Números racionais

A professora Roberta escreveu alguns números na lousa.

Eles são números racionais e podem ser escritos tanto na forma fracionária quanto na decimal.

Em seguida, a professora organizou esses números em uma reta numérica.

Analise como ela localizou, por exemplo, a fração $\frac{1}{3}$ nessa reta.

Podemos transformar um número racional representado na forma decimal em fracionário. A seguir apresentamos alguns exemplos.

• $0,5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$
• $-0,22=-\frac{22}{100}=-\frac{11}{50}$
• $1,1=1+0,1=1+\frac{1}{10}=\frac{10}{10}+\frac{1}{10}=\frac{11}{10}$
• $5,03=5+0,03=5+\frac{3}{100}=\frac{500}{100}+\frac{3}{100}=\frac{503}{100}$

Também podemos fazer o inverso, como apresentado nos exemplos a seguir.

• $\frac{1}{2}=1:2=0,5$
• $\frac{22}{25}=22:25=0,88$
• $-\frac{8}{5}=-\left(8:5\right)=-1,6$
• $\frac{49}{40}=49:40=1,225$

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Analise o que Fernando está dizendo.

Entre quais números inteiros consecutivos estão os números indicados em cada item?

a) 1,4

b) 5,87

c) 0,3

d) $-0,99$

e) $-8,7$

f) 3,75

Respostas: a) 1 e 2; b) 5 e 6; c) 0 e 1; d) $-1$ e 0; e) $-9$ e $-8$; f) 3 e 4.

2. Associe cada um dos números a uma letra na reta numérica.

• $-1,5$

• $-4$

• 0,2

• 2,6

• $\frac{4}{3}$

• $-\frac{1}{2}$

• $\frac{7}{2}$

Respostas: A: $-4$; B: $-1,5$; C: $-\frac{1}{2}$; D: 0,2; E: $\frac{4}{3}$; F: 2,6; G: $\frac{7}{2}$.

3. Em cada item, escreva um número decimal que esteja entre os números:

a) 0 e 1.

b) $-3$ e $-2$.

c) 5 e 6.

d) 2 e 3.

Resposta pessoal.

4. Analise a reta numérica a seguir.

Determine a letra que corresponde ao número racional 2,4.

Resposta: D.

5. Em seu caderno, escreva os números fracionários na forma decimal.

a) $\frac{1}{10}$

b) $-\frac{1}{4}$

c) $\frac{5}{8}$

d) $\frac{7}{4}$

e) $\frac{9}{16}$

f) $-\frac{7}{8}$

Respostas: a) 0,1; b) $-0,25$; c) 0,625; d) 1,75; e) 0,5625; f) $-0,875$.

6. Em seu caderno, escreva os números decimais na forma fracionária.

a) 0,2

b) 0,75

c) 1,5

d) $-2,5$

e) $0,125$

f) 4,8

Sugestão de respostas: a) $\frac{1}{5}$; b) $\frac{3}{4}$; c) $\frac{3}{2}$; d) $-\frac{5}{2}$; e) $\frac{1}{8}$; f) $\frac{24}{5}$.

7. Em qual item é apresentado o número 0,8 na forma fracionária? Resolva a atividade mentalmente e justifique sua resposta.

a) $\frac{3}{2}$

b) $\frac{5}{4}$

c) $\frac{4}{5}$

d) $\frac{7}{4}$

Resposta: Alternativa c, pois é a opção em que o numerador é menor do que o denominador e, além disso, $\frac{4}{5}$.

8. Utilizando os números 0,2; $\frac{1}{5}$; 3,5 e $\frac{7}{9}$, elabore uma questão envolvendo transformações entre números na forma decimal e na forma fracionária. Depois, troque com um colega e peça a ele que a responda.

Resposta pessoal.

Módulo de um número racional

Já estudamos que a medida da distância entre um ponto da reta numérica e a origem (0) é chamada módulo ou valor absoluto do número associado a esse ponto. Na unidade 2, vimos alguns exemplos envolvendo números inteiros e, agora, vamos determinar o módulo dos números racionais. A seguir, apresentamos alguns exemplos.

$\left|2,6\right|=2,6$, pois a distância entre o ponto correspondente ao número 2,6 e a origem da reta numérica mede 2,6 unidades.

$\left|-5,1\right|=5,1$, pois a distância entre o ponto correspondente ao número $-5,1$ e a origem da reta numérica mede 5,1 unidades.

$\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$, pois a distância entre o ponto correspondente ao número $-\frac{1}{3}$ e a origem da reta numérica mede $\frac{1}{3}$ de unidade.

Questão 1. Em seu caderno, calcule.

a) $\left|3,7\right|$

b) $\left|-\frac{2}{8}\right|$

c) $\left|-7,8\right|$

d) $\left|-\frac{135}{36}\right|$

e) $\left|325,6\right|$

f) $\left|-458,2\right|$

Respostas: a) 3,7; b) $\frac{2}{8}$; c) 7,8; d) $\frac{135}{36}$; e) 325,6; f) 458,2.

Quando dois números racionais estão a uma mesma medida de distância da origem na reta numérica (ou seja, têm módulos iguais), mas estão localizados em sentidos contrários, são chamados números opostos ou números simétricos.

• O número 2,3 é o oposto de $-2,3$, pois $\left|2,3\right|=\left|-2,3\right|$ e eles estão localizados em sentidos contrários da reta numérica.
• O número $-\frac{5}{7}$ é o oposto de $\frac{5}{7}$, pois $\left|-\frac{5}{7}\right|=\left|\frac{5}{7}\right|$ e eles estão localizados em sentidos contrários da reta numérica.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

9. Indique, entre os números apresentados, os que têm módulos iguais.

• 1

• 7

• $-2,8$

• $-1,2$

• $2,8$

• $-7,1$

• 1,2

• $-2$

• 0

• $-7$

• $4,5$

• $-1,8$

Resposta: 7 e $-7$; 2,8 e $-2,8$; 1,2 e $-1,2$.

10. Em cada item, determine o oposto do número.

a) $-1$

b) 8

c) 3,4

d) $-7,8$

e) $-\frac{3}{4}$

f) $\frac{5}{2}$

Respostas: a) 1; b) $-8$; c) $-3,4$; d) 7,8; e) $\frac{3}{4}$; f) $-\frac{5}{2}$.

11. Determine os números cujo módulo é:

a) 0,5.

b) 2,1.

c) 5,9.

d) 7,3.

Respostas: a) $-0,5$ e 0,5; b) $-2,1$ e 2,1; c) $-5,9$ e 5,9; d) $-7,3$ e 7,3.

12. Analise os números indicados na reta numérica a seguir.

a) Entre os números destacados, qual apresenta a maior medida de distância até a origem?

Resposta: $-6,8$.

b) Explique para um colega como você obteve a resposta do item a.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes digam que obtiveram a resposta analisando qual dos números tem maior módulo.

13. Armando e seus amigos estão brincando de adivinhar números. Verifique o que eles estão dizendo.

Determine o número que Armando e seus amigos estão pensando.

Resposta: Armando: 2; Maria: 5; Pedro: $-25$.

Comparação de números racionais

Leonardo pesquisou na internet as medidas das temperaturas mínimas em algumas cidades em certo dia e as registrou em seu caderno.

Em seguida, ele organizou os valores obtidos em uma reta numérica.

Com o auxílio dela, podemos comparar as medidas de temperatura. Para isso, basta analisar a posição de um número em relação a outro. A seguir, apresentamos alguns exemplos.

• O número 23,5 está à direita de $-4$. Nesse caso, $23,5>-4$ (lê-se: vinte e três vírgula cinco é maior do que menos quatro). Portanto, $23,5°\mathrm{C}>-4°\mathrm{C}$.
• O número 19 está à esquerda de 21. Nesse caso, $19<21$ (lê-se: dezenove é menor do que vinte e um). Portanto, $19°\mathrm{C}<21°\mathrm{C}$.
• O número $-1,3$ está à direita de $-4$. Nesse caso, $-1,3>-4$ (lê-se: menos um vírgula três é maior do que menos quatro). Portanto, $-1,3°\mathrm{C}>-4°\mathrm{C}$.
• O número $-1,3$ está à esquerda de 21. Nesse caso, $-1,3<21$ (lê-se: menos um vírgula três é menor do que vinte e um). Portanto, $-1,3°\mathrm{C}<21°\mathrm{C}$.

Os números que estão à esquerda de um número qualquer na reta numérica são menores do que esse número. De maneira análoga, os números que estão à direita de um número qualquer na reta numérica são maiores do que esse número.

Questão 2. Qual número é maior: 2,3 ou $\frac{3}{2}$? Justifique sua resposta.

Resposta: 2,3. Sugestão de justificativa: 2,3 é maior do que $\frac{3}{2}$, pois $\frac{3}{2}=1,5$, e 1,5 está à esquerda de 2,3 na reta numérica.

Questão 3. Em seu caderno, escreva alguns números racionais, tanto positivos quanto negativos, nas formas fracionária e decimal. Em seguida, organize-os em ordem crescente.

Resposta pessoal.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

14. Copie os itens no caderno, substituindo cada $\text{█}$ pelo símbolo $>$ ou $<$.

a) $6,7\text{█}6$

b) $-5,4\mathrm{█}5,4$

c) $-9,8\mathrm{█}0$

d) $\frac{1}{3}\mathrm{█}0$

e) $-4,4\mathrm{█}\frac{12}{7}$

f) $0\mathrm{█}12,5$

Respostas: a) $6,7>6$; b) $-5,4<5,4$; c) $-9,8<0$; d) $\frac{1}{3}>0$; e) $-4,4<\frac{12}{7}$; f) $0<12,5$.

15. Escreva os números apresentados a seguir em ordem crescente.

• $-2$

• 1

• 0

• 4,5

• 2,5

• $-4,5$

• 2

• $-3,5$

Resposta: $-4,5<-3,5<-2<0<1<2<2,5<4,5$.

16. Márcia comparou os números $\frac{3}{2}$ e 0,8 da seguinte maneira.

Utilize o mesmo procedimento de Márcia e compare os números indicados em cada item.

a) $\frac{3}{2}$ e 0,8

b) $\frac{1}{2}$ e $0,7$

c) $-2,5$ e $-\frac{7}{2}$

d) $-1,6$ e $-\frac{4}{5}$

Respostas: a) $\frac{3}{2}>0,8$; b) $\frac{1}{2}<0,7$; c) $-2,5>-\frac{7}{2}$; d) $-1,6<-\frac{4}{5}$.

17. Em seu caderno, associe cada um dos números a uma letra da reta numérica.

Resposta: A: $-5,7$; B: $-\frac{12}{5}$; C: $-0,6$; D: $\frac{5}{2}$; E: 5,9.

Agora, escreva dois números racionais que estão entre B e D.

Resposta pessoal.

18. Rodrigo, Guilherme e Tobias estão disputando um jogo de corrida em um videogame. A medida do tempo gasto por eles para completar a última volta em uma das partidas está indicada a seguir.

Qual dos amigos fez a volta mais rápida?

Resposta: Guilherme.

19. O quadro apresenta a quantia poupada por Marcela mensalmente durante o ano de 2023.

Quantia poupada por Marcela em 2023

Mês	Jan.	Fev.	Mar.	Abr.	Maio	Jun.	Jul.	Ago.	Set.	Out.	Nov.	Dez.
Quantia (R$)	135,50	237,00	78,90	148,00	148,90	378,10	58,00	49,00	364,30	100,00	269,00	405,50

a) Em qual mês ela poupou a maior quantia? E em qual economizou a menor quantia?

Respostas: Em dezembro; em agosto.

b) A quantia poupada no mês de março foi maior, menor ou igual àquela economizada em dezembro?

Resposta: Menor.

c) Escreva as quantias poupadas por Marcela em ordem decrescente.

Resposta: R$ 405,50; R$ 378,10; R$ 364,30; R$ 269,00; R$ 237,00; R$ 148,90; R$ 148,00; R$ 135,50; R$ 100,00; R$ 78,90; R$ 58,00; R$ 49,00.

20. Duas equipes estão competindo em uma gincana escolar. A equipe A venceu $\frac{18}{45}$ das provas e a equipe B, venceu $\frac{3}{5}$. Qual delas ganhou mais provas?

Resposta: Equipe B.

21. Marcelo é vendedor em uma concessionária. Em certo dia, ele vendeu dois carros. O cliente 1 pagou $\frac{2}{5}$ do valor total do automóvel como entrada; já o cliente 2 pagou $\frac{3}{8}$ do valor. Sabendo que os dois veículos vendidos têm o mesmo valor, qual dos clientes pagou a maior quantia de entrada?

Resposta: Cliente 1.

22. Para um trabalho escolar, Marcos vai usar dois pedaços de barbantes: um vermelho e um azul. Analise o que Marcos está dizendo.

Sabendo que o comprimento total do barbante azul mede $82\text{m}$, qual dos pedaços terá a maior medida de comprimento?

Resposta: Barbante azul.