Ideia de fração

As frações podem ser usadas em diversWtuações. Mas você já pensou o que motivou a criação desses números?

Questão 1. Realize uma pesquisa para determinar o que motivou a criação das frações.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes concluam que as frações foram criadas por causa da necessidade que os povos antigos tinham de fazer medições.

Aplicadas em nosso cotidiano, as frações podem representar diferentes ideias matemáticas. Nos tópicos a seguir, estudaremos as frações como parte de um inteiro, como razão, como quociente e calcularemos frações de uma quantidade.

Fração como parte de um inteiro

Marcelo dividiu uma figura em partes iguais e coloriu algumas delas de verde. A figura desenhada por ele corresponde a um inteiro, e a parte colorida de verde pode ser representada por meio de uma fração.

O denominador indica a quantidade de partes iguais em que a figura está dividida (18), e o numerador indica a quantidade de partes coloridas de verde (6), o que, nesse caso, representamos pela fração $\frac{6}{18}$.

Nesse caso, a fração $\frac{6}{18}$ nos dá a ideia de parte de um inteiro.

Agora, considere cada uma das figuras A e B a seguir como um inteiro e divididas em partes iguais. Podemos representar a parte pintada de roxo de cada uma delas por meio de uma fração.

As frações $\frac{4}{10}$ e $\frac{33}{100}$ representam as partes pintadas de roxo das figuras A e B, respectivamente, e são chamadas frações decimais.

Fração como razão

A turma de Ana tem 28 estudantes, sendo 16 meninas e 12 meninos. Podemos representar a quantidade de meninos em relação ao total de estudantes da sala de aula por meio da fração $\frac{12}{28}$, ou seja, na turma de Ana, a cada 28 estudantes, 12 são meninos. Dizemos que a razão entre a quantidade de meninos em relação ao total de estudantes da sala é $\frac{12}{28}$.

Já a fração que representa a quantidade de meninas é $\frac{16}{28}$, ou seja, nessa turma, a cada 28 estudantes, 16 são meninas. Assim, a razão entre a quantidade de meninas e o total de estudantes dessa sala de aula é dada pela fração $\frac{16}{28}$.

Questão 2. Escreva em seu caderno uma fração que representa a razão entre a quantidade de meninas em relação à quantidade de meninos dessa turma.

Resposta: $\frac{16}{12}$.

Fração como quociente de uma divisão

Podemos relacionar a fração a uma divisão, como apresentado no seguinte exemplo.

Eduardo é alfaiate e vai utilizar 48 botões para confeccionar 6 camisas. Nesse caso, dizemos que a quantidade de botões está relacionada à quantidade de camisas que ele vai confeccionar, o que representamos pela fração $\frac{48}{6}$, ou seja, na razão de 48 para 6.

A fração $\frac{48}{6}$ representa 8 inteiros, que corresponde à quantidade de botões que ele vai utilizar para confeccionar cada camisa. Nessa fração, o numerador corresponde ao dividendo e o denominador corresponde ao divisor.

Portanto, Eduardo vai utilizar 8 botões para confeccionar cada camisa.

Fração de uma quantidade

Célia leu 128 páginas de um livro, o que corresponde a $\frac{4}{7}$ do total de páginas. Quantas páginas tem esse livro?

Podemos calcular quantas páginas tem o livro que Célia está lendo da seguinte maneira.

Inicialmente, vamos considerar a figura a seguir dividida em 7 partes iguais, em que está representada a parte do livro que Célia leu.

Cada parte da figura representa $\frac{1}{7}$ do total de páginas do livro. Assim, para determinar $\frac{1}{7}$ do total de páginas, basta dividir 128 por 4, obtendo 32, que representa 32 páginas.

Agora, calculamos a quantidade total de páginas do livro, que corresponde a $\frac{7}{7}$, multiplicando 32 por 7.

Portanto, o livro que Célia está lendo tem 224 páginas.

Questão 3. A irmã de Célia já leu 64 páginas de outro livro. Sabendo que essas páginas representam $\frac{4}{9}$ das páginas do livro, calcule no seu caderno quantas páginas ele tem.

Resposta: 144 páginas.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Escreva no caderno uma fração para representar a parte pintada de rosa nas figuras a seguir, considerando que elas estão divididas em partes iguais.

Respostas: A. $\frac{7}{10}$; B. $\frac{3}{4}$.

2. Um ônibus escolar tem 16 fileiras de assentos com dois lugares cada.

a) Que fração representa um lugar desse ônibus?

b) Que fração representa uma fileira de assentos?

c) Sabendo que 28 crianças foram para a escola nesse ônibus, que fração representa a quantidade de lugares que foram ocupados?

Respostas: a) $\frac{1}{32}$; b) $\frac{2}{32}$ou $\frac{1}{16}$; c) $\frac{28}{32}$ou $\frac{7}{8}$.

3. De acordo com a figura a seguir, responda às questões.

a) Em quantas partes iguais a figura foi dividida?

b) Que fração representa três partes dessa figura?

c) Que fração representa seis partes dessa figura?

Respostas: a) 9 partes iguais; b) $\frac{3}{9}$ ou $\frac{1}{3}$; c) $\frac{6}{9}$ ou $\frac{2}{3}$.

4. Em um estacionamento há 32 carros prateados, 12 carros brancos, 18 carros pretos e 9 carros vermelhos.

a) Quantos carros há no estacionamento?

b) Que fração representa a quantidade de carros brancos nesse estacionamento?

c) Escreva uma razão para representar a quantidade de carros pretos em relação à quantidade de carros prateados nesse estacionamento.

Respostas: a) 71 carros; b) $\frac{12}{71}$; c) $\frac{18}{32}$ ou $\frac{9}{16}$.

5. Um vendendor de doces tem 45 balas para vender, 19 de hortelã, 15 de morango e as demais de menta.

a) Quantas balas de menta o vendedor possui?

b) Do total de balas, que fração representa as de hortelã?

c) Escreva uma razão para representar a quantidade de balas de menta em relação à quantidade de balas de morango.

Respostas: a) 11 balas; b) $\frac{19}{45}$; c) $\frac{11}{15}$.

6. Os diretores de uma empresa verificaram que 5 em cada 8 clientes deixaram comentários positivos no site dela. Que fração representa o total de comentários positivos feitos nesse site?

Resposta: $\frac{5}{8}$.

7. Em uma livraria, a cada 50 livros vendidos, 15 são romances. Qual é a razão entre a quantidade de livros de romance vendidos e a quantidade total vendida?

Resposta: $\frac{15}{50}$ ou $\frac{3}{10}$.

8. Para conseguir certa tonalidade de cor, um pintor precisa misturar $650\text{mL}$ de tinta vermelha com $350\text{mL}$ de tinta branca. Qual é a razão entre a medida de capacidade da tinta vermelha e a medida de capacidade da mistura?

a) $\frac{650}{350}$

b) $\frac{350}{650}$

c) $\frac{350}{100}$

d) $\frac{350}{1000}$

Resposta: Alternativa d.

9. Um paciente com suspeita de febre amarela ficou em observação em um hospital. Sua temperatura foi medida e ele apresentou febre em 6 dias, que correspondem a $\frac{3}{5}$ do tempo que ele ficou no hospital. Por quanto tempo esse paciente ficou no hospital?

Resposta: 10 dias.

10. No último sábado, Gabriel e dois casais foram a um restaurante. No momento de pagar a conta, eles fizeram a seguinte divisão: cada casal pagou $\frac{2}{5}$ da conta e Gabriel pagou $\frac{1}{5}$ da conta.

a) Sabendo que o valor total da conta foi de R$ 85,00, quantos reais cada casal pagou?

b) Quantos reais Gabriel pagou?

Respostas: a) R$ 34,00; b) R$ 17,00.

11. Calcule mentalmente as quantidades a seguir.

a) $\frac{1}{2}$ de $40\mathrm{m}$

b) $\frac{1}{9}$ de $81\mathrm{L}$

c) $\frac{1}{5}$ de 35 maçãs

d) $\frac{2}{3}$ de $30\mathrm{k}\mathrm{g}$

e) $\frac{2}{6}$ de 18 páginas

f) $\frac{1}{6}$ de R$ 42,00

Respostas: a) $20\mathrm{m}$; b) $9\mathrm{L}$; c) 7 maçãs; d) $20\mathrm{k}\mathrm{g}$; e) 6 páginas; f) R$ 7,00.

12.No campeonato de handebol de uma escola, o time A venceu o time B, marcando $\frac{8}{15}$ do total de gols da partida. Sabendo que, ao todo, foram marcados 60 gols nessa partida, quantos gols o time B marcou?

Resposta: 28 gols.

13. Lucimara comprou o videogame indicado no cartaz.

Ela vai pagar $\frac{3}{5}$ do valor como entrada e o restante após 30 dias.

Quantos reais Lucimara vai pagar:

a) de entrada?

b) após 30 dias?

Respostas: a) R$ 1.440,00; b) R$ 960,00.

14. A caixa-d'água da casa de Ana comporta $1.000\text{L}$ e, atualmente, está com $\frac{2}{5}$ dessa medida. Quantos litros de água há nessa caixa?

Resposta: $\text{400}\text{L}$.

15. Juliano e Fabrício colecionam selos. Da coleção de Juliano, $\frac{6}{7}$ correspondem a 42 selos, e da coleção de Fabrício, $\frac{2}{3}$ correspondem a 54 selos.

a) Quantos selos há na coleção de Juliano? E na coleção de Fabrício?

b) Qual é a diferença entre essas quantidades?

c) Quantos selos Juliano e Fabrício têm juntos?

Respostas: a) 49 selos; 81 selos; b) 32 selos; c) 130 selos.

16. Durante uma liquidação em uma loja de roupas, foram vendidas $\frac{19}{24}$ das camisas do estoque pelo mesmo valor e foram arrecadados R$ 12.825,00. Antes da liquidação, havia 360 camisas iguais no estoque da loja.

a) Quantas camisas foram vendidas?

b) Se todas as camisas fossem vendidas, então quantos reais essa loja arrecadaria ao todo?

c) Quantos reais essa loja arrecadou quando vendeu $\frac{1}{6}$ do estoque? E $\frac{1}{4}$ do estoque?

Respostas: a) 285 camisas; b) R$ 16.200,00; c) R$ 2.700,00; R$ 4.050,00.

17. A preguiça é um animal muito comum no Brasil. Sobre as árvores, esse animal locomove-se lentamente, porém, na água, ele costuma se mover com mais velocidade. Seu alimento preferido são folhas de embaúba^✚. Uma preguiça dorme cerca de $\frac{3}{5}$ do seu tempo de vida, o que corresponde a 24 anos.

Embaúba:

(Cecropia peltata) árvore nativa de regiões tropicais das Américas. Nasce em lugares sombrios, com folhas espessas e ásperas. É cultivada para a extração de polpa e como planta ornamental.^↰

Aproximadamente quantos anos vive uma preguiça?

Resposta: Aproximadamente 40 anos.

18. Carolina postou uma foto em uma rede social.

Elabore uma questão envolvendo as informações da imagem e a relação entre razão e fração. Depois, peça a um colega que a resolva. Por fim, verifique se a resposta dele está correta.

Resposta pessoal.

Frações equivalentes e simplificação de frações

As figuras foram divididas em partes iguais. Considerando as figuras A e B como o inteiro, podemos representar as partes pintadas de amarelo de cada uma delas com frações, como indicado a seguir.

Cada fração indicada anteriormente pode ser simplificada até que se obtenha uma fração irredutível. Para simplificarmos uma fração, dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número natural, sendo ele diferente de 0 e de 1. Quando não podemos mais realizar as divisões, ou seja, simplificar essa fração, dizemos que ela é uma fração irredutível. Vamos executar esse processo da seguinte maneira:

No esquema I, como as frações $\frac{22}{36}$ e $\frac{11}{18}$ representam a mesma parte do todo, dizemos que elas são equivalentes. O mesmo acontece no esquema II, com as frações $\frac{30}{100},\frac{15}{50}$ e $\frac{3}{10}$.

Questão 4. Copie em seu caderno os itens a seguir substituindo cada $\text{█}$ pelo número adequado, de maneira que as frações sejam equivalentes.

a) $\frac{2}{5}=\frac{6}{\text{█}}$

b) $\frac{16}{22}=\frac{\text{█}}{11}$

c) $\frac{24}{15}=\frac{8}{\text{█}}$

Respostas: a) $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$; b) $\frac{16}{22}=\frac{8}{11}$; c) $\frac{24}{15}=\frac{8}{5}$.

Comparação de números positivos na forma de fração

Rafaela e Eduardo realizaram uma prova para concorrer a uma vaga de emprego. Rafaela acertou $\frac{7}{9}$ das questões dessa prova e Eduardo, $\frac{4}{6}$. Qual deles acertou mais questões?

Para responder a essa pergunta, inicialmente é necessário efetuar a comparação das frações $\frac{7}{9}$ e $\frac{4}{6}$ a fim de verificar qual delas é a maior.

Inicialmente, vamos representar o número de questões que Rafaela e Eduardo acertaram por meio de figuras.

De acordo com as figuras, podemos verificar que $\frac{7}{9}>\frac{4}{6}$.

Portanto, Rafaela acertou mais questões na prova do que Eduardo.

Outra maneira de comparar as frações $\frac{7}{9}$ e $\frac{4}{6}$ é obtermos as frações equivalentes com denominadores iguais. Para determinar qual será esse denominador, calculamos inicialmente o mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores. Nesse caso, vamos calcular o $\text{mmc(9,}\text{6)}$.

Logo, $\text{mmc}\left(9,6\right)=2\cdot 3\cdot 3=18$.

Agora, obtemos as frações equivalentes a $\frac{7}{9}$ e $\frac{4}{6}$, porém com denominadores iguais a 18.

Como $\frac{14}{18}>\frac{12}{18}$, concluímos que $\frac{7}{9}>\frac{4}{6}$.

Podemos representar as frações $\frac{14}{18}$ e $\frac{12}{18}$ na reta numérica. Nesse caso, dividimos um inteiro na reta numérica em 18 partes iguais, número que corresponde ao denominador das frações. Depois, a partir do zero, indicamos 12 e 14 dessas partes, para obter, respectivamente, as frações $\frac{12}{18}$ e $\frac{14}{18}$, como indicado a seguir.

Questão 5. Compare as frações de cada item usando o símbolo $>$ ou $<$ entre elas.

a) $\frac{9}{10}$ e $\frac{6}{10}$

b) $\frac{16}{20}$ e $\frac{38}{40}$

c) $\frac{3}{4}$ e $\frac{5}{7}$

Respostas: a) $\frac{9}{10}>\frac{6}{10}$; b) $\frac{16}{20}<\frac{38}{40}$; c) $\frac{3}{4}>\frac{5}{7}$.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

19. Escreva uma fração para representar as partes pintadas de roxo em cada figura. Depois, se possível, simplifique-as e indique a fração irredutível correspondente.

Respostas: A. $\frac{7}{12}$; B. $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$; C. $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$; D. $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

20. Em cada item, determine a fração irredutível.

a) $\frac{21}{81}$

b) $\frac{65}{169}$

c) $\frac{120}{320}$

d) $\frac{42}{252}$

Respostas: a) $\frac{7}{27}$; b) $\frac{5}{13}$; c) $\frac{3}{8}$; d) $\frac{1}{6}$.

21. Copie o esquema substituindo cada letra pelo número adequado.

Resposta: $\frac{6}{30}=\frac{2}{10}=\frac{8}{40}=\frac{1}{5}$.

22. Escreva no caderno uma fração:

a) cujo denominador seja 4;

b) cujo numerador seja 7;

c) que corresponda a 1 unidade;

d) que seja maior do que 2 e menor do que 5;

e) que, ao ser simplificada, seja igual a $\frac{2}{3}$;

f) que tenha quociente igual a 9.

Sugestões de respostas: a) $\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4}$; b) $\frac{7}{2},\frac{7}{3},\frac{7}{4}$; c) $\frac{2}{2},\frac{4}{4},\frac{5}{5}$; d) $\frac{5}{2},\frac{15}{4},\frac{22}{5}$; e) $\frac{4}{6},\frac{6}{9},\frac{8}{12}$; f) $\frac{18}{2},\frac{27}{3},\frac{36}{4}$.

23. Em uma academia, Pedro caminhou na esteira durante $\frac{7}{9}$ de uma hora. Já Thiago caminhou durante $\frac{5}{6}$ de uma hora. Qual deles caminhou por mais tempo na esteira?

Resposta: Thiago.

24. No fluxograma está indicado como comparar frações com denominadores diferentes.

Seguindo os procedimentos indicados no fluxograma, compare as frações a seguir e reescreva-as usando o símbolo $>$ ou $<$ entre elas.

a) $\frac{13}{16}$ e $\frac{6}{8}$

b) $\frac{8}{9}$ e $\frac{5}{3}$

Respostas: a) $\frac{13}{16}>\frac{6}{8}$; b) $\frac{8}{9}<\frac{5}{3}$.

25. No quadro está indicada a fração do total de pastéis de cada sabor que foram vendidos durante um dia em uma barraca.

Pastéis vendidos durante um dia em uma barraca

Sabor do pastel	Fração das vendas
Carne	$\frac{11}{50}$
Queijo	$\frac{4}{25}$
Frango	$\frac{7}{20}$
Presunto e queijo	$\frac{1}{5}$

Escreva em seu caderno as frações do quadro em ordem crescente.

Resposta: $\frac{4}{25}<\frac{1}{5}<\frac{11}{50}<\frac{7}{20}$.

26. Leia o texto e depois resolva os itens.

a) É possível determinar a quantidade de funcionários que vão ao trabalho de automóvel e quantos utilizam o transporte público? Justifique sua resposta.

Resposta: Não é possível, pois não foi informado o total de funcionários da empresa.

b) Qual dos meios de transporte citados no texto é o mais usado para chegar ao trabalho nessa empresa?

Resposta: O transporte público.

c) Explique como podemos determinar a resposta da pergunta do item b.

Resposta pessoal: Sugestão de resposta: Para determinar o meio de transporte mais usado para chegar ao trabalho nessa empresa, é necessário comparar as frações.

d) Podemos comparar as frações citadas no texto usando as seguintes estratégias.

Resposta: A maior fração é $\frac{5}{12}$. Portanto, o meio de transporte mais usado para os funcionários chegarem na empresa é o transporte público.

Agora, escolha uma das estratégias apresentadas e compare as frações $\frac{5}{12}$ e $\frac{3}{8}$ para saber qual é o meio de transporte citado no texto mais usado para os funcionários chegarem na empresa.

e) Entre as estratégias apresentadas no item d, qual delas você considera mais prática ao comparar números positivos na forma de fração com denominadores diferentes? Justifique sua resposta.

Resposta pessoal.

f) Você conhece outra estratégia diferente das apresentadas para comparar frações com denominadores diferentes? Se sim, compartilhe a resposta com os colegas.

Resposta pessoal.

27. Compare as frações colocando o símbolo $>$ ou $<$ entre elas.

a) $\frac{145}{211}$ e $\frac{139}{211}$

b) $\frac{13}{30}$ e $\frac{11}{24}$

De maneira semelhante ao realizado no item d da atividade 26, escreva os procedimentos utilizados por você para comparar essas frações. Depois represente-os por meio de um fluxograma.

Respostas: a) $\frac{145}{211}>\frac{139}{211}$; b) $\frac{13}{30}<\frac{11}{24}$; • Resposta nas orientações ao professor.