Página 43

UNIDADE

Ângulos

Fotografia. Duas meninas jogando Air Hockey. Há uma mesa lisa com desenhos circulares e as meninas seguram um suporte liso nas mãos que desliza sobre a mesa para tentar rebater um disco, que também desliza. Elas estão apoiadas em uma das mãos, enquanto disputam para acertar o disco. Há uma ilustração, em verde, indicando o ângulo formado pela trajetória do disco batendo na lateral da mesa. — Momento de disputa em uma mesa de Air Hockey, jogo no qual a principal estratégia de pontuação é o lançamento do disco em trajetórias angulares para desviá-lo do obstáculo do oponente.

Agora vamos estudar...

ângulos, seus elementos e algumas características;
bissetriz de um ângulo.

Página 44

Ângulos

Em anos anteriores, vimos que os ângulos podem ser identificados em diversas situações do cotidiano. A ideia de ângulo pode ser associada, por exemplo, a situações envolvendo giro em torno de um ponto fixo ou à inclinação em relação a um eixo.

Ângulo é uma figura geométrica formada por duas semirretas de mesma origem.

Em um ângulo, identificamos os seguintes elementos:

os lados $\vec{A B}$ e $\vec{A C}$ ;
o vértice A.

Indicamos esse ângulo por $\hat{A}$ , $B \hat{A} C$ ou $C \hat{A} B$ .

Ilustração de um ângulo demarcado entre duas semirretas, de mesma origem, marcada pelo ponto A, que é denominado 'vértice'. Em uma semirreta está marcado o ponto C e na outra o ponto B. As semirretas são denominadas 'lado' desse ângulo.

Questão 1. Em seu caderno, escreva algumas situações envolvendo objetos do cotidiano, nas quais podemos reconhecer a ideia de ângulo.

Utilizamos o grau $(°)$ como unidade de medida para medir o ângulo. O instrumento usado para medi-lo é o transferidor.

A seguir, apresentamos uma maneira de medir um ângulo utilizando um transferidor de $180 graus$ (meia volta).

Ilustração de um ângulo demarcado na menor abertura entre duas semirretas de mesma origem O, no centro de um transferidor de meia volta. Uma semirreta está alinhada com a demarcação do 0 grau e passa pelo ponto C, à direita do transferidor, e a outra com a demarcação de 75 graus, no sentido anti-horário, marcando o ponto A. Há a demarcação da linha que passa no ângulo 0 e para ela a seguinte indicação: 'linha de fé do transferidor coincide com um dos lados do ângulo'. E a demarcação no centro do transferidor com a frase 'centro do transferidor coincide com o vértice do ângulo'.

Atenção!

Para determinar qual medida do ângulo estamos considerando, indicamos um pequeno "arco". Nos casos em que não haja a indicação do "arco", vamos considerar a abertura de menor medida.

O ângulo $A \hat{O} C$ mede $75 graus$ (lê-se: sessenta e cinco graus). Podemos indicar essa medida por $medida do ângulo A O C igual a 75 graus$ ou $medida do ângulo O igual a 75 graus$ .

Ângulos cuja medida seja menor ou igual a $180 graus$ podem ser classificados em reto, agudo, raso ou obtuso.

Reto

Ângulo cuja medida é $90 graus$ . Podemos indicar o ângulo reto utilizando o símbolo .

Exemplo: $medida do ângulo A igual a 90 graus$ .

Raso

Ângulo cuja medida é $180 graus$ .

Exemplo: $medida do ângulo C igual a 180 graus$ .

Agudo

Ângulo cuja medida é maior do que $0 grau$ e menor do que $90 graus$ .

Exemplo: $medida do ângulo B igual a 48 graus$ .

Obtuso

Ângulo cuja medida é maior do que $90 graus$ e menor do que $180 graus$ .

Exemplo: $medida do ângulo D igual a 126 graus$ .

Página 45

Ângulos complementares e suplementares

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a $90 graus$ .

Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma possuindo o ponto C e a outra o ponto A, entre elas há uma semirreta, de mesma origem O, com o ponto B demarcado. Os ângulos são: C O B igual a 58 graus; e B O A igual a 32 graus.

Podemos calcular a medida do ângulo $A \hat{O} C$ da seguinte maneira:

$med (A \hat{O} C) = med (A \hat{O} B) + med (B \hat{O} C)$

$medida do ângulo A O C igual a 32 graus mais 58 graus$

$medida do ângulo A O C igual a 90 graus$

Assim, $A \hat{O} B$ e $B \hat{O} C$ são ângulos complementares. Desse modo, dizemos que $A \hat{O} B$ é o complemento de $B \hat{O} C$ , e vice-versa.

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a $180 graus$ .

Ilustração de uma reta passando pelos pontos N O L, entre ela há uma semirreta, de mesma origem O, passando pelo ponto M. Estão demarcados os dois ângulos sendo N O M igual a 45 graus, e M O L igual a 135 graus.

Calculamos a medida do ângulo $L \hat{O} N$ da seguinte maneira:

$med (L \hat{O} N) = med (L \hat{O} M) + med (M \hat{O} N)$

$medida do ângulo L O N igual a 135 graus mais 45 graus$

$medida do ângulo L O N igual a 180 graus$

Portanto, $L \hat{O} M$ e $M \hat{O} N$ são ângulos suplementares. Assim, podemos dizer que $L \hat{O} M$ é o suplemento de $M \hat{O} N$ , e vice-versa.

Ângulos opostos pelo vértice

Duas retas concorrentes formam dois pares de ângulos chamados opostos pelo vértice. Tais ângulos têm o vértice em comum. Por exemplo, na figura apresentada a seguir há dois pares de ângulos opostos pelo vértice.

$A \hat{O} B$ e $D \hat{O} C$
$B \hat{O} C$ e $A \hat{O} D$

Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Uma reta com os pontos A O C e a outra com os pontos B O D. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo A O D tem a mesma medida que o ângulo B O C. E o ângulo A O B tem a mesma medida de C O D.

Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, ou seja, são congruentes. Desse modo:

$med (A \hat{O} B) = med (D \hat{O} C)$ e $med (B \hat{O} C) = med (A \hat{O} D)$

Página 46

Construção dos ângulos

Analise como podemos construir alguns ângulos utilizando régua e compasso.

Instrumentos e softwares

Construção do ângulo cuja medida é $90 graus$

Para construir um ângulo de $90 graus$ , dada uma reta r e os pontos A e B sobre ela, podemos traçar uma reta perpendicular à reta r.

1º. Com a régua, trace uma reta r, indicando os pontos A e B sobre ela.

Ilustração de um lápis demarcando uma reta r, com os pontos A e B sobre ela, distanciados.

2º. Com a ponta-seca do compasso em A e abertura maior do que a metade da medida do comprimento de $\overline{A B}$ , trace um arco, como na imagem.

Ilustração de uma reta r, com os pontos A, B e ao meio, há um arco feito por um compasso com a ponta seca no ponto A e abertura menor que a distância de A até B.

3º. Repita os procedimentos apresentados no 2º passo, porém, com a ponta-seca do compasso em B, mantendo a mesma abertura, de modo que os arcos se cruzem em dois pontos: C e D.

Ilustração de uma reta r, com os pontos A e B pertencentes à ela e dois pontos, C e D, entre os pontos A e B, com C acima da reta e D abaixo. Há dois arcos passando pelos pontos C e D, feitos com o compasso, com a ponta seca em A e depois em B.

4º. Com a régua, trace a reta $C D$ .

5º. Por fim, marque o ponto O na interseção das duas retas. Os quatro ângulos obtidos são retos, ou seja, medem $90 graus$ : $A \hat{O} C$ , $B \hat{O} C$ , $A \hat{O} D$ e $B \hat{O} D$ .

Ilustração igual à anterior com uma reta desenhada com a régua e, perpendicular à reta r, passando pelo ponto C, pelo ponto O, que está na intersecção entre as duas retas e pelo ponto D.

Página 47

Instrumentos e softwares

Construção do ângulo cuja medida é $60 graus$

Dada uma reta s, verifique um procedimento que podemos utilizar para construir um ângulo de $60 graus$ .

1º. Com a régua, trace uma reta s e marque um ponto O sobre ela.

2º. Com a ponta-seca do compasso em O e abertura qualquer, trace dois arcos para determinar os pontos A e B equidistantes de O.

Ilustração de uma reta s, com os pontos A, B e O no meio deles. Há um compasso com a ponta seca no ponto em O, formando um pequeno arco no ponto A e outro pequeno arco no ponto B.

3º. Mantendo a abertura do compasso igual à medida do comprimento de $\overline{A B}$ , trace um arco com a ponta-seca do compasso em A.

Ilustração de uma reta s, com os pontos A, B e O no meio deles. Há um arco cruzando com a reta no ponto B e um compasso com a ponta seca em A.

4º. Repita os procedimentos apresentados no 3º passo, porém, com a ponta-seca em B, mantendo a mesma abertura. Marque o ponto C na interseção deles.

Ilustração de uma reta s, com os pontos A, B e O no meio deles. Há um arco cruzando com a reta no ponto B e um compasso com a ponta seca neste ponto, formando outro arco que cruza a reta no ponto A. Os dois arcos se cruzam no ponto C.

5º. Com a régua, trace a semirreta $A C$ .

Ilustração de uma reta s, com os pontos A, B e O no meio deles. Há um arco cruzando com a reta no ponto B e outro cruzando a reta no ponto A. Os dois arcos se cruzam no ponto C. Também há um lápis traçando uma semirreta de A à C, com o auxílio de uma régua.

6º. Após esses procedimentos, obtém-se o ângulo $B \hat{A} C$ , cuja medida é $60 graus$ .

Ilustração de uma reta com os pontos A, B e O no meio deles. Há um arco cruzando com a reta no ponto B e outro cruzando a reta no ponto A. Os dois arcos se cruzam no ponto C. Também há uma semirreta partindo do ponto A e passando pelo ponto C, que faz 60 graus com a reta existente.

Atenção!

No 4º passo, se traçarmos o segmento $B C$ , construiremos o triângulo $A B C$ , que é equilátero por construção, pois $\overline{A B}$ , $\overline{A C}$ e $\overline{B C}$ têm a mesma medida de comprimento e, por ser um polígono regular de 3 lados, a medida de cada um de seus ângulos internos é $início de fração, numerador: 180 graus, denominador: 3, fim de fração igual a 60 graus$ .

Página 48

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Com um transferidor, meça cada ângulo a seguir e classifique-os em reto, raso, agudo ou obtuso.

Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto A e outra possui o ponto B. O ângulo tem medida de 80 graus.

Ilustração de um ângulo com medida 90 graus entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto E, e outra possui o ponto F.

Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto C e outra possui o ponto D. O ângulo tem medida de 150 graus.

Ilustração de um ângulo de 180 graus entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto M e outra possui o ponto N.

2. Com um transferidor, meça os ângulos apresentados e, depois, escreva no caderno a medida do complemento e do suplemento de cada um deles.

Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto A e outra possui o ponto B. O ângulo tem medida 55 graus.

Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto C e outra possui o ponto D. O ângulo tem medida 25 graus.

Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto E, e outra possui o ponto F. O ângulo tem medida 75 graus.

Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto E, e outra possui o ponto F. O ângulo tem medida 40 graus.

3. Analise as medidas dos ângulos a seguir.

Ilustração de um ângulo com medida de 95 graus.

Ilustração de um ângulo com medida de 27 graus.

Ilustração de um ângulo com medida de 139 graus.

Ilustração de um ângulo com medida de 85 graus.

Ilustração de um ângulo com medida de 18 graus.

Ilustração de um ângulo com medida de 63 graus.

Ilustração de um ângulo com medida de 72 graus.

Ilustração de um ângulo com medida de 41 graus.

No caderno, escreva os pares de ângulos:

a) complementares;

b) suplementares.

Página 49

4. Na imagem estão representados os ângulos suplementares $D \hat{A} C$ e $B \hat{A} D$ .

Ilustração de uma reta passando pelos pontos C e B, com o ponto A entre eles e desse ponto parte uma semirreta que contém o ponto D. O ângulo C A D mede 8 x mais 3 graus e o ângulo D A B mede 9 x mais 24 graus.

Como os ângulos são suplementares, então $medida do ângulo D A C mais medida do ângulo B A D igual a 180 graus$ . Logo, podemos determinar o valor de $x$ resolvendo a seguinte equação:

$8 x mais 3 graus mais 9 x mais 24 graus igual a 180 graus. está indicado que 8 x mais 3 graus corresponde a ângulo D A C e que 9 x mais 24 graus corresponde a ângulo b a d$

$8 x mais 9 x mais 3 graus mais 24 graus igual a 180 graus$

$17 x mais 27 graus igual a 180 graus$

$17 x mais 27 graus menos 27 graus igual a 180 graus menos 27 graus$

$17 x igual a 153 graus$

$início de fração, numerador: 17 x, denominador: 17, fim de fração igual a numerador 153 graus, denominador: 17, fim de fração$

$x igual a 9 graus$

Para obter as medidas de $D \hat{A} C$ e $B \hat{A} D$ , substituímos o valor obtido para x em cada uma das expressões que representam essas medidas.

$medida do ângulo D A C igual a 8 x mais 3 graus$

$medida do ângulo D A C igual a 8 vezes 9 graus mais 3 graus igual a 75 graus$

$medida do ângulo B A D igual a 9 x mais 24 graus$

$medida do ângulo B A D igual a 9 vezes 9 graus mais 24 graus igual a 105 graus$

Determine a medida dos ângulos $D \hat{A} C$ e $B \hat{A} D$ indicados em cada item, sabendo que os pontos A, B e C pertencem a uma mesma reta.

Ilustração de uma reta passando pelos pontos C e B, com o ponto A entre eles e desse ponto parte uma semirreta que contém o ponto D. O ângulo C A D mede 11 x menos 21 graus e o ângulo D A B mede 2 x mais 6 graus.

Ilustração de uma reta passando pelos pontos C e B, com o ponto A entre eles e desse ponto parte uma semirreta que contém o ponto E. Entre as semirretas que passam pelos pontos E e pelo ponto B há outra contendo o ponto D. O ângulo C A E mede 90 graus, o ângulo E A D mede 8 x menos 5 graus e o ângulo D A B mede 29 graus menos 2 x.

Ilustração de uma reta passando pelos pontos C e B, com o ponto O entre eles e desse ponto parte uma semirreta que contém o ponto E. Entre as semirretas que passam pelos pontos E e pelos ponto B há outra contendo o ponto D. O ângulo C A E mede 3 x mais 3 graus, o ângulo E A D mede 90 graus e o ângulo D A B mede 8 x menos 1 graus.

5. De acordo com as figuras em cada item, escreva no caderno as medidas dos ângulos representados pelas letras.

Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Uma reta passa pelos pontos A O B e a outra passa pelos pontos C O D. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo A O C indicado por r, é oposto pelo vértice ao ângulo D O B, indicado por p. O ângulo A O D, com medida igual a 68 graus, é oposto pelo vértice ao ângulo C O B, indicado por q.

Ilustração de três retas que se cruzam no mesmo ponto. Uma reta horizontal com os pontos F O A, perpendicular à reta com os pontos C O D, entre elas, uma reta oblíqua passando pelo mesmo ponto de interseção das outras duas, essa reta contem os pontos E O B. Do cruzamento das retas D O C e A O A com a reta B O E, destaca-se os ângulos formados: C O B com medida t, B O A com medida de 54 graus, F O E com medida v, e, E O D com medida u.

Ilustração de uma reta na horizontal passando pelos pontos E, A, B, e G. Há uma reta contendo os pontos C, A e F, que intersecta a reta horizontal no ponto A de maneira oblíqua e outra reta contendo os pontos D e B, que corta a reta horizontal no ponto B também de maneira oblíqua. Os respectivos ângulos formados estão demarcados. O ângulo E A F indicado por g, o ângulo E A C, com medida igual a 116 graus, o ângulo C A B indicado por f. O ângulo A B D, indicado por h e o ângulo D B G, com medida igual a 80 graus.

Página 50

6. Nos itens a seguir, obtenha o valor de x e determine a medida dos ângulos representados pelas expressões algébricas.

Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo 3 x mais 17 graus e o ângulo 6 x menos 4 graus são opostos pelo vértice.

Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo 3 x mais 5 graus e o ângulo 193 graus menos x são opostos pelo vértice.

7. Os ângulos $A \hat{O} B$ e $C \hat{O} B$ são suplementares e a medida de $C \hat{O} B$ é o dobro da medida de $A \hat{O} B$ . Determine a medida do complementar de $A \hat{O} B$ .

8. Utilizando um transferidor, construa no caderno um ângulo com medida de $140 graus$ . Para isso, desenhe ângulos adjacentes cuja medida de cada um seja igual a $70 graus$ e, em seguida, resolva os itens.

Atenção!

Quando dois ângulos têm um lado em comum e as regiões determinadas por eles não têm pontos em comum, dizemos que eles são adjacentes.

a) Escreva no caderno as etapas dessa construção.

b) Construa um ângulo de $160 graus$ , utilizando essas mesmas estratégias.

9. Na figura a seguir, os ângulos $B \hat{A} C$ e $C \hat{A} D$ são suplementares e $C \hat{A} D$ é agudo.

Ilustração de uma reta passando pelos pontos D e B, com o ponto A entre eles e desse ponto parte uma semirreta que contém o ponto C. O ângulo D A C tem medida menor do que 90 graus e o ângulo C A B tem medida maior do que 90 graus. O ângulo D A C mais o ângulo C A B somam a medida de 180 graus.

Utilizando essas informações, elabore um problema e troque-o com um colega. Você resolverá o dele, e ele, o seu. Depois, verifiquem se as respostas estão corretas.

10. Os ângulos $M \hat{O} P$ e $N \hat{O} P$ são suplementares e a diferença entre suas medidas é de $30 graus$ . Calcule no caderno a medida de $M \hat{O} P$ e $N \hat{O} P$ , sabendo que $N \hat{O} P$ é agudo.

11. Analise os modelos de esquadros a seguir.

Ilustração de um esquadro, com seus ângulos internos medindo 30 graus, 60 graus e 90 graus. — Esquadro de $60 graus$ .

Ilustração de um esquadro, com seus ângulos internos medindo 45 graus, 90 graus e 45 graus. — Esquadro de $45 graus$ .

Verifique como Marília representou um ângulo com medida de $135 graus$ .

Ilustração de dois esquadros, um acima do outro. O de cima, com seus ângulos internos medindo 30 graus, 90 graus e 60 graus; o debaixo com seus ângulos internos medindo 45 graus, 90 graus e 45 graus. Eles estão encostados de maneira que o esquadro de cima, esteja alinhado no ângulo de 90 graus com o ângulo de 45 graus do esquadro debaixo.

Utilizando esse par de esquadros, represente no caderno ângulos com medidas de:

a) $75 graus$ .

b) $120 graus$ .

c) $150 graus$ .

d) $180 graus$ .

Versão adaptada acessível

Descreva como devemos posicionar esse par de esquadros para representar um ângulo com medida de:

a) 75°.

b) 120°.

c) 150°.

d) 180°.

Página 51

Bissetriz de um ângulo

Uma professora de Matemática pediu aos estudantes do 8º ano que construíssem em uma folha de papel, um ângulo medindo $72 graus$ . Em seguida, orientou-os a recortar o ângulo e dobrá-lo ao meio, conforme representado a seguir.

Ilustração de uma folha de papel com uma dobradura. Uma seta indica uma nova dobradura a partir da ilustração anterior, são 4 etapas. No início, não há dobradura, a folha tem um ângulo e uma tesoura aparece indicando que o ângulo será cortado. Seta para direita indicada outra figura. A folha de papel cortada com o ângulo indicado e uma seta curva indicando o sentido da dobra. Seta para direita. O lado esquerdo da folha dobrado de cima para baixo, na diagonal. Seta aponta para outra imagem: a marca dessa dobra aparece exatamente no meio do ângulo, separando o ângulo em dois ângulos iguais.

Ao desdobrar a folha, o ângulo ficou dividido ao meio pela marca da dobra. Cada uma das partes obtidas mede $36 graus$ , pois $72 dividido por 2 igual a 36$ . Nesse caso, a marca do vinco está sobre a bissetriz do ângulo.

A bissetriz de um ângulo é uma semirreta, com origem no vértice, que o divide em dois ângulos congruentes. Na imagem, a semirreta $O E$ é a bissetriz do ângulo $A \hat{O} B$ .

Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma possuindo o ponto B e a outra o ponto A, entre elas há uma semirreta, de mesma origem O, com o ponto E demarcado, dividindo o ângulo B O A em dois ângulos iguais.

Instrumentos e softwares

Construção da bissetriz de um ângulo

Execute o passo a passo a seguir para construir a bissetriz de um ângulo usando régua e compasso.

1º. Com a régua, trace um ângulo $A \hat{O} B$ de medida qualquer.

Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma contendo o ponto A e a outra contendo o ponto B. O menor ângulo formado entre elas está demarcado.

2º. Depois, com a ponta-seca do compasso em O e abertura qualquer, trace um arco determinando um ponto C em $\vec{O A}$ e um ponto D em $\vec{O B}$ .

Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma contendo os pontos D e B e a outra os C e A. Há um compasso com a ponta seca em O, traçando um arco que passa pelos pontos D e C.

Página 52

3º. Com a ponta-seca do compasso em C e abertura maior do que a metade da medida do comprimento de $\overline{C D}$ , trace um arco, como na imagem.

Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma contendo os pontos D e B e a outra os C e A, como na ilustração anterior, com um arco passando pelos pontos D e C. Há um compasso com a ponta seca em C, marcando outro arco à frente, entre os pontos A e B.

4º. Mantendo a abertura anterior, trace um arco como na imagem com a ponta-seca em D. Marque o ponto E na interseção dos arcos.

Ilustração com a mesma construção da ilustração anterior. Há dois arcos que se cruzam formando um X na região interna do ângulo, formando o ponto E. Há um compasso com a ponta-seca em D, e a outra ponta no final de um dos arcos.

5º. Com a régua, trace a semirreta $O E$ .

Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma contendo os pontos D e B e a outra os C e A. Entre estas duas semirretas há o ponto E. Há um arco passando pelos pontos D e C, e outros dois pequenos arcos cruzando entre si no ponto E. Também há um lápis traçando um segmento de reta que começa em O e passa por E, com o auxílio de uma régua.

6º. A semirreta $O E$ traçada no passo anterior é a bissetriz do ângulo $A \hat{O} B$ .

Atividades

Faça as atividades no caderno.

12. Na figura a seguir, a semirreta $O B$ é bissetriz do ângulo $A \hat{O} C$ e a semirreta $O D$ é bissetriz do ângulo $C \hat{O} E$ .

Ilustração de um ângulo A O E, do ponto O partem 3 semirretas, cada uma contendo um dos pontos: B, C, D. O ângulo B O C mede 41 graus e o ângulo D O E mede 32 graus.

De acordo com essas informações, calcule as medidas dos ângulos:

a) $A \hat{O} C$ .

b) $B \hat{O} D$ .

c) $C \hat{O} E$ .

d) $A \hat{O} E$ .

Página 53

13. Junte-se a um colega e, utilizando um transferidor, construam no caderno os ângulos cujas medidas estão indicadas em cada item. Em seguida, tracem a bissetriz de cada um deles.

a) $medida do ângulo A O B igual a 48 graus$ .

b) $medida do ângulo C O D igual a 76 graus$ .

c) $medida do ângulo P O Q igual a 34 graus$ .

14. Determine a medida do ângulo $A \hat{O} B$ em cada item, sabendo que a semirreta $O C$ é a bissetriz dele.

Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma passando pelo ponto B e a outra o ponto A, entre estas duas semirretas, há outra partindo da mesma origem O, passando pelo ponto C. O ângulo B O C mede 45 graus.

Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma passando pelo ponto B e a outra pelo ponto A, entre estas duas semirretas, há outra partindo da mesma origem O, passando pelo ponto C. O ângulo C O A mede 38 graus.

15. No futebol, o bom treinamento do goleiro é fundamental para que o time obtenha resultados positivos. Esse treino consiste não somente no condicionamento físico, mas também na aprendizagem de técnicas, como ficar posicionado sobre a bissetriz imaginária do ângulo formado entre a bola e as traves, conforme o esquema a seguir.

Ilustração de um goleiro, bem ao centro do gol. Em sua frente, há um jogador que se prepara para chutar a bola. Há dois ângulos iguais, com seus lados formados: um pela distância do jogador com o goleiro e os outros 2 pela distância do jogador até uma das traves laterais do gol. Há um ângulo de cada lado.

a) Em sua opinião, qual é a vantagem de o goleiro se posicionar dessa maneira diante do jogador?

b) No esquema, suponha que a medida do ângulo indicado em vermelho seja $18 graus$ . Nesse caso, qual é a medida do ângulo indicado em azul?

Página 54

16. Márcia traçou uma linha verde no caderno e construiu um ângulo de medida $52 graus$ com base nela. Em seguida, ela representou um ângulo simétrico a ele, em relação à linha verde.

Ilustração de um caderno pautado, com um ângulo agudo desenhado. Uma de suas semirretas está destacada de verde.

a) Qual é a medida do ângulo simétrico em relação à linha verde que Márcia desenhou?

b) Qual é a soma das medidas desses ângulos?

c) Podemos dizer que a linha verde é a bissetriz do ângulo formado? Por quê?

17. Calcule no caderno o valor de $x$ para que a semirreta $O E$ seja a bissetriz do ângulo $A \hat{O} B$ a seguir.

18. (OBM-2002) Dado um triângulo $A B C$ , em que $medida do ângulo A igual a 80 graus$ e $ângulo C igual a 40 graus$ , a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos ângulos $\hat{A}$ e $\hat{B}$ é:

a) $40 graus$

b) $60 graus$

c) $70 graus$

d) $80 graus$

e) $110 graus$

19. A semirreta $O F$ é bissetriz do ângulo $C \hat{O} D$ .

Efetue os cálculos no caderno para obter o valor de $x$ e a medida do ângulo $C \hat{O} D$ .

20. No triângulo a seguir, a semirreta $C D$ está contida na bissetriz do ângulo $A \hat{C} B$ .

Ilustração de um triângulo retângulo B A C com ângulo reto em A. Está traçada uma semirreta com origem em C e passa por D, sobre o lado A B do triângulo. Estão destacados os ângulos A que mede x, B C D de medida 2 x menos 5 graus e D C A com medida igual a x mais 15 graus.

Determine as medidas dos ângulos $A \hat{B} C$ e $A \hat{C} B$ .

21. Na representação dos ângulos a seguir, a semirreta $O B$ é bissetriz do ângulo $A \hat{O} C$ e a semirreta $O C$ é bissetriz do ângulo $A \hat{O} D$ .

Ilustração com o ponto O e desse ponto partem 4 semirretas, cada uma contendo um dos pontos: A, B, C e D. O ângulo B O C mede 23 graus e os outros ângulos não estão indicados.

Qual é a medida do ângulo $B \hat{O} D$ ?

Página 55

22. Na representação dos ângulos a seguir, a semirreta $Q S$ é bissetriz do ângulo $R \hat{Q} T$ e a semirreta $Q T$ é bissetriz do ângulo $S \hat{Q} U$ .

Ilustração com o ponto Q e desse ponto partem 4 semirretas, cada uma contendo um dos pontos: R, S, T e U, nessa ordem, formando três ângulos e cada um indicado por uma cor.

O que se pode afirmar sobre:

a) $med (R \hat{Q} S)$ em relação a $med (T \hat{Q} U)$ ?

b) $med (R \hat{Q} S)$ em relação a $med (S \hat{Q} U)$ ?

c) $med (R \hat{Q} S)$ em relação a $med (R \hat{Q} U)$ ?

23. No triângulo a seguir, o ângulo $B \hat{A} C$ mede $30 graus$ e o segmento de reta $C D$ está contido na bissetriz de $A \hat{C} B$ .

Ilustração de um triângulo retângulo A B C com ângulo reto em B. Está traçado um segmento que parte do vértice C até o ponto D, que está sobre o lado A B do triângulo. Estão destacados os ângulos A, A D C, e C.

Qual é a medida do ângulo $A \hat{D} C$ indicado?

24. Qual é a medida do menor ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos $A \hat{O} B$ e $C \hat{O} D$ ?

Ilustração de uma reta passando pelos pontos A e D, com o ponto O entre eles e desse ponto partem 2 semirretas, cada uma contendo um dos pontos: B e C. O ângulo A O B mede 51 graus e o ângulo C O D mede 45 graus.

25. (Obmep-2010) Na figura dada, $A \hat{O} D$ e $B \hat{O} Y$ são ângulos retos e a medida de $D \hat{O} Y$ está entre $40 graus$ e $50 graus$ . Além disso, os pontos C e Y estão sobre a reta r, enquanto D e E estão sobre a reta s.

Ilustração de duas retas: r e s, que se cruzam em um ponto O. A reta r passa pelos pontos C e Y e a reta s, passa por E, e, D. Entre os pontos C e D, parte uma semireta contendo o ponto A e origem O e entre E, e, Y, uma semirreta contendo B e de origem O.

O possível valor para a medida de $A \hat{O} C$ está entre:

a) $30 graus$ e $40 graus$ .

b) $40 graus$ e $50 graus$ .

c) $50 graus$ e $60 graus$ .

d) $40 graus$ e $60 graus$ .

e) não pode ser determinado.

26. Nas páginas 46 e 47, aprendemos a construir ângulos retos e de $60 graus$ utilizando régua e compasso. Em seu caderno, escreva quais procedimentos você faria para construir, usando régua e compasso, ângulos cujas medidas sejam 45° e 30°. Agora, usando régua, compasso e os procedimentos que você escreveu, construa no caderno os ângulos de medida:

a) $30 graus$ .

b) $45 graus$ .

Versão adaptada acessível

26. Nas páginas 46 e 47, aprendemos a construir ângulos retos e de 60° utilizando régua e compasso. Junte-se a um colega e escrevam quais procedimentos vocês fariam para construir, usando régua e compasso, ângulos cujas medidas sejam 45° e 30°. Agora, usando régua, compasso e os procedimentos que vocês escreveram, construam os ângulos de medida:

a) 30°.

b) 45°.

27. (Obmep-2011) Na figura a seguir, temos dois triângulos, $A B C$ e $A D C$ , tais que $A B = A D$ e $C B = C D = C A$ .

Ilustração de dois triângulos ABC e ACD. Os triângulos são iguais e simétricos, estão encostados com o lado em comum AC, de modo a formar uma figura que se assemelha a uma asa delta, com a ponta em A.

Sabendo que $medida do ângulo c b a igual a 25 graus$ , determine a medida do ângulo $B \hat{C} D$ .

Página 56

O que eu estudei?

Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.

1. Determine as medidas dos ângulos complementar e suplementar dos ângulos representados em cada item.

2. Sabendo que os pontos A, O e B pertencem a uma mesma reta, calcule em uma folha de papel avulsa a medida do ângulo:

a) $A \hat{O} C$

Ilustração de uma reta passando pelos pontos B e A, com o ponto O entre eles e desse ponto parte uma semirreta que contém o ponto C. O ângulo B O C mede 41 graus, o ângulo C O A é suplementar a ele.

b) $A \hat{O} D$

Ilustração de uma reta, passando pelos pontos B O A com uma semirreta com origem em O, passando por C, e outra semirreta com origem em O passando por D. Está demarcado que o ângulo C O D é reto. E está demarcado outros dois ângulos complementares, que são: B O C igual a 24 graus; e D O A, sem indicação.

3. Sabendo que os pontos A, B e O pertencem a uma mesma reta, determine em uma folha de papel avulsa a medida dos ângulos indicados em cada figura.

Ilustração de uma reta, passando pelos pontos B O A com uma semirreta com origem O, e do ponto O surgem 3 semirretas, cada uma contendo um dos pontos: E, D, C. O ângulo B O E mede 2 x graus, o ângulo E O D mede 3 x menos 14 graus, o ângulo D O C mede x mais 12 graus e o ângulo C O A mede x graus.

Ilustração de uma reta, passando pelos pontos B O A com uma semirreta com origem O, passando por D, e outra semirreta com origem O passando por C. Está demarcado que o ângulo B O D é reto. E está demarcado outros dois ângulos complementares, que são: D O C igual a 17 x mais 3 graus; e C O A igual a 5 x menos 1 grau.

4. Determine a medida de cada ângulo indicado nos itens a seguir.

Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo 8 x mais 7 graus e o ângulo 10 x menos 25 graus são opostos pelo vértice.

Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo 9 x mais 2 graus e o ângulo 47 graus menos 6 x são opostos pelo vértice.