Números positivos e números negativos

Em algumas situações do dia a dia, precisamos utilizar outros números, além dos números naturais.

No mapa, por exemplo, estão indicadas as medidas de temperaturas mínimas, em graus Celsius, registradas em algumas cidades brasileiras no dia 30 de julho de 2021.

Fontes de pesquisa: INMET. Dados meteorológicos. Disponível em: https://oeds.link/CwKiZd. Acesso em: 12 jan. 2022.

ATLAS geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018.

Questão 1. Os estados em que se localizam as cidades destacadas no mapa fazem fronteira com quais outros estados?

Resposta nas orientações ao professor.

Nesse dia, a medida de temperatura mínima registrada na cidade de Lages (SC) foi de $-3°\text{C}$, ou seja, uma temperatura com medida abaixo de zero. Para representar essa medida de temperatura, usamos o número $-3$, que é um número negativo.

Já na cidade de Arcoverde (PE), a medida de temperatura mínima registrada foi $13°\text{C}$, ou seja, uma temperatura com medida acima de zero. O número 13, que representa essa medida de temperatura, é um número positivo.

Os termômetros de álcool colorido estavam da seguinte forma ao registrarem as medidas de temperaturas mínimas nessas duas cidades no dia 30 de julho de 2021.

Para representar os números negativos, utilizamos o sinal $-$. Esses números são menores do que 0 (zero).

Para representar os números positivos, utilizamos o sinal $+$ ou nenhum sinal. Esses números são maiores do que 0 (zero).

A seguir, alguns exemplos de números negativos e números positivos.

Questão 2. Analise os números representados e responda às questões.

a) Quais números são negativos?

b) Quais números são maiores do que zero?

c) Que número não é negativo nem positivo?

Respostas: a) $-1,5$, $-\frac{7}{8}$ e $-4,9$; b) $\frac{1}{3}$ e $+2,8$; c) 0 (zero).

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Em cada termômetro está registrada a medida de temperatura mínima de uma das cidades mostradas no mapa da página 32. Associe os termômetros às cidades citadas.

Respostas: A. Maringá (PR); B. Manaus (AM); C. Vacaria (RS).

2. Analise as medidas de temperaturas registradas nos termômetros.

a) Qual deles está indicando a maior medida de temperatura? E qual está indicando a menor medida de temperatura?

b) Associe cada termômetro a uma das medidas de temperaturas indicadas a seguir.

• $25°\text{C}$

• $-7°\text{C}$

• $7°\text{C}$

• $0°\text{C}$

Respostas: a) Termômetro C; termômetro A; b) Termômetro A e $-7°\text{C}$, termômetro B e $7°\text{C}$, termômetro C e $25°\text{C}$, termômetro D e $0°\text{C}$.

3. Além dos termômetros de álcool colorido, como os apresentados anteriormente, existem os termômetros digitais. Analise a medida de temperatura indicada no visor de cada termômetro digital a seguir.

a) Quais termômetros estão indicando uma temperatura com medida negativa?

Resposta: Termômetros B e F.

b) Na escala Celsius, o zero corresponde à medida de temperatura em que, sob certas condições, ocorre a solidificação da água, ou seja, ela passa do estado líquido para o estado sólido. Em quais ambientes, cujas medidas de temperaturas estão indicadas nesses termômetros, a água estaria no estado líquido? E no estado sólido?

Respostas: A, C, D e E; B e F.

c) Qual dos termômetros está indicando uma medida de temperatura agradável para o corpo humano? Justifique sua resposta.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que é o termômetro A, pois apresenta uma medida de temperatura mais próxima à medida de temperatura do corpo humano.

4. Analise o gráfico e responda às questões.

Fonte de pesquisa: CHARTS. Weather Dashboard for Montreal. Disponível em: https://oeds.link/ZGI5ar. Acesso em: 17 jan. 2022.

a) Em quais meses de 2021 a medida de temperatura média mensal esteve abaixo de zero?

Resposta: Janeiro, fevereiro e dezembro.

b) Nesse ano, em qual mês foi registrada a maior medida de temperatura média mensal? Qual foi essa medida?

Respostas: Agosto; $23,6°\text{C}$.

c) Em quais meses a medida de temperatura média foi maior do que $10°\text{C}$?

Resposta: Maio, junho, julho, agosto, setembro e outubro.

5. Em cada item, estime a medida de temperatura mais adequada à situação e registre-a no caderno.

a) Medida de temperatura normal do corpo humano.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam $37°\text{C}$.

b) Medida de temperatura da água em ebulição.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam $\text{100}°\text{C}$.

c) Medida de temperatura no interior do congelador de uma geladeira.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam $-5°\text{C}$.

d) Medida de temperatura do filamento de uma lâmpada incandescente quando acesa.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam $3.000°\text{C}$.

e) Medida da temperatura ambiente da Antártida em certo dia do ano.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam $-30°\text{C}$.

f) Medida de temperatura de um forno pré-aquecido para assar pão.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam $\text{220}°\text{C}$.

6. Quando o saldo da conta bancária de um cliente é negativo, significa que ele deve dinheiro ao banco; quando é positivo, significa que ele tem dinheiro disponível em sua conta.

Considere o extrato bancário de Márcio.

a) Em quais dias o saldo de Márcio estava positivo? E em quais dias estava negativo?

b) Em qual dia Márcio fez uma compra com cartão no valor de R$ 26,00?

c) O que está indicado no histórico do extrato quando ocorreu um débito de R$ 286,25?

d) Qual era o saldo de Márcio ao final do dia 28/09?

e) A partir das informações apresentadas no extrato bancário, elabore um problema e dê para um colega resolver. Depois, verifique se a resposta dele está correta.

Respostas: a) Positivo: 25/09, 27/09 e 28/09, negativo: 26/09 e 29/09; b) 29/09; c) Compra com cartão de débito; d) R$ 2,75; e) Resposta pessoal.

7. Para indicarmos altitudes, geralmente utilizamos o nível do mar como referência. Quando a altitude indicada está acima do nível do mar, temos uma medida de altitude positiva, e, quando está abaixo do nível do mar, temos uma medida de altitude negativa. Leia as informações a seguir e, usando números positivos ou números negativos, escreva no caderno as medidas de altitudes citadas.

a) A Fossa das Marianas, localizada no oceano Pacífico, tem $10.920\text{m}$ de medida de profundidade em relação ao nível do mar. Esse é o ponto mais profundo do planeta Terra.

b) Localizada no norte do Paquistão, a montanha K2 é a segunda mais alta do mundo, com medida de altitude de aproximadamente $8.611\text{m}$.

c) Localizado na Ásia, entre Israel e Jordânia, o Mar Morto está $395\text{m}$ abaixo do nível do mar. Devido à grande quantidade de sal em suas águas, é praticamente impossível a existência de seres vivos em suas águas ou nas proximidades.

d) Localizado no estado do Amazonas, o Pico da Neblina é a montanha mais alta do Brasil, com aproximadamente $2.993\text{m}$ de medida de altitude.

e) Localizado no norte da Tanzânia, o Kilimanjaro é a montanha mais alta do continente africano, cuja altitude mede $5.895\text{m}$.

Respostas: a) $-10.920\text{m}$; b) Aproximadamente $8.611\text{m}$; c) $-395\text{m}$; d) Aproximadamente $2.993\text{m}$; e) $5.895\text{m}$.

Os números inteiros na reta numérica

Neste tópico, vamos estudar como representar alguns números na reta numérica. Para isso, considere os números das fichas.

Para representá-los, traçamos inicialmente uma reta e nela indicamos a origem, indicada pelo ponto O, que corresponde ao número zero (0).

Em seguida, convencionamos que à direita de O o sentido é positivo e que à esquerda de O o sentido é negativo.

Na sequência, escolhemos um ponto U na reta à direita de O e adotamos a medida do comprimento do segmento de reta OU como unidade de medida.

Depois, destacamos essa unidade nos dois sentidos da reta.

Em seguida, associamos cada unidade na reta numérica ao número positivo ou ao número negativo correspondente. Por último, registramos os números das fichas do início da página, indicando-os com letras.

Na reta numérica apresentada na página 38, aparecem números naturais e números inteiros negativos.

Ao reunirmos os números naturais com os números inteiros negativos, obtemos os números inteiros.

Questão 3. Copie no caderno a reta numérica a seguir, substituindo as letras pelos números inteiros adequados.

Resposta: A: $-3$; B: 7; C: 0; D: $-5$; E: 2; F: $-7$.

Módulo ou valor absoluto

A medida da distância entre um ponto da reta numérica e a origem (0) é chamada módulo ou valor absoluto do número inteiro associado a esse ponto. Apresentamos a seguir alguns exemplos.

Na reta numérica, a medida da distância entre $-2$ e a origem (0) são 2 unidades, ou seja, o módulo de $-2$ é 2.

Na reta numérica, a medida da distância entre 3 e a origem (0) são 3 unidades, ou seja, o módulo de 3 é 3.

Como o módulo de um número inteiro, diferente de zero, corresponde a uma medida de distância, o módulo é sempre um número positivo, no caso, um número natural.

Indicamos o módulo de um número por $\left|\right|$, como apresentado nos exemplos.

• $\left|-2\right|=2$ (Lemos: módulo de $-2$ é igual a 2)
• $\left|3\right|=3$ (Lemos: módulo de 3 é igual a 3)

Quando dois números estão à mesma medida de distância da origem na reta numérica (ou seja, têm módulos iguais), mas estão localizados em sentidos contrários da reta, são chamados números opostos ou números simétricos. Nos exemplos anteriores, o número $-2$ é o simétrico do número 2 e o número 3 é o simétrico do número $-3$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

8. Na reta numérica a seguir a medida da distância entre quaisquer dois pontos consecutivos é sempre a mesma.

a) Associe um número inteiro a cada ponto da reta numérica indicado pelas letras.

Resposta: A: 200; B: 300; C: 350; D: $-100$; E: $-150$; F: $-250$; G: $-350$.

b) Entre quais pontos marcados na reta numérica está localizado o número:

$-120$.

290.

25.

$-230$.

$-320$.

Resposta: $-120$: entre $-150$ e $-100$; 290: entre 250 e 300; 25: entre 0 e 50; $-230$: entre $-250$ e $-200$; $-320$: entre $-350$ e $-300$.

9. Considere os números a seguir.

Cada letra indicada na reta numérica representa um desses números.

Que número cada letra representa?

Resposta: A: 65; B: 18; C: $-34$; D: $-46$; E: $-80$.

10. Analise a reta numérica e resolva o que se pede.

a) Determine os números inteiros associados aos pontos A, B, C, D, E e F.

Resposta: A: $-9$; B: $-7$; C: $-3$; D: 3; E: 6; F: 10.

b) Nessa reta, o ponto B dista 7 unidades da origem, ou seja, está a uma medida de distância de 7 unidades do ponto O. A que medida de distância está cada um dos outros pontos indicados na reta?

Resposta: A dista 9 unidades de medida de O; C dista 3 unidades de medida de O; D dista 3 unidades de medida de O; E dista 6 unidades de medida de O; F dista 10 unidades de medida de O.

11. Analise a tabela a seguir, que indica a medida de altitude de alguns locais.

Fonte de pesquisa: GIRARDI, Gisele; ROSA, Jussara Vaz. Atlas geográfico do estudante. São Paulo: FTD, 2011.

De acordo com as informações da tabela, responda às questões a seguir.

a) Quais locais ficam acima do nível do mar?

Resposta: Monte Aconcágua, Monte Elbrus, Monte Everest e Monte Branco.

b) Quais locais ficam abaixo da altitude de medida $-100\text{m}$?

Resposta: Lago Assal e Mar Morto.

c) Qual desses locais tem maior medida de altitude? E qual tem menor medida de altitude?

Respostas: Monte Everest; Mar Morto.

12. No esquema aparecem os 8 planetas do Sistema Solar e a medida da temperatura média aproximada da superfície de cada um deles.

Fonte de pesquisa: NASA. Resources. Disponível em: https://oeds.link/Ov38ih. Acesso em: 29 jan. 2022.

a) Quais planetas têm a medida de temperatura média aproximada da superfície maior do que zero?

Resposta: Terra, Vênus e Mercúrio.

b) Em qual planeta a temperatura média aproximada da superfície mede $-65°\text{C}$?

Resposta: Marte.

c) Qual é a medida da temperatura média aproximada da superfície do planeta Netuno? Essa medida é negativa ou positiva?

Respostas: $-200°\text{C}$; negativa.

d) Qual planeta tem a maior medida de temperatura média aproximada do Sistema Solar? Qual é essa medida?

Respostas: Vênus; $464°\text{C}$.

e) Na reta numérica, cada letra representa a medida da temperatura média aproximada da superfície dos planetas do Sistema Solar. Associe, no caderno, cada planeta à letra correspondente.

Resposta: Vênus: A; Mercúrio: B; Terra: C; Marte: D; Júpiter: E; Saturno: F; Urano: G; Netuno: H.

13. Considere os seguintes números.

• $-10$

• 4

• 7

• $-12$

• 11

• $-6$

• $-8$

• 9

a) Desenhe no caderno uma reta numérica e localize nela esses números.

Resposta nas orientações ao professor.

b) Entre os números que você localizou, qual deles está mais próximo da origem da reta numérica? E qual está mais distante?

Respostas: 4; $-12$.

c) Quais números estão localizados a mais de 7 unidades de distância da origem?

Resposta: $-8$, $-10$, $-12$, 9 e 11.

d) Localize nessa reta numérica os números simétricos aos números dados. Quais são esses números?

Resposta: 10, $-4$, $-7$, 12, $-11$, 6, 8 e $-9$.

14. tecla Considere a reta numérica a seguir.

Leia as dicas apresentadas a seguir e determine o número associado a cada uma das letras indicadas na reta numérica.

Cada letra indicada na reta numérica representa um número inteiro.

A medida da distância entre dois pontos consecutivos da reta representa 1 unidade.

Os pontos C e E estão situados à mesma medida de distância da origem.

Resposta: A: $-9$; B: $-6$; C: $-3$; D: 0; E: 3; F: 7.

15. Determine os módulos a seguir.

a) $\left|5\right|$

b) $\left|-8\right|$

c) $\left|-11\right|$

d) $\left|16\right|$

e) $\left|-2\right|$

f) $\left|-19\right|$

g) $\left|33\right|$

Respostas: a) 5; b) 8; c) 11; d) 16; e) 2; f) 19; g) 33.

16. Considere os números representados por letras na reta numérica.

a) Qual é a medida da distância entre os pontos C e D?

b) Qual ponto está a uma distância de medida de 8 unidades do ponto B?

c) Quais pontos estão a uma distância de medida de 10 unidades um do outro?

d) Qual ponto está a uma distância de medida de 15 unidades do ponto F?

e) Qual é o ponto mais distante do ponto E? De quantas unidades é essa medida de distância?

Respostas: a) 6 unidades; b) C; c) F e G; d) D; e) A; 30 unidades.

17. Analise a reta numérica e resolva o que se pede nos itens.

a) Escreva no caderno a medida da distância da origem a cada ponto a seguir.

A

B

C

D

b) Quais pontos estão à mesma medida de distância da origem?

Respostas: a) A: 4 unidades; B: 7 unidades; C: 4 unidades; D: 7 unidades; b) A e C, B e D.

18. Responda às questões a seguir.

a) Qual é o módulo de cada número inteiro que está entre $-3$ e 2?

b) Quais números inteiros têm módulo menor do que 3?

Respostas: a) 2, 1, 0 e 1 b) $-2$, $-1$, 0, 1 e 2.

19. Determine, em seu caderno, o simétrico de cada número.

a) 3

b) $-2$

c) $-32$

d) 9

e) $-15$

f) 56

g) $-1$

h) 10

Respostas: a) $-3$; b) 2; c) 32; d) $-9$; e) 15; f) $-56$; g) 1; h) $-10$.

20. Para cada item, escreva no caderno o número inteiro e, em seguida, seu oposto.

a) Um número de três algarismos diferentes.

b) Um número negativo de dois algarismos diferentes.

c) Um número múltiplo de 10.

d) Um número par de três algarismos.

Sugestões de respostas: a) 298 e $-298$; b) $-98$ e 98; c) 70 e $-70$; d) 986 e $-986$.

21. Determine o número inteiro que as letras indicadas nos quadros representam.

Respostas: A: 15; B: $-7$; C: $-19$; D: 79; E: 25; F: $-31$; G: 44.

22. Para cada item, escreva no caderno o número que substitui o $\text{█}$ adequadamente.

a) O módulo de $-7$ é $\text{█}$.

b) O módulo de 3 é $\text{█}$, e o módulo de $-3$ é $\text{█}$.

c) O módulo dos números $\text{█}$ e $\text{█}$ é 5.

d) O módulo de $-15$ é $\text{█}$, e o módulo de $-9$ é $\text{█}$.

Respostas: a) 7; b) 3 e 3; c) 5 e $-5$; d) 15 e 9.

23. Responda aos itens a seguir no caderno.

a) Qual é o simétrico do simétrico de $-21$?

b) Qual é o oposto do módulo de $-7$?

c) Qual é o simétrico de $\left|-9\right|$?

d) A medida da distância entre dois números simétricos é 150. Quais são esses números?

Respostas: a) $-21$; b) $-7$; c) $-9$; d) $-75$ e 75.

24. Desenhe em seu caderno a reta numérica a seguir.

a) Quais números estão representados pelas letras P, Q, R e S?

b) Na reta que você desenhou, localize os pontos $P_1$, $Q_1$, $R_1$ e $S_1$ simétricos aos pontos P, Q, R e S, respectivamente, e escreva-os em seu caderno.

Respostas: a) P: 1, Q: 5, R: 7, S: 9; b) $P_1:-1$, $Q_1:-5$, $R_1:-7$, $S_1:-9$.

Comparação entre números inteiros

Leia a conversa entre Marilda e Jaime.

Nesses dois dias, os termômetros registraram as medidas de temperaturas apresentadas a seguir.

Note que a medida de temperatura $-5°\text{C}$ é menor do que a medida de temperatura $-1°\text{C}$.

Representando essas medidas na reta numérica, temos:

Na reta, verificamos que $-5$ está à esquerda de $-1$; logo, $-5$ é menor do que $-1$. Assim:

No domingo, a medida de temperatura registrada pelos termômetros foi de $2°\text{C}$. Podemos representar as três medidas na reta numérica da seguinte maneira.

Na reta, $-1$ está à esquerda de 2; logo, $-1<2$, ou seja, $-1°\text{C}<2°\text{C}$.

Na reta numérica:

• os números que estão à esquerda de um número qualquer são menores do que esse número;
• os números que estão à direita de um número qualquer são maiores do que esse número.

Apresentamos alguns exemplos a seguir.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

25. Organize as medidas de temperatura apresentadas em ordem crescente.

• $-18°\text{C}$

• $0°\text{C}$

• $-1°\text{C}$

• $-5°\text{C}$

• $1°\text{C}$

• $-12°\text{C}$

• $7°\text{C}$

• $16°\text{C}$

Resposta: $-18°\text{C}$, $-12°\text{C}$, $-5°\text{C}$, $-1°\text{C}$, $0°\text{C}$, $1°\text{C}$, $7°\text{C}$, $16°\text{C}$.

26. Os números a seguir foram representados por letras na reta numérica.

• 30

• $-7$

• $-38$

• 38

• $-26$

• $-10$

• 5

a) Determine a letra que representa cada número.

b) Qual dos números representados pelas letras é o maior? E o menor?

c) Quais dos números representados pelas letras são:

menores do que zero?

maiores do que $-15$ e menores do que 15?

maiores do que $-20$?

Respostas: a) A: $-38$, B: $-26$, C: $-10$, D: $-7$, E: 5, F: 30, G: 38; b) 38, $-38$; c) menores do que zero: $-38$, $-26$, $-10$ e $-7$; maiores do que $-15$ e menores do que 15: $-10$, $-7$ e 5; maiores do que $-20$: $-10$, $-7$, 5, 30 e 38.

27. Copie os itens no caderno e substitua cada $\text{█}$ pelo símbolo $>$ ou $<$.

a) $5\text{█}2$

b) $-7\text{█}-9$

c) $-1\text{█}0$

d) $-53\text{█}53$

e) $1\text{█}-15$

f) $-158\text{█}-157$

g) $11\text{█}-11$

h) $-170\text{█}5$

Respostas: a) $5>2$; b) $-7>-9$; c) $-1<0$; d) $-53<53$; e) $1>-15$; f) $-158<-157$; g) $11>-11$; h) $-170<5$.

28. Considere os números a seguir.

• $-1$

• $-15$

• $-3$

• $1$

• $-7$

• $-9$

Entre esses números:

a) quais são os números inteiros negativos maiores do que $-14$?

b) quais números inteiros estão entre $-3$ e 2?

c) qual é o maior número inteiro menor do que $-4$?

Respostas: a) $-9$, $-7$, $-3$ e $-1$; b) $-1$ e 1; c) $-7$.

29. Sabendo que x representa um número inteiro, determine o maior e o menor valor que x pode assumir em cada item.

a) $-2<x<3$

b) $-35<x<-22$

c) $-1>x>-7$

d) $7>x>-10$

e) $-8<x<-2$

f) $-12<x<5$

Respostas: a) Maior valor: 2, menor valor: $-1$; b) Maior valor: $-23$; menor valor: $-34$; c) Maior valor: $-2$; menor valor: $-6$; d) Maior valor: 6; menor valor: $-9$; e) Maior valor: $-3$; menor valor: $-7$; f) Maior valor: 4; menor valor: $-11$.

30. Escreva no caderno, em ordem crescente, todos os números inteiros:

a) maiores do que $-6$ e menores do que 4;

b) maiores do que $-12$ e menores do que $-5$;

c) diferentes de zero, cuja medida de distância em relação à origem é menor do que 4 unidades.

Respostas: a) $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2, 3; b) $-11$, $-10$, $-9$, $-8$, $-7$, $-6$; c) $-3$, $-2$, $-1$, 1, 2, 3.

31. Durante o voo, os aviões atingem grandes altitudes. Um avião com capacidade para 225 passageiros, por exemplo, voa a aproximadamente $11.800\text{m}$ de medida de altitude. No quadro apresentamos algumas medidas de altitudes e a medida da temperatura atmosférica aproximada registrada em cada uma delas.

a) Qual é a maior medida de temperatura atmosférica registrada? E a menor?

b) Qual foi a medida de temperatura atmosférica aproximada registrada pelo termômetro desse avião à altitude de medida $9.200\text{m}$?

c) De acordo com as informações do quadro, uma temperatura de medida $-40°\text{C}$ pode ser registrada entre quais medidas de altitudes?

d) De acordo com as informações do quadro, em altitudes medindo acima de $4.000\text{m}$, a medida de temperatura atmosférica aproximada é positiva ou negativa?

Respostas: a) Aproximadamente $6°\text{C}$, aproximadamente $-57°\text{C}$; b) Aproximadamente $-45°\text{C}$; c) Aproximadamente entre $7.200\text{m}$ e $9.200\text{m}$; d) Negativa.

32. Sandro anotou na agenda o saldo de sua conta bancária em alguns dias.

a) Em qual desses dias o saldo era maior? E em qual era menor?

Respostas: 16/07; 23/07.

b) Em qual dia o saldo era maior do que $-$R$ 5,00 e menor do que R$ 10,00?

Resposta: 25/07.

c) Escreva no caderno em ordem crescente as quantias anotadas por Sandro usando o símbolo $<$ entre elas.

Resposta: $-\text{R\$}31,00<-\text{R\$}15,00<-\text{R\$}8,00<-\text{R\$}1,00<\text{R}\$16,00<\text{R\$}46,00<\text{R\$}101,00$.

33. Considere a tabela, que indica o saldo de gols de algumas equipes da série A do Campeonato Brasileiro de 2021.

Fonte de pesquisa: Confederação Brasileira de Futebol (CBF). Campeonato Brasileiro de Futebol – Série A – 2021. Disponível em: https://oeds.link/LApJb3. Acesso em: 25 fev. 2022.

Qual dessas equipes obteve o menor saldo de gols nesse campeonato? E o maior?

Respostas: Sport (PE); Cuiabá (MT).

34. Considera-se o ano 1 o início da Era Cristã, ou seja, o ano de nascimento de Jesus Cristo. Após esse ano, passou-se a usar as expressões "depois de Cristo" (d.C.) para fazer referência a determinado ano dessa era, e "antes de Cristo" (a.C.), ou o sinal $-$ para os anos que a antecederam. Nessa cronologia, não existe ano zero. Esse sistema de datação foi criado por Dionysius Exiguus, que recebeu a tarefa de criar um método de marcação do tempo que previsse a Páscoa. No entanto, não se sabe ao certo como ele determinou o ano de nascimento de Jesus. Atualmente, as terminologias d.C. e a.C. vêm sendo substituídas, respectivamente, por EC (Era Comum) e AEC (Antes da Era Comum), consideradas mais neutras e inclusivas para pessoas não cristãs.

A seguir, estão indicados alguns anos nesse sistema de datação.

a) Quantos anos se passaram do início do ano 2 a.C. ao fim do ano 2 d.C.?

b) Escreva no caderno os anos apresentados em ordem crescente.

Respostas: a) 4 anos; b) 9 a.C., 7 a.C., 3 a.C., 2 a.C., 1 a.C., 1 d.C., 2 d.C., 4 d.C.

Adição com números inteiros

Vamos analisar algumas situações envolvendo movimentações mensais, em milhões de reais, de uma rede de supermercados durante alguns meses de 2023.

Em janeiro de 2023, essa rede obteve um lucro de 6 milhões de reais; já no mês de fevereiro, esse lucro ficou em 4 milhões de reais.

Para determinar o lucro obtido por essa rede de supermercados ao final de fevereiro, devemos adicionar o lucro de 6 milhões de reais com o lucro de 4 milhões de reais, ou seja, calcular $\left(+6\right)+\left(+4\right)$. Para isso, vamos utilizar uma reta numérica.

A partir da origem, deslocamos 6 unidades para a direita, pois o sinal à frente do número 6 é $+$.

Em seguida, deslocamos 4 unidades para a direita a partir do número 6, pois o sinal à frente do número 4 é $+$.

Assim, $\left(+6\right)+\left(+4\right)=\left(+10\right)$.

Portanto, ao final desses 2 meses, a rede de supermercados obteve um lucro de 10 milhões de reais.

No mês seguinte, a rede sofreu um prejuízo de 12 milhões de reais.

Para saber de quantos reais foi o lucro ou prejuízo no fim do mês de março, devemos adicionar o lucro de 10 milhões de reais do mês anterior com o prejuízo de 12 milhões de reais, ou seja, calcular $\left(+10\right)+\left(-12\right)$. Para isso, vamos utilizar uma reta numérica.

A partir da origem, deslocamos 10 unidades para a direita, pois o sinal à frente do número 10 é $+$. Depois, deslocamos 12 unidades para a esquerda a partir do número 10, pois o sinal à frente do número 12 é $-$.

Assim, $\left(+10\right)+\left(-12\right)=-2$.

Portanto, a rede de supermercados obteve prejuízo de 2 milhões de reais ao final do mês de março.

No mês de abril, a empresa obteve mais um prejuízo, dessa vez de 3 milhões de reais.

Para determinar de quantos reais foi o lucro ou prejuízo no fim do mês de abril, devemos adicionar o prejuízo de 2 milhões de reais com o prejuízo de 3 milhões de reais, ou seja, devemos calcular $\left(-2\right)+\left(-3\right)$.

Assim, $\left(-2\right)+\left(-3\right)=-5$.

Portanto, a rede de supermercados obteve prejuízo de 5 milhões de reais ao final do mês de abril.

Questão 4. Se no mês de maio a rede de supermercados teve um lucro de 6 milhões de reais, qual foi o lucro ou prejuízo da empresa ao final desse mês?

Resposta: Lucro de 1 milhão de reais.

Propriedades da adição

Propriedade comutativa

Apresentamos a seguir os cálculos realizados por Adriana e Inácio.

Como a adição possui a propriedade comutativa, ao trocar a ordem das parcelas, a soma não se altera.

Propriedade do elemento neutro

Questão 5. Efetue os cálculos no caderno.

a) $\left(-5\right)+0$

b) $0+\left(-17\right)$

c) $\left(-12\right)+0$

d) $\left(-15\right)+0$

e) $0+\left(+14\right)$

f) $\left(-25\right)+0$

g) $\left(-7\right)+0$

h) $\left(-184\right)+0$

Respostas: a) $-5$; b) $-17$; c) $-12$; d) $-15$; e) $+14$; f) $-25$; g) $-7$; h) $-184$.

Questão 6. No caderno, escreva suas observações com relação aos resultados obtidos na questão anterior.

Sugestão de resposta: Ao adicionar um número inteiro a zero, o resultado é o próprio número inteiro.

Como a adição tem a propriedade do elemento neutro, quando uma das parcelas é igual a zero, a soma é igual à outra parcela.

Propriedade associativa

Podemos calcular $\left(-8\right)+\left(+3\right)+\left(-4\right)$ de duas maneiras diferentes.

Como a adição tem a propriedade associativa, ao associar as parcelas de maneiras diferentes, a soma não se altera.

Propriedade do elemento oposto

Questão 7. Efetue os cálculos no caderno.

Resposta: Em todos os itens, o resultado é 0.

a) $\left(-6\right)+\left(+6\right)$

b) $\left(+17\right)+\left(-17\right)$

c) $\left(-28\right)+\left(+28\right)$

d) $\left(+41\right)+\left(-41\right)$

e) $\left(-37\right)+\left(+37\right)$

f) $\left(+65\right)+\left(-65\right)$

Questão 8. Escolha um número inteiro qualquer. Em seguida, em seu caderno, adicione-o ao seu oposto. Qual foi o resultado obtido por você?

Resposta: 0.

Questão 9. Escreva no caderno o resultado da adição de dois números opostos.

Resposta: 0.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

35. Copie os cálculos em seu caderno, substituindo cada $\text{█}$ de acordo com as setas indicadas na reta numérica.

a) $\left(+8\right)+\left(\text{█}\right)=+5$

b) $\left(-12\right)+\left(\text{█}\right)=-3$

c) $\left(\text{█}\right)+\left(-6\right)=\text{█}$

d) $\left(\text{█}\right)+\left(\text{█}\right)=\text{█}$

e) $\left(\text{█}\right)+\left(\text{█}\right)=\text{█}$

f) $\left(\text{█}\right)+\left(\text{█}\right)=\text{█}$

Respostas: a) $\left(+8\right)+\left(-3\right)=+5$; b) $\left(-12\right)+\left(+9\right)=-3$; c) $\left(-5\right)+\left(-6\right)=-11$; d) $\left(-3\right)+\left(+7\right)=+4$; e) $\left(-3\right)+\left(+3\right)=0$; f) $\left(+7\right)+\left(-12\right)=-5$.

36. Raul tem um saldo bancário devedor de R$ 590,00. Quantos reais ele deve depositar para ficar:

a) com saldo igual a zero?

b) com saldo de R$ 490,00?

Respostas: a) R$ 590,00; b) R$ 1.080,00.

37. Calcule o saldo da conta bancária de Fernanda após as movimentações indicadas no extrato a seguir.

Resposta: R$ 306,00.

38. Efetue os cálculos.

a) $\left(-9\right)+\left(+5\right)$

b) $\left(+41\right)+\left(-23\right)$

c) $\left(-7\right)+\left(+4\right)$

d) $\left(+18\right)+\left(-35\right)$

e) $\left(-52\right)+\left(+17\right)$

f) $\left(-3\right)+\left(-14\right)$

g) $\left(+57\right)+\left(-2\right)$

h) $\left(-16\right)+\left(-37\right)$

Respostas: a) $-4$; b) $+18$; c) $-3$; d) $-17$; e) $-35$; f) $-17$; g) $+55$; h) $-53$.

39. Adicione os números de cada item trocando a ordem das parcelas e verifique a propriedade comutativa da adição de números inteiros.

a) $-12$ e $+8$

b) $-31$ e $-6$

c) $-9$ e $+21$

d) $+12$ e $-19$

Respostas: a) $\left(-12\right)+\left(+8\right)=-4$ e $\left(+8\right)+\left(-12\right)=-4$; b) $\left(-31\right)+\left(-6\right)=-37$ e $\left(-6\right)+\left(-31\right)=-37$; c) $\left(-9\right)+\left(+21\right)=+12$ e $\left(+21\right)+\left(-9\right)=+12$; d) $\left(+12\right)+\left(-19\right)=-7$ e $\left(-19\right)+\left(+12\right)=-7$.

40. Copie cada cálculo substituindo o $\text{█}$ por um dos números a seguir.

• $-12$

• $+52$

• $-17$

• $-1$

• $+7$

• $-25$

• $-34$

• $+30$

a) $\left(\text{█}\right)+\left(-12\right)=+18$

b) $\left(+30\right)+\left(\text{█}\right)=+18$

c) $\left(-17\right)+\left(\text{█}\right)=-18$

d) $\left(\text{█}\right)+\left(-1\right)=-18$

e) $\left(\text{█}\right)+\left(-25\right)=-18$

f) $\left(+7\right)+\left(\text{█}\right)=-18$

g) $\left(\text{█}\right)+\left(-34\right)=+18$

h) $\left(+52\right)+\left(\text{█}\right)=+18$

Respostas: a) $\left(+30\right)+\left(-12\right)=+18$; b) $\left(+30\right)+\left(-12\right)=+18$; c) $\left(-17\right)+\left(-1\right)=-18$; d) $\left(-17\right)+\left(-1\right)=-18$; e) $\left(+7\right)+\left(-25\right)=-18$; f) $\left(+7\right)+\left(-25\right)=-18$; g) $\left(+52\right)+\left(-34\right)=+18$; h) $\left(+52\right)+\left(-34\right)=+18$.

41. Efetue os cálculos de duas maneiras diferentes.

a) $\left(-3\right)+\left(+5\right)+\left(-5\right)$

b) $\left(+2\right)+\left(-2\right)+\left(+2\right)$

c) $\left(+1\right)+\left(-15\right)+\left(+7\right)$

d) $\left(+7\right)+\left(+14\right)+\left(-7\right)$

e) $\left(+30\right)+\left(-18\right)+\left(-6\right)$

f) $\left(-52\right)+\left(-2\right)+\left(-5\right)$

g) $\left(+60\right)+\left(-23\right)+\left(+7\right)$

h) $\left(+4\right)+\left(+15\right)+\left(-8\right)$

i) $\left(+3\right)+\left(-18\right)+\left(+12\right)$

Respostas: a) $-3$; b) $+2$; c) $-7$; d) $+14$; e) $+6$; f) $-59$; g) $+44$; h) $+11$; i) $-3$.

42. Adicione todos os números das faces visíveis dos dados de cada pilha. Depois, responda às questões.

Em qual pilha a soma é:

a) maior do que 2 e menor do que 5?

b) um número entre $-6$ e zero?

c) menor do que $-5$?

d) maior do que zero e menor do que 2?

Respostas: a) B; b) A; c) Nenhuma das pilhas; d) C.

43. Milena, Adriano e César estão disputando um jogo. Nesse jogo, os pontos ganhos são marcados por fichas com números positivos; os pontos perdidos, por fichas com números negativos. As fichas de cada um deles ao final de uma partida estão representadas a seguir.

a) Ao final da partida, quantos pontos foram marcados por:

Milena?

Adriano?

César?

Respostas: Milena: $+2$; Adriano: $+4$; César: $-1$.

b) Qual jogador obteve a maior soma de pontos?

Resposta: Adriano.

44. Efetue os cálculos e verifique qual dos quadrados a seguir é um quadrado mágico.

Resposta: Quadrado B.

45. Para cada item, elabore em seu caderno um problema envolvendo adição de números inteiros utilizando os números indicados e peça a um colega que o resolva. Depois, verifique se a resolução está correta.

a) $+7$ e $+32$

b) $-12$ e $+13$

c) $+9$ e $-3$

d) $-25$ e $-11$

Resposta pessoal.

Subtração com números inteiros

São Joaquim, situada no sul do estado de Santa Catarina a uma medida de altitude de $1.360\text{m}$, é considerada a cidade mais fria do Brasil.

Considere o gráfico a seguir, indicando as medidas aproximadas das temperaturas diárias máxima e mínima registradas em São Joaquim no mês de julho de 2021.

Fonte de pesquisa: INMET. Dados meteorológicos. Disponível em: https://oeds.link/CwKiZd. Acesso em: 12 jan. 2022.

Podemos calcular a diferença entre as medidas de temperaturas máxima e mínima registradas em alguns dias do mês de julho de 2021 da seguinte maneira.

Dia 31

Como os dois números são positivos, basta efetuar a subtração a seguir.

$13-1=12$

Na subtração, um número menos outro significa a adição do primeiro com o oposto do segundo. Assim, subtrair $\left(+1\right)$ de $\left(+13\right)$ significa calcular a diferença $\left(+13\right)-\left(+1\right)$, que é o mesmo que $\left(+13\right)+\left(-1\right)$. Representamos esse cálculo na reta numérica da seguinte maneira.

Dia 20

Ao localizarmos os números $+15$ e $-1$ na reta numérica, notamos que a diferença entre eles é 16.

De outra maneira, $\left(+15\right)-\left(-1\right)$ corresponde à adição de $+15$ ao oposto de $-1$, ou seja, 1. Indicando esse cálculo na reta numérica, temos:

Assim:

A seguir, alguns exemplos envolvendo subtração com números inteiros.

• $\left(+9\right)-\left(+3\right)=\left(+9\right)+\left(-3\right)=9-3=+6$
• $\left(+9\right)-\left(-3\right)=\left(+9\right)+\left(+3\right)=9+3=+12$
• $\left(-9\right)-\left(+3\right)=\left(-9\right)+\left(-3\right)=-9-3=-12$
• $\left(-9\right)-\left(-3\right)=\left(-9\right)+\left(+3\right)=-9+3=-6$

Atividades

Faça as atividades no caderno.

46. Em cada item, copie as expressões substituindo o $\text{█}$ pelo número adequado, de acordo com as setas indicadas na reta numérica correspondente.

a) $\left(+7\right)-\left(\text{█}\right)=+4$

b) $\left(+9\right)-\left(\text{█}\right)=+2$

c) $\left(\text{█}\right)-\left(+5\right)=\text{█}$

d) $\left(\text{█}\right)-\left(\text{█}\right)=+5$

Respostas: a) $\left(+7\right)-\left(+3\right)=+4$; b) $\left(+9\right)-\left(+7\right)=+2$; c) $\left(+2\right)-\left(+5\right)=-3$; d) $\left(+11\right)-\left(+6\right)=+5$.

47. Para cada item, escreva no caderno o número que substitui o $\text{█}$ adequadamente.

a) $\left(+10\right)-\left(-8\right)=\left(+10\right)+\left(\text{█}\right)=\text{█}$

b) $\left(+6\right)-\left(-7\right)=\left(+6\right)+\left(\text{█}\right)=+13$

c) $\left(-2\right)-\left(-14\right)=\left(\text{█}\right)+\left(\text{█}\right)=+12$

d) $\left(+5\right)-\left(+6\right)=\left(+5\right)+\left(\text{█}\right)=\text{█}$

e) $\left(-9\right)-\left(+7\right)=\left(\text{█}\right)+\left(\text{█}\right)=-16$

f) $\left(-13\right)-\left(-5\right)=\left(-13\right)+\left(\text{█}\right)=-8$

Respostas: a) $+8$; $+18$; b) $+7$; c) $-2$; $+14$; d) $-6$; $-1$; e) $-9$; $-7$; f) $+5$.

48. Efetue os cálculos no caderno.

a) $\left(+2\right)-\left(+17\right)$

b) $\left(+14\right)-\left(-9\right)$

c) $\left(+23\right)-\left(-5\right)$

d) $\left(+11\right)-\left(-4\right)$

e) $\left(+21\right)-\left(+19\right)$

f) $\left(-12\right)-\left(-3\right)$

g) $\left(-5\right)-\left(+2\right)$

h) $\left(-1\right)-\left(-9\right)$

i) $\left(-15\right)-\left(-4\right)$

j) $\left(-8\right)-\left(-12\right)$

k) $\left(-15\right)-\left(-10\right)$

l) $\left(-1\right)-\left(-1\right)$

Respostas: a) $-15$; b) $+23$; c) $+28$; d) $+15$; e) $+2$; f) $-9$; g) $-7$; h) $+8$; i) $-11$; j) $+4$; k) $-5$; l) 0.

49. Copie as expressões e complete com o sinal $+$ ou $-$ de modo que o resultado seja verdadeiro.

a) $\left(-4\right)\text{█}\left(+2\right)=-2$

b) $\left(-3\right)\text{█}\left(-7\right)=\left(+4\right)$

c) $\left(+3\right)\text{█}\left(+3\right)=0$

d) $\left(+8\right)\text{█}\left(-7\right)=+15$

e) $\left(-8\right)\text{█}\left(+10\right)=+2$

f) $\left(+10\right)\text{█}\left(+6\right)=+4$

Respostas: a) $\left(-4\right)+\left(+2\right)=-2$; b) $\left(-3\right)-\left(-7\right)=\left(+4\right)$; c) $\left(+3\right)-\left(+3\right)=0$; d) $\left(+8\right)-\left(-7\right)=+15$; e) $\left(-8\right)+\left(+10\right)=+2$; f) $\left(+10\right)-\left(+6\right)=+4$.

50. Nos termômetros a seguir indicamos as medidas aproximadas de temperaturas mínima e máxima registradas na cidade de Inácio Martins, no Paraná, em 29 de julho de 2021.

Fonte de pesquisa: INMET. Dados meteorológicos. Disponível em: https://oeds.link/CwKiZd. Acesso em: 11 mar. 2022.

a) Qual foi a medida de temperatura máxima registrada nesse dia? E a medida de temperatura mínima?

b) Qual é a diferença entre as medidas de temperaturas máxima e mínima registradas nesse dia?

Respostas: a) $11°\text{C}$, $-4°\text{C}$; b) $15°\text{C}$.

51. Escreva no caderno os três próximos números de cada sequência.

A.

B.

C.

D.

Respostas: A. $-17$, $-8$, $+1$; B. $+35$, $+47$, $+59$; C. $-34$, $-40$, $-46$; D. $-2$, $-9$, $-16$.

52. Carla resolveu a expressão numérica $\left(-8\right)+\left(-3\right)+\left(+2\right)-\left(-5\right)$ da seguinte maneira.

De maneira parecida, resolva no caderno as expressões numéricas a seguir.

a) $\left(+22\right)+\left(-7\right)-\left(-9\right)$

b) $\left(-48\right)-\left(+13\right)+\left(+6\right)$

c) $\left(-69\right)+\left(+16\right)-\left(-27\right)$

d) $\left(+35\right)+\left(-12\right)-\left(+8\right)-\left(-4\right)$

e) $\left(+74\right)-\left(-9\right)+\left(-2\right)$

f) $\left(-30\right)-\left(-42\right)+\left(-3\right)+\left(+1\right)$

Respostas: a) $+24$; b) $-55$; c) $-26$; d) $+19$; e) $+81$; f) $+10$.

53. Estime o resultado das expressões numéricas.

Resposta pessoal.

a) Agora, obtenha da maneira que preferir, o resultado exato delas.

Respostas: A. $-2$; B. $+36$; C. $-12$.

b) Qual expressão tem maior valor?

Resposta: Expressão B.

54. A seguir estão representadas, com números inteiros, as medidas aproximadas de altitudes de diferentes locais do mundo.

a) Escreva em ordem crescente as medidas de altitudes aproximadas desses locais.

Resposta: $-209\text{m}$, $-125\text{m}$, $1.010\text{m}$, $2.798\text{m}$, $3.504\text{m}$, $8.172\text{m}$.

b) Calcule a diferença, em metros, entre a maior e a menor medida aproximada de altitude dos locais indicados.

Resposta: $\left(+8.172\text{m}\right)-\left(-209\text{m}\right)=8.281\text{m}$.

55. Em certo dia, o termômetro registrava uma medida de temperatura de $5°\text{C}$ em uma cidade. Se diminuir $8°\text{C}$, qual será a medida de temperatura que esse termômetro vai registrar?

Resposta: $-3°\text{C}$.

56. As sentenças apresentadas em cada item devem ser compostas de exatamente três dos números apresentados a seguir.

Copie-as em seu caderno substituindo as letras pelos números adequados.

a) $\left(-9\right)-A+B=-28$

b) $C+D-\left(+14\right)=+9$

c) $E-\left(-9\right)+F=+36$

Respostas: a) $\left(-9\right)-\left(+14\right)+\left(-5\right)=-28$; b) $\left(+32\right)+\left(-9\right)-\left(+14\right)=\left(+23\right)-\left(+14\right)=+9$ ou $\left(-9\right)+\left(+32\right)-\left(+14\right)=\left(+23\right)-\left(+14\right)=+9$; c) $\left(+32\right)-\left(-9\right)+\left(-5\right)=\left(+41\right)+\left(-5\right)=+36$ ou $\left(-5\right)-\left(-9\right)+\left(+32\right)=\left(+4\right)+\left(+32\right)=+36$.

57. Considere a tabela a seguir, que indica a quantidade de gols marcados e gols sofridos por uma equipe de futebol em quatro partidas.

Fonte de pesquisa: registros do técnico da equipe.

Qual foi o saldo de gols dessa equipe após as quatro partidas?

Resposta: $-5$.

58. Elabore no caderno um problema cujo contexto envolva números inteiros e que possa ser resolvido por uma subtração. Em seguida, troque-o com um colega. Depois, verifiquem as soluções.

Resposta pessoal.