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UNIDADE
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Ângulos
![Fotografia. Duas meninas jogando Air Hockey. Há uma mesa lisa com desenhos circulares e as meninas seguram um suporte liso nas mãos que desliza sobre a mesa para tentar rebater um disco, que também desliza. Elas estão apoiadas em uma das mãos, enquanto disputam para acertar o disco. Há uma ilustração, em verde, indicando o ângulo formado pela trajetória do disco batendo na lateral da mesa.](../resources/images/un3/fa1083_8mdm_g24_e001.png)
Agora vamos estudar...
- ângulos, seus elementos e algumas características;
- bissetriz de um ângulo.
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Ângulos
Em anos anteriores, vimos que os ângulos podem ser identificados em diversas situações do cotidiano. A ideia de ângulo pode ser associada, por exemplo, a situações envolvendo giro em torno de um ponto fixo ou à inclinação em relação a um eixo.
Ângulo é uma figura geométrica formada por duas semirretas de mesma origem.
Em um ângulo, identificamos os seguintes elementos:
- os lados e ;
- o vértice A.
Indicamos esse ângulo por , ou .
![Ilustração de um ângulo demarcado entre duas semirretas, de mesma origem, marcada pelo ponto A, que é denominado 'vértice'. Em uma semirreta está marcado o ponto C e na outra o ponto B. As semirretas são denominadas 'lado' desse ângulo.](../resources/images/un3/it1001rm_8mdm_g24_e001.png)
Questão 1. Em seu caderno, escreva algumas situações envolvendo objetos do cotidiano, nas quais podemos reconhecer a ideia de ângulo.
Utilizamos o grau como unidade de medida para medir o ângulo. O instrumento usado para medi-lo é o transferidor.
A seguir, apresentamos uma maneira de medir um ângulo utilizando um transferidor de (meia volta).
![Ilustração de um ângulo demarcado na menor abertura entre duas semirretas de mesma origem O, no centro de um transferidor de meia volta. Uma semirreta está alinhada com a demarcação do 0 grau e passa pelo ponto C, à direita do transferidor, e a outra com a demarcação de 75 graus, no sentido anti-horário, marcando o ponto A. Há a demarcação da linha que passa no ângulo 0 e para ela a seguinte indicação: 'linha de fé do transferidor coincide com um dos lados do ângulo'. E a demarcação no centro do transferidor com a frase 'centro do transferidor coincide com o vértice do ângulo'.](../resources/images/un3/i1084jc_8mdm_g24_e001.png)
Atenção!
Para determinar qual medida do ângulo estamos considerando, indicamos um pequeno "arco". Nos casos em que não haja a indicação do "arco", vamos considerar a abertura de menor medida.
O ângulo mede (lê-se: sessenta e cinco graus). Podemos indicar essa medida por ou .
Ângulos cuja medida seja menor ou igual a podem ser classificados em reto, agudo, raso ou obtuso.
Reto
Ângulo cuja medida é . Podemos indicar o ângulo reto utilizando o
símbolo .
Exemplo: .
Raso
Ângulo cuja medida é .
Exemplo: .
Agudo
Ângulo cuja medida é maior do que e menor do que .
Exemplo: .
Obtuso
Ângulo cuja medida é maior do que e menor do que .
Exemplo: .
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Ângulos complementares e suplementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a .
![Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma possuindo o ponto C e a outra o ponto A, entre elas há uma semirreta, de mesma origem O, com o ponto B demarcado. Os ângulos são: C O B igual a 58 graus; e B O A igual a 32 graus.](../resources/images/un3/it1007rm_8mdm_g24_e001.png)
Podemos calcular a medida do ângulo da seguinte maneira:
Assim, e são ângulos complementares. Desse modo, dizemos que é o complemento de , e vice-versa.
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a .
![Ilustração de uma reta passando pelos pontos N O L, entre ela há uma semirreta, de mesma origem O, passando pelo ponto M. Estão demarcados os dois ângulos sendo N O M igual a 45 graus, e M O L igual a 135 graus.](../resources/images/un3/it1008rm_8mdm_g24_e001.png)
Calculamos a medida do ângulo da seguinte maneira:
Portanto, e são ângulos suplementares. Assim, podemos dizer que é o suplemento de , e vice-versa.
Ângulos opostos pelo vértice
Duas retas concorrentes formam dois pares de ângulos chamados opostos pelo vértice. Tais ângulos têm o vértice em comum. Por exemplo, na figura apresentada a seguir há dois pares de ângulos opostos pelo vértice.
- e
- e
![Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Uma reta com os pontos A O C e a outra com os pontos B O D. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo A O D tem a mesma medida que o ângulo B O C. E o ângulo A O B tem a mesma medida de C O D.](../resources/images/un3/it1009rm_8mdm_g24_e001.png)
Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, ou seja, são congruentes. Desse modo:
e
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Construção dos ângulos
Analise como podemos construir alguns ângulos utilizando régua e compasso.
Instrumentos e softwares
Construção do ângulo cuja medida é
Para construir um ângulo de , dada uma reta r e os pontos A e B sobre ela, podemos traçar uma reta perpendicular à reta r.
1º. Com a régua, trace uma reta r, indicando os pontos A e B sobre ela.
![Ilustração de um lápis demarcando uma reta r, com os pontos A e B sobre ela, distanciados.](../resources/images/un3/i1012zz_8mdm_g24_e001.png)
2º. Com a ponta-seca do compasso em A e abertura maior do que a metade da medida do comprimento de , trace um arco, como na imagem.
![Ilustração de uma reta r, com os pontos A, B e ao meio, há um arco feito por um compasso com a ponta seca no ponto A e abertura menor que a distância de A até B.](../resources/images/un3/i1013zz_8mdm_g24_e001.png)
3º. Repita os procedimentos apresentados no 2º passo, porém, com a ponta-seca do compasso em B, mantendo a mesma abertura, de modo que os arcos se cruzem em dois pontos: C e D.
![Ilustração de uma reta r, com os pontos A e B pertencentes à ela e dois pontos, C e D, entre os pontos A e B, com C acima da reta e D abaixo. Há dois arcos passando pelos pontos C e D, feitos com o compasso, com a ponta seca em A e depois em B.](../resources/images/un3/i1076gu_8mdm_g24_e001.png)
4º. Com a régua, trace a reta .
![Ilustração de uma reta r, com os pontos A e B pertencentes à ela e dois pontos, C e D, entre os pontos A e B, com C acima da reta e D abaixo. Há dois arcos passando pelos pontos C e D, um lápis com o auxílio de uma régua perpendicular à reta, r, fazendo um traço que passa em C e D.](../resources/images/un3/i1014zz_8mdm_g24_e001.png)
5º. Por fim, marque o ponto O na interseção das duas retas. Os quatro ângulos obtidos são retos, ou seja, medem : , , e .
![Ilustração igual à anterior com uma reta desenhada com a régua e, perpendicular à reta r, passando pelo ponto C, pelo ponto O, que está na intersecção entre as duas retas e pelo ponto D.](../resources/images/un3/i1077gu_8mdm_g24_e001.png)
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Instrumentos e softwares
Construção do ângulo cuja medida é
Dada uma reta s, verifique um procedimento que podemos utilizar para construir um ângulo de .
1º. Com a régua, trace uma reta s e marque um ponto O sobre ela.
2º. Com a ponta-seca do compasso em O e abertura qualquer, trace dois arcos para determinar os pontos A e B equidistantes de O.
![Ilustração de uma reta s, com os pontos A, B e O no meio deles. Há um compasso com a ponta seca no ponto em O, formando um pequeno arco no ponto A e outro pequeno arco no ponto B.](../resources/images/un3/i1015zz_8mdm_g24_e001.png)
3º. Mantendo a abertura do compasso igual à medida do comprimento de , trace um arco com a ponta-seca do compasso em A.
![Ilustração de uma reta s, com os pontos A, B e O no meio deles. Há um arco cruzando com a reta no ponto B e um compasso com a ponta seca em A.](../resources/images/un3/i1016zz_8mdm_g24_e001.png)
4º. Repita os procedimentos apresentados no 3º passo, porém, com a ponta-seca em B, mantendo a mesma abertura. Marque o ponto C na interseção deles.
![Ilustração de uma reta s, com os pontos A, B e O no meio deles. Há um arco cruzando com a reta no ponto B e um compasso com a ponta seca neste ponto, formando outro arco que cruza a reta no ponto A. Os dois arcos se cruzam no ponto C.](../resources/images/un3/i1078zz_8mdm_g24_e001.png)
5º. Com a régua, trace a semirreta .
![Ilustração de uma reta s, com os pontos A, B e O no meio deles. Há um arco cruzando com a reta no ponto B e outro cruzando a reta no ponto A. Os dois arcos se cruzam no ponto C. Também há um lápis traçando uma semirreta de A à C, com o auxílio de uma régua.](../resources/images/un3/i1017zz_8mdm_g24_e001.png)
6º. Após esses procedimentos, obtém-se o ângulo , cuja medida é .
![Ilustração de uma reta com os pontos A, B e O no meio deles. Há um arco cruzando com a reta no ponto B e outro cruzando a reta no ponto A. Os dois arcos se cruzam no ponto C. Também há uma semirreta partindo do ponto A e passando pelo ponto C, que faz 60 graus com a reta existente.](../resources/images/un3/i1079gu_8mdm_g24_e001.png)
Atenção!
No 4º passo, se traçarmos o segmento , construiremos o triângulo , que é equilátero por construção, pois , e têm a mesma medida de comprimento e, por ser um polígono regular de 3 lados, a medida de cada um de seus ângulos internos é .
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Atividades
Faça as atividades no caderno.
1.
Com um
transferidor, meça cada ângulo a seguir e classifique-os em reto, raso, agudo
ou obtuso.
![Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto A e outra possui o ponto B. O ângulo tem medida de 80 graus.](../resources/images/un3/it1021rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo com medida 90 graus entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto E, e outra possui o ponto F.](../resources/images/un3/it1023rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto C e outra possui o ponto D. O ângulo tem medida de 150 graus.](../resources/images/un3/it1022rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo de 180 graus entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto M e outra possui o ponto N.](../resources/images/un3/it1024rm_8mdm_g24_e001.png)
2.
Com um transferidor, meça os ângulos apresentados e, depois, escreva no caderno a
medida do complemento e do suplemento de cada um deles.
![Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto A e outra possui o ponto B. O ângulo tem medida 55 graus.](../resources/images/un3/it1025rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto C e outra possui o ponto D. O ângulo tem medida 25 graus.](../resources/images/un3/it1027rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto E, e outra possui o ponto F. O ângulo tem medida 75 graus.](../resources/images/un3/it1026rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo entre duas semirretas de mesma origem O, uma possui o ponto E, e outra possui o ponto F. O ângulo tem medida 40 graus.](../resources/images/un3/it1028rm_8mdm_g24_e001.png)
3. Analise as medidas dos ângulos a seguir.
![Ilustração de um ângulo com medida de 95 graus.](../resources/images/un3/it1029rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo com medida de 27 graus.](../resources/images/un3/it1030rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo com medida de 139 graus.](../resources/images/un3/it1031rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo com medida de 85 graus.](../resources/images/un3/it1032rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo com medida de 18 graus.](../resources/images/un3/it1033rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo com medida de 63 graus.](../resources/images/un3/it1034rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo com medida de 72 graus.](../resources/images/un3/it1035rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo com medida de 41 graus.](../resources/images/un3/it1036rm_8mdm_g24_e001.png)
No caderno, escreva os pares de ângulos:
a) complementares;
b) suplementares.
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4. Na imagem estão representados os ângulos suplementares e .
![Ilustração de uma reta passando pelos pontos C e B, com o ponto A entre eles e desse ponto parte uma semirreta que contém o ponto D. O ângulo C A D mede 8 x mais 3 graus e o ângulo D A B mede 9 x mais 24 graus.](../resources/images/un3/it1037rm_8mdm_g24_e001.png)
Como os ângulos são suplementares, então . Logo, podemos determinar o valor de resolvendo a seguinte equação:
Para obter as medidas de e , substituímos o valor obtido para x em cada uma das expressões que representam essas medidas.
Determine a medida dos ângulos e indicados em cada item, sabendo que os pontos A, B e C pertencem a uma mesma reta.
![Ilustração de uma reta passando pelos pontos C e B, com o ponto A entre eles e desse ponto parte uma semirreta que contém o ponto D. O ângulo C A D mede 11 x menos 21 graus e o ângulo D A B mede 2 x mais 6 graus.](../resources/images/un3/it1038rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de uma reta passando pelos pontos C e B, com o ponto A entre eles e desse ponto parte uma semirreta que contém o ponto E. Entre as semirretas que passam pelos pontos E e pelo ponto B há outra contendo o ponto D. O ângulo C A E mede 90 graus, o ângulo E A D mede 8 x menos 5 graus e o ângulo D A B mede 29 graus menos 2 x.](../resources/images/un3/it1039rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de uma reta passando pelos pontos C e B, com o ponto O entre eles e desse ponto parte uma semirreta que contém o ponto E. Entre as semirretas que passam pelos pontos E e pelos ponto B há outra contendo o ponto D. O ângulo C A E mede 3 x mais 3 graus, o ângulo E A D mede 90 graus e o ângulo D A B mede 8 x menos 1 graus.](../resources/images/un3/it1040rm_8mdm_g24_e001.png)
5. De acordo com as figuras em cada item, escreva no caderno as medidas dos ângulos representados pelas letras.
![Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Uma reta passa pelos pontos A O B e a outra passa pelos pontos C O D. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo A O C indicado por r, é oposto pelo vértice ao ângulo D O B, indicado por p. O ângulo A O D, com medida igual a 68 graus, é oposto pelo vértice ao ângulo C O B, indicado por q.](../resources/images/un3/it1041rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de três retas que se cruzam no mesmo ponto. Uma reta horizontal com os pontos F O A, perpendicular à reta com os pontos C O D, entre elas, uma reta oblíqua passando pelo mesmo ponto de interseção das outras duas, essa reta contem os pontos E O B. Do cruzamento das retas D O C e A O A com a reta B O E, destaca-se os ângulos formados: C O B com medida t, B O A com medida de 54 graus, F O E com medida v, e, E O D com medida u.](../resources/images/un3/it1042rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de uma reta na horizontal passando pelos pontos E, A, B, e G. Há uma reta contendo os pontos C, A e F, que intersecta a reta horizontal no ponto A de maneira oblíqua e outra reta contendo os pontos D e B, que corta a reta horizontal no ponto B também de maneira oblíqua. Os respectivos ângulos formados estão demarcados. O ângulo E A F indicado por g, o ângulo E A C, com medida igual a 116 graus, o ângulo C A B indicado por f. O ângulo A B D, indicado por h e o ângulo D B G, com medida igual a 80 graus.](../resources/images/un3/it1043rm_8mdm_g24_e001.png)
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6. Nos itens a seguir, obtenha o valor de x e determine a medida dos ângulos representados pelas expressões algébricas.
![Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo 3 x mais 17 graus e o ângulo 6 x menos 4 graus são opostos pelo vértice.](../resources/images/un3/it1044rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo 3 x mais 5 graus e o ângulo 193 graus menos x são opostos pelo vértice.](../resources/images/un3/it1045rm_8mdm_g24_e001.png)
7. Os ângulos e são suplementares e a medida de é o dobro da medida de . Determine a medida do complementar de .
8. Utilizando um transferidor, construa
no
caderno um ângulo com medida de . Para isso, desenhe ângulos adjacentes cuja
medida de cada um seja igual a e, em seguida, resolva os itens.
Atenção!
Quando dois ângulos têm um lado em comum e as regiões determinadas por eles não têm pontos em comum, dizemos que eles são adjacentes.
a) Escreva no caderno as etapas dessa construção.
b) Construa um ângulo de , utilizando essas mesmas estratégias.
9. Na figura a seguir, os ângulos e são suplementares e é agudo.
![Ilustração de uma reta passando pelos pontos D e B, com o ponto A entre eles e desse ponto parte uma semirreta que contém o ponto C. O ângulo D A C tem medida menor do que 90 graus e o ângulo C A B tem medida maior do que 90 graus. O ângulo D A C mais o ângulo C A B somam a medida de 180 graus.](../resources/images/un3/it1046rm_8mdm_g24_e001.png)
Utilizando essas informações, elabore um problema e troque-o com um colega. Você resolverá o dele, e ele, o seu. Depois, verifiquem se as respostas estão corretas.
10. Os ângulos e são suplementares e a diferença entre suas medidas é de . Calcule no caderno a medida de e , sabendo que é agudo.
11. Analise os modelos de esquadros a seguir.
![Ilustração de um esquadro, com seus ângulos internos medindo 30 graus, 60 graus e 90 graus.](../resources/images/un3/i1047rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um esquadro, com seus ângulos internos medindo 45 graus, 90 graus e 45 graus.](../resources/images/un3/i1074rm_8mdm_g24_e001.png)
Verifique como Marília representou um ângulo com medida de .
![Ilustração de dois esquadros, um acima do outro. O de cima, com seus ângulos internos medindo 30 graus, 90 graus e 60 graus; o debaixo com seus ângulos internos medindo 45 graus, 90 graus e 45 graus. Eles estão encostados de maneira que o esquadro de cima, esteja alinhado no ângulo de 90 graus com o ângulo de 45 graus do esquadro debaixo.](../resources/images/un3/i1075rm_8mdm_g24_e001.png)
Utilizando esse par de esquadros, represente no caderno ângulos com medidas de:
a) .
b) .
c) .
d) .
Versão adaptada acessível
Descreva como devemos posicionar esse par de esquadros para representar um ângulo com medida de:
a) 75°.
b) 120°.
c) 150°.
d) 180°.
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Bissetriz de um ângulo
Uma professora de Matemática pediu aos estudantes do 8º ano que construíssem em uma folha de papel, um ângulo medindo . Em seguida, orientou-os a recortar o ângulo e dobrá-lo ao meio, conforme representado a seguir.
![Ilustração de uma folha de papel com uma dobradura. Uma seta indica uma nova dobradura a partir da ilustração anterior, são 4 etapas. No início, não há dobradura, a folha tem um ângulo e uma tesoura aparece indicando que o ângulo será cortado. Seta para direita indicada outra figura. A folha de papel cortada com o ângulo indicado e uma seta curva indicando o sentido da dobra. Seta para direita. O lado esquerdo da folha dobrado de cima para baixo, na diagonal. Seta aponta para outra imagem: a marca dessa dobra aparece exatamente no meio do ângulo, separando o ângulo em dois ângulos iguais.](../resources/images/un3/i1010rm_8mdm_g24_e001.png)
Ao desdobrar a folha, o ângulo ficou dividido ao meio pela marca da dobra. Cada uma das partes obtidas mede , pois . Nesse caso, a marca do vinco está sobre a bissetriz do ângulo.
A bissetriz de um ângulo é uma semirreta, com origem no vértice, que o divide em dois ângulos congruentes. Na imagem, a semirreta é a bissetriz do ângulo .
![Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma possuindo o ponto B e a outra o ponto A, entre elas há uma semirreta, de mesma origem O, com o ponto E demarcado, dividindo o ângulo B O A em dois ângulos iguais.](../resources/images/un3/it1011rm_8mdm_g24_e001.png)
Instrumentos e softwares
Construção da bissetriz de um ângulo
Execute o passo a passo a seguir para construir a bissetriz de um ângulo usando régua e compasso.
1º. Com a régua, trace um ângulo de medida qualquer.
![Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma contendo o ponto A e a outra contendo o ponto B. O menor ângulo formado entre elas está demarcado.](../resources/images/un3/i1018gu_8mdm_g24_e001.png)
2º. Depois, com a ponta-seca do compasso em O e abertura qualquer, trace um arco determinando um ponto C em e um ponto D em .
![Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma contendo os pontos D e B e a outra os C e A. Há um compasso com a ponta seca em O, traçando um arco que passa pelos pontos D e C.](../resources/images/un3/i1080zz_8mdm_g24_e001.png)
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3º. Com a ponta-seca do compasso em C e abertura maior do que a metade da medida do comprimento de , trace um arco, como na imagem.
![Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma contendo os pontos D e B e a outra os C e A, como na ilustração anterior, com um arco passando pelos pontos D e C. Há um compasso com a ponta seca em C, marcando outro arco à frente, entre os pontos A e B.](../resources/images/un3/i1019zz_8mdm_g24_e001.png)
4º. Mantendo a abertura anterior, trace um arco como na imagem com a ponta-seca em D. Marque o ponto E na interseção dos arcos.
![Ilustração com a mesma construção da ilustração anterior. Há dois arcos que se cruzam formando um X na região interna do ângulo, formando o ponto E. Há um compasso com a ponta-seca em D, e a outra ponta no final de um dos arcos.](../resources/images/un3/i1081zz_8mdm_g24_e001.png)
5º. Com a régua, trace a semirreta .
![Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma contendo os pontos D e B e a outra os C e A. Entre estas duas semirretas há o ponto E. Há um arco passando pelos pontos D e C, e outros dois pequenos arcos cruzando entre si no ponto E. Também há um lápis traçando um segmento de reta que começa em O e passa por E, com o auxílio de uma régua.](../resources/images/un3/i1020zz_8mdm_g24_e001.png)
6º. A semirreta traçada no passo anterior é a bissetriz do ângulo .
![Ilustração com a mesma construção da ilustração anterior. Há dois arcos que se cruzam formando um X na região interna do ângulo, formando o ponto E, e uma semirreta que sai do vértice O do ângulo e passa pelo ponto E, dividindo o ângulo em dois ângulos iguais.](../resources/images/un3/i1082gu_8mdm_g24_e001.png)
Atividades
Faça as atividades no caderno.
12. Na figura a seguir, a semirreta é bissetriz do ângulo e a semirreta é bissetriz do ângulo .
![Ilustração de um ângulo A O E, do ponto O partem 3 semirretas, cada uma contendo um dos pontos: B, C, D. O ângulo B O C mede 41 graus e o ângulo D O E mede 32 graus.](../resources/images/un3/it1048rm_8mdm_g24_e001.png)
De acordo com essas informações, calcule as medidas dos ângulos:
a) .
b) .
c) .
d) .
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13. Junte-se a um
colega e, utilizando um transferidor,
construam no caderno os ângulos cujas medidas estão indicadas em cada item. Em
seguida, tracem a bissetriz de cada um deles.
a) .
b) .
c) .
14. Determine a medida do ângulo em cada item, sabendo que a semirreta é a bissetriz dele.
![Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma passando pelo ponto B e a outra o ponto A, entre estas duas semirretas, há outra partindo da mesma origem O, passando pelo ponto C. O ângulo B O C mede 45 graus.](../resources/images/un3/it1049rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma passando pelo ponto B e a outra pelo ponto A, entre estas duas semirretas, há outra partindo da mesma origem O, passando pelo ponto C. O ângulo C O A mede 38 graus.](../resources/images/un3/it1050rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma passando pelo ponto B e a outra pelo ponto A, entre estas duas semirretas, há outra partindo da mesma origem O, passando pelo ponto C. O ângulo C O A mede 73 graus.](../resources/images/un3/it1051rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma passando pelo ponto B e a outra pelo ponto A, entre estas duas semirretas, há outra partindo da mesma origem O, passando pelo ponto C. O ângulo B O C mede 26 graus.](../resources/images/un3/it1052rm_8mdm_g24_e001.png)
15. No futebol, o bom treinamento do goleiro é fundamental para que o time obtenha resultados positivos. Esse treino consiste não somente no condicionamento físico, mas também na aprendizagem de técnicas, como ficar posicionado sobre a bissetriz imaginária do ângulo formado entre a bola e as traves, conforme o esquema a seguir.
![Ilustração de um goleiro, bem ao centro do gol. Em sua frente, há um jogador que se prepara para chutar a bola. Há dois ângulos iguais, com seus lados formados: um pela distância do jogador com o goleiro e os outros 2 pela distância do jogador até uma das traves laterais do gol. Há um ângulo de cada lado.](../resources/images/un3/i1053dn_8mdm_g24_e001.png)
a) Em sua opinião, qual é a vantagem de o goleiro se posicionar dessa maneira diante do jogador?
b) No esquema, suponha que a medida do ângulo indicado em vermelho seja . Nesse caso, qual é a medida do ângulo indicado em azul?
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16. Márcia traçou uma linha verde no caderno e construiu um ângulo de medida com base nela. Em seguida, ela representou um ângulo simétrico a ele, em relação à linha verde.
![Ilustração de um caderno pautado, com um ângulo agudo desenhado. Uma de suas semirretas está destacada de verde.](../resources/images/un3/i1054rm_8mdm_g24_e001.png)
a) Qual é a medida do ângulo simétrico em relação à linha verde que Márcia desenhou?
b) Qual é a soma das medidas desses ângulos?
c) Podemos dizer que a linha verde é a bissetriz do ângulo formado? Por quê?
17. Calcule no caderno o valor de para que a semirreta seja a bissetriz do ângulo a seguir.
![Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma passando pelo ponto B e a outra pelo ponto A, entre estas duas semirretas, há outra partindo da mesma origem O, passando pelo ponto E. O ângulo B O E mede 5 x e o ângulo E O A mede 3 x mais 26 graus.](../resources/images/un3/it1055rm_8mdm_g24_e001.png)
18. (OBM-2002) Dado um triângulo , em que e , a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos ângulos e é:
a)
b)
c)
d)
e)
19. A semirreta é bissetriz do ângulo .
![Ilustração de duas semirretas partindo do ponto O, uma passando pelo ponto B e a outra pelo ponto A, entre estas duas semirretas, há outra partindo da mesma origem O, passando pelo ponto F. O ângulo D O F mede 7 x menos 2 graus e o ângulo F O C mede x mais 34 graus.](../resources/images/un3/it1056rm_8mdm_g24_e001.png)
Efetue os cálculos no caderno para obter o valor de e a medida do ângulo .
20. No triângulo a seguir, a semirreta está contida na bissetriz do ângulo .
![Ilustração de um triângulo retângulo B A C com ângulo reto em A. Está traçada uma semirreta com origem em C e passa por D, sobre o lado A B do triângulo. Estão destacados os ângulos A que mede x, B C D de medida 2 x menos 5 graus e D C A com medida igual a x mais 15 graus.](../resources/images/un3/it1057rm_8mdm_g24_e001.png)
Determine as medidas dos ângulos e .
21. Na representação dos ângulos a seguir, a semirreta é bissetriz do ângulo e a semirreta é bissetriz do ângulo .
![Ilustração com o ponto O e desse ponto partem 4 semirretas, cada uma contendo um dos pontos: A, B, C e D. O ângulo B O C mede 23 graus e os outros ângulos não estão indicados.](../resources/images/un3/it1058rm_8mdm_g24_e001.png)
Qual é a medida do ângulo ?
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22. Na representação dos ângulos a seguir, a semirreta é bissetriz do ângulo e a semirreta é bissetriz do ângulo .
![Ilustração com o ponto Q e desse ponto partem 4 semirretas, cada uma contendo um dos pontos: R, S, T e U, nessa ordem, formando três ângulos e cada um indicado por uma cor.](../resources/images/un3/it1059rm_8mdm_g24_e001.png)
O que se pode afirmar sobre:
a) em relação a ?
b) em relação a ?
c) em relação a ?
23. No triângulo a seguir, o ângulo mede e o segmento de reta está contido na bissetriz de .
![Ilustração de um triângulo retângulo A B C com ângulo reto em B. Está traçado um segmento que parte do vértice C até o ponto D, que está sobre o lado A B do triângulo. Estão destacados os ângulos A, A D C, e C.](../resources/images/un3/it1060rm_8mdm_g24_e001.png)
Qual é a medida do ângulo indicado?
24. Qual é a
medida do menor ângulo formado pelas
bissetrizes dos ângulos e ?
![Ilustração de uma reta passando pelos pontos A e D, com o ponto O entre eles e desse ponto partem 2 semirretas, cada uma contendo um dos pontos: B e C. O ângulo A O B mede 51 graus e o ângulo C O D mede 45 graus.](../resources/images/un3/it1061rm_8mdm_g24_e001.png)
25. (Obmep-2010) Na figura dada, e são ângulos retos e a medida de está entre e . Além disso, os pontos C e Y estão sobre a reta r, enquanto D e E estão sobre a reta s.
![Ilustração de duas retas: r e s, que se cruzam em um ponto O. A reta r passa pelos pontos C e Y e a reta s, passa por E, e, D. Entre os pontos C e D, parte uma semireta contendo o ponto A e origem O e entre E, e, Y, uma semirreta contendo B e de origem O.](../resources/images/un3/it1062rm_8mdm_g24_e001.png)
O possível valor para a medida de está entre:
a) e .
b) e .
c) e .
d) e .
e) não pode ser determinado.
26. Nas
páginas 46 e 47,
aprendemos a construir ângulos retos e de utilizando régua e compasso. Em seu caderno,
escreva quais procedimentos você faria para construir, usando régua e compasso,
ângulos cujas medidas sejam 45° e 30°. Agora, usando régua, compasso e os
procedimentos que você escreveu, construa no caderno os ângulos de medida:
a) .
b) .
Versão adaptada acessível
26. Nas páginas 46 e 47, aprendemos a construir ângulos retos e de 60° utilizando régua e compasso. Junte-se a um colega e escrevam quais procedimentos vocês fariam para construir, usando régua e compasso, ângulos cujas medidas sejam 45° e 30°. Agora, usando régua, compasso e os procedimentos que vocês escreveram, construam os ângulos de medida:
a) 30°.
b) 45°.
27. (Obmep-2011)
Na figura a seguir, temos dois triângulos,
e , tais que e .
![Ilustração de dois triângulos ABC e ACD. Os triângulos são iguais e simétricos, estão encostados com o lado em comum AC, de modo a formar uma figura que se assemelha a uma asa delta, com a ponta em A.](../resources/images/un3/it1073rm_8mdm_g24_e001.png)
Sabendo que , determine a medida do ângulo .
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O que eu estudei?
Faça as atividades em uma folha de papel avulsa.
1. Determine as medidas dos ângulos complementar e suplementar dos ângulos representados em cada item.
![Ilustração de um ângulo de 43 graus.](../resources/images/un3/it1063rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo de 89 graus.](../resources/images/un3/it1064rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo de 25 graus.](../resources/images/un3/it1065rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de um ângulo de 71 graus.](../resources/images/un3/it1066rm_8mdm_g24_e001.png)
2. Sabendo que os pontos A, O e B pertencem a uma mesma reta, calcule em uma folha de papel avulsa a medida do ângulo:
a)
![Ilustração de uma reta passando pelos pontos B e A, com o ponto O entre eles e desse ponto parte uma semirreta que contém o ponto C. O ângulo B O C mede 41 graus, o ângulo C O A é suplementar a ele.](../resources/images/un3/it1067rm_8mdm_g24_e001.png)
b)
![Ilustração de uma reta, passando pelos pontos B O A com uma semirreta com origem em O, passando por C, e outra semirreta com origem em O passando por D. Está demarcado que o ângulo C O D é reto. E está demarcado outros dois ângulos complementares, que são: B O C igual a 24 graus; e D O A, sem indicação.](../resources/images/un3/it1068rm_8mdm_g24_e001.png)
3. Sabendo que os pontos A, B e O pertencem a uma mesma reta, determine em uma folha de papel avulsa a medida dos ângulos indicados em cada figura.
![Ilustração de uma reta, passando pelos pontos B O A com uma semirreta com origem O, e do ponto O surgem 3 semirretas, cada uma contendo um dos pontos: E, D, C. O ângulo B O E mede 2 x graus, o ângulo E O D mede 3 x menos 14 graus, o ângulo D O C mede x mais 12 graus e o ângulo C O A mede x graus.](../resources/images/un3/it1069rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de uma reta, passando pelos pontos B O A com uma semirreta com origem O, passando por D, e outra semirreta com origem O passando por C. Está demarcado que o ângulo B O D é reto. E está demarcado outros dois ângulos complementares, que são: D O C igual a 17 x mais 3 graus; e C O A igual a 5 x menos 1 grau.](../resources/images/un3/it1070rm_8mdm_g24_e001.png)
4. Determine a medida de cada ângulo indicado nos itens a seguir.
![Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo 8 x mais 7 graus e o ângulo 10 x menos 25 graus são opostos pelo vértice.](../resources/images/un3/it1071rm_8mdm_g24_e001.png)
![Ilustração de duas retas que se cruzam formando um X. Os respectivos ângulos formados estão demarcados, em que o ângulo 9 x mais 2 graus e o ângulo 47 graus menos 6 x são opostos pelo vértice.](../resources/images/un3/it1072rm_8mdm_g24_e001.png)