+\left(-7\right)+\left(-1\right)+\left(-7\right)$ $+\left(+4\right)+\left(-2\right)=-5$

Pilha B: $\left(+6\right)+\left(+3\right)+\left(-6\right)+\left(+5\right)+\left(-3\right)$ $+\left(+2\right)+\left(-4\right)+\left(-7\right)+\left(+8\right)=4$

Pilha C: $\left(-5\right)+\left(+1\right)+\left(+9\right)+\left(-9\right)+\left(+6\right)$ $+\left(+3\right)+\left(-4\right)=1$

Resolução referente à seção O que eu estudei? da unidade 4.

1. Realizando as transformações necessárias, temos:

$7,3=\frac{73}{10}$; $\frac{5}{2}=2,5$; $4,9=\frac{49}{10}$; $2,3=\frac{23}{10}$; $10,1=\frac{101}{10}$; $\frac{7}{4}=1,75$;

$\frac{5}{25}=0,2$; $\frac{8}{20}=0,4$; $7,9=\frac{79}{10}$; $123,05=\frac{12.305}{100}$; $\frac{12}{100}=0,12$; $0,9=\frac{9}{10}$.

Completando o primeiro quadro:

Completando o segundo quadro:

Escrevendo-os em ordem decrescente, obtemos:

$123,05$; $10,1$; $7,9$; $7,3$; $4,9$; $2,5$; $2,3$; $1,75$; $0,9$; $0,4$; $0,2$; $0,12$.

6. Como $\frac{7}{10}=0,7$, escrevendo os números em ordem crescente, temos:

$-11,59<-11,4<-8,995<-5,7$ $<-2,75<0<0,7<1,582<4,8<11,45$.

8. Realizando as transformações das frações em números decimais, temos:

$-\frac{12}{6}=-2$; $\frac{9}{5}=1,8$; $\frac{7}{2}=3,5$.

Em seguida, escrevemos os números na reta numérica.

Resolução referente à unidade 7.

17.

Resolução referente à unidade 8.

17. Resposta pessoal. Sugestão de resposta:

Resolução referente à unidade 12.

25. As coordenadas do vértice do polígono $ABCD$ são $A\left(-4,0\right)$, $B\left(0,4\right)$, $C\left(-4,11\right)$ e $D\left(-8,4\right)$. Multiplicando por $-2$, obtemos os pontos $A’\left(8,0\right)$, $B’\left(0,-8\right)$, $C’\left(8,-22\right)$ e $D’\left(16,-8\right)$, que são coordenadas dos vértices do polígono $A’B’C’D’$.

Portanto, o polígono $A’B’C’D’$ é uma ampliação do polígono original $ABCD$.

26. b) As coordenadas dos vértices do retângulo simétrico em relação à origem são $\left(-5,5\right)$, $\left(-5,8\right)$, $\left(-13,8\right)$ e $\left(-13,5\right)$.

Resolução referente à seção O que eu estudei? da unidade 12.

4. As figuras simétricas por reflexão em relação aos eixos i e e são: